Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
|
|
|
- Σαούλ Κουβέλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei 9
2 Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale O categorie de caracteristici umerici asociaţi uui set de date statistice sut: parametrii tediţei cetrale î cazul populaţiilor şi statistici ale tediţei cetrale î cazul eşatioaelor. Îtrucât aceştia au defiiţii aaloage vom prezeta doar statistici ale tediţei cetrale. Defiiţia.. Statistici ale tediţei cetrale sut valori umerice asociate uui set de date statistice care localizeazǎ îtr-u aumit ses mijlocul mulţimii de date statistice. Defiiţia.. Media aritmeticǎ a setului de date statistice {x, x,..., x } este pri defiiţie suma acestor date împǎrţitǎ la umǎrul datelor x = Dacǎ datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie (fǎrǎ grupare î clase), atuci formula petru media aritmeticǎ devie: x j x = x i, iar î cazul uei serii de distribuţie (cu grupare î clase) formula de calcul a mediei este: x x = ude x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare. Defiiţia.3. Media pǎtraticǎ a setului de date statistice {x, x,..., x } este pri defiiţie umǎrul: x i x p = Dacǎ datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie (fǎrǎ grupare î clase), formula petru media pǎtraticǎ devie: x j x p =, iar î cazul uei serii de distribuţie cu grupare î clase media pǎtraticǎ este : x f x x p = î care x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare.
3 Defiiţia.4. Media armoicǎ a setului de date statistice {x, x,..., x } este pri defiiţie umǎrul: x h = x i Dacǎ datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie (fǎrǎ grupare î clase), formula petru media armoicǎ devie: x h = x j iar î cazul uei serii de distribuţie cu grupare î clase media armoicǎ este: x h = f x x f x î care x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare. Defiiţia.5. Media geometicǎ a setului de date statistice {x, x,..., x } este pri defiiţie umǎrul: x g = x i, Dacǎ datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie (fǎrǎ grupare î clase), formula petru media geometricǎ devie: x g = f x i j, iar î cazul uei serii de distribuţie cu grupare î clase media geometricǎ este pri defiiţie: x g = x f x î care x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare. 3
4 Defiiţia.6. Mediaa m e a uui set de date statistice disticte ordoate dupǎ mǎrime x < x <... < x este umǎrul care împarte setul de date î douǎ grupe egale ca umǎr: - dacǎ = k +, atuci m e este valoarea de ragul k + : m e = x k+ ; - dacǎ = k, atuci orice umǎr ître valorile x k şi x k+ satisface codiţia di defiiţia lui m e. Î acest caz se covie ca m e sǎ fie media aritmeticǎ a valorilor x k şi x k+ : m e = x k + x k+. Î cazul setului de date statistice: mediaa este m e = 6. Î cazul setului de date statistice: mediaa este m e = = 9. Mediaa m e î acest caz are proprietatea cǎ suma frecveţelor valorilor mai mari decât m e este egalǎ cu suma frecveţelor valorilor mai mici decât m e. Î cazul setului de date statistice: Seria de distribuţie corespuzǎtoare este: Care este mediaa acestei serii de date? Câd datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie cu sau fǎrǎ grupare m e se calculeazǎ pri procedeul iterpolǎrii liiare, bazate pe ipoteza repartiţiei uiforme a frecveţelor î itervalul media. Defiiţia.7. Mijlocul plajei este pri defiiţie umǎrul: M r = L + H ude L este cea mai micǎ valoare, iar H este cea mai mare valoare a variabilei X Dacǎ mediaa uui set de date statistice este umǎrul care împarte setul de date î douǎ grupe egale ca umǎr, plaja este media aritmetica a valorilor extreme ale setului de date. 4
5 Parametrii şi statistici ai dispersiei Dupǎ ce mijlocul uui set de date a fost stabilit urmǎtoarea îtrebare aturalǎ este: care sut parametrii şi statisticile care caracterizeazǎ împrǎştierea datelor. Parametrii şi statisticile dispersiei sut: plaja, deviaţia medie absolutǎ, variaţa, deviaţia stadard şi coeficietul de variaţie. Defiiţia.. Plaja P este difereţa ditre cea mai mare (H) şi cea mai micǎ (L) valoare a valorilor x i ditr-u set de date: P = H L Defiiţia.. Deviaţia faţǎ de media aritmeticǎ x a valorii x i a variabilei X este d i = x i x. Deviaţia este zero dacǎ şi umai dacǎ x i = x. Deviaţia este pozitivǎ dacǎ şi umai dacǎ x i > x. Deviaţia este egativǎ dacǎ şi umai dacǎ x i < x. S-ar putea crede cǎ suma deviaţilor (x i x) poate servi ca mǎsurǎ a dispersiei faţǎ de media aritmeticǎ. Dar aceastǎ sumǎ este zero îtotdeaua. Reducerea deviaţiilor poate fi elimiatǎ pri folosirea valorii absolute a deviaţiilor: x i x. Defiiţia.3. Deviaţia medie absolutǎ a setului de date statistice disticte {x, x,..., x } este pri defiiţie: x i x d = Deviaţia medie absolutǎ, î cazul î care datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie fǎrǎ grupare de date se calculeazǎ cu formula: x j x d = Deviaţia medie absolutǎ, î cazul î care datele sut prezetate sub forma uei serii de distribuţie cu grupare de date se calculeazǎ cu formula: x x d = î care x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare, iar suma se extide pe asamblul claselor. 5
6 Defiiţia.4. Variaţa s a setului de date statistice disticte {x, x,..., x } este pri defiiţie: (x i x) s = Dacǎ setul de date este prezetat sub forma uei serii de distribuţie fǎrǎ grupare de date variaţa s se calculeazǎ cu formula: (x j x) s = Dacǎ setul de date este prezetat sub forma uei serii de distribuţie cu grupare de date variaţa σ se calculeazǎ cu formula: (x x) f x s = î care x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare, iar suma se extide pe asamblul claselor. Defiiţia.5. Deviaţia stadard (abaterea stadard) s a setului de date statistice disticte {x, x,..., x } este pri defiiţie: (x i x) s = Dacǎ setul de date este prezetat sub forma uei serii de distribuţie fǎrǎ grupare de date deviaţia stadard s se calculeazǎ cu formula: (x j x) s = Dacǎ setul de date este prezetat sub forma uei serii de distribuţie cu grupare de date deviaţia stadard s se calculeazǎ cu formula: (x x) f x s = î care x reprezitǎ marca clasei şi f x frecveţa corespuzǎtoare, iar suma se extide pe asamblul claselor. Deviaţia stadard a fost defiitǎ cu o formulǎ. Se poate pue îtrebarea ce reprezitǎ ea î realitate? U rǎspus la aceastǎ îtrebare poate fi dat cu iegalitatea lui Cebîşev di care rezultǎ cǎ petru orice serie de distribuţie fracţiuea de date situatǎ la cel mult k 6
7 uitǎţi de deviaţie stadard faţǎ de medie este cel puţi k, ude k este u umǎr pozitiv oarecare mai mare ca. Rezultǎ î particular cǎ petru orice serie de distribuţie fracţiuea de date situatǎ la cel mult k = uitǎţi de deviaţie stadard faţǎ de medie este de cel puţi 75% di totalul de date. Dacǎ k = 3 atuci este 89% di totalul de date. Coform regulii empirice dacǎ o serie de repartiţie este ormalǎ atuci fracţiuea de date situate la cel mult o uitate de deviaţie stadard σ faţa de medie este aproximativ 68%, iar fracţiuea de date situate la cel mult douǎ uitǎţi de deviaţie stadard σ faţǎ de medie este aproximativ 95%. Defiiţia.6. Coeficietul de variaţie V este pri defiiţie: V = s x 00 Coeficietul de variaţie este o statisticǎ relativǎ a dispersiei şi se foloseşte la compararea dispersiei diferitelor variabile (caracteristici). V poate lua valori ître 0 şi 00%. Dacǎ V este aproape de zero (V < 35%), atuci populaţia studiatǎ statistic este omogeǎ şi media x este reprezetativǎ petru aceastǎ populaţie. Dacǎ V este aproape de 00% (V > 75%), atuci populaţia studiatǎ statistic este eterogeǎ şi media x u este reprezetativǎ. De cele mai multe ori î asemeea cazuri este ecesarǎ separarea populaţiei statistice î mai multe grupe omogee, care se studiazǎ separat. 7
8 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei Î aaliza variaţei uui set de date statistice se folosesc urmǎtorii parametrii factoriali ai variaţei: - variaţa de grupǎ (parţialǎ) s j - media variaţelor de grupǎ s - variaţa mediilor de grupǎ faţǎ de media geeralǎ δ - variaţa totalǎ (geeralǎ) s. Defiiţia 3.. Petru o grupǎ de m date x, x,..., x m, variaţa de grupǎ este defiitǎ cu formula: (x i x j ) ij s j = î care j este idicele grupei, x j este media grupei, x i sut datele di grupa j avâd frecveţele ij Variaţele de grupǎ sut mai mici decât variaţa şi au valori mai mari sau mai mici î fucţie de eterogeitatea grupei. Defiiţia 3.. Pri defiiţie media variaţelor de grupǎ este: ij s = k s j j k j î care k este umǎrul de grupe, j = ij este umǎrul de date di grupǎ. Defiiţia 3.3. Variaţa mediilor de grupǎ faţǎ de media geeralǎ este pri defiiţie: k (x j x) j δ = k j 8
9 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei Parametrii şi statistici ai poziţiei se folosesc petru a descrie locaţia uei date î raport cu celelalte date. Defiiţia 4.. Quatilele sut valori umerice care împart setul de date î q grupe egale. Costata q se umeşte ordiul quatilei. Mediaa este quatila de ordiul doi. Quatilele de ordiul patru împart setul de date î patru grupe egale şi se umesc quartile. Quartilele sut î umǎr de trei, otate de obicei cu Q, Q, Q 3. De exemplu, quartila Q este u umǎr cu proprietatea cǎ o pǎtrime di date au valori mai mici decât Q şi trei pǎtrimi di date au valori mai mari decât Q. Alte categorii de quatile folosite sut: - decilele care împart setul de date î 0 grupe egale. - cetilele care împart setul de date î 00 grupe egale. - promilele care împart setul de date î 000 grupe egale. Orice set de date are 99 de cetile P k, k =..99. Cetila P k este o valoare umericǎ cu proprietatea cǎ k% di date are valori mai mici decât P k, iar (00 k)% di date au valori mai mari decât P k. Deducem cǎ: Q = P 5 ; Q 3 = P 75 ; m e = Q = P 50 Procedeul de determiare a cetilei P k este urmǎtorul: ) datele se ordoeazǎ crescǎtor; ) trebuie gǎsitǎ poziţia i a cetilei k. Prima oarǎ se determiǎ umǎrul k 00, ude este umǎrul de date. Dacǎ k 00 îtreg urmǎtor ( k 00 este k 00 i = 3.5) ( k 00 = 3 u este u umǎr îtreg, atuci i este umǎrul = 7. i = 8). Dacǎ k 00 este u umǎr îtreg, atuci i 3) localizarea valorii P k : se umǎrǎ de la valoarea L (cea mai micǎ valoare a datelor) i valori dacǎ i este îtreg. Dacǎ i u este îtreg atuci este u îtreg plus o jumǎtate. Î acest caz valoarea P k este semisuma datelor de pe locurile k 00 şi k 00 + O statisticǎ adiţioalǎ a poziţiei este scorul stadard sau z-scor. Defiiţia 4.. Scorul stadard sau z-scorul este poziţia valorii x faţǎ de mediaa x î uitǎţi de deviaţie stadard: z = x x s 9
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
CURSUL AL II-LEA. 2. Indicatori statistici
. Idicatori statistici CURSUL AL II-LEA.. Serii de valori. Aşa cum s-a văzut î cursul aterior, ueori este ecesar să urmărim mai îtâi o sigură variabilă umerică di multitudiea de variabile îregistrate îtr-u
POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE
DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ
STATISTICĂ DESCRIPTIVĂ » Reprezentarea şi sumarizarea datelor» Parametrii statistici descriptivi Centralitate Dispersie Asimetrie Localizare Cuprins Măsuri de centralitate Măsuri de împrăştiere Media Amplitudine
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la
Statisticǎ - notiţe de curs
Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor
Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut
Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
CURS I ELEMENTE DE BAZĂ
BIOSTATISTICA CURS I ELEMENTE DE BAZĂ Statistica reprezită ramura matematicii ce a apărut di ecesitatea de a calcula probabilitatea aumitor eveimete di cadrul uui experimet. Majoritatea domeiilor de bază
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011
1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
sistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
9. SONDAJUL STATISTIC
9. SODAJUL STATISTIC 9.. Cosideraţii geerale Creşterea ecesarului de iformaţii ce trebuie obţiute cu maximă operativitate a codus la extiderea utilizării sodajului statistic. Această expasiue a sodajului
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
CURSUL AL VII-LEA. 1. Eşantion. 2. Eşantionare
. Eşatio CURSUL AL VII-LEA Idicatorii statistici calculaţi petru u eşatio aume sut simple aproximări petru parametrii reali ai populaţiei di care provie eşatioul. De exemplu, coeficietul mediu de iteligeţă
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ
CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală
Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Aplicatii ale marimilor medii in practica
Aplicatii ale marimilor medii i practica October 5, 2012 Aplicatii ale marimilor medii i practica Calculul marimilor medii Exemplu: u grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu la olimpiada de matematica
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Student: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE
Studet: Specializarea: STATISTICĂ ECONOMICĂ PRELUCRAREA BAZELOR DE DATE -4-3 - -1 0 1 3 4 Regie proprie 017 Studet: 3 CUPRINS Idicativ Cadrul tematic al cercetării statistice pe bază de soda... Tema r.1
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
![Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].](/thumbs/70/63994121.jpg "Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].")
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
![REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita](/thumbs/75/72305087.jpg "REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita")
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Variabile aleatoare 6. Repartiţia şi desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare Caracteristica, variabila studiată di ştiiţele eperimetale se modelează
lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
3.5. Indicatori de împrăştiere
Dragomirescu L., Drane J. W., 009, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucure ti, 07p. ISB 978-973-734-46-8. 3.5. Indicatori de împrăştiere
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Indicatori sintetici ai distribuțiilor statistice
Indicatori sintetici ai distribuțiilor statistice STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea descrierea datelor sintetizarea 1. Populație 2. Eșantion 3. Caracteristica observată Tabel de
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Statisticǎ - curs 4. 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2
Statisticǎ - curs 4 Cuprins 1 Generalitǎţi privind ipotezele statistice şi problema verificǎrii ipotezelor statistice 2 2 Inferenţǎ statisticǎ privind media populaţiei dacǎ se cunoaşte abaterea standard
ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
CALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,