جلسه 2 جهت تعریف یک فضاي برداري نیازمند یک میدان 2 هستیم. یک میدان مجموعه اي از اعداد یا اسکالر ها به همراه اعمال

Transcript

1 نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز مدرسین: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري جلسه 2 فراگیري نظریه ي اطلاعات کوانتمی نیازمند داشتن پیش زمینه در جبرخطی می باشد این نظریه ترکیب زیبایی از جبرخطی و نظریه ي احتمال است که فراگیري هر کدام براي مهارت در نظریه اطلاعات کوانتمی ضروري است در این درسنامه ابتدا به مرور جبرخطی می پردازیم که هدف اصلی آن آشنایی با نمادگذاري دیراك 1 و بخش هایی از جبرخطی است که در مکانیک کوانتمی مورد استفاده قرار می گیرند 1 فضاي برداري جهت تعریف یک فضاي برداري نیازمند یک میدان 2 هستیم یک میدان مجموعه اي از اعداد یا اسکالر ها به همراه اعمال جمع و ضرب است که داراي خواصی طبیعی مانند شرکت پذیري توزیع پذیري و جابجایی باشند لیست این خواص را می توانید در ویکیپدیا بیابید در این درس ما تنها به فضاهاي برداري روي میدان اعداد مختلط (و در موارد اندکی روي میدان اعداد حقیقی) نیاز داریم مجموعه V را یک فضاي برداري روي میدان اعداد مختلط C می گوییم هرگاه دو عمل جمع بردارها و ضرب اسکالر بر روي آن تعریف شده باشد: + : V V V و : C V V (1) لیست خواص جمع برداري و ضرب اسکالر را می توانید در ویکیپدیا بیابید مثال 1 فضاي برداري R 2 که شامل زوج هاي مرتب ) 2 r) 1, r از اعداد حقیقی می باشد یک فضاي برداري روي میدان اعداد حقیقی است این فضاي برداري متناظر با صفحه ي حقیقی (دو بعدي) است فضاي برداري C 2 که شامل زوج هاي مرتب ) 2 c) 1, c از اعداد مختلط می باشد یک فضاي برداري روي میدان اعداد مختلط است هر دوي این فضاهاي برداري دو بعدي هستند (مفهوم بعد در ادامه دقیقا تعریف خواهد شد ) اما فضاهاي برداري با بعد نامحدود هم وجود دارند مثلا فضاي برداري تمامی توابع از بازه [1,0] به اعداد حقیقی یک فضاي برداري روي میدان اعداد حقیقی است در این درس معمولا با فضاهاي برداري با بعد محدود سر و کار داریم در نمادگذاري مرسوم که احتمالا با آن آشنایی دارید بردار ها را با نماد υ نشان می دهند اما در این درس ما از نماد υ براي نشان دادن یک بردار استفاده می کنیم یعنی بجاي اینکه بالاي بردار یک فلش بگذریم بردار را میان دو نماد 1 Dirac s notation 2 Field 1

2 و محصور می کنیم که به آن کت گفته می شود این نحوه ي نمادگزاري دیراك است اگر چه در ابتدا عجیب به نظر می رسد اما پس از آشنایی با آن سهولت استفاده از آن روشن خواهد شد هر فضاي برداري شامل یک بردار صفر است با این خاصیت که جمع هر بردار با بردار صفر همان بردار است ما این بردار صفر را با نماد 0 نشان می دهیم بنابراین + 0 υ υ = دقت کنید که ما از نماد 0 براي بردار صفر استفاده نمی کنیم و این تنها استثنا در نمادگذاري دیراك است یک زیرفضاي برداري به یک زیرمجموعه از V گفته میشود که خود یک فضاي برداري باشد براي مثال خطوطی که در صفحه ي دو بعدي از مبدا می گذرند زیرفضاهاي یک بعدي R 2 هستند براي زیرمجموعه اي از بردارها { υ 0, υ 1, υ 2,, υ k } (2) فضاي پوشش داده شده توسط آنها را این گونه تعریف می کنیم: { } Span ( υ 0, υ 1, υ 2,, υ k ) = a i υ i : a i C (3) i فضاي پوشش داده شده توسط تعدادي بردار همواره یک زیر فضاي برداري است یک مجموعه از بردار ها را مستقل خطی 3 می گوییم اگر هیچکدام را نتوان برحسب ترکیب خطی بقیه نوشت به عبارت دیگر یک مجموعه از بردارها مستقل خطی است اگر هیچ ترکیب خطی ناصفر آنها مساوي بردار صفر نشود یک پایه 4 مجموعه اي از بردار هاي مستقل خطی است که فضاي پوشش داده شده توسط آنها کل فضاي برداري شود یک فضاي برداري تعداد زیادي پایه دارد ولی تعداد اعضاي هر پایه عددي ثابت و مستقل از انتخاب پایه است به تعداد اعضاي یک پایه بعد فضاي برداري می گویند همان طور که گفته شد در این درس معمولا بعد فضاهاي برداري را متناهی می گیریم: < d dim V = فرض کنید که بردار هاي زیر پایه اي براي فضا هستند { υ 0, υ 1, υ 2,, υ d 1 } (4) گاهی براي سادگی اعضاي پایه i υ را با i نشان می دهیم ملاحظه می شود که بردار 0 اولین بردار از مجموعه پایه است و بردار صفر نیست هر بردار فضاي برداري را می توان به صورت یکتا بر حسب ترکیبی خطی از اعضاي پایه نوشت: υ V α i, υ = α i υ i, و لذا به هر بردار می توان یک بردار ستونی متشکل از ضرایب نسبت داد: υ (5) 3 Linearly independent 4 Base 2

3 دقت کنید که این ضرایب به پایه خاصی که انتخاب کرده ایم بستگی دارند در صورتی که پایه را تغییر دهیم این ضرایب نیز تغییر می کنند نشان می دهیم که در صورتی که پایه را تغییر دهیم بردار مختصات متناظر در یک ماتریس ضرب می شود که به آن ماتریس تغییر پایه می گویند فرض کنید که { υ 0, υ 1, υ 2,, υ d 1 } (6) و { e 0, e 1, e 2,, e d 1 } (7) دو پایه براي فضاي برداري V باشند در این صورت می توانیم بردارهاي هرکدام از پایه ها را بر حسب بردارهاي پایه ي دیگر بسط دهیم یعنی ضرایب p ij و q ij وجود دارند به طوري که υ j = i p ij e i, j = 0, 1, 2,, d 1 e j = i q ij υ i, j = 0, 1, 2,, d 1 حال ماتریس P را که درایه (j, i )-اش برابر p ij می باشد و ماتریس Q که درایه (j, i )-اش برابر q ij می باشد را در نظر بگیرید در این صورت اگر مختصات یک بردار را در پایه ي { i υ } برابر باشد و بخواهیم بردار مختصات در پایه ي { i e } را بیابیم کافی است که بردار مختصات را در ماتریس P به شکل زیر P ضرب کنیم یعنی i v = i β i e که در آن β i = j p ijα j دلیل این موضوع این است که v = α j υ j j = α j p ij e i j i = p ij α j e i ij = i e i j p ij α j 3

4 برعکس ماتریس تغییر پایه از پایه ي { i e } به پایه ي { i υ } برابر Q است اگر از پایه ي { i υ } شروع کنیم به پایه ي { i e } برویم و سپس به همان پایه ي { i υ } برگردیم ماتریس متناظر این دو تغییر پایه برابر حاصلضرب QP است از طرف دیگر وقتی به پایه ي { i υ } برمی گردیم باید به همان بردار مختصات اولیه برسیم در نتیجه می بایست داشته باشیم QP = I و 1 P Q = پس ماتریس تغییر پایه همواره وارون پذیر است 2 ضرب داخلی مقدمه در دستگاه مختصات دکارتی با مفهوم ضرب داخلی آشنایی داریم براي دو بردار با مولفه هاي حقیقی ) 1 d α) 0,,, α 1 d تعریف می شود که می توان این را بشکل ماتریسی هم نشان و ) d 1 (,,, β ضرب داخلی به شکل α iβ i (,,, ) d 1 = α i β i داد: چنانچه بخواهیم این تعریف را براي بردار هاي با مولفه هاي مختلط تعمیم دهیم منطقی است که آن را به شکل زیر (α0, α1,, αd 1 ) d 1 = αi β i تعریف کنیم که منظور از α مزدوج مختلط α است دلیل استفاده از مزدوج مختلط این است که ضرب داخلی یک بردار با خودش عددي حقیقی و نامنفی و برابر مجذور طول آن شود توجه کنید که با در نظر گرفتن مزدوج مختلط تقارن ضرب داخلی (α0, α1,, αd 1 ) از بین می رود یعنی در حالت کلی (β 0, β1,, βd 1 ) پس در محاسبه ي ضرب داخلی باید حواسمان باشد که کدام بردار را اولی می نویسیم و کدام بردار را دوم حال که بحث هاي کیفی را انجام دادیم وارد تعریف دقیق ریاضی می شویم تعریف دقیق ریاضی عمل دوتایی : V V C (,) را یک ضرب داخلی می گوییم هرگاه در شرایط زیر صدق کند: ( υ, α ω + ω ) = α( υ, ω ) + ( υ, ω ) 4 1 نسبت به مولفه دوم خطی باشد:

5 2 وقتی جاي بردارها را عوض می کنیم مزدوج شود: ( v, ω ) = ( ω, v ) 3 حاصلضرب داخلی هر بردار با خودش عددي حقیقی و نامنفی باشد: ( υ, υ ) 0 و همچنین ( υ, υ ) = 0 υ = 0 توجه کنید که از خاصیت هاي 1 و 2 نتیجه می شود که : (α υ, ω ) = α ( υ, ω ) اگر یک فضاي برداري مجهز به ضرب داخلی باشد می توان براي آن «پایه ي متعامد یکه» در نظر گرفت یک پایه ي متعامد یکه 5 پایه ایست که ضرب داخلی هر دو عضو متفاوت آن 0 و ضرب داخلی هر بردار آن در خودش 1 باشد به عبارت دیگر 1 } d, 2, 1, { 0, را یک پایه ي متعامد یکه براي V است اگر ( i, j ) = δ ij که در آن δ ij «دلتاي کرونکر» به صورت زیر تعریف می شود δ ij = { 1 i = j, 0 i j در این صورت مختصات یک بردار در پایه ي متعامد یکه را می توان بر حسب ضرب داخلی محاسبه کرد: υ = ( i, υ ) i پیش از این دیدیم که با تغییر پایه مختصات یک بردار در یک ماتریس تغییر پایه ضرب میشود حال این سو ال مطرح می شود که اگر یک پایه متعامد یکه داشته باشیم و آن را به یک پایه متعامد یکه دیگر تغییر دهیم ماتریس تغییر پایه چه خصوصیتی دارد فرض کنید که { υ 0, υ 1, υ 2,, υ d 1 } (8) و 5 Orthonormal basis { e 0, e 1, e 2,, e d 1 } (9) 5

6 دو پایه متعامد یکه براي فضاي برداري V باشند در این صورت براي یافتن ماتریس تغییر پایه بردارهاي هرکدام از پایه ها را بر حسب بردارهاي پایه دیگر بسط می دهیم مثلا υ j = i p ij e i, j = 0, 1, 2,, d 1 δ lk = ( υ l, υ k ) = i از متعامد یکه بودن این بردارها نتیجه می گیریم که p il e i, p jk e j j = i,j = i p il p jk( e i, e j ) p il p ik در نتیجه ستون هاي ماتریس P خود بردارهایی متعامد یکه را تشکیل می دهند (ضرب داخلی دو ستون متمایز صفر است و ضرب داخلی یک ستون در خودش یک است) به ماتریس P -اي که از این طریق ایجاد می شود ماتریس یکانی 6 می گویند و داراي این خاصیت است که P P = I در اینجا منظور از P «ترانهاده مزدوج» ماتریس P است علامت «د گ ر» خوانده می شود تساوي P P = I نتیجه می دهد که 1 P P = و همچنین P P = P P 1 = I یعنی سطرهاي ماتریس P نیز به هم عمودند یکی از دلایلی که به چنین ماتریسی یکانی گفته می شود این است که = 1 ( det(p که با گرفتن دترمینان از P P = I قابل اثبات است در ادامه خواهیم دید که تمامی مقادیر ویژه ي یک ماتریس یکانی روي دایره واحد قرار دارند دو ماتریس زیر هر دو یکانی هستند: ( ) یک نمادگذاري دیگر ( ) cos(θ) sin(θ), sin(θ) cos(θ) بجاي نماد ( ω, υ ) براي ضرب داخلی معمولا از نمادگذاري زیر استفاده می کنیم ( υ, ω ) = υ ω υ ω اگر به بردار ها به عنوان ستونی از اعداد مختلط نگاه کنیم به ازاي هر بردار υ بردار سطري مزدوج مختلط آن را با υ نمایش میدهیم: 6 Unitary υ = υ 6

7 نماد مورد استفاده در دو طرف بردار «ب را» نامیده می شود بیاد آورید که براي بردار هاي با مولفه هاي مختلط براي محاسبه ضرب داخلی از بردار اول مزدوج مختلط می گرفتیم و آن را ترانهاده کرده تا بردار سطري به بردار ستونی تبدیل شود (α0, α1,, αd 1 ) d 1 = αi β i مشاهده کنید که در نمادگذاري υ ω بردار «برا» ( υ ) را در کنار بردار «کت» ( ω ) قرار داده ایم اینها با هم یک براکت را تشکیل داده اند این کار با نمایش ماتریسی بالا سازگار است یعنی وقتی یک «برا» در کنار یک «کت» داریم مثل این است که این دو را در هم ضرب کرده ایم نمادگذاري دیراك باعث شده است که زمانی که به بردار ها به عنوان بردار و یا به عنوان درایه اي ستونی از اعداد مختلط نگاه می کنیم تفسیر خود سازگاري داشته باشیم تفسیر بردار به عنوان یک ستون از اعداد مختلط زمانی معنی دارد که براي فضاي برداري یک پایه در نظر گرفته باشیم و بردار مورد نظرمان را بر حسب ترکیب خطی اعضاي آن پایه نوشته باشیم زمانی که این پایه را تغییر می دهیم نمایش بردار مورد نظر در آن پایه نیز تغییر می کند (خود بردار تغییر نمی کند اما نمایش آن تغییر می کند) در نتیجه نمایش مزدوج مختلط آن نیز تغییر می کند اما خود بردار مزدوج مختلط υ تغییر نمی کند 12 تغییر پایه و ضرب داخلی اگر یک ضرب داخلی براي فضا در نظر بگیریم می توان صحبت از پایه ي متعامد یکه براي فضا کرد بر عکس اگر یک پایه دلخواه در نظر بگیریم می توان ضرب داخلی اي تعریف کرد که آن پایه نسبت به آن ضرب داخلی متعامد یکه باشد مثلا فرض کنید { 1 d v } 0,, v یک پایه ي دلخواه براي فضاي برداري V (که مجهز به ضرب داخلی نیست) باشد می خواهیم روي V ضرب داخلی اي تعریف کنیم به طوري که پایه ي { 1 d v } 0,, v نسبت به این ضرب داخلی متعامد یکه باشد دو بردار دلخواه, v w V در نظر بگیرید از آنجا که { 1 d v } 0,, v یک پایه است ضرایب α i و β i وجود دارند به طوري که v = α i v i, (10) w = β i v i (11) حال تعریف کنید ( v, w ) = v w = αi β i = (α0, α1,, αd 1 ) به راحتی قابل بررسی است که این ضرب داخلی همه خواص مورد نظر را دارد و همچنین { 1 d v } 0,, v یک پایه ي متعامد یکه نسبت به این ضرب داخلی است 7

8 بنابر این هر پایه اي که انتخاب کنیم می توان از روي آن ضرب داخلی اي ساخت که آن پایه در آن متعامد یکه باشد و بر عکس هر ضرب داخلی که انتخاب کنیم با استفاده از آن می توان یک پایه متعامد یکه را پیدا کرد پس تناظري (اما نه یک به یک) بین مجموعه ي پایه هاي متعامد یکه و مجموعه ي ضرب داخلی هایی که می توان روي یک فضا تعریف کرد وجود دارد و همان طور که در بالا اشاره شد تناظر بین ضرب هاي داخلی اي که می توان روي یک فضاي برداري تعریف کرد و پایه هاي متعامد یکه یک به یک نیست در واقع دو پایه ي متفاوت ممکن است منتج به یک ضرب داخلی شوند در واقع اگر ماتریس تغییر پایه از پایه ي اول به پایه ي دوم یکانی باشد آنگاه ضرب داخلی تحمیل شده توسط این دو پایه با هم برابر است براي اثبات دو پایه ي } d 1 { v 0,, v و } d 1 { e 0,, e را در نظر بگیرید و فرض کنید که ماتریس تغییر پایه ي متناظر P یکانی باشد یعنی P P = P P = I اگر (10) و (11) نمایش بردارهاي v و w در پایه ي اولی باشند آنگاه بردار مختصات آنها در پایه ي دوم برابر است با P P, در نتیجه ضرب داخلی v و w نسبت به پایه ي دوم برابر است با P P = ( α0, α1,, αd 1 ) P P = ( α0, α1,, αd 1 ), که همان ضرب داخلی این دو بردار نسبت به پایه ي اول است 22 اندازه روي فضايV در یک فضاي ضرب داخلی نرم 7 روي V را با استفاده از ضرب داخلی بردار در خودش به صورت زیر تعریف می کنیم: فاصله بین دو بردار را نیز به شکل زیر تعریف می شود: 7 Norm υ = υ υ 1 2 d( υ, ω ) = υ ω 8

9 (, )d یک متر است چون می توان ثابت کرد که نامساوي مثلث براي آن برقرار است x y + y z x z, و = 0 ω ) d( υ, است اگر و فقط اگر υ ω = نامساوي کوشی-شوارز 8 براي هر ضرب داخلی برقرار است: υ ω υ ω نکته: از آنجایی که ماتریس هاي یکانی ضرب داخلی را حفظ می کنند طول بردارها را نیز حفظ می کنند یعنی براي ماتریس یکانی P و بردار v داریم v v = P 8 Cauchy Schwarz inequality 9