ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο"

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ 7

2 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

3 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου ΒΙΒΛΙΟΥ ου ΤΟΜΟΥ Κεφάαιο 5 ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 5 5. Μαθηματική Βετιστοποίηση 5 5..A. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Με Συνθήκες (:Costred 7 Optmzto) 5..B. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Χωρίς Συνθήκες (:Ucostred Optmzto) 5..Γ. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός (:No er Progrmmg) 8 5..Δ. Γραμμικός Προγραμματισμός (:er Progrmmg) 5 5..Δ.. Γραφική Λύση Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Δ.. Ο Αγόριθμος Smple Δ.. Η Πρακτική Απόδοση της Εξέιξης του 88 Αγορίθμου Smple: Το Tbleu Smple 5..Δ.v. Ο Αγόριθμος του Krmrcr 5 5. Μία Εφαρμογή της Μεθόδου των Ποαπασιαστών grge: Η 9 Πουδιάσπαση Βόμβας 5. Παραδείγματα Γραμμικού Προγραμματισμού 5 Βιβιογραφία 6 Κεφάαιο 6 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ 8 Εισαγωγή: Το Πρόγραμμα <<Πρωτοβουία για την Στρατηγική Άμυνα>>(:<<Πόεμος των Άστρων>>) 5 6. Άμυνα σε Βάθος 5 6. Άμυνα σε Βάθος έναντι Επιθέσεων Εισβοέων που Χρησιμοποιούν 69 Κατευθυνόμενες Κεφαές 6. Αντιβαιστική Πυραυική Άμυνα (ΑΒΜ) και Θεωρία Παιγνίων: Καθαρές και 76 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

4 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Μικτές Στρατηγικές 6..Α. Θεωρία Παιγνίων (:Gme Theor): ο Πίνακας Τιμών των Κερδών ή 78 Ζημιών (:Poff tr) για τις δύο Πευρές 6..Α.. Βασικές Έννοιες και Ορισμοί Α.. Το Γενικό Σκεπτικό της Θεωρίας Παιγνίων σε Συγκεκριμένο 8 Παράδειγμα: Βέτιστες Γνήσιες Στρατηγικές 6..Α.. Μικτές Στρατηγικές Α.v. Συνάρτηση Αμοιβής και Στάθμη Ασφαείας 9 6..Β. Ανάυση της Αντιβαιστικής Πυραυικής Άμυνας Βέτιστες Διαδρομές Διέευσης δια μέσου Αντιαεροπορικής Άμυ 9 νας: η Συνάρτηση Απειής 6.5 Αντιαεροπορική Πυραυική Άμυνα εναντίον Επιτιθεμένου Ποε μικού Αεροσκάφους 6.5.Α. Ευθεία Επίθεση Αεροσκάφους κατά της Θέσης από την οποία Εκτοξεύονται οι Αντιαεροπορικοί Πύραυοι της Αμυνόμενης Πευράς 6.5.Β. Επίθεση εκ του Μακρόθεν Αεροσκάφους κατά της Θέσης από την οποία 9 Εκτοξεύονται οι Αντιαεροπορικοί Πύραυοι της Αμυνόμενης Πευράς 6.6 Τα Μοντέα Επάρκειας των Στρατηγικών Δυνάμεων: ΕΜΤ και 6 CP 6.6.A. Το Μοντέο της Αναγωγής στην Μεγατονική Κίμακα Β. Το Μοντέο της Μέτρησης του Στρατιωτικού Δυναμικού 6.6.Γ. Σύγκριση μεταξύ Στρατιωτικών Πυρηνικών Δυνάμεων Βιβιογραφία 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

5 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Κεφάαιο 5 Μέθοδοι Βετιστοποίησης Στο παρόν Κεφάαιο θα δώσουμε μία γενική επισκόπιση των θεμεειωδέστερων εννοιών της Μαθηματικής Βετιστοποίησης και ιδιαιτέρως του Κασικού του Μη Γραμμικού και του Γραμμικού Προγραμματισμού δίνοντας έμφαση στην περιγραφή των βασικών Αγορίθμων του Κασικού και του Γραμμικού Προγραμματισμού καθώς και σε κάποιες ενδεικτικές εφαρμογές των διάφορων τύπων βετιστοποίησης Αντικειμενικών Συναρτήσεων (: άες φορές ζητείται η μεγιστοποίηση Αντικειμενικών Συναρτήσεων και άες φορές η εαχιστοποίησή τους) σε θέματα Στρατιωτικού ενδιαφέροντος. 5.. Μαθηματική Βετιστοποίηση (: Optmzto) Οι διάφορες μαθηματικές τεχνικές επίυσης Προβημάτων Βετιστοποίησης (δηαδή προβημάτων στα οποία αναζητείται ένα σημείο στο οποίο μεγιστοποιείται ή εαχιστοποιείται Αντικειμενική Συνάρτηση μίας ή περισσοτέρων μεταβητών κάτω από ή χωρίς δεδομένες Συνθήκες Υποθέσεις) συνιστούν τον ιδιαίτερο επιστημονικό κάδο της Μαθηματικής Βετιστοποίησης ή Μαθηματικού Προγραμματισμού. Οι τεχνικές αυτές διαχωρίζονται και κατατάσσονται σε κατηγορίες αναόγως προς την ύπαρξη και φύση των Συνθηκών Υποθέσεων του προβήματος βετιστοποίησης τον αριθμό αυτών που προβούν στη ήψη των σχετικών αποφάσεων και την επιβαόμενη από το πρόβημα διαχείριση του μεγέθους του χρόνου (με άα όγια τον χαρακτηρισμό του περιγραφόμενου από το πρόβημα φαινόμενου ως στατικού ή δυναμικού φαινόμενου). Στον παρακάτω Πίνακα της σείδας ταξινομούνται επιγραμματικά οι κυριότερες των ως άνω κατηγοριών. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

6 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΤΟΜΩΝ (Ή ΚΕΝΤΡΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΟΥΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Ή ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΕΝΑ ΑΤΟΜΟ (Ή ΚΕΝΤΡΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΕΙ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΝΑ ΑΤΟΜΟ (Ή ΚΕΝΤΡΟ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΕΙ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΤΟΜΑ (Ή ΚΕΝΤΡΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΟΥΝ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

7 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Στο αμέσως επόμενο Κεφάαιο περί Στρατηγικής Άμυνας θα δοθεί η ευκαιρία στον αναγνώστη να γνωρίσει κάποιες στοιχειώδεις εισαγωγικές Αρχές και ορισμένα αντίστοιχα βασικά αποτεέσματα της Θεωρίας Παιγνίων όταν η θεωρία αυτή θα πρέπει να εφαρμοστεί κατά την μεέτη της διαχείρισης αμυντικών βαιστικών βημάτων. Επίσης στο Κεφάαιο (Εδάφιο.) θα συζητήσουμε θέματα Δυναμικού Προγραμματισμού προκειμένου να στηρίξουμε την αναφορά μας στην Θεωρία Λήψης Πουδιάστατων Αποφάσεων. Ωστόσο επειδή οι περισσότερες από τις Στρατιωτικές εφαρμογές αφορούν σε προβήματα στατικής φύσης. η σχετική παρουσίαση θα περιορισθεί κυρίως στα διάφορα είδη Στατικού Προγραμματισμού. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης που επιθυμεί την πηρέστερη ενημέρωσή του επί του όου θέματος παραπέμπεται στη σχετική Βιβιογραφία. 5..Α. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Με Συνθήκες (:Costred Optmzto) Ένα Πρόβημα Βετιστοποίησης Με Συνθήκες έγκειται στην μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση δηαδή στην αναζήτηση ακρότατου σημείου (... ) του R επί του οποίου εκδηώνεται μέγιστη ή εάχιστη τιμή αντιστοίχως (έμε επίσης μέγιστο ή εάχιστο κόστος αντιστοίχως) μίας δοθείσας Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) F ( R ) κάτω από ένα σύνοο Συνθηκών Υποθέσεων (: Costrts) οι οποίες εκφράζονται υπό την μορφή εξισώσεων ( ) Β ( Β g R m ). H εγόμενη Συνάρτηση των Υποθέσεων είναι μία διανυσματική συνάρτηση ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7

8 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ g g g g g... g m g m ( ) g(... ) ( ) ( ) ενώ οι Σταθερές των Συνθηκών Υποθέσεων δίνονται από τον πίνακα στήη β β Β R m. β m Να σημειωθεί ότι τις συντριπτικά περισσότερες φορές η διάσταση του χώρου του προβήματος συμβαίνει να είναι μεγαύτερη από το πήθος m των Συνθηκών Υποθέσεων: > m. Η διαφορά m είναι ο Αριθμός των Βαθμών Εευθερίας του Προβήματος. Επί πέον χωρίς απώεια του πρακτικού ενδιαφέροντος και χωρίς βάβη της γενικότητας θα υποθέτουμε αδιαείπτως ότι οι συναρτήσεις ( ) μεταβητή (... ). F και ( ) g είναι συνεχώς διαφορίσιμες ως προς την Στην περίπτωση που ζητείται η μεγιστοποίηση (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός τέτοιου προβήματος Κασικού Προγραμματισμού έχει ως εξής: m F( ) όταν g ( ) Β. Η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

9 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) όταν m F... g g ( )... (... ) (... ) β β... g m (... ) β. m Αντιστοίχως στην περίπτωση που ζητείται η εαχιστοποίηση (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός τέτοιου προβήματος Κασικού Προγραμματισμού έχει ως ακοούθως: m F( ) όταν g ( ) Β. Ομοίως η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: όταν m F... g g ( )... (... ) (... ) β β... g m (... ) β. m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9

10 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ V.. Παρατήρηση. Προφανώς η μεγιστοποίηση (του κόστους) μίας Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) ισοδυναμεί με την μεγιστοποίηση (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης bf( ) για οποιαδήποτε θετική επιογή b > της σταθεράς b και για οποιαδήποτε επιογή της προσθετικής σταθεράς. Ισοδυναμεί επίσης με την εαχιστοποίηση (του κόστους) bf για οποιαδήποτε αρνητική επιογή b < της της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) σταθεράς b και για οποιαδήποτε επιογή της προσθετικής σταθεράς. Έτσι ο ποαπασιασμός της συνάρτησης ( ) F με την αρνητική σταθερά b < μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψουμε ένα πρόβημα μεγιστοποίησης σε πρόβημα εαχιστοποίησης (ή αντιστρόφως για να μετατρέψουμε ένα πρόβημα εαχιστοποίησης σε πρόβημα μεγιστοποίησης). V.. Η Μέθοδος των Ποαπασιαστών grge(: grge ultpler ethod) Μία ικανή Μέθοδος για την επίυση προβημάτων Βετιστοποίησης Με Συνθήκες συνίσταται στην χρήση των Ποαπασιαστών grge (grge ultplers). Στο πρώτο Στάδιο της Μεθόδου αυτής εισάγεται ένας πίνακας στήη όπου... Λ m m αναπαριστούν m Ποαπασιαστές grge καθώς και η Συνάρτηση grge (: grg Fucto) R m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

11 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Τ ( Λ) : F( ) Λ ( Β g( )) F(... ) (... ) m β g β g β m g (... ) (... ) m (... ). Το σύμβοο Τ Λ χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση του ανάστροφου πίνακα του πίνακαστήη Λ δηαδή για την αναπαράσταση του πίνακα γραμμή (... ) Σύμφωνα με την Μέθοδο η ζητούμενη ύση συνιστώσα του ζεύγους ( Λ ) m. του προβήματος είναι η πρώτη στο οποίο όες μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της g έχουν μερικές παραγώγους πρώτης τάξης). Έτσι στο δεύτερο Στάδιο της Μεθόδου επιύεται το σύστημα των m εξισώσεων Συνάρτησης grge μηδενίζονται (προϋποτίθεται ότι οι συναρτήσεις F ( ) και ( ) ( Λ ) F( Λ ) Τ g ( ) ( ) και ( Λ ) Β g( ). Λ Η επίυση του συστήματος αυτού δίνει τα ζητούμενα ακρότατα σημεία ( Λ ) Λ της Συνάρτησης grge ( Λ) και εξ αυτών απ ευθείας τα ακρότατα σημεία κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις g ( ) έχουμε τον ακόουθο γενικό τρόπο εύρεσης ακροτάτων σημείων : (του. Έτσι ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

12 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ΤΡΟΠΟΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Β Λ Λ Λ Λ Λ Τ g g F και Το υποσύστημα των πρώτων εξισώσεων μπορεί να γραφεί και υπό την ισοδύναμη μορφή: ( ) ( ) ( ) g F Λ Τ όπου ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F : και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). m m m m m m g g g g g g g g g g Τ Λ O

13 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Επίσης το υποσύστημα των τεευταίων m εξισώσεων μπορεί να γραφεί και υπό την ισοδύναμη μορφή ( ) Β g. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα σημεία ( Λ ) ανωτέρω συστήματος των που θα προκύψουν από την επίυση του m εξισώσεων είναι τέτοια ώστε ( Λ ) F ( ). Μία εφαρμογή της Μεθόδου των Ποαπασιαστών grge θα δοθεί παρακάτω στο αμέσως επόμενο Εδάφιο 5.. Άη εφαρμογή της Μεθόδου θα παρουσιασθεί στο επόμενο Κεφάαιο 6 όταν θα συζητηθεί η ανάυση Διαστρωματωμένης Άμυνας εναντίον βαιστικών βημάτων. Προς το παρόν ας αρκεστούμε σε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα. V.. Παράδειγμα. ([Καδιανάκης Καρανάσιος Φεούρης 99]) Να βρεθούν τα ακρότατα της καμπύης του αξόνων ( ) Ο επιπέδου τα οποία είναι πησιέστερα προς και μακρύτερα από την αρχή των Λύση. Αρκεί να βρούμε τα ακρότατα ( ) Συνθήκη Υπόθεση 5 R της συνάρτησης F ( ) 6 5 Προς τούτο θεωρούμε την συνάρτηση grge 6. υπό την ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

14 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ( ) ( ) Τα ακρότατα σημεία ( ) της ( ) περιέχουν τα ζητούμενα ακρότατα ( ) και ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6 ) 5( 6 ) 5( ) 5( 6 ) 5( Για ( ) ( ) δεν ικανοποιείται η τρίτη εξίσωση ενώ το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων έχει μη μηδενική ύση όταν είναι: ( ) 8 ) 9( det ή. Για έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή ενώ για 8 έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή. Επί πέον είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 8 F F F F και οπότε θα έχουμε

15 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) και d για ( ) ( ) ( ή ) ( ) m d για ( ) ( ) ή ( ) ( ). m V.. Παράδειγμα. ([Καδιανάκης Καρανάσιος Φεούρης 99]) Να βρεθούν τα μήκη των ημιαξόνων της έειψης που ορίζεται ως τομή του επιπέδου z και του εειψοειδούς ( ) ( z ). Λύση. Επειδή το επίπεδο περνάει από την αρχή των αξόνων το τετράγωνο της απόστασης ενός σημείου ( z) της έειψης από την αρχή των αξόνων ( ) συνάρτηση ( z) z. F θα δίνεται από την Άρα τα άκρα των ημιαξόνων θα είναι εκείνα τα σημεία της έειψης στα οποία η συνάρτηση ( z) F παρουσιάζει μέγιστο ή εάχιστο κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις: Θεωρούμε την συνάρτηση grge: g ( z) z g και z ( z). z. ( z ) ( ) z z ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

16 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) Τα ακρότατα σημεία ( ) z της ( ) z είναι ύσεις του συστήματος ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z z ( ) ( ) ( ) z z z z. Το σύστημα των τριών πρώτων εξισώσεων με αγνώστους τα και είναι συμβιβαστό εάν ( ) ( ) 6 det z z οπότε ή.

17 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Για από τις δύο τεευταίες εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμε ( ) 6 6 ( ) και ( ) 5 5 οπότε σε κάθε τέτοιο ακρότατο σημείο ( z ) F z 5 η τιμή της F ( z) θα είναι ( z ) ( ) ( ) ( z ).6. Ομοίως για από τις δύο τεευταίες εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμε 5 ( ) ( ) και ( ) οπότε σε κάθε τέτοιο ακρότατο σημείο ( z ) F z 7 5 η τιμή της F ( z) θα είναι 6 ( z ) ( ) ( ) ( z ). Κατόπιν των ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι ο μεγάος άξονας της έειψης του Παραδείγματος έχει μήκος και ο μικρός Μέχρι τώρα γνωρίσαμε έναν υποογιστικό τρόπο (: Μέθοδος των Ποαπασιαστών grge) προσδιορισμού των ακρότατων σημείων (του κόστους) μίας Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) κάτω από την παρουσία περιοριστικών Συνθηκών Υποθέσεων. Όμως δεν συζητήσαμε καθόου τους τρόπους χαρακτηρισμού και ταξινόμησης ενός τέτοιου ακρότατου σημείου ως μέγιστου ή εάχιστου σημείου της F ( ). Στην συνέχεια και μέχρι το τέος του παρόντος Εδαφίου θα ασχοηθούμε με το ζήτημα αυτό. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7

18 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) V.5. Έεγχος του Είδους των Ακροτάτων υπό Συνθήκες Τα οικά ακρότατα της συνάρτησης ( ) ( ) F F... κάτω από τις ( ) m < Συνθήκες Υποθέσεις ( ) ( ) ( ) ( ) m m g g g g g g g g προκύπτουν εύκοα μετά από απή σύγκριση των τιμών της ( ) F στα διάφορα σημεία τοπικών ακροτάτων που θα προσδιορίσουμε. Για τον έεγχο όμως του είδους των τοπικών ακροτάτων της ( ) F (ή ισοδύναμα της ( ) ( ) ( ) ( ) g F Β Λ Λ Τ : ) θα παραθέσουμε ένα σχετικό Θεώρημα χωρίς απόδειξη αφού προηγουμένως δώσουμε κάποια απαραίτητα στοιχεία. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση του grge ( ) Λ έχει ακρότατο σημείο το ( ) και ότι η συνάρτηση ( ) F είναι C τάξης στο. Έστω ακόμα ότι η διανυσματική συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ) m g g g g g Τ είναι C τάξης στο. Τότε στο σημείο ( ) ορίζονται:. Ο ( ) m πίνακας ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : D O και

19 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9. ο ( ) ( ) m m πίνακας ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' : ~ Ο Τ g g D D όπου ( ) g' είναι η παράγωγος της διανυσματικής συνάρτησης ( ) g στο σημείο δηαδή ο ( ) m πίνακας ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). : ' g g g g g g g g g g m m m O Θεωρούμε τώρα τις ορίζουσες m D D D... που ορίζονται ως εξής: ( ) ~ det D D D είναι η ορίζουσα του πίνακα που θα προκύψει από τον ( ) ~ D όταν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήη D είναι η ορίζουσα του πίνακα που θα προκύψει από τον ( ) ~ D όταν διαγράψουμε τις δύο πρώτες γραμμές και τις δύο πρώτες στήες κ. ο. κ Iσχύει το ακόουθο γενικό Κριτήριο Προσδιορισμού του Είδους των Ακροτάτων σε Πρόβημα Βετιστοποίησης με Συνθήκες Υποθέσεις:

20 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Ι. Το ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ είναι σημείο εαχίστου της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) Συνθήκες Υποθέσεις ( ) ΙΙ. Το g όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω: α). m άρτιος και D > για κάθε... m β) m περιττός και D < για κάθε... m είναι σημείο μεγίστου της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) Συνθήκες Υποθέσεις g ( ) άρτιος και ( ) < α). περιττός και ( ) > β) όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω: D για κάθε... m D για κάθε... m. F κάτω από τις F κάτω από τις Στην συνέχεια παραθέτουμε τρεις ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω Κριτηρίου που όμως είναι και οι συνηθέστερες: V.5.. Περίπτωση η Συνάρτηση δύο Μεταβητών και μία Συνθήκη Υπόθεση (: m ) Τότε είναι Αν ( ) ( ) F( ) g( ). είναι ακρότατο σημείο της ( ) τότε ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

21 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det g g g g D και σύμφωνα με το ανωτέρω Κριτήριο θα είναι.αν > D τότε η ( ) F έχει στο σημείο ( ) τοπικό μέγιστο.. Αν < D τότε η ( ) F έχει στο σημείο ( ) τοπικό εάχιστο V.5..Περίπτωση η Συνάρτηση τριών Μεταβητών και μία Συνθήκη Υπόθεση (: m ) Τότε είναι ( ) ( ) ( ) z g z F z. Αν ( ) ( ) z είναι ακρότατο σημείο της ( ) z τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det g g g g g g D z z z z z z z z και

22 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ D ( ) ( ) ( ) z g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z g z g det z g z. Σύμφωνα με το Κριτήριο θα έχουμε.αν D < και > ( z ) D τότε η F ( z) τοπικό μέγιστο..αν D < και < ( z ) D τότε η F ( z) τοπικό εάχιστο. έχει στο σημείο έχει στο σημείο V.5.. Περίπτωση η Συνάρτηση τριών Μεταβητών και δύο Συνθήκες Υποθέσεις (: m ) Τότε είναι ( z μ) F( z) g ( z) g ( z). μ είναι ακρότατο σημείο της ( z μ) Αν ( μ ) ( z μ ) D και ισχύουν τα εξής: z g g z g g det z z z z g z g z μ g g g z g g g z ( ) τότε ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

23 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) D τότε η F ( z).αν < D τότε η F ( z). Αν > έχει στο σημείο ( z ) έχει στο σημείο ( z ) τοπικό μέγιστο. τοπικό εάχιστο Ας δώσουμε τώρα κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα εφαρμογής των παραπάνω τριών Περιπτώσεων. V.6. Παράδειγμα. (Η η Περίπτωση κατά την οποία m ) Σε Μάχη ο Στρατιωτικός Διοικητής της μίας πευράς έχει μοιράσει τις Δυνάμεις του σε δύο μέρη. Το ένα μέρος έχει καταάβει την τοποθεσία Α και το άο μέρος την τοποθεσία Β. Η απαριθμήτρια συνάρτηση ( ) F των Ρίψεων Βοών της πευράς αυτής εκφράζει τον αριθμό των Βοών που θα ρίπτονται και από τις δύο τοποθεσίες ανά ώρα και είναι ( ) 6 8 F όπου ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Α και ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Β. Εάν να βρεθούν οι τιμές των και που μεγιστοποιούν την ( ) Λύση. Η συνθήκη F. περιορίζει το πεδίο ορισμού της ( ) Ω {( ) R : }. Επειδή η F ( ) είναι αναυτική συνάρτηση η ( ) F στο σύνοο F (εάν μεγιστοποιείται θα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

24 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ μεγιστοποιείται στο σύνορο Ω {( ) R : } του Ω. Η εξίσωση g ( ) που ορίζει το σύνορο αυτό αποτεεί την Συνθήκη Υπόθεση για την Αντικειμενική Συνάρτηση ( ) F. Θεωρούμε την συνάρτηση grge ( ) F( ) g( ). Τα ακρότατα σημεία της είναι οι ύσεις του συστήματος ( ) ( ) 6 6 ( ). Η μοναδική ύση αυτού του συστήματος είναι ( ) ( 68 ). Για τον έεγχο του είδους του ακρότατου σημείου αυτού θεωρούμε την ορίζουσα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

25 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) D ( 68 ) ( 68 ) g ( 68) ( 68 ) ( 68 ) g ( 68) ( 68) g ( 68) det g det 6 6. Επειδή > D η συνάρτηση ( ) συνθήκη. F μεγιστοποιείται στο σημείο ( ) ( 68 ) υπό την V.7. Παράδειγμα. (Η η Περίπτωση κατά την οποία m ) Να βρεθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης υπό την συνθήκη F ( z) l l l z ( g( z) 5 ) z 5 z. Λύση. Η συνάρτηση F ( z) Ω {( z) : > > z > } ορίζεται και είναι C τάξης στο σύνοο. Θεωρούμε την αντίστοιχη συνάρτηση grge: ( z) l l l z ( z 5). Τα ακρότατα σημεία της ( z ) ικανοποιούν το σύστημα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

26 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 z z z z z z z z z z ή ισοδύναμα το σύστημα ( ) ( ) ( ) z Επειδή η ( ) z F ορίζεται στο σύνοο ( ) { } : > > > Ω z z η μοναδική ύση του συστήματος είναι το σημείο ( ) ( ) ( ) 8 : z. Για τον έεγχο του είδους του ακροτάτου αυτού σημείου θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Τ ' ' ~ g g g g g g g g D D z z z z z z z z

27 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7 ( ) ( ) ( ). z z z Επειδή m m και ( ) 8 ~ det D D () () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) det < και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 det > D

28 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ έπεται ότι η συνάρτηση F( z) l l l z z 5 ( g( z) z 5 ) κάτω από την Συνθήκη Υπόθεση μεγιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ) αμβάνοντας μέγιστη τιμή ( 8) l 97 F m l. V.8. Παράδειγμα. (Η η Περίπτωση κατά την οποία m ) Να βρεθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης ( z) z F υπό τις συνθήκες ( g ( z) ) και Λύση. Θεωρούμε την συνάρτηση grge ( g ( z) ) z z. ( z μ) z ( ) μ ( z ) Τα ακρότατα σημεία ( z μ ) συστήματος:. της ( z μ) προκύπτουν από την ύση του 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

29 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). : ± m μ μ απ ναι ε μ μ μ μ μ μ μ μ z z ό ί z z z z z z z Επομένως τα ακρότατα σημεία είναι: ( ) ( ) : μ μ z και ( ) ( ) : μ μ z. Προκειμένου τώρα να προσδιορίσουμε το είδος των ακροτάτων αυτών θεωρούμε τον πίνακα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Τ ' ' ~ z z z z z z z z z z g g g g g g g g g g g g g g D D μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ. Όταν

30 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ~ D ( μ ) ( z μ ) D οπότε συμπεραίνουμε ότι η F ( z) είναι det ( ) < κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις και z μεγιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ) F m. Όταν πάι αμβάνοντας ως μέγιστη τιμή την τιμή ( μ ) ( z μ ) ~ D και άρα η F ( z) έχουμε det D( ) > κάτω από τις Συνθήκες Υποθέσεις και z εαχιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ) αμβάνοντας την τιμή F. m 5..Β. Κασικός Προγραμματισμός: Βετιστοποίηση Χωρίς Συνθήκες (: Ucostred Optmzto) Ειδική περίπτωση Κασικού Προγραμματισμού αποτεεί η κατηγορία των Προβημάτων Βετιστοποίησης Χωρίς Συνθήκες Υποθέσεις. Σ ένα τέτοιο πρόβημα εξετάζεται η δυνατότητα προσδιορισμού και χαρακτηρισμού των ακρότατων (μέγιστων ή εάχιστων) σημείων μίας C τάξης Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) ( R ) χωρίς να περιορίζεται ο τόπος αναζήτησης του ακρότατου αυτού σημείου της F ( ) από οποιοδήποτε περιορισμό της μορφής ( ) Β g. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

31 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Σε μία τέτοια περίπτωση η τιμή (το κόστος) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) στο ακρότατο σημείο ικανοποιεί την διανυσματική εξίσωση F ( ) F ( ) ( ) F( ) F( ) F. Η εξίσωση αυτή σημαίνει ότι όες οι αποκίσεις της F ( ) κατά μήκος της οιασδήποτε κατεύθυνσης (... ) είναι μηδενικές. Με άα όγια η εξίσωση αυτή σημαίνει ότι στο ακρότατο σημείο ισχύουν όες οι παρακάτω εξισώσεις: ΤΡΟΠΟΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ F ( ) ( ) στο.... Ωστόσο όταν η διάσταση του χώρου εντός του οποίου αμβάνει τιμές η μεταβητή ή όταν η μορφή της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) είναι πούποκη η θεωρητική επίυση της εξίσωσης ( ) F είναι συνήθως πού δύσκοη ή και αδύνατη. Ως εκ τούτου η παραπάνω υποογιστική διαδικασία προσδιορισμού ενός σημείου του οποίου η F ( ) βετιστοποιείται αποβαίνει πρακτικά ανεφάρμοστη. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να επινοηθεί και να εφαρμοσθεί μία άη εναακτική Μέθοδος. Η Μέθοδος αυτή υπάρχει και δεν είναι θεωρητική αά υποογιστική. Πρόκειται για μία επαναηπτική αριθμητική μέθοδο της οποίας το σκεπτικό και το Σχήμα (δηαδή ο βασικός Μαθηματικός Τύπος) παρουσιάζεται αμέσως παρακάτω: επί ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

32 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) V.9. O Αγόριθμος Newto Rphso. Εφόσον οι δύοπρώτες παράγωγοι της ( ) F είναι συνεχείς η οική απόκιση της ( ) F μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Tlor γύρω από ένα οιοδήποτε σημείο έτσι ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F Τ όροι υψηότερης τάξης ως προς ( ) Τ. Ιδιαιτέρως για δηαδή στο ακρότατο σημείο και για κείμενο αρκετά κοντά στο ακρότατο αυτό σημείο οι όροι υψηότερης τάξης ως προς ( ) Τ είναι πρακτικά αμεητέοι. Ως εκ τούτου ισχύει η προσεγγιστική σχέση: ( ) ( ) ( ) ( ) F F F Τ. Επειδή η έκφραση ( ) F είναι ένας συμμετρικός πίνακας συνδυασμός της προσεγγιστικής αυτής σχέσης και της διανυσματικής εξίσωσης στο τέος της σείδας 5 οδηγεί στην διαπίστωση ( ) ( ) ( ) Τ F F. Από την διαπίστωση αυτή έπεται ότι ( ) ( ) Τ F F ή ισοδύναμα ότι ( ) ( ) ( ) ( ) Τ Η F

33 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) όπου ο συμβοισμός ( ) Η αναπαριστά τον πίνακα Hess της ( ) F στο σημείο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F F F F F F F Η Η O και ο συμβοισμός ( ) F την απόκιση της ( ) F στο σημείο : ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F K Η ερμηνεία του Τύπου: ( ) ( ) ( ) ( ) Τ F H δεν εγγυάται ότι με την πρώτη επιογή κάποιου σημείου κειμένου αρκετά κοντά στο ακρότατο σημείο θα άβουμε ικανοποιητική προσέγγιση του. Συχνά είναι απαραίτητο να επαναάβουμε την διαδικασία αρκετές φορές έως ότου επιτύχουμε την ακρίβεια προσέγγισης που επιθυμούμε. Οι επαναήψεις της διαδικασίας αυτής περιγράφονται με το ακόουθο Αγοριθμικό Σχήμα το οποίο είναι γνωστό ως ο (Πουδιάστατος) Αγόριθμος Newto Rphso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... Η Τ Τ k F F F k k k k k k k

34 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ k ( k ) ( k ) ( k ) Τα σημεία (... ) k υποογισθέντα ( k ) ( k ) ( k ) (... ) δημιουργούμενη ακοουθία σημείων { k : k... } ακρότατο σημείο που προκύπτουν προέρχονται από τα μόις προηγουμένως έτσι ώστε η κατ αυτόν τον τρόπο. Να σημειωθεί πως όταν η εξίσωση ( ) να συγκίνει γρήγορα προς το F έχει περισσότερες της μίας ύσεις τότε για μία δοθείσα επιογή του αρχικού σημείου ο Αγόριθμος Newto Rphso συγκίνει προς την κοντινότερη προς το σημείο ύση. V.. Παρατήρηση. Το θέμα της επιογής ενός κατάηου αρχικού σημείου αά και το θέμα του απαιτούμενου πήθους επαναήψεων που θα κριθεί ως αναγκαίο για την εξασφάιση ικανοποιητικής προσέγγισης μίας ακρότατης ύσης είναι δύο βασικά τεχνικά θέματα που αντιμετωπίζονται με τρόπους που εμπίπτουν στο γνωστικό πεδίο της Αριθμητικής Βετιστοποίησης ([Δάρας /II]). Μέχρι τώρα γνωρίσαμε έναν θεωρητικό τρόπο και έναν υποογιστικό τρόπο (:Πουδιάστατος Αγόριθμος Newto Rphso) προσδιορισμού των ακρότατων σημείων (του κόστους) μίας Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) χωρίς την παρουσία περιοριστικών Συνθηκών Υποθέσεων. Όμως δεν συζητήσαμε καθόου τους τρόπους χαρακτηρισμού και ταξινόμησης ενός τέτοιου ακρότατου σημείου ως μέγιστου ή εάχιστου σημείου της F ( ). Στην συνέχεια και μέχρι το τέος του παρόντος Εδαφίου θα ασχοηθούμε με το ζήτημα αυτό. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

35 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) V.. Έεγχος Είδους Ακροτάτων Χωρίς Συνθήκες Είναι προφανές ότι το απούστερο κριτήριο για τον προσδιορισμό του είδους του ακροτάτου αρκεί να θεωρήσουμε ένα οιοδήποτε σημείο αρκετά κοντά στο ακρότατο σημείο F F : και να εξετάσουμε το πρόσημο της διαφοράς ( ) ( ) ). το σημείο ( ) F( ) < F και ) το σημείο ( ) F( ) > F. είναι ένα τοπικό μέγιστο της ( ) είναι ένα τοπικό εάχιστο της ( ) F εάν και μόνον εάν F εάν και μόνον εάν Προς τούτο ας θεωρήσουμε ένα οιοδήποτε σημείο αρκετά κοντά στο ακρότατο σημείο. Στο σημείο σημείο είναι F το ανάπτυγμα Tlor της Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) F ( ) ( ) ( ) Τ F ( ) ( ) ( ) F ( ) F F δ ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) F ( ) ( ) η πρώτης τάξης διακύμανση γύρω από F με κέντρο το όπου το της ( ) F στο σημείο και δ Τ F ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

36 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Τ ( ) Η ( )( ) F η δεύτερης τάξης διακύμανση γύρω από το της ( ) F στο Όμως επειδή το σημείο F σημείο. ( ) [ F( ) ] ( ) ( ) γύρω από το διαφοράς ( ) F( ) είναι ακρότατο σημείο της ( ) F ισχύει δ και άρα η πρώτης τάξης διακύμανση της F ( ) στο σημείο ισούται με μηδέν. Άρα το πρόσημο της F είναι το ίδιο με το πρόσημο της έκφρασης Έτσι καταήξαμε στο ακόουθο συμπέρασμα: Τ ( ) Η ( )( ) F. ). Το σημείο είναι ένα τοπικό μέγιστο (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν ). Το σημείο Τ ( ) Η ( )( ) < F είναι ένα τοπικό εάχιστο (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν Τ ( ) Η ( )( ) >. F 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

37 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7 V.. Παρατήρηση. Η έκφραση ( ) ( )( ) Τ Η F αναπαριστά μία τετραγωνική μορφή. Θυμίζουμε ότι μία τετραγωνική μορφή (: qudrtc form) είναι μία πραγματική συνάρτηση ποών μεταβητών της μορφής : Τ R R με ( ).... Τ Αν θέσουμε... και Α K O τότε η Τ γράφεται υπό την μορφή: ( ) ( ) Τ O ή συντομότερα: ( ) Τ Α Τ. Ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και έγεται πίνακας της τετραγωνικής μορφής. Αντιστρόφως κάθε συμμετρικός πίνακας Α ορίζει μία τετραγωνική μορφή την ( ) Τ Α Τ.

38 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των τετραγωνικών μορφών (από την οποία προέρχεται και η ονομασία τους) είναι η Τ ( t t... t ) t Τ(... ) t R { }. Στην δική μας περίπτωση (δηαδή στην περίπτωση της τετραγωνικής μορφής: Τ ( ) Η ( )( ) ) F ενδιαφέρει ο ακόουθος ορισμός: Λέμε ότι μία τετραγωνική μορφή Τ : R R είναι. θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένη εάν Τ( ) > (αντίστοιχα Τ( ) < κάθε R {}. μη ορισμένη όταν δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά ορισμένη. ) για Λέμε επίσης ότι ένας συμμετρικός πίνακας είναι θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένος ή μη ορισμένος εάν η τετραγωνική μορφή που ορίζει είναι θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένη ή μη ορισμένη. Διατυπώνουμε χωρίς απόδειξη δύο Θεωρήματα που αποτεούν βασικά κριτήρια για το είδος μίας τετραγωνικής μορφής: Κριτήριο ο Μία τετραγωνική μορφή ( ) Τ Τ Α είναι θετικά (αντίστοιχα αρνητικά) ορισμένη εάν και μόνον εάν όες οι ιδιοτιμές του Α είναι θετικές (αντίστοιχα αρνητικές). Κριτήριο ο (Slvester) Έστω ( ) Τ πίνακα Α ο οποίος έχει κύριες υποορίζουσες τις οι ισοδυναμίες: Τ Α μία τετραγωνική μορφή με Α Α... Α. Τότε ισχύουν η Τ είναι θετικά ορισμένη Α > Α >... Α > > η Τ είναι αρνητικά ορισμένη Α < Α >... ( ) Α 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

39 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Μία σημαντική περίπτωση που θα χρειασθούμε παρακάτω είναι όταν οπότε είναι Α. Τότε το ο ως άνω Κριτήριο (Slvester) γράφεται ως εξής: Τ είναι Η τετραγωνική μορφή ( ) θετικά ορισμένη > Δ > αρνητικά ορισμένη < Δ. > Μετά τα όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη Παρατήρηση V. είμαστε σε θέση να επαναδιατυπώσουμε και εν μέρει να επεκτείνουμε το συμπέρασμα στο οποίο είχαμε καταήξει ως εξής: ). Το σημείο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ είναι ένα τοπικό μέγιστο της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν ο πίνακας Η ( ) ). Το σημείο F είναι αρνητικά ορισμένος. είναι ένα τοπικό εάχιστο της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) εάν και μόνον εάν ο πίνακας Η ( ) F είναι θετικά ορισμένος. ). Εάν ο πίνακας Η F ( ) είναι μη ορισμένος και ισχύει det Η F ( ) Αντικειμενική Συνάρτηση F ( ) δεν παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο περίπτωση αυτή το σημείο είναι ένα σαγματικό σημείο ( ή σημείο σέας). ). Εάν ο πίνακας Η F ( ) είναι μη ορισμένος και ισχύει det Η F ( ) τότε η. Στην τότε δεν μπορούμε να αποφασίσουμε για την συμπεριφορά της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) στο σημείο. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9

40 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ V.. Παρατήρηση. (Η Ειδική Περίπτωση ) Για μία F F δύο μεταβητών ( ) ( ) Επί πέον είναι C τάξης Αντικειμενική Συνάρτηση και ένα ακρότατο σημείο της ( ) det Η F F F ( ) και ( ) ( ) F det F F ( ) ( ) ( ) ( ). F έχουμε: Σύμφωνα με το παραπάνω Κριτήριο Ταξινόμησης Ακροτάτων Σημείων και το Κριτήριο Slvester (Παρατήρηση V. σε.) εάν εάν εάν η συνάρτηση ( ) η συνάρτηση ( ) η συνάρτηση ( ) F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ) F ( ) > και det Η ( ) >. έχει τοπικό εάχιστο F F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ) F Όταν είναι det Η ( ) της συνάρτησης ( ) F ( ) < και det Η ( ) > έχει τοπικό μέγιστο F F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ) ( ) det Η < F. έχει σαγματικό σημείο τότε δεν μπορούμε να αποφασίσουμε για την συμπεριφορά F στο ακρότατο σημείο της ( ) ( ). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

41 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) V.. Παράδειγμα. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ( ) ( ). F Λύση. Η συνάρτηση ( ) F είναι C τάξης στο R και τα πιθανά σημεία των τοπικών ακροτάτων της ικανοποιούν το σύστημα: ( ) ( ) F F από το οποίο προκύπτουν τα κρίσιμα σημεία ( ) ( ) ή ( ) ή ( ). Ακόμα έχουμε ( ) F ( ) ( ) F F ( ) F και άρα ( ) ( )( ) [ ] 6 det Η F. Ιδιαιτέρως για ( ) ( ) ή ( ) έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 det det det > Η F F F F F οπότε στα σημεία αυτά η συνάρτηση ( ) ( ) F έχει τοπικό εάχιστο. Για ( ) ( ) έχουμε ( ) det Η F οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε

42 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ σχετικά με την ύπαρξη ή όχι τοπικού ακροτάτου της ( ) όμως θεωρήσουμε τις ευθείες Για F στο σημείο ( ) ( ). Εάν R που περνούν από το σημείο ( ) θα έχουμε: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) F. είναι F ( ) F( ) ( ) F( ) για κάθε ] ε ε[ F Άρα στο σημείο ( ) ( ) για κάθε ( ) R ενώ για είναι όπου ε ( ). η συνάρτηση F( ) ( ) ακρότατο αά έχει σαγματικό σημείο. δεν έχει τοπικό V.5. Παράδειγμα. Σε Μάχη ο Στρατιωτικός Διοικητής της μίας πευράς έχει μοιράσει τις Δυνάμεις του σε δύο μέρη. Το ένα μέρος έχει καταάβει την τοποθεσία Α και το άο μέρος την τοποθεσία Β. Η απαριθμήτρια συνάρτηση ( ) F των Ρίψεων Βοών της πευράς αυτής εκφράζει τον αριθμό των Βοών που θα ρίπτονται και από τις δύο τοποθεσίες ανά ώρα και είναι ( ) 6 8 F όπου ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Α και ο αριθμός των ποεμιστών που θα πυροβοούν από την τοποθεσία Β. Να βρεθούν οι τιμές των και που μεγιστοποιούν την ( ) V.6 της σείδας 9). Λύση. Τα ακρότατα σημεία ( ) είναι οι ύσεις του συστήματος F.(Συγκρίνατε με το Παράδειγμα (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης F ( ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

43 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) F F δηαδή είναι ( ) ( ) Επειδή. ( ) ( ) 6 6 F ( ) < F ( ) F ( ) 6 και det ( ) > δηαδή ο πίνακας ( ) F Η F Η είναι αρνητικά ορισμένος το σημείο ( ) ( ) ένα τοπικό μέγιστο για την συνάρτηση F ( ). Όμως η συνάρτηση ( ) είναι F είναι συνεχής στο R και δεν έχει άα σημεία τοπικών ακροτάτων. Άρα το σημείο ( ) ( ) μεγιστοποιεί την συνάρτηση ( ) 6 8 F και είναι ( ) 78. F m F V.6. Παράδειγμα.Η Μέθοδος των Εαχίστων Τετραγώνων (: ethod of est Squres) Ποές φορές είναι γνωστά τα δεδομένα ενός πειράματος και ζητείται ο βάσει αυτών προσδιορισμός μίας αξιόπιστης προσεγγιστικής πρόβεψης σε άα σημεία του πειράματος. Μία ανεκτή και ογική απάντηση στο ζήτημα αυτό μπορεί να προέθει από την διαγνωστική κατασκευή μίας κατάηης συνάρτησης τέτοιας ώστε να διέρχεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στα δεδομένα του πειράματος: είναι αναμενόμενο ότι (κάτω από συνθήκες κανονικότητας) η συνάρτηση αυτή θα διέρχεται κοντά από τα σημεία του πειράματος για τα οποία ενδιαφερόμαστε και έτσι μία αξιόπιστη προσεγγιστική πρόβεψη στα επίμαχα σημεία του πειράματος θα παρέχεται από τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία αυτά. Η απούστερη τέτοια κατάηη συνάρτηση είναι προφανώς μία ευθεία η οποία ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

44 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ διασχίζουσα το <<νέφος>> των γνωστών δεδομένων ενός πειράματος θα διέρχεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στα δεδομένα αυτά. Έτσι σ ένα πρώτο στάδιο ζητείται η κατασκευή μίας ευθείας α β τέτοιας ώστε να διέρχεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στα πειραματικά δεδομένα: ( ) ( )... ( ) k k Για κάθε (... k) τα θεωρούμενα σημεία πάνω στην ευθεία α β έχουν τεταγμένες ~ α β (... k ) οι οποίες αποκίνουν από τα πειραματικά δεδομένα κατά d ~ α β (... k ). Ζητάμε οιπόν να προσδιορίσουμε τους αριθμούς α και β έτσι ώστε να εαχιστοποιήσουμε τις αποκίσεις αυτές. Ένας τρόπος να το επιτύχουμε είναι να αξιώσουμε όπως το συνοικό σφάμα d d d d k γίνει εάχιστο κατ απόυτη τιμή. Επειδή όμως άες από τις παραπάνω αποκίσεις είναι θετικές και άες είναι αρνητικές είναι δυνατόν το αγεβρικό τους άθροισμα να είναι απούτως μικρό ενώ οι αποκίσεις αυτές να είναι απούτως αρκετά μεγάες. Ένα καύτερο μέτρο του συνοικού σφάματος αποτεεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκίσεων Με άα όγια οδηγούμαστε στην εφαρμογή της Μεθόδου των Εαχίστων Τετραγώνων. Σύμφωνα με την Μέθοδο αυτή πρέπει να προσδιορίσουμε τους αριθμούς α και β οι οποίοι εαχιστοποιούν την συνάρτηση δύο μεταβητών d. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

45 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5 ( ) ( ) k k d d d F β α β α. Τα πιθανά σημεία τοπικών ακροτάτων της ( ) β α F προκύπτουν από το γραμμικό σύστημα ( ) ( ) k k k k k k F F β α β α β α β α β α το οποίο έχει την ακόουθη ύση. k k k k k k k k k k k k k k β και α Επειδή ( ) ( ) ( ) ( ) π β α β α β α β α β β α β β α α α > F F F F k k και (από την Ανισότητα Cuch Schwrz () ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] k k k k k F F F β α β α β α β α β β α α () Ανισότητα Cuch Schwrz: k k k v u v u

46 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ έπεται ότι το σημείο ( α β ) που προσδιορίσαμε μόις στο παραπάνω κυανό παίσιο είναι σημείο τοπικού εαχίστου. Εφαρμόζοντας τα προηγούμενα θα προσδιορίσουμε για παράδειγμα την ευθεία γραμμή α β η οποία με την Μέθοδο των Εαχίστων Τετραγώνων προσεγγίζει άριστα τα δεδομένα (..) (..) (..56) (.6.7) (.7.9) (.8.). Σχετικά έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Από τις Σχέσεις του τεευταίου κυανού παισίου (σε. 8) που προσδιορίζουν τα βρίσκουμε α (.5) α και β 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

47 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) και β (.5) οπότε η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση V.7. Παράδειγμα. ([Καδιανάκης Καρανάσιος Φεούρης 99]) Να βρεθούν και να χαρακτηρισθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης z z z ( z) e ( e )( e e )( e e )( e ). F Λύση. Η μερική παράγωγος F ( z) της F ( z) F και επειδή ( z) e e e e e γράφεται υπό την μορφή: ( z) F( z) F για κάθε ( z) R η F ( z) μηδενίζεται μόνον εάν e e ή ισοδύναμα μόνον εάν. Ομοίως όγω συμμετρίας η μερική παράγωγος ( z) της F ( z) F z και άρα αν ( z) μηδενίζεται μόνον εάν z. Επίσης F e e z e e e e ( z) F( z) z τότε ( z) F δίνονται από τις ύσεις του συστήματος F. Επομένως τα ακρότατα σημεία ( z ) της ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 7

48 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ που είναι μόνον η ( z ) ( ) ( z) F είναι z z. Στο σημείο αυτό ο πίνακας Hess ( z) Η F 6 ( ) Η της F απ όπου έπεται ότι οι ποσότητες Α Α και Α του ου Κριτήριου (Slvester) της σείδας είναι τέτοιες ώστε Α < Α και Α. Άρα από το Κριτήριο Προσδιορισμού του > < Είδους των Ακροτάτων Χωρίς Συνθήκες Υποθέσεις (σείδα ) συμπεραίνουμε ότι η F ( z) μεγιστοποιείται στο σημείο ( z ) ( ). 5..Γ. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός (: No er Progrmmg) Ένα Πρόβημα του Μη Γραμμικού Προγραμματισμού έγκειται στην μη αρνητική μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση δηαδή στην αναζήτηση ακρότατου σημείου ( )... με όες τις συντεταγμένες μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς επί του οποίου εκδηώνεται μέγιστη ή εάχιστη τιμή αντιστοίχως (έμε επίσης μέγιστο ή εάχιστο κόστος αντιστοίχως) μίας δοθείσας Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) ( ) F... με... κάτω από ένα σύνοο Συνθηκών Υποθέσεων οι οποίες εκφράζονται υπό την μορφή ανισοτήτων 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

49 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) ( ) Β ( Β g R m ). H εγόμενη Συνάρτηση των Υποθέσεων είναι μία διανυσματική συνάρτηση g g g g g... g m g m ( ) g(... ) ( ) ( ) ενώ οι Σταθερές των Υποθέσεων δίνονται από τον πίνακα στήη β β Β R m. β m Τις συντριπτικά περισσότερες φορές η διάσταση του χώρου του προβήματος συμβαίνει να είναι μεγαύτερη από το πήθος m των Συνθηκών Υποθέσεων: > m. Η διαφορά m είναι ο Αριθμός των Βαθμών Εευθερίας του Προβήματος. Επί πέον χωρίς απώεια του πρακτικού ενδιαφέροντος και χωρίς βάβη της γενικότητας θα υποθέτουμε αδιαείπτως ότι οι συναρτήσεις ( ) μεταβητή (... ). F και ( ) g είναι συνεχώς διαφορίσιμες ως προς την Στην περίπτωση μεγιστοποίησης (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Μη Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως εξής: m F( ) όταν ( ) Β g και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 9

50 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ Η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: m F... ( )... όταν g g g (... ) (... ) m (... ) β m β β... και.... Αντιστοίχως στην περίπτωση εαχιστοποίησης (του κόστους) της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Μη Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως ακοούθως: m F( ) όταν ( ) Β g και Ομοίως η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: m F... ( )... όταν g g g (... ) (... ) m (... ) β m β β... και 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

51 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ).... V.8. Παρατήρηση. Η όη πρόοδος που έχει επιτευχθεί μέχρι τώρα στο ζήτημα της αξιόπιστης και υποογιστικά χρήσιμης επίυσης του γενικού Προβήματος Μη Γραμμικού Προγραμματισμού είναι πού μικρή. Ο πέον γνωστός από τους κωδικοποιημένους Αγόριθμους που αφορούν στο ζήτημα αυτό είναι το Υποογιστικό Πρόγραμμα INOS το οποίο επιχειρεί την γραμμικοποίηση (: μετατροπή σε γραμμικά) των μη γραμμικών μερών της Αντικειμενικής Συνάρτησης ([urtg Suders 987]). 5..Δ. Γραμμικός Προγραμματισμός (: er Progrmmg) Ενα Πρόβημα του Γραμμικού Προγραμματισμού έγκειται στην (μη αρνητική) μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση δηαδή στην αναζήτηση ακρότατου σημείου ( )... (με όες τις συντεταγμένες μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς) επί του οποίου εκδηώνεται μέγιστη ή εάχιστη τιμή αντιστοίχως (έμε επίσης μέγιστο ή εάχιστο κόστος αντιστοίχως ) μίας δοθείσας Γραμμικής Αντικειμενικής Συνάρτησης ( ) C ( ) F... R (με... ) κάτω από ένα σύνοο Γραμμικών Συνθηκών Υποθέσεων οι οποίες εκφράζονται υπό την μορφή γραμμικών ανισοτήτων ( ) Β ( Β g R m ). H εγόμενη Γραμμική Συνάρτηση των Υποθέσεων είναι μία διανυσματική συνάρτηση ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

52 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ g g g g g... g m g m ( ) g(... ) ( ) ( ) της οποίας όες οι συνιστώσες g (... ) (... ) ως προς την μεταβητή (... ). Οι Σταθερές των Υποθέσεων δίνονται από τον πίνακα στήη είναι γραμμικές συναρτήσεις β β Β R m. β m Τις περισσότερες φορές η διάσταση του χώρου του προβήματος συμβαίνει να είναι μεγαύτερη από το πήθος m των Συνθηκών Υποθέσεων: > m. Η διαφορά m είναι ο Αριθμός των Βαθμών Εευθερίας του Προβήματος. Επί πέον χωρίς απώεια του πρακτικού ενδιαφέροντος και χωρίς βάβη της γενικότητας θα υποθέτουμε αδιαείπτως ότι οι συναρτήσεις ( ) (... ). F και ( ) g είναι συνεχώς διαφορίσιμες ως προς την μεταβητή Στην περίπτωση μεγιστοποίησης της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως εξής: m F( ) όταν ( ) Β g και Η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: [ F(... ) c c... c ] m... 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

53 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) m m όταν... m β β β m και.... Αντιστοίχως στην περίπτωση εαχιστοποίησης της Αντικειμενικής Συνάρτησης η συμβοική θεωρητική παρουσίαση ενός προβήματος Γραμμικού Προγραμματισμού έχει ως ακοούθως: m F( ) όταν ( ) Β g και Ομοίως η αναυτικότερη έκφραση του ιδίου προβήματος είναι: [ F(... ) c c... c ] m όταν... και m m... m β.... β β m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 5

54 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ V.9. Παρατήρηση. Ανάογα με την μορφή των Συνθηκών Υποθέσεων κάθε Πρόβημα Γραμμικού Προγραμματισμού μπορεί να έχει. μία και μοναδική ύση. μη μοναδική ύση (: ποαπές ύσεις) ή.καμμία ύση. Μέχρι πρόσφατα όοι οι Αγόριθμοι που χρησιμοποιούνταν για τον προσδιορισμό αριθμητικών ύσεων σε συγκεκριμένα Προβήματα Γραμμικού Προγραμματισμού βασίζονταν στην περίφημη Μέθοδο Smple που παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά στις αρχές της δεκαετίας του 95 από τον G. B. Dtzg ([Dtzg 95][Dtzg 96] [Πραστάκος 99] και [Δάρας 995]). Ένας πήρης Κατάογος όων των διαθέσιμων κωδικοποιημένων Αγορίθμων επίυσης Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού δημοσιεύθηκε στην έκδοση [ΙΒΜ 99]. Πρόσφατα μία άη κατηγορία Αγορίθμων και αντιστοίχων Υποογιστικών Προγραμμάτων άρχισε να διαμορφώνεται και να αποδίδει αξιόογα αποτεέσματα. Πρόκειται για την κατηγορία των Αγορίθμων οι οποίοι βασίζονται στις εγόμενες Μεθόδους Εσωτερικού Σημείου ([Krmrkr 98] [Δάρας /Ι] και [Δάρας /ΙΙ]). Από υποογιστικής άποψης η πουποκότητα των Αγορίθμων αυτών είναι σαφώς καύτερη από την πουποκότητα των Αγορίθμων που βασίζονται στην Μέθοδο Smple. Ωστόσο στην πράξη η υπεροχή αυτή των Αγορίθμων Εσωτερικού Σημείου έναντι των Αγορίθμων της Μεθόδου Smple δεν καθίσταται πάντοτε εμφανής. Για όγους πηρότητας της παρουσίασης του κειμένου στην συνέχεια και μέχρι το τέος της παρούσης Παραγράφου 5..Δ θα παρουσιάσουμε τους δύο κυριότερους Αγόριθμους Επίυσης Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού: τον Αγόριθμο Smple και τον Αγόριθμο Krmrkr. Η παρουσίαση θα είναι σύντομη και χωρίς αποδείξεις. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει για περισσότερες πηροφορίες στις βιβιογραφικές αναφορές [Δάρας 995] και [Δάρας /Ι]. 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

55 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ωστόσο πριν ασχοηθούμε ιδιαιτέρως με τους δύο αυτούς Αγορίθμους ας δούμε πώς μπορεί να επιύσουμε στοιχειώδη Προβήματα Γραμμικού Προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις των Συνθηκών Υποθέσεων του Προβήματος. 5..Δ.. Γραφική Λύση Προβημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Μερικά απά Προβήματα Γραμμικού Προγραμματισμού με δύο ή περισσότερες Συνθήκες Υποθέσεις και δ ύ ο μεταβητές μπορούν να παρασταθούν και να υθούν γραφικώς. V..Παράδειγμα. ([Σαπουντζής 989]) Έστω το Πρόβημα Γραμμικού Προγραμματισμού: όταν m [ z ( ) ] 5. Είναι γνωστό πως οι τιμές των και που ικανοποιούν μία εξίσωση της μορφής A B C κείνται επί μίας γραμμής στο επίπεδο. Αυτή η γραμμή διαιρεί το επίπεδο στα δύο και οι τιμές των και που ικανοποιούν την A B C κείνται στα παράπευρα της γραμμής. Μπορεί να αποδειχθεί ότι όα τα σημεία στη μία πευρά της γραμμής ικανοποιούν την ανισότητα ικανοποιούν την ανισότητα A B < C ενώ όα τα σημεία στην άη πευρά της γραμμής A B > C. Η πευρά που ικανοποιεί την ανισότητα A B > C μπορεί να βρεθεί αμβάνοντας ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω στην γραμμή και εξετάζοντας εάν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την ανισότητα ή όχι. Όταν C ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 55

56 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Ν.ΔΑΡΑΣ διευκούνει να πάρουμε σαν σημείο την αρχή των αξόνων ( ): Εάν C > τότε η πευρά που περιέχει την αρχή των αξόνων περιαμβάνει τα σημεία ( ) με A B < C και Εάν C < τότε η πευρά που περιέχει την αρχή των αξόνων περιαμβάνει τα σημεία ( ) με A B > C. Στο Σχήμα παρακάτω έχουν χαραχθεί οι δύο γραμμές που ορίζονται από τις Συνθήκες Υποθέσεις του Προβήματος: και 5. Σχήμα Τα σημεία που ικανοποιούν την ανισότητα είναι το σύνοο των σημείων της γραμμής και των επί του επιπέδου ευρισκομένων σημείων αριστερά της γραμμής. Ομοίως τα σημεία που ικανοποιούν την ανισότητα 5 είναι το σύνοο των σημείων της γραμμής και των επί του επιπέδου ευρισκομένων σημείων αριστερά της γραμμής. Επειδή η περιοχή εντός της οποίας ικανοποιούνται όες οι Συνθήκες Υποθέσεις του 56 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo)

57 Ν. ΔΑΡΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ (ΤΟΜΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ) Προβήματος καούμενη Εφικτή Περιοχή (: Fesble Rego) είναι το επίπεδο χωρίο OABC. Η βέτιστη Εφικτή ύση προσδιορίζεται εξετάζοντας την θέση της γραμμής C όπου C είναι οιαδήποτε πραγματική σταθερά. (Η γραμμή αυτή προέρχεται από την Αντικειμενική Συνάρτηση του Προβήματος.) Για διαφορετικές τιμές της σταθεράς C η γραμμή C αναπαρίσταται με διαφορετικές παράηες μεταξύ τους γραμμές. Δύο τέτοιες είναι οι παράηες γραμμές και που έχουν σχεδιασθεί με χοντρές γραμμές στο Σχήμα. Η παράηη διέρχεται από την Εφικτή Περιοχή και όα τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος DE αντιστοιχούν σε Εφικτές ύσεις που δίνουν τιμή (: κόστος) στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Η δεύτερη παράηη δεν διέρχεται από την εφικτή περιοχή και συνεπώς δεν υπάρχουν Εφικτές ύσεις που να δίνουν την τιμή στην Αντικειμενική Συνάρτηση. Όπως καταδεικνύεται στο Σχήμα όταν η σταθερά C αμβάνει τιμές μεγαύτερες της τιμής η αντίστοιχη γραμμή C στο Σχήμα μετακινείται παράηα προς το ευθύγραμμο τμήμα DE και ακοουθώντας κατεύθυνση προς την γραμμή. Η Βέτιστη Εφικτή ύση επιτυγχάνεται μετακινώντας παράηα την γραμμή προς αυτήν την κατεύθυνση όσο το δυνατόν περισσότερο και ταυτόχρονα εξασφαίζοντας ότι η μετακινηθείσα παραήως γραμμή θα διέρχεται από το σημείο B. Τότε η μόνη Βέτιστη Εφικτή ύση θα είναι εκείνη που αντιστοιχεί στο σημείο B. Οι συντεταγμένες ( ) του B μπορούν να βρεθούν είτε από το Σχήμα είτε από την επίυση του συστήματος των εξισώσεων των δύο γραμμών: ( 5 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (www.rmscotrol.fo) 57

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών.

Το πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Το πρόβημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Από την προηγούμενη συζήτηση έχει γίνει φανερό ότι αν η ομογενής διαφορική εξίσωση L ϕ ( = 0έχει μη μηδενική ύση (ή ύσεις που να ικανοποιεί τις (ομογενείς συνοριακές

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ Σηµειώσεις Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού Β Κούτρας ΧΙΟΣ Β Κούτρας ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κοµµάτι αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων 4. Όρια ανάυσης οπτικών οργάνων 29 Μαΐου 2013 1 Περίθαση Οι αρχές ειτουργίας των οπτικών οργάνων που περιγράψαμε μέχρι στιγμής βασίζονται στη γεωμετρική οπτική, δηαδή την περιγραφή του φωτός ως ακτίνες

Διαβάστε περισσότερα

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Η µέθοδος Newn-Raphsn για µη γραµµική ανάυση Η γενική εξίσωση ισορροπίας ενός µη γραµµικού συστήµατος γράφεται: F ( ) = F q () όπου είναι οι εσωτερικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Στάσιμο κύμα. ημ 2π. συν = 2A. + τα οποία T. t x. T λ T λ ολ

2.3 Στάσιμο κύμα. ημ 2π. συν = 2A. + τα οποία T. t x. T λ T λ ολ .3 Στάσιμο Κύμα.3 Στάσιμο κύμα.3.1 Μαθηματική Επεξεργασία Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία χορδή και σε αυτήν την χορδή διαδίδονται δύο πανομοιότυπα κύματα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Δηαδή αν το δούμε από

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ., 1 i n, με σταθερό όρο b F και συντελεστές a i

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ., 1 i n, με σταθερό όρο b F και συντελεστές a i ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικά συστήματα Μία εξίσωση της μορφής K () καείται γραμμική εξίσωση μεταητών i i με σταθερό όρο F και συντεεστές i F όπου το F θα είναι το σώμα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΓΩΝΙΣΜΩΝ η Εηνική Μαθηματική Ουμπιάδα "Ο ρχιμήδης" ΣΒΒΤΟ, ΦΕΒΡΟΥΡΙΟΥ 9 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ Θέματα μεγάων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜ Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου 9n n 7 είναι ρητός n

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία. Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων

Διπλωματική Εργασία. Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ Εφαρμοσμένης Πηροφορικής Διπωματική Εργασία Θέμα Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Επιβέπον Καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τσαγκαρή Αθηνά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο T, όπου Τ η περίοδος του κύματος.

γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο T, όπου Τ η περίοδος του κύματος. ΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις ποαπής επιογής Οδηγία: Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις ποαπής επιογής αρκεί να γράψετε στο φύο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποθέτοντας ότι η τριβή είναι αρκετά μεγάλη, το σημείο επαφής θα έχει συνεχώς

1. Υποθέτοντας ότι η τριβή είναι αρκετά μεγάλη, το σημείο επαφής θα έχει συνεχώς Διονύσης Μητρόπουος Άνοδος κάθοδος κυιόμενου αρχικά σώματος σε κεκιμένο επίπεδο, με ή χωρίς οίσθηση ΕΚΦΩΝΗΣΗ Ένα «στρογγυό» σώμα έχει μάζα m, ακτίνα R και ροπή αδράνειας Ι cm m R². Οι τιμές του είναι ⅖

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

x k = A x k-1, k=1,2,... x 0 0 αυθαίρετο διάνυσµα (7.1.1) x k = A k x 0 = A k k

x k = A x k-1, k=1,2,... x 0 0 αυθαίρετο διάνυσµα (7.1.1) x k = A k x 0 = A k k Κεφάαιο 7 Μέθοδος υνάµεων Όπως είδαµε, οι ιδιοτιµές παίζουν σηµαντικό ρόο στην αριθµητική επίυση των γραµµικών συστηµάτων. Σε ποές εφαρµογές προέχει ο αριθµητικός υποογισµός των ιδιοποσών (ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Data Indexing

Advanced Data Indexing Advanced Data Indexing (Προηγμένη ευρετηρίαση δεδομένων) Αναζήτηση Δέντρα ( ο Μέρος) Αναζήτηση (Searching) Η Αναζήτηση Searching (Αναζήτηση) ενός αντικειμένου μέσα από N ταξινομημένα αντικείμενα. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ = ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟ ΠΡΟΪΟΝ / ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕΝΕΣ ΕΙΣΡΟΕΣ, ΔΙΑΤΗΡΩΝΤΑΣ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΗΝ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ (ορισμός κατά Grönroos, 200) Ο ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟΣΟ ΓΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία

Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία Κεφάαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Στο κεφάαιο αυτό περιγράφουμε τις τρεις βασικές οικογένειες συναρτήσεων κατανομής που χρησιμοποιούνται στην τεχνική υδροογία. Η πρώτη περιαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μέσο μήκος ροής στα διαγράμματα εέγχου τύπου Shwhar. Διάγραμμα εέγχου τύπου Shwhar Στις παραγωγικές διεργασίες μας ενδιαφέρει η παρακοούθηση της συμπεριφορά μιας κρίσιμης ποσότητας ενός μετρήσιμου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ34 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις

ΦΥΕ34 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις ΦΥΕ4 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις ) α)η διακριτική ικανότητα του φράγµατος ορίζεται ως ο όγος, όπου, +δ, δ δύο µήκη κύµατος που µόις διακρίνονται µε γυµνό οφθαµό και δ πού µικρό Αυτό συµβαίνει σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα