R A D N I M A T E R I J A L I

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "R A D N I M A T E R I J A L I"

Transcript

1 Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7.

2 IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE FUNKCIJE NEKI POJMOVI VEZANI UZ FUNKCIJE INVERZNA FUNKCIJA 4.6. KOMPOZICIJA FUNKCIJA 4.7. ELEMENTARNE FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST NEPREKIDNOST 46

3 4.. POTREBNO PREDZNANJE - Svojstv skup relnih brojev - Koordintni sustv u rvnini - Sustvi jedndži - Nejedndžbe 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE Uočvnje međuzvisnosti dviju veličin veom je znčjno u svim područjim. Deinicij Nek su A i B dv neprzn skup. Postupk ( prvilo, zkon) koje svkom elementu iz skup A pridružuje točno jedn element iz skup B nzivmo unkcijom s skup A u skup B. Sdržj prethodne deinicije simbolički oznčvmo s : A B. Skup A zove se područje deinicije unkcije ili domen, oznk D( ) ili D. Skup svih B zove se područje vrijednosti ili kodomen, oznk K( ) ili K. Pri tome je nezvisn vrijbl (rgument), zvisn vrijbl. Istknimo d deinicij unkcije uključuje tri objekt: () područje deinicije D, () područje vrijednosti K i () postupk prem kojem se svkom elementu D pridružen jedinstveni element ( ). K Ako je područje deinicije unkcije podskup skup relnih brojev R i ko vrijednosti unkcije pripdju skupu R, ond kžemo d je unkcij reln unkcij relne vrijble. U okviru ovog dijel kolegij bvit ćemo se relnim unkcijm jedne relne vrijble, dkle unkcijm koje brojevim pridružuje brojeve. Skup unkcijskih vrijednosti R { ( ) : } D Funkcije i su jednke ko je :. D ( ) D( ). K ( ) K( ). ) ( ) z svko D ) D( ). ( ( Zdvnje relnih unkcij jedne vrijble Anlitički nčin zdvnj unkcije Često se unkcijom nziv ormul, tj. izrz koji sdrži rgument i ukzuje n opercije koje treb izvšiti d bi se zdni nšo njemu pridruženi ().

4 , Zbog čeg se tkve ormule nzivju unkcijm i nije li to u suprotnosti s zdnom deinicijom (budući d tu nisu zdni ni područje deinicije, ni područje vrijednosti)? Vezu s deinicijom unkcije dje sljedeći dogovor. Ako je reln unkcij zdn ormulom, podrzumijev se d je:. područje vrijednosti skup relnih brojev R i. područje deinicije (domen) D onj mksimlni poskup skup R z koji nlitički izrz (ormul) im smisl. Drugim rječim, možemo reći d je domen relne unkcije skup svih relnih brojev z koje je i () reln broj. Tkvo područje deinicije zovemo prirodno područje deinicije. Ako ne kžemo drugčije, podrzumijevt ćemo d se z rzmtrnu unkciju koristimo prirodnim područjem deinicije. Nekd se unkcij zdje s nekoliko rzličitih ormul koje se primjenjuju u rzličitim dijelovim područj deinicije. ( ) 4 z z z [,] (,4] ( 4,6] Ako je unkcij zdn pomoću jedne ili više ormul kžemo d je zdn nlitički. Rčunnje vrijednosti unkcije zdne nlitički (ormulom) ( ) ( ) ( ) 6 (.4).4. Gr relne unkcije relne vrijble : X R je skup točk rvnine : G {(, ) : ( ) X }, Krivulj predstvlj gr unkcije ko proizvoljn prvc, prleln s -osi siječe krivulju njviše u jednoj točki. Jednke unkcije imju jednke grove. 4

5 gr unkcije nije gr unkcije gr unkcije Tbelrno zdvnje unkcij Tbelrno unkciju zdjemo tko d z sve promtrne vrijednosti nezvisne vrijble zdjemo pripdnu vrijednost zvisne vrijble i to u obliku tblice. U prksi su vrijednosti zvisne vrijble uglvnom dobivene ko rezultt nekog mjerenj i mogu se izmjeriti smo u nekim točkm. Područje deinicije, područje vrijednosti ko i vrijednosti unkcije zdne tbelom «očitvmo» iz tblice. Dni u svibnju 4. Tempertur u sti Svkom dnu pridružen je smo jedn vrijednost temperture. D R { 7,8,9,,,,,4 } { 9,,,,4,5 } T tempertur (dtum) Vrijednost unkcije zdne tbelrno očitvmo direktno iz tblice.. Kolik je tempertur 8.5 u sti? T ( 8). Kojeg je dn bil njviš tempertur? Iz tblice vidimo d je njveć vrijednost temperture 5 i d je to bilo

6 Gr unkcije zdne tbelrno. tempertur dtum Pogledjte sliku i objsnite zšto to nije gr unkcije Z. 5 immo dvije rzličite vrijednosti. 5 i. 6

7 4.. INTERPOLACIJA Z rgumente koji nisu zdni u tblici vrijednost unkcije određuje se interpolcijom ili ekstrpolcijom. Njjednostvnij je linern interpolcij koj se sstoji u sljedećem: Nek su ib dvije susjedne vrijednosti vrijble te () i (b) njihove pripdne unkcijske vrijednosti zdne u tblicm. Kroz točke A (, ( ) ) i B ( b, ( b) ) kojim prolzi gr unkcije povučemo prvc ( b) ( ) p ( ) b ( ) ( ) Z svki (, b) umjesto () uzme se vrijednost p (). Time smo vrijednost () proksimirli s p() i pišemo ( ) p( ). Zmjen vrijednosti () s p() zove se interpolcij. Ako je vn intervl (, b) zmjen vrijednosti () s p() zove se ekstrpolcij. Npomen: kod ekstrpolcije mormo biti oprezni, jer je primjen utoliko nesigurnij što je točk dlje od rubov intervl. A(, ()) (, ()) B(b, (b)) (, p()) p b Grički nčin zdvnj unkcije Pri gričkom zdvnju unkcije zdn je smo njen gr. Vrijednosti unkcije z zdni rgument neposredno se očitv iz tog gr. U mnogim situcijm grove crtju utomtski prti (osciloskop) Osob se vozi u utomobilu od ured do kuće 6 minut. N slici je zdn brzin v (km/ min) u ovisnosti o vremenu t (min). v - brzin t - vrijeme 7

8 . Odredite brzinu utomobil u trenutku t. S slike očitvmo v ( ) 4.. U kojem je trenutku utomobil postigo njveću brzinu? Njveć brzin postignut je z t 5 i iznosi v 7. U kojem je vremenskom intervlu utomobil stjo? ( t) t 5,7 v z [ ] 4. U kojim se vremenskim interv utomobil kreto konstntnom brzinom? v ( t) 4 z t [,4] ; v ( t) z t [ 5,7] ; ( t) 6 t 8, v z [ ] 8

9 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE FUNKCIJE I NJIHOVI GRAFOVI Od unkcij koje su zdne nlitički posebnu ulogu imju tzv. osnovne elementrne unkcije. Z sd ćemo nvesti neke od njih, odrediti njihovo područje deinicije i skicirti njihove grove. Npomen : Grove možemo skicirti tko d izrčunmo unkcijske vrijednosti u određenom broju točk i tko dobijemo točke gr (, ( ) ). Konstnt je unkcij zdn ormulom ( ) R. Tu unkciju krkterizir činjenic d se svki D preslikv u jedn jedini element R( ). Gr konstntne unkcije je prvc prleln s osi pscis, koji siječe os ordint u točki (, ). ( ) (-, ) (, ) (, ) (, ) - ( ) - (, -) (, -) (, -) - Potencij Funkciju zdnu ormulom smo slučj kd je r Q. r ( ) R r nzivmo potencijom. Promtrt ćemo U zvisnosti od eksponent r mijenj se i područje deinicije. Pogledjmo neke slučjeve.. r N r r prn broj neprn broj k ( ), N ( ) k, N k R D, (R) [, ) k D R, ( R) R 9

10 Skicirjte gr unkcije ( ) i ( ) ( ) (-, 4) (-, ) (, ) (, 4) (, ) - - (, ) ( ) (, 8) (, ) - (, ) (-,-8). r n, n N R n n ( ) D \{ }

11 ( ) 4 (, 4) (, ) - - (, ) (, ) 4. m r m, n N n ( ) m n n m mogu nstupiti rzni slučjevi ovisno o tome kkvi su brojevi m i n ( ) D [, ) (4, ) (, ) 4 (, ) 4. m r m, n N n ( ) m n m n n m ( ) (, ) 4 (, ) (, ) (4, ) 4 D (, )

12 Eksponencijln unkcij Eksponencijln unkcij deinir se ormulom ( ) z > i D R ( R) R Specijlno ( ) e. 7 e... Npomen: Z rcionlne eksponente vrijednost te unkcije deinir se nlogno ko z potencije koristeći korijene, z ircionlne ćemo vidjeti ksnije (kd upoznmo pojm grnične vrijednosti niz brojev). ( ) ( ) > < () > () ( ) < < - - Trigonometrijske unkcije U rvnini je dn Krtezijev prvokutni koordintni sustv i kružnic jediničnog rdijus s središtem u ishodištu. U točki A(, ) postvimo brojevni prvc prlelno s -osi u točki A. π T(cos,sin) B(-, ) - sin cos A(, ) - «Nmtnjem» prvc n kružnicu i to dijel s pozitivnim brojevim suprotno, dijel s negtivnim brojevim u smjeru gibnj kzljke n stu, pridružimo svkom relnom broju jednu točku T n kružnici. N primjer broju pridružen je točk A (, ), broju π pridružen je točk B (, ).Tkvu kružnicu nzivmo brojevnom ili trigonometrijskom kružnicom.

13 Dkle, relnom broju pridružili smo točku T n kružnici. Ordintu točket oznčimo s sin, pscisu s cos. N tj nčin svkom relnom broju pridružili smo reln broj sin i tko deinirli unkciju sinus uz oznku sin : R R. Z unkciju sinus vrijedi: ( ) sin D R R [, ] sin( kπ) sin z svki R i svki k Z. (, sin) sin -π -π -π - π π π π Funkcij kosinus uz oznku cos : R R svkom relnom broju pridružuje pscisu pripdne mu točke T n trigonometrijskoj kružnici. Z unkciju kosinus vrijedi: ( ) cos D R R [,] cos( kπ) cos z svki R i svki k Z. -π - π -π π π π π - cos Dlje se deinirju unkcije: sin tg cos ( čitj tnges od ) cos ctg sin ( čitj kotnges ) Funkcije sin, cos, tg i ctg zovu se trigonometrijske unkcije.

14 ( ) tg sin cos D π R \ (k ) : k Z R R tg - π -π π π cos ( ) ctg sin R \ kπ : k Z D R R { } - π -π π π ctg 4

15 4.4. NEKI POJMOVI VEZANI UZ FUNKCIJE Nul-točk unkcije : X R je vrijednost nezvisne vrijble D z koju je ( ). Funkcij zdn tbelrno. ( ) ) ) (. ) (. k n n. ) ) k ( k n ( n Pregledmo tbelu i uočimo z koju je vrijednost nezvisne vrijble vrijednost unkcije jednk. n ( n Vidimo: (.8). ( 4.). Ov unkcij im dvije nul-točke. 8 i 4.. Funkcij zdn grom (, ) (, ) (, ) (, ) im jednu nul -točku nem nul -točk im nul -točke Nul točk unkcije je pscis točke u kojoj gr Γ unkcije sijeće -os. Ako je unkcij zdn grom, ili ko immo gr unkcije zdne ormulom možemo jednostvno odrediti je li t unkcij im nul-točke. Pogledmo je li postoje točke u kojim gr unkcije sijeće - os. Ako tkve točke postoje, njihove pscise su nul-točke zdne unkcije. Funkcij zdn nlitički Problem određivnj nul-točk unkcije svodi se n problem rješvnj jedndžbe ( ). 5

16 Odredite nul-točke unkcij:. ( ) 5 5 unkcij im jednu nul-točku 5. ( ) unkcij im dvije nul-točke. ( ) z svki, ± R unkcij nem nul-točk 4. ( ) sin sin ± kπ k,,... unkcij im beskončno mnogo nul-točk Loklni ekstrem Funkcij im loklni minimum (loklni mksimum) u točki tko d vrijedi ( ) ( ) < ( ( ) ( ) ) > z svki iz te okoline. D ko postoji okolin točke Zjedničkim imenom loklni mksimum i loklni minimum zovu se loklni ekstremi. (, M) (, m) (, M) (, m) šiljk (, m) (, m) lom 6

17 Omeđen (ogrničen, ogrđen) unkcij Funkcij je omeđen odozdo ko postoji broj m R tko d je m (), z svki D. Gr unkcije se nlzi «iznd» prvc m. Funkcij je omeđen odozgo ko postoji broj M R tko d je ( ) M, z svki D. Gr unkcije se nlzi «ispod» prvc M. Funkcij je omeđen ko je omeđen odozdo i odozgo. Gr omeđene unkcije nlzi se između prvc m i M. M M m m omeđen odozdo omeđen odozgo omeđen Prn unkcij Funkcij je prn ko vrijedi ( ) ( ) z svki D. Kod prne unkcije područje deinicije mor biti simetrično s obzirom n ishodište. Gr prne unkcije simetričn je sobzirom n os ordint ( -os) Pokžite d je ( ) ( ) ( ) ( ) prn unkcij. - - Vrijedi ( ) ( ), p je unkcij ( ) prn. 7

18 Neprn unkcij Funkcij je neprn ko vrijedi ( ) ( ) z svki D. Kod neprne unkcije područje deinicije mor biti simetrično s obzirom n ishodište. Gr neprne unkcije centrlno je simetričn je s obzirom n ishodište koordintnog sustv. Pokžite d je ( ) ( ) ( ) neprn unkcij. (,) - ( ) ( ), p je unkcij ( ) neprn. Monotone unkcije Funkcij : X R je strogo rstuć (rstuć) n intervlu I, I D, ko z svki pr, I z koje je < vrijedi: ( ) ( ) <, ( ) ( )). ( ( ) < ( ) ( ) < ( ) strogo rstuć rstu ć Funkcij : X R je strogo pdjuć ( pdjuć) n intervlu I, I D, ko z svki pr, I z koje je < vrijedi: ( ) ( ) >, ( ) ( )). ( ( ) > ( ) Strogo monotone (monotone) unkcije su strogo rstuće (rstuće) ili strogo pdjuće (pdjuće) unkcije. 8

19 Funkcij je po dijelovim monoton ko se područje deinicije D unkcije može rstviti n končno mnogo podintervl tkvih d je n svkom od njih unkcij monoton. N slici je dn gr unkcije Γ. Odredite intervle monotonosti. b c (, ) unkcij je strogo rstuć (, b) unkcij je strogo pdjuć ( b, c) unkcij je strogo rstuć ( c, ) unkcij je strogo pdjuć Periodičn unkcij Funkcij je periodičn, ko postoji reln broj T, tko d z svki D vrijedi:. D T D i T D. ( T ) ( ) Njmnji pozitivn broj T s nvedenim svojstvim zove se osnovni period ili period unkcije. T () () - - Rčunske opercije među unkcijm Nek su dne unkcije X u R. : X R i g : X R i nek je r R. Td se deinirju nove unkcije iz Sum unkcij i g, g, deinir se ormulom ( g)( ) ( ) g( ). Rzlik unkcij i g, g, deinir se ormulm ( g)( ) ( ) g( ) Produkt unkcij i g, g, deinir se ormulom ( g)( ) ( ) g( ). 9

20 Kvocijent unkcij i g, (ko je g( ) z svki X g ), deinir se ormulom g ( ) ( ) g( ) Produkt r R i, r, deinir se ormulom ( r )( ) r ( ). Z unkcije ( g )() ( g )() g () ( ) 5 i g ( ) izvršite nznčene rčunske opercije ( ) g( ) 5 ( ) g( ) 5 5 ( ) 5 g( ) Npomen: Ako unkcije i g imju rzličit područj deinicije prethodno deinirne unkcije imju smisl smo z zjedničke elemente njihov područj deinicije. Tko je D D D g g Z unkcije ( ), D R i g ( ), D (, ) odredite područje deinicije unkcije g h ( ) ( ) g( ) h ( ) ( ) g( ) Dh D Dg R (, ) (, )

21 4.5. INVERZNA FUNKCIJA Zdn je unkcij : X Y, td z svki element R Y postoji br jedn element D tkv d je ( ). Nek je unkcij tkv d z svki R postoji smo jedn X tkv d je (). To nm omogućv d deinirmo novu unkciju koj elementim iz R pridružuje elemente iz X. : X Y ( ) : R X ( ) Ovko deinirn unkcij zove se inverzn unkcij polzne unkcije. () - Teorem Strogo monoton unkcij im inverznu unkciju. Gr unkcije i gr njoj inverzne unkcije osno su simetrični s obzirom n prvc. -

22 4.6. KOMPOZICIJA FUNKCIJA Nek su zdne dvije unkcije elementu X se g o. pridružuje element [ ] Z : X Y i g : Y Z ( vrijedi Y Y ). Funkcij koj svkom g ( ) zove se kompozicij unkcij i g I oznčv R R R g z g() g () () X Y Z Iz prethodnog ko i iz deinicije inverzne unkcije slijedi d je: ( ( ) ) ( ( ) ) z R. z svki X i Logritmske unkcije Eksponencijln unkcij je zdn ormulom, > i, D R i smo d je strogo monoton. Prem tome postoji njen inverzn unkcij logritmsk unkcij bze i oznčv se ormulom log. : R R R i vidjeli R koj se zove log > Budući je log inverzn unkcij eksponencijlne unkcije bze vrijedi : log z svki R log z svki R Z logritmsku unkciju vrijede sljedeće ormule z, R i r R. log log log r log r log log log log Z > logritmsk unkcij log je strogo rstuć, z < < strogo pdjuć unkcij.

23 Ko posebn slučj promtrju se dvije logritmske unkcije:. Logritmsk unkcij koj odgovr bzi. Oznčvmo je ormulom log. U tom slučju immo dekdske (Briggsove) logritme.. Logritmsk unkcij koj odgovr bzi e Oznčvmo je ormulom ln. Logritmi s bzom e zovu se prirodni logritmi. Ako su zdne dvije logritmske unkcije rzličitih bz log i log b vez između njih zdn je ormulom: log b logb Specijlno z i b e vrijedi ln ln log log log e odnosno log ln ln Arkus unkcije Funkcij sin : R R nem inveznu unkciju, jer nije strogo monoton. Zbog tog se promtr π unkcij Sin sin z, π π π. Immo dkle Sin : R, koj je strogo monoton unkcij p postoji inverzn unkcij π Sin : [, ], π. Z ovkve unkcije upotrebljv se zpis Sin rcsin. Funkcij, pridružuje luk (rc) čiji je sinus jednk. rcsin svkom broju [ ] π rcsin - π

24 Anlogno se deinir unkcij Cos : [, π ] R i Cos : [,] [,π ] Cos rccos.. Ovdje se koristi zpis π rccos π - π π Tg : R,, Tg π rctg,, π rctg : R π rctg π (, π) R Ctg :, Ctg rcctg, rcctg : R (, π ) π π rcctg 4

25 4.7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Polinomi To su unkcije zdne ormulom n n P( ) n n......,,..., n, n relni brojevi koje zovemo koeicijenti polinom. Polinom možemo pisti u skrćenom obliku P( ) n i i Ako je broj n N se zove stupnj polinom. n i Kko je zbrjnje i množenje izvodljivo z dv proizvoljn reln broj, polinom je deinirn z svki reln broj, tj. D P R. Polinom prvog stupnj P( ) ( linern unkcij). Gr linerne unkcije je prvc. Ako se prisjetimo jedndžbe prvc u obliku k l očito d je koeicijent smjer ( ngib prvc), odrezk n -osi. Polinom drugog stupnj P ( ) ( kvdrtn unkcij). Gr polinom drugog stupnj je kvdrtn prbol. Rcionlne unkcije To su unkcije prikzne ormulom ( ) P ( ) Q n m ( ) gdje su P n () i Q m () polinomi stupnj n odnosno m. Dijeljenje s nulom nije moguće, to znči d je rcionln unkcij deinirn z sve relne vrijednosti osim onih z koje je Q m ( ). Rcionln unkcij z koju je n > m zove se neprv, z n m prv rcionln unkcij. Vrijedi tvrdnj: svk se neprv rcionln unkcij može prikzti ko sum polinom i prve rcionlne unkcije. To se postiže dijeljenjem brojnik s nzivnikom. Rstvi n prcijlne rzlomke:.slučj Q ) ( )( )...( )... R n ( m U ovom slučju prvu rcionlnu unkciju rstvljmo u sumu jednostvnih rcionlnih unkcij s konstntnim brojnicim i linernim nzivnicim, tj. n tkozvne prcijlne rzlomke. Pn A A Am... Q m m m 5

26 A, A,... A n su konstntni koeicijenti koje treb odredit. Odvde immo nziv metod neodređenih koeicijent. Množeći gornju jednkost s (), ztim izjednčenjem koeicijent uz potencije Q m istog stupnj vrijble n obje strne dobivene jednkosti dobiv se sustv od n jedndžbi s n nepoznnic A, A,... An. Rješvnjem tog sustv dobijemo vrijednosti koeicijent. Ovko dobiveni sustv jedndžbi uvijek im jednoznčno rješenje.. slučj k Qn ( ) ( ) ( )...( mk ) Pn A A Ak B k Q m. slučj mk ( ) ( ) mk Q n ( ) ( p q) ( )...( m ) P A B n A Am... Q p q m 4. slučj m Qn ( ) ( p q) ( 5 )...( m4 ) P A B n C D A5.... Qm p q p q 5 ( ) m4 A B m4 Hiperbolne unkcije deinirju se pomoću eksponencijlnih unkcij n sljedeći nčin Funkcij sinus hiperbolni deinir se ormulom e e sh (sinus hiperbolni od ) D sh R sh - 6

27 e e ch (kosinus hiperbolni od ) D ch R Ch th sh ch D th R e e e e (tnges hiperbolni od ) - th Funkcij kotngeshiperbolni deinir se ormulom cth ch sh D th R \{ } e e e e (kotnges hiperbolni od ) cth - 7

28 Zšto crtmo gr unkcije?. Sve što ns interesir o nekoj unkciji možemo «očitti» s njenog gr D R [ ) (, ), (,4 ] Možemo dti odgovor n pitnj: - je li unkcij omeđen? - im li nultočk? - z koje D je ( ) odnosno ( ) ( )? ( ) 4,? - je li unkcij prn? - je li unkcij neprn? - je li unkcij periodičn? - je li monoton? - z koje D unkcij rste (strogo rste), odnosno pd (strogo pd) - z koje D je < ( ) <. Iz gr unkcije možemo odrediti intervle (, b) D z koje je ( ), odnosno ( ). T inormcij nm može koristiti pri rješvnju nejedndžbi. Rješvnje nejedndžbi ( ) ( ( ) <, ( ), ( ) > ) () > () > () < b 8

29 Pzi! ( ) z [, b ] ( ) < z (, b) ( ) Rješvnje nejedndžbi g( ) ( ) ( ) ( ) >,, < g( ) g( ) g( ). g ( ). ( ) i g ( ) > ili ( ) i g ( ) < Riješite nejedndžbu > Ncrtmo prvce i. S gr «očitmo» z koje D je > i > ili < i < < i - < > i - > > i - < (, ) (, ) Rješvnje nejedndžbi ( ) g( ) ( ( ) > g( ), ( ) g( ), ( ) < g( ), ) > c () > g() S g() () c g ( ) g( ) z c 9

30 Odrediti približnu vrijednost korijen jedndžbe Korijen jedndžbe ( ) je pscis točke u kojoj gr unkcije siječe -os. Skicirmo gr unkcije () i s slike «očitmo» što mnji intervl u kojem se nlzi sjecište gr s -osi. - - U nvedenom primjeru možemo zključiti d unkcij im dvije nul-točke tj. d jedndžb im dv korijen (ili rješenj), oznčimo ih i. [, ] ili < <, z približnu vrijednost uobičjeno je uzeti. 5. [,] ili < <, z približnu vrijednost uobičjeno je uzeti. 5. Korijen jedndžbe h ( ) ko je Γ h»složen» z ncrtti. h ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) g S (c, (c) g(c) ) c Korijen jedndžbe h ( ) je pscis sjecišt grov unkcij Γ i Γ g. Kko je ( c) g( c) slijedi ( c) g( c) tj. h ( c) ( c) g( c) Riješite jedndžbu ln ln S c ln -

31 Određivnje područj deinicije kompozicije unkcij h ( ) o g( ) ( g ( ) ) h ( ) g( ) D h { D : g( ) } g g() > g b Složene nejedndžbe h ( ) ( h( ), h( ) < h( ) > ) Prikžemo h ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) što smo već pokzli. sin sin sin in < - c sin > π π sin <

32 PROVJERA ZNANJA (osnovni pojmovi unkcije ). Skicirjte gr proizvoljne neprne unkcije.. Im li svk monoton unkcij inverznu unkciju? DA NE. Skicirjte gr unkcij ( ) sin i ( ) cos. 4. Odredite područje deinicije unkcije ( ) rcsin. 5. Skicirjte gr proizvoljne prne unkcije. 6. Ako je ( ) ln, g ( ) h ln td je h o g DA NE 7. Im li unkcij ( ) e inverznu unkciju? DA NE 8. Skicirjte grove unkcij ( ) e i g ( ) i ztim riješite nejedndžbu ( ) > g( ). 9. Je li ( ) e prn unkcij? DA NE. Nul točke unkcije su sve vrijednost D z koje je :. Jesu li unkcije ( ) i g ( ) jednke? DA NE. Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije ( ) (smo postviti). ( ). Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije 4. Predstvlj li krivulj n slici gr unkcije? ( ). ( ) DA NE 5. Rcionln unkcij Pn ( ) ( ) je neprv rcionln unkcij kd je: P ( ) m n > m n m n < m 6. Ncrtjte gr proizvoljne periodične unkcije temeljnog period T

33 7. Nvedite osnovnu krkteristiku gr prne unkcije. 8. Npišite rstv n prcijlne rzlomke unkcije ( ) (smo postviti). ( ) ( ) 9. Predstvlj li krivulj n slici gr prne unkcije? DA NE. Rcionln unkcij Pn ( ) ( ) je prv rcionln unkcij kd je: P ( ) m n > m n m n < m. Zdn je unkcij (,] (, ) ( ). Izrčunjte (), (), () i (4). Skicirjte gr unkcije koj nem nul-točk.. Funkcij ( ) tg je omeđen. DA NE 4. Funkcij log 5. ( ) je strogo rstuć unkcij. DA NE 6. Funkcij ( ) ln je inverzn unkcij unkcije: 7.Izrčunjte ( g o )() ko su ( ) i g( ) sin. 8. N slici su zdni grovi unkcij ( ), g( ) i h ( ) ) b) c) - N slici ) je gr unkcije.

34 b) je gr unkcije.. c) je gr unkcije 9. Nvedite koj od trigonometrijskih unkcij im sv ov svojstv: neprekidn, prn, omeđen i periodičn. Skicirjte njen gr.. Skicirjte gr eksponencijlne unkcije ovisno o bzi.. N slici je dn gr unkcije Γ skicirjte gr unkcije..rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ).. Funkcij ( ) rcsin im nul-točku.. 4. Funkcij 5. Funkcij ( ) e je strogo rstuć. DA NE ( ) je pdjuć unkcij. DA NE 6. Funkcij ( ) ln je omeđen unkcij. DA NE 7. Funkcij () je neprn i vrijedi ( 4) 5, ( 4)? 8. N slici je dn gr unkcije Γ. Odredite područje deinicije i nul-točke unkcije g ( ) ln ( ). 4

35 ODGOVORI (osnovni pojmovi unkcije).. NE sin cos. π -π -π π π π π 4., DA 7. DA e 8. g 9. NE ( ) > g( ) z (, ). ( ) 5

36 . NE. A B C ( ). A B 4. DA 5 kd je n > m ili n m Simetričn je s obzirom n os. 8. A B C 9. NE. n < m. ( ), ( ), ( ) i ( 4) 6.. NE 4. NE e 7. sin 8. ) je gr unkcije ( ), b) je gr unkcije h ( ), c) je gr unkcije g( ) 6

37 9. ( ) cos. ( ) > < < DA 5. NE 6. NE 7. ( 4)

38 RIJEŠENI ZADACI (osnovni pojmovi o unkcijm) - Zdtk: N slici je zdn gr unkcije Γ. Pomoću gr odredite (), (), () ( ) ( ) 4 ( ) - Zdtk: Postotk kupc p (t ) koji koriste internet z kupnju novih utomobil (podci od 997) zdn je sljedećom unkcijom: t 5 p ( t) 5t z z t < t 4 t predstvlj vrijeme u godinm t predstvlj 997. godinu p ( ) 5 tj. 997 godine 5% kupc koristilo je internet z kupnju utomobil. t.5 u prvoj polovini 998 p (.5).5 koristimo prvu ormulu z p (t ) jer je.5 < p ( ) 5 koristimo drugu ormulu z p (t ) p ( ) 5 4 koristimo drugu ormulu z p (t ) jer je 4 p (5) nije deinirno 8

39 - Zdtk: g ( ) 5 g ( ) 5 g ( ) 5 g ( ) 5 ( ) g ( ) 5 ( ) 5 g Zdtk: Funkcijom n (A) je zdn broj litr boje potrebne z bojnje površine od Objsnite izrz:. ( A ). ( A).. ( A ) dje broj litr boje z bojnje ( A ) m površine.. ( A) dje broj litr boje potrebne z bojnje Am površine uvečne z litr. A m. ( ) - Zdtk: Zdne su unkcije ( ) i g ( ). Objsnite zšto je ( ) g( ). D R { }, D g R D Dg ( ) g( ). - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcij: ) ( ) e b) ( ) sh c) ) ( ) e e e ln D R \ ln { } e ( ) b) c) ( ) sh R \ { } e ( ) D D R \ { } 9

40 - Zdtk: Funkcij je zdn s tblicom () Koristeći postupk linerne interpolcije izrčunjte (.6) <.6 <, b () () (.6) (.6) () (.6 ) Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ). Kko je unkcij deinirn z svki R, slijedi d je D R. - Zdtk: Zdne su unkcije g o. ( ) e i ( ) g. Odredite njihove kompozicije o g i o g( ) ( g ( )) ( ) e g o ( ) g( ( )) g( e ) e - Zdtk: Pokžite d je unkcij ( ) sin omeđen. D R i z sve D vrijedi: sin, p je unkcij ( ) sin omeđen. 4

41 - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcij :. ( ) ln,. ( ) ln,. ( ) ln, 4. ( ) ln, 5. ( ) rcsin ( ). ( ) ln ln ln. ( ) ln ln ln e D [ e, ) e [ e, ) D. ( ) ln V > > D (, ) 4. ( ) ln > D (, ) (, ) - 5. ( ) rcsin ( ) 4 i D [, ] [, ] Zdtk: Prikžite volumen V stošc, kojem je površin bze 75 jedinic površine, ko unkciju visine h stošc. V ( površin bze) ( visin ) 75 h V 5h P 75 h 4

42 - Zdtk: Utezi mse m vješju se n oprugu, koj se rsteže. Rezultti su dni u tbeli. ms Rst.opr Rsteznje opruge (mse) Ako stvimo uteg mse m 5. 5 grm procijenite koliko se oprug rstegl. 5.5 [ 5,6 ] (6) (5)..4 (5.5) ( 5) (5) (5.5 5) rvnotežni položj detlj (5.5).7 - Zdtk: Skicirjte grove unkcij: ) b) g ( ), g (, ) D ; c) ( ), (, ) D ; h ( ), h (, ) D. ) b) c) - - 4

43 ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (unkcije - osnovni pojmovi ). Ispitjte jesu li su unkcije ( ) i g( ) jednke.. ( ) sin, g ( ), o g( )?. ( ) ln, ( )?, ( )?, ( e)? 4. Rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ) Rstvite n prcijlne rzlomke unkciju ( ). ( ) 6. Zdne su unkcije ( g o ) ( ). ( ) i g ( ). Odredite područje deinicije unkcije e e 7. Rstvite n prcijlne rzlomke (smo postviti). ( ) 8. Z neke vrijednosti nezvisne vrijble D, dne su vrijednosti unkcije () : - - () 4 Koristeći linernu interpolciju izrčunjte približnu vrijednost unkcije z Odredite područje deinicije unkcij: ) ( ) sin, b) ln ( ) ln c) ( ), d) ( ), e) ( ) ln ln ( ) ln,. Odredite područje deinicije i nul-točke unkcije (ko ih im) : ) ( ) ln, b) ( ) ln, c) ( ) e e) ( ) e, ) ( ) e d), ( ), 4

44 . Zdne su unkcije: ( ), g ( ) tg i h( ) cos. Koj je od unkcij: ) prn i omeđen, b) neprn i omeđen?. Rcionlnu unkciju zdtk) ( ) ( 6 ) rstvite n prcijlne rzlomke (dovoljno je postviti. Zdn je unkcij, i 4. ( ) 5 <. Nđite vrijednosti unkcije 44

45 RJEŠENJA (unkcije - osnovni pojmovi). DA. sin. () nije deinirno, ( ), ( e) (, ] (, ) 7. A B C 8. (.5) ) D R \{ } d) [, ), b) D (,) (, ), c) D (,) (, ), D, e) D (, ). ) (, e ] D, e ; b) D R \{ } d) D (,), nem nul-točke; e) R ) R, nul točk je. ) cos D \{ }, b) nijedn, i D \{ } ; c) [, ), nem nul točke; D, ; A. B C D E ( ) (ko netko želi riješiti zdtk do krj) A, B, C, D, E ). ( ) 5, ( ) 5 i ( 4) 5. 45

46 .8. GRANIČNA VRIJEDNOST (LIMES)FUNKCIJE NEPREKIDNOST FUNKCIJE U velikom broju situcij vžno je znti kojom se brzinom nek pojv mijenj u zvisnosti o promjeni veličine o kojoj ovisi. Isto tko, d bi se o nekoj pojvi moglo lkše donositi zključke, poželjno je grički predočiti zvisnost te pojve o nezvisnoj vrijbli (ncrtti gr promtrne unkcije). Ovdje ćemo rzviti mtemtički prt koji će nm u opisnim, li i u mnogim drugim situcijm biti od koristi. Riječ je o dierencijlnom rčunu. D bismo mogli prvilno shvtiti dierencijlni rčun, mormo uvesti pojm grnične vrijednosti (es unkcije). Zdn je unkcij ( ) 5. Rzmotrimo što se dogđ s vrijednostim te unkcije kd se s vrijednostim nezvisne vrijble približvmo broju polzeći od broj () Dkle, kd se približvmo po osi pscis broju s lijeve strne (tj. preko brojev koji su mnji od što pišemo ), ond unkcijske vrijednosti teže prem broju 4 preko brojev koji su mnji od 4. Znči kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 Anlogno vrijedi i ko se približvmo po osi pscis broju s desne strne (to jest preko brojev koji su veći od, što pišemo ), ko što je vidljivo iz slijedeće tblice () Znči kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 Gornje rzmtrnje možd još zornije možemo predočiti sljedećom tblicom ( 5 ) 4 ( 5 ) Prem tome, bez obzir težimo li (približvmo li se) broju s lijev ili s desn po osi pscis, odgovrjuće vrijednosti unkcije teže po osi ordint broju 4. To znči d ukoliko smo n osi pscis dovoljno blizu broju, uočvmo d su vrijednosti unkcije n osi ordint po volji blizu broju 4. To možemo zpisti : kd td ( 5 ) 4 ili simbolički (5 ) 4 U ovom slučju vrijedi : ( ) 4 i (5 ) 4 uočeno svojstvo vrijedi z svku točku područj deinicije.. Odbir točke je bio slučjn, uprvo 46

47 Prikžimo gornj rzmtrnj grički: 5-4 S slike je očito d u točki gr unkcije nem «lom» ni «rupe» i cijeli gr unkcije možemo ncrtti jednim potezom bez podiznj olovke s ppir. Z ovu unkciju z svko R vrijedi: Promotrimo sd unkciju z ( () ( ) ( ) 4 g ( ), D g (,) (, ). Iko unkcij nije deinirn g ) možemo se pitti kko se ponš g() kd je vrlo blizu broju, li nije jednk. Kd teži broju, brojnik 4 teži prem, li i nzivnik tkođer teži. Pitnje je što se dogđ s kvocijentom. Mogli bi konstruirti tblicu vrijednosti unkcije g () z (ko u prethodnom primjeru). Dobili bi. 4 g( ) 4 kd i z i kd Dkle, i 4 4 ( ) ( ) Umjesto tog možemo pojednostvniti unkciju g( ) z 4.Uočimo gr unkcije g ( ) jednk je gru unkcije h ( ) osim što gr unkcije g u točki (,4) im ' rupu'. Pogledjmo sliku. 47

48 4 - - < < g () 4 g () 4 U slučju ovog primjer možemo zključiti : unkcij g( ) nije deinirn u točki i 4 4 vrijedi 4, što znči d unkcij im grničnu vrijednost u točki. Ponovimo cijeli postupk n primjeru unkcije l ( ), D (,) (, ) l Očito je d z unkcij l() poprim sve veće vrijednosti l ( ). Simbolički Anlogno unkcij l() poprim sve veće vrijednosti l ( ). Simbolički Sd možemo uvesti pojm grnične vrijednosti unkcije. 48

49 Grničn vrijednost (es) unkcije kd Nek je unkcij deinirn n intervlu I R, osim možd u točki I. Od interes je ispitti ponšnje unkcije oko te točke (još kžemo u okolini točke ). Deinicij: Kžemo d je broj L R es (grničn vrijednost) unkcije : X R kd teži broju, ko je () po volji blizu broju L čim je dovoljno blizu, li ne jednk, broju. U tom slučju pišemo ( ) L Uočimo: Funkcij ne mor biti deinirn u točki u kojoj tržimo njenu grničnu vrijednost. Dovoljno je d je on deinirn u točkm koje su po volji blizu točki. ( ) (čitmo: es unkcije () s desn u ) je broj L kojem teži () kd teži broju preko vrijednosti većih od. ( ) (čitmo: es unkcije () s lijev u ) je broj L kojem teži () kd teži broju preko vrijednosti mnjih od. L Γ L () L Γ () L - Ako je ( ) ( ) L td postoji es unkcije () u. Vrijedi ( ) L. Γ Γ Γ () D D D 49

50 c c z svki R c c D z svki () c Ako postoji ( ) td je : k ( ) k ( ) Ako postoje ( ) i g( ) td je : Ako postoje ( ) Ako postoje ( ) > ( ( ) ± g( ) ) ( ) ± g( ) ( ( ) g( ) ) ( ) g( ), ( ) i g( ) i g( ) td je : td je: ( ) ( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] Gore nveden svojstv vrijede i z es s lijev i es s desn unkcije u točki. 5

51 Izrčunjte nvedene ese:.. ( ) {, } 5. e. cos e cos e cos e cos. [ ] [ ] ln ln ln [ ( ) ] [] ln Grničn vrijednost unkcije kd (Limes u beskončnosti) Ako je područje deinicije unkcije D neogrničeno s jedne ili s obje strne, ( tj. (, ) D, ( b, ) D ili D R ) znim ns d li postoji li grničn vrijednost (es) unkcije kd nezvisn vrijbl teži k ili. Ako () teži L kd postje po volji velik, td pišemo: L ( ) L. Γ 5

52 Vrijednost L je grničn vrijednost (es) unkcije ( grničn vrijednost u desnom krju) Slično, vrijednost L je grničn vrijednost unkcije kd krju) ( ) L. (grničn vrijednost u lijevom L Γ Npomen: Svojstv grnične vrijednosti z c c, c c Često koristimo sljedeće ese: sin vrijede i z grnične vrijednosti u beskončnosti. e ( ) e Mnoge grnične vrijednosti rčunmo pomoću gore nvedenih rezultt. 5

53 Beskončn grničn vrijednost Kžemo d unkcij teži prem Pišemo: kd, ko () postje po volji velik kd. ( ) Γ Anlogno ( ) Γ Grničn vrijednost može biti beskončn i u slučju desne i lijeve grnične vrijednosti. ( ) ( ) 5

54 ( ) ( ) Ako promtrmo grnične vrijednosti kd, mogu nstupiti slučjevi: ( ) Γ ( ) Γ 54

55 ( ) Γ ( ) Γ i Ilustrirjmo neke slučjeve: ( ) A A B 55

56 56 A ) ( A ) ( B ) ( B ) ( ) ( B Npomen: Ako prilikom trženj grnične vrijednosti unkcije zdne ormulom pri ormlnoj zmjeni nezvisne vrijble s brojem prem kojem teži dobijemo izrze oblik,,,,,, njih zovemo neodređenim oblicim. U tim slučjevim ne možemo ocijeniti je li t grničn vrijednost postoji ili ne. Uz metode koje su do sd zdne z rčunnje es unkcije postoje i metode s kojim ćemo se upoznti nkon uvođenj pojm derivcije.

57 Neprekidnost unkcije Funkcij je neprekidn u točki ko postoji ( ) i ko je ( ) ( ). D Z unkciju koj u točki nije neprekidn kžemo d je prekidn, točk zove se točk prekid. Funkcij je neprekidn n intervlu I D ko je neprekidn u svkoj točki tog intervl. Funkcij je neprekidn n intervlu ko gr unkcije nd tim intervlom možemo ncrtti ne dižući olovku s ppir. Funkcij je neprekidn ko je neprekidn u svkoj točki područj deinicije D. Opisno govoreći unkcij je neprekidn ko se njen gr n bilo kojem intervlu u njenom području deinicije može ncrtti bez podiznj olovke s ppir. Iz prethodne deinicije je očito d je pojm neprekidnosti određen pojmom es unkcije. Uočimo d je rčunnje es z neprekidnu unkcijeu veom jednostvno. Nime,ko je unkcij neprekidn u točki ond ( ) postoji i vrijedi ( ) ( ). Iz tog slijedi d se zdtk određivnj es neprekidne unkcije u točki svodi n rčunnje vrijednosti unkcije u toj točki. Iz deinicije slijedi d unkcij može biti neprekidn smo u točkm u kojim je deinirn. Obrt ne vrijedi tj. unkcij može biti deinirn u nekoj točki li d u toj točki nije neprekidn. ( ) < > () D R ( ) ( ) ( ) je točk prekid unkcije. To se lijepo može vidjeti s gr unkcije. 57

58 Funkcij je deinirn n segmentu [ b] iz intervl ( b),. Ako je, jsno d z tkve točke vrijedi prethodn deinicij neprekidnosti unkcije. Pitnje je što je s grničnim točkm tog segment. Z te točke neprekidnost ispitujemo jednostrno. Funkcij je neprekidn u točki ko je Funkcij je neprekidn u točki b ko je ( ) ( ). b ( ) ( b) Ako su i g neprekidne unkcije n istom intervlu I i obje su neprekidne u točki I, td su u točki neprekidne i unkcije g, g, g, ( uz uvjet g ( ) ). g Može se pokzti d su slijedeće elementrne unkcije neprekidne: konstnt, polinom, eksponencijln unkcij, logritmsk unkcij, sinus, kosinus i rkus unkcije. Funkcije ( ) e i g ) ( su neprekidne unkcije, p je neprekidn i unkcij h( ) e Kompozicij neprekidnih unkcij Ako je unkcij td je unkcij h : X Y neprekidn u točki i unkcij g : Y Z neprekidn u točki b () X Z h( ) g o ( neprekidn u točki. :, ( ) ) Z g(b) g( () ) neprekidn u h g o g neprekidn u b () b () X neprekidn u Y Z grničnu vrijednost kompozicije neprekidnih unkcij vrijedi: g( ( )) g ( ( ) ) sin sin 58

59 Svojstv neprekidnih unkcij Teorem: Funkcij neprekidn n segmentu [ b],, koj n krjevim tog segment poprim vrijednosti suprotnog predznk, im u br jednoj točki tog segment vrijednost nul. To možemo iskzti i ovko: ko je unkcij neprekidn n segmentu [, b] i ko je sgn ( ) sgn ( b) ( ili ( ) ( b) < ) td postoji brem jedn, b tkv d je ( c). c [ ] (b) > [ c b ] [ b c c c ] () < () < Vžno svojstvo neprekidnih unkcij kojeg ćemo koristiti kod jedne metode određivnj približnog rješenj nelinerne lgebrske jedndžbe. ( ) > i ( b) < i unkcij nije neprekidn nem nul-točke u[, b ] (b) > [ c b ] () < Funkcij je neprekidn i z svki segment [ b ], vrijedi ( ) > i ( b) >, unkcij im nultočku ( - ) 59

60 PROVJERA ZNANJA (grničn vrijednost, neprekidnost). Z unkciju vrijedi ( ) i ( ). Im li unkcij grničnu vrijednost u točki?. Ako postoji grničn vrijednost unkcije u točki D znči li d je unkcij neprekidn u točki? DA DA NE NE. < Je li unkcij ( ) neprekidn u točki? DA NE 4. < Je li unkcij ( ) neprekidn u točki? DA NE 5. cos DA NE 6. sin DA NE Postoji?,? DA NE DA NE 9. e?, e?, e? DA NE. ln?, ln? DA NE. e sin DA NE 6

61 ODGOVORI (grničn vrijednost, neprekidnost). NE. NE. NE 4. DA 5. NE 6. DA 7., 8. NE 9.,,.,. DA 6

62 RIJEŠENI ZADACI (grničn vrijednost, neprekidnost) - Zdtk: Ispitjte grnične vrijednosti unkcije ( ) n rubovim područj deinicije. R: Funkcij nije deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koju je tj. z. Možemo zključiti D (,) (, ) Zdtk: Izrčunj: ), b) ), b) : ( ) : 6

63 - Zdtk: Ispitjte grnične vrijednosti unkcije R: ) ( ) n rubovim područj deinicije. ( Funkcij nije deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koju je. ( ) i D (, ) (,) (, ) Zdtk: Izrčunjte ( ). Koristimo poznti es ( ) e. ( ) ( ) ( ) e : : 6

64 - Zdtk: Zdn je unkcij ( ). Izrčunjte ( ), ( ), te ispitjte ln ponšnje unkcije u okolini točke. ( ) ln Funkcij nije deinirn z vrijednost nezvisne vrijble z koju je ln. Kko je deinirn z >. Znmo d je to ln deinirno z > ( (, ) ) možemo zključiti unkcij ( ) je ln i. D (,) (, ) ili D (, ) \ { }. U dljnjem rčunu pomoći će nm gr unkcije ln. ln ln ln ' ln ln cos sin - Zdtk: Izrčunjte. sin Koristimo poznti es cos sin sin sin cos cos 64

65 - Zdtk: Ispitjte ponšnje unkcije i > ( ) n rubovim područj deinicije. < - > < - D (,) - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ). Izrčunjte ' ( ), ( ), ( ), ( ). ( ) Funkcij je deinirn z vrijednosti nezvisne vrijble z koje vrijedi i - 65

66 D (, ] (, ) ili R \ (,] D : : Anlogno Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije ( ) ln. Pokžite d nem d nul točk. Ispitjte ponšnje unkcije n rubovim područj deinicije. ( ) ln Funkcij ln je deinirn z pozitivne vrijednosti rgument, p mor vrijediti > i. - D (,) (, ) ln kontrdikcij Zključk: Zdn unkcij nem nul-točk. : ln ln ln : 66

67 67 Anlogno : : ln ln ln ln ln ln - Zdtk: Izrčunjte. ) ( ) ( ) )( ( - Zdtk: Postoji li 4? 4 4 ( ) 4 ) ( 4 8 Očito d ne postoji ov grničn vrijednost. - Zdtk: 6 6 e - Zdtk: Odredite R tko d je unkcij > ) ( z z neprekidn. Funkcij je neprekidn ko je neprekidn z svki D. Z < i z > unkcij je polinom p je neprekidn. Dkle treb postviti uvjet neprekidnosti unkcije u točki. ) ( () ) ( ) ( ( ) 6 ( ) 4 ) ( 4 6

68 - Zdtk: Odredite područje deinicije unkcije z ( ). z > Ispitjte ponšnje unkcije n rubovim područj deinicije. Pokžite d je unkcij neprekidn u točki. Z unkcij poprim vrijednosti zdne ormulom. Kko je tj izrz deinirn z svko možemo zključiti d je unkcij deinirn n intervlu (, ]. Z > unkcij poprim vrijednosti zdne ormulom. Tj izrz nije deinirn z vrijednosti i. Kko promtrmo smo pozitivne vrijednosti rgument možemo zključiti d je unkcij deinirn z (,) (, ). Funkcij je deinirn z, (,) (, ). Nkon sređivnj končno dobijemo ( ] D (, ) (, ) Vrijedi ( ), i. Možemo zključiti () tj. unkcij je neprekidn u točki. 68

69 ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD (grnične vrijednosti, neprekidnost). N slici je zdn gr unkcije. Odredite područje deinicije unkcije i dole nvedene grnične vrijednosti (ukoliko ih im smisl rčunti) Odredite (ko postoje): ) * ( ), ) ( ), ) ( ), 4) ( ) *, 5) ( ) 6) * ( ), 7) ( ), 8) ( ), 9) ( ) *, ) ( ). 4. Ako postoje izrčunjte sljedeće grnične vrijednosti: ) ) ( ), ), 4) *, 5. Izrčunjte nvedene ese: ) 5, ) ( ), ) ( 5), 5 4) ( 5), 5), 6) 4 e, e, 7), 8), 9), ) 4. Izrčunjte nvedene ese: ), ), ) ln ( ) 4), 5), 6) 7) 69

70 5. N slici je zdn gr unkcije: - Odredite područje deinicije, nul-točke i intervle monotonosti. Je li unkcij neprekidn u točki? 6. Ispitjte neprekidnost unkcije () u točki, 7. Je li moguće odrediti R tko d je unkcij u točki? sin < ( ). e < ( ) neprekidn 8. Je li unkcij ln < e ( ) neprekidn u točki e? e e 7

71 RJEŠENJA (grničn vrijednost, neprekidnost). područje deinicije je D (, ] ) * ( ), ) ( ) nem smisl, ) ( ), 4) ( ) *, 5) ( ), 6) * ( ) 5, 7) ( ), 8) ( ) nem grničnu vrijednost, 9) * ( ) nem smisl, ) ( ) 4.. ) ne postoji, ) postoji i, ), 4) *. ), ), ), 4) 5, 5), 6), 7), 8), 9), ), ) 4 4..),.),.), 4.), 5.) 6.), 7.) 5. [, ) D, nul-točk, ( ) ( ) () 6. Funkcij je neprekidn u točki 7. D,. 8. Ne. 7

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta Pipem z ispit znnj tigonometij pvokutnog tokut 1. Zoj duljin ktet pvokutnog tokut jednk je 12 m, jedn kut tokut iznosi 58⁰. Kolik je duljin hipotenuze ovog tokut? + = 12 = 58⁰ =? S oziom d se u zdnim podim

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

UPUTE ZA IZRADU ZAVRŠNOG RADA 1. STRUKTURA ZAVRŠNOG RADA

UPUTE ZA IZRADU ZAVRŠNOG RADA 1. STRUKTURA ZAVRŠNOG RADA Zvršni rd treb sdržvti: UPUTE ZA IZRADU ZAVRŠNOG RADA 1. STRUKTURA ZAVRŠNOG RADA 1.1. Obrzc z prijvu teme i imenovnje mentor zvršnog rd (kopij obrsc se stvlj ispred Sdržj rd). 1.2. Sdržj zvršnog rd s nslovim

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA David Brčić ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA Riješeni zadaci DAVID BRČIĆ LOKSODROMSKA PLOVIDBA I. Loksodromski zadatak (kurs i udaljenost): tgk= II. Loksodromski zadatak (relativne koordinate):

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Lekcije iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama I. Naslov i obja²njenje

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINANTE I MATRICE

DETERMINANTE I MATRICE Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje 1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI

1. ELEMENTI LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA IZJAVE, VEZNICI, KVANTIFIKATORI Geodetsi fultet, dr. sc. J. eb-rić Predvj iz Mtemtie. ELEMETI LOGIKE I TEORIJE KUPOV IZJVE, VEZICI, KVTIFIKTORI eolio riječi o mtemtičoj logici. Upotrebljvt ćemo pojmove mtemtiče logie li se ećemo jom

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter USB Charger Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter Compact charger for devices chargeable via USB For example ipod, iphone, MP3 player, etc. Output voltage: 5V; up to 1.2A; short-circuit

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

NASTAVNI PROGRAM HEMIJA

NASTAVNI PROGRAM HEMIJA SADRŽAJ NASTAVNI PROGRAM... emij... Mtemtik... ZADACI IZ EMIJE... ZADACI IZ MATEMATIKE...9 Sređivnje lgerskih izrz...9 Kvdrtn jednčin...0 Sistemi jednčin...0 Jednčine... Binomn formul... Kvdrtn funkcij...

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα