Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI"

Transcript

1 Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

2

3 Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază aparţinând algebrei liniare însoţite de unele aplicaţii. Pentru ca trecerea de la matematica predată în liceu la cea predată în facultate să se facă cât mai uşor, în carte au fost incluse multe noţiuni şi rezultate cu care studenţii sunt deja familiarizaţi din şcoală. Unele demonstraţii mai dificile au fost prezentate doar în caz particular sau înlocuite cu exemple care să scoată în evidenţă doar ideea de bază a demonstraţiei. In general, prezentarea unei noţiuni sau a unui rezultat este pregătită prin exemple adecvate. Deşi cartea se adresează în primul rând studenţilor din anul întâi de la facultăţile de fizică, considerăm că ea poate fi utilă şi studenţilor de la facultăţile tehnice sau elevilor de liceu pasionaţi de matematică. Bucureşti, 2009 Nicolae Cotfas 5

4

5 Cuprins 1 Matrice şi determinanţi Matrice Determinanţi Spaţii vectoriale Definiţie şi exemple Subspaţii vectoriale Subspaţiul generat de o mulţime de vectori Dependenţă şi independenţă liniară Bază şi dimensiune Sume de subspaţii Sume directe Spaţii factor Aplicaţii liniare Definiţie şi exemple Imaginea şi nucleul unei aplicaţii liniare Izomorfisme liniare Dualul unui spaţiu vectorial Tensori Matricea unei aplicaţii liniare Vectori şi valori proprii Forma diagonală a matricei unei aplicaţii liniare

6 8 CUPRINS 4 Spaţii vectoriale euclidiene Definiţie şi exemple Baze ortonormate Complementul ortogonal al unui subspaţiu Adjunctul unui operator liniar Operatori autoadjuncţi Transformări unitare Transformări ortogonale Forme pătratice Definiţie şi exemple Reducere la forma canonică Conice Definiţie şi exemple Reducere la forma canonică Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior Sisteme diferenţiale liniare Grupuri. Reprezentări liniare Grupuri Reprezentări liniare Reprezentări ireductibile Reprezentări unitare şi ortogonale Grupul rotaţiilor. Reprezentări liniare Algebre Lie. Reprezentări liniare Algebre Lie Reprezentări liniare Reprezentări ireductibile Reprezentările algebrelor sl(2, C), su(2) şi o(3)

7 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 1.1 Matrice Definiţia 1.1 Fie K unul dintre corpurile R, C. coloane, cu elemente din K, se înţelege o aplicaţie Prin matrice cu n linii şi m A : {1, 2,..., n} {1, 2,..., m} K : (i, j) a ij descrisă uzual cu ajutorul tabloului A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm care conţine valorile functiei. Vom nota cu M n m (K) mulţimea tuturor matricelor cu n linii şi m coloane, cu elemente din K. Definiţia 1.2 Suma A+B a două matrice A, B M n m (K) se defineşte prin relaţia a 11 a a 1m b 11 b b 1m a 11 +b 11 a 12 +b a 1m +b 1m a 21 a a 2m b 21 b b 2m = a 21 +b 21 a 22 +b a 2m +b 2m a n1 a n2... a nm b n1 b n2... b nm a n1 +b n1 a n2 +b n2... a nm +b nm 9

8 10 Elemente de algebră liniară iar produsul dintre un număr λ K şi o matrice A M n m (K) se defineşte prin relaţia a 11 a a 1m λa 11 λa λa 1m a λ 21 a a 2m = λa 21 λa λa 2m a n1 a n2... a nm λa n1 λa n2... λa nm Propoziţia 1.3 Dacă A, B, C M n m (K) şi α, β K atunci (A+B)+C =A+(B+C), A + B = B + A, α(a + B) = αa + αb, 1A = A (α+β)a = αa+βa α(βa) = (αβ)a. Demonstraţie. Relaţiile rezultă din (a ij +b ij )+c ij = a ij +(b ij +b ij ) a ij + b ij = b ij + a ij, α(a ij + b ij ) = αa ij + αb ij, (α+β)a ij = α a ij +β a ij 1 a ij = a ij, α(βa ij ) = (αβ)a ij. Definiţia 1.4 Produsul AB al matricelor A M n m (K) şi B M m p (K) se defineşte prin formula a 11 a a 1m b 11 b b 1p a 21 a a 2m b 21 b b 2p a n1 a n2... a nm b m1 b m2... b mp mj=1 a 1j b mj=1 j1 a 1j b j2... mj=1 a 1j b jp mj=1 a = 2j b mj=1 j1 a 2j b j2... mj=1 a 2j b jp mj=1 a nj b mj=1 j1 a nj b j2... mj=1 a nj b jp Propoziţia 1.5 Dacă A M n m (K), B M m p (K) şi C M p q (K) atunci A(BC) = (AB)C.

9 Matrice şi determinanţi 11 Demonstraţie. Avem ( m p ) p m a ij b jk c kl = a ij b jk c kl. j=1 k=1 k=1 j=1 Propoziţia 1.6 Dacă A M n m (K) şi B, C M m p (K) atunci Demonstraţie. Avem A(B + C) = AB + AC. m m m a ij (b jk + c jk ) = a ij b jk + a ij c jk. j=1 j=1 j=1 Propoziţia 1.7 Dacă A M n m (K), B M m p (K) şi λ K atunci Demonstraţie. Avem λ(ab) = (λa)b = A(λB). m m m λ a ij b jk = (λa ij )b jk = a ij (λb jk ). j=1 j=1 j=1 Observaţia 1.1 Dacă A, B M n n (K) atunci există matricele AB şi BA, dar în general De exemplu, ( ) ( ) = ( AB BA. ) si ( ) ( ) = ( Definiţia 1.8 Spunem ca matricea pătrată A M n n (K) este inversabilă dacă există o matrice B M n n (K) astfel încât AB = BA = I ). unde este matricea unitate. I =

10 12 Elemente de algebră liniară Propoziţia 1.9 Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică. Demonstraţie. Fie A M n n (K). Presupunând că există două matrice B, C M n n (K) astfel încât AB = BA = I şi AC = CA = I se obţine că B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 1.2 Determinanţi Observaţia 1.2 In cazul α 11 α 22 α 12 α 21 0, rezolvând sistemul de ecuaţii { α11 x 1 + α 12 x 2 = β 1 prin metoda reducerii se obţine soluţia care poate fi scrisă sub forma x 1 = dacă se utilizează notaţia α 21 x 1 + α 22 x 2 = β 2 x 1 = β 1 α 22 β 2 α 12 α 11 α 22 α 12 α 21, x 2 = β 2 α 11 β 1 α 21 α 11 α 22 α 12 α 21 β 1 α 12 β 2 α 22 α 11 α 12 α 21 α 22 a 11 a 12 a 21 a 22, x 2 = α 11 β 1 α 21 β 2 α 11 α 12 α 21 α 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. Definiţia 1.10 Fie K unul dintre corpurile R, C şi fie matricea pătrată ( ) a11 a A = 12 M a 21 a 2 2 (K). 22 Numărul det A = a 11 a 12 a 21 a 22 se numeşte determinantul matricei A. = a 11 a 22 a 12 a 21 (1.1)

11 Matrice şi determinanţi 13 Observaţia 1.3 In cazul în care sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute α 11 x 1 + α 12 x 2 + α 13 x 3 = β 1 α 21 x 1 + α 22 x 2 + α 23 x 3 = β 2 α 31 x 1 + α 32 x 2 + α 33 x 3 = β 3 are soluţie unică, soluţia obţinută prin metoda reducerii se poate scrie β 1 α 12 α 13 α 11 β 1 α 13 β 2 α 22 α 23 α 21 β 2 α 23 β 3 α 32 α 33 α 31 β 3 α 33 x 1 = α 11 α 12 α, x 2 = 13 α 11 α 12 α, x 3 = 13 α 21 α 22 α 23 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 α 31 α 32 α 33 dacă se utilizează notaţia a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 α 11 α 12 β 1 α 21 α 22 β 2 α 31 α 32 β 3 α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Definiţia 1.11 Fie K unul dintre corpurile R, C şi fie matricea pătrată a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 M 3 3 (K). a 31 a 32 a 33 Numărul det A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (1.2) se numeşte determinantul matricei A. Definiţia 1.12 Prin permutare de grad n se înţelege o funcţie bijectivă σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}.

12 14 Elemente de algebră liniară Observaţia 1.4 O permutare de grad n poate fi descrisă cu ajutorul unui tablou σ = ( 1 2 n σ(1) σ(2) σ(n) Vom nota cu S n mulţimea tuturor permutărilor de grad n. Definiţia 1.13 Prin signatura permutării σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} ) se înţelege numărul ε(σ) = 1 i<j n σ(i) σ(j). i j Exemplul 1.1 Avem S 3 = {σ 1, σ 2,..., σ 6 } unde şi σ 1 = σ 4 = ( ( ) ), σ 2 =, σ 5 = ( ( ) ), σ 3 =, σ 6 = ( ( ε(σ 1 ) = ε(σ 2 ) = ε(σ 3 ) = 1, ε(σ 4 ) = ε(σ 5 ) = ε(σ 6 ) = 1. Observaţia 1.5 Folosind exemplul anterior, relaţia (1.2) se poate scrie sub forma ) ), a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ε(σ 1 ) a 1σ1 (1) a 2σ1 (2) a 3σ1 (3) + ε(σ 2 ) a 1σ2 (1) a 2σ2 (2) a 3σ2 (3) +ε(σ 3 ) a 1σ3 (1) a 2σ3 (2) a 3σ3 (3) + ε(σ 4 ) a 1σ4 (1) a 2σ4 (2) a 3σ4 (3) +ε(σ 5 ) a 1σ5 (1) a 2σ5 (2) a 3σ5 (3) + ε(σ 6 ) a 1σ6 (1) a 2σ6 (2) a 3σ6 (3) adică a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ε(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a 3σ(3). σ S 3

13 Matrice şi determinanţi 15 Definiţia 1.14 Fie matricea pătrată a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n M n n(k). a n1 a n2 a nn Numărul det A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn se numeşte determinantul matricei A. = ε(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) (1.3) σ S n Observaţia 1.6 Din definiţia (1.3) rezultă că det A este o sumă de produse de câte n elemente ale matricei A, fiecare produs conţinând un singur element de pe fiecare linie şi un singur element de pe fiecare coloană. Observaţia 1.7 Din relaţia (1.2) rezultă a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 (determinantul unei matrice coincide cu determinantul transpusei). Se poate demonstra ca o astfel de relaţie are loc pentru orice matrice pătrată. Propoziţia 1.15 Dacă A M n n (K) atunci det A = det t A. Observaţia 1.8 Din (1.2) rezultă relaţiile a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 12 a 13 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 (dacă schimbăm între ele două linii semnul determinantului se schimbă) a 11 a 12 a 13 a 12 a 11 a 13 a 11 a 13 a 12 a 13 a 12 a 11 a 21 a 22 a 23 = a 22 a 21 a 23 = a 21 a 23 a 22 = a 23 a 22 a 21 a 31 a 32 a 33 a 32 a 31 a 33 a 31 a 33 a 32 a 33 a 32 a 31

14 16 Elemente de algebră liniară (dacă schimbăm între ele două coloane semnul determinantului se schimbă). Se poate demonstra ca un astfel de rezultat este valabil pentru orice matrice pătrată. Propoziţia 1.16 Dacă se schimbă între ele două linii (sau două coloane) ale unei matrice pătrate atunci se obţine o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. Propoziţia 1.17 Dacă în matricea A M n n (K) toate elementele unei linii (sau coloane) sunt nule atunci det A = 0. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă direct din definiţia (1.3). Observaţia 1.9 Din (1.2) rezultă că α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3 a 31 a 32 a 33 = 0, α 1 α 1 a 13 α 2 α 2 a 23 α 3 α 3 a 33 = 0. Se poate demonstra următorul rezultat mai general. Propoziţia 1.18 Determinantul unei matrice pătrate cu două linii (sau coloane) identice este nul. Propoziţia 1.19 Pentru orice k {1, 2,..., n} avem a 11 a 12 a 1n λ a k1 λ a k2 λ a kn a n1 a n2 a nn = λ a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn şi a 11 λ a 1k a 1n a 21 λ a 2k a 2n a n1 λ a nk a nn = λ a 11 a 1k a 1n a 21 a 2k a 2n a n1 a nk a nn. Demonstraţie. Relaţiile rezultă direct din definiţia (1.3).

15 Matrice şi determinanţi 17 Propoziţia 1.20 Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţiile 1.18 şi Propoziţia 1.21 Avem şi a 11 a a 1n a k1 +b k1 a k2 +b k2... a kn +b kn a n1 a n2... a nn a a 1k +b 1k... a 1n a a 2k +b 2k... a 2n a n1... a nk +b nk... a nn = = a 11 a a 1n a k1 a k2... a kn a n1 a n2... a nn a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn Demonstraţie. Relaţiile rezultă direct din definiţia (1.3). + + a 11 a a 1n b k1 b k2... b kn a n1 a n2... a nn a b 1k... a 1n a b 2k... a 2n a n1... b nk... a nn Propoziţia 1.22 Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (respectiv coloane) atunci determinantul matricei este nul. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţiile 1.20 şi Propoziţia 1.23 Dacă la o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice adunăm elementele unei alte linii (respectiv coloane) înmulţite cu acelaşi număr determinantul matricei rezultate coincide cu determinantul matricei iniţiale. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţiile 1.20 şi Observaţia 1.10 Relaţia (1.2) se poate scrie sub formele a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1) 1+1 a a 22 a a 32 a 33 +( 1) 1+2 a a 21 a a 31 a 33 + ( 1)1+3 a 13 a 21 a 22 a 31 a 32

16 18 Elemente de algebră liniară (dezvoltare după prima linie) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după linia a doua) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după linia a treia) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după prima coloană) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (dezvoltare după coloana a doua) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1) 2+1 a a 12 a a 32 a 33 +( 1) 2+2 a a 11 a a 31 a 33 + ( 1)2+3 a 23 = ( 1) 3+1 a a 12 a a 22 a 23 +( 1) 3+2 a a 11 a a 21 a 23 + ( 1)3+3 a 33 = ( 1) 1+1 a a 22 a a 32 a 33 +( 1) 2+1 a a 12 a a 32 a 33 + ( 1)3+1 a 31 = ( 1) 1+2 a a 21 a a 31 a 33 +( 1) 2+2 a a 11 a a 31 a 33 + ( 1)3+2 a 32 = ( 1) 1+3 a a 21 a a 31 a 32 +( 1) 2+3 a a 11 a a 31 a 32 + ( 1)3+3 a 33 a 11 a 12 a 31 a 32 a 11 a 12 a 21 a 22 a 12 a 13 a 22 a 23 a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22

17 Matrice şi determinanţi 19 (dezvoltare după coloana a treia). Observaţia 1.11 Relaţiile anterioare pot fi generalizate şi utilizate în calculul determinanţilor. Propoziţia 1.24 Fie K unul dintre corpurile R, C. Dacă a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n M n n(k). a n1 a n2 a nn atunci n n det A = ( 1) i+j a ij det A ij = ( 1) i+j a ij det A ij (1.4) i=1 j=1 unde A ij este matricea care se obţine din A eliminând linia i şi coloana j. Propoziţia 1.25 Oricare ar fi i, k {1, 2,..., n} avem { n a ij ( 1) k+j 0 daca i k det A kj = det A daca i = k j=1 notaţiile fiind cele din propoziţia anterioară. (1.5) Demonstraţie. In cazul i = k afirmaţia rezultă din propoziţia anterioară. In cazul i k relaţia rezultă dezvoltând după linia k determinantul cu două linii identice a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn rezultat înlocuind în a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn

18 20 Elemente de algebră liniară linia k cu linia i. Teorema 1.26 Matricea A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn M n n(k) este inversabilă dacă şi numai dacă det A 0 şi inversa ei este A 1 = 1 deta ( 1) 1+1 A 11 ( 1) 2+1 A 21 ( 1) n+1 A n1 ( 1) 1+2 A 12 ( 1) 2+2 A 22 ( 1) n+2 A n2 (1.6) ( 1) 1+n A 1n ( 1) 2+n A 2n ( 1) n+n A nn notaţiile fiind cele din propoziţiile anterioare. Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din propoziţia anterioară. Observaţia 1.12 Sistemul de n ecuaţii liniare cu n necunoscute a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n se poate scrie sub forma Ax = b dacă se utilizează notaţiile A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn, x = x 1 x 2. x n, b = b 1 b 2.. b n

19 Matrice şi determinanţi 21 Teorema 1.27 (Cramer) Dacă atunci sistemul are soluţia unică x 1 = b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, x n = Demonstraţie. Scriind sistemul sub forma matriceală Ax = b a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a n1 a n2 b n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn. rezultă ca el are soluţia x = A 1 b. Din relaţiile (1.4) şi (1.6) rezultă x 1 = 1 nj=1 deta b j ( 1) j+1 A j1 = 1 deta x n = 1 nj=1 deta b j ( 1) j+n A jn = 1 deta b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n, b n a n2 a nn, a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2. a n1 a n2 b n

20 22 Elemente de algebră liniară Exerciţiul 1.2 Să se verifice prin calcul direct că în cazul a două matrice avem A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ), B = det(ab) = deta detb. ( b11 b 12 b 21 b 22 Observaţia 1.13 Se poate arăta că relaţia det(ab) = deta detb are loc oricare ar fi matricele A şi B de acelaşi ordin. În particular, în cazul unei matrice inversabile det A 1 = 1 det A. Definiţia 1.28 Fie K unul dintre corpurile R, C şi fie matricea a 11 a 12 a 1m a A = 21 a 22 a 2m M n m(k). a n1 a n2 a nm Prin minor de ordin k al lui A se înţelege un determinant de forma a i1 j 1 a i1 j 2 a i1 j k a i2 j 1 a i2 j 2 a i2 j k a ik j 1 a ik j 2 a ik j k ) unde 1 i 1 < i 2 <... < i k n si 1 j 1 < j 2 <... < j k m. Definiţia 1.29 Spunem că matricea A M n m (K) are rangul r şi scriem rang A = r dacă A are un minor de ordinul r nenul şi toţi minorii de ordin mai mare sunt nuli. Propoziţia 1.30 Matricea A M n m (K) are rangul r dacă are un minor de ordinul r nenul şi toţi minorii de ordin r + 1 sunt nuli. Demonstraţie. Conform relaţiei (1.4), orice minor de ordinul r + 2 (sau mai mare) se poate exprima ca o combinaţie liniară de minori de ordinul r + 1.

21 Capitolul 2 Spaţii vectoriale 2.1 Definiţie şi exemple Definiţia 2.1 Fie K unul dintre corpurile R sau C. Un spaţiu vectorial peste K este un triplet (V, +, ) format dintr-o mulţime V şi două operaţii + : V V V : (x, y) x+y (adunarea) : K V V : (α, x) αx (inmultirea cu scalari) astfel încât sunt satisfăcute următoarele condiţii: 1. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V 2. există un element 0 V astfel încât 0 + x = x + 0 = x, x V 3. pentru fiecare x V există x V astfel încât x + ( x) = ( x) + x = 0 4. x + y = y + x, x, y V 5. α(x + y) = αx + αy, α K, x, y V 6. (α + β)x = αx + βx, α, β K, x V 7. α(βx) = (αβ)x, α, β K, x V 8. 1x = x, x V 23

22 24 Elemente de algebră liniară Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari. Un spaţiu vectorial peste R este numit spatiu vectorial real iar un spaţiu vectorial peste C este numit spaţiu vectorial complex. In loc de x + ( y) scriem x y. Propoziţia 2.2 Dacă V este un spaţiu vectorial atunci: a) αx = 0 α = 0 sau x = 0 b) α( x) = ( α)x = αx c) α(x y) = αx αy d) (α β)x = αx βx. Demonstraţie. a) αx = 0 α 0 } = x = 1 α 0 = 0 b) c) d) 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x = 0x = 0 α(0 + 0) = α0 + α0 = α0 = 0. 0 = α0 = α(x + ( x)) = αx + α( x) = α( x) = αx 0 = 0x = (α + ( α))x = αx + ( α)x = ( α)x = αx. α(x y) = α(x + ( y)) = αx + α( y) = αx αy. (α β)x = (α + ( β))x = αx + ( β)x = αx βx. Exemplul 2.1 (R 3, +, ), unde este un spaţiu vectorial real. (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) α(x 1, x 2, x 3 ) = (αx 1, αx 2, αx 3 ) Exemplul 2.2 Mulţimea {( x11 x M 2 3 (R) = 12 x 13 x 21 x 22 x 23 ) x ij R }

23 Spaţii vectoriale 25 are o structură de spaţiu vectorial real definită prin ( ) ( ) ( x11 x 12 x 13 y11 y + 12 y 13 x11 + y = 11 x 12 + y 12 x 13 + y 13 x 21 x 22 x 23 y 21 y 22 y 23 x 21 + y 21 x 22 + y 22 x 23 + y 23 ( ) ( ) x11 x α 12 x 13 αx11 αx = 12 αx 13. x 21 x 22 x 23 αx 21 αx 22 αx 23 ) Exemplul 2.3 Mulţimea F(R, C) a tuturor funcţiilor ϕ : R C are o structură de spaţiu vectorial complex definită de (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (α ϕ)(x) = α ϕ(x), α C. Exemplul 2.4 R are o structura de spaţiu vectorial real în raport cu adunarea şi înmulţirea uzuală. Exemplul 2.5 (C, +, ), unde este un spaţiu vectorial real. (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = x 1 + x 2 + (y 1 + y 2 )i α(x + yi) = αx + αyi, α R Exemplul 2.6 C are o structura de spaţiu vectorial complex în raport cu adunarea şi înmulţirea numerelor complexe. 2.2 Subspaţii vectoriale Definiţia 2.3 Fie V un spaţiu vectorial peste K. Prin subspaţiu vectorial al lui V se inţelege orice submulţime W V cu proprietatea x, y W α, β K } = αx + βy W. (2.1)

24 26 Elemente de algebră liniară Propoziţia 2.4 Submulţimea W V este subspaţiu vectorial dacă şi numai dacă următoarele condiţii sunt îndeplinite: a) b) x W y W x W α K Demonstraţie. (2.1) (2.2): Alegem α = β = 1. (2.1) (2.3): Alegem β = 0. (2.2) & (2.3) (2.1): x, y W α, β K } } } (2.3) = αx W βy W = x + y W (2.2) = αx W. (2.3) } (2.2) = αx + βy W. Observaţia 2.1 Orice subspaţiu W V are o structura de spaţiu vectorial, operaţiile fiind cele induse din V. Exemplul 2.7 W = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 } este un subspaţiu vectorial al spaţiului V = R 3. Verificare. Fie x = (x 1, x 2, x 3 ) W, y = (y 1, y 2, y 3 ) W şi α, β R. Avem x W = x 1 + x 2 + x 3 = 0 y W = y 1 + y 2 + y 3 = 0 } = αx 1 + βy 1 + αx 2 + βy 2 + αx 3 + βy 3 = 0 ceea ce arată că αx + βy = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 ) W. { } Exemplul 2.8 W = x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 este un subspaţiu x 1 x 2 + x 3 = 0 vectorial al spaţiului V = R 3. Exemplul 2.9 Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 W = x = (x 1, x 2,..., x n ) R n a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0... a k1 x 1 + a k2 x 2 + a kn x n = 0 este un subspaţiu vectorial al spaţiului V = R n.

25 Spaţii vectoriale 27 Exemplul 2.10 R {x = x + 0i x R } C este un subspaţiu vectorial al spaţiului C considerat ca spaţiu vectorial real. Exemplul 2.11 W = { f : R R fderivabila } este un subspaţiu vectorial al spaţiului V = { f : R R fcontinua }. Exemplul 2.12 Mulţimea matricelor simetrice W = { } A M 3 3 (R) A t = A este un subspaţiu vectorial al spaţiului M 3 3 (R) = A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a ij R al tuturor matricelor cu trei linii şi trei coloane. 2.3 Subspaţiul generat de o mulţime de vectori Propoziţia 2.5 Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K şi este o submulţime a lui V atunci M = {v 1, v 2,..., v n } V M = { α 1 v 1 + α 2 v α n v n α 1, α 2,..., α n K } este un subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie. Oricare ar fi λ, µ K şi avem x = α 1 v 1 + α 2 v α n v n M, y = β 1 v 1 + β 2 v β n v n M λx + µy = (λα 1 + µβ 1 )v 1 + (λα 2 + µβ 2 )v 2 + (λα n + µβ n )v n M.

26 28 Elemente de algebră liniară Definiţia 2.6 Fie V un spaţiu vectorial peste K şi fie M = {v 1, v 2,..., v n } V. Subspaţiul vectorial M = { α 1 v 1 + α 2 v α n v n α 1, α 2,..., α n K } se numeşte subspaţiul generat de M şi se mai notează cu span{v 1, v 2,..., v n } sau v 1, v 2,..., v n, adică v 1, v 2,..., v n = { α 1 v 1 + α 2 v α n v n α 1, α 2,..., α n K }. Definiţia 2.7 Spunem că {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de generatori pentru V dacă V = v 1, v 2,..., v n. Exemplul 2.13 Vectorii v 1 = (1, 1) şi v 2 = (1, 1) formează un sistem de generatori pentru spaţiul vectorial R 2. Verificare. Avem de aratat că R 2 = span{v 1, v 2 } adică R 2 = {α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) α 1, α 2 R}. Evident, {α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) α 1, α 2 R} R 2. Rămâne de arătat incluziunea inversă. Fie x = (x 1, x 2 ) R 2. Avem de arătat că există α 1, α 2 R încât x = α 1 v 1 + α 2 v 2 adică (x 1, x 2 ) = α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) ceea ce este echivalent cu (x 1, x 2 ) = (α 1 + α 2, α 1 α 2 ). Această relaţie se mai poate scrie { α1 + α 2 = x 1 α 1 α 2 = x 2 şi conduce la α 1 = x 1 + x 2 2, α 2 = x 1 x 2. 2

27 Spaţii vectoriale 29 Exerciţiul 2.14 Să se arate că în R 3 avem span{(1, 2, 3), ( 1, 1, 0)} = span{(1, 2, 3), ( 1, 1, 0), (0, 3, 3)}. Indicaţie. Avem (0, 3, 3) = (1, 2, 3) + ( 1, 1, 0). Propoziţia 2.8 Dacă {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de generatori pentru V astfel încât există k {1, 2,..., n} cu v k = λ i v i i k atunci {v 1, v 2,..., v n }\{v k } este sistem de generatori pentru V. Demonstraţie. Orice vector x V este o combinaţie liniară de v 1, v 2,..., v n. Dar n x = α i v i = x = α i v i + α k λ i v i = (α i + α k λ i )v i. i=1 i k i k i k Definiţia 2.9 Spunem că spaţiul vectorial V este finit generat dacă admite un sistem de generatori finit. Convenţie. Dacă nu se menţionează contrariul, spaţiile vectoriale considerate în continuare vor fi presupuse finit generate. 2.4 Dependenţă şi independenţă liniară Propoziţia 2.10 Fie V un spaţiu vectorial peste K şi v 1, v 2,..., v n vectori aparţinând lui V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Nici unul dintre vectorii v 1, v 2,..., v n nu se poate scrie ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori b) relaţia este posibilă numai dacă α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 α 1 = α 2 = = α n = 0

28 30 Elemente de algebră liniară adică α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. Demonstraţie. a) b) Prin reducere la absurd, presupunând, de exemplu, ca relaţia α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 este posibilă şi pentru α n 0 se obţine v n = α 1 α n v 1 α 2 α n v 2 α n 1 α n v n 1. b) a) Dacă, de exemplu, am avea v n = β 1 v 1 + β 2 v β n 1 v n 1 atunci β 1 v 1 + β 2 v β n 1 v n 1 v n = 0 adică relaţia α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 ar fi posibilă şi în alte cazuri decât α 1 = α 2 = = α n = 0. Definiţia 2.11 Spunem că {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi dacă α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. Observaţia 2.2 In cazul unui sistem de vectori liniar independenţi nici unul dintre vectori nu se poate scrie ca o combinaţie liniară de ceilalţi vectori. Exerciţiul 2.15 Să se arate că vectorii v 1 = (1, 2) şi v 2 = ( 1, 3) din R 2 sunt liniar independenţi. Rezolvare. Fie α 1 v 1 + α 2 v 2 = 0, adică α 1 (1, 2) + α 2 ( 1, 3) = (0, 0) (α 1, 2α 1 ) + ( α 2, 3α 2 ) = (0, 0) (α 1 α 2, 2α 1 + 3α 2 ) = (0, 0). Ultima relaţie este echivalenta cu sistemul care conduce la α 1 = α 2 = 0. { α1 α 2 = 0 2α 1 + 3α 2 = 0

29 Spaţii vectoriale 31 Exerciţiul 2.16 Un sistem de vectori liniar independenţi nu poate conţine vectorul nul. Rezolvare. Admiţând că {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi si că v n = 0 avem 0v 1 + 0v v n 1 + 1v n = 0. Observaţia 2.3 Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independenţi este un sistem de vectori liniar independenţi. Propoziţia 2.12 Dacă {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori astfel incât nici unul dintre ei nu este combinaţie liniară de cei scrişi în faţa lui atunci {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi. Demonstraţie. Fie α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0. (2.4) Trebuie ca α n = 0 deoarece în caz contrar v n = α 1 α n v 1 α 2 α n v 2 α n 1 α n v n 1. adică v n este combinaţie liniară de vectorii scrişi în faţa lui. Având în vedere că 0v n = 0, relaţia (2.4) se mai scrie α 1 v 1 + α 2 v α n 1 v n 1 = 0. La fel ca mai sus se arată că α n 1 = 0, apoi α n 2 = 0,..., α 1 = 0. Observaţia 2.4 Din orice sistem de generatori ai unui spaţiu vectorial V se poate obţine un sistem de generatori liniar independenţi eliminând succesiv vectorii care se pot scrie ca o combinaţie liniară de vectorii aflaţi înaintea lor. Mai exact, plecăm de la sistemul de generatori {v 1, v 2,..., v n } şi aplicăm următoarele operaţii sistemului rezultat în etapa anterioară: a) eliminăm primul vector dacă acesta este nul b) eliminăm al doilea vector dacă acesta se obţine din primul prin înmulţirea cu un scalar

30 32 Elemente de algebră liniară c) eliminăm al treilea vector dacă acesta este combinaţie liniară de primii doi d) eliminăm al patrulea vector dacă acesta este combinaţie liniară de vectorii precedenţi, etc. Exerciţiul 2.17 Să se obţină un sistem liniar independent plecând de la sistemul de vectori {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } R 4, unde v 1 = (0, 0, 0, 0), v 2 = (1, 0, 1, 1), v 3 = (2, 0, 2, 2), v 4 = (1, 1, 1, 1), v 5 = (2, 1, 0, 2). Răspuns. {v 2, v 4 }. 2.5 Bază şi dimensiune Definiţia 2.13 Prin bază a unui spaţiu vectorial se inţelege un sistem de generatori format din vectori liniar independenţi. Observaţia 2.5 Pentru a arăta că un sistem de vectori B = {e 1, e 2,..., e n } este bază lui V avem de arătat că: a) V = e 1, e 2,..., e n b) α 1 e 1 + α 2 e α n e n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. Exerciţiul 2.18 Să se arate că B = {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} este bază a spaţiului vectorial R 2. Rezolvare. B este sistem de generatori: oricare ar fi (x 1, x 2 ) din R 2 avem (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2. B este sistem de vectori liniar independenţi: din relaţia α 1 e 1 + α 2 e 2 = 0 rezultă α 1 (1, 0) + α 2 (0, 1) = (0, 0)

31 Spaţii vectoriale 33 adică (α 1, α 2 ) = (0, 0) ceea ce conduce la α 1 = α 2 = 0. Propoziţia 2.14 Dacă B = {e 1, e 2,..., e n } este bază lui V atunci orice vector x V se poate scrie în mod unic sub forma x = α 1 e 1 + α 2 e α n e n. Demonstraţie. B fiind sistem de generatori rezultă că există scalarii α 1, α 2,..., α n K încât x = α 1 e 1 + α 2 e α n e n. Presupunând că ar mai exista reprezentarea ar rezulta că x = β 1 e 1 + β 2 e β n e n α 1 e 1 + α 2 e α n e n = β 1 e 1 + β 2 e β n e n adică (α 1 β 1 )e 1 + (α 2 β 2 )e (α n β n )e n = 0. Deoarece B este sistem de vectori liniar independenţi, din această relaţie rezultă că α 1 β 1 = 0, α 2 β 2 = 0,..., α n β n = 0, adică α 1 = β 1, α 2 = β 2,..., α n = β n. Definiţia 2.15 Fie B = {e 1, e 2,..., e n } o bază a spaţiului vectorial V şi x V. Numerele unic determinate α 1, α 2,..., α n din dezvoltarea x = α 1 e 1 + α 2 e α n e n se numesc coordonatele lui x in raport cu baza B. Propoziţia 2.16 Dacă V este un spaţiu vectorial, M = {v 1, v 2,..., v n } este un sistem de vectori liniar independenţi şi S = {w 1, w 2,..., w k } este un sistem de generatori ai lui V atunci

32 34 Elemente de algebră liniară a) n k b) sistemul de vectori M se poate completa pâna la o bază a lui V adăugând vectori din S. Demonstraţie. a) Vectorul v n este nenul deoarece sistemul de vectori liniar independenţi M nu poate conţine vectorul nul. Acest vector este o combinaţie liniară de w 1, w 2,..., w k. Deoarece cel puţin unul dintre coeficienţii acestei combinaţii liniare este nenul, din sistemul de generatori {v n, w 1, w 2,..., w k } se poate elimina un vector astfel incât el să rămână în continuare sistem de generatori. Vom elimina primul vector care este combinaţie liniară de cei aflaţi înaintea lui. Vectorul eliminat este unul dintre vectorii w 1, w 2,..., w k şi-l notăm cu w i1. Considerăm în continuare sistemul de vectori liniar independenţi M 1 = {v 1, v 2,..., v n 1 } sistemul de generatori S 1 = {v n, w 1, w 2,..., w k }\{w i1 } şi facem aceleaşi operaţii, adică luăm v n 1 din M 1, îl adăugăm la S 1 şi eliminăm primul vector w i2 care este combinaţie liniară de cei aflaţi în faţa lui. Rezultă astfel sistemul de vectori liniar independenţi M 2 = {v 1, v 2,..., v n 2 } şi sistemul de generatori S 2 = {v n 1, v n, w 1, w 2,..., w k }\{w i1, w i2 }. Procesul poate fi continuat până introducem toţi vectorii sistemului de vectori liniar independenţi M în sistemul de generatori, ceea ce arată că n k. b) După introducerea tuturor vectorilor din M în sistemul de generatori se obţine un sistem de generatori S n = {v 1, v 2,..., v n, w 1, w 2,..., w k }\{w i1, w i2,..., w in }. Eliminând vectorii care sunt combinaţii liniare de cei aflaţi în faţa lor rezultă o bază care conţine vectorii din M.

33 Spaţii vectoriale 35 Teorema 2.17 Oricare două baze ale unui spaţiu vectorial au acelaşi număr de vectori. Demonstraţie. Fie B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {e 1, e 2,..., e k} două baze ale lui V. Fiecare dintre ele este atât sistem de vectori liniar independenţi cât şi sistem de generatori pentru V. Conform propoziţiei precedente trebuie sa avem simultan n k şi k n. Definiţia 2.18 Spunem că spaţiul vectorial V are dimensiune n şi scriem dim V = n dacă V admite o bază formată din n vectori. Notaţie. Pentru a indica corpul peste care este considerat V, in loc de dim V vom scrie uneori dim K V. Exerciţiul 2.19 Să se arate că a) dim R R 2 = 2 b) dim R {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 } = 2 c) dim R C = 2 d) dim C C = 1. Rezolvare. a) {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} este bază a lui R 2. b) Relaţia {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 } = {(x 1, x 2, x 1 x 2 ) x 1, x 2 R} = {x 1 (1, 0, 1) + x 2 (0, 1, 1) x 1, x 2 R} arată că {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} este sistem de generatori. Deoarece relaţia x 1 (1, 0, 1) + x 2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) conduce la x 1 = x 2 = 0, sistemul de generatori {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} este un sistem de vectori liniar independenţi şi deci o bază. c) C = {x + yi x, y R } considerat ca spaţiu vectorial real admite baza {1, i}. d) O bază a lui C peste C este B = {1}.

34 36 Elemente de algebră liniară Propoziţia 2.19 Pe orice spaţiu vectorial complex V se obţine o structură naturală de spaţiu vectorial real prin restricţia scalarilor şi dim R V = 2 dim C V. Demonstraţie. Fie {v 1, v 2,..., v n } o bază a spaţiului vectorial complex V. Oricare ar fi x V există numerele complexe α 1 + β 1 i, α 2 + β 2 i,..., α n + β n i astfel încât x = (α 1 + β 1 i)v 1 + (α 2 + β 2 i)v (α n + β n i)v n. Scriind această relaţie sub forma x = α 1 v 1 + β 1 iv 1 + α 2 v 2 + β 2 iv α n v n + β n iv n deducem că B = { v 1, iv 1, v 2, iv 2,..., v n, iv n } este sistem de generatori pentru spaţiul vectorial real V. Arătăm că vectorii care formează sistemul B sunt liniar independenţi peste R. Relaţia α 1 v 1 + β 1 iv 1 + α 2 v 2 + β 2 iv α n v n + β n iv n = 0 se poate scrie (α 1 + β 1 i)v 1 + (α 2 + β 2 i)v (α n + β n i)v n = 0 şi conduce la α 1 + β 1 i = α 2 + β 2 i = = α n + β n i = 0, adică la α 1 = β 1 = α 2 = β 2 = = α n = β n = 0. Propoziţia 2.20 Dacă V este un spaţiu vectorial real atunci spaţiul V V = { (x 1, x 2 ) x 1, x 2 V } considerat împreună cu adunarea pe componente (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 )

35 Spaţii vectoriale 37 şi înmulţirea cu numere complexe (α + βi)(x 1, x 2 ) = (αx 1 βx 2, αx 2 + βx 1 ) este un spaţiu vectorial complex notat cu C V (numit complexificatul lui V ) şi dim C C V = dim R V. Demonstraţie. Fie {v 1, v 2,..., v n } o bază a spaţiului vectorial real V. Arătăm că B = { (v 1, 0), (v 2, 0),..., (v n, 0) } este bază a spaţiului vectorial complex C V. Oricare ar fi x 1, x 2 V există numerele reale α 1, α 2,..., α n şi β 1, β 2,..., β n astfel încât x 1 = α 1 v 1 + α 2 v α n v n, x 2 = β 1 v 1 + β 2 v β n v n. Deoarece i(v j, 0) = (0, v j ) avem (x 1, x 2 ) = (α 1 v 1 + α 2 v α n v n, 0) + (0, β 1 v 1 + β 2 v β n v n ) = (α 1 + β 1 i)(v 1, 0) + (α 2 + β 2 i)(v 2, 0) + + (α n + β n i)(v n, 0). Dacă (α 1 + β 1 i)(v 1, 0) + (α 2 + β 2 i)(v 2, 0) + + (α n + β n i)(v n, 0) = (0, 0) atunci (α 1 v 1 + α 2 v α n v n, β 1 v 1 + β 2 v β n v n ) = 0 ceea ce conduce la α 1 = α 2 = = α n = 0 şi β 1 = β 2 = = β n = 0. Observaţia 2.6 Scriind x 1 + x 2 i în loc de (x 1, x 2 ) obţinem C V = { x 1 + x 2 i x 1, x 2 V } şi înmulţirea cu scalari (α + βi)(x 1 + x 2 i) = (αx 1 βx 2 ) + (αx 2 + βx 1 )i coincide formal cu înmulţirea uzuală a numerelor complexe.

36 38 Elemente de algebră liniară Teorema 2.21 (Kronecker) Dacă a 11 a 12 a 1m a A = 21 a 22 a 2m M n m(k) a n1 a n2 a nm şi atunci A i = (a i1 a i2... a im ) M 1 m (K), A j = a 1j a 2j. a nj rang A = dim A 1, A 2,..., A n = dim A 1, A 2,..., A m. M n 1(K) Demonstraţie. Fie r = rang A. Deoarece rangul lui A nu se schimbă prin permutarea liniilor (sau coloanelor) putem presupune că a 11 a 12 a 1r a d = 21 a 22 a 2r 0. a r1 a r2 a rr Arătăm că {A 1, A 2,..., A r } este sistem liniar independent şi că matricele A r+1,...,a m din M n 1 (K) sunt combinaţii liniare de A 1, A 2,..., A r. Din relaţia rezultă că α 1 A 1 + α 2 A α r A r = 0 a 11 α 1 + a 12 α a 1r α r = 0 a 21 α 1 + a 22 α a 2r α r = 0... a r1 α 1 + a r2 α a rr α r = 0 Acesta este un sistem Cramer cu soluţia α 1 = α 2 = = α r = 0. Oricare ar fi i {1, 2,..., n} şi j {1, 2,..., m} avem a 11 a 12 a 1r a 1j a 21 a 22 a 2r a 2j = 0. a r1 a r2 a rr a rj a i1 a i2 a ir a ij

37 Spaţii vectoriale 39 Dezvoltând acest determinant după ultima linie obţinem relaţia ( 1) i+1 a i1 λ 1 + ( 1) i+2 a i2 λ ( 1) i+r a ir λ r + ( 1) i+r+1 a ij d = 0 unde λ 1 = a 12 a 1r a 1j a 22 a 2r a 2j a r2 a rr a rj, λ r = a 11 a 1r 1 a 1j a 21 a 2r 1 a 2j a r1 a rr 1 a rj nu depind de i. Rezultă a ij = ( 1) i+1 λ 1 d a i1 ( 1) i+2 λ 2 d a i2 ( 1) i+r λ r d a ir oricare ar fi i {1, 2,..., n}, adică A j = ( 1) i+1 λ 1 d A1 ( 1) i+2 λ 2 d A2 ( 1) i+r λ r d Ar. Am arătat astfel că dim A 1, A 2,..., A m = rang A. Deoarece rang A = rang t A deducem că dim A 1, A 2,..., A n = rang A. Exerciţiul 2.20 Să se arate că vectorii v 1 = (v 11, v 12, v 13 ), v 2 = (v 21, v 22, v 23 ), v 3 = (v 31, v 32, v 33 ) din R 3 sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă v 11 v 12 v 13 v 21 v 22 v 23 v 31 v 32 v 33 Teorema 2.22 Sistemul de ecuaţii liniare 0. a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n

38 40 Elemente de algebră liniară admite soluţie dacă şi numai dacă rang a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm = rang a 11 a 12 a 1m b 1 a 21 a 22 a 2m b 2 a n1 a n2 a nm b n (rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse). Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din teorema anterioară ţinând seama de faptul că sistemul considerat se mai poate scrie x 1 a 11 a 21 a n1 + x 2 a 12 a 22 a n2 + + x m a 1m a 2m a nm = b 1 b 2 b n. Observaţia 2.7 Fie a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n un sistem de ecuaţii liniare compatibil (adică, care admite soluţie) şi fie r rangul matricei sistemului. Schimbând eventual ordinea ecuaţiilor şi indexarea necunoscutelor putem presupune că a 11 a 12 a 1r a 21 a 22 a 2r a r1 a r2 a rr 0. In cazul în care r < n este suficient să luăm în considerare doar primele r ecuaţii a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2... a r1 x 1 + a r2 x a rm x m = b r (numite ecuaţii principale) deoarece restul de ecuaţii vor fi combinaţii liniare de

39 Spaţii vectoriale 41 acestea. Acesta poate fi privit ca un sistem Cramer a 11 x 1 + a 12 x a 1r x r = b 1 a 1r+1 x r+1 a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2r x r = b 2 a 2r+1 x r+1 a 2m x m... a r1 x 1 + a r2 x a rr x r = b r a rr+1 x r+1 a rm x m cu necunoscutele x 1, x 2,..., x r (numite necunoscute principale) considerând x r+1,..., x m ca parametri care pot lua valori arbitrare. In cazul in care b 1 = b 2 = = b n = 0 (sistem omogen), spaţiul soluţiilor sistemului este un spaţiu vectorial de dimensiune m r. Observaţia 2.8 Dacă B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {e 1, e 2,..., e n} sunt două baze ale lui V atunci fiecare vector e i din baza nouă B se poate scrie ca o combinaţie liniară de vectorii bazei vechi B. Definiţia 2.23 Fie B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {e 1, e 2,..., e n} două baze ale spaţiului V şi fie e 1 = α 11e 1 + α 21 e α n1 e n e 2 = α 12e 1 + α 22 e α n2 e n... e n = α 1n e 1 + α 2n e α nn e n. (2.5) Matricea S = α 11 α α 1n α 21 α α 2n α n1 α n2... α nn se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza B.

40 42 Elemente de algebră liniară Observaţia 2.9 Relaţiile (2.5) se pot scrie comprimat n e i = α ji e j j=1 şi orice vector x V poate fi dezvoltat în raport cu cele două baze n n x = x j e j = x ie i. j=1 i=1 Propoziţia 2.24 In cazul schimbării de bază e i = n j=1 α ji e j n x = n j=1 x j e j = n i=1 x = x j = α ji x i i e i i=1 Demonstraţie. Având în vedere că dezvoltarea în raport cu o bază este unică, din ( n n n n n n ) x j e j = x i e i = x i α ji e j = α ji x i e j j=1 i=1 j=1 i=1 rezultă că x j = n i=1 α ji x i. i=1 j=1 2.6 Sume de subspaţii Propoziţia 2.25 a) Dacă W V este subspaţiu vectorial atunci dim W dim V. b) Dacă W V este subspaţiu vectorial şi dim W = dim V atunci W = V. Demonstraţie. a) Fie {v 1, v 2,..., v n } bază în V şi {w 1, w 2,..., w k } bază în W. Deoarece {w 1, w 2,..., w k } este sistem liniar independent în V şi {v 1, v 2,..., v n } este sistem de generatori rezultă că k n. b) Orice bază a lui W poate fi extinsă pâna la o bază a lui V. Deoarece dim W = dim V rezultă că orice bază a lui W este în acelaşi timp bază a lui V. Propoziţia 2.26 Dacă W 1 V şi W 2 V sunt subspaţii vectoriale atunci W = W 1 W 2 este subspaţiu vectorial al lui V.

41 Spaţii vectoriale 43 Demonstraţie. Avem x, y W α, β K } = x, y W 1 x, y W 2 α, β K = αx + βy W 1 αx + βy W 2 } = αx + βy W. Observaţia 2.10 In general, reuniunea a două subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial V nu este un subspaţiu vectorial. De exemplu, W 1 = {(x, 0) x R} si W 2 = {(0, y) y R} sunt subspaţii vectoriale ale lui R 2, dar W = W 1 W 2 nu este subspaţiu vectorial al lui R 2. Intr-adevăr, (1, 0) W şi (0, 1) W dar (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) W. Propoziţia 2.27 Dacă W 1 V şi W 2 V sunt subspaţii vectoriale atunci este subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie. Avem w 1 + w 2 W 1 + W 2 w 1 + w 2 W 1 + W 2 α, β K W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 } = α(w 1 + w 2 ) + β(w 1 + w 2 ) = (αw 1 + βw 1 ) + (αw 2 + βw 2 ) W 1 + W 2. Definiţia 2.28 Fie W 1, W 2 două subspaţii vectoriale ale lui V. Subspaţiul vectorial W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 } se numeşte suma subspaţiilor W 1 şi W 2. Exerciţiul 2.21 Să se arate că: a) W 1 = {(x, 0) x R} este subspaţiu vectorial al lui R 2. b) W 1 = {(0, y) y R} este subspaţiu vectorial al lui R 2. c) W 1 + W 2 = R 2. Teorema 2.29 (a dimensiunii) Dacă W 1 şi W 2 sunt subspaţii ale lui V atunci dim (W 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 dim (W 1 W 2 ).

42 44 Elemente de algebră liniară Demonstraţie. Fie B 0 = {u 1, u 2,..., u n } o bază a spaţiului vectorial W 1 W 2 pe care o completăm până la o bază a spaţiului vectorial W 1 şi până la o bază a spaţiului vectorial W 2, unde B 1 = {u 1, u 2,..., u n, v 1, v 2,..., v k } B 2 = {u 1, u 2,..., u n, w 1, w 2,..., w m } n = dim (W 1 W 2 ), n + k = dim W 1, n + m = dim W 2. Este suficient să arătăm că este o bază a lui W 1 + W 2. B = {u 1, u 2,..., u n, v 1, v 2,..., v k, w 1, w 2,..., w m } B este sistem de generatori. Orice vector de forma x 1 + x 2 cu x 1 W 1 si x 2 W 2 este o combinatie liniara de vectorii lui B. B este sistem de vectori liniar independenţi. Relaţia α 1 u α n u n + β 1 v β k v k + γ 1 w γ m w m = 0 (2.6) se poate scrie sub forma α 1 u α n u n + β 1 v β k v k = γ 1 w 1... γ m w m. Egalitatea dintre vectorul α 1 u α n u n + β 1 v β k v k aparţinând lui W 1 si vectorul γ 1 w 1... γ m w m aparţinând lui W 2 este posibilă numai dacă γ 1 w 1... γ m w m W 1 W 2, adică dacă există δ 1, δ 2,..., δ 1 K încât γ 1 w 1 γ 2 w 2... γ m w m = δ 1 u 1 + δ 2 u δ n u n. Scriind ultima relaţie sub forma δ 1 u 1 + δ 2 u δ n u n + γ 1 w 1 + γ 2 w γ m w m = 0

43 Spaţii vectoriale 45 şi ţinând seama de faptul că B 2 este bază în W 2 rezultă δ 1 = δ 2 =... = δ n = γ 1 = γ 2 =... = γ m = 0. Relaţia (2.6) devine α 1 u α n u n + β 1 v β k v k = 0. Tinând seama de faptul că B 1 este bază în W 1 obţinem α 1 = α 2 =... = α n = β 1 = β 2 =... = β k = 0. Prin urmare B este bază a lui W 1 + W 2 şi dim(w 1 + W 2 ) = n + k + m = dim W 1 + dim W 2 dim (W 1 W 2 ). 2.7 Sume directe Definiţia 2.30 Fie W 1, W 2 două subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial V. Spunem că suma W 1 + W 2 este sumă directă si utilizăm notaţia W 1 W 2 dacă scrierea oricărui vector w W 1 +W 2 ca suma w = w 1 +w 2 dintre un vector w 1 W 1 şi un vector w 2 W 2 este unică. Propoziţia 2.31 Fie W 1, W 2 două subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorial V. Suma W 1 + W 2 este sumă directă dacă şi numai dacă W 1 W 2 = {0}. Demonstraţie. = Dacă W 1 W 2 {0} atunci există x W 1 W 2 nenul care admite reprezentările x = x + 0 şi x = 0 + x, ceea ce arată că suma nu este directă. = Fie subspaţiile W 1 şi W 2 cu W 1 W 2 = {0}. Dacă v W 1 + W 2 admite reprezentările v = w 1 + w 2 cu w 1 W 1 si w 2 W 2 v = w 1 + w 2 cu w 1 W 1 si w 2 W 2

44 46 Elemente de algebră liniară atunci w 1 + w 2 = w 1 + w 2. Scriind această relaţie sub forma w 1 w 1 = w 2 w 2 din w 1 w 1 W 1, w 2 w 2 W 2 şi W 1 W 2 = {0} deducem că w 1 w 1 = 0, w 2 w 2 = 0, adică w 1 = w 1 şi w 2 = w 2, ceea ce arată că suma este directă. Exerciţiul 2.22 Să se arate că R 2 = {(x, 0) x R} {(0, y) y R}. Rezolvare. Avem {(x, 0) x R} + {(0, y) y R} = R 2 {(x, 0) x R} {(0, y) y R} = {(0, 0)}. Exerciţiul 2.23 Să se arate că R 3 = {(x, y, 0) x, y R} + {(x, 0, z) x, z R} dar suma nu este directă. Rezolvare. Orice vector (α, β, γ) R 3 admite reprezentarea (α, β, γ) = (α, β, 0) + (0, 0, γ) cu (α, β, 0) {(x, y, 0) x, y R} şi (0, 0, γ) {(x, 0, z) x, z R}, dar {(x, y, 0) x, y R} {(x, 0, z) x, z R} = {(x, 0, 0) x R}. Exerciţiul 2.24 Să se arate că R 2 = {(α, α) α R} {(0, β) β R}. Rezolvare. Orice vector (x, y) R 2 admite reprezentarea (x, y) = (x, x) + (0, y x)

45 Spaţii vectoriale 47 cu (x, x) {(α, α) α R} şi (0, y x) {(0, β) β R}. În plus {(α, α) α R} {(0, β) β R} = {(0, 0)}. Exerciţiul 2.25 Să se arate că M 3 3 (R) = {A M 3 3 (R) A t = A } {A M 3 3 (R) A t = A } unde A t este transpusa matricei A. Indicaţie. Orice matrice A M 3 3 (R) admite reprezentarea A = 1 2 (A + At ) (A At ) cu (A + A t ) t = A + A t şi (A A t ) t = (A A t ). Propoziţia 2.32 Dacă V şi W sunt spaţii vectoriale peste acelaşi corp K atunci V W = { (x, y) x V, y W } considerat împreună cu adunarea (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) şi înmulţirea cu scalari α(x, y) = (αx, αy) este spaţiu vectorial, notat cu V W (numit produsul direct al lui V cu W ) şi dim(v W ) = dim V + dim W. Demonstraţie. Dacă {v 1, v 2,..., v n } şi {w 1, w 2,..., w k } sunt baze în V şi W atunci { (v 1, 0), (v 2, 0),..., (v n, 0), (0, w 1 ), (0, w 2 ),..., (0, w k ) } este bază în V W. Observaţia 2.11 Spaţile V şi W pot fi identificate cu subspaţiile { (x, 0) x V }, { (0, y) y W }

46 48 Elemente de algebră liniară ale lui V W şi avem { (x, 0) x V } { (0, y) y W } = {(0, 0)} { (x, 0) x V } + { (0, y) y W } = V W ceea ce justifică notaţia V W. 2.8 Spaţii factor Definiţia 2.33 Prin relaţie de echivalenţă pe o mulţime M se înţelege o submulţime R M M cu proprietăţile: 1) (x, x) R, x M (reflexivitate) 2) (x, y) R = } (y, x) R (simetrie) (x, y) R 3) = (x, z) R (tranzitivitate) (y, z) R In loc de (x, y) R se preferă să se scrie x R y sau x y. Definiţia 2.34 Prin partiţie a unei mulţimi M se înţelege o familie {M i } i I de submulţimi ale lui M cu proprietăţile: 1) M i, i I 2) M i M j =, i, j I cu i j 3) i I M i = M. Propoziţia 2.35 a) Dacă este o relaţie de echivalenţă pe M atunci mulţimile distincte de forma ˆx = { y y x } (clasa de echivalenta a lui x) formează o partiţie a lui M (se notează cu M/ şi este numită mulţimea factor corespunzătoare relaţiei ). b) Invers, dacă {M i } i I este o partiţie a lui M atunci relaţia definită prin x y daca exista i I astfel incat x, y M i este o relaţie de echivalenţă pe M.

47 Spaţii vectoriale 49 Demonstraţie. a) Reunind toate clasele de echivalenţă obţinem mulţimea M şi ˆx deoarece x ˆx. In plus, x ŷ ẑ = { x y x z = y z = ŷ = ẑ. b) Evident, relaţia este reflexivă şi simetrică. Dacă x y şi y z atunci există i, j I astfel încât x, y M i şi y, z M j. Mulţimile partiţiei fiind disjuncte rezultă că M i = M j şi prin urmare x z. Propoziţia 2.36 Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K şi W V este un subspaţiu vectorial atunci relaţia x y daca x y W este o relaţie de echivalenţă pe V. Pe mulţimea factor V/ formată din toate clasele de echivalenţă ˆx = x + W = { x + y y W } relaţiile ˆx + ŷ = xy, αˆx = αx definesc o structură de spaţiu vectorial (numit spaţiu factor şi notat cu V/W ). Demonstraţie. Avem x x = 0 W = x x x y = x y W = y x W = y x } x y = x y W } = x z = (x y) + (y z) W = x z. y z y z W Deoarece W + W = { x + y x, y W } = W şi αw = { αx x W } = W avem (x + W ) + (y + W ) = x + y + W, α(x + W ) = αx + W ceea ce arata că operaţiile cu clase de echivalenţa sunt bine definite (nu depind de reprezentantul ales). Elementul neutru este ˆ0 = 0 + W = W iar opusul lui ˆx este ˆx = x = x + W.

48 50 Elemente de algebră liniară Exerciţiul 2.26 Descrieţi spaţiul vectorial factor R 2 /W în cazul W = { (x, 0) x R }. Rezolvare. In acest caz (x, y) (x, y ) (x, y) (x, y ) W y = y. Rezultă că şi prin urmare, (x, y) = (x, y) + W = { (x, y) x R } R 2 /W = { (0, y) y R }. Observaţia 2.12 Trecerea de la R 2 la R 2 /W se realizează ignorând coordonata x, adică identificând vectorii (x, y) din R 2 cu acelaşi y. Teorema 2.37 Dacă W este subspaţiu vectorial al lui V atunci dim V/W = dim V dim W. Demonstraţie. Fie {v 1, v 2,..., v k } o bază a lui W pe care o completăm până la o bază {v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v n } a lui V. Arătăm că {ˆv k+1, ˆv k+2,..., ˆv n } este bază a lui V/W. Dacă x = α 1 v α k v k + α k+1 v k α n v n V atunci ˆx = α 1ˆv α kˆv k + α k=1ˆv k α nˆv n = α k+1ˆv k α nˆv n. Pe de altă parte dacă α k+1ˆv k+1 + α k+2ˆv k α nˆv n = 0 atunci α k+1 v k+1 + α k+2 v k α n v n W şi deci există α 1, α 2,..., α k K astfel încât α k+1 v k+1 + α k+2 v k α n v n = α 1 v 1 + α 2 v α k v k relaţie care conduce la α k+1 = α k+2 =... = α n = 0.

49 Capitolul 3 Aplicaţii liniare 3.1 Definiţie şi exemple Definiţia 3.1 Fie V şi W spaţii vectoriale peste acelaşi corp K (unde K = R sau K = C). O aplicaţie A : V W : x Ax este numită aplicaţie liniară (sau aplicaţie K-liniară, sau transformare liniară) dacă A(αx + βy) = αax + βay, x, y V, α, β K. Observaţia 3.1 Vom utiliza notaţia L(V, W )={ A : V W A(αx+βy)=αAx+βAy, x, y V, α, β K }. În cazul în care V = W, adică în cazul în care aplicaţia este de forma A : V V în loc de aplicaţie liniară se mai utilizează termenul de operator liniar. Vom nota cu L(V ) mulţimea operatorilor liniari definiţi pe V, adică L(V ) = L(V, V ). Exerciţiul 3.1 Dacă A L(V, W ) atunci A0 = 0. 51

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE

PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE PROCEDEE UTILIZATE ÎN CONTABILITATEA DE GESTIUNE Determinarea costurilor implică utilizarea, de cele mai multe ori, a unor algoritmi matematici ce generează obţinerea unor informaţii punctuale în momentul

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM ANEXA Prezentare model actuarial GLM INTRODUCERE Societățile de asigurare folosesc metode actuariale pentru a determina aceste variabile utilizându-se în general o modelare de tipul generalized linear

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOAE ŞI APLICAłII 2.1 NOłIUNI FUNDAMENTALE DESPE DIODE Dioda semiconductoare (sau mai simplu, dioda) are la bază o joncńiune pn, joncńiune care se formează la contactul unei regiuni

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE DE REDRESARE ŞI FILTRARE

CIRCUITE DE REDRESARE ŞI FILTRARE LCAEA N.4 CICITE DE EDEAE ŞI FILTAE 1.Introducere edresarea este procesul de transformare a curentului alternativ în curent continuu. edresarea este necesară pentru mulţi consumatori electrici la care

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

1 CIRCUITUL ELECTRONIC

1 CIRCUITUL ELECTRONIC S.D.Anghel Bazele electronicii analogice şi digitale CICUITUL ELECTONIC. Elemente de circuit. eţea electrică Un circuit electronic este un ansamblu de comonente electronice conectate între ele entru generarea

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

EPSICOM CIRCUIT DE AVERTIZARE DESCĂRCARE ACUMULATOR EP 0006... Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale

EPSICOM CIRCUIT DE AVERTIZARE DESCĂRCARE ACUMULATOR EP 0006... Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale EPSICOM Ready Prototyping Coleccț ția Home Automation EP 0006... Cuprins Prezentare Proiect Fișa de Asamblare 1. Funcționare 2 2. Schema 2 3. PCB 2 4. Lista de componente 2 5. Tutorial Dioda Zenner 3-8

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice Memorii. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice Memorii. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.11. Memorii Copyright Paul GASNER Random Access Memory RAM Toate circuitele secvenţiale depind de memorii un flip-flop poate stoca doar un bit de informaţie un registru poate stoca

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα