Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Α. Δύο σώματα ίσης μάζας m κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Α. Δύο σώματα ίσης μάζας m κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα."

Τίμω Λαμέρας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εισγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (7-7-7) Μηχνική Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 Α. Δύο σώμτ ίσης μάζς m κινούντι σε οριζόντιο επίπεδο όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ. Α υ Β a O = Εάν γι t = το σώμ Α κινείτι με στθερή τχύτητ υ κι το σώμ Β ρχίζει ν κινείτι με στθερή επιτάχυνση a, ) ποι θ πρέπει ν είνι η τιμή της επιτάχυνσης ώστε ν συγκρουστούν τ δύο σώμτ στην ρχή των ξόνων; β) Ποι θ είνι η τχύτητ του σώμτος Β κτά τη στιγμή της σύγκρουσης; Υποθέστε ότι η ρχική πόστση του σημείου Α πό την ρχή Ο είνι διπλάσι της ρχικής πόστσης του σημείου Β. γ) Εάν τ δύο σώμτ συγκρουσθούν πλστικά ποιά θ είνι η διεύθυνση κίνησης κι η τχύτητ του συσσωμτώμτος `; Β. T πρίσμ του σχήμτος κινείτι πάνω σε οριζόντι επιφάνει χωρίς τριβές. Πάνω στο πρίσμ βρίσκετι σώμ μάζς m=4 kg το οποίο είνι δεμένο μέσω βρούς νήμτος στο σημείο Α. Η επιφάνει μετξύ σώμτος κι πρίσμτος θεωρείτι λεί. Υπολογίστε την τάση του νήμτος κι την κάθετη δύνμη που σκεί το πρίσμ στο σώμ ότν: A () το πρίσμ κινείτι ευθύγρμμ κι ομλά. (β) το πρίσμ κινείτι με επιτάχυνση 1 m/s. (Δίδετι: g = 1 m/sec m ) a = 1 m/s 3 1

2 Λύση Α. ) Έστω ότι η κρούση των δύο σωμάτων γίνει τη χρονική στιγμή. Επομένως t = t γι έχουμε: t = t κι τ δύο σώμτ θ πρέπει ν βρίσκοντι στη θέση Ο. Επομένως OA = = υt t = υ Γι το σώμ Α: ( ) Γι το σώμ Β: ( ) υ υ OB = = t = = β) Η τχύτητ του σώμτος Β κτά τη στιγμή της σύγκρουσης θ είνι υ υb = t = = υ υ Άρ τ δύο σώμτ κτά τη στιγμή της σύγκρουσης θ έχουν το ίδιο μέτρο τχύτητς υ γ) Γι ν βρούμε τη διεύθυνση κι την τχύτητ του συσσωμτώμτος μετά την κρούση χρησιμοποιούμε την ρχή διτήρησης της ορμής. Η ορμή του συστήμτος των δύο σωμάτων μέσως πριν τη σύγκρουση είνι Κτά τον άξον : p = maυ A = mυ Κτά τον άξον : p = mbυ B = mυ Μετά την κρούση το συσσωμάτωμ μάζς m θ έχει ορμή ίση με : p = p mυ = mυ p = p mυ = mυ Άρ υ υ = υ υ = κι η τελική τχύτητ θ έχει μέτρο διεύθυνση που σχημτίζει γωνί 45 ο με τον άξον υ υ = ο κι Β. Το σώμ μάζς 4 kg κολουθεί την κίνηση της σφήνς κι θ έχει την ίδι επιτάχυνση με υτήν. Πάνω στο σώμ σκούντι η τάση του νήμτος Τ, το βάρος του Β=mg κι η κάθετη δύνμη πό την σφήν Ν. Ανλύουμε τις δυνάμεις που σκούντι πάνω στο σώμ στις κι συνιστώσες. Η επιτάχυνση a είνι στην οριζόντι κτεύθυνση, (κτά το σχήμ στην κτεύθυνση ). F = ma T cs3 Nsin3 = ma (1)

3 F = Tsin 3 + N cs3 B = () Από την εξίσωση () έχουμε mg T sin 3 N = cs3 (3) Αντικθιστώντς την (3) στην εξίσωση (1) έχουμε mg T sin 3 T cs3 sin 3 = ma cs3 sin 3 T cs3 + = ma + mg tan 3 cs3 ( ) T = ma + mg tan 3 (4) Αντικθιστώντς στην (4) τις τιμές = 1 m/s, m = 4 kg, κι g = 1m/s βρίσκουμε Τ=3,46 Ν κι Τέλος πό την (3) Ν=3,64 Ν Στην περίπτωση που το σύστημ δεν επιτχύνετι, οι εξισώσεις κίνησης γίνοντι F = T cs3 Nsin3 = F = Tsin 3 + N cs3 B = Λύνοντς το σύστημ των δύο εξισώσεων ως προς Τ κι Ν πίρνουμε Τ = Ν κι Ν = 34,64 Ν ΘΕΜΑ Α. Η δυνμική ενέργει ενός διτομικού μορίου δίνετι πό τη σχέση: b b V() r = D + r r, όπου r είνι η πόστση μετξύ των τόμων κι D, b, είνι θετικές στθερές. Το έν άτομο είνι κίνητο στη θέση r =. ) Βρείτε τη δύνμη που σκείτι στο ελεύθερο άτομο. β) Ποι είνι η θέση ισορροπίς κι ποιο το είδος της ισορροπίς; 3

4 Β. Σε σωμτίδιο μάζς m= kg σκείτι δύνμη F = 5 tiˆ ( N) όπου t συμβολίζει το χρόνο. Αν το σωμτίδιο βρίσκετι ρχικά σε ηρεμί, ν βρεθεί το έργο που πράγετι πό τη δύνμη στ πρώτ s της κίνησής του. Λύση dv 3 Α. ) Fr () = rˆ= Dbr [ + b() r ] rˆ dr b b Fr () = D + rˆ 3 r r β) Οι θέσεις ισορροπίς είνι εκείνες γι τις οποίες: () b b Fr = D + rˆ b b r b 3 = = = 3 r r r r Επομένως η θέση ισορροπίς είνι η r = b. Γι το χρκτηρισμό της θέσης υτής ελέγχουμε το πρόσημο της δεύτερης πργώγου της V() r : dv dr = Dbr [ br 3 ] d V 3 4 b D[ br b ( 3) r ] D 6b = = dr r r Γι r = b: V = D b + b 3 4 = D + D = >. dr 8b 16b 4b 8b 8b d Άρ η συνάρτηση προυσιάζει ελάχιστο κι επομένως η θέση ευστθούς ισορροπίς. Β. 1 ος τρόπος: Από το θεώρημ έργου - κινητικής ενέργεις προκύπτει: r = b είνι θέση 1 1 W K K m m F = f i = υ = υ (1), Από το ο νόμο του Νεύτων: 4

5 dυ dυ F = m 5t = dυ = tdt dυ = td t υ( t) = t dt dt 4 υ t () Επομένως η τχύτητ του σωμτιδίου γι t = s θ είνι υ = 5 m/ s. Άρ ντικθιστώντς στην (1) βρίσκουμε: W = 5 J F ος τρόπος: t W Fd=5d=5 t tυ ()d t t (3) F = Αντικθιστώντς την () στην (3) προκύπτει: t t 3 5 d = d = WF = t t t t t 4 4 t 16 4 Γι t = s, W = 5 J F ΘΕΜΑ 3 Κτκόρυφο τοίχωμ πολύ μεγάλης μάζς (πρκτικά άπειρης) κινείτι με στθερή τχύτητ u = uˆi. Σωμτίδιο μάζς m που κινείτι με τχύτητ υ = υ î (υο > u >) συγκρούετι με το τοίχωμ ελστικά. Υπολογίστε τη μετβολή της κινητικής ενέργεις του σωμτιδίου εάν ) το τοίχωμ κινείτι προς τ δεξιά (u > ) κι β) το τοίχωμ κινείτι προς τ ριστερά (u<). υ ο u O Ο Λύση ) Στο σύστημ Ο (που κινείτι μζί με το τοίχωμ) το σωμτίδιο έχει τχύτητ υ = υ u. Επειδή η κρούση είνι ελστική η τχύτητά του στο Ο μετά την κρούση θ γίνει: υ = υ = u υ Στο σύστημ Ο η νέ του τχύτητ είνι : 5

6 υ = υ + u= u υ Αρχικά E 1 = υ m ο 1 1 Τελικά E = mυ = m( u υ ο ). Επομένως 1 ΔΕ= ( ) 1 Ε Eο = m u υο mυ ο = mu( υο u) < Άρ η κινητική του ενέργει μειώνετι. β) Ανάλογ πίρνουμε υ = υ + u υ = υ = υ u υ = υ u= υ u 1 E = mυ ο 1 1 E = mυ = m( u+υ ο ) ΔΕ = Ε E = mu υ + u < ο ( ) Γι υ ο >> uέχουμε ΔΕ = mυ ο u ο ΘΕΜΑ 4 Α. Σώμ μάζς m είνι κίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής n=.3. Στο σώμ προσδίδετι οριζόντι τχύτητ υ =1m/s κι τυτόχρον ρχίζει ν του σκείτι δύνμη κτκόρυφη με φορά προς τ πάνω που το μέτρο της δίδετι πό τη σχέση F=k, όπου k=.4 N/m κι είνι το διάστημ που δινύει το σώμ στο οριζόντιο επίπεδο. Διπιστώνετι ότι τη στιγμή που το σώμ εγκτλείπει το επίπεδο η οριζόντι τχύτητά του είνι η μισή της ρχικής. Ζητείτι η μάζ του σώμτος. Δίδετι η επιτάχυνση της βρύτητς g=1 m/s. Β. Σώμ μάζς M = 1. kg βρίσκετι σε ηρεμί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές κι πό τη μί πλευρά του είνι συνδεδεμένο σε βρές ελτήριο στθεράς k = 9 N/m, όπως φίνετι στο σχήμ. Σφίρ μάζς m = 5. gκι ρχικής τχύτητς υ = 4 m/s συγκρούετι κι διπερνά το σώμ εξερχόμενη με τχύτητ υ τ. Το σώμ δινύει πόστση = 5. cm μέχρι ν κινητοποιηθεί στιγμιί. (Όλες οι κινήσεις είνι κτά μήκος του άξον ) Υπολογίστε: ) την τχύτητ με την οποί εξήλθε η σφίρ. β) τη διφορά μηχνικής ενέργεις του συστήμτος μετξύ της ρχικής κι της τελικής κτάστσης. 6

7 υ m M 5 cm υτ m M Λύση Α. Έστω ότι το σώμ εγκτλείπει το επίπεδο στη θέση Α δινύοντς διάστημ. Εφρμόζοντς το ΘΜΚΕ γι τη διδρομή ΟΑ έχουμε: υ m mυ WT mυ = = W T (1) 8 Η τριβή Τ δίνετι πό τη σχέση T = nfk, όπου F K η δύνμη που δέχετι το σώμ πό το επίπεδο. Η δύνμη υτή προσδιορίζετι πό τη σχέση : ΣF = F K + F = B F K = mg k Με συνδυσμό των δύο προηγούμενων σχέσεων προκύπτει ότι η τριβή είνι μετβλητή δύνμη μέτρου: T = n mg k () ( ) 7

8 Επιπλέον επειδή στη θέση (Α) το σώμ χάνει την επφή του με το επίπεδο ισχύει : mg F K = mg k = = k Άρ το έργο που κτνλώνει η τριβή είνι: mg / k nm g WT = n( mg k) d WT = () K Από τις σχέσεις (1) κι () προκύπτει γι τη μάζ του σώμτος: m=1 kg B. ) Kτά τη στιγμή της εξόδου της σφίρς tο σώμ θ έχει ποκτήσει τχύτητ V. Από την ρχή διτήρησης της ορμής θ έχουμε : mυ = MV + mυ τ (1) Το σώμ θ κινηθεί επιβρδυνόμενο μέχρι ν κινητοποιηθεί στιγμιί, οπότε το ελτήριο θ έχει συσπειρωθεί κτά = 5. cm. Από την ρχή διτήρησης της ενέργεις γι το σύστημ σώμ-ελτήριο πίρνουμε : 1 1 MV = k () Από τη () βρίσκουμε την V : ( N m) ( m) k 9 / 5. 1 V= = =...=1.5 m/ s (3) M 1. kg Από την εξίσωση (1) κι με ντικτάστση της τιμής του V υπολογίζουμε την τελική τχύτητ της σφίρς : -3 mυ ( 5. 1 kg) ( 4 m/ s) ( 1. kg) ( 1.5 m/ s) MV υτ = = =1 m/ s (4) -3 m 5. 1 kg β) Αρχική μηχνική ενέργει του συστήμτος : E = ( 5. 1 ) ( 4 / ) = mυ kg m s =4 J (5) Τελική μηχνική ενέργει : E = ( 5. 1 ) ( 1 / ) + ( 9 / ) ( 5. 1 ) τ = mυ τ + k kg m s N m m 5 J + 1 J = 6 J (6) Οπότε οι πώλειες μηχνικής ενέργεις είνι : Δ E = E E = 4J 6J = 374 J τ ΘΕΜΑ 5 A. Μι ράβδος μήκους L μπορεί ν περιστρέφετι ελεύθερ γύρω πό το έν άκρο της Α. Αρχικά η ράβδος βρίσκετι σε κτκόρυφη θέση κι είνι κίνητη. Υλικό σημείο μάζς m προσκρούει στη ράβδο με οριζόντι τχύτητ υ ο, ενώ βγίνει πό υτή με οριζόντι τχύτητ υ 1. Το σημείο πρόσκρουσης βρίσκετι σε πόστση h πό το άκρο Α. () Ν βρείτε τη γωνική τχύτητ με την οποί ρχίζει ν κινείτι η ράβδος. 8

9 (β) Ν βρείτε την τχύτητ του άκρου Β τη στιγμή την οποί ρχίζει ν κινείτι η 1 ράβδος. (Δίνετι γι τη ράβδο: Ι = L 3 Μ ) B. Η κορυφή ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζς Μ κι κτίνς R στερεώνετι στο ελεύθερο άκρο ενός ελτηρίου με στθερά k, ενώ το άλλο άκρο του ελτηρίου είνι κολλημένο σε κτκόρυφο τοίχο, όπως φίνετι στο Σχήμ. Αν ο κύλινδρος κυλάει χωρίς ν ολισθίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, ν υπολογίσετε την περίοδο μικρών τλντώσεων του κέντρου μάζς του κυλίνδρου γύρω πό την θέση ισορροπίς. (Υπόδειξη: Ν λάβετε υπόψη ότι σε έν κύλινδρο που κυλάει χωρίς ν ολισθίνει η μεττόπιση ενός σημείου του κυλίνδρου στην κορυφή του είνι διπλάσι της μεττόπισης του κέντρου του) k R Μ Λύση Α. ) Από διτήρηση στροφορμής ως προς το σημείο Α: 1 3mh υο υ1 mυ οh= mυ 1h+ Iω mυ οh = mυ 1h+ ΜL ω ω= 3 ΜL 3mh( υο υ1) β) υ B = ω L = ΜL ( ) Β. Οι δυνάμεις που σκούντι στον κύλινδρο είνι η δύνμη επνφοράς του ελτηρίου,f, κι η δύνμη της τριβής πό το δάπεδο, Τ. Την κάθετη ντίδρση πό το δάπεδο, κθώς κι το βάρος του κυλίνδρου τις γνοούμε εφόσον δίνουν συνιστμένη μηδέν. 9

10 k F ω R Μ T Η κίνηση του κέντρου μάζς κολουθεί τον δεύτερο νόμο του Νεύτων: M = F T (1) Θεωρούμε τ γωνικά μεγέθη ν είνι θετικά ότν έχουν φορά όπως δείχνετι στο Σχήμ, ενώ τ γρμμικά μεγέθη ν είνι θετικά ότν τ ντίστοιχ δινύσμτ έχουν φορά προς τ δεξιά. Εφόσον ο κύλινδρος κυλάει χωρίς ν ολισθίνει έχουμε: = Rω () Η ροπή που σκείτι στον κύλινδρο ισούτι με τον ρυθμό μετβολής της στροφορμής του, οπότε: R( F + T) = Iω (3) Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις () κι (3) λύνοντς ως προς την δύνμη της τριβής: T = I F R κι ντικθιστούμε στην (1): I ( M + ) = F (4) R Η δύνμη επνφοράς του ελτηρίου ισούτι με : F = k t, όπου t η μεττόπιση του σημείου στην κορυφή του κυλίνδρου όπου είνι δεμένο το ελτήριο. Αυτή είνι διπλάσι της μεττόπισης του κέντρου μάζς του κυλίνδρου,, οπότε η δύνμη επνφοράς θ είνι: F = k Αντικθιστούμε στην (4) κι έχουμε: I ( M + ) = 4k R 4kR + = I + MR 8 k + =, (5) 3 M 1 όπου χρησιμοποιήσμε την ροπή δράνεις του κυλίνδρου I = MR Από την εξίσωση κίνησης (5) έχουμε ότι η περίοδος των μικρών τλντώσεων θ ισούτι με: 3M P = π. 8k 1

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς