ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 6ï. Ïêôþâñéïò 2011

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 6ï. Ïêôþâñéïò 2011"

Transcript

1 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 6ï Ïêôþâñéïò

2 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του Μετατροπές σε LaTEX: Αλέξανδρος Συγκελάκης, Σελιδοποίηση-σχήματα : Νίκος Μαυρογιάννης, Εξώφυλλο : Γρηγόρης Κωστάκος. Στοιχειοθετείται με το LaTEX. Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα. Εικοσιδωεκάεδρο ϕιλοτεχνημένο από τον Leonardo da Vinci Το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα πολύεδρο (-εδρο) με είκοσι τριγωνικές έδρες και δώδεκα πενταγωνικές. Εχει πανομοιότυπες κορυφές στίς οποίες συναντώνται δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα και εξήντα ίσες ακμές που η κάθε μία τους χωρίζει ένα τρίγωνο από ένα πεντάγωνο. Είναι αρχιμήδειο στερεό - δηλαδή ένα ημικανονικό κυρτό πολύεδρο όπου δύο ή περισσότεροι τύποι πολυγώνων συναντώνται με τον ίδιο τρόπο στις κορυφές του - και ειδικότερα είναι το ένα από τα δύο οιωνεί κανονικά - quasiregular πολύεδρα που υπάρχουν, δηλαδή στερεό που μπορεί να έχει δύο τύπους εδρών οι οποίες εναλλάσσονται στην κοινή κορυφή (Το άλλο είναι το κυβο - οκτάεδρο). Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει εικοσιεδρική συμμετρία και οι συντεταγμένες των κορυφών ενός εικοσαέδρου με μοναδιαίες ακμές είναι οι κυκλικές μεταθέσεις των ( ) (,, ±ϕ), ±, ± ϕ, ± +ϕ,όπουϕ ο χρυσός λόγος + 5 ενώ το δυαδικό του πολύεδρο είναι το ϱομβικό τριακοντάεδρο. Πηγή :http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron Απόδοση : Παναγιώτης Γιαννόπουλος Ο δικτυακός τόπος ανήκει και διευθύνεται σύμφωνα με τον κανονισμό του που υπάρχει στην αρχική του σελίδα από ομάδα Διευθυνόντων Μελών. Διευθύνοντα Μέλη του Σε παρένθεση είναι το όνομα χρήστη Συντονιστές Αιρετά Μέλη. Μιχάλης Λάμπρου (Mihalis_Lambrou) Γενικός Συντονιστής. Νίκος Μαυρογιάννης (nsmavrogiannis) Γενικός Συντονιστής. Μπάμπης Στεργίου (Μπάμπης Στεργίου) Γενικός Συντονιστής 4. Σπύρος Καρδαμίτσης (Καρδαμίτσης Σπύρος) Υπεύθυνος Ενημέρωσης 5. Μίλτος Παπαγρηγοράκης (m.papagrigorakis) Υπεύθυνος Οικονομικών 6. Γιώργος Ρίζος (Γιώργος Ρίζος) Υπεύθυνος Εκδόσεων 7. Σεραφείμ Τσιπέλης (Σεραφείμ) Υπεύθυνος Προγραμματισμού Μόνιμα Μέλη Επιμελητες. Γρηγόρης Κωστάκος (grigkost) Διαχειριστής. Αλέξανδρος Συγκελάκης (cretanman) Διαχειριστής. Στράτης Αντωνέας (stranton). Ανδρέας Βαρβεράκης (ΑΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ). Κωνσταντίνος Βήττας (vittasko) 4. Φωτεινή Καλδή (Φωτεινή) 5. Σπύρος Καπελλίδης (s.kap) 6. Νίκος Κατσίπης (nkatsipis) 7. Αναστάσιος Κοτρώνης (Κοτρώνης Αναστάσιος) 8. Χρήστος Κυριαζής (chris_gatos) 9. Θάνος Μάγκος (matha). Βασίλης Μαυροφρύδης (mathxl). Γιώργος Μπαλόγλου (gbaloglou). Ροδόλφος Μπόρης (R BORIS). Μιχάλης Νάννος (Μιχάλης Νάννος) 4. Λευτέρης Πρωτοτοπαπάς (Πρωτοπαπάς Λευτέρης) 5. Δημήτρης Σκουτέρης (dement) 6. Σωτήρης Στόγιας (swsto) 7. Αχιλλέας Συνεφακόπουλος (achilleas) 8. Κωνσταντίνος Τηλέγραφος (Τηλέγραφος Κώστας) 9. Χρήστος Τσιφάκης (xr.tsif). Δημήτρης Χριστοφίδης (Demetres) Μελη. Σπύρος Βασιλόπουλος (spyros). Παναγιώτης Γιαννόπουλος (p_gianno). Κώστας Ζυγούρης (kostas.zig) 4. Γιώργης Καλαθάκης (exdx) 5. Χρήστος Καρδάσης (ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ) 6. Θανάσης Μπεληγιάννης (mathfinder) 7. Μάκης Πολλάτος (mathematica) 8. Θωμάς Ραϊκόφτσαλης (Θωμάς Ραϊκόφτσαλης) 9. Κωνσταντίνος Ρεκούμης (rek). Γιώργος Ροδόπουλος (hsiodos). Σταύρος Σταυρόπουλος (Σταύρος Σταυρόπουλος). Βασίλης Στεφανίδης (bilstef)

3 Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) ΟΙ ΑΝΕΞΕΤΑΣΤΕΟΙ. Από τους μαθητές του σχολείου, ποιανού άλλου... του Θωμά, τον Ιούνιο οι 7 προήχθησαν και οι υπόλοιποι έμειναν ανεξεταστέοι για το Σεπτέμβριο. Η ανακοίνωση για τους ανεξεταστέους είχε : 6 στα Αρχαία Ελληνικά, 5 στην Πληροφορική, 4 στα Μαθηματικάκαι 4 στην Ιστορία. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθητών που έχει μείνει και στα τέσσερα μαθήματα; ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Θεωρούμε έναν τριψήφιο αριθμό με τον περιορισμό το μικρότερο και το μεγαλύτερο ψηφίο να διαφέρουν τουλάχιστον κατά. Με τα ψηφία αυτάδημιουργούμε το μικρότερο και το μεγαλύτερο τριψή- ϕιο και τους αφαιρούμε. Αν x η διαφορά, αναστρέφουμε τα ψηφία του x και προσθέτουμε στον x. Να αποδείξουμε ότι το τελευταίο άθροισμα είναι πάντα 89. Π.χ. Θεωρώ τον 57. Δημιουργώ τους 75 και 57 και έχω x Τέλος, έχω ή ϑεωρώ τον 6. Δημιουργώ τους 6 και 6 και έχω x Τέλος, έχω Μαθηματικά Α Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Ενας Δήμος έχει μια τετράγωνη πλατεία. Αγόρασε όμως και το διπλανό τετραγωνικό οικόπεδο για να μεγαλώσει την πλατεία με συνέπεια το εμβαδόν της νέας πλατείας να διπλασιαστεί και να γίνει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 7 τετραγωνικά μέτρα. Αν ο Δήμος ϑέλει να περιφράξει την πλατεία με κάγκελο, πόσο ϑα του κοστίσει η περίφραξη, αν γνωρίζουμε ότι για κάθε μέτρο κάγκελο χρειάζεται 5 ευρώ ; ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο KARKAR) Ο προπονητής, ϑα μοιράσει στους τρεις δρομείς του, πριμ, ανάλογα όμως με την ταχύτητα του καθενός. Ο πρώτος τερμάτισε σε λεπτά, οδεύτεροςσε4 και οτρίτοςσε. Πόσα ϑα πάρει ο καθένας ; Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο KARKAR) Ο Αλέξης κι ο Βασίλης συντόνισαν τα ϱολόγια τους, ώστε την ώρα που έμπαινε ο καινούργιος χρόνος (δηλαδή το ) ναδείχνουνκαιταδύοακριβώς. Ομωςτοϱολόι του Αλέξη πάει μπροστά λεπτάτο 4ωρο, ενώ του Βασίλη λεπτά πίσω. ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια ώρα; ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια, αλλά σωστή ώρα; ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης ) Τα παπούτσια του Παναγιώτη έχουν 9 τρύπες σε κάθε πλευρά οι οποίες απέχουν κατακόρυφα cm ενώ οριζόντια cm. Τα παπούτσια δένονται όπως ϕαίνεται στο σχήμα. Αν τελικάπερισσεύει σε κάθε μεριά cm κορδόνι, τότε ϐρείτε το μήκος του κορδονιού. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο δύο απέναντι κορυφές δεν μπορούν να ισαπέχουν από την διαγώνιοτωνάλλωνκορυφών. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο KARKAR) Αν a>b> και x a b a + b,y a b a + b α) Συγκρίνατε τους αριθμούς x, y ϐ) Δείξτε ότι η (ϑετική) διαφοράτους είναι μικρότερη του x. Μαθηματικά Α Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Να λύσετε το σύστημα x y x x x y + x + y + x y + y ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να αποδείξετε ότι Μαθηματικά Α Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR) Στο σημείο M του εγγεγραμμένου, στο ισοσκελές τρίγωνο ABC, κύκλου(k, R) ϕέρω την εφαπτομένη, η οποία τέμνει τις πλευρές AB, AC στα σημεία Z, H αντίστοιχα.

4 Μαθηματικά Β Λυκείου, Κατεύθυνση Οι ευθείες ZK,HK τέμνουν τη ϐάση BC στα σημεία T,S. Να δειχθεί ότι : ZH ST. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Σε ένα τρίγωνο η B είναι και η Γ είναι 45 μοίρες. Αν M είναι το μέσο του BΓ, ναϐρεθεί η MÂΓ. Μαθηματικά Β Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ ( Προτείνει ο Γιώργος Απόκης ) Αν για μία αριθμητική (a n) και μία γεωμετρική (b n) πρόοδο (οι οποίες δεν είναι σταθερές) ισχύουν a b,a b,ναδείξετεότιb n >a n για n. ΑΣΚΗΣΗ 4 ( Προτείνει ο KARKAR ) Να λυθεί η ανίσωση : (x 4 x +) x < Μαθηματικά Β Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC με AB AC.ΣτηνπλευράAB ϑεωρούμε τα σημεία K, L, M με AK KL LM MB και στην AC τα P, Q με AP PQ QC. ΑνD το σημείο τομής των CK,PM, E το σημείο τομής των CK,QL και Z το σημείο τομής των PM,QLνα υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου DEZ. ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ) Δίνονται τα διανύσματα a, b, c έτσι ώστε a, b, c.να αποδείξτε ότι a+ b+ c. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η έλλειψη C : x a + y και η εστία της E(γ,). ΑνKΛ είναι τυχαία χορδή β της έλλειψης C, με(ek) + (EΛ) a, τότε να δείξετε ότι το μέσο της KΛ ανήκει σε μία σταθερή ευθεία, της οποίας να ϐρεθεί η εξίσωση. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γενική Παιδεία ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R μεf(x) (a + b )x ax και g(x) 4bx +5. i) Αν ισχύει lim f(x) + lim g(x) να δείξετε ότι a και x x b. ii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί το όριο f(x) 5 lim x g(x)+x 8. 5 iii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί ο ϑετικός αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η σχέση f ( 5 )ln λ g (). ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Ενα δείγμα ο- μαδοποιήθηκε σε k κλάσεις, ίσου πλάτους c. Παρακάτω δίνεται το πολύγωνο f i το οποίο έχει σχήμα τριγώνου. α. Να εκφράσετε το c ως συνάρτηση του k. ϐ. Να ϐρείτε τα c, k. γ. Αν f 5, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα f i ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο KARKAR) Από τυχαίο σημείο S του περικύκλου, του ορθογωνίου τριγώνου ABC, ϕέρω τμήματα ST, SP, κάθετα προς την πλευρά CA και την υποτείνουσα CB αντίστοιχα. Δείξτε ότι το PT διχοτομεί το AS. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Μιγαδικοί Αριθμοί

5 ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Δημήτριος Κατσίποδας) Δίνεται η εξίσωση z αz + β με α, β R,z C και z,z είναι οι ϱίζες της με z +i i. Να ϐρείτε τους α, β R ii. Να αποδείξετε ότι z 8 + z 8 R. ΑνA(z ),B(z ), Γ(z ) οι εικόνες των z,z και z αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με,τότε: z z + (7 + i) z 5 iii. Να αποδείξετε ότι το ABΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. iv. Αν w z w z να αποδείξετε ότι w R. v. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w που επαληθεύουν την w z + w z, ϐρίσκονται σε έλλειψη. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης ) Για το μιγαδικό αρι- ϑμό z x + yi με x, y R ισχύει η σχέση : ( λi)z 4 i, λ R α) Να αποδείξετε ότι : (x + λy)+( λx + y)i 4 i ϐ) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του Μ(x, y) του z ανήκει σε κύκλο. γ) Μπορεί το σημείο Μ(x, y) να πάρει την ϑέση O(, ); Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ορια, Συνέχεια ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιωργος Τσικαλουδακης) Εστω συνάρτηση f : R R αντιστρέψιμη τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει : e f (x) f (x) x +. Να ϐρεθεί η f.. Να αποδείξετε ότι : α. η f είναι γνήσίως ϕθίνουσα. ϐ. οι γραφικές παραστάσεις των f,f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.. Να υπολογιστούν τα όρια : ( i. lim f (x)+x ) x ii. lim x f (x) x. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στράτος Παπαδόπουλος) Εστω οι συναρτησεις f, g με κοινο πεδιο ορισμού Α, τέτοιες ώστε f (x) +g (x) για κάθε x στο Α. Α) Αν ισχυει f 4 (x) + g4 (x) με α, β πραγματικοι διαφοροι του, α + β να δειξετε α β α + β ότι f 8 (x) α + g8 (x) β (α + β). Β) Να δειξετε ότι αf(x)+βg(x) α + β. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Διαφορικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Αν οι συναρτήσεις : f,g : [, ] R είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν ) f() g() + ) f(x) g(x), x [, ] ) f (sin x)+g (cos x), x R τότε να δειχθεί ότι : f g ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να ϐρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f : R (, + ) που είναι τέτοια ώ- στε f (x) lnf (x) για κάθε x R και f (). Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ολοκληρωτικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω η συνεχής συνάρτηση f :[a, b] R η οποία είνα γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι a + b b a f(x)dx < b a xf(x)dx ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο R και επιπλέον ) f(x), x Z, x ) f(x) f(t)e g(t) dt, x R. Να αποδειχθεί ότι f(x), x R. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ασκήσεις σε όλη την Υλη ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Christiano ) Αν για μια f : R R ισχύει f (x)+f(x) sinf(x)+x να δείξετε ότι f(x) x. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης) Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο ϕορές παραγωγίσιμη με f (x) με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ). A Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική λύση στο R. B Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ Εστω ο μιγαδικός u. Ανισχύει f ( +f ( i u + ) ) < να ϐρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u. Δ Εστω οι μιγαδικοί z, z,z,w για τους οποίους ισχύει z z f (), w z f () και z z f ( ). Να ϐρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z w. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Θέματα με Απαιτήσεις ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Να αποδείξετε ότι ( ) e x x ( ) x e x x ln(x+) > ln (x +) x για κάθε x (, + ) ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Εστω η συνάρτηση f : R R κυρτή και τέτοια ώστε να υπάρχουν α<β πραγματικοί με α<βκαι f (f (α)+b)+f (f (b)+α) f (α) f (b)+f (α) f (b) +f (α) +f (b) Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή, η οποία είναι αρνητική. Ασκήσεις μόνο για μαθητές ΑΣΚΗΣΗ (Νίκος Ζανταρίδης) Δίνεται τρίγωνο ABΓ και τα ύψη AA,BB, ΓΓ. Αν BA +ΓB + AΓ A Γ+B A +Γ B, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Σπύρος Καπελλίδης) Εστω a R και b, c R ώ- στε 4ac < (b ) και f : R R συνάρτηση με την ιδιότητα f(ax + bx + c) af (x)+bf(x)+c, x R. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(f(x)) x έχει μία τουλάχιστον λύση. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική

6 ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να ϐρεθεί το πλήθος των διαφορετικών τιμών, που μπορεί να λάβει η συνάρτηση [ 5x ] f(x) [x]+[x]+ +[x]+[4x], όταν x [, ]. Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Παναγιώτης Λώλας) Να λυθεί στους ϑετικούς ακεραίους η εξίσωση : 9 x + y z + ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης ) Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί,,,..., με κενάμεταξύ τους. Ενας μα- ϑητής, ο A, τοποθετεί στα κενά 5 + και 5 και υπολογίζει την τιμή της παράστασης που προκύπτει (με τη συνήθη προτεραιότητα πράξεων.) Εστω ότι το αποτέλεσμα που ϐρίσκει είναι ο αριθμός a. Στη συνέχεια ο μαθητής B αλλάζει όλα τα + σε και όλα τα σε + στην παράσταση που σχημάτισε ο A και υπολογίζει την τιμή της νέας παράστασης, έστω b. Αν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του αριθμού a + b είναι, να δείξετε ότι κάποιος από τους μαθητές έκανε λάθος στις πράξεις. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD. Οι διαγώνιοι του AC, BD τέμνονται στο σημείο O. Αν οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων OAB, OBC, OCD, ODA είναι αντίστοιχα r,r,r,r 4 και E είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD. Νααποδείξετεότι: r + r + r + r4 E. Πότε ισχύει η ισότητα; ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Εστω ABC, Â 9 o, AB AC, με D τυχόν σημείο της υποτείνουσας BC. Φέρουμε DE AB, DZ AC και έστω το σημείο H BZ CE. Να δείξετε ότι DH EZ. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Αθανάσιος Κοντογιώργης) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f : Z Z τέτοιες ώστε για κάθε x, y Z. f(x y + f(y)) f(x)+f(y) ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Κώστας Τσουβαλάς) Αν x, y, z > με xyz,νααποδείξετεότι: (x +) + y + + (y +) + z + + (z +) + x + Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Δίνεται τρίγωνο ABC και έστω M τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Εστω A BC AM, B AC BM, C AB CM και E (BA M), E (CA M) και E (CB M), E (B AM) και E (AC M), E (C BM). Νααποδειχθείότι + + E E E + + E E E ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Χρήστος Στραγάλης) Εστω ένα σκαληνό τρίγωνο ABC, (ω ) ο περίκυκλός του με κέντρο O και (ω ) ο περίκυκλος του τριγώνου AOC. Εστω επίσης OQ η διάμετρος του κύκλου (ω ) και τα σημεία M,N που επιλέγονται με τέτοιον τρόπο επί των ευθειών AQ, AC αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο AMBN να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδειχθεί οτι το σημείο τομής των ευθειών MN,BQ ανήκει στον κύκλο (ω ). ΑΣΚΗΣΗ 44 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Αν τ(n) το πλήθος και σ(n) το άθροισμα των διαιρετών του ϑετικού ακεραίου n, να δείξετε ότι σ(n) n τ(n) n + Πότε ισχύει καθεμιάισότητα ; Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Φοιτητές ΑΣΚΗΣΗ 45 (Από τον IMC /B) Υπολογίστε το ln ( ) ( ) ( ) + n ln + n ln +. n+ n ΑΣΚΗΣΗ 46 (Από τον IMC /A4) Εστω τα A,A,..., A n, τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενάσύνολα. Εστω η συνάρτηση : n f(t) ( ) k t A i A i... A ik. k i <i <...<i k n Αποδείξτε ότι η f είναι μη ϕθίνουσα στο [, ]. Άλγεβρα ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 47 (Προείνει ο Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) Εστω A M,(C), B M,(C) τέτοιοι ώστε AB Να ϐρεθεί η ορίζουσα det(ba). ΑΣΚΗΣΗ 48 (Προτείνει ο Βαγγέλης Μουρούκος) Εστω ο n n πίνακας A (a ij), μεa ij {, } για κάθε i, j {,,...,n}, γιατον οποίο ισχύει η σχέση AA t mi n + J n,όπουm ϑετικός ακέραιος, J n ο n n πίνακας με όλα τα στοιχεία του ίσα με, I n ο n n μοναδιαίος πίνακας και A t ο ανάστροφος του A. Να αποδείξετε ότι ο πίνακας A είναι κανονικός, δηλαδή ότι ισχύει AA t A t A. Ανάλυση ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 49 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο ln n n lim n + n ln k ln(n k). k ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Να υπολογισθεί το + cos x dx x (x, a>. + a) ΑΕΙ Μαθηματική Λογική και Θεμέλια Μαθηματικών ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Δημήτρης Σκουτέρης) Εστω Ā A, μια καλή διάταξη. Να αποδειχθεί ότι Ā B + C, όπου η B είναι μια καλή διάταξη χωρίς μέγιστο και η C μια πεπερασμένη διάταξη. (Λέμε ότι A, A B, B + C, C αν και μόνο αν x A y (x B y x C y (x B y C)) ). 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 5 (Ποτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Ονομάζουμε μια διάταξη ενός συνόλου X άριστη αν κάθε μη κενό υποσύνολο του X έχει ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο σε σχέση με την. Να εξεταστεί σε ποια σύνολα μπορούμε να ορίσουμε μια άριστη διάταξη. Γεωμετρία ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Atemlos) Να δείξετε ότι, εάν κάθε επίπεδη τομή ενός τρισδιάστατου στερεού σώματος είναι κύκλος, τότε το στερεό είναι σφαίρα. ΑΣΚΗΣΗ 54 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Εστω διανύσματα a, b, c R. Να λυθεί η εξίσωση x +(x a)b c. Θεωρία Αριθμών ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 55 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να δείξετε ότι η ακολου- ϑία a n 4n +,n,,... έχει ως όρους όλους τους πρώτους αριθμούς εκτός από το και το. ΑΣΚΗΣΗ 56 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να δείξετε ότι αν η διαφοράτων κύβων δύο διαδοχικών ακεραίων είναι τετράγωνο ακέραιου, τότε ο ακέραιος αυτός είναι άθροισμα τετραγώνων διαδοχικών ακεραίων. (για παράδειγμα και + ) Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών (ΑΣΕΠ) ΑΣΚΗΣΗ 57 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να αποδείξετε, ότι sin +sin +sin5 + +sin99 sin 5 sin ΑΣΚΗΣΗ 58 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Σε κόλουρη τριγωνική πυραμίδα οι πλευρές των ϐάσεων είναι a, a καθώς και τα αντίστοιχα εμβαδάτων ϐάσεων είναι E,E. Αν το εμβαδό της μεσαίας τομής είναι E να δείξετε ότι : E (E +9E). 9 ΟΦάκελος του καθηγητή, Ανάλυση ΑΣΚΗΣΗ 59 (Προτείνει ο pla.pa.s ) Ενα λεπτό σημείο στον κανόνα de l Hospital είναι ότι το όριο f (x) g πρέπει να υπάρχει. Μπορεί μήπως κάποιος να δώσει ένα αντιπαράδειγμα στο παραπάνω; Δηλαδή ένα (x) παράδειγμα ενός κλάσματος f(x) g(x) που το όριο του παίρνει απροσδιόριστη μορφή σε κάποιο x (πεπερασμένο ή άπειρο), f(x) το όριο αυτό (δηλαδή το lim ) υπά ρχει και είναι υπολογίσιμο χωρίς de l Hospital, x x g(x) οι f,g είναι παραγωγίσιμες (ή έστω κοντάστο x )και f (x) το όριο lim x x g δεν υπάρχει. (x) Επίσης, είναι δυνατόν ένα όριο να υπάρχει αλλά να μην είναι υπολογίσιμο; ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Εστω f : R R συνάρτηση. Μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο επί του R συναρτήσεων; ΟΦάκελος του καθηγητή, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Δημήτρης Ιωάννου) [Σ. Κανέλλου, «Γεωμετρικές Κατασκευές», «Ευκλείδειος Γεωμετρία Ι» (Α Λυκείου, 976)] Να κατασκευαστεί τετράγωνον του οποίου γνωρίζομεν δύο σημεία P και K κείμενα επί των ϕορέων των δύο διαγωνίων του και δύο σημεία E και Z κείμενα επί των ϕορέων των δύο απέναντι πλευρών του. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Γιώργος Μπαλόγλου) Να ϐρεθεί γεωμετρικάτο κέντρο ϐάρους τυχόντος τραπεζίου. ΟΦάκελος του καθηγητή, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Νικος Αντωνόπουλος) Εστω P (x) πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Αν ισχύουν P () 6 και P (7) 48, να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου για x. ΑΣΚΗΣΗ 64 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Εστωσαν τα πολυώνυμα P (x) x n + a x n + + a n και Q(x) x n + b x n + + b n με συντελεστές από το C. Οι ϱίζες του P είναι οι x,x,..., x n, ενώ του Q είναι οι x,x,..., x n. Αν a + a + a 5 + R και a + a 4 + a 6 + R, να αποδείξετε, ότι b + b + b n R. 5

8 Επιμελητής : Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) ΟΙ ΑΝΕΞ- ΕΤΑΣΤΕΟΙ. Από τους μαθητές του σχολείου, ποιανού άλλου... του Θωμά, τον Ιούνιο οι 7 προήχθησαν και οι υπόλοιποι έμειναν ανεξεταστέοι για το Σεπτέμβριο. Η ανακοίνωση για τους ανεξεταστέους είχε : 6 στα Αρχαία Ελληνικά, 5 στην Πληροφορική, 4 στα Μαθηματικάκαι 4 στην Ιστορία. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθητών που έχει μείνει και στα τέσσερα μαθήματα; Λύση (Χρήστος Στραγάλης) Είναι > 7 5 άρα τουλάχιστον μαθητές έμειναν και στα πρώτα μαθήματα. Επίσης : > 5 και άρα τουλάχιστον μαθητές έμειναν και στα Μαθηματικά και στην Ιστορία. Ομως + 5 > 5 άρα τουλάχιστον μαθητές έμειναν και στα 4 μαθήματα Λύση (Μιχάλης Λάμπρου) Από τους 7 5 που έμειναν, οι 4 έμειναν στην Ιστορία. Οι υπόλοιποι είναι Στην καλύτερη περίπτωση, από τους 4 στα Μαθηματικά, έχουμε 4 8 που έμειναν και στα δύο αυτά μαθήματα. αυτούς τους. Στην καλύτερη περίπτωση, από τους που δεν έμειναν στη Πληροφορική, οι υπόλοιποι 5 7 Εξετάζουμε είναι μεταξύ των προηγούμενων, δηλαδή 7 έμειναν και στα τρία αυτά μαθήματα. Εξετάζουμε τους 7. Απότους που δεν έμειναν στα Αρχαία οι υπόλοιποι 7 4 είναι μεταξύ των προηγούμενων 7. Δηλαδή, στην καλύτερη περίπτωση, έμειναν σε όλα τα μαθήματα. Λύση (Ανδρέας Βαρβεράκης) Αν και οι 5 είχαν μείνει σε το πολύ μαθήματα, τότε το άθροισμα ϑα ήταν το πολύ 5. Επομένως τουλάχιστον έμειναν σε τέσσερα μαθήματα. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Θεωρούμε έ- ναν τριψήφιο αριθμό με τον περιορισμό το μικρότερο και το μεγαλύτερο ψηφίο να διαφέρουν τουλάχιστον κατά. Με τα ψηφία αυτάδημιουργούμε το μικρότερο και το μεγαλύτερο τριψήφιο και τους αφαιρούμε. Αν x η διαφορά, αναστρέφουμε τα ψηφία του x και προσθέτουμε στον x. Να αποδείξουμε ότι το τελευταίο άθροισμα είναι πάντα 89. Π.χ. 6

9 Θεωρώ τον 57. Δημιουργώ τους 75 και 57 και έχω x Τέλος, έχω ήϑεωρώτον6. Δημιουργώ τους 6 και 6 και έχω x Τέλος, έχω Λύση (Μιχάλης Νάννος) Οαριθμός που προκύπτει από την αφαίρεση του xyz από τον zyx είναι της μορφής 99(x z) ή πολ 99 ή a99 όπου a ϕυσικός από έως και 8. Άρα πρέπει τον a99 να τον γράψουμε σε αναπτυγμένη μορφή. 99a 9a +9a a a +9a a a a + a (a ) ( a) Οανάποδος αριθμός λοιπόν ϑα είναι : ( a) (a ) Αν τους προσθέσεις αυτούς τους δύο δίνουν άθροισμα 89. 7

10 Επιμελητής : Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Ενας Δήμος έχει μια τετράγωνη πλατεία. Αγόρασε όμως και το διπλανό τετραγωνικό οικόπεδο για να μεγαλώσει την πλατεία με συνέπεια το εμβαδόν της νέας πλατείας να διπλασιαστεί και να γίνει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 7 τετραγωνικάμέτρα. Αν ο Δήμος ϑέλει να περιφράξει την πλατεία με κάγκελο, πόσο ϑα του κοστίσει η περίφραξη, αν γνωρίζουμε ότι για κάθε μέτρο κάγκελο χρειάζεται 5 ευρώ ; Λύση (Γιώργος Απόκης) Αφού το εμβαδόν διπλασιάστηκε και έγινε 7 τ.μ., αρχικά ήταν 7 : 6 τ.μ. Η αρχική πλατεία λοιπόν αφού είχε σχήμα τετραγώνου, είχε πλευρά 6 μ. γιατί 6 6. Η νέα πλατεία έχει διαστάσεις 6 μ. και 6μ., άρα περίμετρο Π + 66μ Η περίφραξη ϑα κοστίσει, επομένως, ευρώ. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο KARKAR) Ο προπονητής, ϑα μοιράσει στους τρεις δρομείς του, πριμ, ανάλογα όμως με την ταχύτητα του καθενός. Ο πρώτος τερμάτισε σε λεπτά, οδεύτεροςσε4 και ο τρίτος σε. Πόσα ϑα πάρει ο καθένας ; Λύση (Γιώργος Απόκης) Αφού η ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη του χρόνου, αρκεί να μοιράσουμε το ποσό των ευρώ, σε μέρη ανάλογα προς τους αριθμούς, 4, Αν a, b, c είναι τα ποσά που ϑα πάρουν, έχουμε : a b 4 c a + b + c Επομένως, a 4 a b 4 b 4 c 4 c 8 Σημείωση : Θεωρούμε προφανώς ότι έτρεξαν την ίδια διαδρομή και καθένας έχει σταθερή ταχύτητα ή ότι το ποσό ϑα μοιραστεί σε ποσά ανάλογα με τη μέση ταχύτητα του καθενός. 8

11 Επιμελητής : Σωτήρης Στόγιας ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο KARKAR) Ο Αλέξης κι ο Βασίλης συντόνισαν τα ϱολόγια τους, ώστε την ώρα που έμπαινε ο καινούργιος χρόνος (δηλαδή το ) να δείχνουν και τα δύο ακριβώς. Ομως το ϱολόι του Αλέξη πάει μπροστά λεπτάτο 4ωρο, ενώ του Βασίλη λεπτάπίσω. ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια ώρα; ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια, αλλάσωστή ώρα; Λύση (KARKAR) Υποθέτουμε (πράγμα που συνήθως συμβαίνει), ότι το κάθε ϱολόι επαναλαμβάνει τις ενδείξεις του ανά και όχι ανά 4 ώρες. Κάθε μέρα (4-ωρο) η διαφορά των ϱολογιών αυξάνει κατά 5 λεπτά. Θα δείξουν την ίδια ώρα, όταν η διαφορά τους γίνει ώρες ( 7 λεπτά). Αυτό ϑα συμβεί σε 7 : 5 44 ημέρες. Πράγματι τότε το μεν Α ϑα έχει κερδίσει 44 4 λεπτά ( 7 ώρες και λεπτά ), ενώ το Β ϑα έχει χάσει 44 88λεπτά ( 4 ώρες και 48 λεπτά ). Δηλαδή όταν η σωστή ώρα ϑα είναι (αλλαγή ημέρας), τα δυό ϱολόγια ϑα δείχνουν 7. απογευματινή (+7., ) Αυτό συνέβη ήδη, 44 πλήρεις ημέρες μετά την έλευση του, και η ημερομηνία ήταν (+8+++4) μέρες μετά, δηλαδή 4 Μαίου. Τώρα, το Α ϑα ξαναδείχνει τη σωστή ώρα, κάθε ϕορά που ϑα καλύπτει ακριβώς ένα ωρο κι αυτό ϑα συμβαίνει κάθε 7 : 4 ημέρες. Ομοίως το Β ϑα ξαναδείχνει τη σωστή ώρα, κάθε ϕορά που ϑα μένει πίσω ακριβώς ένα ωρο κι αυτό ϑα συμβαίνει κάθε 7 : 6 ημέρες. Ευτυχώς το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των ( 4, 6 ) είναι μόλις το 7, συνεπώς τα δύο ϱολόγια ϑα «συντονιστούν» μεταξύ τους, αλλά και με την πραγματικότητα, 7 ημέρες μετά την Πρωτοχρονιά του, δηλαδή μετά από ημέρες και - λόγω της δισεκτότητας του - αυτό ϑα συμβεί μέρες πριν τη λήξη του, δηλαδή υπομονή μέχρι την στή Δεκεμβρίου! ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης ) Τα παπούτσια του Παναγιώτη έχουν 9 τρύπες σε κάθε πλευρά οι οποίες απέχουν κατακόρυφα cm ενώ οριζόντια cm. Τα παπούτσια δένονται όπως ϕαίνεται στο σχήμα. Αν τελικάπερισσεύει σε κάθε μεριάcm κορδόνι, τότε ϐρείτε το μήκος του κορδονιού. Λύση (Γιώργος Απόκης) Αν ϑεωρήσουμε το ορθογώνιο που σχηματίζουν τα πρώτα 4 σημεία, έχουμε ότι το «λοξό» τμήμα (από Πυθαγόρειο Θεώρημα) έχει μήκος ( ) 5 + cm. Άρα, συνολικά έχουμε μήκος cm 9

12 Επιμελητής : Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο δύο απέναντι κορυφές δεν μπορούν ναισαπέχουναπότηνδιαγώνιοτωνάλλωνκορυφών. Λύση (Φώτης Μαραντίδης) Εστω τραπέζιο ABΓΔ με AB//ΓΔ. Φέρνουμε την διαγώνιο BΔ και έστω ότι οι αποστάσεις των A, Γ από την BΔ είναι οι AE, ΓZ αντίστοιχα. Εχουμε τα τρίγωνα ABE και ΔΓZ. Αυτά τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν από μία γ- ωνία ορθή (ÂEB ΓΔZ 9 )και ÂBE ΓΔZ ως εντός εναλλάξ από τις παράλληλες πλευρές. Με την εις άτοπο απαγωγή έχουμε : Αν AE ΓZ τότε τα παραπάνω τρίγωνα ειναι ίσα (κριτήρια ισότητας τριγώνων) και οι πλευρές τους ίσες, δηλαδή AB ΓΔ, που είναι άτοπο γιατί ειναι οι παράλληλες πλευρές τραπεζίου που εξ ορισμού είναι άνισες. Άρα οι αποστάσεις ειναι άνισες. Λύση (Κώστας Καπένης) Ενδιαφέρων τρόπος να καταλήξουμε ότι οι ϐάσεις ϑα ήταν ίσες είναι και με τη ϐοήθεια των εμβαδών. Αν οι αποστάσεις είναι ίσες τότε τα τρίγωνα ABD, BCD γίνονται ισεμβαδικά λόγω της κοινής ϐάσης BD. Ομως αφού έχουν και ίσα ύψη (τις αποστάσεις των ϐάσεων) τότε ϑα έπρεπε και οι ϐάσεις του τραπέζιου να ήταν ίσες - άτοπο. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο KARKAR) Αν a > b > και x a b a + b,y a b a α) Συγκρίνατε τους αριθμούς x, y + b ϐ) Δείξτε ότι η (ϑετική) διαφοράτους είναι μικρότερη του x. Λύση (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) α) Εχουμε ότι : x a b a + b a b (a + b) a b a, οπότε x < y, +ab + b αφού ανάμεσα σε δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή (a b ), μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή (a +ab + b >a + b ). ϐ) y x<x y<x a b a + b < a b a +ab + b a + b < a +ab + b a +ab + b < a +b a ab + b > (a b) >, η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.

13 Επιμελητής : Στράτης Αντωνέας ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) λύσετε το σύστημα x y x x x y + x + y + x y + y Να ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να αποδείξετε ότι Λύση (Θάνος Μάγκος) Εστω (x, y) λύση του συστήματος (με x ). Εχουμε x y + x + y + x y + y x y (x y) + x + y + y x + x + y + y x + y + x + y Άρα πρέπει να ισχύει παντού ισότητα. Επομένως πρέπει (x y)(x y),x>,x+ y. () Λόγω της x>, η πρώτη εξίσωση γράφεται ως x y, άρα x y. Τότε, από τις () ϐρίσκουμε x. Είναι απλό να δούμε ότι όλα τα Ϲεύγη (a, a) με ( a, ] είναι λύσεις του συστήματος. Λύση (Χρήστος Λαζαρίδης) Για x ηπρώτηεξίσωση γράφεται, x y x y. Αντικαθιστούμε στη δεύτερη και έχουμε : x + x + x x (x ) x x Για x< η πρώτη γράφεται x y + x y. Τοσύστημαείναι αδύνατο. Τελικά έχουμε τις λύσεις : (x, y) (a, a), <a. Λύση (Βαγγέλης Μουρούκος) Θέτουμε a και b.είναι a ab + b a + b a + b και ( )( ) + + ( )( + 4+ ) + ( )( + + )

14 Επιμελητής : Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR) Στο σημείο M του εγγεγραμμένου, στο ισοσκελές τρίγωνο ABC, κύκλου (K, R) ϕέρω την εφαπτομένη, η οποία τέμνει τις πλευρές AB, AC στα σημεία Z, H αντίστοιχα. Οι ευθείες ZK,HK τέμνουν τη ϐάση BC στα σημεία T,S. Να δειχθεί ότι : ZH ST. Αν επιπλέον B,C είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές AC, AB του τριγώνου ABC αντίστοιχα, τότε ισχύει : AB υπoθεση AC και AC εϕαπ.τμηματα AB αντισ.θαλη C B //BC AA BC AA C B : (). Επίσης έχουμε ZC εϕαπ.τμηματα ZM άρα η ΚΖ είναι διχοτόμος της C KM και ομοίως KH διχοτόμος της M KB. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα KMH,KA T, τα οποία έχουν KM KA διχoτoμo ρ και ϕ M KH M KB επικ εγγεγρ B Ĉ M oξειες με καθ. πλευρες() A KT, οπότε είναι ίσα, συνεπώς MH A T : (). Ομοίως δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ZKM,SA K είναι ίσα, οπότε προκύπτει ότι ZM A S :(). Τέλος, προσθέτοντας τις σχέσεις () και () κατά μέλη προκύπτει : ZH ST. Λύση (Μιχάλης Νάννος) Εστω D, N, E τα εφαπτόμενα σημεία του εγγεγραμμένου κύκλου (K, R) με τις πλευρές AB, BC, CA αντίστοιχα. Από το μέσο N της BC και από εφαπτόμενα τμήματα ισχύει : BD BN CN CE και από διαφορά ίσων τμημάτων : AD AE. Εφόσον AD BD AE έπεται ότι DE//BC (). CE Λύση (Στάθης Κούτρας) Επειδή το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές (AB AC), η προέκταση της AK (διχοτόμου) ϑα τέμνει κάθετα την BC έστω στο σημείο A. Εστω F KZ DM και G KH ME.Τατετράπλευ- ϱα KDZM, KMHE είναι χαρταετοί, οπότε τα F, G είναι μέσα των DM, ME αντίστοιχα και ισχύει στο τρίγωνο () MDE: F G//DE // BC. Θέτοντας F ĜK x ϑα είναι

15 T ŜK x (εντός εναλλάξ), F MK x (από το εγγράψιμο KFMG, μια που Z FM MĜK 9 από τους χαρταετούς) και F ẐM x(επειδή στο ορθογώνιο FZM η Z MF 9 x). Τα ορθογώνια τρίγωνα KMZ, KNS είναι ίσα (μια οξεία γωνία και μία πλευρά - ακτίνα αντίστοιχα ίσες), άρα KZ KS. ΤατρίγωναKZH, KST είναι ίσα από Γ Π Γ, επομένως ZH ST. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Σε ένα τρίγωνο η B είναι και η Γ είναι 45 μοίρες. Αν M είναι το μέσο του BΓ, να ϐρεθεί η MÂΓ. και το τρίγωνο ΔAM ισοσκελές. Από τις προσκείμενες στη ϐάση γωνίες του ισοσκελούς ϑα ισχύει : 45 + x 8 ή x. Λύση (Φωτεινή Καλδή) Γράφουμε κύκλο με κέντρο M και ακτίνα MB, E το σημείο τομής αυτού με την προέκταση της BA. Λύση (Μιχάλης Νάννος) Από το Γ ϕέρουμε κάθετη στην BA που τέμνει την προέκτασή της στο Δ. Είναι ΔÂΓ 45 (εξωτερική γωνία του τριγώνου ABΓ) και Δ ΓA 45 (μια που στο ορθογώνιο τρίγωνο BΔΓ η B και η A ΓB 5 ). Τότε ισχύει BÊC 9, το τρίγωνο MEB είναι ισοσκελές και το τρίγωνο MEC ισόπλευρο. Ετσι το τρίγωνο ΔAΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, το τρίγωνο ΔMΓ είναι ισόπλευρο (λόγω της διαμέσου ΔM) Επίσης AĈM AÊM άρα η AĈM εγγεγραμμένη στον κύκλο κέντρου E και ακτίνας EA, επομένως MÂC MÊC 6.

16 Επιμελητής : Φωτεινή Καλδή ΑΣΚΗΣΗ ( Προτείνει ο Γιώργος Απόκης ) Αν για μία αριθμητική (a n ) και μία γεωμετρική (b n ) πρόοδο (οι οποίες δεν είναι σταθερές) ισχύουν a b,a b,ναδείξετε ότι b n >a n για n. Λύση (Δημήτρης Ιωάννου ) Πράγματι, οι όροι χρειάζεται να είναι ϑετικοί. Εστω λοιπόν ω, ηδιαφοράτηςαρι- ϑμ. προόδου και λ ο λόγος της γεωμ. προόδου. Τότε ϑα είναι : ω a a, λ b b a a Άρα ω a (λ ) Τώρα έχουμε : b n b.λ n, a n a +(n )ω Πρέπει να δείξουμε ότι b n >a n για κάθε n Άρα αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι a.λ n >a +(n )a (λ ) λ n > +(n )(λ ) (δεδομένου ότι a > ) Από την ανισότητα του Bernoulli έχουμε : λ n [+(λ )] n +(n )(λ ) (εφόσον είναι λ >, αφού εξ υποθέσεως είναι λ> διότι η πρόοδος έχει ϑετικούς όρους). Και επειδή η ισότητα ισχύει για n,δηλαδήγιαn άρα για κάθε n ϑα έχουμε ότι ισχύει η γνήσια ανισότητα και άρα το Ϲητούμενο. Λύση (Γιώργος Απόκης ) Για ευκολία ϑα συμβολίσω με p, q τους δύο πρώτους (ίσους) όρους και με x, y το γενικό όρο κάθε προόδου. Ισχύουν : και x p +(n )(q p) y p ( ) q n qn p p n Θα δείξουμε ότι : y>xγια n. Είναι: y>x qn >p+(n )(q p) pn q n >p n +(n )(q p)p n (q n p n ) (n )(q p)p n > (q p)(q n +q n p+...+p n ) (n )(q p)p n > (q p)(q n +q n p+...+p n p n p n... p n ) > (q p)[(q n p n )+p(q n p n )+...+p n (q p)] > (q p) [(q n +...+p n )+...+p(q n p n 4 )+...+p n ) > που ισχύει. ΑΣΚΗΣΗ 4 ( Προτείνει ο KARKAR ) Να λυθεί η ανίσωση : (x 4 x +) x < Λύση (Γιώργος Μανεάδης ) Είναι : x 4 x +x 4 x + x x + x 4 x x x (x ) +(x ) + > Η δοσμένη ανίσωση (x 4 x +) x < γίνεται : x ln(x 4 x +)<, () Αν x η () δεν ισχύει Αν x> η () γίνεται : ln(x 4 x+) < x 4 x+ < x 4 <x x < x< οπότε <x<. Αν x< η () γίνεται : x 4 x +> x 4 >x x < x<. οπότε x< τελικά λύση της δοσμένης ανίσωσης είναι x (, ) (, ). 4

17 Επιμελητής : Ανδρέας Βαρβεράκης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Δίνεται ορ- ϑογώνιο τρίγωνο ABC με AB AC. Στην πλευρά AB ϑεωρούμε τα σημεία K, L, M με AK KL LM MB και στην AC τα P, Q με AP PQ QC. Αν D το σημείο τομής των CK,PM, E το σημείο τομής των CK,QL και Z το σημείο τομής των PM,QL να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου DEZ. Λύση (Γιώργος Ρίζος) Για να ελαχιστοποιήσουμε τον κίνδυνο αριθμητικού λάθους ϐαθμολογούμε κατάλληλα τους άξονες, παίρνοντας ως μήκος των ίσων πλευρών του τριγώνου το (Ε.Κ.Π. των, 4). Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο A (, ) τοποθετούμε τα σημεία K (, ),L(6, ),M(9, ),B(, ),P(, 4), Q (, 8),C(, ). ΤότεABC ορθογώνιο και ισοσκελές και AK KL LM MB, AP PQ QC Η CK έχει εξίσωση y 4x +, η PM : y 4 x +4 και η QL : 9 y 4 x +8 Οπότε, λύνοντας( τα συστήματα ) ( των) εξισώσεων ( ανά ) δύο ϐρίσκουμε : 9 9 D 4,, E, 6, Z, Οπότε DE ( 4 ) ( ), 9, DZ 4, και (DEZ) 6 Προσαρμόζοντάς το στην αρχική εκφώνηση : (DEZ) 48 Λύση (Κώστας Δόρτσιος) Εφαρμόζουμε το ϑεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο AMP με διατέμνουσα την KDC: AK KM MD DP PC CA MD DP MD DP (). Ομοια το ίδιο ϑεώρημα στο τρίγωνο AMP με διατέμνουσα την L, Z, Q: AL LM MZ ZP PQ QA MZ ZP MZ ZP () Από την () έχουμε : MD PD MZ + ZD PD () ZP + ZD PD ZP PD+ ZD PD ZD PD ZD PD () Δηλαδή το σημείο D είναι μέσο του τμήματος ZP. Ομοια αν εφαρμόσουμε δύο ϕορές το ϑεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο AKC με διατέμνουσες τις PDM και QEL ϑα προκύψει : DE KD (4) Από τις () και (4) προκύπτει ότι το τετράπλευρο KZEP είναι παραλληλόγραμμο. Αν η ϐάση του παραλληλογράμμου ϑεωρηθεί η EZ τότε το ύψος του ϑα είναι το μισό του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου ALQ το οποίο έχει πλευρές : AL, AQ LQ 5 6 υ a 4 5

18 άρα το ύψος του παρ/μου είναι : υ υ a Τελικά για το Ϲητούμενο εμβαδόν ϑα είναι : E(DEZ) 4 E (KZEP) 4 (EZ) υ 4 LQ υ a 4 5/6 48 τ.μ. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο KARKAR) Από τυχαίο σημείο S του περικύκλου, του ορθογωνίου τριγώνου ABC, ϕέρω τμήματα ST,SP, κάθετα προς την πλευρά CA και την υποτείνουσα CB αντίστοιχα. Δείξτε ότι το PT διχοτομεί το AS. Λύση (Μιχάλης Νάννος) Από το εγγεγραμμένο CABS: BÂS BĈS x (), απ το εγγράψιμο CTPS (C TS C PS ) 9 : (BĈS) P ĈS () P TS x και από εντός εναλλάξ των παραλλήλων () TS,AB: T ŜA BÂS x. Τα τρίγωνα MTS, MTA είναι ισοσκελή (γωνίες της ϐάσης ίσες) με MT κοινή, επομένως M μέσο του AS. Λύση (Σωτήρης Λουρίδας) Λύση (Στράτης Αντωνέας) Αν ϕέρουμε SK AB τότε τα σημεία T,P,K είναι συνευθειακά (ευθεία Simson). Το AT SK είναι ορθογώνιο και οι διαγώνιές του AS, T K διχοτομούνται στο σημείο M. { } AM MS Επίσης έχουμε : F SP (ABC), SP PF { PM FA PMS FAM Επομένως BAM MST AMT. σημεία T,M,P είναι σημεία της ίδιας ευθείας. τα 6

19 Επιμελητής : Λευτέρης Πωτοπαπάς ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ) Δίνονται τα διανύσματα a, b, c έτσι ώστε a, b, c.να αποδείξτε ότι a + b + c. Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) άτοπο διότι Άρα συν ( b, c) a + b + c a + b + c b c a b c a c + a 6 + άτοπο, οπότε ισχύει το Ϲητούμενο. Λύση (parmenides5) Είναι : a + b + c ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η έλλειψη C : x a + y και η εστία της E(γ,). ΑνKΛ β είναι τυχαία χορδή της έλλειψης C,με(EK) + (EΛ) a, τότε να δείξετε ότι το μέσο της KΛ ανήκει σε μία σταθερή ευθεία, της οποίας να ϐρεθεί η εξίσωση. Λύση (Γιώργος Τζίρογλου) Εστω K (x k,y k ), Λ(x l,y l ). Είναι γνωστό ότι : b + c a ( b + c) ( a) 9 b +6 b c + c 4 a 9 b +6 b c συν ( b, c)+ c 4 a 9 +6 συν ( b, c)+ 4 και Άρα EK a εx k EΛ a εx l EK + EΛ a ε (x k + x l )a x k + x l a γ 6 + 6συν ( b, c)+94 συν ( b, c) 4 6 x m a γ Άρα το M κινείται στην ευθεία x a γ. 7

20 Επιμελητής : Χρήστος Τσιφάκης ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R μεf(x) (a + b )x ax και g(x) 4bx +5. i) Αν ισχύει lim f(x) + lim g(x) να δείξετε ότι x x a και b. ii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί το όριο f(x) 5 lim x g(x)+x 8. 5 iii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί ο ϑετικός αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η σχέση f ( 5 )ln λ g (). Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) i. Είναι lim f(x)+ lim g(x) lim[(a +b )x x x x ax] + lim[4bx +5] a + b a +4b +5. x Οπότε :a + b a +4b +5 (a ) + (b +) a και b. ii. Είναι : lim x 5 lim x 5 f(x) 5 g(x)+x 8 lim 5x x + 5 x 5x 5 (5x ) ( x + ) ( 5 lim x + ) 4 5x x 5 5. iii. Είναι f (x) x και g (x) 8 άραf ( 5 ) 8 και g () 8 Άρα f ( 5 )ln λ g () ln λ λ e λ e Λύση (Γιώργος Απόκης) α. Οι αριθμοί 5, 45 είναι οι κεντρικές τιμές των βοηθητικών κλάσεων. Ανάμεσά τους υπάρχουν οι κεντρικές τιμές x,x,..., x k. Επομένως, ισχύει c + ck + c c k+. ϐ. Στον υπολογισμό εμβαδών ϑεωρούμε ως μονάδα, στον οριζόντιο άξονα, το c. Άρα, η ϐάση του τριγώνου έχει μήκος b + k + k +. Το εμβαδό που περικλείεται από το πολύγωνο και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με, και αφού έχει σχήμα τριγώνου ϑα ισχύει :E 5b 5(k+) k και άρα c. γ. Αφού k, από το πολύγωνο έχουμε f 5 άρα f (5 + 5) 5 και έτσι εύκολα προκύπτει το ιστόγραμμα συχνοτήτων. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Ενα δείγμα ομαδοποιήθηκε σε k κλάσεις, ίσου πλάτους c. Παρακάτω δίνεται το πολύγωνο f i το οποίο έχει σχήμα τριγώνου. α. Να εκφράσετε το c ως συνάρτηση του k. ϐ. Να ϐρείτε τα c, k. γ. Αν f 5, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα f i 8

21 Επιμελητής : Κώστας Τηλέγραφος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Δημήτριος Κατσίποδας) Δίνεται η εξίσωση z αz + β με α, β R,z C και z,z είναιοιϱίζεςτηςμεz +i i. Να ϐρείτε τους α, β R ii. Να αποδείξετε ότι z 8 + z 8 R. Αν A(z ),B(z ), Γ(z ) οι εικόνες των z,z και z αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με,τότε: z z + (7 + i) z 5 iii. Να αποδείξετε ότι το ABΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. iv. Αν w z w z να αποδείξετε ότι w R. v. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w που επαληθεύουν την w z + w z, ϐρίσκονται σε έλλειψη. Λύση (Πρωτοπαπάς Λευτέρης) i. Είναι z i και από Vietaz +z α α 4 και z z β β 5. ii. z 8 + z 8 z 8 + z 8 Re(z ) R. iii. z 4+i, άραa(, ),B(, ), Γ(4, ). Τότε: AB AΓ και AB AΓ, οπότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. iv. w z w z (z z )( w w) w w w R. v. Η δοσμένη σχέση γράφεται : w z + w z w z + w z, Ισχύει z z +i ( i) i άρα είναι έλλειψη. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης ) Για το μιγαδικό αριθμό z x + yi με x, y R ισχύει η σχέση : ( λi)z 4 i, λ R α) Να αποδείξετε ότι : (x + λy)+( λx + y)i 4 i ϐ) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του Μ(x, y) του z ανήκει σε κύκλο. γ) Μπορεί το σημείο Μ(x, y) να πάρει την ϑέση O(, ); Λύση (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Εχουμε ότι : ( λi)z 4 i ( λi)(x + yi) 4 i (x + λy)+( λx + y)i 4 i x + λy 4, λx + y, λ R (I) α) Συνεπώς από τις (I) έχουμε : (x + λy)+( λx + y)i 4 i ϐ) Λύνουμε το σύστημα των (I) ως προς x, y και έχουμε : (x, y) ( Dx D, Dy D ) ( λ+4 λ +, 4λ 4 λ + ),λ R. Ισχύει : (x ) +(y +) ( ) λ +4 ( ) 4λ λ + + λ + + ( λ ) ( +λ + λ ) +4λ λ + + λ άρα η εικόνα του Μ(x, y) του z ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(, -) με ακτίνα 5. γ) Εστω ότι (x, y) (, ). Τότε από την σχέση ( λi)z 4 i προκύπτει ότι 4 i, άτοπο. ΣυνεπώςτοσημείοΜ(x, y) δεν μπορεί να πάρει την ϑέση O(, ). 9

22 Επιμελητής : Μίλτος Παπαγρηγοράκης ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιωργος Τσικαλουδακης) Εστωσυνάρτησηf : R R αντιστρέψιμη τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει :. Να ϐρεθεί η f. e f (x) f (x) x +. Να αποδείξετε ότι : α. η f είναι γνήσίως ϕθίνουσα. ϐ. οι γραφικές παραστάσεις των f,f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.. Να υπολογιστούν τα όρια : i. lim ( f (x)+x ) ii. lim x f (x) x. x Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) Ισχύει e f (x) f (x) x +() για κάθε x R. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι οι f,f έχουν πεδίο ορισμού (άρα και σύνολο τιμών) το R.. Θέτουμε στην () όπου x το f(x),μεx στο R οπότε παίρνουμε : e f (f(x)) f (f(x)) f(x) + f(x) e x x, x R. α) Εστω x,x Rμεx <x x <x x > x x > x ( ), επίσης,x <x x > x x > x e x >e x ( ). Με πρόσθεση κατά μέλη των ( ), ( ) παίρνουμε : e x x > e x x f(x ) > f(x ) και συνεπώς η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. ϐ) Υπαρξη κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των f,f : Εστωηεξίσωσηf(x) x () f(x) x e x x (),x R Ησυνάρτησηg(x) e x x είναι συνεχής (το αιτιολογούμε εύκολα) στο [, ] και g()g() (e )( ) <. Σύμφωνα με το ϑεώρημα του Bolzano η () άρα και η () έχει ϱίζα ξ (, ). Η ϱίζα αυτή είναι μοναδική αφού η g είναι γνησίως ϕθίνουσα (ως άθροισμα των γνησίως ϕθινουσών συναρτήσεων f και x, ή απόδειξη κατασκευαστικά) άρα και Ετσι η () έχει μοναδική ϱίζα ξ (, ), δηλαδή η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την y x το M(ξ,ξ), ξ (, ). Από το M όμως διέρχεται και η γραφική παράσταση της f. Συμπεραίνουμε ότι οι C f,c f έχουν κοινό σημείο το M (μοναδικό επί της y x) Μοναδικότητα του κοινού σημείου: ΕστωότιοιC f,c f έχουν και άλλο κοινό σημείο το A(x,y ),x y (αφού δεν μπορεί να ϐρίσκεται στην y x). Εχουμε : f(x )y και f (x )y f(y )x, οπότε : f(x ) f(y )y x e x x (e y y ) y x e x e y e x x y που είναι άτοπο και έτσι το Ϲητούμενο e y αποδείχθηκε.. i) () f (x) e f (x) x f (x) > x και επειδή προκύπτει Επίσης lim ( x ) + x lim f (x) + x () f (x)+x e f (x) οπότε ( lim f (x)+x ) ( ) lim e f (x) x x uf (x) lim u + e u f (x) ii) lim x x f (x)+x x lim x lim x lim x ( f (x)+x ) lim x x f (x)+x x ( ). x ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στράτος Παπαδόπουλος) Εστω οι συναρτησεις f, g με κοινο πεδιο ορισμού Α, τέτοιες ώστε f (x)+g (x) για κάθε x στο Α. Α) Αν ισχυει f 4 (x) α + g4 (x) με α, β πραγματικοι διαφοροι του, α + β να δειξετε β α + β ότι f 8 (x) α + g8 (x) β (α + β). Β) Να δειξετε ότι αf(x)+βg(x) α + β.

23 Λύση (Χρήστος Κυριαζής) (α Ερώτημα) Κάνοντας α- παλοιφή παρονομαστών, έχω : β (α + β) f 4 (x)+α (α + β) g 4 (x) αβf (x)+αβg (x) ή ακόμα καλύτερα : αβf 4 (x)+β f 4 (x)+αβg 4 (x)+α g 4 (x) Συνεχίζοντας, έχω : αβf (x)+αβg (x) β f 4 (x)+α g 4 (x) αβf (x) ( f (x) ) + αβg (x) ( g (x) ) Απ οπου, λόγω των δεδομένων προκύπτει : β f 4 (x)+α g 4 (x) αβf (x) g (x) από όπου έχουμε ότι ( βf (x) ag (x) ) f (x) α β g (x) Αξιοποιώντας τώρα και την : f (x)+g (x) μπορούμε να έχουμε : f (x) α α + β, g (x) β α + β Αν ϑεωρήσουμε το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέσης έχουμε : ( f 8 (x) α + g8 (x) f (x) ) 4 ( g (x) ) 4 β α + β... α + β (α + β) 4 (α + β) Λύση (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) (ϐ Ερώτημα) Από Lagrange: α + β (f (x)+g (x))(α + β ) (αf(x)+βg(x)) +(αg(x) βf(x)) (αf(x)+βg(x)) οπότε α + β αf(x)+βg(x) Λύση (Χρήστος Κυριαζής) (ϐ Ερώτημα) Με Cauchy- Schwarz έχουμε ότι αf(x)+βg(x) α + β f (x)+g (x) αφού : f (x)+g (x) α + β

24 Επιμελητής : Ροδόλφος Μπόρης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Αν οι συναρτήσεις : f, g :[, ] R είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν ) f() g() + ) f(x) g(x), x [, ] ) f (sin x)+g (cos x), x R τότε να δειχθεί ότι : f g Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) f (sin x)+g (cos x) sin xf (sin x)+sinxg (cos x)sinx [ f ( sin x ) g ( cos x )] ( cos x) Για x π f ( sin x ) g ( cos x ) c cos x λαμβάνουμε c + c.άρα f ( sin x ) g ( sin x ) cos x sin x,x R Αλλάζουμε μεταβλητή sin x u [, ] οπότε f (u) g ( u) u () και για u u λαμ- ϐάνουμε f ( u) g (u) u (). Εστω ότι υπάρχει α ώστε f (α) >g(α). Για x α στις (), () λαμβάνουμε f (α) g ( α) α f ( α) g (α) α Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε f (α) g (α)+f ( α) g ( α) άτοπο αφού το πρώτο μέλος είναι ϑετικό. Συνεπώς για κάθε u [, ] ισχύει f (u) g (u) και επίσης f (u) f ( u) u f (u) u [f ( u) +u] Η h (u) f (u) u, u [, ] είναι συνεχής στο [, ] άρα ϑα έχει μεγιστη M και ελάχιστη τιμή m. Συνεπώς m h (u) M, u [, ]. Γιαu u λαμβάνουμε m h ( u) M M h ( u) m και προσθέτοντας με την προηγούμενη έχουμε m M h (u) h ( u) M m m M M m m M άρα η h είναι σταθερή οπότε h (u) c f (u) u c f (u) u + c Για u παίρνουμε f () c. Άρα f (u) u + f (), η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της άσκησης. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να ϐρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f : R (, + ) που είναι τέτοια ώστε f (x) lnf (x) για κάθε x R και f (). Λύση (Θάνος Μάγκος) Λόγω της ανισότητας ln t t έχουμε f (x) (f(x) ) για όλα τα x, (). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) e x (f(x) ), με x R. Βρίσκουμε g (x) e x (f (x)+f(x) ). Τότε, λόγω της (), είναιg (x) για κάθε x R. Άρα η g είναι αύξουσα στο R. Επομένως, για κάθε x (, + ) είναι g(x) g(), άρα f(x), οπότε λόγω της αρχικής δ.ε. f (x). Δηλαδή η f είναι ϕθίνουσα στο (, + ). Άρα ισχύει f(x) f() για κάθε x (, + ). Άρα, ισχύει f(x) για κά- ϑε x (, + ). Ομοίως εργαζόμαστε και στο (, ) και ϐρίσκουμε f(x) για κάθε x (, ). Είναι και f(), οπότε η μοναδική συνάρτηση, που (ϕανερά) ικανοποιεί το αρχικό πρόβλημα, είναι η σταθερή f(x). Ας παρατηρηθεί, ότι με την ίδια διαδικασία αντιμετωπίζεται η γενικότερη περίπτωση f (x) a ln f(x) με f() και a<. Λύση (Θάνος Μάγκος) Ακόμη μία ιδέα με χρήση ολοκληρώματος. Λήμμα: Ισχύει t ln t t + για κάθε t>. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν t και η απόδειξη είναι τετριμμένη. Ερχόμαστε τώρα, στο αρχικό πρόβλημα.

25 Η δοθείσα γράφεται ως (f (x)) f (x)lnf(x). Άρα ισχύει x x (f (t)) dt f (t)lnf(t)dt [ ] x f(t)lnf(t) x + f(t) f (t) f(t) dt f(x)lnf(x)+f(x) (f(x)lnf(x) f(x)+ για κάθε x. (η τελευταία ανισότητα ισχύει λόγω του Λήμματος). Άρα, πάλι λόγω του Λήμματος, είναι f(x) για κάθε x. Πως μπορούμε να καλύψουμε και την περίπτωση x<; Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) (ln f (x)) + ln f (x) f (x) (ln f (x)) e x f(t) dt + e x f(t) dt ln f (x) ln f (x) f (x) Για x προκύπτει c. Με αντικατάσταση λαμ- ϐάνουμε x f(t) ln f (x) e dt Λύση 4 (Ροδόλφος Μπόρης) Είναι ln(y()). Εστω ότι υπάρχει και άλλη τιμή του x. Ας πούμε x : lny(x )) την πρώτη που ϑα συναντήσουμε μετά το αφού δεχτούμε πως η y είναι μη μηδενική σε διάστημα. Τότε ln(y(x)) x (,x ) []. Αλλά από το Θ. Rolleσυμπεραίνουμε ότι ξ (,x ):y (ξ) ή ln(y(ξ)) άτοπο από την []. Συνεπώς για x> x έχουμε y dy δηλαδή (x ) []. Ο- lny lny μοίως η σχέση [] ισχύει και για x. Από ΘΜΤ ολοκληρωτικού λογισμού είναι (x )/lnu (x ) για <u<xκαι αντίστοιχα για x<u<. Ανϑεωρήσουμε x τότε u συνεπώς /+ άτοπο και έτσι lnf(x) f(x),x>. (ln f (x)) + ln f (x) f (x) (ln f (x)) e x f(t) dt + e x f(t) dt ln f (x) ln f (x) e x f(t) dt ln f (x) e x f(t) dt c

26 Επιμελητής : Αναστάσιος Κοτρώνης ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω η συνεχής συνάρτηση f :[a, b] R η οποία είνα γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι a + b b a f(x)dx < b a xf(x)dx Λύση (Φωτεινή Καλδή) Εστω g(x) a + x x x f(t)dt tf(t)dt, x [a, b] a a αρκεί να δείξουμε ότι g(b) <. Ηg είναι παραγωγίσιμη στο (a, b) με g(a) και για x (a, b) είναι x g (x) f(t)dt x a f(x) a x a ( x a f(t)dt a a f(t)dt f(x)) x a g (x) x a (f(ξ) f(x)) < με ξ (a, x) άρα η g είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [a, b] κι έτσι g(b) <g(a) g(b) <. (*) Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού y για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f(t) dt στο διάστημα [a, x]. a ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο R και επιπλέον ) f(x), x Z, x ) f(x) f(t)e g(t) dt, x R. Να αποδειχθεί ότι f(x), x R. Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f (x) f(x)e g(x) Εστω k Z. Η f είναι συνεχής στο [k, k +] και άρα παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Εχουμε f(k) f(k +) Αν δεχθούμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο r (k, k +)τότε από το Θεώρημα του Fermat f (r) f(r)e g(r) f(r) δηλαδή το ακρότατο ϑα είναι ίσο με μηδέν. Συμπεραίνουμε ότι f(x) για κάθε x [k, k +]και αυτό για κάθε k Z.Συνεπώςf(x) για κάθε x R. 4

27 Επιμελητής : Σπύρος Καρδαμίτσης ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Christiano ) Αν για μια f : R R ισχύει f (x) +f(x) sinf(x) +x να δείξετε ότι f(x) x. Λύση (Θάνος Μάγκος ) Εχουμε f(x)( + f (x)) sin f(x)+x άρα f(x) ( + f (x)) sin f(x)+x, οπότε είναι f(x) ( + f (x)) sin f(x) + x f(x) + x. Θέτουμε για ευκολία f(x) a. Είναι a( + a ) a + x άρα a +a x. Αρκεί να αποδειχθεί ότι a a +a. Είναι a + a a a(a a +). ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης) Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο ϕορές παραγωγίσιμη με f (x) με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ). A Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική λύση στο R. B Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ Εστω ο μιγαδικός u. Ανισχύει f ( +f ( i u + ) ) < να ϐρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u. Δ Εστω οι μιγαδικοί z,z,z,w για τους οποίους ισχύει z z f (), w z f () και z z f ( ). Να ϐρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z w. Λύση (Βασίλης Κακαβάς) Α) Επειδή f (x) και f συνεχής, ϑα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R άρα f (x) > ή f (x) < Τώρα επειδή στο [, ] σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει x (, )ώστε f (x ) f () f () < ϑα είναι f (x) < και άρα f γνήσια ϕθίνουσα στο R άρα και - και αφού f () το μοναδική ϱίζα της f στο R. Β) Επειδή f γνήσια ϕθίνουσα στο R και συνεχής ϑα ισχύει για x < ότι f (x) > f () άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο (, ] και για x > ότι f (x) <f () άρα η f είναι γνήσια ϕθίνουσα στο [, + ) επομένως έχει μέγιστο στο x το f(). Γ) Από f ( + f ( iu + )) < f ( + f ( iu + )) <f () και επειδή f γνήσια ϕθίνουσα στο R ϑα έχουμε +f ( iu + )) > f ( iu + )) > f ( iu + )) >f () οπότε ϑα ισχύει iu + < απ όπου ισοδύναμα i(u i) < u i < που σημαίνει ότι οι εικόνες του u είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου κέντρου K(, ) και ακτίνας. Δ) Οι μιγαδικοί z ανήκουν σε κύκλο κέντρου A(z ) και ακτίνας ρ f() και οι w ανήκουν σε κύκλο κέντρου B(z ) και ακτίνας ρ f(). Τώρα λόγω της κυρτότητας [ ] αφού [ f ] είναι κοίλη από ΘΜΤ στα διαστήματα,,, προκύπτει ( ) ότι f() + f() < f δηλαδή ρ + ρ < AB που σημαίνει ότι οι δύο κύκλοι δεν ( τέμνονται, ) οπότε max z w AB + ρ + ρ f + f() + f() και min z w AB ρ ρ f( ) f() f(). 5

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα