OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar"

Transcript

1 OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16

2 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila

3 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila

4 Sloºeno naprezanje grede Naprezanja grednog nosa a Naprezanja grednog nosa a mogu da se svrstaju u dve grupe 1 osnovna naprezanja 2 sloºena naprezanja U osnovna naprezanja grednog nosa a spadaju - aksijalno naprezanje - isto pravo savijanje - torzija - savijanje grede silama Ako je gredni nosa izloºen istovremenom dejstvu dva ili vi²e osnovnih slu ajeva naprezanja, onda je takvo naprezanje kombinovano ili sloºeno

5 Sloºeno naprezanje grede Naprezanja grednog nosa a Sve jedna ine kojima se opisuju osnovni slu ajevi naprezanja su linearne Prema tome, naponi i deformacije pri kombinovanom naprezanju dobijaju se primenom zakona superpozicije Na primer, isto koso savijanje je kombinacija dva ista prava savijanja Takože, ekscentri no naprezanje pretstavlja kombinaciju aksijalnog naprezanja i jednog ili oba ista prava savijanja

6 Primer sloºenog naprezanja Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre nog preseka Pravo savijanje silama u dve ravni (to je koso savijanje silama) Aksijalno naprezanje

7 Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Posmatra se ²tap punog popre nog preseka Usvaja se da je osa ²tapa ozna ena sa x, dok sy y i z glavne centralne ose inercije popre nog preseka tap je izloºen proizvoljnom prostornom optere enju, tako da se u popre nim presecima javlja svih ²et sila u preseku: N, T y, T z, M t, M y, M z

8 Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Imaju i u vidu osnovna naprezanja, dobijaju se slede i komponentalni naponi: σ x = N A M z J z y + M y J y τ xy = T y Sz J z c(y) + M t Φ J t z τ xz = T z Sy J y b(z) M t Φ J t y z (1) gde je J t torziona konstanta popre nog preseka, a Φ je redukovana funkcija napona pri torziji

9 Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Kao ²to se uo ava, pri najop²tijem slu aju sloºenog (kombinovanog) naprezanja grednog nosa a, javljaju se samo dve komponente napona: - normalni napon σ x - smi u i napon τ u ravni popre nog preseka Smi u i napon τ je rezultuju i napon komponentalnih napona τ xy i τ xz Prema tome, stanje napona je ravansko, pa se glavni naponi odrežuju prema izrazima: σ 1,2 = 1 2 (σ x ± σ 2 x + 4τ 2 ) tan 2α 1 = 2τ σ x (2)

10 Primer sloºenog naprezanja: naponi u ta ki

11 Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Od posebnog je interesa, pre svega za dimenzionisanje nosa a, da se prvo odredi najopasniji (t.j. kriti ni) popre ni presek, a zatim da se naže kriti na ta ka u popre nom preseku Kriti na ta ka u popre nom preseku je ona u kojoj se o ekuju ekstremne vrednosti odreženih komponenti napona To se (obi no) vr²i probanjem, analiziraju i stanje napona u nekoliko karakteristi nih popre nih preseka i ta aka u njima

12 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila

13 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Ukupna energija deformacije koja se akumulira u grednom nosa u pri proizvoljno optere enju data je sa: U = U 0 dv (3) V gde je U 0 speci na energija deformacije, ili elasti ni potencijal Za linearno elasti no izotropno telo U 0 je dat u obliku: U 0 = U0 = 1 [ σ 2 2E x + σy 2 + σz 2 2ν (σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x ) ] + 1 ( τ 2 2G xy + τyz 2 + τzx) 2

14 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije U zavisnosti od na ina naprezanja posmatrane grede (odn. posmatranog grednog nosa a), u izraz za speci nu energiju deformacije unose se odgovaraju i komponentalni naponi U slu aju najop²tijeg kombinovanog naprezanja grede, samo su komponente σ x, τ xy i τ xz razli ite od nule, tako da speci na energija deformacije ima oblik ( U 0 = 1 σx 2 2 E + τ ) xy 2 G + τ xz 2 (4) G

15 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Imaju i u vidu izraze (3) i (4), integracija po zapremini svodi se na integraciju unutar popre nog preseka A i integraciju po duºini grede l: U = 1 [ l ( σx A E + τ ) ] xy 2 G + τ xz 2 da dx (5) G U izraz (5) unose se izrazi (1) za komponentalne napone Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre nog preseka, pa se, posle sreživanja, dobija kona an izraz za energiju deformacije, za proizvoljno sloºeno optere enje grede

16 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Energija deformacije je data u obliku: U = 1 ( l N E A + T y 2 + T z 2 G A y G A z ) + M 2 t G J t + M 2 y E J y + M 2 z E J z dx (6) gde su sa A y i A z ozna ene povr²ine smicanja popre nog preseka grede za y i za z pravac

17 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Povr²ine smicanja date su izrazima: A y = A J 2 z ( S z c ) 2 da A z = A J 2 y ( S y b ) 2 da (7) Veli ine G A y i G A z nazivaju se krutost grede na smicanje u pravcu ose y, odn. z Vidi se da bilo koja sila u preseku vr²i rad samo na pomeranjima usled te iste sile Drugim re ima, rad bilo koje sile u preseku na pomeranjima usled ostalih sila u preseku jednak je nuli

18 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Deo energije deformacije usled normalne sile i tansverzalnih sila obi no je manji od dela energije deformacije usled momenta torzije i momenata savijanja Imaju i to u vidu, taj deo se esto zanemaruje, pa izraz (6) ima oblik: U = 1 ( l Mt 2 + M ) y 2 + M z 2 dx (8) 2 0 G J t E J y E J z

19 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Izraz (6) je prikazan posmatraju i samo jedan ²tap To moºe da se generali²e i za slu aj sistema ²tapova, odn. na nosa sloºenije strukture Dobija se izraz U = 1 ( N 2 2 s E A + T y 2 + T z 2 G A y G A z ) + M 2 t G J t + M 2 y E J y + M 2 z E J z gde se integral s... ds odnosi na sve ²tapove sistema ds (9)

20 Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Ako su popre ni preseci promenljivi duº ²tapova, onda su geometrijske karakteristike promenljive i ulaze u podintegralni izraz Ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila kod posmatranog sloºenog nosa a (kod sistema ²tapova), energija deformacije data je u obliku U = 1 ( Mt 2 + M ) y 2 + M z 2 ds (10) 2 s G J t E J y E J z

21 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila

22 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Ugibi i nagibi grede izloºene savijanju silama mogu da se odrede - re²avanjem diferencijalne jedna ine elasti ne linije - primenom Mor-Maksvelove analogije Generalisana pomeranja proizvoljne ta ke linijskog nosa a mogu da se odrede preko energije deformacije sistema, primenom drugog Kastiljanovog stava Generalisana pomeranja mogu da se odrede i primenom Principa virtuelnih sila

23 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Posmatra se proizvoljan nosa u prostoru, optere en sa proizvoljnim kombinovanim optere enjem Nosa je od linearno elasti nog materijala Ose y i z su glavne centralne ose inercije Potrebno je da se odredi generalisano pomeranje ξ i proizvoljne ta ke i nosa a u datom pravcu n i Generalisano pomeranje moºe da bude linijsko pomeranje u datom pravcu, ili obrtanje oko date ose

24 Odreživanje generalisanog pomeranja

25 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Drugi Kastiljanov stav glasi: Ako se energija deformacije linearno elasti nog tela izrazi preko generalisanih sila, onda je parcijalni izvod energije deformacije po nekoj od generalisanih sila jednak odgovaraju em generalisanom pomeranju Dakle, primenom ovog stava mogu e je da se odredi pomeranje samo u ta kama u kojima deluju spolja²nje sile, pri tome samo u pravcima delovanja tih sila

26 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Naravno, potrebno je da se odredi generalisano pomeranje bilo koje ta ke u bilo kom pravcu Da bi odredili pomeranje ξ i neke ta ke i u datom pravcu n i, u ta ki i se dodaje ktivna generalisana sila P i koja ima dati pravac n i Generalisana sila P i moºe da bude sila ili spreg Formira se izraz za energiju deformacije sistema usled delovanja spolja²njeg optere enja i ktivne sile P i

27 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Prema drugom Kastiljanovom stavu, diferenciranjem energije deformacije po generalisanoj sili P i, a zatim unose i da je P i = 0, jer je ta sila ktivna, dobija se traºeno generalisano pomeranje Dakle, polazi se od drugog Kastiljanovog stava: U P i = ξ i (11)

28 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Bilo koja sila u preseku, ozna ena sa S, moºe da se prikaºe u obliku S = S + S P i (12) gde je - S... ukupna sila u preseku - S... sila u preseku usled spolja²njeg optere enja - S... sila u preseku usled jedini ne generalisane sile Pi = 1 Oznaka S zamenjuje bilo koju silu u preseku: N, T y,..., M z

29 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Prema izrazu (9), izraz za energiju deformacije sastoji se od integrala sa ²est lanova oblika U = 1 2 s S 2 B ds = 1 2 s (S + S P i ) 2 ds B gde je B oznaka za bilo koji od imenioca u integralu (to su odgovaraju e krutosti: aksijalna, smi u a, torziona ili na savijanje) Da bi se odredilo generalisano pomeranje, potrebno je da se diferencira izraz za energiju deformacije

30 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Dobija se U (S + = S P i ) P i s B S ds Unose i sada u dobijen izraz da je P i = 0, jer je sila ktivna, dobija se U (S = S) P i s B ds

31 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Imaju i u vidu ukupan izraz za energiju deformacije, dobija se izraz za traºeno generalisano pomeranje u obliku: ( N N ξ i = s E A + T y T y + T z T y G A y G A z + M t M t + M y M y + M z M ) (13) z ds G J t E J y E J z Ovaj integral se naziva Morov integral, a sam postupak odreživanja generalisanog pomeranja ξ i naziva se Morov postupak

32 Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Nadvu ene oznake za sile u preseku pretstavljaju sile u preseku usled jedini ne ktivne generalisane sile P i = 1 Izra unavanje integrala koji guri²u u izrazu za generalisano pomeranje ξ i ne vr²i se (osim izuzetno!) formalnom integracijom Pri tome treba da se ima u vidu da su sile u preseku usled ktivne jedini ne generalisane sile P i = 1 date kao linearni dijagrami Imaju i to u vidu, izra unavanje integrala u izrazu za ξ i vr²i se primenom postupka Vere² agina

33 Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Posmatra se pravolinijski segment duºine l na kome je potrebno da se odredi integral proizvoda dve funkcije f(x) i g(x): J = l 0 f(x) g(x) dx Pri tome je funkcija f(x) proizvoljna, dok je funkcija g(x) linearna Prema tome, funkcija g(x) moºe da se prikaºe kao g(x) = a x + b gde su a i b odgovaraju e konstante

34 Postupak Vere² agina

35 Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Uno²enjem linearne funkcije g(x) u integral, dobija se J = a l 0 x f(x) dx + b l 0 f(x) dx Drugi integral pretstavlja povr²inu koja je ograni ena krivom f(x), dok je prvi integral stati ki momenat te povr²ine u odnosu na osu y: l l 0 f(x) dx = A f 0 x f(x) dx = S y = A f x T

36 Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Prema tome, integral moºe da se prikaºe kao: J = A f (a x T + b) = A f g(x T ) = A f g T gde je g(x T ) vrednost fukcije g(x) na mestu teºi²ta povr²ine A f Dakle, traºeni integral se odrežuje prema formuli: J = l 0 f(x) g(x) dx = A f g T

37 Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Iskazano re ima, Vrednost integrala J dobija se kao proizvod povr²ine A f koja je ograni ena krivom f(x), i vrednosti funkcije g(x) na mestu teºi²ta povr²ine A f Vrednosti integrala za nekoliko naj e² ih oblika funkcija f(x) i g(x) date su u slede oj tabeli

38 Postupak Vere² agina: karakteristi ni slu ajevi

39 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Odrediti maksimalni ugib w max proste grede raspona l, konstantne krutosti na savijanje EJ = const, kao i obrtanje oslona kog preseka α, optere ene ravnomernim raspodeljenim optere enjem q = const

40 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbog simetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini na ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno na gredu Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usled zadatog optere enja q = const, ozna en sa M, a dijagram momenata savijanja usled jedini ne sile P = 1 ozna en sa M, onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa ξ = l 0 M M EJ dx

41 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbog simetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini na ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno na gredu Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usled zadatog optere enja q = const, ozna en sa M, a dijagram momenata savijanja usled jedini ne sile P = 1 ozna en sa M, onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa ξ = l 0 M M EJ dx

42 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede

43 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Momenti savijanja (karakteristi ne vrednosti): - Raspodeljeno optere enje: f = q l2 8 - Koncentrisana sila P = 1 u sredini: Ugib u pravcu sile P dat je sa ξ = f = P l 4 = l 4 l 0 M M EJ dx

44 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede

45 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Za silu P na proizvoljnom rastojanju αl od levog kraje, odn. βl od desnog kraja, ordinata momenta savijanja u preseku sile jednaka je M max = f = P l α β Moºe da se pokaºe da je integral momenata usled raspodeljenog optere enja i koncentrisane sile u proizvoljnom preseku αl dat sa: EJ ξ = l 0 M M dx = l 3 f f (1 + αβ) gde su f i f max ordinate momenata savijanja za raspodeljeno optere enje i za koncentrisanu silu

46 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Imaju i ovo u vidu, za ugib proste grede usled raspodeljenog optere enja se dobija EJ ξ = l 3 ql2 8 l 4 ( ) = q l4 Prema tome, maksimalan ugib proste grede optere ene ravnomernim optere enjem q = const jednak je ξ = w max = 5 q l EJ

47 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Obrtanje oslona kog preseka dobija se kada se kao ktivna sila upotrebi jedini ni spreg M = 1 u preseku gde se traºi obrtanje:

48 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Moºe da se pokaºe da je integral momenata usled raspodeljenog optere enja i koncentrisane sile u proizvoljnom preseku αl dat sa: EJ ξ = EJα = l 0 M M dx = l 3 f f gde su f i f max ordinate momenata savijanja za raspodeljeno optere enje i za koncentrisan spreg: f = ql2 8 f = 1

49 Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Prema tome, dobija se da je obrtanje oslona kog preseka jednako: EJ α = l 3 ql2 8 1 = ql3 48 odnosno, α = ql3 48EJ Zbog simetrije, obrtanje drugog preseka je isto, ali promenjenog znaka β = α = ql3 48EJ

50 Primeri primene Metode sila Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila

51 Primeri primene Metode sila Nosa je stati ki neodrežen kada je prisutno vi²e veza nego ²to je minimalno potrebno da bi nosa bio nepokretan sistem Kada je nosa stati ki neodrežen, prvo je neophdno da se re²i stati ka neodreženost Postoje dve metode re²avanja stati ki neodreženih nosa a: 1 Metoda sila 2 Metoda deformacije U Metodi sila potrebno je da se prvo odrede sve stati ki nepoznate veli ine

52 Primeri primene Metode sila Stati ki nepoznate veli ine su izabrane sile veze X i koje odgovaraju usvojenom osnovnom sistemu posmatranog nosa a Osnovni sistem je izabrani stati ki odrežen nosa koji se dobija posle uklanjanja izabranih veza u stati ki neodreženom nosa u Postoji vi²e mogu nosti usvajanja razli itih osnovnih sistema Naravno, koji god osnovni sistem bio izabran, krajnji rezultat mora da bude uvek isti (postoji jednozna no re²enje) Za neke osnovne sisteme lak²e se odrežuju stati ki nepoznate veli ine nego ze neke druge osnovne sisteme

53 Primeri primene Metode sila Za usvojen osnovni sistem postavljaju se uslovne jedna ine, ijim re²avanjem se dobijaju stati ki nepoznate veli ine Uslovne jedna ine u Metodi sila pretstavljaju geometrijske uslove, odn. uslove kompatibilnosti deformacija (uslove kompatibilnosti pomeranja) Zna enje uslovnih jedna ina u metodi sila odgovara uklonjenim vezama (stati ki nepoznatim veli inama) U najve em broju slu ajeva, uslovne jedna ine su iskazi da su generalisana pomeranja, na mestima uklonjenih veza, jednaka nuli

54 Primeri primene Metode sila Zbog linearnosti svih jedna ina i veza, vaºi princip superpozicije Prema tome, svaka veli ina, stati ka ili deformacijaska, ozna ena sa S, moºe da se prikaºe u vidu superpozicije S = S 0 + n S i X i (14) i=0 gde je sa n je ozna en broj stati ke neodreženosti

55 Primeri primene Metode sila U izrazu (14) uvedene su oznake: - S 0 je posmatrana veli ina u osnovnom (stati ki odreženom) sistemu usled zadatog optere enja, pri emu su sve stati ki nepoznate jednake nuli X i = 0 - S i je posmatrana veli ina u osnovnom sistemu usled stanja X i = 1 Stanje X i = 1 pretstavlja jedini nu vrednost stati ki nepoznate veli ine X i, pri emu su sve ostale stati ki nepoznate jednake nuli Uslovne jedna ine metode sila pretstavljaju uslove da su generalisana pomeranja na mestima uklonjenih veza (stati ki nepoznatih veli ina) jednaka nuli (eventualno jednaka nekoj zadatoj vrednosti)

56 Primeri primene Metode sila Ako se sa δ i ozna i generalisano pomeranje koje odgovara uklonjenoj vezi X i, uslovne jedna ine mogu da se prikaºu kao δ i = 0 (i = 1, 2,..., n) Prema relaciji (14), generalisano pomeranje δ i moºe da se prikaºe kao δ i = δ i0 + n δ ij X j (i = 1, 2,..., n) (15) i=1

57 Primeri primene Metode sila U izrazu (15) uvedene su oznake: - δ i0... generalisano pomeranje δ i u osnovnom sistemu usled spolja²njeg optere enja (pri emu je X i = 0) - δ ij... generalisano pomeranje δ i u osnovnom sistemu usled stanja X j = 1 Prema tome, uslovne jedna ine δ i = 0 mogu da se napi²u u obliku: δ i = δ i0 + n δ ij X j = 0 (i = 1, 2,..., n) (16) i=1

58 Primeri primene Metode sila U razvijenom obliku uslovne jedna ine (16) glase: δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X δ 1n X n = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X δ 2n X n = 0. δ n0 + δ n1 X 1 + δ n2 X δ nn X n = 0 (17) U matri nom obliku jedna ine (17) glase δ 0 + X = 0 (18) sa o iglednim oznakama za vektore i matricu

59 Primeri primene Metode sila Jedna ine (17) se nazivaju kanonske jedna ine metode sila Koecijenti δ ij uz stati ki nepoznate X i su Maksvelovi uticajni kooecijenti: Uticajni koecijenti eksibilnosti δ ij su generalisana pomeranja koja odgovaraju generalisanoj sili X i, u osnovnom sistemu, usled delovanja jedini ne generalisane sile X j = 1 Pokazano je da su uticajni koecijenti δ ij simetri ni: δ ij = δ ji

60 Primeri primene Metode sila Koecijenti δ i0 su slobodni lanovi u uslovnim jedna inama Metode sila Koecijenti δ i0 pretstavljaju generalisana pomeranja koja odgovaraju generalisanoj sili X i, u osnovnom sistemu, usled delovanja spolja²njeg optere enja Uvode se slede e oznake: - M 0... dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemu usled zadatog spolja²njeg optere enja - M i... dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemu usled stanja X i = 1 (jedini na vrednost stati ki nepoznate X i, pri emu su sve ostale stati ki nepoznate X j jednake nuli)

61 Primeri primene Metode sila Imaju i u vidu zna enja koecijenata u uslovnim jedna inama metode sila, koecijenti δ ij i δ i0 dati su sa izrazima: M i M j δ ij = E J dx δ M i M 0 i0 = dx (19) l E J l gde se podrazumeva integracija po svim ²tapovima posmatranog nosa a U najve em broju slu ajeva dominantan je uticaj momenata savijanja, kao ²to je i prikazano u izrazima (19), posebno kod grednih nosa a (npr. kod kontinualnih nosa a)

62 Primeri primene Metode sila Kod okvirnih nosa a moºe da bude zna ajan i uticaj normalnih sila, tako da bi u tom slu aju bilo: M i M j δ ij = E J dx + N i N j E A dx l δ i0 = l M i M 0 E J dx + l l N i N 0 E A dx (20) gde je N i dijagram normalnih sila u osnovnom sistemu usled X i = 1, dok je N 0 dijagram normalnih sila u osnovnom sistemu usled zadatog optere enja

63 Primeri primene Metode sila Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila

64 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Odrediti dijagram momenata savijanja obostrano uklje²tene grede raspona l, konstantne krutosti na savijanje EJ = const, optere ene ravnomerno raspodeljenim optere enjem q = const

65 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Obostrano uklje²tena greda je tri puta stati ki neodrežena Ukoliko ne postoji aksijalno optere enje, onda u gredi ne postoje normalne sile i greda je dva puta stati ki neodrežena Osnovni sistem je prosta greda, a stati ki nepoznate su momenti uklje²tenja

66 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Dijagrami momenata savijanja u osnovnom sistemu, usled optere enja i stati ki nepoznatih su, redom: - kvadratna parabola sa ordinatom u sredini f = ql 2 /8 - trougaoni dijagrami sa ordinatama 1.0 na krajevima

67 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Koecijenti uslovnih jedna ina dobijaju se "mnoºenjem momentnih povr²ina", odn. izra unavanjem integrala (19) Imaju i u vidu da je krutost na savijanje konstantna, EJ = const, dobija se EJ δ 11 = EJ δ 22 = l EJ δ 12 = EJ δ 21 = l EJ δ 10 = EJ δ 20 = l f gde je f = ql 2 /8

68 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Uslovne jedna ine, napisane u matri nom obliku X = δ 0, glase: [ l ] { } { l l 3 6 X1 l l = 3 f } X l f ili, posle skra ivanja sa l/3, u obliku: [ ] { X1 X 2 Re²enje ovih jedna ina je jednako: } { f = f } X 1 = X 2 = 2 3 f = ql2 12

69 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Odrediti dijagram momenata savijanja zadate kontinualne grede sa dva raspona l = 4.0m, konstantne krutosti na savijanje EJ = const. Greda je optere ena koncentrisanom silom u jednom rasponu i ravnomerno raspodeljenim optere enjem q = const u drugom rasponu

70 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Posmatrana kontinualna greda je jednom stati ki neodrežena Za osnovni sistem se usvajaju dve proste grede, odnosno, stati ki nepoznata je momenat savijanja X iznad srednjeg oslonca

71 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Dijagram momenata savijanja M 1 za stanje X = 1 u osnovnom sistemu Dijagram momenata M 0 u osnovnom sistemu usled zadatog optere enja

72 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Uslovna jedna ina Metode sila je δ 11 X 1 + δ 10 = 0 Koecijent uz nepoznatu iznosi (po trougao u svakoj gredi): EJδ 11 = = 8 3 Slobodan lan δ 10 na delu koncentrisane sile dobija se kao zbir proizvoda povr²ine dva trougla dijagrama M 0 i trougla i trapeza dijagrama M 1

73 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Koecijent δ 10 je jednak: EJδ 10 = = ( ) = = 8 3 Dobija se δ 10 = 14 3, tako da je stati ki nepoznata jednaka X = δ 10 δ 11 = = 14 3 = 1.75 [knm]

74 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda

75 Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 MKE - Linijski

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA. Str knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile

TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA. Str knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile 5.5.2016 1 TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA Str 267-290 knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile 5.5.2016 2 ŠTA ĆEMO NAUČITI U OVOM POGLAVLJU? Određivanje unutrašnjih sila u presecima

Διαβάστε περισσότερα

ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar

ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Koncepti analize

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Napomene

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje statički neodređeni nosači

Savijanje statički neodređeni nosači Savijanje statički neodređeni nosači Statička neodređenost nosača Uslovi neprekidnosti elastične linije Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M I

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama.

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama. Štap optereen na savijanje naivamo nosa ili grea. Savijanje nosaa a) Napreanja ( i τ) b) Deformacije progib (w) Os štapa se ko savijanja akrivljuje to je elastina ili progibna linija nosaa. Savijanje ravnog

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar

ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar ODABRANA POGLAVLJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 EN 1991-4:2006:

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα