ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων"

Transcript

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΚ ΟΧΗ.5, Νοέµβριος

2

3 Περιεχόµενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΙΑΓΩΝΙΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ....6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑ-ΕΝΤΟΠΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ... 5 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΛΕΓΚΤΩΝ.... ΡΥΘΜΙΣΗ.... ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ ΜΕΙΩΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ... 9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 3

4 Ανάλυση συστηµάτων στο χώρο καταστάσεων. Η έννοια του χώρου κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης είναι µία περιγραφή στο πεδίο του χρόνου και ισχύει για µια πολύ µεγάλη κατηγορία συστηµάτων όπως τα γραµµικά και µη γραµµικά συστή- µατα, τα χρονικά µεταβαλλόµενα και µη συστήµατα, τα συστήµατα µε µη µηδενικές αρχικές συνθήκες και άλλα. Με τον όρο κατάσταση ενός συστήµατος αναφερόµαστε στο παρελθόν, στο παρόν και στο µέλλον του συστήµατος. Από µαθηµατικής πλευράς, η κατάσταση του συστήµατος εκφράζεται µε τις µεταβλητές κατάστασης. Συνήθως, ένα σύστηµα περιγράφεται από ένα ελάχιστο πεπερασµένο αριθµό καταστάσεων που συµβολίζονται,,..., και ορίζονται ως εξής: Ορισµός.: Οι µεταβλητές κατάστασης,,..., ενός συστήµατος ορίζονται ως ένας ελάχιστος αριθµός µεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουµε τις τιµές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγµή, την συνάρτηση εισόδου που εφαρµόζεται στο σύστηµα για >, και τον µαθηµατικό νόµο που συνδέει την είσοδο, τις µεταβλητές κατάστασης και το σύστηµα, τότε καθίσταται δυνατός ο προσδιορισµός της κατάστασης του συστήµατος για οποιαδήποτε χρονική στιγµή >. Ένα γραµµικό, χρονικά αµετάβλητο δυναµικό σύστηµα συνεχούς χρόνου παρίσταται ως εξής: B,. yc. Το διάνυσµα εισόδου συµβολίζεται µε και έχει τη µορφή: r M όπου r είναι το πλήθος των εισόδων. Το διάνυσµα εξόδου συµβολίζεται µε y και έχει τη µορφή:

5 y y y y M όπου m είναι το πλήθος των εξόδων. Το διάνυσµα κατάστασης συµβολίζεται µε και έχει τη µορφή: m M όπου είναι το πλήθος των µεταβλητών κατάστασης. Οι πίνακες Α, Β, C καλούνται πίνακες του χώρου κατάστασης sae-space marices. Οι εξισώσεις κατάστασης.-. αποτελούν για την επιστήµη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου µια µοντέρνα µέθοδο περιγραφής συστηµάτων. Η µέθοδος αυτή έχει ιδιαίτερη θεωρητική, υπολογιστική Α. και Πουλιέζος πρακτική αξία κυρίως επειδή µπορούν να περιγράψουν µια µεγάλη κατηγορία συστηµάτων, όπως τα γραµµικά και µη γραµµικά συστήµατα, τα χρονικά µεταβαλλόµενα και µη συστήµατα, τα συστήµατα µε αρχικές συνθήκες και άλλα. Οι µεταβλητές κατάστασης ίσως δεν µπορούν πάντα να παρατηρηθούν ή να µετρηθούν, επηρεάζουν όµως την συµπεριφορά του συστήµατος. Είναι αυτές που καθορίζουν τον τρόπο µε τον οποίο εξελίσσεται το σύστηµα και κατά κάποιο τρόπο "αποθηκεύουν" την προηγούµενη συµπεριφορά του. των εισόδων { } Το σύστηµα προσδιορίζεται εντελώς κάθε χρονική στιγµή όταν ξέρουµε την ιστορία τ, τ και την τωρινή και αρχική τιµή των µεταβλητών καταστάσεων και. Η ενδιάµεση µετεξέλιξη του συστήµατος την περίοδο <τ< έχει καταγραφεί στις µεταβλητές κατάστασης.. Μετασχηµατισµοί κατάστασης 'Έστω το γραµµικό, χρονικά αµετάβλητο, δυναµικό σύστηµα, B,. 5

6 και ένας οµαλός πίνακας Μ. Το διάνυσµα, zm καλείται µετασχηµατισµένο διάνυσµα κατάστασης. y C. Μπορούµε εύκολα να µετασχηµατίσουµε το σύστηµα.-. έτσι ώστε να έχουµε τις εξισώσεις κατάστασης ως προς z. Στην πραγµατικότητα το z δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας γραµµικός συνδυασµός των αρχικών καταστάσεων. 'Έχουµε: z M MBMaMB Όµως M - z και αντικαθιστώντας, z MM z MB ycm - z Ορίζοντας τους µετασχηµατισµένους πίνακες, MM B MB C CM λαµβάνουµε τις µετασχηµατισµένες εξισώσεις κατάστασης: z z B y Cz Προσέξτε ότι οι πίνακες Α και Â έχουν πάντα τις ίδιες ιδιοτιµές και συνεπώς ο µετασχηµατισµός Μ δεν αλλάζει τα δυναµικά χαρακτηριστικά του συστήµατος. 6

7 .. ιαγώνιος µετασχηµατισµός Ας θεωρήσουµε τον πίνακα των δεξιών ιδιοδιανυσµάτων W, και τον πίνακα των ιδιοτιµών Λδιαγλ, λ,..., λ. Χωρίς βλάβη γενικότητας υποθέτουµε λ i λ j αλλιώς α- ντικαθιστούµε τις πολλαπλές ιδιοτιµές λ i µε τα αντίστοιχα µπλοκ Jorda, δες Παράρτηµα. Ισχύει: WΛW - Έστω τώρα ότι επιλέγουµε τον µετασχηµατισµό MW -. Ο µετασχηµατισµένος πίνακας του συστήµατος είναι, W`ΛW W Λ MM W W W δηλαδή ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιµών. Οι µετασχηµατισµένοι πίνακες εισόδων και εξόδων είναι, B W B και C CW Αν τις µετασχηµατισµένες καταστάσεις τις καλέσουµε ξ θα έχουµε: ξ Λξ B y Cξ Οι καταστάσεις ξ καλούνται αποσυζευγµένες καταστάσεις decopled saes και έ- χουν την βασική ιδιότητα ότι η συµπεριφορά τους είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες: σε κάθε διακεκριµένη ιδιοτιµή λ k αντιστοιχεί και µία διαγώνια κατάσταση..3 Πίνακας µεταφοράς συστηµάτων Το πολυµεταβλητό σύστηµα, B,. yc. µπορεί να µετασχηµατιστεί κατά Laplace όπως και τα βαθµωτά συστήµατα. Η µόνη διαφορά είναι ότι στη θέση της βαθµωτής συνάρτησης µεταφοράς προκύπτει ένας πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς. 7

8 Θεωρώντας λοιπόν µηδενικές αρχικές συνθήκες, ο µετασχηµατισµός Laplace των.-. δίνει, si-xsbus YsCXs Εποµένως, Ys[CsI- - B]Us και ο πίνακας µεταφοράς raser mari είναι, Η διάσταση του Gs είναι mr. Gs [CsI - - B].3 Μία βασική ιδιότητα του πίνακα µεταφοράς είναι ότι παραµένει αναλλοίωτος κάτω από µετασχηµατισµούς του διανύσµατος κατάστασης..4 Επίλυση γραµµικών συστηµάτων 'Έστω το γραµµικό, µη οµογενές, δυναµικό σύστηµα, B,. Υποθέτοντας µία λύση e και αντικαθιστώντας, βρίσκουµε: d d [ e ] e e e e B B τ e B τdτ c e e τ B τdτ. Ο πίνακας Φe καλείται πίνακας µετάβασης από την αρχική στιγµή στην χρονική στιγµή. Υπολογίζεται εύκολα µε την χρήση του διαγώνιου µετασχηµατισµού: WΛW - WΛW - 8

9 Φe We Λ W - όπου, e Λ e λ e λ L e λ και W ο πίνακας των δεξιών ιδιοδιανυσµάτων. Συνεπώς κάθε φορά θα πρέπει να υπολογίζουµε τον διαγώνιο µετασχηµατισµό W, τον αντίστροφο W -, τον πίνακα ιδιοτιµών Λ και µετά να υπολογίζουµε την εκθετική παράσταση, e Λ. Αν το σύστηµα είναι οµογενές, δηλαδή περιγράφεται από την,,.3 η λύση απλουστεύεται καθώς η. γίνεται, e.4 και µετασχηµατίζοντας σε µορφή Jorda µέσω της Wξ, λαµβάνουµε, ή Wξ e Wξ ξw - e Wξe Λ ξ Η αρχική συνθήκη ξ βρίσκεται εύκολα αφού, ξ W v L v v i όπου το vi είναι η i-οστή γραµµή του W -. Έτσι, η.4 γίνεται, Wξ [ w w ] λ λ v e w v e w ξ w ξ... w ξ.5 9

10 Η ανάπτυξη αυτή καλείται αποσύνθεση modal. Καταδεικνύει τον τρόπο µε τον οποίο η συνολική χρονική απόκριση συντίθεται από ένα άθροισµα επιµέρους αποκρίσεων που σχετίζονται µε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του συστήµατος..5 Γραµµικοποίηση µη γραµµικών συστηµάτων Η θεωρία των γραµµικών συστηµάτων δεν είναι απαραίτητα περιοριστική. Μη γραµµικά συστήµατα µπορούν να γραµµικοποιηθούν γύρω από κάποιο σηµείο ισορροπίας, και το προκύπτον σύστηµα να χρησιµοποιηθεί για την ανάλυση και σύνθεση του συστήµατος. Η διαδικασία έχει ως εξής: Έστω ότι έχουµε το εξής µη γραµµικό σύστηµα µεταβλητών κατάστασης i, m εξόδων y j και r εισόδων k,, y g Ας υποθέσουµε ότι οι είσοδοι σταθεροποιούνται σε ένα ορισµένο επίπεδο, * σταθερό Καλούµε καταστάσεις σηµεία ισορροπίας του συστήµατος τα διανύσµατα * που είναι λύσεις των εξισώσεων,, δηλαδή, Έστω ότι τέτοιες λύσεις υπάρχουν. Τα σηµεία ισορροπίας των εξόδων θα δίνονται από την σχέση, y * g * Ας θεωρήσουµε τώρα µικρές µετατοπίσεις γύρω από την κατάσταση ισορροπίας: * δ * δ yy * δy και ας εφαρµόσουµε την ανάπτυξη aylor των συναρτήσεων, και g γύρω από το σηµείο ισορροπίας. Γνωρίζουµε ότι γενικά ισχύει:

11 ,,,, όροι µεγαλύτερου βαθµού.6 Παρατηρούµε ότι, Θέτουµε:,, O M M O M L,, B O M M O M L Παραβλέποντας τους όρους µεγαλύτερου βαθµού ή.6 γράφεται: B δ δ δ.7 Με παρόµοιο τρόπο αναπτύσσουµε την g γύρω από το y *,, g y g όροι µεγαλύτερου βαθµού Επειδή δyy-y * οι µετατοπίσεις των εξόδων µπορούν να προσεγγιστούν από την γραµµική σχέση, δy Cδ.8 Συνδυάζοντας τις.7 και.8 παίρνουµε την γραµµική προσέγγιση του µη γραµµικού συστήµατος γύρω από το σηµείο ισορροπίας:

12 δ δ Bδ δy Cδ.6 Ιδιότητες συστηµάτων.6. Ελεγξιµότητα Θεωρούµε το προαναφερθέν σύστηµα, B,. yc. Ορισµός. 'Ένα σύστηµα καλείται πλήρως ελέγξιµο compleely corollable αν δεδοµένων των αρχικών συνθηκών κατάστασης και µιας επιθυµητής τιµής καταστάσεων *, µπορούµε πάντα να βρούµε κατάλληλες και πεπερασµένες τιµές ελέγχου ώστε το σύστηµα να φθάσει στην επιθυµητή τιµή σε πεπερασµένο χρόνο <. Θεώρηµα. Το σύστηµα.-. είναι πλήρως ελέγξιµο αν και µόνον αν ο r πίνακας ελεγξιµότητας, Γ[ B ΑΒ... Α - B] είναι πλήρους βαθµού, δηλαδή βαθµόςγ..6. Παρατηρησιµότητα Ορισµός.3 'Ένα σύστηµα καλείται πλήρως παρατηρήσιµο compleely οbservable αν γνωρίζοντας τις τιµές των εξόδων y και εισόδων για ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα, << τότε µπορούµε να ανακτήσουµε τις τιµές των µεταβλητών κατάστασης για οποιαδήποτε χρονική στιγµή του διαστήµατος [, ]. Αυτό σηµαίνει ότι παρατηρώντας τις σχέσεις του συστήµατος µε το περιβάλλον είσοδοι-έξοδοι µπορούµε να υπολογίσουµε την εσωτερική συµπεριφορά του συστήµατος. Θεώρηµα. 'Ένα σύστηµα είναι πλήρως παρατηρήσιµο αν και µόνον αν ο m πίνακας παρατηρησιµότητας,

13 Θ C C C.. C είναι πλήρους βαθµού, δηλαδή βαθµός[θ]. Η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα είναι έννοιες δυϊκές..6.3 Σταθεροποιησιµότητα-εντοπισιµότητα Σε πρακτικές εφαρµογές είναι αρκετή µια πιο ασθενής ιδιότητα από την ελεγξιµότητα, η σταθεροποιησιµότητα sabilizabiliy. Η ιδιότητα αυτή συσχετίζεται µε την ε- λεγξιµότητα των ασταθών πόλων. Η ιδιότητα αυτή εξακριβώνεται µετασχηµατίζοντας το σύστηµα σε µορφή Jorda και ελέγχοντας τις γραµµές του Α. πίνακα Πουλιέζος εισόδου Β που αντιστοιχούν σε ασταθείς ιδιοτι- µές..6.4 Ευστάθεια Υπάρχουν διάφοροι ορισµοί για την ευστάθεια, αυτό όµως που ενδιαφέρει πρακτικά είναι η κατάσταση του συστήµατος να µην εκρήγνυται. Αυτό πρέπει να ισχύει τόσο για αυτόνοµη κίνηση όσο και για βεβιασµένη. Η πρώτη α- παίτηση καλείται ασυµπτωτική ευστάθεια asympoic sabiliy ενώ η δεύτερη ευστάθεια φραγµένης εισόδου-φραγµένης εξόδου ΒΙΒΟ sabiliy. Για το γραµµικό σύστηµα ένα προφανές σηµείο ισορροπίας είναι το *, αφού απαιτείται. Αν όµως ο Α έχει µηδενικές ιδιοτιµές, τότε υπάρχουν άπειρα µη µηδενικά ιδιοδιανύσµατα που ικανοποιούν την εξίσωση ισορροπίας. Στη συνέχεια, η περίπτωση αυτή δεν θα αντιµετωπισθεί. Ορισµός.4 Το σύστηµα {, } καλείται ευσταθές κατά Lyapov γύρω από το σηµείο ισορροπίας *, αν για µικρές µετατοπίσεις γύρω από *, δηλαδή για αρχικές συνθήκες τέτοιες ώστε, 3

14 < δ η τροχιά του συστήµατος να παραµένει πάντα µέσα σε µια φραγµένη περιοχή του *, δηλαδή, < ε όπου ε εδ <. Ορισµός.5 Το σύστηµα {, } καλείται ασυµπτωτικά ευσταθές γύρω από το σηµείο ισορροπίας * αν υπάρχει µια περιοχή δ έτσι ώστε για αρχικές συνθήκες εντός αυτής της περιοχής το σύστηµα να τείνει πάντα να επιστρέψει στο *, δηλαδή, < δ ορ Όταν ένα σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές τότε είναι και ευσταθές κατά Lyapov. Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει γιατί ένα σύστηµα µπορεί να παραµένει διαρκώς σε µια πεπερασµένη απόσταση γύρω από το σηµείο ισορροπίας χωρίς ποτέ να το προσεγγίζει ικανοποιητικά. 'Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το είδος της αδιάφορης ισορροπίας στην µηχανική. Θεώρηµα.3 Το σύστηµα, είναι, α Ευσταθές κατά Lyapov αν και µόνον αν Re{ λ } και τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις µηδενικές ιδιοτιµές είναι διακεκριµένα. β Ασυµπτωτικά ευσταθές αν και µόνον αν Re{ λ } <. Απόδειξη: Η λύση του συστήµατος δίνεται από την σχέση: e Το σηµείο ισορροπίας είναι το * εκτός αν µία λ και χρησιµοποιώντας τον διαγώνιο µετασχηµατισµό W - Λ W έχουµε: W - e Λ W Η λύση είναι δηλαδή γραµµικός συνδυασµός των χρονικών εκθετικών λi γνωστό όµως ότι, ορ e αν και µόνο αν Reλ i <. i i λ i e. Είναι 4

15 i Αν τώρα κάθε ορ e, οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός θα τείνει επίσης λ στο µηδέν. Αντίστροφα αν ο γραµµικός συνδυασµός δεν τείνει στο µηδέν, τότε θα λ υπάρχει τουλάχιστον ένας όρος i e που δεν τείνει στο µηδέν, πράγµα εφικτό µόνο αν Reλ i >, όπερ άτοπο. Επειδή η ευστάθεια του συστήµατος καθορίζεται από τις ιδιοτιµές του Α, ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας ευστάθειας του συστήµατος sabiliy mari. Ορισµός.6 Έστω ότι το σύστηµα, B,. yc. βρίσκεται σε µηδενικές αρχικές συνθήκες και διεγείρεται από πεπερασµένες τιµές εισόδου, < M < για < <. Καλείται ευσταθές φραγµένης εισόδουφραγµένης εξόδου αν κάθε απόκριση y είναι επίσης πεπερασµένη, δηλαδή, y < P < για < < Θεώρηµα.4 Το σύστηµα.-. είναι ευσταθές φραγµένης-εισόδου φραγµένης εξόδου αν και µόνον αν οι πόλοι των στοιχείων του πίνακα µεταφοράς Gs έχουν αρνητικά πραγµατικά µέρη. Παρατήρηση: Όταν ένα σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές τότε είναι και ευσταθές φραγµένης εισόδου-φραγµένης εξόδου. Το αντίθετο ισχύει µόνον αν το σύστηµα είναι πλήρως ελέγξιµο και παρατηρήσιµο..7 Παραδείγµατα περιγραφής συστηµάτων στο χώρο κατάστασης Ανάστροφο εκκρεµές σε φορείο Το ανάστροφο εκκρεµές είναι ένα από τα πιο γνωστά µη γραµµικά συστήµατα και το πρόβληµα του ελέγχου του µπορεί να αποτελέσει κριτήριο απόδοσης των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου. Eκτός από τον κλασσικό αυτόµατο έλεγχο, στο ανάστροφο εκκρεµές έχει εφαρµοστεί έλεγχος µε νευρωνικά δίκτυα καθώς επίσης και ελεγκτές ασαφούς λογικής µε αξιόλογα αποτελέσµατα. Προς το παρόν όµως η κλασσική αντι- 5

16 µετώπιση του προβλήµατος, εκτός του ότι είναι πιο εύρωστη, µπορεί να παρουσιάσει καλύτερα τις βασικές αρχές και το θεωρητικό υπόβαθρο του αυτοµάτου ελέγχου. Σχήµα. Η βασική δοµή του συστήµατος. Ενισχυτής 4. Ιµάντας µετάδοσης κίνησης 7. Βάρος του εκκρεµούς. Κινητήρας 5. Μεταλλική µπάρα ολίσθησης 8. Οδηγός περιστροφής 3. Γρανάζι κίνησης 6. Βαγόνι 9. Εκκρεµές Περιγραφή του LIP Ivered Pedlm Το σύστηµα που υπάρχει στο εργαστήριο αποτελείται από ένα περιστρεφόµενο εκκρεµές το οποίο στηρίζεται σε ένα κινητό βαγόνι Σχ.., µία µονάδα διασύνδεσης και έναν ελεγκτή. Το κινητό φορείο car χρησιµοποιεί ένα DC κινητήρα και έναν οδοντωτό ιµάντα για να κινηθεί σε µία περιοχή µήκους.5 µέτρων και να σταθεροποιήσει το εκκρεµές στην όρθια θέση. Η σταθεροποίηση του εκκρεµούς επιτυγχάνεται από ένα ψηφιακό ελεγκτή, ο οποίος σύµφωνα µε τις µετρήσεις που παίρνει, στέλνει ένα κατάλληλο σήµα στον κινητήρα. Οι µετρήσεις αυτές είναι η γωνία του εκκρεµούς, η θέση και η ταχύτητα του βαγονιού. 6

17 Σχήµα. Το διάγραµµα του συστήµατος Το σύστηµα µπορεί να χωριστεί σε δύο διαφορετικά υποσυστήµατα: το σύστηµα του βαγονιού και το σύστηµα του ανάστροφου εκκρεµούς: Σχήµα.3 ιαγράµµατα ελεύθερων σωµάτων, του ανάστροφου εκκρεµούς και του βαγονιού. Αν Μ είναι η µάζα του εκκρεµούς και r η θέση του βαγονιού τότε η δύναµη Η που ασκείται οριζόντια στη βάση του εκκρεµούς, δίνεται από τον τύπο: 7

18 H M r l ηµ s Φ.3 Αυτή η δύναµη οφείλεται στην επιτάχυνση του κέντρου βάρους. Η κάθετη συνιστώσα µπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο: V s M r l ηµ Φ M g.4 και η διαφορική εξίσωση της κίνησης µπορεί να γραφεί ως εξής: Φ Φ Θs Vlsηµ Φ HlsσυνΦ C.5 όπου Θ s είναι η ροπή αδρανείας του εκκρεµούς περί το κέντρο βάρους του και C η σταθερά τριβής του. Για το σύστηµα του βαγονιού η εξίσωση κίνησης είναι η: r r M F H Fr.6 όπου Μ η µάζα του βαγονιού, F r η σταθερά τριβής ανάλογη προς τη ταχύτητα και F η δύναµη που µεταδίδεται µέσω του ιµάντα µεταφοράς. Έτσι οι εξισώσεις.3 και.4 µπορούν να γραφούν ως εξής: r l Φ s συν Φ lsφ ηµ Φ Φ ηµ Φ Φ συν M g H M.7 V M l s Φ.8 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις.7 και.8 στις.5 και.6 αντίστοιχα, προκύπτουν οι µη γραµµικές διαφορικές εξισώσεις του συστήµατος: ΘΦ CΦ M ls gηµ Φ Mlsr συνφ.9 M r F r M l Φ συνφ Φ ηµ F. r s Φ Οι δύο αυτές εξισώσεις περιγράφουν το µαθηµατικό µοντέλο του ανάστροφου εκκρε- µούς όπου: s ls Το διάνυσµα κατάσυασης του συστήµατος είναι το, Θ Θ M. MM M. 8

19 και το σήµα εισόδου, r Φ.3 3 r Φ 4 F Μετασχηµατίζοντας τις εξισώσεις.9 και. στην µορφή, παίρνου- µε: 3 4, όπου: 3 4,,, 3 4 β β [ a3ηµ συν a333 a34συν4 a35ηµ 4 b3] [ a ηµ a συν a a συν ηµ b συν ] 4 43 Α. Πουλιέζος ηµ, M l Θ β s, M και οι παράµετροι α, β δίνονται από τους τύπους: g α 3, Μg α 4, α33 Θ F r, r F α 43, Θ b 3, C α 34, ΜC α 44, b 4 α Θ α Στο επόµενο βήµα πρέπει να καθοριστεί το σηµείο λειτουργίας ισορροπίας στο ο- ποίο θα γίνει η γραµµικοποίηση: 9

20 k Αναπτύσσουµε τις εξισώσεις.4 σε σειρές aylor,,,.5 για να πάρουµε τους πίνακες του γραµµικοποιηµένου συστήµατος: a a a a a a ,.6 4 3, b b.7 Oι µεταβολές από το σηµείο λειτουργίας εισάγονται ως νέες µεταβλητές κατάστασης δ και δ οπότε τελικά οι εξισώσεις κατάστασης γράφονται ως εξής: b.8 Το σύστηµα του ανάστροφου εκκρεµούς έχει τρεις αισθητήρες, µε τους οποίους µπορούν να µετρηθούν η θέση και η ταχύτητα του βαγονιού και η γωνία του εκκρε- µούς. Οι αισθητήρες αυτοί δίνουν µία τάση ρεύµατος ανάλογη µε τη µέτρηση την ο- ποία κάνουν, οπότε στο µοντελοποιηµένο σύστηµα όλες οι παράµετροι πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες µονάδες, δηλαδή vols. Αυτό µπορεί να πραγµατοποιηθεί µέσω ενός µετασχηµατισµού κανονικοποίησης ως εξής: Ν και Ν K.9 όπου,

21 33 44 και Κ είναι ο παράγοντας που συσχετίζει την τάση εισόδου του ενισχυτή µε την δύναµη που επιδρά στο βαγόνι. Αντικαθιστώντας την.9 στην.8 παίρνουµε: όπου, b. - και b b K.

22 Σχεδίαση ελεγκτών Τα συστήµατα ελέγχου µπορούν να διαιρεθούν σε δύο ευρείες κατηγορίες: ρύθµισης και παρακολούθησης. Τα συστήµατα αυτόµατης ρύθµισης ή ρυθµιστές προσπαθούν να διατηρήσουν σταθερή την έξοδο του συστήµατος υπό την επήρεια διαταραχών, µεταβολών στις παραµέτρους της εγκατάστασης κλπ. Παραδείγµατα περιλαµβάνουν τα συστήµατα ρύθµισης θερµοκρασίας, διατήρησης σταθερού υψοµέτρου δορυφόρων, ρύθµισης τάσης κλπ. Κατά τη σχεδίαση των συστηµάτων αυτών πρωταρχικό ρόλο παίζει η µεταβατική απόκριση. Στα συστήµατα παρακολούθησης η έξοδος πρέπει να ακολουθεί, µε ελάχιστο σφάλ- µα, µία προδιαγεγραµµένη πορεία που αναπαριστάται από µία χρονικά µεταβαλλόµενη συνάρτηση. Παραδείγµατα αυτού του τύπου περιλαµβάνουν αυτόµατους πιλότους αεροσκαφών ή πλοίων. Σε όλες τις περιπτώσεις ο έλεγχος είναι µία γραµµική συνάρτηση των καταστάσεων, δηλαδή, -K.. Ρύθµιση Εγκατάσταση _ ελεγκτής K B Σχήµα. Γραµµικός ρυθµιστής Ας αρχίσουµε µε την πιο απλή µορφή συστήµατος που απεικονίζεται στο Σχ... Στη διάταξη αυτή γίνεται η όχι και τόσο ρεαλιστική υπόθεση ότι όλες οι καταστάσεις είναι µετρήσιµες. H εξίσωση του είναι,

23 B K BK. Το ακόλουθο θεώρηµα µας δίνει το εργαλείο για την εύρεση του σταθερού πίνακα Κ. Θεώρηµα. Αν το ζευγάρι Α, Β είναι ελέγξιµο µπορεί να βρεθεί πίνακας Κ, τέτοιος ώστε οι ιδιοτιµές του συστήµατος BK να τοποθετηθούν σε οποιαδήποτε θέση. Το θεώρηµα αυτό µας εξασφαλίζει τη τοποθέτηση των ιδιοτιµών σε οποιαδήποτε θέση αλλά δεν απαντά στο ερώτηµα ποιά είναι η βέλτιστη θέση. Το ερώτηµα αυτό µπορεί να απαντηθεί µε διάφορους τρόπους: µέσω των προδιαγραφών της µεταβατικής απόκρισης οι οποίες ορίζουν περιοχές για τους πόλους του συστήµατος ή µέσω της θεωρίας του βέλτιστου ελέγχου που θα δούµε στη συνέχεια. Η αριθµητική επίλυση είναι εύκολη µέσω του MLB αφού η, KPLCE,B,p υπολογίζει έναν πίνακα ανάδρασης κατάστασης K τέτοιον ώστε οι ιδιοτιµές του BK να είναι αυτές που ορίζονται στο διάνυσµα p.. Τοποθέτηση πόλων µέσω της θεωρίας του βέλτιστου ε- λέγχου Η θεωρία του βέλτιστου ελέγχου αποσκοπεί στην εύρεση στρατηγικών ελέγχου µέσω της ελαχιστοποίησης κριτηρίων απόδοσης. Η εφαρµογή της στη συγκεκριµένη κατηγορία συστηµάτων που εξετάζουµε γραµµικά, χρονικά αµετάβλητα καταλήγει σε κοµψούς, υλοποιήσιµους ελεγκτές. Το πρόβληµα τίθεται ως εξής: Να βρεθεί η συνάρτηση εισόδου που να ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό δηλαδή συνάρτησης συναρτήσεως, J Q R υπό τον περιορισµό των εξισώσεων κατάστασης, d B Η φυσική σηµασία της ελαχιστοποίησης είναι να περιορίσει την κατάσταση κοντά στο µηδέν µε ελάχιστη κατανάλωση ενέργειας. Οι πίνακες Q, R χρησιµοποιούνται 3

24 για να εξισορροπούν τις δύο αυτές ιδιότητες. Εφαρµογή της αρχής του ελαχίστου του Poryagi δίνει την ακόλουθη λύση στο πρόβληµα αυτό, dp d -K.3 Κ R - B P.4 P P Q P BR B P ; P.5 Η εξίσωση.5 είναι η µητρική διαφορική εξίσωση Riccai. Είναι µία µη γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης µε τερµατικές οριακές συνθήκες. Ο έλεγχος που προκύπτει είναι χρονικά µεταβαλλόµενος και για να υλοποιηθεί πρέπει να λυθεί η.5 προς τα πίσω αρχίζοντας από το τελικό χρόνο. Η λύση πρέπει να αποθηκευθεί ψηφιακά για να χρησιµοποιηθεί συνέχεια από τον µηχανισµό του ελεγκτή. Μία πιο απλή λύση προκύπτει αν τεθεί. Στη περίπτωση αυτή dp/d και η.5 καταλήγει στην µητρική αλγεβρική εξίσωση Riccai, P P Q P BR B P Η λύση της εξίσωσης αυτής καταλήγει σε σταθερό πίνακα ανατροφοδότησης Κ ο ο- ποίος συν τοις άλλοις οδηγεί Α. σε ένα Πουλιέζος συνολικά ευσταθές σύστηµα αν: το ζεύγος Α, Β είναι σταθεροποιήσιµο, R> θετικά ορισµένος και ο Q µπορεί να παραγοντοποιηθεί ως Q C q C q όπου C q είναι οποιοσδήποτε πίνακας τέτοιος ώστε το ζεύγος C q, να είναι εντοπίσιµο. [K,S,E]LQR,B,Q,R, υπολογίζει τον βέλτιστο πίνακα ενίσχυσης K έτσι ώστε ο έλεγχος ανάδρασης καταστάσεων -K να ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση κόστους J Q R d υπό τον περιορισµό της εξίσωσης κατάστασης B,. Ο ελεγκτής που προκύπτει από αυτή τη διαδικασία καλείται γραµµικός τετραγωνικός ρυθµιστής Liear Qadraic Reglaor-LQR..3 Παρακολούθηση Έστω ξανά το γνωστό σύστηµα, B y C.6 4

25 5 Στο πρόβληµα της παρακολούθησης η επιθυµητή τελική θέση είναι r ορ. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να ιδωθεί σαν µία υποπερίπτωση του γενικότερου προβλήµατος r J ορ αν JI. Ο πίνακας J, διάστασης m j, επιλέγει τις µεταβλητές που επιθυµούµε να παρακολουθήσουµε. Ο λόγος που εισάγεται ένας νέος πίνακας είναι ότι είναι δυνατό να παρακολουθούνται περισσότερες µεταβλητές από αυτές που παρατηρούνται, δηλαδή m j >m. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να λυθεί παρό- µοια µε αυτό του ρυθµιστή αν εισάγουµε µία νέα µεταβλητή, d r J p.7 οπότε επαυξάνοντας την αρχική εξίσωση παίρνουµε, r I B p J p r y p B Στη σταθερή κατάσταση, p οπότε, r I B p J s s s και ορίζοντας νέες µεταβλητές, s s s v p p z, καταλήγουµε στο σύστηµα, Β B J Α Bv z z, µε.8 Καταφέραµε να τροποποιήσουµε το πρόβληµα έτσι ώστε να τεθεί στη µορφή που ξέρουµε να λύσουµε: σαν ένα πρόβληµα ρύθµισης. Έτσι βρίσκοντας έναν πίνακα ανάδρασης K για το σύστηµα.8, καταλήγουµε στις εξής εξισώσεις: [ ] s s s p p K K z K z K z K K Kz v p K K.9

26 Με την τιµή αυτή για το σήµα ελέγχου το σύστηµα.6 γίνεται, BK BK r p J p I Το δοµικό διάγραµµα του συνολικού συστήµατος φαίνεται στο Σχ... r _ Ελεγκτής p K - Εγκατάσταση B J K Σχήµα. οµικό διάγραµµα για το πρόβληµα της παρακολούθησης Η διαδικασία αυτή είναι δυνατή εφόσον ισχύουν οι γνωστές προϋποθέσεις, δηλαδή να είναι το ζεύγος, B ελέγξιµο. Το ακόλουθο θεώρηµα µας δίνει τις συνθήκες για να συµβαίνει αυτό. Θεώρηµα. Το ζεύγος, B ελέγξιµο και ο πίνακας, είναι ελέγξιµο αν και µόνον αν το ζεύγος Α, Β είναι G J B r m j είναι πλήρους τάξης ίσης προς τον αριθµό των σειρών m j. Επειδή ο αριθµός των στηλών είναι r πρέπει r m j, δηλαδή οι είσοδοι πρέπει να είναι τουλάχιστον όσες και οι καταστάσεις που θέλουµε να παρακολουθηθούν. Τα χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης εξαρτώνται από τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του συνολικού πίνακα κατάστασης, BK BK J 6

27 Έτσι επιθυµητά χαρακτηριστικά όπως υπερύψωση και ταχύτητα απόκρισης µπορούν να ικανοποιηθούν µε την κατάλληλη επιλογή του πίνακα K..4 Παρατηρητές κατάστασης Το διάνυσµα κατάστασης είναι σχεδόν πάντα µη διαθέσιµο όλο για µέτρηση. Μια πιο ρεαλιστική περίπτωση είναι αυτή όπου το µετρήσιµο σύνολο δίνεται από την εξίσωση εξόδου, Στη περίπτωση αυτή είναι µεγάλης σηµασίας η λεγόµενη, y C. Αρχή ιαχωρισµού: Αν το διάνυσµα κατάστασης δεν είναι µετρήσιµο τότε σαν είσοδος στο µηχανισµό ελέγχου µπορεί να χρησιµοποιηθεί µία εκτίµηση της κατάστασης, διαχωρίζοντας έτσι το συνολικό πρόβληµα σε δύο υποπροβλήµατα: του ελέγχου και της εκτίµησης. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στο Σχ..3. Ο αλγόριθµος εκτίµησης καλείται παρατηρητής κατάστασης στην ορολογία των συστηµάτων ελέγχου. r ελεγκτής B Εγκατάσταση C y παρατηρητής κατάστασης Σχήµα.3 Παρακολούθηση µε παρατηρητές κατάστασης Το πρόβληµα που ανακύπτει είναι αν η εκτίµηση θα συγκλίνει προς την πραγµατική κατάσταση. Μία προσέγγιση στο πρόβληµα είναι ο παρατηρητής να χρησιµοποιήσει τους γνωστούς πίνακες Α, Β για να µιµηθεί το ελεγχόµενο σύστηµα. Έτσι αν η εξίσωση του παρατηρητή είναι η, B η εξίσωση του σφάλµατος εκτίµησης ~ είναι, 7

28 ~ ~ ~ ~ ~. ~ e ~ Η εξίσωση αυτή δείχνει ότι το σφάλµα εκτίµησης θα συγκλίνει στο µηδέν αν ο πίνακας Α είναι ευσταθής. Το πρόβληµα είναι ότι αφενός ο Α µπορεί να είναι ασταθής, αφετέρου η σύγκλιση επιτυγχάνεται µε ρυθµό που µπορεί να είναι ανεπαρκής. Και τα δύο προβλήµατα λύνονται µε τη χρήση ανατροφοδότησης και στον παρατηρητή µέσω ενός όρου διόρθωσης ως εξής: y C B L. Έτσι η εξίσωση του σφάλµατος γίνεται, ~ LC ~ ~ ~.3 Με το τέχνασµα αυτό ο πίνακας µετάβασης του σφάλµατος γίνεται Α-LC, οι ιδιοτι- µές του οποίου ρυθµίζονται µέσω του L. Η ρύθµιση αυτή είναι εφικτή αν το σύστηµα είναι παρατηρήσιµο. Η εύρεση του L επιτυγχάνεται όπως και του Κ είναι µάλιστα δυϊκό πρόβληµα, δηλαδή µέσω της, LPLCE,C,q που υπολογίζει έναν πίνακα ανάδρασης κατάστασης L τέτοιον ώστε οι ιδιοτιµές του LC να είναι αυτές που ορίζονται στο διάνυσµα q. Η συνολική εξίσωση του συστήµατος βρίσκεται αν επαυξήσουµε την εξίσωση κατάστασης µε την εξίσωση του παρατηρητή, δηλαδή, LC B LC B Επιπρόσθετα αν ο έλεγχος είναι της µορφής της.9, δηλαδή, K K p.4 τότε η.4 γίνεται, LC p J BK BK LC BK BK p I m m m m m m m j j r.5 8

29 9 Το σύστηµα.5 είναι ένα σύστηµα m j εξισώσεων και περιλαµβάνει την κατάσταση, τον παρατηρητή και τον παρακολουθητή. Οι απαραίτητες εξισώσεις για την υλοποίηση του ελεγκτή είναι οι.9,. και Ο προαναφερόµενος παρατηρητής καλείται παρατηρητής πλήρους τάξης. Μία πιο οικονοµική εκδοχή του παρατηρητή αυτού µπορεί να υλοποιηθεί αν εκτιµούµε µόνο τις καταστάσεις που δεν είναι παρατηρήσιµες..4. Παρατηρητής µειωµένης τάξης Ο παρατηρητής µειωµένης τάξης στηρίζεται στο γεγονός ότι αν η διάσταση του διανύσµατος εξόδου yc είναι m <, δεν υπάρχει λόγος να εκτιµούµε περισσότερες από -m καταστάσεις. Ο παρατηρητής που προκύπτει καλείται παρατηρητής µειωµένης τάξης ή παρατηρητής Leberger. Η διαδικασία έχει ως εξής: Κατ αρχήν ορίζουµε έναν γραµµικό µετασχηµατισµό της κατάστασης, m m z όπου ο Τ είναι κάποιος πίνακας τέτοιος ώστε ο C E να έχει αντίστροφο και έστω αυτός [ ] M P E. Αυτό θα είναι δυνατό αν βαθµόςcm. Συνδυάζοντας τα y, z, [ ] Mz Py z y M P z y C C z y Εποµένως, z M Py Για να εκτιµήσουµε το z χρειαζόµαστε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την εξέλιξη του. Προπολλαπλασιάζοντας την εξίσωση κατάστασης µε τον Ε παίρνουµε, [ ] B C z y M P C z y B C C C EB E E ή

30 y z CP P CM y CB M z B y B z B Έτσι, η διαφορική εξίσωση για το z είναι η, y B z z Ένας παρατηρητής πλήρους τάξης για το z, είναι ο, z z y B L y C υστυχώς ο διορθωτικός όρος L y C ισούται µε µηδέν, αφού, y C y C Py Mz y CPy CMz y y Μία εναλλακτική επιλογή είναι ο διορθωτικός όρος να είναι συνάρτηση της παραγώγου του y, y B L y y B z z z Συγκλίνει ο παρατηρητής αυτός προς την πραγµατική τιµή του z; Η εξίσωση σφάλ- µατος είναι, ~ z L ~ z και το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί θετικά αν ο πίνακας L µπορεί να σταθεροποιήσει την εξίσωση σφάλµατος. Αποδεικνύεται ότι παρατηρησιµότητα του ζεύγους C, συνεπάγεται και παρατηρησιµότητα του Α, Α [Leberger, 964]. Ορίζοντας, w z Ly καταλήγουµε στη τελική µορφή του παρατηρητή µειωµένης τάξης, w Fw Hy G Mw y.6.7 µε τους πίνακες να ορίζονται από τις σχέσεις, F L, HFL L, GB LB, PML 3

31 3 Το συνολικό σύστηµα κατάστασης-παρατηρητή είναι το εξής: G B w F HC w.8 Στο πρόβληµα παρακολούθησης, ο έλεγχος δίνεται από την.9, δηλαδή, d r J K K p K K.9 όπου έγινε χρήση της.7. Έτσι οι εξισώσεις που χρειάζονται για την υλοποίηση του ελεγκτή που πρέπει να περιέχουν µόνο εισόδους και εξόδους είναι οι.6,.7 και.9. Το δοµικό διάγραµµα του παρατηρητή µειωµένης τάξης φαίνεται στο Σχ..4. y r - w H F M K Εγκατάσταση Παρατηρητής - Κ G J Σχήµα.4 Παρατηρητής µειωµένης τάξης Αντικαθιστώντας στην.8 παίρνουµε τη συνολική εξίσωση κατάστασηςπαρατηρητή µειωµένης τάξης-παρακολουθητή: r I p w J GK M GK F C GK HC BK M BK C BK p w ή Br ~ ~~ ~

32 Βιβλιογραφία Wolovich 987. Roboics: Basic alysis Desig. Leberger D.G Observig he sae o a liear sysem. IEEE ras. Mil. Elecro., MIL-8, pp

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου Τ.Ε.Ι. ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜHΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓIΑΣ Σηµειώσεις για το εργαστήριο του µαθήµατος ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ I ΓΑΥΡΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΟΖΑΝΗ 2008 Κεφάλαιο 1 ο Ορισµός Συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του

Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του Το υδρογράφηµα απορροής Το διάγραµµα της παροχής σαν συνάρτηση του χρόνου σε ένα ορισµένο σηµείο της κοίτης ενός υδατορρεύµατος [Q = Q(t)] καλείται υδρογράφηµα και έχει τα γενικά χαρακτηριστικά που φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια Περιεχόµενα Κεφαλαίου 7 Το έργο σταθερής δύναµης Εσωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων Έργο µεταβλητής δύναµης Σχέση Ενέργειας και έργου 7-1 Το έργο σταθερής δύναµης Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.)

Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) ΚΕΣ 01 Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στα Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου (Σ.Α.Ε.) Νικόλας Τσαπατσούλης Λέκτορας Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξάρτητααπό τον τύπο του ρυθµιστή πρέπει να διαθέτει δυο κύρια χαρακτηριστικά: Ακρίβεια λειτουργίας Ευστάθεια

Ανεξάρτητααπό τον τύπο του ρυθµιστή πρέπει να διαθέτει δυο κύρια χαρακτηριστικά: Ακρίβεια λειτουργίας Ευστάθεια ΡΥΘΜΙΣΤΕΣ ΣΤΡΟΦΩΝ Ανεξάρτητααπό τον τύπο του ρυθµιστή πρέπει να διαθέτει δυο κύρια χαρακτηριστικά: Ακρίβεια λειτουργίας Ευστάθεια Το πρώτο αναφέρεται σε µόνιµη λειτουργία δηλαδή σε σταθερές στροφές. Το

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

5. Αυτεπαγωγή-Χωρητικότητα Inductance Capacitance

5. Αυτεπαγωγή-Χωρητικότητα Inductance Capacitance 5. Αυτεπαγγή-Χρητικότητα nucance Capaciance Εδώ εισάγουµε τα δύο τελευταία στοιχεία κυκλµάτν, τα πηνία και τους πυκντές. Οι τεχνικές ανάλυσης κυκλµάτν που εισήχθικαν νρίτερα ακόµα ισχύουν εδώ. Ένα πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

20 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 0 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 19 Μαρτίου, 006 Ώρα: 10:30-13:30 Θέµα 1 0 (µονάδες 10) α ) Το βέλος δέχεται σταθερή επιτάχυνση για όλη τη διάρκεια της κίνησης (

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα Copyright 009 Pearson ducation, Inc. Περιεχόµενα 3 Διανύσµατα και Βαθµωτές ποσότητες Πράξεις Διανυσµάτων Γραφικές Παραστάσεις Μοναδιαία διανύσµατα Κινηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα