CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber"

Transcript

1 Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică şi nu numai. Elementele acestui spaţiu vor fi definite în cele ce urmează. Fie E 3 spaţiul geometriei elementare. Elementele acestui spaţiu se numesc puncte. Definiţia.. Numim segment orientat orice pereche ordonată (A, B) E 3 x E 3. Vom folosi notaţia AB pentru acest segment, cărui reprezentare grafică este dată în fig.. Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Dacă puntele A şi B sunt diferite atunci acestea determină în mod unic o dreapta care se numeşte dreapta suport a segmentului orientat. Dacă C = D atunci convenim să numim segmentul orientat (C, D) = not CC = not 0 segment orientat nul. Este evident că un segment orientat nul nu determină în mod unic o dreaptă, ceea ce face ca în acest caz să 65

2 Vectori liberi spunem că orice dreaptă care trece prin punctul C este o dreaptă suport a segmentului CC. Definiţia.. Două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Orice două segmente orientate nule au aceeaşi direcţie. Un segment orientat nenul determină pe dreapta sa suport un anumit sens, lucru ce permite introducerea noţiunii de acelaşi sens pentru două segmente orientate cu aceeaşi direcţie sau altfel spus pentru două segmente orientate coliniare. Definiţia..3 a) Spunem că două segmente orientate nenule cu aceeaşi dreaptă suport, au acelaşi sens dacă sensurile determinate de ele pe dreapta suport coincid fig. a). b) Două segmente orientate nenule cu aceeaşi direcţie, dar cu drepte suport diferite, au acelaşi sens dacă, în planul determinat de dreptele suport, extremităţile lor sunt în acelaşi semiplan determinat de dreapta care uneşte originile segmentelor fig. b). 66

3 Algebră liniară Definiţia..4 Se numeşte lungime (normă sau modul) al unui segment orientat AB distanţa de la punctul A la punctul B. Vom folosi notaţia AB pentru lungimea segmentului orientat AB. Până acum am pus în evidenţă trei elemente caracteristice ale unui segment orientat nenul: direcţia, sensul şi lungimea. În mod evident, acestea nu determină în mod unic un segment orientat, dar împreună cu originea segmentului fac acest lucru. În cele ce urmează se va elimina acest neajuns prin definirea unor clase unic determinate de cele trei elemente, clase ce realizează "eliberarea de origine". Fie M mulţimea tuturor segmentelor orientat nenule. Pe această mulţime definim relaţia binară ρ astfel, AB ρcd ABşi CD au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime Este uşor de verificat că această relaţie este o relaţie de echivalenţă, adică este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. În continuare vom denumi această relaţie de echivalenţă relaţie de echipolenţă. Relaţia de echipolenţă poate fi prelungită şi la segmentele orientate nule astfel: oricare două segmente orientate nule sunt echipolente între ele. Noua relaţie, considerată pe mulţimea tuturor segmentelor orientate din spaţiu, este în continuare o relaţie de echivalenţă. 67

4 Vectori liberi Definiţia..5 Clasele de echivalenţă *) ale segmentelor orientate, relativ la relaţia de echipolenţă, se numesc vectori liberi. Vectorii liberi se vor nota cu litere mici ale alfabetului latin cu o bară deasupra : a, b.. Vectorul liber care conţine segmentul orientat AB va fi notat asemănător, adică AB ( AB este mulţimea segmentelor orientate echipolente cu Dacă AB ). AB a atunci spunem că AB este un reprezentant al lui a. Noţiunile de direcţie, sens şi lungime introduse pentru un segment orientat, sunt extinse la clasa din care acesta face parte, reprezentând direcţia, sensul şi lungimea comună tuturor elementelor din clasă. Pentru a desemna lungimea unui vector liber vom folosi notaţiile a sau AB. Vectorul liber de lungime 0 ( clasa tuturor segmentelor orientate nule) se numeşte vectorul nul şi se notează 0. Vectorii liberi care au aceeaşi direcţie se numesc coliniari, iar vectorii liberi care au reprezentanţii paraleli cu acelaşi plan se numesc coplanari. Doi vectori liberi ai căror reprezentanţi sunt echipolenţi sunt egali. Definiţia..6 Orice vector liber care are lungimea egală cu se numeşte versor. Mulţimea vectorilor liberi va fi notată V 3. În secţiunea următoare vom defini o operaţie internă pe V 3 (adunarea vectorilor liberi) şi o operaţie externă, de înmulţire cu numere reale, împreună cu care V 3 va căpăta o structură de spaţiu vectorial. * O clasă de echivalenţă relativ la relaţia binară ρ, considerată pe o mulţime M este o submulţime C a lui M care are proprietatea x, y C xρy. 68

5 Algebră liniară. Operaţii cu vectori liberi I. Adunarea vectorilor liberi Definiţia.. Dacă aşi b sunt doi vectori liberi şi OA, respectiv AB sunt doi reprezentanţi ai acestora, atunci a + b este vectorul liber c al cărui reprezentant este OB, fig. 3 a). Regula de adunarea a vectorilor liberi din definiţia de mai sus este cunoscută sub denumirea de regula triunghiului. Nu este dificil de văzut că dacă vom considera paralelogramul determinat de vectorii OA a şi OB b, atunci (vezi fig. 3 b) ) vectorul OC c = a + b este diagonala acestui paralelogram. Adunarea vectorilor liberi poate fi definită folosind şi această regulă numită regula paralelogramului şi cele două definiţii sunt echivalente. Propoziţia.. (V 3, +) este grup comutativ. Demonstraţie. Din modul de definiţie al operaţiei de adunare a vectorilor liberi rezultă că operaţia "+" este bine definită. Asociativitatea: Dacă a, b, c V 3 şi OA a, AB b, BC c este uşor de văzut, conform 69

6 Vectori liberi definiţiei de mai sus, că vectorii liberi a + ( b + c ) şi (a + b ) + c au un acelaşi reprezentant OC (fig 4 a) şi b)). Comutativitatea: rezultă dacă folosim regula paralelogramului pentru adunarea vectorilor. Elementul neutru al grupului este vectorul nul 0 iar simetricul unui vector liber oarecare AB V 3 este vectorul liber BA. Folosind proprietatea de asociativitate demonstrată mai sus, putem extinde uşor regula triunghiului la cazul a n vectori liberi. Definiţia.. Dacă a, a,, a n sunt n vectori liberi şi OA a, AA a,, A n A n a n,atunci suma vectorilor a, a,, a n este vectorul liber c al cărui reprezentant este OA n, (fig. 5). Notăm c = 70 a + a + + a n. Regula exprimată de definiţia de mai sus este cunoscută sub denumirea de regula poligonului strâmb şi rezultă prin aplicarea

7 Algebră liniară inductivă a regulii triunghiului, adică a + a + + (.( a n + asociativă. a n = a + ( a + a n ))), deoarece operaţia de adunare a vectorilor este II. Înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale Următoarea operaţie pe care o vom introduce este înmulţirea unui vector liber cu un număr real. Definiţia..3 Dacă a V 3 şi α R atunci prin αa înţelegem vectorul liber definit astfel: a) Dacă α = 0 sau a = 0 atunci αa este vectorul nul 0. b) Dacă nu avem situaţia de la punctul a) şi α > 0 atunci vectorul αa este un vector care are aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu vectorul a iar lungimea este α a. c) Dacă α < 0 şi a 0 atunci αa este un vector care are aceeaşi direcţie cu vectorul a, sensul opus acestuia din urmă iar lungimea este -α a. Exerciţiu: Înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale satisface axiomele a) - d) din Definiţia..3 a spaţiului vectorial. Exerciţiul de mai sus şi Propoziţia.. ne asigură că V 3 este întradevăr un spaţiu vectorial real..3 Dependenţă liniară în V 3 Teorema.3. a) Vectorii liberi a, b V 3 sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă sunt coliniari. 7

8 Vectori liberi b) Vectorii liberi a, b, c V 3 sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă sunt coplanari. Demonstraţie. a) " " Dacă cel puţin unul din vectorii aşi b este nul atunci funcţionează convenţia că vectorul nul are aceeaşi direcţie cu orice vector şi rezultă concluzia. Dacă a 0 şi b 0, presupunem că există scalarii α, β R astfel încât αa + β b = 0 şi α + β 0. Facem alegerea α 0 şi avem a = - β α b, ceea ce înseamnă că aşi β α b au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi sensuri opuse. Din Definiţia..3 deducem că aşi b au aceeaşi direcţie şi rezultă că sunt coliniari. " " Dacă unul din vectorii a, b este nul atunci afirmaţia este evidentă. Altfel, dacă a, b sunt coliniari atunci versorii acestora a a şi respectiv b b sunt într-o relaţie de forma a a = ± b b. De aici rezultă concluzia (exerciţiu). b) Ca şi în cazul a) situaţia în care cel puţin unul dintre vectori este nul este trivială pentru ambele implicaţii, deci presupunem mai departe că toţi vectorii sunt nenuli. " " Dacă a, b, c sunt liniar dependenţi atunci există scalarii α, β, γ R, astfel încât αa + β b + γ c = 0, cel puţin unul dintre scalari fiind nenul. Presupunem α 0 şi avem a = - α β b - α γ c, ceea ce, conform punctului a), este echivalent cu faptul că a este coliniar cu vectorul sumă a vectorilor - α β bşi - α γ c, deci coplanar cu aceştia. Dar vectorii - α β bşi respectiv - α γ c sunt coliniari, tot conform punctului a) cu vectorii bşi respectiv c. Deci a, b, c sunt coplanari. " " Dacă a, b, c sunt coplanari atunci este uşor de văzut 7

9 Algebră liniară (fig. 6) că a poate fi descompus ca sumă de doi vectori coliniari cu b, c, a = b + c, unde b, c au reprezentaţii OC, AC OB, B OB, C OC). Tot conform punctului a) rezultă că există scalarii β şi γ R astfel încât b = β b şi respectiv c = γ c. De aici rezultă concluzia. Din teorema de mai sus rezultă că oricare trei vectori necoplanari din V 3 sunt liniar independenţi. OB şi respectiv OC (AB Teorema.3. Dimensiunea spaţiului vectorial V 3 este egală cu 3. Demonstraţie. Conform observaţiei de mai sus este suficient să demonstrăm că trei vectori necoplanari din V 3,a, b, c sunt sistem de generatori pentru V 3. Fie d V 3 un vector oarecare şi OC c, OD d reprezentanţii celor patru vectori fig. 7. Dacă D, D, D 3 sunt proiecţiile lui D pe dreptele suport ale OA a, OB b, segmentelor orientate OA, OB şi OC, atunci aplicăm regula paralelogramului şi teorema de mai sus şi deducem că + OD = OD3 R. Deci OD ' = OD3 + + OD OD 73 = γ OC + αoa + βob, α, β, γ

10 Vectori liberi (.3.) d = αa + β b + γ c şi demonstraţia este încheiată. Sistemul de scalari (α, β, γ) din formula (.3.) reprezintă coordonatele vectorului d în baza { a, b, c } a spaţiului V 3. Observaţia.3. a) Dacă i, j, k sunt trei versori din V 3 care au proprietatea că dreptele suport ale reprezentanţilor sunt perpendiculare două câte două, atunci aceştia sunt necoplanari (fig. 8). Deci formează o bază în V 3, pe care o numim bază canonică. Coordonatele unui vector liber într-o bază canonică se numesc coordonate euclidiene. b) Dacă D E 3 este un punct oarecare din spaţiu atunci vectorul r V 3 care are reprezentantul OD se numeşte vectorul de poziţie al punctului D. Coordonatele euclidiene α, β, γ ale vectorului r, şi respectiv coordonatele carteziene (în reperul OABC) ale punctului D sunt determinate de proiecţiile punctului D pe dreptele suport ale reprezentanţilor celor 3 versori (fig. 8). Dacă d E 3 este o dreaptă iar AB este un segment orientat, A, B E 3 atunci intersecţia dreptei d cu planele P A şi P B ce sunt perpendiculare pe d este formată din două puncte A şi respectiv B. segmentului Segmentul orientat AB pe dreapta d. A B se numeşte proiecţia ortogonală a 74

11 Algebră liniară Exerciţiu: Proiecţiile pe aceeaşi dreaptă a două segmente orientate echipolente sunt echipolente. Atunci se poate introduce noţiunea de proiecţie ortogonală a unui vector liber r pe o dreaptă d, ca fiind vectorul liber ce are drept reprezentant proiecţia ortogonală pe dreapta d a oricărui reprezentant al lui r. Definiţia.3. Fie a, b V 3 şi OA a, OB b reprezentanţii acestora. Numărul real ϕ [0, π] ce reprezintă unghiul format de dreptele OA şi OB se numeşte unghiul dintre vectorii a, b (fig. 9). Dacă ϕ = π / atunci vectorii a, b se numesc ortogonali. Prin convenţie, vectorul nul este ortogonal pe orice vector. Dacă a, b V 3 a 0, b 0 iar ϕ este unghiul dintre ei atunci numărul real cos ϕ a se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale a vectorului a pe b şi se notează pr b a conform []. Exerciţiu: [] Mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale are următoarele proprietăţi a) ( a c) pr b + = pr b a + pr b c, oricare ar fi a, b, c V 3, nenuli. b) pr b α ( a) = α pr b a oricare ar fi α R. 75

12 Vectori liberi.4 Produsul scalar Definiţia.4. Dacă a, b V 3 şi ϕ este unghiul dintre vectorii a şi b, dacă aceştia sunt nenuli, atunci produsul scalar al vectorilor a, b, notat <a, b > este egal cu a) 0 dacă a = 0 sau b = 0, b) a b cos ϕ, dacă a 0, b 0. Exerciţiu: Se observă că vectorii aşi b sunt ortogonali dacă şi numai dacă <a, b > = 0. Teorema.4. Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăţi: ) <a, a > 0, a V 3 şi <a, a > = 0 a = 0 ; ) <a, b > = < b, a >, a, b V 3 ; 3) α <a, b > = <α a, b >, α R, a, b V 3 (omogeneitate) 4) <a + b, c > = <a, c > + < b, c >, a, b, c V 3, (distributivitate a produsului scalar faţă de adunarea vectorilor) 5) Fie i, j, k o bază canonică în V 3 şi a = a i + a j + a 3 k, b = b i + b j + b 3 k doi vectori din V 3. Atunci (.4.) < a, b > = a b + a b + a 3 b 3 În plus, dacă a 0, b 0 iar ϕ este unghiul dintre aşi b atunci (.4.) cos ϕ = a,b a b = a + a a b + a b + a 3 b + a 3 b 3 + b + b 3 76

13 Algebră liniară Demonstraţie. ) şi ) sunt evidente dacă ţinem cont de faptul că unghiul ϕ dintre a şi a este 0 iar unghiul dintre aşi b coincide cu unghiul dintre b şi a. 3) Dacă α = 0 demonstraţia este evidentă. Dacă α 0 atunci vectorii a şi α a sunt coliniari şi au acelaşi sens dacă α > 0 şi sensuri opuse în caz contrar. Unghiul dintre aşi b este egal cu cel dintre α aşi b, dacă α > 0 sau este suplementar celui dintre αaşi b, dacă α < 0. Având în vedere relaţiile dintre unghiuri şi faptul că α a = α a se deduce concluzia. 4) Folosind proprietăţile mărimii algebrice a proiecţiei ortogonale şi observând că <a, c > = <a + b, c > = ( a b) a pr c c avem succesiv pr c + c = ( pr c a + pr c b ) c = <a, c > + < b, c >. 5) Deoarece < i, i > = < j, j> = < k, k > = iar < i, j> = < j, k > = < i, k > = 0, aplicăm proprietăţile de ) şi 3) ale produsului scalar şi obţinem (.4.). 6) Din definiţia produsului scalar şi conform relaţiei (.4.) avem că a = <a, a > = a + a + a 3. Aplicăm din nou (.4.) şi obţinem (.4.)..5 Produsul vectorial Definiţia.5. Dacă a, b V 3 şi ϕ este unghiul dintre vectori, dacă aceştia sunt nenuli, atunci produsul vectorial al vectorilor a, b, notat a x b este egal cu a) 0 dacă a = 0 sau b = 0 sau dacă a, b sunt coliniari; b) a b sin ϕ e, dacă a, b 0 sunt necoliniari, unde e este un versor perpendicular pe aşi b al cărui sens 77

14 Vectori liberi este determinat cu ajutorul regulii burghiului (adică rotind pe a peste b, în sens direct, versorul e are sensul de înaintare a burghiului)(fig. 0). Observaţia.5. Norma produsului vectorial a x b are următoarea interpretare geometrică: este aria paralelogramului ale cărui două laturi adiacente sunt reprezentanţi cu aceeaşi origine ai vectorilor liberi aşi respectiv b. Teorema.5. Produsul vectorial are următoarele proprietăţi: ) a x b = - b xa, a, b V 3 (anticomutativitate); ) α(a x b ) = αa x b =a xα b, α R, a, b V 3 ; 3) a x( b + c ) = a x b + a x c (distributivitate); 4) axb = ( a b ) - <a, b > (identitatea lui Lagrange); 5) Dacă a = a i + a j + a 3 k, b = b i + b j + b 3 k, unde i, j, k este o bază canonică în V 3 atunci a x b = (a b 3 - a 3 b ) i + ( a 3 b - a b 3 ) j+ (a b - a b ) k = i a b a b j k a b

15 Algebră liniară Demonstraţie. ) Rezultă din definiţia produsului vectorial, datorită faptului că măsura unghiului (a, b ) *) este egală cu cea a unghiului ( b,a ) iar versorii e respectiv e ' (corespunzători celor două produse vectoriale), obţinuţi conform regulii burghiului (fig.0), au sensuri opuse. ) Dacă α > 0, atunci (αa, b ) = (a, α b ) = (a, b ). Atunci α(a x b ) = α a b sin (a, b ) = αa b sin (αa, b )= αa x b. Analog se arată că α(a x b ) =a xα b. Cazul α = 0 duce la obţinerea vectorilor nuli în fiecare membru al egalităţii şi rezultă concluzia. În cazul α < 0 avem (αa, b )= (a, α b )= π - (a, b ) şi deducem că α( a x b ) = α a b sin (a, b ) = - α a b sin(π - (a, b ))= αa b sin (αa, b )= αa x b etc. 3) În cazul în care vectorii b şi c sunt coliniari afirmaţia este uşor de demonstrat (exerciţiu). Pentru a arăta că proprietatea 3) este adevărată în cazul general, vom demonstra mai întâi că dacă b ' este proiecţia ortogonală a vectorului b pe o dreaptă D perpendiculară pe a, inclusă într-un plan paralel cu vectorii aşi b, atunci a x b = a x b '. Versorii vectorilor a x b şi a x b ' fiind perpendiculari pe acelaşi plan sunt coliniari şi, deoarece a xb' = a b' sin (a, b ') = a b cos ( b, b ') sin π/ = a b cos(π/- (a, b )) = a b sin (a, b ) = a xb, rezultă * Folosim notaţia ( a, b ) pentru unghiul dintre vectorii liberi aşi b. 79

16 Vectori liberi concluzia. Fie acum c ' proiecţia ortogonală a vectorului c pe dreapta D O, perpendiculară pe a, inclusă într-un plan paralel cu vectorii aşi c. Din cele arătate mai sus rezultă că a x c = a x c '. Este clar că dreapta suport a lui a, D şi D sunt ortogonale două câte două. Deoarece vectorii b ' şi c ' sunt de fapt "proiecţiile ortogonale" *) ale vectorilor liberi b şi c pe planul determinat de D şi D este uşor de văzut că b ' + c ' este egal cu proiecţia ortogonală pe acest plan, notată uşor de văzut că d ', a vectorului b + c. Este d ' = b ' + c '. Astfel, a x b + a x c = a x b ' + a x c ' = a x( b ' + c ') = a x d ' = a x( b + c ) şi rezultă concluzia. Punctul 4) al teoremei îl lăsăm ca exerciţiu, căci se obţine aplicând definiţiile produsului scalar şi respectiv vectorial. Pentru a demonstra 5) observăm că i x i = jx j = k x k = 0 şi i x j = k, jx k = i, k x i = j. Se efectuează calculele şi se obţine concluzia..6 Produsul mixt al vectorilor. Dublul produs vectorial Definiţia.6. Fie a, b, c V 3. Produsul scalar al vectorilor a şi b x c se numeşte produs mixt al vectorilor a, b, c. Folosim notaţia <a, b x c >. Dacă vectorii a, b, c sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixt are următoarea interpretare geometrică: este volumul paralelipipedului construit pe suporturile reprezentanţilor vectorilor * Proiecţia ortogonală a unui vector liber a pe un plan este acel vector liber ce are drept reprezentant proiecţia ortogonală pe planul respectiv a unui reprezentant al vectorului a. 80

17 Algebră liniară a, b, c care au originea comună (Fig. ). Într-adevăr, se cunoaşte deja că modulul vectorului b x c reprezintă aria A a paralelogramului ce reprezintă baza paralelipipedului din fig.. Deoarece (a, b x c ) este egal cu unghiul ϕ dintre înălţimea h a paralelipipedului din figură şi vectorul a, deducem că a cos (a, b x c ) = h. Atunci a,bxc = a bxc cos (a, b x c ) = A h şi rezultă concluzia. Teorema.6. Produsul mixt are următoarele proprietăţi: ) Dacă a = a i + a j + a 3 k, b = b i + b j + b 3 k, c = c i + c j +c 3 k unde i, j, k este o bază canonică în V 3 atunci (.6.) <a, b x c >= a b c a b c a b c ) <a, b x c > = 0 unul din vectori este nul sau doi dintre vectori sunt coliniari sau vectorii sunt coplanari. 8

18 Vectori liberi 3) <a, b x c > = < b, a x c > = < c, b x a >, <a, b x c > = -<a, c x b >. 4) <a + a, b x c > =<a, b x c > + <a, b x c >. Demonstraţie. Afirmaţia ) este o consecinţă a proprietăţilor 5 a produsului scalar şi respectiv vectorial. ) " " Dacă unul din vectori este nul afirmaţia rezultă imediat. Dacă doi vectori sunt coliniari, de exemplu aşi b atunci există α R astfel încât a = α b. Deci a i = αb i, i =,, 3 şi folosind proprietăţile determinanţilor şi punctul a) rezultă <a, b x c > = 0. Analog se tratează cazul în care alţi doi vectori sunt coliniari. Dacă cei trei vectori sunt coplanari atunci vectorul b x c este perpendicular pe planul celor trei vectori, deci pe a. Conform definiţiei produsului scalar, deducem că < a, b x c > = 0. " ". Dacă <a, b x c > = 0 atunci, din proprietatea ) de mai sus deducem că determinantul din relaţia (.6.) este nul. Atunci vectorii din R 3 (a, a, a 3 ), (b, b, b 3 ), (c, c, c 3 ) sunt liniar dependenţi. Deoarece componentele acestor vectori sunt de fapt coordonatele vectorilor a, b, c în baza i, j, k, atunci putem spune că a, b, c sunt liniar dependenţi. Aplicând Teorema.3. b) obţinem concluzia. 3) Se foloseşte proprietatea ) a produsului mixt şi proprietăţile determinanţilor. Afirmaţia de la punctul 4) rezultă din proprietatea de aditivitate a produsului scalar. Definiţia.6. Numim produs dublul vectorial al vectorilor a, b, c V 3 vectorul d = a x ( b x c ). 8

19 Algebră liniară Teorema.6. Vectorul d definit mai sus are următoarele proprietăţi a) este coplanar cu vectorii b şi c. b) d = <a x c > b - <a, b > c. Demonstraţie. a) Vectorul d, fiind produsul vectorial al vectorilor aşi b x c va fi perpendicular pe aceştia, deci d b x c. Deoarece vectorul b x c este perpendicular pe bşi c, deducem că d este coplanar cu bşi c. Dacă a = a i + a j +a 3 k, b = b i + b j + b 3 k, c =c i + c j +c 3 k unde i, j, k este o bază canonică în V 3, atunci, conform Teoremei.5. avem b x c = (b c 3 - b 3 c ) i + ( b 3 c - b c 3 ) j+ (b c - b c ) k şi d = [a (b c - b c ) - a 3 ( b 3 c - b c 3 )] i + [ a 3 (b c 3 - b 3 c ) - a (b c - b c )] j+ [a ( b 3 c - b c 3 ) - a (b c 3 - b 3 c )] k. Rearanjând termenii avem d = (a c + a 3 c 3 ) b i + (a 3 c 3 + a c )b j + (a c + a c )b 3 k + - (a b + a 3 b 3 ) c i - ( a 3 b 3 + a b )] c j - (a b + a b )] c 3 k. De aici rezultă că d = (a c + a c + a 3 c 3 )( b i + b j + b 3 k ) - (a b + a b + a 3 b 3 )( c i + c j + c 3 k ) = <a, c > b - <a, b > c. Exerciţiul.6. Să se arate că dacă a, b, c, d V 3 atunci <a x b, c x d > = a,c b,c a,d b,d. Conform Teoremei.6., avem <a x b, c x d > = < d, (a x b )x c > > = < d, - a < b, c > + b <a, c > > = -< d, a > < b, c > + <a, c ><d, b > = <a, c >< b, d > - <a, d > < b, c >. Rezultă concluzia. 83

20 Vectori liberi.7 Exerciţii. Să se discute şi să se rezolve sistemul λx + µ y = a, a, b V 3, λ, µ µ x + λy = b R\{0}. R: Înmulţind prima ecuaţie cu -µ şi pe a doua cu λ şi adunându-le obţinem ecuaţia 0 x + (λ - µ ) y = -µa + λ b, sistemul fiind echivalent cu λx + µ y = a, a, b V 3, λ, µ R\{0}. y = µ a + λb ( λ µ ) a) Dacă (λ - µ ) 0, adică λ ±µ atunci sistemul are soluţia unică λ µ x = a - λ µ λ µ µ b, y = - λ µ λ a + λ µ b) Dacă λ - µ = 0 atunci, fie -µa + λ b 0, caz în care sistemul este incompatibil, fie -µa + λ b = 0, caz în care orice pereche de vectori x = (a - µ y ), y V3 este soluţie a sistemului. λ b.. Să se arate că pentru ca trei vectori a, b, c să închidă un triunghi este necesar şi suficient ca a + b + c = 0. R: Dacă a, b, c închid un triunghi, adică au reprezentanţii BC a, CA b, AB c (fig. 3), atunci se aplică Definiţia.. şi rezultă concluzia. Reciproc, dacă a + b + c = 0 atunci c = - ( a + b ). Dacă BC a, completă. CA b atunci BA a + b, deci AB c şi demonstraţia este 84

21 Algebră liniară 3. Fie a, b, c trei vectori care închid un triunghi. Să se exprime cu ajutorul lor vectorii care au ca reprezentanţi medianele triunghiului şi să se arate că aceştia pot închide la rândul lor un triunghi. R: Fie ABC triunghiul închis de vectorii a, b, c şi fie A', B', C' mijloacele laturilor BC, CA, AB fig. 3. Atunci AA ' = AB + BA ' = AB + / BC c + /a şi analog se arată că BB ' a + / b, respectiv CC' b + / c. Folosind rezultatul de la exerciţiul precedent, avem AA ' + BB ' + CC ' = 0 şi, tot conform acestuia, rezultă că segmentele orientate triunghi. AA ', BB ', CC ' pot închide un 4. Fie AB şi CD vectorii ce coincid cu două coarde perpendiculare întrun cerc de centru O şi fie M punctul lor de intersecţie. Să se arate că MA + MB+ MC+ MD = MO. 5. R: Notăm cu P şi respectiv Q mijloacele coardelor ABşi este dreptunghi şi CD (fig. 4). Atunci OQMP OM = OQ + OP. Ţinând cont de faptul că OQ = / ( OC + OD ) şi OP = / ( OA + OB ) obţinem OM = 85 OA + OB + OC + OD.

22 Vectori liberi Pe de altă parte avem MA = MO + OA şi relaţiile analoge pentru MB, MC şi MD. Deci MA + MB+ MC+ MD = 4 MO+ OM = MO. 6. Fie ABCD un patrulater convex. Se notează cu O, O mijloacele diagonalelor AC, respectiv BD. Să se arate că ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă există k R - {/} astfel încât O O = k( AD - BC). R: Avem / ( AD - BC) O O = / ( O B + O D ) = / ( O C + CB + BC). Deci există k R - {/} astfel încât O O = 0 O = O. O A + AD ) = O O = k( AD - 7. Fie ABCD şi A B C D două paralelograme oarecare în spaţiu. Se consideră punctele A, B, C, D care împart segmentele AA, BB, CC, DD în acelaşi raport. Să se arate că A B C D este un paralelogram (fig. 5). R: Fie O un punct al spaţiului. O condiţie necesară şi suficientă ca ABCD şi A B C D să fie paralelograme este ca diagonalele lor să aibă acelaşi mijloc, adică între vectorii de poziţie ai vârfurilor să existe relaţiile: (.7.) OA + OC = OB + OD 86

23 (.7.) k OA + A A, rezultă OA ). Deci pentru OB, OC = OA = OA = OC, OB + Algebră liniară OD. Deoarece A are proprietatea OA + AA = k + ( OA + k OA + k A A = AA = OA + k( OA - OA ). Analog se obţin relaţiile OD (adică relaţia de mai sus în care înlocuim pe A cu B, C şi D). Folosind aceste relaţii şi ţinând cont de (.7.) şi (.7.) rezultă OA + OB = OC + A B C D este un paralelogram. OD, lucru echivalent cu faptul că 8. Fie triunghiul ABC şi A, B, C mijloacele segmentelor BC, CA, AB. a) Să se arate că pentru orice punct M al spaţiului avem OA + OB + OC = 3OA + 3 OC + CC. AA = 3OB + BB = b) Să se arate că există un punct G şi numai unul (centrul de greutate al triunghiului) cu proprietatea GA + GB + GC = 0. c) Să se arate că orice punct O al spaţiului satisface relaţia (.7.3) R: a) Avem OA + OB + OA + OC = OB + OA + OC = 3OG OA + AB + OA + AC = 3OA + AA + A B + A C = 3OA + AA, căci se arată celelalte relaţii. b) Conform punctului a), 3 GA + AA = 0 A B + GA + A C = 0. Analog GB + GC = 0 GA = /3 A A adică G se află pe AA la /3 de vârful A G este centrul de greutate al triunghiului ABC. 87

24 Vectori liberi d) OA + OB + OC = 3OG + GA + GB + GC =3OG. Observaţia.7. Fixând un punct O al spaţiului, putem defini centrul de greutate G al unui triunghi ca fiind un punct care are proprietatea (.7.3). Din exerciţiul de mai sus rezultă că G este corect definit. În general pentru un poligon A A A n definim centrul de greutate ca fiind acel punct care satisface relaţia OG = ( OA + n OA + + OA n ). Dacă vom considera O' alt punct al spaţiului atunci no ' G = no ' O + nog = ( O ' O + OA + O ' O + OA + + O ' O + OA n ), de unde deducem că O ' G = ( O' A + n O' A + + O ' A n ). Deci punctul G astfel definit nu depinde de alegerea punctului O din spaţiu. 9. Fie două triunghiuri ABC şi A B C (fig. 6) cu centrele de greutate G şi G. Să se arate că AA + BB + CC = 3GG şi, cu ajutorul acestei relaţii, să se formuleze o condiţie necesară şi suficientă ca două triunghiuri să aibă acelaşi centru de greutate. R: Se observă că AA = AG + Scriind şi relaţiile analoge pentru CC şi adunându-le, obţinem CC = 3GG - ( GA + GB + GG + G A. AA + GC ) + BB şi BB + 88

25 G A + G B + Algebră liniară G C = 3GG. Pentru a obţine ultima egalitate am aplicat punctul b) al exerciţiului precedent. Deci, condiţia necesară şi suficientă ca G = G este GG = 0 sau, conform celor arătate mai sus, AA + BB + CC = Se numeşte cerc Euler al coardei A A a cercului S de rază R, cercul de rază R/, al cărui centru este mijlocul coardei. Cele trei cercuri Euler ale laturilor unui triunghi A A A 3 înscris în cercul S se intersectează într-un punct O care constituie centrul cercului de rază R/, ce trece prin centrele celor trei cercuri Euler. Acest ultim cerc se numeşte cercul lui Euler al triunghiului A A A 3. Să se arate că următoarea definiţie este coerentă: Presupunem că am definit cercul Euler de rază R pentru un poligon cu n laturi înscris în cercul S de rază R. Să considerăm acum poligonul cu n + laturi A A A n+ înscris în cercul S. În acest caz, cele n+ cercuri Euler ale poligoanelor cu n laturi A A 3 A n+, A A 3 A n+,, A A A n se intersectează într-un singur punct care constituie centru cercului de rază R/, ce trece prin centrele tuturor celor n + cercuri Euler; acest cer se numeşte cercul Euler al poligonului cu n + laturi A A A n+. R: Fie O centrul cercului S. Demonstrăm prin inducţie după n că pentru un poligon A A A n, punctul O' care satisface relaţia OO ' = OA+ OA OA n este centrul cercului Euler al poligonului A A A n. Pentru n =, afirmaţia este adevărată. Presupunem că afirmaţia este 89

26 Vectori liberi adevărată pentru orice poligon cu n laturi şi o vom demonstra pentru un poligon cu n + laturi. Fie A A A n+ un poligon cu n + laturi, O' punctul cu proprietatea că OO ' = OA + OA OA n+ şi O ',,O n+ ' centrele cercurilor Euler ale poligoanelor A A 3 A n+, A A 3 A n+,, A A A n. Avem OO ' = OO ' = OA + OA OA n+ OA + OA OA n+, = OO '- = OO '- OA, OA, Deoarece OO n+ ' = O i 'O' = OO ' OA+ OA OA - n = OO '- OA n+ OAi OO i ' =, i =,, n+ rezultă că O i 'O'. = OAi = R pentru toţi i =,, n+. Deci O' aparţine cercurilor de R centre O i ' şi rază, i =,, n+, adică cercurilor Euler ale poligoanelor A A 3 A n+, A A 3 A n+,, A A A n. De asemenea, cercul cu R centrul în O' şi rază trece prin centrele celor n + cercuri Euler şi de aici rezultă şi unicitatea punctului O'.. Se consideră în spaţiu punctele A(, -, ), B(,, -), C(3,, ), D(8/3,, ), E(4,-, ) faţă de reperul cartezian ortogonal Oxyz. 90

27 Algebră liniară Să se verifice dacă punctele A, B, C, D şi respectiv A, B, C, E sunt coplanare şi, în caz afirmativ, să se stabilească dacă acestea sunt vârfurile unor patrulatere convexe. R: Considerăm baza canonică *) i, j, k în V 3 astfel încât coordonatele carteziene şi cele euclidiene ale unui punct din E 3 să coincidă. Avem AB = OB - OA şi BC= i + 0 j + 3 k, AB, BC şi CD (respectiv AB = i + j - k. Procedând asemănător obţinem CD = -/3 i + 0 j - k, AB, BC şi CE = i - j -. Vectorii CE ) sunt coplanari dacă şi numai dacă punctele A, B, C, D (respectiv A, B, C, E) sunt coplanare. Deoarece < AB, BCxCD > = conform Teoremei.6., că vectorii AB, /3 BC şi = 0, deducem, CD sunt coplanari, deci punctele A, B, C, D sunt în acelaşi plan. Calculând produsul mixt al vectorilor AB, BC, CE obţinem < AB, BCx CE > = Aplicând Teorema.6., rezultă că A, B, C, E nu sunt coplanare. = 8 Astfel, pentru a răspunde la cea de a doua întrebare, este suficient să stabilim dacă ABCD este patrulater convex. Fie M(x, y, z) punctul de intersecţie al dreptelor AC şi BD. Avem M AC AC x AM = 0 în timp ce M BD BD x BM = 0. Ştiind că AC = i + j + k şi BD = * Vom spune că i, j, k este baza canonică din V3 corespunzătoare reperului cartezian ortogonal Oxyz. 9

28 /3 i + k iar Vectori liberi AM =(x - ) i + (y + ) j + (z - ) k, ) j + (z + ) k, atunci, aplicăm Teorema.5. şi deducem că M AC x y + z x = = şi M BD = / 3 BM =(x - ) i + (y - z +, y =. Soluţia sistemului format din cele două ecuaţii de mai sus reprezintă coordonatele punctului M. Rezolvând sistemul obţinem x = 3, y = şi z =. Deci M are coordonatele (3,, ) şi M coincide cu C. Rezultă că ABCD nu este un patrulater convex.. Să se calculeze ariile a şi a ale triunghiurilor ABC şi ABE unde A, B, C, E sunt punctele din E 3 considerate în exerciţiul precedent. R: Fie A aria paralelogramului care este determinat de reprezentanţi ai vectorilor ABşi BC cu aceeaşi origine. Ţinând cont de interpretarea geometrică a produsului vectorial a doi vectori deducem că A = AB x BC = i j 0 k = 65. Atunci aria triunghiului ABC este a = 3 65 A =. Procedând în acelaşi fel se obţine aria a = Fie A(0, -5, 0) şi B(,-, 3) puncte din E 3 faţă de reperul cartezian ortogonal Oxyz. Se cere: a) Să se determine un vector v paralel cu planul determinat de i şi j astfel încât v = AB şi v AB. b) Să se determine un versor u perpendicular şi pe v şi pe AB. 9

29 Algebră liniară R. Fie i, j, k baza canonică în V 3 definită ca în exerciţiul. Avem AB = i + 3 j + 3 k. Fie v = x i + y j. Condiţia de egalitate a normelor se mai scrie x + y = 9 iar condiţia de ortogonalitate este echivalentă cu < v, AB >= 0, adică x + 3 y = 0. Din cele două condiţii rezultă v = ±(- 9 9 vx AB 3 i + j). b) u = ± 0 0 vx AB = ±( 3 36 i j - 0 k ) Se consideră vectorii a = i + 3 j - 3 k şi b = - i - 3 j + k. Să se determine: a) unghiul dintre cei doi vectori; b) proiecţia vectorului a pe direcţia lui b ; c) înălţimea paralelogramului construit pe suporturile vectorilor a şi b, corespunzătoare bazei b. R: a) Deoarece cos (a, b ) = a,b a b, obţinem cos (a, b ) = a,b c) pr b a = b b = 8 ax (- i - 3 j + k ). c) h = 7 bb = Se dau punctele A(, -, 3), B(, -, 8) în reperul cartezian ortogonal Oxyz. a) Să se determine mulţimea punctelor C din planul xoy care au proprietatea că triunghiul ABC este isoscel, AB = AC şi < AB, AC > =

30 Vectori liberi b) Să se calculeze aria triunghiului obţinut la punctul precedent. c) Se dă punctul D(, -3, 4). Să se verifice dacă ABCD este un tetraedru şi în caz afirmativ să se calculeze aria acestui tetraedru. R: Fie i, j, k baza canonică din V 3 corespunzătoare reperului cartezian Oxyz. a) Fie C(x, y, 0) E 3. Deoarece AB = i + j + 5 k şi AC = (x - ) i + (y + ) j - 3 k obţinem, conform Observaţiei.4., AB = 7, AC = ( x ) + ( y + ) + 9. Cele două condiţii de mai sus devin (x - ) + (y + ) = 8, x + y = 5. Sistemul format din ultimele două ecuaţii are soluţia unică x = 4, y =. Deci punctul C căutat are coordonatele (4,, 0). b) A ABC = AB x AC = 8. d) Condiţia necesară şi suficientă ca ABCD să fie un tetraedru este ca vectorii AB, AC şi AD să fie necoplanari. Deoarece < AB, AC x AD > = -3 0, deducem că vectorii de mai sus sunt necoplanari şi ABCD este un tetraedru. V ABCD = Să se determine volumul paralelipipedului construit pe vectorii u = 3a - b + c, v = b + c, w = 3 b - c, unde vectorii a, b, c V 3 au proprietatea că a =, b = 4, c = 3, (a, b x c ) = π/4, ( b, c ) = π/6. R: V = u,vxw = a,cxb = a cxb = Să se calculeze a x c, a x( b x c ) şi < b,a x c > pentru fiecare din cazurile de mai jos: 94

31 Algebră liniară a) a = i + j + k, b = j + k, c = i ; b) a = i + j + k, b = - j + k, c = 3 j + k ; c) a = i - j + k, b = i - j - k, c = i - 3 j; d) a = 4 i - j + k, b = 5 i + j - k, c =3 i - j + k ; e) a = i + j - k, b = i + j + k, c = i - j - k. Indicaţie: Se aplică proprietăţile ) (T..6.) şi 5 ( T..5.,T..4.) ale produselor (mixt, vectorial şi scalar) vectorilor liberi. 8. Să se determine unghiul ϕ [0, π/] format de vectorii a şi b ştiind că vectorul a + b este perpendicular pe vectorul a - b iar vectorul a + 3 b este perpendicular pe 4a - b. R: Avem < a + b, a - b > = 0 şi <a + 3 b, 4a - b > = 0 sau echivalent a - b + 3<a, b > = 0 şi respectiv 4 a - 6 b + 0<a, b > = 0. Notând a = x 0, b = y 0, <a, b > = z şi ţinând cont de relaţiile de mai sus obţinem un sistem compatibil cu soluţia unică z = α, y = α, x = α. Deoarece (cos ϕ) z =, avem ϕ = 0. xy a,a a,b a,c. Dacă a, b, c V 3 atunci numărul G(a, b, c ) = b,a b,b b,c c,a c,b c,c se numeşte determinantul Gram al vectorilor a, b şi c. Să se demonstreze că vectorii a, b, c sunt coplanari dacă şi numai dacă determinantul lor Gram este nul. Indicaţie : Se demonstrează că <a, b x c > = G. 95

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM 1 CUPRINS 1. Desen tehnic......3. Mecanică...0 3. Rezistenţa Materialelor...3

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY

INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY Titlul original: INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY Traducerea si adaptarea : Claudiu COLIBABA Toate drepturile pentru materialele publicate in aceasta lucrare apartin F.A.S.E.P

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V)

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V) SINTEZE DE BACALAUREAT ELECTRICITATE www.manualdefizica.ro NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE UNITATEA DE MĂSURĂ 1. Lungimea (l) metrul (m). Masa (m) kilogramul (kg) ELECTRICITATEA. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

x ax by c y a x b y c

x ax by c y a x b y c Γεωμετρία Affine - Εφαρμογές Δόρτσιος Κων/νος, Μαθηματικός mail:kdortsi@sch.gr Τσίντσιφας Γεώργιος, Μαθηματικός mail :gtsintsifas@yahoo.com Εισαγωγή Η Γραμμική Γεωμετρία περιέχει τρία είδη Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

METROLOGIE CONTINUT CURS

METROLOGIE CONTINUT CURS A. MASURAREA MĂRIMILOR ELECTRICE METROLOGIE CONTINUT CURS I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ALE MĂSURĂRII 1.1 Introducere 1. Mărimi fizice 1.3. Măsurarea 1.4. Sistemul legal de unităţi de măsură 1.5. Mijloace electrice

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC Noţiuni de bază Galaţi - 2007 PREFAŢĂ În această lucrare sunt prezentate noţiunile de bază necesare însuşirii desenului tehnic industrial utilizat în construcţia de maşini.

Διαβάστε περισσότερα