Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa"

Transcript

1 Latvijas Univesitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datozinātņu nodaļa Eksāmena biļešu atbildes Fizikā (Teoētiskā mehānika, elektomagnētisms, optika) NEPABEIGTS Rīga,. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

2 Satus Mehānika Mehānikas zinātnes piekšmets, tās galvenie teoētiskie modeļi. Klasiskās mehānikas pielietošanas obežas. Teoētiskās mehānikas sastāvdaļas Koodinātu sistēmas. Otogonālās līklīniju koodinātu sistēmas Punkta kinemātika. Tajektoija, ātums un paātinājums Ātuma un paātinājuma pojekcijas uz dabiskā tieda asīm. Sektoiālais ātums Mateiāla punkta dinamika. Pimais un otais dinamikas pamatuzdevums Impulsa, kinētiskās un potenciālās eneģijas jēdzieni Bīvu mateiālu punktu sistēma. Iekšējie un āējie spēki. Sistēmas impulss, tā saglabāšanās likums Sistēmas pilnā mehāniskā eneģija, tās saglabāšanās likums Kinētiskais moments, tā saglabāšanās likums Mateiāla punkta kustība centālo spēku laukā. Divu ķemeņu poblēma. Reducētā masa. Divu ķemeņu poblēmas edukcija uz vienas daļiņas poblēmu Bīvās svāstības..... Bīvās svāstības a bezi..... Uzspiestās svāstības.... Eektība un magnētisms Skalāie lauki un vektolauki. Tempeatūas, spiediena un ātuma lauki Vektolauka plūsma un cikulācija Vektolauka difeenciālās un integālās sakaības: gadients, diveģence un otos; Gausa un Stoksa teoēmas Kulona likums. Elektisko lielumu mēvienību izvēle. Supepozīcijas pincips. Gausa teoēma Elektiskais potenciāls. Lādiņu sistēmas elektiskā eneģija Elektostatiskā lauka vienādojumi. Elektiskā lauka apēķinu piemēi Elektiskie lādiņi un elektiskais lauks Elektiskās mijējiedabības un elektisko lādiņu atklāšana Vielas elektiskā stuktūa. Elementālādiņš Elektiskā lādiņa nezūdamības likums Kulona likums. Elektiskā konstante Eelektiskais lauks Punktveida lādiņa elektiskā lauka instensitāte Elektiskā lauka instensitātes līnijas. Lauka gafiskais attēlojums Dielektiķi. Elektiskais lauks dielektiķī Elektisko lauku piemei Elektiskā lauka dabs un potenciāls Homogēna elektiskā lauka dabs Lādiņa potenciālā eneģija elektiskajā laukā Elektiskā lauka potenciāls. Spiegums Elektonvolts.... Elektomagnētiskā lauka potenciāli un to īpašības Magnētiskā lauka cikulācija. Stacionās magnētiskais lauks. Bio-Savāa likums Lādiņu nezūdamības likums. Nepātauktības vienādojums Elektisko un magnētisko spēku attiecība. Elektodinamiskā konstante Elektomagnētiskie viļņi, viļņu vienādojumi. Plaknes elektomagnētiskais vilnis Elektomagnētiskais lauks vielā. Vielas elektiskā un magnētiskā polaizācija Maksvela vienādojumi vielā. Mateiālās sakaības. Dielektiskā un magnētiskā caulaidība... 3 Optika Stau optikas pamatjēdzieni. Femā pincips. Stau optikas svaīgākās sakaības Optiskās sistēmas abeācijas. Vienkāša ahomātiska objektīva izveide Gaismas staojuma eneģētiskās(adiometiskās) un fotometiskās vienības Kāsu teoijas pamati: kāsu iedalījums, pamatkāsās, kāsu saskaitīšanas veidi Kāsu gafiks. Kāsu attēla iegūšanas fotogāfiskās un elektoniskās metodes Siltumstaojums. Siltumstaojuma likumi Gaismas elektomagnētiskā teoija. Svāstību vienādojums, tā isinājums Viendimensionāla kustības vienādojuma integēšana, ja spēks i laika, koodinātes vai ātuma funkcija Stau optikas pamatjēdzieni. Femā pincips. Stau optikas svaīgākās sakaības Difakcija. Heigensa Feneļa pincips. Difakcijas paādību klasifikācija Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

3 3. Difakcijas teoijas Faunhofea tuvinājums. Lēca kā Fujē attēla ealizētāja. Attēla veidošanas difakcijas teoija Feneļa zonu teoija. Feneļa zonu plāksnīte Acs uzbūve un dabības pincips (akomondācija, adaptācija, izšķitspēja, kāsu edze, telpiskā edze, Vēbea- Fehnea likums) Lupa, lupas palielinājums un izmantošanas vaianti Mikoskops. Mikoskopa palielinājums un izšķitspēja Tālskatis. Tālskata dabības pincips, izšķitspēja, gaismas spēja. Binoklis Elektooptiskie un magnetooptiskie efekti Gaismas polaizācija un izkliede. Polaizācijas un izkliedes mēīšana Hologammu iegūšana un attēlu estauēšana. Hologammu iedalījums un izmantošana Gaismas kvantu daba. Fotoefekts. Fotoefekta likumi. Komptona izkliede Luminescence. Luminescences veidi un izmantošana Atomu un molekulu eneģijas līmeņi Ūdeņaža spektāllīnijas Lāzeu dabības pincipi, lāzeu tipi un izmantošanas iespējas Optiskās paādības dabā - nav... 6 Izstādātāji... 6 Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 3/3-3 DatZB Team

4 Mehānika. Mehānikas zinātnes piekšmets, tās galvenie teoētiskie modeļi. Klasiskās mehānikas pielietošanas obežas. Teoētiskās mehānikas sastāvdaļas. Mehānika i zinātne pa vielas kustību. Klasiskā mehānika apaksta makoskopisku vielu kustību (t.i., vielu, kuas sastāv daudz molekulām). Klasiskā mehānika spēj tuvināti apakstīt atsevišķu molekulu, atomu un elementādaļiņu kustību tikai pie īpašiem kustības nosacījumiem. Klasiskā mehānika sastāv no sekojošām pamatdaļām: a) mateiāla punkta mehānika b) mateiālo punktu sistēmas (bīvo un saistīto mateiālo punktu sistēmas) c) absolūti ciets ķemenis d) absolūti elastīgs ķemenis e) ideāls šķidums f) eāls šķidums Pēdējie tīs modeļi apaksta modeli kā nepātauktu vikni. Bīvo mateiālu p-tu sistēma i tāda, ka jebkuš p-ts va pieņemt jebkuas īpašības. Saistīta mateiālu p-tu sistēma savukāt i a ieobežojumiem. Modeļiem mainoties, mainās aī apaāts, kuš to apaksta. a) - c) modeļus apaksta paastie difeenciālvienādojumi, pāējos modeļus apaksta paciālie difeenciālvienādojumi. Klasiskās mehānikas ieobežojumi i lielie izmēi un mazi ātumi (v << c). tāpēc tos neaplūko. Teoētiskās mehānikas sastāvdaļas i statika, kinemātika un dinamika. Statika i mācība pa cietķemeņu līdzsvai. Gāzu līdzsvau hidostatiku. Cietķemeņu statikā isina sekojošus uzdevumus: a) noskaido nosacījumus, a kuiem ķemenis, ja tam pielikti vaiāki spēki, dotajā atskaites sistēmā atodas miea stāvoklī. b) apēķina, kā jāmaina ķemeņu pieliktie spēki, lai tos noteiktā vizienā izvizītu no līdzsvaa stāvokļa. Mehānikas daļa, kua noskaido kustības vispāīgās likumsakaības, neinteesējoties pa tās cēloņiem i kinemātika. Kinemātikā lieto jēdzienus ķemenis, mateiāls p-ts, kustība, atskaites sistēma, pāvietojums, ceļš, ātums un paātinājums. Dinamika savukāt pēta ķemeņu mijiedabības likumus.. Koodinātu sistēmas. Otogonālās līklīniju koodinātu sistēmas Ētības labad vektos A tiks apzīmēts kā A un atvasinājums pēc t A kā A. Telpas punktu un mateiālo skaitļu (koodinātu) tijnieku salīdzināšana tiek veikta atsevišķi Dekata un līklīniju koodinātu sistēmās. No līklīniju sistēmām izdala divas sistēmas cilindisko un sfēisko. Dekata koodinātu sistēma (ks) va būt labā un keisā. Z V x = x Z V y = y V z = z e y X e x O e z Y Vienu neva iegūt no otas a jebkādiem elementāiem pāveidojumiem. Tas i spoguļattēls. Labajā sistēmā pa pozitīvo vizienu tika pieņemts pet pulksteņādītāja viziens, keisajā sistēmā pulksteņādītāja viziens. Mēs lietosim labo ks. Pa koodinātu plaknēm (kp) sauc plaknes, kuas i pependikulāas O x, O y, O z asīm un veido tīs savstapēji pependikulāas plakņu saimes. A apzīmēsim tādu ādiusa vektou, kuš nosaka p-ta atašanās vietu telpā. A x, y, z apzīmēsim tā komponentes (t.i., p-ta koodinātes Dekata ks). Ievieš vienības vektous e x, e y, e z, kui atodas uz asīm O x, O y, O z, tad vektou va uzakstīt kā =xe x +ye y +ze z (.) i paalēlskaldņa diagonāle, kuam šķautnes i x,y un z. =x +y +z.p-ta elementāo kustību d va uzakstīt kā elementāo pāveidojumu dx,dy un dz ga asīm: d=e x dx+e y dy+e z dz(.) Elementāās līknes ds gaums i vienāds tās hodas gaumam: ds =(d,d)=dx +dy +dz (.3) Ātums izsakās a: v =(d /dt)=(dx/dt)e x +(dy/dt)e y +(dz/dt)e z jeb v =v x e x +v y e y +v z e z Paātinājums i: w =w x e x +w y e y +w z e z Y Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 4/4-3 DatZB Team X

5 Cilindiskā koodinātu sistēma P-ta atašanās vietu telpā va akstuot a tīs vētībām, j, z, ku - i p-ta attālums no Z ass: =(OP) j - i leņķis no ass Ox līdz (OP) petēji pulksteņādītāja vizienam un z - i attālums no p-ta līdz plaknei Oxy Z e z e x V= Vj=j Vz=z z O e ρ Y X ϕ ρ P-ta cilindiskās koodinātes mainās obežas <; j p; -<z<+ Dekata un cilindisko koodinātu sistēmas sasaista vinādojumu sistēma: x = ρ cosϕ ρ = x + y y = ρ sinϕ y z = z ϕ = acsin ρ Koodinātu plaknes(vismas) i =c cilindu saume a apļa šķēlumu un adiusu, kā aī ass. Oz j=c pusplakņu saime, kuas iziet no ass Oz, kuās atodas adiusvektos un Oz ass. Z=c3 plaknes, kuas i pependikulāas Oz. Pa koodinātu līniju sauc līniju, pa kuu kustojas divas dažādas saimes. Elementāa pāveidošana i: d=de +dje j +dze z Elementās loks: ds =d + dj +dz Ātums i: v =(dp/dt)e +(dj/dt)e j +(dz/dt)e z Paātinājums i : w =(dv /dt) Sfēiskā koodinātu sistēma Punkta atašanās vietu telpā va apakstīt aī a sfēiskām koodinātēm,v,j, ku - attālums no koodinātu sākumpunkta V un j - divi leņķi, kui nosaka vizienu Z P V= Vj=sinVj V V =V O V Y ϕ Sfēiskās koodinātes mainās obežās: V p, j p, < Dekata unsfēiskās koodinātu sistēmas saista vienādojumu sistēmas: = x + y + z z V = accos y ϕ = acsin x + y koodinātu vismas i =c koncentisko sfēu saime a centu koodinātu sākumpunktā. V=c apļšķēluma a ass pēc Oz ass konusu saime. j=c3 pusplaknes, kuas iziet no Oz ass. Koodinātvismu šķēlumi dod tīs koodinātu līniju saimes. x = sinv cosϕ y = sinv sinϕ z = cosv X Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 5/5-3 DatZB Team P

6 Elementāā pāvietošana i: d=de +dve V +sinvdje j Radiusvektos i: =e Līkne i: ds =d + dv + sin Vde Patvaļīga otogonālā koodinātu sistēma Pieņemsim, ka i koodinātes q,q un q3. No tām va konstuēt vienības vektous (q,q,q3). Kā atast qi un e qi? Va veidot paciālatvasinājumus. (d /dqi) i pieskaes vektos koodinātlīnijas qi vizienā lim ( q + q, q, q3) ( q, q, q3) = t.i. vektos q(pieskaes) q koodinātu līnijas => q q q q e q = q = H i i - Lamē koeficents. qi q Ātums i ; d v = dt q i = q + q + q3 = H q + H q + H q = H q i qi q q eq eq eq 3 3 v 3 i 3 5. Punkta kinemātika. Tajektoija, ātums un paātinājums Tajektoija. Līniju, pa kuu telpā kustas mateiāls punkts, sauc pa kustības tajektoiju. Ātums. Mateiāla punkta stāvokļa maiņas staujuma akstuošanai lieto fizikālu lielumu ātumu, jeb, pecīzāk, lineāo ātumu. I lineāais un momentānais ātums. Vidējais vektoiālais ātums. Pa mateāla punkta vidējo vektoiālo ātumu < v > sauc pāvietojuma pet laiku t, kuā šis pāvietojums i veikts: attiecību v v < >= / t Ātuma SI vienība i m/s. Momentānais ātums. Ātumu v, kas piemīt mateiālam punktam dotajā laika momentā, esp., dotajā tajektoijas punktā, sauc pa momentāno ātumu: v v = / t lim t Paātinājums. Ātuma izmaiņas staujuma akstuošanai lieto fizikālu lielumu paātinājumu, jeb, pecīzāk, leneāo paātinājumu. Lieto vidējo un momentāno paātinājumu. Vidējais paātinājums. Pa mateiāla punkta vidējo paātinājumu laika spīdī t sauc ātuma izmaiņas v attiecību pet laika spīdi t, kuā tā adusies: < a >= v / t Paātinājuma SI vienība i m/s. Momentānais paātinājums. Paātinājumu a, kas piemīt mateiālam punktam dotajā laika momentā, esp., dotajā tajektoijas punktā, sauc pa momentāno paātinājumu: a = v / t lim t 6. Ātuma un paātinājuma pojekcijas otogonālā koodinātu sistēmā. Momentānā ātuma pojekcijas. Mateiālam punktam kustoties, mainās tā koodinātas. Tā kā = xi + yj + zk, ku i, j un k i vienības vektoi koodinātu asu X, Y un Z asu vizienos, tad saskaņā a sakaību v d = / dt dx dy dz v = i + j + k dt dt dt Lielumi v x =dx/dt; v y =dy/dt un v z =dz/dt i ātuma v pojekcijas uz koodinātu asīm un akstuo atbilstošās koodinātas maiņas staujumu. Ātuma pojekcijas va noteikt, izmantojot šīs sakaības, ja i zināmi vinādojumi x=x(t); y=y(t); z=z(t) Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 6/6-3 DatZB Team

7 Va atisināt aī petēju uzdevumu. Zinot ātuma pojekciju atkaību no laika, poti, v x =v x (t); v y =v y (t); v z =v z (t), un sākuma nosacījumus, t.i., punkta koodinātas x, y, z kādā laika momentā t, pimēam, t =, va iegūt (integējot) kustības kinemātikas pamatvienādojumus: t x = x + v x dt ; y = y + v y dt ; z = z + v z dt Momentānā paātinājuma pojekcijas. Tā kā v = v i + v j + v k tad saskaņā a sakaību a dv = / dt iegūst x y z dv dv dv x y z a = i + j + k dt dt dt ku ātuma pojekciju atvasinājumi pēc laika ax = dvx / dt; ay = dvy / dt un az = dvz / dt i paātinājuma a pojekcijas uz koodinātu asīm, un tie akstuo atbilstošo ātuma pojekcijas maiņas staujumu. Tātad, lai vaētu uzādīt paātinājuma pojekcijas a x, a y, a z ikvinā laika momentā t, jāzina ātuma pojekciju atkaība no laika: v x =v x (t); v y =v y (t); v z =v z (t). Difeencēt va gan analītiski, gan aī gafiski. Va atisināt aī petēju uzdevumu. Ja zināmas paātinājuma pojekcijas a x =a x (t); a y =a y (t); a z =a z (t) un sākuma nosacījumi t.i., ātuma pojekcijas v x, v y, v z kādā laika momentā t, piemēam, t =, tad integējot va noteikt ātuma pojekcijas: v x t = vx + axdt ; vy = vy + aydt ; vz = vz + azdt t t t t 7. Ātuma un paātinājuma pojekcijas uz dabiskā tieda asīm. Sektoiālais ātums. Ētības labad vektos A tiks apzīmēts kā A un atvasinājums pēc t A kā A. Ievietosim paātinājuma definīcijā punkta ātuma izteiksmi v=wk, ku k i vienības vektos, kuš i vizīts ga pieskai pie līknes uz loka gauma pieauguma pusi: w=v k+v(dk/dt) Vienības vektou k uzskatīsim pa loka tajektoijas s gauma funkciju. Tad dk/dt=dk/ds*ds/dt=vdk/ds Ievietojot dabūjam w=w k +v (dk /ds) Atisinot vienādību (k,k)=, atadīsim(k,(dk /ds))=, t.i. vektos dk /ds i d k dk pependikulās vektoam k. A j apzīmēsim vienības vektou vektoa dk /ds vizienā, tad = ϕ Vizienu j ds ds sauc pa galvenās nomāles vizienu pie līknes dotajā p-tā, kuai atbilst loka gaums s: V=(s) A vektoiem k un j vaam ieviest nākošo vektou, kuš i pependikulās šim - b : b =[k,v ) Tā kā b i pependikulās k, tas atodas plaknē, kua i nomāla līknei. Vizienu b sauc pa binomāli. Tīs savstapēji pependikulāi vienības vektoi k,v un b, kui vizīti ga pieskai, galveno nomāli un binomāli veido katā līknes punktā tiedu. Vektoa dk /ds moduļa vienība i aī, tad ievedīsim vienību R: R = Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 7/7-3 DatZB Team dk ds, tad dk /ds=v/r=d /ds Ievietosim iegūtās vētības paātinājuma fomulā: w=v k +(v /R)V Tas aī ie paātinājuma vektoa sadalīšana pa tieda asīm. Paātinājuma komponentēm t.i. W k =v ; W V =v /R; W b = d v = x + y + z w = x + y + z dt Ievedīsim sektoiālo ātumu a fomulu s =/[,v ] s modulis i vienāds s=/ v sin(,v ), t.i. vienāds a paalelogama laukuma pusi, kuš i uzbūvēts uz vektoiem un v. Ievietojot s definīciju ātuma definīcijā iegūsim [, d] d s sektoiālo ātumu: σ = =, ku ds =/[,d ]. Sektoiālā ātuma komponentes ga Dekata asīm i dt dt s=/[xe x +ye y +ze z,x e x +y e y +z e z ]= =/{e x (yz -zy )+e y (zx -xz )+e z (xy -yx )} Cilindiskām asīm i s=/[e +ze z,v e +v j e j +v z e z ]= =/{e (-zv j )+e j (zv -v z )+e z (v j )

8 (Pa??????otiem??????? Nevaēju okakstā sapast): ex ey ez σ = [, v] = x y z v v v x y z 8. Mateiāla punkta dinamika. Pimais un otais dinamikas pamatuzdevums. Ētības labad vektos A tiks apzīmēts kā A un atvasinājums pēc t A kā A. Lai aplūkotu mateiāla punkta dinamiku, i nepieciešams ieviest divus pamatjēdzienus spēks un massa. Spēks i vektos F, kua modulis F =F akstuo mijiedabības lielumu, bet vēsums mijiedabības vizienu telpā. Spēka vektoam i pielikšanas punkts, kas noāda, uz kuu ķemeni un tā punktu spēks dabojas. Tā kā spēks i ķemeņa ātuma maiņas cēlonis, tad spēku va izmēīt, nosakot paātinājumu w, kuu tas piešķi ķemenim. Masa i ķemeņa svaa attiecība P pet bīvās kišanas paātinājumu. Dinamikas pamatā i Ņūtona likumi:. Kats ķemenis cenšas palikt miea vai vienmēīgas taisnviziena kustības stāvoklī, tik ilgi, kamē tam pieliktie spēki nepiespiež šo stāvokli izmainīt.. Paātinājums i popocionāls pieliktajam spēkam, apgiezti popocionāls ķemeņa masai un vēsts spēka dabības vizienā. F=mw 3. Divu ķemeņu mijiedabības spēki vienmē i vienādi pēc moduļa, bet petēji vēsti. Otais likums i dinamikas pamatlikums. To sauc pa kustības pamatlikumu vai mateiāla punkta kustības difeenciālvienādojumu. dv m x = F m = Fk x dt v Dekata ks vienādojumi i m y = Fy Dabīgā ks(dabiskais tieds) m = Fv R m z = Fz = F β m d v v Patvaļīgā sistēmā: [ ( ) ] = Fqi; i =,, 3, ku H i i Lamē koeficents. Šie vienādojumi ļauj H i dt qi qi isināt divus dažādus dinamikas uzdevumus: - Pēc punkta kustības noteikt ezultējošo spēku, kas dabojas uz punktu(tiešais uzdevums) - Atast punkta koodinātes kā laika funkciju pēc ezultējoša spēka(apgieztais uzdevums). Impulsa, kinētiskās un potenciālās eneģijas jēdzieni. Pa spēka impulsu sauc spēka un tā iedabības laika eizinājumu. Konstanta spēka F impulss galīgā laika intevālā Dt=t -t i F Dt. Ja spēks laikā mainās, tad spēka impulss galīgā laika intevālā i elementāo spēku impulsu Fdt summa: ņfdt. Pēdējo va izteikt vienkāšāk a vidējā spēka F un laika t -t =Dt eizinājumu: Fdt = F t. SI sistēmā spēka impulsa mēvienība i N s. Fizikāli spēka impulss izsaka iedabes daudzumu uz ķemeni, kua like ķemeniem mainīt tanslācijas (vizes) kustības stāvokli. Ķemeņa kinētiskā eneģija i padaītais dabs (kāda cita patēētā eneģija), ķemeni paātinot (bez bezes) no miea stāvokļa līdz stāvoklim a ātumu v. Tā kā F S =mdv/dt, ds/dt=v un elementāais dabs: da= F S dv=m(dv/dt)ds=mdv v, tad ķemeņa kinētiskā eneģija (paātināšanas dabs) E k =A=intg(, v, da)=intg(, v, mvdv)=mv /. Kinētiskā eneģija vienmē i pozitīvs lielums. Vaiāku ķemeņu kinētiskā eneģija i vienāda a atsevišķo ķemeņu kinētisko eneģiju summu. Potenciālā eneģija i ķemeņu stāvokļa eneģija, un tā atkaīga tikai no ķemeņu savstapējā novietojuma (stāvokļa koodinātēm). Kaut gan bieži unājam pa viena ķemeņa potenciālo eneģiju, tomē patiesībā p.e. i divu vai Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 8/8-3 DatZB Team

9 vaiāku ķemeņu savstapējā eneģija. Pa ķemeņu potenciālās eneģija maiņas DE P mēu pieņem dabu, kas jāpadaa, lai ķemeņus pāvietotu no viena stāvokļa otā, un kas ņemts a petējo zīmi: DE P =-A. Ķemeņa potenciālās eneģijas absolūto lielumu E P kādā stāvoklī definē a negatīvu dabu (-A ), kas jāpadaa, lai ķemeni pāvietotu no vietas, ku potenciālo eneģiju pieņem pa nulli (piem., jūas līmeņa, bezgalības), līdz dotajai vietai. P.e. SI sistēmā mēa džoulos.. Bīvu mateiālu punktu sistēma. Iekšējie un āējie spēki. Sistēmas impulss, tā saglabāšanās likums. Pieņemsim, ka dota n ķemeņu (n mateiālu punktu) sistēma, kuā uz kaut kādu, piem., i-to ķemeni dabojas āējs spēks F i un iekšēji spēki F i,, F in. Kustības vienādojumi šai sistēmai i šādi (-3): D(m v )dt=f + +F n +F, D(m n v n )dt=f n + +F nn +F n. Tā kā iekšējie spēki F ij un F ji no j-tā uz i-to un no i-tā uz j-to ķemeni pēc Ņūtona tešā likuma izpilda nosacījumu F - ij=-f ji, tad visu iekšējo spēku summa i vienāda a nulli un visu spēku summa i vienāda a āējo spēku summu. Tāpēc, pānesot izteiksmēs (-3) dt uz vienādojum labajām pusēm un vienādojumus summējot, dabūjam, ka: n d( m v ) = i i i= i= n F dt. i Vaiāku ķemeņu tanslācijas kustībā kustības daudzumu elementāo maiņu summa i vienāda a kopējo āējo elementāo spēku impulsu. Galīga laika intevālā no t līdz t šī teoēma (ja m i =const) i šāda: n m v = i i i= i= t n t F dt. i Ja uz ķemeņu sistēmu āēji spēki nedabojas vai to summa i, tad sistēmas kopējais kustības daudzums i konstants lielums. Šis i kustības daudzuma nezūdamības likums.. Sistēmas pilnā mehāniskā eneģija, tās saglabāšanās likums. Pa sistēmas pilno mehānisko eneģiju sauc sistēmas kinētiskās un potenciālās eneģijas summu. Ja uz mateiālu punktu līklīnijas kustībā vai uz ķemeni tanslācijas(vizes) kustībā dabojas tikai konsevatīvie spēki, tad tā pilnā eneģija nemainās. Ķemeņu mijiedabības spēku, kua iedabībā eksistē aī potenciālā eneģija sauc pa konsevatīvu spēku. Ķemeņa pilnās mehāniskās eneģijas maiņa tanslācijas kustībā i vienāda a nekonsevatīvo spēku dabu. 3. Kinētiskais moments, tā saglabāšanās likums. Kinētiskā eneģija saglabājas potenciālo āējo spēku laukos: m n i= dvi mi dt n υu vi = vi ; i= υ i Impulsa momenta saglabāšanās u = n i= ( i) υu i υ i = ϕ n i= n i= M = υu [ i, ] υ i dvi mi dt n i= = du dt i dv dt υu =, i=,,3,,n; υ d du ; = mivi =. dt dt i [ i, p i ]. Impulsa moments saglabājas noslēgtā sistēmā i = [ ϕ, i ]. Ja telpa i izotopa u = : m ( i) υ vi υu i υ i = x i υ i ϕ y z y i Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 9/9-3 DatZB Team

10 i n d pi υ u ( ) d dp ( i) n i d υu i, = i, ; [ i, pi ] = [ i, pi ] + dt i,. Summējot [ i, pi ] = i, : υi i= dt dt dt υi i= d M = tikai noslēgtām sisēmām a iekšējo spēku. dt, 4. Masas centa kustības vienādojums. Keniga teoēma. Ieved mateiālu punktu v' i ātumus attiecībā pet sistēmas ineces centu: v' i =v i -v c () n n m n Tad impulss: p = mi vi = mi vi ' + vc' mi = p' + v' M, ku M i kopējā masa. m v i i ' i mateiālas punktu i= i= i= sistēmas impulss p'. Lai atastu vajadzīgo koodināti c, kad impulss= ( p' = ), c sistēma p = v M - masas centa sistēma, kuu va atast: i= d p dt dv M dt T = = k, ku k - spēka vektos n c a) = k'; k = F i ' ( i= n n n n mi ( vi, vi ) = miv' i + i= i= i= mii R - sistēmas adiusvektos no koodinātu sākumpunkta līdz smaguma centam. M. Ja pāveido kinētisko eneģiju a () vdj., iegūst mi ( vi, vc ) + mv c i=. Ņemot vēā, ka m v i ' i =, n T = mvc + T ', = T m v ' i ' i. i= Keninga teoēma: Kinētiskā eneģija sadalās divās daļās: ) /mv c - kinētiskās eneģijas mateiāla punkts, kua masa i vienāda a kopīgo masu m, kua vizās a ineces centa ātumu un ) kinētioskās eneģijas T'. n i= c 5. Mateiāla punkta kustība centālo spēku laukā. Divu ķemeņu poblēma. Reducētā masa. Divu ķemeņu poblēmas edukcija uz vienas daļiņas poblēmu. Ja āējā laukā punkta potenciālā eneģija i atkaīga tikai no attāluma līdz noteiktam nekustīgam punktam, tad tādu υ u( ) du lauku sauc pa centālo spēku lauku. Spēks F = =, kuš dabojas uz punktu, pēc absolūtās vētības i υ d atkaīgs no un i vizīts katā punktā ga adiusvektou. Centālo spēku laukā saglabājas impulsa moments attiecībā pet lauka centu Viena punkta moments i M = p. Tā kā vektoi M un i savstapēji pependikulāi, M nemainība nozīmē, ka punktam kustoties, tā adiusvektos visu laiku atadīsies vienā plaknē.tas nozīmē, ka punkta kustības tajektoija centālo spēku laukā atodas vienā plaknē. Ja i dota sistēma, kua sastāv tikai no diviem ķemeņiem, tad i divu ķemeņu poblēma. Vienkāšota poblēma: Potenciālā eneģija divu ķemeņu mijiedabības m m laikā i atkaīga tikai no attāluma stap tiem. Laganža fja tādai sistēmai i: L = + U ( ) ( ). Pieņem, ka = () - savstapējā attāluma vektos. Ievieto to koodinātu sākumā ineces centā: m m + m = (3). No tā seko: = m + m ; m m m = (4). + m mm Ievietojot šīs izteiksmes (), iegūst L = U ( ) ( 5), ku m = sauc pa educēto masu. m + m Funkcija (5) fomulai sakīt a fju vienam mateiālam punktam, kuš kustas āējā laukā U(). Šādai sistēmai a ķemeņiem pilno eneģiju va pieakstīt kā: E = m (, ) + m (, ) + U ( ), ku m + m =. mm mm E = (, ) + + U ( ). ( m + m ) ( m + m ) E = m(, ) + U ( ). Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

11 7. Bīvās svāstības. Pieņemsim, ka ķemenis i izvizīts no līdzsvaa stāvokļa vai aī tam piešķits sākuma ātums (a gūdienu). Ja pēc ķemeņa izvizīšanas no līdzsvaa stāvokļa uz to nedabojas nekādi spēki, izņemot atgiezējspēku, kas popocionāls novizes lielumam un vēsts uz līdzsvaa stāvokli, tad ķemenis sāk bīvi svāstīties. Tas izdaa svāstības, kuas i peiodiskas, un, ja nav bezes, tad tās nebeidzas un maksimālās novizes no līdzsvaa stāvokļa i skaitliski vienādas, jo sākumā piešķitā eneģija paliek nemainīga. Bet, kad ķemņa ātums kļūst vienāds a (maksimālā novize), šī enģija i vienāda a defomētās atspees (sk. zīm.) potenciālo eneģiju E p = kx / = const. Ķemeņa masa i m, atspees elastības koeficients k, atspees defomācijas lielums i x. f(el)=-kx pakļaujas Huka likumam. F(el) i vienīgais spēks, kas paātina ķemeni m, tāpēc mω=-kx (pēc otā Ņūtona likuma), ku ω i d x d x ķemeņa paātinājums. ω = k/m un ω =, tad no iep. v-bas iegūst v-mu + ω x = ß bīvo dt dt svāstību (bez bezes) difeenciālv-ms pet ķemeņa koodināti x kā laika f-ju, kua diviem pimiem atvasinājumiem i jābūt līdzīgiem at. i fomā x λt = e, ku λ, ± ω = ± iω =, no kuienes x C e iωt = un -iωt x = Ce, un x = x + x. Pāveidojot ezultātu a Eilea fomulām iznāk, ka x = C(cosωt + isinωt) + C (cosω t isinωt) = (C + C )cosωt + i(c C )sinω (C + C ) = asinϕ un (C C ) = acosϕ t, ku. Tad pāveidojot iep. v-mu a sinusu lenku summas fomulu, iegūst galīgo x = asin(ωt + ϕ). () Tā kā sin(ω t + ϕ) absolūtā vētība <=, tad max iespējamā nobīde no līdzsvaa stāvokļa i a svāstību amplitūda. ω t + ϕ nosaka ķemeņa novizes x lielumu no līdzsvaa stāvokļa laika momentā t tp sauc pa π svāstību fāzi φ. Lielumu ω = k/m sauc pa svāstību ciklisko fekvenci. Laika intevālu T =, kuā ω ķemenis veic pilnu svāstību ciklu, atgiežoties sākuma stāvoklī, sauc pa svāstību peiodu. Svāstību fekvence ν = T. Laikā gaitā peiodiski mainīga lieluma fekvenci, ja izmaiņas peiods =sec, sauc pa Hz. Ja svāstības pakļaujas likumam x = asin(ωt + ϕ), tad ātums laika momentā t i = aω cos(ω t + ), bet paātinājums i ω = aω sin(ω t + ϕ ) = - x. ω v ϕ. Bīvās svāstības a bezi. Tā kā ķemenis atodas kādā vidē, tad tam piešķitā sākuma eneģija tiek nepātaukti novizīta bezes pāvaēšanai, kas kavē kustību, līdz svāstības imst. Difeenciālv-ma iegūšana. k-atspees elastības koef., m-ķemeņa masa, x-attālums no līdzsvaa stāvokļa, v- ātums,vides bezes spēks φ= -bv. Tad saskaņā a.ņūtona likumu, mω= -kx-bv, jeb, dalot a m, d x b dx k b k d x dx = x. Tā kā = α, = ω, tad dif.v-ms i + α + ωx =. dt m dt m m m dt dt () λt λt λt λt Tā atisinājums i fomā x = e. () ievieto x = e, dx/dt = λe un d x/dt = λ e un iegūst λ e λt tātad, ja λ λt λt λt + ααλ + ω e = e (λ + αα + ω ) =. Šī identitāte i spēkā tikai tad, ja λ + αα + ω =,, α ± α ω αt+ =. Tādējādi patikulāie atisinājumi i α ω t αt α ω t x, αt± α ω t = e ; un x = Ce + C e. Ja petestības spēks φ i pietiekami liels, bet elastības spēks f pāāk mazs, tad α ω = β < α i eāls skaitlis, αt+ βt αt βt un tad vispāīgasi atisinājums i x = Ce + C e, ku pakāpes i negatīvas. Tas nozīmē, ka palielinoties laikam t, kustībā esošā ķemeņa koodināte x samazinās un asimptotiski tuvojas nullei. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

12 Ja petestības spēks φ i ļoti mazs un elastības spēks f pietiekami liels, tad vispāīgais atisinājums i αt x = ae sin(ωi + ϕ) - bīvo svāstību likums () Izteiksme () satu eizinātāju sin(ωt+φ), kas i agumenta ωt+φ peiodiska f-ja a peiodu π. Tas nozīmē, ka aī x maina savu zīmi. k b Cikliskā fekvence i ω = ω α =, ku α i monotoni atkaīgs no petestības koeficenta b. m 4m Bīvo svāstību peiods i T=π/ω. Taču, dabojoties bezes spēkiem, bīvās svāstības nav stingi peiodiskas kustības, jo imšanas dēļ ķemeņa novizes no līdzsvaa stāvokļa laika momentos t un t+t i dažādas: x(t+t) < x(t). Šīs svāstības uzskata pa aptuveni peiodiskām (cau līdzsvaa stāvokli iziet venā vizienā). Svāstību amplitūda, dabojoties bezes spēkiem, samazinās pēc eksponenciāliem likumiem, nevis paliek nemainīga. Jo sākuma eneģija nepātaukti tiek izkliedēta pāvaot bezi. Šādas svāstību sistēmas sauc pa disipatīvām. Lielumu α=b/m, kas nosaka bīvo svāstību imšanas ātumu, sauc pa imšanas koeficentu. Taču lieto aī citu x(t) lielumu, ko sauc pa imšanas logaitmisko dekementu ln = αt = χ. x(t + T) (3) Tādējādi, svāstību imš.log. dekements i divu pēc kātas sekojošu novižu attiecības laika itevālā T. No (3) iziet, ka petestības koeficients b=mα=mχ/t. (4) αt Ekspeimentāli nosakot T, χ, m, pēc (4) va atast b, līdz a to aī bezes spēku. Ja tādu nav, tad α= un e. Tātad svāstību amplitūda nemainās un i vienāda a a - svāstības i neimstošas. T.n., ka neimstošas svāstības i bīvo svāstību speciālgadījums. kad nav bezes spēku. Tādas svāstības sauc pa konsevatīvām svāstībām.. Uzspiestās svāstības. Ķemenis izdaa uzspiestās svāstības, kad uz to bez elastības spēka un bezes spēka dabojas vēl viens āējais spēks, kuš i laika peiodiska funkcija un kuu sauc pa uzspiedējspēku. Kā piemēu va minēt mašīnu pamata svāstības, ko izaisa vizuļu kustība, telefona membānas svāstības saunas laikā. Āējais uzspiedējspēks piešķi pietiekamu eneģiju neimstošu svāstību uztuēšanai. Difeenciālv-ma iegūšana: elastības spēks f=-kx (x - ķemeņa novize no līdzsvaa stāvokļa); petestības spēks ϕ = bv (v ķ. ātums v=dx/dt); uzspiedējspēks F = d sin t (peiodiska laika f-ja a T = π ω ). Pēc Ņūtona lik. ω d x d x b k d mω = m = kx bv + d sin wt, ko dala a m: + v + x = sinωt. () dt dt m m m d x dx Aizvieto v=dx/dt, k/m= ω, b/m=α, d m = d, tad: + α + ω x = d sinωt. dt dt Atisinājumus meklē fomā x = asin( ω t + ϕ), () kas i sinusoidāla laika f-ja a uzspiedējspēka peiodu, kas nobīdīta pa φ. V-mā () ievietojot x pimās un otās kātas atvasinājumus pēc laika dx dt = aω cos( ωt + ϕ) un d x dt = aω sin( ωt + ϕ), i spēkā identitāte aω sin( ωt + ϕ) + αaω cos( ωt + ϕ) + aω sin( ωt + ϕ) = d sinωt. Izsaka sinusus un kosinusus a leņķu summas fomulām un iegūst aω (sinωt cosϕ + cosωt sinϕ) + αaω (sinωt cosϕ cosωt sinϕ) + + aω (sinωt cosϕ + cosωt sinϕ) d sinωt = Savelk līdzīgos locekļus: sinωt( a( ω ω )cosϕ αaω sinϕ d) + cosωt( a( ω ω )sinϕ αaω cosϕ) = Tā kā laiks t neva būt, tad a ( ω ω )cosϕ αaω sinϕ = d un a( ω ω )sinϕ αaω cosϕ =; šos v-mus izmanto, lai iegūtu a un φ. (3) Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

13 sinϕ αω No (3) otā v-ma iegūst: = tg ϕ =, no kuas va iegūt svāstību sākuma fāzi φ. Kāpina abas (3) cosϕ ω ω v-bas kvadātā un saskaita: a ( ω ω ) + 4a α ω = d, no kuienes izsaka uzspiesto amplitūdu a, kas i α ω ϕ αt patikulāais atisinājums. Tādēļ vispāīgais atisinājums i x = Ae sin( t + a sin( t + )), ku pimais saskaitāmais i homogēnā v-ma d x dt + α ( dx dt) + ω x = atisinājums, kas i ļoti mazs. Tāpēc laika intevāle koodināte i x = a sin( ω t + ϕ). Īsumā: stacionāās uzpiestās svāstības i sinusoidālas a nemainīgu amplitūdu un fekvenci, kas vienāda a uzspiedējspēka fekvenci, kaut aī vispāējā gadījumā uzspiesto svāstību fāze atšķiās no uzspiedējspēka fāzes. Uzspiesto svāstību amplitūda i i popocionāla uzspiedējspēka amplitūdai d. Ja palielinās bezes spēks, tad uzspiesto svāstību amplitūda samazinās. ω Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 3/3-3 DatZB Team

14 Eektība un magnētisms 3. Skalāie lauki un vektolauki. Tempeatūas, spiediena un ātuma lauki. Apskatot matemātiski dažādas dabas paādības, paasti sastopamies a skalāiem vai vektoiāliem lielumiem. Elektotehnikā kā piemēus skalāiem lielumiem va minēt elektisko lādiņu blīvumu, elektiskā vai magnētiskā lauka potenciālu, magnētisko plūsmu; kā piemēus vektoiāliem lielumiem elektiskā un magnētiskā lauka intensitāti, magnētisko indukciju, stāvas blīvumu. Skalāie lauki DEF. Ja kāda telpas apgabala (V) katam punktam M katā laika momentā t pēc noteikta likuma i piekātota kāda skalāa lieluma u vētība, tad saka, ka apgabalā i definēts skalās lauks. Saskaņā a vaiākagumentu fjas definīciju, skalāu lauku nosaka punkta M un laika t fja u=u(m,t). Lieto aī pieakstu u(ā >,t), ku ā > i punkta M ādiusvektos. DEF. Ja visos apgabala punktos skalāā lieluma u vētības nemainās laikā, tad skalāo lauku sauc pa stacionāu. Stacionāu skalāu lauku apaksta no laika t neatkaīga fja u=u(m). Piezīme. Skalāu lauku veido lielumi, kuus va izteikt kā punkta fju, piemēam, blīvums, tempeatūa, vielas koncentācija. Plaknes apgabala skalāa lauka gafiskai attēlošanai lieto fjas u=u(m(x,y)) līmeņlīnijas, 3D telpas apgabala gadījumā fjas u=u(m(x,y,z)) līmeņvismas. DEF. Pa plaknes apgabala skalāa lauka līmeņlīniju sauc visu to punktu kopu xy plaknē, kuos fja u=u(m(x,y)) i konstanta vētība C. Piemēam, tempeatūas lauka gafiskai ilustēšanai lieto izotemas līnijas, kuu visos punktos tempeatūai i konstanta vētība.(līmeņvismas - analoģiski). Vektolauki Vektoiālus lielumus neva viennozīmīgi noteikt tikai a skaitlisko vētību, to akstuošanai nepieciešams noādīt dabības vizienu, vēsumu un skaitlisko vētību(moduli). DEF. Ja kāda telpas apgabala (V) katam punktam M katā laika momentā t pēc noteikta likuma i piekātots noteikts vektoiāls lielums, tad saka, ka apgabalā i definēts vektou lauks. Punktam M laika momentā t piekātoto vektou apzīmēsim a ā(m,t). Ja izvēlamies noteiktu koodinātu sistēmu, vektou ā va akstuot a tā pojekcijām uz koodinātu asīm. Pojekcijas apzīmēsim a {P(M,t);Q(M,t);R(M,t)}. Tādējādi vektou lauku va noteikt a 3 noteiktā secībā dotām skalāām funkcijām {P;Q;R}, ko sauc pa vektofunkciju. DEF. Ja visiem apgabala punktiem piekātotie vektoi nemainās laikā, tad vektou lauku sauc pa stacionāu. Stacionāu vektou lauku apaksta no laika t neatkaīga vektofja ā(m)={p(m);q(m);r(m)}. DEF. Ja visiem apgabala punktiem piekātotie vektoi i vienādi, tad vektou lauku sauc pa homogēnu. Homogēna lauka vektoa ā pojekcijas {P;Q;R} i konstanti lielumi. Piemēam, homogēns i elektiskais lauks stap uzlādēta plakana kondensatoa platēm, ja pieņem, ka plates i bezgalīgas. Vektolauku gafiski attēlo vektolauka līnijas. DEF. Līniju, kuas katā punktā piekātotais vektos atodas uz šajā punktā novilktās pieskaes, sauc pa vektou līniju. Vektou līniju piemēi i elektiskā vai magnētiskā lauka spēka līnijas. Tempeatūas, spiediena un ātuma lauki Tempeatūas lauks i skalās lauks. 4. Vektolauka plūsma un cikulācija. Pieņemsim, ka telpas apgabalā a vektofju ā={p;q;r} i definēts vektou lauks. Aplūkosim šajā apgabalā vismu (s), kuas nomāles vektos n a koodinātu asīm veido leņķus l, m un n. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 4/4-3 DatZB Team

15 DEF. Pa vektou lauka ā={p;q;r} plūsmu cau vismas apgabalu (s) sauc vismas integāli Φ = Φ = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy jeb Φ = (Pcos α + Qcos µ + ( σ ) ( σ ) ( σ ) Vekto u lauka plūsm as integāli va izteikt aī šādi:, ku n nomāles vienības vektos. Vektou lauka plūsmas integālis izsaka vektou līniju daudzumu cau vismas apgabalu (s), ja cau katu pietiekoši mazu vismas daļu i vilktas a n Ds vektou līnijas. Līdz a to integāli va lietot, lai akstuotu, cik intensīvs attiecīgajā apgabala daļā i vektou lauks DEF. Pa vektou lauka ā=(a x,a y,a z ) cikulāciju pa slēgtu, gabaliem gludu līniju l sauc šādu integāli: a xdx + aydy + azdz l ( a, n) dσ Rcos ν )d σ Cikulācija akstuo dabu, ko veic vektou lauks, pāvietojot vienības masu (lādiņu) pa līniju l. 5. Vektolauka difeenciālās un integālās sakaības: gadients, diveģence un otos; Gausa un Stoksa teoēmas. Ostogacka - Gausa teoēma TEOR. S ( a, n) ds = V div a dv Izvēstā veidā Dekata koodinātās: Lai pieādītu teoēmu, i jāpieāda ka: R I R : = dxdydz = Rdxdy dz I : = P V V P dxdydz = dx S S Pdydz P Q R Pdydz ) dxdydz z ( + Qdxdz + Rdxdy) = ( + + x y S, ku n āējā vienības nomāle. Vādos to va izteikt šādi: Vektou lauka plūsma cau slēgtu vismu (t.i., stapība stap cau vismu ieplūstošo un izplūstošo vektou līniju daudzumu) i vienāda a vismas ieobežotā apgabala punktu integālo diveģenci, kas akstuo visu apgabala lauka avotu un noplūdumu kopējo intensitāti. Pieādījums. Q I Q : = dxdydz = Rdxdz dy V S Vispims pieāda tā saucamajiem elementāajiem apgabaliem. Apgabalu V sauc pa elementāu, ja tas i elementās pet visām koodinātu asīm. Stoksa teoēma V Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 5/5-3 DatZB Team

16 Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 6/6-3 DatZB Team = S l dl a ds n a ot ), ( ), ( τ + + = + + l S Rdz Qdy Pdx ds n dy P dx Q n dx R dz P n dz Q dy R 3 z M R y M Q x M P M a div + + = ) ( ) ( ) ( ) ( k z M u j y M u i x M u M u gad + + = ) ( ) ( ) ( ) ( = z u y u x u u gad,, + + = z u y u x u u gad = y P x Q x R z P z Q y R a ot,, TEOR. Pieņem, ka S i ieobežota, gabaliem gluda visma, kua viennozīmīgi pojicējama uz jebkuu no 3 koodinātu asīm. A=(P,Q,R) i nepātaukti difeencējams vektou lauks kādā vismas S apkātnē no R 3, n vienības nomāles vektos (pozitīvi oientēts), t - kontūa l(s obeža) pieskaes vienības vektos, tad Dekata koodinātās izvēstā veidā: Stoksa teoēma saista vektolauka a cikulāciju pa slēgtu kontūu l a šī vektolauka otoa ot a plūsmu cau vismu S, kuas obežlīnija i kontūs l. Vektou lauka diveģence DEF. Pa vektou lauka ā={p;q;r} diveģenci punktā M (x,y,z ) sauc skalāu lielumu, ko apzīmē a div ā(m ) un apēķina a izteiksmi: Vektou lauka diveģence akstuo lauka avota vai noplūdes intensitāti aplūkojamā apgabala punktā. Gadients DEF. Pa skalāa lauka funkcijas u=u(x;y;z) gadientu punktā M (x,y,z ) sauc vektou jeb saīsināti : a)gadients i vektos, kas katā apgabala punktā noāda vizienu, kādā funkcijas atvasinājums (t.i., skalāā lieluma izmaiņas ātums) i vislielākais. b)gadienta modulis: i gadienta viziena funkcijas atvasinājuma vētība t.i., vislielākais skalāā lieluma izmaiņas ātums. c) gadienta vizienā skalāā lieluma vētības palielinās visstaujāk, bet petējā vizienā samazinās visstaujāk. Rotos DEF. Pa vektou lauka ā={p;q;r} otou punktā M (x,y,z ) sauc vektou jeb, saīsināti k y M P x M Q j x M R z M P i z M Q y M R M a ot + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

17 Katam apgabala punktam M i piekātots vektou lauka vektos a={p;q;r}. Pēc vektoa a koodinātām va atast koodinātas un piekātot šim punktam citu vektou lauka a otou: R Q P R Q P ot a =,, y z z x x y Ja punktu M ietveoša bezgalīgi maza kontūa (K) plakni pagiež pependikulāi otoam, tad cikulācijas integālim ads (k ) I maksimāla vētība, t.i., vektou lauks kontūā veic maksimālo dabu Kulona likums. Elektisko lielumu mēvienību izvēle. Supepozīcijas pincips. Gausa teoēma. 7. Elektiskais potenciāls. Lādiņu sistēmas elektiskā eneģija. 8. Elektostatiskā lauka vienādojumi. Elektiskā lauka apēķinu piemēi... Elektiskie lādiņi un elektiskais lauks... Elektiskās mijējiedabības un elektisko lādiņu atklāšana Ķemeņu elektizācijas paādības atklātas tālā senatnē. Stāsta, ka jau pims gadsimtiem gieķu filozofs Taless novēojis sabezēta dzintaa spēju pievilkt vieglus piekšmetus. Sistemātiski «elektības spēku» novēojumi aizsākti enesanses laikā, bet pimās kvalitatīvās elektisko paādību likumsakaības konstatētas tikai 8. gadsimtā. Nozīmīgi bija ameikāņu fiziķa Bendžamina Fanklina pētījumi. B. Fanklins atklāja divu veidu elektību (elektiskos lādiņus). Noskaidojās, ka, bezējot divus ķemeņus, tie uzlādējas a petēju zīmju lādiņiem. Izteicieniem «pozitīvs elektiskais lādiņš» un «negatīvs elektiskais lādiņš» i elatīva nozīme, tie i nounāti. Tā, piemēam, stikls uzlādējas pozitīvi, bet sveķi negatīvi. Ja ķemeņiem i vienādzīmju elektiskie lādiņi, ķemeņi atgūžas, bet, ja petēju zīmju lādiņi, tad ķemeņi pievelkas. Jau 8. gadsimtā noskaidojās, ka «elektību» neva patvaļīgi adīt vai iznicināt. Katā elektoneitālā ķemenī vienādā daudzumā i petēju zīmju lādiņi. Ja ķemenis, to bezējot, kasējot vai tam pieskaoties, iegūst vienas zīmes elektisko lādiņu, tad kāds cits ķemenis zaudē tikpat lielu petējas zīmes lādiņu. Elektisko lādiņu nezūdamību ekspeimentāli pieādīja Maikls Faadejs (Anglija) 9. gs. 3. gados. Tad an kļuva skaids, ka elektiskais lādiņš i vielas daļiņu neatņemama īpašība. Tomē elektisko lādiņu un elektisko spēku loma vielas uzbūvē galīgi noskaidojās tikai 9. gs. beigās, pēc tam, kad tika atklāts elektons (elementādaļiņa) negatīva elektiskā lādiņa mazākās pocijas nesējs. Viens no pimajiem elektona pastāvēšanu teoētiski pamatoja Džozefs Džons Tomsons (Anglija).... Vielas elektiskā stuktūa. Elementālādiņš. Vielas i diskētas, tās sastāv no atomiem. Atoms i elektoneitāla daļiņa, kas sastāv no kodola un elektonu apvalka. Kodola lādiņu q uzskata pa pozitīvu (q>), bet elektona lādiņu pa negatīvu (q<). Elektona lādiņa absolūtā vētība (modulis) q e =e i elektiskā lādiņa mazākā pocija. To 9. gadā pecīzā ekspeimentā konstatēja ameikāņu fiziķis Robets Endjūss Milikens. Elektiskā lādiņa SI vienība i kulons (C). SI vienībās elektona lādiņa vētība e~l,6-- 9 C. Tikpat liela pēc absolūtās vētības pozitīva elektiskā lādiņa nesējs i kodoldaļiņa potons q p =e. Viela kopumā i elektoneitāla. Tas nozīmē, ka petēju zīmju lādiņi tajā paasti savstapēji kompensējas. Ķemenis uzlādējas pozitīvi vai negatīvi elektizējoties. Ja elektizācijas pocesā ķemenis iegūst daļiņas pozitīvus vai negatīvus lādiņnesējus, tad odas attiecīgās zīmes elektiskā lādiņa pāpalikums, bet, ja tas lādiņnesējus zaudē, tad odas attiecīgās zīmes lādiņa iztūkums...3. Elektiskā lādiņa nezūdamības likums. No apkātējiem ķemeņiem izolētas sistēmas kopējais elektiskais lādiņš laikā nemainās to neva patvaļīgi adīt vai iznīcināt. Sis apgalvojums i elektiskā lādiņa nezūdamības likums. Ja sistēma sastāv no vaiākiem ķemeņiem, kuu kopējais elektiskais ladiņš q=q i +q s q N, tad no elektiskā lādiņa nezūdamības likuma iziet, ka q = const jeb dq/dt = ķemeņu mijiedabībā to elektiskie lādiņi va pākātoties, bet tikai tā, lai saglabātos Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 7/7-3 DatZB Team

18 sistēmas kopējais lādiņš q. Lādiņa nezūdamības likums i univesāls likums, un dabā nav sastopami izņēmumi no tā. Tas i spēkā visās elementādaļiņu eakcijās, kā aī ķemeņu elektiskās uzlādēšanas un polaizēšanās pocesos...4. Kulona likums. Elektiskā konstante..5. Eelektiskais lauks. ELEKTRISKĀ LAUKA INTENSITĀTE Ap elektiski lādētu ķemeni vai elementādaļiņu pastāv elektiskais lauks. Elektisko lauku katā telpas punktā akstuo elektiskā lauka intensitātes vektos E jeb vienkāši elektiskā lauka intensitāte. Elektiskā lauka intensitāte i Kulona spēks F, kas pielikts vienu kulonu lielam pozitīvam punktveida lādiņam (4... att.). Nosakot F elektiskā lauka intensitāti E a vienības lādiņu q o = C, iegūst, ka E = Elektiskā lauka intensitātes SI vienība i volts uz metu (V/m). Saskaņā a elektiskā lauka intensitātes definīciju [ F] N V N [ E] = = un tātad = [ q ] C m C Elektisko lādiņu lādētu ķemeni, ap kuu pastāv elektiskais lauks, sauc pa elektiskā lauka avotu. Ja elektiskā lauka avoti i nekustīgi lādiņi, tad šādu lauku sauc pa elektostatisku lauku...6. Punktveida lādiņa elektiskā lauka instensitāte q Punktveida lādiņa elektiskā lauka intensitāti E va noteikt, izmantojot Kulona' likumu. Ja lauka avots lādiņš q atodas koodinātu sistēmas sākumpunktā, bet vienības lādiņš q o novietots attālumā no tā, tad ladiņam q o pielikts qq q Kulona spēks F = un E =. Pozitiva lādiņa q + > elektiskā lauka intensitātes vektos E 4πε 4πε katā punktā i vēsts adiālā vizienā pojām no lādiņa, bet negatīva lādiņa q - <Q intensitātes vektos vēsts vizienā uz to (4..3. att). Punktveida lādiņa elektiskā lauka intensitāte samazinās apgiezti popocionāli attāluma kvadātam līdz lādiņam, un elektiskais lauks i sfēiski simetisks...8. Elektiskā lauka instensitātes līnijas. Lauka gafiskais attēlojums. Elektisko lauku telpā ap lādiņiem uzskatāmi va attēlot a elektiskā lauka intensitātes līnijām. Intensitātes līnija i iedomāta līkne, kuas pieskaes vektos katā tās punktā i vēsts elektiskā lauka intensitātes vektoa E vizienā. Pieņem, ka intensitātes līniju biežums līniju skaits, kuas šķēso tām pependikulāas vismas vienības laukumu, i popocionāls intensitātes vektoa modulim. Tad intensitātes liniju sablīvēšanās liecina pa elektiskā lauka intensitātes palielināšanos, bet līniju izetināšanās pa intensitātes samazināšanos. Elektiskais lauks, kas pastāv telpā ap diviem nekustīgiem punktveida lādiņiem, paādīts attēlā, elektiskais lauks telpā stap pozitīvu punktveida lādiņu un negatīvi lādētu plakni attēlā. Intensitātes līnijām paasti noāda aī vizienu - E vizienu, tās vienmē sākas pozitīvajos lādiņos un satek negatīvajos lādiņos. Šāds līniju viziens iziet no tā, ka spēks, kas dabojas uz pozitīvo vienības lādiņu, vienmē vēsts vizienā no lauka avota pozitīvā lādiņa uz lauka avota negatīvo lādiņu att.... Dielektiķi. Elektiskais lauks dielektiķī. Dielektiķi i vielas, kuām salīdzinājumā a vadītājiem i maza Īpatnējā elektovadītspēja. Šī iemesla dēļ dielektiķi vāji vada elektisko stāvu. Dielektiķi nejonizētas gāzes, šķidumi vai cietvielas ievietoti elektostatiskajā laukā, to pavājina. Ja lādēta ķemeņa elektiskā lauka intensitāte vakuumā i Eo, tad dielektiķī tā samazinās e eizes, tātad intensitāte dielektiķī E=E /e. Bezdimensionālais lielums e ³ i vides elatīvā dielektiskā caulaidība. Dažādām vielām elatīvā dielektiskā caulaidība mainās plašās obežās un i Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 8/8-3 DatZB Team

19 atkaīga no tempeatūas, spiediena u. c. vielas stāvokļa paametiem. Vakuumam e =, sausam gaisam C tempeatūā un nomālā spiedienā e =,57 (paasti pieņem, ka aī gaisam e ~l). Speciāli sintezētām kondensatou keamikam e vētība va sasniegt vaiākus tūkstošus. q Ja vakuumā punktveida lādiņa q elektiskā lauka intensitāte E =, tad, lādiņam atodoties kādā vidē, 4πε q q E = ' jeb E =. Lielumu e=e e, ku e elektiska konstante, sauc pa vides absolūto 4πε ε 4πε dielektisko caulaidību. Elektiskā lauka intensitātes samazināšanās dielektiķī i saistīta a vielas polaizēšanos... fabula VIELAS RELATIVĀ DIELEKTRISKĀ CAURLAIDIBA, JA TEMPERATŪRA... 5 'C Viela e Viela e Dzintas,8 Kondensatou keamika Ebonits,7... 3, Polietilēns,3 Elektoizolācijas gumija,5... 5, Tekstolīts 8, E )a (kondensatou,,...,3 Titāna stikls, tansfomatou) Udens 78,3 Getinakss 7,... 8, Gaiss ( C;,57 Gliceīns 4,4 76 mm Hg) Kausēts kvacs 3,7 Hēlijs ( C;,68 76 mm Hg).. ^... Elektisko lauku piemei. Apskatisim dažus elektisko lauku piemēus.. Bezgaligas, pa vismu vienmēīgi uzlādētas plaknes elektiskais lauks. Pieņemsim, ka elektiskais lādiņš q vienmēīgi izvietots uz plaknes. Tad vismas laukuma elementa DS lādiņš Dq=sDS, ku s vismas laukuma vienības lādiņš jeb vismas lādiņa blīvums. No simetijas apsvēumiem iegūst, ka elektiskā lauka intensitāte visos uzlādētajai plaknei paalēlu bezgalīgu plakņu punktos i vienāda un vektos E pependikulās šīm plaknēm. Intensitātes vektoa moduļa apēķināšanai lieto Gausa teoēmu. Pieņemsim, ka uzlādēto plakni šķēso tai pependikulās taisns cilinds, kua pamata laukums i DS (4..9. att.). Cilinda ieobežotais vismas lādiņš Dq=sDS un elektiskā lauka intensitātes plūsma cau cilinda vismu σ N=EDS. Saskaņā a Gausa teoēmu plūsma E =. ε Uzlādētas bezgalīgas plaknes elektiskā lauka intensitāte nav atkaīga no attāluma līdz plaknei, tā popocionāla vismas lādiņa blīvumam s. Šādu elektisko lauku sauc pa homogēnu lauku. Ja uzlādēta plakne atodas N = q, un, salīdzinot šīs izteiksmes, iegūst, ka ε σ σ dielektiskā vidē, tad = = ε ε ε (s + >), intensitātes E līnijas vēstas pojām no plaknes, ja negatīvs (s - <), vizienā uz plakni. E ku e absolūtā dielektiskā caulaidība. Ja plaknes lādiņš i pozitīvs. Pa vismu vienmēigi uzlādētas sfēas elektiskais lauks. Ja sfēai, kuas ādiuss i, pievadīts lādiņš q, tad uz sfēas Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 9/9-3 DatZB Team

20 q vismas lādiņa blivums σ =. Sfēas āpusē attālumā ³ no tās centa elektiskā lauka intensitāte 4πε q σ E = jeb E =. (Elektiskā lauka intensitātes apēķināšanai tāpat izmanto Gausa teoēmu.) 4πε ε Vienmēīgi uzlādētas sfēas āpusē elektiskais lauks i tāds pats kā sfēas centā novietota punktveida lādiņa lauks. Līdzīgu ezultātu iegūst aī no simetijas apsvēumiem. Jebkuā punktā uzlādētas sfēas iekšienē, kad <o, elektiskā lauka intensitāte E=. Šis secinājums i vispāīgs: jebkuā gadījumā elektoneitālā tilpumā, kuu ietve lādēta visma, elektiskā lauka nav (4... att.). 5o īpašību izmanto elektisko lauku ekanēšanai. 3. Divu vienmēīgi uzlādētu bezgalīgu paalēlu plakņu elektiskais lauks. Vaiāku plakņu adītā lauka intensitātes apēķināšanai izmanto supepozīcijas pincipu. Divām plaknēm E = E + E, ku E un E katas plaknes lauka intensitāte. Ja plaknēm i vienādi pēc absolūtās vētības, bet petēju zīmju lādiņi (vismas lādiņu blīvumi s + =s ), tad telpā stap plaknēm elektiskā lauka intensitāte i diveiz lielāka nekā vienas plaknes laukam, poti, E = E + E jeb + + σ σ σ E = + = ε ε ε Šajā gadījumā āpus plakņu noobežotā tilpuma elektiskā lauka nav, jo E=E E =. Ja tupetī plakņu lādiņu σ zīmes i vienādas, tad i otādi stap plaknēm E=, bet āpusē E = (4... att.)... Elektiskā lauka dabs un potenciāls... Homogēna elektiskā lauka dabs Ja elektiskajā laukā E atodas punktveida lādiņš q, tad uz šo lādiņu dabojas elektiskais spēks F = qe. Lādiņam pāvietojoties pa kādu attālumu s As, spēka F jeb elektiskā lauka elementādabs A = F s = qe s cosα, ku a leņķis stap pāvietojuma vektou un elektiskā lauka intensitātes vektou (4... att.). Tā kā d = s cosα pāvietojuma s pojekcija elektiskā lauka intensitātes vektoa vizienā, tad DA=qEDd. No šīs izteiksmes iziet, ka, lādiņam pāvietojoties elektiskajā laukā no punkta uz punktu, elektiskā lauka dabs i atkaīgs no attāluma d, kuu lādiņš noiet intensitātes līniju vizienā vai tām petējā viziena: A=qEd. Elektiskā lauka daba fomula i analoģiska smaguma spēka daba fomulai A=mgh, ku h augstumu stapība (4... att.). Tāpat kā smaguma spēks aī elektiskais (Kulona) spēks i potenciāls spēks. Tādēļ nekustīgu lādiņu elektiskais lauks i potenciāls lauks. Elektiskā lauka dabs i pozitīvs (A>), ja pozitīvs lādiņš (q>) pāvietojas lauka intensitātes līniju vizienā (pojekcija d>) vai negatīvs lādiņš (q<) petēji tām (pojekcija d<). Pozitīvs dabs šajā gadījumā nozīmē to, ka elektiskais lauks paātina lādiņa kustību. Tā ezultātā palielinās lādiņa kinētiskā eneģija. Lauka dabs i negatīvs (A<), ja pozitīvs lādiņš kustas petēji lauka intensitātes līnijām vai negatīvs lādiņš intensitātes līniju vizienā. Tad elektiskais lauks bemzē lādiņa kustību un lādiņa kinētiskā eneģija samazinās. Lādiņam pāvietojoties pependikulāi intensitātes līnijām, ε Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

21 elektiskā lauka dabs A=. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

22 ... Lādiņa potenciālā eneģija elektiskajā laukā Lādiņam elektiskajā laukā i potenciālā eneģija W. Potenciālās eneģijas izmaiņa, lādiņam pāvietojoties no lauka kāda punkta līdz punktam, i vienāda a elektiskā spēka (saka aī elektiskā lauka) dabu šajā pāvietojumā: A =DW=W -W. Pa lādiņa potenciālas eneģijas nulles līmeni va pieņemt tā potenciālo eneģiju jebkuā elektiskā lauka punktā. Ja elektiskais lauks pastāv galīgā telpā un tātad bezgalībā E =, pa potenciālās eneģijas atskaites sākumpunktu izaugās bezgalīgi tālu punktu, pieņemot W =. Šādā gadījumā, lādiņam pāvietojoties no bezgalības uz lauka punktu P, tiek pastā-dāts dabs A= W -W p un lādiņa potenciālā eneģija punktā P i W p =-A. Ja elektisko lauku ada pozitīvi lādēts ķemenis, tad pozitīvs punktveida lādiņš q, pāvietojoties no bezgalības, kustas petēji lauka intensitātes līnijām. Tāpēc lauka pastādātais dabs A i negatīvs un lādiņš iegūst pozitīvu potenciālo eneģiju W (4..3. att.). Lādiņam q o atodoties attālumā no vienmēīgi lā-dētas sfēas vai qq lodes centa (sfēas vai lodes ādiuss ), tā potenciālā eneģija W =, ku q lauka avota lādiņš. 4πε..3. Elektiskā lauka potenciāls. Spiegums. Elektiskā lauka potenciālu stapiba Dj=j - j stap diviem lauka punktiem un i dabs A, kuu pastādā elektiskais lauks, ja stap šiem punktiem pāvietojas pozitīvs vienības lādiņš. Savukāt dabs A i vienāds a lādiņa W q o potenciālās eneģijas izmaiņu DW un ϕ =. Elektiskā lauka potenciālu stapību sauc aī pa spiegumu q U stap dotajiem lauka punktiem. Piemēam, lādiņš q o pāvietojas stap divām paalēlam vienmēīgi uzlādētām plaknēm, kuas atodas attālumā d viena no otas. Plaknēm i petēju zīmju, bet vienādi pēc absolūtas vētības lādiņi. q σd Elektiskā lauka dabs A =q o Ed jeb A = ε. Tātad spiegums stap plaknēm σd U =. Ja pozitīvu ε vienības lādiņu pāvieto no bezgalības uz lauka punktu P, tad elektiskā lauka dabs A= -W/q = j p. Funkciju (j p sauc pa elektiskā lauka potenciālu punktā P. Saskaņā a šo definīciju punktveida lādiņa vai vienmēīgi uzlādētas sfēas q elektiskā lauka potenciāls attālumā no lādiņa vai sfēas centa āpus tās i ϕ( ) =, ku q lauka avota 4π lādiņš. Zinot elektiskā lauka potenciālu, jebkuam lādiņam q, kuš atodas šajā laukā, potenciālo eneģiju apēķina pēc fomulas W=q o j P. Potenciāla un spieguma SI vienība i volts (V). Spiegums i vienāds a V, ja, pāvietojot C lielu pozitīvu lādiņu, elektiskā lauka dabs i J...4. Elektonvolts Dažkāt elektiskā lauka dabu un lādiņa potenciālo eneģiju (kā aī eneģiju vispā) mēa speciālās vienībās elektonvoltos (ev). Lieto aī šis vienības daudzkātņus: kiloelektonvoltu ( kev= 3 ev), megaelektonvoltu ( MeV= 6 ev) u. c. vienības. Elektonvolts i elementālādiņa q =e potenciālā eneģija, kuu tas iegūst, pāvietojoties stap diviem elektiskā lauka pun-ktiem, stap kuiem pastāv V liela potenciālu stapība spiegums [7= V. Elektonvolts nav SI vieniba, ev=l,6* -9 J un J=6,4* 8 ev. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva / -3 DatZB Team

23 Beidzās 6-8 jautājums. Elektomagnētiskā lauka potenciāli un to īpašības Elektomagnētisko lauku va akstuot a diviem lauka potenciāliem - skalāo potenciālu j un vektopotenciālu A. Pimais no tiem, j, i līdzīgs potenciālam mehānikā: potenciāla spēka F laukam i potenciāls j un F=gad j, bet potenciālā eneģijau=-j. Potenciāls j (vai potenciālā eneģija U) spēka lauku F nosaka viennozīmīgi, bet apgieztais apgalvojums nav paeizs - zinot spēka lauku, potenciālu viennozīmīgi neva atast. Tiešām, potenciāli j un j'=j+const atbilst vienam un tam pašam spēka laukam, jo F'=gad j'=f. Elektomagnētiskā lauka potenciālus j un A lieto galvenokāt lauka apēķinos. Izmantojot potenciālus, nav jāisina Maksvela paciālo difeenciālvienādojumu sistēma, jo lauka atašanu va educēt uz poblēmu, kas bieži isināma vienkāšāk, t.i., uz potenciālu vienādojumu isināšanu, ievēojot atbilstošos obežnosacījumus. Ja potenciāli i zināmi, tad apēķināt E un B i viegli. Elektomagnētiskā lauka potenciālus izvēlas tā, lai tie apmieinātu homogēnos Maksvela vienādojumus: B ot E =, divb = c t Va pāliecinātie, ka šie vienādojumi i apmieināti, ja j un A definē, izmantojot sakaības: A E = -gad, () c t B = ota () Tiešām, ievietojot pimajā Maksvela vienādojumā lielumu E saskaņā a (), atodam, ka A A otgadϕ ot = ot, c t c t ku vienādojuma labajā pusē mainīta vietām atvasināšana pēc koodinātēm un pēc laika. Tā kā vienmē otgad ϕ =, tad esam ieguvuši identitāti. Līdzīgi pāliecināmies, ka pastāv identitāte div B = divota =, jo magnētiskais lauks i solenoidāls un tam vienmē eksistē vektppotenciāls A (). Izteiksmes () un () vektou E un B laukus nosaka viennozīmīgi. Tomē potenciālu j un A izvēle nav viennozīmīga: eksistē bezgalīgi daudz potenciālu j un A', kui definē vienus un tos pašus laukus E un B. Patiešām, izvēlēsimies patvaļīgu, nepātauktu un vismaz diveiz difeencējamu skalāu funkciju f un definēsim jaunus potenciālus f ϕ = ϕ (3) c t un A = A + gadf. (4) Fomulas (3) un (4) i tā sauktās potenciālu gadientās tansfomācijas. Atadīsim laukus E' un B' pēc izteiksmēm () un (), ievietojot tajās potenciālus j' un A' saskaņā a gadiento tansfomāciju fomulām: A f f E = gadϕ + gad gad = E c t c t c t un B = ot A + otgadf = B Esam pāliecinājušies, ka elektiskā lauka intensitāti E un magnētisko indukciju B gadientās tansfomācijas neietekmē, t.i., elektomagnētiskā lauka vektoi i invaianti attiecībā pet potenciālu gadientajām tansfomācijām. Šo elektomagnētiskā lauka īpašību dažkāt sauc pa lauka kalibēto invaianci, un, kā pieāda kvantiskajā lauka teoijā, tā i viennozīmīgi saistīta a to, ka elektomagnētiskā lauka kvantiem (fotoniem) nav miea masas. Jāatzīmē, ka potenciālu gadientās tansfomācijas atspoguļo īpašu elektomagnētiskā lauka iekšējo simetiju. Noskaidosim kāda i potenciālu j un A fizikālā intepetācija. Vektofunkciju E un B fizikālā jēga i viennozīmīgi skaida: tās definē a Kulona un Loenca spēka likumiem. Līdz a to vienmē iespējams noteikt intensitāti E un indukciju B konkētā ekspeimentā. Tupetī jautājums pa lauka potenciālu j un A fizikālo jēgu un to mēīšanas iespējām nebūt nav viennozīmīgi skaids. Va teikt, ka vispāīgajā gadījumā nav tādu ekspeimentu, kas ļautu atast j un A vētības dotajā elektomagnētiskā lauka lauka punktā. Ja elektiskais lauks i stacionās bezvipuļu lauks, kuš apmieina Maksvela vienādojumu ot E =, tad skalāo potenciālu un lauka intensitāti Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 3/3-3 DatZB Team

24 saista sakaība E = gadϕ. Šajā gadījumā lauka punkta potenciāls j i pozitīva vienības lādiņa q potenciālā emneģija, kuu iegūst, ja to no bezgalības pāvieto uz šo punktu. Tāpat kā jebkuu potenciālo eneģiju, aī j va atast tikai a pecizitāti līdz konstantei, t.i., izmēīt va tikai potenciālu stapību stap diviem lauka punktiem ϕ = ϕ ϕ. Vektopotenciāls savukāt i lādētas daļiņas impulsa komponente: ja lādiņš pāvietojas elektomagnētiskajā laukā, tad tā impulss p=mv+(q/c)a. No visa teiktā edzams, ka elektodinamikā potenciālus j un A izmanto kā substitūciju funkcijas, kuas ēti izmantot elektomagnētiskā lauka apēķināšanai 3. Magnētiskā lauka cikulācija. Stacionās magnētiskais lauks. Bio- Savāa likums Magnētiskā lauka cikulācija Stāvas magnētiskā lauka indukciju apēķina izmantojot Bio-Savāa-Laplasa likumu (sk. Bio-Savāa likums). Ja stāva I plūst pa bezgalīgi gau, taisnu un tievu vadu, tad pēc Bio-Savāa likuma stāvas magnētiskais lauks attālumā no vada i B I τ c = () Taisna stāvas vada magnētiskā lauka indukcijas līnijas i vadam pependikulāās plaknēs izvietotas koncentiskas iņķa līnijas, kuu pieskaes vektos i τ: Vektoa B vēsumu atod pēc labās vītnes skūves likuma. Izmantojot Bio-Savāa-Laplasa likumu (), apēķināsim magnētiskās indukcijas B cikulāciju l noslēgtu kontūu l, kas aptve stāvu I tai pependikulāā plaknē: B d pa Tā kā skalāais eizinājums B d = Bd cosα un d = dϕ, tad cikulācija d = 4π I c l B () Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 4/4-3 DatZB Team

25 ku I i stāva, kas cautve integācijas kontūu l. Izteiksme () i stacionāā magnētiskā lauka cikulācijas teoēma; šeit aplūkojām speciālgadījumu, kad stāva plūst pa taisnu vadu. Va pieādīt, ka fomula () i paeiza jebkuai stāvai, ja vien tā cautve integācijas kontūu (saķēdēta a to). Atšķiībā no stacionāā elektiskā lauka intensitātes E līnijām, kuām i avoti - elektiskie lādiņi, magnētiskās indukcijas B līnijas vienmē i noslēgtas. Tas tā i tāpēc, ka dabā nepastāv atdalīti vienas polaitātes ("zīmes") magnētiskie lādiņi - indukcijas līniju avoti. Piemēam pastāvīga magnēta ziemeļpolu neva atdalīt no dienvidpola tā, lai kats no viņiem adītu savu magnētisko lauku. Indukcijas līnijas (āpus magnēta) vienmē izplūst no ziemeļpola un ieplūst dienvidpolā, noslēdzoties magnētā (no dienvidpola uz ziemeļpolu). Teikto va fomulēt aī šādā apgalvojumā - magnētiskās indukcijas plūsma Φ = B d S cau jebkuu patvaļīgu, slēgtu viensakaīgu vismu S vienmē vienāda a nulli: B ds (3) = S S Integālais vienādojums (3) i Gausa teoēmai analoģiska izteiksme magnētiskajam laukam. Tas nozīmē, ka magnētiskās indukcijas līnijas, būdamas noslēgtas, vismas S ieobežotajā tilpumā nesākas un nebeidzas; tās tikai šķēso to. Stacionās magnētiskais lauks Stacionāa magnētiskā lauka avoti i stacionāas tilpuma stāvas j=j() vai stacionāas vismas stāvas i=i(). Stacionāu tilpuma un aī vismas stāvu nepātauktības vienādojumi div j=, div i=, poti, stacionāu stāvu līnijām jābūt noslēgtām. Nosacījumu div j= va iegūt no stāvas nepātauktības vienādojuma, ievēojot, ka tilpuma lādiņa blīvums ρ nav atkaīgs no laika ρ / t =. Tomē jebkua stāva i diskētu lādiņnesēju plūsma, tādēļ vienmē jāpastāv lādiņa blīvuma fluktuācijām, bet stāvas blīvuma funkcija neva būt absolūti stacionāa, t.i., pilnīgi neatkaīga no laika. Tādēļ stacionāo stāvu modeli izmanto tad, ja va neievēot dotajai lādiņnesēju koncentācijai atbilstošās lokālās blīvuma izmaiņas laikā. Citiem vādiem sakot, stacionāā stāva jāsapot vidējās vētības nozīmē, I = jds, kā to daa stacionāā magnētiskā lauka teoijā. S Stacionāā magnētiskā lauka indukcija B=B() apmieina oto un tešo Maksvela vienādojumu: 4π otb = j, c divb =. Kā visus magnētiskos laukus, aī stacionāo lauku akstuo vektopotenciāls A, kuu a indukciju B saista sakaība B = ota Vienādojumu šādam A iegūst no Dalambēa vienādojuma, ievēojot, ka A nav atkaīgs no laika: 4π A = j c Tas i Puasona vienādojums, kuš jāisina, ievēojot nosacījumu div A=. Šo nosacījumu sauc aī pa Kulona nosacījumu. Elektostatiskā lauka un stacionāa magnētiskā lauka i savstapēji nesaistītas vienādojumu sistēmas: 4π ote =, otb = j c dive = 4πρ divb = Tāpēc šos laukus va aplūkot neatkaīgi vienu no ota. Citādi tas i a laukiem, kuu vektoi E un B i atkaīgi no laika - magnētiskais lauks va ietekmēt elektisko lauku, īpaši vadošās vidēs, kuās tuklāt pastāv kustība (kosmosa ķemeņi, elektodzinēji u.t.t.). Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 5/5-3 DatZB Team

26 Bio-Savāa likums No matemātiskā viedokļa stacionāa magnētiskā lauka pētīšana i tāda solenoidāla vektolauka izpēte, kua otos i dots. Ievēosim, ka indukcijas B otos atškias no nulles tikai tajos telpas apgabalos, kuos plūst stāva, piemēam, līdzstāvas vadītājā. Telpā āpus stāvas lauka, t.i., tu, ku j=, aī ot B=. Tātad magnētiskais lauks āpus vadītājiem i potenciāls lauks, šai ziņā līdzīgs, piemēam, elektiskajam laukam elektostatikā. Šeit nepieciešama būtiska piebilde: noslēgtā līnija, ga kuu pētām B, nedīkst aptvet stāvas vadu (vadus) a stāvu (summāo stāvu) I ( ΣI ), jo B cikulācija pa šādu līniju (kontūu) vais nav nulle, kāda tā vienmē i "īstajā" potenciālajā laukā. Lai iegūtu Bio-Savāa likumu neinteesēsimies pa stāvas veidošanās mikomehānismu. Stāva, piemēam, va būt vai nu oientēta lādiņnesēju plūsma vielā, kam pa cēloni i āēji elektoeneģijas avoti, vai aī stāvu va adīt vielas konvekcija, ja tai i nekompensēts elektiskais lādiņš u.t.t. Atadīsim magnētiskā lauka indukciju B(), apēķinot vektopotenciāla otou. Šai nolūkā atceēsimies, ka magnētiskā indukcija B=ot A, ku A i magnētiskā lauka vektopotenciāls, kuu apaksta Puasona integālis (skat. jautājumu pa Magnētiskā lauka vektopotenciālu): j( ) dv A ( ) = + A, (4) c V Atvasinām integāli (4) pēc novēošanas punkta koodinātām. Mainot atvasināšanas un integēšanas secību, akstām, ka j( ) j( ) ot dv = ot dv c - c V V Ievēojot, ka stāvas blīvums j(') nav atkaīgs no ādiusvektoa koodinātām un lietojot fomulu ot (f a ) = f ota + a gad f, iegūstam, ka j( ) j( ) R ot j( = gad ) = 3 R vektos R=-' i vēsts no stāvas lauka punkta ' uz novēošanas punktu. Tātad tilpuma stāvas magnētiskā lauka indukcija j( ) R B() = dv 3 c V R Iegūto fomulu indukcijas B apēķināšanai sauc pa Bio-Savāa likumu stacionāam magnētiskam laukam. Dekata koodinātās tas izskatās šādi: j y ( x, y, z ) Rz jz ( x, y, z ) Ry Bx ( x, y, z) = dx dy dz c 3 R V jz ( x, y, z ) Rx jx ( x, y, z ) Rz By ( x, y, z) = dx dy dz c 3 R ku R = [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ], R x = x x, R y = y y, R z = z z Indukcijas vektoa B modulis j( )sinα B( x, y, z) = dv c, R V V jx ( x, y, z ) Ry j y ( x, y, z ) Rx Bz ( x, y, z) = dx dy dz c 3 R V ku α i leņķis stap stāvas blīvuma vektou j(') un vektou R. 4. Lādiņu nezūdamības likums. Nepātauktības vienādojums. Lādiņu nezūdamības likums. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 6/6-3 DatZB Team

27 Elektiskajam lādiņam q i spēkā nezūdamības likums. Poti, izolētas (slēgtas) ķemeņu vai daļiņu sistēmas summāais elektiskais lādiņš q nemainās laikā: q=const. Lādiņa nezūdamības likums i apstipināts visās elementādaļiņu eakcijās, visām izolētām makoķemeņu sistēmām u.t.t., tāpēc elektiskais lādiņš, tāpat kā, piemēam, miea masa, jāuzskata pa fundamentālu lielumu. Gadījumā, ja sistēma nav izolēta (slēgta), elektiskais lādiņš no tās va aizplūst vai aī tajā ieplūst. Iedomāsimies, ka elektiski lādētu ķemeņu vai daļiņu kopu aptve slēgta visma S, cau kuu va pastāvēt lādiņa q plūsma. Tādā gadījumā lādiņa nezūdamības likumu pieaksta šādi: -dq/dt=i, ku I i stāva (lādiņnesēju plūsma), kas šķēso slēgto vismu S, bet dq/dt - sistēmas summāā lādiņa izmaiņas ātums. Mīnusa zīme vienādojumā -dq/dt=i nozīmē tikai to, ka i pieņemts, ka samazinoties pozitīvajam lādiņam q, lādiņnesēji aizplūst no vismas S ieobežotā tilpuma (ši vienošanās atbilst tam, ka pa stāvas "vizienu" uzskata pozitīvo lādiņnesēju pāvietošanās vizienu). Nepātauktības vienādojums. Stāvas nepātauktības vienādojums iziet no lādiņa nezūdamības likuma -dq/dt=i. Pieņemsim, ka telpas apgabalā V atodas lādiņš q un tā sadalījumu nosaka tilpuma blīvumfunkcija. Apgabala V pilnais lādiņš q = ρ dv. Ja apgabala obežvsmu šķēso lādiņnesēju plūsma un stāvas blīvums uz obežvismas S i j, stāva V cau vismu i iegūstam, ka d dt V I = j ds. Ievietojot pilnā lādiņa q un stāvas I izteiksmes lādiņa nezūdamības likuma vienādojumā, d dt ρ dv = V S V ρ dv = S jds. Vienādojuma keisajā pusē mainīsim integēšanas un atvasināšanas secību: ρ dv. Pāveidosim labās puses integāli, izmantojot Ostogadska-Gausa teoēmu: t j ds = divjdv ; tātad ( ρ / t) dv = divjdv. Tā kā integēšanas apgabals V i patvaļīgs, šī S V V V vienādojuma keisajai un labajai pusei jābūt vienādai: ρ t = divj (5) Vienādojumu (5) sauc pa stāvas nepātauktības vienādojumu. Tā fizikālā intepetācija i šāda. Lādiņnesēju plūsma veido stāvas lauku. Stāvas līnijas pieskaes vektos i stāvas blīvums j. Jakādā punktā div j, tad tajā i stāvas lauka avots, t.i., šajā punktā "sākas" vai "beidzas" stāvas līnijas. Kā edzams no nepātauktības vienādojuma, šajos punktos lādiņa tilpuma blīvums mainās laikā: Tā tas i tāpēc, ka pastāv lādiņa nezūdamības likums un lādiņa blīvuma maiņa nozīmē lādiņnesēju plūsmas "ašanos" vai "izbeigšanos". Ja apgabalā V, kuam lietojam vienādojumu (5), lādiņu tilpuma blīvums ρ i konstants vai aī tas i vienāds a nulli, tad div j = (6) un stāvas līnijām tilpumā V avotu nav: vai nu tie atodas āpus tā, vai aī stāvas līnijas i noslēgtas. Ja apgabals V i visa bezgalīgā telpa, tad no nosacījuma (6) iziet, ka stāvas līnijas tajā i noslēgtas, bet stāvas lauks - solenoidāls. Tādas, piemēam, i vismas stāvas, kas plūst supavadītājos. Stāvas nepātauktības vienādojums (5) i paciāls difeenciālvienādojums; Dekata koodinātās: Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 7/7-3 DatZB Team

28 j x ρ = t x j y + y j z + z 8. Elektisko un magnētisko spēku attiecība. Elektodinamiskā konstante.. Ja i dots bezgala gaš vads, pa kuu plūst stāva, tad odas magnētiskais lauks a I Un šo magnētisko lauku va apēķināt sekojošā veidā: B = I ; tātad magnētiskais lauks i tieši popocionāls stāvas stipumam, un apgiezti popocionāls attālumam c no vada. Magnētiskā lauka plūsma: b I Il b Φ = BdS = BdS = l d = ln c c a S S a. Solenoidam magnētismu apēķina sekojoši: 4π 4π 4π N R B = ni; Φ = nins = ; Φ = LI ku L-induktivitāte; I-stāva. c c cl c Elekto-dinamiskā konstante. Apskatam sekojošu shēmu: l l= d Šajā gadījumā dabojas elektiskais spēks q S F l e = - spēks, a kādu plates pievelkas d 4π Dabojas aī magnētiskais spēkss, un to va apēķināt sekojoši: Il I I l I Fm = B; B = ; Fm = ; bet, tā kā l=, tad F m = c c c c Fe c S Tagad apskatam = ; no šīs vienādības va izteikt konstanti c, i jāzin tikai t, F e un F m. 7.gs. aī Fm d / t 4π šo konstanti apēķināja. Tas i gaismas ātums, kā aī elekto-dinamiskā konstante. 9. Svāstību kontūs. Bīvās un uzspiestās svāstības. Svāstību kontūs: R b - attālums no vada l=b-a I - stāvas plūsma vadā C U C U R L - solenoids Slēdzis a uzlādē kondensatou, un slēdzis b izlādē kondensatou. a b Tagad, ja mēs apskatam La potenciālu, kas iet cau noslēgtu vismu La, tad to va iegūt pēc Maksvela vienādojumu integālās fomas: Φ Ed = BdS = c t c t La S Taču šis pats potenciāls i iegūstams kā summa U c +U ; tātad vaam uzakstīt vienādību: Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 8/8-3 DatZB Team

29 Φ Φ U c + U R =, jeb U c + U R + = c t c t q a) U c = ; q = Idt; U c = Idt C C b) U R = IR c) Φ = LI c Saliekot šo visu kopā, va uzakstīt vienādojumu (nejaukt C-kapacitāti a c-enektodinamisko konstanti): di Idt + IR + L = ; šo vienādību jāatvasina C c dt di d I I + R + L = ; tad paezinam visu a c /L C dt c dt d I c R di c c R c + + I = ; tagad apzīmējam α = ; = dt L dt LC L ω LC un iegūstam svāstību vienādojumu d I di + α + I = dt dt ω, kuam va uzakstīt atisinājumu veidā kt di kt α t t t I = e = ke k = ± I = e α ω α C e + α ω ; ;, C e dt α ω ; Lūk tā. Jaα ω, tad pocess būs vienkāši imstošs, nebūs nekādas svāstības. Bet, ja α < ω, tad noisināsies svāstības. Ja α >, tad būs imstošas svāstības. Ļoti līdzīgi mehāniskajām svāstībām: ja uzspiesto svāstību fekvence i lielāka pa pašsvāstību fekvenci, tad fāzes būs vienādas; ja mazāka- tad petējas.. Elektomagnētiskie viļņi, viļņu vienādojumi. Plaknes elektomagnētiskais vilnis. Sinusoidāla maiņstāva ap vadu ada elektomagnētisku lauku, kua elektiskā intensitāte un magnētiskā indukcija jebkuā telpas punktā aī mainās pēc sinusa likuma. Pie kam elektiskās intensitātes (E) un magnētiskās indukcijas (B) moduļi telpā un laikā peiodiski mainās, bet to vektou vizieni i savstapēji pependikulāi un aī pependikulāi viļņa izplatīšanās vizienam. Tas nozīmē, ka elektomagnētiskie viļņi i šķēsviļņi un tiem piemīt tādas pašas īpašības kā visiem viļņiem. Elektomagnētiskie viļņi lūst, astaojas, apliecas ap šķēšļiem, polaizējas un intefeē. Vācu fiziķis Heinihs Hecs 888.,889. gadā ekspeimentāli apstipināja Maksvela hipotēzi pa elektomagnētisko viļņu pastāvēšanu. To iegūšanai viņš izmantoja ieīci, kas sastāvēja no indukcijas spoles un tai pievienotiem diviem metāla stieņiem. B ote = c t divb = - Viļņu vienādojumi E otb = c t dive = Kopā šīs četas vienādības aī veido viļņu vienādojumus. E otote = otb =, un no otas puses c t c t otote = E + gaddive = E, līdz a to Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 9/9-3 DatZB Team

30 E B E = ; pēc simetijas va iegūt aī B = c t c t Ja E=E(x), un B=B(x) - abi spēki i atkaīgi tikai no x komponentes, tad E E B E E = ; un = ; no kā va secināt, ka = x c t x c t t E x =B x =, no kā va secināt, ka komponentes i pependikulāas laukam. FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes un E x =C t+c, bet tas nav iespējams, tāpēc 4. Elektomagnētiskais lauks vielā. Vielas elektiskā un magnētiskā polaizācija. Vielai i noteiktas elektomagnētiskās īpašības - elektovadītspēja, dielektiskās vai magnētiskās īpašības u.tml. Šīs īpašības savukāt nosaka lādiņnesēju mikostuktūa vielā, lādiņnesēju mijiedabība vienam a otu, kā aī a āējo elektomagnētisko lauku, un citi faktoi. Tādēļ vielas elektodinamikā svaīga nozīme i pieņemtajiem vielas uzbūves modeļiem, empīiskajiem novētējumiem, ekspeimentam atbilstošu tuvinājumu izaudzīšanai un citiem apsvēumiem, kui dažkāt i tīi paktiski. Elektodinamiskajā laukā vielas makoskopiskie paameti, piemēam, tempeatūa un spiediens, kā aī temodinamiskās stāvokļa funkcijas - iekšējā eneģija, entopija utt. va mainīties. Jebkuu lādiņu sistēmu vienmē va aizstāt a tai ekvivalentiem integālajiem lielumiem - elektiskajiem un magnētiskajiem multipolmonentiem. Neitālām lādiņu sistēmām, kāda kopumā i aī viela, pimām kātām tie i elektiskais dipolmoments p un magnētiskais dipolmoments M. Vielai šos momentus apēķina vienai tilpuma vienībai vai aī vienam molam. Ja viena atoma vai molekulas saistīto lādiņu veidotais elektiskais dipolmoments i P i un tilpuma vienībā i n atomi vai molekulas, tad P=åP i, i=.. n i vielas polaizācijas vektos jeb, īsāk sakot, polaizācija. Pa vielu, kuai P¹, teiksim, ka tā i polaizēta. Ja vielas viena atoma vai molekulas magnētiskais moments (dipolmoments) i M i un tilpuma vienībā i n atomi vai molekulas, tad tilpuma vienības magnētiskais moments M=åM i, i=.. n i vielas magnetizācijas vektos jeb magnetizācija. Pa vielu, kuai M¹, sacīsim, ka tā i magnetizēta. 5. Maksvela vienādojumi vielā. Mateiālās sakaības. Dielektiskā un magnētiskā caulaidība. Pieņemsim, ka mikolādiņu sadalījums akstuo lādiņu tilpuma blīvuma funkciju M = M (,t), bet mikostāvu sadalījumu - stāvas tilpuma blīvuma funkcija j M =j M (,t). Saskaņā a Loenca elektonu teoiju lauka avoti M un j M vielā ada mikolauku. Tā elektisko intensitāti apzīmēsim a e, bet magnētisko indukciju a b. Lauki e un b apmieina jau zināmo Maksvela vienādojumu sistēmu šiem laukiem, tātad ę ot e=-/c * b/ t, ę ot b=4p/c *j M + /c* e/ t, č div b= č div e=4p M Šo sistēmu sauc pa Maksvela-Loenca vienādojumiem. Definēsim elektomagnētiskā lauka elektisko intensitāti un magnētisko indukciju vielā kā mikolauku e un b vidējās vētības pa vielas fizikāli bezgalīgi mazo tilpumu: E=e, B=b. Vakumā E un B i pecīzi lauki, tupetī vielā - vidējie. Lai iegūtu vienādojumu, ko apmieina vidējie lauki E un B, jāvidējo Maksvela-Loenca vienādojums pa vielas fizikāli bezgalīgi mazo tilpumu. Šajā nolūkā jāapēķina vienādojumu keiso un labo pušu vidējās vētības: ę ot e=-/c * b/ t, ę ot b=4p/c *j M + /c* e/ t, č div b= č div e=4p M Izmantosim sakaība vidējām vētībām: ot e=ot e, ot b=ot b, div e=div e, div b=div b. Ievietojot vienādojumā lauka avotu funkciju vidējās vētības, iegūstam vienādojumus vidējiem laukiem E un B: ę ot E=-/c * B/ t, ę ot B=4p/c *j + 4p ot M + 4p/c* P/ t + /c* E/ t, č div B= č div E=4p - 4p div P. Makoskopiskajā elektodinamikā mateiālie vienādojumi i empīiskas sakaības. Gadijumā, ja vidējie lauki E un B vielā i daudzkāt vājāki pa mikolaukiem, kas pastāv atomos un molekulās, pieņem, ka vielas eakcija uz elektomagnētisko lauku i lineāa, t.i., ka spēkā i lineāais tuvinājums. Šajā tuvinājumā homogēnai un izotopai vielai, kuā tātad elektomagnētisko lauku iedabība nav atkaīga no viziena, pēc definīcijas elektiskā indukcija D=eE, bet magnētiskā indukcija B=mH. No vielas dielektiskajām īpašībām atkaīgais koeficents e i vides dielektiskā caulaidība, bet no magnētiskajām īpašībām atkaīgais m - vides magnētiskā caulaidība. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 3/3-3 DatZB Team

31 Sakaības fomāli va iegūt, izvizot funkcijas D(E), B(H) indā pēc lielumu E un H pakāpēm un izmantojot tikai izvizījuma lineāo daļu: D(E) D o + D/ E ½ E= E, B(H) B o + B/ H ½ H= H. Šeit D()= D o =, B()= B o =, D/ E½ E= =e, B/ H½ H= =m. Mateiālajiem vienādojumiem pievieno vēl vienu empīisko skaību - difeenciālo Oma likumu, kas saista vadītspējas stāvas blīvumu j un elektiskā lauka intensitāti vielā E. Izotopā vadītājā j=se, ku s i īpatnējā elektovadītspēja. Ja vadītājs i anizotops, tad difeenciālais Oma likums akstāms tenzofomā: ģj x =s xx E x +s xy E y +s xz E z, ķj y =s yx E x +s yy E y +s yz E z, īj z =s zx E x +s zy E y +s zz E z. Zinot mateiālos vienādojumus lauka vektoiem E, D, B, H, viegli va atast tiem atbilstošās sakaības stap vielas polaizācijas P un lauka intensitāti E, kā aī stap vielas magnetizāciju M un intensitāti H. Izotopām vielām: P=(e-)/4p*E=aE, M=(m-)/4p*H=cH. Vielas mateiālos paametus - dielektisko caulaidību e, magnētisko caulaidību m un īpatnējo elektovadītspēju s - neietekmē elektiskā un magnētiskā lauka mainīšanās ātums laikā. Dielektiskās caulaidības dispesijas vienādojums vispāīgā veidā: pieņem, ka elektiskā intensitāte vielā mainās laikā pēc peiodiskā likuma : E=E o e iwt,,ku w i cikliskā fekvence. Dispesijas funkcija f(t) i atkaīga no vides īpašībām. Dielektiskā caulaidība: e(w)=+ņf(t)e -iwt dt. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 3/3-3 DatZB Team

32 Optika. Stau optikas pamatjēdzieni. Femā pincips. Stau optikas svaīgākās sakaības. Femā pincips: Gaismas staa patiesais ceļš i ceļš, kua noiešanai staam vajadzīgs vismazākais laiks, salīdzinot a jebkuu citu iedomājamu ceļu stap diviem punktiem. t = nk sk ; t = c c k A' A nds Svaīgākās sakaības: Optiskā ceļa gaums: l = ns l = n s + n s n s k k = nk s k k Kišanas leņķis i vienāds a atstaošanas leņķi: α = α Kišanas leņķa sinusa attiecība pet laušanas leņķa sinusu i vienāda a otās vides elatīvo laušanas koeficientu attiecībā pet pimo vidi: sinα = n sin β Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 3/3-3 DatZB Team

33 . Optiskās sistēmas abeācijas. Vienkāša ahomātiska objektīva izveide. Ja uz optisku sistēmu laiž paaksiālus staus šauā kūlī, tas punktveida objekta attēls a labu tuvinājumu aī i punktveida jeb, kā pieņemts teikt, attēls i sigmatisks. Bet, lietojot tikai šauus stau kūļus, attēla apgaismojums i mazs, jo gaismas plūsma i maza. Tāpēc paksē lieto platus stau kūļus, kas veido lielus leņķus a optisko asi. Šādos gadījumos attēls iznāk kopļots un nav līdzīgs piekšmetam tādēļ, ka optiskām sistēmām minētajos apstākļos piemīt vaiāki tūkumi, kļūdas jeb abeācijas. Abeāciju veidi: a) Sfēiskā abeācija Izšķi divu veidu sfēiskās abeācijas: Sfēiskā abeācija, kad stai nāk no viena punkta un uz sfēisko lauzējvismu kīt platā kūlī, tad tie tiek lauzti nevienādi malējie elatīvi vaiāk kā vidējie, ezultātā pat monohomatiskā gaismā punkta attēls nav punkts, bet izkliedes iņķis (a] zīm.). Ja uz lēcu kīt paalēls stau kūlis (ots gadījums), tad vēojama līdzīga aina(b] zīm.). šajā gadījumā galvenā fokusa vietā i daudzi. Maksimālo gaumu stap fokusiem S = f n f sauc pa gaenisko sfēisko abeāciju vai vienkāši pa sfēisko abeāciju. S vietā va lietot aī S' = a a, kuu sauc pa attēlu sfēisko abeāciju. n deltas' An A o' deltas' S'; An A ; A A ; an a ; a a; o' ρ' n an a a] zīm. deltas F n Fn o b] zīm. Plaknē, kas vilkta pependikulāi galvenajai optiskajai asij cau paaksiālo stau galveno fokusu, lauztie stai veido izkliedes iņķi a ādiusu ρ, kuu sauc pa šķēsenisko sfēisko abeāciju. Citās galvenajai asij pependikulāās plaknēs izkliedes iņķu ādiusi būs citādi. Vismazākais tas būs plaknē, kas atodas stap F un b) Koma Ja attēlojamais objekta punkts neatodas uz sistēmas galvenās optiskās ass, bet samēā tālu no tās(c] zīm.), tad plata stau kūļa gaumā kaustikai i citāds veids nekā sfēiskās abeācijas gadījumā(b] zīm.). A F n. fii' fii'' O O A' A A A'' c] zīm. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 33/33-3 DatZB Team

34 c) Astigmatisms Astigmatisms paādās gan šauos, gan platos stau kūļos, kad stau kūlis kīt, veidojot leņķi a sistēmas asi. Bez tam astigmatisms paādās visās optiskās sistēmās, kuām nav simetijas ass, piemēam pizmā, cilindiskā lēcā. Astigmatisma dēļ optiskās sistēmas veidotais punkta attēls nav punkts, bet gan divas savstapēji pependikulāas dažādās plaknēs esošas svītiņas. Eksistē plakanas vismas astigmatisms, sfēiskas lēcas astigmatisms d) Attēla plaknes liekums Attēla plaknes liekums(d] zīm.) tāpat kā astigmatisms, paādās pat šauos stau kūļos, ja tie uz sistēmu kīt slīpi, veidojot lielus leņķus a galveno optisko asi, un tas izpaužas tādējādi, ka attēla visma nav plakne, pependikulāa galvenajai optiskai asij, bet gan lekta visma, pie tam plaknes liekums va būt dažāds. S F K M Pm Ps O fii d] zîm. e) Attēla distosija Distosija i tāda abeācija, kad plakana piekšmeta attēls i plakans un dažāda viziena līnijas tajā i saskatāmas skaidi, bet attēls nav līdzīgs piekšmetam. Distosija novēojama aī šauos stau kūļos, ja stai uz optisko sistēmu kīt slīpi attiecībā pet galveno asi. Jāzīmē nezīmējot bultu galus spicus!!! e] zîm. e] zīmējumā attēlota attēla dispesija, ku -ajā gadījumā apskatāms attēls, -ajā gadījumā mucveida attēls, 3-ajā gadījumā spilvenveida attēls. f) Homatiskā abeācija Iepiekš aplūkotās abeācijas i ģeometiskās abeācijas, kuas odas optisko sistēmu apgaismojot a monohomatiskiem staiem. Ja optisko sistēmu apgaismojot a nemonohomiskajiem staiem, tad paādās homatiskā abeācija, tā odas gaismas dispesijas dēļ. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 34/34-3 DatZB Team

35 Sakans Violets Homatiskās abeācijas dēļ punkts neattēlojas kā punkts, bet gan kā izplūdis iņķis a kāsainām malām. Sistēmu, kuās novēsta homatiskā abeācija un sfēiskā abeācija, sauc pa ahomatisku sistēmu. Zemāk attēlotajā Fs Fv attēlā attēlota ahomātiska salikta savācējlēca. Sakans e] zīm. Violets sastâv no konstikla un flintstikla 3. Gaismas staojuma eneģētiskās(adiometiskās) un fotometiskās vienības Elektomagnētiskais staojums(elektomagnētiskie viļņi) pānes noteiktu eneģiju W. Šo eneģiju va konstatēt un izmēīt, pāvēšot to a dažādiem staojuma indikatoiem citos eneģijas veidos, piemēam siltuma, elektiskajā. Vaiums indikatou eģistē laikā, kas lielāks pa elektomagnētiskā viļņa peiodu, vidējā staojuma jaudu, kuu W dw eneģijā sauc pa staojumu plūsmu Φ : Φ, ja vidējā staojuma jauda i mainīga tad Φ. e e = t dt Staojuma plūsmu akstuo eneģija, kas laika vienībā iziet cau doto laukumu, un to mēa jaudas vienībās (vatos, eg/s u.c.). Index e nozīmē eneģētiskā plūsma. Fotometijā plaši tiek lietoti jēdzieni punktveida gaismas avots un plats jeb stiepts gaismas avots. Punktveida gaismas avota akstuošanai lieto eneģētisko gaismas stipumu I e. ja telpas leņķī dω punktveida gaismas avota L emitētā staojuma plūsma i dφ e [SI sistēmā mēa lūmenos (lm)], tad tā eneģētiskais gaismas stipums dotajā dφe vizienā i I = [W/s*m ]. Stieptu gaismas avotu gadījumā tiek lietoti jēdzieni: gaismas avota eneģētiskais e dω spožums dotajā vizienā diϕ B ϕ = ds cosϕ [SI sistēmā mēa nitos (nt)], ku I ϕ dφe dω e = = eneģētiskais gaismas stipums vizienā ϕ. Daudziem paktiski svaīgiem gaismas avotiem eneģētiskais spožums apmēam i konstants, tāpēc Bϕ = Be = const. Šo vienādību sauc pa Lambeta likumu un gaismas avotus, kas pakļaujas šim likumam, pa Lambeta vai kosinusa staotājiem. Pecīzs Lambeta staotājs i tikai absolūti melns ķemenis, bet paktiski tādi dφe i saule, matstikli, asēšanas papīs. Tāpat stieptu gaismas avotu akstuošanai lieto eneģētisko spīdību Re = ds [W/m ]. Bieži vien paksē svaīgi zināt staojuma plūsmu, kas kīt uz kādu vismu. Tam nolūkam ieved eneģētiskā dφe apgaismojuma jēdzienu Ee =. Va edzēt, ka lielumi E e un R e tiek definēti a vienādu attiecību, taču ds staojuma plūsma i plūsma, ko visma izkliedē eneģētiskā apgaismojuma plūsma i plūsma kas kīt uz Ee apgaismojamo vismu. Sakau stap šīm plūsmām veido efleksijas koeficents ρ =.ideāli baltām vismām R ρ =. Tiek lietots aī eneģētiskais apgaismojuma daudzums H E t, ku t i apgaismošanas laiks. Lielums \ mēīšanas sistēma SI CGS Gaismas plūsma Lūmens (lm) Lūmens (lm) Spožums Nits (nt) Stilbs (sb)_ Spīdība Lūmens no m Radfots (f) e = e e Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 35/35-3 DatZB Team

36 Apgaismojums Lukss (lx) Fotos (f) Apgaismojuma daudzums Lukssekunde (lx*s) Fotsekunde (f*s) FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes 4. Kāsu teoijas pamati: kāsu iedalījums, pamatkāsās, kāsu saskaitīšanas veidi. Gaismas avota kāsa Balta kāsa i saulesgaisma B λ, n m kāsa (spožums) ω m cm s nm 77-6 Sakana spuldze (8K) oanža dzeltena dzeltenīgi- zaļa zaļa saule (6K) 5-48 debeszila zila violeta gāze Piekšmetu kāsa R- atstaota gaismas daļa A- absobēta gaismas daļa T- gaisma, kas iziet caui λ, nm Na, λ =589.3 nm Hg, λ =44.7 nm beigu kāsa λ =435.8 nmi šo kāsu λ =546.5 nmapvienojums λ =577.4 nm 57 I A I T I R I I R I A I T = R; = A; = T R+A+T= I I R MgO (96 %) svaigs sniegs (85%) nas. papīs (75%) Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 36/36-3 DatZB Team

37 pienstikls (5%) R f( λ ) λ, nm sodēji (-%) m. samts (.3%) Balta, pelēka un melna kāsas i neselktīvas (bezkāsainas) R svaigs sniegs (85%) T Z T Z T Z dzeltens papīs λ, nm Kāsu iedalījums un akstuojums Kāsas va būt : Ahomatiskās kāsas R,T f( λ ) (melna, balta, pelēka) Homatiskās kāsas - spektālās (tīas kāsas, kuas akstuo a toni, jeb gaumu) - jauktās (akstuo a tīību (p, poutos) un a spožumu (B, lumeni)) Tonis, nosaukums, λ Tīība p, % Spožums, B Zaļš, λ =55 nm 4% (balta) un 6% (zaļa) piemēam, 6/(6+4)=.6% Tonis + tīība = kāsainība Kāsu jaukšana Ahomatiskās kāsas va dabūt no melnas, pelēkas un baltas, bet tām p=, toņa nav. Spektālās kāsas akstuo a toni, tīība i %. Kāsa λ P ahom. k. Melns, balts, pelēks % spekt. k. λ -tonis % Na-lampa λ =589.3 nm % Hg-lampa λ =489 nm 8% λ 47 nm+ λ 54 nm λ =498 nm (vid. vēt. un %) 63% To visu veic fotometiskā ceļā. I tīs kāsu etaloni: R (sakans), G (zaļš), B (zils). R R g G b B K b B g G K = R + g G + b B K + g G = R + b B Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 37/37-3 DatZB Team

38 K = R g G + b B Paksē ne visas kāsas va izmēīt. Pētāmai kāsai jāiejauc kaut kas, bet tad aī vienādojums i cits. Papildkāsas Sakans + debeszils λ 68 + λ 495 Oanžs + debeszils Dzeltens + zils, debeszils Dzeltenīgi zaļš + pupua Zaļš + pupua Debeszils + sakans, pupua Zils + Dzeltens λ 45 + λ 57 Violets + dzeltenīgi zaļš Kāsa λ koef., lm R 7 nm 683 lm G 546. nm 38 lm B nm 48 lm Balta gaisma Kāsu saskaitīšanas veidi I divu tipu kāsu saskaitīšana: Aditīvā- summē gaismas un Substaktīvā- summē kāsas Potams, ka ezultāti i atšķiīgi. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 38/38-3 DatZB Team

39 5. Kāsu gafiks. Kāsu attēla iegūšanas fotogāfiskās un elektoniskās metodes., g, b- kāsainības koeficienti. ' b' g' +g+b= = b = g = ' + g' + b' ' + g' + b' ' + g' + b' A kāsu gafiku va izteikt jebkuu, g, b kombināciju. Jānovelk nomāles uz malām. Balta kāsa būs centā =g=b=/3: 5 G G K 48 K b g 7 R B R B G K b g - R B I divu tipu saskaitīšanas: aditīva, kad summē gaismu un substaktīvā- kad summē kāsas. Kāsu fotogāfijā izmanto gan vienu, gan oto paņēmienu: Fotogāfiskā attēla iegūšanas aditīvā metode: Fotogafē objektu tīs eizes, piekšā liekot sākumā sakano, pēc tam zaļo un beigās zilo filtu. Iegūst tīs negatīvus, kuos tumšās vietas atbilst tām objektu daļām, kuas i attiecīga filta kāsā, vai tuvu tai. Piemēam, ja objekta daļa bija sakana, oanža, dzeltena, tad negatīvā šajās vietās būs aptumšojums, bet ku šo kāsu uz objekta nebija, tu aī nebūs aptumšojuma. Pēc tam iegūtos negatīvus liek uz plēves, kas i jūtīga pet gaismu un apgaismo a baltu gaismu. Tādā veidā iegūst pozitīvus, ku negatīva tumšajām vietām atbilst pozitīva neaptumšotā daļa. Tādā veidā iegūst attēlu a atdalītām kāsām, ku, piemēam, objekta sakanajām vietām atbilst pozitīva neaptumšotā daļa (potams, tajā pozitīvā, ku sākumā tika izmantots sakanais filts). Ja tagad iegūtos pozitīvus ieliek pojektoos (katu atsevišķā), petī katam pojektoam novietojot attiecīgo filtu un savienojot attēlu pojekcijas, tad uz ekāna būs sākotnējā objekta kāsainais attēls. Fotogāfiskā attēla iegūšanas substaktīvā metode: Attēlu iegūšana a šo metodi atšķias no iepiekšējā gadījuma, bet kāsu atdalīšanas metode i tieši tāda pati, t.i. sākumā iegūst negatīvus, nofotogafējot objektu cau filtiem. Pēc tam no negatīviem iegūst pozitīvus. Un tikai no Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 39/39-3 DatZB Team

40 šīs vietas attēla iegūšanas pocess sāk atšķities. Katā no pozitīviem aptumšotas vietas tiek aizkāsotas a vienu kāsu, bet neaptumšotas vietas paliek neaizkāsotas. Kāsu katam no pozitīviem izvēlas kā papildkāsu tai, a kuu palīdzību tika iegūts attiecīgais negatīvs. Sakanajai kāsai papildkāsa i gaiši zila kāsa, zaļajai- pupua, zilajaidzeltena. Tālāk savieno visus aizkāsotos pozitīvus, ievieto tos pojektoā, un nopojicē a baltās gaismas palīdzību uz balta ekāna. Uz ekāna būs objekta kāsainais attēls. Atšķiībā no kāsu fotogāfijas kāsu televīzijā izmanto tikai aditīvu attēla iegūšanas metodi. Viena no vienkāšākajām kāsu televīzijas sistēmām i sistēma, ku tīs pamatkāsas tiek attēlotas pēc kātas (). Daudz saežģītāka i sistēma, ku visas tīs pamatkāsas tiek attēlotas vienlaicīgi (). Sistēmai () i daudz tūkumu, tāpēc tā netiek plaši pielietota. Bet šeit apskatīsim tieši šo sistēmu. Sistēmā () kāsas tiek atdalītas a otējošo filtu palīdzību. (Sistēmā () kāsu atdalīšanas pocess i daudz saežģītāks. ) Daudzkāsainais objekts cau lēcu tiek pojicēts uz pāaidošo tūbiņu. Stap kāsaino objektu un pāaidošo tūbiņu tiek ielikts disks a tim filtiem (sakanu, zilu un zaļu). Šis disks tiek otēts un līdz a to uz pāaidošās tūbiņas tiek pojicēts attēls pēc kātas sakanā, zilā un zaļā kāsā. Tādā veidā iegūtie elektiskie signāli tiek pastipināti un pāaidīti uz skatītāja pusi. Attēlu uztve uztvešanas iekāta, kas i uzbūvēta līdzīgi pāaidošai iekātai. Stap uztveošo tūbiņu un lēcu tiek ielikts tāds pats disks a filtiem, ko otē elektodzinējs. Abi diski otējās sinhoni. Ja tie giežas pāāk lēni, tad skatītājs edz attēlu pēc kātas sakanā, zilā un sakanā kāsā. Bet ja disks giežas a ātumu ne mazāku pa pagiezieniem sekundē, tad cilvēka acs jau nespēj tik āti atšķit kāsas un tās jaucas kopā; līdz a to cilvēks edz attēlu dabiskās kāsās. Bet ļoti svaīgs nosacījums i tas, ka diskiem i jāgiežas sinhoni!!! 6. Siltumstaojums. Siltumstaojuma likumi. Eksistē dažāda tipa staojumi, piemēam, ķīmiskais, bioloģiskais, temiskais u.c. Šeit tiks apskatīts siltumstaojums, jeb temiskais staojums. Staojums i atkaīgs no ķemeņa kāsas. Absobcija aī i atkaīga no kāsas. Piemēam, melnais stao labāk. To pamanīja Fanklins, bet Kihofs to apkopoja un pamatoja.. Kihofa likums (temiskais staojums 859. g.) Absolūti melna ķemeņa modelis: ( v, T ) = a( v, T ) m ( v, T ) gaisma Būtiski i tas, ka Kihofa funkcija ( v, T ) nav atkaīga no ķemeņa dabas. ( v, T ) = a( v, T ) piea( v, T ) = m ( v, T ) ( v, T ) = m m ( v, T ) absolūti melns ķemenis = absobē visu eneģiju ( λ, T ) a ω (λ). 45 K.5 (absobcijas spēja).8.4 zils Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 4/4-3 DatZB Team

41 µ m volfams. Stefana-Bolcmana likums (Stefans ekspeim. 879, Bolcmans teo. 884) Pilnais staojums- Rm ( T ) = m ( v, T ) dv = σ T σ B m = 5.67 ω m k = 5.67 eg 3 cm k ( T ) = σ π T 4 K 5.7 w/cm K 9. w/cm 6 K 787 w/cm 58 K (saules vismas tempeatūa) 65 w/cm 3. Vīna pābīdes likums λ T = 898µ m K max λ max T =.9 3 m K Tempeatūai mainoties, mainās aī kāsa. ( λ, T ) 6 K (Saule) 4 76 K (lampa) 93 K (sveces gaisma) 3 4 edzamā daļa 998 K λ, µ m Neviena fomula nedeēja visam spektam, bet tikai daļēji. 4. Planka likums (9) Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 4/4-3 DatZB Team

42 Planks gājis tālāk- meklējis fomu, kas to visu vispāina. Teoētiski viņš to i izvedis. πv hv m ( v, T ) = hv c kt e h = Js = 7 πv << kt => ( v, T ) = c hv m eg s kt FIZIKAS eksāmena jautājumu atbildes hv πhv 3 >> kt => m ( v, T ) = c e hv kt Efekts. Saules tempeatūa. 577 ± K 3 R = (6.8 ±.6) J / cm s Saules konst.94 cal/cm min=.34 w/cm 7. Gaismas elektomagnētiskā teoija. Svāstību vienādojums, tā isinājums gadā angļu zinātnieks Maksvels adīja gaismas elektomagnētisko teoiju no kuas izietēja, ka gaisma i elektomagnētiskie viļņi (ēteā) a ļoti īsu viļņa gaumu. Pēc Maksvela elektomagnētisko viļņu teoijas, edzamā gaisma i tikai elektomagnētisko viļņu speciāls gadījums. Redzes sajūtu izaisa viļņi, kuu viļņa gaums i obežās no l=,4 mm (violētā gaismā) līdz l=,76 mm (sakanā gaismā). Vis elektomagnētisko viļņu diapazons i daudz plašāks. Jau iegūto un izpētīto elektomagnētisko viļņu kopums aizņem viļņa gaumu intevālu no simtiem kilometu līdz angstēma simttūkstošajām daļām un pincipā tas va sniegties no līdz. Pašus gaākos t.s. zemfekvences viļņus izstao dažādas maiņstāvas vai vispā lēni mainīgi elektiskie pocesi. Pašus īsākos - t.s. c staus izstao atoma kodoli. Holandiešu fiziķis H.Loencs attīstot tālāk Maksvela idejas pa gaismas elektomagnētisko dabu, izteica pieņēmumu, ka gaismu izstao atomos vai molekulās esošie elektoni, kui hamoniski svāstās a fekvenci v ap saviem līdzsvaa stāvokļiem kvazielastīgu spēku ietekmē. Šādā svāstību kustībā esošiem elektoniem (oscilatoiem) mainās to elektiskais dipola (multipola) moments un tie izstao elektomagnētisku vilni a to pašu fekvenci v: E=E sin(pvt-kx). Šeit E - elektomagnētiskā viļņa elektiskās intensitātes amplitūda (punktā a koodināti x), t- laiks, k=p/l - viļņu skaitlis, x - aplūkojumā patvaļīgā punkta attālums no viļņu avota, -kx=j i svāstību sākumfāze šai pašā patvaļīgajā punktā. Vienādojumu akstot, pieņemts, ka svāstību sākumfāze viļņu avotā laika skaitīšanas sākumā i nulle. Pēc Maksvela teoijas, vidējā staojuma jauda cau laukuma vienību, kuš pependikulās viļņa izplatīšanās vizienam, i popocionāla hamoniskās svāstības paātinājuma kvadātam, kas savukāt i popocionāls amplitūdas E kvadātam un fekvences v cetutajai pakāpei: I ~ E v 4. Rimstošu svāstību vienādojums i šāds: E=E e -bt/ *sin(pv t+j). 9. Viendimensionāla kustības vienādojuma integēšana, ja spēks i laika, koodinātes vai ātuma funkcija.. m x = Fx x Apskata viendimensionālu vdj: Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 4/4-3 DatZB Team

43 I nepieciešams atast spēku vienmēīgai paātinātai kustībai. Kad kustība kļūst atkaīga no laika, ātuma utt., tā apaksta dažādus pocesus. Ja spēks i atkaīgs tikai no laika f = f(t). () Pēc pimās integēšanas iegūst tīs pimos neatkaīgus kustības integāļus: t v fdt = c,() m t ku c fiziski i sākumātums v. Integējot () iegūst oto integāli: t t dt f ( t) dt c( t t ) = c,(3) m t t a ku c =. Kopīgo atisinājumu iegūst isinot (3) vienādojumu pēc. Tas satu spēka veidu, kuš nav atkaīgs no laika f=a: (4) atisinājums satu kopīgo atisinājumu uzdevumam pa punkta kustību vienmēīgā gavitācijas laukā. Tad punktu ( t t ) = a + v ( t t ) +.(4) m neiespaido neviens spēks, izņemot tā svau. Ja e apzīmē vienības vektou, kuš vēsts vetikāli uz augšu, tad a=mge. Ja spēks i atkaīgs tikai no ātuma(taisnviziena kustība pa Ox asi) kustības vienādojums kļūst: d x dv. m = m = f ( v); v = x. dt dt Integējot dabūjam: dv t + c =. m f ( v) Apzīmējot iegūst:. ϕ = dv f ( v) t m v = + c = ϕ( v) dx dt = ϕ( t, c ) x = ϕ ( dt + c t, c ). Stau optikas pamatjēdzieni. Femā pincips. Stau optikas svaīgākās sakaības. Pamatjēdzieni:. Taisnviziena gaismas izplatīšanās likums,. Gaismas kūļa neatkaības likums, 3. Gaismas atstaošanas no spoguļvismas likums, 4. Gaismas laušanas divu causpīdīgu vielu obežā likums. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 43/43-3 DatZB Team

44 (zīm.) (zīm.) Femā pincips: Viens no ģeometiskās optikas pamatpincipiem i Femā pincips: stap diviem punktiem A un A gaisma izplatās tā, lai izplatīšnās laiks būtu minimāls. Lai matemātiski vaētu definēt Femā pincipu, i nepieciešams ievest optiskā ceļa gaumu. To apaksta fomula l=ns, ku n i vielas laušanas koeficients ( ) un s i ģeometiskā ceļa gaums(zīm. ). Ja vide nav homogēna(zīm. ), tad staa ceļu nepieciešams sadalīt vaiākos posmos, ku laušanas koeficientu va uzskatīt pa l = ns + ns nk sk = nk sk konstantu, un tad ceļa gaums i Robežgadījumā summa kļūst pa integāli A dt apzīmē laiku, kuš nepieciešams gaismas izplatīšanai attālumā ds, v gaismas izplatīšanas ātums vidē a A' l = nds ds nds dt = ; t = = = nds, A v v c c A A A laušanas koeficientu n: kas aī i Femā pincips. Bet saskaņā a vaiācijas pincipu, integāļa vaiācijai, a kuu tiek noteikts gaismas izplatīšanās laiks, jābūt nullei: Tas nozīmē, ka gaisma ne vienmē izplatās pa īsāko ceļu. Svaīgākās sakaības: B δt = ; δ nδ i =. α = α A B B k B a) Kišanas leņķis i vienāds a atstaošanas leņķi: b) Kišanas leņķa sinusa attiecība pet laušanas leņķa sinusu i vienāda a otās vides elatīvo laušanas koeficientu attiecībā pet pimo vidi: sinα = n sin β c)stau tautohonisms: = s s f Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 44/44-3 DatZB Team

45 . Difakcija. Heigensa Feneļa pincips. Difakcijas paādību klasifikācija. Difakcija i gaismas apliekšanās ap šķēšļiem, un tā i viena no viļņu optikas pamatpaādībām. Difakcija paādās visos gadījumos, kad gaisma izplatās vidē a spilgti izteiktām optiskām nehomogenitātēm (šķēšļiem, ekāniem, cauumiem, spaugām u.t.t.). No tās izvaiīties nav iespējams. No Heigensa pincipa iziet, ka gaismas viļņiem, tāpat kā citiem viļņiem i jāapliecas ap šķēšļiem, t.i. tiem i jādifaģē. Bet dabā labi novēojama aī gaismas taisnviziena izplatīšanās. Ieobežotas viļņa fontes gadījumā šis pincips i ļoti nepilnīgs. A Heigensa pincipu gaismas difakcijas paādības un gaismas taisnviziena izplatīšanos izskaidot neva. Heigensa pincipu papildinājis Fenelis. Viņš uzskatīja, ka fiktīvie sekundāo viļņu avoti uz viļņa fontes i koheenti un svāstās vienādās fāzēs. Šo sekundāo viļņu avotu sūtītie staojumi pāklājoties intefeē, tādēļ gaismas intensitāti dotajā vizienā vai dotajā punktā nosaka to intefeences ezultāts. To tad aī sauc pa Heigensa Feneļa pincipu. Tas i viļņu optikas pamatpincips, un izejot no tā, va izskaidot un kvantitatīvi apakstīt gan gaismas viļņu difakciju, gan gaismas taisnviziena izplatīšanos, gan aī citas viļņu optikas paādības. Ja punktā A (skat.att.) i gaismas avots un jānosaka gaismas intensitāte punktā B, tad jāīkojas šādi: patvaļīgā laika momentā ap punktu A jānovelk viļņa fonte S. Uzskata, ka pats gaismas avots i pāstājis daboties, bet staojumu dod koheentie sekundāie viļņu avoti uz viļņa fontes S. Vismas elementu ds staojumi, nonākot punktā B, intefeēs un veidos te ezultējošo intensitāti. Punktā B no visiem viļņa fontes elementiem pienākošās svāstības i jāsummē, ievēojot to amplitūdas un fāzes. No kata vismas elementa pienākošo svāstību amplitūda i atkaīga no šī elementa laukuma ds, tā attāluma līdz aplūkojamam punktam un no elementa slīpuma pet novēošanas vizienu, espektīvi no leņķa ϕ stap novēošanas vizienu un nomāli pet aplūkojamo viļņa fontes elementu: de i = f (ds,, ϕ ). Svāstību fāze punktā B i atkaīga no. Difaģētās gaismas intensitāte i atkaīga no ekāna mateiāla. Bet ekāna mateiāla ietekme paādās tikai tiešā ekāna tuvumā attālumos, kas mazāki pa gaismas viļņa gaumu. S A ds ) ϕ n B Visas difekcijas paādības iedala gupās atkaībā no novēošanas veida. Ja difakcijas ainas novēošanas atodas galīgā attālumā no šķēšļa, ap kuu notiek difakcija, jeb ja difakciju novēo saejošos (vispā nepaalēlos) staos, tad to sauc pa Feneļa difakciju. Ja difakcijas ainas novēošanas vieta atodas bezgalīgi tālu no šķēšļa, ap kuu notiek difakcija, jeb ja difakciju novēo paalēlos staos, tad to sauc pa Faunhofea difakciju. 3. Difakcijas teoijas Faunhofea tuvinājums. Lēca kā Fujē attēla ealizētāja. Attēla veidošanas difakcijas teoija. Ja difakcijas ainas novēošanas vieta atodas bezgalīgi tālu no šķēšļa, ap kuu notiek difakcija, jeb ja difakciju novēo paalēlos staos, tad to sauc pa Faunhofea difakciju. F.d. paasti novēo savācējlēcas fokālajā plaknē, jo tajā kustojas uz lēcu kītoši paalēli stai, vai tālskatī. Šķēsli, ap kuu notiek difakcija, va apgaismot gan a Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 45/45-3 DatZB Team

46 paalēliem, gan a sfēiskiem viļņiem. Paasti tomē Faunhofea difakciju novēo, šķēšļus apgaismojot a paalēliem staiem. Difakcijai i ļoti svaīga loma attēla veidošanā. Lēcai i tikai palīgnozīme: tā pāvēš plaknisku vai izklīstošu viļņu gupas saejošās un savāc tās šauā apgabalā. Lēcas dabības ezultātā difakcijas aina cauumā tiek pānesta uz nelieliem, paktiskai lietošanai ētākiem attālumiem. Bez tam aina, kas veidojas no atsevišķu punktu difakcijas attēliem, iegūst paktiskai lietošanai ētus, nelielus izmēus.. Feneļa zonu teoija. Feneļa zonu plāksnīte. A Feneļa zonu metodi va apakstīt gaismas izplatīšanos aī tad, kad tās ceļā i dažādi šķēšļi. Pieņemsim, ka punktā A novietots punktveida gaismas avots un no tā izplatās sfēiski viļņi. Aplūkosim šī gaismas avota adīto gaismas intensitāti punktā B. Savienojam A a novēošanas punktu B. Ja gaisma vienmē izplatītos taisnā vizienā, tad dotajā gadījumā pietiktu tās ceļā novietot pēc patikas mazu ekānu, lai B gaisma nemaz nenonāktu. Bet, tā kā gaismai i viļņējāda daba, tad difakcijas dēļ aī ekāna gadījumā punktā B ne vienmē būs tumšs. skaņā a Heigensa Feneļa pincipu gaismas intensitāti punktā B va apēķināt, ja īstā gaismas avota vietā ņem patvaļīgi izvēlētā laika momentā šī avota adītā viļņa fonti un, ievēojot amplitūdu un fāzi, summē koheentos staojumus, kas pienāk (.) B no visiem viļņa fontes elementiem. Kādā patvaļīgā laika momentā viļņa fonte būs sfēa a ādiusu R. Tā i simetiska pet taisni AB un kusto šo taisni (.)O. Sadala viļņa fonti gedzenveida zonās tā, lai attālumi no blakusesošo zonu malām līdz novēošanas (.) atšķitos pa λ, t.i., lai PB - OB= pb PB=P3B PB= =PKB P(K-)B= λ. Sfēas, kas vilktas ap (.) B, sadala viļņa fonti gedzenveida zonās. Attālums no m-tās zonas āējās malas līdz novēošanas (.) B i + atbilstošais segmenta augstums h m = CO=AO AC=R- hm R hm R ρ m ρ m = atbilst visām m zonām, atņem laukumu, kas atbilst m- zonām. mλ ( m ) λ πrλ Sm = π Rhm πrhm = πr[ ] =. ( R + ) ( R + ) + R m λ. Redzams, ka sfēiskās viļņa fontes zonām, ku ρ m i m-tās zonas ādiuss (āējās malas). No šejienes. M-tās Feneļa zonas laukumu Sm va apēķināt, ja no segmenta laukuma (S=π Rh ), kas No tā edzams, ka zonas laukums nav atkaīgs no zonas numua m, t.i. visām gedzenveida zonām laukumi i apmēam vienādi. Tāpēc svāstību amplitūda, kas (.) B pienāk no dažādām zonām, i atkaīga tikai no zonas attāluma un slīpuma ϕ. Pa to, ka Feneļa zonu metode i paeiza un ka Feneļa zonām i dziļš fizikāls pamatojums, va pāliecināties a t.s. zonu plati. Zonu plate dabojas kā savācējlēca. Punktā, kuam plate apēķināta, tā dod gaismas avota attēlu. A zonu plati, tāpat kā a savācējlēcu, va iegūt piekšmetu attēlus. Zonu platei pat i lielākas piekšocības nekā lēcai, jo tās izmēi va būt daudzkāt lielāki, bet svas daudz mazāks nekā lēcai. Atšķiībā no lēcas zonu platei i vaiāki fokusi, t.i. tā dod vaiākus attēlus, kas atodas attālumos, kuiem vienā gedzenā uz zonu plates ievietojas nepāu skaits Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 46/46-3 DatZB Team

47 zonu. Bez tam zonu plate vienlaikus a saejošo stau kūli dod aī izklīstošu stau kūli. Tas veido šķietamu attēlu, kua attālums no plates i tāds pats kā īstā attēla attālums. 4. Acs uzbūve un dabības pincips (akomondācija, adaptācija, izšķitspēja, kāsu edze, telpiskā edze, Vēbea-Fehnea likums). Acs optisko sistēmu vienkāšības labad va uzskatīt pa abpusēji izliektu lēcu, kas pojicē aplūkojamā objekta attēlu uz tīklenes, ku atodas edzes nevu gali, kas aizvada edzes iespaidu uz smadzenēm. Lēcas piekšā i diafagma (vaavīksne) a apaļu atvēumu (zīlīti). Acs lēcas muskuļi saspiežot lēcu spēj mainīt lēcas liekuma ādiusu un līdz a to optisko stipumu un fokusa attālumu, espektīvi edzam tuvus un tālus piekšmetus. To sauc pa akomondāciju. Minimālais attālums līdz skaidi saskatāmam piekšmetam i ap cm, labākās jeb t.s. skaidākās edzes attālums L=5 cm. Acs optiskā sistēma Acs spēju piemēoties dažādu intensitāšu gaismas plūsmu uztvešanai (gan spožā, gan vājā gaismā) sauc pa adapciju. Uz acs tīklenes izvietotie nevu gali i divējādi - t.s. kūlīši (ap 7 milj.) un nūjiņas (ap 3 milj.). Uz tīklenes sāniem pāsvaā i nūjiņas, taču tuvojoties acs tīklenes centam ("dzeltenais plankums") stauji palielinās kulīšu daudzums. Nūjiņas i daudz jūtīgas uz gaismu un vājā apgaismojumā dabojas gandīz tikai tās. Savukāt kūlīši i spējīgi eaģēt uz kāsu. (Tumsā kāsas nav atšķiamas - dabojas tikai nūjiņas!) Pēc Helmholca teoijas kūlīši dabojas kā RGB(ed-blue-geen) eceptoi. Palielinot acij edzes leņķi, tiek palielināti aplūkojamo piekšmetu attēli uz tīklenes. Cik palielinās edzes leņķis, tik palielinās attēls uz tīklenes un edzamais piekšmeta lielums. Ja bez optiskā apaāta piekšmeta A B attēls uz tīklenes i AB un edzes leņķis i j, tad, lietojot optisku apaātu, attēls i A'B' un edzes leņķis i j'. A' B' / A B = tg j' / tg j = G. Lielums G akstuo optiskā apaāta spēju palielināt piekšmeta attēlu izmēus uz acs tīklenes, esp. spēju palielināt edzes leņķi. G sauc pa optiskā apaāta edzes leņķa palielinājumu. Nomālai acij minimālais edzes leņķis i obežās no ' labā apgaismojumā līdz sliktā. 5. Lupa, lupas palielinājums un izmantošanas vaianti. Lupa i pats vienkāšākais optiskais apaāts edzes leņķa palielināšanai. Tā sastāv no vienas (va būt aī vaiākas) savācējlēcas. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 47/47-3 DatZB Team

48 d - acs attālums no lēcas. Redzes leņķis skatoties cau lupu i j. Lupas edzes leņķa palielinājums (aī lineāais palielinājums) labākās edzes attālumā i G = tg j' / tg j = y L / (-a +d)y Ja f i lupas otā fokusa attālums, tad vispāīgā fomula lupas edzes leņķa palielinājumam i G = L(f-a ) / f(d-a ) Paksē optiskā apaāta doto attēlu aplūko bezgalībā vai labākas edzes attālumā. Ja a = (bezgalībā), tad G = L / f pie tam neatkaīgi no acs stāvokļa attiecībā pet lupu. Ja -a +d=l (bezgalībā), tad G = L / f + -d/f Ja acs atodas lupas galvenā fokusa tuvumā kā paksē paasti notiek, tad d=f un G = L / f. Respektīvi visos gadījumos lupas edzes leņķa palielinājums i G L / f. 6. Mikoskops. Mikoskopa palielinājums un izšķitspēja. Mikoskops sastāv no divām savācējlēcām: īsa fokusa objektīva, a kuu iegūst stipi palielinātu īstu objekta attēlu, un okulāa, a kuu kā a lupu aplūko objektīva doto attēlu. Potams, gan okulās gan objektīvs i komplicētas lēcu sistēmas, kuās koiģētas dažādas attēlu kopļojošas abeācijas. Stau gaita mikoskopā: Liela palielinājuma iegūšanai aplūkojamo objektu novieto tuvu klāt objektīva fokālajai plaknei. Objektīva lineāais palielinājums V ob =y /y =a /a Acs edzes leņķis skatoties okulāā i j'. Aplūkojot objektu bez mikoskopa no lab. edzes attāluma L, edzes leņķis i tg j = y /L. Mikoskopa edzes leņķa palielinājums i G = tg j' / tg j = Ly / y a' Ja mikoskopā edzamais attēls y' i bezgalībā, tad a' =f ok, ku fok i okulāa fokusa attālums. Ievēojot, ka lupai G L / f un V ob =y /y =a /a va akstīt G = V ob G ok. T.i. mikoskopa edzes leņķa palielinājums i vienāds a objektīva lineāā palielinājuma un okulāa edzes leņķa palielinājuma eizinājumu. Izteiksme aptuveni paeiza aī, ja attēls i attālumā L. G = V ob G ok. va pāveidot (ievēojot, ka V ob =y /y =a /a un a f ob un a' f ok un a l D, ku l i attālums stap objektīvu un okulāu (t.s. tubusa gaums) un D i attālums stap objektīva oto fokusu un okulāa pimo fokusu jeb optiskais intevāls. Tad mik. edzes leņķa palielinājums i aptuveni šāds: G L l /f ob f ok L D / f ob f ok. Optisko mikoskopu palielinājums sakaā a difakciju nepāsniedz. Mikoskopa izšķišanas spēju paasti noāda kā minimālo attālumu stap punktiem kuus va mik. izšķit. Mikoskopa objektīva dotais attēls i tālu no objektīva - attālumā, kas i daudz lielāks pa objektīva diametu, tāpēc attēla telpā staus va uzskatīt pa paktiski paalēliem, tāpēc aplūkojot difakciju objektīva ietveē va izmantot Faunhofea difakcijas fomulas. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 48/48-3 DatZB Team

49 A un B i pašspīdoši punkti. Abi punkti dod nekoheentas difakcijas ainas A' un B'. Min attālumam y' stap abiem ptiem pēc Releja kitēija jābūt lielākam pa pimā tumšā difakcijas iņķa adiusu. Tāpēc y' ³ OA' j = OA', l / d ob Tā kā leņķis u' i mazs (attēls i tālu no objektīva), tad d ob /OA'=u' no tā y'u' ³,6 l. Lai mik. paeizi attēlotu piekšmetus jāizpildās Abes sinusu nosacījumam. Šajā gadījumā y'n' sin u'= yn sin u. (n' - laušanas koeficients videi, ku atodas attēls un n - piekšmetu telpas lauš. koef. Attēls paasti veidojas gaiša, tāpēc n', bet n va būt lielāks pa (kaut kādos imesijas objektīvos). No visa tā iziet, ka y ³,6 l / n sin u i mikoskopa izšķišanas fomula. Lielumu n sin u =A sauc pa skaitlisko apeatūu, kas i objektīvu akstuojošs lielums un tāpat kā palielinājums V ob vienmē tiek atzīmēts uz paša objektīva. Vispāīgā gadījumā (nevis pašspīdoši objekti, bet apgaismoti) mik. izšķišanas fomula i d ³ k l / n sin u (k i koeficients, kas atkaīgs no apgaismošanas veida, objekta veida un ieejas atvees fomas. Paasti obežās no līdz,5). 7. Tālskatis. Tālskata dabības pincips, izšķitspēja, gaismas spēja. Binoklis. Astonomiskais teleskops Teleskopu un tālskati lieto tālu piekšmetu aplūkošanai. Tie sastāv no objektīva a lielu fokusa attālumu un okulāa, kas dabojas kā lupa. Astonomija izmanto t.s. Keplea teleskopu (J.Keples, 6). Stau gaita teleskopā i līdzīga stau gaitai mikoskopā, bet atšķiība i tā, ka piekšmets no objektīva atodas ļoti tālu, tādēļ tā attēls veidojas fokālajā plaknē. Ja okulāu ieegulē tā, ka okulāa fokuss sakīt a objektīva fokusu, tad attēls veidojas bezgalībā. Ja j i edzes leņķis, kādā tālu piekšmetu novēo bez teleskopa, bet j i edzes leņķis, kādā piekšmets edzams teleskopā, tad teleskopa leņķiskais palielinājums G=tg(j)/tg(j)=F obj /F ok. Jo lielāks objektīva diamets un tā fokusa attālums, jo lielāku edzes leņķa palielinājumu va iegūt. Jāievēo, ka ja teleskopa adīto attēlu novēo a aci, tad iznākošo stau kūļa diamets d nedīkst pāsniegt acs zīlītes diametu, citādi tā dabosies kā diafagma. Tā kā a Keplea teleskopu iegūst apgieztu attēlu, tad, ja aplūko piekšmetus uz zemes tas i lieto to kā binokli vai tālskati, tajā iebūvē pizmu, kas apgiež attēlu pa 8 o. Tu, ku nav nepieciešams liels palielinājums lieto Galileja tālskati (Galilejs, 69.), kas aī sastāv no objektīva un okulāa. Okulās šinī gadījumā dabojas kā izkliedētāja lēca. Liela palielinājuma iegūšanai teleskopos jālieto liela diameta lēcas, taču šādas stikla lēcas i ļoti smagas un defomējas tik ievēojami, ka odas būtiski attēla kopļojumi, tādēļ to vietā kā objektīvu izmanto liela diameta ieliektus spoguļus. Teleskopus, kuu objektīvi i savācēj lēcas sauc pa efaktoiem, bet teleskopus, kuos izmanto ieliektos spoguļus pa eflektoiem. Pimais eflektou uzbūvēja I.Ņūtons 668.g. Obsevatoijā paasti izmanto kombinētos teleskopus, kuu objektīvi i lēcu spoguļu sistēmas. Šādus teleskopus sauc pa meniska teleskopiem. Optisko instumentu izšķišanas spēju lielā mēā ieobežo difakcija. Ja aplūkojamais objekts atodas ļoti tālu, tad tā attēls i intefeences aina, kas odas difakcijas ezultātā. Ja tālumā atodas divi objekti, tad, saplūstot abu adītajām intefeences ainām, attēlus vais nav iespējams atšķit. Gadījumā, kad divi gaismas avoti i uz izšķišanas obežas, nav nozīmes iegūt vēl lielāka palielinājuma attēlu. Teleskopa izšķišanas spēja i atkaīga no objektīva diameta. Teleskopā i jāizvēlas tāds okulāa palielinājums, lai acī nonākušie gaismas stai veidotu edzes leņķi, kas nav mazāks pa minūti labā apgaismojumā. Gaismas spēja nosaka optiskās sistēmas veidotā attēla apgaismojumu un i popocionāla apaatūas diafagmai un apgiezti popocionāla objektīva fokusa attāluma kvadātam. 8. Elektooptiskie un magnetooptiskie efekti. Faadeja efekts Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 49/49-3 DatZB Team

50 846.g. Faadejs konstatēja, ka optiski nekatīvas vielas magnētiskā laukā kļūst optiski aktīvas un giež polaizācijas plakni. Ja šī plakne tiek giezta pa labi, skatoties magnētiskā lauka vizienā, tad to uzskata pa pozitīvu, bet, ja pa keisi, tad pa negatīvo. Vaiumam vielu i pozitīvs efekts, tomē dzelzs vai etzemju elementu sāļiem un dažām citām vielām negatīvs. Faadejs a Vedē pieādīja, ka lineāi polaizētas gaismas, ja tajā viela izplatās magnētiskā lauka spēka līniju vizienā, polaizācija plaknes pagieziena leņķis i popocionāls magnētiskā lauka intensitātei H un gaismas ceļa gaumam laukā L: q = V*L*H, ku V Vedē konstante, kas atkaīga no vielas un gaismas fekvences.. Kea efekts 875.g. Dž.Kes atklāja dubultlaušanu izotopās vielās, ja tās ievieto elektiskā laukā. Tās kļūst līdzigas vienass kistāliem, kuu optiskā ass paalēla pieliktajam elektiskajam laukam. Fāzu stapība stap odināo un neodināo stau, kas iziet cau vielas slānim L i kvadātiski atkaīga no elektiskā lauka intensitātes: Dj=(p/l)*L*(n e -n o )=p*b*l*e, ku B Kea konstante, kas palielinās samazinoties viļņa gaumam. Vaiumam vielu n e >n o. Efektu plaši izmanto ātdabības gaismas slēdžos un modulatoos 3. Pokelsa efekts 894.g. F.Pokels atklāja kistālu laušanas koeficienta lineāās izmaiņas stipos elektiskos laukos (kv- kv). Pēc lāzeu ašanās efektu izmanto gaismas modulatoos, ku mazās fekvences dēļ tie spēj modulēt fekvenci ap 3 Hz. Šajās iekātās izmanto kistālus, kam nav simetijas centa. Dj=(p/l)*L*Dn, ku Dn~E. 4. Kotona Mutona efekts 97.g. E.Kotons un Mutons atklāja, ka izotopās vielās mākslīgo anizotopiju va izaisīt a stipu magnētisko lauku. Viņi novēoja dubultlaušanu, ja gaisma izplatās pependikulāi magnētiskajam laukam. Šis efekts i analogs Kea efektam. Ja vides molekulas i anizotopas un tām i pastāvīgi magnētiskie momenti, tad šos momentus pastāvīgā magnētiskā laukā va oientēt noteiktā vizienā. Pietiekami spēcīgos magnētiskajos laukos veidojas anizotopija un a to saistītā dubultlaušana. Šāda vide i līdzīga vienass kistālam, kam optiskā ass i oientēta paalēli magnētiskajam laukam. Odināā un neodināā staa fāzu stapība apēķināma pēc fomulas: Dj=(p/l)*(n e -n o )*L=p*C*L*B, ku C konstante, kas atkaīga no vides īpašībām. 9. Gaismas polaizācija un izkliede. Polaizācijas un izkliedes mēīšana Gaismas polaizācija GP i gaismas diapazona elektomagnētisko viļņu svāstību oientācija plaknē, kas pependikulāa viļņu izplatīšanās vizienam. Ja šī plakne nemainās, tad gaismu sauc pa lineāi polaizētu, bet ja svāstību plaknes stāvoklis peiodiski mainās, tad pa cikulāi vai eliptiski polaizētu gaismu. Ja svāstību plaknes maiņa notiek neegulāi, haotiski, tad gaisma i nepolaizēta (dabiska). Gaismas izkliede GI i gaismas izplatīšanās viziena maiņa, gaismai mijiedabojoties a vielu. Gaismas izkliede jāatšķi no gaismas absobcijas! Izmēīt GP vai GI va stap gaismas avotu novietojot kādu vielu (piekšmetu), un mēot gaismas stipumu tās ceļā pims un pēc vielas.. Hologammu iegūšana un attēlu estauēšana. Hologammu iedalījums un izmantošana. Hologāfija i viena no attēla iegūšanas metodēm, kuā objektu apgaismo a monohomatisku koheentu gaismu un attēlu eģistē intefeogammas veidā. Hologāfija i viļņu fontes intefeometisks pieaksts un tās epoducēšana. Tulkojot no Gieķu val. Hologāfija i visas infomācijas saglabāšana, ko satu gaismas vilnis. (holos = viss, vesels; gamma = zīme, pieaksts) Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 5/5-3 DatZB Team

51 Paastā fotogāfijā uz fotoplates tiek pieakstīta gaismas viļņa amplitūda, taču hologāfiskā metode ļauj eģistēt gan gaismas viļņa amplitūdu, gan aī gaismas viļņa fāzi Hologammas iegūšana Hologammas iegūšana Attēla iegūšana no hologammas. Gaismas stau kūlis no lāzea nokļūst optiskajā sistēmā, kas to padaa pltāku, lai a to vaētu apgaismot lielāku objekta laukumu. Daļa no šī staa kūļa kīt uz objektu, atstaojas no tā (difaģē piekšmeta detaļās) un nonāk uz fotoplates. Ota daļa no lāzea stau kūļa (atbalsta stai) iet gaām piekšmetam un pēc efleksijas no no pecīz plakana spoguļa aī nonāk uz fotoplates, veidojot t.s. koheento fonu. Tā kā abas daļas i koheentas (abi stau kūļi), pāklājoties tie intefeē un veido telpisku intefeences lauku tai vietā, ku atodas fotoplate. T.i. intefeē atbalsta stas un no visiem piekšmeta punktiem nākošie sfēiskie viļņi, kuu amplitūdām un fāzēm i gadījuma akstus. Tas atkaīgs no attiecīgā piekšmeta (objketa) atašanās vietas. Pēc fotoplates attīstīšanas edzamā intefeences aina i komplicēta, tā sastāv no dažādas fomas intefeences joslām a dažādu kontastainību un dažādu attālumu stap joslām. I iegūta hologamma. Būtiska hologammas atšķiība no paastā fotonegatīva i tāda, ka tajā bez bez viļņu amplitūdām intefeences maksimumu un minimumu veidā i ieakstītas aī viļņu fāzu attiecības. Tāpēc hologammas satu daudz vaiāk infomācijas pa objektu, nekā fotonegatīvs. Attēla estauēšana Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 5/5-3 DatZB Team

52 Piekšmeta attēla iegūšanai hologamma jāapgaismo a tādas pašs fekvences telpā un laikā koheentu gaismu, kāda tika lietota, to iegūstot t.i. tā jāapgaismo a atbalsta stau. Ejot caui hologammai, atbalsta stas iztuas tieši tāpat (difaģē hologammas maksimumos un minimumos) kā, hologammu uzņemot, no objekta nākošais stas. Viļņu fontes epoducēšana, attēlu iegūstot no hologammas, kad tai caui iet atbalsta stas, i petējs pocess intefeences ainas veidošanās pocesam, hologammu iegūstot. Tas aī i viļņu fontes epoducēšanas (t.i. attēla iegūšanas) fizikālais pamats. Pie tam viļņu fonte epoducējas ļoti pecīzi. Kā edzams zīmējumā veidojas attēli (īstais un škietamais). Uz kata hologammas gabala i attēlots viens un tas pats. Viens hologammas gabals dod tādu pašu attēlu, kā visa hologamma kopā, jo intefeences ainas veidošanā katā hologammas punktā piedalās stai no visiem objekta punktiem, bet vienīgi pasliktinās attēla kvalitāte (spožums, asums). Uz vienas fotoplates va uzņemt vaiākas hologammas. Uzņemot jāmaina vai nu atbalsta staa kišanas leņķis, vai aī gaismas viļņa gaums. Iegūstot attēlus, viena hologamma otai netaucē, tās va epoducēt neatkaīgi. Hologammu veidi un izmantošana A hologafiskām metodēm iespējams iegūt aī lielu attēla palielinājumu, neizmantojot lēcas. Tam nolūkam hologammu apgaismo a stau kūli, kua izkliedes leņķis i lielāks pa to stau kūli, no kua ieguva hologammu. Va aī hologammu uzņemt a īsa viļņa staojumu (piem, entgenstaiem) un attēlu epoducēt a staojumu, kua viļņa gaums i lielāks (piem., edzamā gaisma). To va izmantot augstas izšķišanas spējas mikoskopijā. Pie tam šādam mikoskopam nav lēcu un edzamais attēls i telpisks. Attēlu va iegūt aī kāsainu. Lai iegūtu kāsainu attēlu, objektu hologāfējot apgaismo vienlaicīgi a 3 lāzeiem, kui izstao spekta pamatspektu (zils, zaļš, sakans). Apgaismojot hologammu a tiem pašiem lāzeiem, iegūtais attēls i kāsains, kaut aī pati hologamma i melnbalta. Nākotnē to vaēs izmantot kino & TV. A hologāfiju i jaunas iespējas optiskās infomācijas pieakstā un glabāšanā. Izveidojot hologammu 3dimensionālā gaismas jūtīgā slānī, va mazā tilpumā intefeences ainu veidā ieakstīt DAUDZ infomācijas, un pecīzi nolasīt. Ja hologāfējot stap lāzeu un objektu novieto matstiklu, un iegūto hologammu epoducējot iegūst matstikla vismas attēlu. Bet ja epoducējot stap hologammu un attēlu novieto to pašu matstiklu, tad iegūtā attēla kvalitāte i tāda kā oiģinālajam objektam. T.i. hologammā ieakstīto infomāciju va nolasīt tikai izmantojot hologammas iegūšanā izmantoto matstiklu.. Gaismas kvantu daba. Fotoefekts. Fotoefekta likumi. Komptona izkliede. Gaismas kvanti Gaisma atomos tiek absobēta un izstaota pa noteikta lieluma pocijām kvantiem. Kvanta eneģija = W = h*n h = Planka konstante n = Gaismas fekvence Fotoefekts Pa fotoefektu sauc elektoonu atbīvošanu no vielas atomiem elektomagnētiskā staojuma iedabībā. Ja fotoefektā elektons izlido no vielas, tad to sauc pa āējo fotoefektu, ja elektons paliek vielā, tad pa iekšējo fotoefektu. Jo vājāk elektons i saistīts vielā, jo vieglāk i novēot fotoefektu. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 5/5-3 DatZB Team

53 Izmantošana: Gaismas plūsmas mēīšana (luksomets), dažādu ķīmisku, fizikālu, tehnisku paametu mēīšanai. Āējais fotoefekts Fotons, tiecoties pet vielas vismu, izsit no tās elektonu. Jāņem vēā eneģijas nezūdamības likums t.i. ja fotona eneģija i pa mazu, lai vaētu izsist elektonu no vielas, tad fotoefekts vispā neva notikt. Ja fotona eneģija i lielāka, tad atlikušo eneģijas daļu elektons iegūst kinētiskās eneģijas veidā. Kats no vielas izlidojušais elektons vielā i absobējis vienu kvantu ( e = h*n ). Fotona eneģija = W = (h * c)/ l h = Planka konstante c = Gaismas āātums l = viļņa gaums Elektona kinētiskā eneģija = W k = ( m*v ) / m = elektona masa v = elektona ātums Pēc eneģijas nezūdamības likuma W = A + W k A = izejas dabs t.i. dabs, kas nepieciešams, lai fotons izsistu elektonu no vielas. t.i. () h * n = ( e * j ) + ( ( m*v ) / ) tas i Einšteina fotoefekta v-jums. Āējā fotoefekta likumi. Stoļetova likums. Fotostāvas stipums (t.i. elektonu skaits, ko laika vienībā gaisma izauj no katoda) i tieši popocionāls katoda eneģētiskajam apgaismojumam. Is = g* Es g = katodam akstuīgs koificients, kas atkaīgs no staojuma viļņa gauma.. Elektoni no katoda vismas izlido a ātākie ātumiem, nekā elektoni no katoda dziļākiem slāņiem, un kui daļu savas eneģijas atdod katoda atomiem, notiekot sadusmēm. Elektonu sākumātumi vielā va būt dažādi. Elektoni va izlidot dažādos leņķos attiecībā pet katoda vismu. Ekspeimentāli konstatēts, ka fotoelektonu maksimālais ātums v max t.i. maksimālā kinētiskā eneģija (m*v max )/ i tieši popocionāla gaismas fekvencei. Tā kā pilnīgi visus fotoelementus va aiztuēt, pieliekot bemzējošo petspiegumu U, tad (m*v max )/ = e*u 3. Katai vielai staojuma spektā eksistē gao viļņu obeža t.s. sakanā obeža, sākot a kuu fotoefekts vais nenotiek. Samazinot kītošo kvantu fekvenci, samazinās to to eneģija, līdz a to samazinās no katoda izlidojušo elektonu kinētiskā eneģija. Pie fekvences n kītošā kvanta eneģija kļūs pietiekama tikai izejas daba veikšanai t.i. kinētiskā eneģija būs vienāda a nulli, un izsistie elektoni palaiks uz katoda vismas. T.i. W = A h*n = e * j Fekvenci n sauc pa fotoefekta obežfekvenci, pie kuas fotoefekts vēl va notikt. Robežfekvencei atbilstošo viļņa gaumu l = c / n sauc pa fotoefekta sakano obežu. Izmantošana: Fotoelementi, fotokatodi Iekšējais fotoefekts Apgaismojot dažādas vielas va novēot, ka to elektovadītspēja palielinās. Šajās vielās gaismas iedabībā paādās t.s. fotovadītspēja. Šo paādību sauc pa iekšējo fotoefektu. Izmantošana: fotoezistoi. Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 53/53-3 DatZB Team

54 Spostslāņa fotoefekts Pa Spostslāņa fotoefektu sauc paādību, kad gaismas iedabībā vielā odas elektodzinējspēks. Izmantošana: pusvadītāju fotoelementi, fotodiode, fototanzistos.. Luminescence. Luminescences veidi un izmantošana. Izstaojot ķemenis zaudē eneģiju, lai tas vaētu izstaot ilgstoši, tad tam eneģija i jāpievada klāt no āienes. Ja eneģiju piegādā, ķemeni sildot tad to sauc pa temisko staojumu, pāējos gadījumus sauc pa luminiscencēm. Luminiscenci sadala daļās:. Floiscence t.i. ķemeņa pēcspīdēšanas laiks (dzišanas laiks) i - līdz -8 sekundes. Paasti tie i šķidumi, gāzes.. Fosfoiscence t.i. dzišanas laiks i sākot no -8 sekundēm līdz daudzām stundām. Paasti cietas vielas. Atkaība no veida, kā ķemenim pievada eneģiju, luminiscences sauc:. Fotoluminiscence eneģiju piegādā a gaismu (t.i. apstaojot). Hemioluminiscence spīd iekšēju ķīmisku pocesu ezultātā 3. Elektoluminiscence elektiskā lauka iedabībā 4. u.c. Luminiscenci ada samēā neliels atomu, molekulu vai jonu skaits (atšķiībā no temiskā staojuma), kui veido t.s. luminiscences centu. Pa luminiscences centiem cietās vielās va būt atomi, joni vai jonu gupas, kas lokalizējušies vietās, ku kistāležģa peiodisko stuktūu izjaucis aktivatos (svešvielas atoms, vai ežģa vakance) Luminiscences staojums odas, kad luminiscences centi no ieosināta stāvokļa atgiežas nomālajā stāvoklī (vai mazāk ieosinātā stavoklī). Fotoluminiscence (t.i. eneģiju pievada apgaismojot) Stoksa likums: Fotoluminiscencē izstaotās gaismas viļņa gaums i vienāds vai lielāks pa ieosinošās gaismas viļņa gaumu. Ja viela absobē kvantu h*n, tad šī eneģija daļēji tiek atdota atpakaļ luminiscencē izstaotā kvanta veidā h*n, daļēji tā vielas iekšienē pāiet citos eneģijas veidos W (piemēam, siltumā). Tāpēc, h*n = h*n + W Tā kā W >=, tad h*n >= h*n tātad n >= n Tātad luminiscencē emitējamajam staojumam va būt cits spektālais staojums, nekā ieosinošajam staojuamm. Luminiscences staojuma adšanās:. pastāvīgais staojums atoms, molekula vai jons tiek ieosināts, un tas pēc zināma laika, atgiežoties pamatstāvoklī, izstao gaismu.. Uzspiestais staojums luminiscences centā elektons nonāk uz metastabila eneģijas līmeņa, no kuienes pāeja atpakaļ pamatstāvoklī i aizliegta (pecīzāk mazvabūtīga). Tikai tad, kad cita eneģija (piem., siltumkustības eneģija) pāceļ elektonu augstākā līmenī, no kua pāeja uz pamatlīmeni i atļauta, elektons izstaojot gaismu va atgiezties pamatstāvoklī. 3. Rekombinācijas staojums elektons tiek pilnīgi atauts no atoma (t.i. atoms tiek jonizēts). Pēc tam ekombinējoties (t.i. elektons apvienojas a atomu) atoms izstao gaismu. p.s.. un 3. Gadījumā dzišanas laiki va būt ļoti lieli (no sekundes tūkstošdaļām līdz pa daudzām stundām). Dzišanas laiki. Pastāvīgais staojums I = I * e -bt I = sākotnējā luminiscentā staojuma intensitāte Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 54/54-3 DatZB Team

55 t = / b = ieosinātā stāvokļa dzīves laiks (t.i. laiks, kuā intensitāte samazinās e eizes). Šajā gadījumā dzišanas laiks nav atkaīgs no tempeatūas.. Uzspiestais vai Rekombinācijas staojums I = I / ( b+t ) b = konstante Šajā gadījumā dzišanas laiks i atkaīgs no tempeatūas. T.i. palielinoties tempeatuai, dzišanas laiks samazinās. Fotoluminiscence kistālfosfoos = vadītspējas zona = aiztues centu līmenis (šo līmeni veido piejaukumu vielas un/vai kistāležģa defekti) 3 = luiminiscento centu līmenis (lum. centi i piejaukumu vielas) 4 = aizpildāmā zona. un 3. līmeņi i metastabili. Luminiscences izaisošie pocesi. Elektons absobējot kvantu, va:. Elektons no aizpildītās zonas va pāiet vadītspējas zonā. Elektons no luminiscences zonas va pāiet aizpildāmajā zonā. Elektons no vadītspējas zonas va pāiet uz luminiscences centu, izstaojot gaismu. Elektons no luminiscences centa va pāiet uz vadītspējas zonu. Elektons no vadītspējas zonas va pa iet uz luminiscences centu, izstaojot gaismu. 3. Elektons no aizpildāmās zonas va pāiet vadītspējas zonā. Elektons no vadītspējas zonas va pāiet aiztues zonā. Ja eneģijas stapība stap aiztues līmeni un vadītspējas zonas zemāko līmeni i lielāka nekā siltumkustības vidējā eneģija, tad elektons aiztues zonā va palikt ilgi. Pēc kāda laika elektons no aiztues zonas pāiet vadītspējas zonā. Elektons no vadītspējas zonas pāiet uz luminiscences centu, izstaojot gaismu.. un. gadījumi noisinās ļoti āti, tāpēc mazi dzišanas laiki (fluoiscence). Bet 3. gadījums va noisinātie silgi (fosfoiscence). Luminiscences pielietojums. luminiscentā analīze t.i. viela vai nu pati no sevis vai pēc apstādāšanas a attiecīgiem eaktīviem ultavioletās gaismas iedabībā emitē sev akstuīgu luminiscento staojumu. Pēc staojuma spektālā sastāva un intensitātes va izdaīt gan kvalitatīvo gan kvantitatīvo pētāmās vielas luminiscento analīzi. Luminiscentā analīze i ļoti jūtīga un a tās palīdzību va konstatēt attiecīgā piejaukuma klātbūtni pētāmajā vielā pat tad, ja koncentācija nepāsniedz -. Šo analīzi a labām sekmēm lieto tu, ku ķīmisko analīzi gūti ealizēt. A to konstatē, piemēam, iežos naftu un ūdu, atšķi bojātus poduktus no nebojātiem, atklāj dokumentu viltojumus, asins pēdas u.tml.. needzamā staojuma pāvēšana edzamā staojumā Piemēam ultavioleto un entgenstau pāvēšanai edzamajā staojumā. Šādi gaismu tansfomē untavioleto stau, entgenstau, elektonstau mikoskopijā, fotogāfijā, sakau sistēmās, TV kineskopos u.c. 3. luminiscentās spuldzes (dienas gaisma) 4-5 eizes ekonomiskākas pa paastajām un dod staojumu, kas pēc spektālā sastāva lidzīgs baltai gaismai Šis dabs i nācis no - LU FMF DatZB Dabu Ahīva 55/55-3 DatZB Team

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: Είχαμε πει ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; O.T.

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; O.T. Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; ιανυσµατικό µέγεθος Μέτρο ιεύθυνση Φορά A Μετατόπιση Τελική θέση Αρχική θέση Σύµβολο µέτρου διανύσµατος A ύο διανύσµατα είναι ίσα αν έχουν ίδιο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

6. Pasaules valstu attīstības teorijas un modeļi

6. Pasaules valstu attīstības teorijas un modeļi 6. Pasaules valstu attīstības teorijas un modeļi Endogēnās augsmes teorija (1980.-jos gados) Klasiskās un neoklasiskās augsmes teorijās un modeļos ir paredzēts, ka ilgtermiņa posmā ekonomiskā izaugsme

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Ημερομηνία Παράδοσης: 9/6/9 1. Ένας ομογενώς φορτισμένος μονωτικός κυκλικός δίσκος ακτίνας με συνολικό φορτίο τοποθετείται στο επίπεδο xy. Να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο P που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS 47. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2006)

LATVIJAS 47. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2006) LATVIJAS 47. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2006) Rajona olimpiādes uzdevumi 9. klasei Atrisināt tālāk dotos 6 uzdevumus! Risinājumā parādīt arī visus aprēķinus! Rakstīt glītā, salasāmā rokrakstā! Uz risinājumu

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006

ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006 Σειρά Θέση ΦΥΣ. 3 Τελική Εξέταση: 3-Δεκεμβρίου-6 Πριν αρχίσετε συμπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητας). Ονοματεπώνυμο Αριθμός ταυτότητας Σας δίνονται ισότιμα προβλήματα ( βαθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette)

Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Mόνιμη ροή προερχόμενη από κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο (Ροή Couette) Εξετάζουμε την επίπεδη ροή που λαμβάνει μεταξύ δύο επίπεδων πλακών οι οποίες έχουν απόσταση κατά την διεύθυνση y, h (h=ύψος.) Το μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW (Ισχύει από 02/03/2015)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW (Ισχύει από 02/03/2015) ΛΙΑΝΙΚΗ F21 - Νέα Σειρά 1 3θυρη 2P71 116i 1.499 109 116-126 22.650 21.220 116i Έκδοση Advantage 24.150 22.720 116i Έκδοση Sport Line 26.000 24.570 116i Έκδοση Urban Line 26.000 24.570 116i Έκδοση M Sport

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ Διαλ.19 1

Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ Διαλ.19 1 Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.19 2 Κρούσεις σε 2 διαστάσεις q Για ελαστικές κρούσεις! p 1 + p! 2 = p! 1! + p! 2! όπου p = (p x,p y ) Δηλαδή είναι 2 εξισώσεις, µια για κάθε διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves:

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves: 3.0 Marine Hydrodynamics, Fall 004 Lecture 0 Copyriht c 004 MIT - Department of Ocean Enineerin, All rihts reserved. 3.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 0 Free-surface waves: wave enery linear superposition,

Διαβάστε περισσότερα

είναι το φυσικό µήκος του ελατηρίου, να βρείτε τις συναρτήσεις F = f ( l)

είναι το φυσικό µήκος του ελατηρίου, να βρείτε τις συναρτήσεις F = f ( l) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η (Παράδοση: 8/04/005 ) Άσκηση Πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται ακίνητη η µάζα m = 4Kg στην οποία είναι δεµένη η µια άκρη του ελατηρίου σταθεράς k = 300N/m. Η µάζα m = Kg κινείται µε ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικός ταλαντωτής

6. Αρµονικός ταλαντωτής 6 Αρµονικός ταλαντωτής Βιβλιογραφία Kittel, W D Knight, A Ruderman, A Helmholz και B J oyer, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998 Κεφ 7 F S rawford Jr, Κυµατική Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 0: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

d 1 d 1

d 1 d 1 É É d 1 d 1 n ; n ; x E x E Q 0 z db1 0 z W 0,( 0,d 0,1 ( (,W z 0 z 0 z 0 z z z z z z z z z z z z z z z z z z 0 Date 0 Date 1 Date 2 Borrowing Crisis Repayment Investment Consumption Date 0 Budget Constraint:

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa

Profesora Cipariņa klubs 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa "Profesora Cipariņa klubs" 005./06. m.g.. nodarbības udevumu atrisinājumi A grupa. Viegli pārbaudīt, ka 3 4=44. Tātad meklējamie skaitļi var būt ; 3; 4. Pierādīsim, ka tie nevar būt citādi. Tiešām, ivēloties

Διαβάστε περισσότερα

TROKSNIS UN VIBRĀCIJA

TROKSNIS UN VIBRĀCIJA TROKSNIS UN VIBRĀCIJA Kas ir skaņa? a? Vienkārša skaņas definīcija: skaņa ir ar dzirdes orgāniem uztveramās gaisa vides svārstības Fizikā: skaņa ir elastiskas vides (šķidras, cietas, gāzveida) svārstības,

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)

Διαβάστε περισσότερα

5ppm/ SOT-23 AD5620/AD5640/AD5660. nanodac AD5660 16 AD5640 14 AD5620 12 12 1.25V/2.5V 5ppm/ 8 SOT-23/MSOP 480nA 5V 200nA 3V 3V/5V 16 DAC.

5ppm/ SOT-23 AD5620/AD5640/AD5660. nanodac AD5660 16 AD5640 14 AD5620 12 12 1.25V/2.5V 5ppm/ 8 SOT-23/MSOP 480nA 5V 200nA 3V 3V/5V 16 DAC. 5ppm/ SOT-23 12/14/16nanoDAC AD562/AD564/AD566 nanodac AD566 16 AD564 14 AD562 12 12 1.25V/2.5V 5ppm/ 8SOT-23/MSOP 48nA 5V 2nA 3V 3V/5V 16 DAC 3 to SYNC 1. 1212/14/16nanoDAC 2. 1.25V/2.5V 5ppm/ 3. 8SOT-23

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις

Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24 !! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &

Διαβάστε περισσότερα

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα m=1 kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα.

1. Ένα σώμα m=1 kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα. . Ένα σώμα m= kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα. α. Να βρείτε τη σταθερά D και την ολική ενέργεια του ταλαντωτή. β. Να γράψετε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW F21 - Σειρά 1 3θυρη 1P11 114i 1.598 102 127-132 21.900 20.470 1D11 116i 1.598 136 125-134 23.900 22.470 1D31 118i 1.598 170 129-137 27.050 25.620 1D51 125i 1.997 218 154 / 148 34.900 32.100 1N71 M135i

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri

6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI. Temata apraksts. Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis. Uzdevumu piemēri 6. TEMATS MEHĀNISKĀS SVĀRSTĪBAS UN VIĻŅI Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri F_10_SP_06_P1 Uzdevums grupai Skolēna darba lapa F_10_UP_06_P1 Seismogrāfa darbības shēma

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ATTĀLINĀTA ŪDENS SKAITĪTĀJU RĀDĪJUMU NOLASĪŠANAS SISTĒMA ŪDENS SKAITĪTĀJI

ATTĀLINĀTA ŪDENS SKAITĪTĀJU RĀDĪJUMU NOLASĪŠANAS SISTĒMA ŪDENS SKAITĪTĀJI ATTĀLINĀTA ŪDENS SKAITĪTĀJU RĀDĪJUMU NOLASĪŠANAS SISTĒMA ŪDENS SKAITĪTĀJI Sistēmas un iekārtu darbības pamatprincipi Apraksts Attālinātā ūdens skaitītāju rādījumu nolasīšanas sistēma ir iekārtu kopums,

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος A' έκδοσης... v Πρόλογος Β' έκδοσης... v Κεφάλαιο 1: Κυματική φύση του ήχου... 1 Βασικοί τύποι:... 1 Ασκήσεις... 4 Κεφάλαιο : Μέτρηση του ήχου... 17 Βασικοί τύποι:... 17 Ασκήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 27 Μαίου 2014

Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 27 Μαίου 2014 Νόμος Faraday Κανόνας Lenz Αυτεπαγωγή - Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαίου 014 Στόχοι διάλεξης Πώς να: υπολογίζει την μεταβολή της μαγνητικής ροής. εφαρμόζει το νόμο του Faraday για τον υπολογισμό της επαγόμενης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά. Δ. Ευταξιόπουλος

Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά. Δ. Ευταξιόπουλος Διάδοση Κυμάτων στα Υλικά Δ. Ευταξιόπουλος 14 Φεβρουαρίου 01 Περιεχόμενα 1 Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό μέσο άπειρων διαστάσεων 5 1.1 Τάσεις και παραμορφώσεις...................... 5 1. Ο νόμος Hooke για

Διαβάστε περισσότερα

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Η μυκηναϊκή Γραμμική Β γραφή ονομάστηκε έτσι από τον

Διαβάστε περισσότερα

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec. Ημερομηνία Παράδοσης: 6//006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Α ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ 1-12134 -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 210-5757255

Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Α ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ 1-12134 -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 210-5757255 ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ - -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 0-77 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s, Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου 9-1 ιάρκεια εξέτασης :3 5//1 Ι. Σ. Ράπτης Ε. Φωκίτης Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση (µάζα m σταθερά ελατηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι Σταύρος Κομηνέας Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Περιεχόμενα 0.1 Πρόλογος.......................................... ii 1 Μηχανική 1 1.1 Εισαγωγή..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις. q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange

Ταλαντώσεις. q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange ΦΥΣ 211 - Διαλ.19 1 q Μια διαφορετική εφαρμογή του φορμαλισμού Lagrange q Ταλαντωτής αποτελεί ένα σύστημα του οποίου μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις κίνησης Ø σε κάποιο γενικό σύστημα οι εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Διατήρηση της Ενέργειας Εικόνα: Η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική κατά την ολίσθηση ενός παιχνιδιού σε μια πλατφόρμα. Μπορούμε να αναλύσουμε τέτοιες καταστάσεις με τις

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γε ν ι κ ή Δ ι ε ύ θ υ ν σ η Γε ω ρ γ ί α ς κ α ι Αγ ρ ο τ ι κ ή ς Α ν ά π τ υ ξ η ς Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γεωργία και αγροτική ανάπτυξη Για περισσότερες πληροφορίες 200 Rue de la Loi,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Ο γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση της ετήσιας αύξησης του οικονομικά ενεργού πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα