ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Οι μαθητές της Α τάξης του 1 ου Γενικού Λυκείου Σπάρτης που συμμετείχαν ανά ομάδες στην ερευνητική αυτή εργασία, είναι : Ομάδα «Πλάτωνας»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Οι μαθητές της Α τάξης του 1 ου Γενικού Λυκείου Σπάρτης που συμμετείχαν ανά ομάδες στην ερευνητική αυτή εργασία, είναι : Ομάδα «Πλάτωνας»"

Transcript

1

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η ιδέα για την εκπόνηση της παρακάτω ερευνητικής εργασίας προέκυψε από μια ανάγκη να προσεγγίσουμε το μάθημα των Μαθηματικών μέσα από μια άλλη οπτική γωνία. Θεωρούμε ότι οι μαθητές γνωρίζοντας το έργο και τη ζωή των αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών, θα συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά έθεσαν τις βάσεις της δομημένης σκέψης και της ανθρώπινης λογικής. Η συγκεκριμένη εργασία θα βοηθήσει τους μαθητές να δουν τη σχέση της μαθηματικής σκέψης με την ιστορία και τη φιλοσοφία. Θεωρήσαμε λοιπόν απαραίτητο, να δώσουμε κάποια ερεθίσματα στα παιδιά για να ερευνήσουν μέσα στην υπάρχουσα βιβλιογραφία, στα αρχαία κείμενα αλλά και μέσα στο διαδίκτυο, ώστε να συγκεντρώσουν το κατάλληλο υλικό για τις γνώσεις που μας κληροδότησαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και να καταλήξουν σε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα για την εξέλιξη της επιστήμης των Μαθηματικών. Αφού συγκεντρώσαμε όσα περισσότερα στοιχεία μπορέσαμε και τα αξιολογήσαμε, διαμορφώσαμε την παρούσα εργασία. Στην εργασία αυτή υπεύθυνοι καθηγητές ήταν : ο κ.τακτικός Θεόδωρος, Μαθηματικός και η κ.κατσίχτη Ευγενία, Φιλόλογος. Οι μαθητές της Α τάξης του 1 ου Γενικού Λυκείου Σπάρτης που συμμετείχαν ανά ομάδες στην ερευνητική αυτή εργασία, είναι : Ομάδα «Θαλής» Ομάδα «Πυθαγόρας» Ομάδα «Πλάτωνας» Ομάδα «Ευκλείδης» Ομάδα «Αρχιμήδης» Αποστολάκος Γρηγόριος Γραμματικάκης Άγγελος Γκουλεβατάγια Κριστίνα Αποστολάκου Βασιλική Γιαλελή Αγγελική Ζαλούμης Αλέξανδρος Κουτσοβίτη Παναγιώτα Μακρής Απόστολος Γεωργακάκου Μάρθα Ζάλμπα Μαρία Ταϊφάκου Σωτηρία Μητσόπουλος Γεώργιος Μιχαλαριάς Βασίλειος Δρακοπούλου Σταματική Κουτσοβίτης Ευάγγελος Τούμπουρα Αθανασία Παπαδάκου Παναγιώτα Μπόκος Βασίλειος Σκούρου Άννα Τσιάκου Ελπίδα 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ξεκινώντας την εργασία με την ομάδα των μαθητών που επέλεξαν το συγκεκριμένο θέμα, θεωρήσαμε αναγκαίο να συνάψουμε από κοινού το συμβόλαιο συνεργασίας. Οι μαθητές με προθυμία ανταποκρίθηκαν και έθεσαν τις αρχές του συμβολαίου, το οποίο όλοι υπέγραψαν. Στη συνέχεια παρουσιάσαμε το σκεπτικό του σχεδίου εργασίας, δίνοντας τα κατάλληλα ερεθίσματα για προβληματισμό και συζήτηση, με σκοπό τη διαμόρφωση συγκεκριμένων ερευνητικών ερωτημάτων. Μετά την παρουσίαση πολλών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, η ομάδα αποφάσισε να ασχοληθεί με τους πιο οικείους για τους μαθητές μαθηματικούς, δηλαδή τον Πυθαγόρα, τον Αρχιμήδη, τον Ευκλείδη, το Θαλή, αλλά και με τον Πλάτωνα, αφού η σχέση του με τα μαθηματικά θα καταδείκνυε τη σχέση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία. Στην πορεία οι μαθητές χωρίστηκαν σε 5 τετραμελείς υποομάδες, όπου με τη διακριτική καθοδήγησή μας φροντίσαμε να αποτελούνται από μαθητές διαφορετικών προσωπικοτήτων (με γνώμονα την αρχή της ετερογένειας). Ύστερα από κλήρωση (τυχαίο κριτήριο), η κάθε υποομάδα ανέλαβε έναν από τους παραπάνω μαθηματικούς. Έχοντας ως σκοπούς αυτής της εργασίας να γνωρίσουν και να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές την αξία και τη χρησιμότητα των μαθηματικών επιτευγμάτων των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών και ειδικότερα του Θαλή, του Ευκλείδη, του Πυθαγόρα, του Αρχιμήδη και του Πλάτωνα, στην παγκόσμια ιστορία των μαθηματικών αλλά και στην ανάπτυξη της ανθρώπινης σκέψης γενικότερα να προβληματιστούν και να ερευνήσουν κατά πόσο αυτές οι μαθηματικές γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών μπορούν να συμβάλουν στη λύση σύγχρονων προβλημάτων να ασκήσουν οι μαθητές τον τρόπο σκέψης, την επιστημονική μέθοδο εργασίας και να ενεργοποιήσουν τη δημιουργικότητα αλλά και τη συλλογικότητα με την ενεργό και άμεση εμπλοκή τους σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής εργασίας, καταλήξαμε στα παρακάτω ερευνητικά ερωτήματα 1. Βιογραφικά στοιχεία για κάθε Έλληνα μαθηματικό 2. Βασικές μαθηματικές γνώσεις που μετέδωσε ο καθένας στην ανθρωπότητα 3. Πως αυτές οι γνώσεις μπορούν να βοηθήσουν στην επίλυση σύγχρονων προβλημάτων; 4. Ποια επιτεύγματα αυτών έχουν εφαρμογή στη σύγχρονη εποχή και σε ποιους τομείς; 5. Ποια η συμβολή τους στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης; Στη συνέχεια ακολούθησε η αναζήτηση του υλικού μέσα από τη σχετική βιβλιογραφία και τις ανάλογες ιστοσελίδες, η επεξεργασία, η αξιολόγηση και η σύνθεση αυτών των στοιχείων. Στην πορεία, οι μαθητές ασχολήθηκαν και με την κατασκευή τεχνήματος αφίσας, όσο και με την οργάνωση της παρουσίασης της εργασίας. Οι μαθητές εργάστηκαν ομαδοσυνεργατικά, σε όλες τις φάσεις της ερευνητικής τους εργασίας. 3

4 ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ο Θαλής ο Μιλήσιος, θεμελιωτής της Ελληνικής Φιλοσοφίας και της Μιλησίας Σχολής των κοσμολόγων, ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6 ου αιώνα π.χ. στη Μίλητο. Γεννήθηκε περίπου το π.χ. σύμφωνα με τις μαρτυρίες του Απολλόδωρου, ενώ σύμφωνα με άλλες μαρτυρίες γεννήθηκε στα π.χ. και πέθανε σε προχωρημένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες στην Ολυμπία εξαιτίας της ζέστης, της δίψας και της εξάντλησης. Στον τάφο του χαράχτηκε το εξής επίγραμμα : «Εἰ ὀλίγον τό δέ σῆμα, τό δέ κλεός οὐρανόμηκες», δηλαδή «ο χώρος που πιάνει ο τάφος είναι μικρός αλλά η δόξα σου φτάνει στα ουράνια». Η παράδοση κατατάσσει το Θαλή μεταξύ των 7 Σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα. Ήταν μία πολύπλευρη προσωπικότητα. Ασχολήθηκε με την αστρονομία και τα μαθηματικά, την φυσική και την φιλοσοφία. Επίσης αναδείχτηκε σε αξιόλογο πολιτικό αφού σε καίριες στιγμές παρενέβη στα πολιτικά δρώμενα της εποχής του. Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καμία σχολή ούτε μαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο. Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέμεινε άγαμος και αφοσιωμένος στη θεωρητική πρακτική ενασχόληση με τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήμες. Όπως μας αναφέρει και ο Πρόκλος: Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια. Ταξίδεψε στην Αίγυπτο και την Βαβυλώνα, όπως ήταν καθιερωμένο να κάνουν οι σοφοί του 6ου αιώνα, και μελέτησε τον τρόπο ζωής και τις επιστήμες των Αιγυπτίων. Με τον τρόπο αυτό έφερε μαζί του πίσω στη Μίλητο γνώσεις και εφαρμογές οι οποίες συνέβαλαν στην εξέλιξη της Γεωμετρίας και των Μαθηματικών. 4

5 Για τα επιστημονικά επιτεύγματα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς ποια από αυτά δεν οφείλονται στο θρύλο που δημιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητα του. Το σημαντικότερο ωστόσο είναι ότι μέσω των προβληματισμών του για την αρχή του κόσμου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόμενα του κόσμου σε μία μοναδική αρχή, γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια «στη χορεία των φιλοσόφων». Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο «Ναυτική Αστρολογία» αν και αυτό αμφισβητείται σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο ο οποίος υποστηρίζει ότι είναι έργο του Φώκου του Σάμιου. ΕΡΓΟ-ΓΝΩΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Ο Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας Φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμολογικών φαινομένων. Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό. Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του για την φύση ήταν τα αίτια που έκαναν το Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο του αποδίδοντας 2 κοσμολογικές απόψεις: Η γη έχει την μορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό Το νερό είναι η αρχή των πάντων. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή. ΘΕΟΛΟΓΙΑ Όπως μας αναφέρει ο Αριστοτέλης μια άλλη επιστήμη, στην οποία συνέβαλε ο Θαλής ήταν η Θεολογία. Υποστήριζε πως ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς «πάντα πλήρη θεῶν εἶναι» και ότι η ψυχή είναι κάτι το κινητικό «κινητικόν τί». Ακόμη είναι ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο μαγνήτης (Fe 0) ασκεί ελκτικές δυνάμεις σε σιδερένια αντικείμενα. Οι ανακαλύψεις των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών, ώθησαν το Θαλή στη διατύπωση της θεωρίας ότι καθετί που υπάρχει στη φύση έχει ψυχή. Από την εξήγηση που έδωσε ότι οι ετήσιες (μελτέμια) προκαλούν τις πλημμύρες του ποταμού Νείλου, πιθανολογείται ότι πρέπει να ασχολήθηκε και με τη μελέτη των μετεωρολογικών φαινομένων χωρίς όμως να σωθούν οι παρατηρήσεις και οι μελέτες που έκανε. ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Εάν η θεμελίωση της θεωρητικής γεωμετρίας ως επιστήμης και, κατά συνέπεια η θεμελίωση του πολιτισμού οφείλεται στην αναλαμπή του Θαλή, ο οποίος σκέφτηκε να διατυπώσει τα γεωμετρικά αξιώματα και την ανάγκη απόδειξης με αυτά των γεωμετρικών προτάσεων, η συνολική θεώρηση του κόσμου και η προσπάθεια αναγωγής όλων των φαινομένων σε μία αρχή αποτελεί πράγματι σημαντικό επίτευγμα του. 5

6 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Ο Θαλής εκτός από φιλόσοφος υπήρξε και μεγάλος αστρονόμος. Ο Ηράκλειτος γράφει : «Θαλῆς πρῶτος ἀστρολογῆσαι». ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ως μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημά του. Η κυριότερη προσφορά του Θαλή όμως στην επιστήμη των μαθηματικών ήταν η εισαγωγή της αποδείξεως, γεγονός που έφερε αλλαγή στον τρόπο του «σκέπτεσθαι» μέχρι εκείνη την εποχή. ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Με βάση όλες τις θεωρίες και τις γνώσεις του μπορούμε να κατανοήσουμε πως η συμβολή του στην εξέλιξη όλων των επιστημών ήταν καθοριστική. ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Μερικά από τα αποφθέγματα του Θαλή ήταν: Γνῶθι σαυτόν. (Γνώρισε τον εαυτό σου) Χαλεπόν τόν ἑυατόν γνῶναι. (Είναι δύσκολο το να γνωρίσει κανείς τον εαυτό του). Βαρύ ἀπαιδευσία. (Η απαιδευσία είναι βαρύ πράγμα). Μέτρῳ χρῶ. (Σε όλες τις ενέργειες να υπάρχει μέτρο). Μή πλούτει κακῶς. (Να μην πλουτίζεις κακώς). 6

7 Ἀργός μή ἲσθι, μηδ ἀν πλουτῆς. (Να μην μένεις αργός, ούτε όταν είσαι πλούσιος). Ίσχυρότατον ἀνάγκη κρατεῖ γάρ πάντων. (Η ανάγκη είναι το ισχυρότατο των πραγμάτων, διότι υπερισχύει όλων). Φίλων παρόντων καί ἀπόντων μέμνησο. (Να θυμάσαι τους φίλους σου, όταν είναι παρόντες και απόντες). Φθονοῦ μᾶλλον ἤ οἰκτίρου. (Καλύτερα να σε φθονούν, παρά να σε λυπούνται). Πρός τόν πυθόμενον τί πρότερον γεγόνοι, νύξ ἡ ἡμέρα, «ἡ νύξ», ἔφη, «μία ημέρα πρότερον» (Προς κάποιον, που τον ρώτησε τι έγινε πρώτα, η νύκτα ή η ημέρα, απάντησε: «Η νύχτα έγινε, μία μέρα νωρίτερα»). ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Συνοπτικά ο Θαλής στην αστρονομία : ανακάλυψε την ανισότητα των εξάμηνων (θερινού και χειμερινού) με σκιοθηρικό γνώμονα. Μέτρησε την διάρκεια του έτους (365 μέρες) Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ήλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος. Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης βορρά και νότου. Προέβλεψε μια έκλειψη ήλιου (Μάιος 585 π.χ.) Υπολόγισε τον λόγο της διαμέτρου του Ήλιου προς την φαινόμενη τροχιά του γύρω από την γη, καθώς και της διαμέτρου της σελήνης προς την τροχιά της γύρω από την γη. Κατασκεύασε το περίφημο «διαστημόμετρο» για τον υπολογισμό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά. ΦΥΣΙΚΗ Όσον αφορά την φυσική, με την παρατήρηση ότι το ήλεκτρο (κεχριμπάρι) όταν τρίβεται πάνω σε μάλλινο ρούχο, αποκτά την ιδιότητα να έλκει τρίχες, μικρά φτερά κ.λπ., ο Θαλής έθεσε τα θεμέλια του ηλεκτρισμού. Αρκετούς αιώνες μετά, η παραγωγή ηλεκτρισμού με την χρήση της τριβής πραγματοποιήθηκε με την βοήθεια ηλεκτροστατικών μηχανών. Τέλος στο Θαλή οφείλεται και η ανακάλυψη του μαγνητισμού. 7

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Συνοπτικά ο Θαλής στη γεωμετρία: Εισήγαγε την έννοια των παράλληλων ευθειών. Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματα. Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνων. Ανακάλυψε το ομώνυμό του, Θεώρημα του Θαλή. Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιο. Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τρίγωνου. ΜΑΡΤΥΡΙΕΣ-ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Δυστυχώς, οι γνώσεις μας για τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τον 6 ο και τον 5ο αιώνα π.χ. είναι αποσπασματικές. Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο, ενώ οι πληροφορίες που έχουμε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα. Ο Πρόκλος αποτελεί την καλύτερη και την πλέον αξιόπιστη πηγή για τον Θαλή ως Γεωμέτρη. Παρ ότι ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μ.χ αιώνα, η επισκόπηση της Ιστορίας της Γεωμετρίας που περιέλαβε στα σχόλια του για το πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη, είναι αξιόπιστη, καθώς θεωρείται ότι βασίζεται στην χαμένη Ιστορία της Γεωμετρίας που είχε συγγράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη ο Εύδημος. Με τον Θαλή, αλλά και τους επίγονους της σχολής της Ιωνίας, το σχήμα παίρνει ουσιαστικό και πρωτεύοντα ρόλο στην σπουδή της Γεωμετρίας και γίνεται το ίδιο, αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού. Δικαίως λοιπόν εξασφάλισε τον τίτλο του «Πατέρα της Γεωμετρίας», αφού: Σύμφωνα με τον Ιερώνυμο (Μαθητής του Αριστοτέλη): «Κατόρθωσε να μετρήσει τις πυραμίδες παρατηρώντας το μήκος της σκιάς τους, κατά τη στιγμή που οι σκιές μας έχουν μήκος ίσο με το ύψος μας.» 8

9 Ο Πλίνιος: Μας λέει τα ίδια, προσθέτοντας ότι ο Θαλής χρησιμοποίησε την μέθοδο και για κάθε άλλο σώμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το ύψος. Ο Πρόκλος αποδίδει στο Θαλή πολλά μαθηματικά αποτελέσματα: «Πρώτος ο Θαλής απέδειξε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλο» «Πρώτος εκείνος επεσήμανε ότι οι γωνίες της βάσης κάθε ισοσκελούς τρίγωνου είναι ίσες.» Ο Εύδημος αναφέρει: «Ο Θαλής βρήκε πρώτος το θεώρημα ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες». Άλλες μαρτυρίες για τα θεωρήματα και τη συμβολή του Θαλή είναι και της ιστορικού Παμφίλης (που παρατίθεται από το Διογένη Λαέρτιο) η οποία υποστήριξε πως ο Θαλής υπήρξε ο πρώτος που ενέγραψε ορθογώνιο τρίγωνο σε κύκλο. Συμφώνα, όμως με τον Απολλόδωρο, το λογικιστή, αυτό πρέπει να αποδοθεί στους Πυθαγορείους. Συμφώνα πάλι με τον Cantor ο Θαλής δεν «απέδειξε» αλλά μάλλον παρατήρησε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων. Με βάση τις παραπάνω μαρτυρίες είμαστε σε θέση να αποτιμήσουμε τη συμβολή του Θαλή στην παγκόσμια ιστορία όλων των τομέων των επιστημών. Η συμβολή αυτή έγκειται στο γεγονός ότι ανέπτυξε μια λογική δομή και εισήγαγε την απόδειξη στα μαθηματικά. 9

10 Πυθαγόρας ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ Ο γνωστός σε όλους μας Πυθαγόρας ο Σάμιος,γεννήθηκε στη Σάμο και έζησε το π.Χ. Το όνομά του, του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας, η οποία προφήτεψε τη γέννησή του. Σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο, ο Πυθαγόρας έλεγε ότι κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερμή. Ο Ερμής του ζήτησε να διαλέξει ό,τι ήθελε εκτός από την αθανασία. Ζήτησε λοιπόν, όσο ζει να θυμάται όσα του έχουν συμβεί. Έτσι, μπορούσε να επαναφέρει στη μνήμη του τα πάντα από τις προηγούμενες ζωές του. Νεαρός ακόμα, παρακινούμενος από τη φιλομάθειά του, έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις ελληνικές και βαρβαρικές τελετές. Πήγε στην Αίγυπτο και τότε ο πολιτάρχης τον σύστησε με επιστολή του στον Αμάση. Εκεί έμαθε τέλεια τα αιγυπτιακά, όπως λέει ο Αντιφών στο «Περί τῶν ἒν ἁρετῇ πρωτευσάντων» και επισκοπήθηκε τους Χυδαίους και τους Μάγους. Κατόπιν στην Κρήτη με το Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα. Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς. Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο, επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη, αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας. Έδρασε εκεί, όπου και ίδρυσε την περίφημη «Πυθαγόρειο Σχολή», η οποία ήταν πολίτικοθρησκευτικό ίδρυμα με πολιτικούς κυρίως στόχους όπου μελετήθηκαν και η αριθμητική και η γεωμετρία. Επεδίωκε την ηθική και πνευματική αναγέννηση όλων των λαϊκών στρωμάτων, ανδρών και γυναικών της περιοχής του Κρότωνα. Είχε πολλούς και καλούς μαθητές. Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του, τους έλεγε να λένε τα εξής: «Πού έσφαλα»; «Τι έκανα»; «Τι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα»; Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας του, γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν το δικαίωμα να τον βλέπουν. 10

11 Πέθανε, σύμφωνα με τον Διογένη Λαέρτιο, καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγω της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει αυτός και οι μαθητές του στην πόλη. Οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν και τους τετρακόσιους μαθητές του, αφού πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί. Ο Δικαίαρχος αναφέρει πως ο Πυθαγόρας πέθανε στο ιερό των Μουσών στο Μετάποντιο (ελληνική αποικία), μένοντας σαράντα ημέρες νηστικός. ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ - ΕΡΓΟ Η ηθική διδασκαλία του Πυθαγόρα και των ακολούθων του (Πυθαγορείων), διασώζεται σε 71 στίχους του έργου «Τα χρυσά έπη του Πυθαγόρα». Η σύνθεση αυτών των στίχων, αποδίδεται στους Νεοπυθαγορείους του 2ου-3ου μ.χ αιώνα. Η γνώση ότι τα «Χρυσά Έπη» γραφτήκαν από τον Πυθαγόρα ή τους Πυθαγορείους και ανασυντέθηκαν μεταγενέστερα, με τη μορφή που έφτασαν σε εμάς δεν φαίνεται να είναι σωστή. Αν κάνουμε μια απλή ανάγνωση στα εν λόγω έπη αποδεικνύεται ότι αυτά γράφτηκαν πολύ αργότερα. Οπωσδήποτε όμως το περιεχόμενο των επών είναι απόλυτα «πυθαγορικό» και συμφωνεί με την παράδοση της ηθικής διδασκαλίας του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων. Οι σύγχρονοί του όμως, φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα περισσότερο ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως μαθηματικό. Πρέπει να υπογραμμίσουμε πάντως ότι η διδασκαλία του διέφερε από διδασκαλίες άλλων στοχαστών της εποχής του κατά το ότι απέδιδε πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά, λέγοντας ότι αυτά είναι η οδός για την απελευθέρωση της ψυχής. Το πιο σημαντικό μέρος των μαθηματικών για τους Πυθαγορείους είναι η αριθμητική. Διότι, όπως έλεγε και ο Πυθαγόρας, «Τά τῶν αριθμῶν στοιχεία τῶν ὂντων πάντων..εἴναι» (Αριστοτέλους, Μετά τα φυσικά,α5). 11

12 [Aristot. Metaph. A b 23] οἱ καλούμενοι Πυθαγόρειοι τῶν μαθημάτων ἁψάμενοι πρῶτοι ταῦτά τε προήγαγον, καὶ ἐντραφέντες ἐν αὐτοῖς τὰς τούτων ἀρχὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς ᾠήθησαν εἶναι πάντων. ἐπεὶ δὲ τούτων οἱ ἀριθμοὶ φύσει πρῶτοι, ἐν δὲ τούτοις ἐδόκουν θεωρεῖν ὁμοιώματα πολλὰ τοῖς οὖσι καὶ γιγνομένοις, μᾶλλον ἢ ἐν πυρὶ καὶ γῇ καὶ ὕδατι, ὅτι τὸ μὲν τοιονδὶ τῶν ἀριθμῶν πάθος δικαιοσύνη τὸ δὲ τοιονδὶ ψυχή τε καὶ νοῦς ἕτερον δὲ καιρὸς καὶ τῶν ἄλλων ὡς εἰπεῖν ἕκαστον ὁμοίως, ἔτι δὲ τῶν ἁρμονιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὁρῶντες τὰ πάθη καὶ τοὺς λόγους, - ἐπεὶ δὴ τὰ μὲν ἄλλα τοῖς ἀριθμοῖς ἐφαίνετο τὴν φύσιν ἀφωμοιῶσθαι πᾶσαν, οἱ δ' ἀριθμοὶ πάσης τῆς φύσεως πρῶτοι, τὰ τῶν ἀριθμῶν στοιχεῖα τῶν ὄντων στοιχεῖα πάντων ὑπέλαβον εἶναι, καὶ τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ ἀριθμόν. Πυθαγόρειες τριάδες Ο Πρόκλος αποδίδει στον ίδιο τον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της Ν 2 1 Ν 2+ Ν,, μορφής, όπου Ν περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 1. Για ,, παράδειγμα αν πάρουμε ως Ν τον αριθμό 3, θα σχηματιστεί η τριάδα 2 2 δηλαδή η (3, 4, 5) η οποία είναι πράγματι Πυθαγόρεια τριάδα, αφού ικανοποιεί τη σχέση = 5 2. Φαίνεται ότι αληθεύει η εκδοχή λόγω της παράδοσης κάποιες μαθηματικές γνώσεις να μεταδόθηκαν από την Αίγυπτο σε πολλούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, ανάμεσα τους τον Πυθαγόρα. 12

13 Πυθαγόρειο θεώρημα Σε αντιστοιχία με τον ορισμό των πυθαγορείων τριάδων, ένα τρίγωνο λέγεται πυθαγόρειο όταν τα μήκη των πλευρών του αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα. Προφανώς, κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι πυθαγόρειο, ενώ το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Το Π.Θ αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μελέτης των ιδιοτήτων των σχημάτων. Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» μας λέει ουσιαστικά ότι η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο που κατασκευάζεται με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με την επιφάνια που καταλαμβάνουν μαζί τα τετράγωνα που κατασκευάζονται με πλευρά τις κάθετες πλευρές του τριγώνου. -Ορισμός Πυθαγορείου Θεωρήματος: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος: Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος που χρησιμοποιούμε συνήθως σήμερα στηρίζεται στην έννοια της ομοιότητας των τριγώνων και τις αλγεβρικές ιδιότητες των αναλογιών, ενώ το θεώρημα διατυπώνεται στη μορφή μιας αλγεβρικής ισότητας για τετράγωνα των μήκων των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου. Με τον τρόπο αυτό γίνεται ένα ευέλικτο υπολογιστικό εργαλείο με πολυάριθμες εφαρμογές και προεκτάσεις. Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους: 13

14 Απόδειξη με εμβαδά Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c, έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ. σχήμα). Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδά των τεσσάρων τριγώνων : c2 + 2ab Αφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με: a2 + b2 + 2ab. Εξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει: a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab ή a2 + b2 = c2. Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β. Παρομοίως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ. Ισχύει ( AB) ( Β ) = (AB) 2 = (Β Γ )( Β ) και (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ). (Β Γ ) ( AB) Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε:(αβ)2 + (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2. Η περίφημη κούπα του Πυθαγόρα Ο Πυθαγόρας, κατά την τοπική παράδοση της Σάμου, είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί. Εσωτερικά, είχε μία γραμμή που όριζε ως που έπρεπε να γεμίσει κανείς. Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το κρασί της από μία κρυφή οπή στη βάση. Πως όμως γίνεται αυτό; Στο κέντρο της κούπας βρίσκεται μια στήλη τοποθετημένη ακριβώς πάνω από έναν σωλήνα, ο οποίος οδηγεί στο κάτω μέρος της. Εκεί βρίσκεται η κρυφή οπή. Ενώ γεμίζουμε την κούπα, η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης, ακολουθώντας το νόμο του Pascal για τα συγκοινωνούντα δοχεία. 14

15 Όσο η στάθμη του κρασιού δεν ξεπερνά τη γραμμή που είναι χαραγμένη στο εσωτερικό της κούπας, «δεν τρέχει τίποτα». Εάν όμως την ξεπεράσει, ταυτόχρονα φτάνει και στην κορυφή της εσωτερικής στήλης, έτσι μέσω του σωλήνα το παραπανίσιο κρασί χύνεται κάτω από την κούπα. Τότε η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα, το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει. Ένα πλήθος επιπρόσθετων επιτευγμάτων όπως η κατασκευή και η μελέτη τριών τουλάχιστον από τα πέντε κανονικά πολύγωνα (κύβος, τετράεδρο, δωδεκάεδρο) και η κατασκευή της μουσικής κλίμακας (μελέτη των λόγων της τετράχορδης λύρας και δημιουργία κανόνα της οχτάχορδης λύρας) μας αποδεικνύει τη σημαντικότητα του Πυθαγόρα ως επιστήμονας της εποχής του. Οι πληροφορίες για τη μελέτη των πολυέδρων δεν είναι αρκετές, ωστόσο για τη μουσική κλίμακα γνωρίζουμε ότι βασίστηκε στις μελέτες του Πυθαγόρα, ο οποίος μελετώντας τη μαθηματική σχέση της μουσικής κλίμακας και διατυπώνοντας σχετικούς κανόνες διευκόλυνε κατά πολύ την κατασκευή μουσικών οργάνων. Κατάφερε να εκφράσει τη μουσική αρμονία με μαθηματικές σχέσεις μέσα από τη φιλοσοφική και επιστημονική του προσέγγιση. Ξεκινώντας από μία χορδή και διαιρώντας διαδοχικά με το μήκος της και τον χρυσό αριθμό Φ, κατάφερε να κατασκευάσει το μουσικό όργανο «Κανόνα», εξέλιξη του οποίου συναντάται σήμερα στο γνωστό «κανονάκι». Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ Το αρχαιότερο παράδειγμα εφαρμογής του γνωστού σε όλους «πυθαγορείου θεωρήματος» το συναντούμε στη πινακίδα Β.Μ που χρονολογείται από την περίοδο της πρώτης βαβυλωνιακής χιλιετίας π.χ. Έχοντας γνώση λοιπόν του έργου του, οι Βαβυλώνιοι οδηγηθήκαν σε αξιόλογα επιτεύγματα. Ο Πυθαγόρας υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα με τις έρευνες και το Πανεπιστήμιό του συνέβαλε στο άλμα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Η περίεργη μυστικότητα, όμως που διέπνεε το σύλλογο έγινε αιτία να μην πληροφορηθούν οι βιογράφοι επακριβώς όλα τα προσωπικά επιτεύγματα του ίδιου. Έτσι, σήμερα αγνοούμε εν μέρη το δικό του έργο το οποίο ασφαλώς θα ήταν σημαντικότατο. Όσο αναφορά το πυθαγόρειο σχήμα παρά τα αρκετά μειονεκτήματα έχει μερικά χαρακτηριστικά τα οποία μόνιμα επηρέαζαν την ελληνική αστρονομική σκέψη. Έδινε βαρύτητα στις κυκλικές κινήσει των ουράνιων σωμάτων γύρω από ένα κεντρικό στοιχείο. Τέλος, στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους οφείλεται πλήθος γεωμετρικών εργασιών αφού αυτοί μελέτησαν με επιτυχία την επιστήμη της Γεωμετρίας. 15

16 Πλάτων ο Αθηναίος Βιογραφικά στοιχεία Έζησε στο διάστημα ( π.Χ). Ήταν Aθηναίος φιλόσοφος αριστοκρατικής καταγωγής όπου ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο στην αρχαία Ελλάδα, την Ακαδημία για 40 περίπου χρόνια μέχρι το θάνατό του. Πατέρας του ήταν ο Αρίστωνας, ο οποίος καταγόταν από το γένος του βασιλιά Κόδρου, και μητέρα του ήταν η Περικτιόνη, η οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη, ενός από τους Τριάκοντα τύραννους, και ανιψιά του Κριτία, επίσης μέλος των Τριάκοντα, με καταγωγή από το γένος του νομοθέτη Σόλωνος. Αδέρφια του ήταν οι Αδείμαντος και Γλαύκων. Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής, αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτωνας γιατί είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο. Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και από την διδασκαλία του. Από το συνολικό έργο του διασώζονται 36 έργα τα οποία εκτός από την Απολογία του Σωκράτη έχουν την μορφή διαλόγου, σε όλα εκτός των Νόμων. Την συζήτηση διεύθυνε ο Σωκράτης ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή. Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η τοποθέτηση του, και ο άκρατος θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς την γεωμετρία. Λίγες πληροφορίες για την Ακαδημία Η Ακαδημία ήταν ένα προάστιο των Αθηνών. Πήρε το όνομά της από τον ήρωα Ακάδημο. Αναφορικά, ο Ιππίας, γιος του Πεισίστρατου, έκτισε ένα κυκλικό τοίχο και ο Κίμωνας φύτεψε τη περιοχή με τα δέντρα η οποία καταστράφηκε από τον Σίλα το 86 π.χ. Το

17 π.χ. O Πλάτωνας ίδρυσε τη φιλοσοφική του σχολή η οποία έγινε πολύ διάσημη χάρη στους νεοπλατωνιστές και χρησιμοποιείτο έως το 526 μ.χ. οπότε και έκλεισε από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό. Η Ακαδημία ήταν σχολή ανωτέρων μελετών και ταυτόχρονα και εκπαιδευτικό ίδρυμα. Είχε ισχυρή καταστατική συγκρότηση και παρουσιάζεται περισσότερο υπό τη μορφή μιας αδελφότητας μιας φιλοσοφικής αίρεσης, τα μέλη της οποίας αισθάνονται στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους και διακρίνεται και από μια οικειότητα στις σχέσεις μεταξύ των μαθητών και των δασκάλων την οποία θα χαρακτηρίζαμε στοργική και φιλική συνάμα. Υπάρχει μια διαφωνία σχετικά με το αν η Ακαδημία ήταν ένωση για τη πρόοδο των επιστημών, ή ίδρυμα ανώτατης μόρφωσης. Η διαφωνία αυτή είναι κάπως άσκοπη, δεδομένου το ότι ο άκρατος ρεαλισμός της σχολής αλλά και ο απλός χαρακτήρας της αρχαϊκής εκείνης εποχής δεν επιτρέπουν στο να μεταθέσουμε σε εκείνο το περιβάλλον τη σύγχρονη αντίληψη που έχουμε για την επιστήμη. Η Ακαδημία, άλλωστε, ήταν σχολή ανώτερων μελετών αλλά και εκπαιδευτικό ίδρυμα ταυτόχρονα. Τέλος, ο Πλάτωνας δεν ονειρεύτηκε μόνο τη μετά επιστήμης παιδεία αλλά και τη μετέδωσε για σαράντα χρόνια στους μαθητές του στην Ακαδημία Η Ακαδημία ήταν ο τόπος στον οποίο ο Πλάτωνας προσπαθούσε να δείξει τον δρόμο σε προικισμένους μαθητές, ώσπου να αναπηδήσει ο σπινθήρας και να αποκαλυφθεί η έσχατη γνώση. Ξέρουμε τόσα λίγα για την καθημερινή διδασκαλία στην ακαδημία την εποχή του Πλάτωνα ώστε πότε-πότε θέλησαν να αρνηθούν τον επιστημονικό χαρακτήρα της. Τέτοιοι σκεπτικισμοί δεν στηρίζονται πουθενά. Την μεγάλη σημασία των μαθηματικών σαν προπαίδεια για την διαλεκτική η οποία στηριζόταν σε αυτά την δείχνουν μερικές προσωπικότητες του Πλατωνικού κύκλου και χωρίς αμφιβολία υπάρχει ουσιαστική αλήθεια στο ανέκδοτο που λένε ότι βρισκόταν πάνω από την είσοδο της Ακαδημίας «ἁγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτω». Ξέρουμε ακόμα ότι η διαιρετική μέθοδος για την οποία μιλήσαμε στους οψιμότερους διαλόγους έπαιξε σημαντικό ρόλο στον αγώνα για ένα λογικά ταχτοποιημένο κοσμοείδωλο και στην απόκτηση ορισμών με την διαίρεση των γενικότερων εννοιών. Η συμβολή του Πλάτωνα και της Ακαδημίας στα μαθηματικά Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αιώνα π.χ είναι σημαντικότατη ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου, Μεναίχμου και Ενδόξου. Η συμβολή όμως του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη αν και πιστεύεται ότι: -Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με την βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση. -Έδωσε γενική μορφή στην αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των γεωμετρικών τύπων -Προσδιόρισε ένα πλήθος των πυθαγορείων τριάδων δηλαδή των τριαδικών ακέραιων αριθμών που επαληθεύουν την ισότητα x2+y2=ω2 του Πυθαγορείου θεωρήματος. Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του ουρανού, θέση, σχήμα και κίνηση της Γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις, γεγονός που 17

18 φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός. Έγραψε μεταξύ άλλων την απολογία του Σωκράτη η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στην δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο. Μετά τη θανάτωση του Σωκράτη για λίγο καιρό κατέφυγε στα Μέγαρα, κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη. Ύστερα γύρισε στην Αθήνα, όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων, τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας. Στη συνέχεια ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη, όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο, και τέλος στον Τάραντα της Ιταλίας, όπου γνώρισε τους πυθαγόρειους, από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε αποφασιστικά. Μετά πέρασε στη Σικελία. Στην αυλή του βασιλιά των Συρακουσών Διονυσίου Α γνώρισε τον βασιλικό γυναικάδελφο Δίωνα, με τον οποίον συνδέθηκε φιλικά. Η φιλία όμως αυτή προκάλεσε τις υποψίες του Διονυσίου για συνωμοσία, γι' αυτό έδιωξε τον Πλάτωνα από τη Σικελία. Στην Αίγινα κινδύνεψε να πουληθεί ως δούλος αλλά τον εξαγόρασε ο Κυρηναίος φίλος του Αννίκερης. Επιστρέφοντας στην Αθήνα άνοιξε τη φιλοσοφική σχολή του, την Ακαδημία (387 π.χ.). Η προσπάθεια όμως των δύο φίλων να προσηλυτίσουν στις ιδέες τους τον νέο ηγεμόνα Διονύσιο τον Πρεσβύτερο απέτυχαν. Για τρίτη φορά ήρθε στην αυλή των Συρακουσών το 361 π.χ., με σκοπό να συμφιλιώσει τον Δίωνα με τον Διονύσιο. Αυτή τη φορά κινδύνεψε και η ζωή του. Τον έσωσε η επέμβαση του πυθαγόρειου Αρχύτα. Αλλά ο Δίωνας δεν γλίτωσε. Δολοφονήθηκε το 353 π.χ.. Έτσι ο Πλάτωνας έχασε τον άνθρωπο στον οποίο στήριξε τις ελπίδες του για την επιβολή των πολιτικών του ιδεών. Από τότε και μέχρι τον θάνατό του ασχολήθηκε με τη διδασκαλία και με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων. Επίσης έγραψε το συμπόσιο που μιλάει για την φύση του έρωτα στον Πρωταγόρα. Μεταξύ άλλων θεμελιώνεται θεωρητικά η αρχή της πρόληψης που δεν λαμβάνει την τιμή ως απολύτως ανταποδοτική στον Παρμενίδη και Θεαίτητο θεμελιώνει την αντικειμενικότητα του λόγου και της ιδέας ενώ σε 2 μακρούς διαλόγους την Πολιτεία και τους Νόμους περιέγραψε την ιδανική πολιτεία. Η κύρια συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπεe τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες, και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία. Η προτροπή αυτή φαίνεται, εκτός των άλλων και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι δόσις θεῶν εἰς ἀνθρώπους και ότι οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο. Οι επιδράσεις του Πλάτωνος στους έπειτα αιώνες Ο Γάλλος ιστορικός της φιλοσοφίας Ζακ Σεβαλιέ τονίζει στο έργο του «Ιστορία της σκέψης» (1955) την κυρίαρχη παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα και στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους, ενώ ο Γερμανός φιλόσοφος Καρλ Γιάσπερς προβάλλει τον Πλάτωνα ως το τον πρώτο από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν. Η ιστορία της φιλοσοφίας μέχρι τον Κικέρωνα είναι σαφώς επηρεασμένη από αυτόν και είτε αμφισβητεί είτε ακολουθεί τη διδασκαλία του. Ο μαθητής του Αριστοτέλης, εξ ίσου επιδραστικός με τον ίδιο, οδηγήθηκε στην ανάπτυξη τμήματος του έργου του ως απάντηση στον πλατωνισμό. Η σχολή την οποία ο Πλάτωνας 18

19 ίδρυσε το 387 π.χ., η Ακαδημία, συνέχισε να ακμάζει ως τις αρχές του πρώτου αιώνα π. Χ., έχοντας όμως μετατραπεί σε σκεπτική σχολή μετά τις αρχές της ελληνιστικής περιόδου. Κατά την εποχή του Αυγούστου υπήρξε αναβίωση της πλατωνικής φιλοσοφίας, ο μεσοπλατωνισμός με εκπροσώπους όπως ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς, ενώ κατά τα τέλη του δεύτερου αιώνα ο μεσοπλατωνισμός άρχεσαι να μετατρέπεται σταδιακά, υπό την επίδραση του νεοπυθαγορισμού και του ερμητισμού στην κατεχόμενη από τους Ρωμαίους Αίγυπτο, στο κίνημα του νεοπλατωνισμού, με αρχικούς εκπροσώπους όπως ο Πλωτίνος, το οποίο είχε ιδεαλιστικό, μυστικιστικό και σωτηριολογικό χαρακτήρα. Η Ακαδημία στην Αθήνα επανιδρύθηκε ως κέντρο νεοπλατωνικών μελετών κατά τον τέταρτο αιώνα. Την ίδια εποχή, περίοδο έντονων θρησκευτικών ζυμώσεων στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία και σταδιακής επικράτησης του χριστιανισμού στη Μεσόγειο, οι ακόλουθοι της αστικής ελληνορωμαϊκής θρησκείας αλλά και των ελληνικών μυστηριακών λατρειών συσπειρώθηκαν γύρω από τον νεοπλατωνισμό ως υπερασπιστή του μέχρι πρότινος επικρατούντος παγανισμού. Μεμονωμένοι νεοπλατωνικοί και παγανιστικοί πυρήνες επέζησαν ως τον έκτο αιώνα, οπότε και ο Αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε με διάταγμα την Ακαδημία της Αθήνας. Μετά περίπου εννέα αιώνες το έτος 1439 ο Γεώργιος Γεμιστός Πλήθων γράφει στη Φλωρεντία το πολύκροτο έργο του: Περί ὧν Αριστοτέλης προς Πλάτωνα που αποτέλεσε το έναυσμα της διαμάχης πλατωνικών και αριστοτελικών στο Βυζάντιο και στην Ιταλία. Ο πλατωνισμός επιβίωσε υπογείως καθ' όλον τον Μεσαίωνα, κρυμμένος σε μυστηριακά ρεύματα έως ότου οι πρωτότυπες ιδέες του ανακαλύφθηκαν ξανά και σχολιάστηκαν κατά την Αναγέννηση. Έτσι ούτε η νεότερη φιλοσοφική σκέψη έμεινε ανεπηρέαστη από αυτόν. Τα διάφορα φιλοσοφικά συστήματα ή προσπαθούν να ανατρέψουν τις ιδέες του ή οικοδομούνται πάνω σ' αυτές εκσυγχρονίζοντάς τες. Τα έργα του είναι: Αλκιβιάδης Α' η Περί Ανθρώπου Φύσεως, μαιευτικός. Αλκιβιάδης Β' ή Περί Προσευχής, μαιευτικός. Απολογία Σωκράτους, ηθικός. Γοργίας ή Περί Ρητορικής, ανατρεπτικός. Επινομίς ή Νυκτερινος Σύλλογος, πολιτικός. Επιστολαί, ηθικαί. Ερασταί ή Περί Φιλοσοφίας, ηθικός. Ευθύδημος ή Εριστικός, ανατρεπτικός. Ευθύφρων ή Περί του Οσίου. Θεάγης ή Περί Φιλοσοφίας, μαιευτικός. Θεαίτητος ή Περί Επιστήμης, πειραστικός. 19

20 Ιππαρχος ή Φιλοκερδής, ηθικός. Ιππίας ελάσσων ή Περί του Ψεύδους, ανατρεπτικός. Ιππίας μείζων ή Περί του Καλού, ανατρεπτικός. Ίων ή Περί Ιλιάδος, πειραστικός. Κλειτοφών ή Προτρεπτικός, ηθικός. Κρατύλος ή Περί Ονομάτων Ορθότητος, λογικός. Κριτίας ή Ατλαντικός, ηθικός. Κρίτων ή Περί του Πρακτέου, ηθικός. Λάχης ή Περί Ανδρείας, ηθικός. Λύσις ή Περί Φιλίας, μαιευτικός. Μενέξενος ή Επιτάφιος, ηθικός. Μένων ή Περί Αρετής, πειραστικός. Μίνως ή Περί Νόμου, πολιτικός. Νόμοι ή Περί Νομοθεσίας, πολιτικός. Παρμενίδης ή Περί Ιδεών, λογικός. Πολιτεία ή Περί Δικαίου, πολιτικός. Πολιτικός ή Περί της Βασιλείας, λογικός. Πρωταγόρας ή Σοφισταί, επιδεικτικός. Σοφιστής ή Περί του Όντος, λογικός. Συμπόσιον ή Περί Αγαθού, ηθικός. Τίμαιος ή Περί Φύσεως, φυσικός. Φαίδρος ή Περί Έρωτος, ηθικός. Φαίδων ή Περί Ψυχής, ηθικός. Φίληβος ή Περί Ηδονής, ηθικός. Χαρμίδης ή Περί Σωφροσύνης, πειραστικός. 20

21 21

22 Ευκλείδης ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ Υπολογίζεται ότι έζησε το β μισό του 4ου έως τις αρχές του 3ου π.χ. αιώνα πιο συγκεκριμένα περίπου το 325 π.χ. έως το 265 π.χ. Κορυφαίος μαθηματικός της αρχαιότητας που επηρέασε με το έργο του σε ανυπέρβλητο βαθμό τον επιστημονικό τρόπο σκέψης σε όλο τον κόσμο. Για τη ζωή του δεν υπάρχουν επιβεβαιωμένες πληροφορίες. Πιθανώς εκπαιδεύτηκε στην Αθήνα στην Ακαδημία του Πλάτωνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Ξέρουμε ότι ήταν μεγαλύτερος στην ηλικία από τον Αρχιμήδη, πράγμα που σημαίνει ότι η χρονολόγηση της ακμής του «γύρω στο 300 π.χ.» δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια. Ο Πρόκλος, επίσης, τον χαρακτηρίζει σύγχρονο του βασιλιά Πτολεμαίου Α στον οποίο είχε το θάρρος να του πει κατά πρόσωπο πως δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία. Ο Πάππος, τον επαινεί για την ηθική του ακεραιότητα, τη μετριοφροσύνη και την ευμενή στάση του προς όσους είναι ικανοί να προαγάγουν τη μαθηματική γνώση. Ο Στοβαίος διηγείται το ακόλουθο ενδιαφέρον περιστατικό: Ένας νέος επισκέφθηκε κάποτε τον Ευκλείδη και τον παρακάλεσε να τον διδάξει γεωμετρία. Μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα ρώτησε τον Ευκλείδη «Και τώρα τι θα κερδίσω με το θεώρημα αυτό;». Ο Ευκλείδης τότε γύρισε προς τον υπηρέτη του και του είπε: «Δώσ του τρεις δεκάρες, ώστε να κερδίσει κάτι από το θεώρημα το οποίο έμαθε!» Αυτά είναι όλα όσα γνωρίζουμε για τον Ευκλείδη ως άνθρωπο. Πολύ μεγαλύτερη σημασία όμως έχει το έργο του το οποίο ακόμα και σήμερα, μαρτυρεί τα απαράμιλλα χαρίσματά του ως δασκάλου. ΕΡΓΟ Τα Στοιχεία του Ευκλείδη Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 π.χ., η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές. Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος, ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής. Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια, λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 π.χ. άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης, που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα. 22

23 Ο Ευκλείδης, από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων. Τα Στοιχεία. του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών. Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης. Είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα. Τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα. Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες. Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου π.χ. αιώνα. Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο. Όπως μαθαίνουμε, η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη. Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοιχείων. Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη, ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του, ειδικά αν, όπως πιστεύουν, σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου. Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του, αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν 23

24 σε λογική σειρά οι προτάσεις, ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων. Ούτε είναι υποτιμητικό το γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη. Δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφεί γύρω στο 300 π.χ., αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται. Αντίθετα, σώζονται δεκάδες αντίγραφα που, σε τελική ανάλυση, κατάγονται από αυτό. Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στη Βιβλιοθήκη της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888, ενώ μικρά αποσπάσματα του έργου διασώζονται σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίμψητο χειρόγραφο του 7 ου ή του 8ου μ.χ. αι. που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο. Βλέπουμε λοιπόν, ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9ου μ.χ. αι. και επομένως απέχει από την εποχή μας όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο. Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο. Στα 1808, όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι, ο Φ. Πέιραρντ (F. Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά. Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ' αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις. Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo, ) και 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ, ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus). Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους. Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ' αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις. 24

25 Αναλυτική περιγραφή των «στοιχείων» Ειδικότερα το πρώτο βιβλίο αναφέρεται σε τεμνόμενες και παράλληλες ευθείες, στην ισότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στο τέλος το πυθαγόρειο θεώρημα. Στο 2ο βιβλίο αναφέρονται συνέπειες από το πυθαγόρειο θεώρημα και γίνονται μετασχηματισμοί ευθύγραμμων σχημάτων σε ισοδύναμα τετράγωνα. Εδώ περιέχεται και το πρόβλημα της «χρυσής τομής». Πολλές από τις προτάσεις αυτού μπορούν με σύγχρονους συμβολισμούς να πάρουν μορφή αλγεβρική, γι αυτό έχει επικρατήσει να λέγεται για το 2ο βιβλίο ότι εισάγει τη «γεωμετρική άλγεβρα». Στο 3ο βιβλίο εξετάζεται ο κύκλος και στο τέταρτο βιβλίο λύνονται προβλήματα σχετικά με τα εγγεγραμμένα στον κύκλο κανονικά πολύγωνα. Στο 5ο βιβλίο σπουδάζεται η «θεωρία των λόγων» του Ευδόξου. Πρόκειται ουσιαστικά για τη θεωρία των πραγματικών αριθμών, δοσμένη όμως σε μορφή γεωμετρική. Το 6ο βιβλίο ασχολείται με την ομοιότητα επίπεδων σχημάτων και σ αυτά αποδεικνύεται ότι από όλα τα ορθογώνια με δοσμένη περίμετρο το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν. Στα βιβλία 7ο-9ο που αφορούν στην αριθμοθεωρία είναι εκπληκτικό πώς με παντελή μπορεί να πει κανείς έλλειψη συμβολισμών (αριθμοί δεν αναγράφονται) κατορθώνεται μια ακροβασία στην αλληλουχία των συλλογισμών που καταλήγει σε πολύ ενδιαφέροντα αριθμητικά αποτελέσματα. Ειδικότερα, στο 7ο βιβλίο μελετιούνται οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί, οι πρώτοι και οι σύνθετοι καθώς και οι τέλειοι, εξετάζονται διάφορα προβλήματα διαιρετότητας, ορίζεται το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αριθμών (ΕΚΠ), καθώς και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους και δίνεται η μέθοδος προσδιορισμού του, που ονομάστηκε «Ευκλείδειος Αλγόριθμος». Στα δύο επόμενα βιβλία εξακολουθεί η σπουδή αριθμοθεωρητικών θεμάτων, στο 8ο εισάγονται επίσης και μελετιούνται οι γεωμετρικές πρόοδοι και στο 9ο έχουν συμπεριληφθεί τρεις σημαντικότατες προτάσεις. Πρόκειται για: α) το αποκαλούμενο «θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής» β) την απόφανση ότι υπάρχουν απειράριθμοι πρώτοι και γ) την πρόταση που οδηγεί σε ένα γενικό τύπο που παρέχει άρτιους τέλειους αριθμούς. Στο 10ο βιβλίο, που αποτελεί ένα από τα ωραιότερα μέρη των Στοιχείων, γίνεται μια ταξινόμηση των τετραγωνικών άρρητων και των τετραγωνικών ριζών τους και κατασκευάζεται ένα σύνολο ασύμμετρων μεγεθών το οποίο μαζί με το σύνολο των ρητών συναποτελεί επέκταση αυτού του τελευταίου, τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της να είναι κατασκευασμένο με κανόνα και διαβήτη. Τέλος, τα βιβλία της στερεομετρίας, το 11ο βιβλίο ασχολείται με θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ ευθειών και επιπέδων καθώς και με τις στερεές γωνίες, στο 12ο αναφέρεται σε επιφάνειες και όγκους στερεών και στο 13ο γίνεται η μελέτη της σφαίρας σε συσχετισμό με τα εγγεγραμμένα σε αυτήν κανονικά πολύεδρα. 25

26 Άλλα έργα Δεδομένα (94 θεωρήματα) : έργο ανώτερης γεωμετρίας. Στο έργο αυτό περιέχονται προτάσεις σε σχήματα στα οποία δίνονται ορισμένα στοιχεία τους κατά σχήμα, θέση ή μέγεθος. Περί διαιρέσεων (36 προτάσεις) : με περιεχόμενό του τη διαίρεση σχημάτων με δοσμένη σχέση. Πορίσματα (3 βιβλία που χάθηκαν) : σώθηκαν ορισμένα αποσπάσματα που το 1860 έγινε απόπειρα ανασύνθεσής τους από τον Πάππο. Οπτικά-κατοπτρικά : αντίστοιχα γεωμετρική οπτική, ανάκλαση του φωτός πάνω σε επίπεδο κάτοπτρο. Φαινόμενα : εγχειρίδιο κοσμογραφίας, απλές προτάσεις για τη σφαίρα. Κατατομή κανόνος : στοιχεία πυθαγόρεια, θεωρία μουσικής. Ψευδάρεια : «παράδοξα» με στόχο να ασκηθούν οι σπουδαστές στην ανεύρεση λογικών σφαλμάτων κατά τις αποδείξεις. Κωνικαί τομαί, Μηχανικά : δεν γνωρίζουμε τίποτα γι αυτά τα έργα. Αιτήματα του Ευκλείδη Τα αιτήματα είναι αρχικές προτάσεις οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριμένη κάθε φορά επιστήμη στην προκειμένη περίπτωση στη Γεωμετρία. Ο Ευκλείδης διατυπώνει 5 αιτήματα : 1. Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο άγεται ευθεία γραμμή. 2. Και (ότι) πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο. 3. Και (ότι) με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος. 4. Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Και αν η ευθεία η οποία τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει δύο εντός και επί τ αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ απείρου συναντώνται προς εκείνα τα μέρη τους όπου βρίσκονται μικρότερες των δύο ορθών. Ακολουθούν τα «αιτήματα», διατυπωμένα σε αρχαίο κείμενο όπως αυτά βρίσκονται στο Βιβλίο Ι 26

27 Ο ρόλος των τριών πρώτων από τα αιτήματα αυτά είναι να εξασφαλίσουν τη νομιμότητα των κατασκευών της ευθείας και του κύκλου και κατά συνέπεια εκείνων και μόνο των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων που κατασκευάζονται με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τα δύο αυτά βασικά σχήματα. Στα Στοιχεία επομένως, δεν έχουν θέση καμπύλες όπως είναι οι κωνικές τομές, τη τετραγωνίζουσα κ.λπ., ή κατασκευές όπως κατασκευές νεύσεως. Η φύση των δύο τελευταίων αιτημάτων είναι διαφορετική. Αποσκοπούν να δηλώσουν ότι κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες. Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί κατά το παρελθόν με το ερώτημα εάν τα αξιώματα του Ευκλείδη ικανοποιούν τις σύγχρονες απαιτήσεις (πληρότητα, συνέπεια, ανεξαρτησία) ενός αξιωματικού συστήματος. Από την προσεκτική μελέτη των αποδείξεων κι των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί μερικές φορές απόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στα αξιώματα. Επομένως, το σύστημα των αξιωμάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας. Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον εξάλλου έχει το ερώτημα της ανεξαρτησίας των αιτημάτων του Ευκλείδη ιδιαίτερα σε ότι αφορά το πέμπτο από αυτά. Το αίτημα αυτό αναφέρεται συχνά και ως «αίτημα των παραλλήλων» γιατί μια ισοδύναμη διατύπωσή του είναι η εξής: από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς τη ευθεία. Πολλοί μαθηματικοί, από την αρχαιότητα έως τα μέσα του 18ου αιώνα, προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτημα αυτό από τα άλλα αιτήματα, όλες οι προσπάθειες όμως απέβησαν άκαρπες. Από τα τέλη του 18ου αιώνα η προσδοκώμενη εξάρτηση του αιτήματος επιχειρήθηκε να αποδειχτεί με έμμεσο τρόπο. Η σκέψη ήταν η εξής: αν το αίτημα των παραλλήλων μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα τέσσερα αιτήματα, μαζί με την άρνηση του πέμπτου, θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση. Το νέο σύστημα αξιωμάτων όμως αντί να οδηγήσει σε αντίφαση αποδείχτηκε ότι παράγει συνέπειες μαθηματικές θεωρίες!!! Έτσι ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες και ταυτόχρονα, αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτημάτων του Ευκλείδη. 27

28 Ας δούμε τώρα, την διατύπωση και την απόδειξη της πρότασης (5) που περιέχεται στο Βιβλίο Ι των «στοιχείων» και αναφέρεται στη γνωστή μας πρόταση της ισότητας των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου. 28

29 Γιατί διδάσκουμε το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ; Στο ζήτημα της «χρησιμότητας» των σχολικών Μαθηματικών, θα μπορούσε κανείς να αντιπαραθέσει (και πράγματι αντιπαρατέθηκαν) πολλές διαφορετικές απόψεις. Εμείς θα παραθέσουμε απλώς ένα απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein, το οποίο δείχνει μια άλλη, τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με την «χρησιμότητα» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής, που είχαν μεγάλη επίδραση στην μετέπειτα εξέλιξη του, ο Einstein σημειώνει: Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη, τελείως διαφορετική έκπληξη: σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης γεωμετρίας Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί όπως για παράδειγμα τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο οι οποίοι - αν και καθόλου προφανείς - μπορούσαν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα ώστε να μην χωρεί η παραμικρή αμφιβολία. Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προξένησαν μια εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί. Το γεγονός ότι τα αξιώματα έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη, δεν με ενόχλησε. Σε κάθε περίπτωση μου αρκούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσαν να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις, η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη. Η περίπτωση του Einstein του επιστήμονα που άλλαξε ριζικά τις αντιλήψεις μας και την γεωμετρική δομή του σύμπαντος, αποκαλύπτει την σπουδαιότητα ορισμένων παιδαγωγικών σκοπών και τη συνάφειά τους με το ερώτημα που θέσαμε ως τίτλο αυτής της ενότητας: καλλιέργεια και ανάπτυξη της συγκροτημένης σκέψης, μύηση στην επιστημονική μέθοδο μελέτες του κόσμου. Αυτοί οι σκοποί, παρόλη τη γενικότητά τους συνδέονται άμεσα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που άσκησαν καθοριστική επίδραση στο νεαρό Einstein, τα οποία είναι : Σαφήνεια στην έκθεση Ολοκληρωτική απόδειξη κάθε υπόθεσης Απόλυτη συνάφεια σχημάτων και συλλογισμών Τάξη και ομορφιά Αν τα στοιχεία αυτά αποτελούν ουσιώδη συστατικά της μαθηματικής παιδείας τότε παρέχουν κατά την άποψή μας μια αυτονόητη απάντηση στο ερώτημα «Γιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία;» Αντιλήψεις και αντιπαραθέσεις για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Οι ένθερμοι υποστηρικτές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προβάλλουν την παιδαγωγική αξία της λογικής και διάφανης επιχειρηματολογίας των γεωμετρικών αποδείξεων, ενώ οι πολέμιοί της επικαλούνται την αναμφισβήτητη δυσκολία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και τις πολύ χαμηλές επιδόσεις τους στην αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων. Ενδιάμεσα βρίσκονται συνήθως οι σκεπτικιστές, οι οποίοι επισημαίνουν τον περιορισμένο επιστημολογικά ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και την ανάγκη να ανανεωθεί η διδασκαλία των Μαθηματικών δίνοντας μεγαλύτερη έμφαση σε πιο σύγχρονους και «χρήσιμους» κλάδους (π.χ. Πιθανότητες και Στατιστική). Από την εποχή που ο Dieudonne κήρυξε τον πόλεμο κατά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, οι αντιλήψεις 29

Πλάτωνος Βιογραφία Δευτέρα, 23 Μάιος 2011 01:55

Πλάτωνος Βιογραφία Δευτέρα, 23 Μάιος 2011 01:55 Ο Πλάτων (427 π.χ. - 347 π.χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος από την Αθήνα, ο πιο γνωστός μαθητής του Σωκράτη και δάσκαλος του Αριστοτέλη. Το έργο του με τη μορφή φιλοσοφικών διαλόγων έχει σωθεί ολόκληρο

Διαβάστε περισσότερα

«Ο πλατωνικός διάλογος»

«Ο πλατωνικός διάλογος» «Ο πλατωνικός διάλογος» Εισαγωγή στους πλατωνικούς διαλόγους Τρόποι ανάγνωσης και ερµηνείας του πλατωνικού έργου ιάλογος και διαλεκτική Γιώργος Καµπάλιος Το έργο «ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΠΛΑΤΩΝΟΣ - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Υπατία Τετάρτη20 Νοεµβρίου 2013 Σχολικό έτος 2013-2014 Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Τµήµα Β1 Βιογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου

Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αισθητική φιλοσοφία της τέχνης και του ωραίου Αικατερίνη Καλέρη, Αν. Καθηγήτρια το μάθημα Αισθητική διδάσκεται στο 4ο έτος, Ζ εξάμηνο εισάγει στις κλασσικές έννοιες και θεωρίες της φιλοσοφίας της τέχνης

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Αυτά συμβαίνουν σε επίπεδο αισθητού δηλαδή ύλης, τι γίνεται όμως σε επίπεδο νοητού, δηλαδή καταστάσεων, γεγονότων κτλ;

Αυτά συμβαίνουν σε επίπεδο αισθητού δηλαδή ύλης, τι γίνεται όμως σε επίπεδο νοητού, δηλαδή καταστάσεων, γεγονότων κτλ; Όλοι έχουμε ακούσει για το συνειδητό και το υποσυνείδητο. Το υποσυνείδητο είναι μια αποθήκη πληροφοριών από την οποία αντλούμε εικόνες ήχους κτλ για να αποκωδικοποιήσουμε κάτι. Π.χ. σπάει ένα γυαλί, τα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Δ2. Οι φιλοσοφικές ιδέες του Σωκράτη. Διαλεκτική, μαιευτική, ειρωνεία. Η αναζήτηση των ορισμών, η επαγωγική μέθοδος και η ηθική.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Δ2. Οι φιλοσοφικές ιδέες του Σωκράτη. Διαλεκτική, μαιευτική, ειρωνεία. Η αναζήτηση των ορισμών, η επαγωγική μέθοδος και η ηθική. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Δ2. Οι φιλοσοφικές ιδέες του Σωκράτη. Διαλεκτική, μαιευτική, ειρωνεία. Η αναζήτηση των ορισμών, η επαγωγική μέθοδος και η ηθική. 1. Πώς σχολίασε και πώς προσπάθησε ο Σ. να ελέγξει το χρησμό του

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός κεφάλαιο 6 ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΩΣΗ ΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΧΩΡΩΝ ΩΣ ΤΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΗΣ ΒΕΣΤΦΑΛΙΑΣ (1453-1648) 2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός Ορισμός Πρόκειται για μια γενικότερη πνευματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ LypCh1:Layout 1 copy 11/13/08 8:53 PM Page 3 ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΛΥΠΟΥΡΛΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΜΗΡΟ ΣΤΟΝ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΕΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 LypCh1:Layout 1 copy 11/13/08 8:53 PM Page

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

α) «άτοµα» β) «απεικάσµατα» γ) «επιθυµητικό». Μονάδες 12

α) «άτοµα» β) «απεικάσµατα» γ) «επιθυµητικό». Μονάδες 12 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004-05-25 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΟΜΑ Α Α Α.1 Να µεταφέρετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα