Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1"

Transcript

1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45

2 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i neka je x točka iz te okoline. Ako kvocijent f (x) f (x 0 ) x x 0 ima graničnu vrijednost kada x x 0, onda tu graničnu vrijednost zovemo derivacijom funkcije f u točki x 0 i označavamo sa f (x 0 ). Dakle, f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 2 / 45

3 Definicija derivacije funkcije Ako označimo s x = x x 0 i s y = f (x) f (x 0 ), onda prethodnu derivaciju funkcije u točki x 0 možemo zapisati ovako: f (x 0 ) = y lim x 0 x, x je prirast varijable x, a y prirast funkcije. Ako funkcija f ima derivaciju u svakoj točki x intervala (a, b), onda kažemo da je funkcija f derivabilna na intervalu (a, b). U tom slučaju f je nova funkcija koju zovemo derivacija funkcije f na intervalu (a, b) i f (x) = za svaki x (a, b). y lim x 0 x = lim x 0 f (x + x) f (x), x 3 / 45

4 Primjeri derivacije funkcije po definiciji Primjer 1. Derivacija konstante f (x) = c, f (x) = 2. (cf ) = c f, c je konstanta f (x + x) f (x) c c lim = lim x 0 x x 0 x 3. Derivacija linearne funkcije f (x) = kx + l, x R f (x) = f (x + x) f (x) lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 k(x + x) + l kx l x k x x = k = 0 4 / 45

5 Primjeri derivacije funkcije po definiciji Primjer 4. Derivacija funkcije f (x) = x 2, x R f (x) = f (x + x) f (x) lim x 0 x x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 = lim x 0 x = lim (2x + x) = 2x x 0 5. Derivacija funkcije f (x) = x 3, x R (x + x) 2 x 2 = lim x 0 x f (x + x) 3 x 3 (x) = lim x 0 x = lim (3x 2 + 3x x + ( x) 2 ) = 3x 2 x 0 5 / 45

6 Primjeri derivacije funkcije Derivacija potencije Funkcija f (x) = x n, n R, n 0 ima derivaciju (x n ) = nx n 1. Odredite po definiciji derivacije f (2) ako je (a) f (x) = 2x + 5 (b) f (x) = 3 2 x (c) f (x) = 1 x (d) f (x) = 2x Odredite po definiciji derivaciju funkcije f u zadanom intervalu ako je: (a) f (x) = 1 x, x 0 (b) f (x) = x, x > 0 6 / 45

7 Pravila deriviranja Neka su funkcije f i g derivabilne na istom intervalu (a, b). Tada za svaki x (a, b) vrijedi: 1. derivacija zbroja i razlike [f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) 2. derivacija produkta [f (x) g(x)] = f (x) g(x) + f (x) g (x) 3. derivacija kvocijenta [ ] f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) (g(x)) 2, g(x) 0 4. derivacija kompozicije funkcija [f g] (x) = [f (g(x))] = f ((g(x)) g (x) 5. derivacija inverzne funkcije [f 1 (x)] = 1 f (f 1 (x)) 7 / 45

8 Zadaci Derivirajte slijedeće funkcije: (a) f (x) = x 5 7x 2 + 4x 2 (b) f (x) = x x 5 x (c) f (x) = (4x 3)(x 2 + 2x 3) (d) f (x) = 4 x x Derivirajte slijedeće funkcije: (a) f (x) = 3 x + 1 (c) f (x) = x 3 4 x x (b) f (x) = x x x x (d) f (x) = x / 45

9 Derivacije trigonometrijskih funkcija Derivacije trigonometrijskih funkcija: (a) (sin x) = cos x (b) (cos x) = sin x (c) (tg x) = 1 cos 2 x (d) (ctg x) = 1 sin 2 x Nadite f (x) ako je (a) f (x) = x + sin x sin 2 (b) f (x) = cos x x + π (c) f (x) = x ctg x (d) f (x) = x tg x 9 / 45

10 Derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije Derivacija eksponencijalne funkcije je: Derivacija logaritamske funkcije je: Za a = e, iz prethodnog, slijedi i (a x ) = a x ln a (log a x) = 1 x ln a (e x ) = e x (ln x) = 1 x 10 / 45

11 Nadite f (x) ako je (a) f (x) = 2 x + log 2 x ln 2 + e 2 (b) f (x) = x ln x (c) f (x) = 2 x ln x (d) f (x) = x e x (e) f (x) = x ln x + ex x. Nadite f (x) ako je (a) f (x) = x 2 (b) f (x) = sin 2 x x (c) f (x) = x sin x + tg x 11 / 45

12 Derivacija arkus funkcija Primjer (Derivacije arkus funkcija) Koristeći pravilo [f 1 (x)] = 1 f (f 1 (x)) odredite derivacije arkus funkcija. Rješenje: (arcsin x) 1 = cos(arcsin x) = 1 = 1 sin 2 (arcsin x) (arccos x) 1 = sin(arccos x) = 1 1 cos 2 (arccos x) = (arctg x) = (arcctg x) = 1 1 cos 2 (arctg x) 1 1 sin 2 (arcctg x) 1 1 x 2 1 = 1 + tg 2 (arctg x) = x 2 1 = 1 + ctg 2 (arcctg x) = x x 2 12 / 45

13 Tablica derivacija elementarnih funkcija f (x) f (x) C 0 x r rx r 1, x > 0, r R a x a x ln a e x e x 1 log a x x ln a sin x cos x cos x sin x 1 tg x cos 2 x 1 ctg x sin 2 x 1 arcsin x 1 x 2 1 arctg x 1+x 2 13 / 45

14 Derivacije višeg reda Ako funkcija f ima derivaciju u svakoj točki intervala (a, b), onda je f i sama funkcija definirana na tom intervalu. Njezinu derivaciju označavamo s f i nazivamo drugom derivacijom funkcije f. Primjer Ako je f (x) = x 5 + 3x 3 2x, onda je f (x) = 5x 4 + 9x 2 2, f (x) = 20x x. Derivacije višeg reda Druga derivacija funkcije f je derivacija prve derivacije. Označavamo je s f. Derivacije trećeg i četvrtog reda označavamo s f i f IV. Za veće brojeve n, derivaciju n tog reda označavamo s f (n). f (n) (x) = (f (n 1) (x)). 14 / 45

15 Primjer Za funkciju f (x) = 2x 4 + 5x 3 x 2 + 2x vrijedi: f (x) = 8x x 2 2x + 2 f (x) = 24x x 2 f (x) = 48x + 30 f IV (x) = 48 f (5) (x) = 0 Primjer Za funkciju f (x) = xe x vrijedi: f (x) = e x + xe x = (x + 1)e x f (x) = e x + e x + xe x = (x + 2)e x f (x) = e x + e x + e x + xe x = (x + 3)e x. Indukcijom se pokaže da vrijedi: f (n) (x) = (x + n)e x. 15 / 45

16 Derivacija složene funkcije Podsjetimo se: Derivaciju složene funkcije računamo formulom: Primjer [f g] (x) = [f (g(x))] = f (g(x)) g (x). Izračunajte derivaciju složene funkcije f (x) = (x 1) 2. Funkciju f možemo zapisati kao f (x) = h(g(x)), gdje je g(x) = x 1, h(x) = x 2. Dakle, f (x) = [h(g(x))] = h (g(x)) g (x) = 2(x 1) 1. Derivirajte složene funkcije: (a) y = sin x 2, (b) y = arcsin x, y = sin 2 x y = arcsin x (c) y = 2 arctg x + cos 2 x + sin kx, k R. 16 / 45

17 Derivacija implicitnih funkcija Ako je funkcija zadana implicitnom formulom, onda njezinu derivaciju možemo naći primjenom pravila za derivaciju složene funkcije, ali moramo imati u vidu da je y funkcija od x. Primjer Derivacija funkcije x 2 + y 2 Derivirajte funkciju y = f (x) zadanu implicitno (a) x 2 y e y + 5 = 0 (b) arctg x y 5xy y 2 = 0. 9 = 1 je 2x y y = 0, odnosno y = 9x y. 17 / 45

18 Logaritamsko deriviranje Logaritamsko deriviranje koristimo za deriviranje funkcija oblika y = f (x) g(x). Postupak kojim dolazimo do derivacije: 1. logaritmiramo obje strane 2. deriviramo obje strane, pri čemu y deriviramo kao složenu funkciju 3. sredimo dobiveni izraz 18 / 45

19 Logaritamsko deriviranje Primjer Odredite derivaciju funkcije f (x) = x sin x. Ova funkcija je oblika y = f (x) g(x) pa slijedimo postupak logaritamskog deriviranja. ln f (x) = sin x ln x Zatim deriviramo obje strane i dobijemo f (x) f (x) = cos x ln x + sin x x, odnosno f (x) = ( cos x ln x + sin x ) x sin x x 19 / 45

20 Zadaci Izračunajte derivaciju funkcije (a) f (x) = (sin x) x (b) f (x) = x x Diferencijal funkcije f u točki x je izraz df (x) = f (x)dx = f x. U zadacima će nam biti važan slijedeći izraz f (x + x) f (x) + f (x) x Približno izračunajte: (a) 17 (b) 15 (c) sin 31 (d) / 45

21 Primjena diferencijalnog računa funkcije jedne varijable Definicija tangente i normale Jednadžba tangente na krivulju y = f (x) u točki x 0 je y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normala na krivulju y = f (x) u točki x 0 je pravac koji prolazi točkom (x 0, f (x 0 )) i okomit je na tangentu u toj točki. Jednadžba normale glasi y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) pri čemu smo pretpostavili da je f (x 0 ) 0. Ako je f (x 0 ) = 0, onda je jednadžba tangente y = y 0, a normale x = x / 45

22 Zadaci Odredite jednadžbu tangente i normale krivulje u zadanoj točki (a) f (x) = x 2 + 5x 6, T (2, y 0 ) (b) y = tg x 2, T ( π 2, y ) 0 (c) x 2 + y 2 = 1, T ( 1 2, y < 0) (d) xy 2 + ln y = 1, T (1, 1) Napišite jednadžbu tangente krivulje u točkama u kojima su tangente paralelne zadanom pravcu te nacrtajte sliku ako je (a) y = x, x + y 3 = 0 (b) y = x 2 6x + 8, y = 2x 3 22 / 45

23 Zadaci Napišite jednadžbu normale krivulje u točkama u kojima su normale paralelne zadanom pravcu te nacrtajte sliku ako je (a) y = 1 x + 1, x 8 + y 2 = 1 (b) y = 5 x 2, y = 2x Odredite tangentu koja prolazi ishodištem za krivulje te nacrtajte sliku ako je (a) y = 1 x (b) y = 2 ln x / 45

24 Zadaci Napišite jednadžbu tangenata krivulje povučenih iz zadane točke na krivulju (a) y = 2 x 2 2, T ( 1 2, 2) (b) y = 1, T (4, 2) x Napišite jednadžbu tangente i normale krivulje x 2 2x + y 2 = 0 u točkama presjeka krivulje i pravca y = x te nacrtajte sliku. 2 Za koju se vrijednost parametra a krivulje y = ax 4 i y = ln x dodiruju te nacrtajte sliku. 24 / 45

25 Kut izmedu krivulja Kut pod kojim se sijeku dvije krivulje definira se kao kut izmedu njihovih tangenata povučenih u točkama sjecišta. Neka je T (x 0, y 0 ) točka sjecišta krivulja. Tada kut izmedu krivulja definiramo kao tg ϕ = k t1 k t2 1 + k t1 k t2, gdje je k t1 = f 1 (x 0), a k t2 = f 2 (x 0). Odredite kut pod kojim krivulja (a) y = ln(x + 1) siječe x os (b) y = e x + 1 siječe y os te nacrtajte sliku. 25 / 45

26 Zadaci Odredite kut pod kojim se sijeku krivulje (a) y = x 3, y = 1 x 2 (b) y = 1 + sin x, y = 1 (c) x 2 + y 2 = 5, y 2 = 4x (d) y = 2 sin x, y = 2 cos x (e) x 2 y 2 = 5, 4x 2 + 9y 2 = 72 te nacrtajte sliku. 26 / 45

27 L Hospitalovo pravilo L Hospitalovo pravilo za neodredeni oblik 0 0, : Neka su f, g : (a, b)\{x 0 } R derivabilne funkcije i vrijedi lim f (x) = lim g(x) = 0 i g (x) 0 za svaki x (a, b)\{x 0 }. x x 0 x x0 Tada vrijedi Izračunajte: 3x x (a) lim 3 x 0 2x x 2 x sin 3x (b) lim x 0 x+sin 2x (c) lim x e x x 3 (d) lim x 0 x ln x f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). 27 / 45

28 Pad i rast funkcije Interval (a, b) na kojem je funkcija rastuća ili padajuća nazivamo interval monotonosti funkcije f. Neka je funkcija f derivabilna na intervalu (a, b). Tada vrijedi: 1. funkcija f je rastuća na intervalu (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svaki x (a, b) 2. funkcija f je padajuća na intervalu (a, b) ako i samo ako je f (x) 0 za svaki x (a, b) 3. funkcija f strogo rastuća na intervalu (a, b) ako je f (x) > 0 za svaki x (a, b) 4. funkcija f strogo padajuća na intervalu (a, b) ako je f (x) < 0 za svaki x (a, b). 28 / 45

29 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Točku u kojoj je vrijednost derivacije funkcije jednaka nuli nazivamo stacionarna točka. Minimum i maksimum funkcije: Kažemo da je točka x 0 lokalni minimum funkcije f, ako postoji interval (c, d) koji sadrži točku x 0 tako da vrijedi f (x 0 ) < f (x), za svaki x (c, d), x x 0. Kažemo da je točka x 0 lokalni maksimum funkcije f, ako postoji interval (c, d) koji sadrži točku x 0 tako da vrijedi f (x 0 ) > f (x), za svaki x (c, d), x x 0. Minimum i maksimum funkcije zovemo ekstremima funkcije. 29 / 45

30 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Nužan uvjet za lokalni ekstrem: Ako funkcija u točki ekstrema ima derivaciju, onda ta derivacija mora biti jednaka nuli. Traženje lokalnih ekstrema: 1. odredimo stacionarne točke funkcije f 2. odredimo intervale monotonosti 3. ako je x 0 stacionarna točka, onda se njezin karakter odreduje na temelju rasta ili pada funkcije lijevo i desno od te točke, a oni su dani predzacima derivacije 30 / 45

31 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Ako je lijevo od x 0 f (x 0 ) > 0, a desno od x 0 f (x 0 ) < 0, onda je x 0 lokalni maksimum funkcije f f 0 4 f 0 Ako je lijevo od x 0 f (x 0 ) < 0, a desno od x 0 f (x 0 ) > 0, onda je x 0 lokalni minimum funkcije f. f 0 4 f min 31 / 45

32 Ekstremi funkcije i intervali monotonosti Ako je i lijevo i desno od x 0 f (x 0 ) > 0, (f (x 0 ) < 0) onda x 0 nije ekstrem funkcije f f f f f / 45

33 Globalni ekstrem Ako tražimo maksimum ili minimum na cijelom intrevalu [a, b], onda govorimo o globalnim ekstremima. Takav se ekstrem ne mora postizati u stacionarnoj točki unutar intervala, već i na njegovom rubu. U toj točki derivacija ne mora biti nula. Nužan uvjet za globalni ekstrem: Na intervalu [a, b] funkcija može poprimiti ekstrem samo u točkama u kojima je: 1. derivacija jednaka nuli 2. derivacija ne postoji (točka prekida) 3. u krajevima intervala 33 / 45

34 Druga derivacija i ekstremi Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema možemo izraziti i pomoću druge derivacije. Ispitivanje karaktera ekstrema pomoću druge derivacije: 1. izračunajmo f i f 2. riješimo jednadžbu f (x) = 0 (njena rješenja su stacionarne točke) 3. ako je f (x 0 ) > 0, onda funkcija u x 0 postiže minimum 4. ako je f (x 0 ) < 0, onda funkcija u x 0 postiže maksimum 5. ako je f (x 0 ) = 0, onda karakter točke x 0 istražujemo pomoću prve derivacije 34 / 45

35 Zadaci Odredite lokalne ekstreme i intervale monotonosti funkcija a) f (x) = x x b) f (x) = x 2 e x c) f (x) = x 2 3 (1 x) 2 3. Pomoću druge derivacije odredite lokalne ekstreme funkcija a) f (x) = 1 3 x x 4 b) f (x) = 2x 2 ln x 35 / 45

36 Konveksnost i konkavnost funkcije Konveksnost i konkavnost funkcije: Za funkciju f kažemo da je konveksna na intervalu (a, b) ako na intervalu (a, b) vrijedi f (x) > 0. Graf konveksne funkcije leži iznad tangente povučene u po volji odabranoj točki intervala f / 45

37 Konveksnost i konkavnost funkcije Za funkciju f kažemo da je konkavna na intervalu (a, b) ako na intervalu (a, b) vrijedi f (x) < 0. Graf konkavne funkcije leži ispod tangente povučene u po volji odabranoj točki intervala f / 45

38 Konveksnost i konkavnost funkcije Ako je na intervalima (a, b), (b, c) druga derivacija različitih preznaka, onda u točki b funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu granu ili obratno. Točku b nazivamo točkom pregiba (infleksije) funkcije f interval konveksnosti interval konkavnosti tocka infleksije 38 / 45

39 Odredivanje intervala konveksnosti, konkavnosti i točaka pregiba Intervale konveksnosti, konkavnosti i točke pregiba odredujemo na sljedeći način: 1. izračunamo f 2. riješimo jednadžbu f (x) = 0 (njezina rješenja su moguće točke pregiba) 3. na intervalima na kojima je f (x) > 0 funkcija je konveksna, na ostalima je konkavna. Na granici izmedu intervala konveksnosti i konkavnosti nalazi se točka infleksije. 39 / 45

40 Zadaci Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti i točke infleksije za funkciju a) f (x) = x x 4 b) f (x) = x 2 x 1 c) f (x) = x + arctg x. 40 / 45

41 Asimptote Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost izmedu točke na grafu funkcije i tog pravca teži k nuli kada točka na grafu teži u beskonačnost. Funkcija može imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote. Pravac x = x 0 je vertikalna asimptota funkcije f u točki x 0 s lijeve strane ako je lim x x 0 f (x) = ± vertikalna asimptota funkcije f u točki x 0 s desne strane ako je lim x x + 0 f (x) = ±. Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u točkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije. 41 / 45

42 Asimptote Pravac y = y 0 je horizontalna asimptota funkcije f u lijevoj strani ako je lim x f (x) = y 0 horizontalna asimptota funkcije f u desnoj strani ako je lim x + f (x) = y 0. Pravac y = kx + l nazivamo kosa asimptota funkcije f u lijevoj strani ako: f (x) lim = k, k 0,, x x lim (f (x) kx) = l, l, x Kosu asimptotu funkcije f u desnoj strani definiramo analogno. 42 / 45

43 Zadaci Nadite asimptote sljedećih krivulja i skicirajte njihov graf a) y = x x + 3 b) y = x 2 x 2 4 a) y = x / 45

44 Tok funkcije Postupak crtanja grafa funkcije 1. Istraživanje funkcije f : odredi se domena odredi se ponašanje u rubnim točkama domene, te asimptote ispitaju se svojstva parnosti, neparnosti, periodičnosti odrede se nultočke i predznak 2. Istraživanje funkcije f : izračuna se f riješi se jednadžba f (x) = 0 i odrede stacionarne točke odrede se intervali pada, odnosno rasta odredi se karakter ekstrema i vrijednosti funkcije u tim točkama 3. Istraživanje funkcije f : izračuna se f i riješi se jednadžba f (x) = 0 odrede se intervali konveksnosti i konkavnosti, te točke infleksije 44 / 45

45 Zadaci Ispitajte tok funkcije: a) f (x) = x x 4 b) y = x 2 x 1 c) y = xe x i nacrtajte graf. Odredite domenu, nul-točke, ekstreme i točke infleksije, te nacrtajte graf funkcije a) f (x) = x + 2 (x 1)(x + 3) b) f (x) = x x / 45

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun

Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)

Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA seminari. smjer: Nutricionizam

MATEMATIKA seminari. smjer: Nutricionizam MATEMATIKA seminari smjer: Nutricionizam Sadržaj Realne funkcije realne varijable 4 Granična vrijednost funkcije jedne varijable. a ±............................... Granična vrijednost i neprekidnost.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE

3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE 1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama: Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1 Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se: 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:

( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: . DERIVACIJA FUNKCIJE. Pojam derivacije Derivacija funkcije f, u tocki, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: f lim ili f lim Funkcija je u tocki Obrat

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

C# APLIKACIJA ZA CRTANJE MATEMATIČKIH FUNKCIJA I ODREĐIVANJA TIJEKA

C# APLIKACIJA ZA CRTANJE MATEMATIČKIH FUNKCIJA I ODREĐIVANJA TIJEKA SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Sveučilišni studij računarstva C# APLIKACIJA ZA CRTANJE MATEMATIČKIH FUNKCIJA I ODREĐIVANJA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike) Maemaika 5.. Koriseći definiciju derivacije funkcije u očki izračunaje sljedeće granične vrijednosi: c) f) h) i) j) k) n) o) q) r) e 0 e 0 e 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 4 ln sin e 0 5 g e 0 6 cos e cg e ln(

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα