ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο"

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ 7

2 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

3 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου ΒΙΒΛΙΟΥ ου ΤΟΜΟΥ Κεφάαιο 5 ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 5 5. Μαθηματική Βετιστοποίηση 5 5..A. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Με Συνθήκες (:Costred 7 Optmzto) 5..B. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Χωρίς Συνθήκες (:Ucostred Optmzto) 5..Γ. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός (:No er Progrmmg) 8 5..Δ. Γραμμικός Προγραμματισμός (:er Progrmmg) 5 5..Δ.. Γραφική Λύση Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Δ.. Ο Αγόριθμος Smple Δ.. Η Πρακτική Απόδοση της Εξέιξης του 88 Αγορίθμου Smple: Το Tbleu Smple 5..Δ.v. Ο Αγόριθμος του Krmrcr 5 5. Μία Εφαρμογή της Μεθόδου των Ποαπασιαστών grge: Η 9 Πουδιάσπαση Βόμβας 5. Παραδείγματα Γραμμικού Προγραμματισμού 5 Βιβιογραφία 6 Κεφάαιο 6 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ 8 Εισαγωγή: Το Πρόγραμμα <<Πρωτοβουία για την Στρατηγική Άμυνα>>(:<<Πόεμος των Άστρων>>) 5 6. Άμυνα σε Βάθος 5 6. Άμυνα σε Βάθος έναντι Επιθέσεων Εισβοέων που Χρησιμοποιούν 69 Κατευθυνόμενες Κεφαές 6. Αντιβαιστική Πυραυική Άμυνα (ΑΒΜ) και Θεωρία Παιγνίων: Καθαρές και 76 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

4 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Μικτές Στρατηγικές 6..Α. Θεωρία Παιγνίων (:Gme Theor): ο Πίνακας Τιμών των Κερδών ή 78 Ζημιών (:Poff tr) για τις δύο Πευρές 6..Α.. Βασικές Έννοιες και Ορισμοί Α.. Το Γενικό Σκεπτικό της Θεωρίας Παιγνίων σε Συγκεκριμένο 8 Παράδειγμα: Βέτιστες Γνήσιες Στρατηγικές 6..Α.. Μικτές Στρατηγικές Α.v. Συνάρτηση Αμοιβής και Στάθμη Ασφαείας 9 6..Β. Ανάυση της Αντιβαιστικής Πυραυικής Άμυνας Βέτιστες Διαδρομές Διέευσης δια μέσου Αντιαεροπορικής Άμυ 9 νας: η Συνάρτηση Απειής 6.5 Αντιαεροπορική Πυραυική Άμυνα εναντίον Επιτιθεμένου Ποε μικού Αεροσκάφους 6.5.Α. Ευθεία Επίθεση Αεροσκάφους κατά της Θέσης από την οποία Εκτοξεύονται οι Αντιαεροπορικοί Πύραυοι της Αμυνόμενης Πευράς 6.5.Β. Επίθεση εκ του Μακρόθεν Αεροσκάφους κατά της Θέσης από την οποία 9 Εκτοξεύονται οι Αντιαεροπορικοί Πύραυοι της Αμυνόμενης Πευράς 6.6 Τα Μοντέα Επάρκειας των Στρατηγικών Δυνάμεων: ΕΜΤ και 6 CP 6.6.A. Το Μοντέο της Αναγωγής στην Μεγατονική Κίμακα Β. Το Μοντέο της Μέτρησης του Στρατιωτικού Δυναμικού 6.6.Γ. Σύγκριση μεταξύ Στρατιωτικών Πυρηνικών Δυνάμεων Βιβιογραφία 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

5 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Κεφάαιο 5 Μέθοδοι Βετιστοποίησης Στο παρόν Κεφάαιο θα δώσουμε μία γενική επισκόπιση των θεμεειωδέστερων εννοιών της Μαθηματικής Βετιστοποίησης και ιδιαιτέρως του Κασικού του Μη Γραμμικού και του Γραμμικού Προγραμματισμού δίνοντας έμφαση στην περιγραφή των βασικών Αγορίθμων του Κασικού και του Γραμμικού Προγραμματισμού καθώς και σε κάποιες ενδεικτικές εφαρμογές των διάφορων τύπων βετιστοποίησης Αντικειμενικών Συναρτήσεων (: άες φορές ζητείται η μεγιστοποίηση Αντικειμενικών Συναρτήσεων και άες φορές η εαχιστοποίησή τους) σε θέματα Στρατιωτικού ενδιαφέροντος. 5.. Μαθηματική Βετιστοποίηση (: Optmzto) Οι διάφορες μαθηματικές τεχνικές επίυσης Προβημάτων Βετιστοποίησης (δηαδή προβημάτων στα οποία αναζητείται ένα σημείο στο οποίο μεγιστοποιείται ή εαχιστοποιείται Αντικειμενική Συνάρτηση μίας ή περισσοτέρων μεταβητών κάτω από ή χωρίς δεδομένες Συνθήκες Υποθέσεις) συνιστούν τον ιδιαίτερο επιστημονικό κάδο της Μαθηματικής Βετιστοποίησης ή Μαθηματικού Προγραμματισμού. Οι τεχνικές αυτές διαχωρίζονται και κατατάσσονται σε κατηγορίες αναόγως προς την ύπαρξη και φύση των Συνθηκών Υποθέσεων του προβήματος βετιστοποίησης τον αριθμό αυτών που προβούν στη ήψη των σχετικών αποφάσεων και την επιβαόμενη από το πρόβημα διαχείριση του μεγέθους του χρόνου (με άα όγια τον χαρακτηρισμό του περιγραφόμενου από το πρόβημα φαινόμενου ως στατικού ή δυναμικού φαινόμενου). Στον παρακάτω Πίνακα της σείδας ταξινομούνται επιγραμματικά οι κυριότερες των ως άνω κατηγοριών. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

6 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΤΟΜΩΝ (Ή ΚΕΝΤΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΟΥΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Ή ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΕΝΑ ΑΤΟΜΟ (Ή ΚΕΝΤΡΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΕΙ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΝΑ ΑΤΟΜΟ (Ή ΚΕΝΤΡΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΕΙ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΤΟΜΑ (Ή ΚΕΝΤΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΟΥΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

7 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Στο αμέσως επόμενο Κεφάαιο περί Στρατηγικής Άμυνας θα δοθεί η ευκαιρία στον αναγνώστη να γνωρίσει κάποιες στοιχειώδεις εισαγωγικές Αρχές και ορισμένα αντίστοιχα βασικά αποτεέσματα της Θεωρίας Παιγνίων όταν η θεωρία αυτή θα πρέπει να εφαρμοστεί κατά την μεέτη της διαχείρισης αμυντικών βαιστικών βημάτων. Επίσης στο Κεφάαιο (Εδάφιο.) θα συζητήσουμε θέματα Δυναμικού Προγραμματισμού προκειμένου να στηρίξουμε την αναφορά μας στην Θεωρία Λήψης Πουδιάστατων Αποφάσεων. Ωστόσο επειδή οι περισσότερες από τις Στρατιωτικές εφαρμογές αφορούν σε προβήματα στατικής φύσης. η σχετική παρουσίαση θα περιορισθεί κυρίως στα διάφορα είδη Στατικού Προγραμματισμού. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης που επιθυμεί την πηρέστερη ενημέρωσή του επί του όου θέματος παραπέμπεται στη σχετική Βιβιογραφία. 5..Α. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Με Συνθήκες (:Costred Optmzto) Ένα Πρόβημα Βετιστοποίησης Με Συνθήκες έγκειται στην μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση δηαδή στην αναζήτηση ακρότατου σημείου (... ) του R επί του οποίου εκδηώνεται μέγιστη ή εάχιστη τιμή αντιστοίχως (έμε επίσης μέγιστο ή εάχιστο κόστος αντιστοίχως) μίας δοθείσας Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) F ( R ) κάτω από ένα σύνοο Συνθηκών Υποθέσεων (: Costrts) οι οποίες εκφράζονται υπό την μορφή εξισώσεων ( ) Β ( Β g R m ). H εγόμενη Συνάρτηση των Υποθέσεων είναι μία διανυσματική συνάρτηση ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7

8 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ g g g g g... g m g m ( ) g(... ) ( ) ( ) ενώ οι Σταθερές των Συνθηκών Υποθέσεων δίνονται από τον πίνακα στήη β β Β R m. β m Να σημειωθεί ότι τις συντριπτικά περισσότερες φορές η διάσταση του χώρου του προβήματος συμβαίνει να είναι μεγαύτερη από το πήθος m των Συνθηκών Υποθέσεων: > m. Η διαφορά m είναι ο Αριθμός των Βαθμών Εευθερίας του Προβήματος. Επί πέον χωρίς απώεια του πρακτικού ενδιαφέροντος και χωρίς βάβη της γενικότητας θα υποθέτουμε αδιαείπτως ότι οι συναρτήσεις ( ) μεταβητή (... ). F και ( ) g είναι συνεχώς διαφορίσιμες ως προς την Στην περίπτωση που ζητείται η μεγιστοποίηση (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός τέτοιου προβήματος Κασικού Προγραμματισμού έχει ως εξής: m F( ) όταν g ( ) Β. Η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

9 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) όταν m F... g g ( )... (... ) (... ) β β... g m (... ) β. m Αντιστοίχως στην περίπτωση που ζητείται η εαχιστοποίηση (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός τέτοιου προβήματος Κασικού Προγραμματισμού έχει ως ακοούθως: m F( ) όταν g ( ) Β. Ομοίως η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: όταν m F... g g ( )... (... ) (... ) β β... g m (... ) β. m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9

10 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ V.. Παρατήρηση. Προφανώς η μεγιστοποίηση (του κόστους) μίας Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) ισοδυναμεί με την μεγιστοποίηση (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης bf( ) για οποιαδήποτε θετική επιογή b > της σταθεράς b και για οποιαδήποτε επιογή της προσθετικής σταθεράς. Ισοδυναμεί επίσης με την εαχιστοποίηση (του κόστους) bf για οποιαδήποτε αρνητική επιογή b < της της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) σταθεράς b και για οποιαδήποτε επιογή της προσθετικής σταθεράς. Έτσι ο ποαπασιασμός της συνάρτησης ( ) F με την αρνητική σταθερά b < μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψουμε ένα πρόβημα μεγιστοποίησης σε πρόβημα εαχιστοποίησης (ή αντιστρόφως για να μετατρέψουμε ένα πρόβημα εαχιστοποίησης σε πρόβημα μεγιστοποίησης). V.. Η Μέθοδος των Ποαπασιαστών grge(: grge ultpler ethod) Μία ικανή Μέθοδος για την επίυση προβημάτων Βετιστοποίησης Με Συνθήκες συνίσταται στην χρήση των Ποαπασιαστών grge (grge ultplers). Στο πρώτο Στάδιο της Μεθόδου αυτής εισάγεται ένας πίνακας στήη όπου... Λ m m αναπαριστούν m Ποαπασιαστές grge καθώς και η Συνάρτηση grge (: grg Fucto) R m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

11 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Τ ( Λ) : F( ) Λ ( Β g( )) F(... ) (... ) m β g β g β m g (... ) (... ) m (... ). Το σύμβοο Τ Λ χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση του ανάστροφου πίνακα του πίνακαστήη Λ δηαδή για την αναπαράσταση του πίνακα γραμμή (... ) Σύμφωνα με την Μέθοδο η ζητούμενη ύση συνιστώσα του ζεύγους ( Λ ) m. του προβήματος είναι η πρώτη στο οποίο όες μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της g έχουν μερικές παραγώγους πρώτης τάξης). Έτσι στο δεύτερο Στάδιο της Μεθόδου επιύεται το σύστημα των m εξισώσεων Συνάρτησης grge μηδενίζονται (προϋποτίθεται ότι οι συναρτήσεις F ( ) και ( ) ( Λ ) F( Λ ) Τ g ( ) ( ) και ( Λ ) Β g( ). Λ Η επίυση του συστήματος αυτού δίνει τα ζητούμενα ακρότατα σημεία ( Λ ) Λ της Συνάρτησης grge ( Λ) και εξ αυτών απ ευθείας τα ακρότατα σημεία κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις g ( ) έχουμε τον ακόουθο γενικό τρόπο εύρεσης ακροτάτων σημείων : (του. Έτσι ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

12 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ΤΡΟΠΟΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Β Λ Λ Λ Λ Λ Τ g g F και Το υποσύστημα των πρώτων εξισώσεων μπορεί να γραφεί και υπό την ισοδύναμη μορφή: ( ) ( ) ( ) g F Λ Τ όπου ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F : και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). m m m m m m g g g g g g g g g g Τ Λ O

13 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Επίσης το υποσύστημα των τεευταίων m εξισώσεων μπορεί να γραφεί και υπό την ισοδύναμη μορφή ( ) Β g. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα σημεία ( Λ ) ανωτέρω συστήματος των που θα προκύψουν από την επίυση του m εξισώσεων είναι τέτοια ώστε ( Λ ) F ( ). Μία εφαρμογή της Μεθόδου των Ποαπασιαστών grge θα δοθεί παρακάτω στο αμέσως επόμενο Εδάφιο 5.. Άη εφαρμογή της Μεθόδου θα παρουσιασθεί στο επόμενο Κεφάαιο 6 όταν θα συζητηθεί η ανάυση Διαστρωματωμένης Άμυνας εναντίον βαιστικών βημάτων. Προς το παρόν ας αρκεστούμε σε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα. V.. Παράδειγμα. ([Καδιανάκης Καρανάσιος Φεούρης 99]) Να βρεθούν τα ακρότατα της καμπύης του αξόνων ( ) Ο επιπέδου τα οποία είναι πησιέστερα προς και μακρύτερα από την αρχή των Λύση. Αρκεί να βρούμε τα ακρότατα ( ) Συνθήκη Υπόθεση 5 R της συνάρτησης F ( ) 6 5 Προς τούτο θεωρούμε την συνάρτηση grge 6. υπό την ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

14 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ( ) ( ) Τα ακρότατα σημεία ( ) της ( ) περιέχουν τα ζητούμενα ακρότατα ( ) και ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6 ) 5( 6 ) 5( ) 5( 6 ) 5( Για ( ) ( ) δεν ικανοποιείται η τρίτη εξίσωση ενώ το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων έχει μη μηδενική ύση όταν είναι: ( ) 8 ) 9( det ή. Για έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή ενώ για 8 έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή. Επί πέον είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 8 F F F F και οπότε θα έχουμε

15 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) και d για ( ) ( ) ( ή ) ( ) m d για ( ) ( ) ή ( ) ( ). m V.. Παράδειγμα. ([Καδιανάκης Καρανάσιος Φεούρης 99]) Να βρεθούν τα μήκη των ημιαξόνων της έειψης που ορίζεται ως τομή του επιπέδου z και του εειψοειδούς ( ) ( z ). Λύση. Επειδή το επίπεδο περνάει από την αρχή των αξόνων το τετράγωνο της απόστασης ενός σημείου ( z) της έειψης από την αρχή των αξόνων ( ) συνάρτηση ( z) z. F θα δίνεται από την Άρα τα άκρα των ημιαξόνων θα είναι εκείνα τα σημεία της έειψης στα οποία η συνάρτηση ( z) F παρουσιάζει μέγιστο ή εάχιστο κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις: Θεωρούμε την συνάρτηση grge: g ( z) z g και z ( z). z. ( z ) ( ) z z ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

16 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) Τα ακρότατα σημεία ( ) z της ( ) z είναι ύσεις του συστήματος ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z z ( ) ( ) ( ) z z z z. Το σύστημα των τριών πρώτων εξισώσεων με αγνώστους τα και είναι συμβιβαστό εάν ( ) ( ) 6 det z z οπότε ή.

17 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Για από τις δύο τεευταίες εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμε ( ) 6 6 ( ) και ( ) 5 5 οπότε σε κάθε τέτοιο ακρότατο σημείο ( z ) F z 5 η τιμή της F ( z) θα είναι ( z ) ( ) ( ) ( z ).6. Ομοίως για από τις δύο τεευταίες εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμε 5 ( ) ( ) και ( ) οπότε σε κάθε τέτοιο ακρότατο σημείο ( z ) F z 7 5 η τιμή της F ( z) θα είναι 6 ( z ) ( ) ( ) ( z ). Κατόπιν των ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι ο μεγάος άξονας της έειψης του Παραδείγματος έχει μήκος και ο μικρός Μέχρι τώρα γνωρίσαμε έναν υποογιστικό τρόπο (: Μέθοδος των Ποαπασιαστών grge) προσδιορισμού των ακρότατων σημείων (του κόστους) μίας Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) κάτω από την παρουσία περιοριστικών Συνθηκών Υποθέσεων. Όμως δεν συζητήσαμε καθόου τους τρόπους χαρακτηρισμού και ταξινόμησης ενός τέτοιου ακρότατου σημείου ως μέγιστου ή εάχιστου σημείου της F ( ). Στην συνέχεια και μέχρι το τέος του παρόντος Εδαφίου θα ασχοηθούμε με το ζήτημα αυτό. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7

18 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) V.5. Έεγχος του Είδους των Ακροτάτων υπό Συνθήκες Τα οικά ακρότατα της συνάρτησης ( ) ( ) F F... κάτω από τις ( ) m < Συνθήκες Υποθέσεις ( ) ( ) ( ) ( ) m m g g g g g g g g προκύπτουν εύκοα μετά από απή σύγκριση των τιμών της ( ) F στα διάφορα σημεία τοπικών ακροτάτων που θα προσδιορίσουμε. Για τον έεγχο όμως του είδους των τοπικών ακροτάτων της ( ) F (ή ισοδύναμα της ( ) ( ) ( ) ( ) g F Β Λ Λ Τ : ) θα παραθέσουμε ένα σχετικό Θεώρημα χωρίς απόδειξη αφού προηγουμένως δώσουμε κάποια απαραίτητα στοιχεία. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση του grge ( ) Λ έχει ακρότατο σημείο το ( ) και ότι η συνάρτηση ( ) F είναι C τάξης στο. Έστω ακόμα ότι η διανυσματική συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ) m g g g g g Τ είναι C τάξης στο. Τότε στο σημείο ( ) ορίζονται:. Ο ( ) m πίνακας ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : D O και

19 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9. ο ( ) ( ) m m πίνακας ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' : ~ Ο Τ g g D D όπου ( ) g' είναι η παράγωγος της διανυσματικής συνάρτησης ( ) g στο σημείο δηαδή ο ( ) m πίνακας ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). : ' g g g g g g g g g g m m m O Θεωρούμε τώρα τις ορίζουσες m D D D... που ορίζονται ως εξής: ( ) ~ det D D D είναι η ορίζουσα του πίνακα που θα προκύψει από τον ( ) ~ D όταν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήη D είναι η ορίζουσα του πίνακα που θα προκύψει από τον ( ) ~ D όταν διαγράψουμε τις δύο πρώτες γραμμές και τις δύο πρώτες στήες κ. ο. κ Iσχύει το ακόουθο γενικό Κριτήριο Προσδιορισμού του Είδους των Ακροτάτων σε Πρόβημα Βετιστοποίησης με Συνθήκες Υποθέσεις:

20 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Ι. Το ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ είναι σημείο εαχίστου της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) Συνθήκες Υποθέσεις ( ) ΙΙ. Το g όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω: α). m άρτιος και D > για κάθε... m β) m περιττός και D < για κάθε... m είναι σημείο μεγίστου της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) Συνθήκες Υποθέσεις g ( ) άρτιος και ( ) < α). περιττός και ( ) > β) όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω: D για κάθε... m D για κάθε... m. F κάτω από τις F κάτω από τις Στην συνέχεια παραθέτουμε τρεις ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω Κριτηρίου που όμως είναι και οι συνηθέστερες: V.5.. Περίπτωση η Συνάρτηση δύο Μεταβητών και μία Συνθήκη Υπόθεση (: m ) Τότε είναι Αν ( ) ( ) F( ) g( ). είναι ακρότατο σημείο της ( ) τότε ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

21 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det g g g g D και σύμφωνα με το ανωτέρω Κριτήριο θα είναι.αν > D τότε η ( ) F έχει στο σημείο ( ) τοπικό μέγιστο.. Αν < D τότε η ( ) F έχει στο σημείο ( ) τοπικό εάχιστο V.5..Περίπτωση η Συνάρτηση τριών Μεταβητών και μία Συνθήκη Υπόθεση (: m ) Τότε είναι ( ) ( ) ( ) z g z F z. Αν ( ) ( ) z είναι ακρότατο σημείο της ( ) z τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det g g g g g g D z z z z z z z z και

22 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ D ( ) ( ) ( ) z g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z g z g det z g z. Σύμφωνα με το Κριτήριο θα έχουμε.αν D < και > ( z ) D τότε η F ( z) τοπικό μέγιστο..αν D < και < ( z ) D τότε η F ( z) τοπικό εάχιστο. έχει στο σημείο έχει στο σημείο V.5.. Περίπτωση η Συνάρτηση τριών Μεταβητών και δύο Συνθήκες Υποθέσεις (: m ) Τότε είναι ( z μ) F( z) g ( z) g ( z). μ είναι ακρότατο σημείο της ( z μ) Αν ( μ ) ( z μ ) D και ισχύουν τα εξής: z g g z g g det z z z z g z g z μ g g g z g g g z ( ) τότε ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

23 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) D τότε η F ( z).αν < D τότε η F ( z). Αν > έχει στο σημείο ( z ) έχει στο σημείο ( z ) τοπικό μέγιστο. τοπικό εάχιστο Ας δώσουμε τώρα κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα εφαρμογής των παραπάνω τριών Περιπτώσεων. V.6. Παράδειγμα. (Η η Περίπτωση κατά την οποία m ) Σε Μάχη ο Στρατιωτικός Διοικητής της μίας πευράς έχει μοιράσει τις Δυνάμεις του σε δύο μέρη. Το ένα μέρος έχει καταάβει την τοποθεσία Α και το άο μέρος την τοποθεσία Β. Η απαριθμήτρια συνάρτηση ( ) F των Ρίψεων Βοών της πευράς αυτής εκφράζει τον αριθμό των Βοών που θα ρίπτονται και από τις δύο τοποθεσίες ανά ώρα και είναι ( ) 6 8 F όπου ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Α και ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Β. Εάν να βρεθούν οι τιμές των και που μεγιστοποιούν την ( ) Λύση. Η συνθήκη F. περιορίζει το πεδίο ορισμού της ( ) Ω {( ) R : }. Επειδή η F ( ) είναι αναυτική συνάρτηση η ( ) F στο σύνοο F (εάν μεγιστοποιείται θα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

24 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ μεγιστοποιείται στο σύνορο Ω {( ) R : } του Ω. Η εξίσωση g ( ) που ορίζει το σύνορο αυτό αποτεεί την Συνθήκη Υπόθεση για την Αντικειμενική Συνάρτηση ( ) F. Θεωρούμε την συνάρτηση grge ( ) F( ) g( ). Τα ακρότατα σημεία της είναι οι ύσεις του συστήματος ( ) ( ) 6 6 ( ). Η μοναδική ύση αυτού του συστήματος είναι ( ) ( 68 ). Για τον έεγχο του είδους του ακρότατου σημείου αυτού θεωρούμε την ορίζουσα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

25 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) D ( 68 ) ( 68 ) g ( 68) ( 68 ) ( 68 ) g ( 68) ( 68) g ( 68) det g det 6 6. Επειδή > D η συνάρτηση ( ) συνθήκη. F μεγιστοποιείται στο σημείο ( ) ( 68 ) υπό την V.7. Παράδειγμα. (Η η Περίπτωση κατά την οποία m ) Να βρεθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης υπό την συνθήκη F ( z) l l l z ( g( z) 5 ) z 5 z. Λύση. Η συνάρτηση F ( z) Ω {( z) : > > z > } ορίζεται και είναι C τάξης στο σύνοο. Θεωρούμε την αντίστοιχη συνάρτηση grge: ( z) l l l z ( z 5). Τα ακρότατα σημεία της ( z ) ικανοποιούν το σύστημα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

26 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 z z z z z z z z z z ή ισοδύναμα το σύστημα ( ) ( ) ( ) z Επειδή η ( ) z F ορίζεται στο σύνοο ( ) { } : > > > Ω z z η μοναδική ύση του συστήματος είναι το σημείο ( ) ( ) ( ) 8 : z. Για τον έεγχο του είδους του ακροτάτου αυτού σημείου θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Τ ' ' ~ g g g g g g g g D D z z z z z z z z

27 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7 ( ) ( ) ( ). z z z Επειδή m m και ( ) 8 ~ det D D () () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) det < και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 det > D

28 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ έπεται ότι η συνάρτηση F( z) l l l z z 5 ( g( z) z 5 ) κάτω από την Συνθήκη Υπόθεση μεγιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ) αμβάνοντας μέγιστη τιμή ( 8) l 97 F m l. V.8. Παράδειγμα. (Η η Περίπτωση κατά την οποία m ) Να βρεθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης ( z) z F υπό τις συνθήκες ( g ( z) ) και Λύση. Θεωρούμε την συνάρτηση grge ( g ( z) ) z z. ( z μ) z ( ) μ ( z ) Τα ακρότατα σημεία ( z μ ) συστήματος:. της ( z μ) προκύπτουν από την ύση του 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

29 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). : ± m μ μ απ ναι ε μ μ μ μ μ μ μ μ z z ό ί z z z z z z z Επομένως τα ακρότατα σημεία είναι: ( ) ( ) : μ μ z και ( ) ( ) : μ μ z. Προκειμένου τώρα να προσδιορίσουμε το είδος των ακροτάτων αυτών θεωρούμε τον πίνακα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Τ ' ' ~ z z z z z z z z z z g g g g g g g g g g g g g g D D μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ. Όταν

30 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ~ D ( μ ) ( z μ ) D οπότε συμπεραίνουμε ότι η F ( z) είναι det ( ) < κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις και z μεγιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ) F m. Όταν πάι αμβάνοντας ως μέγιστη τιμή την τιμή ( μ ) ( z μ ) ~ D και άρα η F ( z) έχουμε det D( ) > κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις και z εαχιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ) αμβάνοντας την τιμή F. m 5..Β. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Χωρίς Συνθήκες (: Ucostred Optmzto) Ειδική περίπτωση Κασικού Προγραμματισμού αποτεεί η κατηγορία των Προβημάτων Βετιστοποίησης Χωρίς Συνθήκες Υποθέσεις. Σ ένα τέτοιο πρόβημα εξετάζεται η δυνατότητα προσδιορισμού και χαρακτηρισμού των ακρότατων (μέγιστων ή εάχιστων) σημείων μίας C τάξης Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) ( R ) χωρίς να περιορίζεται ο τόπος αναζήτησης του ακρότατου αυτού σημείου της F ( ) από οποιοδήποτε περιορισμό της μορφής ( ) Β g. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

31 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Σε μία τέτοια περίπτωση η τιμή (το κόστος) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) στο ακρότατο σημείο ικανοποιεί την διανυσματική εξίσωση F ( ) F ( ) ( ) F( ) F( ) F. Η εξίσωση αυτή σημαίνει ότι όες οι αποκίσεις της F ( ) κατά μήκος της οιασδήποτε κατεύθυνσης (... ) είναι μηδενικές. Με άα όγια η εξίσωση αυτή σημαίνει ότι στο ακρότατο σημείο ισχύουν όες οι παρακάτω εξισώσεις: ΤΡΟΠΟΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ F ( ) ( ) στο.... Ωστόσο όταν η διάσταση του χώρου εντός του οποίου αμβάνει τιμές η μεταβητή ή όταν η μορφή της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) είναι πούποκη η θεωρητική επίυση της εξίσωσης ( ) F είναι συνήθως πού δύσκοη ή και αδύνατη. Ως εκ τούτου η παραπάνω υποογιστική διαδικασία προσδιορισμού ενός σημείου του οποίου η F ( ) βετιστοποιείται αποβαίνει πρακτικά ανεφάρμοστη. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να επινοηθεί και να εφαρμοσθεί μία άη εναακτική Μέθοδος. Η Μέθοδος αυτή υπάρχει και δεν είναι θεωρητική αά υποογιστική. Πρόκειται για μία επαναηπτική αριθμητική μέθοδο της οποίας το σκεπτικό και το Σχήμα (δηαδή ο βασικός Μαθηματικός Τύπος) παρουσιάζεται αμέσως παρακάτω: επί ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

32 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) V.9. O Αγόριθμος Newto Rphso. Εφόσον οι δύοπρώτες παράγωγοι της ( ) F είναι συνεχείς η οική απόκιση της ( ) F μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Tlor γύρω από ένα οιοδήποτε σημείο έτσι ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F Τ όροι υψηότερης τάξης ως προς ( ) Τ. Ιδιαιτέρως για δηαδή στο ακρότατο σημείο και για κείμενο αρκετά κοντά στο ακρότατο αυτό σημείο οι όροι υψηότερης τάξης ως προς ( ) Τ είναι πρακτικά αμεητέοι. Ως εκ τούτου ισχύει η προσεγγιστική σχέση: ( ) ( ) ( ) ( ) F F F Τ. Επειδή η έκφραση ( ) F είναι ένας συμμετρικός πίνακας συνδυασμός της προσεγγιστικής αυτής σχέσης και της διανυσματικής εξίσωσης στο τέος της σείδας 5 οδηγεί στην διαπίστωση ( ) ( ) ( ) Τ F F. Από την διαπίστωση αυτή έπεται ότι ( ) ( ) Τ F F ή ισοδύναμα ότι ( ) ( ) ( ) ( ) Τ Η F

33 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) όπου ο συμβοισμός ( ) Η αναπαριστά τον πίνακα Hess της ( ) F στο σημείο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F F F F F F F Η Η O και ο συμβοισμός ( ) F την απόκιση της ( ) F στο σημείο : ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F K Η ερμηνεία του Τύπου: ( ) ( ) ( ) ( ) Τ F H δεν εγγυάται ότι με την πρώτη επιογή κάποιου σημείου κειμένου αρκετά κοντά στο ακρότατο σημείο θα άβουμε ικανοποιητική προσέγγιση του. Συχνά είναι απαραίτητο να επαναάβουμε την διαδικασία αρκετές φορές έως ότου επιτύχουμε την ακρίβεια προσέγγισης που επιθυμούμε. Οι επαναήψεις της διαδικασίας αυτής περιγράφονται με το ακόουθο Αγοριθμικό Σχήμα το οποίο είναι γνωστό ως ο (Πουδιάστατος) Αγόριθμος Newto Rphso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... Η Τ Τ k F F F k k k k k k k

34 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ k ( k ) ( k ) ( k ) Τα σημεία (... ) k υποογισθέντα ( k ) ( k ) ( k ) (... ) δημιουργούμενη ακοουθία σημείων { k : k... } ακρότατο σημείο που προκύπτουν προέρχονται από τα μόις προηγουμένως έτσι ώστε η κατ αυτόν τον τρόπο. Να σημειωθεί πως όταν η εξίσωση ( ) να συγκίνει γρήγορα προς το F έχει περισσότερες της μίας ύσεις τότε για μία δοθείσα επιογή του αρχικού σημείου ο Αγόριθμος Newto Rphso συγκίνει προς την κοντινότερη προς το σημείο ύση. V.. Παρατήρηση. Το θέμα της επιογής ενός κατάηου αρχικού σημείου αά και το θέμα του απαιτούμενου πήθους επαναήψεων που θα κριθεί ως αναγκαίο για την εξασφάιση ικανοποιητικής προσέγγισης μίας ακρότατης ύσης είναι δύο βασικά τεχνικά θέματα που αντιμετωπίζονται με τρόπους που εμπίπτουν στο γνωστικό πεδίο της Αριθμητικής Βετιστοποίησης ([Δάρας /II]). Μέχρι τώρα γνωρίσαμε έναν θεωρητικό τρόπο και έναν υποογιστικό τρόπο (:Πουδιάστατος Αγόριθμος Newto Rphso) προσδιορισμού των ακρότατων σημείων (του κόστους) μίας Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) χωρίς την παρουσία περιοριστικών Συνθηκών Υποθέσεων. Όμως δεν συζητήσαμε καθόου τους τρόπους χαρακτηρισμού και ταξινόμησης ενός τέτοιου ακρότατου σημείου ως μέγιστου ή εάχιστου σημείου της F ( ). Στην συνέχεια και μέχρι το τέος του παρόντος Εδαφίου θα ασχοηθούμε με το ζήτημα αυτό. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

35 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) V.. Έεγχος Είδους Ακροτάτων Χωρίς Συνθήκες Είναι προφανές ότι το απούστερο κριτήριο για τον προσδιορισμό του είδους του ακροτάτου αρκεί να θεωρήσουμε ένα οιοδήποτε σημείο αρκετά κοντά στο ακρότατο σημείο F F : και να εξετάσουμε το πρόσημο της διαφοράς ( ) ( ) ). το σημείο ( ) F( ) < F και ) το σημείο ( ) F( ) > F. είναι ένα τοπικό μέγιστο της ( ) είναι ένα τοπικό εάχιστο της ( ) F εάν και μόνον εάν F εάν και μόνον εάν Προς τούτο ας θεωρήσουμε ένα οιοδήποτε σημείο αρκετά κοντά στο ακρότατο σημείο. Στο σημείο σημείο είναι F το ανάπτυγμα Tlor της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) F ( ) ( ) ( ) Τ F ( ) ( ) ( ) F ( ) F F δ ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) F ( ) ( ) η πρώτης τάξης διακύμανση γύρω από F με κέντρο το όπου το της ( ) F στο σημείο και δ Τ F ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

36 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Τ ( ) Η ( )( ) F η δεύτερης τάξης διακύμανση γύρω από το της ( ) F στο Όμως επειδή το σημείο F σημείο. ( ) [ F( ) ] ( ) ( ) γύρω από το διαφοράς ( ) F( ) είναι ακρότατο σημείο της ( ) F ισχύει δ και άρα η πρώτης τάξης διακύμανση της F ( ) στο σημείο ισούται με μηδέν. Άρα το πρόσημο της F είναι το ίδιο με το πρόσημο της έκφρασης Έτσι καταήξαμε στο ακόουθο συμπέρασμα: Τ ( ) Η ( )( ) F. ). Το σημείο είναι ένα τοπικό μέγιστο (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν ). Το σημείο Τ ( ) Η ( )( ) < F είναι ένα τοπικό εάχιστο (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν Τ ( ) Η ( )( ) >. F 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

37 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7 V.. Παρατήρηση. Η έκφραση ( ) ( )( ) Τ Η F αναπαριστά μία τετραγωνική μορφή. Θυμίζουμε ότι μία τετραγωνική μορφή (: qudrtc form) είναι μία πραγματική συνάρτηση ποών μεταβητών της μορφής : Τ R R με ( ).... Τ Αν θέσουμε... και Α K O τότε η Τ γράφεται υπό την μορφή: ( ) ( ) Τ O ή συντομότερα: ( ) Τ Α Τ. Ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και έγεται πίνακας της τετραγωνικής μορφής. Αντιστρόφως κάθε συμμετρικός πίνακας Α ορίζει μία τετραγωνική μορφή την ( ) Τ Α Τ.

38 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των τετραγωνικών μορφών (από την οποία προέρχεται και η ονομασία τους) είναι η Τ ( t t... t ) t Τ(... ) t R { }. Στην δική μας περίπτωση (δηαδή στην περίπτωση της τετραγωνικής μορφής: Τ ( ) Η ( )( ) ) F ενδιαφέρει ο ακόουθος ορισμός: Λέμε ότι μία τετραγωνική μορφή Τ : R R είναι. θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένη εάν Τ( ) > (αντίστοιχα Τ( ) < κάθε R {}. μη ορισμένη όταν δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένη. ) για Λέμε επίσης ότι ένας συμμετρικός πίνακας είναι θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένος ή μη ορισμένος εάν η τετραγωνική μορφή που ορίζει είναι θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένη ή μη ορισμένη. Διατυπώνουμε χωρίς απόδειξη δύο Θεωρήματα που αποτεούν βασικά κριτήρια για το είδος μίας τετραγωνικής μορφής: Κριτήριο ο Μία τετραγωνική μορφή ( ) Τ Τ Α είναι θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένη εάν και μόνον εάν όες οι ιδιοτιμές του Α είναι θετικές (αντίστοιχα αρνητικές). Κριτήριο ο (Slvester) Έστω ( ) Τ πίνακα Α ο οποίος έχει κύριες υποορίζουσες τις οι ισοδυναμίες: Τ Α μία τετραγωνική μορφή με Α Α... Α. Τότε ισχύουν η Τ είναι θετικά ορισμένη Α > Α >... Α > > η Τ είναι αρνητικά ορισμένη Α < Α >... ( ) Α 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

39 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Μία σημαντική περίπτωση που θα χρειασθούμε παρακάτω είναι όταν οπότε είναι Α. Τότε το ο ως άνω Κριτήριο (Slvester) γράφεται ως εξής: Τ είναι Η τετραγωνική μορφή ( ) θετικά ορισμένη > Δ > αρνητικά ορισμένη < Δ. > Μετά τα όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη Παρατήρηση V. είμαστε σε θέση να επαναδιατυπώσουμε και εν μέρει να επεκτείνουμε το συμπέρασμα στο οποίο είχαμε καταήξει ως εξής: ). Το σημείο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ είναι ένα τοπικό μέγιστο της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν ο πίνακας Η ( ) ). Το σημείο F είναι αρνητικά ορισμένος. είναι ένα τοπικό εάχιστο της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν ο πίνακας Η ( ) F είναι θετικά ορισμένος. ). Εάν ο πίνακας Η F ( ) είναι μη ορισμένος και ισχύει det Η F ( ) Αντικειμενική Συνάρτηση F ( ) δεν παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο περίπτωση αυτή το σημείο είναι ένα σαγματικό σημείο ( ή σημείο σέας). ). Εάν ο πίνακας Η F ( ) είναι μη ορισμένος και ισχύει det Η F ( ) τότε η. Στην τότε δεν μπορούμε να αποφασίσουμε για την συμπεριφορά της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) στο σημείο. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9

40 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ V.. Παρατήρηση. (Η Ειδική Περίπτωση ) Για μία F F δύο μεταβητών ( ) ( ) Επί πέον είναι C τάξης Αντικειμενική Συνάρτηση και ένα ακρότατο σημείο της ( ) det Η F F F ( ) και ( ) ( ) F det F F ( ) ( ) ( ) ( ). F έχουμε: Σύμφωνα με το παραπάνω Κριτήριο Ταξινόμησης Ακροτάτων Σημείων και το Κριτήριο Slvester (Παρατήρηση V. σε.) εάν εάν εάν η συνάρτηση ( ) η συνάρτηση ( ) η συνάρτηση ( ) F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ) F ( ) > και det Η ( ) >. έχει τοπικό εάχιστο F F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ) F Όταν είναι det Η ( ) της συνάρτησης ( ) F ( ) < και det Η ( ) > έχει τοπικό μέγιστο F F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ) ( ) det Η < F. έχει σαγματικό σημείο τότε δεν μπορούμε να αποφασίσουμε για την συμπεριφορά F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

41 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) V.. Παράδειγμα. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ( ) ( ). F Λύση. Η συνάρτηση ( ) F είναι C τάξης στο R και τα πιθανά σημεία των τοπικών ακροτάτων της ικανοποιούν το σύστημα: ( ) ( ) F F από το οποίο προκύπτουν τα κρίσιμα σημεία ( ) ( ) ή ( ) ή ( ). Ακόμα έχουμε ( ) F ( ) ( ) F F ( ) F και άρα ( ) ( )( ) [ ] 6 det Η F. Ιδιαιτέρως για ( ) ( ) ή ( ) έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 det det det > Η F F F F F οπότε στα σημεία αυτά η συνάρτηση ( ) ( ) F έχει τοπικό εάχιστο. Για ( ) ( ) έχουμε ( ) det Η F οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε

42 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ σχετικά με την ύπαρξη ή όχι τοπικού ακροτάτου της ( ) όμως θεωρήσουμε τις ευθείες Για F στο σημείο ( ) ( ). Εάν R που περνούν από το σημείο ( ) θα έχουμε: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) F. είναι F ( ) F( ) ( ) F( ) για κάθε ] ε ε[ F Άρα στο σημείο ( ) ( ) για κάθε ( ) R ενώ για είναι όπου ε ( ). η συνάρτηση F( ) ( ) ακρότατο αά έχει σαγματικό σημείο. δεν έχει τοπικό V.5. Παράδειγμα. Σε Μάχη ο Στρατιωτικός Διοικητής της μίας πευράς έχει μοιράσει τις Δυνάμεις του σε δύο μέρη. Το ένα μέρος έχει καταάβει την τοποθεσία Α και το άο μέρος την τοποθεσία Β. Η απαριθμήτρια συνάρτηση ( ) F των Ρίψεων Βοών της πευράς αυτής εκφράζει τον αριθμό των Βοών που θα ρίπτονται και από τις δύο τοποθεσίες ανά ώρα και είναι ( ) 6 8 F όπου ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Α και ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Β. Να βρεθούν οι τιμές των και που μεγιστοποιούν την ( ) V.6 της σείδας 9). Λύση. Τα ακρότατα σημεία ( ) είναι οι ύσεις του συστήματος F.(Συγκρίνατε με το Παράδειγμα (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

43 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) F F δηαδή είναι ( ) ( ) Επειδή. ( ) ( ) 6 6 F ( ) < F ( ) F ( ) 6 και det ( ) > δηαδή ο πίνακας ( ) F Η F Η είναι αρνητικά ορισμένος το σημείο ( ) ( ) ένα τοπικό μέγιστο για την συνάρτηση F ( ). Όμως η συνάρτηση ( ) είναι F είναι συνεχής στο R και δεν έχει άα σημεία τοπικών ακροτάτων. Άρα το σημείο ( ) ( ) μεγιστοποιεί την συνάρτηση ( ) 6 8 F και είναι ( ) 78. F m F V.6. Παράδειγμα.Η Μέθοδος των Εαχίστων Τετραγώνων (: ethod of est Squres) Ποές φορές είναι γνωστά τα δεδομένα ενός πειράματος και ζητείται ο βάσει αυτών προσδιορισμός μίας αξιόπιστης προσεγγιστικής πρόβεψης σε άα σημεία του πειράματος. Μία ανεκτή και ογική απάντηση στο ζήτημα αυτό μπορεί να προέθει από την διαγνωστική κατασκευή μίας κατάηης συνάρτησης τέτοιας ώστε να διέρχεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στα δεδομένα του πειράματος: είναι αναμενόμενο ότι (κάτω από συνθήκες κανονικότητας) η συνάρτηση αυτή θα διέρχεται κοντά από τα σημεία του πειράματος για τα οποία ενδιαφερόμαστε και έτσι μία αξιόπιστη προσεγγιστική πρόβεψη στα επίμαχα σημεία του πειράματος θα παρέχεται από τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Η απούστερη τέτοια κατάηη συνάρτηση είναι προφανώς μία ευθεία η οποία ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

44 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ διασχίζουσα το <<νέφος>> των γνωστών δεδομένων ενός πειράματος θα διέρχεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στα δεδομένα αυτά. Έτσι σ ένα πρώτο στάδιο ζητείται η κατασκευή μίας ευθείας α β τέτοιας ώστε να διέρχεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στα πειραματικά δεδομένα: ( ) ( )... ( ) k k Για κάθε (... k) τα θεωρούμενα σημεία πάνω στην ευθεία α β έχουν τεταγμένες ~ α β (... k ) οι οποίες αποκίνουν από τα πειραματικά δεδομένα κατά d ~ α β (... k ). Ζητάμε οιπόν να προσδιορίσουμε τους αριθμούς α και β έτσι ώστε να εαχιστοποιήσουμε τις αποκίσεις αυτές. Ένας τρόπος να το επιτύχουμε είναι να αξιώσουμε όπως το συνοικό σφάμα d d d d k γίνει εάχιστο κατ απόυτη τιμή. Επειδή όμως άες από τις παραπάνω αποκίσεις είναι θετικές και άες είναι αρνητικές είναι δυνατόν το αγεβρικό τους άθροισμα να είναι απούτως μικρό ενώ οι αποκίσεις αυτές να είναι απούτως αρκετά μεγάες. Ένα καύτερο μέτρο του συνοικού σφάματος αποτεεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκίσεων Με άα όγια οδηγούμαστε στην εφαρμογή της Μεθόδου των Εαχίστων Τετραγώνων. Σύμφωνα με την Μέθοδο αυτή πρέπει να προσδιορίσουμε τους αριθμούς α και β οι οποίοι εαχιστοποιούν την συνάρτηση δύο μεταβητών d. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

45 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5 ( ) ( ) k k d d d F β α β α. Τα πιθανά σημεία τοπικών ακροτάτων της ( ) β α F προκύπτουν από το γραμμικό σύστημα ( ) ( ) k k k k k k F F β α β α β α β α β α το οποίο έχει την ακόουθη ύση. k k k k k k k k k k k k k k β και α Επειδή ( ) ( ) ( ) ( ) π β α β α β α β α β β α β β α α α > F F F F k k και (από την Ανισότητα Cuch Schwrz () ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] k k k k k F F F β α β α β α β α β β α α () Ανισότητα Cuch Schwrz: k k k v u v u

46 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ έπεται ότι το σημείο ( α β ) που προσδιορίσαμε μόις στο παραπάνω κυανό παίσιο είναι σημείο τοπικού εαχίστου. Εφαρμόζοντας τα προηγούμενα θα προσδιορίσουμε για παράδειγμα την ευθεία γραμμή α β η οποία με την Μέθοδο των Εαχίστων Τετραγώνων προσεγγίζει άριστα τα δεδομένα (..) (..) (..56) (.6.7) (.7.9) (.8.). Σχετικά έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Από τις Σχέσεις του τεευταίου κυανού παισίου (σε. 8) που προσδιορίζουν τα βρίσκουμε α (.5) α και β 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

47 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) και β (.5) οπότε η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση V.7. Παράδειγμα. ([Καδιανάκης Καρανάσιος Φεούρης 99]) Να βρεθούν και να χαρακτηρισθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης z z z ( z) e ( e )( e e )( e e )( e ). F Λύση. Η μερική παράγωγος F ( z) της F ( z) F και επειδή ( z) e e e e e γράφεται υπό την μορφή: ( z) F( z) F για κάθε ( z) R η F ( z) μηδενίζεται μόνον εάν e e ή ισοδύναμα μόνον εάν. Ομοίως όγω συμμετρίας η μερική παράγωγος ( z) της F ( z) F z και άρα αν ( z) μηδενίζεται μόνον εάν z. Επίσης F e e z e e e e ( z) F( z) z τότε ( z) F δίνονται από τις ύσεις του συστήματος F. Επομένως τα ακρότατα σημεία ( z ) της ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7

48 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ που είναι μόνον η ( z ) ( ) ( z) F είναι z z. Στο σημείο αυτό ο πίνακας Hess ( z) Η F 6 ( ) Η της F απ όπου έπεται ότι οι ποσότητες Α Α και Α του ου Κριτήριου (Slvester) της σείδας είναι τέτοιες ώστε Α < Α και Α. Άρα από το Κριτήριο Προσδιορισμού του > < Είδους των Ακροτάτων Χωρίς Συνθήκες Υποθέσεις (σείδα ) συμπεραίνουμε ότι η F ( z) μεγιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ). 5..Γ. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός (: No er Progrmmg) Ένα Πρόβημα του Μη Γραμμικού Προγραμματισμού έγκειται στην μη αρνητική μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση δηαδή στην αναζήτηση ακρότατου σημείου ( )... με όες τις συντεταγμένες μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς επί του οποίου εκδηώνεται μέγιστη ή εάχιστη τιμή αντιστοίχως (έμε επίσης μέγιστο ή εάχιστο κόστος αντιστοίχως) μίας δοθείσας Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) ( ) F... με... κάτω από ένα σύνοο Συνθηκών Υποθέσεων οι οποίες εκφράζονται υπό την μορφή ανισοτήτων 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

49 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ( ) Β ( Β g R m ). H εγόμενη Συνάρτηση των Υποθέσεων είναι μία διανυσματική συνάρτηση g g g g g... g m g m ( ) g(... ) ( ) ( ) ενώ οι Σταθερές των Υποθέσεων δίνονται από τον πίνακα στήη β β Β R m. β m Τις συντριπτικά περισσότερες φορές η διάσταση του χώρου του προβήματος συμβαίνει να είναι μεγαύτερη από το πήθος m των Συνθηκών Υποθέσεων: > m. Η διαφορά m είναι ο Αριθμός των Βαθμών Εευθερίας του Προβήματος. Επί πέον χωρίς απώεια του πρακτικού ενδιαφέροντος και χωρίς βάβη της γενικότητας θα υποθέτουμε αδιαείπτως ότι οι συναρτήσεις ( ) μεταβητή (... ). F και ( ) g είναι συνεχώς διαφορίσιμες ως προς την Στην περίπτωση μεγιστοποίησης (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Μη Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως εξής: m F( ) όταν ( ) Β g και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9

50 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: m F... ( )... όταν g g g (... ) (... ) m (... ) β m β β... και.... Αντιστοίχως στην περίπτωση εαχιστοποίησης (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Μη Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως ακοούθως: m F( ) όταν ( ) Β g και Ομοίως η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: m F... ( )... όταν g g g (... ) (... ) m (... ) β m β β... και 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

51 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ).... V.8. Παρατήρηση. Η όη πρόοδος που έχει επιτευχθεί μέχρι τώρα στο ζήτημα της αξιόπιστης και υποογιστικά χρήσιμης επίυσης του γενικού Προβήματος Μη Γραμμικού Προγραμματισμού είναι πού μικρή. Ο πέον γνωστός από τους κωδικοποιημένους Αγόριθμους που αφορούν στο ζήτημα αυτό είναι το Υποογιστικό Πρόγραμμα INOS το οποίο επιχειρεί την γραμμικοποίηση (: μετατροπή σε γραμμικά) των μη γραμμικών μερών της Αντικειμενικής Συνάρτησης ([urtg Suders 987]). 5..Δ. Γραμμικός Προγραμματισμός (: er Progrmmg) Ενα Πρόβημα του Γραμμικού Προγραμματισμού έγκειται στην (μη αρνητική) μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση δηαδή στην αναζήτηση ακρότατου σημείου ( )... (με όες τις συντεταγμένες μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς) επί του οποίου εκδηώνεται μέγιστη ή εάχιστη τιμή αντιστοίχως (έμε επίσης μέγιστο ή εάχιστο κόστος αντιστοίχως ) μίας δοθείσας Γραμμικής Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) C ( ) F... R (με... ) κάτω από ένα σύνοο Γραμμικών Συνθηκών Υποθέσεων οι οποίες εκφράζονται υπό την μορφή γραμμικών ανισοτήτων ( ) Β ( Β g R m ). H εγόμενη Γραμμική Συνάρτηση των Υποθέσεων είναι μία διανυσματική συνάρτηση ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

52 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ g g g g g... g m g m ( ) g(... ) ( ) ( ) της οποίας όες οι συνιστώσες g (... ) (... ) ως προς την μεταβητή (... ). Οι Σταθερές των Υποθέσεων δίνονται από τον πίνακα στήη είναι γραμμικές συναρτήσεις β β Β R m. β m Τις περισσότερες φορές η διάσταση του χώρου του προβήματος συμβαίνει να είναι μεγαύτερη από το πήθος m των Συνθηκών Υποθέσεων: > m. Η διαφορά m είναι ο Αριθμός των Βαθμών Εευθερίας του Προβήματος. Επί πέον χωρίς απώεια του πρακτικού ενδιαφέροντος και χωρίς βάβη της γενικότητας θα υποθέτουμε αδιαείπτως ότι οι συναρτήσεις ( ) (... ). F και ( ) g είναι συνεχώς διαφορίσιμες ως προς την μεταβητή Στην περίπτωση μεγιστοποίησης της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως εξής: m F( ) όταν ( ) Β g και Η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: [ F(... ) c c... c ] m... 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

53 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) m m όταν... m β β β m και.... Αντιστοίχως στην περίπτωση εαχιστοποίησης της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως ακοούθως: m F( ) όταν ( ) Β g και Ομοίως η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: [ F(... ) c c... c ] m όταν... και m m... m β.... β β m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

54 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ V.9. Παρατήρηση. Ανάογα με την μορφή των Συνθηκών Υποθέσεων κάθε Πρόβημα Γραμμικού Προγραμματισμού μπορεί να έχει. μία και μοναδική ύση. μη μοναδική ύση (: ποαπές ύσεις) ή.καμμία ύση. Μέχρι πρόσφατα όοι οι Αγόριθμοι που χρησιμοποιούνταν για τον προσδιορισμό αριθμητικών ύσεων σε συγκεκριμένα Προβήματα Γραμμικού Προγραμματισμού βασίζονταν στην περίφημη Μέθοδο Smple που παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά στις αρχές της δεκαετίας του 95 από τον G. B. Dtzg ([Dtzg 95][Dtzg 96] [Πραστάκος 99] και [Δάρας 995]). Ένας πήρης Κατάογος όων των διαθέσιμων κωδικοποιημένων Αγορίθμων επίυσης Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού δημοσιεύθηκε στην έκδοση [ΙΒΜ 99]. Πρόσφατα μία άη κατηγορία Αγορίθμων και αντιστοίχων Υποογιστικών Προγραμμάτων άρχισε να διαμορφώνεται και να αποδίδει αξιόογα αποτεέσματα. Πρόκειται για την κατηγορία των Αγορίθμων οι οποίοι βασίζονται στις εγόμενες Μεθόδους Εσωτερικού Σημείου ([Krmrkr 98] [Δάρας /Ι] και [Δάρας /ΙΙ]). Από υποογιστικής άποψης η πουποκότητα των Αγορίθμων αυτών είναι σαφώς καύτερη από την πουποκότητα των Αγορίθμων που βασίζονται στην Μέθοδο Smple. Ωστόσο στην πράξη η υπεροχή αυτή των Αγορίθμων Εσωτερικού Σημείου έναντι των Αγορίθμων της Μεθόδου Smple δεν καθίσταται πάντοτε εμφανής. Για όγους πηρότητας της παρουσίασης του κειμένου στην συνέχεια και μέχρι το τέος της παρούσης Παραγράφου 5..Δ θα παρουσιάσουμε τους δύο κυριότερους Αγόριθμους Επίυσης Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού: τον Αγόριθμο Smple και τον Αγόριθμο Krmrkr. Η παρουσίαση θα είναι σύντομη και χωρίς αποδείξεις. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει για περισσότερες πηροφορίες στις βιβιογραφικές αναφορές [Δάρας 995] και [Δάρας /Ι]. 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

55 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ωστόσο πριν ασχοηθούμε ιδιαιτέρως με τους δύο αυτούς Αγορίθμους ας δούμε πώς μπορεί να επιύσουμε στοιχειώδη Προβήματα Γραμμικού Προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις των Συνθηκών Υποθέσεων του Προβήματος. 5..Δ.. Γραφική Λύση Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Μερικά απά Προβήματα Γραμμικού Προγραμματισμού με δύο ή περισσότερες Συνθήκες Υποθέσεις και δ ύ ο μεταβητές μπορούν να παρασταθούν και να υθούν γραφικώς. V..Παράδειγμα. ([Σαπουντζής 989]) Έστω το Πρόβημα Γραμμικού Προγραμματισμού: όταν m [ z ( ) ] 5. Είναι γνωστό πως οι τιμές των και που ικανοποιούν μία εξίσωση της μορφής A B C κείνται επί μίας γραμμής στο επίπεδο. Αυτή η γραμμή διαιρεί το επίπεδο στα δύο και οι τιμές των και που ικανοποιούν την A B C κείνται στα παράπευρα της γραμμής. Μπορεί να αποδειχθεί ότι όα τα σημεία στη μία πευρά της γραμμής ικανοποιούν την ανισότητα ικανοποιούν την ανισότητα A B < C ενώ όα τα σημεία στην άη πευρά της γραμμής A B > C. Η πευρά που ικανοποιεί την ανισότητα A B > C μπορεί να βρεθεί αμβάνοντας ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω στην γραμμή και εξετάζοντας εάν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την ανισότητα ή όχι. Όταν C ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 55

56 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ διευκούνει να πάρουμε σαν σημείο την αρχή των αξόνων ( ): Εάν C > τότε η πευρά που περιέχει την αρχή των αξόνων περιαμβάνει τα σημεία ( ) με A B < C και Εάν C < τότε η πευρά που περιέχει την αρχή των αξόνων περιαμβάνει τα σημεία ( ) με A B > C. Στο Σχήμα παρακάτω έχουν χαραχθεί οι δύο γραμμές που ορίζονται από τις Συνθήκες Υποθέσεις του Προβήματος: και 5. Σχήμα Τα σημεία που ικανοποιούν την ανισότητα είναι το σύνοο των σημείων της γραμμής και των επί του επιπέδου ευρισκομένων σημείων αριστερά της γραμμής. Ομοίως τα σημεία που ικανοποιούν την ανισότητα 5 είναι το σύνοο των σημείων της γραμμής και των επί του επιπέδου ευρισκομένων σημείων αριστερά της γραμμής. Επειδή η περιοχή εντός της οποίας ικανοποιούνται όες οι Συνθήκες Υποθέσεις του 56 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

57 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Προβήματος καούμενη Εφικτή Περιοχή (: Fesble Rego) είναι το επίπεδο χωρίο OABC. Η βέτιστη Εφικτή ύση προσδιορίζεται εξετάζοντας την θέση της γραμμής C όπου C είναι οιαδήποτε πραγματική σταθερά. (Η γραμμή αυτή προέρχεται από την Αντικειμενική Συνάρτηση του Προβήματος.) Για διαφορετικές τιμές της σταθεράς C η γραμμή C αναπαρίσταται με διαφορετικές παράηες μεταξύ τους γραμμές. Δύο τέτοιες είναι οι παράηες γραμμές και που έχουν σχεδιασθεί με χοντρές γραμμές στο Σχήμα. Η παράηη διέρχεται από την Εφικτή Περιοχή και όα τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος DE αντιστοιχούν σε Εφικτές ύσεις που δίνουν τιμή (: κόστος) στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Η δεύτερη παράηη δεν διέρχεται από την εφικτή περιοχή και συνεπώς δεν υπάρχουν Εφικτές ύσεις που να δίνουν την τιμή στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Όπως καταδεικνύεται στο Σχήμα όταν η σταθερά C αμβάνει τιμές μεγαύτερες της τιμής η αντίστοιχη γραμμή C στο Σχήμα μετακινείται παράηα προς το ευθύγραμμο τμήμα DE και ακοουθώντας κατεύθυνση προς την γραμμή. Η Βέτιστη Εφικτή ύση επιτυγχάνεται μετακινώντας παράηα την γραμμή προς αυτήν την κατεύθυνση όσο το δυνατόν περισσότερο και ταυτόχρονα εξασφαίζοντας ότι η μετακινηθείσα παραήως γραμμή θα διέρχεται από το σημείο B. Τότε η μόνη Βέτιστη Εφικτή ύση θα είναι εκείνη που αντιστοιχεί στο σημείο B. Οι συντεταγμένες ( ) του B μπορούν να βρεθούν είτε από το Σχήμα είτε από την επίυση του συστήματος των εξισώσεων των δύο γραμμών: ( 5 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 57

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

force acting on the particles of the medium is proportional to the displacement of the particles, we can

force acting on the particles of the medium is proportional to the displacement of the particles, we can 1 Ανοικτή Επιστοή Προς την Επιτροπή Θεμάτων της Φυσικής Κατεύθυνσης Επειδή αμβάνουμε ποά παράπονα από συναδέϕους διορθωτές σύμϕωνα με τα οποία η επιτροπή των θεμάτων του υπουργείου απορρίπτει απόυτα τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΒΑΡΗ 2010 Κωνσταντίνος Μπίιας

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνοογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πηροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηεπικοινωνιών και Μετάδοσης Ίνες βηματικού δείκτη (step index fibres) Ίνα βηματικού δείκτη: απότομη (βηματική) μεταβοή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συμπηρώνει σωστά την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΑΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΑΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΑΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΡΩΞΑΝΗ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Επιέπων Καθηγητής: Μέη Τριµεούς Επιτροπής: Καθηγητής Μιχάης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Ημ/νία: 25 Μαίου 2012

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Ημ/νία: 25 Μαίου 2012 Πανεήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Φυσική Θετικής & Τεχνοογικής Κατεύθυνσης Ημ/νία: 5 Μαίου 0 Απαντήσεις Θεμάτων ΘΕΜΑ Α Α. Σωστή Απάντηση: γ Α. Σωστή Απάντηση: β Α. Σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ειρά: Γενικό ύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α υκείου, Β Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Εξώφυλλο: Γεωργία αμπροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 1. Ένα αυτοκίνητο κινείται με κατεύθυνση από το Νότο προς το Βορρά. Κάποια στιγμή ο οδηγός αντιαμβάνεται ένα εμπόδιο και φρενἀρει. Εάν το αυτοκίνητο διαθέτει Α.Β.S.,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα