Ειδικές κατανοµές πιθανότητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ειδικές κατανοµές πιθανότητας"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας Εισαγωγή Οι κατανοµές πιθανότητας που εξετάστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο έχουν γενική µορφή και δεν εµφανίζουν κάποια τυποποιηµένη συµπεριφορά. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται δύο ειδικές, τυποποιηµένες κατανοµές πιθανότητας, οι οποίες επιτρέπουν το χειρισµό πολλών σηµαντικών προβληµάτων λήψης αποφάσεων. Η πρώτη από αυτές, η διωνυµική κατανοµή, είναι µια διακριτή κατανοµή πιθανότητας. Εφαρµόζεται σε περιπτώσεις δειγµατοληψίας από πληθυσµό µε δύο είδη µελών ή σε περιπτώσεις επανάληψης τυχαίων πειραµάτων µε δύο πιθανά ενδεχόµενα. Η δεύτερη κατανοµή που εξετάζεται, η κανονική κατανοµή, είναι µια συνεχής κατανοµή πιθανότητας. Πρόκειται για µία από τις σπουδαιότερες κατανοµές της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής µε πολλές πρακτικές εφαρµογές. Σκοπός του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση των ιδιοτήτων των δύο αυτών κατανοµών και η εφαρµογή τους στην επίλυση πρακτικών προβληµάτων λήψης αποφάσεων. Οι υπολογισµοί που σχετίζονται µε τις κατανοµές αυτές κάτι που συµβατικά απαιτεί τη χρήση ειδικών πινάκων απλοποιούνται µε τη βοήθεια των συναρτήσεων που προσφέρει το Excel. Για το λόγο αυτό δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην παρουσίαση της σωστής χρήσης των συναρτήσεων αυτών.

2 74 Κεφάλαιο 4 ιωνυµική κατανοµή πιθανότητας Η διωνυµική κατανοµή (binomial distribution) είναι η πιο διαδεδοµένη διακριτή κατανοµή πιθανότητας. Οι περιπτώσεις στις οποίες µπορεί να εφαρµοστεί είναι δύο: 1. Κατά την εξέταση ενός δείγµατος από πληθυσµό µε δύο µόνο είδη µελών (π.χ. άνδρες και γυναίκες). 2. Κατά την πραγµατοποίηση µιας σειράς τυχαίων πειραµάτων κάτω από τις ίδιες συνθήκες, όπου το κάθε πείραµα παρουσιάζει δύο µόνο πιθανά ενδεχόµενα. Έστω ένα πείραµα το οποίο µπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Κάθε επανάληψη του πειράµατος ονοµάζεται δοκιµή. Το αποτέλεσµα κάθε δοκιµής είναι ανεξάρτητο από τα προηγούµενα και µπορεί να πάρει µία από δύο πιθανές τιµές (ενδεχόµενα). Τα ενδεχόµενα αυτά µπορούν αυθαίρετα ή όχι να ονοµαστούν ως επιτυχία και αποτυχία. Επειδή τα πειράµατα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι η ίδια και συµβολίζεται µε p. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι προφανώς ίση µε 1 p. Αν ο αριθµός των δοκιµών είναι ίσος µε n, η διωνυµική κατανοµή περιγράφει την πιθανότητα εµφάνισης k επιτυχιών, όπου το k κυµαίνεται µεταξύ 0 και n. Μαθηµατικά, αν µε X συµβολιστεί η τυχαία µεταβλητή µε ενδεχόµενα τις τιµές k (k = 0 n) που αντιπροσωπεύουν τον αριθµό επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιµές µε πιθανότητα επιτυχίας καθεµιάς ίση µε p, η µεταβλητή αυτή ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n και p. Μια κλασική περίπτωση εφαρµογής της διωνυµικής κατανοµής είναι το πείραµα ρίψης ενός νοµίσµατος. Τα πιθανά ενδεχόµενα είναι δύο (κορώνα ή γράµµατα), ένα από τα οποία µπορεί αυθαίρετα να ονοµαστεί ως επιτυχία. Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε ρίψη του νοµίσµατος (δοκιµή) είναι ίση µε 0,5. Αν η δοκιµή επαναληφθεί ένα συγκεκριµένο αριθµό, έστω 30, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν συνολικά 10, 15, 20 (ή οποιοσδήποτε αριθµός µεταξύ 0 και 30) επιτυχίες; Πρόκειται για µια περίπτωση εφαρµογής της διωνυµικής κατανοµής µε n = 30 και p = 0,5. Η σχέση υπολογισµού των πιθανοτήτων αυτών είναι αρκετά πολύπλοκη και δεν πρόκειται να παρουσιαστεί. Οι υπολογισµοί που ακολουθούν στηρίζονται αποκλειστικά στις συναρτήσεις που παρέχει το Excel. Πριν εξετασθούν οι σχέσεις υπολογισµού που αφορούν στη διωνυµική κατανοµή, σκόπιµο είναι να παρουσιαστεί η µορφή της. Στο αρχείο BDF.XLS (σχήµα 4.1) παρουσιάζεται, µε τη µορφή ραβδογράµµατος, η κατανοµή πιθανότητας που αντιστοιχεί στο παράδειγµα ρίψης νοµίσµατος που αναφέρθηκε παραπάνω. Η γραµµή, στο ίδιο διάγραµµα, αντιπροσωπεύει

3 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 75 Σχήµα 4.1 Η διωνυµική κατανοµή πιθανότητας. την αντίστοιχη αθροιστική κατανοµή πιθανότητας. Στο φύλλο αυτό δίνεται επίσης η δυνατότητα πειραµατισµού µε τις παραµέτρους της κατανοµής. Μεταβάλλοντας τα κελιά που περιέχουν τις τιµές των παραµέτρων p και n εισάγοντας άµεσα τις νέες τιµές ή χρησιµοποιώντας τα κουµπιά που βρίσκονται στα αριστερά των κελιών ενηµερώνεται αυτόµατα το διάγραµµα της κατανοµής. Ένα ενδιαφέρον συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι για σχετικά µεγάλες τιµές του n και για τιµές της p όχι πολύ κοντά στα άκρα 0 και 1, η διωνυµική κατανοµή είναι συµµετρική και έχει τη µορφή «καµπάνας». Με τη βοήθεια του ίδιου αρχείου µπορεί να υπολογιστεί και η πιθανότητα εµφάνισης συγκεκριµένου αριθµού επιτυχιών. Για παράδειγµα, στην περίπτωση που οι παράµετροι p και n έχουν τιµές 0,5 και 30 αντίστοιχα, οι πιθανότητες εµφάνισης 10, 15 και 20 επιτυχιών είναι 0,028, 0,144 και 0,028 αντίστοιχα. Οι αντίστοιχες αθροιστικές πιθανότητες (οι πιθανότητες δηλαδή εµφάνισης τουλάχιστον 10, 15 και 20 επιτυχιών) είναι 0,049, 0,572 και 0,979. Όπως κάθε κατανοµή πιθανότητας, έτσι και η διωνυµική κατανοµή χαρακτηρίζεται από µία µέση (αναµενόµενη) τιµή και µία τυπική απόκλιση. Οι δύο αυτές ποσότητες εξαρτώνται αποκλειστικά από τα

4 76 Κεφάλαιο 4 χαρακτηριστικά µεγέθη της κατανοµής (n, p) και υπολογίζονται από τις σχέσεις: ( ) µ= E X = n p (4.1) σ = Stdev( X) = n p ( 1 p) (4.2) Υπολογισµοί µε τη διωνυµική κατανοµή Για τον υπολογισµό πιθανοτήτων µε τη διωνυµική κατανοµή το Excel διαθέτει τη συνάρτηση BINOMDIST. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: BINOMDIST(k;n;p;cum) Το δεύτερο και τρίτο όρισµα (n και p) είναι οι παράµετροι της διωνυµικής κατανοµής (αριθµός δοκιµών και πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή αντίστοιχα). Το πρώτο όρισµα (k) είναι ο αριθµός των επιτυχιών, η πιθανότητα εµφάνισης των οποίων υπολογίζεται. Το τελευταίο όρισµα (cum) είναι µια λογική παράµετρος. Όταν έχει τιµή FALSE (ή την αριθµητική τιµή 0) τότε η συνάρτηση επιστρέφει την πιθανότητα εµφάνισης ακριβώς k επιτυχιών [ P( X= k) ]. Όταν έχει τιµή TRUE (ή αριθµητική τιµή διαφορετική από 0) τότε η συνάρτηση επιστρέφει την αθροιστική πιθανότητα, δηλαδή την πιθανότητα ο αριθµός των επιτυχιών να είναι P X k ]. µικρότερος ή ίσος από k [ ( ) Ο υπολογισµός ποσοστιαίων σηµείων, δηλαδή του αριθµού επιτυχιών για τις οποίες η αθροιστική πιθανότητα έχει συγκεκριµένη τιµή, πραγµατοποιείται µε τη συνάρτηση CRITBINOM. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: CRITBINOM(n;p;a) Όπως και πριν, τα ορίσµατα n και p αντιπροσωπεύουν τον αριθµό των δοκιµών και την πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή. Το όρισµα a είναι η αθροιστική πιθανότητα. Η συνάρτηση επιστρέφει τη µικρότερη τιµή (αριθµό επιτυχιών) για την οποία η αθροιστική πιθανότητα είναι µεγαλύτερη ή ίση µε a. Στο παράδειγµα που ακολουθεί διευκρινίζεται ο τρόπος χρήσης των δύο αυτών συναρτήσεων. Παράδειγµα υπολογισµών µε τη διωνυµική κατανοµή Το επίπεδο νέφους σε µια µεγάλη πόλη θεωρείται µη αποδεκτό περίπου το 15% των ηµερών. Αν επιλεγούν τυχαία 100 ηµέρες, ποιες είναι οι πιθανότητες να εµφανιστούν:

5 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 77 (α) Ακριβώς 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (β) Όχι περισσότερες από 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. Σχήµα 4.2 Υπολογισµοί µε τη διωνυµική κατανοµή. (γ) Λιγότερες από 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (δ) Περισσότερες από 15 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (ε) Μεταξύ 12 και 18 ηµέρες µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους. (στ) Ακριβώς 88 ηµέρες µε αποδεκτό επίπεδο νέφους. (ζ) Τουλάχιστον 82 ηµέρες µε αποδεκτό επίπεδο νέφους.. Ζητείται επίσης η τιµή εκείνη για την οποία υπάρχει 95% πιθανότητα να µην την ξεπερνά ο αριθµός των ηµερών (στο δείγµα των 100 ηµερών) µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους.

6 78 Κεφάλαιο 4 Λύση Η λύση βρίσκεται στο αρχείο SMOG.XLS και παρουσιάζεται στο σχήµα 4.2. Για τα ερωτήµατα (α) έως (ε), ως επιτυχία ορίζεται η εµφάνιση ηµέρας µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους, της οποίας η πιθανότητα είναι ίση µε 0,15. Η τυχαία µεταβλητή X αντιπροσωπεύει τον αριθµό εµφάνισης ηµερών µε µη αποδεκτό επίπεδο νέφους στο δείγµα των 100 ηµερών. Εποµένως οι ζητούµενες πιθανότητες είναι οι ακόλουθες: (α) P( X= 15) (β) P( X 15) (γ) P( X< 15) = P( X 14) (δ) P( X> 15) = 1 P( X 15) (ε) P( 12 X 18) = P( X 18) P( X < 12) = P( X 18) P( X 11) Κάθε περίπτωση έχει µετατραπεί σε όρους πιθανοτήτων της µορφής P( X= k) ή P( X k) και αυτό επειδή αυτές τις πιθανότητες είναι σε θέση να υπολογίσει η συνάρτηση BINOMDIST. Οι παραπάνω πιθανότητες υπολογίζονται στα κελιά Β8 έως Β12 µε του τύπους: =BINOMDIST(15;TRIALS;PROB;0) =BINOMDIST(15;TRIALS;PROB;1) =BINOMDIST(14;TRIALS;PROB;1) =1-BINOMDIST(15;TRIALS;PROB;1) =BINOMDIST(18;TRIALS;PROB;1)- BINOMDIST(11;TRIALS;PROB;1) Στα ερωτήµατα (στ) και (ζ), ως επιτυχία ορίζεται η εµφάνιση ηµέρας µε αποδεκτό επίπεδο νέφους, της οποίας η πιθανότητα είναι ίση µε 1 0,15 = 0,85. Οι ζητούµενες πιθανότητες είναι οι ακόλουθες: (στ) P( X= 88) (ζ) P( X 82) Οι πιθανότητες αυτές υπολογίζονται στα κελιά B13 και B14 µε τους τύπους: =BINOMDIST(88;TRIALS;1-PROB;0) =BINOMDIST(82;TRIALS;1-PROB;1) Το τελευταίο ερώτηµα αφορά στον υπολογισµό του 95 ου ποσοστιαίου σηµεί- P X k 0,95. ου, δηλαδή, της τιµής k για την οποία ( )

7 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 79 Αρχικά η τιµή αυτή υπολογίζεται µε δοκιµή και σφάλµα. Στην περιοχή Α18:Α24 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές για το ζητούµενο αριθµό ηµερών. Στο κελί Β18 εισάγεται ο τύπος: =BINOMDIST(A18;TRIALS;PROB;1) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β22. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει k τέτοιο ώστε η αθροιστική πιθανότητα να είναι ακριβώς ίση µε 0,95. Σύµφωνα µε το ερώτηµα όµως, η τιµή εκείνη που ικανοποιεί το κριτήριο είναι η k = 21 της οποίας η αθροιστική πιθανότητα είναι ίση µε 0,9607 (η αθροιστική πιθανότητα της τιµής k = 20 είναι 0,9337, δηλαδή µικρότερη της 0,95). Την τιµή αυτή ακριβώς υπολογίζει και η συνάρτηση CRITBINOM η οποία εφαρµόζεται στο κελί Α28: =CRITBINOM(TRIALS;PROB;B28) Θέσπιση κριτηρίων ποιότητας ατµόσφαιρας Το παράδειγµα που ακολουθεί αποτελεί µια χαρακτηριστική περίπτωση εφαρµογής της διωνυµικής κατανοµής για τη θέσπιση κριτηρίων ποιότητας της ατµόσφαιρας. Η οδηγία NAAQS (National Ambient Air Quality Standards), που τέθηκε σε ισχύ το 1971 στις ΗΠΑ, όριζε µία ανώτατη τιµή για τη συγκέντρωση κάθε ρύπου. Για να θεωρηθεί µία περιοχή σύµφωνη µε τα θεσπισµένα κριτήρια δεν έπρεπε να υπερβαίνει την ανώτατη τιµή περισσότερο από µια ηµέρα το έτος. Για το λόγο αυτό, η δεύτερη µέγιστη ηµερήσια τιµή της συγκέντρωσης κατά τη διάρκεια ενός έτους υιοθετήθηκε ως δείκτης ποιότητας της ατµόσφαιρας. Αν ο δείκτης αυτός υπερέβαινε το θεσπισµένο όριο, η περιοχή κρινόταν ως µη-σύµφωνη µε την οδηγία. Ένα σηµαντικό µειονέκτηµα της οδηγίας αυτής είναι ότι δε λαµβάνει υπόψη την πιθανότητα εµφάνισης ακραίων καταστάσεων. Για παράδειγµα, ασυνήθιστες µετεωρολογικές συνθήκες σε µια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός έτους µπορούν να οδηγήσουν στην εµφάνιση υψηλών τιµών συγκέντρωσης ενός ρύπου, αν και η περιοχή είναι σύµφωνη µε την οδηγία όλα τα υπόλοιπα έτη. Για το λόγο αυτό η EPA (Environmental Protection Agency), το 1979, αναθεώρησε την παραπάνω οδηγία µε µια στοχαστική διατύπωση, η οποία στηρίζεται στην αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων. Συγκεκριµένα, για να θεωρηθεί µια περιοχή σύµφωνη µε την οδηγία, έπρεπε η αναµενόµενη τιµή των ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια ενός έτους να µην ξεπερνά την τιµή 1. Το πρόβληµα µε τη νέα διατύπωση ήταν η αδυναµία µέτρησης της αναµενόµενης τιµής λόγω των ασυµπτωτικών ιδιοτήτων της (για τον ακριβή

8 80 Κεφάλαιο 4 προσδιορισµό της πραγµατικής αναµενόµενης τιµής απαιτείται άπειρος αριθµός µετρήσεων). Προκειµένου να ξεπεραστεί το πρακτικό αυτό πρόβληµα, η EPA καθόρισε ένα τρόπο προσέγγισης της αναµενόµενης τιµής, στηριζόµενη σε µετρήσεις τριών ετών. Έτσι, για να θεωρηθεί µια περιοχή σύµφωνη µε την οδηγία, ο αριθµός των ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια τριών συνεχόµενων ετών δεν έπρεπε να ξεπερνάει την τιµή 3 (δηλαδή η µέση ετήσια τιµή είναι ίση µε 1). Είναι φανερό ότι η νέα οδηγία εισήγαγε δύο κριτήρια. Ένα στοχαστικό, το οποίο στηρίζεται στην αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων ανά έτος και ένα ντετερµινιστικό, το οποίο στηρίζεται στον αριθµό των υπερβάσεων στη διάρκεια τριών ετών. Έχει ενδιαφέρον να εξετασθεί κατά πόσο το ντετερµινιστικό κριτήριο βρίσκεται σε συµφωνία µε το αντίστοιχο στοχαστικό. Λύση Στην ανάλυση που ακολουθεί θεωρείται µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο. Για την περιοχή αυτή δηλαδή, η αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων ανά έτος είναι ίση µε 1 και εξετάζεται η πιθανότητα εµφάνισης ενός συγκεκριµένου αριθµού ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια ενός ή τριών ετών. Η µεταβλητή αυτή (αριθµός υπερβάσεων) ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n και p. Με n συµβολίζεται ο συνολικός αριθµός των ηµερών (ανάλογος των ετών που εξετάζονται) και µε p η πιθανότητα εµφάνισης υπέρβασης του ορίου κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας. Καθώς η αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων είναι ίση µε 1, η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται εύκολα ως 1/365 (εφαρµογή της σχέσης 4.1). Η ανάλυση βρίσκεται στο αρχείο NAAQS.XLS και για την περίπτωση ενός έτους (πριν την αναθεώρηση του ντετερµινιστικού κριτηρίου) παρουσιάζεται στο σχήµα 4.3. Στα κελιά B4 έως B7 εισάγονται τα δεδοµένα εισόδου. Συγκεκριµένα, εισάγεται ο αριθµός των ετών που εξετάζονται, ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός ηµερήσιων υπερβάσεων στη διάρκεια των ετών αυτών, η αναµενόµενη τιµή των υπερβάσεων που παρουσιάζει η περιοχή και ένα επίπεδο εµπιστοσύνης, η σηµασία του οποίου θα φανεί στη συνέχεια. Στα κελιά B9 και B10, υπολογίζονται οι παράµετροι της διωνυµικής κατανοµής, σύµφωνα µε αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω. Έτσι στα κελιά αυτά εισάγονται οι τύποι: =MEANLIMIT/365 =YEARS*365

9 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 81 Στα κελιά B13, B14 και B15 υπολογίζονται οι πιθανότητες ο αριθµός των υπερβάσεων (α) να είναι ακριβώς ίσος µε το µέγιστο επιτρεπτό όριο, (β) να είναι µικρότερος ή ίσος από το µέγιστο επιτρεπτό όριο και (γ) να είναι µεγαλύτερος από το µέγιστο επιτρεπτό όριο. Οι υπολογισµοί αυτοί πραγµατοποιούνται µε τη βοήθεια των τύπων: Σχήµα 4.3 Μοντέλο υπολογισµού πιθανοτήτων και ποσοστιαίων σηµείων (περίπτωση ενός έτους). =BINOMDIST(LIMIT;DAYS;PROB;0) =BINOMDIST(LIMIT;DAYS;PROB;1) =1-B14 Τέλος, στο κελί Β18 υπολογίζεται το ποσοστιαίο σηµείο, δηλαδή ο αριθµός των υπερβάσεων για τον οποίο η αθροιστική πιθανότητα είναι ίση µε το επίπεδο εµπιστοσύνης που ορίζεται στο κελί Β7: =CRITBINOM(DAYS;PROB;CONFIDENCE) Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.3, σε µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο, η πιθανότητα εµφάνισης µιας υπέρβασης στη διάρκεια ενός έτους, είναι περίπου 36,8%. Η πιθανότητα εµφάνισης τουλάχιστον µιας υπέρβασης είναι 73,6% και η πιθανότητα εµφάνισης περισσότερων της µιας υπέρβασης είναι 26,4%. Είναι φανερό ότι η τελευταία πιθανότητα είναι πολύ υψηλή. Αν και η περιοχή ικανοποιεί (έστω και οριακά) το στοχαστικό

10 82 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.4 Υπολογισµοί πιθανοτήτων και ποσοστιαίων σηµείων (περίπτωση τριών ετών). κριτήριο, σε ένα τυχαίο έτος υπάρχει πιθανότητα µεγαλύτερη από 1 προς 3 να µην ικανοποιεί το ντετερµινιστικό κριτήριο. Το ποσοστιαίο σηµείο που υπολογίστηκε αντιπροσωπεύει την τιµή στην οποία πρέπει να τεθεί το ντετερµινιστικό όριο, ώστε µε βεβαιότητα 95% η ικανοποίηση του ντετερµινιστικού κριτηρίου να σηµαίνει και ικανοποίηση του στοχαστικού κριτηρίου. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η τιµή αυτή είναι ίση µε 3. Αυτό σηµαίνει ότι µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο έχει πιθανότητα τουλάχιστον 95% να εµφανίσει από 0 έως 3 υπερβάσεις σε ένα έτος. Ισοδύναµα, έχει πιθανότητα µόλις 5% να εµφανίσει πάνω από τρεις υπερβάσεις. Αν, εποµένως, ο αριθµός των υπερβάσεων σε µια περιοχή ξεπερνά την τιµή 3, τότε µε βεβαιότητα 95%, η περιοχή αυτή δεν έχει αναµενόµενη τιµή ίση µε 1 και κατά συνέπεια δεν ικανοποιεί το στοχαστικό κριτήριο. ίνοντας στα κελιά Β4 και Β5 την τιµή 3, προκύπτουν τα αντίστοιχα µεγέθη για την αναθεώρηση του ντετερµινιστικού κριτηρίου. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 4.4. Η πιθανότητα εµφάνισης περισσότερων των τριών υπερβάσεων στη διάρκεια τριών ετών είναι περίπου 35,3%, ενώ το 95% ποσοστιαίο σηµείο είναι 6 υπερβάσεις. Στην περιοχή Α20:D39 καταστρώνεται ένας πίνακας δεδοµένων υπολογισµού των παραπάνω πιθανοτήτων για διάφορες τιµές του αριθµού

11 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 83 των υπερβάσεων και ένα διάγραµµα των κατανοµών τους (σχήµα 4.5). Για την κατάστρωση του πίνακα ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Στα κελιά Α24:Α39 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές του αριθµού των υπερβάσεων. Στα κελιά Β23, C23 και D23 εισάγονται αναφορές στα κελιά όπου υπολογίζονται τα αντίστοιχα µεγέθη (=Β13, =Β14, =Β15). Σχήµα 4.5 Κατανοµή των πιθανοτήτων για διάφορες τιµές του αριθµού υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Επιλέγεται η περιοχή Α23:D39 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β5. Είναι φανερό ότι σε µια περιοχή που ικανοποιεί οριακά το στοχαστικό κριτήριο, όσο αυξάνεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων τόσο µειώνεται η πιθανότητα µη ικανοποίησης του ντετερµινιστικού κριτηρίου. Εύκολα προκύπτει και το συµπέρασµα ότι για επίπεδο εµπιστοσύνης 95%, ο µέγιστος αριθµός επιτρεπτών υπερβάσεων είναι 6 (η πιθανότητα εµφάνισης 0 έως 5 υπερβάσεων είναι µόλις 91,6%). Αν µάλιστα το επίπεδο εµπιστοσύνης γίνει 99%, τότε ο µέγιστος αριθµός επιτρεπτών υπερβάσεων πρέπει να πάρει την τιµή 8. Η επίδραση του επιπέδου εµπιστοσύνης εξετάζεται στην περιοχή Α41:Β58 και πάλι µε τη βοήθεια ενός πίνακα δεδοµένων (σχήµα 4.6). Στα κελιά Α44:Α58 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές του επιπέδου εµπιστοσύνης. Στο κελί Β43 εισάγεται αναφορά στο κελί όπου υπολογίζεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων (=Β18).

12 84 Κεφάλαιο 4 Επιλέγεται η περιοχή Α43:Β58 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β7. Όπως είναι αναµενόµενο, αύξηση του επιπέδου εµπιστοσύνης οδηγεί σε αύξηση του µέγιστου επιτρεπτού αριθµού υπερβάσεων. Παρατηρείται ότι ακόµη και για τη µικρότερη τιµή του πίνακα (επίπεδο εµπιστοσύνης 85%) ο µέγιστος αριθµός υπερβάσεων είναι ίσος µε 5, αρκετά µεγαλύτερος από την τιµή του ντετερµινιστικού κριτηρίου (ίσο µε 3). Σχήµα 4.6 Επίδραση του επιπέδου εµπιστοσύνης στο µέγιστο επιτρεπτό αριθµό υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Έχει ενδιαφέρον να υπολογιστεί για ποιο επίπεδο εµπιστοσύνης το ντετερµινιστικό κριτήριο είναι σύµφωνο µε το στοχαστικό. ηλαδή, να υπολογιστεί το επίπεδο εµπιστοσύνης για το οποίο ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων είναι ίσος µε 3. Αυτό µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια του ίδιου πίνακα δεδοµένων, µεταβάλλοντας τις δοκιµαστικές τιµές. Η ανάλυση παρουσιάζεται στο σχήµα 4.7, απ όπου προκύπτει ότι το ζητούµενο επίπεδο εµπιστοσύνης είναι ίσο µε 64%. Στην περιοχή Α60:Β82 (σχήµα 4.8) καταστρώνεται ένας πίνακας δεδοµένων υπολογισµού της µεταβολής του µέγιστου επιτρεπτού αριθµού υπερβάσεων (µε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) συναρτήσει του αριθµού ετών. Στα κελιά Α61:Α82 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές του αριθµού ετών.

13 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 85 Σχήµα 4.7 Εύρεση πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης (περίπτωση τριών ετών). Σχήµα 4.8 Επίδραση του αριθµού των ετών στο µέγιστο επιτρεπτό αριθµό υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Στο κελί Β62 εισάγεται αναφορά στο κελί όπου υπολογίζεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων (=Β18). Επιλέγεται η περιοχή Α62:Β82 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται ως Column input cell ορίζεται το κελί Β4. Όπως είναι φυσικό, ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων αυξάνεται καθώς αυξάνονται τα έτη των µετρήσεων. Όµως, η ποσοστιαία µεταβολή του δεν είναι αναλογική. Για παράδειγµα, στην περίπτωση ενός έτους ο µέγιστος αριθµός υπερβάσεων είναι 3, στην περίπτωση τριών ετών γίνεται 6 (και όχι 9 αν ακολουθούσε αναλογική αύξηση), ενώ στην περίπτωση είκοσι ετών είναι µόνο 28.

14 86 Κεφάλαιο 4 Τέλος, στην περιοχή Α84:Β106 καταστρώνεται ένας πίνακας δεδοµένων της µεταβολής του µέγιστου επιτρεπτού αριθµού υπερβάσεων (µε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) συναρτήσει της ετήσιας αναµενόµενης τιµής (σχήµα 4.9). Στα κελιά Α87:Α106 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές της αναµενόµενης ετήσιας τιµής των υπερβάσεων. Στο κελί Β86 εισάγεται αναφορά στο κελί όπου υπολογίζεται ο µέγιστος επιτρεπτός αριθµός υπερβάσεων (=Β18). Επιλέγεται η περιοχή Α86:Β106 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β4. Σχήµα 4.9 Επίδραση της αναµενόµενης ετήσιας τιµής στο µέγιστο επιτρεπτό αριθµό υπερβάσεων (περίπτωση τριών ετών). Ο αριθµός αυτός, από την τιµή 3 που έχει όταν η αναµενόµενη ετήσια τιµή είναι 1, γίνεται 10 όταν η αναµενόµενη ετήσια τιµή γίνει 2. Όπως φαίνεται από το σχήµα, η µέγιστη αναµενόµενη τιµή στην οποία αντιστοιχούν 3 επιτρεπτές υπερβάσεις είναι η 0,4. Εποµένως, το στοχαστικό κριτήριο για να είναι συµβατό (µε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) µε την αναθεωρηµένη µορφή του ντετερµινιστικού κριτηρίου, έπρεπε να ορίζει ως ανώτατη ετήσια αναµενόµενη τιµή των ηµερήσιων υπερβάσεων την 0,4. Υπερκράτηση αεροπορικών θέσεων Στο πρόβληµα αυτό παρουσιάζεται µια απλοποιηµένη εκδοχή των υπολογισµών που γίνονται από τις αεροπορικές εταιρείες κατά την έκδοση

15 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 87 εισιτηρίων. Είναι γνωστό ότι ένας αριθµός επιβατών ακυρώνουν το ταξίδι τους την τελευταία στιγµή. Προκειµένου να µην υπάρχουν κενές θέσεις, οι αεροπορικές εταιρείες εκδίδουν µεγαλύτερο αριθµό εισιτηρίων από όσες είναι οι θέσεις της πτήσης, ελπίζοντας ότι στο τέλος θα εµφανιστεί ο σωστός αριθµός επιβατών. Έστω ότι ο συνολικός αριθµός των θέσεων είναι 100 και η πιθανότητα µη-εµφάνισης ενός επιβάτη είναι ίση µε 0,15. Η τιµή του εισιτηρίου είναι 50. Το ποσό αυτό επιστρέφεται πίσω σε κάθε επιβάτη που αποφασίζει να µην ταξιδέψει. Στην περίπτωση που ο αριθµός των επιβατών που επιθυµούν να ταξιδέψουν είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των θέσεων, οι επιβάτες που δεν θα πραγµατοποιήσουν την πτήση αποζηµιώνονται µε 25 επιπλέον. Σχήµα 4.10 Μοντέλο υπερκράτησης αεροπορικών θέσεων. Αν η εταιρία αποφασίσει να εκδώσει 115 εισιτήρια ποιος είναι ο αναµενόµενος αριθµός των εµφανιζόµενων επιβατών; Πόσα είναι τα αναµενόµενα έσοδα; Ποιες οι πιθανότητες να εµφανιστούν (α) περισσότεροι από 100 επιβάτες, (β) περισσότεροι από 105 επιβάτες, (γ) τουλάχιστον 95 επιβάτες και (δ) τουλάχιστον 90 επιβάτες; Σε ποιο βαθµό επηρεάζονται τα παραπάνω µεγέθη από τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων; Ποια είναι η βέλτιστη τιµή των εκδιδόµενων εισιτηρίων;

16 88 Κεφάλαιο 4 Λύση Η λύση του προβλήµατος βρίσκεται στο αρχείο OVERBOOK.XLS. Η τυχαία µεταβλητή X αντιπροσωπεύει τον αριθµό των επιβατών που εµφανίζονται για να ταξιδέψουν. Ως επιτυχία σε κάθε δοκιµή ορίζεται η εµφάνιση ενός επιβάτη µε πιθανότητα ίση µε 1 0,15 = 0,85. Στο σχήµα 4.10 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των υπολογισµών που αφορούν στον αναµενόµενο αριθµό εµφανίσεων, στα αναµενόµενα έσοδα και στις ζητούµενες πιθανότητες. Η αναµενόµενη τιµή των εµφανιζόµενων επιβατών υπολογίζεται στο κελί Β11 µε τον τύπο: =TICKETS*(1-PROB) Ο τύπος αυτός αποτελεί άµεση εφαρµογή της σχέσης (4.1). Ο τρόπος υπολογισµού των αναµενόµενων εσόδων διαφέρει στις περιπτώσεις που ο αριθµός των εµφανιζόµενων επιβατών είναι µικρότερος ή µεγαλύτερος από τον αριθµό των θέσεων. Στην πρώτη περίπτωση, τα έσοδα είναι ίσα µε τον αριθµό των επιβατών επί την τιµή του κάθε εισιτηρίου. Στη δεύτερη περίπτωση πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι αποζηµιώσεις. Έτσι, τα έσοδα υπολογίζονται ως η τιµή του εισιτηρίου επί τον συνολικό αριθµό θέσεων (100) µείον την τιµή αποζηµίωσης επί τον αριθµό των επιβατών που δεν µπορούν να ταξιδέψουν. Το µέγεθος αυτό υπολογίζεται στο κελί Β12 µε τον τύπο: =IF(B11<=SEATS;PRICE*B11; PRICE*SEATS-FINE*(B11-SEATS)) Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων αποτελεί απλή εφαρµογή της συνάρτησης BINOMDIST, όπως παρουσιάστηκε στο προηγούµενο παράδειγµα. Έτσι στα κελιά Β15 έως Β18 εισάγονται οι τύποι: =1-BINOMDIST(100;TICKETS;1-PROB;1) =1-BINOMDIST(105;TICKETS;1-PROB;1) =1-BINOMDIST(94;TICKETS;1-PROB;1) =1-BINOMDIST(89;TICKETS;1-PROB;1) Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.10, ο αναµενόµενος αριθµός των εµφανιζόµενων επιβατών είναι 97,75 και οι αναµενόµενες εισπράξεις ίσες µε Στο σχήµα 4.11 εξετάζεται η επίδραση του αριθµού των εκδιδόµενων εισιτηρίων στις ποσότητες που υπολογίστηκαν παραπάνω. Αυτό πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια ενός πίνακα δεδοµένων µιας εισόδου. Για τη δηµιουργία του πίνακα ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα:

17 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 89 Σχήµα 4.11 Επίδραση του αριθµού των εκδιδόµενων εισιτηρίων στα διάφορα µεγέθη. Στα κελιά Α23:Α43 εισάγονται διάφορες δοκιµαστικές τιµές για τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων. Στα κελιά Β22:G22 εισάγονται αναφορές στα κελιά όπου υπολογίζονται τα αντίστοιχα µεγέθη (στο κελί Β22 εισάγεται ο τύπος =Β11 και στο κελί C22 ο τύπος =Β12 κτλ.). Επιλέγεται η περιοχή Α22:G43 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που ακολουθεί ως Column input cell ορίζεται το κελί Β6. Ποιοτικά, τα αποτελέσµατα είναι αναµενόµενα. Με αύξηση του αριθµού των εκδιδόµενων εισιτηρίων παρατηρείται αύξηση και στον αναµενόµενο αριθµό εµφανιζόµενων επιβατών. Αύξηση παρατηρείται και στις τιµές των διαφόρων πιθανοτήτων. Αυτό σηµαίνει ότι αυξάνεται η πιθανότητα οι θέσεις του αεροπλάνου να πληρωθούν, αλλά ταυτόχρονα αυξάνεται και η πιθανότητα να εµφανιστούν περισσότεροι επιβάτες από τις διαθέσιµες θέσεις.

18 90 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.12 Εξάρτηση του αριθµού των εµφανιζόµενων επιβατών και των εσόδων από τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων. Η επιλογή του βέλτιστου αριθµού εισιτηρίων πρέπει να γίνει µε βάση τη µεγιστοποίηση των αναµενόµενων εσόδων. Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.11, µε την έκδοση µεγαλύτερου αριθµού εισιτηρίων τα έσοδα αρχικά αυξάνονται αλλά από ένα σηµείο και µετά αρχίζουν να µειώνονται. Τα καθαρά έσοδα µεγιστοποιούνται για αριθµό θέσεων ίσο µε 118 (συνολικά έσοδα ). Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι για την τιµή αυτή ο αναµενόµενος αριθµός εµφανιζόµενων επιβατών είναι περίπου 100, δηλαδή όση είναι και η χωρητικότητα του αεροπλάνου. Στο σχήµα 4.12 παρουσιάζεται υπό τη µορφή διαγράµµατος η εξάρτηση του αριθµού των εµφανιζόµενων επιβατών και των εσόδων από τον αριθµό των εκδιδόµενων εισιτηρίων. Συνεχείς κατανοµές πιθανότητας Στην περίπτωση συνεχών τυχαίων µεταβλητών τα πιθανά ενδεχόµενα καλύπτουν µια περιοχή. Αντί να αντιστοιχίζονται πιθανότητες σε διακριτά ενδεχόµενα, η συνολική πιθανότητα (που είναι ίση µε 1) κατανέµεται στη συνεχή περιοχή των ενδεχοµένων. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.). Η συνάρτηση αυτή παίρνει θετικές τιµές σε όλο το διάστηµα ορισµού. Μεγάλες τιµές της σ.π.π. εκφράζουν µεγάλη πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρεθεί στην συγκεκριµένη περιοχή. Το συνολικό εµβαδόν κάτω από καµπύλη της σ.π.π. εκφράζει τη συνολική πιθανότητα και πρέπει να είναι ίσο µε 1.

19 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 91 Αν µε ( ) καλύπτει την περιοχή (, ) f x συµβολιστεί η σ.π.π. της τυχαίας µεταβλητής X, η οποία + αυτή πρέπει να έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: f( x) 0 (4.3) ( ) f x dx = 1 (4.4) Ο υπολογισµός πιθανοτήτων µε τη βοήθεια της σ.π.π. ανάγεται σε υπολογισµό εµβαδών (ολοκληρωµάτων). Έτσι, η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή X να πάρει τιµές στο διάστηµα [x 1, x 2] είναι ίση µε το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη της σ.π.π. που οριοθετείται από τα άκρα του διαστήµατος: x2 ( ) ( P x X x f x dx = ) 1 2 x1 (4.5) Αντίστοιχα, η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη από δίνεται από τη σχέση: x, 1 x 1 ( ) ( ) P X x1 = f x dx (4.6) Κανονική κατανοµή πιθανότητας Η κανονική κατανοµή (normal distribution) είναι η πιο σηµαντική συνεχής κατανοµή πιθανότητας. Η σ.π.π. της κανονικής κατανοµής έχει πεδίο ορισµού όλη την ευθεία των πραγµατικών αριθµών. Είναι όµως συγκεντρωµένη σε µια στενή περιοχή, η οποία αντιπροσωπεύει την περιοχή των πιο πιθανών ενδεχοµένων. Η αναλυτική της έκφραση έχει τη µορφή: 1 ( x µ ) ( ) 2 2σ f x = e 2, < x< + (4.7) 2πσ και είναι συνάρτηση δύο παραµέτρων. Της µέσης τιµής µ και της τυπικής απόκλισης σ. Στο αρχείο NPDF.XLS παρουσιάζεται σχηµατικά η σ.π.π. της κανονικής κατανοµής (βλ. σχήµα 4.13), ενώ ταυτόχρονα δίνεται η δυνατότητα πειραµατισµού µε τις παραµέτρους αυτής. Μεταβάλλοντας τα κελιά που περιέχουν τις τιµές των παραµέτρων µ και σ, ενηµερώνεται αυτόµατα η

20 92 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.13 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανοµής. µορφή της κατανοµής (πιθανώς να χρειαστούν τροποποίηση και τα όρια του άξονα x). Με το κουµπί «Τυπική», οι παράµετροι µ, σ παίρνουν τις τιµές 0 και 1 αντίστοιχα. Η ειδική αυτή περίπτωση της κανονικής κατανοµής ονοµάζεται τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution). Η σ.π.π. της κανονικής κατανοµή είναι εντελώς συµµετρική. Η υψηλότερη τιµή παρουσιάζεται στη θέση x = µ, στην περιοχή της οποίας αντιστοιχεί και η µεγαλύτερη πιθανότητα. Η παράµετρος σ καθορίζει τη διασπορά της κατανοµής γύρω από τη µέση τιµή µ. Το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης περιοχής στο διάγραµµα της κατανοµής, αντιπροσωπεύει την πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται στο διάστηµα µεταξύ των δύο άκρων της περιοχής. Τα άκρα αυτά µπορούν να µεταβληθούν µέσω των αντίστοιχων κελιών (εισάγοντας άµεσα τις τιµές ή χρησιµοποιώντας τα κουµπιά που βρίσκονται στα δεξιά των κελιών). Με κατάλληλους πειραµατισµούς µπορούν να αποδειχθούν οι ακόλουθοι πρακτικοί κανόνες: Η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται σε απόσταση µιας τυπικής απόκλισης από τη µέση τιµή (µ σ, µ + σ) είναι ίση µε 68,27%.

21 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 93 Η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται σε απόσταση δύο τυπικών αποκλίσεων από τη µέση τιµή είναι ίση µε 95,45%. Η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να βρίσκεται σε απόσταση τριών τυπικών αποκλίσεων από τη µέση τιµή είναι ίση µε 99,73%. Συµπεραίνεται εποµένως ότι αν και η κανονική κατανοµή καλύπτει όλη την περιοχή των πραγµατικών αριθµών, σχεδόν στο σύνολό της είναι συγκεντρωµένη στη περιοχή από µ 3σ έως µ + 3σ. Υπολογισµοί µε την κανονική κατανοµή Οι υπολογισµοί που γίνονται µε την κανονική κατανοµή είναι δύο ειδών: (α) υπολογισµοί πιθανοτήτων και (β) υπολογισµοί ποσοστιαίων σηµείων. Τυπικό παράδειγµα της πρώτης περίπτωσης είναι ο υπολογισµός της πιθανότητας P η τυχαία µεταβλητή X να έχει τιµή µικρότερη από x. Αντίστοιχα, χαρακτηριστικό παράδειγµα της δεύτερης περίπτωσης είναι ο υπολογισµός της τιµής x, για την οποία η τυχαία µεταβλητή X είναι µε πιθανότητα P µικρότερη από αυτήν. Το Excel παρέχει επιπλέον τη δυνατότητα υπολογισµού των τιµών της σ.π.π. της κανονικής κατανοµής (σχέση 4.7). Η συνάρτηση µε την οποία υπολογίζονται πιθανότητες από µια κανονική κατανοµή είναι η NORMDIST. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: NORMDIST(x;µ;σ;cum) Το δεύτερο και τρίτο όρισµα (µ και σ) είναι οι παράµετροι της κανονικής κατανοµής (µέση τιµή και τυπική απόκλιση). Το πρώτο όρισµα (x) είναι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής η πιθανότητα της οποίας υπολογίζεται. Το τελευταίο όρισµα (cum) είναι µια λογική παράµετρος. Όταν έχει τιµή TRUE (ή αριθµητική τιµή διάφορη από 0), η παραπάνω συνάρτηση επιστρέφει την πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη από x [ P( X x) ]. Στην περίπτωση που η παράµετρος cum έχει τιµή FALSE (ή αριθµητική τιµή ίση µε 0) επιστρέφεται η τιµή της σ.π.π. στη θέση x. Αντίστοιχα, η συνάρτηση µε την οποία υπολογίζονται ποσοστιαία σηµεία από µια κανονική κατανοµή είναι η NORMINV. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: NORMINV(P;µ;σ) Όπως και πριν, τα ορίσµατα µ και σ αντιπροσωπεύουν τις παραµέτρους της κανονικής κατανοµής. Το όρισµα P είναι η αθροιστική πιθανότητα. Η συνάρτηση επιστρέφει την τιµή x για την οποία η τυχαία µεταβλητή έχει πιθανότητα P να είναι µικρότερή της, όταν αυτή ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ.

22 94 Κεφάλαιο 4 Συµπληρωµατικά, το Excel παρέχει τις ακόλουθες συναρτήσεις υπολογισµού για την τυπική κανονική κατανοµή (µ = 0 και σ = 1): NORMSDIST(x) NORMSINV(P) Από τη συνάρτηση NORMSDIST, εκτός των παραµέτρων µ και σ, απουσιάζει και το όρισµα cum που εµφανίζεται στη γενικευµένη συνάρτηση NORMDIST. Το όρισµα αυτό θεωρείται ότι έχει την τιµή TRUE και η συνάρτηση χρησιµοποιείται µόνο για τον υπολογισµό αθροιστικών πιθανοτήτων. Στο παράδειγµα που ακολουθεί διευκρινίζεται ο τρόπος χρήσης των συναρτήσεων NORMDIST και NORMINV. Παράδειγµα υπολογισµών µε την κανονική κατανοµή Το τµήµα προσωπικού µιας µεγάλης εταιρείας, το οποίο είναι υπεύθυνο για τις προσλήψεις υπαλλήλων, πραγµατοποίησε διαγωνισµό στον οποίο οι υποψήφιοι υποβλήθηκαν σε µια γραπτή εξέταση. Μετά την εξέταση οι υπεύθυνοι του τµήµατος διαπίστωσαν ότι οι βαθµοί των εξετασθέντων ακολουθούν σχεδόν κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 525 και τυπική απόκλιση 55. Σύµφωνα µε την πολιτική της εταιρείας, οι υποψήφιοι µε βαθµό 600 και πάνω προσλαµβάνονται αυτοµάτως, οι υποψήφιοι µε βαθµό 425 και κάτω απορρίπτονται, ενώ οι υπόλοιποι περνούν από µια προσωπική συνέντευξη, όπου και αποφασίζεται αν θα προσληφθούν ή όχι. Ο διευθυντής του τµήµατος θέλει να υπολογίσει το ποσοστό των υποψηφίων που (α) απορρίπτονται, (β) προσλαµβάνονται και (γ) προκρίνονται για συνέντευξη. Επίσης, θέλει να ξέρει σε ποιες τιµές πρέπει να θέσει τα όρια ώστε να απορριφθεί το 10% των υποψηφίων και να προσληφθεί το 15%. Λύση Τα δεδοµένα του προβλήµατος και η λύση βρίσκονται στο αρχείο EXAMS.XLS και παρουσιάζονται στο σχήµα Για τον υπολογισµό των αποτελεσµάτων ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Ποσοστό των υποψηφίων που απορρίπτονται. Είναι ίσο µε το εµβαδόν της κατανοµής από τη θέση 425 και αριστερά [ P( X 425) ]. Ο τύπος στο κελί Β10: =NORMDIST(B8;MEAN;STDEV;1) αποτελεί άµεση εφαρµογή της συνάρτησης NORMDIST.

23 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 95 Σχήµα 4.14 Υπολογισµοί µε την κανονική κατανοµή. Ποσοστό των υποψηφίων που προσλαµβάνονται αυτόµατα. Είναι ίσο µε το εµβαδόν της κατανοµής από τη θέση 600 και δεξιά [ P( X 600) ]. Καθώς η NORMDIST υπολογίζει πιθανότητες «προς τα αριστερά», υπολογίζεται αρχικά το εµβαδόν από τη θέση 600 και αριστερά και στη συνέχεια αφαιρείται από το συνολικό εµβαδόν (ίσο µε 1). Έτσι, στο κελί B11 εισάγεται ο τύπος: =1-NORMDIST(B7;MEAN;STDEV;1) Ποσοστό των υποψηφίων που προκρίνονται. Είναι ίσο µε το εµβαδόν της κατανοµής των βαθµών µεταξύ των θέσεων 425 και 600 [ P( 425 X 600) ]. Για τον υπολογισµό του αφαιρείται από το εµβαδόν που αντιστοιχεί σε τιµές µικρότερες του 600, το εµβαδόν που αντιστοιχεί σε τιµές µικρότερες του 425. Έτσι, στο κελί Β12 εισάγεται ο τύπος: =NORMDIST(B7;MEAN;STDEV;1)- NORMDIST(B8;MEAN;STDEV;1)

24 96 Κεφάλαιο 4 Νέο όριο απόρριψης. Είναι η τιµή εκείνη για την οποία το εµβαδόν στα αριστερά είναι ίσο µε 0,1. Ο τύπος στο κελί Β18: =NORMINV(B15;MEAN;STDEV) αποτελεί άµεση εφαρµογή της συνάρτησης NORMINV. Νέο όριο αυτόµατης πρόσληψης. Είναι η τιµή εκείνη για την οποία το εµβαδόν στα δεξιά είναι ίσο µε 0,15, ή ισοδύναµα το εµβαδόν στα αριστερά είναι ίσο µε 1 0,15. Υπολογίζεται στο κελί Β19 µε τον τύπο: =NORMINV(1-B16;MEAN;STDEV) Πρόβληµα εµφιάλωσης Το παράδειγµα αυτό αποτελεί µια τυπική εφαρµογή της κανονικής κατανοµής για την επίλυση ενός προβλήµατος λήψης αποφάσεων. Μια βιοµηχανία καλλυντικών παράγει φιάλες σαµπουάν των 330 ml κάθε µήνα. Η ποσότητα σαµπουάν που περιέχεται σε κάθε φιάλη ακολουθεί κανονική κατανοµή. Η µέση ποσότητα µπορεί να καθοριστεί ρυθµίζοντας κατάλληλα τη µηχανή εµφιάλωσης. Ανεξάρτητα από τη µέση τιµή, η τυπική απόκλιση της ποσότητας σαµπουάν ανά φιάλη είναι πάντα 1,5 ml. Το κόστος παραγωγής του σαµπουάν είναι ίσο µε 0,3 ανά 100 ml. Κάθε φιάλη που περιέχει λιγότερο από 330 ml επιστρέφεται και η βιοµηχανία είναι υποχρεωµένη να πληρώσει επιπλέον αποζηµίωση 2. Ζητείται να δηµιουργηθεί το κατάλληλο µοντέλο υπολογισµού του αναµενόµενου κόστους παραγωγής, του αναµενόµενου ποσού αποζηµίωσης και του αναµενόµενου συνολικού κόστους. Με βάση το µοντέλο αυτό να υπολογιστούν τα παραπάνω µεγέθη στις περιπτώσεις όπου η µηχανή εµφιάλωσης ρυθµίζεται στα 330 και 335 ml. Τέλος, ζητείται να υπολογιστεί η βέλτιστη µέση ποσότητα σαµπουάν, στην οποία πρέπει να ρυθµιστεί η µηχανή εµφιάλωσης, ώστε να ελαχιστοποιείται το αναµενόµενο συνολικό κόστος. Η απάντηση να δοθεί µε ακρίβεια 0,1 ml (όση είναι και η ακρίβεια της µηχανής εµφιάλωσης). Επηρεάζεται η απάντηση από τον αριθµό των φιαλών που παράγονται ανά µήνα; Λύση Το ζητούµενο µοντέλο βρίσκεται στο αρχείο BOTTLING.XLS και παρουσιάζεται στο σχήµα Τα δεδοµένα εισόδου βρίσκονται στα κελιά D5, D6, D8, D9, D11 και D12. Τα αποτελέσµατα βρίσκονται στα κελιά D16:D20 και υπολογίζονται µε τα παρακάτω βήµατα:

25 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 97 Αναµενόµενο κόστος παραγωγής. Είναι ανάλογο της συνολικής αναµενόµενης ποσότητας σαµπουάν που παράγεται µηνιαία και εξαρτάται από την τιµή στην οποία ρυθµίζεται η µηχανή εµφιάλωσης. Υπολογίζεται στο κελί D16 µε τον τύπο: =VOLUME*MEAN*COST Πιθανότητα αστοχίας. Είναι η πιθανότητα µία τυχαία φιάλη να περιέχει λιγότερο από 330 ml υπολογίζεται στο κελί D17. Καθώς η ποσότητα σαµπουάν που περιέχεται σε κάθε φιάλη ακολουθεί κανονική κατανοµή, η ζητούµενη πιθανότητα αντιστοιχεί στο εµβαδόν της κατανοµής από τη θέση 330 και αριστερά. Υπολογίζεται άµεσα µε τη συνάρτηση NORMDIST: =NORMDIST(MINQNT;MEAN;STDEV;1) Αναµενόµενος αριθµός φιαλών που επιστρέφονται. Είναι ίσος µε το συνολικό αριθµό που παράγονται επί την πιθανότητα αστοχίας. Υπολογίζεται στο κελί D18 µε τον τύπο: =D17*VOLUME Σχήµα 4.15 Το µοντέλο εµφιάλωσης.

26 98 Κεφάλαιο 4 Αναµενόµενο ποσό αποζηµίωσης. Είναι ίσο µε τον αναµενόµενο αριθµό φιαλών που επιστρέφονται επί το ποσό αποζηµίωσης ανά φιάλη. Υπολογίζεται στο κελί D19 µε τον τύπο: =D18*FINE Συνολικό αναµενόµενο κόστος. Είναι ίσο µε το άθροισµα του αναµενόµενου κόστους παραγωγής και του αναµενόµενου ποσού αποζηµίωσης. Υπολογίζεται στο κελί D20 µε τον τύπο: =D16+D19 Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.15, το συνολικό αναµενόµενο κόστος, στην περίπτωση που η µηχανή εµφιάλωσης ρυθµιστεί στα 330 ml, ανέρχεται σε (9.900 κόστος παραγωγής και αποζηµίωση). Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα αστοχίας είναι 0,5 (δηλαδή οι µισές φιάλες που παράγονται περιέχουν λιγότερο από 330 ml). Εύκολα διαπιστώνεται (µεταβάλλοντας το περιεχόµενο του κελιού D11) ότι στην περίπτωση που η µηχανή ρυθµιστεί στα 335 ml, το συνολικό κόστος γίνεται µόλις ,6 ( κόστος παραγωγής και 8,6 αποζηµίωση). Η µείωση του συνολικού κόστους οφείλεται στη µείωση της πιθανότητας αστοχίας, η οποία γίνεται µόλις 0,0004. Είναι φανερό ότι όταν η µηχανή ρυθµίζεται σε χαµηλές τιµές, η πιθανότητα αστοχίας και το ποσό αποζηµίωσης παρουσιάζουν υψηλές τιµές. Αντίθετα, όταν η µηχανή ρυθµίζεται σε υψηλές τιµές, το ποσό αποζηµίωσης ελαττώνεται αλλά ταυτόχρονα αυξάνεται το κόστος παραγωγής. Η επιλογή της βέλτιστης ποσότητας σαµπουάν, στην οποία πρέπει να ρυθµιστεί η µηχανή εµφιάλωσης ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια ενός πίνακα δεδοµένων µιας εισόδου. Η ανάλυση παρουσιάζεται στο σχήµα 4.16 και επιτυγχάνεται µε τα παρακάτω βήµατα: Στα κελιά A27:A47 εισάγονται οι δοκιµαστικές τιµές για τη µέση ποσότητα σαµπουάν. Στα κελιά B26, C26 και D26 εισάγονται αναφορές στα κελιά όπου υπολογίζονται το συνολικό κόστος, το κόστος παραγωγής και το ποσό αποζηµίωσης αντίστοιχα: =D20 =D16 =D19

27 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 99 Επιλέγεται η περιοχή Α26:D47 και από το µενού Data δίνεται η εντολή Table. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται, δίνεται ως column input cell το κελί D11. Στο κελί B49 υπολογίζεται το ελάχιστο συνολικό κόστος παραγωγής µε τον τύπο: =MIN(B27:B47) Τέλος, στο κελί B50 υπολογίζεται η βέλτιστη µέση ποσότητα σαµπουάν εισάγοντας τον τύπο: =INDEX(A27:A47;MATCH(B49;B27:B47;0)) Οι συναρτήσεις MATCH και INDEX εξηγούνται στη συνέχεια. Όπως φαίνεται από το σχήµα 4.16 η βέλτιστη ποσότητα είναι ίση µε 334,8 ml, στην οποία αντιστοιχεί συνολικό κόστος ίσο µε ,7. Στο σχήµα 4.17 παρουσιάζεται το διάγραµµα µεταβολής του συνολικού κόστους συναρτήσει της µέσης ποσότητας σαµπουάν σε κάθε φιάλη.

28 100 Κεφάλαιο 4 Σχήµα 4.16 Επιλογή βέλτιστης µέσης ποσότητας σαµπουάν. Με τη βοήθεια του µοντέλου που αναπτύχθηκε, διαπιστώνεται εύκολα ότι ο αριθµός των φιαλών που παράγονται µηνιαία δεν επηρεάζει τη βέλτιστη τιµή της µέσης ποσότητας σαµπουάν αλλά µόνο το συνολικό κόστος που αντιστοιχεί σ αυτήν. Για παράδειγµα, µεταβάλλοντας την τιµή του κελιού D5 σε φιάλες, η βέλτιστη ποσότητα παραµένει ίση µε 334,8 ml αλλά το βέλτιστο συνολικό κόστος γίνεται ίσο µε 5.028,9.

29 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας 101 Σχήµα 4.17 Επίδραση της µέσης ποσότητας στο συνολικό κόστος. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MATCH Η συνάρτηση MATCH επιστρέφει τη σχετική θέση µιας συγκεκριµένης τιµής σε µια περιοχή κελιών. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: MATCH(value;range;type) Το όρισµα value είναι η τιµή που αναζητείται στην περιοχή κελιών range. Το όρισµα type καθορίζει τον τρόπο µε τον οποίο γίνεται η αναζήτηση στην περιοχή range και µπορεί να πάρει µία από τις τιµές 1, 0 και 1. Όταν έχει την τιµή 1, η συνάρτηση αναζητεί τη µεγαλύτερη τιµή που είναι µικρότερη ή ίση µε τη value (οι τιµές της περιοχής range πρέπει να είναι ταξινοµηµένες σε αύξουσα σειρά). Όταν έχει την τιµή 0, η συνάρτηση αναζητεί την πρώτη τιµή που είναι ακριβώς ίση µε value (οι τιµές της περιοχής range δε χρειάζεται να είναι ταξινοµηµένες). Τέλος, όταν έχει την τιµή 1, η συνάρτηση αναζητεί τη µικρότερη τιµή που είναι µεγαλύτερη ή ίση µε τη value (οι τιµές της περιοχής range πρέπει να είναι ταξινοµηµένες σε φθίνουσα σειρά).

30 102 Κεφάλαιο 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ INDEX Η συνάρτηση INDEX επιστρέφει την τιµή ενός συγκεκριµένου κελιού σε µια περιοχή κελιών µε βάση τις σχετικές θέσεις της γραµµής και της στήλης του. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: INDEX(range;row;column) Το όρισµα range αντιπροσωπεύει την περιοχή κελιών στην οποία γίνεται η αναζήτηση και row, column είναι οι σχετικές θέσεις (µέσα στην περιοχή range) γραµµής και στήλης του κελιού που αναζητείται. Αν η περιοχή range περιέχει µία µόνο στήλη ή γραµµή, η αντίστοιχη παράµετρος column ή row είναι προαιρετική. Βιβλιογραφία Albright, S.C., Winston, W.L, and Zappe, C. (1999) Data Analysis & Decision Making with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Barlow, F.G. (1999) Excel Models for Business and Operations Management, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Berk, K.N., and Carey, P. (1998) Data Analysis with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Hamburg, M. (1983) Statistical Analysis for Decision Making, Harcourt Brace Jovanovitch, USA. Levine, D.M., Berenson, M.L., and Stephan, D. (1999) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Prentice-Hall, NJ. Wayne, R.O. (1995) Environmental Statistics and Data Analysis, Lewis Publisher, USA.

Έλεγχοι υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Εισαγωγή

Έλεγχοι υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Έλεγχοι υποθέσεων Εισαγωγή Οι έλεγχοι υποθέσεων µαζί µε τα διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι τα δύο σηµαντικότερα εργαλεία της στατιστικής συµπερασµατολογίας. Αντικείµενο του κλάδου αυτού της στατιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή

Ανάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί). Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 009 στη Στατιστική 0/0/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. [0] Οι ακαθάριστες εβδοµαδιαίες εισπράξεις µιας κτηνοτροφικής µονάδας, από την πώληση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές αριστοποίησης

Τεχνικές αριστοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Τεχνικές αριστοποίησης Εισαγωγή Τα µοντέλα αριστοποίησης, ευρέως γνωστά ως µοντέλα µαθηµατικού προγραµµατισµού, είναι αναµφίβολα η δηµοφιλέστερη τεχνική λήψης αποφάσεων στο χώρο της Επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μετράμε την διασπορά;

Γιατί μετράμε την διασπορά; Γιατί μετράμε την διασπορά; Παράδειγμα Δίνεται το ετήσιο ποσοστό κέρδους δύο επιχειρήσεων για 6 χρόνια. Αν έπρεπε να επιλέξετε την μετοχή μιας εκ των 2 με κριτήριο το ποσοστό κέρδους αυτά τα 6 χρόνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (Risky Business 1)

Παράδειγµα (Risky Business 1) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 3 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Συµπεράσµατα για την αβεβαιότητα Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

14/11/2016. Στατιστική Ι. 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές)

14/11/2016. Στατιστική Ι. 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές) Στατιστική Ι 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές) 1 2 Κανονική (Gaussian) κατανομή Η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1. Πολλές τ.μ. περιγράφονται ικανοποιητικά από

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα