B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ"

Transcript

1 Τα Mαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα που προκύπτουν στις οικονομικές ή πολιτιστικές σχέσεις των ανθρώπων, των επιχειρήσεων και των εργατών απαιτούν για τη λύση τους μαθηματικά μοντέλα και αυξημένες γνώσεις των μαθηματικών επιστημών. Από τη μια μεριά η μορφή της παραγωγής και από την άλλη ο εντεινόμενος ανταγωνισμός, σε όλα τα επίπεδα, αναγκάζουν τις προηγμένες χώρες να επενδύουν στη μαθηματική παιδεία και στην καλλιέργεια της αιτιοκρατικής σκέψης. Τα εκπαιδευτικά προγράμματα δίνουν μεγάλη βαρύτητα στην ανάπτυξη της μαθηματικής αντίληψης, από τα πρώτα κιόλας χρόνια της μαθητικής ζωής του παιδιού. Η βασική λοιπόν φροντίδα των προηγμένων οικονομιών είναι διπλή: Να στρέψει όλο και περισσότερα άτομα στις θετικές σπουδές προβάλλοντας τη σημασία των Μαθηματικών, δίνοντας συγχρόνως ψυχαγωγικά κίνητρα και στηρίγματα για την αποβολή του φόβου για τα Μαθηματικά. Να ανακαλύψει πολύ νωρίς τα μαθηματικά ταλέντα και να τα αξιοποιήσει, δίνοντας μεταξύ των άλλων την ευκαιρία να φοιτήσουν σε ειδικά μαθηματικά σχολεία, αφού οι γερές οικονομίες στηρίζουν την ύπαρξη και το μέλλον τους κυρίως στα Μαθηματικά. Οι δύο παραπάνω στόχοι πραγματοποιούνται κυρίως με την καθιέρωση, σε όλες τις βαθμίδες, μαθηματικών διαγωνισμών και μαθηματικών ολυμπιάδων, τόσο σε επίπεδο σχολείων όσο και σε επίπεδο εθνικό ή παγκόσμιο. Οι διαγωνισμοί αυτοί στηρίζονται θερμά από τις τοπικές κοινωνίες, τα υπουργεία παιδείας των κρατών, τις τράπεζες, τις βιομηχανίες, τις επιχειρήσεις αλλά και από άλλους ιδιωτικούς ή κρατικούς φορείς που αντιλαμβάνονται την καθοριστική σημασία των Μαθηματικών για την πορεία τόσο των ίδιων όσο και των κρατών τους. 13

2 Το βιβλίο αυτό, διαποτισμένο από τους παραπάνω προβληματισμούς και διαπιστώσεις, έρχεται να βοηθήσει τα Ελληνόπουλα της τελευταίας τάξης του δημοτικού να γνωρίσουν καλύτερα τα Μαθηματικά, να τα αγαπήσουν και μέσα από ελκυστικά προβλήματα να αυξήσουν την ικανότητα στη λύση μαθηματικών προβλημάτων. Σχεδόν το σύνολο των ασκήσεων που περιέχονται έχουν τεθεί σε διεθνείς διαγωνισμούς, κυρίως από τον Καναδά, τις ΗΠΑ, την Ευρώπη, την Αυστραλία αλλά και άλλες χώρες με ισχυρή μαθηματική παιδεία. Πολλά επίσης θέματα προέρχονται από τον πιο διαδεδομένο παγκόσμιο σχολικό διαγωνισμό, γνωστό με το όνομα Καγκουρό. Στην πατρίδα μας είναι μεγάλη τύχη και χαρά που ο διαγωνισμός αυτός εξαπλώνεται γρήγορα, χάρη στην οργάνωση, τη στήριξη και τη φροντίδα του καθηγητή του Πανεπιστημίου Κρήτης Μιχάλη Λάμπρου. Αλλά και τα παραρτήματα της Μαθηματικής Εταιρείας διοργανώνουν, με μεγάλη συμμετοχή και επιτυχία, τοπικούς διαγωνισμούς στους νομούς τους, συμβάλλοντας έτσι στη διάδοση της αγάπης για τα Μαθηματικά και στη χώρα μας. Στο τελευταίο κεφάλαιο του βιβλίου δίνονται αρκετά θέματα από ελληνικούς διαγωνισμούς για παιδιά του δημοτικού. B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Στους μαθηματικούς διαγωνισμούς, των μικρών κυρίως τάξεων, συνηθίζονται θέματα όλων των βαθμών δυσκολίας, που έχουν όμως ένα κοινό χαρακτηριστικό. Αυτό είναι να αποτελούν πρόκληση για τη σκέψη και το νοητικό κόσμο του μαθητή, ώστε να τον δελεάσουν ή να τον παρακινήσουν να ασχοληθεί με το πρόβλημα. Βέβαια, για να μην απογοητευτούν οι μαθητές και αποχωρήσουν από τα πρώτα κιόλας λεπτά, αρκετά ερωτήματα είναι α- πλά, ώστε το παιδί να πιστέψει στις δυνάμεις του και να ασχοληθεί έπειτα και με τα δυσκολότερα θέματα. Πολλές ασκήσεις βασίζονται μόνο στις γνώσεις και στο επίπεδο του σχολείου. Μερικά όμως προβλήματα, τα πιο ελκυστικά, είναι απλές ιστοριούλες, κάθε μορφής και κάθε προέλευσης, που κρύβουν κάτι το μαγικό ή το θρυλικό. Για τη λύση τους δεν χρειάζεται τόσο η απλή αποστήθιση τεχνικών αλλά η συστηματική διείσδυση στα δεδομένα και 14 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

3 και στα ζητούμενα, μέχρι την τελική ανακάλυψη και σύνθεση της λύσης. Τα προβλήματα προέρχονται από την καθημερινή ζωή, την τηλεόραση ή τον κινηματογράφο, τα παραμύθια, την επιστημονική φαντασία αλλά και από τους συνηθισμένους χώρους των Μαθηματικών: αριθμητική, λογική, συνδυασμοί, πιθανότητες, γεωμετρία κ.λπ. Για να αντιληφθούμε καλύτερα το ύφος και το πνεύμα των προβλημάτων που τίθενται σε διαγωνισμούς, παρουσιάζουμε στη συνέχεια ορισμένα από αυτά με τις λύσεις τους. Πρόβλημα 1ο Γνωριμία με τους αριθμούς... Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό του οποίου το γινόμενο των ψηφίων είναι 210. Για να βρούμε το μικρότερο αριθμό του οποίου το γινόμενο των ψηφίων είναι ίσο με 210, πρέπει ο αριθμός αυτός να έχει όσο λιγότερα ψηφία γίνεται. Για να έχει όσο λιγότερα ψηφία γίνεται, πρέπει αυτά να είναι όσο το δυνατό μεγαλύτερα. Το 210 διαιρείται με τους 2, 3, 5, 6, 7. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο (το 7) και βρίσκουμε ότι 210 = Τώρα, το 30 διαιρείται με τους 2, 3, 5, 6. Παίρνουμε πάλι το μεγαλύτερο (το 6) και βρίσκουμε ότι 30 = 6 5. Άρα 210 = Άρα ο αριθμός που ψάχνουμε αποτελείται από τα ψηφία 7, 6, 5. Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που σχηματίζεται από αυτά είναι ο 567. Σχόλιο Αν μας ζητούσαν το μεγαλύτερο πενταψήφιο αριθμό που το γινόμενο των ψηφίων του είναι 210, θα έπρεπε πάλι να παρατηρήσουμε ότι 210 = Ο αριθμός όμως 765 είναι τριψήφιος. Άρα ο αριθμός που ζητάμε είναι ο 76511, μιας και το γινόμενο των ψηφίων δεν αλλάζει, αν κάποιο από αυτά που βάζουμε είναι το 1. 15

4 Πρόβλημα 2ο Σκέφτομαι και παίζω... Στο διπλανό σχήμα βλέπετε έναν πίνακα που δείχνει τις χιλιομετρικές αποστάσεις μεταξύ των πόλεων Α, Β, Γ,, Ε, Ζ, Η και οι οποίες βρίσκονται με αυτή τη σειρά κατά μήκος της εθνικής οδού. Στον πίνακα αυτό βλέπετε ήδη ορισμένες αποστάσεις. Για παράδειγμα, ο αριθμός 23 δείχνει ότι οι πόλεις Α και απέχουν 23 χιλιόμετρα, αφού πάνω από τον αριθμό 23 βρίσκεται η πόλη Α και δεξιά από το 23 βρίσκεται η πόλη. Ο αριθμός 30 δείχνει ότι οι πόλεις Β και Ε απέχουν 30 χιλιόμετρα. Μπορείτε να συμπληρώσετε τον πίνακα, ώστε να φαίνονται όλες οι αποστάσεις μεταξύ και των επτά αυτών πόλεων; Αρχικά ας βάλουμε τις πόλεις Α, Β, Γ,, Ε, Ζ, Η σε μία σειρά. Σχήμα 1 Έπειτα παρατηρούμε το σχήμα της εκφώνησης. Στην πρώτη στήλη βλέπουμε τους αριθμούς 23 και 58. Το νούμερο 23 μας λέει ότι η πόλη Α απέχει από τη 23 χιλιόμετρα, ενώ το 58 ότι η πόλη Α απέχει από τη Ζ 58 χιλιόμετρα. Όμως, αφού Α = 23 και ΑΖ = 58, το σχήμα 1 μας βοηθάει να συμπεράνουμε ότι: Ζ = ΑΖ Α = = 35 Άρα οι πόλεις, Ζ απέχουν 35 χιλιόμετρα και αυτό το σημειώνουμε στο αρχικό διάγραμμα όπως δείχνει το σχήμα 2. Το (1) στον αριθμό 35 (1) δηλώνει ότι την απόσταση Ζ = 35 τη βρήκαμε στο 1ο βήμα της λύσης. Στη δεύτερη στήλη, κάτω από το Β βρίσκονται οι αριθμοί 30 και 68. Αυτό σημαίνει ότι ΒΕ = 30 και ΒΗ = 68. Κοιτάζοντας το σχήμα 1 καταλαβαίνουμε ότι οι πόλεις Ε και Η απέχουν = 38 χμ. Άρα ΕΗ = 38, οπότε στο κουτάκι των Ε, Η γράφουμε τον αριθμό 38 (2) Σχήμα ΕΙΣΑΓΩΓΗ

5 Τώρα η πορεία λύσης έγινε πιο κατανοητή. Σε όποια γραμμή ή στήλη του σχήματος 2 υπάρχουν δύο αριθμοί, μπορούμε να βρούμε μια νέα απόσταση. Ας πάρουμε λοιπόν τη γραμμή που βρίσκεται το Ζ. Εδώ βλέπουμε τους αριθμούς 58, 40 και το 35 (1). Το νούμερο 58 δείχνει ότι ΑΖ = 58 και το 40 δείχνει ότι ΓΖ = 40. Άρα ΑΓ = ΑΖ ΓΖ = = 18 χμ. Στο κουτάκι λοιπόν των Α, Γ γράφουμε τον αριθμό 18 (3). Στη γραμμή του Ζ και από τους αριθμούς 40 και 35 (1) βρίσκουμε ότι: ΓΖ = 40, Ζ = 35, οπότε Γ = = 5 Συμπληρώνουμε λοιπόν το τετραγωνάκι των Γ, με τον αριθμό 5 (4). Στη γραμμή του Η έχουμε: Η = 53, ΕΗ = 38, οπότε Ε = = 15 (5) Με μια προσεκτική ματιά βλέπουμε ότι: ΓΕ = Γ + Ε = 5 (4) + 15 (5) = 20 (6) Στη στήλη του βλέπουμε ότι: Ζ = 35, Ε = 15, οπότε ΕΖ = = 20 (7) Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο συμπληρώνουμε όλα τα κουτάκια. Ο συμπληρωμένος πίνακας φαίνεται στο σχήμα 3. Σχήμα 3 Να τονίσουμε μόνο ότι η σειρά εύρεσης των διάφορων αποστάσεων μπορεί να διαφέρει από μαθητή σε μαθητή. Για παράδειγμα το Β = ΒΗ Η = = = 15 (8) μπορεί να υπολογιστεί από το πρώτο κιόλας βήμα. Πρόβλημα 3ο Προβλήματα που ξεχωρίζουν... Μια νύχτα ξύπνησα απότομα εξαιτίας ενός εφιάλτη και κοιτάζοντας το ρολόι είδα ότι η ώρα ήταν 3. ιαπίστωσα όμως ότι το ρολόι είχε σταματήσει και το έβαλα πάλι σε λειτουργία. Το πρωί που ξύπνησα κοίταξα το ρολόι και έδειχνε 6:30. Την ίδια στιγμή το ραδιόφωνο έλεγε ότι η ώρα ήταν 8. Τι ώρα ήταν τη στιγμή που ξύπνησα; 17

6 Όταν η πραγματική ώρα ήταν σύμφωνα με το ραδιόφωνο 8, το ρολόι έδειχνε 6:30. Αυτό σημαίνει ότι είχε μείνει πίσω 1 ώρα και 30 λεπτά (μιάμιση ώρα). Σίγουρα το ρολόι δούλευε μέχρι τις 3 και σταμάτησε ακριβώς στις τρεις. Ε- πομένως, από τη στιγμή που σταμάτησε το ρολόι, μέχρι τη στιγμή που ξύπνησα πέρασε 1 ώρα και 30 λεπτά. Επομένως, όταν ξύπνησα, η ώρα ήταν 4:30 (τέσσερις και μισή). Άλλος τρόπος Από την ώρα που έβαλα το ρολόι σε λειτουργία μέχρι τις 8, το ρολόι δούλεψε τρεισήμισι ώρες (όσο είναι από τις 3:00 μέχρι τις 6:30). Αν αυτές τις τρεισήμισι ώρες τις αφαιρέσω από το 8, θα βρω την ώρα που ξύπνησα. Επειδή 8 3,5 = 4,5 συμπεραίνουμε ότι ξύπνησα στις 4:30. Πρόβλημα 4 ο Πράξεις της αριθμητικής... Να βρείτε το αποτέλεσμα στην παρακάτω παράσταση: ,9 20,08 2,007 Το κλάσμα 2009 συμβολίζει τη διαίρεση 2009 : 200,9. Βλέπουμε ότι ο 200,9 διαιρετέος 2009 και ο διαιρέτης 200,9 αποτελούνται από τα ίδια ψηφία και διαφέρουν μόνο στο ότι ο διαιρέτης είναι δεκαδικός. Επειδή ο διαιρέτης έχει ένα δεκαδικό ψηφίο, η διαίρεση αυτή είναι ίδια με τη διαίρεση : 2009 που θα πάρουμε αν μετακινήσουμε την υποδιαστολή κατά μία θέση προς τα δεξιά τόσο στον διαιρέτη 200,9 όσο και στον διαιρετέο 2009,0. Με αυτό τον τρόπο παίρνουμε τους αριθμούς 2009 και Αλλά : 2009 = 10. Αυτό φαίνεται καλύτερα αν γράψουμε: = = = Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι: = = = , ΕΙΣΑΓΩΓΗ

7 = = = , Τελικά θα βρούμε: = = ,9 20,08 2,007 Πρόβλημα 5 ο Ιδιότητες των αριθμών... Στον πίνακα ήταν γραμμένος ένας πολλαπλασιασμός του 18 με έναν άλλο διψήφιο αριθμό. Στο διάλειμμα όμως ένας μαθητής έσβησε πολλά από τα ψηφία και στη θέση τους έβαλε α- στεράκια. Μπορείτε να βρείτε τον άλλο διψήφιο αριθμό, ώστε να ξαναφτιάξετε τον πολλαπλασιασμό; Ο αριθμός 18 είναι πολλαπλάσιο του 9, διότι 18 = 9 2. Άρα το γινόμενο 41* πρέπει να είναι επίσης πολλαπλάσιο του 9. Με άλλα λόγια, ο αριθμός 41* πρέπει να διαιρείται με το 9. Για να συμβαίνει όμως αυτό, πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του, δηλαδή ο αριθμός: * = 5 + * να διαιρείται με το 9. Αλλά η μόνη περίπτωση για να διαιρείται ο αριθμός 5 + * με το 9 είναι να είναι * = 4 (ώστε 5 + * = = 9). Το γινόμενο λοιπόν του 18 επί τον άλλο διψήφιο αριθμό είναι ο αριθμός 414. Επειδή 414 : 18 = 23, ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 23 και ο συμπληρωμένος πολλαπλασιασμός φαίνεται δίπλα. Άλλος τρόπος Το γινόμενο 41* είναι ένας αριθμός ανάμεσα στο 410 και το 419 (από 410 έως και 419). Αν κάνουμε τη διαίρεση 410 : 18 θα βρούμε πηλίκο 22 και υπόλοιπο 14. Είναι όμως = 4. Αν λοιπόν τον αριθμό (διαιρετέο) 410 τον αυξήσουμε κατά 4, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης 414 : 18 είναι μηδέν. Άρα το γινόμενο είναι ο αριθμός

8 Πρόβλημα 6 ο Μαθηματικά παιχνίδια... Οι σελίδες κάθε βιβλίου είναι αριθμημένες και τον αριθμό αυτό τον βλέπουμε συνήθως στο πάνω ή στο κάτω μέρος της σελίδας. Όταν η Μαριάννα άνοιξε ένα βιβλίο για μαθηματικούς διαγωνισμούς του δημοτικού πρόσεξε ότι αν πολλαπλασιάσει τους αριθμούς των δύο σελίδων που έχει μπροστά της θα βρει τον αριθμό 600. Μπορείτε να βρείτε αυτούς τους δύο αριθμούς που βλέπει η Μαριάννα; Ένας τρόπος να βρούμε τους αριθμούς των δύο σελίδων είναι να αρχίζουμε να δοκιμάζουμε αριθμούς. Παρατηρούμε ότι: 600 = = = = = = = = Καμία από αυτές τις περιπτώσεις δε μας ενδιαφέρει, διότι οι δύο παράγοντες πρέπει να είναι συνεχόμενοι (διαδοχικοί) αριθμοί, όπως για παράδειγμα οι 19, 20 ή 20, 21 κ.λπ. Επειδή ισχύει ότι: = 420 και = 870 παρατηρούμε ότι οι αριθμοί που ψάχνουμε είναι ανάμεσα στο 20 και το 30. Επειδή όμως ο 600 τελειώνει σε μηδέν, θα πρέπει ένας από τους δύο διαδοχικούς αριθμούς να τελειώνει σε μηδέν ή πέντε. Τότε οι δυνατοί συνδυασμοί που απομένουν είναι οι: ή ή Κάνοντας τους πολλαπλασιασμούς, παρατηρούμε ότι ο πολλαπλασιασμός δίνει αποτέλεσμα 600. Άρα οι δύο σελίδες που βλέπει μπροστά της η Μαριάννα έχουν τους αριθμούς 24 και 25. Άλλος τρόπος Βρίσκουμε τους πρώτους παράγοντες του 600 και βλέπουμε ότι: 600 = Με απλές δοκιμές βλέπουμε ότι: 600 = ( ) (5 5) = Άρα οι αριθμοί που ζητάμε είναι οι 24 και ΕΙΣΑΓΩΓΗ

9 Πρόβλημα 7 ο Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τέσσερα τετράγωνα. Το τετράγωνο 1 έχει περίμετρο 16 εκ. και το τετράγωνο 2 έχει περίμετρο 24 εκ. Πόση είναι η περίμετρος του μεγάλου τετραγώνου (του 4) και πόσο το εμβαδόν του; Από τη γεωμετρία... Το τετράγωνο 1 έχει περίμετρο 16, οπότε η πλευρά του είναι 16 : 4 = 4 εκ. Όμοια, αφού το τετράγωνο 2 έχει περίμετρο 24 εκ., τότε η πλευρά του Α έχει μήκος 24 : 4 = 6 εκ. Το τετράγωνο 3 έχει πλευρά ΑΒ = = 10 εκ. Το τετράγωνο 4 έχει πλευρά: Γ = ΓΒ + Β = = 16 εκ. Συνεπώς η περίμετρός του είναι Π = 4 16 = 64 εκ. και το εμβαδόν του είναι Ε = = 256 τ.εκ. Πρόβλημα 8 ο Δ Ε 6 Β 4 10 Γ Ζ Η Μαριάννα έχει 42 μικρούς κύβους με πλευρά 1 εκατοστό. Θέλει να φτιάξει με αυτούς ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που η περίμετρος της βάσης του να είναι 18 εκατοστά. Πόσο ψηλό είναι το παραλληλεπίπεδο αυτό; Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου με διαστάσεις α, β, γ βρίσκεται από τον τύπο V = α β γ. Πρέπει λοιπόν α β γ = 42, διότι το παραλληλεπίπεδο θα έχει όγκο 42 κ.εκ. όσοι είναι δηλαδή και οι κύβοι που το αποτελούν. Αναλύουμε το 42 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και έχουμε ότι: 42 = Αφού η βάση έχει περίμετρο 18, πρέπει το α και το β να έχουν άθροισμα 9, δηλαδή α + β = 9. 21

10 Επειδή τα α, β είναι δύο από τους αριθμούς 2, 3, 7 (διότι 42 = 2 3 7), και α + β = 9, θα είναι: α = 2 και β = 7 ή α = 7 και β = 2 Το παραλληλεπίπεδο έχει λοιπόν βάση με εμβαδόν Ε = 2 7 = 14 τ.εκ. και αφού ο όγκος του είναι 42, το ύψος του είναι 42 : 14 = 3 εκ. Πρόβλημα 9 ο Προβλήματα από τη λογική... Ένας παρατηρητικός μαθητής πρόσεξε ότι κάποια χρονιά τρεις συνεχόμενοι (διαδοχικοί) μήνες είχαν ακριβώς από 4 Κυριακές ο καθένας τους. Να αιτιολογήσετε γιατί ο ένας από αυτούς τους μήνες ήταν οπωσδήποτε ο Φεβρουάριος! Υποθέτουμε ότι κανένας από τους μήνες αυτούς δεν ήταν ο Φεβρουάριος. Επομένως οι μήνες αυτοί είχαν συνολικά τουλάχιστον: = 91 ημέρες ή = 92 ημέρες Ας δούμε όμως πόσες εβδομάδες είναι οι 91 ή οι 92 ημέρες: Όπως δείχνουν οι παραπάνω διαιρέσεις οι τρεις αυτοί διαδοχικοί μήνες έχουν τουλάχιστον 13 εβδομάδες, δηλαδή έχουν συνολικά τουλάχιστον 13 Κυριακές. Αλλά στο πρόβλημα μάς δίνεται ότι αυτοί οι μήνες είχαν ακριβώς 4 Κυριακές, δηλαδή συνολικά 4 3 = 12 Κυριακές. Επειδή εμείς βρήκαμε ότι οι μήνες αυτοί έχουν τουλάχιστον 13 Κυριακές, έχουμε οδηγηθεί σε ένα αποτέλεσμα που δεν ισχύει. Άρα η υπόθεση που κάναμε ότι κανένας μήνας δεν είναι ο Φεβρουάριος είναι λανθασμένη. Υποχρεωτικά λοιπόν κάποιος από τους μήνες αυτούς είναι ο Φεβρουάριος. 22 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

11 Η σημασία που έχει η επίλυση προβλημάτων για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, οδήγησε πολλούς μαθηματικούς και παιδαγωγούς στην έ- ρευνα για την ανακάλυψη ορισμένων βασικών αλλά γενικών μεθόδων που θα χρησίμευαν για το σκοπό αυτό. Τονίζουμε ότι μέθοδος - συνταγή που να λύνει μαθηματικά προβλήματα δεν υπάρχει. Αυτό που υπάρχει είναι ένας μικρός κατάλογος που περιγράφει τους γενικούς άξονες γύρω από τους οποίους περιστρέφεται συνήθως η προσπάθεια για την αναζήτηση της λύσης ενός προβλήματος. εν είναι σκοπός του βιβλίου αυτού η λεπτομερής ανάλυση αυτών των αξόνων και των μεθόδων επίλυσης. Ορισμένες ωστόσο περιπτώσεις φαίνονται σε ορισμένα προβλήματα που ακολουθούν. ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Πριν ξεκινήσουμε την προσπάθειά μας για να λύσουμε ένα πρόβλημα, πρέπει να το διαβάσουμε αρκετές φορές, ώστε να βεβαιωθούμε ότι καταλαβαίνουμε όλες τις πληροφορίες (δεδομένα) και τις ερωτήσεις του (ζητούμενα). Μπορούμε να μεταφέρουμε το πρόβλημα σε μια πιο απλή μορφή, ώστε να το καταλαβαίνουμε γρηγορότερα, να καταγράψουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα και γενικότερα, πριν ακόμα ξεκινήσουμε να το λύνουμε, να έχουμε σχηματίσει ένα δικό μας διάλογο με το πρόβλημα. Για τη λύση ενός προβλήματος πρέπει να οργανώσουμε ένα σχέδιο. Αυτά τα σχέδια τα λέμε στρατηγικές. Ορισμένες από τις πιο βασικές στρατηγικές είναι οι παρακάτω: Λύνω ένα πιο απλό πρόβλημα Βρίσκω ένα μοτίβο Φτιάχνω σχήμα ή διάγραμμα Φτιάχνω έναν κατάλογο ή μια οργανωμένη λίστα Σκέφτομαι αντίστροφα Κάνω συλλογισμούς - Κάνω απόδειξη 23

12 Αφού διαλέξουμε μια κατάλληλη στρατηγική ή πιθανόν ανακαλύψουμε ένα συνδυασμό, ξεκινάμε τη λύση. ε βιαζόμαστε, κοιτάζουμε συνεχώς τα δεδομένα, δεν απομακρυνόμαστε από το στόχο μας. Κάνουμε με προσοχή τις πράξεις. Αν αντιληφθούμε ότι η στρατηγική μας δεν βοηθάει άλλο, επιλέγουμε μια άλλη. εν εγκαταλείπουμε, μέχρι να μας το επιβάλλει ο χρόνος. Αν δεν μπορούμε να λύσουμε το συγκεκριμένο πρόβλημα και είμαστε σε διαγωνισμό, περνάμε στη λύση άλλου προβλήματος. Μέθοδος 1η: Λύνω ένα πιο απλό πρόβλημα Αν το πρόβλημα που έχουμε να λύσουμε είναι αρκετά σύνθετο, προσπαθούμε να λύσουμε ένα πιο απλό, αλλά παρόμοιο πρόβλημα, ώστε να αντιληφθούμε τον τρόπο που πρέπει να το προσεγγίσουμε. Πρόβλημα 10 ο Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = ( ) ( ) Θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μερικά παρόμοια, αλλά πιο απλά προβλήματα, στα οποία οι παρενθέσεις να έχουν λιγότερους αριθμούς. Α 1 = 2 1 = 1 Α 2 = (2 + 4) (1 + 3) = 6 4 = 2 Α 3 = ( ) ( ) = 12 9 = 3 Α 4 = ( ) ( ) = = 4 Αν ρίξουμε μια προσεκτική ματιά στο αποτέλεσμα της κάθε πράξης, θα διαπιστώσουμε ότι η τιμή της κάθε παράστασης είναι τόση, όσοι είναι οι αριθμοί (προσθετέοι) στην κάθε παρένθεση. Κάθε παρένθεση της παράστασης Α που θέλουμε να υπολογίσουμε έχει τόσους αριθμούς, όσοι είναι οι αριθμοί: 2, 4, 6, 8, 10,, 2010 Αλλά οι αριθμοί αυτοί είναι τα πολλαπλάσια του 2, ξεκινώντας από το 2 = 2 1. Επειδή 2010 : 2 = 1.005, το πλήθος των αριθμών αυτών είναι Τόσοι όμως είναι και οι αριθμοί 1, 3, 5, 7, 9,, ΕΙΣΑΓΩΓΗ

13 Επομένως η τιμή της παράστασης Α είναι 1.005, δηλαδή Α = Άλλος τρόπος Ας δούμε πάλι την περίπτωση όπου κάθε παρένθεση έχει 2 αριθμούς: Α 2 = (2 + 4) (1 + 3) Αντί να κάνουμε τις πράξεις μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των αριθμών και να γράψουμε: Α 2 = (2 1) + (4 3) = = 2 Όμοια μπορούμε να γράψουμε: Α 3 = ( ) ( ) = (2 1) + (4 3) + (6 5) = = 3 Εύκολα πια τώρα βλέπουμε ότι: Α = ( ) ( ) = = (2 1) + (4 3) + (6 5) ( ) = = = Μέθοδος 2η: Βρίσκω το μοτίβο 2010 : 2= αριθμοί Μια εξαιρετική μέθοδος, χρήσιμη για την επίλυση πολλών προβλημάτων, είναι η προσπάθεια να μαντέψουμε τη λύση, μέσα από αρκετές δοκιμές, με συγκεκριμένους αριθμούς και απλές πράξεις. Στη συνέχεια προσπαθούμε να βρούμε μια σχέση που να συνδέει τα αποτελέσματα της κάθε περίπτωσης. Πρόβλημα 11 ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A = Θα ξεκινήσουμε να κάνουμε ορισμένες δοκιμές με λιγότερους προσθετέους: 1 1 = = + = + = = = + + = + = + = = =

14 = = + = = + = = = Τα παραδείγματα αυτά είναι αρκετά για να μαντέψουμε το αποτέλεσμα. Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα, που αριθμητής και παρονομαστής είναι οι όροι του γινομένου του παρονομαστή στο τελευταίο κλάσμα της παράστασης. Για παράδειγμα: 1 Στην τέταρτη περίπτωση, το τελευταίο κλάσμα είναι το και το αποτέλεσμα ήταν το Στην τρίτη περίπτωση το τελευταίο κλάσμα είναι το και βρίσκουμε αποτέλεσμα 3 4. Είναι λογικό λοιπόν να υποψιαστούμε ότι, αφού στην παράσταση Α το τελευταίο κλάσμα είναι το, η τιμή της παράστασης θα είναι Να σημειώσουμε ότι η παραπάνω διαδικασία δεν είναι μια πλήρης αιτιολόγηση αλλά μια ικανοποιητική λύση, που για παιδιά αυτής της ηλικίας είναι σπουδαία επιτυχία! Μέθοδος 3η: Φτιάχνω σχήμα ή διάγραμμα Σε πολλά προβλήματα η δημιουργία σχημάτων, διαγραμμάτων ή οργανωμένων πινάκων μπορεί να βοηθήσει αποτελεσματικά στην εύρεση της λύσης. Πρόβλημα 12 ο Σε πόσα το πολύ κομμάτια μπορούμε να χωρίσουμε μια ορθογώνια πίτσα με τέσσερις ευθύγραμμες μαχαιριές; Θα κάνουμε ορισμένες δοκιμές: Σχήμα α Σχήμα β Σχήμα γ 26 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

15 Από τις δοκιμές αυτές παρατηρούμε ότι τα σχήματα (α), (β), (γ) μπορούμε να τα χωρίσουμε σε 5, 5, 8 κομμάτια αντίστοιχα. Με μια ακόμη προσπάθεια, στην οποία όλες οι μαχαιριές είναι ευθείες που τέμνονται, παίρνουμε το διπλανό σχήμα. Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε 11 κομμάτια. Αυτός λοιπόν είναι ο μέγιστος αριθμός που ζητάμε. Κάνοντας πολλές δοκιμές, παρατηρούμε ότι για να χωρίσουμε το ορθογώνιο στο μέγιστο αριθμό κομματιών θα πρέπει: οι δυο πρώτες ευθείες να τέμνονται σε ένα σημείο, η τρίτη ευθεία να τέμνει και τις δύο ευθείες, η τέταρτη ευθεία να τέμνει και τις τρεις ευθείες. Μέθοδος 4η: Σκέφτομαι αντίστροφα Πρόβλημα 13 ο Ο Γιάννης πήγε στο βιβλιοπωλείο και το 1 3 των χρημάτων του το έδωσε για βιβλία. Αγόρασε μετά ένα στυλό με 3 ευρώ και τα 2 3 των χρημάτων που του περίσσεψαν τα έδωσε για τετράδια. Αν δεν αγόραζε στο δρόμο ένα παγωτό με 3 ευρώ, θα γύριζε στο σπίτι έχοντας πάνω του 19 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε ο Γιάννης τη στιγμή που μπήκε στο βιβλιοπωλείο; Θα λύσουμε το πρόβλημα ακολουθώντας αντίστροφη πορεία. Θα ξεκινήσουμε δηλαδή από τη στιγμή που ο Γιάννης φτάνει στο σπίτι και χρησιμοποιώντας κατάλληλα τα δεδομένα του προβλήματος θα καταλήξουμε στη στιγμή πριν μπει στο βιβλιοπωλείο. Έχουμε λοιπόν: Ο Γιάννης έφυγε από το βιβλιοπωλείο και είχε 19. Τα 19 του έμειναν αφού έδωσε τα 2 3 των χρημάτων του για τετράδια. Τότε λοιπόν το 1 3 των χρημάτων αυτών είναι 19. Άρα όλο το ποσό που είχε πριν αγοράσει τα τετράδια ήταν 319 = 57. Πριν αγοράσει το στυλό με 3, είχε =

16 Τα 60 του έμειναν αφού είχε αγοράσει βιβλία, για τα οποία ξόδεψε το 1 3 των χρημάτων του. Τα 60 είναι λοιπόν τα 2 3 των χρημάτων που είχε πριν ξεκινήσει να ψωνίζει. Άρα το 1 3 των χρημάτων του είναι 60 : 2 = 30. Συνεπώς όλα τα χρήματα που είχε μπαίνοντας στο βιβλιοπωλείο ήταν 3 30= 90. Μέθοδος 5η: Κάνω μια απόδειξη Η απόδειξη είναι η καρδιά και συγχρόνως η ψυχή των μαθηματικών. Προβλήματα με απόδειξη (αιτιολόγηση) θα συναντάμε κυρίως σε μεγαλύτερες τάξεις. Πρόβλημα 14 ο Ένα σχολείο έχει 61 μαθητές. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα στους μαθητές υπάρχουν τουλάχιστον 6 που έχουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. Οι μήνες είναι 12 και οι μαθητές 61. Όμως 61= Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι οι μήνες είναι 12 κουτάκια, οι 61 μαθητές είναι 61 μπίλιες και θελήσουμε να βάλουμε τις μπίλιες στα κουτάκια, τότε σε ένα τουλάχιστον κουτάκι θα μπουν 6 μπίλιες. Πραγματικά: Μοιράζουμε τις μπίλιες στα κουτάκια, βάζοντας από μία σε κάθε κουτάκι. Τότε κάποια στιγμή όλα τα κουτάκια θα έχουν από 5 μπίλιες και θα περισσεύει μία (διότι 61 = ). Αυτή τη μπίλια που περισσεύει θα τη βάλουμε σε ένα από τα 12 κουτάκια και αμέσως αυτό το κουτί θα περιέχει 6 μπίλιες. Επομένως, ανάμεσα στους 61 μαθητές, τουλάχιστον οι 6 έχουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. Σχόλιο Επειδή ο μήνας έχει 4 εβδομάδες, με τους ίδιους συλλογισμούς συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο μαθητές που έχουν γενέθλια την ίδια εβδομάδα! 28 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΑΠΡΙΛΗΣ 08 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/04/08 Ώρα εξέτασης: 5:45-7:45 Να απαντήσετε τα θέματα και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία.

(ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος αν δεν μου δίνονται όλα τα απαραίτητα στοιχεία. Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των πλευρών του το οποίο εκφράζεται με τη μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση: Οι θεατές άνδρες και γυναίκες ήταν συνολικά. ΘΕΜΑ 3 ο Κύκλωσε το σωστό σύμβολο 1 1 :1 2

Απάντηση: Οι θεατές άνδρες και γυναίκες ήταν συνολικά. ΘΕΜΑ 3 ο Κύκλωσε το σωστό σύμβολο 1 1 :1 2 Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού «Ο μικρός Ευκλείδης» 8 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 04 Για μαθητές της Στ Τάξης Δημοτικού ΘΕΜΑ ο Πόσες φορές ο δεκαδικός αριθμός 4.400,800

Διαβάστε περισσότερα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση.

Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. 5Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 Ποια από τις προτάσεις που ακολουθούν δεν είναι σωστή για την εικόνα με τα επίπεδα σχήματα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α. Οι κύκλοι είναι διπλάσιοι σε αριθμό από τα τετράγωνα. Β.

Διαβάστε περισσότερα

επειδή τα μαθηματικά καλλιεργούν την σκέψη και φέρνουν πνευματική ικανοποίηση, δεν πρέπει να απευθύνονται μόνο σε λίγους.

επειδή τα μαθηματικά καλλιεργούν την σκέψη και φέρνουν πνευματική ικανοποίηση, δεν πρέπει να απευθύνονται μόνο σε λίγους. Αγαπητοί Συνάδελφοι, Σας γράφουμε για να σας ενημερώσουμε για τον Διεθνή Μαθηματικό Διαγωνισμό "Καγκουρό", ο οποίος από τον Μάρτιο του 007 διενεργείται και στην Ελλάδα. Παγκοσμίως μετέχουν περί τα 00 000

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Μιχάλης Λάµπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Αν όπου είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, τότε ο αριθµός αυτός

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ. «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ. «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 1. Να συμπληρώσεις στα κουτάκια τους αριθμούς που λείπουν: : 11+ 15= 24 : 17+ 11= 16 : 11 13= 17 : 11 14= 26 i 7+

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 2 (για µαθητές της Ε' και ΣΤ' τάξης ηµοτικού) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Παπαθανασίου Δημήτρης Παπαθανασίου MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο

Γιάννης Παπαθανασίου Δημήτρης Παπαθανασίου MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο Γιάννης Παπαθανασίου Δημήτρης Παπαθανασίου MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ Σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο Περιεχόμενα Προλογικό σημείωμα... 9 Ενότητα 1 Κεφάλαιο 1 Υπενθύμιση Α μέρος... 13 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Θ. Ι. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 1

Επιμέλεια: Θ. Ι. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 1 ΘΕΜΑ 1 ο Να προτείνετε ένα μοντέλο με το οποίο θα παρουσιάσετε μία στρατηγική κατακόρυφης πρόσθεσης και, αντίστοιχα, μίας κατακόρυφης αφαίρεσης διψήφιων αριθμών που να είναι διαφορετικές από τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

1 8 και ο δεύτερος παίρνει το υπόλοιπο. Παρακάτω, ο πρώτος παραπόταμος χωρίζεται στα 3 και το ένα τμήμα του παίρνει το του νερού του 8 ) 1 2

1 8 και ο δεύτερος παίρνει το υπόλοιπο. Παρακάτω, ο πρώτος παραπόταμος χωρίζεται στα 3 και το ένα τμήμα του παίρνει το του νερού του 8 ) 1 2 Kangourou Sans Frontières Θέματα Καγκουρό 00 LEVELS: - (για μαθητές της Β' και ' τάξης Λυκείου) Ερωτήσεις βαθμών: ) Οι αριθμοί και και δύο άγνωστοι αριθμοί γράφονται μέσα στα τετραγωνάκια του διπλανού

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 53 : Αριθμοί μέχρι το Κλάσματα και δεκαδικοί

Κεφάλαιο 53 : Αριθμοί μέχρι το Κλάσματα και δεκαδικοί 10-0059MATHIMATIKAGDIMOTIKOU4_10 MAΘHTHΣ MAΘHM Γ 13/2/2013 10:31 πμ Page 1 9 η ενότητα Αριθμοί μέχρι το 10.000 Κλάσματα και δεκαδικοί Πράξεις γεωμετρία 53 54 55 56 57 58 59 Κεφάλαιο 53 : Αριθμοί μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης. Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 =

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης. Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης ΕΝΟΤΗΤΑΣ Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 = 3 Χ 5 = 6 Χ 7 = 11 Χ 9 = 8 Χ 5 = 6 Χ 5 = 7 Χ 8 = 6 Χ 11

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Sample 2 ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε αυτό το μέρος υπάρχουν 15 ερωτήσεις. Να απαντήσετε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Σε κάθε ερώτηση η σωστή απάντηση είναι ΜΟΝΟ ΜΙΑ. Να βάλετε σε ΚΥΚΛΟ τη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα (!,!,!,!,! ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας,!!!!! χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες και εφαρμογίδια.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα 1 Εξισώσεις 1. Η Αντωνία διάβασε τις πρώτες 78 σελίδες ενός βιβλίου, που έχει συνολικά 130 σελίδες. Ποια μαθηματική πρόταση μπορεί να χρησιμοποιήσει η Αντωνία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SAMPLE 3 1 ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε αυτό το μέρος υπάρχουν 15 ερωτήσεις. Να απαντήσετε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Σε κάθε ερώτηση η σωστή απάντηση είναι ΜΟΝΟ ΜΙΑ. Να βάλετε σε ΚΥΚΛΟ τη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-361774 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου;

Ποιος είναι ο 66ος όρος στην ακολουθία γραμμάτων ΑΒΒΓΓΓΔΔΔΔΕΕΕΕΕ, όπου Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου; Πρόβλημα 214 Τα θρανία στην τάξη του Γιάννη είναι τοποθετημένα σε γραμμές και στήλες. Το θρανίο του Γιάννη είναι στην τρίτη γραμμή από την αρχή και στην τέταρτη από το τέλος. Είναι επίσης στην τρίτη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:ΣΤ Ονοματεπώνυμο:. Σχολείο:.. Η εκτύπωση Η Άννα εκτύπωσε 135 σελίδες στον εκτυπωτή της. Πόσα ψηφία τύπωσε ο εκτυπωτής για την αρίθμηση των σελίδων από το 1 ως το

Διαβάστε περισσότερα

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι :

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 010 009 + 008 007 + 006 005 +...+ 4 3 + 1 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : 1.541, 7.686, 3.352, (8)

2. Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : 1.541, 7.686, 3.352, (8) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού «Ο μικρός Ευκλείδης» 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα ilias ili Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη 1 η Ενότητα Αριθμοί μέχρι το 1000 - Οι τέσσερις πράξεις Γεωμετρικά σχήματα Πηγή: e-selides 1) Γράφω τους

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές.

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. Αγοράζω Πληρώνω Παίρνω ρέστα Συνεργάστηκαν οι: Σπίνος Γεράσιμος, Υποδ/ντής

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εργασία: Επίλυση προβλήματος Καθηγητής : Χαράλαμπος Λεμονίδης Όνομα φοιτήτριας: Μπεσικιώτη Ζωή, Α.Ε.Μ. 4385 από το σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2017-2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αυτό το γραπτό αποτελείται από 18 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής.

Διαβάστε περισσότερα

1 ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΧΑΝΙΑ, 12 Ιανουαρίου 2013

1 ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΧΑΝΙΑ, 12 Ιανουαρίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΧΑΝΙΩΝ ΚΡΟΚΙΔΑ 32 73100 ΧΑΝΙΑ Τηλ: 697 6992542 ΦΑΞ: 28210 56692 http://www.mathchan.gr HELLENIC MATHEMATICAL SOCIETY CHANIA BRANCH KROKIDA 32 73100 CHANIA Tel : 697

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

Επιτροπή Διαγωνισμού του περιοδικού. 2 ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς:

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς: Λύνω τις ασκήσεις 1. Γράφω δίπλα με ψηφία τους παρακάτω αριθμούς: Εκατόν ενενήντα εννέα:.. Τριακόσια ένα: Τετρακόσια πενήντα οκτώ:... Πεντακόσια εννέα:.. Οχτακόσια ογδόντα οκτώ:.... Εννιακόσια δύο: Εννιακόσια

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 20 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας.

Ακολουθίες ΕΝΟΤΗΤΑ. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. ΕΝΟΤΗΤΑ Ακολουθίες Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε την ακολουθία. Να ορίζουμε τι είναι όρος ακολουθίας. Να αναπαριστούμε τις ακολουθίες με διάφορους τρόπους. Να βρίσκουμε τον επόμενο όρο ή τον

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί γονείς, Αντιγόνη Λυκοτραφίτη

Αγαπητοί γονείς, Αντιγόνη Λυκοτραφίτη Αγαπητοί γονείς, Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο σύμφωνα με την ύλη του σχολικού βιβλίου «Μαθηματικά Γ Δημοτικού». Είναι δομημένο σε αντίστοιχα κεφάλαια και λειτουργεί παράλληλα αλλά και συμπληρωματικά με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά A Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μέρος Β - Ασκήσεις. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Σε ένα χωράφι καλλιεργούνται 200 δένδρα, ελιές, λεμονιές και πορτοκαλιές. Οι ελιές μαζί με τις λεμονιές

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα