ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I."

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας. Επίσης, σε αυτά τα μαθήματα μελετήθηκαν οι αποφάσεις κάτω από συνθήκες κινδύνου, στις οποίες γνωρίζουμε τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης, και σε συνέχεια ασχοληθήκαμε με βασικές έννοιες της θεωρίας των πιθανοτήτων, το θεώρημα του Bayes, τα δένδρα αποφάσεων και την διαδικασία Markov. Υπάρχει όμως και μια ιδιαίτερη κατηγορία αποφάσεων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας που αφορούν τα προβλήματα ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. Τα προβλήματα αυτά δημιουργούνται όταν η αποτελεσματικότητα εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει ένα πρόσωπο Α (ή μία ομάδα προσώπων Α) περιορίζεται εξαιτίας της εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει άλλο πρόσωπο Β (ή ομάδα προσώπων Β). Το χαρακτηριστικό λοιπόν γνώρισμα αυτών των αποφάσεων είναι ότι ούτε ο Α ούτε ο Β μπορούν να επιτύχουν τον αντικειμενικό στόχο που επιδιώκουν, εφαρμόζοντας τη μια ή την άλλη στρατηγική (όπως, αντίθετα, συμβαίνει στα προβλήματα π.χ. γραμμικού προγραμματισμού, όπου επιλέγεται η στρατηγική με την οποία πραγματοποιείται ο αντικειμενικός στόχος της μεγιστοποίησης του κέρδους ή ελαχιστοποίησης του κόστους κτλ.). Τα προβλήματα αυτά λέγονται προβλήματα «παιγνίων», και για την αντιμετώπιση τους αναπτύχθηκε η «θεωρία των παιγνίων» (Game Theory). Η θεωρία των παιγνίων διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Gardan, Pascal, Galileo, Waldergrave τον XVII και XVIII αιώνα και χρησιμοποιήθηκε κυρίως για την επίλυση προβλημάτων στρατιωτικής φύσης. Η σημερινή όμως εξέλιξη της θεωρίας των παιγνίων οφείλεται στον John von-neumann (δημοσίευσε το 1944 το έργο «Theory and Practice of Games and Economic Behavior»), που σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern δημοσίευσε το 1947 το γνωστό έργο «Η θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά», (Theory of Games and Economic Behavior). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η οικονομική ζωή είναι ένα παιχνίδι παικτών, που ο καθένας παίζει για δικό του λογαριασμό (μπορεί και να συνάψει συμμαχία με άλλους), προβλέπει δε να εξασφαλίσει το μεγαλύτερο κέρδος ή την ελάχιστη ζημία έναντι του άλλου (ή άλλων παικτών). Έτσι και η επιχείρηση επιδιώκει, εφαρμόζοντας διάφορες στρατηγικές, ορισμένους αντικειμενικούς στόχους που συγκρούονται με τους στόχους άλλης (ή άλλων επιχειρήσεων). Εκείνο που βασικά προσφέρει η θεωρία των παιγνίων στον οικονομολόγο (ή τον πολιτικό ή τον στρατιωτικό) δεν είναι τόσο ο καθορισμός μιας κάποιας στρατηγικής που θα επιλέξει, διότι το πεδίο εφαρμογής της είναι περιορισμένο, αλλά κυρίως ένα τρόπο σκέψης, γιατί αυτή καθεαυτή η θεωρία των παιγνίων είναι μια αυστηρή λογική, ένα ορθολογισμός, καθώς και ένα καλύτερο σημείο εκκίνησης για την έρευνα και μελέτη των πολύπλοκων και δύσκολων προβλημάτων ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. 1

2 II. Διάκριση «παιγνίων» σε κατηγορίες Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στο πρώτο μέρος αυτής της εργασίας, τα «παίγνια» διακρίνονται στις παρακάτω δυο γενικές κατηγορίες: α) «Παίγνια» του ανθρώπου εναντίον της φύσης. β) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσοτέρων ατόμων («παίγνια» ενός ατόμου που αντιμάχεται μια ομάδα ατόμων ή «παίγνια» δυο αντιμαχόμενων ομάδων ή «παίγνια» μεταξύ περισσότερων ατόμων ή ομάδων). Η κύρια διαφορά μεταξύ των δυο αυτών γενικών κατηγοριών είναι ότι η «φύση» δεν είναι δυνατό να θεωρηθεί σαν ένας «έξυπνος» και «συνετός» αντίπαλος, ο οποίος «επιδιώκει» ένα συγκεκριμένο στόχο το παιχνίδι κατευθύνεται κυρίως από την τύχη. Αντίθετα, η βασική προϋπόθεση πάνω στην οποία βασίζεται η θεωρία των παιγνίων είναι ότι: και οι δυο παίκτες είναι «έξυπνοι» και «συνετοί», δηλαδή γνωρίζουν τις διαθέσιμες εναλλακτικές λύσεις του αντίπαλου παίκτη και τ' αντίστοιχα από την εφαρμογή τους αποτελέσματα και ο καθένας από αυτούς προσπαθεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος του (ή να ελαχιστοποιήσει την ζημία του) σε βάρος του άλλου παίκτη. Όπως είναι φανερό, ένα παιχνίδι της δεύτερης κατηγορίας δεν κατευθύνεται από μόνη την τύχη, γιατί ο παίκτης για κάθε πιθανή κίνηση του αντιπάλου του θα επιλέξει τον τρόπο δράσης που θα δώσει τις λιγότερες δυνατότητες επιτυχίας στον αντίπαλο του. Τα παιχνίδια της δεύτερης κατηγορίας τα διακρίνουμε σε συνέχεια στις παρακάτω ομάδες: αα) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσότερων ατόμων με έκβαση ίση με το μηδέν. Στα παιχνίδια αυτά το άθροισμα των κερδών του ενός παίκτη (ή της μιας ομάδας) και των απωλειών του αντίπαλου παίκτη (ή της αντίπαλης ομάδας) ισούται με το μηδέν, δηλ. τα κέρδη του ενός είναι ζημιές του άλλου. Για αυτό το λόγο τα παιχνίδια αυτά ονομάζονται «παίγνια» μηδενικού αθροίσματος (zero-sum games). ββ) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσότερων ατόμων με έκβαση του μηδενός (non zero-sum games). Στα παιχνίδια αυτά το κέρδος του ενός διαφέρει από τη ζημιά του άλλου παίκτη. Αυτό συμβαίνει, επειδή σε κάθε σειρά ενεργειών υπεισέρχονται και άλλοι παράγοντες, είτε τυχαίοι είτε ανεξάρτητοι από τη θέληση των δυο αντιπάλων, με συνέπεια το άθροισμα των κερδών και των απωλειών να είναι 0. Ένας τέτοιος παράγοντας μπορεί να είναι π.χ. το κράτος, όταν έρχεται σε αντίθεση με τον ανταγωνισμό των παικτών και παίρνει και αυτό μέρος στο παιχνίδι με σκοπό είτε να αποκτήσει ορισμένα οφέλη ή να υποστηρίξει, για διάφορους λόγους, τον ένα παίκτη. Εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων. III. Παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων (Two-person, zerosum games) Πριν ασχοληθούμε με την λογική της επίλυσης και της διάκρισης αυτής της κατηγορίας των παιχνιδιών, θα δώσουμε ένα γενικό υπόδειγμα ενός παιχνιδιού και θα αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες και όρους της θεωρίας των παιγνίων. Το γενικό υπόδειγμα ενός παιγνιδιού μεταξύ δυο ατόμων είναι το ακόλουθο : 2

3 Διάγραμμα 74: Γενικό υπόδειγμα μήτρας παιχνιδιού (ή πληρωμών). Όπου: Χ i = Οι εναλλακτικές στρατηγικές (εναλλακτικοί τρόποι δράσης) που διαθέτει ο παίκτης Α. Y j = Οι εναλλακτικές στρατηγικές που διαθέτει ο παίκτης Β. A(a ij ) = Η αξία του αποτελέσματος (πληρωμή) για κάθε συνδυασμό στρατηγικών Χi-Υ j. Ρ i = Οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Χ i (όταν εφαρμόζεται μικτή στρατηγική). q j = Οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Υ j (μικτή στρατηγική). Η μήτρα παιχνιδιού εκφράζει συνήθως τις πληρωμές του παίκτη Β (ζημίες του Β) προς τον παίκτη Α (κέρδη του Α). Οι εναλλακτικές στρατηγικές που έχει στην διάθεση του κάθε παίκτης ονομάζονται «καθαρές» στρατηγικές. Όταν δε οι παίκτες Α και Β αποφασίσουν να εφαρμόσουν στο ανταγωνιστικό παιχνίδι πάντοτε την ίδια στρατηγική, τότε λέμε ότι επιλέγουν καθαρή στρατηγική (pure strategy). Αντίθετα, όταν οι παίκτες αποφασίσουν να χρησιμοποιήσουν στο ανταγωνιστικό παιχνίδι, με μια ορισμένη συχνότητα, περισσότερες από μια καθαρές στρατηγικές, τότε λέμε ότι εφαρμόζουν μικτή στρατηγική (mixed-strategy), θεωρούμε ότι, πριν αρχίσει το παιχνίδι, οι παίκτες Α και Β επιλέγουν συγχρόνως τη στρατηγική που θα εφαρμόσουν και με την επιλογή αυτή ολοκληρώνεται ένας κύκλος παιχνιδιού. Ο κάθε παίκτης επιλέγει την βέλτιστη στρατηγική (καθαρή ή μικτή), το αποτέλεσμα δε που αναμένουν οι δυο παίκτες από την εφαρμογή των βέλτιστων στρατηγικών ονομάζεται τιμή ή αξία του παιχνιδιού (value of the game). Επίλυση του παιχνιδιού είναι η εξεύρεση της βέλτιστης στρατηγικής (καθαρής ή μικτής) για κάθε παίκτη, καθώς και ο προσδιορισμός της αξίας του παιχνιδιού, V. 3

4 Από την τιμή ενός παιχνιδιού, V, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα παιχνίδι σαν δίκαιο ή άδικο (με την έννοια ότι ευνοεί τον ένα ή τον άλλο παίκτη). Έτσι, εάν V < 0, τότε το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη Β, εάν V > 0, τότε το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη Α, και τέλος, εάν V = 0, τότε το παιχνίδι είναι δίκαιο. Η επίλυση του παιχνιδιού βασίζεται σ' ένα πολύ συντηρητικό κριτήριο, το κριτήριο minimax - maximin (το αναφέραμε στο πρώτο μέρος σαν κριτήριο του Wald). Σύμφωνα με το κριτήριο minimax, κάθε παίκτης επιλέγει την στρατηγική (καθαρή ή μικτή) που θα του αποφέρει το καλύτερο από τα χειρότερα δυνατά αποτελέσματα (πληρωμές). Στην περίπτωση δε που τόσο ο παίκτης Α, όσο και ο παίκτης Β, δεν έχουν κανένα όφελος ν' αλλάξουν την στρατηγική που διάλεξαν, τότε λέμε ότι έχουμε μια βέλτιστη λύση και ότι το παιχνίδι είναι «σταθερό», δηλαδή βρίσκεται σε μια κατάσταση ισορροπίας. Τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων διακρίνονται σε δυο υποκατηγορίες, στα αυστηρώς αποφασισμένα και στα μη αυστηρώς αποφασισμένα. 1. Αυστηρώς αποφασισμένα παιχνίδια (Strictly determined games) - Καθαρή στρατηγική Παράδειγμα: Οι επιχειρήσεις Α και Β είναι ανταγωνίστριες. Η επιχείρηση Α είναι οικονομικά ισχυρότερη από τη Β και για να αποσπάσει πελάτες από την επιχείρηση Β, σκέπτεται να εφαρμόσει τις εξής τρεις στρατηγικές: Χ 1 : Βελτίωση της συσκευασίας του προϊόντος. Χ 2 : Βελτίωση των όρων παροχής πιστώσεων. Χ 3 : Έντονη διαφήμιση του παραγόμενου προϊόντος. Η επιχείρηση Β επιδιώκει τον ίδιο σκοπό και σκέπτεται να εφαρμόσει τις παρακάτω δυο στρατηγικές: Υ 1 : Βελτίωση της ποιότητας του παραγόμενου προϊόντος. Υ 2 : Επιτάχυνση του χρόνου παράδοσης του προϊόντος στον αγοραστή. Η επιχείρηση Α υπολόγισε τις επιδράσεις των τριών στρατηγικών της πάνω στις πωλήσεις, καθώς και τις επιδράσεις στις πωλήσεις (της Α) των δυο στρατηγικών της Β και σε συνέχεια παρουσίασε τα αποτελέσματα στην παρακάτω μήτρα παιχνιδιού (ή πληρωμών): Στην παραπάνω μήτρα οι αρνητικοί αριθμοί εκφράζουν τις απώλειες του παίκτη Α (δηλ. το ποσό που θα πληρώσει στον παίκτη Β) και τα κέρδη του παίκτη Β. Αντίθετα, 4

5 οι θετικοί αριθμοί εκφράζουν τις απώλειες του παίκτη Β (δηλ. το ποσό που θα πληρώσει στον παίκτη Α) και επομένως τα κέρδη του Α. Μελετώντας αυτή τη μήτρα παιχνιδιού μπορούμε να κάνουμε τις εξής σκέψεις: Επειδή και οι δυο «παίκτες» θεωρούνται έξυπνοι και συνετοί, ο παίκτης Α (επιχ. Α) σε καμιά περίπτωση δεν θα επιλέξει τη στρατηγική Χ 1 αφού είναι οπωσδήποτε πιο συμφέρουσες για αυτόν οι στρατηγικές Χ 2 και Χ 3. Επειδή ο παίκτης Β το γνωρίζει αυτό δεν παίρνει υπόψη του καθόλου τη στρατηγική Χ 1. Ακολουθώντας τον ίδιο συλλογισμό δεν θα επιλέξει ποτέ τη στρατηγική Υ 2 αφού θα βρίσκεται σε πιο πλεονεκτική θέση με τη στρατηγική Υ 1. Αλλά και ο Α γνωρίζει ότι ο Β δεν θα εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2 και για αυτό αποφασίζει ότι η καλύτερη στρατηγική του είναι η Χ 3. Η επιλογή από τους παίκτες Α και Β των στρατηγικών Χ 3 και Υ 1 έχει σαν αποτέλεσμα να κερδίσει ο παίκτης Α 1 και ο παίκτης Β να έχει απώλεια ίση με 1. Στην τιμή άλλωστε αυτή το παιχνίδι βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, γιατί κανείς από τους παίκτες Α και Β δεν έχει λόγο να επιλέξει άλλη στρατηγική. Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε τα εξής: Σ' ένα παιχνίδι όπου ο κάθε παίκτης γνωρίζει τις στρατηγικές που διαθέτει ο αντίπαλος του, επιπλέον δε γνωρίζει ότι ο αντίπαλος του είναι έξυπνος και συνετός, είναι λογικό να περιμένει το χειρότερο αποτέλεσμα από κάθε στρατηγική που διαθέτει. Αυτός ο συλλογισμός έχει σα συνέπεια την εφαρμογή του κριτηρίου minimax, σύμφωνα με το οποίο ο κάθε παίκτης αποφασίζει να εφαρμόσει τη στρατηγική που θα του ελαχιστοποιήσει τη ζημία ή θα του δώσει το «μέγιστο» από τα «ελάχιστα» κέρδη. Εφαρμόζουμε το κριτήριο minimax στην παραπάνω μήτρα αποτελεσμάτων και σημειώνουμε τα «ελάχιστα» των γραμμών και τα «μέγιστα» των στηλών. Το «μεγιστοελάχιστο» των γραμμών (στρατηγική Χ 3 ) εξασφαλίζει στον παίκτη Α κέρδος 1 (για αυτό ο παίκτης Α ονομάζεται ο «μεγιστοποιών παίκτης»), ενώ το «ελαχιστομέγιστο» των στηλών (στρατηγική Υ 1 ) εγγυάται στον παίκτη Β την ζημία 1 (την οποία είναι σίγουρο ότι δεν θα ξεπεράσει, γι' αυτό ο παίκτης Β ονομάζεται «ο ελαχιστοποιών παίκτης»). Η στρατηγική που επιλέγει ο Α ονομάζεται στρατηγική μεγιστοελάχιστον (maximin strategy), η αναμενόμενη δε από την εφαρμογή της πληρωμή ονομάζεται 5

6 μεγιστοελάχιστη (ή χαμηλότερη) τιμή του παιχνιδιού (maximin value). Εξάλλου, η στρατηγική που επιλέγει ο Β παίκτης ονομάζεται στρατηγική ελαχιστομέγιστου (minimax strategy), η αναμενόμενη δε από την εφαρμογή της πληρωμή ονομάζεται ελαχιστομέγιστη (ή υψηλότερη) τιμή του παιχνιδιού (minimax value). Η τιμή του παιχνιδιού, V, πρέπει να ικανοποιεί την ανισοϊσότητα: μεγιστοελάχιστη τιμή (ή πληρωμή) τιμή του παιχνιδιού V ελαχιστομέγιστη τιμή (ή πληρωμή) Στο παράδειγμα μας έχουμε: μεγιστοελάχιστη τιμή (ή πληρωμή) = ελαχιστομέγιστη τιμή = 1 Αυτό σημαίνει ότι το παιχνίδι έχει σημείο «σάγματος» (saddle point), που είναι το σημείο σύμπτωσης των τιμών αυτών, δίνεται δε από την είσοδο (3,1) της μήτρας του παιχνιδιού. Η αξία του παιχνιδιού, V, είναι ίση με 1 (το ποσό 1 θα κερδίσει η επιχείρηση Α και το ίδιο ποσό θα είναι η ζημία της επιχείρησης Β). Το παιχνίδι αυτό ονομάζεται αυστηρώς αποφασισμένο, δεδομένου ότι το σημείο ισορροπίας του παιχνιδιού πραγματοποιείται στο σημείο σάγματος, το οποίο προσδιορίζει και τη βέλτιστη στρατηγική, τόσο του παίκτη Α, όσο και του παίκτη Β (Χ 3 και Υ 1 οι βέλτιστες στρατηγικές). Οι στρατηγικές που θα εφαρμόσουν οι παίκτες είναι καθαρές, με την έννοια ότι ο παίκτης Α θα παίζει σταθερά μια στρατηγική (εδώ την X 3 με πιθανότητα = 1.0) και το ίδιο σταθερά θα παίζει μια στρατηγική και ο παίκτης Β (εδώ την Υ 1 με πιθανότητα = 1.0). Η τιμή του παιχνιδιού, V, δίδεται από την κοινή είσοδο των βέλτιστων καθαρών στρατηγικών (εδώ a 3l = 1), είναι δε ίση προς την μεγιστοελάχιστη και ελαχιστομέγιστη τιμή (ή πληρωμή). Παραδείγματα παιχνιδιών με σημείο σάγματος (Τα ελάχιστα των σειρών σημειώνονται με Ο. τα δε μέγιστα των στηλών με ). 6

7 Επίλυση παιχνιδιών: (ί) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι η Χ 3 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 3 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 2 (ευνοϊκό για τον Α) (ii) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι η Χ 1 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 1 αλλά και η Υ 3 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 1 (ευνοϊκό για τον Α) (iii) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη είναι η Χ 1 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 1 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 0 (το παιχνίδι είναι δίκαιο) 2. Μη αυστηρώς αποφασισμένα παιχνίδια (Non-strictly determined games) - Μικτή στρατηγική Όταν τα παιχνίδια δεν έχουν σημείο σάγματος, τότε υπάρχει ένα χάσμα μεταξύ του «μεγιστοελάχιστου» που μπορεί να κερδίσει ο Α και του «ελαχιστομέγιστου» στο οποίο μπορεί να περιορίσει τη ζημία του ο Β, με συνέπεια να μη μπορούν να εφαρμόσουν οι παίκτες «καθαρή» στρατηγική. 7

8 Παράδειγμα: Σύμφωνα με το κριτήριο maxinin, ο παίκτης Α θα επιλέξει τη στρατηγική Χ 2, για να πετύχει τουλάχιστο το 7. Εξάλλου, ο παίκτης Β θα διαλέξει την στρατηγική Υ 1, για να ελαχιστοποιήσει τη ζημία του σε ποσό 9. Επειδή όμως δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας, οι δε παίκτες γνωρίζουν τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής, εάν ο παίκτης Α υποπτευθεί ότι ο Β θα εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 1 φυσικά ο ίδιος θα εφαρμόσει την Χ 1 (και όχι την Χ 2 ). Όμως και ο παίκτης Β, εάν προβλέψει την κίνηση του Α, θα προτιμήσει να εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2, οπότε θα έχει απώλεια 6 (αντί για 9) κτλ. Βλέπουμε λοιπόν ότι το παιχνίδι παίρνει μια τέτοια μορφή, όπου και ο Α και ο Β προσπαθούν να παραπλανήσουν τον αντίπαλο, με αντικειμενικό στόχο να πάρει μια λαθεμένη απόφαση. Η αδυναμία της εφαρμογής των καθαρών στρατηγικών μεγιστοελάχιστου και ελαχιστομέγιστου σε περιπτώσεις όπως το συγκεκριμένο παράδειγμα δημιούργησε την ανάγκη χρησιμοποίησης μιας μικτής στρατηγικής. Έτσι, κάθε παίκτης, αντί να επιλέξει μόνο μια καθαρή στρατηγική, χρησιμοποιεί, με μια ορισμένη πιθανότητα, περισσότερες ή και όλες τις στρατηγικές που διαθέτει. Εάν p 1, p 2,..., p m και q 1, q 2,,q n είναι οι πιθανότητες γραμμών και στηλών, σύμφωνα με τις οποίες επιλέγουν οι παίκτες Α και Β τις καθαρές τους στρατηγικές (βλ. γενικό υπόδειγμα μήτρας παιχνιδιού), τότε: Η επίλυση ενός μη αυστηρώς καθορισμένου παιχνιδιού βασίζεται πάλι στο κριτήριο minimax, δεδομένου ότι από όλες τις μικτές στρατηγικές αναζητούμε τον συνδυασμό που θα μας δώσει το μέγιστο αναμενόμενο βέβαιο κέρδος του Α, που θα είναι συγχρόνως και η βέβαιη ελάχιστη ζημία του Β. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο παίκτης Α επιλέγει τις p i, που θα του μεγιστοποιήσουν την μικρότερη αναμενόμενη πληρωμή σε μια στήλη, ενώ ο παίκτης Β επιλέγει τις q j, που θα του ελαχιστοποιήσουν την 8

9 μεγαλύτερη αναμενόμενη πληρωμή σε μια γραμμή. Αυτό γιατί, όταν π.χ. ο παίκτης Α διαλέγει μια ορισμένη μικτή στρατηγική, υπάρχει τουλάχιστο μια καθαρή στρατηγική του Β, η οποία θα του προξενήσει την ελάχιστη ζημία. Συνεπώς, ο Α προσπαθώντας να διαλέξει μεταξύ των μικτών στρατηγικών που διαθέτει πρέπει να βρίσκει για κάθε μια από αυτές. τη συγκεκριμένη καθαρή στρατηγική του Β, που θα του ελαχιστοποιεί τη ζημία. Το ίδιο φυσικά συμβαίνει και με τον παίκτη Β. Έτσι, το μεν maximin δίδεται από τον τύπο: το δε minimax από τον τύπο: Επομένως, εξακολουθεί να ισχύει η σχέση: ελαχιστομέγιστη αναμενόμενη τιμή (ή πληρωμή) μεγιστοελάχιστη αναμενόμενη τιμή (ή πληρωμή). Από την στιγμή όμως που καθοριστούν οι Χ i και Υ j } που αντιστοιχούν στην βέλτιστη λύση, η ανίσωση γίνεται εξίσωση, οι δε τιμές που προκύπτουν είναι ίσες προς την (βέλτιστη) αναμενόμενη τιμή του παιχνιδιού, V, δηλαδή: ελαχιστομέγιστη πληρωμή = μεγιστοελάχιστη πληρωμή = τιμή του παιχνιδιού V. Για την επίλυση των μη αυστηρώς αποφασισμένων παιχνιδιών (μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων) αναπτύχθηκαν διάφοροι τρόποι. Η χρησιμοποίηση του ενός ή του άλλου τρόπου επίλυσης εξαρτάται κυρίως από τις διαστάσεις της μήτρας του παιχνιδιού. Έτσι, διακρίνουμε τα παιχνίδια στις παρακάτω ομάδες: Παιχνίδια μήτρας 2x2 (αλγεβρική μέθοδος επίλυσης ή γραφική μέθοδος). Παιχνίδια μήτρας m x 2 και 2 x n (γραφική μέθοδος επίλυσης). Παιχνίδια με υποχωρητικές στήλες και γραμμές που ανάγονται σε παιχνίδια μήτρας 2x2 ή m x 2 ή 2 x η. Παιχνίδια μήτρας m x n (επίλυση με τον γραμμικό προγραμματισμό). α) Παιχνίδια μήτρας 2x2 Παίρνουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού. 9

10 Αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση παιχνιδιού 2x2 Έστω ότι για τον παίκτη Α η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Χ 1 είναι ρ 1 Επομένως, 1 p 1 = p 2 είναι η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Χ 2. Εάν ο παίκτης Β εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 1, τότε ο Α θα έχει αναμενόμενο κέρδος (Αν.Κε) ίσο με: Αν.Κε/Υ 1 = (p 1 x 9) + [(1 p 1 )x7] = 9p p 1 = 2p Εξάλλου, αν ο παίκτης Β εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2 τότε ο Α θα έχει αναμενόμενο κέρδος ίσο με: Αν.Κε/Υ 2 = (p 1 x6) + [(1 ρ 1 ) x11] = -5p Επειδή τον παίκτη Α τον ενδιαφέρει να έχει το ίδιο αποτέλεσμα, ανεξάρτητα από τη στρατηγική που θα εφαρμόσει ο Β, εξισώνουμε το Αν.Κε/Υ 1 και Αν.Κε/Υ 2 και βρίσκουμε: 2p = -5p p 1 = 4 Ρ 1 = 4/7 και 1 p 1 = 3/7=p 2. Επομένως, ο Α θα παίξει την «μικτή στρατηγική» Χ 1 και Χ 2 με αναλογία 4:3, η τιμή του παιχνιδιού, V, είναι: 9ρ 1 + 7(1 p 1 ) = (9 x 4/7) + (7 x 3/7) = 57/7 = 8.14 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τον παίκτη Β θα έχουμε: Έστω q 1 η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Υ 1. Επομένως, 1 q 1 = q 2 είναι η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Υ 2. Εάν ο Α εφαρμόσει τη στρατηγική Χ 1, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β είναι (Αν.Απ): Αν.Απ/Χ 2 = (q 1 x 9) + [(1 q 1 ) x 6] = 9q q 1 = 3q Εξάλλου, αν ο παίκτης Α εφαρμόσει την Χ 2, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β είναι: Αν.Απ/Χ 2 = (q 1 x 7) + [(1 q 1 ) x 11] = 7q q 1 = -4q Σύμφωνα με τα παραπάνω πρέπει: Αν.Απ/Χ 1 = Αν.Απ/Χ 2 δηλαδή 3q = -4q q 1 = 5 και q 1 =5/7, 1 q 1 =2/7 = q 2 Συνεπώς, ο Β θα εφαρμόσει εκ περιτροπής την «μικτή στρατηγική» Υ 1 και Υ 2, με αναλογία 5:2. Η τιμή του παιχνιδιού είναι ίση με: V = (9x5/7) + (6x2/7) =57/7= 8.14 Με την «μικτή στρατηγική» που θα εφαρμόσουν οι παίκτες Α και Β θα έχουν μακροχρονίως ο μεν Α κέρδη 8.14, ο δε Β ζημία ίση με 8.14 (το παιχνίδι είναι 10

11 ευνοϊκό για τον Α). Για να βρούμε απευθείας τη λύση του παιχνιδιού (μήτρας 2 x 2), χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν, όπως θα δούμε, από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Εάν εμφανίσουμε μια μήτρα 2 x 2 με την γενική μορφή: Με την «μικτή στρατηγική» που θα εφαρμόσουν οι παίκτες Α και Β θα έχουν μακροχρονίως ο μεν Α κέρδη 8.14, ο δε Β ζημία ίση με 8.14 (το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον Α). Για να βρούμε απευθείας τη λύση του παιχνιδιού (μήτρας 2x2), χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν, όπως θα δούμε, από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Εάν εμφανίσουμε μια μήτρα 2x2 με την γενική μορφή: Και εάν: q 1 = q, q 2 = 1 - q p 1 = p, p 2 = 1 - p Μπορούμε να βρούμε το ρ 1 ρ 2, q 1 q 2 και V από τις σχέσεις: Αναλυτικότερα, για να καταλήξουμε στη σχέση (1), σύμφωνα με τα παραπάνω, ακολουθούμε τον συλλογισμό: Έστω ρ η πιθανότητα επιλογής από τον Α της στρατηγικής Χ 1, τότε 1 - ρ η πιθανότητα επιλογής της Χ 2. Εάν ο B εφαρμόσει την Υ 1, τότε: Αν.Κε/Υ 1 = a p + (1 - p) c =a p + c-c p Εξάλλου: Αν.Κε/Υ 2 = b p + (1 - p) d =b p + d-d p αφού όμως είναι: Αν.Κε/Υ 1 = Αν.Κε/Υ 2 τότε: a p + c - c p = b p + d- d p a p - c p - b p + d p = d - c p (a - c - b + d) = d - c p = d-c/a+b-d-c κ.ο.κ. Γραφική μέθοδος για την επίλυση παιχνιδιού 2x2 11

12 Παίκτης Α: Στο προηγούμενο παράδειγμα μας έχουμε: Αν.Κε/Υ 1 = 2p (1) Εάν p 1 = 1 (δηλ. ο παίκτης Α χρησιμοποιεί μόνο τη στρατηγική Χ 1 ), τότε: Αν.Κε/Υ 1 = 9 Εάν p 1 = 0 (δηλ. ο Α χρησιμοποιεί μόνο την Χ 2 ), τότε: Αν.Κε/Υ 1 = 7 Εξάλλου, εάν γίνει η ίδια αντικατάσταση και στην εξίσωση: Αν.Κε/Υ 2 = -5p (2) θα έχουμε: p 1 = 1, τότε Αν.Κε/Υ 2 = 6 p 1 = 0, τότε Αν.Κε/Υ 2 = 11 Χαράζουμε τις ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (1) και (2) σε δυο κάθετους άξονες προς τον άξονα Χ, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Οι πληρωμές που αντιστοιχούν στην πρώτη γραμμή (στρατηγική Χ 1 ) σημειώνονται στον πρώτο άξονα, οι πληρωμές που αντιστοιχούν στην δεύτερη γραμμή (στρατηγική Χ 2 ) σημειώνονται στον δεύτερο άξονα. Ο άξονας Χ είναι ο άξονας των πιθανοτήτων p 1, για διάφορες δε τιμές του ρ 1 έχουμε όλα τα σημεία των ευθειών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (1) και (2). Γραφική επίλυση παιχνιδιού για τον παίκτη Α Τα σημεία που βρίσκονται στην τεθλασμένη ΟVΠ εκφράζουν τα ελάχιστα αναμενόμενα κέρδη του παίκτη Α, για κάθε τιμή του p, από 0 έως 1. Σύμφωνα με το 12

13 κριτήριο minimax, ο Α επιλέγει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο V. Εάν φέρουμε τις συντεταγμένες του σημείου V, θα έχουμε: Βέλτιστη αναμενόμενη τιμή του Α = V = 8.14 Τιμή του p 1 =4/7, οπότε p 2 = 3/7 Επομένως, βέλτιστη μικτή στρατηγική του Α είναι η ( 4/7, 3/7 ). Παίκτης Β: Παίρνουμε τη μήτρα του παιχνιδιού, με την παρακάτω όμως διάταξη: Σύμφωνα με τα προηγούμενα: Αν.Απ/Χ 1 = 3q Εάν q, = 1, τότε: Αν.Απ/Χ 1 = 9 Εάν q, = 0, τότε: Αν.Απ/Χ 1 = 6 Αν.Απ/Χ 2 = -4q Εάν q 1 = 1, τότε: Αν.Απ/Χ 2 = 7 Εάν q 1 = 0, τότε: Αν.Απ/Χ 2 = 11 13

14 Χαράζουμε τις ευθείες έτσι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην τεθλασμένη Ο'VΠ, εκφράζουν τις μεγαλύτερες αναμενόμενες ζημίες (πληρωμές) του παίκτη Β για κάθε τιμή του q 1 από το 0 έως το 1. Σύμφωνα δε με το κριτήριο minimax, ο Β επιλέγει το καλύτερο αποτέλεσμα από τα χειρότερα. Η τιμή αυτή αντιστοιχεί στο σημείο V. Επομένως, η τιμή του παιχνιδιού είναι V = 8.14 (που θα χάσει ο παίκτης Β) και η βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β η ( 5/7, 2/7 ). β) Παιχνίδια με υποχωρητικές γραμμές και στήλες Όταν έχουμε να λύσουμε ένα παιχνίδι, το πρώτο που κάνουμε είναι να δούμε αν έχει σημείο «σάγματος». Εάν διαπιστώσουμε ότι το παιχνίδι δεν είναι αυστηρώς αποφασισμένο, τότε το επόμενο βήμα είναι να περιορίσουμε, εάν φυσικά είναι δυνατόν, τις στήλες και τις γραμμές έτσι, ώστε να παραμείνουν τελικά οι κυρίαρχες και να περιορισθεί το παιχνίδι σε 2x2 (που ήδη είδαμε τον τρόπο επίλυσης του) ή σε mx2 ή 2xn (που θα λύσουμε παρακάτω). Οι κανόνες που ακολουθούμε είναι δυο: 14

15 α) Κανόνας «κυριαρχίας» των γραμμών: «Κυρίαρχη» (συνεπώς παραμένει) είναι μια γραμμή, όταν κάθε στοιχείο της είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το αντίστοιχο στοιχείο μιας άλλης γραμμής, που γι' αυτό λέγεται «υποχωρητική» (δεν λαμβάνεται υπόψη). β) Κανόνας «κυριαρχίας» των στηλών: «Κυρίαρχη» είναι μια στήλη που κάθε στοιχείο της είναι μικρότερο ή ίσο από το αντίστοιχο στοιχείο μιας άλλης, που γι' αυτό λέγεται «υποχωρητική» στήλη. Παράδειγμα: Το παιχνίδι γίνεται 2x2, δηλαδή: 15

16 γ ) Παιχνίδια μήτρας m x 2 και 2 x n Στην κατηγορία αυτή ανήκουν τα παιχνίδια στα οποία υπάρχουν δύο παίκτες και ο ένας παίκτης διαθέτει δυο στρατηγικές, ο δε άλλος περισσότερες από δυο. Ο πιο απλός τρόπος για την επίλυση αυτών των παιχνιδιών είναι η γραφική μέθοδος. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, προσδιορίζεται ένα ακραίο σημείο, που είναι τομή ή δυο ευθειών οι οποίες εκφράζουν δυο στρατηγικές (φυσικά του παίκτη που διαθέτει περισσότερες από δύο). Μ αυτό τον τρόπο καθορίζονται οι κυρίαρχες στρατηγικές, το δε παιχνίδι περιορίζεται σε 2x2 και για τον καθορισμό πλέον της «μικτής» στρατηγικής εφαρμόζεται η γνωστή διαδικασία: Παράδειγμα πρώτο (1); Έστω ότι έχουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού: Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πια παράδειγμα της μήτρας 2x2, όπου χρησιμοποιήσαμε την γραφική μέθοδο, φέρνουμε τις ευθείες: Αν.Κε/Ύ 1 = p 1 +(1-p 1 ) 4= -3p 1 +4 (1) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 1 =1 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 1 =4 Αν.Κε/Ύ 2 = 4p 1 +(1-p 1 ) 3= p 1 +3 (2) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 2 =4 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 2 =3 Αν.Κε/Ύ 3 = 5p 1 +(1-p 1 )= 4p 1 +1 (3) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 3 =5 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 3 =1 16

17 Όπως φαίνεται από το παραπάνω διάγραμμα, περιορίζουμε το κάτω τμήμα με πιο έντονη γραμμή, διότι οι ευθείες εκφράζουν τις στρατηγικές του Β, και αφού ο Β κερδίζει όταν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, τον ενδιαφέρει στο συγκεκριμένο παιχνίδι να περιορίσει στο ελάχιστο τη ζημία του. Έτσι, οι δυνατές λύσεις βρίσκονται στην τεθλασμένη ΟV"Π και η ισορροπία του παιχνιδιού πραγματοποιείται στο σημείο V, όπου ο Α έχει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα (και όπου ο Β περιορίζει στο ελάχιστο τα κέρδη του Α, επομένως και την ζημία του). Το σημείο V δίνει την τιμή του παιχνιδιού V = 2.70 και τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του A (3/7, 4/7). Επίσης, το σημείο V καθορίζει και τις βέλτιστες καθαρές στρατηγικές του Β(Υ 1, Υ 3 ). Επειδή το σημείο maximin καθορίζεται από την τομή δυο ευθειών, (1) και (3), η ευθεία (2) δεν λαμβάνεται υπόψη, διότι η πιθανότητα χρησιμοποίησης της είναι ίση προς το 0. Το παιχνίδι περιορίζεται σε 2 x 2, δηλαδή: Οπότε, οι πιθανότητες χρησιμοποίησης από τον Β των στρατηγικών Υ, και Υ, είναι: 17

18 Συνεπώς, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του Β είναι η (4/7,3/7). Παράδειγμα δεύτερο (2): Έχουμε την ακόλουθη μήτρα παιχνιδιού: Φέρνουμε τις παρακάτω ευθείες: Αν.Κε/Υ 1 = (-6p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-5)] = -p 1-5 (1) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 1 = -6 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 1 = -5 Αν.Κε/Υ 2 = (-3p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-6)] = 3p 1-6 (2) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 2 = -3 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 2 = -6 Αν.Κε/Υ 3 = (-8p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-4)] = -4p 1-4 (3) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 3 = -8 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 3 = -4 Αν.Κε/Υ 2 = (-7p 1 ) + (1 p 1 ) = -8p 1 +1 (4) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 4 = -7 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 4 = 1 18

19 Παρατηρούμε ότι περιορίζουμε το κάτω τμήμα. Το παιχνίδι, όπως είναι προφανές, ευνοεί τον Β, ο οποίος έχει το μεγαλύτερο από τα ελάχιστα κέρδη στο σημείο V. Το σημείο V προσδιορίζει και τις δυο κυρίαρχες στρατηγικές του Β (Υ 1, Υ 2 ), την τιμή του παιχνιδιού, V = -5,25 (ζημία του Α) και τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του Α, που είναι η p 1 = 0.25 = 1/4 και p 2 =0.75=3/4. Σύμφωνα δε με τους τύπους που χρησιμοποιούμε στα παιχνίδια 2x2, μπορούμε να βρούμε και την λύση του παιχνιδιού για τον παίκτη Β. Έτσι: q 1 = 3/4 και q 2 =1/4 και V=-5.25 Συνεπώς, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β είναι η (3/4,1/4). δ) Παιχνίδια μήτρας m χ n (Επίλυση με την μέθοδο Simplex) Έστω ότι έχουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού Α: 19

20 Προσθέτουμε τον αριθμό 2, για να γίνουν όλα τα στοιχεία της μήτρας θετικά, οπότε έχουμε την παρακάτω μήτρα Α*: Παίκτης Α Όπως γνωρίζουμε, ο παίκτης Α επιλέγει την στρατηγική που θα του δώσει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Επομένως, εάν το αναμενόμενο σίγουρο μέγιστο κέρδος που θα έχει ο Α, για οποιαδήποτε στρατηγική ακολουθήσει ο Β, είναι V* (V* αντιστοιχεί στην μήτρα Α*, ενώ V στην μήτρα Α) και εάν p 1, p 2, p 3 είναι οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Χ 1, Χ 2, Χ 3, τότε το αναμενόμενο κέρδος του Α για κάθε μια από τις καθαρές στρατηγικές του Β είναι: 4p 1 +p 2 +p 3 V* 3p 1 +4p 2 +p 3 V* 4p 1 +p 2 +2p 3 V* όπου p 1 +p 2 +p 3 =1 Διαιρούμε τα δυο μέλη των ανισοϊσοτήτων δια του V* και έχουμε: Καθώς και Εάν βάλουμε όπου p 1 /V * =x 1, p 2 /V * =x 2, p 3 /V * =x 3, Θα έχουμε: 4x 1 +x 2 +x 3 1 3x 1 +4x 2 +x 3 1 x 1 +x 2 +2x 3 1 όπου x 1 +x 2 +x 3 =1/V * 20

21 Ο παίκτης Α επιδιώκει να μεγιστοποιήσει την τιμή του V* ή να ελαχιστοποιήσει την τιμή 1/V *. Επομένως, είναι προφανές ότι το παιχνίδι μπορεί να διατυπωθεί σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, με την παρακάτω μορφή: Να βρεθούν μη αρνητικοί αριθμοί x 1, x 2, x 3 που πληρούν τους περιορισμούς: 4x 1 +x 2 +x 3 - x 4 + x 7 =1 3x 1 +4x 2 +x 3 - x 5 + x 8 =1 x 1 +x 2 +2x 3 -x 6 + x 9 =1 Και δίνουν το ελάχιστο της συνάρτησης: Εξάλλου στη γενική του μορφή έχει ως εξής: Να βρεθεί το max z= V Που ικανοποιεί τους περιορισμούς Όπου V η τιμή του παιχνιδιού. Παίκτης Β Ο παίκτης Β επιλέγει επίσης τη στρατηγική που θα του δώσει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Συνεπώς, εάν η αναμενόμενη ελάχιστη ζημία την οποία δεν θα υπερβεί ο Β, για οποιαδήποτε στρατηγική χρησιμοποιήσει ο Α, είναι V* και εάν q 1 q 2, q 3, είναι οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Υ 1, Υ 2, Υ 3, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β για κάθε μια από τις καθαρές στρατηγικές του Α είναι: και Διαιρούμε και τα δύο μέλη των ανισοτήτων δια του V * και 21

22 Εάν βάλουμε όπου q 1 /V * =y 1, q 2 /V * =y 2, q 3 /V * =y 3, Θα έχουμε: και Ο παίκτης Β επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει την τιμή του V* ή να μεγιστοποιήσει την τιμή του 1/V*. Το πρόβλημα με την προσθήκη των χαλαρών μεταβλητών y 4, y 5, y 6 παίρνει την παρακάτω μορφή: Να βρεθούν μη αρνητικοί αριθμοί y1, y2, y3 που πληρούν τους περιορισμούς: και δίνουν το μέγιστο της συνάρτησης: Με βάση αυτές τις σχέσεις καταρτίζουμε τον αρχικό πίνακα simplex και σε συνέχεια, εφαρμόζοντας τη γνωστή υπολογιστική διαδικασία, καταλήγουμε στον τελικό πίνακα, που μας δίνει την βέλτιστη λύση. ΠΙΝΑΚΑΣ I (Αρχικός πίνακας simplex) 22

23 ΠΙΝΑΚΑΣ II ΠΙΝΑΚΑΣ III 23

24 ΠΙΝΑΚΑΣ IV (Βέλτιστη λύση) Από τον τελικό πίνακα (IV) προκύπτουν τα παρακάτω: Συνεπώς: Άρα η βέλτιστη μικτή στρατηγική του Β είναι η (1/3, 3/13, 9/13). Επειδή όμως το παιχνίδι του παίκτη Β είναι το δυϊκό του παίκτη Α, από τον τελικό πίνακα IV προκύπτει και η λύση του παιχνιδιού για τον Β, δηλαδή από την τελευταία γραμμή (στήλες 4, 5, 6), έχουμε: Οπότε X 1 =3/22, X 2 =1/22, X 3 =9/22 24

25 Δηλαδή, η βέλτιστη στρατηγική του παίκτη Α είναι η (3/13, 1/13, 9/13). Η τιμή δε του παιχνιδιού, V, είναι ίση με V* = -2, δηλαδή V = (22/13)-2 =4/13 (κερδίζει ο παίκτης Β: 4/13 και χάνει o A: -4/13). 25

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Θεωρία Παιγνίων Μαρκωβιανά Παιχνίδια Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Μερική αρατηρησιµότητα POMDPs

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες

Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» Μεταπτυχιακή Διατριβή Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες Στυλιανός Θ. Δρακάτος Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α )

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Του Νίκου Παναγιωτίδη (SV6 DBK) φυσικού και ραδιοερασιτέχνη. Ο σκοπός του άρθρου αυτού είναι να κατευθύνει τον αναγνώστη ραδιοερασιτέχνη να κατασκευάσει το

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση:

Θέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Θέμα (.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Να βρεθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής και στη συνέχεια να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος παραγωγής. (0%) Κριτήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις :

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : Κεφάλαιο 1. ΤΕΛΕΙΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : α) Υπάρχουν πολλές εταιρίες οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα: Με τον όρο αυτό εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Δομή προβλήματος: Με τον όρο

Διαβάστε περισσότερα