ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων"

Transcript

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΚ ΟΧΗ.5, Νοέµβριος

2

3 Περιεχόµενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΙΑΓΩΝΙΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ....6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑ-ΕΝΤΟΠΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ... 5 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΛΕΓΚΤΩΝ.... ΡΥΘΜΙΣΗ.... ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ ΜΕΙΩΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ... 9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 3

4 Ανάλυση συστηµάτων στο χώρο καταστάσεων. Η έννοια του χώρου κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης είναι µία περιγραφή στο πεδίο του χρόνου και ισχύει για µια πολύ µεγάλη κατηγορία συστηµάτων όπως τα γραµµικά και µη γραµµικά συστή- µατα, τα χρονικά µεταβαλλόµενα και µη συστήµατα, τα συστήµατα µε µη µηδενικές αρχικές συνθήκες και άλλα. Με τον όρο κατάσταση ενός συστήµατος αναφερόµαστε στο παρελθόν, στο παρόν και στο µέλλον του συστήµατος. Από µαθηµατικής πλευράς, η κατάσταση του συστήµατος εκφράζεται µε τις µεταβλητές κατάστασης. Συνήθως, ένα σύστηµα περιγράφεται από ένα ελάχιστο πεπερασµένο αριθµό καταστάσεων που συµβολίζονται,,..., και ορίζονται ως εξής: Ορισµός.: Οι µεταβλητές κατάστασης,,..., ενός συστήµατος ορίζονται ως ένας ελάχιστος αριθµός µεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουµε τις τιµές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγµή, την συνάρτηση εισόδου που εφαρµόζεται στο σύστηµα για >, και τον µαθηµατικό νόµο που συνδέει την είσοδο, τις µεταβλητές κατάστασης και το σύστηµα, τότε καθίσταται δυνατός ο προσδιορισµός της κατάστασης του συστήµατος για οποιαδήποτε χρονική στιγµή >. Ένα γραµµικό, χρονικά αµετάβλητο δυναµικό σύστηµα συνεχούς χρόνου παρίσταται ως εξής: B,. yc. Το διάνυσµα εισόδου συµβολίζεται µε και έχει τη µορφή: r M όπου r είναι το πλήθος των εισόδων. Το διάνυσµα εξόδου συµβολίζεται µε y και έχει τη µορφή:

5 y y y y M όπου m είναι το πλήθος των εξόδων. Το διάνυσµα κατάστασης συµβολίζεται µε και έχει τη µορφή: m M όπου είναι το πλήθος των µεταβλητών κατάστασης. Οι πίνακες Α, Β, C καλούνται πίνακες του χώρου κατάστασης sae-space marices. Οι εξισώσεις κατάστασης.-. αποτελούν για την επιστήµη των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου µια µοντέρνα µέθοδο περιγραφής συστηµάτων. Η µέθοδος αυτή έχει ιδιαίτερη θεωρητική, υπολογιστική Α. και Πουλιέζος πρακτική αξία κυρίως επειδή µπορούν να περιγράψουν µια µεγάλη κατηγορία συστηµάτων, όπως τα γραµµικά και µη γραµµικά συστήµατα, τα χρονικά µεταβαλλόµενα και µη συστήµατα, τα συστήµατα µε αρχικές συνθήκες και άλλα. Οι µεταβλητές κατάστασης ίσως δεν µπορούν πάντα να παρατηρηθούν ή να µετρηθούν, επηρεάζουν όµως την συµπεριφορά του συστήµατος. Είναι αυτές που καθορίζουν τον τρόπο µε τον οποίο εξελίσσεται το σύστηµα και κατά κάποιο τρόπο "αποθηκεύουν" την προηγούµενη συµπεριφορά του. των εισόδων { } Το σύστηµα προσδιορίζεται εντελώς κάθε χρονική στιγµή όταν ξέρουµε την ιστορία τ, τ και την τωρινή και αρχική τιµή των µεταβλητών καταστάσεων και. Η ενδιάµεση µετεξέλιξη του συστήµατος την περίοδο <τ< έχει καταγραφεί στις µεταβλητές κατάστασης.. Μετασχηµατισµοί κατάστασης 'Έστω το γραµµικό, χρονικά αµετάβλητο, δυναµικό σύστηµα, B,. 5

6 και ένας οµαλός πίνακας Μ. Το διάνυσµα, zm καλείται µετασχηµατισµένο διάνυσµα κατάστασης. y C. Μπορούµε εύκολα να µετασχηµατίσουµε το σύστηµα.-. έτσι ώστε να έχουµε τις εξισώσεις κατάστασης ως προς z. Στην πραγµατικότητα το z δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας γραµµικός συνδυασµός των αρχικών καταστάσεων. 'Έχουµε: z M MBMaMB Όµως M - z και αντικαθιστώντας, z MM z MB ycm - z Ορίζοντας τους µετασχηµατισµένους πίνακες, MM B MB C CM λαµβάνουµε τις µετασχηµατισµένες εξισώσεις κατάστασης: z z B y Cz Προσέξτε ότι οι πίνακες Α και Â έχουν πάντα τις ίδιες ιδιοτιµές και συνεπώς ο µετασχηµατισµός Μ δεν αλλάζει τα δυναµικά χαρακτηριστικά του συστήµατος. 6

7 .. ιαγώνιος µετασχηµατισµός Ας θεωρήσουµε τον πίνακα των δεξιών ιδιοδιανυσµάτων W, και τον πίνακα των ιδιοτιµών Λδιαγλ, λ,..., λ. Χωρίς βλάβη γενικότητας υποθέτουµε λ i λ j αλλιώς α- ντικαθιστούµε τις πολλαπλές ιδιοτιµές λ i µε τα αντίστοιχα µπλοκ Jorda, δες Παράρτηµα. Ισχύει: WΛW - Έστω τώρα ότι επιλέγουµε τον µετασχηµατισµό MW -. Ο µετασχηµατισµένος πίνακας του συστήµατος είναι, W`ΛW W Λ MM W W W δηλαδή ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιµών. Οι µετασχηµατισµένοι πίνακες εισόδων και εξόδων είναι, B W B και C CW Αν τις µετασχηµατισµένες καταστάσεις τις καλέσουµε ξ θα έχουµε: ξ Λξ B y Cξ Οι καταστάσεις ξ καλούνται αποσυζευγµένες καταστάσεις decopled saes και έ- χουν την βασική ιδιότητα ότι η συµπεριφορά τους είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες: σε κάθε διακεκριµένη ιδιοτιµή λ k αντιστοιχεί και µία διαγώνια κατάσταση..3 Πίνακας µεταφοράς συστηµάτων Το πολυµεταβλητό σύστηµα, B,. yc. µπορεί να µετασχηµατιστεί κατά Laplace όπως και τα βαθµωτά συστήµατα. Η µόνη διαφορά είναι ότι στη θέση της βαθµωτής συνάρτησης µεταφοράς προκύπτει ένας πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς. 7

8 Θεωρώντας λοιπόν µηδενικές αρχικές συνθήκες, ο µετασχηµατισµός Laplace των.-. δίνει, si-xsbus YsCXs Εποµένως, Ys[CsI- - B]Us και ο πίνακας µεταφοράς raser mari είναι, Η διάσταση του Gs είναι mr. Gs [CsI - - B].3 Μία βασική ιδιότητα του πίνακα µεταφοράς είναι ότι παραµένει αναλλοίωτος κάτω από µετασχηµατισµούς του διανύσµατος κατάστασης..4 Επίλυση γραµµικών συστηµάτων 'Έστω το γραµµικό, µη οµογενές, δυναµικό σύστηµα, B,. Υποθέτοντας µία λύση e και αντικαθιστώντας, βρίσκουµε: d d [ e ] e e e e B B τ e B τdτ c e e τ B τdτ. Ο πίνακας Φe καλείται πίνακας µετάβασης από την αρχική στιγµή στην χρονική στιγµή. Υπολογίζεται εύκολα µε την χρήση του διαγώνιου µετασχηµατισµού: WΛW - WΛW - 8

9 Φe We Λ W - όπου, e Λ e λ e λ L e λ και W ο πίνακας των δεξιών ιδιοδιανυσµάτων. Συνεπώς κάθε φορά θα πρέπει να υπολογίζουµε τον διαγώνιο µετασχηµατισµό W, τον αντίστροφο W -, τον πίνακα ιδιοτιµών Λ και µετά να υπολογίζουµε την εκθετική παράσταση, e Λ. Αν το σύστηµα είναι οµογενές, δηλαδή περιγράφεται από την,,.3 η λύση απλουστεύεται καθώς η. γίνεται, e.4 και µετασχηµατίζοντας σε µορφή Jorda µέσω της Wξ, λαµβάνουµε, ή Wξ e Wξ ξw - e Wξe Λ ξ Η αρχική συνθήκη ξ βρίσκεται εύκολα αφού, ξ W v L v v i όπου το vi είναι η i-οστή γραµµή του W -. Έτσι, η.4 γίνεται, Wξ [ w w ] λ λ v e w v e w ξ w ξ... w ξ.5 9

10 Η ανάπτυξη αυτή καλείται αποσύνθεση modal. Καταδεικνύει τον τρόπο µε τον οποίο η συνολική χρονική απόκριση συντίθεται από ένα άθροισµα επιµέρους αποκρίσεων που σχετίζονται µε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του συστήµατος..5 Γραµµικοποίηση µη γραµµικών συστηµάτων Η θεωρία των γραµµικών συστηµάτων δεν είναι απαραίτητα περιοριστική. Μη γραµµικά συστήµατα µπορούν να γραµµικοποιηθούν γύρω από κάποιο σηµείο ισορροπίας, και το προκύπτον σύστηµα να χρησιµοποιηθεί για την ανάλυση και σύνθεση του συστήµατος. Η διαδικασία έχει ως εξής: Έστω ότι έχουµε το εξής µη γραµµικό σύστηµα µεταβλητών κατάστασης i, m εξόδων y j και r εισόδων k,, y g Ας υποθέσουµε ότι οι είσοδοι σταθεροποιούνται σε ένα ορισµένο επίπεδο, * σταθερό Καλούµε καταστάσεις σηµεία ισορροπίας του συστήµατος τα διανύσµατα * που είναι λύσεις των εξισώσεων,, δηλαδή, Έστω ότι τέτοιες λύσεις υπάρχουν. Τα σηµεία ισορροπίας των εξόδων θα δίνονται από την σχέση, y * g * Ας θεωρήσουµε τώρα µικρές µετατοπίσεις γύρω από την κατάσταση ισορροπίας: * δ * δ yy * δy και ας εφαρµόσουµε την ανάπτυξη aylor των συναρτήσεων, και g γύρω από το σηµείο ισορροπίας. Γνωρίζουµε ότι γενικά ισχύει:

11 ,,,, όροι µεγαλύτερου βαθµού.6 Παρατηρούµε ότι, Θέτουµε:,, O M M O M L,, B O M M O M L Παραβλέποντας τους όρους µεγαλύτερου βαθµού ή.6 γράφεται: B δ δ δ.7 Με παρόµοιο τρόπο αναπτύσσουµε την g γύρω από το y *,, g y g όροι µεγαλύτερου βαθµού Επειδή δyy-y * οι µετατοπίσεις των εξόδων µπορούν να προσεγγιστούν από την γραµµική σχέση, δy Cδ.8 Συνδυάζοντας τις.7 και.8 παίρνουµε την γραµµική προσέγγιση του µη γραµµικού συστήµατος γύρω από το σηµείο ισορροπίας:

12 δ δ Bδ δy Cδ.6 Ιδιότητες συστηµάτων.6. Ελεγξιµότητα Θεωρούµε το προαναφερθέν σύστηµα, B,. yc. Ορισµός. 'Ένα σύστηµα καλείται πλήρως ελέγξιµο compleely corollable αν δεδοµένων των αρχικών συνθηκών κατάστασης και µιας επιθυµητής τιµής καταστάσεων *, µπορούµε πάντα να βρούµε κατάλληλες και πεπερασµένες τιµές ελέγχου ώστε το σύστηµα να φθάσει στην επιθυµητή τιµή σε πεπερασµένο χρόνο <. Θεώρηµα. Το σύστηµα.-. είναι πλήρως ελέγξιµο αν και µόνον αν ο r πίνακας ελεγξιµότητας, Γ[ B ΑΒ... Α - B] είναι πλήρους βαθµού, δηλαδή βαθµόςγ..6. Παρατηρησιµότητα Ορισµός.3 'Ένα σύστηµα καλείται πλήρως παρατηρήσιµο compleely οbservable αν γνωρίζοντας τις τιµές των εξόδων y και εισόδων για ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα, << τότε µπορούµε να ανακτήσουµε τις τιµές των µεταβλητών κατάστασης για οποιαδήποτε χρονική στιγµή του διαστήµατος [, ]. Αυτό σηµαίνει ότι παρατηρώντας τις σχέσεις του συστήµατος µε το περιβάλλον είσοδοι-έξοδοι µπορούµε να υπολογίσουµε την εσωτερική συµπεριφορά του συστήµατος. Θεώρηµα. 'Ένα σύστηµα είναι πλήρως παρατηρήσιµο αν και µόνον αν ο m πίνακας παρατηρησιµότητας,

13 Θ C C C.. C είναι πλήρους βαθµού, δηλαδή βαθµός[θ]. Η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα είναι έννοιες δυϊκές..6.3 Σταθεροποιησιµότητα-εντοπισιµότητα Σε πρακτικές εφαρµογές είναι αρκετή µια πιο ασθενής ιδιότητα από την ελεγξιµότητα, η σταθεροποιησιµότητα sabilizabiliy. Η ιδιότητα αυτή συσχετίζεται µε την ε- λεγξιµότητα των ασταθών πόλων. Η ιδιότητα αυτή εξακριβώνεται µετασχηµατίζοντας το σύστηµα σε µορφή Jorda και ελέγχοντας τις γραµµές του Α. πίνακα Πουλιέζος εισόδου Β που αντιστοιχούν σε ασταθείς ιδιοτι- µές..6.4 Ευστάθεια Υπάρχουν διάφοροι ορισµοί για την ευστάθεια, αυτό όµως που ενδιαφέρει πρακτικά είναι η κατάσταση του συστήµατος να µην εκρήγνυται. Αυτό πρέπει να ισχύει τόσο για αυτόνοµη κίνηση όσο και για βεβιασµένη. Η πρώτη α- παίτηση καλείται ασυµπτωτική ευστάθεια asympoic sabiliy ενώ η δεύτερη ευστάθεια φραγµένης εισόδου-φραγµένης εξόδου ΒΙΒΟ sabiliy. Για το γραµµικό σύστηµα ένα προφανές σηµείο ισορροπίας είναι το *, αφού απαιτείται. Αν όµως ο Α έχει µηδενικές ιδιοτιµές, τότε υπάρχουν άπειρα µη µηδενικά ιδιοδιανύσµατα που ικανοποιούν την εξίσωση ισορροπίας. Στη συνέχεια, η περίπτωση αυτή δεν θα αντιµετωπισθεί. Ορισµός.4 Το σύστηµα {, } καλείται ευσταθές κατά Lyapov γύρω από το σηµείο ισορροπίας *, αν για µικρές µετατοπίσεις γύρω από *, δηλαδή για αρχικές συνθήκες τέτοιες ώστε, 3

14 < δ η τροχιά του συστήµατος να παραµένει πάντα µέσα σε µια φραγµένη περιοχή του *, δηλαδή, < ε όπου ε εδ <. Ορισµός.5 Το σύστηµα {, } καλείται ασυµπτωτικά ευσταθές γύρω από το σηµείο ισορροπίας * αν υπάρχει µια περιοχή δ έτσι ώστε για αρχικές συνθήκες εντός αυτής της περιοχής το σύστηµα να τείνει πάντα να επιστρέψει στο *, δηλαδή, < δ ορ Όταν ένα σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές τότε είναι και ευσταθές κατά Lyapov. Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει γιατί ένα σύστηµα µπορεί να παραµένει διαρκώς σε µια πεπερασµένη απόσταση γύρω από το σηµείο ισορροπίας χωρίς ποτέ να το προσεγγίζει ικανοποιητικά. 'Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το είδος της αδιάφορης ισορροπίας στην µηχανική. Θεώρηµα.3 Το σύστηµα, είναι, α Ευσταθές κατά Lyapov αν και µόνον αν Re{ λ } και τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις µηδενικές ιδιοτιµές είναι διακεκριµένα. β Ασυµπτωτικά ευσταθές αν και µόνον αν Re{ λ } <. Απόδειξη: Η λύση του συστήµατος δίνεται από την σχέση: e Το σηµείο ισορροπίας είναι το * εκτός αν µία λ και χρησιµοποιώντας τον διαγώνιο µετασχηµατισµό W - Λ W έχουµε: W - e Λ W Η λύση είναι δηλαδή γραµµικός συνδυασµός των χρονικών εκθετικών λi γνωστό όµως ότι, ορ e αν και µόνο αν Reλ i <. i i λ i e. Είναι 4

15 i Αν τώρα κάθε ορ e, οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός θα τείνει επίσης λ στο µηδέν. Αντίστροφα αν ο γραµµικός συνδυασµός δεν τείνει στο µηδέν, τότε θα λ υπάρχει τουλάχιστον ένας όρος i e που δεν τείνει στο µηδέν, πράγµα εφικτό µόνο αν Reλ i >, όπερ άτοπο. Επειδή η ευστάθεια του συστήµατος καθορίζεται από τις ιδιοτιµές του Α, ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας ευστάθειας του συστήµατος sabiliy mari. Ορισµός.6 Έστω ότι το σύστηµα, B,. yc. βρίσκεται σε µηδενικές αρχικές συνθήκες και διεγείρεται από πεπερασµένες τιµές εισόδου, < M < για < <. Καλείται ευσταθές φραγµένης εισόδουφραγµένης εξόδου αν κάθε απόκριση y είναι επίσης πεπερασµένη, δηλαδή, y < P < για < < Θεώρηµα.4 Το σύστηµα.-. είναι ευσταθές φραγµένης-εισόδου φραγµένης εξόδου αν και µόνον αν οι πόλοι των στοιχείων του πίνακα µεταφοράς Gs έχουν αρνητικά πραγµατικά µέρη. Παρατήρηση: Όταν ένα σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές τότε είναι και ευσταθές φραγµένης εισόδου-φραγµένης εξόδου. Το αντίθετο ισχύει µόνον αν το σύστηµα είναι πλήρως ελέγξιµο και παρατηρήσιµο..7 Παραδείγµατα περιγραφής συστηµάτων στο χώρο κατάστασης Ανάστροφο εκκρεµές σε φορείο Το ανάστροφο εκκρεµές είναι ένα από τα πιο γνωστά µη γραµµικά συστήµατα και το πρόβληµα του ελέγχου του µπορεί να αποτελέσει κριτήριο απόδοσης των συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου. Eκτός από τον κλασσικό αυτόµατο έλεγχο, στο ανάστροφο εκκρεµές έχει εφαρµοστεί έλεγχος µε νευρωνικά δίκτυα καθώς επίσης και ελεγκτές ασαφούς λογικής µε αξιόλογα αποτελέσµατα. Προς το παρόν όµως η κλασσική αντι- 5

16 µετώπιση του προβλήµατος, εκτός του ότι είναι πιο εύρωστη, µπορεί να παρουσιάσει καλύτερα τις βασικές αρχές και το θεωρητικό υπόβαθρο του αυτοµάτου ελέγχου. Σχήµα. Η βασική δοµή του συστήµατος. Ενισχυτής 4. Ιµάντας µετάδοσης κίνησης 7. Βάρος του εκκρεµούς. Κινητήρας 5. Μεταλλική µπάρα ολίσθησης 8. Οδηγός περιστροφής 3. Γρανάζι κίνησης 6. Βαγόνι 9. Εκκρεµές Περιγραφή του LIP Ivered Pedlm Το σύστηµα που υπάρχει στο εργαστήριο αποτελείται από ένα περιστρεφόµενο εκκρεµές το οποίο στηρίζεται σε ένα κινητό βαγόνι Σχ.., µία µονάδα διασύνδεσης και έναν ελεγκτή. Το κινητό φορείο car χρησιµοποιεί ένα DC κινητήρα και έναν οδοντωτό ιµάντα για να κινηθεί σε µία περιοχή µήκους.5 µέτρων και να σταθεροποιήσει το εκκρεµές στην όρθια θέση. Η σταθεροποίηση του εκκρεµούς επιτυγχάνεται από ένα ψηφιακό ελεγκτή, ο οποίος σύµφωνα µε τις µετρήσεις που παίρνει, στέλνει ένα κατάλληλο σήµα στον κινητήρα. Οι µετρήσεις αυτές είναι η γωνία του εκκρεµούς, η θέση και η ταχύτητα του βαγονιού. 6

17 Σχήµα. Το διάγραµµα του συστήµατος Το σύστηµα µπορεί να χωριστεί σε δύο διαφορετικά υποσυστήµατα: το σύστηµα του βαγονιού και το σύστηµα του ανάστροφου εκκρεµούς: Σχήµα.3 ιαγράµµατα ελεύθερων σωµάτων, του ανάστροφου εκκρεµούς και του βαγονιού. Αν Μ είναι η µάζα του εκκρεµούς και r η θέση του βαγονιού τότε η δύναµη Η που ασκείται οριζόντια στη βάση του εκκρεµούς, δίνεται από τον τύπο: 7

18 H M r l ηµ s Φ.3 Αυτή η δύναµη οφείλεται στην επιτάχυνση του κέντρου βάρους. Η κάθετη συνιστώσα µπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο: V s M r l ηµ Φ M g.4 και η διαφορική εξίσωση της κίνησης µπορεί να γραφεί ως εξής: Φ Φ Θs Vlsηµ Φ HlsσυνΦ C.5 όπου Θ s είναι η ροπή αδρανείας του εκκρεµούς περί το κέντρο βάρους του και C η σταθερά τριβής του. Για το σύστηµα του βαγονιού η εξίσωση κίνησης είναι η: r r M F H Fr.6 όπου Μ η µάζα του βαγονιού, F r η σταθερά τριβής ανάλογη προς τη ταχύτητα και F η δύναµη που µεταδίδεται µέσω του ιµάντα µεταφοράς. Έτσι οι εξισώσεις.3 και.4 µπορούν να γραφούν ως εξής: r l Φ s συν Φ lsφ ηµ Φ Φ ηµ Φ Φ συν M g H M.7 V M l s Φ.8 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις.7 και.8 στις.5 και.6 αντίστοιχα, προκύπτουν οι µη γραµµικές διαφορικές εξισώσεις του συστήµατος: ΘΦ CΦ M ls gηµ Φ Mlsr συνφ.9 M r F r M l Φ συνφ Φ ηµ F. r s Φ Οι δύο αυτές εξισώσεις περιγράφουν το µαθηµατικό µοντέλο του ανάστροφου εκκρε- µούς όπου: s ls Το διάνυσµα κατάσυασης του συστήµατος είναι το, Θ Θ M. MM M. 8

19 και το σήµα εισόδου, r Φ.3 3 r Φ 4 F Μετασχηµατίζοντας τις εξισώσεις.9 και. στην µορφή, παίρνου- µε: 3 4, όπου: 3 4,,, 3 4 β β [ a3ηµ συν a333 a34συν4 a35ηµ 4 b3] [ a ηµ a συν a a συν ηµ b συν ] 4 43 Α. Πουλιέζος ηµ, M l Θ β s, M και οι παράµετροι α, β δίνονται από τους τύπους: g α 3, Μg α 4, α33 Θ F r, r F α 43, Θ b 3, C α 34, ΜC α 44, b 4 α Θ α Στο επόµενο βήµα πρέπει να καθοριστεί το σηµείο λειτουργίας ισορροπίας στο ο- ποίο θα γίνει η γραµµικοποίηση: 9

20 k Αναπτύσσουµε τις εξισώσεις.4 σε σειρές aylor,,,.5 για να πάρουµε τους πίνακες του γραµµικοποιηµένου συστήµατος: a a a a a a ,.6 4 3, b b.7 Oι µεταβολές από το σηµείο λειτουργίας εισάγονται ως νέες µεταβλητές κατάστασης δ και δ οπότε τελικά οι εξισώσεις κατάστασης γράφονται ως εξής: b.8 Το σύστηµα του ανάστροφου εκκρεµούς έχει τρεις αισθητήρες, µε τους οποίους µπορούν να µετρηθούν η θέση και η ταχύτητα του βαγονιού και η γωνία του εκκρε- µούς. Οι αισθητήρες αυτοί δίνουν µία τάση ρεύµατος ανάλογη µε τη µέτρηση την ο- ποία κάνουν, οπότε στο µοντελοποιηµένο σύστηµα όλες οι παράµετροι πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες µονάδες, δηλαδή vols. Αυτό µπορεί να πραγµατοποιηθεί µέσω ενός µετασχηµατισµού κανονικοποίησης ως εξής: Ν και Ν K.9 όπου,

21 33 44 και Κ είναι ο παράγοντας που συσχετίζει την τάση εισόδου του ενισχυτή µε την δύναµη που επιδρά στο βαγόνι. Αντικαθιστώντας την.9 στην.8 παίρνουµε: όπου, b. - και b b K.

22 Σχεδίαση ελεγκτών Τα συστήµατα ελέγχου µπορούν να διαιρεθούν σε δύο ευρείες κατηγορίες: ρύθµισης και παρακολούθησης. Τα συστήµατα αυτόµατης ρύθµισης ή ρυθµιστές προσπαθούν να διατηρήσουν σταθερή την έξοδο του συστήµατος υπό την επήρεια διαταραχών, µεταβολών στις παραµέτρους της εγκατάστασης κλπ. Παραδείγµατα περιλαµβάνουν τα συστήµατα ρύθµισης θερµοκρασίας, διατήρησης σταθερού υψοµέτρου δορυφόρων, ρύθµισης τάσης κλπ. Κατά τη σχεδίαση των συστηµάτων αυτών πρωταρχικό ρόλο παίζει η µεταβατική απόκριση. Στα συστήµατα παρακολούθησης η έξοδος πρέπει να ακολουθεί, µε ελάχιστο σφάλ- µα, µία προδιαγεγραµµένη πορεία που αναπαριστάται από µία χρονικά µεταβαλλόµενη συνάρτηση. Παραδείγµατα αυτού του τύπου περιλαµβάνουν αυτόµατους πιλότους αεροσκαφών ή πλοίων. Σε όλες τις περιπτώσεις ο έλεγχος είναι µία γραµµική συνάρτηση των καταστάσεων, δηλαδή, -K.. Ρύθµιση Εγκατάσταση _ ελεγκτής K B Σχήµα. Γραµµικός ρυθµιστής Ας αρχίσουµε µε την πιο απλή µορφή συστήµατος που απεικονίζεται στο Σχ... Στη διάταξη αυτή γίνεται η όχι και τόσο ρεαλιστική υπόθεση ότι όλες οι καταστάσεις είναι µετρήσιµες. H εξίσωση του είναι,

23 B K BK. Το ακόλουθο θεώρηµα µας δίνει το εργαλείο για την εύρεση του σταθερού πίνακα Κ. Θεώρηµα. Αν το ζευγάρι Α, Β είναι ελέγξιµο µπορεί να βρεθεί πίνακας Κ, τέτοιος ώστε οι ιδιοτιµές του συστήµατος BK να τοποθετηθούν σε οποιαδήποτε θέση. Το θεώρηµα αυτό µας εξασφαλίζει τη τοποθέτηση των ιδιοτιµών σε οποιαδήποτε θέση αλλά δεν απαντά στο ερώτηµα ποιά είναι η βέλτιστη θέση. Το ερώτηµα αυτό µπορεί να απαντηθεί µε διάφορους τρόπους: µέσω των προδιαγραφών της µεταβατικής απόκρισης οι οποίες ορίζουν περιοχές για τους πόλους του συστήµατος ή µέσω της θεωρίας του βέλτιστου ελέγχου που θα δούµε στη συνέχεια. Η αριθµητική επίλυση είναι εύκολη µέσω του MLB αφού η, KPLCE,B,p υπολογίζει έναν πίνακα ανάδρασης κατάστασης K τέτοιον ώστε οι ιδιοτιµές του BK να είναι αυτές που ορίζονται στο διάνυσµα p.. Τοποθέτηση πόλων µέσω της θεωρίας του βέλτιστου ε- λέγχου Η θεωρία του βέλτιστου ελέγχου αποσκοπεί στην εύρεση στρατηγικών ελέγχου µέσω της ελαχιστοποίησης κριτηρίων απόδοσης. Η εφαρµογή της στη συγκεκριµένη κατηγορία συστηµάτων που εξετάζουµε γραµµικά, χρονικά αµετάβλητα καταλήγει σε κοµψούς, υλοποιήσιµους ελεγκτές. Το πρόβληµα τίθεται ως εξής: Να βρεθεί η συνάρτηση εισόδου που να ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό δηλαδή συνάρτησης συναρτήσεως, J Q R υπό τον περιορισµό των εξισώσεων κατάστασης, d B Η φυσική σηµασία της ελαχιστοποίησης είναι να περιορίσει την κατάσταση κοντά στο µηδέν µε ελάχιστη κατανάλωση ενέργειας. Οι πίνακες Q, R χρησιµοποιούνται 3

24 για να εξισορροπούν τις δύο αυτές ιδιότητες. Εφαρµογή της αρχής του ελαχίστου του Poryagi δίνει την ακόλουθη λύση στο πρόβληµα αυτό, dp d -K.3 Κ R - B P.4 P P Q P BR B P ; P.5 Η εξίσωση.5 είναι η µητρική διαφορική εξίσωση Riccai. Είναι µία µη γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης µε τερµατικές οριακές συνθήκες. Ο έλεγχος που προκύπτει είναι χρονικά µεταβαλλόµενος και για να υλοποιηθεί πρέπει να λυθεί η.5 προς τα πίσω αρχίζοντας από το τελικό χρόνο. Η λύση πρέπει να αποθηκευθεί ψηφιακά για να χρησιµοποιηθεί συνέχεια από τον µηχανισµό του ελεγκτή. Μία πιο απλή λύση προκύπτει αν τεθεί. Στη περίπτωση αυτή dp/d και η.5 καταλήγει στην µητρική αλγεβρική εξίσωση Riccai, P P Q P BR B P Η λύση της εξίσωσης αυτής καταλήγει σε σταθερό πίνακα ανατροφοδότησης Κ ο ο- ποίος συν τοις άλλοις οδηγεί Α. σε ένα Πουλιέζος συνολικά ευσταθές σύστηµα αν: το ζεύγος Α, Β είναι σταθεροποιήσιµο, R> θετικά ορισµένος και ο Q µπορεί να παραγοντοποιηθεί ως Q C q C q όπου C q είναι οποιοσδήποτε πίνακας τέτοιος ώστε το ζεύγος C q, να είναι εντοπίσιµο. [K,S,E]LQR,B,Q,R, υπολογίζει τον βέλτιστο πίνακα ενίσχυσης K έτσι ώστε ο έλεγχος ανάδρασης καταστάσεων -K να ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση κόστους J Q R d υπό τον περιορισµό της εξίσωσης κατάστασης B,. Ο ελεγκτής που προκύπτει από αυτή τη διαδικασία καλείται γραµµικός τετραγωνικός ρυθµιστής Liear Qadraic Reglaor-LQR..3 Παρακολούθηση Έστω ξανά το γνωστό σύστηµα, B y C.6 4

25 5 Στο πρόβληµα της παρακολούθησης η επιθυµητή τελική θέση είναι r ορ. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να ιδωθεί σαν µία υποπερίπτωση του γενικότερου προβλήµατος r J ορ αν JI. Ο πίνακας J, διάστασης m j, επιλέγει τις µεταβλητές που επιθυµούµε να παρακολουθήσουµε. Ο λόγος που εισάγεται ένας νέος πίνακας είναι ότι είναι δυνατό να παρακολουθούνται περισσότερες µεταβλητές από αυτές που παρατηρούνται, δηλαδή m j >m. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να λυθεί παρό- µοια µε αυτό του ρυθµιστή αν εισάγουµε µία νέα µεταβλητή, d r J p.7 οπότε επαυξάνοντας την αρχική εξίσωση παίρνουµε, r I B p J p r y p B Στη σταθερή κατάσταση, p οπότε, r I B p J s s s και ορίζοντας νέες µεταβλητές, s s s v p p z, καταλήγουµε στο σύστηµα, Β B J Α Bv z z, µε.8 Καταφέραµε να τροποποιήσουµε το πρόβληµα έτσι ώστε να τεθεί στη µορφή που ξέρουµε να λύσουµε: σαν ένα πρόβληµα ρύθµισης. Έτσι βρίσκοντας έναν πίνακα ανάδρασης K για το σύστηµα.8, καταλήγουµε στις εξής εξισώσεις: [ ] s s s p p K K z K z K z K K Kz v p K K.9

26 Με την τιµή αυτή για το σήµα ελέγχου το σύστηµα.6 γίνεται, BK BK r p J p I Το δοµικό διάγραµµα του συνολικού συστήµατος φαίνεται στο Σχ... r _ Ελεγκτής p K - Εγκατάσταση B J K Σχήµα. οµικό διάγραµµα για το πρόβληµα της παρακολούθησης Η διαδικασία αυτή είναι δυνατή εφόσον ισχύουν οι γνωστές προϋποθέσεις, δηλαδή να είναι το ζεύγος, B ελέγξιµο. Το ακόλουθο θεώρηµα µας δίνει τις συνθήκες για να συµβαίνει αυτό. Θεώρηµα. Το ζεύγος, B ελέγξιµο και ο πίνακας, είναι ελέγξιµο αν και µόνον αν το ζεύγος Α, Β είναι G J B r m j είναι πλήρους τάξης ίσης προς τον αριθµό των σειρών m j. Επειδή ο αριθµός των στηλών είναι r πρέπει r m j, δηλαδή οι είσοδοι πρέπει να είναι τουλάχιστον όσες και οι καταστάσεις που θέλουµε να παρακολουθηθούν. Τα χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης εξαρτώνται από τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του συνολικού πίνακα κατάστασης, BK BK J 6

27 Έτσι επιθυµητά χαρακτηριστικά όπως υπερύψωση και ταχύτητα απόκρισης µπορούν να ικανοποιηθούν µε την κατάλληλη επιλογή του πίνακα K..4 Παρατηρητές κατάστασης Το διάνυσµα κατάστασης είναι σχεδόν πάντα µη διαθέσιµο όλο για µέτρηση. Μια πιο ρεαλιστική περίπτωση είναι αυτή όπου το µετρήσιµο σύνολο δίνεται από την εξίσωση εξόδου, Στη περίπτωση αυτή είναι µεγάλης σηµασίας η λεγόµενη, y C. Αρχή ιαχωρισµού: Αν το διάνυσµα κατάστασης δεν είναι µετρήσιµο τότε σαν είσοδος στο µηχανισµό ελέγχου µπορεί να χρησιµοποιηθεί µία εκτίµηση της κατάστασης, διαχωρίζοντας έτσι το συνολικό πρόβληµα σε δύο υποπροβλήµατα: του ελέγχου και της εκτίµησης. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στο Σχ..3. Ο αλγόριθµος εκτίµησης καλείται παρατηρητής κατάστασης στην ορολογία των συστηµάτων ελέγχου. r ελεγκτής B Εγκατάσταση C y παρατηρητής κατάστασης Σχήµα.3 Παρακολούθηση µε παρατηρητές κατάστασης Το πρόβληµα που ανακύπτει είναι αν η εκτίµηση θα συγκλίνει προς την πραγµατική κατάσταση. Μία προσέγγιση στο πρόβληµα είναι ο παρατηρητής να χρησιµοποιήσει τους γνωστούς πίνακες Α, Β για να µιµηθεί το ελεγχόµενο σύστηµα. Έτσι αν η εξίσωση του παρατηρητή είναι η, B η εξίσωση του σφάλµατος εκτίµησης ~ είναι, 7

28 ~ ~ ~ ~ ~. ~ e ~ Η εξίσωση αυτή δείχνει ότι το σφάλµα εκτίµησης θα συγκλίνει στο µηδέν αν ο πίνακας Α είναι ευσταθής. Το πρόβληµα είναι ότι αφενός ο Α µπορεί να είναι ασταθής, αφετέρου η σύγκλιση επιτυγχάνεται µε ρυθµό που µπορεί να είναι ανεπαρκής. Και τα δύο προβλήµατα λύνονται µε τη χρήση ανατροφοδότησης και στον παρατηρητή µέσω ενός όρου διόρθωσης ως εξής: y C B L. Έτσι η εξίσωση του σφάλµατος γίνεται, ~ LC ~ ~ ~.3 Με το τέχνασµα αυτό ο πίνακας µετάβασης του σφάλµατος γίνεται Α-LC, οι ιδιοτι- µές του οποίου ρυθµίζονται µέσω του L. Η ρύθµιση αυτή είναι εφικτή αν το σύστηµα είναι παρατηρήσιµο. Η εύρεση του L επιτυγχάνεται όπως και του Κ είναι µάλιστα δυϊκό πρόβληµα, δηλαδή µέσω της, LPLCE,C,q που υπολογίζει έναν πίνακα ανάδρασης κατάστασης L τέτοιον ώστε οι ιδιοτιµές του LC να είναι αυτές που ορίζονται στο διάνυσµα q. Η συνολική εξίσωση του συστήµατος βρίσκεται αν επαυξήσουµε την εξίσωση κατάστασης µε την εξίσωση του παρατηρητή, δηλαδή, LC B LC B Επιπρόσθετα αν ο έλεγχος είναι της µορφής της.9, δηλαδή, K K p.4 τότε η.4 γίνεται, LC p J BK BK LC BK BK p I m m m m m m m j j r.5 8

29 9 Το σύστηµα.5 είναι ένα σύστηµα m j εξισώσεων και περιλαµβάνει την κατάσταση, τον παρατηρητή και τον παρακολουθητή. Οι απαραίτητες εξισώσεις για την υλοποίηση του ελεγκτή είναι οι.9,. και Ο προαναφερόµενος παρατηρητής καλείται παρατηρητής πλήρους τάξης. Μία πιο οικονοµική εκδοχή του παρατηρητή αυτού µπορεί να υλοποιηθεί αν εκτιµούµε µόνο τις καταστάσεις που δεν είναι παρατηρήσιµες..4. Παρατηρητής µειωµένης τάξης Ο παρατηρητής µειωµένης τάξης στηρίζεται στο γεγονός ότι αν η διάσταση του διανύσµατος εξόδου yc είναι m <, δεν υπάρχει λόγος να εκτιµούµε περισσότερες από -m καταστάσεις. Ο παρατηρητής που προκύπτει καλείται παρατηρητής µειωµένης τάξης ή παρατηρητής Leberger. Η διαδικασία έχει ως εξής: Κατ αρχήν ορίζουµε έναν γραµµικό µετασχηµατισµό της κατάστασης, m m z όπου ο Τ είναι κάποιος πίνακας τέτοιος ώστε ο C E να έχει αντίστροφο και έστω αυτός [ ] M P E. Αυτό θα είναι δυνατό αν βαθµόςcm. Συνδυάζοντας τα y, z, [ ] Mz Py z y M P z y C C z y Εποµένως, z M Py Για να εκτιµήσουµε το z χρειαζόµαστε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την εξέλιξη του. Προπολλαπλασιάζοντας την εξίσωση κατάστασης µε τον Ε παίρνουµε, [ ] B C z y M P C z y B C C C EB E E ή

30 y z CP P CM y CB M z B y B z B Έτσι, η διαφορική εξίσωση για το z είναι η, y B z z Ένας παρατηρητής πλήρους τάξης για το z, είναι ο, z z y B L y C υστυχώς ο διορθωτικός όρος L y C ισούται µε µηδέν, αφού, y C y C Py Mz y CPy CMz y y Μία εναλλακτική επιλογή είναι ο διορθωτικός όρος να είναι συνάρτηση της παραγώγου του y, y B L y y B z z z Συγκλίνει ο παρατηρητής αυτός προς την πραγµατική τιµή του z; Η εξίσωση σφάλ- µατος είναι, ~ z L ~ z και το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί θετικά αν ο πίνακας L µπορεί να σταθεροποιήσει την εξίσωση σφάλµατος. Αποδεικνύεται ότι παρατηρησιµότητα του ζεύγους C, συνεπάγεται και παρατηρησιµότητα του Α, Α [Leberger, 964]. Ορίζοντας, w z Ly καταλήγουµε στη τελική µορφή του παρατηρητή µειωµένης τάξης, w Fw Hy G Mw y.6.7 µε τους πίνακες να ορίζονται από τις σχέσεις, F L, HFL L, GB LB, PML 3

31 3 Το συνολικό σύστηµα κατάστασης-παρατηρητή είναι το εξής: G B w F HC w.8 Στο πρόβληµα παρακολούθησης, ο έλεγχος δίνεται από την.9, δηλαδή, d r J K K p K K.9 όπου έγινε χρήση της.7. Έτσι οι εξισώσεις που χρειάζονται για την υλοποίηση του ελεγκτή που πρέπει να περιέχουν µόνο εισόδους και εξόδους είναι οι.6,.7 και.9. Το δοµικό διάγραµµα του παρατηρητή µειωµένης τάξης φαίνεται στο Σχ..4. y r - w H F M K Εγκατάσταση Παρατηρητής - Κ G J Σχήµα.4 Παρατηρητής µειωµένης τάξης Αντικαθιστώντας στην.8 παίρνουµε τη συνολική εξίσωση κατάστασηςπαρατηρητή µειωµένης τάξης-παρακολουθητή: r I p w J GK M GK F C GK HC BK M BK C BK p w ή Br ~ ~~ ~

32 Βιβλιογραφία Wolovich 987. Roboics: Basic alysis Desig. Leberger D.G Observig he sae o a liear sysem. IEEE ras. Mil. Elecro., MIL-8, pp

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου Τ.Ε.Ι. ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜHΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓIΑΣ Σηµειώσεις για το εργαστήριο του µαθήµατος ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ I ΓΑΥΡΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΟΖΑΝΗ 2008 Κεφάλαιο 1 ο Ορισµός Συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το φυσικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την ταλάντωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα