Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ"

Transcript

1 Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

2 Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε πό έν σηµείο Α, πάνω σε µι ευθεί ε (Αν το σηµείο βρίσκετι πάνω στην ευθεί, τότε είνι το ίδιο το σηµείο.) Α Προβολή τµήµτος σε ευθεί Ορθή προβολή του ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ πάνω στην ε ονοµάζουµε το ευθύγρµµο τµήµ Α 'Β' που έχει ως άκρ τις ορθές προβολές Α ', Β ' των Α, Β πάνω στην ε Α3 Θεώρηµ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µις κάθετης πλευράς του, ισούτι µε το γινόµενο της υποτείνουσς επί την προβολή της πλευράς υτής πάνω στην υποτείνουσ. ηλδή: ΑΒ ΑΓ = ΒΓ Β ή = Β γ = ΒΓ Γ ή = Γ β Τ τρίγων ΑΒΓ κι γιτί έχουν δύο γωνίες ίσες: Συνεπώς, θ ισχύει AB είνι όµοι Α = = 90 ΑΒ Β = ΑΒ = ΒΓ Β ΒΓ ΑΒ κι Γ : κοινή γωνί. Οµοίως, χρησιµοποιώντς τ τρίγων ΑΒΓ κι ΑΓ, ποδεικνύετι κι η σχέση η οποί ισχύει γι την άλλη κάθετη, δηλδή ΑΓ = ΒΓ Γ

3 Προυσίση 3 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α = 90 κι ύψος Α, είνι ΑΒ = 3 cm κι ΑΓ = 4cm Θ υπολογίσουµε τ µήκη των τµηµάτων Β κι Γ Από ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ είνι ΒΓ = = 5, άρ ΒΓ = 5 Από ΑΓ = ΒΓ Γ είνι 4 6 = 5 Γ ή Γ = 5 κι πό ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ είνι 3 = 5 Β ή Σε τρίγωνο µε Α = 90 κι ύψος Α είνι ν υπολογίσετε τ µήκη των τµηµάτων Γ κι Β 9 Β = 5 ΑΓ = 6 cm κι ΒΓ = 0 cm Α6 Θεώρηµ 4 - Αντίστροφο του Πυθγορείου Αν σε έν τρίγωνο το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς του είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών του, το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ορθή γωνί την γωνί που βρίσκετι πένντι πό την µεγλύτερη πλευρά. ηλδή: Αν είνι ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ, τότε θ είνι Πάνω στις πλευρές τις ορθής γωνίς πίρνουµε Ο = ΑΒ κι ΟΕ = ΑΓ Εφρµόζουµε Πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΟΕ κι είνι Οπότε Άρ Ε = Ο + ΟΕ Ε = ΑΒ + ΑΓ x O y Ε = ΒΓ Α = 90 Ε = ΒΓ κι πό τ προηγούµεν είνι Ο = ΑΒ κι ΟΕ = ΑΓ ΑΒΓ = ΟΕ κι τελικά O Α = 90 = Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 7cm, ΑΒ = 4cm κι ΑΓ = 65 cm Επειδή ΒΓ + ΑΒ = = = 65 = 65 = ΑΓ, είνι B = 90 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 3 cm, ΑΓ = 8 cm κι ΑΒ = 9 cm ν ελέγξετε ν το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο.

4 Προυσίση 4 Α7 Θεώρηµ 5 Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ είνι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των κθέτων πλευρών του στην υποτείνουσ. ηλδή: Α = Β Γ ή = Β Γ υ Συγκρίνοντς τ τρίγων ΑΓ κι ΑΒ διπιστώνουµε ότι = = 90 Οπότε, είνι όµοι κι συνεπώς Σε τρίγωνο ΑΒΓ, µε πό Α = 90 κι Α = Γ Α Β = Α = Γ Β Γ Α, ύψος 6 cm Α = Β Γ είνι 6 = 9 Γ ή Γ = 4 cm Α = κι Β = 9 cm Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ν υπολογίσετε το Α Α = 90 κι ύψος Α, κι µε Γ = 8 cm, Β = cm Α8 Εφρµογή Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α = 90 κι ύψος Α, είνι: β + γ = υ β + γ = + Γ Β = Γ + Β Β + Γ = = Γ Β = = Γ Β Γ Β υ Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α = 90 κι ύψος Α είνι ΑΒ = 3 cm, ΑΓ = 7 cm Τότε πό β + = είνι γ υ Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ν υπολογίσετε το ΑΒ Α = = ή 3 υ κι ύψος 0 9 = ή υ = 9 0 υ Α = 3 cm, είνι ΑΓ = 9 cm

5 Προυσίση 5 Β Γενίκευση του Πυθγορείου θεωρήµτος Β Θεώρηµ (Οξείς γωνίς) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό οξεί γωνί, είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών ελττωµένο κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές, επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. ηλδή: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α ή = β + γ β Α όπου Α είνι η προβολή της γ πάνω στη β ή ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΕ ή = β + γ γ ΑΕ όπου AE είνι η προβολή της β πάνω στη γ Είνι Οπότε ΒΓ = Β + Γ Β = ΑΒ Α ΒΓ = Β + Γ ΒΓ = ΑΒ Α + Γ () Αν Γ < 90, το θ είνι µετξύ Α κι Γ κι άρ Γ = ΑΓ Α () Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ Α + (ΑΓ Α ) = ΑΒ Α + ΑΓ ΑΓ Α + Α = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α Αν Γ > 90, το Γ θ είνι µετξύ των Α κι κι άρ Γ = Α ΑΓ (3) Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ Α + (Α ΑΓ) = ΑΒ Α + Α ΑΓ Α + ΑΓ = ΑΒ Αν Γ = 90, το θ συµπέσει µε το Γ κι άρ Γ = 0 + ΑΓ ΑΓ Α Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α

6 Προυσίση 6 Β Θεώρηµ (µβλείς γωνίς) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό µβλεί γωνί, είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών, υξηµένο κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. ηλδή: = β + γ + β Α ή = β + γ + γ ΑΕ Είνι ΒΓ = Β + Γ Β = ΑΒ Α Προσθέτοντς έχουµε ή ΒΓ = Β + Γ ΒΓ = ΑΒ Α + Γ Επειδή A > 90 το A είνι µετξύ κι Γ κι άρ Γ = ΑΓ + Α Οπότε, είνι ΒΓ = ΑΒ Α + (ΑΓ + Α ) ή ή ΒΓ = ΑΒ Α + ΑΓ + ΑΓ Α + Α ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ + ΑΓ Α Β3 Κριτήρι γι το είδος τριγώνου Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ, µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ =, ΓΑ = β κι µεγλύτερη πλευρά την Αν = β + γ, τότε ο Α = 90 κι ντίστροφ. Αν < β + γ, τότε ο Α < 90 κι ντίστροφ. Αν > β + γ, τότε ο Α > 90 κι ντίστροφ. Τ πιο πάνω προκύπτουν πό το Πυθγόρειο κι πό την γενίκευση του Πυθγορείου θεωρήµτος.

7 Προυσίση 7 Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές = 6, β = 8 κι γ = 9 Είνι = 36, β = 64, γ = 8 Γι το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς ισχύει γ = 8 < + β = 00 Εποµένως η γωνί Γ είνι οξεί κι επειδή είνι κι η µεγλύτερη γωνί του τριγώνου φού βρίσκετι πένντι πό τη µεγλύτερη πλευρά είνι φνερό ότι το τρίγωνο θ είνι οξυγώνιο. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι =, β = 8, γ = 6 δείξτε ότι είνι µβλυγώνιο. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε Ν τονίσουµε ότι η γωνί ΑΒ = 7 cm, ΑΓ = 5 cm κι ΒΓ = 6 cm ο Α < 90 φού Γι την προβολή ΑΕ της ΑΒ πάνω στην ΑΓ είνι ΒΓ ΑΒ < ΑΓ + ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΕ ή 6 = ΑΕ ή 9 ΑΕ = 7 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 8 cm, ΑΒ = 9 cm κι γι την προβολή Β της ΑΒ πάνω στην ΒΓ είνι Β4 Νόµος συνηµιτόνων 83 Β = cm, ν υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ 6 Τ θεωρήµτ οξείς κι µβλείς γωνίς, ποτελούν την γεωµετρική έκφρση του νόµου συνηµιτόνων. ηλδή: = β + γ β γ συνα Β5 Ύψος τριγώνου Γι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι υ = τ(τ )(τ β)(τ γ), όπου τ = ( + β + γ) Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι = 6, β = 7 κι γ = 5 Θ υπολογίσουµε το µήκος του ύψους υ + β + γ Είνι τ = = = 9 Οπότε = υ 9(9 6)(9 7)(9 5) = 6 6 µ.µ. Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι = 5, β = 4 κι γ = 3 Ν υπολογίσετε το µήκος του ύψους υ

8 Προυσίση 8 Γ Θεωρήµτ διµέσων Γ Θεώρηµ Το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου, ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που περιέχετι µετξύ των πλευρών υτών υξηµένο κτά το µισό του τετργώνου της τρίτης πλευράς. ηλδή β Αν + γ = µ + ΑΒ > ΑΓ, το ίχνος του ύψους θ βρίσκετι µετξύ των Γ κι Μ Επίσης A MB > 90 κι A MΓ < 90 Στο ΑΜΒ εφρµόζουµε το θεώρηµ µβλείς γωνίς κι είνι ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ Στο ΑΜΓ εφρµόζουµε το θεώρηµ οξείς γωνίς κι είνι ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ ΜΓ Μ Με πρόσθεση κτά µέλη των πρπάνω σχέσεων, προκύπτει ότι: γ + β = ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ + ΑΜ + ΜΓ ΜΓ Μ = ΑΜ + ΒΜ + ΜΓ = µ + + = µ Αν λύσουµε τον πρπάνω τύπο ως προς τη διάµεσο, είνι µ Όµοι είνι µ β Γ Θεώρηµ + γ β = κι 4 µ γ = + β 4 γ β + γ = 4 + Η διφορά των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου, ισούτι µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της ντίστοιχης διµέσου πάνω στην πλευρά υτή. ηλδή: ΑΒ > ΑΓ ή γ β = Μ, µε γ > β Με φίρεση των σχέσεων κτά µέλη, προκύπτει γ β = ΑΒ ΑΓ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ ΑΜ = ΜΒ Μ = Μ ΜΓ + ΜΓ Μ Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε γ = ΑΒ = 7cm, β = ΑΓ = 5cm κι = ΒΓ = 6cm = Είνι 4µ = β + γ = , άρ µ = 8 cm Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε Ν υπολογίσετε το µήκος της διµέσου µ β ΑΒ = 7cm, ΑΓ = 5cm κι ΒΓ = 6cm

9 Προυσίση 9 ΕΜΒΑ Α

10 Προυσίση 0. Περί εµβδών Α Πολυγωνικό χωρίο Γνωρίζουµε ότι µι πλή κι κλειστή πολυγωνική γρµµή, ονοµάζετι πολύγωνο. Α Πολυγωνικό χωρίο Το σχήµ που ποτελείτι πό έν πολύγωνο κι τ εσωτερικά του σηµεί, λέγετι πολυγωνικό χωρίο. Α Πολυγωνική επιφάνει Έν σχήµ που ποτελείτι πό πεπερσµένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που νά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεί, ονοµάζετι πολυγωνική επιφάνει. Β Εµβδόν ευθύγρµµου σχήµτος Όπως στ ευθύγρµµ τµήµτ έτσι κι στ σχήµτ µέτρηση του χωρίου A λέµε την σύγκρισή του µε έν άλλο επίπεδο χωρίο το οποίο επιλέγουµε ως µονάδ µέτρησης. Έτσι, οδηγούµστε σε µί σχέση της µορφής A = κ, µε κ > 0 Ο θετικός κ λέγετι εµβδόν του πολυγωνικού χωρίου A κι συµβολίζετι µε ( A) Β Αξιώµτ γι το εµβδόν Γι το εµβδόν ισχύουν τ επόµεν ξιώµτ. Ίσ πολυγωνικά χωρί έχουν ίσ εµβδά το εµβδόν µις πολυγωνικής επιφάνεις ισούτι µε το άθροισµ των εµβδών των επιµέρους πολυγωνικών χωρίων πό τ οποί ποτελείτι. Το εµβδόν ενός τετργώνου πλευράς µ.µ. είνι τ.µ.

11 Προυσίση Β Ισοδύνµ ευθύγρµµ σχήµτ Ανφέρµε προηγουµένως ότι ν δύο πολυγωνικά χωρί είνι ίσ, τότε θ έχουν κι ίσ εµβδά. Το ντίστροφο προφνώς κι δεν ισχύει. ύο σχήµτ που έχουν το ίδιο εµβδόν λέγοντι ισοδύνµ ή ισεµβδικά. Άρ λοιπόν µπορούµε ν συγκρίνουµε ως προς το εµβδόν τους κι σχήµτ τ οποί δεν είνι ίσ. Γ Εµβδόν βσικών ευθυγράµµων σχηµάτων Προυσιάζουµε στη συνέχει, τ εµβδά των βσικών ευθύγρµµων σχηµάτων. Γ Εµβδόν τετργώνου Το εµβδόν E ενός τετργώνου πλευράς είνι Έν τετράγωνο µε πλευρά E = 4 cm έχει εµβδόν 6 cm Ν βρείτε το εµβδόν ενός τετργώνου µε περίµετρο Γ Εµβδόν ορθογωνίου πρλληλογράµµου Το εµβδόν E ενός ορθογωνίου πρλληλογράµµου ισούτι µε το γινόµενο των πλευρών του. Γι έν ορθογώνιο πρλληλόγρµµο διστάσεων, β είνι E = β cm Έστω έν ορθογώνιο ΑΒΓ, µε AB = β κι A =. Προεκτείνουµε την πλευρά AB κτά τµήµ BZ = κι την A κτά Ε = β Στην συνέχει, σχηµτίζουµε το τετράγωνο AZ ΘΕ το οποίο έχει πλευρά + β άρ κι ( ΑΖΘΕ) = ( + β) Προεκτείνοντς τώρ τις B Γ κι Γ σχηµτίζοντι τ τετράγων B ΓΗΖ, ΓΙΕ µε πλευρές κι β ντίστοιχ, κι το ορθογώνιο ΓΗΘΙ το οποίο είνι ίσο µε το ΑΒΓ Οπότε ( BΓΗΖ) =, ( ΓΙΕ) = β κι ( ΓΗΘΙ) = (ABΓ ) Έχουµε λοιπόν ( AZΘΕ) = (ABΓ ) + (BΓΗΖ) + ( ΓΙΕ) ηλδή (ABΓ ) = (AZΘΕ) (BΓΗΖ) ( ΓΙΕ) = ( + β) β οπού µετά πό πράξεις κτλήγουµε ότι ( ABΓ ) = β

12 Προυσίση Γ3 Εµβδόν πρλληλογράµµου Το εµβδόν E ενός πρλληλογράµµου ισούτι µε το γινόµενο µις πλευράς του επί το ύψος που ντιστοιχεί σε υτή. Γι έν πρλληλόγρµµο διστάσεων, β είνι E = υ ή E = β υβ Θεωρούµε έν πρλληλόγρµµο ΑΒΓ κι φέρνουµε το ύψος AE το οποίο ντιστοιχεί στην Γ Από το σηµείο B φέρνουµε την BZ κάθετη στην προέκτση της Γ Τ τρίγων A Ε κι BZ Γ είνι ίσ, οπότε ( A Ε) = (BΖΓ) Επειδή το ABZE είνι ορθογώνιο πρλληλόγρµµο οπότε το εµβδόν του θ είνι ίσο µε ( ABZE) = AB AE Όµως ( ABΓ ) = (Α Ε) + (ΑΒΓΕ) = (ΒΓΖ) + (ΑΒΓΕ) = (ABZE) Συνεπώς ( ABΓ ) = AB AE = Γ AE Γ4 Εµβδόν τριγώνου Το εµβδόν E ενός τριγώνου ισούτι µε το ηµιγινόµενο µις πλευράς του επί το ύψος που ντιστοιχεί σε υτή. Γι έν τρίγωνο µε πλευρές, β, γ υ β υ β γ υγ είνι E = ή E = ή E = Με πλευρές AB κι B Γ σχηµτίζουµε το πρλληλόγρµµο AB ΓΕ του οποίου το εµβδόν είνι ( ABΓΕ) = BΓ Α = υ Όµως, τ τρίγων AB Γ κι AE Γ είνι ίσ, οπότε ( ABΓ) = (ΑΕΓ) Τέλος, έχουµε ότι ( ABΓΕ) = (ABΓ) + (ΑΕΓ) υ Οπότε υ = (ABΓ) ή (ABΓ) = Το εµβδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούτι µε το ηµιγινόµενο των δύο κθέτων πλευρών του. Ν βρείτε το εµβδόν ενός ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου µε υποτείνουσ µήκους cm

13 Προυσίση 3 Γ5 Εµβδόν τρπεζίου Το εµβδόν ενός τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Γι έν τρπέζιο µε βάσεις B, β κι ύψος υ B + β είνι E = υ Έστω το τρπέζιο AB Γ (µε B Γ // Α ) µε βάση µεγάλη B Γ = Β, βάση µικρή A = β κι ύψος υ Φέρνουµε τη διγώνιο A Γ Είνι ( ABΓ ) = (ΑΒΓ) + (Α Γ) Επειδή τ τρίγων ΑΒΓ, Α Γ έχουν το ίδιο ύψος γι το εµβδόν τους Β υ β υ είνι (AΒΓ) = κι (A Γ) = Β υ β υ B + β Άρ ( ΑΒΓ ) = + = υ Επίσης, φού σε κάθε τρπέζιο η διάµεσός του ισούτι µε το ηµιάθροισµ των βάσεών του το εµβδόν του θ ισούτι κι µε E = δ υ Γ6 Εµβδόν ρόµβου Το εµβδόν ενός ρόµβου ισούτι µε το ηµιγινόµενο των διγωνίων του. Γι έν ρόµβο µε διγώνιους δ κι δ β είνι δ E = Έστω ο ρόµβος ΑΒΓ µε διγώνιους δ κι Είνι ( ABΓ ) = (AOB) + (BOΓ) + (ΓΟ ) + (ΑΟ ) Όµως, τ τέσσερ ορθογώνι τρίγων είνι ίσ µετξύ τους, άρ κι ισοδύνµ. Έτσι λοιπόν ( ABΓ ) = 4(AOB) Το εµβδόν του τριγώνου AOB είνι (AOB) = δ Άρ (ABΓ ) = 4 δ 8 β δ = δ β δ β δ δβ δ β δ = δ 8 β

14 Προυσίση 4 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Χρησιµοποιώντς τον βσικό τύπο γι το εµβδόν ενός τριγώνου AB Γ µε µήκη πλευρών, β κι γ προκύπτουν κι οι πρκάτω τύποι. Τύπος του Ήρων E = τ(τ )(τ β)(τ γ) + β + γ όπου τ = η ηµιπερίµετρος του τριγώνου. Επειδή υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) είνι E = υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) = τ(τ )(τ β)(τ γ) Το εµβδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς E = 3(3 )(3 )(3 ) = 3 cm φού τ = 3 cm είνι Ν βρείτε το εµβδόν ενός τριγώνου µε πλευρές 3 cm, 5 cm κι 6 cm Χρησιµοποιώντς την κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου E = τ ρ όπου τ η ηµιπερίµετρος κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ κι ο εγγεγρµµένος κύκλος του ( I, ρ) Οι διχοτόµοι AI, BI κι ΓΙ των γωνιών του τριγώνου, χωρίζουν το τρίγωνο σε τρί τρίγων, τ AIB, BI Γ κι AI Γ τ οποί δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεί λλά έχουν το ίδιο ύψος ρ Οπότε είνι ( ΑΒΓ) = (ΑΙΒ) + (ΒΙΓ) + (ΑΙΓ) = AB ρ + BΓ ρ AΓ ρ = ( AB + BΓ + ΑΓ) ρ = τ ρ = τ ρ

15 Προυσίση 5 3 Χρησιµοποιώντς την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου E = β γ 4R όπου R η κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. Γνωρίζουµε ότι βγ = Rυ άρ είνι βγ Έχουµε λοιπόν E = υ = = R 4 Τριγωνοµετρικός τύπος βγ R βγ 4R υ = E = β γ ηµα ή E = γ ηµ B ή E = β ηµ Γ Η πόδειξη διφέρει νάλογ µε το είδος του τριγώνου. υ β Αν A < 90, στο ορθογώνιο A Β έχουµε ηµa =, δηλδή υ β = γ ηµ Α γ υ β Αν A > 90, στο ορθογώνιο A Β έχουµε ηµa εξ =, δηλδή υβ = γ ηµ Α εξ γ Επειδή A εξ + A = 80, είνι ηµ Α εξ = ηµ A Εποµένως κι στην δεύτερη περίπτωση ισχύει πάλι υ β = γ ηµ Α Οπότε έχουµε E = β υβ = β γ ηµ Α Τέλος ν A = 90, θ είνι υ β = γ κι άρ ο τύπος πάλι ισχύει. Όµοι ποδεικνύοντι κι οι άλλοι τύποι. Σε τρίγωνο µε πλευρές 5, 6, 7 κι E = 8, η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου είνι ίση µε ρ =, πό τον τύπο E = τ ρ Σε τρίγωνο µε πλευρές, 3, 4 κι E = 3 ν βρείτε την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του.

16 Προυσίση 6 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

17 Προυσίση 7 3. Μέτρηση κύκλου Α Μήκος κύκλου Χρησιµοποιώντς την περίµετρο των κνονικών πολυγώνων θ προσεγγίσουµε την έννοι του µήκους του κύκλου. Θεωρούµε έν κύκλο ( O, R) κι εγγράφουµε σε υτόν διδοχικά έν ισόπλευρο τρίγωνο, έν κνονικό εξάγωνο έν κνονικό δωδεκάγωνο κι γενικότερ έν κνονικό πολύγωνο µε διπλάσιο κάθε φορά, πλήθος πλευρών πό το προηγούµενο. Κθώς λοιπόν ο ριθµός των πλευρών του πολυγώνου µεγλώνει πρτηρούµε ότι το πολύγωνο τείνει ν τυτισθεί µε τον κύκλο. Στο ίδιο κριβώς συµπέρσµ κτλήγουµε ν ντί γι εγγεγρµµέν κνονικά πολύγων θεωρήσουµε περιγεγρµµέν κνονικά πολύγων στον κύκλο ( O, R) Αποδεικνύετι ότι υπάρχει µονδικός θετικός ριθµός L µεγλύτερος πό την περίµετρο P ν των εγγεγρµµένων πολυγώνων κι µικρότερος πό την περίµετρο P ν των περιγεγρµµένων πολυγώνων στον ίδιο κύκλο. Κθώς διπλσιάζουµε τις πλευρές, οι P ν κι P ν προσεγγίζουν όλο κι περισσότερο τον ριθµό L Ο ριθµός υτός λοιπόν ονοµάζετι µήκος του κύκλου ( O, R) L Έχει ποδειχθεί ότι ο λόγος του µήκους του κύκλου προς τη διάµετρό του R είνι στθερός, δηλδή είνι ίδιος γι κάθε κύκλο. Η στθερή υτή τιµή του λόγου συµβολίζετι διεθνώς µε το Ελληνικό γράµµ π Προκύπτει λοιπόν ότι το µήκος L του κύκλου κτίνς R δίνετι πό τη σχέση L = πr Ν σηµειώσουµε ότι ο ριθµός π είνι ένς άρρητος, υπερβτικός ριθµός κι στην πράξη, µι προσέγγισή του είνι π 3,4

18 Προυσίση 8 Β Μήκος τόξου Ένς κύκλος ( O, R) είνι έν τόξο Το τόξο οπότε έν τόξο πr θ έχει µήκος 360 µ θ έχει µήκος 360 µε µήκος πr πrµ l = 80 Επίσης έν τόξο κύκλου µε µήκος ίσο µε την κτίν R λέγετι κτίνιο (rad), εποµένως έν τόξο rad έχει µήκος R, δηλδή l = R Ν θυµηθούµε ότι πό τις δύο πρπάνω σχέσεις προκύπτει ο τύπος ο οποίος συνδέει τις µοίρες µε τ κτίνι, δηλδή = π µ 80 Γ Εµβδόν κυκλικού δίσκου Κυκλικός δίσκος κέντρου O κι κτίνς R είνι ο κύκλος ( O, R) µζί µε τ εσωτερικά του σηµεί. Είδµε προηγουµένως ότι τ εγγεγρµµέν ή τ περιγεγρµµέν σε ένν κύκλο κνονικά πολύγων τείνουν ν τυτισθούν µε τον κύκλο κθώς το πλήθος των πλευρών τους υξάνει. Ο µονδικός θετικός ριθµός E προς τον οποίο πλησιάζουν ολοέν κι περισσότερο, τ εµβδά των εγγεγρµµένων κι περιγεγρµµένων κνονικών πολυγώνων λέγετι εµβδόν του κυκλικού δίσκου. Θεωρούµε έν κνονικό ν-γωνο εγγεγρµµένο στον κύκλο ( O, R) Το εµβδόν E ν δίνετι πό τον τύπο E ν = Pν ν Από το διπλνό σχήµ φίνετι ότι κθώς το πλήθος των πλευρών υξάνει, το ν προσεγγίζει την κτίν R κι επειδή το P ν προσεγγίζει το µήκος L του κύκλου, µε ντικτάστση του κι του ν στο E ν έχουµε E ν = Pν ν = L R = πr R = πr Εποµένως το εµβδόν E ενός κυκλικού δίσκου κτίνς R δίνετι πό τη σχέση P ν E = πr

19 Προυσίση 9 Εµβδόν κυκλικού τοµέ κι κυκλικού τµήµτος Κυκλικός τοµές Θεωρούµε ένν κύκλο ( O, R) κι µί επίκεντρη γωνί OB A Το σύνολο των σηµείων της επίκεντρης γωνίς κι του κυκλικού δίσκου λέγετι κυκλικός τοµές κέντρου O κι κτίνς R Ο κυκλικός υτός τοµές συµβολίζετι O AB Αν η επίκεντρη γωνί A O B είνι µ, λέµε ότι κι ο κυκλικός τοµές είνι µ Ένς κυκλικός δίσκος ( O, R) είνι έν κυκλικός τοµές R Ο κυκλικός τοµές θ έχει εµβδόν 360 π 360 µε εµβδόν π R Οπότε, ένς κυκλικός τοµές µ θ έχει εµβδόν (O AB) = πr µ 360 Ακόµη, επειδή ο κυκλικός δίσκος ( O, R) είνι κυκλικός τοµές π rad µε εµβδόν Κυκλικό τµήµ π R, ένς τοµές rad θ έχει εµβδόν Έστω ένς κύκλος ( O, R) κι µί χορδή του AB Η AB χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο µέρη ε κι ε που βρίσκοντι εκτέρωθεν υτής. Κθέν πό υτά τ µέρη λέγετι κυκλικό τµήµ. Το εµβδόν ε του κυκλικού τµήµτος που περιέχετι στην κυρτή γωνί A O B πr π = R προκύπτει, ν πό το εµβδόν του κυκλικού τοµέ φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου, δηλδή = (O AB) (OAB) ε Το εµβδόν ενός κυκλικού δίσκου κτίνς ρ είνι ίσο µε το εµβδόν ενός κυκλικού τοµέ 90 κι κτίνς ρ Ν υπολογίσετε το εµβδόν ενός κυκλικού τοµέ 45 κι κτίνς ρ =

20 Προυσίση 0 Ε Τετργωνισµός του κύκλου Η µέτρηση του εµβδού του περικλειόµενου πό κάποιο σχήµ ήτν σε όλους τους λούς, πό την εποχή που κόµη η γεωµετρί ήτν εµπειρικής µορφής βσική επιδίωξη όλων των γεωµετρών. Από τη στιγµή που διλέξνε σν µονάδ µέτρησης των εµβδών το τετράγωνο µε πλευρά τη µονάδ µήκους, υτόµτ τέθηκε κι το πρόβληµ του τετργωνισµού των διφόρων σχηµάτων. Αρχικά "τετργωνίστηκν" δηλδή προσδιορίστηκε το εµβδόν τους τ ορθογώνι, τ τρίγων, τ πρλληλόγρµµ κι ορισµέν πολύγων. Μετά πό υτό ήτν φυσικό ν επιδιωχθεί κι ο τετργωνισµός σχηµάτων περικλειόµενων πό κµπύλες γρµµές κι πρώτου πό όλ του κύκλου. Ο τετργωνισµός του κύκλου λοιπόν, είνι έν πό τ ρχιότερ γεωµετρικά προβλήµτ. Η διτύπωση του είνι πλή. Ζητείτι η κτσκευή µε κνόν κι διβήτη ενός τετργώνου του οποίου το εµβδόν ν είνι ίσο µε το εµβδόν ενός δοθέντος κύκλου. Η δυσκολί του προβλήµτος συνίσττι σε δύο περιορισµούς που έθεσν σε υτό οι ρχίοι Έλληνες µθηµτικοί. Πιο συγκεκριµέν, γι ν θεωρηθεί ποδεκτή µί λύση του προβλήµτος σε υτήν θ πρέπει ν χρησιµοποιηθεί µόνο κνόνς κι διβήτης προκειµένου η πόδειξη ν νάγετι πλήρως στ θεωρήµτ του Ευκλείδη κι ν µην πργµτοποιείτι µετά πό άπειρο ριθµό βηµάτων. Αποδεικνύετι ότι το πρόβληµ του τετργωνισµού του κύκλου επιλύετι εύκολ ν άρουµε οποιονδήποτε πό υτούς τους δύο περιορισµούς. Κτά την Ελληνική ρχιότητ, δόθηκν λύσεις στο πρόβληµ πό τον Αρχιµήδη τον Νικοµήδη, τον Απολλώνιο κι τον Κάρπο. Η επίλυση του προβλήµτος συνδέετι άµεσ µε την υπερβτικότητ του ριθµού π. Αν κάποιος έχει κτφέρει ν τετργωνίσει τον κύκλο, σηµίνει ότι µε κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει µί συγκεκριµένη λγεβρική τιµή γι το π Κάτι τέτοιο όµως δεν είνι εφικτό στην περίπτωση που ο ριθµός π είνι υπερβτικός, οπότε δεν έχει συγκεκριµένη λγεβρική τιµή. Πράγµτι, το ενδιφέρον γι την επίλυση του προβλήµτος του τετργωνισµού του κύκλου εξνεµίζετι το 88, ότν ο Ferdinand vn Lindemann πέδειξε ότι το π είνι υπερβτικός ριθµός.

21 Προυσίση

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προυσίσ τις ποδείξεις κάπως νλυτικά ώστε ν γίνουν πιο κτνοητές.εσείς μπορείτε ν τις προυσιάσετε πιο λιτά. Δίνετι τυχόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆΑ=1 =1 ορθή) κι Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσ.ν

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται: Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ όγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ κι Γ ονοµάζετι ο θετικός ριθµός λ γι τον οποίο ΑΒ ισχύει : AB = λ Γ = λ. Γ Μέτρο ενός ευθυγράµµου τµήµτος είνι ο λόγος του προς έν άλλο ευθύγρµµο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος

Γενίκευση Πυθαγόρειου ϑεωρήµατος Γενίκευση Πυθγόρειου ϑεωρήµτος Λυγάτσικς Ζήνων Πρότυπο Πειρµτικό Γ.Ε.Λ. Βρβκείου Σχολής 11 εκεµβρίου 01 Εισγωγή ίνουµε δύο σκήσεις που έχουν σν φετηρί το ϑεώρηµ του συνηµιτόνου. Αρχίζουµε µε έν γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β

Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β 17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΟΥ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς - A Οµάδς. ύο πύργοι κι βρίσκοντι εκτέρωθεν ενός ποτµού. Ένς πρτηρητής Π βρίσκετι προς το ίδιο µέρος του ποτµού µε τον πύργο. ν στο τρίγωνο Π είνι Π 3m,

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μθημτικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 18 Δεκεμβρίου 009 ΓΕΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχεδίση µε τη χρήση Η/Υ Κ Ε Φ Λ Ι 1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Κ Τ Σ Κ Ε Υ Ε Σ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Σ Ν Θ Π Υ Λ Σ, Ε Π Ι Κ Υ Ρ Σ Κ Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Ι Ι Κ Η Σ Η Σ Κ Ι Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Ρ Ι Σ Σ

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είνι γνωστό ότι γι πολλά ορισµέν ολοκληρώµτ δεν υπάρχουν νλυτικές µέθοδοι κριβούς επίλυσής τους. Ετσι λοιπόν έχουν νπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού τέτοιων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα