TRAPEZ Seminarski rad
|
|
- Πρίσκιλλα Καλάρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO- MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK TRAPEZ Seminarski rad METODIKA NASTAVE MATEMATIKE 1 Nikolina Vukašinović Mihaela Šimić Zagreb, listopad 2016.
2 Sadržaj 1. UVOD TRAPEZ Definicije trapeza pronađene na raznim internetskim stranicama i u časopisima Definicije trapeza u udžbenicima za osnovnu i srednju školu Problematika oko definiranja trapeza SVOJSTVA TRAPEZA Unutarnji kutovi trapeza uz isti krak su suplementarni Srednjica trapeza Visina trapeza Površina trapeza JEDNAKOKRAČAN TRAPEZ Definicije jednakokračnog trapeza Svojstva jednakokračnog trapeza ZAKLJUČAK LITERATURA
3 1. Uvod Pojam trapez prvi put susrećemo u osnovnoj školi, točnije u šestom razredu, a zatim se ponovno javlja u osmom razredu, te u srednjoj školi. Na pitanja što je to zapravo trapez i koji problemi se javljaju vezano za njega, pokušat ćemo otkriti u ovom seminaru. Prije definiranja trapeza i prije nego što se dotaknemo nekih terminoloških problema, proći ćemo kroz etimologiju riječi trapez. Riječ trapez dolazi od grčke riječi τραπέζα, u značenju stol. U korijenu riječi ima tetra (grč. četiri) i ped (noga), kad se to poveže dobivamo četiri noge. Stari Grci su smatrali da taj četverokut nalikuje četveronožnom stolu, te su ga stoga nazvali trapez. Riječ trapez ne javlja se samo u matematici, nego ga možemo naći u nekim drugim granama kao što su sport ili cirkus. U sportu je trapez sprava koja se sastoji od prečke obješene o dva konopca ili predmet napravljen od čeličnog užeta učvršćenog o okov jarbola jedrilice. U cirkusu se trapez naziva viseće vratilo. U našem jeziku se javljaju još neke srodne riječi trapezu, kao što su, na primjer, trpezarija, odnosno blagovaonica ili trpeza, odnosno stol za kojim se blaguje, te trapez hlače. U ovom seminaru ćemo pokušati razjasniti što trapez znači u matematici te kako ga pravilno definirati. Zatim ćemo se osvrnuti na neka njegova svojstva koja su karakteristična za njega, ali i za neke terminološke probleme koji se javljaju, a za koje mi niti nismo znale dok se nismo susrele s ovom temom. Pretpostavile smo da većina ljudi koji završe osnovnu i srednju školu, znaju reći što je to trapez, kako on izgleda i barem jednu definiciju njega. Naime, problem se javlja kad se uđe u srž te definicije, jer kada se malo bolje pogledaju definicije u udžbenicima za osnovnu i srednju školu te u drugoj službenoj literaturi, dolazimo do toga da svaki autor ima svoju definiciju iza koje stoji. Kako je moguće da u različitoj literaturi, piše različita definicija te zašto dolazi do toga da se autori ne mogu odlučiti za jednu definiciju, upravo je to ono čime smo se mi bavile i što ćemo probati objasniti u ovom seminaru. Koristili smo veći broj članaka, knjiga i drugih izvora koji su navedeni u literaturi. 2
4 2. Trapez U šestom razredu osnovne škole, učenici se prvi puta susreću s definicijom trapeza. Kako se u različitim školama korsite različiti udžbenici, tako se u njima mogu naći slične definicije istog pojma koje nisu najpreciznije jer mogu opisivati različite objekte. Nadalje, učenici se susreću s trapezom i u osmom razredu osnovne škole u poglavlju pod nazivom Pitagorin poučak. Proučavajući razne udžbenike za osmi razred, uočava se pojava jednakih definicija, kao i u šestom razredu osnovne škole. Dolaskom u srednju školu, točnije u treći razred, od učenika se očekuje da su već dobro upoznati s pojmom i definicijom trapeza te da već naučeno o trapezu mogu primijeniti u trigonometriji. Mnogi autori, ne samo udžbenika, nego i druge literature, pokušavaju pojednostaviti i prilagoditi djeci već postojeće definicije ili ih pak učiniti svojima, a pritom ne razmišljaju previše o tome da, ukoliko već izmjenjuju korektne definicije tako što im dodaju nove riječi ili izostavljaju neke njene dijelove, zapravo mogu promijeniti i značenje same definicije koja na kraju nije u potpunosti točna. Dakle, važno je razjasniti ispravnost definicija trapeza kako bi učenici shvatili što sve podrazumijeva pojam trapeza te ispravno koristili pojam i svojstva trapeza u daljnjem školovanju. Ovo poglavlje seminara se bavi definicijama trapeza i njihovom problematikom kako bi se razjasnilo zašto su neke definicije točne, odnosno neprecizne, te koje su posljedice nepreciznih definicija. Prvo su navedene različite definicije trapeza iz različitih internetskih izvora te udžbenika i literatura, a potom će se pojasniti njihova problematika Definicije trapeza pronađene na raznim internetskim stranicama i u časopisima Trapez je četverokut čije su dvije stranice paralelne (osnovke, baze), a ostale dvije (krakovi) nisu nužno paralelne. [19] Trapez je četverokut s jednim parom paralelnih suprotnih stranica. [20] Trapez je u geometriji konveksni četverokut kome su dvije nasuprotne stranice paralelne. [21] Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne. Paralelne stranice se nazivaju bazama trapeza, a preostale dvije kracima. [1] Definicije trapeza u udžbenicima za osnovnu i srednju školu U udžbenicima za šesti razred osnovne škole pojavljuju se sljedeće definicije trapeza: (a) Trapez je četverokut kojemu su dvije nasuprotne stranice usporedne. Usporedne stranice zovu se osnovice, a preostale dvije kraci. [3] (b) Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne. [8] (c) Četverokut koji ima jedan par paralelnih stranica zove se trapez. [15] 3
5 U udžbenicima za osmi razred osnovne škole nailazimo na sljedeće definicije: I. Trapez je četverokut kojemu su dvije nasuprotne stranice paralelne. [7] II. Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice međusobno usporedne. [6] Prouče li se sve gore navedene definicije, može se uočiti kako su sve one vrlo slične, no razlikuju se po pojedinim riječima (podebljanim riječima). No, to nisu bilo kakve riječi, nego one koje toj definiciji daju smisao, odnosno, te riječi govore što se sve obuhvaća ili izostavlja s izrečenom definicijom. Ponekad je teško nešto dobro definirati da bude razumljivo i primjereno za osobu koja treba to naučiti, stoga mnogi autori koriste donekle neprecizne definicije kako bi se dobila šira slika o onome što se uči, te imaju na umu da se te definicije, bez obzira na to koliko precizne ili neprecizne bile, mogu primijeniti u gradivu u kojem se obrađuju. No, uvijek ostaje pitanje: Zašto je neka definicija, u ovom slučaju trapeza, više ili manje precizna te koji se problem pojavljuje pri definiranju trapeza? Problematika oko definiranja trapeza Četverokut koji ima jedan par paralelnih stranica naziva se trapez. Gore navedena definicija se u udžbenicima pojavljuje češće od drugih definicija. Međutim, bilo koja osoba, koja malo razmisli o ovoj definiciji, može shvatiti kako je ona dvosmislena. Ukoliko se, primijenjujući tu definiciju, želi odrediti koji od geometrijskih likova na slici jesu trapezi, može doći do problema. Slika 1. Definicijom se ne saznaje mora li taj četverokut imati točno ili barem jedan par paralelnih stranica. Stoga, svi koji smatraju da se definicija odnosi na one četverokute koji imaju točno jedan par paralelnih stranica, će smatrati da su trapezi na slici oni pod brojevima dva, tri, pet i sedam, dok će za one koji smatraju da se definicija odnosi na četverokute s barem jednim parom paralelnih stranica, rješenja biti svi četverokuti na slici. 4
6 Definicijom: Četverokut koji ima točno jedan par paralelnih stranica naziva se trapez. (1) utvrđujemo da su klasa trapeza i klasa paralelograma dvije međusobno disjunktne klase što nije istina jer paralelogram jest vrsta trapeza. Zaključuje se da ova definicija nije precizna. Nadalje, definicijom: Četverokut koji ima barem jedan par paralelnih stranica naziva se trapez. (2) se vidi da je klasa paralelograma sadržana u klasi trapeza, odnosno, da je trapez nadskup paralelograma. Promatrajući svojstva trapeza i znajući svojstva paralelograma, uočava se da je ova definicija točna. Tada bismo paralelogram još mogli definirati kao: Paralelogram je trapez s usporednim kracima. Slika 2. [13] Autori nekih udžbenika klase paralelograma žele ubrojiti u klasu trapeza, dok neki još uvijek radije koriste definicije u kojima su te klase međusobno disjunktne. Na kraju sljedećeg, trećeg, poglavlja objašnjen je razlog zašto i paralelograme svrstavamo u trapeze. Zbog općenite klasifikacije četverokuta sasvim je shvatljivo što se paralelogrami žele uključiti u trapez, međutim, tom klasifikacijom dolazi do problema kada se prouči jedan poseban slučaj trapeza koji se naziva jednakokračni trapez. 5
7 3. Svojstva trapeza Unutarnji kutovi trapeza uz isti krak su suplementarni Teorem: Unutarnji kutovi trapeza uz isti krak su suplementarni. Dokaz: Slika 3. 1 Stranica AD produlji se preko vrhova A i D. Neka je točka D 1 označena na pravcu AD, kao na slici. Ako je pravac AD transverzala paralelnih pravaca AB i CD, onda je CDD 1 = α. Dakle, CDD 1 + δ = 180 pa je α + δ = 180. Analogno slijedi da je β + γ = 180. Zaključuje se da ako su u trapezu poznata dva suprotna kuta ili dva unutarnja kuta uz jednu od osnovica, onda su njima određena i preostala dva kuta trapeza. Opseg trapeza je zbroj duljina svih stranica trapeza. Slijedi da je o = a + b + c + d Srednjica trapeza Srednjica trapeza je dužina koja spaja polovišta krakova trapeza. Teorem: Srednjica trapeza usporedna je s osnovicama trapeza i duljina joj je jednaka polovini zbroja duljina osnovica, tj. s = a+c 2. Dokaz: Srednjica trapeza ABCD je dužina EF koja spaja polovišta krakova. Osnovica AB produži se preko vrha B i dužina DF preko točke F. Njihovo sjecište označeno je sa slovom G. 1 Slika je rađena u GeoGebri. 6
8 Slika 4. [11] Slijedi da je FBG FCD jer se poklapaju u jednoj stranici FB = FC (F je polovište dužine BC ) i kutovima uz tu stranicu te su odgovarajuće stranice jednake duljine, odnosno, DF = FG. To znači da je F polovište dužine DG i DC = BG = c. Dužina EF je srednjica trokuta AGD pa je EF AG. Slijedi da je EF = 1 AG = 1 ( AB + BG ) = 1 a+c (a + c) ili s = Svi matematičari se slažu u tome da je trapez četverokut u kojem se javlja par nasuprotnih paralelnih stranica. Sadržaj u definiciji oko kojega postoji diskusija jest: je li u trapezu samo jedan par paralelnih stranica ili mogu biti dva para paralelnih stranica. U takvim se situacijama promatraju i druga bitna obilježja objekta. Dva bitna obilježja za trapez (bez obzira na broj parova paralelnih stranica) su svojstva 3.1. i 3.2. Vidimo da ta svojstva vrijede i za paralelogram. Stoga je razumno i paralelogram smatrati vrstom trapeza. A činjenica da se u paralelogramu javljaju čak dva para paralelnih stranica je svojstvo bitno samo za paralelogram i to postaje razlika vrste. Dakle, definicija (2) je prirodnija jer i četverokuti definirani definicijom (1) i paralelogrami imaju još dodatnih zajedničkih svojstava (3.1. i 3.2.) koji nam daju razlog da i četverokute iz definicije (1) i paralelograme smatramo vrstama jednog roda kojeg nazivamo trapez Visina trapeza Visina trapeza je dužina koja spaja pravce na kojima leže osnovice trapeza i koja je okomita na njih. Postoje različiti načini označavanja visine u trapezu. U šestom razredu osnovne škole učenici mogu označavati visinu trapeza kao na slici (Slika 5.), odnosno, kao dužinu koja spaja bilo koje dvije točke na pravcima na kojima leže osnovice trapeza i koja je okomita na osnovice. 7
9 Slika 5. U osmom razredu osnovne škole, kada se učenici susretnu s Pitagorinim poučkom i primjenom Pitagorinog poučka na trapez, visina će se označavati iz jednog ili drugog vrha trapeza kraće osnovice, kao na slici (Slika 6.). Slika 6. Posebni slučaj trapeza je pravokutan trapez. Pravokutan trapez je trapez kojemu je jedan krak okomit na osnovicu. Dakle, duljina visine pravokutnog trapeza jednaka je duljini kraka koji je okomit na osnovicu. Pri primjeni Pitagorinog poučka na pravokutan trapez, tada se visina označava iz vrha kraće osnovice u kojem nije povučen krak koji je okomit na osnovice. Slika Slike su rađene u GeoGebri. 8
10 3. 4. Površina trapeza Neka su trapezi ABCD i FCBE dva sukladna trapeza sa osnovicama duljina a i c te visinom duljine v, kao na slici. Slika 8. Rotirajmo trapez FCBE tako da ga možemo po dužini kraka BC spojiti s trapezom ABCD. Tako spojeni trapezi čine paralelogram AEFD s osnovicom duljine a + c i visinom duljine v. Slika 9. 3 Kako je površina paralelograma jednaka umnošku duljine osnovice i duljine visine, slijedi da je površina paralelograma AEFD jednaka P AEFD = (a + c) v. Paralelogram AEFD je sastavljen od dva sukladna trapeza pa slijedi da je površina trapeza jednaka polovini površine paralelograma. Dakle, površina trapeza jednaka je P = a+c 2 v. 3 Slike su rađene u GeoGebri. 9
11 4. Jednakokračan trapez Definicije jednakokračnog trapeza U osnovnoj i srednjoj školi se susrećemo s pojmom jednakokračnog trapeza, a u ovom seminaru pokušava se riješiti problematika vezana za taj pojam. Najčešća definicija jednakokračnog trapeza koja se javlja u udžbenicima šestog razreda osnovne škole, a definirana je prema najbližem rodu, glasi: Trapez koji ima oba kraka jednake duljine zove se jednakokračan trapez. [11] Ovom definicijom su u klasu jednakokračnih trapeza stavljeni i paralelogrami i trapezi s neparalelnim sukladnim kracima. Neki autori žele izbjeći definiciju jednakokračnog trapeza koja obuhvaća i paralelograme. Osnosimetrični jednakokračni trapezi imaju nekoliko lijepih svojstava koje opći paralelogrami nemaju, kao na primjer, osnosimetričnom se trapezu može opisati kružnica, kutovi uz osnovicu su im sukladni, a dijagonale jednakih duljina. Zato se u nekim udžbenicima (starijim) javlja definicija koja iz vrste jednakokračnih trapeza isključuje vrstu paralelograma sa zahtjevom da krakovi nisu paralelni. Definicija glasi: Ako su krakovi trapeza jednakih duljina i neparalelni, on se zove jednakokračan trapez. [18] U ovoj se definiciji pokušava sa dodatnim zahtjevom neparalelnosti krakova iz klase jednakokračnog trapeza izbaciti paralelogrami, no javlja se drugi problem. Iz jednakokračnih trapeza izbačeni su pravokutnici. Treća definicija koja se javlja, a također se zasniva na najbližem rodu, glasi: Jednakokračan trapez je trapez kojemu su unutarnji kutovi uz osnovicu jednake mjere. [17] Ova definicija izbacuje vrstu paralelograma iz vrste jednakokračnog trapeza, a ubraja vrstu pravokutnika. Koje od ovih triju definicija uzeti za definiciju jednakokračnog trapeza? Odgovor ćemo saznati kad proučimo druga bitna obilježja lika kojeg želimo zvati jednakokračnim trapezom. 10
12 4. 2. Svojstva jednakokračnog trapeza Većina ljudi jednakokračan trapez zamišlja ovako: Slika Nazovimo ga za potrebe ovog seminara pravi jednakokračni trapez i dokažimo njegova svojstva. 1) Kutovi uz osnovicu pravog jednakokračnog trapeza jednake su veličine. Dokaz: Slika 11. [11] Vrhom D povuče se paralela s BC (DE BC ). Četverokut EBCD je paralelogram pa je DE = CB. Zaključak je da je AED jednakokračan, jer je AD = BC = DE. Dakle, kutovi uz osnovicu su sukladni: α = φ, a kutovi β i φ su šiljasti kutovi s paralelnim kracima, pa su sukladni, tj. β = φ = α. Kutovi γ i δ su jednaki jer δ = 180 α i γ = 180 β, a kako je α = β, to je γ = δ. 4 Slika je rađena u GeoGebri. 11
13 2) Dijagonale pravog jednakokračnog trapeza jednake su duljine. Dokaz: Slika 12. [12] U jednakokračnom trapezu povučemo dijagonale AC i BD. Slijedi da je ABC BAD jer se poklapaju u dvjema stranicama i kutu između njih pa su im odgovarajuće stranice jednakih duljina, tj. AC = BD. 3) Pravom jednakokračnom trapezu može se opisati kružnica. Dokaz: Slika Simetrala s 1 osnovica je zajednička. Sa s 2 označena je simetrala kraka BC. Sjecište simetrala s 1 i s 2 je točka S, a iz svojstva simetrale dužine zaključujemo: SA = SB = SC = SD = r 5 Slika je rađena u GeoGebri. 12
14 Dakle, kružnica sa središtem u S i polumjerom duljine r je trapezu opisana kružnica. Zbog toga svojstva jednakokračni trapez zovemo još i tetivni trapez. Zanimljiva karakteristika jednakokračnog trapeza je da je on osnosimetričan s obzirom na pravac koji prolazi polovištima dviju suprotnih stranica (osnovica), te ga zbog toga još i nazivamo preklopivi ili osnosimetričan trapez. Jednakokračnom trapezu može se upisati kružnica ako i samo ako je duljina njegove srednjice jednaka duljini kraka. Svojstva 1), 2) i 3) su bitna obilježja pravog jednakokračnog trapeza. Uočava se da paralelogram koji nije pravokutnik nema niti jedno od ovih svojstava pa zato većina matematičara ne smatra pravi paralelogram jednakokračnim trapezom. Međutim, pravokutnik ima sva ta svojstva i on bi se mogao smatrati vrstom jednakokračnog trapeza. Zato smatramo da treća definicija [17] najbolje opisuje jednakokračni trapez, a ona glasi: Jednakokračan trapez je trapez kojemu su unutarnji kutovi uz istu osnovicu jednake mjere. Prikažimo pomoću Vennovog dijagrama skup trapeza. Skup svih trapeza označen je slovom C, skup paralelograma slovom A, a skup jednakokračnih trapeza slovom B. Slika
15 5. Zaključak Nakon što smo odradile seminar na temu Trapez možemo zaključiti da ne treba slijepo vjerovati udžbenicima i ostaloj literaturi. Kao što smo napomenuli i u uvodu, u različitoj literaturi se navode različite definicije. Primjere koje smo navele pokazuju da autori žele svoju slobodu pisanja te upotrebljavaju definicije koje oni smatraju da su točne, ali to ne mora biti. Mi smo osobno u svojim osnovnim i srednjim školama radile različite definicije trapeza i svaka od nas je mislila da je njezina verzija točna, sve dok nismo obradile ovu temu i uvidjele da nismo bile u pravu. Naša preporuka za nastavnike je da kad počnu predavati matematiku svojoj djeci i obrađuju neki pojam ili cjelinu trebali bi sami sebi odgovoriti na određena pitanja, koja će im pomoći da shvate što je bitno i je li nešto točno. Također, treba istraživati pretpostavke o matematičkim objektima i pravilnostima, tu se naravno misli da se točno definiraju pojmovi koji se javljaju u određenoj definiciji jer ako nam oni nisu pravilno definirani, neće ni definicija u kojoj se oni nalaze. I za kraj, važno je kako se postaviti prema matematici, odnosno, da bi nju razumjeli moramo ući u njezinu srž da bismo mogli reći da ju zaista razumijemo. 14
16 6. Literatura [1] D. Glasnović Gracin, Porijeklo riječi i nastava, Matematika i škola, 35 (2006), str [2] Gusić, J. Gusić, I. Mrkonjić, Matematika 8, Zagreb, [3] I. Gusić, J. Gusić, I. Mrkonjić, Udžbenik za 6. razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2000., str. 159 [4] D. Ilišević, M. Ojvan, O definiciji i nazivu jedne klase trapeza, Matematika i škola, 61 (2011), [5] D. Ilišević, M. Bombardelli, Elementarna geometrija, 1. verzija skripte, 2007., dostupno na [6] B. Jagodić, Udžbenik za 8. razred osnovne škole, Neodidacta, Zagreb, 2001., str. 59 [7] B. Jagodić, N. Sarapa, B. Copić, Udžbenik za 8. razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2006., str. 92 [8] B. Jagodić, N. Sarapa, R. Svedrec, Udžbenik za 6. razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2001., str. 240 [9] B. Jagodić, N. Sarapa, R. Svedrec, Matematika 6, Školska knjiga, Zagreb, [10] B. Jagodić, R. Svedrec, Matematika 6 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske novine, Zagreb, [11] B. Jagodić, R. Svedrec, Matematika 6 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske novine, Zagreb, 2000., str.205. [12] B. Jagodić, R. Svedrec, Matematika 6 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske novine, Zagreb, 2000., str.206. [13] N. Jozić, Muke po trapezu ili raskoš trapeza, Zbornik radova kongresa nastavnika matematike, 2010., str. 275 [14] N. Jozić, Muke po trapezu ili raskoš trapeza, Zbornik radova kongresa nastavnika matematike, (2010), [15] L. Krnić, Z. Šikić, Udžbenik za 6. razred osnovne škole, Profil, Zagreb, 1998., str. 159 [16] M. Ojvan, Definicije u nastavi matematike, diplomski rad, [17] D. Palman, Planimetrija, Element, Zagreb, [18] L. Rajčić, Đ.Kurepa i B. Pavlović, Geometrija za peti razred gimnazije, [19] Pribavljeno godine sa internetske stranice: hjp.novi-liber.hr [20] Pribavljeno godine sa internetske stranice: hr.wikipedia.org [21] Pribavljeno godine sa internetske stranice: sh.wikipedia.org 15
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi o trokutu
1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα