Δραστηριότητα Εύρεση του π

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δραστηριότητα Εύρεση του π"

Transcript

1 Δραστηριότητα Εύρεση του π Ανάµεσα σε πολλά πρωτότυπα και εντυπωσιακά επιτεύγµατα του Αρχιµήδη, η µέθοδός του για την εύρεση µιας αριθµητικής προσέγγισης για το π ξεχωρίζει για την κοµψότητα και την ασυνήθιστη ευκολία να την ακολουθήσεις. Επέλεξε να πάρει κανονικά πολύγωνα, εγγεγραµµένα και περιγεγραµµένα σε κύκλο µε ακτίνα ένα. Το πρώτο τέτοιο ζευγάρι είναι κανονικά εξάγωνα. Αυτά χρησιµοποιούνται για την δηµιουργία κανονικών 1-γώνων, στην συνέχεια κανονικών 4-γώνων, 48-γώνων και τέλος σε κανονικά 96-γωνα. Τα πρώτα τρία εγγεγραµµένα πολύγωνα φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. Όπως µπορείτε να δείτε οι περίµετρος του 1-γώνου και στην συνέχεια του 4-γώνου πλησιάζουν περισσότερο την περιφέρεια. Θα ακολουθήσουµε την µέθοδο του Αρχιµήδη για τα εγγεγραµµένα πολύγωνα και έτσι η αριθµητική µας προσέγγιση θα πλησιάσει το π από κάτω, µε την έννοια ότι θα είναι µικρότερη από το π. Τα περιγεγραµµένα του σχήµατα προσεγγίζουν το π από πάνω, επίσης ήταν σε θέση να περιορίσει την πραγµατική τιµή του π ανάµεσα σε δύο παράγοντες που ήταν πολύ κοντά ο ένας στον άλλο. Επιλέγουµε να κάνουµε δεκαδικούς υπολογισµούς και αντίθετα µε τον καταπληκτικό Αρχιµήδη, θα έχουµε έναν υπολογιστή τσέπης και φυσικά θα τον χρησιµοποιήσουµε! Κανονικό Εξάγωνο Κανονικό 1-γωνο Κανονικό 4-γωνο 1

2 Δείτε τα σχήµατα παρακάτω για να ακολουθήσετε την βασική τεχνική που εφάρµοσε ο Αρχιµήδης. Άρχισε µε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς 1. Φέρνοντας µια ακτίνα από το µέσο µιας πλευράς, χωρίζει την πλευρά και το αντίστοιχο τόξο στην µέση. Το µέσο του τόξου και ένα άκρο της αρχικής πλευράς δίνει την καινούργια πλευρά για το επόµενο κανονικό ν-γωνο (το 1-γωνο). Τότε χρησιµοποίησε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα επανειληµµένα για να βρει το µήκος της νέας πλευράς. Το σχήµα για την εύρεση της νέας πλευράς έχει µεγεθυνθεί παρακάτω.

3 Πρώτα βρήκε το x χρησιµοποιώντας το δεξιά τρίγωνο, µετά υπολόγισε το 1-x και συνέχισε µε το αριστερά τρίγωνο για να βρει την τιµή της Νέας Πλευράς του 1- γώνου. Ένας πολλαπλασιασµός του έδωσε την περίµετρο για να την χρησιµοποιήσει σας προσέγγιση της περιφέρειας (δεύτερο σχήµα στο πρώτο διάγραµµα). Όταν η ίδια διαδικασία επαναλήφθηκε για να περάσει στην περίµετρο του 4-γώνου, η ακολουθία των βηµάτων δεν αλλάζει, µόνο η αρχική τιµή της πλευράς αλλάζει σε αυτήν της Νέας Πλευράς. I. Μπορείτε να ακολουθήσετε την ίδια µέθοδο µε τον Αρχιµήδη συµπληρώνοντας τα βήµατα και συµπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. Ξεκινήστε την διαδικασία: στο εξάγωνο είδαµε ότι η Πλευρά του εξαγώνου ήταν 1, η ακτίνα είναι πάντα 1, και πρέπει να ακολουθήσετε τα βήµατα στο διπλανό πλαίσιο για να βρείτε την τιµή της Νέας Πλευράς Όταν πάρετε την πλευρά του εξαγώνου και την διχοτοµήσετε, το αποτέλεσµα είναι Πλευρά/= 0.5. Τότε χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρηµα βρίσκουµε την τιµή x = Έχοντας το x, µπορείτε το 1-x= Ξέρουµε τώρα Πλευρά/ και 1-x άρα και πάλι από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα βρίσκουµε το µήκος της Νέας Πλευράς=

4 Όταν γνωρίζετε το µήκος της Νέας Πλευράς του πολυγώνου, µπορείτε να βρείτε την περίµετρο και να εκτελέσετε τις διαδικασίες που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Επαναλάβετε την διαδικασία που περιγράφεται στο πρώτο πλαίσιο απλά αλλάζοντας την αρχική τιµή της Πλευράς µε την τρέχουσα τιµή της Νέας Πλευράς. Περίµετρος = Περίµετρος/Διάµετρος = Αρ. Πλευρών Μήκος Πλευράς Περίµετρος (P) Διάµετρος (D) P/D II. Αν έχετε ένα υπολογιστή υπάρχουν πολλοί τρόποι που µπορείτε να τον χρησιµοποιήσετε για να αυτοµατοποιήσετε τον υπολογισµό της Νέας Πλευράς. Βρείτε έναν από αυτούς του τρόπους και χρησιµοποιήστε τον. III. Ο Αρχιµήδης υπολόγισε την τιµή του π ανάµεσα στο 3 10/71 και 3 10/70. Πέτυχε αυτούς του υπολογισµούς χωρίς την τεχνολογία ή ένα αριθµητικό σύστηµα σαν το δικό µας. Συλλογιστείτε τρόπους που νοµίζετε ότι ο Αρχιµήδης ήταν σε θέση να χρησιµοποιήσει για να κάνει αυτούς τους υπολογισµούς. 4

5 Φύλλο εργασίας για τον Υπολογισµό του µήκους της Πλευράς του κάθε Πολυγώνου P= P= P= P=

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων

Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Ζάντζος Ιωάννης 1, Κυνηγός Χρόνης 2 1 Καθηγητής Μαθηµατικών, Υποψήφιος ιδάκτωρ,

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού στο σύνολο των ακεραίων µε εποπτικό τρόπο: Ένα µοντέλο ή ένα παιχνίδι; ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.ptheodoropoulos.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: Mathematics The Man Made Universe, SHERMAN K. STEIN, 1963 Α] ΒΑΒΥΛΩΝΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2-1 ΚΑΠΟΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Η διδασκαλία της Γεωµετρίας στο ελληνικό δηµοτικό σχολείο

2. Η διδασκαλία της Γεωµετρίας στο ελληνικό δηµοτικό σχολείο Εισαγωγή Η εργασία αυτή έχει στόχο να παρουσιάσει µια εναλλακτική πρόταση για τη διδασκαλία της Γεωµετρίας στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, αντλώντας περιεχόµενα από τη λαϊκή παράδοση και λαµβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου E-mail: xanthi.papageorgiou@gmail.com Τμήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Εξερευνώντας γεωμετρικές έννοιες με μαθητές Γ Γυμνασίου χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra σε αντιδιαστολή με το χαρτί και το μολύβι

Εξερευνώντας γεωμετρικές έννοιες με μαθητές Γ Γυμνασίου χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra σε αντιδιαστολή με το χαρτί και το μολύβι Έρκυνα, Επιθεώρηση Εκπαιδευτικών Επιστημονικών Θεμάτων, Τεύχος 1ο, 233-243, 2014 Εξερευνώντας γεωμετρικές έννοιες με μαθητές Γ Γυμνασίου χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra σε αντιδιαστολή με το χαρτί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VII. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΡΑΥΣΕΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Εισαγωγή Θραύση (fracture) ονοµάζεται ο διαχωρισµός, ή θρυµµατισµός, ενός στερεού σώµατος σε δύο ή περισσότερα κοµµάτια, κάτω από την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα