Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1"

Transcript

1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45

2 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i neka je x točka iz te okoline. Ako kvocijent f (x) f (x 0 ) x x 0 ima graničnu vrijednost kada x x 0, onda tu graničnu vrijednost zovemo derivacijom funkcije f u točki x 0 i označavamo sa f (x 0 ). Dakle, f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 2 / 45

3 Definicija derivacije funkcije Ako označimo s x = x x 0 i s y = f (x) f (x 0 ), onda prethodnu derivaciju funkcije u točki x 0 možemo zapisati ovako: f (x 0 ) = y lim x 0 x, x je prirast varijable x, a y prirast funkcije. Ako funkcija f ima derivaciju u svakoj točki x intervala (a, b), onda kažemo da je funkcija f derivabilna na intervalu (a, b). U tom slučaju f je nova funkcija koju zovemo derivacija funkcije f na intervalu (a, b) i f (x) = za svaki x (a, b). y lim x 0 x = lim x 0 f (x + x) f (x), x 3 / 45

4 Primjeri derivacije funkcije po definiciji Primjer 1. Derivacija konstante f (x) = c, f (x) = 2. (cf ) = c f, c je konstanta f (x + x) f (x) c c lim = lim x 0 x x 0 x 3. Derivacija linearne funkcije f (x) = kx + l, x R f (x) = f (x + x) f (x) lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 k(x + x) + l kx l x k x x = k = 0 4 / 45

5 Primjeri derivacije funkcije po definiciji Primjer 4. Derivacija funkcije f (x) = x 2, x R f (x) = f (x + x) f (x) lim x 0 x x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 = lim x 0 x = lim (2x + x) = 2x x 0 5. Derivacija funkcije f (x) = x 3, x R (x + x) 2 x 2 = lim x 0 x f (x + x) 3 x 3 (x) = lim x 0 x = lim (3x 2 + 3x x + ( x) 2 ) = 3x 2 x 0 5 / 45

6 Primjeri derivacije funkcije Derivacija potencije Funkcija f (x) = x n, n R, n 0 ima derivaciju (x n ) = nx n 1. Odredite po definiciji derivacije f (2) ako je (a) f (x) = 2x + 5 (b) f (x) = 3 2 x (c) f (x) = 1 x (d) f (x) = 2x Odredite po definiciji derivaciju funkcije f u zadanom intervalu ako je: (a) f (x) = 1 x, x 0 (b) f (x) = x, x > 0 6 / 45

7 Pravila deriviranja Neka su funkcije f i g derivabilne na istom intervalu (a, b). Tada za svaki x (a, b) vrijedi: 1. derivacija zbroja i razlike [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) 2. derivacija produkta [f (x) g(x)] = f (x) g(x) + f (x) g (x) 3. derivacija kvocijenta [ ] f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) (g(x)) 2, g(x) 0 4. derivacija kompozicije funkcija [f g] (x) = [f (g(x))] = f ((g(x)) g (x) 5. derivacija inverzne funkcije [f 1 (x)] = 1 f (f 1 (x)) 7 / 45

8 Zadaci Derivirajte slijedeće funkcije: (a) f (x) = x 5 7x 2 + 4x 2 (b) f (x) = x x 5 x (c) f (x) = (4x 3)(x 2 + 2x 3) (d) f (x) = 4 x x Derivirajte slijedeće funkcije: (a) f (x) = 3 x + 1 (c) f (x) = x 3 4 x x (b) f (x) = x x x x (d) f (x) = x / 45

9 Derivacije trigonometrijskih funkcija Derivacije trigonometrijskih funkcija: (a) (sin x) = cos x (b) (cos x) = sin x (c) (tg x) = 1 cos 2 x (d) (ctg x) = 1 sin 2 x Nadite f (x) ako je (a) f (x) = x + sin x sin 2 (b) f (x) = cos x x + π (c) f (x) = x ctg x (d) f (x) = x tg x 9 / 45

10 Derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije Derivacija eksponencijalne funkcije je: Derivacija logaritamske funkcije je: Za a = e, iz prethodnog, slijedi i (a x ) = a x ln a (log a x) = 1 x ln a (e x ) = e x (ln x) = 1 x 10 / 45

11 Nadite f (x) ako je (a) f (x) = 2 x + log 2 x ln 2 + e 2 (b) f (x) = x ln x (c) f (x) = 2 x ln x (d) f (x) = x e x (e) f (x) = x ln x + ex x. Nadite f (x) ako je (a) f (x) = x 2 (b) f (x) = sin 2 x x (c) f (x) = x sin x + tg x 11 / 45

12 Derivacija arkus funkcija Primjer (Derivacije arkus funkcija) Koristeći pravilo [f 1 (x)] = 1 f (f 1 (x)) odredite derivacije arkus funkcija. Rješenje: (arcsin x) 1 = cos(arcsin x) = 1 = 1 sin 2 (arcsin x) (arccos x) 1 = sin(arccos x) = 1 1 cos 2 (arccos x) = (arctg x) = (arcctg x) = 1 1 cos 2 (arctg x) 1 1 sin 2 (arcctg x) 1 1 x 2 1 = 1 + tg 2 (arctg x) = x 2 1 = 1 + ctg 2 (arcctg x) = x x 2 12 / 45

13 Tablica derivacija elementarnih funkcija f (x) f (x) C 0 x r rx r 1, x > 0, r R a x a x ln a e x e x 1 log a x x ln a sin x cos x cos x sin x 1 tg x cos 2 x 1 ctg x sin 2 x 1 arcsin x 1 x 2 1 arctg x 1+x 2 13 / 45

14 Derivacije višeg reda Ako funkcija f ima derivaciju u svakoj točki intervala (a, b), onda je f i sama funkcija definirana na tom intervalu. Njezinu derivaciju označavamo s f i nazivamo drugom derivacijom funkcije f. Primjer Ako je f (x) = x 5 + 3x 3 2x, onda je f (x) = 5x 4 + 9x 2 2, f (x) = 20x x. Derivacije višeg reda Druga derivacija funkcije f je derivacija prve derivacije. Označavamo je s f. Derivacije trećeg i četvrtog reda označavamo s f i f IV. Za veće brojeve n, derivaciju n tog reda označavamo s f (n). f (n) (x) = (f (n 1) (x)). 14 / 45

15 Primjer Za funkciju f (x) = 2x 4 + 5x 3 x 2 + 2x vrijedi: f (x) = 8x x 2 2x + 2 f (x) = 24x x 2 f (x) = 48x + 30 f IV (x) = 48 f (5) (x) = 0 Primjer Za funkciju f (x) = xe x vrijedi: f (x) = e x + xe x = (x + 1)e x f (x) = e x + e x + xe x = (x + 2)e x f (x) = e x + e x + e x + xe x = (x + 3)e x. Indukcijom se pokaže da vrijedi: f (n) (x) = (x + n)e x. 15 / 45

16 Derivacija složene funkcije Podsjetimo se: Derivaciju složene funkcije računamo formulom: Primjer [f g] (x) = [f (g(x))] = f (g(x)) g (x). Izračunajte derivaciju složene funkcije f (x) = (x 1) 2. Funkciju f možemo zapisati kao f (x) = h(g(x)), gdje je g(x) = x 1, h(x) = x 2. Dakle, f (x) = [h(g(x))] = h (g(x)) g (x) = 2(x 1) 1. Derivirajte složene funkcije: (a) y = sin x 2, (b) y = arcsin x, y = sin 2 x y = arcsin x (c) y = 2 arctg x + cos 2 x + sin kx, k R. 16 / 45

17 Derivacija implicitnih funkcija Ako je funkcija zadana implicitnom formulom, onda njezinu derivaciju možemo naći primjenom pravila za derivaciju složene funkcije, ali moramo imati u vidu da je y funkcija od x. Primjer Derivacija funkcije x 2 + y 2 Derivirajte funkciju y = f (x) zadanu implicitno (a) x 2 y e y + 5 = 0 (b) arctg x y 5xy y 2 = 0. 9 = 1 je 2x y y = 0, odnosno y = 9x y. 17 / 45

18 Logaritamsko deriviranje Logaritamsko deriviranje koristimo za deriviranje funkcija oblika y = f (x) g(x). Postupak kojim dolazimo do derivacije: 1. logaritmiramo obje strane 2. deriviramo obje strane, pri čemu y deriviramo kao složenu funkciju 3. sredimo dobiveni izraz 18 / 45

19 Logaritamsko deriviranje Primjer Odredite derivaciju funkcije f (x) = x sin x. Ova funkcija je oblika y = f (x) g(x) pa slijedimo postupak logaritamskog deriviranja. ln f (x) = sin x ln x Zatim deriviramo obje strane i dobijemo f (x) f (x) = cos x ln x + sin x x, odnosno f (x) = ( cos x ln x + sin x ) x sin x x 19 / 45

20 Zadaci Izračunajte derivaciju funkcije (a) f (x) = (sin x) x (b) f (x) = x x Diferencijal funkcije f u točki x je izraz df (x) = f (x)dx = f x. U zadacima će nam biti važan slijedeći izraz f (x + x) f (x) + f (x) x Približno izračunajte: (a) 17 (b) 15 (c) sin 31 (d) / 45

21 Primjena diferencijalnog računa funkcije jedne varijable Definicija tangente i normale Jednadžba tangente na krivulju y = f (x) u točki x 0 je y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normala na krivulju y = f (x) u točki x 0 je pravac koji prolazi točkom (x 0, f (x 0 )) i okomit je na tangentu u toj točki. Jednadžba normale glasi y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) pri čemu smo pretpostavili da je f (x 0 ) 0. Ako je f (x 0 ) = 0, onda je jednadžba tangente y = y 0, a normale x = x / 45

22 Zadaci Odredite jednadžbu tangente i normale krivulje u zadanoj točki (a) f (x) = x 2 + 5x 6, T (2, y 0 ) (b) y = tg x 2, T ( π 2, y ) 0 (c) x 2 + y 2 = 1, T ( 1 2, y < 0) (d) xy 2 + ln y = 1, T (1, 1) Napišite jednadžbu tangente krivulje u točkama u kojima su tangente paralelne zadanom pravcu te nacrtajte sliku ako je (a) y = x, x + y 3 = 0 (b) y = x 2 6x + 8, y = 2x 3 22 / 45

23 Zadaci Napišite jednadžbu normale krivulje u točkama u kojima su normale paralelne zadanom pravcu te nacrtajte sliku ako je (a) y = 1 x + 1, x 8 + y 2 = 1 (b) y = 5 x 2, y = 2x Odredite tangentu koja prolazi ishodištem za krivulje te nacrtajte sliku ako je (a) y = 1 x (b) y = 2 ln x / 45

24 Zadaci Napišite jednadžbu tangenata krivulje povučenih iz zadane točke na krivulju (a) y = 2 x 2 2, T ( 1 2, 2) (b) y = 1, T (4, 2) x Napišite jednadžbu tangente i normale krivulje x 2 2x + y 2 = 0 u točkama presjeka krivulje i pravca y = x te nacrtajte sliku. 2 Za koju se vrijednost parametra a krivulje y = ax 4 i y = ln x dodiruju te nacrtajte sliku. 24 / 45

25 Kut izmedu krivulja Kut pod kojim se sijeku dvije krivulje definira se kao kut izmedu njihovih tangenata povučenih u točkama sjecišta. Neka je T (x 0, y 0 ) točka sjecišta krivulja. Tada kut izmedu krivulja definiramo kao tg ϕ = k t1 k t2 1 + k t1 k t2, gdje je k t1 = f 1 (x 0), a k t2 = f 2 (x 0). Odredite kut pod kojim krivulja (a) y = ln(x + 1) siječe x os (b) y = e x + 1 siječe y os te nacrtajte sliku. 25 / 45

26 Zadaci Odredite kut pod kojim se sijeku krivulje (a) y = x 3, y = 1 x 2 (b) y = 1 + sin x, y = 1 (c) x 2 + y 2 = 5, y 2 = 4x (d) y = 2 sin x, y = 2 cos x (e) x 2 y 2 = 5, 4x 2 + 9y 2 = 72 te nacrtajte sliku. 26 / 45

27 L Hospitalovo pravilo L Hospitalovo pravilo za neodredeni oblik 0 0, : Neka su f, g : (a, b)\{x 0 } R derivabilne funkcije i vrijedi lim f (x) = lim g(x) = 0 i g (x) 0 za svaki x (a, b)\{x 0 }. x x 0 x x0 Tada vrijedi Izračunajte: 3x x (a) lim 3 x 0 2x x 2 x sin 3x (b) lim x 0 x+sin 2x (c) lim x e x x 3 (d) lim x 0 x ln x f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). 27 / 45

28 Pad i rast funkcije Interval (a, b) na kojem je funkcija rastuća ili padajuća nazivamo interval monotonosti funkcije f. Neka je funkcija f derivabilna na intervalu (a, b). Tada vrijedi: 1. funkcija f je rastuća na intervalu (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svaki x (a, b) 2. funkcija f je padajuća na intervalu (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svaki x (a, b) 3. funkcija f strogo rastuća na intervalu (a, b) ako je f (x) > 0 za svaki x (a, b) 4. funkcija f strogo padajuća na intervalu (a, b) ako je f (x) < 0 za svaki x (a, b). 28 / 45

29 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Točku u kojoj je vrijednost derivacije funkcije jednaka nuli nazivamo stacionarna točka. Minimum i maksimum funkcije: Kažemo da je točka x 0 lokalni minimum funkcije f, ako postoji interval (c, d) koji sadrži točku x 0 tako da vrijedi f (x 0 ) < f (x), za svaki x (c, d), x x 0. Kažemo da je točka x 0 lokalni maksimum funkcije f, ako postoji interval (c, d) koji sadrži točku x 0 tako da vrijedi f (x 0 ) > f (x), za svaki x (c, d), x x 0. Minimum i maksimum funkcije zovemo ekstremima funkcije. 29 / 45

30 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Nužan uvjet za lokalni ekstrem: Ako funkcija u točki ekstrema ima derivaciju, onda ta derivacija mora biti jednaka nuli. Traženje lokalnih ekstrema: 1. odredimo stacionarne točke funkcije f 2. odredimo intervale monotonosti 3. ako je x 0 stacionarna točka, onda se njezin karakter odreduje na temelju rasta ili pada funkcije lijevo i desno od te točke, a oni su dani predzacima derivacije 30 / 45

31 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Ako je lijevo od x 0 f (x 0 ) > 0, a desno od x 0 f (x 0 ) < 0, onda je x 0 lokalni maksimum funkcije f f 0 4 f 0 Ako je lijevo od x 0 f (x 0 ) < 0, a desno od x 0 f (x 0 ) > 0, onda je x 0 lokalni minimum funkcije f. f 0 4 f min 31 / 45

32 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Ako je i lijevo i desno od x 0 f (x 0 ) > 0, (f (x 0 ) < 0) onda x 0 nije ekstrem funkcije f f f f f / 45

33 Globalni ekstrem Ako tražimo maksimum ili minimum na cijelom intrevalu [a, b], onda govorimo o globalnim ekstremima. Takav se ekstrem ne mora postizati u stacionarnoj točki unutar intervala, već i na njegovom rubu. U toj točki derivacija ne mora biti nula. Nužan uvjet za globalni ekstrem: Na intervalu [a, b] funkcija može poprimiti ekstrem samo u točkama u kojima je: 1. derivacija jednaka nuli 2. derivacija ne postoji (točka prekida) 3. u krajevima intervala 33 / 45

34 Druga derivacija i ekstremi Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema možemo izraziti i pomoću druge derivacije. Ispitivanje karaktera ekstrema pomoću druge derivacije: 1. izračunajmo f i f 2. riješimo jednadžbu f (x) = 0 (njena rješenja su stacionarne točke) 3. ako je f (x 0 ) > 0, onda funkcija u x 0 postiže minimum 4. ako je f (x 0 ) < 0, onda funkcija u x 0 postiže maksimum 5. ako je f (x 0 ) = 0, onda karakter točke x 0 istražujemo pomoću prve derivacije 34 / 45

35 Zadaci Odredite lokalne ekstreme i intervale monotonosti funkcija a) f (x) = x x b) f (x) = x 2 e x c) f (x) = x 2 3 (1 x) 2 3. Pomoću druge derivacije odredite lokalne ekstreme funkcija a) f (x) = 1 3 x x 4 b) f (x) = 2x 2 ln x 35 / 45

36 Konveksnost i konkavnost funkcije Konveksnost i konkavnost funkcije: Za funkciju f kažemo da je konveksna na intervalu (a, b) ako na intervalu (a, b) vrijedi f (x) > 0. Graf konveksne funkcije leži iznad tangente povučene u po volji odabranoj točki intervala f / 45

37 Konveksnost i konkavnost funkcije Za funkciju f kažemo da je konkavna na intervalu (a, b) ako na intervalu (a, b) vrijedi f (x) < 0. Graf konkavne funkcije leži ispod tangente povučene u po volji odabranoj točki intervala f / 45

38 Konveksnost i konkavnost funkcije Ako je na intervalima (a, b), (b, c) druga derivacija različitih preznaka, onda u točki b funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu granu ili obratno. Točku b nazivamo točkom pregiba (infleksije) funkcije f interval konveksnosti interval konkavnosti tocka infleksije 38 / 45

39 Odredivanje intervala konveksnosti, konkavnosti i točaka pregiba Intervale konveksnosti, konkavnosti i točke pregiba odredujemo na sljedeći način: 1. izračunamo f 2. riješimo jednadžbu f (x) = 0 (njezina rješenja su moguće točke pregiba) 3. na intervalima na kojima je f (x) > 0 funkcija je konveksna, na ostalima je konkavna. Na granici izmedu intervala konveksnosti i konkavnosti nalazi se točka infleksije. 39 / 45

40 Zadaci Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti i točke infleksije za funkciju a) f (x) = x x 4 b) f (x) = x 2 x 1 c) f (x) = x + arctg x. 40 / 45

41 Asimptote Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost izmedu točke na grafu funkcije i tog pravca teži k nuli kada točka na grafu teži u beskonačnost. Funkcija može imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote. Pravac x = x 0 je vertikalna asimptota funkcije f u točki x 0 s lijeve strane ako je lim x x 0 f (x) = ± vertikalna asimptota funkcije f u točki x 0 s desne strane ako je lim x x + 0 f (x) = ±. Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u točkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije. 41 / 45

42 Asimptote Pravac y = y 0 je horizontalna asimptota funkcije f u lijevoj strani ako je lim x f (x) = y 0 horizontalna asimptota funkcije f u desnoj strani ako je lim x + f (x) = y 0. Pravac y = kx + l nazivamo kosa asimptota funkcije f u lijevoj strani ako: f (x) lim = k, k 0,, x x lim (f (x) kx) = l, l, x Kosu asimptotu funkcije f u desnoj strani definiramo analogno. 42 / 45

43 Zadaci Nadite asimptote sljedećih krivulja i skicirajte njihov graf a) y = x x + 3 b) y = x 2 x 2 4 a) y = x / 45

44 Tok funkcije Postupak crtanja grafa funkcije 1. Istraživanje funkcije f : odredi se domena odredi se ponašanje u rubnim točkama domene, te asimptote ispitaju se svojstva parnosti, neparnosti, periodičnosti odrede se nultočke i predznak 2. Istraživanje funkcije f : izračuna se f riješi se jednadžba f (x) = 0 i odrede stacionarne točke odrede se intervali pada, odnosno rasta odredi se karakter ekstrema i vrijednosti funkcije u tim točkama 3. Istraživanje funkcije f : izračuna se f i riješi se jednadžba f (x) = 0 odrede se intervali konveksnosti i konkavnosti, te točke infleksije 44 / 45

45 Zadaci Ispitajte tok funkcije: a) f (x) = x x 4 b) y = x 2 x 1 c) y = xe x i nacrtajte graf. Odredite domenu, nul-točke, ekstreme i točke infleksije, te nacrtajte graf funkcije a) f (x) = x + 2 (x 1)(x + 3) b) f (x) = x x / 45

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo,

Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Akademska godina Sarajevo, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Z A D A C I - Grupe A i B SA DRUGOG PARCIJALNIOG ISPITA IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA Akademska 008-009 godina Sarajevo, 09 0 009 IME I PREZIME STUDENTA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 za kemičare Drugi kolokvij svibnja 2016.

Matematika 2 za kemičare Drugi kolokvij svibnja 2016. Napomene. Dozvoljena pomagala za rješavanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama i pribor za pisanje. Neće se bodovati nečitko pisani dijelovi testa. Napišite svoje ime,

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Lekcije iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama I. Naslov i obja²njenje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 6 poglavlje (korigirao) PRIMJENA DERIVACIJA U ovom poglavlju: Tageta i ormala Stacioare točke ukcije Tablica mootoosti, ekstremi, koveksost i kokavost, ileksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu.

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu. Neke metode z nelnearnog programranja Od metoda nelnearnog programranja koje se korste za rješavanje nekh problema sa specfčnom funkcjom clja zdvojt će se sljedeće: a) grafčka metoda, b) metoda neposrednog

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA. viša razina MAT A D-S001

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA. viša razina MAT A D-S001 Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA viša razina MAT A D-S Prazna stranica MAT A D-S 99 UPUTE Pozorno slijedite sve upute. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte test dok to ne

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009.

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009. Osnove kvantne kemije za matematičare Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2009. Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i valni broj elektromagnetskog zračenja valne duljine λ

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 1 Realni i kompleksni brojevi Lekcije iz Matematike 1. 1. Realni i kompleksni brojevi I. Naslov i obja²njenje naslova U lekciji se ponavljaju osnovna svojstva

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Svojstva signala i Fourierove transformacije

Svojstva signala i Fourierove transformacije Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za elektroničke sustave i obradbu informacija Svojstva signala i Fourierove transformacije Signali i sustavi (FER-2) - Laboratorijska vježba

Διαβάστε περισσότερα