Ειδικές κατανοµές πιθανότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ειδικές κατανοµές πιθανότητας"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας Εισαγωγή Οι κατανοµές πιθανότητας που εξετάστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο έχουν γενική µορφή και δεν εµφανίζουν κάποια τυποποιηµένη συµπεριφορά. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται δύο ειδικές, τυποποιηµένες κατανοµές πιθανότητας, οι οποίες επιτρέπουν το χειρισµό πολλών σηµαντικών προβληµάτων λήψης αποφάσεων. Η πρώτη από αυτές, η διωνυµική κατανοµή, είναι µια διακριτή κατανοµή πιθανότητας. Εφαρµόζεται σε περιπτώσεις δειγµατοληψίας από πληθυσµό µε δύο είδη µελών ή σε περιπτώσεις επανάληψης τυχαίων πειραµάτων µε δύο πιθανά ενδεχόµενα. Η δεύτερη κατανοµή που εξετάζεται, η κανονική κατανοµή, είναι µια συνεχής κατανοµή πιθανότητας. Πρόκειται για µία από τις σπουδαιότερες κατανοµές της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής µε πολλές πρακτικές εφαρµογές. Σκοπός του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση των ιδιοτήτων των δύο αυτών κατανοµών και η εφαρµογή τους στην επίλυση πρακτικών προβληµάτων λήψης αποφάσεων. Οι υπολογισµοί που σχετίζονται µε τις κατανοµές αυτές κάτι που συµβατικά απαιτεί τη χρήση ειδικών πινάκων απλοποιούνται µε τη βοήθεια των συναρτήσεων που προσφέρει το Excel. Για το λόγο αυτό δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην παρουσίαση της σωστής χρήσης των συναρτήσεων αυτών.

2 74 Κεφάλαιο 4 ιωνυµική κατανοµή πιθανότητας Η διωνυµική κατανοµή (binomial distribution) είναι η πιο διαδεδοµένη διακριτή κατανοµή πιθανότητας. Οι περιπτώσεις στις οποίες µπορεί να εφαρµοστεί είναι δύο: 1. Κατά την εξέταση ενός δείγµατος από πληθυσµό µε δύο µόνο είδη µελών (π.χ. άνδρες και γυναίκες). 2. Κατά την πραγµατοποίηση µιας σειράς τυχαίων πειραµάτων κάτω από τις ίδιες συνθήκες, όπου το κάθε πείραµα παρουσιάζει δύο µόνο πιθανά ενδεχόµενα. Έστω ένα πείραµα το οποίο µπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Κάθε επανάληψη του πειράµατος ονοµάζεται δοκιµή. Το αποτέλεσµα κάθε δοκιµής είναι ανεξάρτητο από τα προηγούµενα και µπορεί να πάρει µία από δύο πιθανές τιµές (ενδεχόµενα). Τα ενδεχόµενα αυτά µπορούν αυθαίρετα ή όχι να ονοµαστούν ως επιτυχία και αποτυχία. Επειδή τα πειράµατα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι η ίδια και συµβολίζεται µε p. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι προφανώς ίση µε 1 p. Αν ο αριθµός των δοκιµών είναι ίσος µε n, η διωνυµική κατανοµή περιγράφει την πιθανότητα εµφάνισης k επιτυχιών, όπου το k κυµαίνεται µεταξύ 0 και n. Μαθηµατικά, αν µε X συµβολιστεί η τυχαία µεταβλητή µε ενδεχόµενα τις τιµές k (k = 0 n) που αντιπροσωπεύουν τον αριθµό επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιµές µε πιθανότητα επιτυχίας καθεµιάς ίση µε p, η µεταβλητή αυτή ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n και p. Μια κλασική περίπτωση εφαρµογής της διωνυµικής κατανοµής είναι το πείραµα ρίψης ενός νοµίσµατος. Τα πιθανά ενδεχόµενα είναι δύο (κορώνα ή γράµµατα), ένα από τα οποία µπορεί αυθαίρετα να ονοµαστεί ως επιτυχία. Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε ρίψη του νοµίσµατος (δοκιµή) είναι ίση µε 0,5. Αν η δοκιµή επαναληφθεί ένα συγκεκριµένο αριθµό, έστω 30, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν συνολικά 10, 15, 20 (ή οποιοσδήποτε αριθµός µεταξύ 0 και 30) επιτυχίες; Πρόκειται για µια περίπτωση εφαρµογής της διωνυµικής κατανοµής µε n = 30 και p = 0,5. Η σχέση υπολογισµού των πιθανοτήτων αυτών είναι αρκετά πολύπλοκη και δεν πρόκειται να παρουσιαστεί. Οι υπολογισµοί που ακολουθούν στηρίζονται αποκλειστικά στις συναρτήσεις που παρέχει το Excel. Πριν εξετασθούν οι σχέσεις υπολογισµού που αφορούν στη διωνυµική κατανοµή, σκόπιµο είναι να παρουσιαστεί η µορφή της. Στο αρχείο BDF.XLS (σχήµα 4.1) παρουσιάζεται, µε τη µορφή ραβδογράµµατος, η κατανοµή πιθανότητας που αντιστοιχεί στο παράδειγµα ρίψης νοµίσµατος που αναφέρθηκε παραπάνω. Η γραµµή, στο ίδιο διάγραµµα, αντιπροσωπεύει

3 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 75 Σχήµα 4.1 Η διωνυµική κατανοµή πιθανότητας. την αντίστοιχη αθροιστική κατανοµή πιθανότητας. Στο φύλλο αυτό δίνεται επίσης η δυνατότητα πειραµατισµού µε τις παραµέτρους της κατανοµής. Μεταβάλλοντας τα κελιά που περιέχουν τις τιµές των παραµέτρων p και n εισάγοντας άµεσα τις νέες τιµές ή χρησιµοποιώντας τα κουµπιά που βρίσκονται στα αριστερά των κελιών ενηµερώνεται αυτόµατα το διάγραµµα της κατανοµής. Ένα ενδιαφέρον συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι για σχετικά µεγάλες τιµές του n και για τιµές της p όχι πολύ κοντά στα άκρα 0 και 1, η διωνυµική κατανοµή είναι συµµετρική και έχει τη µορφή «καµπάνας». Με τη βοήθεια του ίδιου αρχείου µπορεί να υπολογιστεί και η πιθανότητα εµφάνισης συγκεκριµένου αριθµού επιτυχιών. Για παράδειγµα, στην περίπτωση που οι παράµετροι p και n έχουν τιµές 0,5 και 30 αντίστοιχα, οι πιθανότητες εµφάνισης 10, 15 και 20 επιτυχιών είναι 0,028, 0,144 και 0,028 αντίστοιχα. Οι αντίστοιχες αθροιστικές πιθανότητες (οι πιθανότητες δηλαδή εµφάνισης τουλάχιστον 10, 15 και 20 επιτυχιών) είναι 0,049, 0,572 και 0,979. Όπως κάθε κατανοµή πιθανότητας, έτσι και η διωνυµική κατανοµή χαρακτηρίζεται από µία µέση (αναµενόµενη) τιµή και µία τυπική απόκλιση. Οι δύο αυτές ποσότητες εξαρτώνται αποκλειστικά από τα

4 76 Κεφάλαιο 4 χαρακτηριστικά µεγέθη της κατανοµής (n, p) και υπολογίζονται από τις σχέσεις: ( ) µ= E X = n p (4.1) σ = Stdev( X) = n p ( 1 p) (4.2) Υπολογισµοί µε τη διωνυµική κατανοµή Για τον υπολογισµό πιθανοτήτων µε τη διωνυµική κατανοµή το Excel διαθέτει τη συνάρτηση BINOMDIST. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: BINOMDIST(k;n;p;cum) Το δεύτερο και τρίτο όρισµα (n και p) είναι οι παράµετροι της διωνυµικής κατανοµής (αριθµός δοκιµών και πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή αντίστοιχα). Το πρώτο όρισµα (k) είναι ο αριθµός των επιτυχιών, η πιθανότητα εµφάνισης των οποίων υπολογίζεται. Το τελευταίο όρισµα (cum) είναι µια λογική παράµετρος. Όταν έχει τιµή FALSE (ή την αριθµητική τιµή 0) τότε η συνάρτηση επιστρέφει την πιθανότητα εµφάνισης ακριβώς k επιτυχιών [ P( X= k) ]. Όταν έχει τιµή TRUE (ή αριθµητική τιµή διαφορετική από 0) τότε η συνάρτηση επιστρέφει την αθροιστική πιθανότητα, δηλαδή την πιθανότητα ο αριθµός των επιτυχιών να είναι P X k ]. µικρότερος ή ίσος από k [ ( ) Ο υπολογισµός ποσοστιαίων σηµείων, δηλαδή του αριθµού επιτυχιών για τις οποίες η αθροιστική πιθανότητα έχει συγκεκριµένη τιµή, πραγµατοποιείται µε τη συνάρτηση CRITBINOM. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: CRITBINOM(n;p;a) Όπως και πριν, τα ορίσµατα n και p αντιπροσωπεύουν τον αριθµό των δοκιµών και την πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή. Το όρισµα a είναι η αθροιστική πιθανότητα. Η συνάρτηση επιστρέφει τη µικρότερη τιµή (αριθµό επιτυχιών) για την οποία η αθροιστική πιθανότητα είναι µεγαλύτερη ή ίση µε a. Στο παράδειγµα που ακολουθεί διευκρινίζεται ο τρόπος χρήσης των δύο αυτών συναρτήσεων. Παράδειγµα υπολογισµών µε τη διωνυµική κατανοµή Το επίπεδο νέφους σε µια µεγάλη πόλη θεωρείται µη αποδεκτό περίπου το 15% των ηµερών. Αν επιλεγούν τυχαία 100 ηµέρες, ποιες είναι οι πιθανότητες να εµφανιστούν:

5 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 77 (α) Ακριβώς 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (β) Όχι περισσότερες από 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. Σχήµα 4.2 Υπολογισµοί µε τη διωνυµική κατανοµή. (γ) Λιγότερες από 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (δ) Περισσότερες από 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (ε) Μεταξύ 12 και 18 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (στ) Ακριβώς 88 ηµέρες µε αποδεκτό επίπεδο νέφους. (ζ) Τουλάχιστον 82 ηµέρες µε αποδεκτό επίπεδο νέφους.. Ζητείται επίσης η τιµή εκείνη για την οποία υπάρχει 95% πιθανότητα να µην την ξεπερνά ο αριθµός των ηµερών (στο δείγµα των 100 ηµερών) µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους.

6 78 Κεφάλαιο 4 Λύση Η λύση βρίσκεται στο αρχείο SMOG.XLS και παρουσιάζεται στο σχήµα 4.2. Για τα ερωτήµατα (α) έως (ε), ως επιτυχία ορίζεται η εµφάνιση ηµέρας µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους, της οποίας η πιθανότητα είναι ίση µε 0,15. Η τυχαία µεταβλητή X αντιπροσωπεύει τον αριθµό εµφάνισης ηµερών µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους στο δείγµα των 100 ηµερών. Εποµένως οι ζητούµενες πιθανότητες είναι οι ακόλουθες: (α) P( X= 15) (β) P( X 15) (γ) P( X< 15) = P( X 14) (δ) P( X> 15) = 1 P( X 15) (ε) P( 12 X 18) = P( X 18) P( X < 12) = P( X 18) P( X 11) Κάθε περίπτωση έχει µετατραπεί σε όρους πιθανοτήτων της µορφής P( X= k) ή P( X k) και αυτό επειδή αυτές τις πιθανότητες είναι σε θέση να υπολογίσει η συνάρτηση BINOMDIST. Οι παραπάνω πιθανότητες υπολογίζονται στα κελιά Β8 έως Β12 µε του τύπους: =BINOMDIST(15;TRIALS;PROB;0) =BINOMDIST(15;TRIALS;PROB;1) =BINOMDIST(14;TRIALS;PROB;1) =1-BINOMDIST(15;TRIALS;PROB;1) =BINOMDIST(18;TRIALS;PROB;1)- BINOMDIST(11;TRIALS;PROB;1) Στα ερωτήµατα (στ) και (ζ), ως επιτυχία ορίζεται η εµφάνιση ηµέρας µε αποδεκτό επίπεδο νέφους, της οποίας η πιθανότητα είναι ίση µε 1 0,15 = 0,85. Οι ζητούµενες πιθανότητες είναι οι ακόλουθες: (στ) P( X= 88) (ζ) P( X 82) Οι πιθανότητες αυτές υπολογίζονται στα κελιά B13 και B14 µε τους τύπους: =BINOMDIST(88;TRIALS;1-PROB;0) =BINOMDIST(82;TRIALS;1-PROB;1) Το τελευταίο ερώτηµα αφορά στον υπολογισµό του 95 ου ποσοστιαίου σηµεί- P X k 0,95. ου, δηλαδή, της τιµής k για την οποία ( )

7 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 79 Αρχικά η τιµή αυτή υπολογίζεται µε δοκιµή και σφάλµα. Στην περιοχή Α18:Α24 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές για το ζητούµενο αριθµό ηµερών. Στο κελί Β18 εισάγεται ο τύπος: =BINOMDIST(A18;TRIALS;PROB;1) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β22. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει k τέτοιο ώστε η αθροιστική πιθανότητα να είναι ακριβώς ίση µε 0,95. Σύµφωνα µε το ερώτηµα όµως, η τιµή εκείνη που ικανοποιεί το κριτήριο είναι η k = 21 της οποίας η αθροιστική πιθανότητα είναι ίση µε 0,9607 (η αθροιστική πιθανότητα της τιµής k = 20 είναι 0,9337, δηλαδή µικρότερη της 0,95). Την τιµή αυτή ακριβώς υπολογίζει και η συνάρτηση CRITBINOM η οποία εφαρµόζεται στο κελί Α28: =CRITBINOM(TRIALS;PROB;B28) Θέσπιση κριτηρίων ποιότητας ατµόσφαιρας Το παράδειγµα που ακολουθεί αποτελεί µια χαρακτηριστική περίπτωση εφαρµογής της διωνυµικής κατανοµής για τη θέσπιση κριτηρίων ποιότητας της ατµόσφαιρας. Η οδηγία NAAQS (National Ambient Air Quality Standards), που τέθηκε σε ισχύ το 1971 στις ΗΠΑ, όριζε µία ανώτατη τιµή για τη συγκέντρωση κάθε ρύπου. Για να θεωρηθεί µία περιοχή σύµφωνη µε τα θεσπισµένα κριτήρια δεν έπρεπε να υπερβαίνει την ανώτατη τιµή περισσότερο από µια ηµέρα το έτος. Για το λόγο αυτό, η δεύτερη µέγιστη ηµερήσια τιµή της συγκέντρωσης κατά τη διάρκεια ενός έτους υιοθετήθηκε ως δείκτης ποιότητας της ατµόσφαιρας. Αν ο δείκτης αυτός υπερέβαινε το θεσπισµένο όριο, η περιοχή κρινόταν ως µη-σύµφωνη µε την οδηγία. Ένα σηµαντικό µειονέκτηµα της οδηγίας αυτής είναι ότι δε λαµβάνει υπόψη την πιθανότητα εµφάνισης ακραίων καταστάσεων. Για παράδειγµα, ασυνήθιστες µετεωρολογικές συνθήκες σε µια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός έτους µπορούν να οδηγήσουν στην εµφάνιση υψηλών τιµών συγκέντρωσης ενός ρύπου, αν και η περιοχή είναι σύµφωνη µε την οδηγία όλα τα υπόλοιπα έτη. Για το λόγο αυτό η EPA (Environmental Protection Agency), το 1979, αναθεώρησε την παραπάνω οδηγία µε µια στοχαστική διατύπωση, η οποία στηρίζεται στην αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων. Συγκεκριµένα, για να θεωρηθεί µια περιοχή σύµφωνη µε την οδηγία, έπρεπε η αναµενόµενη τιµή των ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια ενός έτους να µην ξεπερνά την τιµή 1. Το πρόβληµα µε τη νέα διατύπωση ήταν η αδυναµία µέτρησης της αναµενόµενης τιµής λόγω των ασυµπτωτικών ιδιοτήτων της (για τον ακριβή

8 80 Κεφάλαιο 4 προσδιορισµό της πραγµατικής αναµενόµενης τιµής απαιτείται άπειρος αριθµός µετρήσεων). Προκειµένου να ξεπεραστεί το πρακτικό αυτό πρόβληµα, η EPA καθόρισε ένα τρόπο προσέγγισης της αναµενόµενης τιµής, στηριζόµενη σε µετρήσεις τριών ετών. Έτσι, για να θεωρηθεί µια περιοχή σύµφωνη µε την οδηγία, ο αριθµός των ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια τριών συνεχόµενων ετών δεν έπρεπε να ξεπερνάει την τιµή 3 (δηλαδή η µέση ετήσια τιµή είναι ίση µε 1). Είναι φανερό ότι η νέα οδηγία εισήγαγε δύο κριτήρια. Ένα στοχαστικό, το οποίο στηρίζεται στην αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων ανά έτος και ένα ντετερµινιστικό, το οποίο στηρίζεται στον αριθµό των υπερβάσεων στη διάρκεια τριών ετών. Έχει ενδιαφέρον να εξετασθεί κατά πόσο το ντετερµινιστικό κριτήριο βρίσκεται σε συµφωνία µε το αντίστοιχο στοχαστικό. Λύση Στην ανάλυση που ακολουθεί θεωρείται µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο. Για την περιοχή αυτή δηλαδή, η αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων ανά έτος είναι ίση µε 1 και εξετάζεται η πιθανότητα εµφάνισης ενός συγκεκριµένου αριθµού ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια ενός ή τριών ετών. Η µεταβλητή αυτή (αριθµός υπερβάσεων) ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n και p. Με n συµβολίζεται ο συνολικός αριθµός των ηµερών (ανάλογος των ετών που εξετάζονται) και µε p η πιθανότητα εµφάνισης υπέρβασης του ορίου κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας. Καθώς η αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων είναι ίση µε 1, η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται εύκολα ως 1/365 (εφαρµογή της σχέσης 4.1). Η ανάλυση βρίσκεται στο αρχείο NAAQS.XLS και για την περίπτωση ενός έτους (πριν την αναθεώρηση του ντετερµινιστικού κριτηρίου) παρουσιάζεται στο σχήµα 4.3. Στα κελιά B4 έως B7 εισάγονται τα δεδοµένα εισόδου. Συγκεκριµένα, εισάγεται ο αριθµός των ετών που εξετάζονται, ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια των ετών αυτών, η αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων που παρουσιάζει η περιοχή και ένα επίπεδο εµπιστοσύνης, η σηµασία του οποίου θα φανεί στη συνέχεια. Στα κελιά B9 και B10, υπολογίζονται οι παράµετροι της διωνυµικής κατανοµής, σύµφωνα µε αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω. Έτσι στα κελιά αυτά εισάγονται οι τύποι: =MEANLIMIT/365 =YEARS*365

9 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 81 Στα κελιά B13, B14 και B15 υπολογίζονται οι πιθανότητες ο αριθµός των υπερβάσεων (α) να είναι ακριβώς ίσος µε το µέγιστο επιτρεπτό όριο, (β) να είναι µικρότερος ή ίσος από το µέγιστο επιτρεπτό όριο και (γ) να είναι µεγαλύτερος από το µέγιστο επιτρεπτό όριο. Οι υπολογισµοί αυτοί πραγµατοποιούνται µε τη βοήθεια των τύπων: Σχήµα 4.3 Μοντέλο υπολογισµού πιθανοτήτων και ποσοστιαίων σηµείων (περίπτωση ενός έτους). =BINOMDIST(LIMIT;DAYS;PROB;0) =BINOMDIST(LIMIT;DAYS;PROB;1) =1-B14 Τέλος, στο κελί Β18 υπολογίζεται το ποσοστιαίο σηµείο, δηλαδή ο αριθµός των υπερβάσεων για τον οποίο η αθροιστική πιθανότητα είναι ίση µε το επίπεδο εµπιστοσύνης που ορίζεται στο κελί Β7: =CRITBINOM(DAYS;PROB;CONFIDENCE) Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.3, σε µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο, η πιθανότητα εµφάνισης µιας υπέρβασης στη διάρκεια ενός έτους, είναι περίπου 36,8%. Η πιθανότητα εµφάνισης τουλάχιστον µιας υπέρβασης είναι 73,6% και η πιθανότητα εµφάνισης περισσότερων της µιας υπέρβασης είναι 26,4%. Είναι φανερό ότι η τελευταία πιθανότητα είναι πολύ υψηλή. Αν και η περιοχή ικανοποιεί (έστω και οριακά) το στοχαστικό

10 82 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.4 Υπολογισµοί πιθανοτήτων και ποσοστιαίων σηµείων (περίπτωση τριών ετών). κριτήριο, σε ένα τυχαίο έτος υπάρχει πιθανότητα µεγαλύτερη από 1 προς 3 να µην ικανοποιεί το ντετερµινιστικό κριτήριο. Το ποσοστιαίο σηµείο που υπολογίστηκε αντιπροσωπεύει την τιµή στην οποία πρέπει να τεθεί το ντετερµινιστικό όριο, ώστε µε βεβαιότητα 95% η ικανοποίηση του ντετερµινιστικού κριτηρίου να σηµαίνει και ικανοποίηση του στοχαστικού κριτηρίου. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η τιµή αυτή είναι ίση µε 3. Αυτό σηµαίνει ότι µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο έχει πιθανότητα τουλάχιστον 95% να εµφανίσει από 0 έως 3 υπερβάσεις σε ένα έτος. Ισοδύναµα, έχει πιθανότητα µόλις 5% να εµφανίσει πάνω από τρεις υπερβάσεις. Αν, εποµένως, ο αριθµός των υπερβάσεων σε µια περιοχή ξεπερνά την τιµή 3, τότε µε βεβαιότητα 95%, η περιοχή αυτή δεν έχει αναµενόµενη τιµή ίση µε 1 και κατά συνέπεια δεν ικανοποιεί το στοχαστικό κριτήριο. ίνοντας στα κελιά Β4 και Β5 την τιµή 3, προκύπτουν τα αντίστοιχα µεγέθη για την αναθεώρηση του ντετερµινιστικού κριτηρίου. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 4.4. Η πιθανότητα εµφάνισης περισσότερων των τριών υπερβάσεων στη διάρκεια τριών ετών είναι περίπου 35,3%, ενώ το 95% ποσοστιαίο σηµείο είναι 6 υπερβάσεις. Στην περιοχή Α20:D39 καταστρώνεται ένας πίνακας δεδοµένων υπολογισµού των παραπάνω πιθανοτήτων για διάφορες τιµές του αριθµού

11 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 83 των υπερβάσεων και ένα διάγραµµα των κατανοµών τους (σχήµα 4.5). Για την κατάστρωση του πίνακα ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Στα κελιά Α24:Α39 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές του αριθµού των υπερβάσεων. Στα κελιά Β23, C23 και D23 εισάγονται αναφορές στα κελιά όπου υπολογίζονται τα αντίστοιχα µεγέθη (=Β13, =Β14, =Β15). Σχήµα 4.5 Κατανοµή των πιθανοτήτων για διάφορες τιµές του αριθµού υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Επιλέγεται η περιοχή Α23:D39 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β5. Είναι φανερό ότι σε µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο, όσο αυξάνεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων τόσο µειώνεται η πιθανότητα µη ικανοποίησης του ντετερµινιστικού κριτηρίου. Εύκολα προκύπτει και το συµπέρασµα ότι για επίπεδο εµπιστοσύνης 95%, ο µέγιστος αριθµός επιτρεπτών υπερβάσεων είναι 6 (η πιθανότητα εµφάνισης 0 έως 5 υπερβάσεων είναι µόλις 91,6%). Αν µάλιστα το επίπεδο εµπιστοσύνης γίνει 99%, τότε ο µέγιστος αριθµός επιτρεπτών υπερβάσεων πρέπει να πάρει την τιµή 8. Η επίδραση του επιπέδου εµπιστοσύνης εξετάζεται στην περιοχή Α41:Β58 και πάλι µε τη βοήθεια ενός πίνακα δεδοµένων (σχήµα 4.6). Στα κελιά Α44:Α58 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές του επιπέδου εµπιστοσύνης. Στο κελί Β43 εισάγεται αναφορά στο κελί όπου υπολογίζεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων (=Β18).

12 84 Κεφάλαιο 4 Επιλέγεται η περιοχή Α43:Β58 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β7. Όπως είναι αναµενόµενο, αύξηση του επιπέδου εµπιστοσύνης οδηγεί σε αύξηση του µέγιστου επιτρεπτού αριθµού υπερβάσεων. Παρατηρείται ότι ακόµη και για τη µικρότερη τιµή του πίνακα (επίπεδο εµπιστοσύνης 85%) ο µέγιστος αριθµός υπερβάσεων είναι ίσος µε 5, αρκετά µεγαλύτερος από την τιµή του ντετερµινιστικού κριτηρίου (ίσο µε 3). Σχήµα 4.6 Επίδραση του επιπέδου εµπιστοσύνης στο µέγιστο επιτρεπτό αριθµό υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Έχει ενδιαφέρον να υπολογιστεί για ποιο επίπεδο εµπιστοσύνης το ντετερµινιστικό κριτήριο είναι σύµφωνο µε το στοχαστικό. ηλαδή, να υπολογιστεί το επίπεδο εµπιστοσύνης για το οποίο ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων είναι ίσος µε 3. Αυτό µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια του ίδιου πίνακα δεδοµένων, µεταβάλλοντας τις δοκιµαστικές τιµές. Η ανάλυση παρουσιάζεται στο σχήµα 4.7, απ όπου προκύπτει ότι το ζητούµενο επίπεδο εµπιστοσύνης είναι ίσο µε 64%. Στην περιοχή Α60:Β82 (σχήµα 4.8) καταστρώνεται ένας πίνακας δεδοµένων υπολογισµού της µεταβολής του µέγιστου επιτρεπτού αριθµού υπερβάσεων (µε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) συναρτήσει του αριθµού ετών. Στα κελιά Α61:Α82 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές του αριθµού ετών.

13 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 85 Σχήµα 4.7 Εύρεση πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης (περίπτωση τριών ετών). Σχήµα 4.8 Επίδραση του αριθµού των ετών στο µέγιστο επιτρεπτό αριθµό υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Στο κελί Β62 εισάγεται αναφορά στο κελί όπου υπολογίζεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων (=Β18). Επιλέγεται η περιοχή Α62:Β82 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται ως Column input cell ορίζεται το κελί Β4. Όπως είναι φυσικό, ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων αυξάνεται καθώς αυξάνονται τα έτη των µετρήσεων. Όµως, η ποσοστιαία µεταβολή του δεν είναι αναλογική. Για παράδειγµα, στην περίπτωση ενός έτους ο µέγιστος αριθµός υπερβάσεων είναι 3, στην περίπτωση τριών ετών γίνεται 6 (και όχι 9 αν ακολουθούσε αναλογική αύξηση), ενώ στην περίπτωση είκοσι ετών είναι µόνο 28.

14 86 Κεφάλαιο 4 Τέλος, στην περιοχή Α84:Β106 καταστρώνεται ένας πίνακας δεδοµένων της µεταβολής του µέγιστου επιτρεπτού αριθµού υπερβάσεων (µε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) συναρτήσει της ετήσιας αναµενόµενης τιµής (σχήµα 4.9). Στα κελιά Α87:Α106 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές της αναµενόµενης ετήσιας τιµής των υπερβάσεων. Στο κελί Β86 εισάγεται αναφορά στο κελί όπου υπολογίζεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων (=Β18). Επιλέγεται η περιοχή Α86:Β106 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β4. Σχήµα 4.9 Επίδραση της αναµενόµενης ετήσιας τιµής στο µέγιστο επιτρεπτό αριθµό υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Ο αριθµός αυτός, από την τιµή 3 που έχει όταν η αναµενόµενη ετήσια τιµή είναι 1, γίνεται 10 όταν η αναµενόµενη ετήσια τιµή γίνει 2. Όπως φαίνεται από το σχήµα, η µέγιστη αναµενόµενη τιµή στην οποία αντιστοιχούν 3 επιτρεπτές υπερβάσεις είναι η 0,4. Εποµένως, το στοχαστικό κριτήριο για να είναι συµβατό (µε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) µε την αναθεωρηµένη µορφή του ντετερµινιστικού κριτηρίου, έπρεπε να ορίζει ως ανώτατη ετήσια αναµενόµενη τιµή των ηµερήσιων υπερβάσεων την 0,4. Υπερκράτηση αεροπορικών θέσεων Στο πρόβληµα αυτό παρουσιάζεται µια απλοποιηµένη εκδοχή των υπολογισµών που γίνονται από τις αεροπορικές εταιρείες κατά την έκδοση

15 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 87 εισιτηρίων. Είναι γνωστό ότι ένας αριθµός επιβατών ακυρώνουν το ταξίδι τους την τελευταία στιγµή. Προκειµένου να µην υπάρχουν κενές θέσεις, οι αεροπορικές εταιρείες εκδίδουν µεγαλύτερο αριθµό εισιτηρίων από όσες είναι οι θέσεις της πτήσης, ελπίζοντας ότι στο τέλος θα εµφανιστεί ο σωστός αριθµός επιβατών. Έστω ότι ο συνολικός αριθµός των θέσεων είναι 100 και η πιθανότητα µη-εµφάνισης ενός επιβάτη είναι ίση µε 0,15. Η τιµή του εισιτηρίου είναι 50. Το ποσό αυτό επιστρέφεται πίσω σε κάθε επιβάτη που αποφασίζει να µην ταξιδέψει. Στην περίπτωση που ο αριθµός των επιβατών που επιθυµούν να ταξιδέψουν είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των θέσεων, οι επιβάτες που δεν θα πραγµατοποιήσουν την πτήση αποζηµιώνονται µε 25 επιπλέον. Σχήµα 4.10 Μοντέλο υπερκράτησης αεροπορικών θέσεων. Αν η εταιρία αποφασίσει να εκδώσει 115 εισιτήρια ποιος είναι ο αναµενόµενος αριθµός των εµφανιζόµενων επιβατών; Πόσα είναι τα αναµενόµενα έσοδα; Ποιες οι πιθανότητες να εµφανιστούν (α) περισσότεροι από 100 επιβάτες, (β) περισσότεροι από 105 επιβάτες, (γ) τουλάχιστον 95 επιβάτες και (δ) τουλάχιστον 90 επιβάτες; Σε ποιο βαθµό επηρεάζονται τα παραπάνω µεγέθη από τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων; Ποια είναι η βέλτιστη τιµή των εκδιδόµενων εισιτηρίων;

16 88 Κεφάλαιο 4 Λύση Η λύση του προβλήµατος βρίσκεται στο αρχείο OVERBOOK.XLS. Η τυχαία µεταβλητή X αντιπροσωπεύει τον αριθµό των επιβατών που εµφανίζονται για να ταξιδέψουν. Ως επιτυχία σε κάθε δοκιµή ορίζεται η εµφάνιση ενός επιβάτη µε πιθανότητα ίση µε 1 0,15 = 0,85. Στο σχήµα 4.10 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των υπολογισµών που αφορούν στον αναµενόµενο αριθµό εµφανίσεων, στα αναµενόµενα έσοδα και στις ζητούµενες πιθανότητες. Η αναµενόµενη τιµή των εµφανιζόµενων επιβατών υπολογίζεται στο κελί Β11 µε τον τύπο: =TICKETS*(1-PROB) Ο τύπος αυτός αποτελεί άµεση εφαρµογή της σχέσης (4.1). Ο τρόπος υπολογισµού των αναµενόµενων εσόδων διαφέρει στις περιπτώσεις που ο αριθµός των εµφανιζόµενων επιβατών είναι µικρότερος ή µεγαλύτερος από τον αριθµό των θέσεων. Στην πρώτη περίπτωση, τα έσοδα είναι ίσα µε τον αριθµό των επιβατών επί την τιµή του κάθε εισιτηρίου. Στη δεύτερη περίπτωση πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι αποζηµιώσεις. Έτσι, τα έσοδα υπολογίζονται ως η τιµή του εισιτηρίου επί τον συνολικό αριθµό θέσεων (100) µείον την τιµή αποζηµίωσης επί τον αριθµό των επιβατών που δεν µπορούν να ταξιδέψουν. Το µέγεθος αυτό υπολογίζεται στο κελί Β12 µε τον τύπο: =IF(B11<=SEATS;PRICE*B11; PRICE*SEATS-FINE*(B11-SEATS)) Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων αποτελεί απλή εφαρµογή της συνάρτησης BINOMDIST, όπως παρουσιάστηκε στο προηγούµενο παράδειγµα. Έτσι στα κελιά Β15 έως Β18 εισάγονται οι τύποι: =1-BINOMDIST(100;TICKETS;1-PROB;1) =1-BINOMDIST(105;TICKETS;1-PROB;1) =1-BINOMDIST(94;TICKETS;1-PROB;1) =1-BINOMDIST(89;TICKETS;1-PROB;1) Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.10, ο αναµενόµενος αριθµός των εµφανιζόµενων επιβατών είναι 97,75 και οι αναµενόµενες εισπράξεις ίσες µε Στο σχήµα 4.11 εξετάζεται η επίδραση του αριθµού των εκδιδόµενων εισιτηρίων στις ποσότητες που υπολογίστηκαν παραπάνω. Αυτό πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια ενός πίνακα δεδοµένων µιας εισόδου. Για τη δηµιουργία του πίνακα ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα:

17 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 89 Σχήµα 4.11 Επίδραση του αριθµού των εκδιδόµενων εισιτηρίων στα διάφορα µεγέθη. Στα κελιά Α23:Α43 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές για τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων. Στα κελιά Β22:G22 εισάγονται αναφορές στα κελιά όπου υπολογίζονται τα αντίστοιχα µεγέθη (στο κελί Β22 εισάγεται ο τύπος =Β11 και στο κελί C22 ο τύπος =Β12 κτλ.). Επιλέγεται η περιοχή Α22:G43 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β6. Ποιοτικά, τα αποτελέσµατα είναι αναµενόµενα. Με αύξηση του αριθµού των εκδιδόµενων εισιτηρίων παρατηρείται αύξηση και στον αναµενόµενο αριθµό εµφανιζόµενων επιβατών. Αύξηση παρατηρείται και στις τιµές των διαφόρων πιθανοτήτων. Αυτό σηµαίνει ότι αυξάνεται η πιθανότητα οι θέσεις του αεροπλάνου να πληρωθούν, αλλά ταυτόχρονα αυξάνεται και η πιθανότητα να εµφανιστούν περισσότεροι επιβάτες από τις διαθέσιµες θέσεις.

18 90 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.12 Εξάρτηση του αριθµού των εµφανιζόµενων επιβατών και των εσόδων από τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων. Η επιλογή του βέλτιστου αριθµού εισιτηρίων πρέπει να γίνει µε βάση τη µεγιστοποίηση των αναµενόµενων εσόδων. Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.11, µε την έκδοση µεγαλύτερου αριθµού εισιτηρίων τα έσοδα αρχικά αυξάνονται αλλά από ένα σηµείο και µετά αρχίζουν να µειώνονται. Τα καθαρά έσοδα µεγιστοποιούνται για αριθµό θέσεων ίσο µε 118 (συνολικά έσοδα ). Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι για την τιµή αυτή ο αναµενόµενος αριθµός εµφανιζόµενων επιβατών είναι περίπου 100, δηλαδή όση είναι και η χωρητικότητα του αεροπλάνου. Στο σχήµα 4.12 παρουσιάζεται υπό τη µορφή διαγράµµατος η εξάρτηση του αριθµού των εµφανιζόµενων επιβατών και των εσόδων από τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων. Συνεχείς κατανοµές πιθανότητας Στην περίπτωση συνεχών τυχαίων µεταβλητών τα πιθανά ενδεχόµενα καλύπτουν µια περιοχή. Αντί να αντιστοιχίζονται πιθανότητες σε διακριτά ενδεχόµενα, η συνολική πιθανότητα (που είναι ίση µε 1) κατανέµεται στη συνεχή περιοχή των ενδεχοµένων. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.). Η συνάρτηση αυτή παίρνει θετικές τιµές σε όλο το διάστηµα ορισµού. Μεγάλες τιµές της σ.π.π. εκφράζουν µεγάλη πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρεθεί στην συγκεκριµένη περιοχή. Το συνολικό εµβαδόν κάτω από καµπύλη της σ.π.π. εκφράζει τη συνολική πιθανότητα και πρέπει να είναι ίσο µε 1.

19 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 91 Αν µε ( ) καλύπτει την περιοχή (, ) f x συµβολιστεί η σ.π.π. της τυχαίας µεταβλητής X, η οποία + αυτή πρέπει να έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: f( x) 0 (4.3) ( ) f x dx = 1 (4.4) Ο υπολογισµός πιθανοτήτων µε τη βοήθεια της σ.π.π. ανάγεται σε υπολογισµό εµβαδών (ολοκληρωµάτων). Έτσι, η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή X να πάρει τιµές στο διάστηµα [x 1, x 2] είναι ίση µε το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη της σ.π.π. που οριοθετείται από τα άκρα του διαστήµατος: x2 ( ) ( P x X x f x dx = ) 1 2 x1 (4.5) Αντίστοιχα, η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη από δίνεται από τη σχέση: x, 1 x 1 ( ) ( ) P X x1 = f x dx (4.6) Κανονική κατανοµή πιθανότητας Η κανονική κατανοµή (normal distribution) είναι η πιο σηµαντική συνεχής κατανοµή πιθανότητας. Η σ.π.π. της κανονικής κατανοµής έχει πεδίο ορισµού όλη την ευθεία των πραγµατικών αριθµών. Είναι όµως συγκεντρωµένη σε µια στενή περιοχή, η οποία αντιπροσωπεύει την περιοχή των πιο πιθανών ενδεχοµένων. Η αναλυτική της έκφραση έχει τη µορφή: 1 ( x µ ) ( ) 2 2σ f x = e 2, < x< + (4.7) 2πσ και είναι συνάρτηση δύο παραµέτρων. Της µέσης τιµής µ και της τυπικής απόκλισης σ. Στο αρχείο NPDF.XLS παρουσιάζεται σχηµατικά η σ.π.π. της κανονικής κατανοµής (βλ. σχήµα 4.13), ενώ ταυτόχρονα δίνεται η δυνατότητα πειραµατισµού µε τις παραµέτρους αυτής. Μεταβάλλοντας τα κελιά που περιέχουν τις τιµές των παραµέτρων µ και σ, ενηµερώνεται αυτόµατα η

20 92 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.13 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανοµής. µορφή της κατανοµής (πιθανώς να χρειαστούν τροποποίηση και τα όρια του άξονα x). Με το κουµπί «Τυπική», οι παράµετροι µ, σ παίρνουν τις τιµές 0 και 1 αντίστοιχα. Η ειδική αυτή περίπτωση της κανονικής κατανοµής ονοµάζεται τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution). Η σ.π.π. της κανονικής κατανοµή είναι εντελώς συµµετρική. Η υψηλότερη τιµή παρουσιάζεται στη θέση x = µ, στην περιοχή της οποίας αντιστοιχεί και η µεγαλύτερη πιθανότητα. Η παράµετρος σ καθορίζει τη διασπορά της κατανοµής γύρω από τη µέση τιµή µ. Το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης περιοχής στο διάγραµµα της κατανοµής, αντιπροσωπεύει την πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται στο διάστηµα µεταξύ των δύο άκρων της περιοχής. Τα άκρα αυτά µπορούν να µεταβληθούν µέσω των αντίστοιχων κελιών (εισάγοντας άµεσα τις τιµές ή χρησιµοποιώντας τα κουµπιά που βρίσκονται στα δεξιά των κελιών). Με κατάλληλους πειραµατισµούς µπορούν να αποδειχθούν οι ακόλουθοι πρακτικοί κανόνες: Η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται σε απόσταση µιας τυπικής απόκλισης από τη µέση τιµή (µ σ, µ + σ) είναι ίση µε 68,27%.

21 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 93 Η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται σε απόσταση δύο τυπικών αποκλίσεων από τη µέση τιµή είναι ίση µε 95,45%. Η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται σε απόσταση τριών τυπικών αποκλίσεων από τη µέση τιµή είναι ίση µε 99,73%. Συµπεραίνεται εποµένως ότι αν και η κανονική κατανοµή καλύπτει όλη την περιοχή των πραγµατικών αριθµών, σχεδόν στο σύνολό της είναι συγκεντρωµένη στη περιοχή από µ 3σ έως µ + 3σ. Υπολογισµοί µε την κανονική κατανοµή Οι υπολογισµοί που γίνονται µε την κανονική κατανοµή είναι δύο ειδών: (α) υπολογισµοί πιθανοτήτων και (β) υπολογισµοί ποσοστιαίων σηµείων. Τυπικό παράδειγµα της πρώτης περίπτωσης είναι ο υπολογισµός της πιθανότητας P η τυχαία µεταβλητή X να έχει τιµή µικρότερη από x. Αντίστοιχα, χαρακτηριστικό παράδειγµα της δεύτερης περίπτωσης είναι ο υπολογισµός της τιµής x, για την οποία η τυχαία µεταβλητή X είναι µε πιθανότητα P µικρότερη από αυτήν. Το Excel παρέχει επιπλέον τη δυνατότητα υπολογισµού των τιµών της σ.π.π. της κανονικής κατανοµής (σχέση 4.7). Η συνάρτηση µε την οποία υπολογίζονται πιθανότητες από µια κανονική κατανοµή είναι η NORMDIST. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: NORMDIST(x;µ;σ;cum) Το δεύτερο και τρίτο όρισµα (µ και σ) είναι οι παράµετροι της κανονικής κατανοµής (µέση τιµή και τυπική απόκλιση). Το πρώτο όρισµα (x) είναι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής η πιθανότητα της οποίας υπολογίζεται. Το τελευταίο όρισµα (cum) είναι µια λογική παράµετρος. Όταν έχει τιµή TRUE (ή αριθµητική τιµή διάφορη από 0), η παραπάνω συνάρτηση επιστρέφει την πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη από x [ P( X x) ]. Στην περίπτωση που η παράµετρος cum έχει τιµή FALSE (ή αριθµητική τιµή ίση µε 0) επιστρέφεται η τιµή της σ.π.π. στη θέση x. Αντίστοιχα, η συνάρτηση µε την οποία υπολογίζονται ποσοστιαία σηµεία από µια κανονική κατανοµή είναι η NORMINV. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: NORMINV(P;µ;σ) Όπως και πριν, τα ορίσµατα µ και σ αντιπροσωπεύουν τις παραµέτρους της κανονικής κατανοµής. Το όρισµα P είναι η αθροιστική πιθανότητα. Η συνάρτηση επιστρέφει την τιµή x για την οποία η τυχαία µεταβλητή έχει πιθανότητα P να είναι µικρότερή της, όταν αυτή ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ.

22 94 Κεφάλαιο 4 Συµπληρωµατικά, το Excel παρέχει τις ακόλουθες συναρτήσεις υπολογισµού για την τυπική κανονική κατανοµή (µ = 0 και σ = 1): NORMSDIST(x) NORMSINV(P) Από τη συνάρτηση NORMSDIST, εκτός των παραµέτρων µ και σ, απουσιάζει και το όρισµα cum που εµφανίζεται στη γενικευµένη συνάρτηση NORMDIST. Το όρισµα αυτό θεωρείται ότι έχει την τιµή TRUE και η συνάρτηση χρησιµοποιείται µόνο για τον υπολογισµό αθροιστικών πιθανοτήτων. Στο παράδειγµα που ακολουθεί διευκρινίζεται ο τρόπος χρήσης των συναρτήσεων NORMDIST και NORMINV. Παράδειγµα υπολογισµών µε την κανονική κατανοµή Το τµήµα προσωπικού µιας µεγάλης εταιρείας, το οποίο είναι υπεύθυνο για τις προσλήψεις υπαλλήλων, πραγµατοποίησε διαγωνισµό στον οποίο οι υποψήφιοι υποβλήθηκαν σε µια γραπτή εξέταση. Μετά την εξέταση οι υπεύθυνοι του τµήµατος διαπίστωσαν ότι οι βαθµοί των εξετασθέντων ακολουθούν σχεδόν κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 525 και τυπική απόκλιση 55. Σύµφωνα µε την πολιτική της εταιρείας, οι υποψήφιοι µε βαθµό 600 και πάνω προσλαµβάνονται αυτοµάτως, οι υποψήφιοι µε βαθµό 425 και κάτω απορρίπτονται, ενώ οι υπόλοιποι περνούν από µια προσωπική συνέντευξη, όπου και αποφασίζεται αν θα προσληφθούν ή όχι. Ο διευθυντής του τµήµατος θέλει να υπολογίσει το ποσοστό των υποψηφίων που (α) απορρίπτονται, (β) προσλαµβάνονται και (γ) προκρίνονται για συνέντευξη. Επίσης, θέλει να ξέρει σε ποιες τιµές πρέπει να θέσει τα όρια ώστε να απορριφθεί το 10% των υποψηφίων και να προσληφθεί το 15%. Λύση Τα δεδοµένα του προβλήµατος και η λύση βρίσκονται στο αρχείο EXAMS.XLS και παρουσιάζονται στο σχήµα Για τον υπολογισµό των αποτελεσµάτων ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Ποσοστό των υποψηφίων που απορρίπτονται. Είναι ίσο µε το εµβαδόν της κατανοµής από τη θέση 425 και αριστερά [ P( X 425) ]. Ο τύπος στο κελί Β10: =NORMDIST(B8;MEAN;STDEV;1) αποτελεί άµεση εφαρµογή της συνάρτησης NORMDIST.

23 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 95 Σχήµα 4.14 Υπολογισµοί µε την κανονική κατανοµή. Ποσοστό των υποψηφίων που προσλαµβάνονται αυτόµατα. Είναι ίσο µε το εµβαδόν της κατανοµής από τη θέση 600 και δεξιά [ P( X 600) ]. Καθώς η NORMDIST υπολογίζει πιθανότητες «προς τα αριστερά», υπολογίζεται αρχικά το εµβαδόν από τη θέση 600 και αριστερά και στη συνέχεια αφαιρείται από το συνολικό εµβαδόν (ίσο µε 1). Έτσι, στο κελί B11 εισάγεται ο τύπος: =1-NORMDIST(B7;MEAN;STDEV;1) Ποσοστό των υποψηφίων που προκρίνονται. Είναι ίσο µε το εµβαδόν της κατανοµής των βαθµών µεταξύ των θέσεων 425 και 600 [ P( 425 X 600) ]. Για τον υπολογισµό του αφαιρείται από το εµβαδόν που αντιστοιχεί σε τιµές µικρότερες του 600, το εµβαδόν που αντιστοιχεί σε τιµές µικρότερες του 425. Έτσι, στο κελί Β12 εισάγεται ο τύπος: =NORMDIST(B7;MEAN;STDEV;1)- NORMDIST(B8;MEAN;STDEV;1)

24 96 Κεφάλαιο 4 Νέο όριο απόρριψης. Είναι η τιµή εκείνη για την οποία το εµβαδόν στα αριστερά είναι ίσο µε 0,1. Ο τύπος στο κελί Β18: =NORMINV(B15;MEAN;STDEV) αποτελεί άµεση εφαρµογή της συνάρτησης NORMINV. Νέο όριο αυτόµατης πρόσληψης. Είναι η τιµή εκείνη για την οποία το εµβαδόν στα δεξιά είναι ίσο µε 0,15, ή ισοδύναµα το εµβαδόν στα αριστερά είναι ίσο µε 1 0,15. Υπολογίζεται στο κελί Β19 µε τον τύπο: =NORMINV(1-B16;MEAN;STDEV) Πρόβληµα εµφιάλωσης Το παράδειγµα αυτό αποτελεί µια τυπική εφαρµογή της κανονικής κατανοµής για την επίλυση ενός προβλήµατος λήψης αποφάσεων. Μια βιοµηχανία καλλυντικών παράγει φιάλες σαµπουάν των 330 ml κάθε µήνα. Η ποσότητα σαµπουάν που περιέχεται σε κάθε φιάλη ακολουθεί κανονική κατανοµή. Η µέση ποσότητα µπορεί να καθοριστεί ρυθµίζοντας κατάλληλα τη µηχανή εµφιάλωσης. Ανεξάρτητα από τη µέση τιµή, η τυπική απόκλιση της ποσότητας σαµπουάν ανά φιάλη είναι πάντα 1,5 ml. Το κόστος παραγωγής του σαµπουάν είναι ίσο µε 0,3 ανά 100 ml. Κάθε φιάλη που περιέχει λιγότερο από 330 ml επιστρέφεται και η βιοµηχανία είναι υποχρεωµένη να πληρώσει επιπλέον αποζηµίωση 2. Ζητείται να δηµιουργηθεί το κατάλληλο µοντέλο υπολογισµού του αναµενόµενου κόστους παραγωγής, του αναµενόµενου ποσού αποζηµίωσης και του αναµενόµενου συνολικού κόστους. Με βάση το µοντέλο αυτό να υπολογιστούν τα παραπάνω µεγέθη στις περιπτώσεις όπου η µηχανή εµφιάλωσης ρυθµίζεται στα 330 και 335 ml. Τέλος, ζητείται να υπολογιστεί η βέλτιστη µέση ποσότητα σαµπουάν, στην οποία πρέπει να ρυθµιστεί η µηχανή εµφιάλωσης, ώστε να ελαχιστοποιείται το αναµενόµενο συνολικό κόστος. Η απάντηση να δοθεί µε ακρίβεια 0,1 ml (όση είναι και η ακρίβεια της µηχανής εµφιάλωσης). Επηρεάζεται η απάντηση από τον αριθµό των φιαλών που παράγονται ανά µήνα; Λύση Το ζητούµενο µοντέλο βρίσκεται στο αρχείο BOTTLING.XLS και παρουσιάζεται στο σχήµα Τα δεδοµένα εισόδου βρίσκονται στα κελιά D5, D6, D8, D9, D11 και D12. Τα αποτελέσµατα βρίσκονται στα κελιά D16:D20 και υπολογίζονται µε τα παρακάτω βήµατα:

25 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 97 Αναµενόµενο κόστος παραγωγής. Είναι ανάλογο της συνολικής αναµενόµενης ποσότητας σαµπουάν που παράγεται µηνιαία και εξαρτάται από την τιµή στην οποία ρυθµίζεται η µηχανή εµφιάλωσης. Υπολογίζεται στο κελί D16 µε τον τύπο: =VOLUME*MEAN*COST Πιθανότητα αστοχίας. Είναι η πιθανότητα µία τυχαία φιάλη να περιέχει λιγότερο από 330 ml υπολογίζεται στο κελί D17. Καθώς η ποσότητα σαµπουάν που περιέχεται σε κάθε φιάλη ακολουθεί κανονική κατανοµή, η ζητούµενη πιθανότητα αντιστοιχεί στο εµβαδόν της κατανοµής από τη θέση 330 και αριστερά. Υπολογίζεται άµεσα µε τη συνάρτηση NORMDIST: =NORMDIST(MINQNT;MEAN;STDEV;1) Αναµενόµενος αριθµός φιαλών που επιστρέφονται. Είναι ίσος µε το συνολικό αριθµό που παράγονται επί την πιθανότητα αστοχίας. Υπολογίζεται στο κελί D18 µε τον τύπο: =D17*VOLUME Σχήµα 4.15 Το µοντέλο εµφιάλωσης.

26 98 Κεφάλαιο 4 Αναµενόµενο ποσό αποζηµίωσης. Είναι ίσο µε τον αναµενόµενο αριθµό φιαλών που επιστρέφονται επί το ποσό αποζηµίωσης ανά φιάλη. Υπολογίζεται στο κελί D19 µε τον τύπο: =D18*FINE Συνολικό αναµενόµενο κόστος. Είναι ίσο µε το άθροισµα του αναµενόµενου κόστους παραγωγής και του αναµενόµενου ποσού αποζηµίωσης. Υπολογίζεται στο κελί D20 µε τον τύπο: =D16+D19 Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.15, το συνολικό αναµενόµενο κόστος, στην περίπτωση που η µηχανή εµφιάλωσης ρυθµιστεί στα 330 ml, ανέρχεται σε (9.900 κόστος παραγωγής και αποζηµίωση). Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα αστοχίας είναι 0,5 (δηλαδή οι µισές φιάλες που παράγονται περιέχουν λιγότερο από 330 ml). Εύκολα διαπιστώνεται (µεταβάλλοντας το περιεχόµενο του κελιού D11) ότι στην περίπτωση που η µηχανή ρυθµιστεί στα 335 ml, το συνολικό κόστος γίνεται µόλις ,6 ( κόστος παραγωγής και 8,6 αποζηµίωση). Η µείωση του συνολικού κόστους οφείλεται στη µείωση της πιθανότητας αστοχίας, η οποία γίνεται µόλις 0,0004. Είναι φανερό ότι όταν η µηχανή ρυθµίζεται σε χαµηλές τιµές, η πιθανότητα αστοχίας και το ποσό αποζηµίωσης παρουσιάζουν υψηλές τιµές. Αντίθετα, όταν η µηχανή ρυθµίζεται σε υψηλές τιµές, το ποσό αποζηµίωσης ελαττώνεται αλλά ταυτόχρονα αυξάνεται το κόστος παραγωγής. Η επιλογή της βέλτιστης ποσότητας σαµπουάν, στην οποία πρέπει να ρυθµιστεί η µηχανή εµφιάλωσης ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια ενός πίνακα δεδοµένων µιας εισόδου. Η ανάλυση παρουσιάζεται στο σχήµα 4.16 και επιτυγχάνεται µε τα παρακάτω βήµατα: Στα κελιά A27:A47 εισάγονται οι δοκιµαστικές τιµές για τη µέση ποσότητα σαµπουάν. Στα κελιά B26, C26 και D26 εισάγονται αναφορές στα κελιά όπου υπολογίζονται το συνολικό κόστος, το κόστος παραγωγής και το ποσό αποζηµίωσης αντίστοιχα: =D20 =D16 =D19

27 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 99 Επιλέγεται η περιοχή Α26:D47 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται, δίνεται ως column input cell το κελί D11. Στο κελί B49 υπολογίζεται το ελάχιστο συνολικό κόστος παραγωγής µε τον τύπο: =MIN(B27:B47) Τέλος, στο κελί B50 υπολογίζεται η βέλτιστη µέση ποσότητα σαµπουάν εισάγοντας τον τύπο: =INDEX(A27:A47;MATCH(B49;B27:B47;0)) Οι συναρτήσεις MATCH και INDEX εξηγούνται στη συνέχεια. Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.16 η βέλτιστη ποσότητα είναι ίση µε 334,8 ml, στην οποία αντιστοιχεί συνολικό κόστος ίσο µε ,7. Στο σχήµα 4.17 παρουσιάζεται το διάγραµµα µεταβολής του συνολικού κόστους συναρτήσει της µέσης ποσότητας σαµπουάν σε κάθε φιάλη.

28 100 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.16 Επιλογή βέλτιστης µέσης ποσότητας σαµπουάν. Με τη βοήθεια του µοντέλου που αναπτύχθηκε, διαπιστώνεται εύκολα ότι ο αριθµός των φιαλών που παράγονται µηνιαία δεν επηρεάζει τη βέλτιστη τιµή της µέσης ποσότητας σαµπουάν αλλά µόνο το συνολικό κόστος που αντιστοιχεί σ αυτήν. Για παράδειγµα, µεταβάλλοντας την τιµή του κελιού D5 σε φιάλες, η βέλτιστη ποσότητα παραµένει ίση µε 334,8 ml αλλά το βέλτιστο συνολικό κόστος γίνεται ίσο µε 5.028,9.

29 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 101 Σχήµα 4.17 Επίδραση της µέσης ποσότητας στο συνολικό κόστος. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MATCH Η συνάρτηση MATCH επιστρέφει τη σχετική θέση µιας συγκεκριµένης τιµής σε µια περιοχή κελιών. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: MATCH(value;range;type) Το όρισµα value είναι η τιµή που αναζητείται στην περιοχή κελιών range. Το όρισµα type καθορίζει τον τρόπο µε τον οποίο γίνεται η αναζήτηση στην περιοχή range και µπορεί να πάρει µία από τις τιµές 1, 0 και 1. Όταν έχει την τιµή 1, η συνάρτηση αναζητεί τη µεγαλύτερη τιµή που είναι µικρότερη ή ίση µε τη value (οι τιµές της περιοχής range πρέπει να είναι ταξινοµηµένες σε αύξουσα σειρά). Όταν έχει την τιµή 0, η συνάρτηση αναζητεί την πρώτη τιµή που είναι ακριβώς ίση µε value (οι τιµές της περιοχής range δε χρειάζεται να είναι ταξινοµηµένες). Τέλος, όταν έχει την τιµή 1, η συνάρτηση αναζητεί τη µικρότερη τιµή που είναι µεγαλύτερη ή ίση µε τη value (οι τιµές της περιοχής range πρέπει να είναι ταξινοµηµένες σε φθίνουσα σειρά).

30 102 Κεφάλαιο 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ INDEX Η συνάρτηση INDEX επιστρέφει την τιµή ενός συγκεκριµένου κελιού σε µια περιοχή κελιών µε βάση τις σχετικές θέσεις της γραµµής και της στήλης του. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: INDEX(range;row;column) Το όρισµα range αντιπροσωπεύει την περιοχή κελιών στην οποία γίνεται η αναζήτηση και row, column είναι οι σχετικές θέσεις (µέσα στην περιοχή range) γραµµής και στήλης του κελιού που αναζητείται. Αν η περιοχή range περιέχει µία µόνο στήλη ή γραµµή, η αντίστοιχη παράµετρος column ή row είναι προαιρετική. Βιβλιογραφία Albright, S.C., Winston, W.L, and Zappe, C. (1999) Data Analysis & Decision Making with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Barlow, F.G. (1999) Excel Models for Business and Operations Management, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Berk, K.N., and Carey, P. (1998) Data Analysis with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Hamburg, M. (1983) Statistical Analysis for Decision Making, Harcourt Brace Jovanovitch, USA. Levine, D.M., Berenson, M.L., and Stephan, D. (1999) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Prentice-Hall, NJ. Wayne, R.O. (1995) Environmental Statistics and Data Analysis, Lewis Publisher, USA.

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές αριστοποίησης

Τεχνικές αριστοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Τεχνικές αριστοποίησης Εισαγωγή Τα µοντέλα αριστοποίησης, ευρέως γνωστά ως µοντέλα µαθηµατικού προγραµµατισµού, είναι αναµφίβολα η δηµοφιλέστερη τεχνική λήψης αποφάσεων στο χώρο της Επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. Ï.Å.Ö.Å.

1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. Ï.Å.Ö.Å. 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1: Α. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Συχνές ερωτήσεις - απαντήσεις για τη χρήση του λογισµικού

Συχνές ερωτήσεις - απαντήσεις για τη χρήση του λογισµικού Συχνές ερωτήσεις - απαντήσεις για τη χρήση του λογισµικού Πώς µπορώ να αποκτήσω κωδικούς πρόσβασης στο σύστηµα δήλωσης αυθαιρέτων; Οι κωδικοί πρόσβασης στην ηλεκτρονική εφαρµογή για τις δηλώσεις και βεβαιώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο C σηµαίνει αναχώρηση οχηµάτων από την αφετηρία µε µεγάλες

Επίπεδο C σηµαίνει αναχώρηση οχηµάτων από την αφετηρία µε µεγάλες ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Τα πρώτα αποτελέσµατα της έρευνας αξιολόγησης υπηρεσιών και δικτύου του ΟΑΣΘ την οποία διεξάγει το Ινστιτούτο Μεταφορών για λογαριασµό του Συµβουλίου Αστικών Συγκοινωνιών Θεσσαλονίκης (ΣΑΣΘ),

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing).

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Κεφάλαιο 4 Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Οι ενδείξεις (τάσεις εξόδου) των θερμοζευγών τύπου Κ είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται και συγκρίνονται οι µέσες τιµές όλων των αριθµητικών µεταβλητών που είναι ο γραπτός µέσος όρος όλων των µαθηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 12 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 12 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ. Μετά την εγκατάσταση το πρόγραμμα εκτελείται από το ΕΝΑΡΞΗ(START) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ(PROGRAMS) RENTACAR.

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ. Μετά την εγκατάσταση το πρόγραμμα εκτελείται από το ΕΝΑΡΞΗ(START) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ(PROGRAMS) RENTACAR. ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Μετά την εγκατάσταση το πρόγραμμα εκτελείται από το ΕΝΑΡΞΗ(START) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ(PROGRAMS) RENTACAR. Οταν τελειώσει η φόρτωση του προγράμματος, (ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ ΚΩΔΙΚΟΣ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ) βλεπουμε την βασική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη ζήτησης Β. Να βρεθεί η εξίσωση ζήτησης Γ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας : ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ P Α 24 80 Β 35 64 Γ 45 50 Δ 55 36 Ε 60 29 Ζ 70 14 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Α. Να σχεδιάσετε την καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Παγίων Στοιχείων

ιαχείριση Παγίων Στοιχείων Εισαγωγή Το εγχειρίδιο αυτό αναφέρεται στην οργάνωση και διαχείριση των παγίων στοιχείων της εταιρίας σας. Η εφαρµογή τηρεί όλα τα βασικά στοιχεία των παγίων, σας επιτρέπει να παρακολουθείτε κάθε πάγιο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΟΤ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΑΚΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ

ΕΛΟΤ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΑΚΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΕΛΟΤ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΑΚΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ Έκδοση/ Τροποποίηση : 01/01 Συντάχθηκε από/ Υπογραφή : Μ. Πιτσίκα/ Ξ. Παπαϊωάννου Εγκρίθηκε από/ Υπογραφή Προέδρου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα