Aplicatii ale marimilor medii in practica
|
|
|
- Έρασμος Βάμβας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Aplicatii ale marimilor medii i practica October 5, 2012 Aplicatii ale marimilor medii i practica
2 Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei Se cere suma de bai medie care revie ecarui elev Cosideram o serie de marimi idividuale x 1,, x care caracterizeaza evolutia uui feome ecoomic, tehic sau de orice alta atura Cu ajutorul acestor marimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu: media aritmetica simpla: m a = x 1 + x x Exemplu: i cici ai cosecutivi o rma a vadut respectiv 1500, 1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare Se cere umarul mediu aual de calculatoare vadute media aritmetica poderata se foloseste i cazul i care i seria de marimi date uele ditre ele se repeta de mai multe ori (poderea m i arata ca marimea x i se repeta de m i ori): m ap = m 1x 1 + m 2 x m x, m i > 0, i 1, m m
3 Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei Se cere suma de bai medie care revie ecarui elev Cosideram o serie de marimi idividuale x 1,, x care caracterizeaza evolutia uui feome ecoomic, tehic sau de orice alta atura Cu ajutorul acestor marimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu: media aritmetica simpla: m a = x 1 + x x Exemplu: i cici ai cosecutivi o rma a vadut respectiv 1500, 1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare Se cere umarul mediu aual de calculatoare vadute media aritmetica poderata se foloseste i cazul i care i seria de marimi date uele ditre ele se repeta de mai multe ori (poderea m i arata ca marimea x i se repeta de m i ori): m ap = m 1x 1 + m 2 x m x, m i > 0, i 1, m m
4 Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei Se cere suma de bai medie care revie ecarui elev Cosideram o serie de marimi idividuale x 1,, x care caracterizeaza evolutia uui feome ecoomic, tehic sau de orice alta atura Cu ajutorul acestor marimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu: media aritmetica simpla: m a = x 1 + x x Exemplu: i cici ai cosecutivi o rma a vadut respectiv 1500, 1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare Se cere umarul mediu aual de calculatoare vadute media aritmetica poderata se foloseste i cazul i care i seria de marimi date uele ditre ele se repeta de mai multe ori (poderea m i arata ca marimea x i se repeta de m i ori): m ap = m 1x 1 + m 2 x m x, m i > 0, i 1, m m
5 Poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: Exemplu: Pretul de cost al uui produs similar la trei fabrici diferite a fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata (El difera de la o itrepridere la alta deoarece depide de modul de orgaizare al productiei, de gradul de mecaizare al productiei, de radametul masiilor folosite, de gradul de calicare al mucitorilor, etc) Totalul cheltuielilor efectuate petru realizarea acelei productii la ecare di cele trei fabrici a fost acelasi Care este pretul de cost mediu al acelui produs la cele trei fabrici? m ap = x P m 1 1 i=1 m i Numerele p k = x 2 m 2 P i=1 m i x m P i=1 m i 100 P mm i 100 se umesc poderi procetuale si ele sut i =1 m i geeral umere de doua, trei cifre media armoica simpla m h = 1 x x x 100
6 Poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: Exemplu: Pretul de cost al uui produs similar la trei fabrici diferite a fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata (El difera de la o itrepridere la alta deoarece depide de modul de orgaizare al productiei, de gradul de mecaizare al productiei, de radametul masiilor folosite, de gradul de calicare al mucitorilor, etc) Totalul cheltuielilor efectuate petru realizarea acelei productii la ecare di cele trei fabrici a fost acelasi Care este pretul de cost mediu al acelui produs la cele trei fabrici? m ap = x P m 1 1 i=1 m i Numerele p k = x 2 m 2 P i=1 m i x m P i=1 m i 100 P mm i 100 se umesc poderi procetuale si ele sut i =1 m i geeral umere de doua, trei cifre media armoica simpla m h = 1 x x x 100
7 Poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: Exemplu: Pretul de cost al uui produs similar la trei fabrici diferite a fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata (El difera de la o itrepridere la alta deoarece depide de modul de orgaizare al productiei, de gradul de mecaizare al productiei, de radametul masiilor folosite, de gradul de calicare al mucitorilor, etc) Totalul cheltuielilor efectuate petru realizarea acelei productii la ecare di cele trei fabrici a fost acelasi Care este pretul de cost mediu al acelui produs la cele trei fabrici? m ap = x P m 1 1 i=1 m i Numerele p k = x 2 m 2 P i=1 m i x m P i=1 m i 100 P mm i 100 se umesc poderi procetuale si ele sut i =1 m i geeral umere de doua, trei cifre media armoica simpla m h = 1 x x x 100
8 Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel: pe 60% di suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de pla, pe 30,5% di suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restul suprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub pla Care este procetul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la acea ferma agricola? media armoica poderata (poderile m i > 0,i 1, ) m hp = m 1 + m m + m m 1 x 1 + m 2 x 2 x Exemplu: Retributia medie luara a uei categorii de agajati ai uei rme pe cele trei trimestre ale uui a a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe lua Fodul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de , , respectiv lei pe trimestru Care a fost salariul mediu luar al uui agajat de la acea rma i cursul acelui a? poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: p k = P 100m k : i=1 m i m hp = p 1 x 1 + p 2 x p x
9 Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel: pe 60% di suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de pla, pe 30,5% di suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restul suprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub pla Care este procetul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la acea ferma agricola? media armoica poderata (poderile m i > 0,i 1, ) m hp = m 1 + m m + m m 1 x 1 + m 2 x 2 x Exemplu: Retributia medie luara a uei categorii de agajati ai uei rme pe cele trei trimestre ale uui a a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe lua Fodul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de , , respectiv lei pe trimestru Care a fost salariul mediu luar al uui agajat de la acea rma i cursul acelui a? poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: p k = P 100m k : i=1 m i m hp = p 1 x 1 + p 2 x p x
10 Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel: pe 60% di suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de pla, pe 30,5% di suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restul suprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub pla Care este procetul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la acea ferma agricola? media armoica poderata (poderile m i > 0,i 1, ) m hp = m 1 + m m + m m 1 x 1 + m 2 x 2 x Exemplu: Retributia medie luara a uei categorii de agajati ai uei rme pe cele trei trimestre ale uui a a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe lua Fodul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de , , respectiv lei pe trimestru Care a fost salariul mediu luar al uui agajat de la acea rma i cursul acelui a? poderarea se poate face si cu raportul procetual al ecarei poderi fata de suma lor: p k = P 100m k : i=1 m i m hp = p 1 x 1 + p 2 x p x
11 media geometrica simpla se calculeaza atuci cad se dau o serie de marimi pozitive a i, i 0, ecare di ele reprezetad i geeral o majorare sau o reducere fata de marimea precedeta (i uele cazuri uele ditre aceste marimi pot egale itre ele) Notam cu x i = a i a i 1, i 1, raportul ditre o marime si cea precedeta Obtiem x 1 x 2 x = a a 0 Presupuem ca variatia acestor marimi este uiforma si egala cu x (marime umita coecietul mediu de variatie) Atuci x = a a 0 Notam cu m g = x = x 1 x 2 x Deci coecietul mediu de variatie a marimilor a 0,, a este egal cu media geometrica a coecietilor de variatie a ecarei marimi fata de cea precedeta Petru calculul efectiv al mediei geometrice se folosesc logaritmii: l m g = (l x 1 + l x ) :
12 Exemplu: Productia de imprimate pe o perioada de cici ai este data i tabelul de mai jos Aul I II III IV V Nr bucati Coecietul de variatie 1 1,5 1,25 1,20 1,30 Care este procetul mediu de crestere a umarului de imprimate i acest iterval de timp? media geometrica poderata (poderile r i > 0, i 1,, r = r r ) m gp = r x r 1 1 x r 2 2 x r
13 Exemplu: Productia de imprimate pe o perioada de cici ai este data i tabelul de mai jos Aul I II III IV V Nr bucati Coecietul de variatie 1 1,5 1,25 1,20 1,30 Care este procetul mediu de crestere a umarului de imprimate i acest iterval de timp? media geometrica poderata (poderile r i > 0, i 1,, r = r r ) m gp = r x r 1 1 x r 2 2 x r
14 media simpla de ordiul r N : m r = r x r 1 + x r media poderata de ordiul r: m 1 x1 r + m x r m rp= r m 1 + m Petru r = 2 obtiem media patratica (simpla, respectiv poderata): m p = x x 2, m pp = m 1 x m x 2 m 1 + m
15 Media patratica este utilizata i statistica O colectivitate statistica reprezita o multime de obiecte, ite, feomee, etc care poseda uele caracteristici comue Fie x 1,, x elemetele uei colectivitati statistice si x media lor aritmetica Atuci diferetele x 1 x,, x x ditre ecare elemet si media lor aritmetica se umesc abateri de la media lor aritmetica Deoarece media aritmetica a acestor abateri este ula, petru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica a patratelor abaterilor, umita dispersie: D( x) = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x x) 2 Abaterea medie patratica este egala cu radacia patrata a dispersiei (x1 x) σ = 2 + (x 2 x) (x x) 2 Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elemetelor x i di colectivitatea statistica pe care o studiem (Daca abaterile x i x sut mici, iseama ca marimile x i difera puti de la media lor aritmetica I acest caz si dispersia cat si abaterea medie patratica vor mici Daca abaterile x i x sut mari, atuci si D si σ vor mari)
16 Media patratica este utilizata i statistica O colectivitate statistica reprezita o multime de obiecte, ite, feomee, etc care poseda uele caracteristici comue Fie x 1,, x elemetele uei colectivitati statistice si x media lor aritmetica Atuci diferetele x 1 x,, x x ditre ecare elemet si media lor aritmetica se umesc abateri de la media lor aritmetica Deoarece media aritmetica a acestor abateri este ula, petru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica a patratelor abaterilor, umita dispersie: D( x) = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x x) 2 Abaterea medie patratica este egala cu radacia patrata a dispersiei (x1 x) σ = 2 + (x 2 x) (x x) 2 Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elemetelor x i di colectivitatea statistica pe care o studiem (Daca abaterile x i x sut mici, iseama ca marimile x i difera puti de la media lor aritmetica I acest caz si dispersia cat si abaterea medie patratica vor mici Daca abaterile x i x sut mari, atuci si D si σ vor mari)
17 Media patratica este utilizata i statistica O colectivitate statistica reprezita o multime de obiecte, ite, feomee, etc care poseda uele caracteristici comue Fie x 1,, x elemetele uei colectivitati statistice si x media lor aritmetica Atuci diferetele x 1 x,, x x ditre ecare elemet si media lor aritmetica se umesc abateri de la media lor aritmetica Deoarece media aritmetica a acestor abateri este ula, petru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica a patratelor abaterilor, umita dispersie: D( x) = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x x) 2 Abaterea medie patratica este egala cu radacia patrata a dispersiei (x1 x) σ = 2 + (x 2 x) (x x) 2 Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elemetelor x i di colectivitatea statistica pe care o studiem (Daca abaterile x i x sut mici, iseama ca marimile x i difera puti de la media lor aritmetica I acest caz si dispersia cat si abaterea medie patratica vor mici Daca abaterile x i x sut mari, atuci si D si σ vor mari)
18 Criteriu petru aplicarea i practica a marimilor medii Cum e dam seama ce tip de medie vom folosi itr-o aumita problema? Teoria Chissii-Boiarschi : o colectivitate statistica poate avea diferite proprietati, o parte ditre ele putad exprimate umeric; o proprietate se umeste determiata petru o colectivitate statistica daca ea ramae eschimbata cad variabila x ia toate valorile posibile x 1,, x ; proprietatea determiata se exprima ca o fuctie de variabilele x i ; F (x 1,, x ); se umeste valoare medie a variabilei x, dupa proprietatea determiata, acea valoare x care, pri substitutia x i = x, i 1,, u modica proprietatea determiata: F ( x,, x) = F (x 1,, x ) Exemplicam i cotiuare aplicarea aceastei teorii
19 Problema 1 Titlul uui aliaj reprezita catitatea de aur pur cotiut itr-u gram de aliaj Se topesc impreua aliaje de aur A 1, A 2,, A care au respectiv titlurile t 1, t 2,, t si masele m 1, m 2,, m Se cere titlul oului aliaj Solutie Proprietatea determiata a tuturor aliajelor este catitatea de aur pur cotiuta i itregul aliaj Catitatea de aur G i cotiuta i aliajul A i este G i = m i t i, i 1, Deci catitatea de aur pur cotiuta i itregul aliaj se calculeaza pri F (t 1,, t ) = m 1 t 1 + m 2 t 2 + m t Notam cu t valoarea medie a titlului oului aliaj rezultat dupa topirea celor aliaje iitiale Atuci F ( t, t,, t) = F (t1,, t ), deci t = m 1 t 1 + m t m 1 + m, deci i acest exemplu folosim media aritmetica poderata
20 Problema 1 Titlul uui aliaj reprezita catitatea de aur pur cotiut itr-u gram de aliaj Se topesc impreua aliaje de aur A 1, A 2,, A care au respectiv titlurile t 1, t 2,, t si masele m 1, m 2,, m Se cere titlul oului aliaj Solutie Proprietatea determiata a tuturor aliajelor este catitatea de aur pur cotiuta i itregul aliaj Catitatea de aur G i cotiuta i aliajul A i este G i = m i t i, i 1, Deci catitatea de aur pur cotiuta i itregul aliaj se calculeaza pri F (t 1,, t ) = m 1 t 1 + m 2 t 2 + m t Notam cu t valoarea medie a titlului oului aliaj rezultat dupa topirea celor aliaje iitiale Atuci F ( t, t,, t) = F (t1,, t ), deci t = m 1 t 1 + m t m 1 + m, deci i acest exemplu folosim media aritmetica poderata
21 Problema 2 Preturile de cost ale uui produs similar la fabrici sut respectiv c 1, c 2,, c lei/uitate de produs Totalul cheltuielolor efective petru realizarea productiei la ecare di cele fabrici a fost acelasi, C lei Se cere pretul de cost mediu al acelui produs la cele fabrici Solutie Proprietatea determiata este catitatea totala a productiei realizata la cele fabrici Productia realizata la fabrica i, i 1, se calculeaza pri C c i Fuctia determiata va egala cu F (c 1,, c ) = C c 1 + C c C c Fie c pretul de cost mediu realizat la cele fabrici Rezulta F ( c, c) = F (c 1,, c ), deci c = 1 c c c I aceasta problema se foloseste media armoica simpla
22 Problema 2 Preturile de cost ale uui produs similar la fabrici sut respectiv c 1, c 2,, c lei/uitate de produs Totalul cheltuielolor efective petru realizarea productiei la ecare di cele fabrici a fost acelasi, C lei Se cere pretul de cost mediu al acelui produs la cele fabrici Solutie Proprietatea determiata este catitatea totala a productiei realizata la cele fabrici Productia realizata la fabrica i, i 1, se calculeaza pri C c i Fuctia determiata va egala cu F (c 1,, c ) = C c 1 + C c C c Fie c pretul de cost mediu realizat la cele fabrici Rezulta F ( c, c) = F (c 1,, c ), deci c = 1 c c c I aceasta problema se foloseste media armoica simpla
23 Problema 3 I perioade de timp cosecutive pretul de cost al uui produs la o itrepridere idustriala a fost de c 1,, c lei/uitate de produs Stiid ca totalul cheltuielilor efective realizate pe cele perioade de timp a fost respectiv de S 1,, S lei, se cere pretul de cost mediu al acelui produs pe itreaga perioada de timp luata i cosiderare Solutie Ca si i problema aterioara proprietatea determiata este itreaga catitate de produse realizata i cele perioade de timp si se calculeaza pri F (c 1,, c ) = S 1 c 1 + S 2 c 2 c = S 1 + S 2 + S, S 1 c 1 + S 2 c S c deci folosim media armoica poderata + + S c Se obtie
24 Problema 3 I perioade de timp cosecutive pretul de cost al uui produs la o itrepridere idustriala a fost de c 1,, c lei/uitate de produs Stiid ca totalul cheltuielilor efective realizate pe cele perioade de timp a fost respectiv de S 1,, S lei, se cere pretul de cost mediu al acelui produs pe itreaga perioada de timp luata i cosiderare Solutie Ca si i problema aterioara proprietatea determiata este itreaga catitate de produse realizata i cele perioade de timp si se calculeaza pri F (c 1,, c ) = S 1 c 1 + S 2 c 2 c = S 1 + S 2 + S, S 1 c 1 + S 2 c S c deci folosim media armoica poderata + + S c Se obtie
25 Folosim asadar media geometrica simpla Problema 4 Pretul de cost al uui produs oarecare i valoare de C 0 lei a suferit variatii cu procetele p 1,, p i perioade de timp cosecutive Se cere procetul mediu de variatie a pretului de cost la acel produs si costul al C al produsului, dupa cele variatii succesive Solutie Fuctia determiata este pretul de cost al produsului dupa cele variatii, adica F (p 1,, p ) = C 0 (1 + p 1 p ) (1 + ) Notam cu p procetul mediu de variatie a pretului de cost Atuci F ( p,, p) = F (p 1,, p ) si rezulta deci C 0 (1 + p p ) ( ) = C 0(1 + p ) (1 + p 100 ), p = 100 [ (1 + p ) (1 + p 100 ) 1 ] Notam cu c = 1 + p 100 si c i = 1 + p i, i 1, Atuci 100 c = c 1 c 2 c
26 Folosim asadar media geometrica simpla Problema 4 Pretul de cost al uui produs oarecare i valoare de C 0 lei a suferit variatii cu procetele p 1,, p i perioade de timp cosecutive Se cere procetul mediu de variatie a pretului de cost la acel produs si costul al C al produsului, dupa cele variatii succesive Solutie Fuctia determiata este pretul de cost al produsului dupa cele variatii, adica F (p 1,, p ) = C 0 (1 + p 1 p ) (1 + ) Notam cu p procetul mediu de variatie a pretului de cost Atuci F ( p,, p) = F (p 1,, p ) si rezulta deci C 0 (1 + p p ) ( ) = C 0(1 + p ) (1 + p 100 ), p = 100 [ (1 + p ) (1 + p 100 ) 1 ] Notam cu c = 1 + p 100 si c i = 1 + p i, i 1, Atuci 100 c = c 1 c 2 c
27 Problema 5 Folosim astfel media patratica poderata Cosumul de bezia al uei masii pe ora este proportioal cu patratul vitezei acelei masii Notam cu t i itervalele de timp i care a mers masia, v i vitezele (costate) corespuzatoare acestor itervale, i 1, Se cere viteza medie v cu care va trebui sa mearga masia petru ca sa cosume i total aceeasi catitate de bezia Solutie Proprietatea determiata este catitatea totala de bezia cosumata de masia pe itreaga perioada de timp: F (v 1,, v ) = kt 1 v kt v 2, ude k este costata de proportioalitate Di F ( v,, v) = F (v 1,, v ) rezulta v = t 1 v t v 2 t 1 + t
28 Problema 5 Folosim astfel media patratica poderata Cosumul de bezia al uei masii pe ora este proportioal cu patratul vitezei acelei masii Notam cu t i itervalele de timp i care a mers masia, v i vitezele (costate) corespuzatoare acestor itervale, i 1, Se cere viteza medie v cu care va trebui sa mearga masia petru ca sa cosume i total aceeasi catitate de bezia Solutie Proprietatea determiata este catitatea totala de bezia cosumata de masia pe itreaga perioada de timp: F (v 1,, v ) = kt 1 v kt v 2, ude k este costata de proportioalitate Di F ( v,, v) = F (v 1,, v ) rezulta v = t 1 v t v 2 t 1 + t
29 Teme semiar Stabiliti relatiile itre marimile medii si iterpretarea lor geometrica Teoreme de maxim si miim bazate pe relatiile itre marimile medii Probleme practice de maxim si miim i care folosim marimile medii Bibliograe: M Cerchez, T Daet, Probleme petru aplicarea matematicii i practica, EDP, Bucuresti 1982 C Udriste, E Taasescu, Miime si maxime ale fuctiilor reale de variabile reale, Ed Tehica, Bucuresti 1980
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
![Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].](/thumbs/70/63994121.jpg "Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].")
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut
Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ
CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011
1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
9. SONDAJUL STATISTIC
9. SODAJUL STATISTIC 9.. Cosideraţii geerale Creşterea ecesarului de iformaţii ce trebuie obţiute cu maximă operativitate a codus la extiderea utilizării sodajului statistic. Această expasiue a sodajului
POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE
DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date
5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la
ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
![REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita](/thumbs/75/72305087.jpg "REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita")
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
CURSUL AL II-LEA. 2. Indicatori statistici
. Idicatori statistici CURSUL AL II-LEA.. Serii de valori. Aşa cum s-a văzut î cursul aterior, ueori este ecesar să urmărim mai îtâi o sigură variabilă umerică di multitudiea de variabile îregistrate îtr-u
CURS I ELEMENTE DE BAZĂ
BIOSTATISTICA CURS I ELEMENTE DE BAZĂ Statistica reprezită ramura matematicii ce a apărut di ecesitatea de a calcula probabilitatea aumitor eveimete di cadrul uui experimet. Majoritatea domeiilor de bază
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:
TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei
3.5. Indicatori de împrăştiere
Dragomirescu L., Drane J. W., 009, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucure ti, 07p. ISB 978-973-734-46-8. 3.5. Indicatori de împrăştiere
Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Laborator biofizică. Noţiuni introductive
Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea
Student: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE
Studet: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE -4-3 - -1 0 1 3 4 Regie proprie 017 Studet: 3 CUPRINS Idicativ Cadrul tematic al cercetării statistice pe bază de soda... Tema r.1
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este