Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη"

Transcript

1

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το 969. Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 979 και από το 97 μέχρι σήμερα εργάζεται σ αυτό. ISBN Coyright 009 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσεις ZHTH Διορθωμένη ανατύπωση /00 Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fa: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fa BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fa: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 4 7, Aθήνα Tηλ.-Fa: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 «Μίζερη των θνητών γενιά, που έβαλες τέτοιους θεούς στο κεφάλι σου και ρήμαξες την ίδια τη ζωή σου» ΛΟΥΚΡΗΤΙΟΣ (98-55 π.χ.) Ρωμαίος Ποιητής - Επικούρειος

4 Αφιερώνεται στη μνήμη του θείου μου Βασίλη Σ. Παπαδόπουλου

5 Πρόλογος Η Μαθηματική Ανάλυση στην ανάπτυξη των διαφόρων κλάδων της (Λογισμοί, Διαφορικές Εξισώσεις, Μιγαδική και Πραγματική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση) γίνεται πολύπλοκη και παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Γι αυτό είναι ανάγκη να διατυπωθούν οι θεμελιώδεις αρχές πάνω στις οποίες βασίζεται η Μαθηματική Ανάλυση, κι αυτό κάνει η Τοπολογία. Οι βασικές αρχές της Τοπολογίας, και ειδικά των μετρικών χώρων, είναι απαραίτητες για τη μελέτη πολλών επιστημονικών κλάδων. Το βιβλίο αυτό αναφέρεται στους μετρικούς τοπολογικούς χώρους και νορμικούς τοπολογικούς χώρους. Η ανάπτυξη των εννοιών γίνεται αναλυτικά και με μαθηματική αυστηρότητα, χωρίς όμως αυτό να δυσκολεύει την κατανόηση του κειμένου. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η τοπολογία μετρικών (νορμικών) χώρων και οι βασικές έννοιές της. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι έννοιες της σύγκλισης και της συνέχειας, καθώς και οι έννοιες της ακολουθίας Cauchy και του πλήρους χώρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται οι συμπαγείς χώροι και οι ιδιότητές τους και στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι συναφείς χώροι και οι ιδιότητές τους. Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται αρκετά παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών του και ασκήσεις. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παραθέτουμε τα λυμένα προβλήματα που αναφέρονται σ όλη την ύλη των προηγούμενων κεφαλαίων. Θεσσαλονίκη, 009 ΘΩΜΑΣ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

6 Περιεχόμενα Εισαγωγή... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ. Μετρικοί χώροι Νορμικοί χώροι Ανοικτά και κλειστά σύνολα Φραγμένα σύνολα Είδη σημείων συνόλου Τοπολογίες Τοπολογικά ισοδύναμες μετρικές Τοπολογικοί υποχώροι και γινόμενα 5. Τοπολογικοί υποχώροι Τοπολογικά γινόμενα Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΛΗΡΕΙΣ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Ακολουθίες Συνέχεια. Ακολουθίες Συνέχεια Τοπολογικοί ισομορφισμοί. Ισομετρία Ανοικτές και κλειστές απεικονίσεις Τοπολογικός ισομορφισμός (ομοιομορφισμός) Τοπολογικά ισοδύναμες μετρικές....5 Τοπολογικές ιδιότητες Ακολουθίες Cauchy Πλήρεις χώροι 3. Ακολουθίες Cauchy Πλήρεις χώροι... 3

7 viii Τοπολογία Μετρικών Χώρων 4. Βασικά θεωρήματα σε πλήρεις χώρους Ασκήσεις...53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Ολικά φραγμένα σύνολα...6. Συμπαγείς μετρικοί χώροι Συμπαγοποίηση Ασκήσεις...94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Συναφείς μετρικοί χώροι...0. Συναφή σύνολα σε ευκλείδειους χώρους o Τοπικά συναφείς χώροι...5. Συναφείς συνιστώσες...7. Ολικά μη συναφείς χώροι Συνάφεια με δρόμους Ομοτοπίες Ασκήσεις...37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Λυμένα Προβλήματα...43 Γενικές Ασκήσεις...30 Απαντήσεις των Ασκήσεων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Σύνολα Πράξεις των συνόλων Πραγματικοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα...36

8 Περιεχόμενα i 4. Διανυσματικοί χώροι Ανισότητες Οικογένειες Αξίωμα της επιλογής Βιβλιογραφία Ευρετήριο όρων... 34

9 Βιβλία του συγγραφέα ΘΩΜΑ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ Α. Διακριτά Μαθηματικά. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, (σελ. 55, 00).. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα), (σελ. 64, 00). Β. Διαφορικές Εξισώσεις. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Πρώτος, (σελ. 480, 987).. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, Tόμος Δεύτερος, (σελ. 400, 988). 3. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Tρίτος, (σελ. 478, 99), (Ποιοτική Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (σελ. 560, 998). 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 5, 007). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα), (σελ. 8, 993). 7. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (σελ. 30, 994). 8. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (σελ. 384, 009). Γ. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (Τεύχος Πρώτο, σελ. 640, 00 Τεύχος Δεύτερο, σελ. 3, 00).. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (σελ. 64, 005). 3. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, (σελ. 40, 007). Δ. Σειρά Μαθηματικών. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Πρώτος, (σελ. 68, 005). (Άλγεβρα, Αναλυτική Γεωμετρία, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός). ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Δεύτερος, (σελ. 66, 006). (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών) 3. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Τρίτος, (σελ. 504, 005). (Διανυσματική Ανάλυση, Σειρές Fourier, Μιγαδικές Συναρτήσεις, Διαφορικές Εξισώσεις, Εξισώσεις Διαφορών) Ε. Τοπολογία. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ (Ασκήσεις), (σελ. 400, 977).. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ (σελ. 336, 009).

10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Μαθηματική Ανάλυση καταλαμβάνει μεγάλη έκταση στο χώρο της Μαθηματικής Επιστήμης με πολλούς ειδικούς κλάδους, και κατά την ανάπτυξή της γίνεται όλο και πιο περίπλοκη, με τη χρήση πολλών ορισμών και θεωρημάτων. Για να αμβλυνθούν αυτές οι δυσχέρειες έγινε προσπάθεια να αποκαλυφθούν οι θεμελιώδεις αρχές πάνω στις οποίες βασίζεται η Μαθηματική Ανάλυση. Αυτό συνετέλεσε στη δημιουργία και στην ανάπτυξη της Τοπολογίας ως βασικού εισαγωγικού κλάδου της, πάνω στην οποία στηρίχθηκαν πολλές αποδείξεις των θεωρημάτων της. Κατορθώθηκε έτσι να δοθούν απλούστερες αποδείξεις και βαθύτερες ερμηνείες τους, καθώς τα θεωρήματα διατυπώνονταν σε γενικότερες μορφές. Ειδικότερα, δόθηκε μεγαλύτερη ανάλυση του χώρου των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών, που αποτελούν τον πυρήνα της Μαθηματικής Ανάλυσης, η οποία βασικά ενδιαφέρεται για την έννοια του ορίου και της συνέχειας. Ιστορικά οι έννοιες αυτές τέθηκαν από του αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς στην προσπάθειά τους να ορίσουν την έννοια του αριθμού. Τον 9 ο αιώνα οι Cauchy, Abel και Riema έθεσαν αναλυτικά τις έννοιες της σύγκλισης ακολουθίας και σειράς, του χώρου πολλών διαστάσεων και του χώρου των συναρτήσεων. Η βαθειά γνώση της πραγματικής ευθείας (τομές Dedekid), των πραγματικών συναρτήσεων (Riema, Weierstrass), βοήθησαν ώστε η μαθηματική γλώσσα να γίνει ακριβής και γενική (Cator). Η μελέτη των γραμμικών συναρτήσεων συνετέλεσε στη δημιουργία της Συναρτησιακής Ανάλυσης (Ascoli, Hilbert). Οι μετρικοί χώροι διευκολύνουν τη μελέτη της ομοιόμορφης συνέχειας και της ομοιόμορφης σύγκλισης, καθώς και τις έννοιες του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης. Πράγματι, το όριο και η συνέχεια συνάρτησης, αντίστοιχα, lim f ( ), Æ 0 lim f ( ) = f( ) Æ προϋποθέτουν ότι οι τιμές πλησιάζουν την τιμή 0 και οι τιμές f ( ) πλησιάζουν κάποιον αριθμό ή τον f ( 0), αντίστοιχα. 0 0

11 Τοπολογία Μετρικών Χώρων Αλλ όμως η φράση «πλησιάζω κάτι» εμπεριέχει την έννοια της απόστασης και συνήθως θεωρούμε ως τέτοια την ευκλείδεια απόσταση (π.χ. στην πραγματική ευθεία είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών). Εξαρτάται λοιπόν το όριο και η συνέχεια από την απόσταση που χρησιμοποιούμε στο χώρο; Ναι, όταν οι αποστάσεις δεν είναι τοπολογικά ισοδύναμες. Βέβαια, οι έννοιες «σύγκλιση ακολουθίας», «συνέχεια συνάρτησης», γενικεύονται σε τοπολογικούς χώρους (που δεν είναι μετρικοί χώροι), με τη χρησιμοποίηση των «ανοικτών συνόλων» και των «ανοικτών περιοχών ενός σημείου», αντί των «ανοικτών σφαιρικών περιοχών» των μετρικών χώρων. Υπάρχουν όμως αποτελέσματα που δεν ισχύουν, π.χ. η μοναδικότητα του ορίου συγκλίνουσας ακολουθίας, το οριακό σημείο ακολουθίας ως όριο υπακολουθίας της και η συνέχεια συνάρτησης σε σημείο με τη χρήση ακολουθιών. Ακόμη οι έννοιες «ομοιόμορφη συνέχεια», «πλήρης μετρικός χώρος», επειδή εξαρτώνται από τη μετρική, δεν μπορούν να γενικευθούν σε τοπολογικούς χώρους (που δεν είναι μετρικοί χώροι). Βέβαια, με την αντικατάσταση της ακολουθίας με την έννοια του φίλτρου και του δικτύου, και την κατάλληλη ανάπτυξη θεωρίας ειδικών χώρων (π.χ. οι ο- μοιόμορφοι χώροι), είναι δυνατή η γενίκευση της ομοιόμορφης συνέχειας και της πληρότητας. Σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών (όπως π.χ. η Γεωμετρία) είναι χρήσιμο να ορίζεται μια κατάλληλη μετρική (απόσταση) η οποία να εκφράζεται σε στοιχεία αφηρημένων χώρων. Ο σκοπός του βιβλίου είναι μια βασική ανάπτυξη των τοπολογικών μετρικών χώρων, η οποία βοηθάει και στη μελέτη των τοπολογικών δομών, γενικότερα. Βασικό κεφάλαιο είναι το πρώτο, γι αυτό η πλήρης γνώση των εννοιών του είναι απαραίτητη για τα επόμενα κεφάλαια. Υπάρχουν πολλά αξιόλογα βιβλία Τοπολογίας, αλλά εδώ θ αναφερθώ σ αυτά της βιβλιογραφίας του βιβλίου. Μια λεπτομερής παρουσίαση των θεμάτων της Τοπολογίας γίνεται στα Ελληνόγλωσσα βιβλία [], [7], [9], [], [], [4], όπου το [9] είναι βιβλίο λυμένων ασκήσεων (σε πολλά θέματα της Τοπολογίας), και τα ξενόγλωσσα βιβλία [], [3], [0], [3]. Πιο προχωρημένα είναι τα βιβλία [4], [5], [6], [8].

12 Εισαγωγή 3 ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Νορμικοί Χώροι (σε διανυσματικούς χώρους) Μετρικοί Χώροι Τοπολογικοί Χώροι Βασική διαίρεση των τοπολογικών χώρων Μια κλάση τ υποσυνόλων ενός χώρου X λέγεται τοπολογία στο X, αν γι αυτήν ισχύουν: i) το κενό σύνολο και το X ανήκουν στην τ, ii) η τομή πεπερασμένου πλήθους συνόλων της τ ανήκει στην τ, iii) η ένωση οσωνδήποτε συνόλων της τ ανήκει στην τ. Το ζεύγος ( X, τ ) λέγεται τοπολογικός χώρος και τα σύνολα της τ είναι τα ανοικτά σύνολά του. Ένας τοπολογικός χώρος ( X, τ ) λέγεται μετρικοποιήσιμος, αν υπάρχει μία τουλάχιστον μετρική d στο X τέτοια ώστε τ= τd. Αν έχουμε δύο τοπολογίες τ και τ στο χώρο X για τις οποίες ισχύει τãτ, ( τπ τ), τότε η τ λέγεται ασθενέστερη της τ και η τ λέγεται ισχυρότερη της τ. Η τοπολογία τ= {, Χ} είναι η ασθενέστερη όλων των τοπολογιών και η τοπολογία το = P( Χ ) = {σύνολο όλων των υποσυνόλων του X }, που λέγεται διακεκριμένη τοπολογία, είναι η ισχυρότερη όλων των τοπολογιών στο χώρο X. Μια σύντομη παρουσίαση της Γενικής Τοπολογίας γίνεται στα βιβλία [7], Κεφ. 8, [4], Μέρος ΙΙ, ενώ μια αναλυτική παρουσίασή της γίνεται στα βιλία [4], [5], [6], [8].

13 ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ Μετρικοί χώροι Νορμικοί χώροι Θεωρούμε ένα χώρο X του οποίου τα στοιχεία τα λέμε σημεία και τα συμβολίζουμε π.χ., y, zœx. Για να έχει νόημα η έκφραση «το τείνει στο 0», δηλαδή το πλησιάζει το 0, πρέπει στο χώρο X να είναι ορισμένη μια απόσταση (ή μετρική) μεταξύ των σημείων του. Θα δώσουμε λοιπόν τον ορισμό της μετρικής (ή απόστασης) σ έναν χώρο X. Μία συνάρτηση + d: X Χ Æ o = { Œo : 0} όπου o οι πραγματικοί αριθμοί, είναι μια μετρική (ή απόσταση) στο χώρο X όταν ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα: [ M ] d (, y) = 0 = y, [ M ] d (, y) = dy (, ), ", yœx (συμμετρική ιδιότητα), [ M 3] d (, z) d (, y) + dy (, z ), ", y, zœx (τριγωνική ανισότητα). Ανισότητα του Mikowski Για την απόδειξη του αξιώματος [ Μ 3] χρησιμοποιείται πολλές φορές η ανισότητα του Mikowski (Παράρτημα, 5) È È È + + Îα β α Î Î β α α β β,

14 8 Κεφάλαιο όπου ( α, α,, α ), ( β, β,, β ) Œo ή ` και. Ευκλείδειες μετρικές (ή αποστάσεις) Στους πραγματικούς αριθμούς o η ευκλείδεια απόσταση είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών, y Œo : d (, y) = - y, ", yœo. Η ευκλείδεια απόσταση δύο σημείων = (, ), y= ( y, y ) του επιπέδου o είναι d (, y) = ( - y ) + ( - y ), ", yœo, 3 ενώ δύο σημείων = (,, ), y= ( y, y, y ) του χώρου o είναι d (, y) = ( - y ) + ( - y ) + ( - y ), ", yœo. Γενικότερα, η ευκλείδεια απόσταση δύο σημείων του χώρου o είναι = (,,, ), y= ( y, y,, y ) d (, y) = ( - y ) + + ( - y ), ", yœo. Όταν λέμε ο ευκλείδειος χώρος o εννοούμε ότι ο διανυσματικός χώρος o είναι εφοδιασμένος με την ευκλείδεια απόσταση d που ορίσαμε πιο πάνω. o, ορίζονται συνήθως και οι παρακάτω αποστάσεις (ή με- Στο χώρο τρικές): d(, y) = - y + - y y, { } d (, y) = ma -y, -y,, -y, για κάθε = (,,, ), y = ( y, y,, y ) του o. Για = και οι τρεις μετρικές d, d, d συμπίπτουν με τη μετρική d (, y) = - y, ", yœo.

15 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 9 Οι πραγματικοί αριθμοί o μ αυτήν τη μετρική λέγονται πραγματική ευθεία o. y y y y d (, y) y d (, y) d (, y) = y d (, y) = y O y y O y d (, y) = y + y Οι μετρικές ( ) d, d, d στο επίπεδο o = Γενικότερα, με τη βοήθεια της ανισότητας του Mikowski, αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση = (,,, ), Ê ˆ Æ d(, y) = i yi y ( y, y,, y ) ÁÂ - = Œo Ëi=, ορίζει μετρική στο o. Απ αυτήν τη μετρική, για =, = και Æ +, προκύπτουν οι προηγούμενες μετρικές d(, y), d(, y), d (, y) = lim d(, y). Æ+ (Ισχύει d (, y) d(, y) d (, y ) και πάρτε Æ+.) Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις d, d, d ικανοποιούν τα τρία αξιώματα της μετρικής. (Για την d και το αξίωμα [ M 3] χρησιμοποιείστε την ανισότητα του Mikowski, για = ). Όταν ο χώρος X είναι επί πλέον διανυσματικός χώρος στο σώμα K = o ή `, δηλαδή ισχύουν οι ιδιότητες

16 0 Κεφάλαιο ", y ŒX fi + yœx " λœ Κ, " ŒX fi λ ŒX + τότε η συνάρτηση : XÆ o = { Œo : 0} που ικανοποιεί τα τρία αξιώματα: [ N ] ( ) = 0 = O, O μηδενικό στοιχείο του X, [ N ] ( λ) = λ ( ), " λœ K, " Œ X (ομοθεσία), [ N 3] ( + y) ( ) + y ( ), ", yœx (ανισότητα κυρτότητας), λέγεται νορμική στο διανυσματικό χώρο X. Συνήθως γράφουμε ( ) =, " ŒX. Μια χρήσιμη διπλή ανισότητα της νορμικής είναι - y - y + y, ", yœ X και προκύπτει από τα αξιώματα [ N], [ N 3]. Στους πραγματικούς αριθμούς o ορίζεται η νορμική στο επίπεδο στο χώρο και στο χώρο Æ ( ) =, " Œo (απόλυτη τιμή), o ορίζεται η νορμική ( ), (, ) Æ = = + = Œo, 3 o ορίζεται η νορμική 3 ( ) 3, (,, 3) Æ = = + + = Œo o ορίζεται η νορμική (ευκλείδεια νορμική) Æ ( ) = = + + º +, = (,, º, ) Œo. Φυσική απόσταση (ή μετρική) Όταν ορίζεται μια νορμική σ ένα διανυσματικό χώρο X τότε απ αυτήν στο χώρο X παράγεται η φυσική απόσταση (ή μετρική) από τη σχέση d(, y) = - y, ", yœ X. Από μια νορμική προκύπτει πάντοτε μια μετρική στο διανυσματικό χώρο X, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε.

17 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων Από μία μετρική d σε διανυσματικό χώρο προκύπτει μια νορμική όταν αυτή ικανοποιεί τις παρακάτω δύο ιδιότητες: i) d( + z, y+ z) = d(, y ) (αμεταβλητότητα ως προς τη μεταφορά), ii) d( λ, λy) = λ d(, y ) (oμοθεσία ως προς αριθμητική παράμετρο). Πράγματι, τότε η συνάρτηση Æ d( O, ) =, " Œ X ορίζει μία νορμική, οπότε η μετρική d είναι φυσική απόσταση επειδή γράφεται d(, y) = d( -, y - ) = d( O, y- ) = d( O, - y) = - y για κάθε, yœ X. Στο χώρο o ορίζονται συνήθως και οι παρακάτω νορμικές για κάθε = (,,, ) Œo. Παρατηρούμε ότι από τις νορμικές = = ma,,, { } ( = ),,,, Œo,, προκύπτουν οι μετρικές που ορίσαμε προηγουμένως d(, y) = - y ( = ), d(, y), d(, y), d (, y), ", y Œo, οπότε αυτές είναι φυσικές αποστάσεις (μετρικές) στο o,. Γενικότερα, με τη βοήθεια της ανισότητας του Mikowski αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση È = (,,, ) Œo Æ =  i, ÍÎi = ορίζει μία νορμική στο o. Απ αυτήν τη νορμική, για =, = και Æ+, προκύπτουν οι προηγούμενες νορμικές,, = lim. Æ+

18 Κεφάλαιο (Ισχύει και πάρτε Æ+.) Παρατηρήσεις α) Μια μετρική d ορίζεται σε τυχαίο χώρο X και ο χώρος X μαζί με τη μετρική d λέγεται (τοπολογικός) μετρικός χώρος και σημειώνεται ( X, d ). Μια νορμική ορίζεται σε διανυσματικό χώρο X και ο διανυσματικός χώρος X μαζί με τη νορμική λέγεται νορμικός χώρος και σημειώνεται ( Χ, ). Επομένως, οι διανυσματικοί νορμικοί χώροι αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των μετρικών χώρων. β) Αν είναι ( Χ, d ) μετρικός χώρος και Yà X, τότε η συνάρτηση d : Y YÆ o, με d (, y) = d(, y), ", yœ Y Y + ορίζει μετρική στο Y που λέγεται επαγόμενη της d. Ο μετρικός χώρος ( Y, d Y ) λέγεται υποχώρος του ( X, d ). Y Προσοχή! Αν ( Χ, ) είναι νορμικός χώρος και Yà X τότε ορίζεται, όπως προηγουμένως, μετρικός χώρος στο Y με τη φυσική μετρική d(, y) = - y, ", yœ Y, αλλά για να ορισθεί νορμικός υποχώρος ( Y, ), πρέπει ο Y να είναι διανυσματικός υποχώρος του X. γ) Διακεκριμένος μετρικός χώρος Σε κάθε μη κενό σύνολο X μπορεί να ορισθεί η μετρική Ï0, αν = y, ", yœ X, d0(, y) =Ì Ó, αν π y, που λέγεται διακεκριμένη μετρική. Άρα, κάθε μη κενός χώρος X γίνεται μετρικός χώρος ( X, d 0) που λέγεται διακεκριμένος μετρικός χώρος. Όταν ο X είναι επιπλέον διανυσματικός χώρος (π.χ. X = o, ), τότε για το μετρικό χώρο ( X, d 0) ισχύει " π y και λœo, με λπ0, λπ±

19 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 3 d0( λ, λy) = π λ d(, y) = λ. Επομένως, η διακεκριμένη μετρική d 0 δεν είναι φυσική απόσταση, δηλαδή δεν προκύπτει από κάποια νορμική στο διανυσματικό χώρο X. Ψευδομετρική Σε σύνολο X με παραπάνω από ένα στοιχεία, η συνάρτηση d : X XÆ R = { ŒR: 0} που πληροί τα αξιώματα: [ M ] d (, ) = 0, " Œ X [ M ] d (, y) = d ( y, ), ", yœ X [ M 3] d (, z) d (, y) + d ( y, z), ", y, zœ X λέγεται ψευδομετρική στο X. + Η διαφορά από την έννοια της μετρικής είναι: η ψευδομετρική d μπορεί να μηδενίζεται σε δύο διαφορετικά σημεία, δηλαδή μπορεί να υπάρχουν σημεία π y, με d (, y ) = 0. Για παράδειγμα, αν έχουμε f : X Æo μια πραγματική συνάρτηση, τότε η απεικόνιση + d : X XÆo, όπου d (, y) = f( ) - f( y), ", yœx, ορίζει μια ψεδομετρική στο X, επειδή μπορεί να υπάρχουν σημεία 0, y0œ X, με 0 π y0, τέτοια ώστε f ( ) = f( y ), οπότε είναι d ( 0, y 0) = 0, με 0 π y Όταν όμως η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη, τότε η d ορίζει μετρική στο χώρο X. Επεκτεταμένη πραγματική ευθεία Θεωρούμε το επεκτεταμένο σύνολο o= o»{-, + } των πραγματικών αριθμών, όπου o είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η απεικόνιση d : o o Æ + o, όπου y ", yœ o, d(, y) = y

20 4 Κεφάλαιο ορίζει μια μετρική στο o. Πράγματι, η συνάρτηση f ( ) = +, Œo είναι αμφιμονότιμη (γνήσια αύξουσα) συνάρτηση του o επί του ανοικτού διαστήματος (-, + ). Παρατηρείστε ότι f ( ) = > 0, " 0 και ( + ) ενώ είναι lim f ( ) =, lim f ( ) =-. Æ+ Æ- f ( ) = > 0, " 0, (- ) [ M ] Θα δείξουμε ότι d(, y) = 0 = y. Έχουμε y d(, y) = 0 - = 0 ( + y) = y( + ) + + y και η τελευταία ισότητα ισχύει μόνον όταν οι, y είναι ομόσημοι ( y > 0). Άρα, έχουμε ( + y) = y( + ), αν > 0, y > 0 ( - y) = y( - ), αν < 0, y < 0 απ όπου προκύπτει η ισότητα = y. (Άρα, η f είναι αμφιμονότιμη). Το αντίστροφο είναι προφανές. [ M ] d(, y) = d( y, ), από την ιδιότητα της απόλυτης τιμής - α = α, αœo. [ M 3] d(, z) d(, y) + d( y, z), από την ιδιότητα α+ β α + β, α, βœo. Θα δείξουμε ότι η f είναι επί απεικόνιση, δηλαδή f ( o ) = (-, ). Προφανώς ισχύει f (0) = 0. Αν είναι Αν είναι y = f ( ) > 0 fi y =, 0 y, 0 + > fi = + > y y fi = =, y Œ(0,). -y - y y = f ( ) < 0 fi y =, 0 y, 0 + < fi = - <

21 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 5 y y fi = =, y Œ( -, 0). + y - y Επεκτείνουμε το σύνολο R σ ένα νέο σύνολο o συμπεριλαμβάνοντας στο R τα δύο νέα επ άπειρον σημεία - και +, δηλαδή o= o»{-, + }. Για να είναι και το νέο σύνολο o ολικά διατεταγμένο θέτουμε " Œo : - < <+. Επεκτείνουμε τη συνάρτηση f σε μια απεικόνιση του o επί του [-, + ], αν ορίσουμε τις τιμές της f στα επ άπειρον σημεία f (- ) = -, f ( + ) =, οπότε η f παραμένει μια γνήσια αύξουσα (αμφιμονότιμη) συνάρτηση του o επί του κλειστού διαστήματος [-, + ]. Άρα η μετρική d επεκτείνεται και στο o, με τιμές d( -, + ) =, d(, - ) = +, d(, + ) = που προκύπτουν ως όρια, όταν ( Æ-, Æ+ ), ( y Æ- ), ( y Æ+ ), αντίστοιχα, και σημειώνεται με d. Ο μετρικός χώρος ( o, d) λέγεται επεκτεταμένη πραγματική ευθεία o. Ο μετρικός χώρος ( o, d) δεν είναι η πραγματική ευθεία o, αλλά μετρικός χώρος τοπολογικά ισοδύναμος μ αυτήν (Κεφ., 4, Παράδειγμα, β) και Κεφ.,.4). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί της συνάρτησης f η αμφιμονότιμη (γνήσια αύξουσα) συνάρτηση g( ) =, Œo. + + Παρατηρείστε ότι η ευκλείδεια μετρική d(, y) = - y, ", y Œo δεν μπορεί να επεκταθεί στα επ άπειρον σημεία - και +. Π.χ. πόσο θα είναι η απόσταση d( -, + ), μ αυτήν τη μετρική;

22 6 Κεφάλαιο Παραδείγματα. Αν ( Χ, d ) είναι μετρικός χώρος, δείξτε ότι οι συναρτήσεις α) d (, ) mi{, (, )}, yœ X β) d(, y) d(, y) =, + d(, y), yœ X ορίζουν επίσης μετρικές στο χώρο Χ. Θα δείξουμε ότι επαληθεύονται τα τρία αξιώματα της μετρικής. α) [ Μ ] : Έχουμε d (, ) = 0 και d (, y) = 0 fi d(, y) = 0 fi = y. [ Μ ] : Είναι d(, y) = mi{(, d(, y)} = mi{, d( y, )} = d( y, ). [ Μ ]: Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ανισότητες 3 d (, ) mi{, (, )} () και d (, ) mi{, (, )} (, ) () για κάθε, zœ X. Επομένως, i) αν είναι d(, y) ή d( y, z ), λόγω της (), ισχύει η σχέση d (, z) d (, y) + d ( y, z), ii) αν είναι d(, y ) < και d( y, z< ), λόγω της (), ισχύει d (, z) d (, y) + d ( y, z), επειδή εδώ είναι d (, y) = d(, y), d ( y, z) = d( y, z) και d (, z) d(, z) d(, y) + d( y, z), ", y, zœ X. β) [ Μ], [ Μ ] : Ισχύουν επειδή d(, ) = 0 και d(, y) = d( y, ), ", yœ X, αφού η d είναι μετρική στο χώρο X. [ M ]: Έχουμε 3 d(, z) d(, y) + d( y, z) d(, z) =, ", y, zœx + d(, z) + d(, y) + d( y, z)

23 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 7 επειδή η συνάρτηση φ( ) =, 0 + (είναι φ (0) = 0, lim φ( ) = και φ ( ) = > 0 Æ+ ( + ) Προφανώς όμως ισχύει η ανισότητα είναι γνήσια αύξουσα στο [0, + ), " 0 ). d(, y) + d( y, z) d(, y) d( y, z) +, ", y, zœx + d(, y) + d( y, z) + d(, y) + d( y, z) πράγμα που αποδεικνύει το αξίωμα [ M 3] για τη μετρική d.. Επί του χώρου X έχουμε τις μετρικές d, d,, d. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις που ορίζονται από τις σχέσεις: α) D (, y) = ma{ d (, y),, d (, y)}, D (, y) = d (, y) + + d (, y), β) γ) 3(, ) [ (, ) (, )] D y = d y + + d y, για κάθε, yœ X, ορίζουν μετρικές στο X. α) [ M], [ M ] είναι προφανή. [ M 3] : Επειδή από κάθε πεπερασμένο πλήθος πραγματικών αριθμών μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέγιστο (και το ελάχιστο), έχουμε (m ένα από τα,,, ) D (, z ) = d (, z ) d (, y ) + d ( y, z ) m m m ma{ d (, y),, d (, y)} + ma{ d ( y, z),, d ( y, z )} D (, y) + D ( y, z). β) [ M], [ M ] είναι προφανή. [ M ]: Έχουμε 3 D (, z) = d (, z) [ d (, y) + d ( y, z)] m   i i i i= i=   i = d (, y) + d ( y, z) = D (, y) + D ( y, z ). i i= i=

24 8 Κεφάλαιο γ) [ M], [ M ] είναι προφανή [ M ]: Έχουμε 3 È È D3(, z) = Â di (, z) Â [ di(, y) + di( y, z) ] Í Í Îi= Îi= Â di (, y) Â di ( y, z) i= i= È È + = ÍÎ ÍÎ = D (, y) + D ( y, z) 3 3 σύμφωνα με την ανισότητα του Mikowski (για = ). Επειδή η ανισότητα του Mikowski ισχύει για και η γενικότερη συνάρτηση È D(, y) = Â ( di(, y) ), ÍÎi = ορίζει επίσης μετρική στο χώρο X. 3. Νορμικές σε χώρους ακολουθιών Θεωρούμε τους παρακάτω χώρους που τα στοιχεία τους (σημεία) είναι ακολουθίες ( ) πραγματικών αριθμών: i) l είναι το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών, με = (άρα είναι μηδενικές ακολουθίες), ii) l είναι το σύνολο όλων των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών, iii) l ( ) είναι το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών ( ) = Â <+. Â, με <+ Τα σύνολα c 0 των μηδενικών ακολουθιών, c των συγκλινουσών ακολουθιών l των φραγμένων ακολουθιών γίνονται όλα διανυσματικοί χώροι (γραμμικοί χώροι) με τις πράξεις της πρόσθε-

25 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 9 σης και του πολ/σμού με αριθμό: = ( ), y = ( y ), τότε + y = ( + y), λœo, = ( ), τότε λ = ( λ ), έχουμε ", yœx fi + yœ X, " λœ o, " ŒX fi λ ŒX όπου X είναι το c 0 ή το c ή το l. Το σύνολο l( ) είναι επίσης διανυσματικός χώρος, επειδή για λœo, = ( ), y= ( y ),, yœ l ισχύουν άρα P " Œ k, + y ( + y ) (ma{, y }) + yœ l και προφανώς λ Œ l. y ( + ) Ο c 0 είναι διανυσματικός υποχώρος του c και ο c είναι διανυσματικός υποχώρος του l. Επίσης, ο l( ) είναι διανυσματικός υποχώρος των c 0, c, l. Επομένως, σ όλους αυτούς τους διανυσματικούς χώρους l, c0, c, l μπορούν να ορισθούν νορμικές και απ αυτές να παραχθούν οι αντίστοιχες φυσικές μετρικές. Δείξτε ότι οι απεικονίσεις: + α) : l Æ o, όπου su{, Œk } = + È β) : l Æ o,, όπου =  ÍÎ = ορίζουν νορμικές στους αντίστοιχους διανυσματικούς χώρους. α) Επειδή οι ακολουθίες ( ) του l είναι φραγμένες το su των, Œk υπάρχει, άρα είναι καλά ορισμένη η νορμική. Οι ιδιότητες [ N ], [ N ] είναι προφανείς Για την [ N 3] παρατηρούμε ότι, για = ( ), y = ( y) Œ l, επειδή ισχύει

26 0 Κεφάλαιο προκύπτει ότι + y + y, " Œk y y y l. + +, ", Œ β) Η απεικόνιση, Œ l είναι καλά ορισμένη νορμική αφού συγκλίνει η σειρά (από τον ορισμό του l, ) =  <+. Τα αξιώματα [ N ], [ N ] είναι προφανή (βλέπε τις ιδιότητες των σειρών θετικών όρων) και για το [ N 3] χρησιμοποιούμε τη γενικευμένη ανισότητα του Mikowski (για σειρές) i i i i i= i= i= È È È α + β α + β, ÍÎ ÍÎ ÍÎ Â Â Â. Από τις παραπάνω νορμικές προκύπτουν οι αντίστοιχες φυσικές μετρικές: στο χώρο l και στο χώρο l. Για = προκύπτει η μετρική È d(, y) =  -y, ÍÎ = d (, y) = su{ -y, Œk } È (, ) =  -, Í=, Œ d y y y l Î και ο μετρικός χώρος ( l, d ) λέγεται χώρος του Ηilbert. 4. Να δειχθεί ότι, στο σύνολο S των πραγματικών ακολουθιών = ( ), Œo, η απεικόνιση - y d(, y) = Â, ", yœs = + -y ορίζει μετρική η οποία δεν προκύπτει από νορμική στο S.

27 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων Να δειχθεί επίσης ότι su{ d(, y),, yœ S} =. Επειδή ισχύει και η σειρά - y, " Œk + -y  = συγκλίνει (γεωμετρική σειρά), σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης του Weierstrass και η δοσμένη σειρά συγκλίνει. Άρα, η μετρική d(, y ) είναι καλά ορισμένη. Τα αξιώματα [ M], [ M ] είναι προφανή. Το [ M 3] προκύπτει από την ανισότητα (βλέπε Παρ., β)) -z - y + y-z = + - z + - y + y -z -y y-z = y + y - z + - y + y -z -y y-z +, " Œk + - y + y -z απ όπου παίρνουμε (από τις ιδιότητες των συγκλινουσών σειρών) -z -y y-z   +  = + - z = + - y = + y-z δηλαδή d(, z) d(, y) + d( y, z), ", y, zœ S. Αν θεωρήσουμε τις δύο ακολουθίες = ( ), y = ( y ), όπου είναι =, y = 0, " Œk και λ = τότε έχουμε d(, y) =  =, = ενώ -0 4 d(, y) =  =, = οπότε d(, y) π d(, y). Άρα, η μετρική αυτή δεν είναι φυσική μετρική, δηλαδή δεν προκύπτει από νορμική στο σύνολο S.

28 Κεφάλαιο Έχουμε την προφανή ανισότητα d(, y) Â,, = " yœs = οπότε είναι su{ d(, y),, yœ S}. Αλλά για κάθε ε > 0, υπάρχει α - και υπάρχουν, y ŒS τέτοια ώστε ε - y = α, " Œk οπότε - y α d(, y ) =  = + - y + α. Από την ανισότητα = α - προκύπτει ότι ε α - ε = d(, y ), + α οπότε είναι (από τον ορισμό του suremum) su{ d(, y),, yœ S} =. 5. Νορμικές σε χώρους συναρτήσεων α) Θεωρούμε το σύνολο X = C([ α, β]) όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο [ αβ., ] + Δείξτε ότι οι απεικονίσεις από το Χ στο o : i) f = su{ f( ), Œ[ αβ, ]}, fœ X ii) β f = È ( ),, f d Í f Œ ÎÚ X α ορίζουν νορμικές στο χώρο X = C([ α, β]). β) Θεωρούμε το σύνολο Y = C ([ α, β]) όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων, με συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα [ αβ., ] + Δείξτε ότι η απεικόνιση από το Y στο o. ορίζει νορμική στο χώρο g = su{ g( ), Œ [ αβ, ]} + su{ g ( ), Œ[ αβ, ]} Y = C ([ α, β]).

29 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 3 (Δείξτε ότι οι χώροι X, Y είναι διανυσματικοί χώροι.) Επειδή το διάστημα [ αβ], είναι κλειστό και φραγμένο (συμπαγές) και οι συναρτήσεις f, g, g συνεχείς στο [ αβ, ] όλες οι παραπάνω νορμικές είναι καλά ορισμένες. Πράγματι, όλα τα suremum υπάρχουν και ορίζονται τα ολοκληρώματα στο διάστημα [ αβ., ] α) Θα δείξουμε ότι ικανοποιούνται τα τρία αξιώματα. [ Ν ] O = 0, όπου O : [ αβ, ] Æ {0}, ενώ f = 0 fi f( ) = 0, " Œ [ αβ, ] οπότε f = O με το μηδενικό στοιχείο του διανυσματικού χώρου X = C([ α, β]). [ Ν]: λf = su{ λf ( ), Œ [ αβ, ]} = su{ λf ( ), Œ [ αβ, ]} = = λ su{ f ( ), Œ [ αβ, ]} = λ f, λœo, fœχ. [ Ν ]: f f 3 + = f + f Œ αβ = f 0 + f 0 su{ ( ) ( ), [, ]} ( ) ( ) για κάποιο 0 Œ [ αβ, ]] (Θεώρημα Weierstrass), επειδή η συνάρτηση f+ f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Άρα, έχουμε f + f = f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f είναι συνεχείς στο [ αβ,, ] οπότε είναι ολοκληρώσι- ii) Οι συναρτήσεις μες στο [ αβ., ] su{ f ( ), Œ [ αβ, ]} + su{ f( ), Œ [ αβ, ]} = f + f. [ Ν ]: O = 0 και f = 0 fi Ú f( ) d = 0. Αν η F( ), Œ [ αβ, ] είναι αρχική της και επειδή ισχύει t α Ú β α f θα έχουμε f ( ) d = Ft ( ) - Fα ( ), " t Œ [ αβ, ] t t β β α α t α t Ú Ú Ú Ú, 0 f ( ) d f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d = 0, tœ[ α, β] προκύπτει Ú f ( ) d = 0, tœ [ α, β ] fi F ( t ) = F ( α ), " tœ [ α, β ]. α

30 4 Κεφάλαιο Άρα, η F είναι σταθερή στο [ αβ,, ] oπότε η f είναι ταυτοτικά ίση με μηδέν στο [ αβ,, ] δηλαδή f = O το μηδενικό στοιχείο του διανυσματικού χώρου X. [ N ] : Είναι προφανής. [ N ] : Χρησιμοποιούμε τη γενικευμένη ανισότητα του Mikowski για τα ολοκληρώματα: αν οι συναρτήσεις f, f ανήκουν στο χώρο C([ α, β ]) και είναι, τότε ισχύει η ανισότητα β β β α α α È f ( ) f ( ) d È f ( ) d È f ( ) d Í + Í + Í, Î Î Î Ú Ú Ú. To [ N 3] είναι λοιπόν άμεση συνέπεια αυτής της ανισότητας Ειδικά, για = προκύπτει η νορμική στο C([ α, β ]) f β = Ú f ( ) d. α y f y f d d = εμβαδόν α O β α O β f f d (f, f ) = su{ f () f (), [α, β]} (μέγιστη απόσταση μεταξύ των καμπύλων) d (f, f ) = α β f () f () d (εμβαδόν μεταξύ των καμπύλων) Απ αυτές τις νορμικές προκύπτουν οι φυσικές μετρικές στο χώρο X = C([ α, β]) : { } d ( f, f ) su f ( ) f ( ), [ αβ, ] " f, f Œ Χ, = - Œ, È β Í α d( f, f ) = f ( ) - f ( ) d, ÎÚ, " f, fœ Χ.

31 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 5 β) Τα [ N], [ N ] αποδεικνύονται ανάλογα όπως στην περίπτωση α), i). [ N ]: Σύμφωνα με το Θεώρημα του Weierstrass έχουμε 3 g + g = g ( ) + g ( ) + g ( ) + g ( ) 0 0 g ( ) + g ( ) + g ( ) + g ( ) 0 0 ( g( 0) g ( ) ) ( g( 0) g ( ) ) = g + g. Από τη νορμική αυτή προκύπτει η φυσική μετρική " g, g Œ Y = C ([ α, β]). dg (, g) = su{ g( ) -g ( ), Œ [ αβ, ]} + su{ g ( ) -g ( ), Œ[ αβ, ]} 6. Συμβολίζουμε με l το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών = ( ) για τις οποίες η σειρά Â συγκλίνει. Δείξτε ότι ο χώρος l είναι διανυσματικός = (γραμμικός) και ότι η απεικόνιση Ï Ô Ô Œl Æ = su ÌÂi, Œk ÔÓ i= Ô ορίζει νορμική στο χώρο l. Αν έχουμε τις πραγματικές ακολουθίες = ( ), y= ( y ),, yœo, με τις πράξεις + y = ( + y) και λ = ( λ ), για, yœ l και λœo ο χώρος l γίνεται διανυσματικός. Πράγματι, αν οι σειρές Â, =  y = συγκλίνουν, τότε επειδή ισχύει + y + y, " Œk και η σειρά Â ( + y) συγκλίνει, άρα είναι + yœ l. =

32 6 Κεφάλαιο Προφανώς, λ Œ l επειδή η σειρά Η σειρά Âλ = λâ συγκλίνει επίσης. = =  συγκλίνει σημαίνει ότι συγκλίνει η ακολουθία των μερικών = αθροισμάτων ( S ), όπου S = + + +, με lim S Æ+ = α και η ακολουθία των απολύτων τιμών ( S ) συγκλίνει (ισχύει S - α S- α, " Œk), οπότε έχουμε lim Æ+ S + = α Œo, όπου S = + + +, Œk. Επομένως, η ακολουθία ( S ) είναι φραγμένη, οπότε υπάρχει το Ï Ô Ô su{ S, Œ k} = su ÌÂi, Œk ÔÓ i= Ô και ανήκει στο o + = { Œ o : 0}, άρα η νορμική είναι καλά ορισμένη. Θα δείξουμε ότι ικανοποιούνται τα τρία αξιώματα της νορμικής. [ N ]: O = 0, όπου O = (0, 0, º, 0, º ) και άρα Ï Ô Ô = 0 fi su ÌÂi, Œ k = 0 ÔÓ i= Ô Â i= i = 0, " Œk και επαγωγικά προκύπτει = 0, " Œk, οπότε = O. [ N ] : Eίναι προφανής. [ N ]: Έχουμε 3 Ï 0 Ô Ô + y = su ÌÂ( i + yi), Œ k < Â( i + yi) + ε, ε> 0 ÔÓ i= Ô i= επειδή, σύμφωνα με τον ορισμό του suremum: " ε > 0, υπάρχει 0 Œk τέτοιο ώστε να ισχύει + y - ε <  ( i + yi). 0 i=

33 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 7 Επομένως, ισχύουν οι ανισότητες    + y < ( + y ) + ε= + y + ε i i i i i= i= i= 0 0   + y + ε i i= i= i Ï Ô Ô ÏÔ Ô su Ì Â i, Œ k + su ÌÂyi, Œ k + ε ÔÓ i= Ô ÔÓ i= Ô fi + y < + y + ε, " ε> 0 όπου το 0 εξαρτάται κάθε φορά από την επιλογή του ε > 0. Άρα, θεωρώντας το ε Æ 0, προκύπτει η τριγωνική ανισότητα + y + y, ", yœ l. Ανοικτά και κλειστά σύνολα Θεωρούμε το μετρικό χώρο ( X, d ), όπου X π και d μία μετρική στο χώρο X. Ανοικτή σφαιρική περιοχή κέντρου αœ Χ και ακτίνας ε > 0 είναι το σύνολο των σημείων του Χ που έχουν απόσταση από το σημείο α μικρότερη του ε > 0. Σημειώνεται Βαε (, ) = { Œ X, d( α, ) < ε}. Κλειστή σφαιρική περιοχή κέντρου αœ Χ και ακτίνας ε > 0 είναι το σύνολο των σημείων του Χ που έχουν απόσταση από το σημείο α μικρότερη ή ίση του ε > 0. Σημειώνεται Βαε (, ) = { Œ X, d( α, ) ε }. Σφαιρική επιφάνεια κέντρου αœ Χ και ακτίνας ε > 0 είναι το σύνολο των σημείων Χ που έχουν απόσταση από το σημείο α ίση με ε > 0. Σημειώνεται Sαε (, ) = { Œ X, d( α, ) = ε}. Παρατήρηση Γενικά, οι σφαιρικές περιοχές και οι σφαιρικές επιφάνειες σε τυχαίο μετρικό χώρο ( X, d ) δεν έχουν τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντίστοιχων σφαιρικών περιοχών και σφαιρικών επιφανειών των Ευκλείδειων χώρων.

34 8 Κεφάλαιο Ο όρος «σφαιρικές» προέκυψε από τον ευκλείδειο χώρο ( o, d), όπου οι σφαιρικές περιοχές είναι σφαίρες. Για τις σφαιρικές επιφάνειες, γενικά, δεν μπορούμε να πούμε ότι δεν είναι κενό σύνολο ούτε ότι δύο σφαιρικές επιφάνειες διαφορετικών κέντρων δεν είναι δυνατό να συμπίπτουν σε τυχαίο μετρικό χώρο (όχι νορμικό χώρο). Παραδείγματα 3. Αν ( X, d 0) είναι ο διακεκριμένος μετρικός χώρος ( ) με τη μετρική d 0 (, y ) = 0, αν = y και d(, y ) =, αν τότε, για 0< ε < και αœ Χ, έχουμε τις σφαιρικές περιοχές π y Βα (, ε) = { Œ X, d( α, ) < ε} = { Œ X, d( α, ) = 0} = { α}, Bαε (, ) = { Œ X, d( α, ) ε} = { Œ X, d( α, ) = 0} = { α}, ενώ Sαε (, ) = { Œ X, d( α, ) = ε} =, και Sα (,) = { Œ X: d( α, ) = } = X- { α}, και για ε > και αœ Χ, έχουμε τις σφαιρικές περιοχές Βα (, ε) = { Œ X, d( α, ) < ε} = { Œ X, d( α, ) = 0 ή dα (, ) = } = X, ενώ Βαε (, ) = { Œ X, d( α, ) ε} = { Œ X, d( α, ) = 0 ή dα (, ) = } = X, για ε και Sαε (, ) = { Œ X, d( α, ) = ε} =, για ε >.. Θεωρούμε στο επίπεδο o τους ευκλείδειους μετρικούς χώρους ( ) ( o, d ), ( o, d ), ( o, ). Αν είναι α= ( α, α) Œo και ο αριθμός ε > 0, να σχεδιασθούν οι σφαιρικές περιοχές και οι σφαιρικές επιφάνειες στους παραπάνω ευκλείδειους χώρους. Έχουμε λοιπόν τις ανοικτές σφαιρικές περιοχές d d o d (, ) = { Œ o : (, ) = < } d o Β ( α, ε) = { Œ : d ( α, ) = ( - α ) + ( - α ) < ε} Β α ε d α α α ε Β ( α, ε) = { Œ : d ( α, ) = ma{ -α, - α } < ε} οι οποίες παριστούν γεωμετρικά κύκλους, ρόμβους και τετράγωνα, αντίστοιχα.

35 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 9 y α y y α +ε α +ε ε ε ε α α α ε α ε ε O α O α ε α α +ε O α ε α α +ε B d (α, ε): ( α ) + ( α ) < ε Κύκλος (εσωτερικό) B d (α, ε): α + α < ε Ρόμβος (εσωτερικό) B d (α, ε): α < ε, α < ε Τετράγωνο (εσωτερικό) Ανάλογα, σχεδιάζονται οι κλειστές σφαιρικές περιοχές Βd (, ) α : κύκλος, Bd (, ): α ε ρόμβος, Bd ( α, ε): Οι αντίστοιχες σφαιρικές επιφάνειες είναι τετράγωνο. d και γεωμετρικά είναι S ( α, ε) = { Œ o : d ( α, ) = ( - α ) + ( - α ) = ε}, S ( α, ε) = { Œ o : d ( α, ) = - α + - α = ε}, d { o } S ( α, ε) = Œ : d ( α, ) = ma{ -α, - α } = ε d Sd (, ): α ε περιφέρεια κύκλου, Sd (, ): α περίμετρος ρόμβου και S ( α, ): περίμετρος τετραγώνου. d 3. Θεωρούμε το μετρικό χώρο ( X, d ), όπου X = C([ α, β]) το σύνολο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων στο [ αβ,, ] και τη μετρική d στο Χ d( f, g) = ma{ f( ) -g( ), Œ [ αβ, ]}, " f, gœ X. Αν f 0 Œ X και ε > 0, να ορισθούν η ανοικτή Β( f0, ε ) και η κλειστή Β( f0, ε ) σφαιρική περιοχή, και η σφαιρική επιφάνεια S( f0, ε ). Έχουμε Β( f, ε) = { f ŒX: ma{ f ( ) - f ( ), Œ [ αβ, ]} < ε} = 0 0 = { f Œ X: " Œ[ αβ, ], f( ) - ε< f( ) < f ( ) + ε}, 0 0

36 30 Κεφάλαιο οπότε η ανοικτή σφαιρική περιοχή περιέχει τις συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις f στο [ αβ,, ] των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περιέχονται ανάμεσα στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y= f0( ) - ε, y= f0( ) + ε, Œ [ αβ, ] με τις οποίες δεν έχουν κοινά σημεία. Η κλειστή σφαιρική περιοχή B( f0, ε ) αναλύεται ανάλογα και περιέχει τις συναρτήσεις f Œ X των οποίων οι γραφικές παραστάσεις μπορούν να έχουν κοινά σημεία με τις συναρτήσεις y= f ( ) - ε, y= f ( ) + ε, Œ [ αβ, ] 0 0 Η σφαιρική επιφάνεια S( f0, ε) = { f Œ X, d( f0, f) = ε} αποτελείται από τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων f 0 ( ) - ε, f 0 ( ) + ε, Œ [ αβ, ]. y f 0 f f 0 +ε α O f 0 ε β Περιοχές B(f 0,ε), B (f 0, ε) Επιφάνεια S(f 0, ε) Αν έχουμε ( Χ, ) ένα νορμικό χώρο (οπότε το σύνολο Χ είναι διανυσματικός χώρος) τότε οι σφαιρικές περιοχές και οι σφαιρικές επιφάνειες ορίζονται όπως προηγουμένως, με τη φυσική μετρική d(, y) = - y, ", yœ X. Στους νορμικούς χώρους οι σφαιρικές περιοχές και επιφάνειες έχουν κάποιες επιπλέον ιδιότητες (που δεν ισχύουν σε τυχαίους μετρικούς χώρους). α) Οι ανοικτές και κλειστές σφαιρικές περιοχές είναι άπειρα σύνολα, ενώ οι σφαιρικές επιφάνειες δεν είναι κενά σύνολα (περιέχουν τουλάχιστον δύο σημεία).

37 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 3 Αν πάρουμε αβ, Œ Χ τότε έχουμε τα σημεία της ευθείας = α+ t( β-α), tœo που περνάει από τα σημεία α (για t = 0 ) και β (για t = ). Άρα, έχουμε - α= t( β-α) fi - α = t β- α, οπότε για το ε > 0 προκύπτει ε ε - α ε - t β-α β-α. Επομένως, γι αυτά τα άπειρα t τ αντίστοιχα άπειρα σημεία της ευθείας βρίσκονται μέσα στην κλειστή σφαιρική περιοχή Bα (, ε ). Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει για την ανοικτή σφαιρική περιοχή Βα (, ε ), ενώ για τη σφαιρική επιφάνεια Sα (, ε ) παρατηρούμε ότι περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία, για t= ( ± ε β- α ). / Σημείωση Αυτήν την ιδιότητα μπορεί να την έχουν και μετρικοί χώροι. Για παράδειγμα ο μετρικός χώρος ( o, d), όπου d (, y ) = mi{, d (, y )}, και d(, y) = - y, ", y Œo, έχει αυτήν την ιδιότητα, επειδή για 0< ε και αœo ισχύει Β ( α, ε) = { Œ o: d ( α, ) < ε} = { Œo : α - < ε} = Β ( α, ε), d Β ( α, ε) = { Œ o: d ( α, ) ε} = { Œo : α - ε} = Β ( α, ε). d Αλλ όμως οι σφαιρικές περιοχές Βd ( α, ε ), Bd ( α, ε ) είναι του νορμικού χώρου ( o, ) (πραγματική ευθεία), οπότε είναι άπειρα σύνολα. Προφανώς, για ε > οι σφαιρικές περιοχές περιέχουν τις προηγούμενες σφαιρικές περιοχές με 0< ε, οπότε είναι επίσης άπειρα σύνολα. Οι σφαιρικές επιφάνειες Sαε (, ) στο μετρικό χώρο ( o, d), για 0< ε περιέχουν τουλάχιστον δύο σημεία, αλλά για ε > είναι κενά σύνολα. Η μετρική d δεν είναι φυσική μετρική, δηλαδή δεν προκύπτει από μία νορμική στο o, επειδή για λ > και =, y = 0, Œk έχουμε d ( λ, λ 0) = d( λ, 0) = mi{, λ} = π λ= λd(, 0). d d

38 3 Κεφάλαιο β) Σε νορμικό χώρο οι ανοικτές Bα (, ε ) και οι κλειστές Βαε (, ) σφαιρικές περιοχές, όπου, ε > 0 είναι κυρτά σύνολα. Ένα σύνολο A νορμικού χώρου ( Χ, ) λέγεται κυρτό, αν για κάθε ζεύγος σημείων και y του A το ευθύγραμμο τμήμα [, y] = + t( y- ) = (- t) + ty, t Œ [0,] περιέχεται ολόκληρο στο σύνολο A. Θεωρούμε λοιπόν δύο σημεία, yœ B( α, ε) και τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος [, y]: z= + t( y- ) = (- t) + ty, t Œ [0,]. Είναι z- α = (- t) + ty - α = (-t) - α+ tα- tα+ ty = = (-t)( - α) + t( y- α) (-t) - α + t y- α < ( - t) ε+ tε= ε, tœ [0, ], οπότε zœ B( α, ε), δηλαδή το Βα (, ε ) είναι κυρτό σύνολο. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και η κλειστή σφαιρική περιοχή Βαε (, ) είναι κυρτό σύνολο. γ) Για κάθε σφαιρική περιοχή Β( O, ε ) της αρχής O και κάθε λœo, λ π 0, υπάρχει σφαιρική περιοχή Β( O, ε) à λβ( O, ε), αρκεί να είναι ε < λε. Αν αœ Χ, κάθε περιοχή Βαε (, ) = α+ Β( O, ε), ε> 0. Παράδειγμα 4 Σε νορμικό χώρο ( Χ, ) θεωρούμε δύο σημεία, yœ X, με π y. Δείξτε ότι, για δύο σφαιρικές περιοχές B(, ε ), Byε (, ) τέτοιες ώστε - y < ε+ ε, ισχύει B(, ε) «B(, ε) π. Αυτό ισχύει σε οποιονδήποτε μετρικό χώρο; Στο νορμικό χώρο ( X, ) τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος [, y ] δίνονται από τη σχέση (για t = 0 είναι z= y και για t = είναι z = ): z= t + ( -t) y, tœ [0, ]. ()

39 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 33 Έχουμε - y < ε+ ε και θα δείξουμε πως υπάρχει σημείο z τέτοιο ώστε z - < ε και z- y < ε. () Οι σχέσεις () λόγω της () γίνονται ( ) -t - y < ε και t y ε - < (3) και αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει t0 Œ [0, ] για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις (3). ε Πράγματι, υπάρχει το t0 = [0, ] ε ε Œ για το οποίο ισχύουν οι (3), επειδή + είναι Ê ε ˆ ε Á - - < - < - < + Ë ε ε ε ε y ε y ε y ε ε + + και ε - y < ε - y < ε+ ε, ε+ ε αλλά η ανισότητα - y < ε+ ε δίνεται από την υπόθεση. Τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος [, y ] μπορούμε να τα γράψουμε και z = + t( y- ), t Œ [0, ], οπότε θα υπάρχει το ε t0 = [0, ] ε ε Œ. + Αυτό το αποτέλεσμα δεν ισχύει σε οποιονδήποτε μετρικό χώρο. Π.χ. στο διακεκριμένο μετρικό χώρο ( Χ, d 0), αν πάρουμε 3 ε =, ε = και, 3 yœ X, με π y, θα έχουμε 4 d0(, y) = < ε+ ε = 3 και επειδή είναι B(, ε) Β Ê ˆ = Á, = { zœ X, d0(, z) = 0} = { }, Ë 3 Byε (, ) Β Ê ˆ = Áy, = { zœ X, d0( yz, ) = 0} = { y} Ë 3 προκύπτει B(, ε) «Β( y, ε) =, με d0(, y) < ε+ ε.

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα. Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα. Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα ISBN 978-960-456-322-7 Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικός Υπεύθυνος: Πολυχρόνης Στράντζαλος

Επιστημονικός Υπεύθυνος: Πολυχρόνης Στράντζαλος Τόμος 2 ος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος της έκδοσης, σελ. 3 Πρόλογος του τόμου, σελ. 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ: ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΠΛΑΙΣΙΟ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Π. Στράντζαλος: Τι είναι, επιτέλους τα Μαθηματικά; -. Τα Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1 2 Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα