ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 6ï. Ïêôþâñéïò 2011

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 6ï. Ïêôþâñéïò 2011"

Transcript

1 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 6ï Ïêôþâñéïò

2 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του Μετατροπές σε LaTEX: Αλέξανδρος Συγκελάκης, Σελιδοποίηση-σχήματα : Νίκος Μαυρογιάννης, Εξώφυλλο : Γρηγόρης Κωστάκος. Στοιχειοθετείται με το LaTEX. Μπορεί να αναπαραχθεί και να διανεμηθεί ελεύθερα. Εικοσιδωεκάεδρο ϕιλοτεχνημένο από τον Leonardo da Vinci Το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα πολύεδρο (-εδρο) με είκοσι τριγωνικές έδρες και δώδεκα πενταγωνικές. Εχει πανομοιότυπες κορυφές στίς οποίες συναντώνται δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα και εξήντα ίσες ακμές που η κάθε μία τους χωρίζει ένα τρίγωνο από ένα πεντάγωνο. Είναι αρχιμήδειο στερεό - δηλαδή ένα ημικανονικό κυρτό πολύεδρο όπου δύο ή περισσότεροι τύποι πολυγώνων συναντώνται με τον ίδιο τρόπο στις κορυφές του - και ειδικότερα είναι το ένα από τα δύο οιωνεί κανονικά - quasiregular πολύεδρα που υπάρχουν, δηλαδή στερεό που μπορεί να έχει δύο τύπους εδρών οι οποίες εναλλάσσονται στην κοινή κορυφή (Το άλλο είναι το κυβο - οκτάεδρο). Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει εικοσιεδρική συμμετρία και οι συντεταγμένες των κορυφών ενός εικοσαέδρου με μοναδιαίες ακμές είναι οι κυκλικές μεταθέσεις των ( ) (,, ±ϕ), ±, ± ϕ, ± +ϕ,όπουϕ ο χρυσός λόγος + 5 ενώ το δυαδικό του πολύεδρο είναι το ϱομβικό τριακοντάεδρο. Πηγή :http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron Απόδοση : Παναγιώτης Γιαννόπουλος Ο δικτυακός τόπος ανήκει και διευθύνεται σύμφωνα με τον κανονισμό του που υπάρχει στην αρχική του σελίδα από ομάδα Διευθυνόντων Μελών. Διευθύνοντα Μέλη του Σε παρένθεση είναι το όνομα χρήστη Συντονιστές Αιρετά Μέλη. Μιχάλης Λάμπρου (Mihalis_Lambrou) Γενικός Συντονιστής. Νίκος Μαυρογιάννης (nsmavrogiannis) Γενικός Συντονιστής. Μπάμπης Στεργίου (Μπάμπης Στεργίου) Γενικός Συντονιστής 4. Σπύρος Καρδαμίτσης (Καρδαμίτσης Σπύρος) Υπεύθυνος Ενημέρωσης 5. Μίλτος Παπαγρηγοράκης (m.papagrigorakis) Υπεύθυνος Οικονομικών 6. Γιώργος Ρίζος (Γιώργος Ρίζος) Υπεύθυνος Εκδόσεων 7. Σεραφείμ Τσιπέλης (Σεραφείμ) Υπεύθυνος Προγραμματισμού Μόνιμα Μέλη Επιμελητες. Γρηγόρης Κωστάκος (grigkost) Διαχειριστής. Αλέξανδρος Συγκελάκης (cretanman) Διαχειριστής. Στράτης Αντωνέας (stranton). Ανδρέας Βαρβεράκης (ΑΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ). Κωνσταντίνος Βήττας (vittasko) 4. Φωτεινή Καλδή (Φωτεινή) 5. Σπύρος Καπελλίδης (s.kap) 6. Νίκος Κατσίπης (nkatsipis) 7. Αναστάσιος Κοτρώνης (Κοτρώνης Αναστάσιος) 8. Χρήστος Κυριαζής (chris_gatos) 9. Θάνος Μάγκος (matha). Βασίλης Μαυροφρύδης (mathxl). Γιώργος Μπαλόγλου (gbaloglou). Ροδόλφος Μπόρης (R BORIS). Μιχάλης Νάννος (Μιχάλης Νάννος) 4. Λευτέρης Πρωτοτοπαπάς (Πρωτοπαπάς Λευτέρης) 5. Δημήτρης Σκουτέρης (dement) 6. Σωτήρης Στόγιας (swsto) 7. Αχιλλέας Συνεφακόπουλος (achilleas) 8. Κωνσταντίνος Τηλέγραφος (Τηλέγραφος Κώστας) 9. Χρήστος Τσιφάκης (xr.tsif). Δημήτρης Χριστοφίδης (Demetres) Μελη. Σπύρος Βασιλόπουλος (spyros). Παναγιώτης Γιαννόπουλος (p_gianno). Κώστας Ζυγούρης (kostas.zig) 4. Γιώργης Καλαθάκης (exdx) 5. Χρήστος Καρδάσης (ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ) 6. Θανάσης Μπεληγιάννης (mathfinder) 7. Μάκης Πολλάτος (mathematica) 8. Θωμάς Ραϊκόφτσαλης (Θωμάς Ραϊκόφτσαλης) 9. Κωνσταντίνος Ρεκούμης (rek). Γιώργος Ροδόπουλος (hsiodos). Σταύρος Σταυρόπουλος (Σταύρος Σταυρόπουλος). Βασίλης Στεφανίδης (bilstef)

3 Διασκεδαστικά Μαθηματικά ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) ΟΙ ΑΝΕΞΕΤΑΣΤΕΟΙ. Από τους μαθητές του σχολείου, ποιανού άλλου... του Θωμά, τον Ιούνιο οι 7 προήχθησαν και οι υπόλοιποι έμειναν ανεξεταστέοι για το Σεπτέμβριο. Η ανακοίνωση για τους ανεξεταστέους είχε : 6 στα Αρχαία Ελληνικά, 5 στην Πληροφορική, 4 στα Μαθηματικάκαι 4 στην Ιστορία. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθητών που έχει μείνει και στα τέσσερα μαθήματα; ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Θεωρούμε έναν τριψήφιο αριθμό με τον περιορισμό το μικρότερο και το μεγαλύτερο ψηφίο να διαφέρουν τουλάχιστον κατά. Με τα ψηφία αυτάδημιουργούμε το μικρότερο και το μεγαλύτερο τριψή- ϕιο και τους αφαιρούμε. Αν x η διαφορά, αναστρέφουμε τα ψηφία του x και προσθέτουμε στον x. Να αποδείξουμε ότι το τελευταίο άθροισμα είναι πάντα 89. Π.χ. Θεωρώ τον 57. Δημιουργώ τους 75 και 57 και έχω x Τέλος, έχω ή ϑεωρώ τον 6. Δημιουργώ τους 6 και 6 και έχω x Τέλος, έχω Μαθηματικά Α Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Ενας Δήμος έχει μια τετράγωνη πλατεία. Αγόρασε όμως και το διπλανό τετραγωνικό οικόπεδο για να μεγαλώσει την πλατεία με συνέπεια το εμβαδόν της νέας πλατείας να διπλασιαστεί και να γίνει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 7 τετραγωνικά μέτρα. Αν ο Δήμος ϑέλει να περιφράξει την πλατεία με κάγκελο, πόσο ϑα του κοστίσει η περίφραξη, αν γνωρίζουμε ότι για κάθε μέτρο κάγκελο χρειάζεται 5 ευρώ ; ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο KARKAR) Ο προπονητής, ϑα μοιράσει στους τρεις δρομείς του, πριμ, ανάλογα όμως με την ταχύτητα του καθενός. Ο πρώτος τερμάτισε σε λεπτά, οδεύτεροςσε4 και οτρίτοςσε. Πόσα ϑα πάρει ο καθένας ; Μαθηματικά Β Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο KARKAR) Ο Αλέξης κι ο Βασίλης συντόνισαν τα ϱολόγια τους, ώστε την ώρα που έμπαινε ο καινούργιος χρόνος (δηλαδή το ) ναδείχνουνκαιταδύοακριβώς. Ομωςτοϱολόι του Αλέξη πάει μπροστά λεπτάτο 4ωρο, ενώ του Βασίλη λεπτά πίσω. ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια ώρα; ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια, αλλά σωστή ώρα; ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης ) Τα παπούτσια του Παναγιώτη έχουν 9 τρύπες σε κάθε πλευρά οι οποίες απέχουν κατακόρυφα cm ενώ οριζόντια cm. Τα παπούτσια δένονται όπως ϕαίνεται στο σχήμα. Αν τελικάπερισσεύει σε κάθε μεριά cm κορδόνι, τότε ϐρείτε το μήκος του κορδονιού. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο δύο απέναντι κορυφές δεν μπορούν να ισαπέχουν από την διαγώνιοτωνάλλωνκορυφών. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο KARKAR) Αν a>b> και x a b a + b,y a b a + b α) Συγκρίνατε τους αριθμούς x, y ϐ) Δείξτε ότι η (ϑετική) διαφοράτους είναι μικρότερη του x. Μαθηματικά Α Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Να λύσετε το σύστημα x y x x x y + x + y + x y + y ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να αποδείξετε ότι Μαθηματικά Α Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR) Στο σημείο M του εγγεγραμμένου, στο ισοσκελές τρίγωνο ABC, κύκλου(k, R) ϕέρω την εφαπτομένη, η οποία τέμνει τις πλευρές AB, AC στα σημεία Z, H αντίστοιχα.

4 Μαθηματικά Β Λυκείου, Κατεύθυνση Οι ευθείες ZK,HK τέμνουν τη ϐάση BC στα σημεία T,S. Να δειχθεί ότι : ZH ST. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Σε ένα τρίγωνο η B είναι και η Γ είναι 45 μοίρες. Αν M είναι το μέσο του BΓ, ναϐρεθεί η MÂΓ. Μαθηματικά Β Λυκείου, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ ( Προτείνει ο Γιώργος Απόκης ) Αν για μία αριθμητική (a n) και μία γεωμετρική (b n) πρόοδο (οι οποίες δεν είναι σταθερές) ισχύουν a b,a b,ναδείξετεότιb n >a n για n. ΑΣΚΗΣΗ 4 ( Προτείνει ο KARKAR ) Να λυθεί η ανίσωση : (x 4 x +) x < Μαθηματικά Β Λυκείου, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC με AB AC.ΣτηνπλευράAB ϑεωρούμε τα σημεία K, L, M με AK KL LM MB και στην AC τα P, Q με AP PQ QC. ΑνD το σημείο τομής των CK,PM, E το σημείο τομής των CK,QL και Z το σημείο τομής των PM,QLνα υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου DEZ. ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ) Δίνονται τα διανύσματα a, b, c έτσι ώστε a, b, c.να αποδείξτε ότι a+ b+ c. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η έλλειψη C : x a + y και η εστία της E(γ,). ΑνKΛ είναι τυχαία χορδή β της έλλειψης C, με(ek) + (EΛ) a, τότε να δείξετε ότι το μέσο της KΛ ανήκει σε μία σταθερή ευθεία, της οποίας να ϐρεθεί η εξίσωση. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γενική Παιδεία ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R μεf(x) (a + b )x ax και g(x) 4bx +5. i) Αν ισχύει lim f(x) + lim g(x) να δείξετε ότι a και x x b. ii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί το όριο f(x) 5 lim x g(x)+x 8. 5 iii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί ο ϑετικός αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η σχέση f ( 5 )ln λ g (). ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Ενα δείγμα ο- μαδοποιήθηκε σε k κλάσεις, ίσου πλάτους c. Παρακάτω δίνεται το πολύγωνο f i το οποίο έχει σχήμα τριγώνου. α. Να εκφράσετε το c ως συνάρτηση του k. ϐ. Να ϐρείτε τα c, k. γ. Αν f 5, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα f i ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο KARKAR) Από τυχαίο σημείο S του περικύκλου, του ορθογωνίου τριγώνου ABC, ϕέρω τμήματα ST, SP, κάθετα προς την πλευρά CA και την υποτείνουσα CB αντίστοιχα. Δείξτε ότι το PT διχοτομεί το AS. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Μιγαδικοί Αριθμοί

5 ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Δημήτριος Κατσίποδας) Δίνεται η εξίσωση z αz + β με α, β R,z C και z,z είναι οι ϱίζες της με z +i i. Να ϐρείτε τους α, β R ii. Να αποδείξετε ότι z 8 + z 8 R. ΑνA(z ),B(z ), Γ(z ) οι εικόνες των z,z και z αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με,τότε: z z + (7 + i) z 5 iii. Να αποδείξετε ότι το ABΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. iv. Αν w z w z να αποδείξετε ότι w R. v. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w που επαληθεύουν την w z + w z, ϐρίσκονται σε έλλειψη. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης ) Για το μιγαδικό αρι- ϑμό z x + yi με x, y R ισχύει η σχέση : ( λi)z 4 i, λ R α) Να αποδείξετε ότι : (x + λy)+( λx + y)i 4 i ϐ) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του Μ(x, y) του z ανήκει σε κύκλο. γ) Μπορεί το σημείο Μ(x, y) να πάρει την ϑέση O(, ); Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ορια, Συνέχεια ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιωργος Τσικαλουδακης) Εστω συνάρτηση f : R R αντιστρέψιμη τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει : e f (x) f (x) x +. Να ϐρεθεί η f.. Να αποδείξετε ότι : α. η f είναι γνήσίως ϕθίνουσα. ϐ. οι γραφικές παραστάσεις των f,f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.. Να υπολογιστούν τα όρια : ( i. lim f (x)+x ) x ii. lim x f (x) x. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στράτος Παπαδόπουλος) Εστω οι συναρτησεις f, g με κοινο πεδιο ορισμού Α, τέτοιες ώστε f (x) +g (x) για κάθε x στο Α. Α) Αν ισχυει f 4 (x) + g4 (x) με α, β πραγματικοι διαφοροι του, α + β να δειξετε α β α + β ότι f 8 (x) α + g8 (x) β (α + β). Β) Να δειξετε ότι αf(x)+βg(x) α + β. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Διαφορικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Αν οι συναρτήσεις : f,g : [, ] R είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν ) f() g() + ) f(x) g(x), x [, ] ) f (sin x)+g (cos x), x R τότε να δειχθεί ότι : f g ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να ϐρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f : R (, + ) που είναι τέτοια ώ- στε f (x) lnf (x) για κάθε x R και f (). Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ολοκληρωτικός Λογισμός ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω η συνεχής συνάρτηση f :[a, b] R η οποία είνα γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι a + b b a f(x)dx < b a xf(x)dx ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο R και επιπλέον ) f(x), x Z, x ) f(x) f(t)e g(t) dt, x R. Να αποδειχθεί ότι f(x), x R. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Ασκήσεις σε όλη την Υλη ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Christiano ) Αν για μια f : R R ισχύει f (x)+f(x) sinf(x)+x να δείξετε ότι f(x) x. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης) Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο ϕορές παραγωγίσιμη με f (x) με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ). A Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική λύση στο R. B Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ Εστω ο μιγαδικός u. Ανισχύει f ( +f ( i u + ) ) < να ϐρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u. Δ Εστω οι μιγαδικοί z, z,z,w για τους οποίους ισχύει z z f (), w z f () και z z f ( ). Να ϐρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z w. Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατεύθυνση, Θέματα με Απαιτήσεις ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Να αποδείξετε ότι ( ) e x x ( ) x e x x ln(x+) > ln (x +) x για κάθε x (, + ) ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Εστω η συνάρτηση f : R R κυρτή και τέτοια ώστε να υπάρχουν α<β πραγματικοί με α<βκαι f (f (α)+b)+f (f (b)+α) f (α) f (b)+f (α) f (b) +f (α) +f (b) Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή, η οποία είναι αρνητική. Ασκήσεις μόνο για μαθητές ΑΣΚΗΣΗ (Νίκος Ζανταρίδης) Δίνεται τρίγωνο ABΓ και τα ύψη AA,BB, ΓΓ. Αν BA +ΓB + AΓ A Γ+B A +Γ B, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Σπύρος Καπελλίδης) Εστω a R και b, c R ώ- στε 4ac < (b ) και f : R R συνάρτηση με την ιδιότητα f(ax + bx + c) af (x)+bf(x)+c, x R. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(f(x)) x έχει μία τουλάχιστον λύση. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική

6 ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να ϐρεθεί το πλήθος των διαφορετικών τιμών, που μπορεί να λάβει η συνάρτηση [ 5x ] f(x) [x]+[x]+ +[x]+[4x], όταν x [, ]. Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Παναγιώτης Λώλας) Να λυθεί στους ϑετικούς ακεραίους η εξίσωση : 9 x + y z + ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης ) Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί,,,..., με κενάμεταξύ τους. Ενας μα- ϑητής, ο A, τοποθετεί στα κενά 5 + και 5 και υπολογίζει την τιμή της παράστασης που προκύπτει (με τη συνήθη προτεραιότητα πράξεων.) Εστω ότι το αποτέλεσμα που ϐρίσκει είναι ο αριθμός a. Στη συνέχεια ο μαθητής B αλλάζει όλα τα + σε και όλα τα σε + στην παράσταση που σχημάτισε ο A και υπολογίζει την τιμή της νέας παράστασης, έστω b. Αν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του αριθμού a + b είναι, να δείξετε ότι κάποιος από τους μαθητές έκανε λάθος στις πράξεις. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Juniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD. Οι διαγώνιοι του AC, BD τέμνονται στο σημείο O. Αν οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων OAB, OBC, OCD, ODA είναι αντίστοιχα r,r,r,r 4 και E είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD. Νααποδείξετεότι: r + r + r + r4 E. Πότε ισχύει η ισότητα; ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει η Φωτεινή Καλδή) Εστω ABC, Â 9 o, AB AC, με D τυχόν σημείο της υποτείνουσας BC. Φέρουμε DE AB, DZ AC και έστω το σημείο H BZ CE. Να δείξετε ότι DH EZ. Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών-Συνδυαστική ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Αθανάσιος Κοντογιώργης) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f : Z Z τέτοιες ώστε για κάθε x, y Z. f(x y + f(y)) f(x)+f(y) ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Κώστας Τσουβαλάς) Αν x, y, z > με xyz,νααποδείξετεότι: (x +) + y + + (y +) + z + + (z +) + x + Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Seniors, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στάθης Κούτρας) Δίνεται τρίγωνο ABC και έστω M τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Εστω A BC AM, B AC BM, C AB CM και E (BA M), E (CA M) και E (CB M), E (B AM) και E (AC M), E (C BM). Νααποδειχθείότι + + E E E + + E E E ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Χρήστος Στραγάλης) Εστω ένα σκαληνό τρίγωνο ABC, (ω ) ο περίκυκλός του με κέντρο O και (ω ) ο περίκυκλος του τριγώνου AOC. Εστω επίσης OQ η διάμετρος του κύκλου (ω ) και τα σημεία M,N που επιλέγονται με τέτοιον τρόπο επί των ευθειών AQ, AC αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο AMBN να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδειχθεί οτι το σημείο τομής των ευθειών MN,BQ ανήκει στον κύκλο (ω ). ΑΣΚΗΣΗ 44 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) Αν τ(n) το πλήθος και σ(n) το άθροισμα των διαιρετών του ϑετικού ακεραίου n, να δείξετε ότι σ(n) n τ(n) n + Πότε ισχύει καθεμιάισότητα ; Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Φοιτητές ΑΣΚΗΣΗ 45 (Από τον IMC /B) Υπολογίστε το ln ( ) ( ) ( ) + n ln + n ln +. n+ n ΑΣΚΗΣΗ 46 (Από τον IMC /A4) Εστω τα A,A,..., A n, τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενάσύνολα. Εστω η συνάρτηση : n f(t) ( ) k t A i A i... A ik. k i <i <...<i k n Αποδείξτε ότι η f είναι μη ϕθίνουσα στο [, ]. Άλγεβρα ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 47 (Προείνει ο Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) Εστω A M,(C), B M,(C) τέτοιοι ώστε AB Να ϐρεθεί η ορίζουσα det(ba). ΑΣΚΗΣΗ 48 (Προτείνει ο Βαγγέλης Μουρούκος) Εστω ο n n πίνακας A (a ij), μεa ij {, } για κάθε i, j {,,...,n}, γιατον οποίο ισχύει η σχέση AA t mi n + J n,όπουm ϑετικός ακέραιος, J n ο n n πίνακας με όλα τα στοιχεία του ίσα με, I n ο n n μοναδιαίος πίνακας και A t ο ανάστροφος του A. Να αποδείξετε ότι ο πίνακας A είναι κανονικός, δηλαδή ότι ισχύει AA t A t A. Ανάλυση ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 49 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο ln n n lim n + n ln k ln(n k). k ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Αναστάσιος Κοτρώνης) Να υπολογισθεί το + cos x dx x (x, a>. + a) ΑΕΙ Μαθηματική Λογική και Θεμέλια Μαθηματικών ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Δημήτρης Σκουτέρης) Εστω Ā A, μια καλή διάταξη. Να αποδειχθεί ότι Ā B + C, όπου η B είναι μια καλή διάταξη χωρίς μέγιστο και η C μια πεπερασμένη διάταξη. (Λέμε ότι A, A B, B + C, C αν και μόνο αν x A y (x B y x C y (x B y C)) ). 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 5 (Ποτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Ονομάζουμε μια διάταξη ενός συνόλου X άριστη αν κάθε μη κενό υποσύνολο του X έχει ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο σε σχέση με την. Να εξεταστεί σε ποια σύνολα μπορούμε να ορίσουμε μια άριστη διάταξη. Γεωμετρία ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Atemlos) Να δείξετε ότι, εάν κάθε επίπεδη τομή ενός τρισδιάστατου στερεού σώματος είναι κύκλος, τότε το στερεό είναι σφαίρα. ΑΣΚΗΣΗ 54 (Προτείνει ο Δημήτρης Χριστοφίδης) Εστω διανύσματα a, b, c R. Να λυθεί η εξίσωση x +(x a)b c. Θεωρία Αριθμών ΑΕΙ ΑΣΚΗΣΗ 55 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να δείξετε ότι η ακολου- ϑία a n 4n +,n,,... έχει ως όρους όλους τους πρώτους αριθμούς εκτός από το και το. ΑΣΚΗΣΗ 56 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Να δείξετε ότι αν η διαφοράτων κύβων δύο διαδοχικών ακεραίων είναι τετράγωνο ακέραιου, τότε ο ακέραιος αυτός είναι άθροισμα τετραγώνων διαδοχικών ακεραίων. (για παράδειγμα και + ) Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών (ΑΣΕΠ) ΑΣΚΗΣΗ 57 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να αποδείξετε, ότι sin +sin +sin5 + +sin99 sin 5 sin ΑΣΚΗΣΗ 58 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Σε κόλουρη τριγωνική πυραμίδα οι πλευρές των ϐάσεων είναι a, a καθώς και τα αντίστοιχα εμβαδάτων ϐάσεων είναι E,E. Αν το εμβαδό της μεσαίας τομής είναι E να δείξετε ότι : E (E +9E). 9 ΟΦάκελος του καθηγητή, Ανάλυση ΑΣΚΗΣΗ 59 (Προτείνει ο pla.pa.s ) Ενα λεπτό σημείο στον κανόνα de l Hospital είναι ότι το όριο f (x) g πρέπει να υπάρχει. Μπορεί μήπως κάποιος να δώσει ένα αντιπαράδειγμα στο παραπάνω; Δηλαδή ένα (x) παράδειγμα ενός κλάσματος f(x) g(x) που το όριο του παίρνει απροσδιόριστη μορφή σε κάποιο x (πεπερασμένο ή άπειρο), f(x) το όριο αυτό (δηλαδή το lim ) υπά ρχει και είναι υπολογίσιμο χωρίς de l Hospital, x x g(x) οι f,g είναι παραγωγίσιμες (ή έστω κοντάστο x )και f (x) το όριο lim x x g δεν υπάρχει. (x) Επίσης, είναι δυνατόν ένα όριο να υπάρχει αλλά να μην είναι υπολογίσιμο; ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Εστω f : R R συνάρτηση. Μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο επί του R συναρτήσεων; ΟΦάκελος του καθηγητή, Γεωμετρία ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Δημήτρης Ιωάννου) [Σ. Κανέλλου, «Γεωμετρικές Κατασκευές», «Ευκλείδειος Γεωμετρία Ι» (Α Λυκείου, 976)] Να κατασκευαστεί τετράγωνον του οποίου γνωρίζομεν δύο σημεία P και K κείμενα επί των ϕορέων των δύο διαγωνίων του και δύο σημεία E και Z κείμενα επί των ϕορέων των δύο απέναντι πλευρών του. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Γιώργος Μπαλόγλου) Να ϐρεθεί γεωμετρικάτο κέντρο ϐάρους τυχόντος τραπεζίου. ΟΦάκελος του καθηγητή, Άλγεβρα ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Νικος Αντωνόπουλος) Εστω P (x) πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Αν ισχύουν P () 6 και P (7) 48, να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου για x. ΑΣΚΗΣΗ 64 (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Εστωσαν τα πολυώνυμα P (x) x n + a x n + + a n και Q(x) x n + b x n + + b n με συντελεστές από το C. Οι ϱίζες του P είναι οι x,x,..., x n, ενώ του Q είναι οι x,x,..., x n. Αν a + a + a 5 + R και a + a 4 + a 6 + R, να αποδείξετε, ότι b + b + b n R. 5

8 Επιμελητής : Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) ΟΙ ΑΝΕΞ- ΕΤΑΣΤΕΟΙ. Από τους μαθητές του σχολείου, ποιανού άλλου... του Θωμά, τον Ιούνιο οι 7 προήχθησαν και οι υπόλοιποι έμειναν ανεξεταστέοι για το Σεπτέμβριο. Η ανακοίνωση για τους ανεξεταστέους είχε : 6 στα Αρχαία Ελληνικά, 5 στην Πληροφορική, 4 στα Μαθηματικάκαι 4 στην Ιστορία. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθητών που έχει μείνει και στα τέσσερα μαθήματα; Λύση (Χρήστος Στραγάλης) Είναι > 7 5 άρα τουλάχιστον μαθητές έμειναν και στα πρώτα μαθήματα. Επίσης : > 5 και άρα τουλάχιστον μαθητές έμειναν και στα Μαθηματικά και στην Ιστορία. Ομως + 5 > 5 άρα τουλάχιστον μαθητές έμειναν και στα 4 μαθήματα Λύση (Μιχάλης Λάμπρου) Από τους 7 5 που έμειναν, οι 4 έμειναν στην Ιστορία. Οι υπόλοιποι είναι Στην καλύτερη περίπτωση, από τους 4 στα Μαθηματικά, έχουμε 4 8 που έμειναν και στα δύο αυτά μαθήματα. αυτούς τους. Στην καλύτερη περίπτωση, από τους που δεν έμειναν στη Πληροφορική, οι υπόλοιποι 5 7 Εξετάζουμε είναι μεταξύ των προηγούμενων, δηλαδή 7 έμειναν και στα τρία αυτά μαθήματα. Εξετάζουμε τους 7. Απότους που δεν έμειναν στα Αρχαία οι υπόλοιποι 7 4 είναι μεταξύ των προηγούμενων 7. Δηλαδή, στην καλύτερη περίπτωση, έμειναν σε όλα τα μαθήματα. Λύση (Ανδρέας Βαρβεράκης) Αν και οι 5 είχαν μείνει σε το πολύ μαθήματα, τότε το άθροισμα ϑα ήταν το πολύ 5. Επομένως τουλάχιστον έμειναν σε τέσσερα μαθήματα. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Θεωρούμε έ- ναν τριψήφιο αριθμό με τον περιορισμό το μικρότερο και το μεγαλύτερο ψηφίο να διαφέρουν τουλάχιστον κατά. Με τα ψηφία αυτάδημιουργούμε το μικρότερο και το μεγαλύτερο τριψήφιο και τους αφαιρούμε. Αν x η διαφορά, αναστρέφουμε τα ψηφία του x και προσθέτουμε στον x. Να αποδείξουμε ότι το τελευταίο άθροισμα είναι πάντα 89. Π.χ. 6

9 Θεωρώ τον 57. Δημιουργώ τους 75 και 57 και έχω x Τέλος, έχω ήϑεωρώτον6. Δημιουργώ τους 6 και 6 και έχω x Τέλος, έχω Λύση (Μιχάλης Νάννος) Οαριθμός που προκύπτει από την αφαίρεση του xyz από τον zyx είναι της μορφής 99(x z) ή πολ 99 ή a99 όπου a ϕυσικός από έως και 8. Άρα πρέπει τον a99 να τον γράψουμε σε αναπτυγμένη μορφή. 99a 9a +9a a a +9a a a a + a (a ) ( a) Οανάποδος αριθμός λοιπόν ϑα είναι : ( a) (a ) Αν τους προσθέσεις αυτούς τους δύο δίνουν άθροισμα 89. 7

10 Επιμελητής : Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Ενας Δήμος έχει μια τετράγωνη πλατεία. Αγόρασε όμως και το διπλανό τετραγωνικό οικόπεδο για να μεγαλώσει την πλατεία με συνέπεια το εμβαδόν της νέας πλατείας να διπλασιαστεί και να γίνει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 7 τετραγωνικάμέτρα. Αν ο Δήμος ϑέλει να περιφράξει την πλατεία με κάγκελο, πόσο ϑα του κοστίσει η περίφραξη, αν γνωρίζουμε ότι για κάθε μέτρο κάγκελο χρειάζεται 5 ευρώ ; Λύση (Γιώργος Απόκης) Αφού το εμβαδόν διπλασιάστηκε και έγινε 7 τ.μ., αρχικά ήταν 7 : 6 τ.μ. Η αρχική πλατεία λοιπόν αφού είχε σχήμα τετραγώνου, είχε πλευρά 6 μ. γιατί 6 6. Η νέα πλατεία έχει διαστάσεις 6 μ. και 6μ., άρα περίμετρο Π + 66μ Η περίφραξη ϑα κοστίσει, επομένως, ευρώ. ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο KARKAR) Ο προπονητής, ϑα μοιράσει στους τρεις δρομείς του, πριμ, ανάλογα όμως με την ταχύτητα του καθενός. Ο πρώτος τερμάτισε σε λεπτά, οδεύτεροςσε4 και ο τρίτος σε. Πόσα ϑα πάρει ο καθένας ; Λύση (Γιώργος Απόκης) Αφού η ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη του χρόνου, αρκεί να μοιράσουμε το ποσό των ευρώ, σε μέρη ανάλογα προς τους αριθμούς, 4, Αν a, b, c είναι τα ποσά που ϑα πάρουν, έχουμε : a b 4 c a + b + c Επομένως, a 4 a b 4 b 4 c 4 c 8 Σημείωση : Θεωρούμε προφανώς ότι έτρεξαν την ίδια διαδρομή και καθένας έχει σταθερή ταχύτητα ή ότι το ποσό ϑα μοιραστεί σε ποσά ανάλογα με τη μέση ταχύτητα του καθενός. 8

11 Επιμελητής : Σωτήρης Στόγιας ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο KARKAR) Ο Αλέξης κι ο Βασίλης συντόνισαν τα ϱολόγια τους, ώστε την ώρα που έμπαινε ο καινούργιος χρόνος (δηλαδή το ) να δείχνουν και τα δύο ακριβώς. Ομως το ϱολόι του Αλέξη πάει μπροστά λεπτάτο 4ωρο, ενώ του Βασίλη λεπτάπίσω. ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια ώρα; ) Σε ποιάημερομηνία τα δύο ϱολόγια ϑα δείχνουν πάλι την ίδια, αλλάσωστή ώρα; Λύση (KARKAR) Υποθέτουμε (πράγμα που συνήθως συμβαίνει), ότι το κάθε ϱολόι επαναλαμβάνει τις ενδείξεις του ανά και όχι ανά 4 ώρες. Κάθε μέρα (4-ωρο) η διαφορά των ϱολογιών αυξάνει κατά 5 λεπτά. Θα δείξουν την ίδια ώρα, όταν η διαφορά τους γίνει ώρες ( 7 λεπτά). Αυτό ϑα συμβεί σε 7 : 5 44 ημέρες. Πράγματι τότε το μεν Α ϑα έχει κερδίσει 44 4 λεπτά ( 7 ώρες και λεπτά ), ενώ το Β ϑα έχει χάσει 44 88λεπτά ( 4 ώρες και 48 λεπτά ). Δηλαδή όταν η σωστή ώρα ϑα είναι (αλλαγή ημέρας), τα δυό ϱολόγια ϑα δείχνουν 7. απογευματινή (+7., ) Αυτό συνέβη ήδη, 44 πλήρεις ημέρες μετά την έλευση του, και η ημερομηνία ήταν (+8+++4) μέρες μετά, δηλαδή 4 Μαίου. Τώρα, το Α ϑα ξαναδείχνει τη σωστή ώρα, κάθε ϕορά που ϑα καλύπτει ακριβώς ένα ωρο κι αυτό ϑα συμβαίνει κάθε 7 : 4 ημέρες. Ομοίως το Β ϑα ξαναδείχνει τη σωστή ώρα, κάθε ϕορά που ϑα μένει πίσω ακριβώς ένα ωρο κι αυτό ϑα συμβαίνει κάθε 7 : 6 ημέρες. Ευτυχώς το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των ( 4, 6 ) είναι μόλις το 7, συνεπώς τα δύο ϱολόγια ϑα «συντονιστούν» μεταξύ τους, αλλά και με την πραγματικότητα, 7 ημέρες μετά την Πρωτοχρονιά του, δηλαδή μετά από ημέρες και - λόγω της δισεκτότητας του - αυτό ϑα συμβεί μέρες πριν τη λήξη του, δηλαδή υπομονή μέχρι την στή Δεκεμβρίου! ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης ) Τα παπούτσια του Παναγιώτη έχουν 9 τρύπες σε κάθε πλευρά οι οποίες απέχουν κατακόρυφα cm ενώ οριζόντια cm. Τα παπούτσια δένονται όπως ϕαίνεται στο σχήμα. Αν τελικάπερισσεύει σε κάθε μεριάcm κορδόνι, τότε ϐρείτε το μήκος του κορδονιού. Λύση (Γιώργος Απόκης) Αν ϑεωρήσουμε το ορθογώνιο που σχηματίζουν τα πρώτα 4 σημεία, έχουμε ότι το «λοξό» τμήμα (από Πυθαγόρειο Θεώρημα) έχει μήκος ( ) 5 + cm. Άρα, συνολικά έχουμε μήκος cm 9

12 Επιμελητής : Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Κώστας Καπένης) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο δύο απέναντι κορυφές δεν μπορούν ναισαπέχουναπότηνδιαγώνιοτωνάλλωνκορυφών. Λύση (Φώτης Μαραντίδης) Εστω τραπέζιο ABΓΔ με AB//ΓΔ. Φέρνουμε την διαγώνιο BΔ και έστω ότι οι αποστάσεις των A, Γ από την BΔ είναι οι AE, ΓZ αντίστοιχα. Εχουμε τα τρίγωνα ABE και ΔΓZ. Αυτά τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν από μία γ- ωνία ορθή (ÂEB ΓΔZ 9 )και ÂBE ΓΔZ ως εντός εναλλάξ από τις παράλληλες πλευρές. Με την εις άτοπο απαγωγή έχουμε : Αν AE ΓZ τότε τα παραπάνω τρίγωνα ειναι ίσα (κριτήρια ισότητας τριγώνων) και οι πλευρές τους ίσες, δηλαδή AB ΓΔ, που είναι άτοπο γιατί ειναι οι παράλληλες πλευρές τραπεζίου που εξ ορισμού είναι άνισες. Άρα οι αποστάσεις ειναι άνισες. Λύση (Κώστας Καπένης) Ενδιαφέρων τρόπος να καταλήξουμε ότι οι ϐάσεις ϑα ήταν ίσες είναι και με τη ϐοήθεια των εμβαδών. Αν οι αποστάσεις είναι ίσες τότε τα τρίγωνα ABD, BCD γίνονται ισεμβαδικά λόγω της κοινής ϐάσης BD. Ομως αφού έχουν και ίσα ύψη (τις αποστάσεις των ϐάσεων) τότε ϑα έπρεπε και οι ϐάσεις του τραπέζιου να ήταν ίσες - άτοπο. ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο KARKAR) Αν a > b > και x a b a + b,y a b a α) Συγκρίνατε τους αριθμούς x, y + b ϐ) Δείξτε ότι η (ϑετική) διαφοράτους είναι μικρότερη του x. Λύση (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) α) Εχουμε ότι : x a b a + b a b (a + b) a b a, οπότε x < y, +ab + b αφού ανάμεσα σε δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή (a b ), μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή (a +ab + b >a + b ). ϐ) y x<x y<x a b a + b < a b a +ab + b a + b < a +ab + b a +ab + b < a +b a ab + b > (a b) >, η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.

13 Επιμελητής : Στράτης Αντωνέας ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Θανάσης Κοντογεώργης) λύσετε το σύστημα x y x x x y + x + y + x y + y Να ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Θάνος Μάγκος) Να αποδείξετε ότι Λύση (Θάνος Μάγκος) Εστω (x, y) λύση του συστήματος (με x ). Εχουμε x y + x + y + x y + y x y (x y) + x + y + y x + x + y + y x + y + x + y Άρα πρέπει να ισχύει παντού ισότητα. Επομένως πρέπει (x y)(x y),x>,x+ y. () Λόγω της x>, η πρώτη εξίσωση γράφεται ως x y, άρα x y. Τότε, από τις () ϐρίσκουμε x. Είναι απλό να δούμε ότι όλα τα Ϲεύγη (a, a) με ( a, ] είναι λύσεις του συστήματος. Λύση (Χρήστος Λαζαρίδης) Για x ηπρώτηεξίσωση γράφεται, x y x y. Αντικαθιστούμε στη δεύτερη και έχουμε : x + x + x x (x ) x x Για x< η πρώτη γράφεται x y + x y. Τοσύστημαείναι αδύνατο. Τελικά έχουμε τις λύσεις : (x, y) (a, a), <a. Λύση (Βαγγέλης Μουρούκος) Θέτουμε a και b.είναι a ab + b a + b a + b και ( )( ) + + ( )( + 4+ ) + ( )( + + )

14 Επιμελητής : Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο KARKAR) Στο σημείο M του εγγεγραμμένου, στο ισοσκελές τρίγωνο ABC, κύκλου (K, R) ϕέρω την εφαπτομένη, η οποία τέμνει τις πλευρές AB, AC στα σημεία Z, H αντίστοιχα. Οι ευθείες ZK,HK τέμνουν τη ϐάση BC στα σημεία T,S. Να δειχθεί ότι : ZH ST. Αν επιπλέον B,C είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές AC, AB του τριγώνου ABC αντίστοιχα, τότε ισχύει : AB υπoθεση AC και AC εϕαπ.τμηματα AB αντισ.θαλη C B //BC AA BC AA C B : (). Επίσης έχουμε ZC εϕαπ.τμηματα ZM άρα η ΚΖ είναι διχοτόμος της C KM και ομοίως KH διχοτόμος της M KB. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα KMH,KA T, τα οποία έχουν KM KA διχoτoμo ρ και ϕ M KH M KB επικ εγγεγρ B Ĉ M oξειες με καθ. πλευρες() A KT, οπότε είναι ίσα, συνεπώς MH A T : (). Ομοίως δείχνουμε ότι τα τρίγωνα ZKM,SA K είναι ίσα, οπότε προκύπτει ότι ZM A S :(). Τέλος, προσθέτοντας τις σχέσεις () και () κατά μέλη προκύπτει : ZH ST. Λύση (Μιχάλης Νάννος) Εστω D, N, E τα εφαπτόμενα σημεία του εγγεγραμμένου κύκλου (K, R) με τις πλευρές AB, BC, CA αντίστοιχα. Από το μέσο N της BC και από εφαπτόμενα τμήματα ισχύει : BD BN CN CE και από διαφορά ίσων τμημάτων : AD AE. Εφόσον AD BD AE έπεται ότι DE//BC (). CE Λύση (Στάθης Κούτρας) Επειδή το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές (AB AC), η προέκταση της AK (διχοτόμου) ϑα τέμνει κάθετα την BC έστω στο σημείο A. Εστω F KZ DM και G KH ME.Τατετράπλευ- ϱα KDZM, KMHE είναι χαρταετοί, οπότε τα F, G είναι μέσα των DM, ME αντίστοιχα και ισχύει στο τρίγωνο () MDE: F G//DE // BC. Θέτοντας F ĜK x ϑα είναι

15 T ŜK x (εντός εναλλάξ), F MK x (από το εγγράψιμο KFMG, μια που Z FM MĜK 9 από τους χαρταετούς) και F ẐM x(επειδή στο ορθογώνιο FZM η Z MF 9 x). Τα ορθογώνια τρίγωνα KMZ, KNS είναι ίσα (μια οξεία γωνία και μία πλευρά - ακτίνα αντίστοιχα ίσες), άρα KZ KS. ΤατρίγωναKZH, KST είναι ίσα από Γ Π Γ, επομένως ZH ST. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου) Σε ένα τρίγωνο η B είναι και η Γ είναι 45 μοίρες. Αν M είναι το μέσο του BΓ, να ϐρεθεί η MÂΓ. και το τρίγωνο ΔAM ισοσκελές. Από τις προσκείμενες στη ϐάση γωνίες του ισοσκελούς ϑα ισχύει : 45 + x 8 ή x. Λύση (Φωτεινή Καλδή) Γράφουμε κύκλο με κέντρο M και ακτίνα MB, E το σημείο τομής αυτού με την προέκταση της BA. Λύση (Μιχάλης Νάννος) Από το Γ ϕέρουμε κάθετη στην BA που τέμνει την προέκτασή της στο Δ. Είναι ΔÂΓ 45 (εξωτερική γωνία του τριγώνου ABΓ) και Δ ΓA 45 (μια που στο ορθογώνιο τρίγωνο BΔΓ η B και η A ΓB 5 ). Τότε ισχύει BÊC 9, το τρίγωνο MEB είναι ισοσκελές και το τρίγωνο MEC ισόπλευρο. Ετσι το τρίγωνο ΔAΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, το τρίγωνο ΔMΓ είναι ισόπλευρο (λόγω της διαμέσου ΔM) Επίσης AĈM AÊM άρα η AĈM εγγεγραμμένη στον κύκλο κέντρου E και ακτίνας EA, επομένως MÂC MÊC 6.

16 Επιμελητής : Φωτεινή Καλδή ΑΣΚΗΣΗ ( Προτείνει ο Γιώργος Απόκης ) Αν για μία αριθμητική (a n ) και μία γεωμετρική (b n ) πρόοδο (οι οποίες δεν είναι σταθερές) ισχύουν a b,a b,ναδείξετε ότι b n >a n για n. Λύση (Δημήτρης Ιωάννου ) Πράγματι, οι όροι χρειάζεται να είναι ϑετικοί. Εστω λοιπόν ω, ηδιαφοράτηςαρι- ϑμ. προόδου και λ ο λόγος της γεωμ. προόδου. Τότε ϑα είναι : ω a a, λ b b a a Άρα ω a (λ ) Τώρα έχουμε : b n b.λ n, a n a +(n )ω Πρέπει να δείξουμε ότι b n >a n για κάθε n Άρα αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι a.λ n >a +(n )a (λ ) λ n > +(n )(λ ) (δεδομένου ότι a > ) Από την ανισότητα του Bernoulli έχουμε : λ n [+(λ )] n +(n )(λ ) (εφόσον είναι λ >, αφού εξ υποθέσεως είναι λ> διότι η πρόοδος έχει ϑετικούς όρους). Και επειδή η ισότητα ισχύει για n,δηλαδήγιαn άρα για κάθε n ϑα έχουμε ότι ισχύει η γνήσια ανισότητα και άρα το Ϲητούμενο. Λύση (Γιώργος Απόκης ) Για ευκολία ϑα συμβολίσω με p, q τους δύο πρώτους (ίσους) όρους και με x, y το γενικό όρο κάθε προόδου. Ισχύουν : και x p +(n )(q p) y p ( ) q n qn p p n Θα δείξουμε ότι : y>xγια n. Είναι: y>x qn >p+(n )(q p) pn q n >p n +(n )(q p)p n (q n p n ) (n )(q p)p n > (q p)(q n +q n p+...+p n ) (n )(q p)p n > (q p)(q n +q n p+...+p n p n p n... p n ) > (q p)[(q n p n )+p(q n p n )+...+p n (q p)] > (q p) [(q n +...+p n )+...+p(q n p n 4 )+...+p n ) > που ισχύει. ΑΣΚΗΣΗ 4 ( Προτείνει ο KARKAR ) Να λυθεί η ανίσωση : (x 4 x +) x < Λύση (Γιώργος Μανεάδης ) Είναι : x 4 x +x 4 x + x x + x 4 x x x (x ) +(x ) + > Η δοσμένη ανίσωση (x 4 x +) x < γίνεται : x ln(x 4 x +)<, () Αν x η () δεν ισχύει Αν x> η () γίνεται : ln(x 4 x+) < x 4 x+ < x 4 <x x < x< οπότε <x<. Αν x< η () γίνεται : x 4 x +> x 4 >x x < x<. οπότε x< τελικά λύση της δοσμένης ανίσωσης είναι x (, ) (, ). 4

17 Επιμελητής : Ανδρέας Βαρβεράκης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Δίνεται ορ- ϑογώνιο τρίγωνο ABC με AB AC. Στην πλευρά AB ϑεωρούμε τα σημεία K, L, M με AK KL LM MB και στην AC τα P, Q με AP PQ QC. Αν D το σημείο τομής των CK,PM, E το σημείο τομής των CK,QL και Z το σημείο τομής των PM,QL να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου DEZ. Λύση (Γιώργος Ρίζος) Για να ελαχιστοποιήσουμε τον κίνδυνο αριθμητικού λάθους ϐαθμολογούμε κατάλληλα τους άξονες, παίρνοντας ως μήκος των ίσων πλευρών του τριγώνου το (Ε.Κ.Π. των, 4). Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο A (, ) τοποθετούμε τα σημεία K (, ),L(6, ),M(9, ),B(, ),P(, 4), Q (, 8),C(, ). ΤότεABC ορθογώνιο και ισοσκελές και AK KL LM MB, AP PQ QC Η CK έχει εξίσωση y 4x +, η PM : y 4 x +4 και η QL : 9 y 4 x +8 Οπότε, λύνοντας( τα συστήματα ) ( των) εξισώσεων ( ανά ) δύο ϐρίσκουμε : 9 9 D 4,, E, 6, Z, Οπότε DE ( 4 ) ( ), 9, DZ 4, και (DEZ) 6 Προσαρμόζοντάς το στην αρχική εκφώνηση : (DEZ) 48 Λύση (Κώστας Δόρτσιος) Εφαρμόζουμε το ϑεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο AMP με διατέμνουσα την KDC: AK KM MD DP PC CA MD DP MD DP (). Ομοια το ίδιο ϑεώρημα στο τρίγωνο AMP με διατέμνουσα την L, Z, Q: AL LM MZ ZP PQ QA MZ ZP MZ ZP () Από την () έχουμε : MD PD MZ + ZD PD () ZP + ZD PD ZP PD+ ZD PD ZD PD ZD PD () Δηλαδή το σημείο D είναι μέσο του τμήματος ZP. Ομοια αν εφαρμόσουμε δύο ϕορές το ϑεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο AKC με διατέμνουσες τις PDM και QEL ϑα προκύψει : DE KD (4) Από τις () και (4) προκύπτει ότι το τετράπλευρο KZEP είναι παραλληλόγραμμο. Αν η ϐάση του παραλληλογράμμου ϑεωρηθεί η EZ τότε το ύψος του ϑα είναι το μισό του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου ALQ το οποίο έχει πλευρές : AL, AQ LQ 5 6 υ a 4 5

18 άρα το ύψος του παρ/μου είναι : υ υ a Τελικά για το Ϲητούμενο εμβαδόν ϑα είναι : E(DEZ) 4 E (KZEP) 4 (EZ) υ 4 LQ υ a 4 5/6 48 τ.μ. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο KARKAR) Από τυχαίο σημείο S του περικύκλου, του ορθογωνίου τριγώνου ABC, ϕέρω τμήματα ST,SP, κάθετα προς την πλευρά CA και την υποτείνουσα CB αντίστοιχα. Δείξτε ότι το PT διχοτομεί το AS. Λύση (Μιχάλης Νάννος) Από το εγγεγραμμένο CABS: BÂS BĈS x (), απ το εγγράψιμο CTPS (C TS C PS ) 9 : (BĈS) P ĈS () P TS x και από εντός εναλλάξ των παραλλήλων () TS,AB: T ŜA BÂS x. Τα τρίγωνα MTS, MTA είναι ισοσκελή (γωνίες της ϐάσης ίσες) με MT κοινή, επομένως M μέσο του AS. Λύση (Σωτήρης Λουρίδας) Λύση (Στράτης Αντωνέας) Αν ϕέρουμε SK AB τότε τα σημεία T,P,K είναι συνευθειακά (ευθεία Simson). Το AT SK είναι ορθογώνιο και οι διαγώνιές του AS, T K διχοτομούνται στο σημείο M. { } AM MS Επίσης έχουμε : F SP (ABC), SP PF { PM FA PMS FAM Επομένως BAM MST AMT. σημεία T,M,P είναι σημεία της ίδιας ευθείας. τα 6

19 Επιμελητής : Λευτέρης Πωτοπαπάς ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ) Δίνονται τα διανύσματα a, b, c έτσι ώστε a, b, c.να αποδείξτε ότι a + b + c. Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) άτοπο διότι Άρα συν ( b, c) a + b + c a + b + c b c a b c a c + a 6 + άτοπο, οπότε ισχύει το Ϲητούμενο. Λύση (parmenides5) Είναι : a + b + c ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Εστω η έλλειψη C : x a + y και η εστία της E(γ,). ΑνKΛ β είναι τυχαία χορδή της έλλειψης C,με(EK) + (EΛ) a, τότε να δείξετε ότι το μέσο της KΛ ανήκει σε μία σταθερή ευθεία, της οποίας να ϐρεθεί η εξίσωση. Λύση (Γιώργος Τζίρογλου) Εστω K (x k,y k ), Λ(x l,y l ). Είναι γνωστό ότι : b + c a ( b + c) ( a) 9 b +6 b c + c 4 a 9 b +6 b c συν ( b, c)+ c 4 a 9 +6 συν ( b, c)+ 4 και Άρα EK a εx k EΛ a εx l EK + EΛ a ε (x k + x l )a x k + x l a γ 6 + 6συν ( b, c)+94 συν ( b, c) 4 6 x m a γ Άρα το M κινείται στην ευθεία x a γ. 7

20 Επιμελητής : Χρήστος Τσιφάκης ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R μεf(x) (a + b )x ax και g(x) 4bx +5. i) Αν ισχύει lim f(x) + lim g(x) να δείξετε ότι x x a και b. ii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί το όριο f(x) 5 lim x g(x)+x 8. 5 iii) Για τις παραπάνω τιμές των a, b να ϐρεθεί ο ϑετικός αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η σχέση f ( 5 )ln λ g (). Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) i. Είναι lim f(x)+ lim g(x) lim[(a +b )x x x x ax] + lim[4bx +5] a + b a +4b +5. x Οπότε :a + b a +4b +5 (a ) + (b +) a και b. ii. Είναι : lim x 5 lim x 5 f(x) 5 g(x)+x 8 lim 5x x + 5 x 5x 5 (5x ) ( x + ) ( 5 lim x + ) 4 5x x 5 5. iii. Είναι f (x) x και g (x) 8 άραf ( 5 ) 8 και g () 8 Άρα f ( 5 )ln λ g () ln λ λ e λ e Λύση (Γιώργος Απόκης) α. Οι αριθμοί 5, 45 είναι οι κεντρικές τιμές των βοηθητικών κλάσεων. Ανάμεσά τους υπάρχουν οι κεντρικές τιμές x,x,..., x k. Επομένως, ισχύει c + ck + c c k+. ϐ. Στον υπολογισμό εμβαδών ϑεωρούμε ως μονάδα, στον οριζόντιο άξονα, το c. Άρα, η ϐάση του τριγώνου έχει μήκος b + k + k +. Το εμβαδό που περικλείεται από το πολύγωνο και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με, και αφού έχει σχήμα τριγώνου ϑα ισχύει :E 5b 5(k+) k και άρα c. γ. Αφού k, από το πολύγωνο έχουμε f 5 άρα f (5 + 5) 5 και έτσι εύκολα προκύπτει το ιστόγραμμα συχνοτήτων. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιώργος Απόκης) Ενα δείγμα ομαδοποιήθηκε σε k κλάσεις, ίσου πλάτους c. Παρακάτω δίνεται το πολύγωνο f i το οποίο έχει σχήμα τριγώνου. α. Να εκφράσετε το c ως συνάρτηση του k. ϐ. Να ϐρείτε τα c, k. γ. Αν f 5, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα f i 8

21 Επιμελητής : Κώστας Τηλέγραφος ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Δημήτριος Κατσίποδας) Δίνεται η εξίσωση z αz + β με α, β R,z C και z,z είναιοιϱίζεςτηςμεz +i i. Να ϐρείτε τους α, β R ii. Να αποδείξετε ότι z 8 + z 8 R. Αν A(z ),B(z ), Γ(z ) οι εικόνες των z,z και z αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με,τότε: z z + (7 + i) z 5 iii. Να αποδείξετε ότι το ABΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. iv. Αν w z w z να αποδείξετε ότι w R. v. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w που επαληθεύουν την w z + w z, ϐρίσκονται σε έλλειψη. Λύση (Πρωτοπαπάς Λευτέρης) i. Είναι z i και από Vietaz +z α α 4 και z z β β 5. ii. z 8 + z 8 z 8 + z 8 Re(z ) R. iii. z 4+i, άραa(, ),B(, ), Γ(4, ). Τότε: AB AΓ και AB AΓ, οπότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. iv. w z w z (z z )( w w) w w w R. v. Η δοσμένη σχέση γράφεται : w z + w z w z + w z, Ισχύει z z +i ( i) i άρα είναι έλλειψη. ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης ) Για το μιγαδικό αριθμό z x + yi με x, y R ισχύει η σχέση : ( λi)z 4 i, λ R α) Να αποδείξετε ότι : (x + λy)+( λx + y)i 4 i ϐ) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του Μ(x, y) του z ανήκει σε κύκλο. γ) Μπορεί το σημείο Μ(x, y) να πάρει την ϑέση O(, ); Λύση (Λευτέρης Πρωτοπαπάς) Εχουμε ότι : ( λi)z 4 i ( λi)(x + yi) 4 i (x + λy)+( λx + y)i 4 i x + λy 4, λx + y, λ R (I) α) Συνεπώς από τις (I) έχουμε : (x + λy)+( λx + y)i 4 i ϐ) Λύνουμε το σύστημα των (I) ως προς x, y και έχουμε : (x, y) ( Dx D, Dy D ) ( λ+4 λ +, 4λ 4 λ + ),λ R. Ισχύει : (x ) +(y +) ( ) λ +4 ( ) 4λ λ + + λ + + ( λ ) ( +λ + λ ) +4λ λ + + λ άρα η εικόνα του Μ(x, y) του z ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(, -) με ακτίνα 5. γ) Εστω ότι (x, y) (, ). Τότε από την σχέση ( λi)z 4 i προκύπτει ότι 4 i, άτοπο. ΣυνεπώςτοσημείοΜ(x, y) δεν μπορεί να πάρει την ϑέση O(, ). 9

22 Επιμελητής : Μίλτος Παπαγρηγοράκης ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Γιωργος Τσικαλουδακης) Εστωσυνάρτησηf : R R αντιστρέψιμη τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει :. Να ϐρεθεί η f. e f (x) f (x) x +. Να αποδείξετε ότι : α. η f είναι γνήσίως ϕθίνουσα. ϐ. οι γραφικές παραστάσεις των f,f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.. Να υπολογιστούν τα όρια : i. lim ( f (x)+x ) ii. lim x f (x) x. x Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) Ισχύει e f (x) f (x) x +() για κάθε x R. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι οι f,f έχουν πεδίο ορισμού (άρα και σύνολο τιμών) το R.. Θέτουμε στην () όπου x το f(x),μεx στο R οπότε παίρνουμε : e f (f(x)) f (f(x)) f(x) + f(x) e x x, x R. α) Εστω x,x Rμεx <x x <x x > x x > x ( ), επίσης,x <x x > x x > x e x >e x ( ). Με πρόσθεση κατά μέλη των ( ), ( ) παίρνουμε : e x x > e x x f(x ) > f(x ) και συνεπώς η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. ϐ) Υπαρξη κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων των f,f : Εστωηεξίσωσηf(x) x () f(x) x e x x (),x R Ησυνάρτησηg(x) e x x είναι συνεχής (το αιτιολογούμε εύκολα) στο [, ] και g()g() (e )( ) <. Σύμφωνα με το ϑεώρημα του Bolzano η () άρα και η () έχει ϱίζα ξ (, ). Η ϱίζα αυτή είναι μοναδική αφού η g είναι γνησίως ϕθίνουσα (ως άθροισμα των γνησίως ϕθινουσών συναρτήσεων f και x, ή απόδειξη κατασκευαστικά) άρα και Ετσι η () έχει μοναδική ϱίζα ξ (, ), δηλαδή η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την y x το M(ξ,ξ), ξ (, ). Από το M όμως διέρχεται και η γραφική παράσταση της f. Συμπεραίνουμε ότι οι C f,c f έχουν κοινό σημείο το M (μοναδικό επί της y x) Μοναδικότητα του κοινού σημείου: ΕστωότιοιC f,c f έχουν και άλλο κοινό σημείο το A(x,y ),x y (αφού δεν μπορεί να ϐρίσκεται στην y x). Εχουμε : f(x )y και f (x )y f(y )x, οπότε : f(x ) f(y )y x e x x (e y y ) y x e x e y e x x y που είναι άτοπο και έτσι το Ϲητούμενο e y αποδείχθηκε.. i) () f (x) e f (x) x f (x) > x και επειδή προκύπτει Επίσης lim ( x ) + x lim f (x) + x () f (x)+x e f (x) οπότε ( lim f (x)+x ) ( ) lim e f (x) x x uf (x) lim u + e u f (x) ii) lim x x f (x)+x x lim x lim x lim x ( f (x)+x ) lim x x f (x)+x x ( ). x ΑΣΚΗΣΗ 4 (Προτείνει ο Στράτος Παπαδόπουλος) Εστω οι συναρτησεις f, g με κοινο πεδιο ορισμού Α, τέτοιες ώστε f (x)+g (x) για κάθε x στο Α. Α) Αν ισχυει f 4 (x) α + g4 (x) με α, β πραγματικοι διαφοροι του, α + β να δειξετε β α + β ότι f 8 (x) α + g8 (x) β (α + β). Β) Να δειξετε ότι αf(x)+βg(x) α + β.

23 Λύση (Χρήστος Κυριαζής) (α Ερώτημα) Κάνοντας α- παλοιφή παρονομαστών, έχω : β (α + β) f 4 (x)+α (α + β) g 4 (x) αβf (x)+αβg (x) ή ακόμα καλύτερα : αβf 4 (x)+β f 4 (x)+αβg 4 (x)+α g 4 (x) Συνεχίζοντας, έχω : αβf (x)+αβg (x) β f 4 (x)+α g 4 (x) αβf (x) ( f (x) ) + αβg (x) ( g (x) ) Απ οπου, λόγω των δεδομένων προκύπτει : β f 4 (x)+α g 4 (x) αβf (x) g (x) από όπου έχουμε ότι ( βf (x) ag (x) ) f (x) α β g (x) Αξιοποιώντας τώρα και την : f (x)+g (x) μπορούμε να έχουμε : f (x) α α + β, g (x) β α + β Αν ϑεωρήσουμε το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέσης έχουμε : ( f 8 (x) α + g8 (x) f (x) ) 4 ( g (x) ) 4 β α + β... α + β (α + β) 4 (α + β) Λύση (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος) (ϐ Ερώτημα) Από Lagrange: α + β (f (x)+g (x))(α + β ) (αf(x)+βg(x)) +(αg(x) βf(x)) (αf(x)+βg(x)) οπότε α + β αf(x)+βg(x) Λύση (Χρήστος Κυριαζής) (ϐ Ερώτημα) Με Cauchy- Schwarz έχουμε ότι αf(x)+βg(x) α + β f (x)+g (x) αφού : f (x)+g (x) α + β

24 Επιμελητής : Ροδόλφος Μπόρης ΑΣΚΗΣΗ 5 (Προτείνει ο Νίκος Ζανταρίδης) Αν οι συναρτήσεις : f, g :[, ] R είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν ) f() g() + ) f(x) g(x), x [, ] ) f (sin x)+g (cos x), x R τότε να δειχθεί ότι : f g Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) f (sin x)+g (cos x) sin xf (sin x)+sinxg (cos x)sinx [ f ( sin x ) g ( cos x )] ( cos x) Για x π f ( sin x ) g ( cos x ) c cos x λαμβάνουμε c + c.άρα f ( sin x ) g ( sin x ) cos x sin x,x R Αλλάζουμε μεταβλητή sin x u [, ] οπότε f (u) g ( u) u () και για u u λαμ- ϐάνουμε f ( u) g (u) u (). Εστω ότι υπάρχει α ώστε f (α) >g(α). Για x α στις (), () λαμβάνουμε f (α) g ( α) α f ( α) g (α) α Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε f (α) g (α)+f ( α) g ( α) άτοπο αφού το πρώτο μέλος είναι ϑετικό. Συνεπώς για κάθε u [, ] ισχύει f (u) g (u) και επίσης f (u) f ( u) u f (u) u [f ( u) +u] Η h (u) f (u) u, u [, ] είναι συνεχής στο [, ] άρα ϑα έχει μεγιστη M και ελάχιστη τιμή m. Συνεπώς m h (u) M, u [, ]. Γιαu u λαμβάνουμε m h ( u) M M h ( u) m και προσθέτοντας με την προηγούμενη έχουμε m M h (u) h ( u) M m m M M m m M άρα η h είναι σταθερή οπότε h (u) c f (u) u c f (u) u + c Για u παίρνουμε f () c. Άρα f (u) u + f (), η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της άσκησης. ΑΣΚΗΣΗ 6 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Να ϐρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f : R (, + ) που είναι τέτοια ώστε f (x) lnf (x) για κάθε x R και f (). Λύση (Θάνος Μάγκος) Λόγω της ανισότητας ln t t έχουμε f (x) (f(x) ) για όλα τα x, (). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) e x (f(x) ), με x R. Βρίσκουμε g (x) e x (f (x)+f(x) ). Τότε, λόγω της (), είναιg (x) για κάθε x R. Άρα η g είναι αύξουσα στο R. Επομένως, για κάθε x (, + ) είναι g(x) g(), άρα f(x), οπότε λόγω της αρχικής δ.ε. f (x). Δηλαδή η f είναι ϕθίνουσα στο (, + ). Άρα ισχύει f(x) f() για κάθε x (, + ). Άρα, ισχύει f(x) για κά- ϑε x (, + ). Ομοίως εργαζόμαστε και στο (, ) και ϐρίσκουμε f(x) για κάθε x (, ). Είναι και f(), οπότε η μοναδική συνάρτηση, που (ϕανερά) ικανοποιεί το αρχικό πρόβλημα, είναι η σταθερή f(x). Ας παρατηρηθεί, ότι με την ίδια διαδικασία αντιμετωπίζεται η γενικότερη περίπτωση f (x) a ln f(x) με f() και a<. Λύση (Θάνος Μάγκος) Ακόμη μία ιδέα με χρήση ολοκληρώματος. Λήμμα: Ισχύει t ln t t + για κάθε t>. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν t και η απόδειξη είναι τετριμμένη. Ερχόμαστε τώρα, στο αρχικό πρόβλημα.

25 Η δοθείσα γράφεται ως (f (x)) f (x)lnf(x). Άρα ισχύει x x (f (t)) dt f (t)lnf(t)dt [ ] x f(t)lnf(t) x + f(t) f (t) f(t) dt f(x)lnf(x)+f(x) (f(x)lnf(x) f(x)+ για κάθε x. (η τελευταία ανισότητα ισχύει λόγω του Λήμματος). Άρα, πάλι λόγω του Λήμματος, είναι f(x) για κάθε x. Πως μπορούμε να καλύψουμε και την περίπτωση x<; Λύση (Βασίλης Μαυροφρύδης) (ln f (x)) + ln f (x) f (x) (ln f (x)) e x f(t) dt + e x f(t) dt ln f (x) ln f (x) f (x) Για x προκύπτει c. Με αντικατάσταση λαμ- ϐάνουμε x f(t) ln f (x) e dt Λύση 4 (Ροδόλφος Μπόρης) Είναι ln(y()). Εστω ότι υπάρχει και άλλη τιμή του x. Ας πούμε x : lny(x )) την πρώτη που ϑα συναντήσουμε μετά το αφού δεχτούμε πως η y είναι μη μηδενική σε διάστημα. Τότε ln(y(x)) x (,x ) []. Αλλά από το Θ. Rolleσυμπεραίνουμε ότι ξ (,x ):y (ξ) ή ln(y(ξ)) άτοπο από την []. Συνεπώς για x> x έχουμε y dy δηλαδή (x ) []. Ο- lny lny μοίως η σχέση [] ισχύει και για x. Από ΘΜΤ ολοκληρωτικού λογισμού είναι (x )/lnu (x ) για <u<xκαι αντίστοιχα για x<u<. Ανϑεωρήσουμε x τότε u συνεπώς /+ άτοπο και έτσι lnf(x) f(x),x>. (ln f (x)) + ln f (x) f (x) (ln f (x)) e x f(t) dt + e x f(t) dt ln f (x) ln f (x) e x f(t) dt ln f (x) e x f(t) dt c

26 Επιμελητής : Αναστάσιος Κοτρώνης ΑΣΚΗΣΗ 7 (Προτείνει ο Βασίλης Μαυροφρύδης) Εστω η συνεχής συνάρτηση f :[a, b] R η οποία είνα γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι a + b b a f(x)dx < b a xf(x)dx Λύση (Φωτεινή Καλδή) Εστω g(x) a + x x x f(t)dt tf(t)dt, x [a, b] a a αρκεί να δείξουμε ότι g(b) <. Ηg είναι παραγωγίσιμη στο (a, b) με g(a) και για x (a, b) είναι x g (x) f(t)dt x a f(x) a x a ( x a f(t)dt a a f(t)dt f(x)) x a g (x) x a (f(ξ) f(x)) < με ξ (a, x) άρα η g είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [a, b] κι έτσι g(b) <g(a) g(b) <. (*) Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού y για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f(t) dt στο διάστημα [a, x]. a ΑΣΚΗΣΗ 8 (Προτείνει ο Σπύρος Καπελλίδης) Οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο R και επιπλέον ) f(x), x Z, x ) f(x) f(t)e g(t) dt, x R. Να αποδειχθεί ότι f(x), x R. Λύση (Γιώργος Ροδόπουλος) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f (x) f(x)e g(x) Εστω k Z. Η f είναι συνεχής στο [k, k +] και άρα παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Εχουμε f(k) f(k +) Αν δεχθούμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο r (k, k +)τότε από το Θεώρημα του Fermat f (r) f(r)e g(r) f(r) δηλαδή το ακρότατο ϑα είναι ίσο με μηδέν. Συμπεραίνουμε ότι f(x) για κάθε x [k, k +]και αυτό για κάθε k Z.Συνεπώςf(x) για κάθε x R. 4

27 Επιμελητής : Σπύρος Καρδαμίτσης ΑΣΚΗΣΗ 9 (Προτείνει ο Christiano ) Αν για μια f : R R ισχύει f (x) +f(x) sinf(x) +x να δείξετε ότι f(x) x. Λύση (Θάνος Μάγκος ) Εχουμε f(x)( + f (x)) sin f(x)+x άρα f(x) ( + f (x)) sin f(x)+x, οπότε είναι f(x) ( + f (x)) sin f(x) + x f(x) + x. Θέτουμε για ευκολία f(x) a. Είναι a( + a ) a + x άρα a +a x. Αρκεί να αποδειχθεί ότι a a +a. Είναι a + a a a(a a +). ΑΣΚΗΣΗ (Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης) Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο ϕορές παραγωγίσιμη με f (x) με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ). A Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική λύση στο R. B Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ Εστω ο μιγαδικός u. Ανισχύει f ( +f ( i u + ) ) < να ϐρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u. Δ Εστω οι μιγαδικοί z,z,z,w για τους οποίους ισχύει z z f (), w z f () και z z f ( ). Να ϐρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z w. Λύση (Βασίλης Κακαβάς) Α) Επειδή f (x) και f συνεχής, ϑα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R άρα f (x) > ή f (x) < Τώρα επειδή στο [, ] σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει x (, )ώστε f (x ) f () f () < ϑα είναι f (x) < και άρα f γνήσια ϕθίνουσα στο R άρα και - και αφού f () το μοναδική ϱίζα της f στο R. Β) Επειδή f γνήσια ϕθίνουσα στο R και συνεχής ϑα ισχύει για x < ότι f (x) > f () άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο (, ] και για x > ότι f (x) <f () άρα η f είναι γνήσια ϕθίνουσα στο [, + ) επομένως έχει μέγιστο στο x το f(). Γ) Από f ( + f ( iu + )) < f ( + f ( iu + )) <f () και επειδή f γνήσια ϕθίνουσα στο R ϑα έχουμε +f ( iu + )) > f ( iu + )) > f ( iu + )) >f () οπότε ϑα ισχύει iu + < απ όπου ισοδύναμα i(u i) < u i < που σημαίνει ότι οι εικόνες του u είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου κέντρου K(, ) και ακτίνας. Δ) Οι μιγαδικοί z ανήκουν σε κύκλο κέντρου A(z ) και ακτίνας ρ f() και οι w ανήκουν σε κύκλο κέντρου B(z ) και ακτίνας ρ f(). Τώρα λόγω της κυρτότητας [ ] αφού [ f ] είναι κοίλη από ΘΜΤ στα διαστήματα,,, προκύπτει ( ) ότι f() + f() < f δηλαδή ρ + ρ < AB που σημαίνει ότι οι δύο κύκλοι δεν ( τέμνονται, ) οπότε max z w AB + ρ + ρ f + f() + f() και min z w AB ρ ρ f( ) f() f(). 5

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα