f(x) < g(x) (α), f(x) g(x) (α ), f(x) > g(x) (β) και f(x) g(x) (β ) β β

Transcript

1 Σελίδα από ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Ατώης Κυριακόπουλος Η γεική έοια της αίσωσης Ορισµός Θεωρούµεα έα διατεταγµέο σώµα Σ, έα µη κεό σύολο Ω και δύο συαρτήσεις f :Α Σ και g :Β Σ µιας µεταβλητής x, όπου Α και Β είαι δύο µη κεά υποσύολα του Ω Καθέας από τους προτασιακούς τύπους: f(x) < g(x) (α), f(x) g(x) (α ), f(x) > g(x) (β) και f(x) g(x) (β ) οοµάζεται αίσωση µε άγωστο το x και µε σύολο ααφοράς το Ω Α και οι δύο συαρτήσεις f και g είαι σταθερές, τότε συµφωούµε στη σταθερή τιµή της µιας α προσθέτουµε το: 0 x (η ίδια συµφωία γίεται και στις εξισώσεις) Οι αισώσεις (α) και (β) οοµάζοται και αισώσεις υπό τη στεή (ή γήσια) σηµασία και οι αισώσεις (α ) και (β ) οοµάζοται και αισώσεις υπό τη ευρεία σηµασία Οι εκφράσεις f (x) και g(x) οοµάζοται τα µέλη καθεµιάς τω παραπάω αισώσεω [ f (x) πρώτο µέλος και g(x) δεύτερο µέλος] Το σύολο Α Β( Ω ) οοµάζεται σύολο ορισµού καθεµιάς τω παραπάω αισώσεω και συµβολίζεται µε D α ότα ααφερόµαστε στη αίσωση (α), µε D α ότα ααφερόµαστε στη αίσωση (α ) κτλ x Α Β καθεµία από τις εκφράσεις (α), (α ), (β) Έστω ότι Α Β Τότε, για κάθε ( ) και (β ) γίεται µια πρόταση (αληθής ή ψευδής) Έα στοιχείο ξ ( Α Β ) λέµε ότι είαι µια λύση ή µία ρίζα: Της αίσωσης (α), α, και µόο α, ισχύει f ( ξ ) < g( ξ ) Της αίσωσης (α ), α, και µόο α, ισχύει f ( ξ) g( ξ ) Της αίσωσης (β), α, και µόο α, ισχύει f ( ξ ) > g( ξ ) Της αίσωσης (β ), α, και µόο α, ισχύει f ( ξ) g( ξ ) Το σύολο λύσεω: S = x Α Β f (x) < g(x) D =Α Β Της αίσωσης (α), είαι: α { } Της αίσωσης (α ), είαι: α { } Της αίσωσης (β), είαι: β { } Της αίσωσης (β ), είαι: { } S = x Α Β f (x) g(x) D =Α Β α S = x Α Β f (x) > g(x) D =Α Β S = x Α Β f (x) g(x) D =Α Β β β Είαι φαερό ότι το σύολο λύσεω της αίσωσης: f (x) g(x) είαι η έωση τω συόλω λύσεω της αίσωσης: f (x) < g(x) και της εξίσωσης: f (x) = g(x) Επίσης το σύολο λύσεω της αίσωσης: f (x) g(x) είαι η έωση τω συόλω λύσεω της αίσωσης: f (x) > g(x) και της εξίσωσης: f (x) = g(x) Η εύρεση του συόλου λύσεω µιας αίσωσης, οοµάζεται επίλυση της αίσωσης αυτής Μία αίσωση λέµε ότι είαι αδύατη α, και µόο α, το σύολο ορισµού της είαι το κεό σύολο ή το σύολο ορισµού της είαι διάφορο του κεού συόλου, αλλά το σύολο λύσεω αυτής είαι το κεό σύολο α β

2 Σελίδα από Μία αίσωση λέµε ότι είαι µόιµη αίσωση, α και µόο α, το σύολο ορισµού της είαι διάφορο του κεού συόλου και ταυτίζεται µε το σύολο λύσεω αυτής Ισοδύαµες αισώσεις Ορισµός ύο αισώσεις (γ) και (δ) µε το ίδιο σύολο ααφοράς, λέµε ότι είαι ισοδύαµες στη τοµή D D ( ) τω συόλω ορισµού τους και γ δ γράφουµε: (γ) (δ), α, και µόο α: S γ = S δ ηλαδή, α, και µόο α, κάθε λύση της µιας αίσωσης είαι και λύση της άλλης Θεωρούµε τρείς αισώσεις (γ), (δ) και (ε) µε το ίδιο σύολο ααφοράς Στη τοµή: Dγ Dδ D ε( ) τω συόλω ορισµού τω, όπως βρίσκουµε εύκολα, ισχύου: ) ( γ) ( γ ) ) Α ( γ) ( δ ), τότε ( δ) ( γ ) ) Α ( γ) ( δ ) και ( δ) ( ε ), τότε ( γ) ( ε ) Σηµείωση Στο σύολο τω αισώσεω µε το ίδιο σύολο ααφοράς και µε κοιό σύολο ορισµού έα υποσύολο αυτού Τ, η σχέση: «Η αίσωση (α) είαι ισοδύαµη µε τη αίσωση (β)» είαι µια σχέση ισοδυαµίας στο σύολο Τ ( αυτοπαθής, συµµετρική, µεταβατική) Aς θεωρήσουµε τις δύο αισώσεις: f (x) < g(x) και g(x) > f (x), ατιστοίχως τις f (x) g(x) και g(x) f (x), µε το ίδιο σύολο ααφοράς, οι οποίες προφαώς, τότε, θα έ- χου και το ίδιο σύολο ορισµού, έστω D Είαι φαερό ότι, στο D( ), οι αισώσεις αυτές είαι ισοδύαµες, δηλαδή: f (x) < g(x) g(x) > f (x), ατιστοίχως: f (x) g(x) g(x) f (x) Επίλυση αισώσεω ετός του R Στη συέχεια θα ασχοληθούµε µε τη επίλυση αισώσεω ετός που σώµατος R τω πραγµατικώ αριθµώ ηλαδή, µε αισώσεις, στις οποίες τα µέλη τους είαι πραγµατικές συαρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής και το σύολο ααφοράς τους είαι έα υποσύολο του R Α σε µια αίσωση δε ααφέροµε το σύολο ααφοράς της, θα εοούµε ότι αυτό είαι τοr Σηµειώουµε ότι ότα λέµε ότι θα λύσουµε µια τέτοια αίσωση εοούµε ότι θα βρούµε το σύολο λύσεω αυτής υπό µορφή διαστήµατος ή εώσεω διαστηµάτω τουr Η επίλυση µιας αίσωσης ξεκιάει µε τη εύρεση του συόλου ορισµού της ( όπως και στις εξισώσεις) ηλαδή, πρι κάουµε οτιδήποτε στη αίσωση που θέλουµε α επιλύσουµε, θα πρέπει α βρίσκουµε το σύολο ορισµού της Ο λόγος είαι όχι µόο για α ξέρουµε για ποιες τιµές του x έχου όηµα τα µέλη της, αλλά και για α ξέρουµε για ποιες τιµές του x ι- σχύου αυτά που θα πούµε στη συέχεια Μετά, για τη εύρεση του συόλου λύσεω της αίσωσης, συήθως εφαρµόζουµε τα θεωρήµατα ισοδυαµιώ µεταξύ δύο αισώσεω, που θα διατυπώσουµε στη επόµεη παράγραφο Επισηµαίουµε ότι σε µια εξίσωση το σύολο ορισµού της δε είαι απαραίτητο α το βάζουµε υπό µορφή διαστήµατος ή εώσεω διαστηµάτω τουr Ο λόγος είαι ότι συήθως οι λύσεις µιας εξίσωσης είαι πεπερασµέου πλήθους και µπορούµε εύκολα α ελέγξουµε α κάθε µια απ' αυτές αήκει ή όχι στο σύολο ορισµού της Στις αισώσεις όµως δε συµβαίει το ίδιο Είαι σπάιες οι περιπτώσεις που µια αίσωση έχει πεπερασµέο πλήθος λύσεω Σ' αυτές τις περιπτώσεις πάλι δε είαι απαραίτητο α βάζουµε το σύολο ορισµού της υπό µορφή διαστήµατος ή εώσεω διαστηµάτω του R Συήθως όµως το σύολο λύσεω τω αισώσεω δε είαι περασµέο και για α το βρούµε χρειαζόµαστε το σύολο ορισµού της υπό µορφή διαστήµατος ή εώσεω διαστηµάτω τουr

3 Σελίδα από Σηµειώουµε ότι οι γεικοί ορισµοί τω διαστηµάτω τουr είαι οι εξής: Θεωρούµε δύο αριθµούς, α β R µε α β Ορίζουµε: [ α, β ] = { x R α x β}, ( α, β ) = { x α< x<β} [ α, β ) = { x R α x<β}, ( α, β ] = { x α< x β} [ α, + ) = { x R x α}, ( α, + ) = { x R x>α}, (, α ] = { x R x α}, (, α ) = { x R x<α} Για κάθεα R ισχύου: α, α = x α x α = x x=α = α R, R, [ ] { R } { R } { }, (, ) { x x } [ α, α ) = { x R α x<α } =, ( α, α ] = { x R α< x α } = Σηµειώουµε, τέλος, ότι, για παράδειγµα, µε α, β R, έχουµε: α α = R α< <α =, { α, β } = { α} { β } = [ α, α] [ ββ, ] ( όµοια α το σύολο περιέχει περισσότερα στοιχεία) Θεωρήµατα ισοδυαµιώ µεταξύ αισώσεω Τα θεωρήµατα ισοδυαµιώ µεταξύ δύο αισώσεω θα τα διατυπώσουµε για µια αίσωση µιας µορφής: f(x)<g(x), αλλά ισχύου και για αισώσεις τω υπόλοιπω τριώ µορφώ Θεώρηµα Έστω µία αίσωση: f(x) < g(x) µε σύολο ορισµού D Για κάθε συάρτηση h που είαι ορισµέη στο σύολο D, ισχύει στο D η ισοδυαµία: f(x) < g(x) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) Απόδειξη ρ ρίζα της ρ D και ρ D και ρρίζα της f (x) < g(x) f ( ρ ) < g( ρ) f ( ρ ) + h( ρ ) < g( ρ ) + h( ρ ) f (x) + h(x) < g(x) + h(x) Πόρισµα Έστω µία αίσωση: f(x) < g(x) µε σύολο ορισµού D Για κάθε κ R ισχύει στο D η ισοδυαµία: f(x) < g(x) f(x) + κ < g(x) + κ Πόρισµα Α σε µια αίσωση µεταφέρουµε έα «όρο» της από το έα µέλος στο άλλο θέτοτας προ αυτού το πρόσηµο «-», τότε η αίσωση που προκύπτει είαι ισοδύαµη µε τη αρχική Για παράδειγµα, έστω µια αίσωση: f(x)+g(x)<φ(x)-h(x) µε σύολο ορισµού το D Ισχύου (στο D) οι ισοδυαµίες: f ( x) + g( x) < ϕ( x) h( x) f ( x) + g( x) + h( x) < ϕ( x) f ( x) + h( x) < ϕ( x) g( x) ϕ( x) h( x) g( x) f ( x) > 0 Θεώρηµα Έστω µία αίσωση: f(x) < g(x) µε σύολο ορισµού D και µία συάρτηση h που είαι ορισµέη στο σύολο D α) Α h(x) > 0, για κάθε x D, τότε, ισχύει η ισοδυαµία: f(x) < g(x) f(x)h(x) < g(x)h(x) β) Α h(x) < 0, για κάθε x D, τότε, ισχύει η ισοδυαµία: f(x) < g(x) f(x)h(x) > g(x)h(x) Απόδειξη Εύκολη Πόρισµα Έστω µία αίσωση: f(x) < g(x) µε σύολο ορισµού D α) Για κάθε αριθµό λ>0, ισχύει (στο D): f(x) < g(x) λf(x) < λg(x) β) Για κάθε αριθµό λ<0, ισχύει (στο D): f(x) < g(x) λf(x) > λg(x) Ειδικά µε λ=, έχουµε (στο D) τις ισοδυαµίες : f (x) < g(x) f (x) > g(x) και f (x) > g(x) f (x) < g(x)

4 Σελίδα από Με τη βοήθεια του πορίσµατος µπορούµε α εξαλείψουµε τους αριθµητικούς παροοµαστές µιας αίσωσης (α έχει) Πόρισµα Κάθε αίσωση µε έα άγωστο x είαι ισοδύαµη, στο σύολο ορισµού της, µε µια αίσωση που έχει µια από τις µορφές: f(x) > 0, f(x) 0, f (x) < 0, f (x) 0, όπου f είαι µια πραγµατική συάρτηση Θεώρηµα Έστω µία αίσωση: f(x) < g(x) µε σύολο ορισµού D ) Στο D ισχύει η ισοδυαµία: + + f(x) < g(x) f (x) < g (x), για κάθε N ) Α f(x) 0 και g(x) 0, για κάθε x D, τότε στο D ισχύει η αδυαµία: f(x) < g(x) f (x) < g (x), για κάθε N Απόδειξη Εύκολη Θεώρηµα Θεωρούµε δύο συαρτήσεις f :Α R και g :Β R Στο D =Α Β( ) ισχύου οι ισοδυαµίες: f(x) < g(x) ) f(x) < g(x) ) f(x) > g(x) [ f(x) > g(x) f(x) < -g(x)] -g(x) < f(x) Απόδειξη Εύκολη Πόρισµα 5 Θεωρούµε µία συάρτηση f :Α R και έα αριθµό λ R Στο Α ισχύου οι ισοδυαµίες: f(x) < λ ) f(x) < λ ) f(x) > λ [ f(x) > λ f(x) < - λ] f(x) > -λ Σηµείωση Θεωρούµε δύο συαρτήσεις f :Α R και g :Β R Στο D =Α Β( ), έχουµε : f (x) < g(x) f (x) < g (x) g(x) + f (x) g(x) f (x) > 0 [ ][ ] 5 Ακέραιες αισώσεις Ορισµός Μια αίσωση λέγεται ακέραια ή πολυωυµική α, και µόο α, τα µέλη της είαι πολυωυµικές συαρτήσεις Για παράδειγµα, καθεµία από τις παρακάτω αισώσεις είαι ακέραια: x 5< x x +, 7x 0x + 0, x > x + Προφαώς, το σύολο ορισµού µιας ακεραίας αίσωσης ταυτίζεται µε το σύολο ααφοράς της Α σε µία ακέραια αίσωση µεταφέρουµε όλους τους όρους της στο πρώτο µέλος και κάουµε όλες τις δυατές πράξεις και απλοποιήσεις, τότε βρίσκουµε µια ισοδύαµη αίσωση, της οποίας το πρώτο µέλος είαι µια πολυωυµική συάρτηση f µε τύπο της µορφής : f(x)= α x + α x + + α x+ α () 0 όπου N και α, α,, α, α0 πραγµατικοί αριθµοί και το δεύτερο µέλος είαι 0 Η αίσωση αυτή λέµε ότι είαι η αηγµέη µορφή της αρχικής δοσµέης αίσωσης Βαθµό µιας ακεραίας αίσωσης, της οποίας το πρώτο µέλος είαι µια πολυωυµική συάρτηση της µορφής () και το δεύτερο µέλος είαι το 0, οοµάζουµε το βαθµό της πολυωυ- µικής συάρτησης () του πρώτου µέλους ( α 0 ) Βαθµό µιας ακεραίας αίσωσης (της οποίας τα µέλη είαι πολυωυµικές συαρτήσεις) ο- οµάζουµε το βαθµό της ισοδύαµης αηγµέης αίσωσης Οι γεικές µορφές τω (αηγµέω) ακέραιω αισώσεω µε έα άγωστο x: Πρώτου βαθµού είαι: α x+ β > 0, α x+ β 0, α x+ β < 0, α x+ β 0, όπου α, β R µεα 0

5 Σελίδα 5 από ευτέρου βαθµού είαι: α x + β x+ γ > 0, α x + β x+ γ 0, κτλ, όπου α, β, γ R µεα 0 Τρίτου βαθµού είαι: α x + β x + γ x+ δ > 0, α x + β x + γ x+ δ 0, κτλ,όπου α, β, γ, δ R µε α 0 κοκ 6 Επίλυση ακεραίω αισώσεω Η επίλυση τω ακεραίω αισώσεω πρώτου βαθµού είαι απλή Η επίλυση τω ακεραίω αισώσεω δευτέρου βαθµού γίεται µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του τριωύµου δευτέρου βαθµού( βλέπε παρακάτω), αφού προηγουµέως βρούµε τις ρίζες του τριώυµου του πρώτου µέλους Η επίλυση τω ακεραίω αισώσεω, µε πρώτο µέλος µια πολυωυµική συάρτηση f βαθµού (και δεύτερο µέλος το 0), απαιτεί επίσης τη εύρεση τω ριζώ της εξίσωσης: f(x)=0, που δε είαι πάτοτε δυατή ( α η εξίσωση αυτή είαι τρίτου ή τετάρτου βαθµού, τότε η επίλυσή της είαι δυατή, αλλά η µέθοδος επίλυσης της διδάσκεται στα Αώτερα Μαθηµατικά) Θεωρητικά αποδεικύεται ότι ο τύπος κάθε πολυωυµικής συάρτησης βαθµού, µπορεί α ααλυθεί σε γιόµεο πρωτοβαθµίω ή και δευτεροβαθµίω παραγότω ως προς x ( µε πραγµατικούς συτελεστές ) Μερικές φορές µπορούµε και στη πράξη α ααλύσουµε σε γιόµεο πρωτοβαθµίω ή και δευτεροβαθµίω παραγότω ως προς x ( µε πραγµατικούς συτελεστές) το πρώτο µέλος µιας ακεραίας αίσωσης ( µε το δεύτερο µέλος 0) Τότε, η επίλυσή της αάγεται στη εύρεση τω προσήµω του γιοµέου του πρώτου µέλους, για τις διάφορες τιµές του x R Το γιόµεο αυτό θα αποτελείται από παράγοτες της µορφής: ( x ) α +β ή και της µορ- φής: ( x x ) λ κ γ +δ +ε, όπου κ, λ N και α, β, γ, δ, ε R µε αγ 0 Παρατηρούµε ότι στους παράγοτες της µορφής: ( x ) κ α +β µπορούµε α υποθέτουµε ότι ο συτελεστής του x είαι θετικός, δηλαδή α>0 και στους παράγοτες της µορφής: ( x x ) λ γ +δ +ε ο συτελεστής του x είαι επίσης θετικός, δηλαδή γ>0 Πράγµατι, έστω ότι σε έα παράγοτα της µορφής κ κ κ κ ( α x+β) είαι α<0 Έχουµε : ( x ) ( ) ( x ) α +β = α β Α ο κ είαι άρτιος, το παράγοτα αυτό το γράφουµε: ( x ) Α ο κ είαι περιττός, το γράφουµε: ( x ) κ κ α β, α β και πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της αίσωσης µε το οπότε προκύπτει µια ισοδύαµη ετερόστροφος αίσωση, στη οποία ο κ παράγοτας αυτός γίεται( αx β ) Έτσι και στις δύο περιπτώσεις ο συτελεστής του x είαι θετικός ( α> 0) Όµοια εργαζόµαστε και για τους παράγοτες της δεύτερης µορφής, στους οποίους ο συτελεστής του x είαι αρητικός Έτσι ααγόµαστε στη επίλυση αισώσεω, τω οποίω το δεύτερο µέλος είαι 0 και το πρώτο µέλος είαι της µορφής: κ κ λ λ Γ(x) = α x +β α x +β γ x +δ x +ε γ x +δ x +ε (), ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ όπουκ,, κ, λ,, λµ N, όλοι οι συτελεστές στις παρεθέσεις είαι πραγµατικοί αριθµοί µε: α,, α, γ,, γ µ > 0 και τα διώυµα στις παρεθέσεις έχου αά δύο διαφορετικές ρίζες Στη συέχεια, αφού υπεθυµίσουµε το θεώρηµα του τριωύµου, θα δούµε µε ποιο τρόπο µπορούµε α επιλύσουµε εύκολα αισώσεις, τω οποίω το δεύτερο µέλος είαι το 0 και το πρώτο µέλος είαι της µορφής:

6 κ κ κ ( α x +β ) ( α x +β ) ( α x +β ) Σελίδα 6 από και µετά, γεικότερα, της παραπάω µορφής (), µε όλους τους προηγούµεους περιορισµούς Θεώρηµα ( του τριωύµου) Θεωρούµε το τριώυµο: f (x) =α x +β x+γ, όπου α, β, γ R µε α 0 Θέτουµε: =β αγ ( διακρίουσα) ) Έστω ότι < 0 Τότε: x R, α f (x) > 0 β ) Έστω ότι = 0 Τότε: x R, α f (x) > 0και x R, αf (x) 0 α ) Έστω ότι > 0 Τότε: x (, ρ ) ( ρ, + ), αf(x)>0 x ( ρ, ρ ), α f(x)<0 ( όπου ρ, ρ οι ρίζες του f (x), ρ <ρ ) Υπεθυµίζουµε ακόµα ότι µε α, β, γ R, α 0 και =β αγ, ισχύου: α> ) ( x R, α x +β x+γ> 0) ) < ( x R, α x +β x+γ 0) 0 0 α< 0 α< 0 ) ( x R, α x +β x+γ< 0) ) < ( x R, α x +β x+γ 0) 0 0 Εφαρµογή Να λυθεί η αίσωση: x < -x + x + 6 () α> 0 0 Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι το R Έχουµε στο R (,θεώρηµα ): x< x + x+ 6 x 6< 0 6< x< 6 () 7 x 6 < < ( x + x+ 6) < x x x 6< 0 7 < x< + 7 Άρα, το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S= ( 7, 6) 7 Επίλυση αισώσεω µε δεύτερο µέλος το 0 και πρώτο µέλος της µορφής : κ κ κ Γ(x) = ( α x +β ) ( α x +β ) ( α x +β ) Στο γιόµεο Γ(x) είαι : κ, κ,, κ N, όλοι οι συτελεστές στις παρεθέσεις είαι πραγµατικοί αριθµοί µε: α, α,, α > 0και τα διώυµα στις παρεθέσεις έχου αά δύο διαφορετικές ρίζες Πρώτος τρόπος Καταρχή παρατηρούµε ότι: Α έας παράγοτας έχει άρτιο εκθέτη, τότε είαι θετικός ή µηδέ, για κάθε x R Για παράδειγµα, έχουµε: (x+ ) 0, για κάθε x R Α έας παράγοτας έχει περιττό εκθέτη, τότε για κάθε πραγµατικό αριθµό x, διαφορετικό από τη ρίζα του, είαι οµόσηµος µε το διώυµο της βάσης Για παράδειγµα, ο παράγοτας (x ) µηδείζεται για x=, εώ για κάθε x R µε x, οι αριθµοί (x ) 7 7 και 7 8 x είαι οµόσηµοι, αφού, τότε, ισχύει: (x ) (x ) = (x ) > 0 Βήµα Βρίσκουµε τις ρίζες τω διωύµω που έχου άρτιο εκθέτη Οοµάζουµε Α το σύολο τω ριζώ αυτώ Βήµα Βρίσκουµε τα διώυµα που έχου περιττό εκθέτη και οοµάζουµε (x) το γιόµεό τους (χωρίς τους εκθέτες ) Έστω ότι: (x) = γ x+δ γ x +δ γ x +δ ( γ, γ,, γ > 0) ( )( ) ( ) λ λ λ

7 Σελίδα 7 από Βήµα Βρίσκουµε εύκολα ότι: x Α ) Γ(x) > 0 (x) > 0 ) Γ(x) 0 [ x Α ή (x) 0 ] x Α ) Γ(x) < 0 ) Γ(x) 0 [ x Α ή (x) 0 ] (x) < 0 Έτσι, η επίλυση της αίσωσης αάγεται στη εύρεση τω προσήµω του γιόµεο (x), για τις διάφορες τιµές του x R Προς τούτο εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα Βρίσκουµε τις ρίζες τω διωύµω του (x) Οι ρίζες αυτές είαι αά δύο διαφορετικές και είαι κατά σειρά οι εξής: δ δ δλ r =, r =,, rλ = γ γ γ λ Βήµα 5 Τις ρίζες αυτές τις βάζουµε κατά σειρά µεγέθους στο άξοα τω πραγµατικώ αριθ- µώ ε είαι βλάβη της γεικότητας α υποθέσουµε ότι: r < r < < r λ Μετά, βάζουµε στα διαστήµατα εαλλάξ τα πρόστιµα : +,, +,,,αρχίζοτας από το τελευταίο διάστη- µα( r, + ) Έτσι θα έχουµε το παρακάτω πίακα: λ Βήµα 6 Γράφουµε το σύολο λύσεω της αίσωσης Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: (x + ) (x - ) x (-x + ) ( - x) < 0 () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι τοr Έχουµε στοr : x, x () (x+ ) (x ) x (x ) (x ) > 0 (x+ )x(x ) > 0() Οοµάζουµε (x) το πρώτο µέλος της αίσωσης () Οι ρίζες του (x) είαι κατά σειρά:, 0 και Κατασκευάζουµε το παρακάτω πίακα προσήµω του (x): Συµπεραίουµε ότι οι λύσεις της δοσµέης αίσωσης είαι οι αριθµοί x R µε: < x< 0, x>, x και x Συεπώς, το σύολο λύσεω αυτής είαι: S = (, 0) (, ) (, + ) εύτερος τρόπος Βήµα Βρίσκουµε τις ρίζες τω διωύµω που είαι στις παρεθέσεις Οι ρίζες αυτές είαι αά δύο διαφορετικές και είαι κατά σειρά οι εξής: β β β ρ =, ρ =,, ρ = α α α, µε βαθµό πολλαπλότητας κ, κ,, κ, ατιστοίχως Βήµα Τις ρίζες αυτές τις βάζουµε κατά σειρά µεγέθους στο άξοα τω πραγµατικώ αριθ- µώ ε είαι βλάβη της γεικότητας α υποθέσουµε ότι: ρ <ρ < <ρ Έτσι θα έχουµε το παρακάτω πίακα:

8 Σελίδα 8 από ρ, + θέτουµε το πρόσηµο + Βήµα Τα πρόσηµα στα υπόλοιπα διαστήµατα τα βρίσκουµε ακολουθώτας το εξής καόα, αρχίζοτας από το προτελευταίο διάστηµα ( ρ, ρ ) : Στο διάστηµα( ρ, ρ ) θέτουµε το ίδιο πρόσηµο µε εκείο του ( επόµεου) ( ρ, + ) ( δηλαδή το + ), α η ρίζα που τα χωρίζει ( δηλαδή η ρίζαρ ) έχει άρτιο βαθµό πολλαπλότητας ( δηλαδή α οκ είαι άρτιος) ή το ατίθετο του ( δηλαδή το ), α έχει περιττό βαθµό πολλαπλότητας ( δηλαδή α οκ είαι περιττός) Βήµα Στο τελευταίο δεξιά διάστηµα ( ) Όµοια, στο ( προηγούµεο) διάστηµα (, ) ( ) ρ ρ θέτουµε το πρόσηµο του ( επόµεου) ρ, ρ, α η ρίζα που τα χωρίζει ( δηλαδή η ρίζαρ ) έχει άρτιο βαθµό πολλαπλότητας ( δηλαδή α οκ είαι άρτιος) ή το ατίθετο του, α έχει περιττό βαθµό πολλαπλότητας ( δηλαδή α οκ είαι περιττός) Συεχίζουµε µε το ίδιο τρόπο έως ότου βάλουµε πρόσηµα σε όλα τα διαστήµατα Βήµα 5 Γράφουµε το σύολο λύσεω της αίσωσης Σηµείωση Είαι φαερό ότι, α όλοι οι εκθέτες κ, κ,, κ είαι, οπότε: Γ (x) = α x +β α x +β α x +β, ( )( ) ( ) τότε τα πρόσηµα στο παραπάω πίακα, αρχίζοτας από το τελευταίο διάστηµα, είαι εαλλάξ: +,, +,, Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: 5 (7 - x) (-5x - 8) (x + )(x - ) 0 () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι τοr Επειδή: ( 5x 8) = (5x+ 8), για κάθε x R, έχουµε στο R : (7 x) = (x 7) και 5 5 () (x 7) (5x+ 8) (x+ )(x ) 0 (x 7) (5x+ 8) (x+ )(x ) 0() Οοµάζουµε Γ(x) το πρώτο µέλος της αίσωσης () Οι ρίζες του Γ(x) (αεξαρτήτως βαθµού 8 πολλαπλότητας) είαι κατά σειρά οι εξής: 7, -, - και Κατασκευάζουµε το παρακάτω 5 πίακα προσήµω του Γ(x): Συµπεραίουµε ότι το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S=, [ 7, + ) Τρίτος τρόπος Βήµα Βρίσκουµε τις ρίζες τω διωύµω που είαι στις παρεθέσεις Βήµα Κατασκευάζουµε έα πίακα διπλής εισόδου, στο οποίο στη πρώτη στήλη γράφουµε κατά σειρά τους παράγοτες του Γ (x) και στη πρώτη γραµµή τις ρίζες του Γ(x) Κατόπι, δίπλα από κάθε παράγοτα, γράφουµε τα πρόσηµα που λαµβάει, για τις διάφορες τι- µές του x R Στη τελευταία σειρά γράφουµε τα πρόσηµα που λαµβάει το γιόµεο Γ (x), για τις διάφορες τιµές του x R 7 Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: ( ) ( ) ( ) x x + x + x - > 0 Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι τοr Οοµάζουµε Γ(x) το πρώτο µέλος της αίσωσης Οι ρίζες του Γ(x) είαι κατά σειρά: 0, -, - και Κατασκευάζουµε το παρακάτω πίακα:

9 Σελίδα 9 από Συµπεραίουµε ότι το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S = (, ) (, 0) (, + ) Σχόλιο Συγκρίοτας τους τρεις τρόπους, βλέπουµε ότι στη πράξη, συτοµότερος είαι ο πρώτος τρόπος, αρκεί βέβαια α καταοηθεί 8 Επίλυση αισώσεω µε δεύτερο µέλος το 0 και πρώτο µέλος της µορφής : κ κ λ λ Γ(x) = α x +β α x +β γ x +δ x +ε γ x +δ x +ε ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ Στο γιόµεο Γ(x) είαι : κ,, κ, λ,, λµ N, όλοι οι συτελεστές στις παρεθέσεις είαι πραγµατικοί αριθµοί µε: α,, α, γ,, γ µ > 0 και τα διώυµα στις παρεθέσεις έχου αά δύο διαφορετικές ρίζες Βήµα Μελετάµε το πρόσηµο του πρώτου τριωύµου: γ x +δ x+ε Προς τούτο βρίσκουµε τη διακρίουσά του, έστω Έστω ότι < 0 Τότε, επειδήγ > 0, ισχύει: γ x +δ x+ε > 0, για κάθε x R Έτσι, τό- τε, παραλείπουµε το παράγοτα( γ x +δ x+ε ), οπότε προκύπτει ισοδύαµη αίσωση Έστω ότι = 0 Τότε, το τριώυµο αυτό έχει µια διπλή πραγµατική ρίζα, έστω ξ, οπότε: λ ( ) λ λ x x (x ) γ +δ +ε =γ ξ λ Επειδή γ >, ατικαθιστούµε στη αίσωση το παράγοτα( x x ) 0 λ γ +δ +ε µε ( x ξ ),οπότε προκύπτει ισοδύαµη αίσωση Έστω ότι > 0 Τότε, το τριώυµο αυτό έχει δύο πραγµατικές και άισες ρίζες, τις οοµάζουµε ξ καιξ, οπότε: ( λ ) λ λ λ x x (x ) (x ) γ +δ +ε =γ ξ ξ λ Επειδή γ >, ατικαθιστούµε στη αίσωση το παράγοτα( γ x +δ x+ε ) µε 0 (x ξ ) (x ξ ),οπότε προκύπτει ισοδύαµη αίσωση λ λ Βήµα Επααλαµβάουµε τη ίδια εργασία για όλα τα τριώυµα που περιέχει η αίσωση Βήµα Συµπτύσσουµε τις δυάµεις µε τη ίδια βάση, α υπάρχου Έτσι φθάουµε σε αίσωση της µορφής που µελετήσαµε στη προηγούµεη παράγραφο Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 x - x - x + (x + x) -x + x - -x + x - > 0 () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι τοr Με x R, έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 () x - x - x + (x + x) x - x + x - x + < 0 () Έχουµε: x = (x )(x+ ), + = και x x (x )(x ) λ λ λ x + x= x(x+ ) Τα τριώ- υµα: x x+ και x x+ έχου διακρίουσες αρητικές και συεπώς: x x+ > 0 και x x+ > 0, για κάθε x R Έτσι έχουµε:

10 Σελίδα 0 από () (x ) (x+ ) (x ) (x ) x(x+ ) < 0 x(x ) (x+ ) (x ) < 0 () Οοµάζουµε Γ(x) το πρώτο µέλος της αίσωσης () Στη αίσωση αυτή οι ρίζες του πρώτου µέλους είαι κατά σειρά οι εξής : 0,, - και Κατασκευάζουµε το παρακάτω πίακα προσήµω του Γ(x): Συµπεραίουµε ότι το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S = (0, ) (, ) 9 Ρητές αισώσεις Ορισµός Μια αίσωση λέγεται ρητή α, και µόο α, τα µέλη της είαι ρητές συαρτήσεις Για παράδειγµα, καθεµία από τις παρακάτω αισώσεις είαι ρητή: x x+ x x <, x+, > x+ x 5 x+ x 5 Α σε µία ρητή αίσωση, µε σύολο ορισµού D, µεταφέρουµε όλους τους όρους της στο πρώτο µέλος και κάουµε όλες τις δυατές πράξεις και απλοποιήσεις, τότε βρίσκουµε µια ι- σοδύαµη αίσωση, της οποίας το πρώτο µέλος είαι µια ρητή συάρτηση: f (x), όπου f και g g(x) είαι δύο (αηγµέες) πολυωυµικές συαρτήσεις, [µε g(x) 0, για κάθε x D ] και το δεύτερο µέλος είαι 0 f(x) Έστω µια ρητή αίσωση µε δεύτερο µέλος το 0 και πρώτο µέλος:, όπου f και g είαι g(x) δύο πολυωυµικές συαρτήσεις Προφαώς, το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D = x R g(x) 0 Όπως βρίσκουµε εύκολα, στο D, ισχύου oι ισοδυαµίες: { } f(x) ) > 0 f(x)g(x) > 0 g(x) f(x) ) < 0 f(x)g(x) < 0 g(x) f(x) ) 0 f(x)g(x) 0 g(x) f(x) ) 0 f(x)g(x) 0 g(x) Συµπεραίουµε ότι η επίλυση µιας ρητής αίσωσης αάγεται τη επίλυση µιας ακεραίας αίσωσης Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: x - + x - x - x(x - ) () Λύση Το σύολο ορισµού της συάρτησης του πρώτου µέλους της αίσωσης () εί-, R 0, Η τοµή τω δύο αυτώ συ- αι: R { } και εκείης του δεύτερου µέλους είαι: { } όλω είαι το σύολο ορισµού D της αίσωσης () Βρίσκοµαι ότι: D= R { 0,, } x D, έχουµε: (x ) x(x ) + x(x ) (x ) () x x x(x ) x(x )(x ) x 0 x(x )(x )(x )(x+ ) 0 x(x )(x ) Κατά τα γωστά, βρίσκουµε ότι το ζητούµεο σύολο λύσεω είαι: Με

11 Σελίδα από ) ( S=, 0, (, + ) 0 Αισώσεις µε ριζικά Οοµάζουµε αισώσεις µε ριζικά ( ή άρρητες αισώσεις) τις αισώσεις, στις οποίες ο άγωστος x εµφαίζεται κάτω από σύµβολο ριζικού Στη παράγραφο αυτή, θα συµβολίζουµε µε Α το σύολο ορισµού της συάρτησης f, µε Β το σύολο ορισµού της συάρτησης g και µε Γ το σύολο ορισµού της συάρτησης h ) Αισώσεις της µορφής: f(x) < g(x) Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D= { x x ( Α Β), f(x) 0, g(x) 0} Με x D, έχουµε: f(x) < g(x) f (x) < g(x) Γεικότερα, στο D ισχύει η ισοδυαµία: f (x) < g(x) f (x) < g(x) ( N, ) ) Αισώσεις της µορφής: f(x) < g(x) R Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D= { x R x ( Α Β), f(x) 0} x D, έχουµε: g(x) > 0 f(x) < g(x) f (x) < g (x) g(x) 0 Επίσης, στο D έχουµε: f(x) g(x) f (x) g (x) Γεικότερα, στο D ισχύου οι ισοδυαµίες: g(x) > 0 g(x) 0 f (x) < g(x), f (x) g(x) f (x) < g (x) f (x) g (x) ) Αισώσεις της µορφής: f(x) > g(x) ( N, ) Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D= { x x ( Α Β), f(x) 0} Με R Με x D, έχουµε: g(x) 0 f(x) > g(x) g(x) < 0 ή f (x) > g (x) g(x) 0 Επίσης,στο D έχουµε: f(x) g(x) g(x) < 0 ή f (x) g (x) Γεικότερα, στο D ισχύου οι ισοδυαµίες: g(x) 0 f(x) > g(x) g(x) < 0 ή, f(x) g(x) g(x) < 0 ή f (x) > g (x) ( N, ) ) Αισώσεις της µορφής: f(x) + g(x) < h(x) Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D= x x ( Α Β Γ), f(x) 0, g(x) 0 { R } Με x D, έχουµε: g(x) 0 f (x) g (x)

12 Σελίδα από h(x) > 0 f(x) + g(x) < h(x) Επίσης, στο D έχουµε: h(x) 0 f(x) + g(x) h(x) f (x) + g(x) + f (x)g(x) h (x) (δεύτερη µορφή) 5) Αισώσεις της µορφής: f(x) + g(x) > h(x) Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D= x R x ( Α Β Γ), f(x) 0, g(x) 0 Με x D, έχουµε: { } f (x) + g(x) + f (x)g(x) < h (x) (δεύτερη µορφή) h(x) 0 f(x) + g(x) > h(x) h(x) < 0 ή f (x) + g(x) + f (x)g(x) > h (x) Επίσης,στο D έχουµε: h(x) 0 f(x) + g(x) h(x) h(x) < 0 ή f (x) + g(x) + f (x)g(x) h (x) Σηµείωση Α µια αίσωση µε ριζικά είαι διαφορετικής µορφής από τις παραπάω, τότε διά καταλλήλω µετασχηµατισµώ αυτής στο σύολο ορισµού της και µε επαειληµµέες εφαρ- µογές τω προηγούµεω προτάσεω, φθάουµε σε ισοδύαµο σύστηµα ρητώ αισώσεω Αισώσεις που περιέχου εκθετικές ή λογαριθµικές συαρτήσεις Στη παράγραφο αυτή, θα συµβολίζουµε µε Α το σύολο ορισµού της συάρτησης f, µε Β το σύολο ορισµού της συάρτησης g και µε Γ το σύολο ορισµού της συάρτησης φ x ) Αισώσεις της µορφής: f(α ) > 0, όπου α (0,) (,+ ) x Βρίσκουµε το σύολο ορισµού D της αίσωσης αυτής Θέτουµε: α = t Έτσι, στο σύολο ορισµού της D, ααγόµαστε στη επίλυση του συστήµατος: t> 0 f (t) > 0 x x x Αάλογα, α η αίσωση είαι της µορφής: f ( α ) 0 ή f ( α ) < 0 ή f ( α ) 0 f(x) g(x) ) Αισώσεις της µορφής: α <α, όπου α (0,) (,+ ) Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D=Α Β Με x D έχουµε: 0 0 f (x) g(x) α> α< α > α < α <α ή ή f (x) < g(x) f (x) > g(x) f (x) g(x) < 0 f (x) g(x) > 0 ( α ) f (x) g(x) < 0 ( ) Επίσης, µε x D,έχουµε: f (x) g(x) α> α< α α ή ( α ) ( f (x) g(x) ) 0 f (x) g(x) f (x) g(x) ) Αισώσεις της µορφής: logφ(x) f(x) < logφ(x) g(x) Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: D= x R x Α Β Γ, f (x) > 0, g(x)>0, ϕ(x)>0, ϕ(x) Με x D έχουµε: { ( ) }

13 Σελίδα από ϕ (x) > ϕ (x) < logφ(x) f(x) < logφ(x) g(x) ή f (x) < g(x) f (x) > g(x) ϕ(x) > 0 ϕ(x) < 0 ή ( ϕ(x) )( f (x) g(x) ) < 0 f (x) g(x) < 0 f (x) g(x) > 0 Επίσης, µε x D,έχουµε: ϕ (x) > ϕ (x) < logφ(x) f(x) logφ(x) g(x) ή ( ϕ(x) )( f (x) g(x) ) 0 f (x) g(x) f (x) g(x) ) Αισώσεις της µορφής: logαf(x) < logαg(x), όπου α (0,) (,+ ) Είαι ειδική περίπτωση της προηγούµεης µορφής µε: φ(x)=α D= x R x Α Β, f(x)>0, g(x)>0 Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι: { } Με x D έχουµε: α> α< logαf(x) < logαg(x) ή ( α ) ( f (x) g(x) ) < 0 f (x) < g(x) f (x) > g(x) α> α< logαf(x) logαg(x) ή ( α ) ( f (x) g(x) ) 0 f (x) g(x) f (x) g(x) Αισώσεις που περιέχου συαρτήσεις της µορφής [ ] g(x) f(x) Οοµάζουµε Α το σύολο ορισµού της συάρτησης f και Β το σύολο ορισµού της συάρτησης g Έας αριθµός x R αήκει το σύολο ορισµό της συάρτηση [ f(x) ] g(x) α, και µόο α, πληροί µία (τουλάχιστο) από τις παρακάτω τρεις συθήκες: x ( Α Β) x ( Α Β) x ( Α Β) i) ii) f ( x) = 0 iii) f ( x) < 0 f ( x) > 0 g( x) 0 > g( x) Z Σηµειώουµε ότι, για κάθε x ( Α Β ) µε f (x) > 0, ισχύει: [ f(x) ] g(x) g(x)logα f (x) =α, όπου α R µε α> 0καια Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: ( x - x ) x- > () Λύση Το σύολο ορισµού καθεµιάς από τις συαρτήσεις µε τύπους: x x και x είαι τοr Έας αριθµός x R αήκει στο σύολο ορισµού της συάρτησης του πρώτου µέλους της αίσωσης (), α, και µόο α : x x= 0 x x< 0 x x> 0 ή ή x > 0 (x ) Z x 0 ή x= 0 x x 0 ή x> ή = ή < < < x< 0 ή x> x > x Z Άρα, το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι: D = (,0 ), + Με x D, έχουµε:

14 Σελίδα από x > 0 x < 0 () (x )log( x x) > 0 ή log( x x) > 0 log( x x) < 0 x > 0 x < 0 ή (x )(x x ) 0 > x x> x x< (x )(x )(x + ) > 0 x> ή - < x< Και επειδή επιπλέο είαι x D, βρίσκοµαι ότι το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S =,0, (, + ) Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: ( x - x ) x- < () Λύση Το σύολο ορισµού καθεµιάς από τις συαρτήσεις µε τύπους: x x και x είαι τοr Έας αριθµός x R αήκει στο σύολο ορισµό της συάρτησης του πρώτου µέλους της αίσωσης (), α, και µόο α : x x= 0 x x< 0 x x> 0 ή ή x > 0 (x ) Z x 0 ή x= 0 x x 0 ή x> ή = ή < < < x< 0 ή x> ή x= x > x Z Άρα, το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι: D = (,0) {}, + Με x= το πρώτο µέλος της αίσωσης () γίεται: ( ) = = Άρα, το είαι µια λύση της αίσωσης αυτής Με x D και x, ισχύει: x x> 0 Έτσι, τότε, έχουµε: x > 0 x < 0 () (x )log( x x) < 0 ή log( x x) < 0 log( x x) > 0 x > 0 x < 0 ή x x< x x> x> x< ή < x< x < ή x> x < ή < x< Έτσι, βρίσκοµαι ότι το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S =, {},

15 Σελίδα 5 από Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: Απάτηση < x< x -x+ ( ) ( ) x +x- x - x + < x - x + () Παραµετρικές αισώσεις Μια αίσωση λέµε ότι είαι παραµετρική αίσωση α, και µόο α, εκτός από το άγωστο x περιέχει και άλλα γράµµατα ( έα ή περισσότερα), τα οποία όµως υποθέτουµε ότι παριστάου δοσµέους αριθµούς Τα γράµµατα αυτά οοµάζοται παράµετροι της αίσωσης Η διαδικασία µε τη οποία, για κάθε συδυασµό τιµώ τω παραµέτρω, βρίσκουµε α υ- πάρχου λύσεις της αίσωσης και ποιες είαι, οοµάζεται διερεύηση της αίσωσης αυτής Ότα µια αίσωση είαι παραµετρική στη λύση της συµπεριλαµβάεται και η διερεύηση Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: x - > x -λ () µε άγωστο το x και παράµετρο το λ R D= x R x λ Με x D, έχουµε: Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι: { } x > 0 x> () () > λ = + λ+ > H διακρίουσα του τριωύµου f (x) είαι: (x ) x f (x) x x ( ) 0 () 5 < 0, αλ > 5 = 9 ( λ+ ) = λ+ 5 = 0, α λ= 5 > 0, α λ < 5 ) Έστω ότι: λ > Τότε < 0 και άρα η () ισχύει για κάθε x R Έτσι,τότε, έας αριθµός x R είαι λύση της δοσµέης αίσωσης, α, και µόο α: x D x λ x λ x> x> S = λ, + Άρα, τότε, το σύολο λύσεω είαι: [ ) 5 ) Έστω ότι: λ = Τότε = 0και : x> x> () () x > 0 x Έτσι,τότε, έας αριθµός x R είαι λύση της δοσµέης αίσωσης, α, και µόο α: x D 5 x x> x x

16 Σελίδα 6 από 5 Άρα, τότε, το σύολο λύσεω είαι: S =,, + 5 ) Έστω ότι: λ < Τότε > 0 Άρα, τότε, το τριώυµο f (x) έχει δύο ρίζες πραγµατικές και + άισες, τις εξής: ρ = και ρ = ( ρ <ρ ) και συεπώς: () x> () ( x <ρή x> ρ) Έτσι,τότε, έας αριθµός x R είαι λύση της δοσµέης αίσωσης, α, και µόο α: x D x λ x> x> ( Σ) ( x ή x> <ρ ρ ) ( x <ρ ή x> ρ) Τώρα, για α συεχίσουµε, θα πρέπει α ξέρουµε τη σειρά µεγέθους τω αριθµώ: λ,, ρ καιρ Παρατηρούµε ότι: (, ) ρ ρ Α f ( ) ( ) 0 λ ρ, τότε: λ =λ λ+λ+ = λ και άρα το λ δε αήκει στο διάστηµα + 5 λ λ λ 5 λ λ 0 λ, άτοπο Συεπώς: λ ρ Έχουµε: 5 λ λ 0 λ=ρ λ= 5 λ = λ λ= 5 λ= ( λ ) α) Έστω ότι λ= Τότε: ρ = καιρ = Και, όπως βρίσκουµε εύκολα, έχουµε: ( Σ) x> Άρα, τότε, το σύολο λύσεω είαι: S = (, + ) β) Έστω ότι λ< Τότε λ<ρ και επειδή f () =λ < 0, έπεται ότι: ρ < <ρ, οπότε: λ<ρ < <ρ Και, όπως βρίσκουµε εύκολα, έχουµε: ( Σ) x>ρ Άρα, τότε, το σύολο λύσεω είαι: S (, ) γ) Έστω ότι έχουµε: = ρ + 5 <λ < Τότε λ<ρ, οπότε: <λ<ρ <ρ Και, όπως βρίσκουµε εύκολα, ( Σ) ( λ x <ρή x> ρ ) Άρα, τότε, το σύολο λύσεω είαι: S [, ) (, ) = λ ρ ρ +

17 Σελίδα 7 από Συοπτικά: 5 λ> : S = [ λ, + ) 5 5 λ= : S=,, + 5 <λ< : S= λ, ρ ρ, + λ : S= ρ, + [ ) ( ) ( ) 5 λ όπου: ρ =, ρ = + 5 λ Συαληθεύουσες αισώσεις Ότα έχουµε δύο ή περισσότερες αισώσεις µε έα άγωστο x ( σύστηµα αισώσεω µε έα άγωστο) και ζητάµε α βρούµε για ποιες τιµές του x συαληθεύου ( αληθεύου µαζί) ( δηλαδή, ζητάµε α επιλύσουµε το σύστηµα αυτό), εργαζόµαστε συήθως ως εξής: α) Επιλύουµε καθεµία από τις αισώσεις αυτές ( του συστήµατος) χωριστά β) Πάω στο άξοα τω πραγµατικώ αριθµώ σηµειώουµε τις λύσεις κάθε µιας αίσωσης γ) Με τη βοήθεια του σχήµατος που φτιάχουµε βρίσκουµε εύκολα τις τιµές του x που συαληθεύου 5 Αισώσεις και Μαθηµατική Αάλυση Μερικές φορές για α λύσουµε µια αίσωση χρησιµοποιούµε τα θεωρήµατα της Μαθηµατικής Αάλυσης x- x Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: (x - ) (x - ) < - () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι τοr Με x R, έχουµε: ( ) ( ) x x x x x () (x ) (x ) < x (x ) (x ) < < x x x (x ) x x x x x (x ) < ( x x ) () Παρατηρούµε ότι και τα δύο µέλη της αίσωσης αυτής προκύπτου από τη συάρτηση f µε x τύπο: f (x) = x, θέτοτας για το πρώτο µέλος όπου x το x- και για το δεύτερο µέλος όπου x το x x Η συάρτηση αυτή είαι ορισµέη και παραγωγίσιµη στοr µε: x f (x) = ln x < 0, για κάθε x R Συεπώς, η f είαι γησίως φθίουσα στοr Έτσι, έχουµε: () f (x ) < f x x x > x x x x+ < 0 < x< ( ) Άρα, το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι το διάστηµα: S = (, ) Σηµείωση Σε πολλές περιπτώσεις, µε τη βοήθεια της πρότασης: «Α µια συάρτηση f είαι ορισµέη και συεχής σε έα διάστηµα και ισχύει: f (x) 0, για κάθε x, τότε η f έχει σταθερό πρόσηµο στο», και µε τη προϋπόθεση ότι έχουµε βρει τις ρίζες της f(x)=0, µπορούµε α βρίσκουµε το πρόσηµο τω τιµώ της f(x), και κατ επέκταση, α επιλύουµε α-

18 Σελίδα 8 από ισώσεις της µορφής f(x)<0 (f(x)>0), επιλέγοτας κατάλληλο αριθµό σε κάθε διάστηµα που σχηµατίζου οι ρίζες 6 Βασικές τριγωοµετρικές αισώσεις Η επίλυση τω τριγωοµετρικώ αισώσεω (αισώσεις που περιέχου τριγωοµετρικές συαρτήσεις) αάγεται συήθως στη επίλυση τω παρακάτω βασικώ τριγωοµετρικώ αισώσεω Η δε επίλυση τω βασικώ τριγωοµετρικώ αισώσεω στηρίζεται στο γεγοός ότι οι τριγωοµετρικές συαρτήσεις: συx, ηµx, εφx ( όπως και σφx) είαι περιοδικές στο σύολο ορισµού τους Οι συαρτήσεις συx και ηµx έχου σύολο ορισµού το R και περίοδο π Η π συάρτηση εφx έχει σύολο ορισµού το R κ κ Z και περίοδο π (η συάρτηση σφx R κπ κ Z και περίοδο π) έχει σύολο ορισµού το { } συx>λ (), συx<λ () - λ, λ=συα, 0 α π Οι λύσεις της () στο διάστηµα ( π, π ] (πλάτους µιας περιόδου) είαι: Οι λύσεις της () στο διάστηµα [ ) α< x<α και όλες οι λύσεις της είαι: κπ-α<x<κπ+α,κ Z 0, π (πλάτους µιας περιόδου) είαι: α< x< π α και όλες οι λύσεις της είαι: κπ+α<x<(π-α)+κπ, κ Z ηµx>λ (), ηµx<λ () - λ, λ=ηµα, π π - α Οι λύσεις της () στο διάστηµα π, π (πλάτους µιας περιόδου) είαι: α< x<π α και όλες οι λύσεις της είαι: κπ+α<x<(π-α)+κπ,κ Z 5 Οι λύσεις της () στο διάστηµα π, π (πλάτους µιας περιόδου) είαι: π α< x< π+α και όλες οι λύσεις της είαι: κπ+(π-α)<x<(π+α)+κπ, κ Z π π εφx>λ (5), εφx<λ (6) λ R, λ=εφα, - <α < π π Οι λύσεις της (5) στο διάστηµα, (πλάτους µιας περιόδου) είαι: α< x< και όλες οι λύσεις της είαι: π π κπ+α< x< +κπ,κ Z π π Οι λύσεις της (6) στο διάστηµα, (πλάτους µιας πε- ριόδου) είαι: π κπ < x<α+κπ, κ Z π < x<ακαι όλες οι λύσεις της είαι:

19 Σελίδα 9 από Σηµείωση Στις παραπάω περιπτώσεις, η επιλογή του διαστήµατος πλάτους µιας περιόδου έγιε κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι λύσεις ετός του διαστήµατος αυτού α είαι έα διάστηµα και όχι η έωση δύο ή περισσοτέρω διαστηµάτω και τούτο για α εκφράσουµε απλούστερα τις λύσεις ε συιστώ α αποστηθίσου οι µαθητές τα διαστήµατα αυτά Είαι εύκολο α τα βρίσκου πάω στο τριγωοµετρικό κύκλο 7 Γεικές παρατηρήσεις και σχόλια ) Το σύµβολο της αισότητας στις αισώσεις Όπως στις εξισώσεις µε το σύµβολο της ισότητας, έτσι και στις αισώσεις τα σύµβολα <,, >, που γράφουµε δε έχου τη έοια τω αισοτήτω όπως τις ξέρουµε στα Μαθη- µατικά Ούτε έχου τις ιδιότητες αυτώ Οι αισώσεις δε είαι αισότητες Για παράδειγµα, το < σε µια αίσωση f(x)<g(x) ούτε ισχύει ούτε ζητείται α αποδειχθεί Οι αισώσεις δε είαι αισότητες συαρτήσεω Αυτό πρέπει α τοίζεται ιδιαίτερα στους µαθητές ώστε α µη ατιµετωπίζου τις αισώσεις σα αισότητες και α µη εφαρµόζου τις ιδιότητες τω αισοτήτω για α λύσου µια αίσωση ( όπως δυστυχώς γράφου τα σχολικά βιβλία) Όπως στις εξισώσεις,έας τρόπος για α εµπεδώσου οι µαθητές τη έοια της αίσωσης είαι α γράφουµε τις αισώσεις ως εξής:? f ( x) < g( x ), f ( x) g( x ) κτλ Ίσως αυτό α είαι κουραστικό Συµφωώ Τουλάχιστο όµως ας τις γράφουµε στη αρχή έ- τσι έως ότου καταλάβου οι µαθητές περί τίος πρόκειται Εγώ αυτό έκαα στα µαθήµατά µου και µπορώ α πω µε επιτυχία ) Το σύµβολο της ισοδυαµίας στις αισώσεις Επισηµαίουµε ότι, το σύµβολο της ισοδυαµίας έχει άλλη έοια ότα το γράφουµε µεταξύ δύο προτάσεω και άλλη ότα το γράφουµε µεταξύ δύο αισώσεω ε είαι σωστό α προσπαθούµε α µάθουµε τους µαθητές, οποιασδήποτε τάξης, α λύου αισώσεις χωρίς α τους έχουµε πει πότε δύο αισώσεις είαι ισοδύαµες, γράφοτας τη µία κάτω από τη άλλη Γιατί, κατ' αυτό το µηχαικό τρόπο, οι µαθητές δε ξέρου τι σχέση πρέπει α έχει κάθε µια αίσωση που γράφου µε τη προηγούµεη Έτσι, έας µαθητής µπορεί α σκεφτεί α γράψει µια δική του αίσωση, άσχετη µε τη προηγούµεη!!! Γιατί όχι; Αφού καέας δε του έχει πει ποια σχέση πρέπει α έχει η αίσωση που θα γράψει µε τη προηγούµεη Ο ορισµός της ισοδυαµίας δύο αισώσεω είαι πολύ απλός και µπορεί εύκολα α καταοηθεί από έα µαθητή, οποιασδήποτε τάξης ε υπάρχει λοιπό καµία δικαιολογία α διδάσκοται οι αισώσεις ( και οι εξισώσεις) κατά αυτό το µηχαικό και λαθασµέο τρόπο, το οποίο, δυστυχώς, βλέπουµε και στα σχολικά βιβλία ) Το σύολο ααφοράς στις αισώσεις Στη επίλυση µιας αίσωσης παίζει πρωτεύοτα ρόλο το σύολο ααφοράς της, όπως και στις εξισώσεις Παράδειγµα Nα λυθεί η αίσωση: - > 0 () x µε σύολο ααφοράς: α) το σύολο N τω φυσικώ αριθµώ και β) το σύολοr τω πραγµατικώ αριθµώ Λύση α) Με σύολο ααφοράς το σύολο N Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι το N * * Με x N, έχουµε: x () > 0 x> 0 x< x?

20 Σελίδα 0 από Άρα, το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S= {,} β) Με σύολο ααφοράς το σύολοr Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι το R * * Με x R, έχουµε: x () > 0 x(x ) < 0 0< x< x Άρα, το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι το διάστηµα: S = (0,) ) Σχετικά µε το βαθµό µιας αίσωσης Σύµφωα µε τους παραπάω ορισµούς, µιλάµε για βαθµό µιας αίσωσης µόο ότα η αίσωση αυτή είαι ακέραια Έτσι, δε έχει όηµα α ρωτάµε ποίου βαθµού είαι, για παράδειγµα, οι αισώσεις: x < + x x, x+ x +, + < 0, log(x ) + log(x+ ) x+ x 5) Εξαφάιση του αγώστου Ότα λύουµε µια αίσωση ( όπως και ότα λύουµε µια εξίσωση) δε πρέπει α εξαφαίζουµε το άγωστο x, γιατί αίσωση χωρίς άγωστο δε έχει όηµα Για παράδειγµα, δε πρέπει α γράφουµε: x > x + > Το σωστό είαι : x > x+ x x> + 0 x > (αδύατη) 6) απαλοιφή τω παροοµαστώ Oι µαθητές, ότα θέλου α λύσου µια αίσωση, για παράδειγµα, της µορφής: f(x) h(x) > () g(x) r(x) συχά κάου το λάθος α κάου απαλοιφή παροοµαστώ και α γράφου τη αίσωση ως εξής: f(x)r(x)>h(x)g(x) Πρέπει α τους τοίζεται ιδιαιτέρως ότι: α) Κατ' αυτό το τρόπο, ουσιαστικά πολλαπλασιάζου και τα δύο µέλη της αίσωσης () µε: g(x)r(x) Αλλά για α είαι σωστό αυτό, σύµφωα µε προηγούµεο θεώρηµα, θα πρέπει α ισχύει: g(x)r(x)>0, για κάθε x που αήκει στο σύολο ορισµού της αίσωσης () ιαφορετικά δε είαι σωστό β) Ο γεικός τρόπος επίλυσης της αίσωσης () είαι ο εξής: Καταρχή βρίσκουµε το σύολο ορισµού της, έστω D Με x D, έχουµε: f(x) h(x) f (x)r(x) h(x)g(x) () > 0 > 0 [ f (x)r(x) h(x)g(x) ] g(x)r(x) > 0κτλ g(x) r(x) g(x)r(x) 8) ιάφορες ασκήσεις αισώσεω Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: x - 8x + x + 8x + < 0 () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι τοr Με x R έχουµε: ( ) ( ) () x 8x + 6x + 7x 8x+ < 0 x x + 7 x x + < 0() Το πρώτο µέλος της αίσωσης () είαι έα τριώυµο ως προς: x x, του οποίου οι ρίζες είαι: και Έτσι, έχουµε: x x 0 x + > (x ) > 0 () < x x<, x x + < 0 (x )(x ) < 0 < x < Άρα, το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι S = (, ) (, )

21 Σελίδα από Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: (x - 6) + (x - 8) 6 () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής είαι τοr Με x R έχουµε: [ ] [ ] () (x 7) + + (x 7) 6 () Εφαρµόζοτας τη ταυτότητα: (A+ B) = A + A B+ 6A B + AB + B µε A= x 7 και Β= και µετά µε A= x 7 και B=, µετά τις πράξεις βρίσκουµε: () (x 7) + 6(x 7) 7 0 (x 7) (x 7) (x 8)(x 6) 0 6 x 8 Άρα, το σύολο λύσεω της δοσµέης αίσωσης είαι: S = [6,8] Σηµείωση Με το ίδιο τρόπο µπορούµε α επιλύσουµε µια οποιαδήποτε αίσωση (ή εξίσωση) µε πρώτο µέλος της µορφής: (x α ) + (x β ) και δεύτερο µέλος έα πραγµατικό αριθ- µό Ο γεικός τρόπος είαι α θέσουµε το πρώτο µέλος υπό τη µορφή: α+β α β α+β α β x + x + και µετά α εφαρµόσουµε τη παραπάω ταυτότητα Παράδειγµα Να λυθεί η αίσωση: x ( x - x + + ) log + ( -x + 8x ) > 0 () 5 5 x Λύση Έας αριθµός x R αήκει στο σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής α, και µόο α: x x+ 0 x> 0 x 0 > x> 0 x x+ 0 (x= ή x=) x x 0 + = x + 8x 6 0 x x+ 0 D=, Άρα, το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι: { } Με x= tο πρώτο µέλος της αίσωσης () γίεται: log5 + = + = 0 και µε x= γίεται: 5 log5 + = log5 + = log5 = log5 log55 = log5 5 > 0, 5 γιατί: 5 > Άρα, η δοσµέη αίσωση έχει τη µοαδική λύση x= Παράδειγµα Να βρείτε τους αριθµούς α R, για τους οποίους η αίσωση: + log x + log αx + x +α ( ) ( ) 5 5 έχει σύολο ορισµού το R και επαληθεύεται για κάθε x R Λύση Έας αριθµός x R αήκει στο σύολο ορισµού της αίσωσης αυτής α, και µόο α: α x + x+α> 0 Έτσι, ζητάµε τους αριθµούςα R, για τους οποίους για κάθε x R ι- σχύου: α x + x+α> 0 α x + x+α> 0 + log5( x + ) log5( α x + x+α ) log55( x + ) log5( α x + x+α) α + +α> ( ) x x 0 x x 0 () α + +α> 5 x + α x + x +α ( α 5)x + x+α 5 0 ()

22 Σελίδα από ) Έστω ότι: α=0 Τότε η () δε ισχύει για κάθε x R ) Έστω ότι: α=5 Τότε η () δε ισχύει για κάθε x R ) Έστω ότι: α 0 καια 5 Τότε: () ( 0, 6 0) α> α < ( α> 0, α > ) () ( α 5 < 0, 6 ( α 5) 0 α 5 < 0, ( α 5) ( 0, ) ( α 5< 0, α 5 ) ( α< 5, - α +5 ) ( ) α> α > α> <α Άρα, οι ζητούµεες τιµές του α είαι οι αριθµοί του διαστήµατος(, ] π Παράδειγµα 5 Nα λυθεί η αίσωση: ηµ x +ηµ x + < () Λύση Το σύολο ορισµού της αίσωσης είαι τοr Με x R, έχουµε: π συ x x + συ συ x +ηµ x () + < + < π π π π συx ηµ x> συx εϕ ηµ x> συxσυ ηµ xηµ >συ π π συ x+ >συ () π π π Οι λύσεις της () στο διάστηµα ( π, π ] είαι: < x+ < και όλες οι λύσεις της, που είαι και οι ζητούµεες λύσεις της (), είαι: π π π π κπ < x+ < κπ+ κπ < x <κπ, κ Z Παράδειγµα 6 Nα λυθεί η αίσωση: log συx + log ηµx () ηµx συx π µε σύολο ααφοράς το διάστηµα 0, π Λύση Για κάθε x 0, ισχύου: 0 <συ x < και 0<ηµ x< Έτσι, το σύολο ορισµού π της αίσωσης αυτής ταυτίζεται µε το σύολο ααφοράς της 0, Με x 0, π, Έχουµε: logσυx logηµ x () + [επειδή( logηµ x)( logσυ x) > 0 ] logηµ x logσυx ( ) συ + ηµ συ ηµ συ ηµ log x log x log x log x log x log x 0 π logσυ x= logηµ x συ x=ηµ x εϕ x= x= π Άρα, η µοαδική λύση της δοσµέης αίσωσης είαι x=

23 Σελίδα από ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ τους συαδέλφους: ηµήτρη Χριστοφίδη, Γιώργο Τασσόπουλο και Νίκο Ατωόπουλο για τις εύστοχες παρατηρήσεις τους ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Θ Ν Καζατζή: «ΑΛΓΕΒΡΑ», τόµος Κ Καµπούκου Γ Τασσόπουλου: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ» Σ Γ Καέλλου: «ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ» A Κ Κυριακόπουλου: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ» 5 A Κ Κυριακόπουλου: «ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ» 6 A Κ Κυριακόπουλου: «ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ», τόµος 7 Π Ν Μάγειρα: «ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ» 8 VVVavilov, I I Melnikov, S N Olekhnik, P I Pasichenko: «EQUATIONS AND INEQUALITIES» 9 G Dorofeev, M Potapov, N Rozov: «ELEMENTARY MATHEMATICS» 0 John M H Olmsted: «THE REAL NUMBER SYSTEM» Περιοδικό της ΕΜΕ: «ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Β», τεύχος 0, άρθρο Γ Τασσόπουλου Περιοδικό της ΕΜΕ: «ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Β», τεύχος 8, άρθρο Γιάαρου wwwmathematicagr Αθήα -6-0