Računanje sa približnim brojevima

Transcript

1 čuje s prblžm brojevm. IZVOI GEŠK Hemjsko-žejersk prorču u opštem slučju obuhvt dve e: Formulsje eophodh jedč mtemtčkog model ešvje mtemtčkog model Nek je lj prorču određvje eke velče, koj je ukj prmetr promeljvh koje guršu u mtemtčkom modelu. Ivor grešk u proesu rešvj problem mogu se prkt sledećom šemom, u kojoj svk ved u ekspoetu tržee velče očv prsustvo greške u jeoj vredost, koj potče jedog od vor: stvr proes mtemtčk model mtemtčk model s prblžm prmetrm umerčko rešeje mtemtčkog model delom rčuru umerčko rešeje mtemtčkog model relom rčuru (, b,,...) (, b,,...) (, b,,...) (, b,,...) (, b,,... )

2 Tko se mogu uočt sledeće greške:. grešk mtemtčkog model, koj uvek mje l vše odstup od tčog ops relog proes. grešk usled prblžh vredost prmetr, čje tče vredost su pote. grešk umerčkh metod prblžo rešvje mtemtčkog model 4. grešk rčuj bog ebežh okružvj međureultt E - E - E - E 4 - Z ukupu grešku mmo: Prmer: 4 E E (.) U protvstrujom mejvču toplote hld se ekstrkoo ulje od temperture T do temperture T, hldm uljem koje se pr tom greje od temperture θ do temperture θ. Potrebo je odredt eophodu površu mejvč toplote, (m ) hlđeje F(kg/h) ulj, speče tople p : F T p T K T dt ( T )( T θ( T )) gde je tempertur rshldog ulj, θ u podtegrloj ukj, osovu eergetskog bls, jedk θ θ T θ T ( T T ) θ θ F T T θ Grešk model: postoj, jer model uključuje uprošćujućh pretpostvk, među ostlog : em rdjlh prome temperture em rmee toplote s okolom speč toplot ulj se e mej s temperturom krterjle jedče određvje koejet prel toplote rd rshld lud su tče

3 Grešk koj potče od grešk prmetr: vredost čkh prmetr koj se korste rčuvje koejet prol toplote K T : gust, speč toplot, vskotet ulj, koejet provodljvost toplote d ev ulje, td. odstupju od tčh (stvrh) vredost. Grešk umerčke metode: grešk trpee ormule prblžo (umerčko) rčuvje vredost tegrl : T dt I K T T T ( T )( T θ( T )) T ( T ) dt (T) I I I I I 4 Grešk trpee ormule prblžo određvje I I I I I 4 T T T Grešk rčuj: Ko što ćemo se uvert u poglvlju.5, ov grešk, pr vođeju prorču rčuru je emrljv u odosu prethode.. OSNOVNI POJMOVI I EFINICIJE Z ek broj kže se d je prblž ko se eto rlkuje od jegove tče vredost, koju jčešće e mo. Grešk prblžog broj je rlk: - Gr psolute greške, je broj koj je mj od psolute vredost jegove greške: (.) Tko je tervl brojoj prvoj u kome lež epot, tč vredost :

4 Prmer: π π < < 0.00 π 0.00 eltv grešk prblžog broj je kolčk odstupj prblže vredost: δ (.) Kko je δ Ko gr reltve greške um se kolčk : (.4) Prmer: π π π π 0.% < 0 Prkvje brojev Oblk s ksrom demlom tčkom u brojom sstemu s osovom gled: u rvjeom oblku predstvlj br: { 0,,..., } ±α α... α0. α α... α m, α (.5) ± ( α α 0 m... α 0 α α... α m ) ± α m Prmer: ( ) α 4, α,..., α 4

5 Spejl slučjev: ko α 0 : α m 0 α k 0, α 0 0: k > m > 0 eo broj s r deml broj s m deml prv rlomk U oblku s pokretom demlom tčkom (ekspoejl oblk), broj se prkuje ko provod jedog broj u oblku s ksrom demlom tčkom odgovrjućeg elobrojog stepe osove sstem. Prk je jedoč. Prmer: { predekspo 44 ejl elobroj ktor stepe osove Normlov ekspoejl oblk je jedočo des ko: E ± M 0 M ekspoet, eo broj E mts, koj je prv rlomk, 0. M < (.6) Prmer: , M , E Zčje re broj Zčje re ekog broj su sve re tog broj u oblku s epokretom tčkom, počev od prve re slev, koj je rlčt od ule. Prmer: Po 5 čjh r mju brojev:.84, , 0.00 g teže mere ltčkoj vg s tčošću 0 4 prvlo se prkuje ko: ( je re ± g kle,» dese«ule u demlom delu broj se smtrju čjm to se prkuju smo ko ose čju ormju ( prmer, ko su reultt merej)! 5

6 U ormlovom ekspoejlom oblku broj, sve re u demlom delu mtse su čje! Prmer: ( je re 0 Pr prkvju elh brojev u oblku s ksom demlom tčkom, eophodo je držt dese ule ko oe e ose kkvu ormju su čje, već služe smo čvje red velče broj. b se prkle smo čje re, eophodo je d se tkv eo broj prkže u ormlovom ekspoejlom oblku Prmer: ko je u broju smo ul čj, to se može čt prkvjem broj u oblku: Sgure re broj Cr k dekdog broj u oblku s ksrom demlom tčkom je sgur: u užem smslu, ko je u šrem smslu, ko je 0 0 k 0.5 (.7) k (.7b) dkle, ko gr psolute greške e prevl polovu mese vredost (0 k ) te re (už smso) odoso mesu vredost te re - šr smso. Sled, ko je k sgur r, sgure su sve re levo od je. Zdtk. Odredt broj sgurh r u broju , s grom psolute greške, 0-4. ešeje: , 0-4, s? 4 4 ( 0 0 k 4, s u srem smslu 4 ( k, s u uem smslu Prmer: U šrem smslu U užem smslu s s s s s s 6

7 ekd broj prk u ormlovom ekspoejlom oblku m s sgurh r ko, ω 0 E s (.8) s - jve eo broj koj vž ormul ( 0.5 u uem smslu to, ω ( u srem smslu Prmer: E s s s u užem smslu s s u šrem smslu Zdtk. Kolko sgurh r m vredost prtsk p. br, dobje merejem s reltvom greškom p % 0.0. ešeje: E p p p br p s - - s s u užem smslu Prvlje prk vredost prtsk, koj sdrž smo sgure re: p. br Gr psolute greške broj sgurh deml ko je poto d ek prblž broj m d sgurh deml, č d posledju d ru, čj je mes vredost 0, vž (.7,b): d ω0, ω 0.5, (.9) dobl smo ormulu gru psolute greške broj sgurh deml u užem (ω 0.5) l šrem (ω ) smslu. Prmer: Nek su u tbel termodmčkh podtk eku supstu, jee guste ρ dte s demle, koje su sgure u šrem smslu. Gr psolute greške dth gust je: 0 ρ 7

8 .. GNIC ELTIVNE GEŠKE I OJ SIGUNIH CIF Gr reltve greške broj sgurh r Nek broj m s sgurh r. Kko, korsteć smo tu ormju, e vredost broj, proet gru jegove reltve greške? ko u ormulu (.4) umesto gre E s psolute greške memo, u skldu s jedčom (.8), ω 0 broj prkžemo u ormlovom ekspoejom oblku, gru reltve greške dobjmo: ω 0 0 M E s E Kko je jmj moguć vredost mtse jedk 0., smeom te vredost umesto M dobjmo tržeu proeu reltve greške, s ω 0 (.0) gde se ω um 0.5 l u vsost d l su re sgure u užem l šrem smslu. Jso je d će ormul (.0) u opštem slučju dt veće proee reltvh grešk od oh b se doble gre psolute greške vredost broj (.4). Pokl smo d je reltv grešk u drektoj ve s brojem sgurh r, dok je psolut grešk u drektoj ve s brojem sgurh deml Zdtk. Istrumet dje vredost prtsk s tčošću od dve sgure re u užem smslu. Proet gru reltve greške mereh prtsk. ešeje: % Uporedte ovj dtk s prethodm! roj sgurh r gre reltve greške Nek je gr reltve greške prblžog broj treb proet broj jegovh sgurh r s u užem smslu.u ptju je problem obrut prethodom pokćemo d jegovo rešvje je korekto korstt jed. (.0). U skldu s dejom (.8), to je jveć eo broj s kog vž: odoso, M E E s 8

9 0.5 0 e b preel broj sgurh r, eophodo je uet doju gru ko vredost s epotog broj 0.5/ M, kojm se mož stepe 0 : M s s (.) kle, ko proeu broj sgurh r u užem smslu ummo jveć eo broj s, koj dovoljv relju (.). Očgledo je d jed. (.0) može d pree broj sgurh r ( već od stvrog ). Prmer: Nek je vredost 50 određe s grom psolute greške 0.. Korsteć jedču (.7) l (.8), dobjmo d je s, u užem smslu. Gr reltve greške prblžog broj je : 0./ 50 0 < ko b korstl jedču (.0) proeu broj sgurh r, dobl b ekorektu proeu s. I relje (.) sled korekt proe s. U dljem tekstu će se pod sgurm rm smtrt sgure re u užem smslu, ko je glšeo d su u ptju sgure re u šrem smslu. Prmer: ko prblž broj m gru reltve greške 0.%, mmo p proejujemo d m sgure re..4. POCENJIVNJE GEŠKE FUNKCIJE Problem: t je ukj promeljvh (), gde je (,,..., ). Potrebo je proet grešku vredost ukje, koj je stl meom tčh vredost rgumet,,..., prblžm vredostm,,...,. Ukrtko, dto je (,,...,), trž se gr psolute greške ukje, koju vž: ( ) ( ) ( ) Prmer: Utj. vod grešku ukje jede promeljve, () ( ). 9

10 Itervl u kome lež tč vredost ukje Itervl u kome lež tč vredost ev. promeljve: - Prv vod ukje je, ko što mo, mer osetljvost vredost ukje promee vredost evso promeljve. Zto, gr psolute greške ukje je utolko već ukolko su vredost jeog prvog vod u tervlu - veće po psolutoj vredost. Ler proe greške ukje, se br me prrštj ukje, koj potče od mlh poremećj vredost rgumet, totlm derejlom, d: ( ) ( ) ( ) d ( )( ) Pošto je: ( )( ) ( ) usvjmo: ( ) (.) j j Prmer: U slučju ukje jede promeljve, d d ( ) 0

11 gb: ( ) Pr proejvju gre psolute greške ukje prmeom ormule (.), kod usvjj koče proee korst se prp mjorje (uvećvje) Pr tom, jčešće, koč proe se usvj s preošću od jede čje re to, u skldu s dejom sgurh r (7,b), u oblku 0 k l k. Zdtk.4 Proet, dte prblže vredost gre psoluth grešk rgumet, gru psolute greške dtog r. ešeje:.5, 0.0,.4, < ;..5.4 < , < < < 0.05 (mjorj!) 0.05 Spejl slučjev ukj lgebrsk br (sbrje odumje) () ± ± ±... ± ± ; (.)

12 l opštje: ) ( ; (.b) gde su (,...,) tč brojev. Provod stepe C K ) (, Nek su C (,..., ) tč brojev : 0 C ) ( ; (.) Možeje deljeje ( ), / (, -) I (.): (.) Stepeovje tčm brojem I (.) (.4)

13 Z >, <, > < ( pr. stepeovje elm brojem) ( pr. koreovje) Logrtmovje log log e log e (.5) e, (.5) 0, 0.44 Zdtk.5 S kolko sgurh r je moguće rčut gustu etle ormule ρ pm T s podm: p 56 tm p 0.% 0.00 T 95 K T 0.5 K 0.75 s 4 M 8.05 g/mol ltm/molk Podtke o molroj ms uverloj gsoj kostt smtrt tčm. ešeje: 0 0 ρ p T M T T T < < ρ p M ρ 88.59g / l T < 0.5g / l s ρ < 0 Tko, reultt prkujemo ko: ρ 89 g/l (posledj r je sgur) l evetulo ko ρ 88.6 g/ l

14 U redm dm ostvćemo očvje prblžh vredost vedm. Zdtk.6 Koejet prol toplote, k među vode koj se grev sćee pre ko grejog lud u evom mejvču toplote, određuje se merej pomoću ormule : MC p Tv k S T sr M protok vode koj se grev, kg/s C p sredj speč toplot vode, J/kgK T v rlk le ule temperture vode T v T T, 0 C S grej površ mejvč toplote, m T sr - sredj pogosk sl rmee toplote u mejvču, 0 C, T T Tsr Tp Tp Ts T p tempertur greje pre T T s sredj tempertur vode u mejvču, T T s Ivest sledeće ormule proejvje gre reltvh grešk rlke tempertur T v pogoske sle T sr, koje potču od reltve greške T strumet mereje temperture vode (temperturu pre smtrt tčom velčom) : Tv T s T Tsr T T Ts T T p s T b) Z sledeće meree vredost: M 0 kg/m, C p 487 J/kg 0 C, S.6m, T p 0 0 C, T 5. 0 C, T C rčut koejet prol toplote, osovu sledećh ormj o greškm merej: M 0.0 kg/m, S 0.0 m, T 0.% odredt gre u kojm se očekuje jegov tč vredost. Pr tom vredost speče toplote temperture pre smtrt tčm. ešeje: ) T v T T T v T T ( T T ) T Ts T Tv T Tv v Ts T T T Ts ( T T ) T T T sr sr T p T s b) 4

15 kg kg T `T 0 M Tsr Tp 64.7 C m s MC p Tv W W k S T m K m K sr T v T T C Gre u kojm lež tč vredost k su k k k k, p je eophodo proet gru psolute greške rčute, prblže vredost k. Pogodo je tržeu psolutu grešku, obrom strukturu r k, rčut prethodo proejee reltve greške: k M T v S T sr M M M 0 T S s s S < 0.0, T T < 4.5 0, Tsr v T S T T Tp Ts T <.4 0 k 0.09 k 5.95 < 6W k k m K Kočo trže tervl u kome lež tč vredost koejet prol toplote je: [07,9] Zdtk.7 Potrebo je mereh koetrj rektt, preme rekoe smeše u delo mešom protočom rektoru protok rekoe smeše odredt kosttu bre epovrte rekje : produkt, poleć od bls rektt : 0 C C kcc, V F ( V prem rekoe smese ( Fpremsk protok rekoe smese ) Pretpostvljjuć d je počet ul koetrj rektt, C 0 tč, vest sledeć r gru reltve greške određvj kostte k, u ukj stepe koverje rektt, : gde su k C V V F C koetrj rektt ( ) C C C F, 0 C C C 0, gre reltvh grešk merej preme, protok lh. Proet grešku stepe koverje 0.7, ko su gre reltvh grešk merej koetrj, preme protok: %, 0. 5%, 5%. C V F 5

16 b) Može l se do koje gre smjt gr reltve greške kostte k, pogodm borom stepe koverje, pr dtm greškm merej koetrj, preme rekoe smeše protok? ešeje:. I blse jedče: 0 C C k C C F V 0 C C C gde je uvede sme: 0 C C C C F V C Z reltvu grešku, prmejujuć jedču (.) dobjmo: k C V F F V C C C C ( C C ) C C 0 C C k V F Z dte greške stepe koverje vedee ormule dobjmo: < 9% b) Uočvmo d je u oblst desost ( 0 ), k opdjuć ukj stepe koverje, p se jmj grešk dobj ko sv rektt reguje,, pr dtm greškm preme protok o os 8%. k Prvl rčuje proejvje tčost reultt Mogu se ormulst sledeć skustve prvl vođeje ekog složeog prorču u pomoć klkultor:. eultt m jvše oolko sgurh r kolko m podtk s jmje sgurh r.. Međureultte rčut s čjom rom vše od proejee tčost reultt. Pr tom, ko je trže tčost reultt k sgurh r, podtke treb uet s k sgurom rom. 6

17 ko jmje tč pod mju s sgurh r, ostle podtke treb uet s s (jvše s ) sgurh r prmejvt prvl okružvj.. I prethod dv prvl sled prvlo prblžo proejvje broj sgurh r reultt ekog složeog prorču: eultt m oolko sgurh r kolko jmje tč pod, l jedu sguru ru mje. Treb glst d vede prvl vže smo stble rčuske proese, koj su prće kumuljom eekt grešk okružvj, tj. gubtkom sgurh r u toku rčuskog proes (poglvlje.7). Zdtk.8 Vredost speče toplote pet t 5 0 C ormlom prtsku, u kojoj su sve dte re sgure, je C p 0.56 kl/kgk. Prerčut dtu vredost u SI sstem jed. Kovero ktor je kj/kl. ešeje: roj sgurh r u vredost C p, s. Kovero ktor ummo s jedom čjom rom vše: 4.87 C p kj/kl Uećemo d je broj sgurh r dobjeog reultt, u skldu s. prvlom, jedk broju sgurh sr mje tčog podtk: s. Tko, prvlo prk reultt koverje: C p. 4kJ kgk m st broj čjh r ko pol vredost. Zdtk.9 Protok etle, Q (kg/h) u pogou provodje poletle se rčuv meree sredje bre etle, w (m/h) prgušom pločom jegove guste, π Q wρ ; w C p ; 4 koj se rču mereh vredost prtsk temperture odgovrjuće tbelre vredost koejet stšljvost, (Zdtk.5). Z podtke dte u Zdtku.5, m C 000, 0.m ± 0.05mm, p 66mmVS ± 0.mmVS ( mm vodeog stub) h mmvs proet protok broj jegovh sgurh r, korsteć leru proeu greške ukje. Vredost kostte prguše ploče, C smtrt tčom. Uporedt proeje broj sgurh r s om koj b se dobo prmeom prvl proejvje tčost ekog reultt. ešeje: U dtku.5 smo dte uslove tbelru vredost odredl gustu gru jee reltvu greške: ρ 88.6kg / m, ρ 0 protok etle rčumo : 7

18 Q C π p 4 ρ kg h Q w ρ w < 0 p < 5 0 Q Q Q Q kg / h s s U polm podm rčuje protok, broj sgurh r je: pod s 4 p ρ prem emprjskom prvlu, broj sgurh r u rčutom protoku b tkođe dobl..5 ONUT POLEM POCENE GEŠKE Problem: Proet dovoljee gre psoluth grešk rgumet,,,... d b se vredost ukje (,,..., ) dobl s dtom grom greške, ε. Treb odredt vredost uslov: () ε (.6) Problem je mtemtčk određe (broj epoth jedk broju uslov) smo : d d ε ε ( ) 8

19 U slučju >, d b se problem učo mtemtčk određem, prmejuje se jed od tr prp (pretpostvk): Prp jedkh utj Pretpostvk:... λ Poleć od jedče (.6) vodmo: ε λ ε λ, ε Prp jedkh psoluth grešk ε,,,..., (.7) Pretpostvk:,,..., ε ε (.8) Prp jedkh reltvh grešk Pretpostvk:... 9

20 , ε ε,,,..., ε,,,..., (.9) (.9b) Pr proejvju dovoljeh grešk rgumet, prmeom ekog od tr ops metod, prmejuje se prp morje (umjvje). Zdtk.0 Fktor stšljvost etle se mereh vredost prtsk, guste temperture, određuje po ormul: Mp, M 8.05, 8.5 kj/kmolk ρ T Podtke M smtrt tčm. Gre u kojm se kreću vredost prtsk, guste, tempertur su: p br, T K, ρ kg/m U pretpostvku d strumet mereje guste, prtsk temperture mju stu tčost (jedke reltve greške), odredt kolko je eophodo d budu tč ( p T ρ?), d b se ktor stšljvost dobo, ) s grom reltve greške 5% b) s grom psolute greške 0.05 kg/m ešeje: Prmećemo jedču (.9): p p ε T p, T, ρ T ρ ρ ε jer: p p T T ρ ρ Mp ρt ) ε p, T, ρ > 0.05 p, T, ρ.5% (morj!) 0

21 b) p, T, ε ρ (morj!) m m M p ρ T m m m p, T, ρ 0.08 > p, T, ρ.5% Zdtk. Treb rčut vredost ukje (,) (l s ) 4.8, 0 0 s 4 sgure re. Odredt potrebu tčost rgumet, tj. gre reltvh grešk, to s preošću od jede čje re. ešeje: 4.8 l 4.8 s s 4 0.5, 0 π 60 ε (l s ) 6 (l s [ l 4.8 s( 0 0 ) 0.5] 00.4 ) os, 4.8 os (0 0 ) 4.75 ) Prp jedkh utj ε ε , > >

22 b) Prp jedkh psoluth grešk ε ( ) ε ( ) , 0 5 > > ) Prp jedkh reltvh grešk ε > Zdtk. I kube jedče (,, ) ( ) ( ) 0 () koj sled Peg - obso jedče stj, se dte vredost temperture prtsk, kojh se po odgovrjućm ormulm prethodo rčuju vredost prmetr, mogu rčut koejet stšljvost ključle tečost, L sćee pre, V eke supste ko jmj jveć od tr rel kore. Z mojk, tčk ključj: T 7.5 K p 6.05 br vredost prmetr su: 0.94, , odgovrjuće vredost koejet tečost (L) pre (V), v L su dobjee ko jveć jmj od tr kore jedče () - vd sku. L V

23 Pod pretpostvkom d jedč tčo opsuje promee koejet stšljvost tečog prog mojk duž lje ključj, treb odredt s kojom grom reltve greške je eophodo povt vredost prmetr, d b se, L, V mogl dobt s greškom mjom od 0.%. ešeje: Immo slučj d ukj (,) je des eksplto, već mplto. Potreb su m vod, mplto dte ukje: (,,) 0, čje se vredost dobjju rešvjem kube jedče (). Podsetmo se lžej prjlh vod mplte ukje 0 ), (. ererjem obe stre te jedče po : 0 odtle: kle:, ) (6, ) ( ε ε ε, Z pru u ( ):.74, ,.65 0 (0.05%) , > Z teču u 4 4, : ) ( > (0.05%)

24 Zdtk. esoov ormul proejvje molske preme, v b (m /mol) supste ormloj tempertur ključj vredost jee krtče preme, v (m /mol) krtčog prtsk, p (br) gls: v vb (sve re u vredostm kostt su sgure) 08. l p 979. U pretpostvku d esoov model korekto opsuje veu među vb, v p, ) Proet molsku premu ormloj tempertur ključj opropllkohol, čj su krtč prmetr, v 0 m /mol, p 47.6 br (sve re u vredostm su sgure) broj sgurh r u reulttu. lrt reltve utje grešk pojedh prmetr u esoovom ru grešku reultt. b) Odredt s kojom grom reltve greške treb povt vredost krtčh prmetr eke supste d b v b proel s psolutom greškom mjom od 0.5 m /mol, ko esoov ormul vž u oblst: 0 p 50,00 v 500 ešeje: ) v 0 vb 8.87 l p b 0.8l( 47.6).979 Prem emprjskom prvlu, dtom krju prethodog poglvlj, broj sgurh r u reulttu je (kolk je broj sgurh r u vredostm p v ), p b korekto prk reultt bo: v b 8.9m mol Proećemo broj sgurh r reultt b lere proee greške: vb gde su: b v l p b v v p p v ( ) b ( ) v p l p b l p b l p b p ( l p b) Z dte podtke: 7.7, 0.47, 0.7, 0.7 b v p gru psolute greške reultt dobjmo: v b 0. < 0. 5 Tko je posledj sgur r u reulttu v b 8.87m mol r mestu jed, p je broj sgurh r s. Zmljvo je uporedt doprose grešk pojedh prmetr u ru v b ukupoj psolutoj grešk reultt: 5.9 0, b b.5 0, v.9 0, v p p v 4

25 Očgled je domt utj greške krtče preme v, koj je jed l dv red velče već od dopros grešk ostlh prmetr, p se jhov utj mogu emrt. Zst, emrujuć utj ostlh prmetr gru greške b dobl: 0.9 < 0.5, tj. proeje broj sgurh r b opet bo. v b b) ko prmetre b, smtrmo tčm, odoso, u skldu s prethodom lom, emrmo jhov dopros grešk v b, tržeu gru reltve greške v p ćemo dobt ormule (.9): 0.5 v v p p Pošto su psolute vredost prjlh vod v, p ukje v p, postvlj se ptje koje vredost krtčh prmetr rčut. To je, u skldu s prpom morje, oj pr vredost koj m mmum, odoso meo u ormul v v v v p p l p b ( l p b) m mksmum, u dtoj oblst u kojoj se esoov ormul prmejuje. Pošto vredost meo rste s v, opd s p, ćemo rčut u tčk v 500, p 0 : v p v p v l p 500 b 0.8l v ( 0) ( l p b) ( 0.8l( 0).979) Usvjmo, u skldu s prpom morje, % d provere, rčućemo v u tčk v 500, 0 b p s usvojeom grom reltve greške krtčh prmetr. objmo proeu v b 0. 46, što potvrđuje d su koršće uprošćej u postupku oprvd..6 NSTJNJE GEŠK U TOKU ČUNSKOG POCES Vredost ekog složeog r (ukje) u rčuru se dobj kork po kork, tj. ko reultt osovh rčuskh operj (kork). eultt svkog pojedog kork, sem posledjeg u u je međureultt, koj ul ko operd u red kork. 5

26 Pre o što uđe u operju u redom korku, o se prvremeo memorše pr tom, u opštem slučju, trp okružvje (l jedostvo, odseje) bog ogrčeog broj čjh r koj se može regstrovt u memorjskoj lokj. Kočo, reultt posledjeg kork trp okružvje (odseje). Tko rčut vredost eke ukje (,,... ) eće bt tč, kd su pol pod (,,... ) ssvm tč, bog grešk okružvj (l odsej) u toku rčuskog proes. Memorsje brojev u rčuru-mšsk brojev I tehčkh rlog, brojev se u rčuru reluju u brom l evetulo u bro kodrom oktlom l heksdekdom brojom sstemu. U okvru progrm mejeh rm žejerskm prorčum, regstrovje relh brojev je orgovo u ormlovom ekspoejlom oblku (6): e e j m ± b j E j ± M ± (.0) Vdmo d je relj relh brojev des s tr prmetr: broj osov, broj r demlog del mtse, tj. broj čjh r m broj r ekspoet, e. Prmer: Ko što mo, rel brojev se u okvru progrmskh jek SIC, FOTN PSCL predstvljju u brom brojom sstemu,, kptet memorjske lokje brojeve obče tčost je 4 bjt, od kojh je jed meje regstrovju ekspoet jegovog k, preostl tr bjt regstrovju demlog del mtse (čje re broj) k broj: E tov k M Pr tom, egtv ekspoet se prkuju ko - komplemet odgovrjućh potvh brojev.tko su vredost ostl dv prmetr: e 8 7, m 8 rojev oblk (.0) dto,m e se ovu mšsk brojev. Skup svh mšskh brojev očćemo s M(,m,e). U dljoj dskusj ćemo se ogrčt slučj, tj. bre mšske brojeve. 6

27 Prmer: Z opso regstrovje brojev kod progrmskh jek, mšsk brojev prpdju skupu M(,,7) elj brojh vredost u rčuru (pol pod l međureultt) može se posmtrt ko preslkvje skup relh brojev, u skup mšskh brojev M. Pošto je skup mšskh brojev koč prebrojv, skup relh brojev beskoč eprebrojv, jso je d to preslkvje m ogrčej (vd sku) vmo g redukovo preslkvje (γ): γ: M (.) Z M MM Q skup relh brojev Q skup rolh brojev Z skup elh brojev M skup mšskh brojev Iteru l mšsku vredost ekog broj, koju dobjmo prmeom redukovog preslkvj opsujemo ko γ. Mogu se odredt jmj, m jveć, m po psolutoj vredost rel brojev, koj se mogu (tčo) regstrovt u rčuru : ( E ) ( ) ( ) m ( ) m E m M, m m M m Z M(,m,e), jveć mts jveć ekspoet se dobjju ko, m ( M ) ( ) e m E m Njmj mts, u skldu s dejom mtse je ( ) 0. M m jmj ekspoet (egtv eo broj, velk po psolutoj vredost), mjuć u vdu d se egtv brojev regstruju ko -komplemet: e ( ) E m 7

28 Prmer: Prblže dekde vredost m m u M(,,7) su: ( M ) (0.{...) ( ) m bjt bjt 7 ( ) ( ) ( ) E m ( ).70 m m Tko se u rčuru, brojev mj od - m regstruju ko - m sv brojev već od m ko m ( rthmet overlow) brojev, po psolutoj vredost mj od m, regstruju ko ule (evetulo ± m ) kle, ko skup relh brojev, podelmo podskupove sledeć č: ( (-,- m ) [- m, - m ] (- m, m ) [ m, m ] ( m, ) - možemo d pšemo: γ γ γ 0, m m,, - - m - m m m 0 N brojev podskupov - se u opštem slučju emogu tčo predstvt u rčuru jer je kptet memorjske lokje ogrče m brh čjh r (jedč.0). Tko se rol brojev beskoč perodč rlom e mogu tčo regstrovt. Prmer: U skupu M(,,7), mogu se regstrovt prvh čjh r broj u jegovom brom oblku. To je prblžo prvh 7 dekdh čjh r stog broj jer je:

29 Ukolko tč vredost broj u brom oblku m vše od m čjh r, E ( ) ± 0 m m m prlkom jegovog memorsj se vrš odseje l okružvje m čjh r. Prmer: Z M(,,7) mmo: γ ( 0.5) 0.5, γ( ) 0., γ( ) u odseje ( u okruve u odseje γ ( 0.) jer je ( 0.) ( ) u okruvje ( ( besko perod deml broj U progrmskm jem SIC, FOTN PSCL moguće je brojeve regstrovt u tv. duploj preost, kd se broj gžuje umesto 4, duplo vše, tj. 8 bjtov od tog se 5 bt korst regstrovje mtse, m 5, tj. mmo M(,5,0), što obebeđuje d se brojev regstruju s preošću od 5 dekdh sgurh r (. 0 < ). Pot sotversk pket Mthd Eel tkođe rde u M(,5,0). Prmer: U okružvje, ter vredost rolog broj bće: γ ( ) u u M M (,,7) (,5,0) Grešk redukovog preslkvj ko se pr memorsu relog broj o, odoso jegov mts okružuje m dekdh čjh r, tj. prblž vredost mtse M dobj po prvlu okružvj: M odbče deo mtse će bt: gde deml broj: m m 0 m ko je ko je m m < 5 5 m m ( 0....) 0 g m m... m m 0 9

30 g ( 0 ) 0. m m... g < m osobe mtse. Grešk redukovog preslkvj mtse je tko ( ) M M m g 0 ( g 0 ) m ko je ko je m m < 5, tj. 5, tj. g < 0.5 g 0.5 u svkom slučju, po psolutoj vredost je mj od m. kle, grešku redukovog preslkvj broj vž : E E m M M p gru psolute greške okružvj možemo d usvojmo: E m (.) Zč d, u pretpostvku d je broj tč, svh m čjh r jegove tere vredost su sgure re. Kočo, jedče (.0) dobjmo gru reltve greške okružvj: m (.b) logm postupkom, lko je vest sledeće proee psolute reltve greške odsej: E m 0 (.) m 0 (.b) Greške rčuskh operj eultt eke osove rčuske operje (,,, :), bog ogrčeog kptet memorjske lokje u koju se uos, u opštem slučju je tč. Tko ko je tč reultt operje, rultt u rčuru će bt : ( r) ( )( r) γ r gde je r reltv grešk, des ovde ko kolčk odstupj tče vredost. Nje psolut vredost je jvše jedk vedeoj gr reltve greške redukovog 0

31 preslkvj (jedče.b,.b). kle u kompjuterskoj rtmet se operje,,, : vode s ogrčem brojem čjh r, m bog tog se vju pseudoperje. Pr rčuvju vredost složejh r, ustopo se vode umesto prvh, pseudortmetčke operje, p u kompjuterskoj rtmet e vž ko sojtvost operje sbrj možej ko ko dstrbutvost možej u odosu sbrje. Prmer: eultt sbrj tr broj, S u rčuru će vst od redosled sbrj. Tko će se u opštem slučju, sumu S dobt rlčt reultt od oog sumu S. Sume se rčuju u dv kork - pseudosbrj, s memorsjem reultt to: prv sum ko : ( ) drug sum ko ( ) Pošto će greške u prvoj pseudooperj bt u opštem slučju rlčte jedu drugu sumu (vse od velče brojev koj se sbrju), dobjee sume eće bt jedke. Prmer: U kompjuterskoj rtmet e vž U U gde su: U ( ), U. Vredost U je reultt jedog odumj jedog možej, s međumemorsjem, dok se U rču u tr kork, dv možej jedo odumje s dv međumemorsj u opštem slučju greške t dv rčusk proes će se rlkovt. Prostrje grešk u rčuskom proesu eultt ekog složeog rčuskog proes u koj, ko pod, ule vredost promeljvh,,... možemo smtrt ekom ukjom (,,... ). obje vredost posmtre ukje, u slučju kd su vredost rgumet,,... potpuo tč, eće bt tč bog grešk rčuskh operj u proesu rčuj. Pr tom, pogreš reultt eke operje u u ul ko operd l podtk u sledeću operju tko mmo pojvu prostrj l propgje grešk u rečuskom proesu. Eekt je me tčog rčuskog proes, (,,... ) ekm prblžm (pseudo), kog ćemo očt ko ˆ(,,... ). lk, (, )- ˆ(,,... ),... predstvlj grešku, koj je reultt propgje grešk u rčuskom proesu v se mšsk grešk. U opštem slučju pol pod posmtr rčusk proes, (,... ), su tč. emo, ek od jh sdrže greške merej, ek su etč bog redukovog preslkvj tčh vredost. eultt će bt pogreš vredost prblžog rčuskog

32 proes, tj. pseudoukje, ˆ(,,... ) Ukupu grešku,, bog prblžh vredost rgumet : ( ), - ˆ(,,... ),....,,... možemo d rložmo kompoete: ( ) ˆ (,... ) (,... ) (,... ) (,... ) ˆ ( ),...,... p ko gru ukupe psolute greške možemo d umemo: (,... ) (,... ) (,... ) ˆ ( ),... (.4) ( ( ( gresk koj pote od gresk u podm ( ( mssk gresk U hemjsko žejerskm prorčum su greške koje potču od grešk u polm podm mogo veće od mšske greške, ročto ko se prorču vod u duploj preost (double preso), p se eekt mšske greške može emrt. Odumje blskh brojev Posmtrjmo jedostv rčusk proes odumj, tj. ukju: (, ) u pretpostvku d se pr memorsju reultt prmejuje okružvje m čjh r. Prv kompoet greške u proe (.4) je: drug, (, ) (, ) (, ) ˆ ( ) r( ), gde je gr reltve greške okružvj (.b): m Tko, gru psolute greške odumj dobjmo: p je gr reltve greške odumj: (.5)

33 U slučju d su brojev blsk, kompoet reltve greške koj potče od jhovh grešk postje vrlo velk domt u odosu drugu kompoetu (mšsk grešk), koju možemo d emrmo: ko su u to brojev podjedko tč, proe greške odumj blskh brojev je: (.6) (, ), m Očgledo je d je odumje blskh brojev krtč operj, prće velkom reltvom greškom. o stog ključk smo mogl d dođemo pomoću ormule (.b), koj poveuje broj sgurh r s reltvom greškom ekog broj. Kko pr odumju blskh brojev dol do gubtk sgurh r, koj je utolko već ukolko su brojev blž po velč, reultt je mogo mje tč od polh podtk. Tko, ko su operd ste tčost, gubtk sgurh r jedk s, prem ormul (.b) reltv grešk reultt je 0 s put već od reltve greške operd. Prmer: Nek je potrebo rčut vredost r.0 ( ) u kompjuterskoj rtmet s 4 dekde čje re, u okružvje. S preošću od 4 sgure re, vredost operd su: ( ),.44 ( ).48 jhov grešk : <.6 0,.6 0 eultt: , dobje je s smo jedom čjom rom koj je sgur jer je jegov psolut grešk : < 0.5 0, kle, u operj odumj je došlo do gubtk sgure re, što č d je reltv grešk reultt oko 000 put već od greške operd, dkle red velče 0 -. Zst, psolute greške reultt dobjmo : < l, grublju proeu ormule (.6) :

34 Sled prvlo: <.6 0 ko se pr odumju prblžh brojev gub prvh s sgurh r, reultt se žel dobt s k sgurh r, eophodo je uet brojeve s tčošću od k s sgurh r. Prmer: ko bsmo r prethodog prmer želel d dobjemo s tčošću od 4 sgure re u odumje b treblo d uđu vredost kore s 7 sgurh r. To b se moglo relovt u ekom od progrmskh jek u občoj tčost (7 sgurh r). Međutm, d b dobl reultt s 7 sgurh r, eophode su vredost kore s 0 sgurh r, p b u progrmskom jeku blo eophodo korstt opju OULE PECISION. Nekd se r u kome se jvlj krtč operj odumj blskh brojev može trsormst u jemu ekvvlet u kome je je utj mj. Prmer:.0 (.0 ) Nem gubtk sgurh r! Prmer: Ko proe tče vredost eke meree velče usvj se rtmetčk sred, poovljeh merej te velče : b proel gru jee psolute greške, eophod je dsperj, s des ko: ( ) s ko je strumet pre, tj. rspje reultt merej mlo, u brojou se sumrju rlke blskh brojev, p će dsperj bt rčut s mlom tčošću. Sum u brojou se može trsormst: ( ) obje ekvvlet r umesto odumj blskh brojev uključuje smo jedu tkvu operju. Zto se ko prktč ormul rčuje dsperje korst: 4

35 s.7 STILNOST ČUNSKOG POCES Nek rčusk proes, koj poleć od m podtk,,..., m dje reultt,,..., može se posmtrt ko preslkvje ulh podtk u le vredost, posredstvom ukj: odoso vektorske ukje: (,,..., ) m,..., (.7) ( ) ( ) M ( ) pod m Num erčk postupk reultt: (,,... m ),,..., ko mle l umeree greške u podm ko posledu mju greške stog red u reulttm, kžemo d je posmtr rčusk proes stbl l dobro uslovlje (well odtoed). ko pk mle greške podtk vju čje greške reultt, td je rčusk proes estbl l loše uslovlje (ll odtoed). Zč, d estble rčuske proese krkterše epovolj propgj (uvećvje) grešk. b smo lrl utj mlh grešk polh podtk tčost reultt, posmtrćemo prrštje ukj (.7), koje možemo d proksmrmo totlm derejlm:... m,..., m gde su prrštj rgumet: odstupj od jhovh tčh vredost, prrštj ukj: 5

36 predstvljju odgovrjuć odstupj (greške) dobjeh reultt. kle, veu među mlh odstupj podtk odstupj reultt dje jedč: ( ) m j,..., j j (.8) I ove jedče, pod uslovm 0,,..., m 0,,...,, dobjmo veu među reltvh odstupj podtk reultt: m ( ) j j j j j,..., (.9) Očgledo je d je dopros odstupj ekog podtk, j greškm pojedh reultt, određe velčm psoluth vredost prjlh vod ukj (,...,) po promeljvoj j : ( ),..., j koje ovemo psolut uslov brojev promeljvu j vredost j ( ) j,..., (j,...,m). Slčo, psolute se ovu reltv uslov brojev dtu promeljvu određuju utj reltve greške podtk reltve greške reultt. Sd možemo d ormulšemo krterjum stblost ekog rčuskog proes: rčusk proes je stbl l dobro uslovlje ko su psolut reltv uslov brojev ml. Prmer: Sstem jedč: m rešeje:, ko b smo eto promel vredost dv koejet u drugoj jedč: rešej b se čjo promel: 6, 00 U ovom problemu, pod su koejet u jedčm, rešej sstem su reultt. Ivede rčusk ekspermet ukuje d je rešvje ovog sstem jedč jed estbl proes: et poremećj podtk vju ogrome promee reultt. Kžemo d je sstem jedč loše uslovlje. Prmetmo d se rd 6

37 7 o sstemu veom blskom eodređeom, tj. dve jedče su gotovo detče. Geometrjsk, treb ć presek dve prve, koje se gotovo preklpju, što je emoguće urdt s dovoljvjućom tčošću. ko koejete koje vrrmo očmo s, ukje koje dešu reultte su: ( ) ( ),, gde su: Potržmo psolute uslove brojeve: 8 5 Z dte vredost koejet, , 5 determte su: ( ) psolut uslov brojev: Velke vredost uslovh brojev su u skldu s uočeom lošom uslovljeošću problem, oe su očgledo posled mle vredost determte sstem (sstem blk eodređeom). Tko je jed od poktelj loše uslovljeost sglsh određeh sstem lerh jedč, ml vredost determte sstem. čusk proes u prethodom prmeru sdrž opsu operju odumj blskh brojev (rčuvje determt) očgledo je o uslovl jegovu estblost. Uopšte, osovu le u poglvlju.6 može se kosttovt d rčusk postup koj uključuju operje odumj blskh brojev su potejlo estbl.

38 ZCI. U sledećm prblžm vredostm sve čje re su sgure: 0.4, , 700, , Odredt gre psoluth grešk th vredost. ešeje: U u šrem smslu : 0 -, 0-5,, 0-9, 0-0 U užem smslu : , , 0.5, , Krtče temperture, T supst su u bkm podtk dte jčešće s preošću od demle. ko se pretpostv d su sve re u tm vredostm sgure, ) Kolk je gr psolute greške th podtk? b) Proet gru reltve greške T, grupu supst čj je krtč tempertur red velče 0 ( 0 T < 0 ) ) Z krtču temperturu etle se u b podtk l vredost 8.4 o C. Odredt gre u kojm lež tč vredost odredt preje gru reltve greške tog podtk. ešeje: ) 0.05 o C b) 0.05% ) 8.4±0.05 o C, 0.0%. Krtč prts supst su u b podtk dt s tr čje re, koje su sgure u šrem smslu. N osovu proejee jedčke gre reltve greške th podtk, proet gre u kojm lež tč vredost krtčog prtsk beol, kog lmo podtk p 48.9 br to ) U brm b) U mm Hg stub ( br 750 mmhg) ) Odredt už tervl u kome lež tč vredost p beol ešeje: ) 48.9±0.5 br b) ±80 mmhg ) 48.9±0. br.4 Gust eke supste je ρ 46.9lb t. Treb odredt jeu vredost u SI sstemu, ko su dt kovero ktor lb kg, t 0.048m. U skldu s prvlm rčuj s prblžm brojevm, ) koje vredost koveroh ktor se korste u prorčuu b) koj je trže vredost guste. ešeje: ) lb 0.456kg, t 0.048m b) 75 kg/m.5 Vredost prmetr u toovoj jedč: l p 0 C T 8

39 po pre, p 0 (br) krole, u temperturom tervlu 5K T 60K su 9. 86, 607, C 45, pr čemu su sve dte re sgure (u užem smslu). U pretpostvku d toov model korekto opsuje promeu po pre krole s temperturom, proet gru reltve greške s kojom se dobj po pre krole T 50K prkt jegovu vredost smo s sgurm rm. ešeje: p %, p 0.br.6 Prmejujuć prp jedkh utj, odredt s kojom tčošću treb mert prečk osove vljk, s prblžm vredostm prečk osove, d vse h: d 0m h 00 m, d b preme vljk, V bl određe s tr sgure re u šrem smslu. ešeje: 0.0m.7 S kojom grom reltve greške treb mert dužu, šru b, vsu msu m prlelopped d b se gust mterjl od kog je sčje odredl s grom reltve greške %? ešeje: 0.5%.8 Prmejujuć prp jedkh utj, odredt s kojm grm psoluth grešk kojm brojem sgurh r morju bt pote vredost prmetr C u toovoj jedč (dtk.5), d b mksml grešk proejvj po pre krole u dtom tervlu tempertur bl %. ešeje: , 0.5, C , s s s C 4.9 Z gsu smešu et-but s 4.8% molskh et, T 0 0 C p 6.8br prmetr u SK jedč stj mju vredost Koejet stšljvost smeše, se u pomoć te jedče stj dobj ko jveć rel kore kube jedče: ( ) 0 Z dte podtke, rešeje jedče je ) Proet gru psolute greške u dobjeoj vredost koj potče od grešk prmetr, ko su sve re u vredostm prmetr sgure u užem smslu. b) Proet kolko jmje sgurh r u šrem smslu morju d mju vredost prmetr d b blo rčuto s sgure re u šrem smslu. ešeje: ) 0-4 b) s 4, s 9