Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ"

Transcript

1 Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

2 Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε πό έν σηµείο Α, πάνω σε µι ευθεί ε (Αν το σηµείο βρίσκετι πάνω στην ευθεί, τότε είνι το ίδιο το σηµείο.) Α Προβολή τµήµτος σε ευθεί Ορθή προβολή του ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ πάνω στην ε ονοµάζουµε το ευθύγρµµο τµήµ Α 'Β' που έχει ως άκρ τις ορθές προβολές Α ', Β ' των Α, Β πάνω στην ε Α3 Θεώρηµ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µις κάθετης πλευράς του, ισούτι µε το γινόµενο της υποτείνουσς επί την προβολή της πλευράς υτής πάνω στην υποτείνουσ. ηλδή: ΑΒ ΑΓ = ΒΓ Β ή = Β γ = ΒΓ Γ ή = Γ β Τ τρίγων ΑΒΓ κι γιτί έχουν δύο γωνίες ίσες: Συνεπώς, θ ισχύει AB είνι όµοι Α = = 90 ΑΒ Β = ΑΒ = ΒΓ Β ΒΓ ΑΒ κι Γ : κοινή γωνί. Οµοίως, χρησιµοποιώντς τ τρίγων ΑΒΓ κι ΑΓ, ποδεικνύετι κι η σχέση η οποί ισχύει γι την άλλη κάθετη, δηλδή ΑΓ = ΒΓ Γ

3 Προυσίση 3 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α = 90 κι ύψος Α, είνι ΑΒ = 3 cm κι ΑΓ = 4cm Θ υπολογίσουµε τ µήκη των τµηµάτων Β κι Γ Από ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ είνι ΒΓ = = 5, άρ ΒΓ = 5 Από ΑΓ = ΒΓ Γ είνι 4 6 = 5 Γ ή Γ = 5 κι πό ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ είνι 3 = 5 Β ή Σε τρίγωνο µε Α = 90 κι ύψος Α είνι ν υπολογίσετε τ µήκη των τµηµάτων Γ κι Β 9 Β = 5 ΑΓ = 6 cm κι ΒΓ = 0 cm Α6 Θεώρηµ 4 - Αντίστροφο του Πυθγορείου Αν σε έν τρίγωνο το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς του είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών του, το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ορθή γωνί την γωνί που βρίσκετι πένντι πό την µεγλύτερη πλευρά. ηλδή: Αν είνι ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ, τότε θ είνι Πάνω στις πλευρές τις ορθής γωνίς πίρνουµε Ο = ΑΒ κι ΟΕ = ΑΓ Εφρµόζουµε Πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΟΕ κι είνι Οπότε Άρ Ε = Ο + ΟΕ Ε = ΑΒ + ΑΓ x O y Ε = ΒΓ Α = 90 Ε = ΒΓ κι πό τ προηγούµεν είνι Ο = ΑΒ κι ΟΕ = ΑΓ ΑΒΓ = ΟΕ κι τελικά O Α = 90 = Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 7cm, ΑΒ = 4cm κι ΑΓ = 65 cm Επειδή ΒΓ + ΑΒ = = = 65 = 65 = ΑΓ, είνι B = 90 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 3 cm, ΑΓ = 8 cm κι ΑΒ = 9 cm ν ελέγξετε ν το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο.

4 Προυσίση 4 Α7 Θεώρηµ 5 Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ είνι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των κθέτων πλευρών του στην υποτείνουσ. ηλδή: Α = Β Γ ή = Β Γ υ Συγκρίνοντς τ τρίγων ΑΓ κι ΑΒ διπιστώνουµε ότι = = 90 Οπότε, είνι όµοι κι συνεπώς Σε τρίγωνο ΑΒΓ, µε πό Α = 90 κι Α = Γ Α Β = Α = Γ Β Γ Α, ύψος 6 cm Α = Β Γ είνι 6 = 9 Γ ή Γ = 4 cm Α = κι Β = 9 cm Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ν υπολογίσετε το Α Α = 90 κι ύψος Α, κι µε Γ = 8 cm, Β = cm Α8 Εφρµογή Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α = 90 κι ύψος Α, είνι: β + γ = υ β + γ = + Γ Β = Γ + Β Β + Γ = = Γ Β = = Γ Β Γ Β υ Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α = 90 κι ύψος Α είνι ΑΒ = 3 cm, ΑΓ = 7 cm Τότε πό β + = είνι γ υ Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ν υπολογίσετε το ΑΒ Α = = ή 3 υ κι ύψος 0 9 = ή υ = 9 0 υ Α = 3 cm, είνι ΑΓ = 9 cm

5 Προυσίση 5 Β Γενίκευση του Πυθγορείου θεωρήµτος Β Θεώρηµ (Οξείς γωνίς) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό οξεί γωνί, είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών ελττωµένο κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές, επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. ηλδή: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α ή = β + γ β Α όπου Α είνι η προβολή της γ πάνω στη β ή ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΕ ή = β + γ γ ΑΕ όπου AE είνι η προβολή της β πάνω στη γ Είνι Οπότε ΒΓ = Β + Γ Β = ΑΒ Α ΒΓ = Β + Γ ΒΓ = ΑΒ Α + Γ () Αν Γ < 90, το θ είνι µετξύ Α κι Γ κι άρ Γ = ΑΓ Α () Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ Α + (ΑΓ Α ) = ΑΒ Α + ΑΓ ΑΓ Α + Α = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α Αν Γ > 90, το Γ θ είνι µετξύ των Α κι κι άρ Γ = Α ΑΓ (3) Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ Α + (Α ΑΓ) = ΑΒ Α + Α ΑΓ Α + ΑΓ = ΑΒ Αν Γ = 90, το θ συµπέσει µε το Γ κι άρ Γ = 0 + ΑΓ ΑΓ Α Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α

6 Προυσίση 6 Β Θεώρηµ (µβλείς γωνίς) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό µβλεί γωνί, είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών, υξηµένο κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. ηλδή: = β + γ + β Α ή = β + γ + γ ΑΕ Είνι ΒΓ = Β + Γ Β = ΑΒ Α Προσθέτοντς έχουµε ή ΒΓ = Β + Γ ΒΓ = ΑΒ Α + Γ Επειδή A > 90 το A είνι µετξύ κι Γ κι άρ Γ = ΑΓ + Α Οπότε, είνι ΒΓ = ΑΒ Α + (ΑΓ + Α ) ή ή ΒΓ = ΑΒ Α + ΑΓ + ΑΓ Α + Α ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ + ΑΓ Α Β3 Κριτήρι γι το είδος τριγώνου Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ, µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ =, ΓΑ = β κι µεγλύτερη πλευρά την Αν = β + γ, τότε ο Α = 90 κι ντίστροφ. Αν < β + γ, τότε ο Α < 90 κι ντίστροφ. Αν > β + γ, τότε ο Α > 90 κι ντίστροφ. Τ πιο πάνω προκύπτουν πό το Πυθγόρειο κι πό την γενίκευση του Πυθγορείου θεωρήµτος.

7 Προυσίση 7 Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές = 6, β = 8 κι γ = 9 Είνι = 36, β = 64, γ = 8 Γι το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς ισχύει γ = 8 < + β = 00 Εποµένως η γωνί Γ είνι οξεί κι επειδή είνι κι η µεγλύτερη γωνί του τριγώνου φού βρίσκετι πένντι πό τη µεγλύτερη πλευρά είνι φνερό ότι το τρίγωνο θ είνι οξυγώνιο. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι =, β = 8, γ = 6 δείξτε ότι είνι µβλυγώνιο. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε Ν τονίσουµε ότι η γωνί ΑΒ = 7 cm, ΑΓ = 5 cm κι ΒΓ = 6 cm ο Α < 90 φού Γι την προβολή ΑΕ της ΑΒ πάνω στην ΑΓ είνι ΒΓ ΑΒ < ΑΓ + ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΕ ή 6 = ΑΕ ή 9 ΑΕ = 7 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 8 cm, ΑΒ = 9 cm κι γι την προβολή Β της ΑΒ πάνω στην ΒΓ είνι Β4 Νόµος συνηµιτόνων 83 Β = cm, ν υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ 6 Τ θεωρήµτ οξείς κι µβλείς γωνίς, ποτελούν την γεωµετρική έκφρση του νόµου συνηµιτόνων. ηλδή: = β + γ β γ συνα Β5 Ύψος τριγώνου Γι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι υ = τ(τ )(τ β)(τ γ), όπου τ = ( + β + γ) Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι = 6, β = 7 κι γ = 5 Θ υπολογίσουµε το µήκος του ύψους υ + β + γ Είνι τ = = = 9 Οπότε = υ 9(9 6)(9 7)(9 5) = 6 6 µ.µ. Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι = 5, β = 4 κι γ = 3 Ν υπολογίσετε το µήκος του ύψους υ

8 Προυσίση 8 Γ Θεωρήµτ διµέσων Γ Θεώρηµ Το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου, ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που περιέχετι µετξύ των πλευρών υτών υξηµένο κτά το µισό του τετργώνου της τρίτης πλευράς. ηλδή β Αν + γ = µ + ΑΒ > ΑΓ, το ίχνος του ύψους θ βρίσκετι µετξύ των Γ κι Μ Επίσης A MB > 90 κι A MΓ < 90 Στο ΑΜΒ εφρµόζουµε το θεώρηµ µβλείς γωνίς κι είνι ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ Στο ΑΜΓ εφρµόζουµε το θεώρηµ οξείς γωνίς κι είνι ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ ΜΓ Μ Με πρόσθεση κτά µέλη των πρπάνω σχέσεων, προκύπτει ότι: γ + β = ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ + ΑΜ + ΜΓ ΜΓ Μ = ΑΜ + ΒΜ + ΜΓ = µ + + = µ Αν λύσουµε τον πρπάνω τύπο ως προς τη διάµεσο, είνι µ Όµοι είνι µ β Γ Θεώρηµ + γ β = κι 4 µ γ = + β 4 γ β + γ = 4 + Η διφορά των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου, ισούτι µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της ντίστοιχης διµέσου πάνω στην πλευρά υτή. ηλδή: ΑΒ > ΑΓ ή γ β = Μ, µε γ > β Με φίρεση των σχέσεων κτά µέλη, προκύπτει γ β = ΑΒ ΑΓ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ ΑΜ = ΜΒ Μ = Μ ΜΓ + ΜΓ Μ Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε γ = ΑΒ = 7cm, β = ΑΓ = 5cm κι = ΒΓ = 6cm = Είνι 4µ = β + γ = , άρ µ = 8 cm Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε Ν υπολογίσετε το µήκος της διµέσου µ β ΑΒ = 7cm, ΑΓ = 5cm κι ΒΓ = 6cm

9 Προυσίση 9 ΕΜΒΑ Α

10 Προυσίση 0. Περί εµβδών Α Πολυγωνικό χωρίο Γνωρίζουµε ότι µι πλή κι κλειστή πολυγωνική γρµµή, ονοµάζετι πολύγωνο. Α Πολυγωνικό χωρίο Το σχήµ που ποτελείτι πό έν πολύγωνο κι τ εσωτερικά του σηµεί, λέγετι πολυγωνικό χωρίο. Α Πολυγωνική επιφάνει Έν σχήµ που ποτελείτι πό πεπερσµένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που νά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεί, ονοµάζετι πολυγωνική επιφάνει. Β Εµβδόν ευθύγρµµου σχήµτος Όπως στ ευθύγρµµ τµήµτ έτσι κι στ σχήµτ µέτρηση του χωρίου A λέµε την σύγκρισή του µε έν άλλο επίπεδο χωρίο το οποίο επιλέγουµε ως µονάδ µέτρησης. Έτσι, οδηγούµστε σε µί σχέση της µορφής A = κ, µε κ > 0 Ο θετικός κ λέγετι εµβδόν του πολυγωνικού χωρίου A κι συµβολίζετι µε ( A) Β Αξιώµτ γι το εµβδόν Γι το εµβδόν ισχύουν τ επόµεν ξιώµτ. Ίσ πολυγωνικά χωρί έχουν ίσ εµβδά το εµβδόν µις πολυγωνικής επιφάνεις ισούτι µε το άθροισµ των εµβδών των επιµέρους πολυγωνικών χωρίων πό τ οποί ποτελείτι. Το εµβδόν ενός τετργώνου πλευράς µ.µ. είνι τ.µ.

11 Προυσίση Β Ισοδύνµ ευθύγρµµ σχήµτ Ανφέρµε προηγουµένως ότι ν δύο πολυγωνικά χωρί είνι ίσ, τότε θ έχουν κι ίσ εµβδά. Το ντίστροφο προφνώς κι δεν ισχύει. ύο σχήµτ που έχουν το ίδιο εµβδόν λέγοντι ισοδύνµ ή ισεµβδικά. Άρ λοιπόν µπορούµε ν συγκρίνουµε ως προς το εµβδόν τους κι σχήµτ τ οποί δεν είνι ίσ. Γ Εµβδόν βσικών ευθυγράµµων σχηµάτων Προυσιάζουµε στη συνέχει, τ εµβδά των βσικών ευθύγρµµων σχηµάτων. Γ Εµβδόν τετργώνου Το εµβδόν E ενός τετργώνου πλευράς είνι Έν τετράγωνο µε πλευρά E = 4 cm έχει εµβδόν 6 cm Ν βρείτε το εµβδόν ενός τετργώνου µε περίµετρο Γ Εµβδόν ορθογωνίου πρλληλογράµµου Το εµβδόν E ενός ορθογωνίου πρλληλογράµµου ισούτι µε το γινόµενο των πλευρών του. Γι έν ορθογώνιο πρλληλόγρµµο διστάσεων, β είνι E = β cm Έστω έν ορθογώνιο ΑΒΓ, µε AB = β κι A =. Προεκτείνουµε την πλευρά AB κτά τµήµ BZ = κι την A κτά Ε = β Στην συνέχει, σχηµτίζουµε το τετράγωνο AZ ΘΕ το οποίο έχει πλευρά + β άρ κι ( ΑΖΘΕ) = ( + β) Προεκτείνοντς τώρ τις B Γ κι Γ σχηµτίζοντι τ τετράγων B ΓΗΖ, ΓΙΕ µε πλευρές κι β ντίστοιχ, κι το ορθογώνιο ΓΗΘΙ το οποίο είνι ίσο µε το ΑΒΓ Οπότε ( BΓΗΖ) =, ( ΓΙΕ) = β κι ( ΓΗΘΙ) = (ABΓ ) Έχουµε λοιπόν ( AZΘΕ) = (ABΓ ) + (BΓΗΖ) + ( ΓΙΕ) ηλδή (ABΓ ) = (AZΘΕ) (BΓΗΖ) ( ΓΙΕ) = ( + β) β οπού µετά πό πράξεις κτλήγουµε ότι ( ABΓ ) = β

12 Προυσίση Γ3 Εµβδόν πρλληλογράµµου Το εµβδόν E ενός πρλληλογράµµου ισούτι µε το γινόµενο µις πλευράς του επί το ύψος που ντιστοιχεί σε υτή. Γι έν πρλληλόγρµµο διστάσεων, β είνι E = υ ή E = β υβ Θεωρούµε έν πρλληλόγρµµο ΑΒΓ κι φέρνουµε το ύψος AE το οποίο ντιστοιχεί στην Γ Από το σηµείο B φέρνουµε την BZ κάθετη στην προέκτση της Γ Τ τρίγων A Ε κι BZ Γ είνι ίσ, οπότε ( A Ε) = (BΖΓ) Επειδή το ABZE είνι ορθογώνιο πρλληλόγρµµο οπότε το εµβδόν του θ είνι ίσο µε ( ABZE) = AB AE Όµως ( ABΓ ) = (Α Ε) + (ΑΒΓΕ) = (ΒΓΖ) + (ΑΒΓΕ) = (ABZE) Συνεπώς ( ABΓ ) = AB AE = Γ AE Γ4 Εµβδόν τριγώνου Το εµβδόν E ενός τριγώνου ισούτι µε το ηµιγινόµενο µις πλευράς του επί το ύψος που ντιστοιχεί σε υτή. Γι έν τρίγωνο µε πλευρές, β, γ υ β υ β γ υγ είνι E = ή E = ή E = Με πλευρές AB κι B Γ σχηµτίζουµε το πρλληλόγρµµο AB ΓΕ του οποίου το εµβδόν είνι ( ABΓΕ) = BΓ Α = υ Όµως, τ τρίγων AB Γ κι AE Γ είνι ίσ, οπότε ( ABΓ) = (ΑΕΓ) Τέλος, έχουµε ότι ( ABΓΕ) = (ABΓ) + (ΑΕΓ) υ Οπότε υ = (ABΓ) ή (ABΓ) = Το εµβδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούτι µε το ηµιγινόµενο των δύο κθέτων πλευρών του. Ν βρείτε το εµβδόν ενός ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου µε υποτείνουσ µήκους cm

13 Προυσίση 3 Γ5 Εµβδόν τρπεζίου Το εµβδόν ενός τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Γι έν τρπέζιο µε βάσεις B, β κι ύψος υ B + β είνι E = υ Έστω το τρπέζιο AB Γ (µε B Γ // Α ) µε βάση µεγάλη B Γ = Β, βάση µικρή A = β κι ύψος υ Φέρνουµε τη διγώνιο A Γ Είνι ( ABΓ ) = (ΑΒΓ) + (Α Γ) Επειδή τ τρίγων ΑΒΓ, Α Γ έχουν το ίδιο ύψος γι το εµβδόν τους Β υ β υ είνι (AΒΓ) = κι (A Γ) = Β υ β υ B + β Άρ ( ΑΒΓ ) = + = υ Επίσης, φού σε κάθε τρπέζιο η διάµεσός του ισούτι µε το ηµιάθροισµ των βάσεών του το εµβδόν του θ ισούτι κι µε E = δ υ Γ6 Εµβδόν ρόµβου Το εµβδόν ενός ρόµβου ισούτι µε το ηµιγινόµενο των διγωνίων του. Γι έν ρόµβο µε διγώνιους δ κι δ β είνι δ E = Έστω ο ρόµβος ΑΒΓ µε διγώνιους δ κι Είνι ( ABΓ ) = (AOB) + (BOΓ) + (ΓΟ ) + (ΑΟ ) Όµως, τ τέσσερ ορθογώνι τρίγων είνι ίσ µετξύ τους, άρ κι ισοδύνµ. Έτσι λοιπόν ( ABΓ ) = 4(AOB) Το εµβδόν του τριγώνου AOB είνι (AOB) = δ Άρ (ABΓ ) = 4 δ 8 β δ = δ β δ β δ δβ δ β δ = δ 8 β

14 Προυσίση 4 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Χρησιµοποιώντς τον βσικό τύπο γι το εµβδόν ενός τριγώνου AB Γ µε µήκη πλευρών, β κι γ προκύπτουν κι οι πρκάτω τύποι. Τύπος του Ήρων E = τ(τ )(τ β)(τ γ) + β + γ όπου τ = η ηµιπερίµετρος του τριγώνου. Επειδή υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) είνι E = υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) = τ(τ )(τ β)(τ γ) Το εµβδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς E = 3(3 )(3 )(3 ) = 3 cm φού τ = 3 cm είνι Ν βρείτε το εµβδόν ενός τριγώνου µε πλευρές 3 cm, 5 cm κι 6 cm Χρησιµοποιώντς την κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου E = τ ρ όπου τ η ηµιπερίµετρος κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ κι ο εγγεγρµµένος κύκλος του ( I, ρ) Οι διχοτόµοι AI, BI κι ΓΙ των γωνιών του τριγώνου, χωρίζουν το τρίγωνο σε τρί τρίγων, τ AIB, BI Γ κι AI Γ τ οποί δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεί λλά έχουν το ίδιο ύψος ρ Οπότε είνι ( ΑΒΓ) = (ΑΙΒ) + (ΒΙΓ) + (ΑΙΓ) = AB ρ + BΓ ρ AΓ ρ = ( AB + BΓ + ΑΓ) ρ = τ ρ = τ ρ

15 Προυσίση 5 3 Χρησιµοποιώντς την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου E = β γ 4R όπου R η κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. Γνωρίζουµε ότι βγ = Rυ άρ είνι βγ Έχουµε λοιπόν E = υ = = R 4 Τριγωνοµετρικός τύπος βγ R βγ 4R υ = E = β γ ηµα ή E = γ ηµ B ή E = β ηµ Γ Η πόδειξη διφέρει νάλογ µε το είδος του τριγώνου. υ β Αν A < 90, στο ορθογώνιο A Β έχουµε ηµa =, δηλδή υ β = γ ηµ Α γ υ β Αν A > 90, στο ορθογώνιο A Β έχουµε ηµa εξ =, δηλδή υβ = γ ηµ Α εξ γ Επειδή A εξ + A = 80, είνι ηµ Α εξ = ηµ A Εποµένως κι στην δεύτερη περίπτωση ισχύει πάλι υ β = γ ηµ Α Οπότε έχουµε E = β υβ = β γ ηµ Α Τέλος ν A = 90, θ είνι υ β = γ κι άρ ο τύπος πάλι ισχύει. Όµοι ποδεικνύοντι κι οι άλλοι τύποι. Σε τρίγωνο µε πλευρές 5, 6, 7 κι E = 8, η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου είνι ίση µε ρ =, πό τον τύπο E = τ ρ Σε τρίγωνο µε πλευρές, 3, 4 κι E = 3 ν βρείτε την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του.

16 Προυσίση 6 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

17 Προυσίση 7 3. Μέτρηση κύκλου Α Μήκος κύκλου Χρησιµοποιώντς την περίµετρο των κνονικών πολυγώνων θ προσεγγίσουµε την έννοι του µήκους του κύκλου. Θεωρούµε έν κύκλο ( O, R) κι εγγράφουµε σε υτόν διδοχικά έν ισόπλευρο τρίγωνο, έν κνονικό εξάγωνο έν κνονικό δωδεκάγωνο κι γενικότερ έν κνονικό πολύγωνο µε διπλάσιο κάθε φορά, πλήθος πλευρών πό το προηγούµενο. Κθώς λοιπόν ο ριθµός των πλευρών του πολυγώνου µεγλώνει πρτηρούµε ότι το πολύγωνο τείνει ν τυτισθεί µε τον κύκλο. Στο ίδιο κριβώς συµπέρσµ κτλήγουµε ν ντί γι εγγεγρµµέν κνονικά πολύγων θεωρήσουµε περιγεγρµµέν κνονικά πολύγων στον κύκλο ( O, R) Αποδεικνύετι ότι υπάρχει µονδικός θετικός ριθµός L µεγλύτερος πό την περίµετρο P ν των εγγεγρµµένων πολυγώνων κι µικρότερος πό την περίµετρο P ν των περιγεγρµµένων πολυγώνων στον ίδιο κύκλο. Κθώς διπλσιάζουµε τις πλευρές, οι P ν κι P ν προσεγγίζουν όλο κι περισσότερο τον ριθµό L Ο ριθµός υτός λοιπόν ονοµάζετι µήκος του κύκλου ( O, R) L Έχει ποδειχθεί ότι ο λόγος του µήκους του κύκλου προς τη διάµετρό του R είνι στθερός, δηλδή είνι ίδιος γι κάθε κύκλο. Η στθερή υτή τιµή του λόγου συµβολίζετι διεθνώς µε το Ελληνικό γράµµ π Προκύπτει λοιπόν ότι το µήκος L του κύκλου κτίνς R δίνετι πό τη σχέση L = πr Ν σηµειώσουµε ότι ο ριθµός π είνι ένς άρρητος, υπερβτικός ριθµός κι στην πράξη, µι προσέγγισή του είνι π 3,4

18 Προυσίση 8 Β Μήκος τόξου Ένς κύκλος ( O, R) είνι έν τόξο Το τόξο οπότε έν τόξο πr θ έχει µήκος 360 µ θ έχει µήκος 360 µε µήκος πr πrµ l = 80 Επίσης έν τόξο κύκλου µε µήκος ίσο µε την κτίν R λέγετι κτίνιο (rad), εποµένως έν τόξο rad έχει µήκος R, δηλδή l = R Ν θυµηθούµε ότι πό τις δύο πρπάνω σχέσεις προκύπτει ο τύπος ο οποίος συνδέει τις µοίρες µε τ κτίνι, δηλδή = π µ 80 Γ Εµβδόν κυκλικού δίσκου Κυκλικός δίσκος κέντρου O κι κτίνς R είνι ο κύκλος ( O, R) µζί µε τ εσωτερικά του σηµεί. Είδµε προηγουµένως ότι τ εγγεγρµµέν ή τ περιγεγρµµέν σε ένν κύκλο κνονικά πολύγων τείνουν ν τυτισθούν µε τον κύκλο κθώς το πλήθος των πλευρών τους υξάνει. Ο µονδικός θετικός ριθµός E προς τον οποίο πλησιάζουν ολοέν κι περισσότερο, τ εµβδά των εγγεγρµµένων κι περιγεγρµµένων κνονικών πολυγώνων λέγετι εµβδόν του κυκλικού δίσκου. Θεωρούµε έν κνονικό ν-γωνο εγγεγρµµένο στον κύκλο ( O, R) Το εµβδόν E ν δίνετι πό τον τύπο E ν = Pν ν Από το διπλνό σχήµ φίνετι ότι κθώς το πλήθος των πλευρών υξάνει, το ν προσεγγίζει την κτίν R κι επειδή το P ν προσεγγίζει το µήκος L του κύκλου, µε ντικτάστση του κι του ν στο E ν έχουµε E ν = Pν ν = L R = πr R = πr Εποµένως το εµβδόν E ενός κυκλικού δίσκου κτίνς R δίνετι πό τη σχέση P ν E = πr

19 Προυσίση 9 Εµβδόν κυκλικού τοµέ κι κυκλικού τµήµτος Κυκλικός τοµές Θεωρούµε ένν κύκλο ( O, R) κι µί επίκεντρη γωνί OB A Το σύνολο των σηµείων της επίκεντρης γωνίς κι του κυκλικού δίσκου λέγετι κυκλικός τοµές κέντρου O κι κτίνς R Ο κυκλικός υτός τοµές συµβολίζετι O AB Αν η επίκεντρη γωνί A O B είνι µ, λέµε ότι κι ο κυκλικός τοµές είνι µ Ένς κυκλικός δίσκος ( O, R) είνι έν κυκλικός τοµές R Ο κυκλικός τοµές θ έχει εµβδόν 360 π 360 µε εµβδόν π R Οπότε, ένς κυκλικός τοµές µ θ έχει εµβδόν (O AB) = πr µ 360 Ακόµη, επειδή ο κυκλικός δίσκος ( O, R) είνι κυκλικός τοµές π rad µε εµβδόν Κυκλικό τµήµ π R, ένς τοµές rad θ έχει εµβδόν Έστω ένς κύκλος ( O, R) κι µί χορδή του AB Η AB χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο µέρη ε κι ε που βρίσκοντι εκτέρωθεν υτής. Κθέν πό υτά τ µέρη λέγετι κυκλικό τµήµ. Το εµβδόν ε του κυκλικού τµήµτος που περιέχετι στην κυρτή γωνί A O B πr π = R προκύπτει, ν πό το εµβδόν του κυκλικού τοµέ φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου, δηλδή = (O AB) (OAB) ε Το εµβδόν ενός κυκλικού δίσκου κτίνς ρ είνι ίσο µε το εµβδόν ενός κυκλικού τοµέ 90 κι κτίνς ρ Ν υπολογίσετε το εµβδόν ενός κυκλικού τοµέ 45 κι κτίνς ρ =

20 Προυσίση 0 Ε Τετργωνισµός του κύκλου Η µέτρηση του εµβδού του περικλειόµενου πό κάποιο σχήµ ήτν σε όλους τους λούς, πό την εποχή που κόµη η γεωµετρί ήτν εµπειρικής µορφής βσική επιδίωξη όλων των γεωµετρών. Από τη στιγµή που διλέξνε σν µονάδ µέτρησης των εµβδών το τετράγωνο µε πλευρά τη µονάδ µήκους, υτόµτ τέθηκε κι το πρόβληµ του τετργωνισµού των διφόρων σχηµάτων. Αρχικά "τετργωνίστηκν" δηλδή προσδιορίστηκε το εµβδόν τους τ ορθογώνι, τ τρίγων, τ πρλληλόγρµµ κι ορισµέν πολύγων. Μετά πό υτό ήτν φυσικό ν επιδιωχθεί κι ο τετργωνισµός σχηµάτων περικλειόµενων πό κµπύλες γρµµές κι πρώτου πό όλ του κύκλου. Ο τετργωνισµός του κύκλου λοιπόν, είνι έν πό τ ρχιότερ γεωµετρικά προβλήµτ. Η διτύπωση του είνι πλή. Ζητείτι η κτσκευή µε κνόν κι διβήτη ενός τετργώνου του οποίου το εµβδόν ν είνι ίσο µε το εµβδόν ενός δοθέντος κύκλου. Η δυσκολί του προβλήµτος συνίσττι σε δύο περιορισµούς που έθεσν σε υτό οι ρχίοι Έλληνες µθηµτικοί. Πιο συγκεκριµέν, γι ν θεωρηθεί ποδεκτή µί λύση του προβλήµτος σε υτήν θ πρέπει ν χρησιµοποιηθεί µόνο κνόνς κι διβήτης προκειµένου η πόδειξη ν νάγετι πλήρως στ θεωρήµτ του Ευκλείδη κι ν µην πργµτοποιείτι µετά πό άπειρο ριθµό βηµάτων. Αποδεικνύετι ότι το πρόβληµ του τετργωνισµού του κύκλου επιλύετι εύκολ ν άρουµε οποιονδήποτε πό υτούς τους δύο περιορισµούς. Κτά την Ελληνική ρχιότητ, δόθηκν λύσεις στο πρόβληµ πό τον Αρχιµήδη τον Νικοµήδη, τον Απολλώνιο κι τον Κάρπο. Η επίλυση του προβλήµτος συνδέετι άµεσ µε την υπερβτικότητ του ριθµού π. Αν κάποιος έχει κτφέρει ν τετργωνίσει τον κύκλο, σηµίνει ότι µε κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει µί συγκεκριµένη λγεβρική τιµή γι το π Κάτι τέτοιο όµως δεν είνι εφικτό στην περίπτωση που ο ριθµός π είνι υπερβτικός, οπότε δεν έχει συγκεκριµένη λγεβρική τιµή. Πράγµτι, το ενδιφέρον γι την επίλυση του προβλήµτος του τετργωνισµού του κύκλου εξνεµίζετι το 88, ότν ο Ferdinand vn Lindemann πέδειξε ότι το π είνι υπερβτικός ριθµός.

21 Προυσίση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΟΥ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς - A Οµάδς. ύο πύργοι κι βρίσκοντι εκτέρωθεν ενός ποτµού. Ένς πρτηρητής Π βρίσκετι προς το ίδιο µέρος του ποτµού µε τον πύργο. ν στο τρίγωνο Π είνι Π 3m,

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική)

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική) ΙΣΤΡΙΕΣ ΦΩΤΣ (Ερωτήσεις δικιολόγησης στη εωµετρική πτική). Η πργκωνισµένη νάκλση στο προσκήνιο Τις περισσότερες ορές που ντιµετωπίζουµε έν έµ το οποίο σχετίζετι µε έν πρίσµ δινούς υλικού, έχουµε συνηίσει

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα Εύρεση του π

Δραστηριότητα Εύρεση του π Δραστηριότητα Εύρεση του π Ανάµεσα σε πολλά πρωτότυπα και εντυπωσιακά επιτεύγµατα του Αρχιµήδη, η µέθοδός του για την εύρεση µιας αριθµητικής προσέγγισης για το π ξεχωρίζει για την κοµψότητα και την ασυνήθιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατά τη διάρκεια τωv εξετάσεωv: 2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

Κατά τη διάρκεια τωv εξετάσεωv: 2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Κτά τη διάρκει τωv εξετάσεωv: ιβάζουµε µι φορά όλ τ θέµτ, ώστε ν σχηµτίσουµε µι γενική εικόν. Ξεκινάµε τις πντήσεις µς πό τ θέµτ εκείν γι τ οποί είµστε σίγουροι γι τον τρόπο ντιµετώπισής του. Συνήθως ξεκινάµε

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα