ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 III3. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Έστω 2 τ.μ. Χ Υ με από-κοινού σ.π.π. Y γνωστή και έστω 2 συναρτήσεις Z=g Y και W=g 2 Y. Πρόβλημα: Να βρεθεί η κατανομή των τ.μ. Z W δηλ. η ZW η περίπτωση: γραμμικές συναρτήσεις δηλ. όπου A ο πίνακας γραμμικών συντελεστών. Υπόθεση: υπάρχει αντίστροφος A - τότε: Πιθανότητες Μέρος 9 ο Κ. Μπλέκας /6 A A Y W Z Y A Y e c b a W Z

4 III3. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών συν. 2 η περίπτωση γενική: μη-γραμμικές συναρτήσεις Υπόθεση: υπάρχουν οι αντίστροφες σχέσεις = = 2 Τότε γενικός τύπος είναι: ή όπου Πιθανότητες Μέρος 9 ο Κ. Μπλέκας 2/6 2 J Y W Z 2 J Y W Z v J 2 2 g g g g J 2 2 οι Ιακωβιανές ορίζουσες

5 III3. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών συν. Κατανομή μιας συνάρτησης Z=gY Βήματα :. Ορίζουμε βοηθητική μεταβλητή π.χ. W= 2. Δουλεύουμε όπως πριν σαν να έχουμε 2 συναρτήσεις Z W 3. Βρίσκουμε την από-κοινού σ.π.π. W 4. Τέλος παίρνουμε την περιθώρια του Z : Z Z W Z d Πιθανότητες Μέρος 9 ο Κ. Μπλέκας 3/6

6 III3. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών συν. Κατανομή αθροίσματος 2 μεταβλητών Ζ=+Y Εφαρμόζοντας την προηγούμενη γενική μεθοδολογία προκύπτει ότι Αν επιπλέον οι δύο τ.μ. Y είναι ανεξάρτητες τότε: που είναι το ολοκλήρωμα της συνέλιξης convolution των περιθωρίων conv: * Y. Z Z W d Y Z Y d d Πιθανότητες Μέρος 9 ο Κ. Μπλέκας 4/6

7 III4. Ειδικές κατανομές πολυδιάστατων μεταβλητών Πολυωνυμική multinomial για διακριτές τυχαίες μεταβλητές Έστω k ασυμβίβαστα ενδεχόμενα όπου κάθε ένα έχει πιθανότητα εμφάνισης ρ i k i i Εκτελούμε το πείραμα n φορές και μετράμε το πλήθος εμφανίσεων i συχνότητα κάθε ενδεχομένου. Τότε το τυχαίο διάνυσμα = 2 k λέμε ότι ακολουθεί την πολυωνυμική κατανομή Mulnρ με σ.π.π. k i i n n k i 2 k i 2... k -Oι περιθώριες και οι δεσμευμένες είναι δυωνυμικές και πολυωνυμικές αντίστοιχα -Για k=2 είναι η Διωνυμική -Η συνδιακύμανση είναι: COV i j = - n ρ i ρ j i k i i Πιθανότητες Μέρος 9 ο Κ. Μπλέκας 5/6 i n k i

8 III4. Ειδικές κατανομές πολυδιάστατων μεταβλητών συν. Πολυδιάστατη Κανονική Έστω πολυδιάστατη μεταβλητή = 2 n. Λέμε ότι ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική ΝμΣ με σ.π.π. T όπου μ=μ μ n είναι το μέσο και Σ είναι ο πίνακας διασπορών με τις εξής ιδιότητες: τετραγωνικός συμμετρικός και θετικά ημι-ορισμένος. Η πολυδιάστατη κανονική υποθέτει ελλειπτική μορφή των δειγμάτων. Το μ εκφράζει το κέντρο και ο πίνακας Σ την κατεύθυνση της έλλειψης. Αν ο πίνακας Σ είναι διαγώνιος τότε οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες ενώ αν Σ=σ 2 Ι όπου Ι ο μοναδιαίος τότε έχουμε σφαίρα ακτίνας σ. Μερικές ιδιότητες της κανονικής είναι ότι: - οι περιθώριες και οι δεσμευμένες είναι κανονικές κατανομές - αν Χ~Νμ Χ Σ Χ => Υ=ΑΧ ~ Ν μ Υ = Α μ Χ Σ Υ = Α Σ Χ Α Τ 2 n/ 2 / 2 e 2 Πιθανότητες Μέρος 9 ο Κ. Μπλέκας 6/6

9 Τέλος Ενότητας

10 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.

11 Σημειώματα

12 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διαθέσιμη εδώ. ttp://ecourse.uoi.gr/course/vie.pp?id=78.

13 Σημείωμα Αναφοράς Coprigt Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας. «Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ttp://ecourse.uoi.gr/course/vie.pp?id=78.

14 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. [] ttps://creativecommons.org/licenses/b-sa/4.0/.