Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη"

Transcript

1

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το 969. Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 979 και από το 97 μέχρι σήμερα εργάζεται σ αυτό. ISBN Coyright 009 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσεις ZHTH Διορθωμένη ανατύπωση /00 Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fa: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fa BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fa: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 4 7, Aθήνα Tηλ.-Fa: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 «Μίζερη των θνητών γενιά, που έβαλες τέτοιους θεούς στο κεφάλι σου και ρήμαξες την ίδια τη ζωή σου» ΛΟΥΚΡΗΤΙΟΣ (98-55 π.χ.) Ρωμαίος Ποιητής - Επικούρειος

4 Αφιερώνεται στη μνήμη του θείου μου Βασίλη Σ. Παπαδόπουλου

5 Πρόλογος Η Μαθηματική Ανάλυση στην ανάπτυξη των διαφόρων κλάδων της (Λογισμοί, Διαφορικές Εξισώσεις, Μιγαδική και Πραγματική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση) γίνεται πολύπλοκη και παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Γι αυτό είναι ανάγκη να διατυπωθούν οι θεμελιώδεις αρχές πάνω στις οποίες βασίζεται η Μαθηματική Ανάλυση, κι αυτό κάνει η Τοπολογία. Οι βασικές αρχές της Τοπολογίας, και ειδικά των μετρικών χώρων, είναι απαραίτητες για τη μελέτη πολλών επιστημονικών κλάδων. Το βιβλίο αυτό αναφέρεται στους μετρικούς τοπολογικούς χώρους και νορμικούς τοπολογικούς χώρους. Η ανάπτυξη των εννοιών γίνεται αναλυτικά και με μαθηματική αυστηρότητα, χωρίς όμως αυτό να δυσκολεύει την κατανόηση του κειμένου. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η τοπολογία μετρικών (νορμικών) χώρων και οι βασικές έννοιές της. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι έννοιες της σύγκλισης και της συνέχειας, καθώς και οι έννοιες της ακολουθίας Cauchy και του πλήρους χώρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται οι συμπαγείς χώροι και οι ιδιότητές τους και στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι συναφείς χώροι και οι ιδιότητές τους. Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται αρκετά παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών του και ασκήσεις. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παραθέτουμε τα λυμένα προβλήματα που αναφέρονται σ όλη την ύλη των προηγούμενων κεφαλαίων. Θεσσαλονίκη, 009 ΘΩΜΑΣ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

6 Περιεχόμενα Εισαγωγή... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ. Μετρικοί χώροι Νορμικοί χώροι Ανοικτά και κλειστά σύνολα Φραγμένα σύνολα Είδη σημείων συνόλου Τοπολογίες Τοπολογικά ισοδύναμες μετρικές Τοπολογικοί υποχώροι και γινόμενα 5. Τοπολογικοί υποχώροι Τοπολογικά γινόμενα Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΛΗΡΕΙΣ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Ακολουθίες Συνέχεια. Ακολουθίες Συνέχεια Τοπολογικοί ισομορφισμοί. Ισομετρία Ανοικτές και κλειστές απεικονίσεις Τοπολογικός ισομορφισμός (ομοιομορφισμός) Τοπολογικά ισοδύναμες μετρικές....5 Τοπολογικές ιδιότητες Ακολουθίες Cauchy Πλήρεις χώροι 3. Ακολουθίες Cauchy Πλήρεις χώροι... 3

7 viii Τοπολογία Μετρικών Χώρων 4. Βασικά θεωρήματα σε πλήρεις χώρους Ασκήσεις...53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Ολικά φραγμένα σύνολα...6. Συμπαγείς μετρικοί χώροι Συμπαγοποίηση Ασκήσεις...94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Συναφείς μετρικοί χώροι...0. Συναφή σύνολα σε ευκλείδειους χώρους o Τοπικά συναφείς χώροι...5. Συναφείς συνιστώσες...7. Ολικά μη συναφείς χώροι Συνάφεια με δρόμους Ομοτοπίες Ασκήσεις...37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Λυμένα Προβλήματα...43 Γενικές Ασκήσεις...30 Απαντήσεις των Ασκήσεων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Σύνολα Πράξεις των συνόλων Πραγματικοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα...36

8 Περιεχόμενα i 4. Διανυσματικοί χώροι Ανισότητες Οικογένειες Αξίωμα της επιλογής Βιβλιογραφία Ευρετήριο όρων... 34

9 Βιβλία του συγγραφέα ΘΩΜΑ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ Α. Διακριτά Μαθηματικά. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, (σελ. 55, 00).. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα), (σελ. 64, 00). Β. Διαφορικές Εξισώσεις. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Πρώτος, (σελ. 480, 987).. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, Tόμος Δεύτερος, (σελ. 400, 988). 3. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Tρίτος, (σελ. 478, 99), (Ποιοτική Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (σελ. 560, 998). 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 5, 007). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα), (σελ. 8, 993). 7. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (σελ. 30, 994). 8. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (σελ. 384, 009). Γ. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (Τεύχος Πρώτο, σελ. 640, 00 Τεύχος Δεύτερο, σελ. 3, 00).. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (σελ. 64, 005). 3. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, (σελ. 40, 007). Δ. Σειρά Μαθηματικών. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Πρώτος, (σελ. 68, 005). (Άλγεβρα, Αναλυτική Γεωμετρία, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός). ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Δεύτερος, (σελ. 66, 006). (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών) 3. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Τρίτος, (σελ. 504, 005). (Διανυσματική Ανάλυση, Σειρές Fourier, Μιγαδικές Συναρτήσεις, Διαφορικές Εξισώσεις, Εξισώσεις Διαφορών) Ε. Τοπολογία. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ (Ασκήσεις), (σελ. 400, 977).. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ (σελ. 336, 009).

10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Μαθηματική Ανάλυση καταλαμβάνει μεγάλη έκταση στο χώρο της Μαθηματικής Επιστήμης με πολλούς ειδικούς κλάδους, και κατά την ανάπτυξή της γίνεται όλο και πιο περίπλοκη, με τη χρήση πολλών ορισμών και θεωρημάτων. Για να αμβλυνθούν αυτές οι δυσχέρειες έγινε προσπάθεια να αποκαλυφθούν οι θεμελιώδεις αρχές πάνω στις οποίες βασίζεται η Μαθηματική Ανάλυση. Αυτό συνετέλεσε στη δημιουργία και στην ανάπτυξη της Τοπολογίας ως βασικού εισαγωγικού κλάδου της, πάνω στην οποία στηρίχθηκαν πολλές αποδείξεις των θεωρημάτων της. Κατορθώθηκε έτσι να δοθούν απλούστερες αποδείξεις και βαθύτερες ερμηνείες τους, καθώς τα θεωρήματα διατυπώνονταν σε γενικότερες μορφές. Ειδικότερα, δόθηκε μεγαλύτερη ανάλυση του χώρου των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών, που αποτελούν τον πυρήνα της Μαθηματικής Ανάλυσης, η οποία βασικά ενδιαφέρεται για την έννοια του ορίου και της συνέχειας. Ιστορικά οι έννοιες αυτές τέθηκαν από του αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς στην προσπάθειά τους να ορίσουν την έννοια του αριθμού. Τον 9 ο αιώνα οι Cauchy, Abel και Riema έθεσαν αναλυτικά τις έννοιες της σύγκλισης ακολουθίας και σειράς, του χώρου πολλών διαστάσεων και του χώρου των συναρτήσεων. Η βαθειά γνώση της πραγματικής ευθείας (τομές Dedekid), των πραγματικών συναρτήσεων (Riema, Weierstrass), βοήθησαν ώστε η μαθηματική γλώσσα να γίνει ακριβής και γενική (Cator). Η μελέτη των γραμμικών συναρτήσεων συνετέλεσε στη δημιουργία της Συναρτησιακής Ανάλυσης (Ascoli, Hilbert). Οι μετρικοί χώροι διευκολύνουν τη μελέτη της ομοιόμορφης συνέχειας και της ομοιόμορφης σύγκλισης, καθώς και τις έννοιες του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης. Πράγματι, το όριο και η συνέχεια συνάρτησης, αντίστοιχα, lim f ( ), Æ 0 lim f ( ) = f( ) Æ προϋποθέτουν ότι οι τιμές πλησιάζουν την τιμή 0 και οι τιμές f ( ) πλησιάζουν κάποιον αριθμό ή τον f ( 0), αντίστοιχα. 0 0

11 Τοπολογία Μετρικών Χώρων Αλλ όμως η φράση «πλησιάζω κάτι» εμπεριέχει την έννοια της απόστασης και συνήθως θεωρούμε ως τέτοια την ευκλείδεια απόσταση (π.χ. στην πραγματική ευθεία είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών). Εξαρτάται λοιπόν το όριο και η συνέχεια από την απόσταση που χρησιμοποιούμε στο χώρο; Ναι, όταν οι αποστάσεις δεν είναι τοπολογικά ισοδύναμες. Βέβαια, οι έννοιες «σύγκλιση ακολουθίας», «συνέχεια συνάρτησης», γενικεύονται σε τοπολογικούς χώρους (που δεν είναι μετρικοί χώροι), με τη χρησιμοποίηση των «ανοικτών συνόλων» και των «ανοικτών περιοχών ενός σημείου», αντί των «ανοικτών σφαιρικών περιοχών» των μετρικών χώρων. Υπάρχουν όμως αποτελέσματα που δεν ισχύουν, π.χ. η μοναδικότητα του ορίου συγκλίνουσας ακολουθίας, το οριακό σημείο ακολουθίας ως όριο υπακολουθίας της και η συνέχεια συνάρτησης σε σημείο με τη χρήση ακολουθιών. Ακόμη οι έννοιες «ομοιόμορφη συνέχεια», «πλήρης μετρικός χώρος», επειδή εξαρτώνται από τη μετρική, δεν μπορούν να γενικευθούν σε τοπολογικούς χώρους (που δεν είναι μετρικοί χώροι). Βέβαια, με την αντικατάσταση της ακολουθίας με την έννοια του φίλτρου και του δικτύου, και την κατάλληλη ανάπτυξη θεωρίας ειδικών χώρων (π.χ. οι ο- μοιόμορφοι χώροι), είναι δυνατή η γενίκευση της ομοιόμορφης συνέχειας και της πληρότητας. Σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών (όπως π.χ. η Γεωμετρία) είναι χρήσιμο να ορίζεται μια κατάλληλη μετρική (απόσταση) η οποία να εκφράζεται σε στοιχεία αφηρημένων χώρων. Ο σκοπός του βιβλίου είναι μια βασική ανάπτυξη των τοπολογικών μετρικών χώρων, η οποία βοηθάει και στη μελέτη των τοπολογικών δομών, γενικότερα. Βασικό κεφάλαιο είναι το πρώτο, γι αυτό η πλήρης γνώση των εννοιών του είναι απαραίτητη για τα επόμενα κεφάλαια. Υπάρχουν πολλά αξιόλογα βιβλία Τοπολογίας, αλλά εδώ θ αναφερθώ σ αυτά της βιβλιογραφίας του βιβλίου. Μια λεπτομερής παρουσίαση των θεμάτων της Τοπολογίας γίνεται στα Ελληνόγλωσσα βιβλία [], [7], [9], [], [], [4], όπου το [9] είναι βιβλίο λυμένων ασκήσεων (σε πολλά θέματα της Τοπολογίας), και τα ξενόγλωσσα βιβλία [], [3], [0], [3]. Πιο προχωρημένα είναι τα βιβλία [4], [5], [6], [8].

12 Εισαγωγή 3 ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Νορμικοί Χώροι (σε διανυσματικούς χώρους) Μετρικοί Χώροι Τοπολογικοί Χώροι Βασική διαίρεση των τοπολογικών χώρων Μια κλάση τ υποσυνόλων ενός χώρου X λέγεται τοπολογία στο X, αν γι αυτήν ισχύουν: i) το κενό σύνολο και το X ανήκουν στην τ, ii) η τομή πεπερασμένου πλήθους συνόλων της τ ανήκει στην τ, iii) η ένωση οσωνδήποτε συνόλων της τ ανήκει στην τ. Το ζεύγος ( X, τ ) λέγεται τοπολογικός χώρος και τα σύνολα της τ είναι τα ανοικτά σύνολά του. Ένας τοπολογικός χώρος ( X, τ ) λέγεται μετρικοποιήσιμος, αν υπάρχει μία τουλάχιστον μετρική d στο X τέτοια ώστε τ= τd. Αν έχουμε δύο τοπολογίες τ και τ στο χώρο X για τις οποίες ισχύει τãτ, ( τπ τ), τότε η τ λέγεται ασθενέστερη της τ και η τ λέγεται ισχυρότερη της τ. Η τοπολογία τ= {, Χ} είναι η ασθενέστερη όλων των τοπολογιών και η τοπολογία το = P( Χ ) = {σύνολο όλων των υποσυνόλων του X }, που λέγεται διακεκριμένη τοπολογία, είναι η ισχυρότερη όλων των τοπολογιών στο χώρο X. Μια σύντομη παρουσίαση της Γενικής Τοπολογίας γίνεται στα βιβλία [7], Κεφ. 8, [4], Μέρος ΙΙ, ενώ μια αναλυτική παρουσίασή της γίνεται στα βιλία [4], [5], [6], [8].

13 ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ Μετρικοί χώροι Νορμικοί χώροι Θεωρούμε ένα χώρο X του οποίου τα στοιχεία τα λέμε σημεία και τα συμβολίζουμε π.χ., y, zœx. Για να έχει νόημα η έκφραση «το τείνει στο 0», δηλαδή το πλησιάζει το 0, πρέπει στο χώρο X να είναι ορισμένη μια απόσταση (ή μετρική) μεταξύ των σημείων του. Θα δώσουμε λοιπόν τον ορισμό της μετρικής (ή απόστασης) σ έναν χώρο X. Μία συνάρτηση + d: X Χ Æ o = { Œo : 0} όπου o οι πραγματικοί αριθμοί, είναι μια μετρική (ή απόσταση) στο χώρο X όταν ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα: [ M ] d (, y) = 0 = y, [ M ] d (, y) = dy (, ), ", yœx (συμμετρική ιδιότητα), [ M 3] d (, z) d (, y) + dy (, z ), ", y, zœx (τριγωνική ανισότητα). Ανισότητα του Mikowski Για την απόδειξη του αξιώματος [ Μ 3] χρησιμοποιείται πολλές φορές η ανισότητα του Mikowski (Παράρτημα, 5) È È È + + Îα β α Î Î β α α β β,

14 8 Κεφάλαιο όπου ( α, α,, α ), ( β, β,, β ) Œo ή ` και. Ευκλείδειες μετρικές (ή αποστάσεις) Στους πραγματικούς αριθμούς o η ευκλείδεια απόσταση είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών, y Œo : d (, y) = - y, ", yœo. Η ευκλείδεια απόσταση δύο σημείων = (, ), y= ( y, y ) του επιπέδου o είναι d (, y) = ( - y ) + ( - y ), ", yœo, 3 ενώ δύο σημείων = (,, ), y= ( y, y, y ) του χώρου o είναι d (, y) = ( - y ) + ( - y ) + ( - y ), ", yœo. Γενικότερα, η ευκλείδεια απόσταση δύο σημείων του χώρου o είναι = (,,, ), y= ( y, y,, y ) d (, y) = ( - y ) + + ( - y ), ", yœo. Όταν λέμε ο ευκλείδειος χώρος o εννοούμε ότι ο διανυσματικός χώρος o είναι εφοδιασμένος με την ευκλείδεια απόσταση d που ορίσαμε πιο πάνω. o, ορίζονται συνήθως και οι παρακάτω αποστάσεις (ή με- Στο χώρο τρικές): d(, y) = - y + - y y, { } d (, y) = ma -y, -y,, -y, για κάθε = (,,, ), y = ( y, y,, y ) του o. Για = και οι τρεις μετρικές d, d, d συμπίπτουν με τη μετρική d (, y) = - y, ", yœo.

15 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 9 Οι πραγματικοί αριθμοί o μ αυτήν τη μετρική λέγονται πραγματική ευθεία o. y y y y d (, y) y d (, y) d (, y) = y d (, y) = y O y y O y d (, y) = y + y Οι μετρικές ( ) d, d, d στο επίπεδο o = Γενικότερα, με τη βοήθεια της ανισότητας του Mikowski, αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση = (,,, ), Ê ˆ Æ d(, y) = i yi y ( y, y,, y ) ÁÂ - = Œo Ëi=, ορίζει μετρική στο o. Απ αυτήν τη μετρική, για =, = και Æ +, προκύπτουν οι προηγούμενες μετρικές d(, y), d(, y), d (, y) = lim d(, y). Æ+ (Ισχύει d (, y) d(, y) d (, y ) και πάρτε Æ+.) Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις d, d, d ικανοποιούν τα τρία αξιώματα της μετρικής. (Για την d και το αξίωμα [ M 3] χρησιμοποιείστε την ανισότητα του Mikowski, για = ). Όταν ο χώρος X είναι επί πλέον διανυσματικός χώρος στο σώμα K = o ή `, δηλαδή ισχύουν οι ιδιότητες

16 0 Κεφάλαιο ", y ŒX fi + yœx " λœ Κ, " ŒX fi λ ŒX + τότε η συνάρτηση : XÆ o = { Œo : 0} που ικανοποιεί τα τρία αξιώματα: [ N ] ( ) = 0 = O, O μηδενικό στοιχείο του X, [ N ] ( λ) = λ ( ), " λœ K, " Œ X (ομοθεσία), [ N 3] ( + y) ( ) + y ( ), ", yœx (ανισότητα κυρτότητας), λέγεται νορμική στο διανυσματικό χώρο X. Συνήθως γράφουμε ( ) =, " ŒX. Μια χρήσιμη διπλή ανισότητα της νορμικής είναι - y - y + y, ", yœ X και προκύπτει από τα αξιώματα [ N], [ N 3]. Στους πραγματικούς αριθμούς o ορίζεται η νορμική στο επίπεδο στο χώρο και στο χώρο Æ ( ) =, " Œo (απόλυτη τιμή), o ορίζεται η νορμική ( ), (, ) Æ = = + = Œo, 3 o ορίζεται η νορμική 3 ( ) 3, (,, 3) Æ = = + + = Œo o ορίζεται η νορμική (ευκλείδεια νορμική) Æ ( ) = = + + º +, = (,, º, ) Œo. Φυσική απόσταση (ή μετρική) Όταν ορίζεται μια νορμική σ ένα διανυσματικό χώρο X τότε απ αυτήν στο χώρο X παράγεται η φυσική απόσταση (ή μετρική) από τη σχέση d(, y) = - y, ", yœ X. Από μια νορμική προκύπτει πάντοτε μια μετρική στο διανυσματικό χώρο X, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε.

17 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων Από μία μετρική d σε διανυσματικό χώρο προκύπτει μια νορμική όταν αυτή ικανοποιεί τις παρακάτω δύο ιδιότητες: i) d( + z, y+ z) = d(, y ) (αμεταβλητότητα ως προς τη μεταφορά), ii) d( λ, λy) = λ d(, y ) (oμοθεσία ως προς αριθμητική παράμετρο). Πράγματι, τότε η συνάρτηση Æ d( O, ) =, " Œ X ορίζει μία νορμική, οπότε η μετρική d είναι φυσική απόσταση επειδή γράφεται d(, y) = d( -, y - ) = d( O, y- ) = d( O, - y) = - y για κάθε, yœ X. Στο χώρο o ορίζονται συνήθως και οι παρακάτω νορμικές για κάθε = (,,, ) Œo. Παρατηρούμε ότι από τις νορμικές = = ma,,, { } ( = ),,,, Œo,, προκύπτουν οι μετρικές που ορίσαμε προηγουμένως d(, y) = - y ( = ), d(, y), d(, y), d (, y), ", y Œo, οπότε αυτές είναι φυσικές αποστάσεις (μετρικές) στο o,. Γενικότερα, με τη βοήθεια της ανισότητας του Mikowski αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση È = (,,, ) Œo Æ =  i, ÍÎi = ορίζει μία νορμική στο o. Απ αυτήν τη νορμική, για =, = και Æ+, προκύπτουν οι προηγούμενες νορμικές,, = lim. Æ+

18 Κεφάλαιο (Ισχύει και πάρτε Æ+.) Παρατηρήσεις α) Μια μετρική d ορίζεται σε τυχαίο χώρο X και ο χώρος X μαζί με τη μετρική d λέγεται (τοπολογικός) μετρικός χώρος και σημειώνεται ( X, d ). Μια νορμική ορίζεται σε διανυσματικό χώρο X και ο διανυσματικός χώρος X μαζί με τη νορμική λέγεται νορμικός χώρος και σημειώνεται ( Χ, ). Επομένως, οι διανυσματικοί νορμικοί χώροι αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των μετρικών χώρων. β) Αν είναι ( Χ, d ) μετρικός χώρος και Yà X, τότε η συνάρτηση d : Y YÆ o, με d (, y) = d(, y), ", yœ Y Y + ορίζει μετρική στο Y που λέγεται επαγόμενη της d. Ο μετρικός χώρος ( Y, d Y ) λέγεται υποχώρος του ( X, d ). Y Προσοχή! Αν ( Χ, ) είναι νορμικός χώρος και Yà X τότε ορίζεται, όπως προηγουμένως, μετρικός χώρος στο Y με τη φυσική μετρική d(, y) = - y, ", yœ Y, αλλά για να ορισθεί νορμικός υποχώρος ( Y, ), πρέπει ο Y να είναι διανυσματικός υποχώρος του X. γ) Διακεκριμένος μετρικός χώρος Σε κάθε μη κενό σύνολο X μπορεί να ορισθεί η μετρική Ï0, αν = y, ", yœ X, d0(, y) =Ì Ó, αν π y, που λέγεται διακεκριμένη μετρική. Άρα, κάθε μη κενός χώρος X γίνεται μετρικός χώρος ( X, d 0) που λέγεται διακεκριμένος μετρικός χώρος. Όταν ο X είναι επιπλέον διανυσματικός χώρος (π.χ. X = o, ), τότε για το μετρικό χώρο ( X, d 0) ισχύει " π y και λœo, με λπ0, λπ±

19 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 3 d0( λ, λy) = π λ d(, y) = λ. Επομένως, η διακεκριμένη μετρική d 0 δεν είναι φυσική απόσταση, δηλαδή δεν προκύπτει από κάποια νορμική στο διανυσματικό χώρο X. Ψευδομετρική Σε σύνολο X με παραπάνω από ένα στοιχεία, η συνάρτηση d : X XÆ R = { ŒR: 0} που πληροί τα αξιώματα: [ M ] d (, ) = 0, " Œ X [ M ] d (, y) = d ( y, ), ", yœ X [ M 3] d (, z) d (, y) + d ( y, z), ", y, zœ X λέγεται ψευδομετρική στο X. + Η διαφορά από την έννοια της μετρικής είναι: η ψευδομετρική d μπορεί να μηδενίζεται σε δύο διαφορετικά σημεία, δηλαδή μπορεί να υπάρχουν σημεία π y, με d (, y ) = 0. Για παράδειγμα, αν έχουμε f : X Æo μια πραγματική συνάρτηση, τότε η απεικόνιση + d : X XÆo, όπου d (, y) = f( ) - f( y), ", yœx, ορίζει μια ψεδομετρική στο X, επειδή μπορεί να υπάρχουν σημεία 0, y0œ X, με 0 π y0, τέτοια ώστε f ( ) = f( y ), οπότε είναι d ( 0, y 0) = 0, με 0 π y Όταν όμως η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη, τότε η d ορίζει μετρική στο χώρο X. Επεκτεταμένη πραγματική ευθεία Θεωρούμε το επεκτεταμένο σύνολο o= o»{-, + } των πραγματικών αριθμών, όπου o είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η απεικόνιση d : o o Æ + o, όπου y ", yœ o, d(, y) = y

20 4 Κεφάλαιο ορίζει μια μετρική στο o. Πράγματι, η συνάρτηση f ( ) = +, Œo είναι αμφιμονότιμη (γνήσια αύξουσα) συνάρτηση του o επί του ανοικτού διαστήματος (-, + ). Παρατηρείστε ότι f ( ) = > 0, " 0 και ( + ) ενώ είναι lim f ( ) =, lim f ( ) =-. Æ+ Æ- f ( ) = > 0, " 0, (- ) [ M ] Θα δείξουμε ότι d(, y) = 0 = y. Έχουμε y d(, y) = 0 - = 0 ( + y) = y( + ) + + y και η τελευταία ισότητα ισχύει μόνον όταν οι, y είναι ομόσημοι ( y > 0). Άρα, έχουμε ( + y) = y( + ), αν > 0, y > 0 ( - y) = y( - ), αν < 0, y < 0 απ όπου προκύπτει η ισότητα = y. (Άρα, η f είναι αμφιμονότιμη). Το αντίστροφο είναι προφανές. [ M ] d(, y) = d( y, ), από την ιδιότητα της απόλυτης τιμής - α = α, αœo. [ M 3] d(, z) d(, y) + d( y, z), από την ιδιότητα α+ β α + β, α, βœo. Θα δείξουμε ότι η f είναι επί απεικόνιση, δηλαδή f ( o ) = (-, ). Προφανώς ισχύει f (0) = 0. Αν είναι Αν είναι y = f ( ) > 0 fi y =, 0 y, 0 + > fi = + > y y fi = =, y Œ(0,). -y - y y = f ( ) < 0 fi y =, 0 y, 0 + < fi = - <

21 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 5 y y fi = =, y Œ( -, 0). + y - y Επεκτείνουμε το σύνολο R σ ένα νέο σύνολο o συμπεριλαμβάνοντας στο R τα δύο νέα επ άπειρον σημεία - και +, δηλαδή o= o»{-, + }. Για να είναι και το νέο σύνολο o ολικά διατεταγμένο θέτουμε " Œo : - < <+. Επεκτείνουμε τη συνάρτηση f σε μια απεικόνιση του o επί του [-, + ], αν ορίσουμε τις τιμές της f στα επ άπειρον σημεία f (- ) = -, f ( + ) =, οπότε η f παραμένει μια γνήσια αύξουσα (αμφιμονότιμη) συνάρτηση του o επί του κλειστού διαστήματος [-, + ]. Άρα η μετρική d επεκτείνεται και στο o, με τιμές d( -, + ) =, d(, - ) = +, d(, + ) = που προκύπτουν ως όρια, όταν ( Æ-, Æ+ ), ( y Æ- ), ( y Æ+ ), αντίστοιχα, και σημειώνεται με d. Ο μετρικός χώρος ( o, d) λέγεται επεκτεταμένη πραγματική ευθεία o. Ο μετρικός χώρος ( o, d) δεν είναι η πραγματική ευθεία o, αλλά μετρικός χώρος τοπολογικά ισοδύναμος μ αυτήν (Κεφ., 4, Παράδειγμα, β) και Κεφ.,.4). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί της συνάρτησης f η αμφιμονότιμη (γνήσια αύξουσα) συνάρτηση g( ) =, Œo. + + Παρατηρείστε ότι η ευκλείδεια μετρική d(, y) = - y, ", y Œo δεν μπορεί να επεκταθεί στα επ άπειρον σημεία - και +. Π.χ. πόσο θα είναι η απόσταση d( -, + ), μ αυτήν τη μετρική;

22 6 Κεφάλαιο Παραδείγματα. Αν ( Χ, d ) είναι μετρικός χώρος, δείξτε ότι οι συναρτήσεις α) d (, ) mi{, (, )}, yœ X β) d(, y) d(, y) =, + d(, y), yœ X ορίζουν επίσης μετρικές στο χώρο Χ. Θα δείξουμε ότι επαληθεύονται τα τρία αξιώματα της μετρικής. α) [ Μ ] : Έχουμε d (, ) = 0 και d (, y) = 0 fi d(, y) = 0 fi = y. [ Μ ] : Είναι d(, y) = mi{(, d(, y)} = mi{, d( y, )} = d( y, ). [ Μ ]: Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ανισότητες 3 d (, ) mi{, (, )} () και d (, ) mi{, (, )} (, ) () για κάθε, zœ X. Επομένως, i) αν είναι d(, y) ή d( y, z ), λόγω της (), ισχύει η σχέση d (, z) d (, y) + d ( y, z), ii) αν είναι d(, y ) < και d( y, z< ), λόγω της (), ισχύει d (, z) d (, y) + d ( y, z), επειδή εδώ είναι d (, y) = d(, y), d ( y, z) = d( y, z) και d (, z) d(, z) d(, y) + d( y, z), ", y, zœ X. β) [ Μ], [ Μ ] : Ισχύουν επειδή d(, ) = 0 και d(, y) = d( y, ), ", yœ X, αφού η d είναι μετρική στο χώρο X. [ M ]: Έχουμε 3 d(, z) d(, y) + d( y, z) d(, z) =, ", y, zœx + d(, z) + d(, y) + d( y, z)

23 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 7 επειδή η συνάρτηση φ( ) =, 0 + (είναι φ (0) = 0, lim φ( ) = και φ ( ) = > 0 Æ+ ( + ) Προφανώς όμως ισχύει η ανισότητα είναι γνήσια αύξουσα στο [0, + ), " 0 ). d(, y) + d( y, z) d(, y) d( y, z) +, ", y, zœx + d(, y) + d( y, z) + d(, y) + d( y, z) πράγμα που αποδεικνύει το αξίωμα [ M 3] για τη μετρική d.. Επί του χώρου X έχουμε τις μετρικές d, d,, d. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις που ορίζονται από τις σχέσεις: α) D (, y) = ma{ d (, y),, d (, y)}, D (, y) = d (, y) + + d (, y), β) γ) 3(, ) [ (, ) (, )] D y = d y + + d y, για κάθε, yœ X, ορίζουν μετρικές στο X. α) [ M], [ M ] είναι προφανή. [ M 3] : Επειδή από κάθε πεπερασμένο πλήθος πραγματικών αριθμών μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέγιστο (και το ελάχιστο), έχουμε (m ένα από τα,,, ) D (, z ) = d (, z ) d (, y ) + d ( y, z ) m m m ma{ d (, y),, d (, y)} + ma{ d ( y, z),, d ( y, z )} D (, y) + D ( y, z). β) [ M], [ M ] είναι προφανή. [ M ]: Έχουμε 3 D (, z) = d (, z) [ d (, y) + d ( y, z)] m   i i i i= i=   i = d (, y) + d ( y, z) = D (, y) + D ( y, z ). i i= i=

24 8 Κεφάλαιο γ) [ M], [ M ] είναι προφανή [ M ]: Έχουμε 3 È È D3(, z) = Â di (, z) Â [ di(, y) + di( y, z) ] Í Í Îi= Îi= Â di (, y) Â di ( y, z) i= i= È È + = ÍÎ ÍÎ = D (, y) + D ( y, z) 3 3 σύμφωνα με την ανισότητα του Mikowski (για = ). Επειδή η ανισότητα του Mikowski ισχύει για και η γενικότερη συνάρτηση È D(, y) = Â ( di(, y) ), ÍÎi = ορίζει επίσης μετρική στο χώρο X. 3. Νορμικές σε χώρους ακολουθιών Θεωρούμε τους παρακάτω χώρους που τα στοιχεία τους (σημεία) είναι ακολουθίες ( ) πραγματικών αριθμών: i) l είναι το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών, με = (άρα είναι μηδενικές ακολουθίες), ii) l είναι το σύνολο όλων των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών, iii) l ( ) είναι το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών ( ) = Â <+. Â, με <+ Τα σύνολα c 0 των μηδενικών ακολουθιών, c των συγκλινουσών ακολουθιών l των φραγμένων ακολουθιών γίνονται όλα διανυσματικοί χώροι (γραμμικοί χώροι) με τις πράξεις της πρόσθε-

25 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 9 σης και του πολ/σμού με αριθμό: = ( ), y = ( y ), τότε + y = ( + y), λœo, = ( ), τότε λ = ( λ ), έχουμε ", yœx fi + yœ X, " λœ o, " ŒX fi λ ŒX όπου X είναι το c 0 ή το c ή το l. Το σύνολο l( ) είναι επίσης διανυσματικός χώρος, επειδή για λœo, = ( ), y= ( y ),, yœ l ισχύουν άρα P " Œ k, + y ( + y ) (ma{, y }) + yœ l και προφανώς λ Œ l. y ( + ) Ο c 0 είναι διανυσματικός υποχώρος του c και ο c είναι διανυσματικός υποχώρος του l. Επίσης, ο l( ) είναι διανυσματικός υποχώρος των c 0, c, l. Επομένως, σ όλους αυτούς τους διανυσματικούς χώρους l, c0, c, l μπορούν να ορισθούν νορμικές και απ αυτές να παραχθούν οι αντίστοιχες φυσικές μετρικές. Δείξτε ότι οι απεικονίσεις: + α) : l Æ o, όπου su{, Œk } = + È β) : l Æ o,, όπου =  ÍÎ = ορίζουν νορμικές στους αντίστοιχους διανυσματικούς χώρους. α) Επειδή οι ακολουθίες ( ) του l είναι φραγμένες το su των, Œk υπάρχει, άρα είναι καλά ορισμένη η νορμική. Οι ιδιότητες [ N ], [ N ] είναι προφανείς Για την [ N 3] παρατηρούμε ότι, για = ( ), y = ( y) Œ l, επειδή ισχύει

26 0 Κεφάλαιο προκύπτει ότι + y + y, " Œk y y y l. + +, ", Œ β) Η απεικόνιση, Œ l είναι καλά ορισμένη νορμική αφού συγκλίνει η σειρά (από τον ορισμό του l, ) =  <+. Τα αξιώματα [ N ], [ N ] είναι προφανή (βλέπε τις ιδιότητες των σειρών θετικών όρων) και για το [ N 3] χρησιμοποιούμε τη γενικευμένη ανισότητα του Mikowski (για σειρές) i i i i i= i= i= È È È α + β α + β, ÍÎ ÍÎ ÍÎ Â Â Â. Από τις παραπάνω νορμικές προκύπτουν οι αντίστοιχες φυσικές μετρικές: στο χώρο l και στο χώρο l. Για = προκύπτει η μετρική È d(, y) =  -y, ÍÎ = d (, y) = su{ -y, Œk } È (, ) =  -, Í=, Œ d y y y l Î και ο μετρικός χώρος ( l, d ) λέγεται χώρος του Ηilbert. 4. Να δειχθεί ότι, στο σύνολο S των πραγματικών ακολουθιών = ( ), Œo, η απεικόνιση - y d(, y) = Â, ", yœs = + -y ορίζει μετρική η οποία δεν προκύπτει από νορμική στο S.

27 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων Να δειχθεί επίσης ότι su{ d(, y),, yœ S} =. Επειδή ισχύει και η σειρά - y, " Œk + -y  = συγκλίνει (γεωμετρική σειρά), σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης του Weierstrass και η δοσμένη σειρά συγκλίνει. Άρα, η μετρική d(, y ) είναι καλά ορισμένη. Τα αξιώματα [ M], [ M ] είναι προφανή. Το [ M 3] προκύπτει από την ανισότητα (βλέπε Παρ., β)) -z - y + y-z = + - z + - y + y -z -y y-z = y + y - z + - y + y -z -y y-z +, " Œk + - y + y -z απ όπου παίρνουμε (από τις ιδιότητες των συγκλινουσών σειρών) -z -y y-z   +  = + - z = + - y = + y-z δηλαδή d(, z) d(, y) + d( y, z), ", y, zœ S. Αν θεωρήσουμε τις δύο ακολουθίες = ( ), y = ( y ), όπου είναι =, y = 0, " Œk και λ = τότε έχουμε d(, y) =  =, = ενώ -0 4 d(, y) =  =, = οπότε d(, y) π d(, y). Άρα, η μετρική αυτή δεν είναι φυσική μετρική, δηλαδή δεν προκύπτει από νορμική στο σύνολο S.

28 Κεφάλαιο Έχουμε την προφανή ανισότητα d(, y) Â,, = " yœs = οπότε είναι su{ d(, y),, yœ S}. Αλλά για κάθε ε > 0, υπάρχει α - και υπάρχουν, y ŒS τέτοια ώστε ε - y = α, " Œk οπότε - y α d(, y ) =  = + - y + α. Από την ανισότητα = α - προκύπτει ότι ε α - ε = d(, y ), + α οπότε είναι (από τον ορισμό του suremum) su{ d(, y),, yœ S} =. 5. Νορμικές σε χώρους συναρτήσεων α) Θεωρούμε το σύνολο X = C([ α, β]) όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο [ αβ., ] + Δείξτε ότι οι απεικονίσεις από το Χ στο o : i) f = su{ f( ), Œ[ αβ, ]}, fœ X ii) β f = È ( ),, f d Í f Œ ÎÚ X α ορίζουν νορμικές στο χώρο X = C([ α, β]). β) Θεωρούμε το σύνολο Y = C ([ α, β]) όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων, με συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα [ αβ., ] + Δείξτε ότι η απεικόνιση από το Y στο o. ορίζει νορμική στο χώρο g = su{ g( ), Œ [ αβ, ]} + su{ g ( ), Œ[ αβ, ]} Y = C ([ α, β]).

29 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 3 (Δείξτε ότι οι χώροι X, Y είναι διανυσματικοί χώροι.) Επειδή το διάστημα [ αβ], είναι κλειστό και φραγμένο (συμπαγές) και οι συναρτήσεις f, g, g συνεχείς στο [ αβ, ] όλες οι παραπάνω νορμικές είναι καλά ορισμένες. Πράγματι, όλα τα suremum υπάρχουν και ορίζονται τα ολοκληρώματα στο διάστημα [ αβ., ] α) Θα δείξουμε ότι ικανοποιούνται τα τρία αξιώματα. [ Ν ] O = 0, όπου O : [ αβ, ] Æ {0}, ενώ f = 0 fi f( ) = 0, " Œ [ αβ, ] οπότε f = O με το μηδενικό στοιχείο του διανυσματικού χώρου X = C([ α, β]). [ Ν]: λf = su{ λf ( ), Œ [ αβ, ]} = su{ λf ( ), Œ [ αβ, ]} = = λ su{ f ( ), Œ [ αβ, ]} = λ f, λœo, fœχ. [ Ν ]: f f 3 + = f + f Œ αβ = f 0 + f 0 su{ ( ) ( ), [, ]} ( ) ( ) για κάποιο 0 Œ [ αβ, ]] (Θεώρημα Weierstrass), επειδή η συνάρτηση f+ f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Άρα, έχουμε f + f = f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f είναι συνεχείς στο [ αβ,, ] οπότε είναι ολοκληρώσι- ii) Οι συναρτήσεις μες στο [ αβ., ] su{ f ( ), Œ [ αβ, ]} + su{ f( ), Œ [ αβ, ]} = f + f. [ Ν ]: O = 0 και f = 0 fi Ú f( ) d = 0. Αν η F( ), Œ [ αβ, ] είναι αρχική της και επειδή ισχύει t α Ú β α f θα έχουμε f ( ) d = Ft ( ) - Fα ( ), " t Œ [ αβ, ] t t β β α α t α t Ú Ú Ú Ú, 0 f ( ) d f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d = 0, tœ[ α, β] προκύπτει Ú f ( ) d = 0, tœ [ α, β ] fi F ( t ) = F ( α ), " tœ [ α, β ]. α

30 4 Κεφάλαιο Άρα, η F είναι σταθερή στο [ αβ,, ] oπότε η f είναι ταυτοτικά ίση με μηδέν στο [ αβ,, ] δηλαδή f = O το μηδενικό στοιχείο του διανυσματικού χώρου X. [ N ] : Είναι προφανής. [ N ] : Χρησιμοποιούμε τη γενικευμένη ανισότητα του Mikowski για τα ολοκληρώματα: αν οι συναρτήσεις f, f ανήκουν στο χώρο C([ α, β ]) και είναι, τότε ισχύει η ανισότητα β β β α α α È f ( ) f ( ) d È f ( ) d È f ( ) d Í + Í + Í, Î Î Î Ú Ú Ú. To [ N 3] είναι λοιπόν άμεση συνέπεια αυτής της ανισότητας Ειδικά, για = προκύπτει η νορμική στο C([ α, β ]) f β = Ú f ( ) d. α y f y f d d = εμβαδόν α O β α O β f f d (f, f ) = su{ f () f (), [α, β]} (μέγιστη απόσταση μεταξύ των καμπύλων) d (f, f ) = α β f () f () d (εμβαδόν μεταξύ των καμπύλων) Απ αυτές τις νορμικές προκύπτουν οι φυσικές μετρικές στο χώρο X = C([ α, β]) : { } d ( f, f ) su f ( ) f ( ), [ αβ, ] " f, f Œ Χ, = - Œ, È β Í α d( f, f ) = f ( ) - f ( ) d, ÎÚ, " f, fœ Χ.

31 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 5 β) Τα [ N], [ N ] αποδεικνύονται ανάλογα όπως στην περίπτωση α), i). [ N ]: Σύμφωνα με το Θεώρημα του Weierstrass έχουμε 3 g + g = g ( ) + g ( ) + g ( ) + g ( ) 0 0 g ( ) + g ( ) + g ( ) + g ( ) 0 0 ( g( 0) g ( ) ) ( g( 0) g ( ) ) = g + g. Από τη νορμική αυτή προκύπτει η φυσική μετρική " g, g Œ Y = C ([ α, β]). dg (, g) = su{ g( ) -g ( ), Œ [ αβ, ]} + su{ g ( ) -g ( ), Œ[ αβ, ]} 6. Συμβολίζουμε με l το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών = ( ) για τις οποίες η σειρά Â συγκλίνει. Δείξτε ότι ο χώρος l είναι διανυσματικός = (γραμμικός) και ότι η απεικόνιση Ï Ô Ô Œl Æ = su ÌÂi, Œk ÔÓ i= Ô ορίζει νορμική στο χώρο l. Αν έχουμε τις πραγματικές ακολουθίες = ( ), y= ( y ),, yœo, με τις πράξεις + y = ( + y) και λ = ( λ ), για, yœ l και λœo ο χώρος l γίνεται διανυσματικός. Πράγματι, αν οι σειρές Â, =  y = συγκλίνουν, τότε επειδή ισχύει + y + y, " Œk και η σειρά Â ( + y) συγκλίνει, άρα είναι + yœ l. =

32 6 Κεφάλαιο Προφανώς, λ Œ l επειδή η σειρά Η σειρά Âλ = λâ συγκλίνει επίσης. = =  συγκλίνει σημαίνει ότι συγκλίνει η ακολουθία των μερικών = αθροισμάτων ( S ), όπου S = + + +, με lim S Æ+ = α και η ακολουθία των απολύτων τιμών ( S ) συγκλίνει (ισχύει S - α S- α, " Œk), οπότε έχουμε lim Æ+ S + = α Œo, όπου S = + + +, Œk. Επομένως, η ακολουθία ( S ) είναι φραγμένη, οπότε υπάρχει το Ï Ô Ô su{ S, Œ k} = su ÌÂi, Œk ÔÓ i= Ô και ανήκει στο o + = { Œ o : 0}, άρα η νορμική είναι καλά ορισμένη. Θα δείξουμε ότι ικανοποιούνται τα τρία αξιώματα της νορμικής. [ N ]: O = 0, όπου O = (0, 0, º, 0, º ) και άρα Ï Ô Ô = 0 fi su ÌÂi, Œ k = 0 ÔÓ i= Ô Â i= i = 0, " Œk και επαγωγικά προκύπτει = 0, " Œk, οπότε = O. [ N ] : Eίναι προφανής. [ N ]: Έχουμε 3 Ï 0 Ô Ô + y = su ÌÂ( i + yi), Œ k < Â( i + yi) + ε, ε> 0 ÔÓ i= Ô i= επειδή, σύμφωνα με τον ορισμό του suremum: " ε > 0, υπάρχει 0 Œk τέτοιο ώστε να ισχύει + y - ε <  ( i + yi). 0 i=

33 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 7 Επομένως, ισχύουν οι ανισότητες    + y < ( + y ) + ε= + y + ε i i i i i= i= i= 0 0   + y + ε i i= i= i Ï Ô Ô ÏÔ Ô su Ì Â i, Œ k + su ÌÂyi, Œ k + ε ÔÓ i= Ô ÔÓ i= Ô fi + y < + y + ε, " ε> 0 όπου το 0 εξαρτάται κάθε φορά από την επιλογή του ε > 0. Άρα, θεωρώντας το ε Æ 0, προκύπτει η τριγωνική ανισότητα + y + y, ", yœ l. Ανοικτά και κλειστά σύνολα Θεωρούμε το μετρικό χώρο ( X, d ), όπου X π και d μία μετρική στο χώρο X. Ανοικτή σφαιρική περιοχή κέντρου αœ Χ και ακτίνας ε > 0 είναι το σύνολο των σημείων του Χ που έχουν απόσταση από το σημείο α μικρότερη του ε > 0. Σημειώνεται Βαε (, ) = { Œ X, d( α, ) < ε}. Κλειστή σφαιρική περιοχή κέντρου αœ Χ και ακτίνας ε > 0 είναι το σύνολο των σημείων του Χ που έχουν απόσταση από το σημείο α μικρότερη ή ίση του ε > 0. Σημειώνεται Βαε (, ) = { Œ X, d( α, ) ε }. Σφαιρική επιφάνεια κέντρου αœ Χ και ακτίνας ε > 0 είναι το σύνολο των σημείων Χ που έχουν απόσταση από το σημείο α ίση με ε > 0. Σημειώνεται Sαε (, ) = { Œ X, d( α, ) = ε}. Παρατήρηση Γενικά, οι σφαιρικές περιοχές και οι σφαιρικές επιφάνειες σε τυχαίο μετρικό χώρο ( X, d ) δεν έχουν τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντίστοιχων σφαιρικών περιοχών και σφαιρικών επιφανειών των Ευκλείδειων χώρων.

34 8 Κεφάλαιο Ο όρος «σφαιρικές» προέκυψε από τον ευκλείδειο χώρο ( o, d), όπου οι σφαιρικές περιοχές είναι σφαίρες. Για τις σφαιρικές επιφάνειες, γενικά, δεν μπορούμε να πούμε ότι δεν είναι κενό σύνολο ούτε ότι δύο σφαιρικές επιφάνειες διαφορετικών κέντρων δεν είναι δυνατό να συμπίπτουν σε τυχαίο μετρικό χώρο (όχι νορμικό χώρο). Παραδείγματα 3. Αν ( X, d 0) είναι ο διακεκριμένος μετρικός χώρος ( ) με τη μετρική d 0 (, y ) = 0, αν = y και d(, y ) =, αν τότε, για 0< ε < και αœ Χ, έχουμε τις σφαιρικές περιοχές π y Βα (, ε) = { Œ X, d( α, ) < ε} = { Œ X, d( α, ) = 0} = { α}, Bαε (, ) = { Œ X, d( α, ) ε} = { Œ X, d( α, ) = 0} = { α}, ενώ Sαε (, ) = { Œ X, d( α, ) = ε} =, και Sα (,) = { Œ X: d( α, ) = } = X- { α}, και για ε > και αœ Χ, έχουμε τις σφαιρικές περιοχές Βα (, ε) = { Œ X, d( α, ) < ε} = { Œ X, d( α, ) = 0 ή dα (, ) = } = X, ενώ Βαε (, ) = { Œ X, d( α, ) ε} = { Œ X, d( α, ) = 0 ή dα (, ) = } = X, για ε και Sαε (, ) = { Œ X, d( α, ) = ε} =, για ε >.. Θεωρούμε στο επίπεδο o τους ευκλείδειους μετρικούς χώρους ( ) ( o, d ), ( o, d ), ( o, ). Αν είναι α= ( α, α) Œo και ο αριθμός ε > 0, να σχεδιασθούν οι σφαιρικές περιοχές και οι σφαιρικές επιφάνειες στους παραπάνω ευκλείδειους χώρους. Έχουμε λοιπόν τις ανοικτές σφαιρικές περιοχές d d o d (, ) = { Œ o : (, ) = < } d o Β ( α, ε) = { Œ : d ( α, ) = ( - α ) + ( - α ) < ε} Β α ε d α α α ε Β ( α, ε) = { Œ : d ( α, ) = ma{ -α, - α } < ε} οι οποίες παριστούν γεωμετρικά κύκλους, ρόμβους και τετράγωνα, αντίστοιχα.

35 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 9 y α y y α +ε α +ε ε ε ε α α α ε α ε ε O α O α ε α α +ε O α ε α α +ε B d (α, ε): ( α ) + ( α ) < ε Κύκλος (εσωτερικό) B d (α, ε): α + α < ε Ρόμβος (εσωτερικό) B d (α, ε): α < ε, α < ε Τετράγωνο (εσωτερικό) Ανάλογα, σχεδιάζονται οι κλειστές σφαιρικές περιοχές Βd (, ) α : κύκλος, Bd (, ): α ε ρόμβος, Bd ( α, ε): Οι αντίστοιχες σφαιρικές επιφάνειες είναι τετράγωνο. d και γεωμετρικά είναι S ( α, ε) = { Œ o : d ( α, ) = ( - α ) + ( - α ) = ε}, S ( α, ε) = { Œ o : d ( α, ) = - α + - α = ε}, d { o } S ( α, ε) = Œ : d ( α, ) = ma{ -α, - α } = ε d Sd (, ): α ε περιφέρεια κύκλου, Sd (, ): α περίμετρος ρόμβου και S ( α, ): περίμετρος τετραγώνου. d 3. Θεωρούμε το μετρικό χώρο ( X, d ), όπου X = C([ α, β]) το σύνολο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων στο [ αβ,, ] και τη μετρική d στο Χ d( f, g) = ma{ f( ) -g( ), Œ [ αβ, ]}, " f, gœ X. Αν f 0 Œ X και ε > 0, να ορισθούν η ανοικτή Β( f0, ε ) και η κλειστή Β( f0, ε ) σφαιρική περιοχή, και η σφαιρική επιφάνεια S( f0, ε ). Έχουμε Β( f, ε) = { f ŒX: ma{ f ( ) - f ( ), Œ [ αβ, ]} < ε} = 0 0 = { f Œ X: " Œ[ αβ, ], f( ) - ε< f( ) < f ( ) + ε}, 0 0

36 30 Κεφάλαιο οπότε η ανοικτή σφαιρική περιοχή περιέχει τις συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις f στο [ αβ,, ] των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περιέχονται ανάμεσα στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y= f0( ) - ε, y= f0( ) + ε, Œ [ αβ, ] με τις οποίες δεν έχουν κοινά σημεία. Η κλειστή σφαιρική περιοχή B( f0, ε ) αναλύεται ανάλογα και περιέχει τις συναρτήσεις f Œ X των οποίων οι γραφικές παραστάσεις μπορούν να έχουν κοινά σημεία με τις συναρτήσεις y= f ( ) - ε, y= f ( ) + ε, Œ [ αβ, ] 0 0 Η σφαιρική επιφάνεια S( f0, ε) = { f Œ X, d( f0, f) = ε} αποτελείται από τα γραφήματα των δύο συναρτήσεων f 0 ( ) - ε, f 0 ( ) + ε, Œ [ αβ, ]. y f 0 f f 0 +ε α O f 0 ε β Περιοχές B(f 0,ε), B (f 0, ε) Επιφάνεια S(f 0, ε) Αν έχουμε ( Χ, ) ένα νορμικό χώρο (οπότε το σύνολο Χ είναι διανυσματικός χώρος) τότε οι σφαιρικές περιοχές και οι σφαιρικές επιφάνειες ορίζονται όπως προηγουμένως, με τη φυσική μετρική d(, y) = - y, ", yœ X. Στους νορμικούς χώρους οι σφαιρικές περιοχές και επιφάνειες έχουν κάποιες επιπλέον ιδιότητες (που δεν ισχύουν σε τυχαίους μετρικούς χώρους). α) Οι ανοικτές και κλειστές σφαιρικές περιοχές είναι άπειρα σύνολα, ενώ οι σφαιρικές επιφάνειες δεν είναι κενά σύνολα (περιέχουν τουλάχιστον δύο σημεία).

37 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 3 Αν πάρουμε αβ, Œ Χ τότε έχουμε τα σημεία της ευθείας = α+ t( β-α), tœo που περνάει από τα σημεία α (για t = 0 ) και β (για t = ). Άρα, έχουμε - α= t( β-α) fi - α = t β- α, οπότε για το ε > 0 προκύπτει ε ε - α ε - t β-α β-α. Επομένως, γι αυτά τα άπειρα t τ αντίστοιχα άπειρα σημεία της ευθείας βρίσκονται μέσα στην κλειστή σφαιρική περιοχή Bα (, ε ). Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει για την ανοικτή σφαιρική περιοχή Βα (, ε ), ενώ για τη σφαιρική επιφάνεια Sα (, ε ) παρατηρούμε ότι περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία, για t= ( ± ε β- α ). / Σημείωση Αυτήν την ιδιότητα μπορεί να την έχουν και μετρικοί χώροι. Για παράδειγμα ο μετρικός χώρος ( o, d), όπου d (, y ) = mi{, d (, y )}, και d(, y) = - y, ", y Œo, έχει αυτήν την ιδιότητα, επειδή για 0< ε και αœo ισχύει Β ( α, ε) = { Œ o: d ( α, ) < ε} = { Œo : α - < ε} = Β ( α, ε), d Β ( α, ε) = { Œ o: d ( α, ) ε} = { Œo : α - ε} = Β ( α, ε). d Αλλ όμως οι σφαιρικές περιοχές Βd ( α, ε ), Bd ( α, ε ) είναι του νορμικού χώρου ( o, ) (πραγματική ευθεία), οπότε είναι άπειρα σύνολα. Προφανώς, για ε > οι σφαιρικές περιοχές περιέχουν τις προηγούμενες σφαιρικές περιοχές με 0< ε, οπότε είναι επίσης άπειρα σύνολα. Οι σφαιρικές επιφάνειες Sαε (, ) στο μετρικό χώρο ( o, d), για 0< ε περιέχουν τουλάχιστον δύο σημεία, αλλά για ε > είναι κενά σύνολα. Η μετρική d δεν είναι φυσική μετρική, δηλαδή δεν προκύπτει από μία νορμική στο o, επειδή για λ > και =, y = 0, Œk έχουμε d ( λ, λ 0) = d( λ, 0) = mi{, λ} = π λ= λd(, 0). d d

38 3 Κεφάλαιο β) Σε νορμικό χώρο οι ανοικτές Bα (, ε ) και οι κλειστές Βαε (, ) σφαιρικές περιοχές, όπου, ε > 0 είναι κυρτά σύνολα. Ένα σύνολο A νορμικού χώρου ( Χ, ) λέγεται κυρτό, αν για κάθε ζεύγος σημείων και y του A το ευθύγραμμο τμήμα [, y] = + t( y- ) = (- t) + ty, t Œ [0,] περιέχεται ολόκληρο στο σύνολο A. Θεωρούμε λοιπόν δύο σημεία, yœ B( α, ε) και τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος [, y]: z= + t( y- ) = (- t) + ty, t Œ [0,]. Είναι z- α = (- t) + ty - α = (-t) - α+ tα- tα+ ty = = (-t)( - α) + t( y- α) (-t) - α + t y- α < ( - t) ε+ tε= ε, tœ [0, ], οπότε zœ B( α, ε), δηλαδή το Βα (, ε ) είναι κυρτό σύνολο. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και η κλειστή σφαιρική περιοχή Βαε (, ) είναι κυρτό σύνολο. γ) Για κάθε σφαιρική περιοχή Β( O, ε ) της αρχής O και κάθε λœo, λ π 0, υπάρχει σφαιρική περιοχή Β( O, ε) à λβ( O, ε), αρκεί να είναι ε < λε. Αν αœ Χ, κάθε περιοχή Βαε (, ) = α+ Β( O, ε), ε> 0. Παράδειγμα 4 Σε νορμικό χώρο ( Χ, ) θεωρούμε δύο σημεία, yœ X, με π y. Δείξτε ότι, για δύο σφαιρικές περιοχές B(, ε ), Byε (, ) τέτοιες ώστε - y < ε+ ε, ισχύει B(, ε) «B(, ε) π. Αυτό ισχύει σε οποιονδήποτε μετρικό χώρο; Στο νορμικό χώρο ( X, ) τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος [, y ] δίνονται από τη σχέση (για t = 0 είναι z= y και για t = είναι z = ): z= t + ( -t) y, tœ [0, ]. ()

39 Μετρικοί χώροι Τοπολογία μετρικών χώρων 33 Έχουμε - y < ε+ ε και θα δείξουμε πως υπάρχει σημείο z τέτοιο ώστε z - < ε και z- y < ε. () Οι σχέσεις () λόγω της () γίνονται ( ) -t - y < ε και t y ε - < (3) και αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει t0 Œ [0, ] για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις (3). ε Πράγματι, υπάρχει το t0 = [0, ] ε ε Œ για το οποίο ισχύουν οι (3), επειδή + είναι Ê ε ˆ ε Á - - < - < - < + Ë ε ε ε ε y ε y ε y ε ε + + και ε - y < ε - y < ε+ ε, ε+ ε αλλά η ανισότητα - y < ε+ ε δίνεται από την υπόθεση. Τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος [, y ] μπορούμε να τα γράψουμε και z = + t( y- ), t Œ [0, ], οπότε θα υπάρχει το ε t0 = [0, ] ε ε Œ. + Αυτό το αποτέλεσμα δεν ισχύει σε οποιονδήποτε μετρικό χώρο. Π.χ. στο διακεκριμένο μετρικό χώρο ( Χ, d 0), αν πάρουμε 3 ε =, ε = και, 3 yœ X, με π y, θα έχουμε 4 d0(, y) = < ε+ ε = 3 και επειδή είναι B(, ε) Β Ê ˆ = Á, = { zœ X, d0(, z) = 0} = { }, Ë 3 Byε (, ) Β Ê ˆ = Áy, = { zœ X, d0( yz, ) = 0} = { y} Ë 3 προκύπτει B(, ε) «Β( y, ε) =, με d0(, y) < ε+ ε.

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

www.ziti.gr για το Λύκειο και το Γυμνάσιο ΠΛΗΡΕIΣ ΣΕΙΡΕΣ ΒΙΒΛΙΩΝ

www.ziti.gr για το Λύκειο και το Γυμνάσιο ΠΛΗΡΕIΣ ΣΕΙΡΕΣ ΒΙΒΛΙΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ημοτικό Γυμνάσιο Λύκειο ΕΠΑΛ ΑΣΕΠ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ Tεχνικά Θετικών και Θεωρητικών Επιστημών Παιδικό Μυθιστόρημα Λογοτεχνία Μελέτες Λευκώματα BIBΛIOΠΩΛEIO - KENTPIKH IAΘEΣH: Aρμενοπούλου 27, 546

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Τηλ: 210 344 2478 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Το Ενημερωτικό Δελτίο μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα μας www.didamath.gr

Το Ενημερωτικό Δελτίο μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα μας www.didamath.gr ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ Επιστημονική Ένωση για τη Διδακτική των Μαθηματικών Ενημερωτικό Δελτίο Νο 1 Νοέμβρης 2009 Το Ενημερωτικό Δελτίο μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα