(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο)."

Transcript

1 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της Α' Λυκείυ στην πρώτη τυς συστηµατική επαφή µε τις ασκήσεις απόδειξης στη Γεωµετρία και περιέχυν: 1. Γενικές δηγίες αντιµετώπισης µιας άσκησης απόδειξης στη Γεωµετρία όπυ δίνεται έµφαση στην τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι Ειδικές περιπτώσεις συµπερασµάτων πυ αναφέρνται στην ύλη της Γεωµετρίας της Α' Λυκείυ και 3. Ασκήσεις λυµένες υπδειγµατικά. Οι ασκήσεις της Γεωµετρίας στην πλεινότητά τυς είναι ασκήσεις απόδειξης. Συναντάµε όµως και πρβλήµατα κατασκευής ενός σχήµατς, πρβλήµατα υπλγισµύ ενός µεγέθυς, πρβλήµατα εύρεσης ενός γεωµετρικύ τόπυ κλπ. Στις ασκήσεις απόδειξης ζητείται συνήθως να απδειχθεί ότι αν ισχύει µία πρόταση P (Υπόθεση), τότε θα ισχύει µία άλλη πρόταση Q (Συµπέρασµα). Αξίζει να αναφερθεί ότι η Γεωµετρία (θεωρία και ασκήσεις) συµβάλλει σηµαντικά στην ανάπτυξη της αναλυτικής, διαισθητικής και κριτικής σκέψης. Χαρακτηριστικά είναι τα δύ ιστρικά στιχεία πυ ακλυθύν στα πία φαίνεται η µεγάλη αξία της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Α. Ο Πλάτων, πίς αντιµετώπιζε τα Μαθηµατικά καθαρά ως αντικείµεν στχασµύ, θεωρύσε τη Γεωµετρία ως πρπαιδευτικό µάθηµα για τη Φιλσφία και γι' αυτό στην είσδ της Ακαδηµίας είχε τπθετήσει µία επιγραφή µε τη φράση: «Μηδείς αγεωµέτρητς εισίτω». Β. Όταν βασιλιάς της Αιγύπτυ Πτλεµαίς Α, γητευµένς από τα Στιχεία τυ Ευκλείδη, ζήτησε από τν Ευκλείδη να τυ υπδείξει έναν πι εύκλ τρόπ για να µάθει Γεωµετρία, τότε τελευταίς τυ απάντησε µε την ιστρική φράση: «εν υπάρχει βασιλική δός για την Γεωµετρία». Μπρεί λιπόν τα µνπάτια της Γεωµετρίας να είναι δύσβατα, αξίζει όµως τν κόπ να τα διαβεί κανείς, γιατί κρύβυν αρκετή γητεία και επιφυλάσσυν πλλές εκπλήξεις!

2 2 ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Πρέπει να γνωρίζυµε ότι στη Γεωµετρία κάθε άσκηση απτελεί σχεδόν ιδιαίτερη περίπτωση και επµένως δεν είναι εύκλ να δώσυµε ειδική µεθδλγία για τη λύση όλων των ασκήσεων. Ωστόσ, µπρύµε να δώσυµε κάπιες γενικές δηγίες. Έτσι λιπόν, για να λύσυµε µία άσκηση απόδειξης στη Γεωµετρία συνήθως ακλυθύµε τα παρακάτω βήµατα. 1. ιαβάζυµε πρσεκτικά την άσκηση και απµνώνυµε τα βασικά της µέρη, δηλαδή ξεχωρίζυµε την Υπόθεση και τ Συµπέρασµα. Αυτό θα µας βηθήσει και να κατανήσυµε καλύτερα την άσκηση, αλλά και αν έχυµε καταγράψει τα στιχεία της σε πίνακα, να έχυµε καλύτερη πρόσβαση σ' αυτά, ώστε να µην τα ξεχνάµε. 2. Στη συνέχεια, κάνυµε ένα καλό σχήµα τ πί θα πρέπει να ανταπκρίνεται στα δεδµένα της άσκησης. Ίσως χρειασθεί να χαράξυµε και κάπια ή κάπιες βηθητικές γραµµές (ευθείες ή κύκλυς). Αυτό εξαρτάται φυσικά από την άσκηση (υπόθεση, συµπέρασµα, θεωρία κλπ.). Μία καλή συνήθεια εδώ είναι να σηµειώνυµε πάνω στ σχήµα στα ίσα στιχεία τ ίδι σύµβλ καθώς και τη σχέση διαφόρων µεγεθών, είτε αυτά δίννται εξ αρχής είτε πρκύπτυν κατά την πρεία της λύσης της άσκησης. Αυτό, και θα µας υπενθυµίζει τα στιχεία της άσκησης, όταν σκεπτόµαστε για να την λύσυµε, αλλά και γενικότερα µπρεί να µας βηθήσει να συλλάβυµε και κάπια ιδέα για τη λύση. 3. Σε πλλές ασκήσεις απόδειξης µια τακτική πυ συνήθως ακλυθύµε είναι η τεχνική τυ «αρκεί να απδείξυµε ότι...», δηλ. αν θέλυµε να απδείξυµε την αλήθεια ενός Συµπεράσµατς Σ, τότε παρατηρύµε λαµβάνντας υπόψη τα στιχεία της άσκησης, τί πρέπει να ισχύει (Σ π ) για να εξαχθεί τ συ- µπέρασµα Σ. Στη συνέχεια πρσπαθύµε να απδείξυµε τ συµπέρασµα Σ π. Σχηµατικά η διαδικασία αυτή µπρεί να απδθεί ως εξής: 4. Κατόπιν συνδέυµε την υπόθεση µε την αντίστιχη θεωρία (ρισµύς, θεωρήµατα κλπ.), ώστε να εξάγυµε τα κατάλληλα ενδιάµεσα συµπεράσµατα ή απτελέσµατα, τα πία θα χρησιµπιήσυµε στη συνέχεια. Στ βήµα αυτό πρέπει να αναρωτιόµαστε πώς µπρύµε να χρησιµπιήσυµε κάθε στιχεί της υπόθεσης, ώστε να δηγηθύµε στ συµπέρασµα. Εννείται βέβαια ότι πρέπει να γνωρίζυµε πλύ καλά την αντίστιχη θεωρία. Η διαδικασία αυτή είναι πλύ σηµαντική, διότι σκιαγραφεί την πρεία της απόδειξης.

3 3 Η παραπάνω τεχνική θα κατανηθεί καλύτερα µε τη βήθεια τυ επόµενυ παραδείγµατς. Παράδειγµα: Να απδειχθεί ότι τ συµµετρικό τυ ρθόκεντρυ ενός τριγώνυ ΑΒΓ ως πρς κάθε πλευρά τυ είναι σηµεί τυ περιγεγραµµένυ τυ κύκλυ. ( είτε τ παρακάτω σχήµα για ξυγώνι τρίγων). Υπόδειξη (Αρκεί να απδειχθεί για τη µία πλευρά, έστω την ΒΓ. Για τα άλλες δύ η απόδειξη είναι ίδια). 1 ς τρόπς (Άµεσα. εν έχυµε φέρει τν περιγεγραµµέν κύκλ): Έστω Η' τ συµµετρικό τυ Η ως πρς τη ΒΓ. Θέλυµε να απδείξυµε ότι τ Η' είναι σηµεί τυ περιγεγραµµένυ κύκλυ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τετράπλευρ ΑΒΗ'Γ είναι εγγράψιµ. 2 ς τρόπς (Έµµεσα. Έχυµε φέρει τν περιγεγραµµέν κύκλ): Πρεκτείνυµε τ ύψς Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ µέχρι να τµήσει τν περιγεγραµµέν τυ κύκλ. Έστω Η' τ σηµεί τµής. Για να εξαχθεί τ συµπέρασµα, αρκεί να απδείξυµε ότι τ Η' είναι τ συµµετρικό τυ Η ως πρς τη ΒΓ και για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τρίγων ΒΗΗ' είναι ισσκελές µε βάση την ΗΗ. Ανάλγα εργαζόµαστε και αν τ τρίγων είναι ρθγώνι ή αµβλυγώνι.

4 4 ΕΙ ΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ Ενδεικτικά αναφέρυµε µερικές περιπτώσεις συµπερασµάτων Σ (πυ θέλυµε να απδείξυµε) µε αντίστιχα συµπεράσµατα Σ π (τα πία αρκεί να απδείξυµε). Η επιλγή τυ Σ π κάθε φρά εξαρτάται από τα στιχεία της άσκησης. Βέβαια τ θέµα παραµένει ανικτό γιατί δεν εξαντλύνται εύκλα όλες ι περιπτώσεις. I Ίσα ευθύγραµµα τµήµατα Για να απδείξυµε ότι δύ ευθύγραµµα τµήµατα είναι ίσα, αρκεί να απδείξυµε ότι είναι αντίστιχες πλευρές δύ ίσων τριγώνων (θα απδείξυµε φυσικά ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα) ή ότι είναι αθρίσµατα ή διαφρές ίσων τµηµάτων ή ότι είναι ι ίσες πλευρές ενός ισσκελύς τριγώνυ ή πλευρές ισόπλευρυ τριγώνυ ή ότι τ καθένα είναι ίσ µε κάπι τρίτ ευθύγραµµ τµήµα ή ότι είναι απέναντι πλευρές παραλληλγράµµυ ή ότι είναι διαγώνιες ρθγωνίυ ή ισσκελύς τραπεζίυ ή ότι είναι χρδές ίσων τόξων ή ότι είναι τα εφαπτόµενα τµήµατα πυ φέρνυµε πρς ένα κύκλ από ένα σηµεί ε- κτός αυτύ ή ότι είναι ακτίνες τυ ίδιυ κύκλυ ή ότι είναι χρδές ενός κύκλυ ή δύ ίσων κύκλων και έχυν ίσα απστήµατα ή ότι ρίζνται πάνω σε µια ευθεία πυ τέµνεται από παράλληλες ευθείες, ι πίες ρίζυν ίσα τµήµατα σε µια άλλη ευθεία πυ τις τέµνει ή ότι II Ίσες γωνίες Για να απδείξυµε ότι δύ γωνίες είναι ίσες, αρκεί να απδείξυµε ότι είναι αντίστιχες γωνίες δύ ίσων τριγώνων ή ότι η καθεµία είναι ίση µε κάπια τρίτη γωνία ή ότι είναι ίσες µία πρς µία µε δύ άλλες γωνίες πυ είναι ίσες µεταξύ τυς ή ότι είναι κατακρυφήν ή ότι είναι αθρίσµατα ή διαφρές ίσων γωνιών ή ότι

5 5 είναι παραπληρώµατα ή συµπληρώµατα της ίδιας γωνίας ή ίσων γωνιών ή ότι είναι ι πρσκείµενες γωνίες στη βάση ενός ισσκελύς τριγώνυ ή ενός ισσκελύς τραπεζίυ ή ότι είναι επίκεντρες ή εγγεγραµµένες στν ίδι κύκλ ή σε ίσυς κύκλυς και βαίνυν σε ίσα τόξα ή ότι είναι εντός εναλλάξ ή εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη δύ παραλλήλων ευθειών πυ τέµννται από µία τρίτη ευθεία ή ότι είναι απέναντι γωνίες ενός παραλληλγράµµυ ή ότι η µία γωνία, έστω φ, σχηµατίζεται από µία χρδή ενός κύκλυ και την εφαπτµένη τυ στ ένα άκρ της χρδής αυτής και η άλλη είναι εγγεγραµµένη στν κύκλ αυτό και βαίνει στ τόξ της χρδής πυ περιέχεται στην φ ή ότι ι κρυφές τυς είναι διαδχικές κρυφές εγγράψιµυ τετραπλεύρυ και ι πλευρές τυς διέρχνται από τα άκρα της απέναντι πλευράς ή ότι έχυν τις πλευρές τυς παράλληλες ή κάθετες µία πρς µία και είναι και ι δύ ξείες ή και ι δύ αµβλείες ή ότι... ΙΙΙ ύ ευθύγραµµα τµήµατα έχυν κινό µέσ (Ανάλγα εργαζόµαστε και για να απδείξυµε ότι δύ γωνίες έχυν κινή διχτόµ ή δύ τόξα κινό µέσ). Για να απδείξυµε ότι δύ ευθύγραµµα τµήµατα έχυν κινό µέσ, αρκεί να απδείξυµε ότι τ µέσ τυ ενός είναι και µέσ τυ άλλυ ή ότι τ ένα βρίσκεται στ εσωτερικό τυ άλλυ και τα τµήµατα πυ περιέχνται ανάµεσά τυς είναι ίσα (τα τµήµατα έχυν τν ίδι φρέα) ή ότι (µόν για ευθύγραµµα τµήµατα) είναι διαγώνιες παραλληλγράµµυ ή ότι... ΙV ύ ευθείες ταυτίζνται Για να απδείξυµε ότι δύ ευθείες ταυτίζνται, αρκεί να απδείξυµε ότι είναι παράλληλες µεταξύ τυς και διέρχνται από τ ίδι σηµεί ή ότι είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία και διέρχνται από τ ίδι σηµεί ή ότι

6 6 είναι κάθετες στην ίδια ευθεία και διέρχνται από τ ίδι σηµεί ή ότι αν τέµνυν στ ίδι σηµεί, έστω Α, µία τρίτη ευθεία (ε) και αν Β και Γ είναι σηµεία των δύ ευθειών πυ βρίσκνται πρς τ ίδι µέρς της (ε) και σηµεί της (ε) και ισχύει ΒΑ =ΓΑ ˆ ˆ ή ότι V Τρία σηµεία συνευθειακά Για να απδείξυµε ότι τρία σηµεία, έστω Α, Β, Γ (Β τ µεσαί), είναι συνευθειακά, αρκεί να απδείξυµε ότι ΑΒ ˆ Γ = 180 ή ότι δύ ευθείες πυ ρίζνται από αυτά π.χ. ι ΑΒ και ΑΓ ταυτίζνται π.χ. είναι κάθετες ή παράλληλες στην ίδια ευθεία ή ότι τ ευθύγραµµ τµήµα ΑΓ είναι ίσ µε τ άθρισµα των δύ άλλων ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και ΒΓ, δηλ. ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ ή ότι τ µήκς τυ ευθυγράµµυ τµήµατς ΑΓ είναι ίσ µε τ άθρισµα των µηκών των δύ άλλων ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και ΒΓ, δηλ. (ΑΓ) = (ΑΒ) + (ΒΓ) ή ότι η ευθεία πυ ρίζεται από τα δύ σηµεία διέρχεται και από τ τρίτ σηµεί (π.χ. η ευθεία ΑΒ διέρχεται από τ σηµεί Γ) ή ότι VI Ορθγώνι τρίγων Για να απδείξυµε ότι ένα τρίγων είναι ρθγώνι, αρκεί να απδείξυµε ότι µία γωνία τυ είναι ρθή ή ότι δύ γωνίες τυ είναι συµπληρωµατικές ή ότι η διάµεσς πυ φέρνυµε από µία κρυφή τυ είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης πλευράς ή ότι είναι ίσ µε ένα άλλ τρίγων πυ ξέρυµε ότι είναι ρθγώνι ή ότι

7 7 VΙI Ευθείες κάθετες Για να απδείξυµε ότι δύ ευθείες είναι κάθετες, αρκεί να απδείξυµε ότι σχηµατίζεται ρθγώνι τρίγων µε κρυφή της ρθής γωνίας τ σηµεί τ- µής τυς. (Φυσικά πρέπει να απδείξυµε ότι τ τρίγων αυτό είναι ρθγώνι) ή ότι σχηµατίζυν γωνία 90 ή ότι ηµιευθείες τυς µε αρχή τ κινό τυς σηµεί είναι διχτόµι δύ εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών ή ότι η µία είναι η µεσκάθετς ενός ευθυγράµµυ τµήµατς τυ πίυ φρέας είναι η άλλη ή ότι στη µία ευθεία ανήκει η διχτόµς ή η διάµεσς πυ ξεκινά από την κρυφή ενός ισσκελύς τριγώνυ και στην άλλη ευθεία ανήκει η βάση τυ τριγώνυ αυτύ ή ότι ένα τµήµα της µιας ευθείας είναι πλευρά ενός τριγώνυ και η άλλη ευθεία διέρχεται από την απέναντι κρυφή τυ τριγώνυ αυτύ και από τ ρθόκεντρό τυ ή ότι είναι παράλληλες µία πρς µία µε δύ άλλες ευθείες, πυ γνωρίζυµε ότι είναι κάθετες µεταξύ τυς ή ότι η µία ευθεία είναι παράλληλη σε µια τρίτη ευθεία, πυ γνωρίζυµε ότι είναι κάθετη στην άλλη ή ότι τµήµατά τυς είναι διαγώνιες ρόµβυ ή ότι η µία είναι εφαπτµένη ενός κύκλυ και η άλλη διέρχεται από τ σηµεί επαφής και τ κέντρ τυ κύκλυ ή ότι... VIII Μεσκάθετς ευθυγράµµυ τµήµατς Για να απδείξυµε ότι µία ευθεία είναι µεσκάθετς ενός ευθυγράµµυ τµήµατς, αρκεί να απδείξυµε ότι

8 8 διέρχεται από τ µέσ τυ ευθυγράµµυ τµήµατς και είναι κάθετη σ αυτό ή ότι διέρχεται από τ µέσ τυ ευθυγράµµυ τµήµατς και ένα σηµεί της ισαπέχει από τα άκρα τυ ή ότι δύ σηµεία της ισαπέχυν από τα άκρα τυ ευθυγράµµυ τµήµατς ή ότι... IΧ Τρεις ευθείες διέρχνται από τ ίδι σηµεί (συντρέχυν) Για να απδείξυµε ότι τρεις ευθείες διέρχνται από τ ίδι σηµεί, αρκεί να απδείξυµε ότι τµήµατά τυς είναι δευτερεύντα στιχεία ενός τριγώνυ, δηλ. διχτόµι, ύψη ή διάµεσι ή ότι είναι µεσκάθετες των πλευρών ενός τριγώνυ ή ότι ι δύ ευθείες τέµννται σε ένα σηµεί και από αυτό τ σηµεί διέρχεται και η τρίτη ευθεία ή ότι δύ από τις ευθείες τέµννται σε ένα σηµεί, έστω Α και άλλες δύ (µία ευθεία θα είναι και στα δύ ζεύγη) τέµννται σε ένα σηµεί, έστω Β και τα δύ σηµεία Α και Β ταυτίζνται ή ότι ι δύ ευθείες τέµννται σε ένα σηµεί και η ευθεία πυ ρίζεται από τ σηµεί τµής τυς και από ένα σηµεί της τρίτης ευθείας είναι η τρίτη ευθεία ή ότι... X Μέσ ευθυγράµµυ τµήµατς Για να απδείξυµε ότι ένα σηµεί (έστω Μ) ενός ευθυγράµµυ τµήµατς (έστω ΑΒ) είναι µέσ τυ ευθυγράµµυ τµήµατς αρκεί να απδείξυµε ότι ΜΑ = ΜΒ (δείτε απόδειξη ισότητας ευθυγράµµων τµηµάτων) ή ότι τ ευθύγραµµ τµήµα ΑΒ είναι διαγώνις παραλληλγράµµυ και τ σηµεί Μ είναι τ σηµεί τµής των διαγωνίων τυ ή ότι τ τµήµα ΑΒ είναι πλευρά τριγώνυ και τ σηµεί Μ είναι τ σηµεί πυ τέµνει την πλευρά ΑΒ η διάµεσς από την απέναντι κρυφή (δηλ. η ευθεία πυ άγεται από την απέναντι κρυφή και διέρχεται από τ βαρύκεντρ τυ τριγώνυ) ή ότι

9 9 τ τµήµα ΑΒ είναι πλευρά τριγώνυ και τ σηµεί Μ είναι τ σηµεί τµής της ΑΒ µε την παράλληλη πυ άγεται από τ µέσ µιας άλλης πλευράς πρς την τρίτη πλευρά τυ τριγώνυ ή ότι XI Παράλληλες ευθείες Για να απδείξυµε ότι δύ ευθείες είναι παράλληλες µεταξύ τυς αρκεί να απδείξυµε ότι τµήµατά τυς είναι απέναντι πλευρές παραλληλγράµµυ ή ότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία σε διαφρετικά σηµεία ή ότι τέµννται από µία τρίτη ευθεία και δύ εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες ή δύ εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι ίσες ή δύ εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι παραπληρωµατικές ή ότι καθεµία είναι παράλληλη πρς µία τρίτη ευθεία ή ότι τέµνυν δύ άλλες τεµνόµενες; ευθείες και ρίζυν πάνω σ' αυτές ανάλγα τµήµατα ή ότι η µία ευθεία διέρχεται από τα µέσα των πλευρών ενός τριγώνυ και η άλλη είναι φρέας της τρίτης πλευράς τυ τριγώνυ αυτύ ή ότι η µία ευθεία διέρχεται από τα µέσα των µη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίυ και η άλλη είναι φρέας µιας βάσης τυ τραπεζίυ αυτύ ή ότι ΧΙI Εφαπτµένη κύκλυ Για να απδείξυµε ότι µία ευθεία εφάπτεται σε ένα κύκλ, αρκεί να απδείξυ- µε ότι είναι κάθετη σε µία ακτίνα τυ κύκλυ στ άκρ της ακτίνας πυ είναι σηµεί τυ κύκλυ ή ότι τέµνει τν κύκλ σε ένα σηµεί, έστω Μ, και η γωνία ω πυ σχηµατίζει µε µία χρδή τυ κύκλυ της πίας ένα άκρ είναι τ Μ είναι ίση µε κάθε εγγεγραµµένη γωνία πυ βαίνει στ τόξ της χρδής πυ περιέχεται στην ω ή ότι τ κάθετ τµήµα πυ φέρνυµε από τ κέντρ τυ κύκλυ πρς την ευθεία είναι ίσ µε την ακτίνα τυ κύκλυ ή ότι...

10 10 ΧΙΙI Ισσκελές τρίγων Για να απδείξυµε ότι ένα τρίγων είναι ισσκελές, αρκεί να απδείξυµε ότι δύ πλευρές τυ είναι ίσες ή ότι δύ γωνίες τυ είναι ίσες ή ότι ένα ύψς τυ είναι και διχτόµς ή διάµεσς ή ότι µία διχτόµς τυ είναι και ύψς ή διάµεσς ή ότι µία διάµεσς τυ είναι και ύψς ή διχτόµς ή ότι... ΧΙV ιχτόµς γωνίας Για να απδείξυµε ότι µία ηµιευθεία είναι διχτόµς µιας γωνίας, αρκεί να απδείξυµε ότι η ηµιευθεία αυτή σχηµατίζει ίσες γωνίες µε τις πλευρές της γωνίας ή ότι ένα σηµεί της ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας ή ότι η γωνία είναι γωνία ενός τριγώνυ και η ηµιευθεία έχει ως αρχή την αντίστιχη κρυφή τυ τριγώνυ αυτύ και διέρχεται από τ έγκεντρό τυ ή ότι η γωνία είναι η γωνία των ίσων πλευρών ισσκελύς τριγώνυ και η ηµιευθεία έχει αρχή την κρυφή τυ τριγώνυ αυτύ και είναι κάθετη στη βάση ή διέρχεται από τ µέσ της βάσης ή ότι ΧV Παραλληλόγραµµ ρθγώνι ρόµβς - τετράγων Για να απδείξυµε ότι ένα τετράπλευρ είναι παραλληλόγραµµ, ρθγώνι, ρόµβς ή τετράγων µπρύµε να χρησιµπιήσυµε ένα από τα αντίστιχα κριτήρια πυ αναφέρνται στ σχλικό βιβλί.

11 11 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Ως εφαρµγή των παραπάνω ας δύµε τρεις ασκήσεις λυµένες υπδειγµατικά. Στην παρυσίαση της λύσης (τετράδι, διαγώνισµα) θα γράφυµε πωσδήπτε τη διαδικασία της απόδειξης και ό,τι άλλ κρίνεται απαραίτητ. 1 παράδειγµα: ίνεται γωνία xo ˆ y και η διχτόµς της Οδ. Από σηµεί Α της Οy φέρνυµε παράλληλη πρς την Οδ πυ τέµνει την πρέκταση της Οx στ Β. Να απδείξετε ότι ΟΑ = ΟΒ. Λύση Τα βασικά µέρη της άσκησης Υπόθεση Συµπέρασµα Οδ διχτόµς της xo ˆ y, Α τυχαί σηµεί της Οy και ΑΒ Οδ (Β σηµεί της πρέκτασης της Οx πρς τ Ο). ΟΑ = ΟΒ. Κατασκευή τυ σχήµατς «Αρκεί να απδείξυµε ότι...» Ζητείται να απδείξυµε ότι ΟΑ = ΟΒ (Συµπέρασµα). Για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές και για να απδειχθεί αυτό, αρκεί να απδείξυµε ότι Â ˆ 1 = Β1. (Λόγω των παραλλήλων ευθειών και της διχτόµυ είναι ευκλότερ να βρύµε σχέσεις µεταξύ γωνιών).

12 12 Σύνδεση των δεδµένων µε τη θεωρία Η Οδ είναι διχτόµς της γωνίας xo ˆ y. Αυτό σηµαίνει ότι χωρίζει τη γωνία σε δύ ίσες γωνίες. (Στ σχήµα στις ίσες γωνίες έχυµε σηµειώσει τ γράµµα ω). ΑΒ Οδ. Παρατηρύµε ότι ι ευθείες αυτές τέµννται από τις Οy και Οx, πότε θα ισχύυν όλα τα συµπεράσµατα τυ θεωρήµατς των παραλλήλων ευθειών (εντός εναλλάξ γωνίες ίσες κλπ....). Aπόδειξη Έχυµε: Â 1 = ΑΟˆ δ (1), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και Οδ µε τέµνυσα την Οy. Β ˆ 1 = xôδ (2), ως εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη των παραλλήλων ΑΒ και Οδ µε τέµνυσα τη Βx. Α Οˆ δ= xôδ (3), επειδή η Οδ είναι διχτόµς της xo ˆ y. Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) πρκύπτει ότι Â ˆ 1 = Β1. Άρα τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές και επµένως ΟΑ = ΟΒ. 2 παράδειγµα: Έστω τρίγων ΑΒΓ µε ΒΓ = 2ΑΒ και Βˆ = 2Γˆ. Να απδείξετε ότι Α ˆ = 90. Λύση Τα βασικά µέρη της άσκησης Υπόθεση ΑΒΓ τρίγων µε ΒΓ = 2ΑΒ και Βˆ = 2Γˆ Συµπέρασµα Α ˆ = 90 Κατασκευή τυ σχήµατς Η άσκηση αυτή είναι λίγ διαφρετική από την πρηγύµενη, γιατί χρειάζεται να χαράξυµε και κάπιες γραµµές (βηθητικές). Σ' αυτό µας κατευθύνει η υ- πόθεση. Τη σχέση των γωνιών Β και Γ µπρύµε να την εκφράσυµε στ σχήµα φέρνντας τη διχτόµ της γωνίας Β και θέτντας στις ίσες γωνίες τ γράµµα ω. Επίσης, τη σχέση των πλευρών ΒΓ και ΑΒ µπρύµε να την εκφράσυµε σηµειώνντας τ µέσ Μ της ΒΓ και θέτντας στα ίσα τµήµατα τ ίδι σύµβλ (δύ µικρές γραµµές). Τέλς, παρατηρύµε ότι σχηµατίζεται ένα ισσκελές τρίγων, τ ΒΓ, πότε φέρνυµε και τη διάµεσό τυ Μ, (η

13 13 διάµεσς ενός ισσκελύς τριγώνυ πυ άγεται από την κρυφή είναι γενικά µία καλή βηθητική γραµµή). Έτσι έχυµε τ παρακάτω σχήµα: «Αρκεί να απδείξυµε ότι...» Ζητείται να απδείξυµε ότι Αˆ = 90 (Συµπέρασµα). Μια πρώτη σκέψη θα ήταν να απ δείξυµε ότι Α ΒΓ+ΑΓΒ ˆ ˆ = 90. Αυτό όµως δε µπρεί να απδειχθεί µε τα στιχεία της υπόθεσης ανεξάρτητα από την γωνία Α. Παρατηρύµε όµως ότι αν Αˆ = 90, τότε τα τρίγωνα ΑΒ και Μ Β είναι ίσα. Αρκεί λιπόν να απδείξυµε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Μ ΒΜ είναι ίσα. Σύνδεση των δεδµένων µε τη θεωρία Με τη βήθεια της διχτόµυ Β της γωνίας Β πυ φέραµε ως βηθητική, ρίζεται τ ισσκελές τρίγων ΒΓ, αφύ έχει δύ γωνίες ίσες. Η διάµεσς Μ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΒΓ, πυ φέραµε από την κρυφή, είναι και ύψς και διχτόµς. Απόδειξη Συγκρίνυµε τα τρίγωνα ΑΒ και Μ Β. Τα τρίγωνα αυτά έχυν: 1. ΑΒ = ΜΒ, αφύ ΒΓ = 2ΑΒ και τ Μ είναι µέσ της ΒΓ. 2. Β = Β (κινή) και ˆ 3. ˆ ˆ Β ΒΑ= ΒΜ = ( Β διχτόµς). 2 Από τις παραπάνω ισότητες πρκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Μ Β είναι ίσα (κριτήρι ΠΓΠ), πότε ˆ ˆ Β Α = ΜΒ. Αλλά ΜΒ= ˆ 90, γιατί η διάµεσς Μ τυ ισσκε λύς τριγώνυ ΒΓ είναι και ύψς. Άρα Α ˆ = 90.

14 3 παράδειγµα: ίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Αˆ = 90 ) και η διάµεσός τυ ΑΜ. Αν ένα εσωτερικό σηµεί τυ ΒΜ και Ε, Ζ ι πρβλές τυ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, να απδείξετε ότι: Η διάµεσς ΑΜ, τ τµήµα Ζ και η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν. 14 Λύση Τα βασικά µέρη της άσκησης Υπόθεση Συµπέρασµα Στ τρίγων ΑΒΓ είναι Αˆ = 90, ΑΜ διάµεσς, εσωτερικό σηµεί τυ ΒΜ, Ε ΑΒκαι Ζ ΑΓ. Οι ευθείες ΑΜ, Ζ και η παράλ/λη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν. Κατασκευή τυ σχήµατς «Αρκεί να απδείξυµε ότι...» Ζητείται να απδείξυµε ότι τα τµήµατα ΑΜ, Ζ και η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν (Συµπέρασµα). Καταρχάς είναι πρφανές ότι τα τµήµατα ΑΜ και Ζ τέµννται σε ένα εσωτερικό σηµεί τυ τριγώνυ, έστω Ρ (γιατί;). Αρκεί να απδείξυµε λιπόν ότι από τ Ρ διέρχεται και η τρίτη ευθεία ή ισδύναµα ότι η ΒΡ είναι παράλληλη στην ΕΖ. Πρς τύτ, αρκεί να απδείξυµε ότι τ τετράπλευρ ΕΒΡΖ είναι παραλληλόγραµµ, αφύ ΖΡ ΕΒ. Για να απδείξυµε όµως ότι τ τετράπλευρ ΕΒΡΖ είναι παραλληλόγραµµ

15 15 αρκεί να απδείξυµε ότι ΖΡ = ΕΒ. Παρατηρύµε δε πως τα τµήµατα ΖΡ και ΕΒ είναι πλευρές των τριγώνων ΑΖΡ και ΕΒ αντίστιχα, τα πία υπψιαζόµαστε ότι είναι ίσα. Αρκεί λιπόν να απδείξυµε ότι τα τρίγωνα ΑΖΡ και ΕΒ είναι ίσα. Σύνδεση των δεδµένων µε τη θεωρία Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι µε Αˆ = 90, πότε Βˆ +Γ= ˆ 90. Η ΑΜ είναι διάµεσς τυ τριγώνυ αυτύ πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ΒΓ. Αυτό ση- ΒΓ µαίνει ότι ΑΜ= και ότι τα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΑΒ είναι ισσκελή, πότε 2 ισχύυν σ' αυτά όλες ι ιδιότητες των ισσκελών τριγώνων. Τα τµήµατα Ε και Ζ είναι κάθετα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, πότε τ τετράπλευρ ΑΕ Ζ είναι ρθγώνι και επµένως ισχύυν σ' αυτό όλες ι ιδιότητες των ρθγωνίων. Απόδειξη Συγκρίνυµε τα ρθγώνια τρίγωνα ΖΑΡ και Ε Β. Αυτά έχυν: 1. ΑΖ = Ε, ως απέναντι πλευρές τυ ρθγωνίυ ΑΖ Ε και 2. Α ˆ ˆ 1 = 1, διότι Α ˆ = Γˆ, αφύ τ τρίγων ΜΑΓ είναι ισσκελές και ˆ = Γ ˆ 1 1 ως συµπληρωµατικές της γωνίας Β τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Από τις παραπάνω ισότητες πρκύπτει ότι τα ρθγώνια τρίγωνα ΖΑΡ και Ε Β είναι ίσα, πότε ΖΡ = ΕΒ. Επειδή τα τµήµατα αυτά είναι και παράλληλα, αφύ τ ΑΖ Ε είναι ρθγώνι, έπεται ότι τ τετράπλευρ ΕΒΡΖ είναι παραλληλόγραµµ και επµένως ισχύει ΒΡ ΕΖ. Συνεπώς η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ διέρχεται από τ Ρ, αφύ από τ σηµεί Β µόν µία παράλληλη µπρύµε να φέρυµε πρς την ΕΖ. Άρα η διάµεσς ΑΜ τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ, τ τµήµα Ζ και η παράλληλη από τ Β πρς την ΕΖ συντρέχυν.

Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.

Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου. Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα

Διαβάστε περισσότερα

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου  1 απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου 6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)

2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου  1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση) λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων

Διαβάστε περισσότερα

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του. 1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες

Διαβάστε περισσότερα

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι 4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò

ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου. Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 13 01 2015)

(Έκδοση: 13 01 2015) (Έκδση: 13 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 13 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται απκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα