MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)"

Transcript

1 MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα µετασχηµατισµών δεν ισχύει εδώ γιατί ενδέχεται δύο διαφορετικές τιµές του διανύσµατος ( να οδηγούν στην ίδια τιµή g( της µεταβλητής Η µέθοδος που συχνά χρησιµοποιείται στην περίπτωση αυτή για τον προσδιορισµό της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής στηρίζεται στην θεώρηση - επιπλέον µετασχηµατισµών g( - οι οποίοι µαζί µε τον µετασχηµατισµό g( οδηγούν σε έναν έναπρος-ένα µετασχηµατισµό από το διάνυσµα ( στο διάνυσµα ( Τότε µε βάση τα όσα αναπτύχθηκαν στα προηγούµενα και ανάλογα µε τον εάν οι τυχαίες µεταβλητές είναι διακριτές ή συνεχείς µπορούµε να προσδιορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ( ή την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( του τυχαίου διανύσµατος Από την προκύπτουσα από κοινού κατανοµή µπορούµε τότε να προσδιορίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας ( ( ή την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ( της τυχαίας µεταβλητής Παράδειγµα: Σε προηγούµενο παράδειγµα είχαµε θεωρήσει τις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές και που αναφέρονταν στις ανεξάρτητες µετρήσεις των χρόνων που απαιτούσε η ολoκλήρωση δύο παρόµοιων εργασιών Είχαµε υποθέσει εκεί ότι η από ήταν κοινού συνάρτηση κατανοµής των µεταβλητών αυτών

2 Χ Χ ( ( ( θ r r r- [Γ( r] θ θ αν < < < < διαφορετικά Ας υποθέσουµε ότι ενδιαφερόµαστε για την κατανοµή του λόγου / Για να προσδιορίσουµε την κατανοµή αυτή ας θεωρήσουµε τον επιπλέον µετασχηµατισµό + και ας θυµηθούµε ότι στο αρχικό παράδειγµα ο διµεταβλητός µετασχηµατισµός + ήταν ένας ένα-προς-ένα µετασχηµατισµός ο οποίος οδήγησε στην από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( θ r r Γ( r θ r B( r r ( + r αν < < < < διαφορετικά Η περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ( της τυχαίας µεταβλητής µπορεί τότε να προσδιορισθεί ως εξής: ( ( d r B( r r( + d r r r θ θ Γ( r d r B( r r( + r < < Στο προηγούµενο παράδειγµα θα µπορούσαµε να ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή του συνολικού χρόνου που απαιτείται για την ολοκλήρωση των δύο εργασιών Στην περίπτωση αυτή θα µπορούσαµε να 9

3 προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + βρίσκοντας την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητάς της από την σχέση ( ( d θ r r Γ( r θ αν < < διαφορετικά Παρατηρούµε ότι η τυχαία µεταβλητή + έχει την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους θ και r Παρατήρηση: Θα πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι δεν είναι πάντα εύκολος ο καθορισµός των επιπλέον µετασχηµατισµών g( - οι οποίοι απαιτούνται ώστε µαζί µε τον µετασχηµατισµό g( να επιτυγχάνεται ένας ένα-προς-ένα µετασχηµατισµός Αν στο προηγούµενο παράδειγµα δεν είχαµε ήδη προσδιορίσει την από κοινού κατανοµή των µεταβλητών + και / ενδέχεται να είχαµε κάποια δυσκολία στο να βρούµε έναν µετασχηµατισµό g ( ο οποίος µαζί µε τον / θα οδηγούσε σε έναν κατάλληλο έναπρος-ένα µετασχηµατισµό για τον προσδιορισµό της περιθώριας κατανοµής της µεταβλητής Ένας τρόπος για να παρακαµφθεί αυτή η έµµεση αντιµετώπιση του προβλήµατος είναι η χρησιµοποίηση της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής Εάν g( τότε F ( ( { g( } ( d d g(

4 Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µία συνάρτηση h ( ; τέτοια ώστε g( τότε και µόνο τότε εάν h( ; Τότε όπου Προφανώς F q( ; ( g( h ( ; q( ; ( h( ; ( d d d d d d d q ( ; ( d h ( ; [ ( h ( ; ] Οι παραπάνω σχέσεις οδηγούν στην συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής : ( F ( h(; [ ( h( ; ] d d µε την προϋπόθεση ότι ισχύει q ( ; d d q ( ; d d Βέβαια η σχέση αυτή δεν ισχύει πάντα και απαραίτητη προϋπόθεση είναι οι συναρτήσεις q (; και συνεχείς συναρτήσεις των q( ; για < < να είναι καλώς ορισµένες 3 Παράδειγµα (Η κατανοµή t: Ένα πρόβληµα µεγάλης σηµασίας στην θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας είναι το εξής Ας υποθέσουµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες και ότι η ακολουθεί την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή ενώ η ακολουθεί την

5 κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας Ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Λύση: Χρησιµοποιώντας τον συµβολισµό και τα βήµατα της µεθόδου που εκθέσαµε παραπάνω έχουµε ότι g( και ότι / / / τότε και µόνο τότε αν έτσι ώστε h ( ; / Από τον ορισµό των τυχαίων / µεταβλητών και έχουµε ότι ( ( π ( / / Γ( / < < < < διαφορετικά Εποµένως / / q ( ; d π Γ(/ και q π ( / / (; / Γ(/ Επειδή και οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι καλώς ορισµένες και συνεχείς συναρτήσεις των και για όλα τα < < < έπεται ότι ( π Γ(/ Γ(/ / + Γ π ( + / ( ( + / (+ / d - < < + Η κατανοµή που ορίζεται από την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η γνωστή κατανοµή t του Studt µε βαθµούς ελευθερίας Όπως µε άλλη

6 µέθοδο µπορεί ν αποδειχθεί (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 η κατανοµή t µπορεί να προκύψει ως κατανοµή του τυποποιηµένου µέσου µίας κανονικής κατανοµής στο πλαίσιο προβληµάτων στατιστικής συµπερασµατολογίας Η κατανοµή αυτή είχε προταθεί από τον Αγγλο στατιστικό Wllam Sal Gosst ( ο οποίος είχε χρησιµοποιήσει το ψευδώνυµο Studt Παράδειγµα (Η κατανοµή : Έστω ότι είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή δηλαδή ~ N( Ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Λύση: Έστω Τότε η τυχαία µεταβλητή µπορεί εναλλακτικά να γραφεί µε τη µορφή Εποµένως η συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να προκύψει από την µορφή της συνάρτησης κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Για την τελευταία έχουµε ότι F ( ( ( ( Φ ( Φ ( Φ ( Η τελευταία ισότητα είναι αποτέλεσµα του γεγονότος ότι η τυποποιηµένη κανονική κατανοµή των µεταβλητών είναι συµµετρική Εποµένως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι η ( ( π > Λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι Γ(/ π η παραπάνω συνάρτηση 3

7 πυκνότητας γράφεται µε την εξής µορφή: ( Γ(/ / Αυτή όµως είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανοµής Γάµµα µε παραµέτρους α και θ Κατά συνέπεια η τυχαία µεταβλητή είναι άθροισµα ανεξαρτήτων Γάµµα τυχαίων µεταβλητών κάθε µία µε παραµέτρους α και θ Όπως είναι γνωστό (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 το άθροισµα ανεξαρτήτων και ισονόµων Γάµµα µεταβλητών µε παραµέτρους α και θ αποτελεί τυχαία µεταβλητή η οποία ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους α και θ Εποµένως η τυχαία µεταβλητή ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους α / και θ δηλαδή την κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας Θα πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι η κατανοµή ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά από τον Γερµανό φυσικό F A Hlmrt (43-97 Αργότερα ο Karl arso ( ένας Αγγλος στατιστικός κατέληξε στην κατανοµή αυτή στο πλαίσιο της ερευνητικής του εργασίας σχετικής µε την στατιστική ανάλυση πινάκων συναφείας Η κατανοµή αυτή επίσης χρησιµοποιείται σε σχέση µε προβλήµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας για την διασπορά ενός κανονικού πληθυσµού Παράδειγµα (Η κατανοµή F: Έστω ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες µεταβλητές Πιο συγκεκριµένα υποθέτουµε ότι ~ και ~ Ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής / / Λύση: Η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής µπορεί να προσδιορισθεί έµµεσα χρησιµοποιώντας έναν ένα-προς-ένα µετασχηµατισµό όπως για παράδειγµα τον µετασχηµατισµό ( / /( / + Αφού προσδιορίσουµε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( των τυχαίων 4

8 µεταβλητών η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής προκύπτει αµέσως από την σχέση ( ( d ( Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε την έµµεση µέθοδο που στηρίζεται στην συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό που εισήχθη στο πλαίσιο της µεθόδου αυτής / έχουµε ότι g ( τότε και µόνο τότε αν / έτσι ώστε h (; ( / Από τον ορισµό των τυχαίων µεταβλητών και προκύπτει ότι ( ( ( Γ(/ Γ( / διαφορετικά Εποµένως οι συναρτήσεις q (; ( / ( + ( + Γ( / Γ( / και q ( / (; ( + Γ( / Γ( / d ( + ( + / είναι καλώς ορισµένες και συνεχείς συναρτήσεις των και για όλα τα < Τότε για 5

9 ( ( / ( + Γ( / Γ( / + ( + ( + / d ( / Γ(( + / Γ( / Γ( / (+ / ( + ενώ ( για < Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής ορίζει την κατανοµή που είναι γνωστή στην βιβλιογραφία ως κατανοµή F µε και βαθµούς ελευθερίας Η κατανοµή αυτή χρησιµοποιήθηκε από τον Sdcor στα πλαίσια της στατιστικής µεθοδολογίας η οποία είναι γνωστή ως ανάλυση διασποράς Ο Sdcor ονόµασε την κατανοµή αυτή F προς τιµή του R A Fshr 6

10 ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΑ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ίσως οι πιο συχνά χρησιµοποιούµενοι µετασχηµατισµοί τυχαίων µεταβλητών της µορφής g( είναι τα σταθµισµένα αθροίσµατα α των µεταβλητών αυτών Οι εφαρµογές των αθροισµάτων αυτών είναι πάρα πολλές Ενδεικτικά αναφέρουµε τις εξής περιπτώσεις: (α Έστω ότι είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές Τότε σε σχέση µε πολλά πρακτικά προβλήµατα ενδιαφερόµαστε για τον µέσο των µεταβλητών αυτών (β Έστω ότι είναι τυχαίες µεταβλητές που παριστάνουν µετρήσεις πάνω σε κάποια χαρακτηριστικά Πχ µπορεί να παριστάνει το επίπεδο λιθίου στο αίµα κάποιου ασθενούς ενώ παριστάνει το επίπεδο λιθίου στο αίµα του ιδίου ασθενούς µετά από κάποια θεραπευτική αγωγή Τότε η διαφορά Χ - είναι κεντρικής σηµασίας στο πλαίσιο του προβλήµατος αυτού αφού παρέχει ένα µέτρο της µεταβολής που προκάλεσε η θεραπευτική αγωγή (γ Έστω ότι 3 4 είναι τυχαίες µεταβλητές που παριστάνουν τους βαθµούς που ένας φοιτητής πέτυχε όσο αφορά κάποιο µάθηµα σε δύο προόδους ( µία εργασία ( 3 και στην τελική εξέταση ( 4 Ο τελικός βαθµός στο µάθηµα αυτό θα µπορούσε να προσδιορίζεται από ένα άθροισµα της µορφής 4 Υ ή από ένα σταθµισµένο άθροισµα της µορφής Όπως είναι γνωστό (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 η κατανοµή ενός σταθµισµένου αθροίσµατος α τυχαίων µεταβλητών µπορεί να µελετηθεί µε τη χρήση της έννοιας των ροπογεννητριών Στην παρούσα ενότητα θα εξετάσουµε το ίδιο πρόβληµα στο πλαίσιο της θεωρίας των ένα-προς-ένα µετασχηµατισµών: Έστω ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές α είναι διάφορος του µηδενός Εστω δηλαδή ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας δείκτης για τον οποίο ισχύει α 7

11 και για απλότητα ας υποθέσουµε ότι αυτό συµβαίνει για δηλαδή ότι α Στην συνέχεια θεωρούµε τον ένα-προς-ένα µετασχηµατισµό για τον οποίο προφανώς ισχύει ότι α h ( και h ( α α α Μπορούµε εποµένως να προσδιορίσουµε την από κοινού κατανοµή των τυχαίων µεταβλητών και από αυτήν να προσδιορίσουµε την περιθώρια κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Αρα όταν οι τυχαίες µεταβλητές είναι διακριτές µε από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ( α ( τα παραπάνω βήµατα οδηγούν στην εξής συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής : α ( α Με όµοιο τρόπο όταν είναι συνεχείς τυχαίες µεταβλητές µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( ( τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής δίνεται από την σχέση ( α - α α d d Σηµείωση: Η υπόθεση ότι α η οποία έγινε για απλότητα δεν βλάπτει τη γενικότητα Πράγµατι αν υποθέσουµε ότι α j για κάποια τιµή j τότε η ίδια επιχειρηµατολογία θα οδηγήσει στις εξής εναλλακτικές εκφράσεις για την συνάρτηση πιθανότητας και την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αντίστοιχα της µεταβλητής :

12 ( j j j+ j j+ α j α - α j ( j j + dd j- d j+ α α j j d Παράδειγµα: Έστω ότι το διάνυσµα ( έχει την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας!!!( ( (! για κάθε + και ( διαφορετικά Τότε σύµφωνα µε τα προηγούµενα η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + είναι ( ( ( για κάθε και ( διαφορετικά Εχουµε όµως ότι Εποµένως! (! ( (!!!(! ( ( ( + ( + ( αν διαφορετικά η οποία είναι η συνάρτηση πιθανότητας της διωνυµικής κατανοµής µε παραµέτρους και + 9

13 Παράδειγµα: Έστω και ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή µε παράµετρο θ και µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( (+ αν > > διαφορετικά Να προσδιορισθεί η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + 3 Λύση: Σύµφωνα µε τα προηγούµενα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι ηλαδή για > ( 3 d αν > διαφορετικά ( /3-3 - d + /3 d /3 (- d 6 3 Παρατήρηση : Μερικές φορές αντί της µεθόδου που αναπτύχθηκε στην ενότητα αυτή για την εύρεση της κατανοµής σταθµισµένων αθροισµάτων τυχαίων µεταβλητών χρησιµοποιείται µία διαφορετική µέθοδος η οποία είναι περισσότερο άµεση µε την έννοια ότι δεν απαιτείται ο καθορισµός επιπλέον τυχαίων µεταβλητών για την κατασκευή ενός ένα-προς-ένα µετασχηµατισµού Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται στο παράδειγµα που ακολουθεί Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι η από κοινού κατανοµή των τυχαίων µεταβλητών και 3 ορίζεται από την εξής από κοινού συνάρτηση πιθανότητας: ( 3 ( ( ( ( ( ( ( ( 3

14 ( Για την τυχαία µεταβλητή 3 ( έχουµε ότι ( ( ( ( ( ( 3 3 ( + ( + ( ( + ( + ( Εποµένως η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής είναι ( ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ - ΣΥΝΕΛΙΞΗ (CONVOLUTION Είδαµε στα προηγούµενα ένα παράδειγµα προσδιορισµού της κατανοµής του αθροίσµατος τυχαίων µεταβλητών στην περίπτωση που Η γενική περίπτωση (> αντιµετωπίζεται όπως και η περίπτωση των σταθµισµένων αθροισµάτων όταν α Οι αντίστοιχες εξισώσεις για τη συνάρτηση πιθανότητας (όταν η είναι διακριτή και για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (όταν η είναι συνεχής παίρνουν τη µορφή ( 3

15 και ( - - d d Θα έπρεπε ίσως να σηµειωθεί εδώ ότι λόγω συµµετρίας ισχύουν ανάλογοι τύποι στους οποίους το άθροισµα ή το ολοκλήρωµα εκτείνεται υπεράνω διαφορετικών συνόλων - τιµών Για παραδειγµα στην ειδική περίπτωση τυχαίων µεταβλητών Χ Χ ισχύει ότι και όπου + ( ( ( ( d ( ( d Παράδειγµα: Έστω δύο τυχαίες µεταβλητές µε από κοινού συνάρτηση κατανοµής ( π ρ ρ + ( ρ - < < ρ Είναι δηλαδή η από κοινού συνάρτηση κατανοµής των µεταβλητών αυτών η διµεταβλητή κανονική µε παραµέτρους µ µ σ σ και ρ Τότε κάνοντας χρήση του τελευταίου αποτελέσµατος έχουµε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + είναι ( π ρ - - ρ ( + ( ( ρ d 4(+ ρ π((+ ρ - ( - ( ρ/ d π( ρ/ 3

16 ( + ρ - < < π(( + ρ η οποία είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µιας κανονικής µεταβλητής µε µέση τιµή και διασπορά σ (+ρ Οπως φαίνεται από το τελευταίο παράδειγµα η µέθοδος προσδιορισµού της κατανοµής του αθροίσµατος τυχαίων µεταβλητών που βασίζεται στις τελευταίες σχέσεις παρέχει την δυνατότητα αντιµετώπισης περιπτώσεων όπου οι τυχαίες µεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες Στην περίπτωση της ανεξαρτησίας είναι προφανές ότι οι σχέσεις που δόθηκαν παραπάνω παίρνουν την απλούστερη µορφή: και ( ( ( ( ( αντίστοιχα ( ( ( d ( ( d Παρατήρηση: Στην περίπτωση που ρ δηλαδή στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Χ είναι ανεξάρτητες η κατανοµή της µεταβλητής + εξακολουθεί να είναι κανονική Γενικότερα µπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισµα ανεξαρτήτων κανονικών µεταβλητών είναι κανονική µεταβλητή µε µέση τιµή το άθροισµα των µέσων τιµών και διασπορά το άθροισµα των διασπορών Η συνάρτηση πιθανότητας (αντίστοιχα πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + όπως αυτή προσδιορίζεται από την τελευταία µέθοδο που περιγράψαµε (τόσο στην περίπτωση εξαρτηµένων µεταβλητών όσο και στην περίπτωση ανεξαρτήτων µεταβλητών ονοµάζεται συνέλιξη (covoluto των συναρτήσεων πιθανότητας (αντίστοιχα των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών και Ο συµβολισµός που χρησιµοποιείται συνήθως στην διεθνή βιβλιογραφία για την συνέλιξη δύο συναρτήσεων πιθανότητας ή αντίστοιχα δύο συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας είναι 33

17 και αντίστοιχα Παράδειγµα: Εστω ότι και είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες διακριτές τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν τη γεωµετρική κατανοµή µε παράµετρο ηλαδή ( ( διαφορετικά Τότε η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής + είναι η συνέλιξη των συναρτήσεων πιθανότητας και Θα έχουµε δηλαδή για ( ( ( ( ( ( + Όπως αναµενόταν η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής είναι η αρνητική + + διωνυµική µε παραµέτρους r και (Ας σηµειωθεί ότι Παράδειγµα: Έστω ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι ανεξάρτητες Χ µεταβλητές µε και βαθµούς ελευθερίας αντίστοιχα ηλαδή αν < < ( Γ( διαφορετικά 34

18 Τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής + (η συνέλιξη των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών και δίνεται από τον τύπο ( ( + Γ( Γ( ( - d ( + ( + Γ[( + /] z ( z B ( / / dz ( + ( + Γ[( + /] ηλαδή η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής είναι η Χ µε + βαθµούς ελευθερίας Το αποτέλεσµα αυτό αναµενόταν αφού η κατανοµή Χ είναι ειδική περίπτωση της κατανοµής Γάµµα και όπως ήδη έχει αποδειχθεί (βλέπε πχ Ε Ξεκαλάκη και Ι Πανάρετο 993 το άθροισµα ανεξαρτήτων Γάµµα µεταβλητών µε κοινή παράµετρο θ ακολουθεί την κατανοµή Γάµµα Παρατήρηση: Γενικεύοντας το παραπάνω αποτέλεσµα ισχύει εποµένως ότι αν Χ Χ Χ m είναι m ανεξάρτητες Χ µεταβλητές µε m βαθµούς ελευθερίας αντίστοιχα (Χ ~ m τότε Χ + Χ ++ Χ m ~ m Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να ληφθεί είτε ως άµεση συνέπεια του αντίστοιχου αποτελέσµατος για ανεξάρτητες Γάµµα τυχαίες µεταβλητές είτε ως αποτέλεσµα πολλαπλών διαδοχικών εφαρµογών παρατηρώντας ότι της διαδικασίας της συνέλιξης Πράγµατι [[( + + ] + + ] m 3 m- m θα έχουµε σύµφωνα µε το τελευταίο παράδειγµα διαδοχικά ότι ( + ~ + 35

19 ( ~ ~ + m m Είναι δηλαδή στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής η συνέλιξη των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των µεταβλητών Χ m Συνελίξεις περισσοτέρων από δύο συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας (αντίστοιχα συναρτήσεων πιθανότητας ονοµάζονται πολλαπλές συνελίξεις και συµβολίζονται µε για την συνεχή περίπτωση και µε για την διακριτή περίπτωση Στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές Χ είναι ανεξάρτητες η συνέλιξη των περιθωρίων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας για την συνεχή περίπτωση ή των περιθωρίων συναρτήσεων πιθανότητας για την διακριτή περίπτωση ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: ( ( ( και ( ( ( d d ( ( ( d ( ( ( Σηµείωση: Αξίζει να σηµειωθεί ότι η συνέλιξη έχει πολλές από τις ιδιότητες των µαθηµατικών πράξεων όπως την αντιµεταθετικότητα και την προσεταιριστικότητα Ισχύει δηλαδή ότι (αντιµεταθετικότητα και ( ( 3 (προσεταιριστικότητα 3 36

20 στην διακριτή περίπτωση µε αντίστοιχους ορισµούς για την συνεχή περίπτωση Οι συνελίξεις έχουν επίσης µονάδα δηλαδή αν Χ είναι µία τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας αν ( διαφορετικά τότε για οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή Χ µε συνάρτηση πιθανότητας Χ ( ισχύει ότι Συνοψίζοντας τα αποτελέσµατα του παρόντος κεφαλαίου και λαβαίνοντας υπόψη τις ιδιότητες της µέσης τιµής και της διασποράς απαριθµούµε τις προκύπτουσες ιδιότητες διαφόρων κατανοµών οι οποίες εφαρµόζονται πολύ συχνά σε σχέση µε πρακτικά προβλήµατα: ( Κανονική Κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ N(µ σ τότε α ~ α µ α σ N ( ιµεταβλητή κανονική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι τυχαίες µεταβλητές µε από κοινού κατανοµή την διµεταβλητή κανονική κατανοµή δηλαδή ( ~ διµεταβλητή N(µ µ ; σ σ ; ρ τότε α Χ + α Χ + c ~ N(α µ + α µ + c α σ + α σ + α α ρ (3 ιωνυµική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ m είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ b(; m τότε m m ~ b ; (4 Κατανοµή osso: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ (; λ τότε 37

21 ~ ; λ (5 Αρνητική διωνυµική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ ΝΒ(; r τότε ~ NB ; r (6 Κατανοµή Γάµµα: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε Χ ~ γ(; α θ τότε ~ γ ; α θ (7 Κατανοµή Χ : Αν Χ Χ Χ k είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ Χ k τότε k ~ Χ k ( Εκθετική κατανοµή: Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ (θ τότε ~ γ ( ; ; θ (9 Γεωµετρική κατανοµή : Αν Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και Χ ~ G(; τότε ~ NB ( ; ; 3

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών 3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2: Y=BX+C. Λύση:

Άσκηση 2: Y=BX+C. Λύση: Άσκηση 2: Η τιμή ενός σήματος x(t) για τη χρονική στιγμή t=t θεωρείται ότι είναι τυχαία μεταβλητή Χ=x(t ) με κανονική κατανομή 0,. Να υπολογιστεί η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής Y=y(t ) να έχει τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7. Παραμετροποίηση αντιστρόφων προβλημάτων Τα διακριτά αντίστροφα προβλήµατα όπως έχουµε δει αντιµετωπίζουν σχέσεις παραµέτρων ενός φυσικού προβλήµατος και µετρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις. Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Η σ.κ.π. F() είναι παντού συνεχής F PX t dt H σ.π.π. df d Ισχύει ότι d F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 () Πιθανότητες & Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα