Vectori liberi-seminar 1
|
|
- Παρθενιά Δελή
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j 6 k, b = ī + j + 5 k, c = 8 ī j 4 k, unde ī, j, k sunt trei vectori liberi necoplanari. ) Fie vectorii necoliniari ā si b. Se considera vectorii ū = αā+β b si v = α ā+β b. (α,β,α,β R, α + β > 0) Sa se arate ca ū si v sunt coliniari daca si numai daca αβ α β = 0. 4) Fie {ū, v} o baza intr-un plan vectorial. a) Sa se arate ca vectorii ā = ū + v si b = ū + v sunt necoliniari (deci formeaza o baza in planul vectorial). b) Sa se descompuna vectorul w = 5ū v in baza {ā, b}. 5) Daca ABCD este un paralelogram si M CD, calculati urmatoarele sume: a) AB + AD; b) AB + CD; c) MA + DM; d) DA + BM; e) CM + AB + AD; f) MA + AD + AB + CM. 6) Daca ABCD este un paralelogram de centru O, sa se determine diferenta vectorilor: a) AB AO; b) DO CB; c) CO OB; d) ( DA) AB; e) ( AC AD) DO; f) ( AD AO) OB; g) (AD ( AO OB); 7) Fie ABCD este un paralelogram de centru O. Sa se determine x R astfel incat: a) AB = xcd; b) AC = x OA; c) OC = xca; d) DB = x OB. 8) Fie ABCDEF un hexagon regulat. Daca AB = ū si BC = v, calculati CD in functie de ū si v. 9) In trapezul isoscel ABCD se da vectorul AB = ā determinat de baza mare, vectorul AD = b determinat de latura neparalela si m( DAB) = π. Sa se descompuna dupa ā si b toti vectorii determinati de laturile si diagonalele trapezului.
2 0) Notam prin r M vectorul de pozitie al unui punct arbitrar M in raport cu un reper oarecare in E. Date punctele A, B, P, cu r P = m r A + n r B, atunci punctele A, B, P sunt coliniare daca valoarea sumei m + n este: a) -; b) ; c) ; d) -. ) Fie un reper in spatiu si punctele A( r A ), B( r B ), C( r C ), D( r D ). Daca r A + k r C = r B +k r D, k R, atunci patrulaterul ABCD este: a) trapez; b) trapez sau paralelogram; c) dreptunghi; d) paralelogram. ) Fie triunghiul ABC cu AB = 5, BC = 6, AC =. Fie punctele M, N, P definite prin MB + MC = 0, NC 4 NA = 0, PA + PB = 0. ) Demonstrati ca BM = BC, CN = 4 CA, AP = AB. 5 Construiti figura corespunzatoare. ) Determinati coordonatele vectorilor PN si PM in raport cu baza ( AB, AC),motivand mai intai de ce ( AB, AC) reprezinta o baza in planul vectorial considerat. ) Demonstrati ca M, N, P sunt puncte coliniare. ) Dati doi vectori ā si b, sa se spuna in ce conditii au loc egalitatile: a) ā + b = ā b ; b) ā + b = ā + b ; c) ā + b = ā b ; d) ā b = ā + b. 4) Daca ABCDEF este un hexagon regulat cu centrul in O, aratati ca AB + AC+ AD + AE + AF = 6 AO. 5) Fie punctele A si B si functia f care asociaza fiecarui punct M din spatiu vectorul f (M) = MA + 5 MB. a) Demonstrati ca exista un singur punct G astfel incat f (G) = 0. Construiti acest punct G. b) Exprimati vectorul f (M) in functie de MG. Sa se deduca de aici ca pentru orice vector ū, exista un singur punct M astfel incat f (M) = ū. Indicatii: a) f (G) = 0 BG = 5AB. Punctul B este dat, la fel si vectorul 5 AB, deci exista un singur punct G astfel incat f (G) = 0. b) Se obtine ca f (M) = f (M) f (G) = MG. Atunci f (M) = ū GM = ū si de aici se determina in mod unic punctul M. 6) Fie vectorii ā, b, c nenuli, necoliniari doi cate doi. Atunci exista un triunghi astfel incat vectorii asociati laturilor lor sunt intocmai ā, b, c daca si numai daca (ā + b + c = 0) (ā + b = c) ( b + c = ā) ( c + ā = b).
3 7) Daca ABCD este un trapez cu AB CD, AB > CD si E, F sunt mijloacele laturilor AB si BC. Atunci: a) EF AB si EF = (AB +CD); b) daca AC EF = {M} si BD EF = {N}, avem AM = MC, EM = DC, DN = NB, EN = AB si MN = (AB DC). 8) Fie E si F mijloacele laturilor AD si BC ale patrulaterului ABCD. Sa se arate ca : a) AB + DC = EF; b) EF (AB +CD); c) AB CD EF = AB +CD; d) daca AB CD, atunci mijloacele segmentelor DC, EF si AB sunt coliniare. Indicatii: b) se obtine din a) considerand lungimile vectorilor: EF = AB+ CD ( AB + CD ). c) Inegalitatea precedenta devine egalitate daca si numai daca vectorii EF, AB si CD sunt coliniari AB CD. d) AB CD AB = λcd. Vectorii MN si NP se exprima cu ajutorul altor vectori di figura si se obtine MN = λdc 4 + CF = NP. 9) Se dau punctele A, B, C, D in spatiu. Fie I mijlocul lui AC si J mijlocul lui BD. a) Demonstrati ca IJ = AB + CD = AD + CB. b) Ce devine patrulaterul ABCD daca punctele I si J coincid? 0) Sa se gaseasca interpretari geometrice pentru urmatoarele identitati: a) (ū + v) + (ū v) = ū; b) (ū v) + v = (ū + v); c) (ū + v) ( v + ū) = (ū v). Indicatii: Se considera un paralelogram ABCD cu centrul O astfel incat AB = ū, AD = v. a) (ū+ v)+(ū v) = ū AC+ DB = AB. Deci suma vectorilor reprezentati de diagonalele paralelogramului este egala cu dublul vectorului reprezentat de latura AB a paralelogramului. Etc. ) Fie triunghiul ABC. a) Demonstrati concurenta medianelor triunghiului ABC. Punctul lor de concurenta se noteaza cu G si se numeste centrul de greutate al triunghiului. Verificati ca OG = ( OA + OB + OC), O (ABC). b) Aratati ca exista un triunghi astfel incat vectorii asociati laturilor lor sunt egali cu vectorii determinati de medianele triunghiului ABC. Construiti efectiv un astfel de triunghi. Indicatii: Se scriu ecuatiile vectoriale ale medianelor triunghiului si se obtine ca exista un punct de intersectie a doua din cele trei mediane, G, si acesta are vectorul de pozitie (in raport cu un reper arbitrar) r G = ( r A + r B + r C ). Considerand apoi mediana ramasa, se obtine ca ea intersecteaza una din primele mediane intr-un punct care are acelasi vector de pozitie ca si G, deci punctele coincid. b) se aplica problema 6). ) Pe segmentele necoplanare OA, OB, OC se construieste paralelipipedul avandu-
4 le pe acestea ca muchii din varful O. Sa se arate ca diagonala OD a paralelipipedului intersecteaza planul (ABC) in centrul de greutate al triunghiului ABC. Indicatii: Fie {M} = OD (ABC). Avem OM = λod, OD = OA + OB + OC. Deoarece punctele A,B,C,M sunt coplanare avem AM = α AB + β AC. Rezulta OM OA = α( OB OA)+β( OC OA). Inlocuim OM in functie de OA, OB, OC si se obtine o combinatie liniara a acestor vectori. Deoarece ei sunt liniar independenti rezulta ca λ = β = α =, deci OD = ( OA + OB + OC) D = G. ) Fie (AA, (BB si (CC bisectoarele interioare ale unghiurilor triunghiului ABC, cu A (BC), B (AC), C (AB). Notam lungimile laturilor triunghiului in mod uzual cu a, b, c. a) Exprimati vectorii AA, BB, CC in functie de a, b, c si AB, BC, CA. b) In ce caz vectorii AA, BB, CC inchid un triunghi? c) Cercetati punctele a) si b) pentru bisectoarele exterioare. Indicatii: Vom demonstra mai intai teorema bisectoarei interioare. Fie (AA bisectoarea interioara a unghiului A a triunghiului ABC, A (BC). Notam AB = c, AC = b, BC = ā. Un vector coliniar si de acelasi sens cu AA este c c + b, b deci AA = λ( c c + b). b Observam ca BA = k BC = kā. Rezulta A C = ( k)ā. Din AB + BA = AA, inlocuind vectorii prin relatiile anterioare si folosind faptul ca b, c sunt liniar independenti, deducem ca k = λ b si k = λ c λ = b+c bc. Atunci obtinem usor ca AA = b+c b ( c + b) = b+cā. b De asemenea avem imediat ca A B = b c A C. Analog pentru BB, CC. Daca triunghiul ABC are AB AC, atunci bisectoarea exterioara a unghiului A intersecteaza dreapta AB in N, si se procedeaza analog. Se obtine BN = si CN = b c bā. c c bā Folosind problema 6) se obtine ca vectorii AA, BB, CC inchid un triunghi daca si numai daca triunghiul ABC este echilateral. 4) Demonstrati pe cale vectoriala teorema bisectoarei interioare si folosind acest rezultat aratati ca bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente. Exprimati vectorul de pozitie al centrului cercului inscris in triunghi in functie de vectorii de pozitie ale varfurilor triunghiului si lungimile laturilor triunghiului. Ce puteti spune despre bisectoarele exterioare? Indicatii: Din problema precedenta putem exprima vectorul de pozitie al piciorului unei bisectoare prin r A = b+c b r B + b+c c r C si prin permutari circulare pentru B si C. Scriind ecuatiile vectoriale ale dreptelor AA, BB, CC se obtine ca si in cazul medianelor ca bisectoarele interioare sunt concurente intr-un punct I avand vectorul de pozitie r I = a r A+b r B +c r C a+b+c. Apoi se demonstraza prin aceeasi metoda ca bisectoarele exterioare a doua unghiuri si bisectoarea interioara a celui de al treilea unghi ale unui triunghi ABC sunt 4
5 concurente intr-un punct, numit centrul cercului exinscris triunghiului dat. Obtinem puncte I A, I B, I C, cu r IA = a r A+b r B +c r C (p a), unde p este semiperimtrul triunghiului ABC. Verificati ca punctele I B, A, I C sunt coliniare. (La fel pentru celelalte triplete de puncte). 5) Fie triunghiul ABC si punctele M, N, P care impart segmentele orientate BC, CA si AB in rapoartele k, k si respectiv k. Atunci AM, BN, CP pot inchide un triunghi daca si numai daca k = k = k. Indicatii: folosim problema 6). 6) Numim mediana a unui tetraedru drepta (segmentul) care uneste un varf cu centrul de greutate al fetei opuse. Bimedianele unui tetraedru sunt dreptele (segmentele) ce unesc mijloacele a doua muchii opuse ale tetraedrului. Sa se demonstreze ca medianele si bimedianele unui tetraedru sunt concurente intr-un acelasi punct G, numit centrul de greutate al tetraedrului. Determinati raportul in care G imparte segmentul orientat atasat unei mediane a tetraedrului. Indicatii: analog cu medianele unui triunghi. Se obtine ca r G = 4 ( r A + r B + r C + r D ) si ca G se afla pe fiecare mediana la o patrime de baza si trei patrimi de varf. Apoi se verifica faptul ca G este mijlocul fiecarei bimediane. 7) Fie O, G, H respectiv centrul cercului circumscris, centrul de greutate si ortocentrul triunghiului ABC. Sa se arate ca: a) OA + OB + OC = OH; b) HA + HB + HC = HG. Indicatii: Se stie ca punctele O, G, H sunt coliniare, ele formand drepta lui Euler si OG = OH. b) Exprimam HA = OA OH, etc, apoi folosim ca HO = HG. 8) Intr-un cerc de centru O coardele AB si CD se intersecteaza ortogonal in P. Demonstrati ca PA + PB + PC + PD = PO. 9) In E se considera tetraedrul ABCD si bazele B = ( AB, AC, AD), B = ( GB, AC, AD) in V, unde G este centrul de greutate al tetraedrului. a) Motivati ca B si B sunt baze. b) Determinati matricea de trecere de la B la B. c) Scrieti ecuatiile planului vectorial P in raport cu cele doua baze, unde P = (DBC). d) Determinati coordonatele vectorului AC in cele doua baze. 0) Pentru fiecare vector ū se defineste aplicatia tū : E E, tū(a) = A AA = ū. Ea se numeste translatia de vector ū. a) Aratati ca aceasta aplicatie este bine definita si este o bijectie. 5
6 b) Verificati ca are loc relatia tū(a)tū(b) = AB, A,B. c) Multimea T a translatiilor formeaza un grup relativ la compunerea aplicatiilor. ) Se da triunghiul ABC. Sa se determine multimea punctelor M din planul (ABC) pentru care vectorul MA + MB + MC are aceeasi directie si acelasi sens cu vectorul AB. Indicatii: Fie D mijlocul lui (AB) si E mijlocul lui (CD). Se obtine ca MA + MB + MC = 4 ME. Vectorul ME are aceeasi directie si sens cu AB daca si numai daca M apartine semidreptei cu originea in E, paralela cu AB si situata in semiplanul determinat de CD caruia ii apartine punctul A. ) Demonstrati pe cale vectoriala teorema lui Menelaos si reciproca acesteia. Cu ajutorul ei demonstrati teorema lui Ceva. Indicatii: Teorema lui Menelaos: Fie un triunghi ABC si o drepta d care nu trece prin nici un varf si care taie dreptele AB, BC, CA respectiv in punctele M, N, P. Fie MA = λ MB, NB = µ NC, PC = ν PA. Atunci λµν =. Punctele M, N, P fiind coliniare, avem MN = αmp deci AM = λ( AB AM), AB AN = µ( AC AN), AC AP = ν AP, AN AM = α( AP AM). Rezulta AM = λ λab, AN = µ ( AB µ AC), AP = ν AC si ( α) AM AN +α AP = 0. Inlocuind in aceasta relatie toti termenii in functie de AB si ACsi folosind liniara independenta a acestor vectori, rezulta λ( α) λ + µ = 0, µ µ + ν α = 0. Eliminand pe α obtinem λµν =. Reciproc, presupunem ca avem punctele M, N, P pe laturile (sau prelungirile lor) unui triunghi ABC astfel incat MA = λ MB, NB = µ NC, PC = ν PA si λµν =. Vom demonstra ca punctele M, N, P sunt coliniare. Fie MN AC = {P }. Aplicand teorema directa pentru P C = ν P A, obtinem ca λµν =. Deci ν = ν si astfel rezulta ca P=P. ) Aratati ca un patrulater convex este trapez daca si numai daca punctul de intersectie al diagonalelor este punct interior unuia dintre segmentele ce uneste mijloacele a doua laturi opuse. Este paralelogram daca si numai daca punctul de intersectie al diagonalelor este punct interior fiecaruia dintre segmentele ce uneste mijloacele laturilor opuse. Indicatii: Fie AB CD in ABCD si O punctul de intersectie al diagonalelor (interior diagonalelor), M mijlocul lui (AB) si N mijlocul lui (CD). Avem OM = ( OA + OB), ON = ( OC + OD), AB = αcd. De asemenea OC = a OA si OD = b OB. Folosind liniara independenta a vectorilor OA, OB se obtine a = b = α, deci ON = α ( OA + OB) = α OM, deci punctele O, M, N sunt coliniare. In plus α < 0 M O N. Reciproc, fie ON = λ OM, λ < 0. Rezulta ( OC + OD) = λ ( OA + OB) a OA + b OB = λ OA + λ OB a = b = λ DC = λ AB, deci DC AB. ABCD este un patrulater convex deoarece AB si DC au acelasi sens, deci B si C nu sunt separate de AD. 6
7 4) Fie triunghiul ABC, vectorii x, ȳ, z si punctele M, N, P astfel incat AM = λ x, BN = λȳ si CP = λ z, λ R +. Se cere locul geometric al centrului de greutate Q al triunghiului (eventual degenerat) MNP cand λ variaza. Indicatii: Notam cu G centrul de greutate al triunghiului ABC si fie O un punct arbitrar (nu neaparat in planul (ABC)). Se obtine ca OQ = OG+ λ ( x+ȳ+ z) GQ = λ ( x + ȳ + z). Daca x + ȳ + z = 0 rezulta Q=G, deci locul geometric cautat este format doar din {G}. Daca x + ȳ + z 0 atunci, deoarece G este punct fix si vectorul λ ( x + ȳ + z) este dat, rezulta ca locul geometric este semidreapta cu originea in G, paralela cu directia vectorului x + ȳ + z si avand acelasi sens cu acesta: {M/ GM = a( x + ȳ + z), a > 0}. 5) Fie ABC un triunghi echilateral de centru O, iar P un punct in interiorul triunghiului. Se noteaza cu P, P, P proiectiile lui P pe laturi si cu A, B, C mijloacele laturilor. Sa se arate ca P A + P B + P C = PO. Indicatii: Se verifica imediat ca OA + OB + OC = 0. O alta relatie utila in demonstrarea problemei este PP + PP + PP = PO. Ducem prin P paralele la laturile triunghiului, si acestea taie pe AB in S si R, pe AC in N si T iar pe BC in M si Q, astfel incat ST BC, RQ AC, NM AB. Triunghiul PMQ astfel obtinut este echilateral, deci PP este mediana, rezulta PP = PM + PQ. Analog PP = PT + PN si PP = PS + PR. Astfel se obtine ( P A + P B + P C ) = PA + PB + PC = ( OA + OB + OC) OP = PO. Am demonstrat deci ca PP + PP + PP = PO. Scriind PO = PP + P A + A O si celelalte doua relatii analoage obtinem PO = ( PP + PP + PP )+( P A + P B + P C ) ( OA + OB + OC ) P A + P B + P C = PO. 7
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότερα3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραAsemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.
TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
Διαβάστε περισσότεραConcursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber
Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραTestul nr. 1. Testul nr. 2
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică
Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότεραb = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραLUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I Conducător ştiinţific : Conf. dr. Dorel Miheţ
Διαβάστε περισσότερα3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραBREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a
GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă
Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραBISECTOAREI GLISANTE
ÎN LEGĂTURĂ CU TEOREMA BISECTOAREI GLISANTE de ANDREI ECKSTEIN, TIMIŞOARA În aceast articol ne propunem să reunim diverse proprietăţi cunoscute, legate de teorema bisectoarei glisante şi de bogatul ei
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότερα29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.
I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VI-a
Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns
Διαβάστε περισσότεραConice şi cercuri tangente
Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότερα