ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΣΥΣΤΟΙΧΙΑ ΘΙΝΩΝ ΣΤΟΝ ΠΥΘΜΕΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΣΥΣΤΟΙΧΙΑ ΘΙΝΩΝ ΣΤΟΝ ΠΥΘΜΕΝΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Π.Μ.Σ. Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΣΥΣΤΟΙΧΙΑ ΘΙΝΩΝ ΣΤΟΝ ΠΥΘΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ Από ΝΙΚΟΛΑΟ Θ. ΦΟΥΡΝΙΩΤΗ ιπλ. Πολιτικό Μηχανικό Υπό την επίβλεψη ΑΛΕΞΑΝ ΡΟΥ Κ. ΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2005 ΠΑΤΡΑ

2 ΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ «εν είναι η πείρα η µητέρα όλων των Τεχνών και των Επιστηµών, που ξεγελά τους ανθρώπους, αλλά η φαντασία, που τους υπόσχεται ό,τι η πείρα δεν µπορεί να τους δώσει.» Λεονάρντο Ντα Βίντσι

3 ΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ - ΑΦΙΕΡΩΣΕΙΣ Στους Γονείς µου, Που ακόµα, αγόγγυστα, "επιχορηγούν" τα όνειρά µου iii

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα ιατριβή Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του Καθηγητή και Κοσµήτορα της Πολυτεχνικής Σχολής κ. Αλέξανδρου Κ. ηµητρακόπουλου. Εκ προοιµίου θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου σε όλους όσους βοήθησαν και συνέβαλαν στην πραγµατοποίησή της. Καταρχάς στον Kαθηγητή µου, κ. Αλέξανδρο ηµητρακόπουλο για το πολύ ευχάριστο και φιλικό περιβάλλον που πάντα καταφέρνει να δηµιουργεί κατά τη συνεργασία µας και την προθυµία του να βοηθήσει και να συζητήσει κάθε απορία και προβληµατισµό που προέκυπτε κατά τη διάρκεια διεξαγωγής της εργασίας µου. Ας µου επιτραπεί να πω ότι ο τρόπος σκέψης του, η δηµοκρατικότητά του, καθώς και η κατανόησή του µε κάνουν δίκαια να τον θεωρώ ως έναν από εκείνους, τους ελάχιστους σήµερα Ακαδηµαϊκούς ασκάλους, που µπορούν ακόµα να εµπνεύσουν τους φοιτητές τους στο να αγαπήσουν την Τέχνη και την Επιστήµη του Πολιτικού Μηχανικού. Εύχοµαι, λοιπόν, από καρδιάς η συνεργασία µας να συνεχιστεί και στο µέλλον Ιδιαίτερες ευχαριστίες στον επίκουρο Kαθηγητή κ. Αθανάσιο ήµα για την ουσιαστική βοήθεια και το ενδιαφέρον του. Η πάντα καλή διάθεσή του και το κλίµα συνεργασίας που καλλιέργησε αποτέλεσαν για µένα βασικό παράγοντα για την πραγµάτωση της µεταπτυχιακής µου ιατριβής. Κάθε, λοιπόν, συνεργασία τώρα και στο µέλλον δεν µπορεί παρά να αποτελεί για µένα χαρά Επίσης, θερµά ευχαριστώ τον επίκουρο Kαθηγητή κ. Γεώργιο Χορς για όλα όσα µου προσέφερε τόσο κατά την διάρκεια των προπτυχιακών όσο και των µεταπτυχιακών µου σπουδών. Κυρίως, όµως, τον ευχαριστώ γιατί ποτέ δεν έπαψε όλα αυτά τα χρόνια της συνεργασίας µας να µε συµβουλεύει, να µε βοηθάει και κυρίως, να µε ενθαρρύνει Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου για όλα όσα έκαναν και κάνουν για µένα Νίκος Θ. Φουρνιώτης Πάτρα, Οκτώβριος 2005 iv

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΤΡΙΒΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα ιατριβή Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης, πραγµατεύεται την ανάλυση της τυρβώδους ροής σε ανοικτούς αγωγούς στον πυθµένα των οποίων ενυπάρχουν σχηµατισµοί µορφής θινών (dunes). Μελετήθηκε η περίπτωση 5 θινών οι οποίες τοποθετήθηκαν στον πυθµένα ενός καναλιού βάθους d θεωρώντας µόνιµη ροή. Για την επίλυση χρησιµοποιήθηκαν οι εξισώσεις RANS, ενώ για το "κλείσιµο" της τύρβης χρησιµοποιήθηκαν τα µοντέλα µιας εξίσωσης Spalart-Allmaras και δύο εξισώσεων k-ε. Η διαχείριση της ελεύθερης επιφάνειας έγινε µε την µέθοδο VOF, ενώ η αριθµητική επίλυση βασίστηκε στην µέθοδο των πεπερασµένων όγκων και πραγµατοποιήθηκε µε τον εµπορικό κώδικα FLUENT Για την ροή στον ανοικτό αγωγό, στον πυθµένα του οποίου ενυπήρχαν οι σχηµατισµοί, θεωρήθηκε αριθµός Reynolds Re 6 = , κλίση πυθµένα S = και συντελεστή Manning n = 0. 02, ο οποίος αντιστοιχεί σε ισοδύναµο ύψος τραχύτητας τοιχωµάτων k s = m. Προκειµένου να επαληθευθεί η ακρίβεια της αριθµητικής µεθόδου, επιλύθηκε η περίπτωση του επίπεδου πυθµένα και τα αποτελέσµατα συγκρίθηκαν µε γνωστά πειραµατικά αποτελέσµατα καθώς και αποτελέσµατα τα οποία προέκυψαν από την µονοδιάστατη ανάλυση της ροής πάνω από επίπεδο πυθµένα. Τα αποτελέσµατα βρέθηκαν σε καλή συµφωνία, κυρίως για την κατανοµή της ταχύτητας, ενώ για την τύρβη υπήρχε πολύ καλή συµφωνία κυρίως πλησίον του πυθµένα. Για το πρόβληµα των θινών εξετάσθηκαν: (α) τρεις περιπτώσεις µε σταθερό άνοιγµα θίνης προς βάθος ροής L d = 5 και διαφορετικά ύψη θινών h d = 0. 15, 0.25 και 0.35 (β) τρεις περιπτώσεις µε σταθερή αναλογία ανοίγµατος προς ύψος L h = 20 και ύψη θινών όπως στην περίπτωση (α). Η ανάλυση έδειξε ότι το µέσο προφίλ της ελεύθερης επιφάνειας µειώνεται στην διεύθυνση της ροής, ενώ πάνω από κάθε θίνη το πλάτος της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας αυξάνει µε την αύξηση του ύψους και του ανοίγµατος των θινών. Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων παρουσιάζει κυµατοειδή µορφή υπεράνω των θινών και αυξάνει αυξανοµένου του ύψους τους και µε την µείωση του ανοίγµατός τους. Πίσω από κάθε θίνη δηµιουργείται θύλακας ανακυκλοφορίας της ροής και ο λόγος της απόστασης του σηµείου επανακόλλησης προς το ύψος της θίνης είναι X R h v

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iν ΠΕΡΙΛΗΨΗ..ν ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ νi ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ix ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xiν 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΠΥΘΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΠΥΘΜΕΝΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΜΜΩ ΩΝ ΣΧΗΜΑ- ΤΙΣΜΩΝ Προσεγγιστικές εκφράσεις ανάµεσα στο βάθος ροής d και το µήκος L των σχηµατισµών πυθµένα Ρυτιδώσεις (ripples) Μεταβατικές καταστάσεις στο σχηµατισµό της γεωµετρίας του πυθµένα ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΠΥΘΜΕΝΑ ΤΩΝ ΠΟΤΑΜΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΥΡΒΩ ΩΝ ΡΟΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΙΕΠΟΥΝ ΤΗΝ ΤΥΡΒΩ Η ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Οι εξισώσεις Navier-Stokes Γενική ανασκόπηση των µεθόδων προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας Η µέθοδος VOF (Volume of fluid) Οι εξισώσεις RANS...30 vi

7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 3.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΛΕΙΣΙΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΥΡΒΗΣ Η έννοια του τυρβώδους ιξώδους Μοντέλα µηδενικής εξίσωσης Σταθερό τυρβώδες ιξώδες Συντελεστής τυρβώδους διαχύσεως Μοντέλο µήκους αναµείξεως Μοντέλα µιας εξίσωσης Το µοντέλο Spalart Allmaras Το µοντέλο δύο εξισώσεων k ε Άλλα µοντέλα κλεισίµατος της τύρβης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΡΟΗΣ Η ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Καθορισµός εισόδου εξόδου ιαχείριση τοιχώµατος Η διατµητική τάση πλησίον του τοιχώµατος Τα µέσα προφίλ ταχύτητας Ο νόµος του τοιχώµατος (law of the wall) Το ιξώδες υπόστρωµα Ο λογαριθµικός νόµος Ο νόµος αποκλίσεως της ταχύτητας (velocity defect law) Επίδραση τραχύτητας του τοιχώµατος Ορισµός συνοριακών συνθηκών στο τοίχωµα Καθορισµός ορίων συµµετρίας ιαχείριση της ελεύθερης επιφάνειας ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ FLUENT ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑ- ΜΙΚΗΣ ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΤΗΣ GAMBIT ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑ- ΤΟΣ 74 vii

8 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ορισµός οριακών συνθηκών στο υπολογιστικό πλέγµα Ο ΚΩ ΙΚΑΣ FLUENT ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ Ορισµός οριακών συνθηκών ιαθέσιµα είδη οριακών συνθηκών Επιλογή λύτη ιακριτοποίηση (µέθοδοι παρεµβολής) Επίλυση του φυσικού προβλήµατος Επεξεργασία των αποτελεσµάτων επίλυσης ΕΦΑΡΜΟΓΗ FLUENT ΣΤΗΝ ΤΥΡΒΩ Η ΡΟΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΡΧΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Μονοδιάστατη ανάλυση της ροής σε επίπεδο πυθµένα Μονοδιάστατη ανάλυση της ροής πάνω από εµπόδιο Μεθοδολογία ανάλυσης Υπολογισµοί ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΥΘΜΕΝΑ Κατασκευή γεωµετρίας και υπολογιστικού πλέγµατος Ορισµός αρχικών και οριακών συνθηκών Ορισµός οριακών συνθηκών Ορισµός αρχικών συνθηκών Αριθµητική επίλυση του προβλήµατος ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΘΙΝΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 135 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ viii

9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 2.1: Ripples στον ποταµό Rum, Minnesota USA..6 Σχήµα 2.2: ηµιουργία αµµωδών θινών σε παράκτιο υδατόρευµα, παραλία Takatoyo..6 Σχήµα 2.3: Dunes στον ποταµό North Loup, Nebraska USA...7 Σχήµα 2.4: Αλληλεπίδραση της ροής µε τους σχηµατισµούς πυθµένα 7 Σχήµα 2.5: ηµιουργία αµµωδών σχηµατισµών στον πυθµένα ποταµού, (α) φάση ανάπτυξης, (b) κατάσταση ισορροπίας Σχήµα 2.6: Μοντέλο δηµιουργίας ανοδικών στροβίλων.11 Σχήµα 2.7: Ορισµός βάθους ροής d, ύψους θίνης h και ανοίγµατος L...12 Σχήµα 2.8: Ορισµός των µεγεθών που εµφανίζονται στην εξ. (2.20).21 Σχήµα 2.9: Μορφή αµµώδους θίνης σύµφωνα µε την εξ. (2.20) 22 Σχήµα 4.1: Όγκος ελέγχου που χρησιµοποιείται για την επεξήγηση της διακριτοποίησης µιας βαθµωτής εξίσωσης µεταφοράς..52 Σχήµα 4.2: Οµοιόµορφη ροή σε αγωγό µεγάλου πλάτους..55 Σχήµα 4.3: Κατανοµή της µέσης ταχύτητας πλησίον του τοιχώµατος όπως προέκυψε από δεδοµένα DNS των Kim et al. (1987): διακεκοµµένη γραµµή για Re = 13,750 και διακεκοµµένη µε στίξεις γραµµή για την απεικόνιση της σχέσης U = u = y.pope (2000).59 Σχήµα 4.4: Κατανοµή της µέσης ταχύτητας πλησίον του τοιχώµατος: συνεχής γραµµή όπως προέκυψε από δεδοµένα DNS των Kim et al. (1987) για Re = 13,750, διακεκοµµένη µε στίξεις γραµµή για την απεικόνιση της σχέσης U = u = y διακεκοµµένη γραµµή για την έκφραση του λογαριθµικού νόµου. Pope (2000).61 Σχήµα 4.5: Κατανοµή της µέσης ταχύτητας για την περίπτωση πλήρως ανεπτυγµένης ροής σε ανοικτό αγωγό, µετρούµενη από τους Wei and Willmarth (1989): O, για Re = 2,970,, Re = 14,914,, ΓΙΑ Re = 22,776 και Re = 39,582. Ο λογαριθµικός νόµος εκφράζεται από την συνεχή γραµµή και U = u 61 Σχήµα 4.6: Ο συντελεστής τριβών f συναρτήσει του αριθµού Reynolds σε αγωγούς για διάφορες τραχύτητες. Η διακεκοµµένη γραµµή εκφράζει τον νόµο της τριβής για στρωτή ροή, ενώ η συνεχής τον νόµο του Prandtl για τυρβώδη ροή σε ix

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ λείους αγωγούς. Τα πειραµατικά δεδοµένα προέρχονται από µετρήσεις του Nikuradse.65 Σχήµα 4.7: Ο σταθερός προσθετικός όρος B ~ στην έκφραση του λογαριθµικού νόµου συναρτήσει του ύψους τραχύτητας k s s αδιαστατοποιηµένο µε την ιξώδη κλίµακα µήκους δ ν. Η διακεκοµµένη γραµµή εκφράζει την πλήρως τυρβώδη ~ περιοχή µε B = 8. 5, η ευθεία γραµµή την λεία, ενώ τα πειραµατικά δεδοµένα προέρχονται από τον Nikuradse..68 Σχήµα 5.1: Γεωµετρία των στοιχείων που χρησιµοποιούνται για την κατασκευή του υπολογιστικού πλέγµατος...75 Σχήµα 5.2: Απλές γεωµετρίες µε τετραπλευρικά/εξαεδρικά πλέγµατα και σύνθετες µε τριγωνικά/τετραεδρικά πλέγµατα 76 Σχήµα 5.3: Ορισµός µερών για την περίπτωση δισδιάστατου και τρισδιάστατου υπολογιστικού πλέγµατος...77 Σχήµα 5.4: Ροϊκό πεδίο αγωγού διακριτοποιηµένο σε πεπερασµένο αριθµό όγκων ελέγχου (υπολογιστικό πλέγµα) 81 Σχήµα 6.1: ιαµόρφωση ελεύθερης επιφάνειας πάνω από εµπόδιο στην περίπτωση υποκρίσιµης ροής 90 Σχήµα 6.2: ιάγραµµα ειδικής Ενέργειας για την περίπτωση υποκρίσιµης ροής..92 Σχήµα 6.3: ιαµόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας πάνω από εµπόδιο για το οποίο ισχύει Ζ, δοθέν > Ε 1 -Ε min.93 Σχήµα 6.4α: Υπολογιστικό πλέγµα για τον επίπεδο πυθµένα...98 Σχήµα 6.4β: Υπολογιστικό πλέγµα για τον επίπεδο πυθµένα (λεπτοµέρεια)...98 Σχήµα 6.5: Καθορισµός µεταβλητών της εξ. (6.28).103 Σχήµα 6.6α: Υπολογιστικό πλέγµα θινών διαστάσεων h = 0.35m και L = 5m 105 Σχήµα 6.6β: Υπολογιστικό πλέγµα (λεπτοµέρεια) θινών διαστάσεων h = 0.35m και L = 5m..105 Σχήµα 6.6γ: Υπολογιστικό πλέγµα (λεπτοµέρεια) θινών διαστάσεων h = 0.35m και L = 5m..106 Σχήµα 6.7: Καθορισµός οριακών συνθηκών για το πρόβληµα των θινών Σχήµα 7.1: ιαµόρφωση ελεύθερης επιφάνειας σε επίπεδο πυθµένα Σχήµα 7.2:Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε επίπεδο πυθµένα x

11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 7.3:Συµφωνία διαµήκους ταχύτητας µε τον λογαριθµικό νόµο σε επίπεδο πυθµένα.112 Σχήµα 7.4:Κατανοµή διατµητικών τάσεων σε επίπεδο πυθµένα..112 Σχήµα 7.5:Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε επίπεδο πυθµένα Σχήµα 7.6:Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras σε επίπεδο πυθµένα Σχήµα 7.7:Κατανοµή τυρβώδους κινητικής ενέργειας µε χρήση του µοντέλου k-ε σε επίπεδο πυθµένα Σχήµα 7.8: Κατανοµή της ανάλωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας µε χρήση του µοντέλου k-ε σε επίπεδο πυθµένα 114 Σχήµα 7.9: ιαµόρφωση ελεύθερης επιφάνειας πάνω από θίνες µε άνοιγµα L = 5m µε χρήση και των δύο µοντέλων k-ε και Spalart-Allmaras Σχήµα 7.10: ιαµόρφωση ελεύθερης επιφάνειας πάνω από θίνες µε άνοιγµα L = 3, 5 και 7m µε χρήση και των δύο µοντέλων k-ε και Spalart- Allmaras Σχήµα 7.11:Σκαρίφηµα καθορισµού των διαφόρων διατοµών ελέγχου των χαρακτηριστικών της ροής.117 Σχήµα 7.12: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 3m µε χρήση του µοντέλου k-ε (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α)..118 Σχήµα 7.13: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 3m µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.14: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 5m µε χρήση του µοντέλου k-ε (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α)..119 Σχήµα 7.15: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 5m µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.16: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.25m, L = 5m µε χρήση του µοντέλου k-ε (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α)..120 Σχήµα 7.17: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.25m, L = 5m µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.18: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 5m µε χρήση του µοντέλου k-ε (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α)..121 xi

12 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 7.19: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 5m µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.20: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 7m µε χρήση του µοντέλου k-ε (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α)..122 Σχήµα 7.21: Κατανοµή διαµήκους ταχύτητας σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 7m µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.22: Συµφωνία διαµήκους ταχύτητας µε τον λογαριθµικό νόµο σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 7m στην θέση x = m (υψηλότερο σηµείο θίνης).123 Σχήµα 7.23: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 3m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α) Σχήµα 7.24: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 3m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.25: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 5m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α) Σχήµα 7.26: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 5m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.27: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.25m, L = 5m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α) Σχήµα 7.28: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.25m, L = 5m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.29: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 5m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α) Σχήµα 7.30: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 5m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.31: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 7m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1α) Σχήµα 7.32: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου Spalart-Allmaras σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 7m (βλ. Σχ. 7.11, Πίν. 1β) Σχήµα 7.33α: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 57m, µεταξύ τρίτης και τετάρτης θίνης. 129 xii

13 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 7.33β: Κατανοµή τυρβώδους ιξώδους µε χρήση του µοντέλου k-ε σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 57m, µεταξύ τετάρτης και πέµπτης θίνης..129 Σχήµα 7.34: Κατανοµή διατµητικών τάσεων σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.15m, L = 3m Σχήµα 7.35: Κατανοµή διατµητικών τάσεων σε πυθµένα µε θίνες διαστάσεων h = 0.35m, L = 7m Σχήµα 7.36: Κατανοµή διατµητικών τάσεων σε πυθµένα µε θίνες ανοίγµατος L = 5m..131 Σχήµα 7.37: Σκαρίφηµα καθορισµού του σηµείου επανακόλλησης της ροής (reattachment point).132 Σχήµα 7.38: ιαµόρφωση γραµµών ροής στην περιοχή θινών µε h = 0.35m και L = 5m..133 Σχήµα 7.39: ιαµόρφωση γραµµών ροής (λεπτοµέρεια) στην περιοχή θινών µε h = 0.35m και L = 5m Σχήµα 7.40: ιαµόρφωση διανυσµάτων ταχύτητας (λεπτοµέρεια) στην περιοχή θινών µε h = 0.35m και L = 5m xiii

14 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1: Παρουσίαση των σταθερών του µοντέλου Spalart- Allmaras...45 Πίνακας 3.2: Τιµές των συντελεστών στο κανονικό k-ε µοντέλο..47 Πίνακας 5.1: Τιµές της µεταβλητής Φ για τις διάφορες ποσότητες 81 Πίνακας 6.1: Τιµές των συντελεστών υποχαλάρωσης..101 Πίνακας 6.2: ιαστάσεις των αµµωδών θινών.104 Πίνακας 6.3: Αριθµός κελιών για κάθε υπολογιστικό πλέγµα.104 Πίνακας 7.1α: Τιµές του x(m) σε διάφορες διατοµές που αντιστοιχούν σε κάθε θίνη διαστάσεων h και L, αντιστοίχως µε χρήση του µοντέλου k-ε..117 Πίνακας 7.1β: Τιµές του x(m) σε διάφορες διατοµές που αντιστοιχούν σε κάθε θίνη διαστάσεων h και L, αντιστοίχως µε χρήση του µοντέλου Spalart- Allmaras.117 Πίνακας 7.2: Τιµές του σηµείου επανακόλλησης της ροής (reattachment point) που αντιστοιχούν σε κάθε θίνη διαστάσεων h και L αντιστοίχως, όπως αυτά προέκυψαν από την χρήση των µοντέλων k-ε και Spalart-Allmaras.132 Πίνακας 7.3: Τιµές του λόγου X R /h που αντιστοιχούν σε κάθε θίνη διαστάσεων h και L αντιστοίχως, όπως αυτά προέκυψαν από την χρήση των µοντέλων k-ε και Spalart-Allmaras.132 xiv

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάλυση τυρβωδών ροών σε ανοικτούς αγωγούς µε επίπεδο πυθµένα, έχει µελετηθεί διεξοδικά από πολλούς ερευνητές. Ωστόσο, οι περισσότερες περιπτώσεις ροών µε ελεύθερη επιφάνεια που συναντώνται τόσο στην φύση (υδατορεύµατα και ποταµοί) όσο και στα τεχνικά έργα (διώρυγες ή κανάλια φυσικής διατοµής) σπάνια διατηρούν τον πυθµένα τους επίπεδο. Αιτία είναι κυρίως η µεταφορά φερτών υλικών κατά µήκος του πυθµένα των φυσικών ή τεχνητών αγωγών, που πραγµατοποιείται, όταν τέτοια φερτά υλικά είναι διαθέσιµα. Στον πυθµένα, λοιπόν, είναι δυνατόν να αναπτύσσονται σχηµατισµοί διαφόρων µεγεθών οι οποίοι αλληλεπιδρούν µε την ροή. Η αλληλεπίδραση αυτή µπορεί να αποτελεί, αντίστροφα, και αιτία γένεσης των σχηµατισµών αυτών. Η µελέτη, λοιπόν, της ροής πάνω από πυθµένα όπου πλέον δεν θα θεωρείται επίπεδος, αλλά θα ενυπάρχουν σχηµατισµοί κυµατοειδούς τύπου αποτελεί µια πιο ρεαλιστική έκφανση της ανάλυσης τυρβωδών ροών που αναπτύσσονται σε ανοικτούς αγωγούς. Αρκετοί ερευνητές ασχολήθηκαν µε την ανάλυση της ροής πάνω από πυθµένες που παρουσίαζαν διάφορους φυσικούς σχηµατισµούς. Οι πιο συνήθεις σχηµατισµοί που παρατηρήθηκαν ήταν οι ρυτιδώσεις των αµµωδών πυθµένων καθώς και η ανάπτυξη θινών. Στις περισσότερες εργασίες θεωρείται ότι οι πυθµένες των ανοικτών αγωγών βρίσκονται σε σταθερή (µόνιµη) κατάσταση, η γεωµετρία τους έχει πάρει µια τελική µορφή και η ροή δεν αλληλεπιδρά µε το υλικό του πυθµένα για τον σχηµατισµό της γεωµετρίας του. Οι διαστάσεις των αµµωδών σχηµατισµών (κυρίως των θινών) σχετίζονται άµεσα µε τα χαρακτηριστικά της ροής, όπως βάθος και ταχύτητα και για τις περισσότερες µελέτες επιλέγονται χαρακτηριστικές διαστάσεις των αµµωδών σχηµατισµών, όπως αυτές προκύπτουν είτε από µετρήσεις σε ποταµούς ή από πειραµατική προσοµοίωση. Ιδιαίτερα τα τελευταία χρόνια η ανάπτυξη σύγχρονων ισχυρών υπολογιστών έδωσε την δυνατότητα της αριθµητικής επίλυσης των ροών πάνω από σύνθετες γεωµετρίες πυθµένα και την εξαγωγή βασικών συµπερασµάτων για την συµπεριφορά της ροής. Επιπροσθέτως, το πρόβληµα της τυρβώδους ροής προσεγγίστηκε από άλλους ερευνητές πειραµατικά για περιπτώσεις πυθµένων των οποίων οι γεωµετρίες είναι τυπικά χαρακτηριστικές για µεγάλους ποταµούς. Οι MacLean & Dungan Smith (1986) προσέγγισαν το πρόβληµα της δισδιάστατης ροής πάνω από αµµώδεις θίνες, επιλύοντας αναλυτικά τις εξισώσεις κίνησης για το

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 εσωτερικό οριακό στρώµα που δηµιουργείται µετά το σηµείο επανακόλλησης της ροής. Τα αποτελέσµατα τα οποία εξήγαγαν, τόσο για την ταχύτητα όσο και για το πεδίο της διατµητικής τάσης, βρίσκονταν σε αρκετά καλή συµφωνία µε πειραµατικά καθώς και πεδιακά δεδοµένα από ροές πάνω από αµµώδεις θίνες πυθµένων. Οι Nelson & Dungan Smith (1989) βελτίωσαν περισσότερο το αναλυτικό µοντέλο του 1986 για την πρόβλεψη της ροής, έτσι ώστε να συµπεριλάβουν την περιοχή ανάµεσα στην κορυφή των αµµωδών θινών (crest) και στο σηµείο επανακόλλησης της ροής (reattachment point). Και εδώ όπως και στο προηγούµενο µοντέλο του 1986 τα αποτελέσµατα για την ταχύτητα καθώς και την διατµητική τάση βρίσκονταν σε καλή συµφωνία µε πειραµατικά δεδοµένα. Ο Lyn (1993) µελέτησε πειραµατικά την ροή πάνω από τεχνητούς σχηµατισµούς πυθµένα. Για την πειραµατική προσοµοίωση χρησιµοποιήθηκαν τριγωνικοί σχηµατισµοί πυθµένα µε ύψος περίπου ίσο µε 20 % του βάθους ροής και άνοιγµα περίπου12. 5 φορές το ύψος τους, σε δύο σχηµατισµούς. Η πρώτη περίπτωση αποτελούνταν από τρίγωνα των 45 0 που βρίσκονταν σε απόσταση το ένα από το άλλο και η δεύτερη περίπτωση από τριγωνικούς σχηµατισµούς που πλησίαζαν περισσότερο στη µορφή των αµµωδών σχηµατισµών, διατηρώντας στα ανάντη τους αρκετά ήπια κλίση µέχρι το µέγιστο ύψος τους (crest). Οι Yoon & Patel (1996) µελέτησαν αριθµητικά την δισδιάστατη ροή πάνω από πυθµένα όπου παρεµβάλλονταν σταθεροί σχηµατισµοί αµµωδών θινών, επιλύοντας τις εξισώσεις Navier-Stokes. Για το κλείσιµο της τύρβης χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο k-ω το οποίο µπορεί να προβλέψει το πεδίο της ταχύτητας καθώς και τύρβης που αναπτύσσεται στην περιοχή των θινών. Τα αποτελέσµατα τα οποία προκύπτουν συγκρίνονται µε πειραµατικά δεδοµένα και βρίσκονται σε καλή συµφωνία µε τα πειραµατικά δεδοµένα. Οι Cokljat & Kralj (1997) προσέγγισαν αριθµητικά την ροή πάνω από πυθµένα, στον οποίον παρεµβάλλονταν περιοδικά τριγωνικοί σχηµατισµοί, µε την µέθοδο των πεπερασµένων όγκων. Το κλείσιµο της τύρβης πραγµατοποιείται µε δύο µοντέλα, το RSM (Reynolds Stress Model) καθώς και το k-ε. Η ελεύθερη επιφάνεια ορίζεται σαν επίπεδο συµµετρίας (symmetry plane). Τα αποτελέσµατα τα οποία προκύπτουν συγκρίνονται µε πειραµατικά δεδοµένα. Από την σύγκριση φαίνεται ότι τα αποτελέσµατα που δίδει το µοντέλο k-ε βρίσκονται σε ικανοποιητική συµφωνία. Οι Cheong & Xue (1997) µελέτησαν αριθµητικά την ροή πάνω από αµµώδεις πυθµένες χρησιµοποιώντας το µοντέλο δύο εξισώσεων k-ε. Τα αριθµητικά αποτελέσµατα

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 τα οποία προέκυψαν συγκρίθηκαν µε πειραµατικά δεδοµένα του Raudkivi (1963, 1966) καθώς και νεότερα των Van Mierlo and De Ruiter (1988) και βρέθηκαν σε ικανοποιητική συµφωνία. Οι Kadota & Nezu (1999) προσπάθησαν να αναπαραστήσουν το πεδίο των δινών και στροβίλων που αναπτύσσεται πίσω από την κορυφή των αµµωδών θινών. Οι µετρήσεις των ταχυτήτων πραγµατοποιήθηκαν πειραµατικά µε την βοήθεια της συσκευής Laser Doppler. Για την αναπαράσταση των αµµωδών θινών χρησιµοποιήθηκε µια τριγωνοµετρική σχέση που συσχετίζει το ύψος θίνης µε την απόσταση από την αρχή του ανοίγµατός της. Τέλος, οι Yue et al. (2005) προσέγγισαν αριθµητικά την δισδιάστατη ροή πάνω από σταθερή γεωµετρία µορφής θινών, χρησιµοποιώντας την µέθοδο της προσοµοίωσης των µεγάλων δινών LES (Large Eddy Simulation). Τα αποτελέσµατα τα οποία εξήχθησαν βρέθηκαν σε καλή συµφωνία µε πειραµατικά δεδοµένα. Στην παρούσα εργασία γίνεται µια προσπάθεια µελέτης της τυρβώδους ροής που αναπτύσσεται σε ανοικτούς αγωγούς, στον πυθµένα των οποίων ενυπάρχουν σχηµατισµοί µορφής θινών. Η ροή προσεγγίζεται αριθµητικά µε την επίλυση των εξισώσεων Navier- Stokes υπό το πρίσµα της µεθόδου VOF (Volume Of Fluid), για την διαχείριση της ελεύθερης επιφάνειας. Για το κλείσιµο της τύρβης χρησιµοποιείται το µοντέλο δύο εξισώσεων k-ε καθώς και το µοντέλο µιας εξίσωσης, Spalart-Allmaras. Για την επαλήθευση της αριθµητικής µεθόδου η οποία έχει χρησιµοποιηθεί, µελετάται το πρόβληµα της ροής σε ανοικτό αγωγό µε επίπεδο πυθµένα και τα αριθµητικά αποτελέσµατα συγκρίνονται µε γνωστά πειραµατικά δεδοµένα. Χρησιµοποιούνται πέντε διαφορετικές περιπτώσεις διαστάσεων αµµωδών σχηµατισµών πυθµένα, τρεις εκ των οποίων διατηρούν σταθερό άνοιγµα προς βάθος ροής L/d = 5 και ύψη h/d = 0.15, 0.25 και 0.35 και τρεις σταθερό λόγο ανοίγµατος προς ύψος L/h = 20. Μελετάται η διαµόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας πάνω από την περιοχή 5 αµµωδών θινών οι οποίες βρίσκονται σε ακολουθία, καθώς και το πεδίο ταχυτήτων και τύρβης που χαρακτηρίζει τη ροή. Η παρουσίαση που ακολουθεί διαρθρώνεται σε επτά κεφάλαια. Αρχικά περιγράφονται οι φυσικοί µηχανισµοί µέσω των οποίων αναπτύσσονται και διαµορφώνονται οι σχηµατισµοί πυθµένα. Παρουσιάζονται τα διάφορα είδη σχηµατισµών που συνήθως απαντώνται σε ποτάµια και φυσικά υδατορρεύµατα και δίνονται

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 προσεγγιστικές εξισώσεις για την περιγραφή τους. Επιπλέον, καθορίζεται το καθεστώς της ροής υπό το οποίο αναπτύσσονται οι διάφοροι αυτοί σχηµατισµοί. Στη συνέχεια δίνονται οι διαφορικές εξισώσεις της ροής που χρησιµοποιούνται για την προσοµοίωση του φυσικού φαινοµένου υπό το πρίσµα της µεθόδου VOF, καθώς και τα διάφορα µοντέλα κλεισίµατος της τύρβης. ίνεται ιδιαίτερη έµφαση στα χρησιµοποιούµενα µοντέλα k-ε και Spalart-Allmaras και παρουσιάζονται οι εξισώσεις τους. Στο επόµενο κεφάλαιο δίνεται η αριθµητική µεθοδολογία επίλυσης της τυρβώδους ροής. Παρουσιάζεται η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων που χρησιµοποιείται για την διακριτοποίηση των εξισώσεων καθώς και τα αριθµητικά σχήµατα επίλυσης που χρησιµοποιούνται. Επιπλέον, γίνεται µια γενικότερη ανασκόπηση των µεθόδων προσέγγισης της ελεύθερης επιφάνειας, εκτός της µεθόδου VOF, και ορίζονται οι οριακές συνθήκες εισόδου-εξόδου, τοιχώµατος και ορίων συµµετρίας που χρησιµοποιούνται για την προσοµοίωση ροών σε ανοικτούς αγωγούς. Στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο αριθµητικός κώδικας FLUENT ο οποίος χρησιµοποιήθηκε για την προσοµοίωση του προβλήµατος. Παρουσιάζονται κυρίως οι δυνατότητες του προγράµµατος ανάλυσης της ροής (διαθέσιµες οριακές συνθήκες, διαθέσιµοι λύτες, µέθοδοι διακριτοποίησης και επεξεργασίας αποτελεσµάτων), καθώς και του προεπεξεργαστή του GAMBIT για την κατασκευή της γεωµετρίας και του υπολογιστικού πλέγµατος. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η επίλυση του προβλήµατος των θινών µε την χρήση του κώδικα. Αρχικά το πρόβληµα αντιµετωπίζεται µακροσκοπικά και προσεγγίζεται µε την βοήθεια της µονοδιάστατης ανάλυσης. Υπολογίζονται µέσες τιµές µεγεθών που αργότερα θα χρησιµοποιηθούν για τον καθορισµό των αρχικών και οριακών συνθηκών του προβλήµατος. Το πρόβληµα επιλύεται αρχικά για επίπεδο πυθµένα, για τον οποίο τόσο γνωστά πειραµατικά δεδοµένα όσο και µέσες τιµές από την µονοδιάστατη ανάλυση µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως µέτρο σύγκρισης. Τέλος, µε βάση την αριθµητική µέθοδο που χρησιµοποιείται στον επίπεδο πυθµένα προσεγγίζεται το φυσικό πρόβληµα των θινών. Στα τελευταία δυο κεφάλαια, έβδοµο και όγδοο, γίνεται η παρουσίαση των αποτελεσµάτων που προέκυψαν από την αριθµητική επίλυση του προβλήµατος και ο σχολιασµός τους αντιστοίχως.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 5 2. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των ροών σε ανοικτούς αγωγούς των οποίων οι πυθµένες συνίστανται από αµµώδες υλικό, είναι η αµοιβαία αλληλεπίδραση ανάµεσα στην ροή και στην αποσάθρωση του πυθµένα, που λαµβάνει χώρα µέσω των µηχανισµών της στερεοµεταφοράς. Η αλληλεπίδραση αυτή είναι υπαίτια για την δηµιουργία µεγάλης ποικιλίας µορφών γεωµετρίας πυθµένα, κυρίως σε περιπτώσεις ροών σε φυσικά υδατορρεύµατα. Ο πυθµένας, λοιπόν, ξεκινά µε τη δηµιουργία ρυτιδώσεων (ripples), Σχ. 2.1, για µικρές διατµητικές τάσεις (shear stresses) προχωρώντας στην ανάπτυξη αµµωδών θινών (sand dunes), Σχ. 2.2, 2.3, για µεγαλύτερες τιµές των διατµητικών τάσεων. Άλλοι σχηµατισµοί, συναρτώµενοι µε περαιτέρω αύξηση των διατµητικών τάσεων ή των ταχυτήτων, µπορεί να είναι η ανάπτυξη αντί-θινών (antidunes) και στασίµων κυµατοειδών σχηµατισµών (standing waves) ή ακόµα για µεγαλύτερες τιµές των ταχυτήτων η δηµιουργία λεκανών (pools). Τέλος, για µεγάλες τιµές των ταχυτήτων είναι δυνατόν να παρατηρηθεί ακόµα και "ξέπλυµα" των αµµωδών σχηµατισµών έως την πλήρη επιπεδοποίηση του πυθµένα (Karim, 1999). Η αντίσταση στη ροή λόγω των σχηµατισµών του πυθµένα, προκαλούµενη λόγω τοπικής αποκόλλησης και ανακυκλοφορίας πίσω από τα εµπόδια, Σχ. 2.4, µπορεί να είναι αρκετά σηµαντική. Η αντίσταση αυτή εξαρτάται από τις διαστάσεις των εµποδίων τα οποία κυρίως οφείλονται στα χαρακτηριστικά της ροής και του υλικού του πυθµένα. Λόγω της σηµαντικότητας του υπολογισµού της συνολικής αντίστασης που προκαλείται στη ροή από την γεωµετρίας και µορφολογία του πυθµένα, η ακριβής πρόβλεψη της γεωµετρίας των σχηµατισµών αποτελεί πρωταρχικό παράγοντα για την µελέτη των χαρακτηριστικών της ροής. Γνωρίζοντας την µορφολογία του πυθµένα σε ανοιχτούς αγωγούς, όπως και σε φυσικά υδατορρεύµατα µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε την αντίσταση που προκαλείται στη ροή και την διαµόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας κυρίως σε περιπτώσεις πληµµυρών σε ποτάµια όπου συµβαίνει απότοµη µεταβολή της παροχής. Επιπλέον, η καλή γνώση της

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 6 µορφολογίας του πυθµένα και της αλληλεπίδρασής της µε τα χαρακτηριστικά της ροής είναι σηµαντική για την αποφυγή πιθανών προβληµάτων που µπορεί να προκύψουν είτε κατά τη διευθέτηση φυσικών υδατορρευµάτων και χειµάρρων, είτε ακόµα κατά τον σχεδιασµό υδραυλικών κατασκευών ελέγχου πληµµυρών και παροχής. Σχήµα 2.1: Ripples στον ποταµό Rum, Minnesota USA. Σχήµα 2.2: ηµιουργία αµµωδών θινών σε παράκτιο υδατόρρευµα, παραλία Takatoyo, Ιαπωνία. Τέλος, η γνώση του πεδίου ροής και κυρίως η κατανοµή και τα µεγέθη των τυρβωδών χαρακτηριστικών πάνω από πυθµένες διαφόρων σχηµατισµών, αποτελεί σηµαντικό παράγοντα για την αντιµετώπιση περιβαλλοντικών προβληµάτων σε υδατικά σώµατα στον πυθµένα των οποίων ενυπάρχουν ή διαµορφώνονται οι σχηµατισµοί αυτοί. Για

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 7 παράδειγµα, η διάθεση ρύπων σε φυσικά υδατορρεύµατα και ποτάµια καθώς και οι διαδικασίες µεταφοράς και µίξεως εξαρτώνται άµεσα από το πεδίο ροής και τα χαρακτηριστικά της τύρβης που αναπτύσσονται σε αυτά. Σχήµα 2.3: Dunes στον ποταµό North Loup, Nebraska USA. Σχήµα 2.4: Αλληλεπίδραση της ροής µε τους σχηµατισµούς πυθµένα (Nezu & Nakagawa, 1993).

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΠΥΘΜΕΝΑ Λόγω της σηµαντικότητας της η γεωµετρία των σχηµατισµών αµµωδών πυθµένων έχει µελετηθεί διεξοδικά από πολλούς ερευνητές. Αρκετά αξιοσηµείωτες εργασίες έχουν γίνει από τους Julien & Klaassen (1995), Kennedy & Odgaard (1990) και Van Rijn (1984). Η γεωµετρία των θινών (dunes) αρκετά µεγάλων ποταµών προσεγγίστηκε από τους Kennedy and Odgaard (1990) οι οποίοι πρότειναν µια απλή σχέση που συνέδεε το ύψος και το µήκος των dunes για µεγάλα ποτάµια. Η αναλυτική σχέση των ερευνητών αυτών στηρίχτηκε στην ιδέα των απωλειών ενέργειας κατά µήκος µιας απότοµης διεύρυνσης (expansion) σε κλειστό αγωγό. Η ισχύς της σχέσεως την οποίαν εξήγαγαν περιορίστηκε µόνο σε περιπτώσεις πολύ µεγάλων θινών (megadunes). Οι Shen et al. (1990) εργάστηκαν µε βάση αποτελέσµατα εργαστηριακών πειραµάτων, στα οποία θεωρούσαν την γεωµετρία του πυθµένα του καναλιού αµετακίνητη, και κατέληξαν σε σχέσεις που συνδέουν τους συντελεστές αντίστασης στον πυθµένα µε το ύψος των θινών (dunes). O Van Rijn (1984), αναλύοντας µεγάλο αριθµό εργαστηριακών και πεδιακών δεδοµένων από θίνες, κατάφερε να συσχετίσει το ύψος και το άνοιγµα των θινών ως συνάρτηση του βάθους ροής και µιας παραµέτρου στερεοµεταφοράς (συνάρτηση της κοκοµετρίας και της κρίσιµης διατµητικής τάσης). Ωστόσο, σηµαντικές εργασίες στην περιοχή αυτή έγιναν από τους Yalin (1964), Ranga Raju & Soni (1976) και Allen (1978) οι οποίοι εξέφρασαν το ύψος των θινών ως συνάρτηση της διατµητικής τάσης πυθµένα και άλλων παραµέτρων. Από απόψεως θεωρητικών προσεγγίσεων, οι οποίες βασίστηκαν σε θεωρίες ευστάθειας όσον αφορά τους µηχανισµούς αναπτύξεως µορφολογίας κλίνης ποταµών, σηµαντική ήταν η συνεισφορά της δουλειάς του Kennedy (1963) που ανέλυσε δυναµική ροή πάνω από ηµιτονοειδή πυθµένα. Πρόσφατες εργασίες σηµαντικής συµβολής στον τοµέα αυτό βασίστηκαν σε αναλυτικές θεωρήσεις που έχουν γίνει, µεταξύ άλλων, από τους Fredsoe (1982) και Haque & Mahmood (1985, 1987). Οι Haque & Mahmood (1985) ανέπτυξαν µια κινηµατική θεωρία για την πρόβλεψη διαστατών σχηµατισµών από ripples και dunes. Ο ρόλος του αιωρούµενου στερεού (suspended sediment) στον τελικό σχηµατισµό της µορφολογίας του πυθµένα εξειδικεύτηκε από τους Haque & Mahmood (1987), οι οποίοι έλυσαν τις εξισώσεις µεταφοράς - διάχυσης του αιωρούµενου στερεού προκειµένου να προσδιορίσουν τα σηµαντικά αποτελέσµατα της ταχύτητας της ροής καθώς και της ταχύτητας πτώσης των σωµατιδίων του στερεού στην ανάπτυξη της µορφολογίας του πυθµένα.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 9 Τόσο στο παρελθόν όσο και σήµερα γίνεται εκτενής έρευνα για τους µηχανισµούς που οδηγούν στην δηµιουργία διαφόρων σχηµατισµών στους πυθµένες προσχωσιγενών (alluvial) ρευµάτων και ποταµών. Η συνθετότητα του φαινοµένου και κυρίως η δυσκολία απόδοσης τελικών εκφράσεων που να αποδίδουν το φυσικό φαινόµενο έγκειται κυρίως στην τρισδιάστατη φυσική των σχηµατισµών, στην αλληλεπίδραση αρκετών παραµέτρων µεταξύ ροής και ιζήµατος καθώς και σε πρακτικές δυσκολίες που προκύπτουν κατά τη µέτρηση των αµµωδών σχηµατισµών, κυρίως σε µετρήσεις πεδίου. Ωστόσο, οι διάφοροι σχηµατισµοί έχουν προσεγγιστεί µέσω εµπειρικών σχέσεων που αποδίδουν αρκετά καλά την φυσική τους γεωµετρία. 2.3 ΦΥΣΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΠΥΘΜΕΝΑ Η βασική αιτία για την δηµιουργία αµµωδών σχηµατισµών, στους πυθµένες των ανοιχτών αγωγών που καταλαµβάνονται από µαλακά ιζήµατα, είναι η στερεοµεταφορά. Συγκεκριµένα, η διατµητική τάση που αναπτύσσεται κατά µήκος του πυθµένα του καναλιού οδηγεί σε αποκόλληση και αιώρηση του χαλαρού υλικού του, µε αποτέλεσµα τον σχηµατισµό διαφόρων τύπων πυθµένα. Το υλικό του πυθµένα µπορεί να "ταξιδεύει" µε δύο διαφορετικούς τρόπους, σαν φορτίο κλίνης ή σε αιώρηση. Σε χαµηλούς αριθµούς Froude, το φορτίο κλίνης είναι ο επικρατών µηχανισµός µεταφοράς του ιζήµατος, και υπό αυτό το καθεστώς έχουµε την δηµιουργία σχηµατισµών µορφής ρυτίδων ή θινών. Σε υψηλότερες συνθήκες ροής, όπου στον πυθµένα αναπτύσσονται µορφές αντί-θινών, το ίζηµα µεταφέρεται κυρίως σε αιώρηση. Η µεταφορά του ιζήµατος δεν είναι συνεχής αλλά πάνω από ένα αρκετά σηµαντικό τµήµα του πυθµένα η διεύθυνσή του αντιστρέφεται. Γενικά, η µετακίνηση του ιζήµατος εξαρτάται από το σχηµατισµό του ολκού στο υπήνεµο τµήµα της γεωµετρίας του πυθµένα σε συνδυασµό µε τις τοπικές τυρβώδεις διαταραχές καθώς και την τοπική αντίσταση. Όταν το κατώφλι της µετακίνησης του ιζήµατος ξεπεραστεί τότε εντελώς τυχαία είναι δυνατόν να δηµιουργηθεί ένας µικρός σωρός από ίζηµα σε κάποια θέση του πυθµένα δηµιουργώντας εκεί µια τοπική διαταραχή. Η διαταραχή αυτή δηµιουργεί στον επίπεδο πυθµένα ένα είδος διεπιφάνειας ή επιφάνειας ασυνέχειας στη ροή παρόµοια µε εκείνη που δηµιουργείται στη ροή πάνω από αναβαθµό ή καταβαθµό. Στη διατµητική ροή αυτής της διεπιφάνειας η ένταση της τύρβης είναι αρκετά υψηλή και οι κόκκοι του ιζήµατος τινάσσονται προς τα πάνω αναµειγνυόµενοι µε το ρευστό λόγω των τυρβωδών διαταραχών

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 10 που συµβαίνουν κυρίως στο σηµείο όπου επανακολλάται η ροή πίσω από το σωρό του ιζήµατος, Σχ.2.5. Κατάντη του σηµείου επανακόλλησης της ροής, οι τυρβώδεις διαταραχές µειώνονται και βαθµιαία αναπτύσσεται ένα είδος οριακού στρώµατος. Η µέση διάτµηση, που παρέχει τη δύναµη για την µεταφορά των κόκκων του ιζήµατος, είναι µηδενική στο σηµείο επανακόλλησης της ροής και αυξάνει στην κατάντη διεύθυνση. Λόγω της µείωσης των διαταραχών µετά το σηµείο επανακόλλησης κάποιο από το υλικό του ιζήµατος που βρίσκονταν σε κίνηση δεν µπορεί πλέον να διατηρηθεί σε διαταραχή και µεταφέρεται προς τα κατάντη δηµιουργώντας έτσι µετά την πτώση του έναν δεύτερο σωρό από ίζηµα. Η διαδικασία αυτή (µηχανισµός) συνεχίζεται µέχρι που δηµιουργούνται οι πρώτοι σχηµατισµοί πάνω στον επίπεδο πυθµένα του καναλιού (Raudkivi, 1966). Ο µηχανισµός δηµιουργίας των αµµωδών θινών (dunes) φαίνεται στα παρακάτω σκαριφήµατα του Σχ Βασική παράµετρος για τον σχηµατισµό και την διάδοσή τους κατάντη του καναλιού είναι ένα είδος στροβίλου στερεού ιζήµατος που ξεκινά ακριβώς από το σηµείο απανακόλλησης της ροής και ανεβαίνει προς την ελεύθερη επιφάνειά της. Ο στρόβιλος αυτός που εµφανίζεται στην ελεύθερη επιφάνεια σαν κοχλασµός (kolk - boil) µεταφέρεται κατάντη από τη µέση ροή και καταστρέφεται (boil dissipating) αφήνοντας το υλικό του ιζήµατος που µεταφέρει να πέσει σε κατάντη σηµείο του πυθµένα, Σχ.2.6. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως τον τελικό σχηµατισµό της µορφολογίας των dunes (equilibrium stage).

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 11 Σχήµα 2.5: ηµιουργία αµµωδών σχηµατισµών στον πυθµένα ποταµού, (a) φάση ανάπτυξης, (b) κατάσταση ισορροπίας Σχήµα 2.6: Μοντέλο δηµιουργίας ανοδικών στροβίλων 2.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΜΜΩ ΩΝ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ Με βάση τη θεώρηση ότι η απώλεια ενέργειας που προκαλείται από την αντίσταση των αµµωδών σχηµατισµών του πυθµένα, h f, µπορεί να υπολογιστεί από τις απώλειες φορτίου κατά µήκος µιας απότοµης διεύρυνσης σε ανοιχτό αγωγό, ο Karim (2000) κατέληξε στην παρακάτω έκφραση συσχετίζοντας τις παραµέτρους h του ύψους, d του βάθους ροής και L του ανοίγµατος των αµµωδών σχηµατισµών, Σχ. 1.7.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 12 Σχήµα 2.7: Ορισµός βάθους ροής d, ύψους θίνης h και ανοίγµατος L h d 2 F L S f 8 d = (2.1) 2 Κ F C 1 όπου f = συντελεστής τριβής κατά Darcy - Weisbach οφειλόµενος αποκλειστικά στην τραχύτητα των κόκκων του εδαφικού υλικού, που µπορεί να υπολογιστεί από τις διαθέσιµες σχέσεις όπως το διάγραµµα Moody (αντικαθιστώντας την διάµετρο του κλειστού αγωγού µε την τετραπλάσια τιµή της υδραυλικής ακτίνας ή του βάθους ροής και το ύψος τραχύτητας από την τιµή D 50, της διαµέτρου των κόκκων). Όπου S είναι η κατάπτωση της ενέργειας που εκφράζεται ως το άθροισµα των απωλειών ενέργειας λόγω της τραχύτητας των κόκκων S καθώς και της αντίστασης που οφείλεται στη µορφολογία του πυθµένα S. ηλαδή, S = S S. Θεωρώντας S σχεδόν αµελητέο προκύπτει: S h L C 2 S = Κ F 1 (2.2) Η τιµή της αδιάστατης παραµέτρου C 1 δίνεται από την παρακάτω σχέση: C 1 β h 1 ( 1 β ) 2 d = 2 2 h 1 β h 1 2 β 4 2 d d (2.3) όπου β παράµετρος που καθορίζει την θέση στην οποία συµβαίνει επανακόληση της ροής (reattachment point) πίσω από κάθε dune. Μια µέση τιµή του β περίπου γύρω στο 0.22

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 13 προτάθηκε από τους Haque & Mahmood (1985), η οποία χρησιµοποιείται σε αρκετές πρακτικές εφαρµογές. Στα ανωτέρω, F είναι ο αριθµός Froude της ροής. Όσον αφορά την τιµή του συντελεστή απωλειών Κ, οι Brater & King (1976) δίνουν µια προσεγγιστική τιµή γύρω στο Ωστόσο, ο συντελεστής απωλειών σύµφωνα µε τους Shen et al. (1990) µπορεί να δοθεί ως συνάρτηση του λόγου h/d από την παρακάτω έκφραση: h Κ = 0.44 d (2.4) Σηµειώνεται ότι µε βάση την παραπάνω εξίσωση οι τιµές του Κ ποικίλουν από 0.18 έως 0.30 για τιµές του λόγου h/d ανάµεσα στο 0.10 και 0.35, τιµές που βρίσκονται αρκετά κοντά σε αυτήν που προτείνεται από τους Brater & King (1976) Προσεγγιστικές εκφράσεις ανάµεσα στο βάθος ροής και το άνοιγµα των σχηµατισµών. Αρκετές σχέσεις είναι διαθέσιµες στη βιβλιογραφία που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να προσεγγίσουµε την γεωµετρία των σχηµατισµών, που αναπτύσσονται στον πυθµένα των ποταµών. Οι παρακάτω εκφράσεις δίνουν τη σχέση ανάµεσα στο βάθος ροής d και το µήκος L των σχηµατισµών αυτών. Έχοντας την σχέση L/d µε βάση την εξίσωση (2.1) µπορούµε να προβλέψουµε τον λόγο h/d του ύψους των σχηµατισµών των πυθµένα προς το βάθος ροής Ρυτιδώσεις (ripples) O Yalin (1964) ανέλυσε εκτεταµένα εργαστηριακά δεδοµένα και πρότεινε την παρακάτω προσεγγιστική έκφραση, ως µέση τιµή, για το µήκος των ripples: L = 1,000 D (2.5) 50 όπου D 50 = µέσο µέγεθος των κόκκων του ιζήµατος κλίνης.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ Θίνες (dunes) Οι Julien & Klaassen (1995) ανέλυσαν έναν µεγάλο αριθµό από εργαστηριακά και πεδιακά δεδοµένα και πρότειναν µια συντηρητική πρώτη προσέγγιση για το άνοιγµα/ µήκος των dunes, σύµφωνα µε τη σχέση: L d = 6.25 (2.6) Η ανάλυσή τους περιελάµβανε εκτεταµένα πεδιακά δεδοµένα για µεγάλα ποτάµια στην Ευρώπη, στις Ηνωµένες Πολιτείες καθώς και σε άλλες χώρες. Η εξίσωση (1.6) L προσεγγίζει αρκετά σε εκείνη του Van Rijn (1984) που πρότεινε µια σχέση = 7. 3 καθώς d και του Yalin που θεωρητικά εξήγαγε µια σχέση της µορφής L = 2 π. d Αντιθίνες ή κυµατοειδείς σχηµατισµοί (antidunes or standing waves) Ο Kennedy (1963) πρότεινε την παρακάτω έκφραση για την περίπτωση των αντιθινών και το µήκος των κυµατοµορφών πυθµένα: L d 2 = 2 π F (2.7) Η έκφραση (1.7) φαίνεται να βρίσκεται σε καλή συµφωνία µε παρατηρούµενες εργαστηριακές και πεδιακές τιµές, και χρησιµοποιείται ευρέως σε πρακτικές εφαρµογές Μεταβατικές καταστάσεις στο σχηµατισµό της γεωµετρίας του πυθµένα Οι διαστάσεις των σχηµατισµών του πυθµένα µεταβάλλονται απότοµα κατά τη διάρκεια της διαδικασίας της µετάβασης, η οποία λαµβάνει χώρα µε µεταβολή της διαµόρφωσης του πυθµένα από dunes, σε "ξέπλυµα" των dunes έως την τελική επιπεδοποίηση. Τα χαρακτηριστικά της ροής όπως τα βάθη, οι ταχύτητες και η αντίσταση επίσης µεταβάλλονται απότοµα, ανταποκρινόµενα στο απότοµα µειούµενο ύψος των

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 15 θινών και στην ταυτόχρονη επιµήκυνσή τους που παρατηρείται κατά το στάδιο µετάβασης. Αν και όλες οι απότοµες αυτές µεταβολές έχουν ήδη παρατηρηθεί, τόσο σε πειραµατικά κανάλια όσο και σε πραγµατικές ροές ποταµών, ωστόσο ο υποκείµενος αυτός φυσικός µηχανισµός δεν είναι έως σήµερα απολύτως γνωστός. Έτσι, δεν είναι διαθέσιµος κανένας ακριβής τύπος που να προσοµοιώνει το φαινόµενο της µετάβασης και της µεταβολής της γεωµετρίας των θινών. Ωστόσο, έχει γενικά παρατηρηθεί ότι κατά τη διάρκεια της µεταβάσεως το ύψος των θινών µπορεί να µεταβληθεί σηµαντικά ή και ελάχιστα, αλλά το µήκος τους πάντοτε αυξάνει σηµαντικά (Haque and Mahmood, 1987). Υπό αυτές τις συνθήκες, λοιπόν, σχέσεις όπως η (2.6) ή παρόµοιες δεν µπορούν πλέον να είναι εφαρµόσιµες. Οι Haque & Mahmood (1987) βασισµένοι σε θεωρητικές αναλύσεις δεδοµένων που προέκυψαν από πειράµατα και πεδιακές µετρήσεις κατέληξαν σε µια γενικότερη σχέση για την έκφραση του λόγου L/d, η οποία δίνεται παρακάτω: L = 7.37 d g q s ( s 1) D (2.8) όπου s = ειδική βαρύτητα του ιζήµατος και q s = συνολική στερεοπαροχή ανά µονάδα πλάτους η οποία µπορεί να υπολογιστεί από την παρακάτω σχέση: g q s = ( s 1) D g ( s ) V 50 1 D U * W 1.47 (2.9) όπου V = η ταχύτητα της ροής, U * = η διατµητική ταχύτητα = g d S και W = η ταχύτητα πτώσεως των σωµατιδίων του στερεού υλικού για διάµετρο D 50 (µέση διάµετρος του ιζήµατος). Η εξίσωση (1.9) δίνει αποτελέσµατα τα οποία βρίσκονται σε καλή συµφωνία µε παρατηρούµενες τιµές στερεοπαροχής τόσο σε πειραµατικά κανάλια όσο και σε πραγµατικά ποτάµια (Karim, 1998). Μπορεί να χρησιµοποιηθεί οποιαδήποτε από τις παραπάνω σχέσεις προκειµένου να προβλεφθεί η µορφή της γεωµετρίας του πυθµένα, αντίστοιχα για κάθε περίπτωση, όπως ρυτίδες (ripples), θίνες (dunes), αντί-θίνες (antidunes ή standing waves) και επίπεδο

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 16 πυθµένα (flat bed). Ωστόσο, είναι αρκετά σηµαντικό να µπορεί να προβλεφθεί ένα είδος ορίων ευστάθειας µέσα στα οποία µπορεί να αναπτυχθεί και να διατηρηθεί ο τύπος κάθε µορφής γεωµετρίας. Μια σχέση η οποία µπορεί να προβλέψει το καθεστώς κάτω από το οποίο αναπτύσσονται συγκεκριµένες µορφές γεωµετρίας πυθµένα, προτάθηκε από τον Karim (1995). Ύστερα από ανάλυση εργαστηριακών δεδοµένων διαµορφώθηκαν δύο σχέσεις που εξέφραζαν ένα είδος "περιοριστικών" αριθµών Froude: 0.25 d F t = και D d F u = (2.10 α,β) D50 Όπου F t = αριθµός Froude που εκφράζει την έναρξη της διαδικασίας µετάβασης, και F u = αριθµός Froude που εκφράζει το ανώτατο όριο της διαδικασίας. Βασισµένοι στη σχέση (2.10 α,β), µπορούµε να προσδιορίσουµε διαφορετικές καταστάσεις, όσον αφορά τη γεωµετρία που αναπτύσσεται στον πυθµένα ενός ποταµού, για δοσµένο αριθµό Froude ( F = V g d ). Μπορούµε, λοιπόν, να καθορίσουµε τα παρακάτω όρια: Χαµηλή περιοχή (Lower regime) µε ανάπτυξη ρυτίδων και θινών F F t (2.11 α) Μεταβατική περιοχή (Transition regime) που περιλαµβάνει και το "ξέπλυµα" των θινών F F (2.11 β) t F u Υψηλή περιοχή (Upper regime) µε ανάπτυξη αντί-θινών ή και επιπεδοποίηση του πυθµένα F F u (2.11 γ)

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 17 Με βάση την ανάλυση αυτή, η εξίσωση (2.11 α) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των dunes, η διαδικασία της µετάβασης εκφράζεται µέσω της εξίσωσης (2.11 β), ενώ η εξίσωση (2.11 γ) µπορεί να εκφράσει το καθεστώς κάτω από το οποίο προκαλούνται οι σχηµατισµοί αντί-θινών (κυρίως για πρακτικές εφαρµογές µε τιµές του αριθµού Froude, F 0. 8 ) Σε συνδυασµό µε τα παραπάνω έχουν δηµιουργηθεί ειδικότερες εκφράσεις για τον καθορισµό του καθεστώτος κάτω από το οποίο ο πυθµένας των ποταµών διαµορφώνεται σε σχηµατισµούς ripples. Ύστερα από εργαστηριακές αναλύσεις δεδοµένων οι Guy et al. (1966) καθόρισαν έναν αδιάστατο αριθµό Ν * ως το γινόµενο: N * U = * D ν 50 g V ( s 1) D50 (2.12) U * D50 Όπου = Re* ν = οριακός αριθµός Reynolds και g V ( s 1) D 50 = F * = ο αριθµός Froude ορισµένος για το υλικό του ιζήµατος. Έχει, λοιπόν, βρεθεί ότι για τιµές Ν * < 80 παρατηρείται η εµφάνηση των σχηµατισµών ripples στον πυθµένα των ποταµών, για περισσότερες από τις παρατηρούµενες φυσικές ροές καθώς και σε πυθµένες εργαστηριακών καναλιών. Αντίστοιχη σχέση προτείνεται και από τον Raudkivi (1997) σύµφωνα µε τον οποίο η µορφή ripples στον πυθµένα των αγωγών διατηρείται για τιµές του R * < Συµπεραίνουµε, έτσι, ότι µε βάση τα χαρακτηριστικά της ροής είναι δυνατόν να προβλεφθεί η ανάπτυξη κάποιων από τους πιθανούς σχηµατισµούς, όπως ripples, dunes, antidunes ή ακόµα και plane bed στον πυθµένα των ποταµών. 2.5 ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΠΥΘΜΕΝΑ ΠΟΤΑΜΩΝ Αξίζει να αναφερθούν, κυρίως για λόγους πληρότητας, κάποιες από τις σηµαντικές σχέσεις που προκύπτουν από τη βιβλιογραφία για την προσέγγιση της γεωµετρίας του πυθµένα των ποταµών. Οι σχέσεις δίνονται περιληπτικά, είναι γενικές και καλύπτουν όλα τα στάδια ανάπτυξης µορφών πυθµένα, από ripples και dunes έως κατάσταση antidunes και πλήρους επιπεδοποίησης, ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά της ροής και της

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 18 κοκκοµετρίας του ιζήµατος. Με h εκφράζεται το ύψος του σχηµατισµού και d είναι το βάθος ροής, όπως αυτά παρουσιάζονται στο Σχ Yalin (1964) h d τ c 1 = 1 6 τ (2.13) όπου τ c = κρίσιµη διατµητική τάση για µέσο µέγεθος υλικού πυθµένα D 50, και τ = διατµητική τάση στον πυθµένα. Ranga Raju & Soni (1976) h d D 50 = 6500 d τ 3 * F F * ( ) 8 3 (2.14) όπου F * = αριθµός Froude ορισµένος για το υλικό του ιζήµατος = V g ( s 1) D50 τ * και = αδιαστατοποιηµένη διατµητική τάση πυθµένα οφειλόµενη στην τραχύτητα των κόκκων του ιζήµατος. Allen (1978) h d θ θ θ θ = (2.15) όπου θ = αδιαστατοποιηµένη διατµητική τάση πυθµένα. Van Rijn (1984) h d D = 0.11 d T ( 1 e ) ( 25 T ) (2.16)

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 19 Όπου Τ = παράµετρος που εκφράζει το βαθµό στερεοµεταφοράς = U U 1, µε cr U * = διατµητική ταχύτητα πυθµένα σχετιζόµενη µε την κοκκοµετρία του υλικού του, και U *cr = κρίσιµη διατµητική ταχύτητα πυθµένα. 2 Kennedy and Odgaard (1990) h d = 1 1.2λαf o 2 8C D 1.2λαf 8C D o 2 2 2πF f o f 1.2λ CDC1 f o (2.17) Όπου f 0 = συντελεστής τριβής κατά Darcy - Weisbach σε επίπεδο άκαµπτο πυθµένα, f = συντελεστής τριβής κατά Darcy - Weisbach του πυθµένα, F = αριθµός Froude και C 1 = 0.25, C D = 1.0, α = 5, λ = 1.0 Julien and Klaassen (1995) h d = 0.3 D d (2.18) Karim (1995) U Για W είναι: h d U = W U W U * U * W W (2.19 α) U Για W U ή είναι: W

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΛΙΝΗΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΜΜΩ ΕΙΣ ΠΥΘΜΕΝΕΣ 20 h d = 0 (2.19 β) Οι παραπάνω εκφράσεις προτείνονται για την πρόβλεψη των σχηµατισµών πυθµένα σε προσχωσιγενή ποτάµια ή φυσικά υδατορεύµατα. Οι χαρακτηριστικές διαστάσεις ύψους h, ανοίγµατος L και βάθους ροής d είναι σύµφωνα µε τον τρόπο που εµφανίζονται στο Σχ Ωστόσο, για πρακτικές εφαρµογές έχουν αναπτυχθεί κι άλλες εκφράσεις για την προσέγγιση των σχηµατισµών πυθµένα που δίνουν µε µεγαλύτερη ακρίβεια το ύψος του αµµώδους σχηµατισµού, h, για κάθε θέση του ανοίγµατός του, L. Χαρακτηριστική είναι η τριγωνοµετρική συνάρτηση που δίνουν οι ερευνητές Kadota & Nezu (1999). Οι διαστάσεις της αµµώδους θίνης που χρησιµοποιούν, για την πειραµατική προσοµοίωση τυρβώδους ροής σε ποταµούς, είναι τυπική εκείνων που συχνά παρατηρούνται σε φυσικά υδατορεύµατα µε λόγους ύψους θίνης προς ανοίγµατός της, h L = 1 20 και ανοίγµατος θίνης προς βάθος ροής, L d = 5. Εδώ, οι χαρακτηριστικές διαστάσεις ύψους h, ανοίγµατος L και βάθους ροής d, ορίζονται σύµφωνα µε το παρακάτω σκαρίφηµα, Σχ.2.8. Είναι εµφανές, ότι οι έκφραση που προτείνεται από τους Kadota & Nezu (1999) είναι διαφορετική από αυτή που προτείνεται από τους Julien & Klaassen (1995) ή των Van Rijn (1984) και Yalin. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι Kadota & Nezu θεωρούν ως βάθος ροής από την ελεύθερη επιφάνεια έως την στάθµη του επίπεδου πυθµένα και όχι µέχρι το ήµισυ του ύψους της αµµώδους θίνης, όπως θεωρούν οι άλλοι ερευνητές. Παρακάτω, δίνεται η έκφραση της εξίσωσης (2.20) βάση της οποίας µπορεί να αναπαρασταθεί µια κλασική γεωµετρία αµµώδους θίνης που συνήθως απαντάται σε ποταµούς. h d = h d max 1 sin π 2X (2.20) όπου X = 20x 38 για 0.95 < x 0. 0 X = 10x 9 για 0.0 < x 0. 05

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο

ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, E.M.Π ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 8 ο Άσκηση Οικισµός ΑΒΓ Α υδροδοτείται από δεξαµενή µέσω

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-148-3

ISBN 978-960-456-148-3 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-48-3 Copyright: Πρίνος Παναγιώτης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 009 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΣΗΣΗ 5

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΣΗΣΗ 5 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΣΗΣΗ 5 Προσδιορισµός του ύψους του οραικού στρώµατος µε τη διάταξη lidar. Μπαλής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Σκλήρυνση µεταλλικού υλικού είναι η ισχυροποίησή του έναντι πλαστικής παραµόρφωσης και χαρακτηρίζεται από αύξηση της σκληρότητας, του ορίου διαρροής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Environmental Fluid Mechanics Laboratory University of Cyprus Department Of Civil & Environmental Engineering ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ HM 134 ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Εγχειρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Περατότητα και Διήθηση διαμέσου των εδαφών

Περατότητα και Διήθηση διαμέσου των εδαφών Περατότητα και Διήθηση διαμέσου των εδαφών Costas Sachpazis, (M.Sc., Ph.D.) Διάρκεια = 17 λεπτά 1 Τι είναι Περατότητα των εδαφών? Ένα μέτρο για το πόσο εύκολα ένα ρευστό (π.χ., νερό) μπορεί να περάσει

Διαβάστε περισσότερα

8.1 1. 2. 8.2 1. Η 10 2. Η

8.1 1. 2. 8.2 1. Η 10 2. Η ΚΕΦ. 8 ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ 8. Γενικα. Τα µαθηµατικά και φυσικά οµοιώµατα είναι πολύ χρήσιµα για βασική και εφαρµοσµένη έρευνα, σε µία ευρεία περιοχή οριακών συνθηκών, δια µέσου της οποίαςείναιδυνατόνναπροκύψουνγενικοίκανόνεςσχεδιασµού..

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις εδάφους νερού Σχέσεις μάζας όγκου των συστατικών του εδάφους Εδαφική ή υγρασία, τρόποι έκφρασης

Σχέσεις εδάφους νερού Σχέσεις μάζας όγκου των συστατικών του εδάφους Εδαφική ή υγρασία, τρόποι έκφρασης Γεωργική Υδραυλική Αρδεύσεις Σ. Αλεξανδρής Περιγραφή Μαθήματος Σχέσεις εδάφους νερού Σχέσεις μάζας όγκου των συστατικών του εδάφους Εδαφική ή υγρασία, τρόποι έκφρασης Χαρακτηριστική Χ ή καμπύλη υγρασίας

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6-5... 25

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.6-5... 25 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΣΩΛΗΝΕΣ... 3.1 Γενικά... 3. Είσοδος σε σωλήνα Μήκος εισόδου- Οµοιόµορφη ροή... 3.3 Εξίσωση Darcy-Weisbach Απώλειες ενέργειας εξαιτίας τριβών... 5 3.4 Κατανοµή διατµητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: CSE220 Υδραυλική Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: CSE220 Υδραυλική Ι ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: CSE220 Υδραυλική Ι (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΣΤΕΦ ΤΜΗΜΑ Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Κατεύθυνση Πολιτικών Μηχανικών ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναλύσεις πλημμυρικών δεδομένων

Αναλύσεις πλημμυρικών δεδομένων Ημερίδα Ερευνητικού Προγράμματος ΔΕΥΚΑΛΙΩΝ «Εκτίμηση πλημμυρικών ροών στην Ελλάδα σε συνθήκες υδροκλιματικής μεταβλητότητας: Ανάπτυξη φυσικά εδραιωμένου εννοιολογικού-πιθανοτικού πλαισίου και υπολογιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ -Ειδικότητα Υδραυλική Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΠΜ 477 ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΠΜ 477 ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΠΜ 477 ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΝΕΡΟΥ ΟΜΑΔΑ:. ΗΜΕΡ. ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ... ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 1.0 ΕΙΣΑΓΩΓH... 2.0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.1. ΝΕΡΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Αρδεύσεις (Εργαστήριο)

Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Αρδεύσεις (Εργαστήριο) Ενότητα 7 :Κλειστοί Αγωγοί Ι Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Ροή σε κλειστούς αγωγούς υπό πίεση 5.1. Γενικά Η ροή των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 nq

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 nq Σχεδίαση και Κατασκευή Υδροστροβίλου Pelton 150kWµε Αριθµητική Βελτιστοποίηση Σχεδιασµού των Σκαφιδίων Παναγιωτόπουλος Μιχαήλ (ΚΑΠΕ) Παναγιωτόπουλος Αλέξανδρος (ΕΜΠ) Α µέρος: Μελέτη και κατασκευή υδροστροβίλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΚΤΩΝ

ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΚΤΩΝ ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΚΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΟΥ ΑΚΤΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΣΤΗΝ ΑΚΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΗΝ ΑΚΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2015 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

Με k1 = 1.220, k2 = 2.232, k3 = 3.238, and n = 1,2,3,

Με k1 = 1.220, k2 = 2.232, k3 = 3.238, and n = 1,2,3, ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΠΟΜ 114(Ε) ΟΠΤΙΚΗ ιάθλαση φωτός µέσω σχισµής, γύρω από µικρό δοκάρι και µέσω µικρής οπής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET Παραμετρική ανάλυση κοχλιωτών συνδέσεων με μετωπική πλάκα χρησιμοποιώντας πεπερασμένα στοιχεία Χριστόφορος Δημόπουλος, Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος Διδάκτωρ ΕΜΠ Περίληψη Η εν λόγω εργασία παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδους) υγρών µε την µέθοδο της πτώσης µικρών σφαιρών

Προσδιορισµός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδους) υγρών µε την µέθοδο της πτώσης µικρών σφαιρών Μ8 Προσδιορισµός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδους) υγρών µε την µέθοδο της πτώσης µικρών σφαιρών 1. Εισαγωγή Η έννοια της τριβής υπεισέρχεται και στα ρευστά και είναι σηµαντική για πολλές διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΥΠΟΕΡΓΟΥ 04. " Εκπαίδευση Υποστήριξη - Πιλοτική Λειτουργία "

ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ ΥΠΟΕΡΓΟΥ 04.  Εκπαίδευση Υποστήριξη - Πιλοτική Λειτουργία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΒΑΛΑΣ Επιχειρησιακό Πρόγραµµα "Ψηφιακή Σύγκλιση" Πράξη: "Εικονικά Μηχανολογικά Εργαστήρια", Κωδικός ΟΠΣ: 304282, ΣΑΕ 3458 «Η Πράξη συγχρηµατοδοτείται από το Ευρωπαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα: Αρχιμήδης ΙΙ - Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στα Τ.Ε.Ι (ΕΕΟΤ)

Πρόγραμμα: Αρχιμήδης ΙΙ - Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στα Τ.Ε.Ι (ΕΕΟΤ) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. II) «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙ - ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους.

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους. Πρόβλημα Λάδι πυκνότητας 900 kg / και κινηματικού ιξώδους 0.000 / s ρέει διαμέσου ενός κεκλιμένου σωλήνα στην κατεύθυνση αυξανομένου υψομέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα. Η πίεση και το υψόμετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Ερπυσμού. ΕργαστηριακήΆσκηση 4 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Ερπυσμού. ΕργαστηριακήΆσκηση 4 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Ερπυσμού ΕργαστηριακήΆσκηση 4 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο πειραµατικός προσδιορισµός της καµπύλης ερπυσµού, υπό σταθερό εξωτερικό φορτίο και ελεγχοµένη θερµοκρασία εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΑΓΩΓΗ () Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΜΑΛΑΚΙ - ΒΟΛΟΣ» Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΜΑΛΑΚΙ - ΒΟΛΟΣ» Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΜΑΛΑΚΙ - ΒΟΛΟΣ» «ΣΥΝΔΕΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓΡΙΑΣ Δ. ΒΟΛΟΥ ΜΕ Ε.Ε.Λ. Δ.Ε.Υ.Α.Μ.Β.»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείµενο της παρούσας µεταπτυχιακής εργασίας είναι η διερεύνηση της επίδρασης των σηράγγων του Μετρό επί του υδρογεωλογικού καθεστώτος πριν και µετά την κατασκευή τους. Στα πλαίσια της, παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ροϊκών φαινομένων για μεγιστοποίηση θερμανταλλαγής σε ολοκληρωμένο ηλιακό σύστημα συλλέκτη-αποθήκης

Μελέτη ροϊκών φαινομένων για μεγιστοποίηση θερμανταλλαγής σε ολοκληρωμένο ηλιακό σύστημα συλλέκτη-αποθήκης ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Π. ΓΚΕΡΤΖΟΥ ΔΙΠΛ. ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ Μελέτη ροϊκών φαινομένων για μεγιστοποίηση θερμανταλλαγής σε ολοκληρωμένο ηλιακό σύστημα συλλέκτη-αποθήκης ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΠΟΥ ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

τα μεταλλικά Μια στρώμα. Για την έννοια πως αν και νανοσωματίδια (με εξάχνωση Al). πρέπει κανείς να τοποθετήσει τα μερικές δεκάδες nm πράγμα

τα μεταλλικά Μια στρώμα. Για την έννοια πως αν και νανοσωματίδια (με εξάχνωση Al). πρέπει κανείς να τοποθετήσει τα μερικές δεκάδες nm πράγμα Φραγή Coulomb σε διατάξεις που περιέχουν νανοσωματίδια. Ι. Φραγή Coulomb σε διατάξεις που περιέχουν μεταλλικά νανοσωματίδια 1. Περιγραφή των διατάξεων Μια διάταξη που περιέχει νανοσωματίδια μπορεί να αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση Ανδρέας Ευστρατιάδης, υποψήφιος διδάκτορας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών πόρων Ποσοτική και ποιοτική θεώρηση της λειτουργίας του ταµιευτήρα Πλαστήρα Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ. Ισοζύγιο µηχανικής ενέργειας

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ. Ισοζύγιο µηχανικής ενέργειας ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Συστήµατα µεταφοράς ρευστών Ισοζύγιο µηχανικής ενέργειας Η αντίσταση στην ροή και η κίνηση ρευστών µέσα σε σωληνώσεις επιτυγχάνεται µε την παροχή ενέργειας ή απλά µε την αλλαγή της δυναµικής

Διαβάστε περισσότερα

ενεργειακών απαιτήσεων πρώτης ύλης, ενεργειακού περιεχομένου παραπροϊόντων, τρόπους αξιοποίησής

ενεργειακών απαιτήσεων πρώτης ύλης, ενεργειακού περιεχομένου παραπροϊόντων, τρόπους αξιοποίησής Πίνακας. Πίνακας προτεινόμενων πτυχιακών εργασιών για το εαρινό εξάμηνο 03-4 ΤΜΗΜΑ: MHXANIKΩN ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Α/Α Τίτλος θέματος Μέλος Ε.Π Σύντομη περιγραφή Προαπαιτούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ.Π.Θ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 008-009 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ . ΚΛΕΙΣΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ 1 1-1 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε BJT s 1 και ιπλή Έξοδο Ανάλυση µε το Υβριδικό Ισοδύναµο του Τρανζίστορ 2 Ανάλυση µε βάση τις Ενισχύσεις των Βαθµίδων CE- 4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γεωλογείν περί Σεισμών...3. 2. Λιθοσφαιρικές πλάκες στον Ελληνικό χώρο... 15. 3. Κλάδοι της Γεωλογίας των σεισμών...

ΜΕΡΟΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γεωλογείν περί Σεισμών...3. 2. Λιθοσφαιρικές πλάκες στον Ελληνικό χώρο... 15. 3. Κλάδοι της Γεωλογίας των σεισμών... ΜΕΡΟΣ 1 1. Γεωλογείν περί Σεισμών....................................3 1.1. Σεισμοί και Γεωλογία....................................................3 1.2. Γιατί μελετάμε τους σεισμούς...........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα

Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα Μοντελοποίηση (FEM) της δυναµικής συµπεριφοράς του κοπτικού εργαλείου κατά το φραιζάρισµα Κατά την διάρκεια των κοπών η κοπτική ακµή καταπονείται οµοιόµορφα σε µήκος της επιφάνειας αποβλίττου ίσο µε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: «ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΠΑΡΑΛΙΑΚΟΥ ΜΕΤΩΠΟΥ ΒΟΛΟΥ» «ΔΙΚΤΥΟ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΑΚΑΘΑΡΤΩΝ ΑΓ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Δ. ΒΟΛΟΥ» 3.866.000,00 πλέον

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανεμογενείς Κυματισμοί

Ανεμογενείς Κυματισμοί Ανεμογενείς Κυματισμοί Γένεση Ανεμογενών Κυματισμών: Μεταφορά ενέργειας από τα κινούμενα κατώτερα ατμοσφαιρικά στρώματα στις επιφανειακές θαλάσσιες μάζες. Η ενέργεια αρχικά περνά από την ατμόσφαιρα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Σύνοψη δραστηριοτήτων Σύνοψη δραστηριοτήτων 0-04-2009 ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑΣ ΙΠΤΑ Γενικά Στοιχεία Αναγκαιότητα για γιααποθήκευση Θερμοτητας (ΑΘ) (ΑΘ): : Ηλιακή ακτινοβολία :: Παρέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Μεταπτυχιακό πρόγραµµα σπουδών «Αντισεισµικός Σχεδιασµός Τεχνικών Έργων» Μάθηµα: «Αντισεισµικός Σχεδιασµός Θεµελιώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή

Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές. Εργαστηριακή Ασκηση. Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕIΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡIΟ ΘΕΡΜIΚΩΝ ΣΤΡΟΒIΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Mάθημα: Θερμικές Στροβιλομηχανές Εργαστηριακή Ασκηση Μέτρηση Χαρακτηριστικής Καμπύλης Βαθμίδας Αξονικού Συμπιεστή Κ. Μαθιουδάκη Καθηγητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ - ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ - ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ - ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΛΟΓΙΑ-ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ & ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διατριβή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνολικός Χάρτης Πόλης

Συνολικός Χάρτης Πόλης Στα πλαίσια εφαρµογής της οδηγίας 2002/49/ΕΚ, για την αντιµετώπιση των σοβαρών περιβαλλοντικών προβληµάτων που αντιµετωπίζουν οι πόλεις, εξαιτίας του οδικού Θορύβου, µε σοβαρές επιπτώσεις στην ανθρώπινη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΛΙΕΣ. 1.-Εισαγωγή-Γενικά. 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες. 3.-Επιλογή Αντλίας. 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη. 5.

ΑΝΤΛΙΕΣ. 1.-Εισαγωγή-Γενικά. 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες. 3.-Επιλογή Αντλίας. 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη. 5. ΑΝΤΛΙΕΣ 1.-Εισαγωγή-Γενικά 2.-Χαρακτηριστικές καμπύλες 3.-Επιλογή Αντλίας 4.-Αντλίες σε σειρά και σε παράλληλη διάταξη 5.-Ειδική Ταχύτητα 1.-Εισαγωγή-Γενικά - Μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε υδραυλική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΟΙΧΟΥ TROMBE & ΤΟΙΧΟΥ ΜΑΖΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΩΣ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΝΕΡΟΥ ΜΕ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΜΑΡΜΑΡΟ

ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΟΙΧΟΥ TROMBE & ΤΟΙΧΟΥ ΜΑΖΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΩΣ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΝΕΡΟΥ ΜΕ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΜΑΡΜΑΡΟ ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΟΙΧΟΥ TROMBE & ΤΟΙΧΟΥ ΜΑΖΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΩΣ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΝΕΡΟΥ ΜΕ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΜΑΡΜΑΡΟ Α1) ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΗΛΙΑΚΟΥ ΤΟΙΧΟΥ Ο ηλιακός τοίχος Trombe και ο ηλιακός τοίχος μάζας αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης

Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης ΠΩΣ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΕΤΕ ΗΛΕΚΤΡΟΔΟΝΗΤΗ ITALVIBRAS Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης Τα συστήματα στα οποία χρησιμοποιείται η δόνηση μπορούν να χωριστούν στις εξής κατηγορίες: Συστήματα ελεύθερης ταλάντωσης, τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΘΟΡΑ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΟ ΠΟΛΥΑΞΟΝΙΚΟ ΦΡΑΙΖΑΡΙΣΜΑ

ΦΘΟΡΑ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΟ ΠΟΛΥΑΞΟΝΙΚΟ ΦΡΑΙΖΑΡΙΣΜΑ ΦΘΟΡΑ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΟ ΠΟΛΥΑΞΟΝΙΚΟ ΦΡΑΙΖΑΡΙΣΜΑ Είναι γνωστό ότι η διάρκεια ζωής ενός κοπτικού εργαλείου είναι ένας από τους σηµαντικότερους παράγοντες κατά την κοπή των µετάλλων, επειδή επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ & ΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING DEPARTMENT

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Όπως θα δούμε και παρακάτω το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων, δηλαδή «κόβουν» κάποιες ανεπιθύμητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Διαπερατότητα Σκυροδεμάτων και Τσιμεντοκονιαμάτων. Πειραματικά Αποτελέσματα. Ιωάννης Ιωάννου Επίκουρος Καθηγητής

Διαπερατότητα Σκυροδεμάτων και Τσιμεντοκονιαμάτων. Πειραματικά Αποτελέσματα. Ιωάννης Ιωάννου Επίκουρος Καθηγητής Διαπερατότητα Σκυροδεμάτων και Τσιμεντοκονιαμάτων Πειραματικά Αποτελέσματα Επίκουρος Καθηγητής Διαπερατότητα: ΔΙΑΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ Ορίζεται ως η ικανότητα ενός πορώδους μέσου να επιτρέπει σε ένα ρευστό να ρέει

Διαβάστε περισσότερα

Ανεµογεννήτριες. Γιάννης Κατσίγιαννης

Ανεµογεννήτριες. Γιάννης Κατσίγιαννης Ανεµογεννήτριες Γιάννης Κατσίγιαννης Ισχύςαέριαςδέσµης Ηισχύς P air µιαςαέριαςδέσµηςείναιίσηµε: P air 1 = ρ 2 A V 3 όπου: ρ: πυκνότητααέρα Α: επιφάνεια (για µια ανεµογεννήτρια αντιστοιχεί στην επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Κόσκινο κατά ASTM ή διάσταση

Κόσκινο κατά ASTM ή διάσταση Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Φυσικά χαρακτηριστικά εδαφών. Ημερομηνία: Δευτέρα 18 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό.

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΘΕΣΗΣ ΥΓΡΩΝ ΛΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΘΕΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain)

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) Μηχανικές ιδιότητες υάλων Η ψαθυρότητα των υάλων είναι μια ιδιότητα καλά γνωστή που εύκολα διαπιστώνεται σε σύγκριση με ένα μεταλλικό υλικό. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) E (Young s modulus)=

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η επιστήμη της Θερμοδυναμικής (Thermodynamics) συσχετίζεται με το ποσό της μεταφερόμενης ενέργειας (έργου ή θερμότητας) από ένα σύστημα προς ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Περιεχόμενα Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Κεφαλαιο 1: Eισαγωγή... 1 1. ΕΠΙΣΤΗΜΗ, ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ... 1 2. ΜΙΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΟ ΝΕΡΟ. Εισαγωγή - Ορισμοί

ΥΠΟΓΕΙΟ ΝΕΡΟ. Εισαγωγή - Ορισμοί ΥΠΟΓΕΙΟ ΝΕΡΟ Εισαγωγή - Ορισμοί Ως «υπόγειο νερό» ορίζεται το προερχόμενο από τη διήθηση νερού ατμοσφαιρικής προέλευσης, που πληροί τα δομικά κενά των γεωλογικών υλικών και μαζών κάτω από την επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση ιξώδους λιπαντικών

Μέτρηση ιξώδους λιπαντικών 5 η Εργαστηριακή Άσκηση Μέτρηση ιξώδους λιπαντικών Εργαστήριο Τριβολογίας Μάιος 2011 Αθανάσιος Μουρλάς Η λίπανση Ως λίπανση ορίζεται η παρεμβολή μεταξύ των δύο στοιχείων του τριβοσυστήματος τρίτου κατάλληλου

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό στη Δημόσια Διοίκηση

Μεταπτυχιακό στη Δημόσια Διοίκηση Μεταπτυχιακό στη Δημόσια Διοίκηση Εισαγωγικό Μήνυμα Καλωσορίσατε στο εξ αποστάσεως Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα στη Δημόσια Διοίκηση. Στόχος του προγράμματος αυτού είναι παρέχει υψηλού επιπέδου εκπαίδευση σε

Διαβάστε περισσότερα