ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I."

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας. Επίσης, σε αυτά τα μαθήματα μελετήθηκαν οι αποφάσεις κάτω από συνθήκες κινδύνου, στις οποίες γνωρίζουμε τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης, και σε συνέχεια ασχοληθήκαμε με βασικές έννοιες της θεωρίας των πιθανοτήτων, το θεώρημα του Bayes, τα δένδρα αποφάσεων και την διαδικασία Markov. Υπάρχει όμως και μια ιδιαίτερη κατηγορία αποφάσεων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας που αφορούν τα προβλήματα ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. Τα προβλήματα αυτά δημιουργούνται όταν η αποτελεσματικότητα εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει ένα πρόσωπο Α (ή μία ομάδα προσώπων Α) περιορίζεται εξαιτίας της εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει άλλο πρόσωπο Β (ή ομάδα προσώπων Β). Το χαρακτηριστικό λοιπόν γνώρισμα αυτών των αποφάσεων είναι ότι ούτε ο Α ούτε ο Β μπορούν να επιτύχουν τον αντικειμενικό στόχο που επιδιώκουν, εφαρμόζοντας τη μια ή την άλλη στρατηγική (όπως, αντίθετα, συμβαίνει στα προβλήματα π.χ. γραμμικού προγραμματισμού, όπου επιλέγεται η στρατηγική με την οποία πραγματοποιείται ο αντικειμενικός στόχος της μεγιστοποίησης του κέρδους ή ελαχιστοποίησης του κόστους κτλ.). Τα προβλήματα αυτά λέγονται προβλήματα «παιγνίων», και για την αντιμετώπιση τους αναπτύχθηκε η «θεωρία των παιγνίων» (Game Theory). Η θεωρία των παιγνίων διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Gardan, Pascal, Galileo, Waldergrave τον XVII και XVIII αιώνα και χρησιμοποιήθηκε κυρίως για την επίλυση προβλημάτων στρατιωτικής φύσης. Η σημερινή όμως εξέλιξη της θεωρίας των παιγνίων οφείλεται στον John von-neumann (δημοσίευσε το 1944 το έργο «Theory and Practice of Games and Economic Behavior»), που σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern δημοσίευσε το 1947 το γνωστό έργο «Η θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά», (Theory of Games and Economic Behavior). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η οικονομική ζωή είναι ένα παιχνίδι παικτών, που ο καθένας παίζει για δικό του λογαριασμό (μπορεί και να συνάψει συμμαχία με άλλους), προβλέπει δε να εξασφαλίσει το μεγαλύτερο κέρδος ή την ελάχιστη ζημία έναντι του άλλου (ή άλλων παικτών). Έτσι και η επιχείρηση επιδιώκει, εφαρμόζοντας διάφορες στρατηγικές, ορισμένους αντικειμενικούς στόχους που συγκρούονται με τους στόχους άλλης (ή άλλων επιχειρήσεων). Εκείνο που βασικά προσφέρει η θεωρία των παιγνίων στον οικονομολόγο (ή τον πολιτικό ή τον στρατιωτικό) δεν είναι τόσο ο καθορισμός μιας κάποιας στρατηγικής που θα επιλέξει, διότι το πεδίο εφαρμογής της είναι περιορισμένο, αλλά κυρίως ένα τρόπο σκέψης, γιατί αυτή καθεαυτή η θεωρία των παιγνίων είναι μια αυστηρή λογική, ένα ορθολογισμός, καθώς και ένα καλύτερο σημείο εκκίνησης για την έρευνα και μελέτη των πολύπλοκων και δύσκολων προβλημάτων ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. 1

2 II. Διάκριση «παιγνίων» σε κατηγορίες Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στο πρώτο μέρος αυτής της εργασίας, τα «παίγνια» διακρίνονται στις παρακάτω δυο γενικές κατηγορίες: α) «Παίγνια» του ανθρώπου εναντίον της φύσης. β) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσοτέρων ατόμων («παίγνια» ενός ατόμου που αντιμάχεται μια ομάδα ατόμων ή «παίγνια» δυο αντιμαχόμενων ομάδων ή «παίγνια» μεταξύ περισσότερων ατόμων ή ομάδων). Η κύρια διαφορά μεταξύ των δυο αυτών γενικών κατηγοριών είναι ότι η «φύση» δεν είναι δυνατό να θεωρηθεί σαν ένας «έξυπνος» και «συνετός» αντίπαλος, ο οποίος «επιδιώκει» ένα συγκεκριμένο στόχο το παιχνίδι κατευθύνεται κυρίως από την τύχη. Αντίθετα, η βασική προϋπόθεση πάνω στην οποία βασίζεται η θεωρία των παιγνίων είναι ότι: και οι δυο παίκτες είναι «έξυπνοι» και «συνετοί», δηλαδή γνωρίζουν τις διαθέσιμες εναλλακτικές λύσεις του αντίπαλου παίκτη και τ' αντίστοιχα από την εφαρμογή τους αποτελέσματα και ο καθένας από αυτούς προσπαθεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος του (ή να ελαχιστοποιήσει την ζημία του) σε βάρος του άλλου παίκτη. Όπως είναι φανερό, ένα παιχνίδι της δεύτερης κατηγορίας δεν κατευθύνεται από μόνη την τύχη, γιατί ο παίκτης για κάθε πιθανή κίνηση του αντιπάλου του θα επιλέξει τον τρόπο δράσης που θα δώσει τις λιγότερες δυνατότητες επιτυχίας στον αντίπαλο του. Τα παιχνίδια της δεύτερης κατηγορίας τα διακρίνουμε σε συνέχεια στις παρακάτω ομάδες: αα) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσότερων ατόμων με έκβαση ίση με το μηδέν. Στα παιχνίδια αυτά το άθροισμα των κερδών του ενός παίκτη (ή της μιας ομάδας) και των απωλειών του αντίπαλου παίκτη (ή της αντίπαλης ομάδας) ισούται με το μηδέν, δηλ. τα κέρδη του ενός είναι ζημιές του άλλου. Για αυτό το λόγο τα παιχνίδια αυτά ονομάζονται «παίγνια» μηδενικού αθροίσματος (zero-sum games). ββ) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσότερων ατόμων με έκβαση του μηδενός (non zero-sum games). Στα παιχνίδια αυτά το κέρδος του ενός διαφέρει από τη ζημιά του άλλου παίκτη. Αυτό συμβαίνει, επειδή σε κάθε σειρά ενεργειών υπεισέρχονται και άλλοι παράγοντες, είτε τυχαίοι είτε ανεξάρτητοι από τη θέληση των δυο αντιπάλων, με συνέπεια το άθροισμα των κερδών και των απωλειών να είναι 0. Ένας τέτοιος παράγοντας μπορεί να είναι π.χ. το κράτος, όταν έρχεται σε αντίθεση με τον ανταγωνισμό των παικτών και παίρνει και αυτό μέρος στο παιχνίδι με σκοπό είτε να αποκτήσει ορισμένα οφέλη ή να υποστηρίξει, για διάφορους λόγους, τον ένα παίκτη. Εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων. III. Παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων (Two-person, zerosum games) Πριν ασχοληθούμε με την λογική της επίλυσης και της διάκρισης αυτής της κατηγορίας των παιχνιδιών, θα δώσουμε ένα γενικό υπόδειγμα ενός παιχνιδιού και θα αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες και όρους της θεωρίας των παιγνίων. Το γενικό υπόδειγμα ενός παιγνιδιού μεταξύ δυο ατόμων είναι το ακόλουθο : 2

3 Διάγραμμα 74: Γενικό υπόδειγμα μήτρας παιχνιδιού (ή πληρωμών). Όπου: Χ i = Οι εναλλακτικές στρατηγικές (εναλλακτικοί τρόποι δράσης) που διαθέτει ο παίκτης Α. Y j = Οι εναλλακτικές στρατηγικές που διαθέτει ο παίκτης Β. A(a ij ) = Η αξία του αποτελέσματος (πληρωμή) για κάθε συνδυασμό στρατηγικών Χi-Υ j. Ρ i = Οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Χ i (όταν εφαρμόζεται μικτή στρατηγική). q j = Οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Υ j (μικτή στρατηγική). Η μήτρα παιχνιδιού εκφράζει συνήθως τις πληρωμές του παίκτη Β (ζημίες του Β) προς τον παίκτη Α (κέρδη του Α). Οι εναλλακτικές στρατηγικές που έχει στην διάθεση του κάθε παίκτης ονομάζονται «καθαρές» στρατηγικές. Όταν δε οι παίκτες Α και Β αποφασίσουν να εφαρμόσουν στο ανταγωνιστικό παιχνίδι πάντοτε την ίδια στρατηγική, τότε λέμε ότι επιλέγουν καθαρή στρατηγική (pure strategy). Αντίθετα, όταν οι παίκτες αποφασίσουν να χρησιμοποιήσουν στο ανταγωνιστικό παιχνίδι, με μια ορισμένη συχνότητα, περισσότερες από μια καθαρές στρατηγικές, τότε λέμε ότι εφαρμόζουν μικτή στρατηγική (mixed-strategy), θεωρούμε ότι, πριν αρχίσει το παιχνίδι, οι παίκτες Α και Β επιλέγουν συγχρόνως τη στρατηγική που θα εφαρμόσουν και με την επιλογή αυτή ολοκληρώνεται ένας κύκλος παιχνιδιού. Ο κάθε παίκτης επιλέγει την βέλτιστη στρατηγική (καθαρή ή μικτή), το αποτέλεσμα δε που αναμένουν οι δυο παίκτες από την εφαρμογή των βέλτιστων στρατηγικών ονομάζεται τιμή ή αξία του παιχνιδιού (value of the game). Επίλυση του παιχνιδιού είναι η εξεύρεση της βέλτιστης στρατηγικής (καθαρής ή μικτής) για κάθε παίκτη, καθώς και ο προσδιορισμός της αξίας του παιχνιδιού, V. 3

4 Από την τιμή ενός παιχνιδιού, V, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα παιχνίδι σαν δίκαιο ή άδικο (με την έννοια ότι ευνοεί τον ένα ή τον άλλο παίκτη). Έτσι, εάν V < 0, τότε το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη Β, εάν V > 0, τότε το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη Α, και τέλος, εάν V = 0, τότε το παιχνίδι είναι δίκαιο. Η επίλυση του παιχνιδιού βασίζεται σ' ένα πολύ συντηρητικό κριτήριο, το κριτήριο minimax - maximin (το αναφέραμε στο πρώτο μέρος σαν κριτήριο του Wald). Σύμφωνα με το κριτήριο minimax, κάθε παίκτης επιλέγει την στρατηγική (καθαρή ή μικτή) που θα του αποφέρει το καλύτερο από τα χειρότερα δυνατά αποτελέσματα (πληρωμές). Στην περίπτωση δε που τόσο ο παίκτης Α, όσο και ο παίκτης Β, δεν έχουν κανένα όφελος ν' αλλάξουν την στρατηγική που διάλεξαν, τότε λέμε ότι έχουμε μια βέλτιστη λύση και ότι το παιχνίδι είναι «σταθερό», δηλαδή βρίσκεται σε μια κατάσταση ισορροπίας. Τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων διακρίνονται σε δυο υποκατηγορίες, στα αυστηρώς αποφασισμένα και στα μη αυστηρώς αποφασισμένα. 1. Αυστηρώς αποφασισμένα παιχνίδια (Strictly determined games) - Καθαρή στρατηγική Παράδειγμα: Οι επιχειρήσεις Α και Β είναι ανταγωνίστριες. Η επιχείρηση Α είναι οικονομικά ισχυρότερη από τη Β και για να αποσπάσει πελάτες από την επιχείρηση Β, σκέπτεται να εφαρμόσει τις εξής τρεις στρατηγικές: Χ 1 : Βελτίωση της συσκευασίας του προϊόντος. Χ 2 : Βελτίωση των όρων παροχής πιστώσεων. Χ 3 : Έντονη διαφήμιση του παραγόμενου προϊόντος. Η επιχείρηση Β επιδιώκει τον ίδιο σκοπό και σκέπτεται να εφαρμόσει τις παρακάτω δυο στρατηγικές: Υ 1 : Βελτίωση της ποιότητας του παραγόμενου προϊόντος. Υ 2 : Επιτάχυνση του χρόνου παράδοσης του προϊόντος στον αγοραστή. Η επιχείρηση Α υπολόγισε τις επιδράσεις των τριών στρατηγικών της πάνω στις πωλήσεις, καθώς και τις επιδράσεις στις πωλήσεις (της Α) των δυο στρατηγικών της Β και σε συνέχεια παρουσίασε τα αποτελέσματα στην παρακάτω μήτρα παιχνιδιού (ή πληρωμών): Στην παραπάνω μήτρα οι αρνητικοί αριθμοί εκφράζουν τις απώλειες του παίκτη Α (δηλ. το ποσό που θα πληρώσει στον παίκτη Β) και τα κέρδη του παίκτη Β. Αντίθετα, 4

5 οι θετικοί αριθμοί εκφράζουν τις απώλειες του παίκτη Β (δηλ. το ποσό που θα πληρώσει στον παίκτη Α) και επομένως τα κέρδη του Α. Μελετώντας αυτή τη μήτρα παιχνιδιού μπορούμε να κάνουμε τις εξής σκέψεις: Επειδή και οι δυο «παίκτες» θεωρούνται έξυπνοι και συνετοί, ο παίκτης Α (επιχ. Α) σε καμιά περίπτωση δεν θα επιλέξει τη στρατηγική Χ 1 αφού είναι οπωσδήποτε πιο συμφέρουσες για αυτόν οι στρατηγικές Χ 2 και Χ 3. Επειδή ο παίκτης Β το γνωρίζει αυτό δεν παίρνει υπόψη του καθόλου τη στρατηγική Χ 1. Ακολουθώντας τον ίδιο συλλογισμό δεν θα επιλέξει ποτέ τη στρατηγική Υ 2 αφού θα βρίσκεται σε πιο πλεονεκτική θέση με τη στρατηγική Υ 1. Αλλά και ο Α γνωρίζει ότι ο Β δεν θα εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2 και για αυτό αποφασίζει ότι η καλύτερη στρατηγική του είναι η Χ 3. Η επιλογή από τους παίκτες Α και Β των στρατηγικών Χ 3 και Υ 1 έχει σαν αποτέλεσμα να κερδίσει ο παίκτης Α 1 και ο παίκτης Β να έχει απώλεια ίση με 1. Στην τιμή άλλωστε αυτή το παιχνίδι βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, γιατί κανείς από τους παίκτες Α και Β δεν έχει λόγο να επιλέξει άλλη στρατηγική. Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε τα εξής: Σ' ένα παιχνίδι όπου ο κάθε παίκτης γνωρίζει τις στρατηγικές που διαθέτει ο αντίπαλος του, επιπλέον δε γνωρίζει ότι ο αντίπαλος του είναι έξυπνος και συνετός, είναι λογικό να περιμένει το χειρότερο αποτέλεσμα από κάθε στρατηγική που διαθέτει. Αυτός ο συλλογισμός έχει σα συνέπεια την εφαρμογή του κριτηρίου minimax, σύμφωνα με το οποίο ο κάθε παίκτης αποφασίζει να εφαρμόσει τη στρατηγική που θα του ελαχιστοποιήσει τη ζημία ή θα του δώσει το «μέγιστο» από τα «ελάχιστα» κέρδη. Εφαρμόζουμε το κριτήριο minimax στην παραπάνω μήτρα αποτελεσμάτων και σημειώνουμε τα «ελάχιστα» των γραμμών και τα «μέγιστα» των στηλών. Το «μεγιστοελάχιστο» των γραμμών (στρατηγική Χ 3 ) εξασφαλίζει στον παίκτη Α κέρδος 1 (για αυτό ο παίκτης Α ονομάζεται ο «μεγιστοποιών παίκτης»), ενώ το «ελαχιστομέγιστο» των στηλών (στρατηγική Υ 1 ) εγγυάται στον παίκτη Β την ζημία 1 (την οποία είναι σίγουρο ότι δεν θα ξεπεράσει, γι' αυτό ο παίκτης Β ονομάζεται «ο ελαχιστοποιών παίκτης»). Η στρατηγική που επιλέγει ο Α ονομάζεται στρατηγική μεγιστοελάχιστον (maximin strategy), η αναμενόμενη δε από την εφαρμογή της πληρωμή ονομάζεται 5

6 μεγιστοελάχιστη (ή χαμηλότερη) τιμή του παιχνιδιού (maximin value). Εξάλλου, η στρατηγική που επιλέγει ο Β παίκτης ονομάζεται στρατηγική ελαχιστομέγιστου (minimax strategy), η αναμενόμενη δε από την εφαρμογή της πληρωμή ονομάζεται ελαχιστομέγιστη (ή υψηλότερη) τιμή του παιχνιδιού (minimax value). Η τιμή του παιχνιδιού, V, πρέπει να ικανοποιεί την ανισοϊσότητα: μεγιστοελάχιστη τιμή (ή πληρωμή) τιμή του παιχνιδιού V ελαχιστομέγιστη τιμή (ή πληρωμή) Στο παράδειγμα μας έχουμε: μεγιστοελάχιστη τιμή (ή πληρωμή) = ελαχιστομέγιστη τιμή = 1 Αυτό σημαίνει ότι το παιχνίδι έχει σημείο «σάγματος» (saddle point), που είναι το σημείο σύμπτωσης των τιμών αυτών, δίνεται δε από την είσοδο (3,1) της μήτρας του παιχνιδιού. Η αξία του παιχνιδιού, V, είναι ίση με 1 (το ποσό 1 θα κερδίσει η επιχείρηση Α και το ίδιο ποσό θα είναι η ζημία της επιχείρησης Β). Το παιχνίδι αυτό ονομάζεται αυστηρώς αποφασισμένο, δεδομένου ότι το σημείο ισορροπίας του παιχνιδιού πραγματοποιείται στο σημείο σάγματος, το οποίο προσδιορίζει και τη βέλτιστη στρατηγική, τόσο του παίκτη Α, όσο και του παίκτη Β (Χ 3 και Υ 1 οι βέλτιστες στρατηγικές). Οι στρατηγικές που θα εφαρμόσουν οι παίκτες είναι καθαρές, με την έννοια ότι ο παίκτης Α θα παίζει σταθερά μια στρατηγική (εδώ την X 3 με πιθανότητα = 1.0) και το ίδιο σταθερά θα παίζει μια στρατηγική και ο παίκτης Β (εδώ την Υ 1 με πιθανότητα = 1.0). Η τιμή του παιχνιδιού, V, δίδεται από την κοινή είσοδο των βέλτιστων καθαρών στρατηγικών (εδώ a 3l = 1), είναι δε ίση προς την μεγιστοελάχιστη και ελαχιστομέγιστη τιμή (ή πληρωμή). Παραδείγματα παιχνιδιών με σημείο σάγματος (Τα ελάχιστα των σειρών σημειώνονται με Ο. τα δε μέγιστα των στηλών με ). 6

7 Επίλυση παιχνιδιών: (ί) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι η Χ 3 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 3 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 2 (ευνοϊκό για τον Α) (ii) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι η Χ 1 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 1 αλλά και η Υ 3 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 1 (ευνοϊκό για τον Α) (iii) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη είναι η Χ 1 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 1 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 0 (το παιχνίδι είναι δίκαιο) 2. Μη αυστηρώς αποφασισμένα παιχνίδια (Non-strictly determined games) - Μικτή στρατηγική Όταν τα παιχνίδια δεν έχουν σημείο σάγματος, τότε υπάρχει ένα χάσμα μεταξύ του «μεγιστοελάχιστου» που μπορεί να κερδίσει ο Α και του «ελαχιστομέγιστου» στο οποίο μπορεί να περιορίσει τη ζημία του ο Β, με συνέπεια να μη μπορούν να εφαρμόσουν οι παίκτες «καθαρή» στρατηγική. 7

8 Παράδειγμα: Σύμφωνα με το κριτήριο maxinin, ο παίκτης Α θα επιλέξει τη στρατηγική Χ 2, για να πετύχει τουλάχιστο το 7. Εξάλλου, ο παίκτης Β θα διαλέξει την στρατηγική Υ 1, για να ελαχιστοποιήσει τη ζημία του σε ποσό 9. Επειδή όμως δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας, οι δε παίκτες γνωρίζουν τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής, εάν ο παίκτης Α υποπτευθεί ότι ο Β θα εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 1 φυσικά ο ίδιος θα εφαρμόσει την Χ 1 (και όχι την Χ 2 ). Όμως και ο παίκτης Β, εάν προβλέψει την κίνηση του Α, θα προτιμήσει να εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2, οπότε θα έχει απώλεια 6 (αντί για 9) κτλ. Βλέπουμε λοιπόν ότι το παιχνίδι παίρνει μια τέτοια μορφή, όπου και ο Α και ο Β προσπαθούν να παραπλανήσουν τον αντίπαλο, με αντικειμενικό στόχο να πάρει μια λαθεμένη απόφαση. Η αδυναμία της εφαρμογής των καθαρών στρατηγικών μεγιστοελάχιστου και ελαχιστομέγιστου σε περιπτώσεις όπως το συγκεκριμένο παράδειγμα δημιούργησε την ανάγκη χρησιμοποίησης μιας μικτής στρατηγικής. Έτσι, κάθε παίκτης, αντί να επιλέξει μόνο μια καθαρή στρατηγική, χρησιμοποιεί, με μια ορισμένη πιθανότητα, περισσότερες ή και όλες τις στρατηγικές που διαθέτει. Εάν p 1, p 2,..., p m και q 1, q 2,,q n είναι οι πιθανότητες γραμμών και στηλών, σύμφωνα με τις οποίες επιλέγουν οι παίκτες Α και Β τις καθαρές τους στρατηγικές (βλ. γενικό υπόδειγμα μήτρας παιχνιδιού), τότε: Η επίλυση ενός μη αυστηρώς καθορισμένου παιχνιδιού βασίζεται πάλι στο κριτήριο minimax, δεδομένου ότι από όλες τις μικτές στρατηγικές αναζητούμε τον συνδυασμό που θα μας δώσει το μέγιστο αναμενόμενο βέβαιο κέρδος του Α, που θα είναι συγχρόνως και η βέβαιη ελάχιστη ζημία του Β. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο παίκτης Α επιλέγει τις p i, που θα του μεγιστοποιήσουν την μικρότερη αναμενόμενη πληρωμή σε μια στήλη, ενώ ο παίκτης Β επιλέγει τις q j, που θα του ελαχιστοποιήσουν την 8

9 μεγαλύτερη αναμενόμενη πληρωμή σε μια γραμμή. Αυτό γιατί, όταν π.χ. ο παίκτης Α διαλέγει μια ορισμένη μικτή στρατηγική, υπάρχει τουλάχιστο μια καθαρή στρατηγική του Β, η οποία θα του προξενήσει την ελάχιστη ζημία. Συνεπώς, ο Α προσπαθώντας να διαλέξει μεταξύ των μικτών στρατηγικών που διαθέτει πρέπει να βρίσκει για κάθε μια από αυτές. τη συγκεκριμένη καθαρή στρατηγική του Β, που θα του ελαχιστοποιεί τη ζημία. Το ίδιο φυσικά συμβαίνει και με τον παίκτη Β. Έτσι, το μεν maximin δίδεται από τον τύπο: το δε minimax από τον τύπο: Επομένως, εξακολουθεί να ισχύει η σχέση: ελαχιστομέγιστη αναμενόμενη τιμή (ή πληρωμή) μεγιστοελάχιστη αναμενόμενη τιμή (ή πληρωμή). Από την στιγμή όμως που καθοριστούν οι Χ i και Υ j } που αντιστοιχούν στην βέλτιστη λύση, η ανίσωση γίνεται εξίσωση, οι δε τιμές που προκύπτουν είναι ίσες προς την (βέλτιστη) αναμενόμενη τιμή του παιχνιδιού, V, δηλαδή: ελαχιστομέγιστη πληρωμή = μεγιστοελάχιστη πληρωμή = τιμή του παιχνιδιού V. Για την επίλυση των μη αυστηρώς αποφασισμένων παιχνιδιών (μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων) αναπτύχθηκαν διάφοροι τρόποι. Η χρησιμοποίηση του ενός ή του άλλου τρόπου επίλυσης εξαρτάται κυρίως από τις διαστάσεις της μήτρας του παιχνιδιού. Έτσι, διακρίνουμε τα παιχνίδια στις παρακάτω ομάδες: Παιχνίδια μήτρας 2x2 (αλγεβρική μέθοδος επίλυσης ή γραφική μέθοδος). Παιχνίδια μήτρας m x 2 και 2 x n (γραφική μέθοδος επίλυσης). Παιχνίδια με υποχωρητικές στήλες και γραμμές που ανάγονται σε παιχνίδια μήτρας 2x2 ή m x 2 ή 2 x η. Παιχνίδια μήτρας m x n (επίλυση με τον γραμμικό προγραμματισμό). α) Παιχνίδια μήτρας 2x2 Παίρνουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού. 9

10 Αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση παιχνιδιού 2x2 Έστω ότι για τον παίκτη Α η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Χ 1 είναι ρ 1 Επομένως, 1 p 1 = p 2 είναι η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Χ 2. Εάν ο παίκτης Β εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 1, τότε ο Α θα έχει αναμενόμενο κέρδος (Αν.Κε) ίσο με: Αν.Κε/Υ 1 = (p 1 x 9) + [(1 p 1 )x7] = 9p p 1 = 2p Εξάλλου, αν ο παίκτης Β εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2 τότε ο Α θα έχει αναμενόμενο κέρδος ίσο με: Αν.Κε/Υ 2 = (p 1 x6) + [(1 ρ 1 ) x11] = -5p Επειδή τον παίκτη Α τον ενδιαφέρει να έχει το ίδιο αποτέλεσμα, ανεξάρτητα από τη στρατηγική που θα εφαρμόσει ο Β, εξισώνουμε το Αν.Κε/Υ 1 και Αν.Κε/Υ 2 και βρίσκουμε: 2p = -5p p 1 = 4 Ρ 1 = 4/7 και 1 p 1 = 3/7=p 2. Επομένως, ο Α θα παίξει την «μικτή στρατηγική» Χ 1 και Χ 2 με αναλογία 4:3, η τιμή του παιχνιδιού, V, είναι: 9ρ 1 + 7(1 p 1 ) = (9 x 4/7) + (7 x 3/7) = 57/7 = 8.14 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τον παίκτη Β θα έχουμε: Έστω q 1 η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Υ 1. Επομένως, 1 q 1 = q 2 είναι η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Υ 2. Εάν ο Α εφαρμόσει τη στρατηγική Χ 1, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β είναι (Αν.Απ): Αν.Απ/Χ 2 = (q 1 x 9) + [(1 q 1 ) x 6] = 9q q 1 = 3q Εξάλλου, αν ο παίκτης Α εφαρμόσει την Χ 2, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β είναι: Αν.Απ/Χ 2 = (q 1 x 7) + [(1 q 1 ) x 11] = 7q q 1 = -4q Σύμφωνα με τα παραπάνω πρέπει: Αν.Απ/Χ 1 = Αν.Απ/Χ 2 δηλαδή 3q = -4q q 1 = 5 και q 1 =5/7, 1 q 1 =2/7 = q 2 Συνεπώς, ο Β θα εφαρμόσει εκ περιτροπής την «μικτή στρατηγική» Υ 1 και Υ 2, με αναλογία 5:2. Η τιμή του παιχνιδιού είναι ίση με: V = (9x5/7) + (6x2/7) =57/7= 8.14 Με την «μικτή στρατηγική» που θα εφαρμόσουν οι παίκτες Α και Β θα έχουν μακροχρονίως ο μεν Α κέρδη 8.14, ο δε Β ζημία ίση με 8.14 (το παιχνίδι είναι 10

11 ευνοϊκό για τον Α). Για να βρούμε απευθείας τη λύση του παιχνιδιού (μήτρας 2 x 2), χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν, όπως θα δούμε, από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Εάν εμφανίσουμε μια μήτρα 2 x 2 με την γενική μορφή: Με την «μικτή στρατηγική» που θα εφαρμόσουν οι παίκτες Α και Β θα έχουν μακροχρονίως ο μεν Α κέρδη 8.14, ο δε Β ζημία ίση με 8.14 (το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον Α). Για να βρούμε απευθείας τη λύση του παιχνιδιού (μήτρας 2x2), χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν, όπως θα δούμε, από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Εάν εμφανίσουμε μια μήτρα 2x2 με την γενική μορφή: Και εάν: q 1 = q, q 2 = 1 - q p 1 = p, p 2 = 1 - p Μπορούμε να βρούμε το ρ 1 ρ 2, q 1 q 2 και V από τις σχέσεις: Αναλυτικότερα, για να καταλήξουμε στη σχέση (1), σύμφωνα με τα παραπάνω, ακολουθούμε τον συλλογισμό: Έστω ρ η πιθανότητα επιλογής από τον Α της στρατηγικής Χ 1, τότε 1 - ρ η πιθανότητα επιλογής της Χ 2. Εάν ο B εφαρμόσει την Υ 1, τότε: Αν.Κε/Υ 1 = a p + (1 - p) c =a p + c-c p Εξάλλου: Αν.Κε/Υ 2 = b p + (1 - p) d =b p + d-d p αφού όμως είναι: Αν.Κε/Υ 1 = Αν.Κε/Υ 2 τότε: a p + c - c p = b p + d- d p a p - c p - b p + d p = d - c p (a - c - b + d) = d - c p = d-c/a+b-d-c κ.ο.κ. Γραφική μέθοδος για την επίλυση παιχνιδιού 2x2 11

12 Παίκτης Α: Στο προηγούμενο παράδειγμα μας έχουμε: Αν.Κε/Υ 1 = 2p (1) Εάν p 1 = 1 (δηλ. ο παίκτης Α χρησιμοποιεί μόνο τη στρατηγική Χ 1 ), τότε: Αν.Κε/Υ 1 = 9 Εάν p 1 = 0 (δηλ. ο Α χρησιμοποιεί μόνο την Χ 2 ), τότε: Αν.Κε/Υ 1 = 7 Εξάλλου, εάν γίνει η ίδια αντικατάσταση και στην εξίσωση: Αν.Κε/Υ 2 = -5p (2) θα έχουμε: p 1 = 1, τότε Αν.Κε/Υ 2 = 6 p 1 = 0, τότε Αν.Κε/Υ 2 = 11 Χαράζουμε τις ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (1) και (2) σε δυο κάθετους άξονες προς τον άξονα Χ, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Οι πληρωμές που αντιστοιχούν στην πρώτη γραμμή (στρατηγική Χ 1 ) σημειώνονται στον πρώτο άξονα, οι πληρωμές που αντιστοιχούν στην δεύτερη γραμμή (στρατηγική Χ 2 ) σημειώνονται στον δεύτερο άξονα. Ο άξονας Χ είναι ο άξονας των πιθανοτήτων p 1, για διάφορες δε τιμές του ρ 1 έχουμε όλα τα σημεία των ευθειών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (1) και (2). Γραφική επίλυση παιχνιδιού για τον παίκτη Α Τα σημεία που βρίσκονται στην τεθλασμένη ΟVΠ εκφράζουν τα ελάχιστα αναμενόμενα κέρδη του παίκτη Α, για κάθε τιμή του p, από 0 έως 1. Σύμφωνα με το 12

13 κριτήριο minimax, ο Α επιλέγει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο V. Εάν φέρουμε τις συντεταγμένες του σημείου V, θα έχουμε: Βέλτιστη αναμενόμενη τιμή του Α = V = 8.14 Τιμή του p 1 =4/7, οπότε p 2 = 3/7 Επομένως, βέλτιστη μικτή στρατηγική του Α είναι η ( 4/7, 3/7 ). Παίκτης Β: Παίρνουμε τη μήτρα του παιχνιδιού, με την παρακάτω όμως διάταξη: Σύμφωνα με τα προηγούμενα: Αν.Απ/Χ 1 = 3q Εάν q, = 1, τότε: Αν.Απ/Χ 1 = 9 Εάν q, = 0, τότε: Αν.Απ/Χ 1 = 6 Αν.Απ/Χ 2 = -4q Εάν q 1 = 1, τότε: Αν.Απ/Χ 2 = 7 Εάν q 1 = 0, τότε: Αν.Απ/Χ 2 = 11 13

14 Χαράζουμε τις ευθείες έτσι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην τεθλασμένη Ο'VΠ, εκφράζουν τις μεγαλύτερες αναμενόμενες ζημίες (πληρωμές) του παίκτη Β για κάθε τιμή του q 1 από το 0 έως το 1. Σύμφωνα δε με το κριτήριο minimax, ο Β επιλέγει το καλύτερο αποτέλεσμα από τα χειρότερα. Η τιμή αυτή αντιστοιχεί στο σημείο V. Επομένως, η τιμή του παιχνιδιού είναι V = 8.14 (που θα χάσει ο παίκτης Β) και η βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β η ( 5/7, 2/7 ). β) Παιχνίδια με υποχωρητικές γραμμές και στήλες Όταν έχουμε να λύσουμε ένα παιχνίδι, το πρώτο που κάνουμε είναι να δούμε αν έχει σημείο «σάγματος». Εάν διαπιστώσουμε ότι το παιχνίδι δεν είναι αυστηρώς αποφασισμένο, τότε το επόμενο βήμα είναι να περιορίσουμε, εάν φυσικά είναι δυνατόν, τις στήλες και τις γραμμές έτσι, ώστε να παραμείνουν τελικά οι κυρίαρχες και να περιορισθεί το παιχνίδι σε 2x2 (που ήδη είδαμε τον τρόπο επίλυσης του) ή σε mx2 ή 2xn (που θα λύσουμε παρακάτω). Οι κανόνες που ακολουθούμε είναι δυο: 14

15 α) Κανόνας «κυριαρχίας» των γραμμών: «Κυρίαρχη» (συνεπώς παραμένει) είναι μια γραμμή, όταν κάθε στοιχείο της είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το αντίστοιχο στοιχείο μιας άλλης γραμμής, που γι' αυτό λέγεται «υποχωρητική» (δεν λαμβάνεται υπόψη). β) Κανόνας «κυριαρχίας» των στηλών: «Κυρίαρχη» είναι μια στήλη που κάθε στοιχείο της είναι μικρότερο ή ίσο από το αντίστοιχο στοιχείο μιας άλλης, που γι' αυτό λέγεται «υποχωρητική» στήλη. Παράδειγμα: Το παιχνίδι γίνεται 2x2, δηλαδή: 15

16 γ ) Παιχνίδια μήτρας m x 2 και 2 x n Στην κατηγορία αυτή ανήκουν τα παιχνίδια στα οποία υπάρχουν δύο παίκτες και ο ένας παίκτης διαθέτει δυο στρατηγικές, ο δε άλλος περισσότερες από δυο. Ο πιο απλός τρόπος για την επίλυση αυτών των παιχνιδιών είναι η γραφική μέθοδος. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, προσδιορίζεται ένα ακραίο σημείο, που είναι τομή ή δυο ευθειών οι οποίες εκφράζουν δυο στρατηγικές (φυσικά του παίκτη που διαθέτει περισσότερες από δύο). Μ αυτό τον τρόπο καθορίζονται οι κυρίαρχες στρατηγικές, το δε παιχνίδι περιορίζεται σε 2x2 και για τον καθορισμό πλέον της «μικτής» στρατηγικής εφαρμόζεται η γνωστή διαδικασία: Παράδειγμα πρώτο (1); Έστω ότι έχουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού: Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πια παράδειγμα της μήτρας 2x2, όπου χρησιμοποιήσαμε την γραφική μέθοδο, φέρνουμε τις ευθείες: Αν.Κε/Ύ 1 = p 1 +(1-p 1 ) 4= -3p 1 +4 (1) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 1 =1 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 1 =4 Αν.Κε/Ύ 2 = 4p 1 +(1-p 1 ) 3= p 1 +3 (2) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 2 =4 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 2 =3 Αν.Κε/Ύ 3 = 5p 1 +(1-p 1 )= 4p 1 +1 (3) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 3 =5 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 3 =1 16

17 Όπως φαίνεται από το παραπάνω διάγραμμα, περιορίζουμε το κάτω τμήμα με πιο έντονη γραμμή, διότι οι ευθείες εκφράζουν τις στρατηγικές του Β, και αφού ο Β κερδίζει όταν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, τον ενδιαφέρει στο συγκεκριμένο παιχνίδι να περιορίσει στο ελάχιστο τη ζημία του. Έτσι, οι δυνατές λύσεις βρίσκονται στην τεθλασμένη ΟV"Π και η ισορροπία του παιχνιδιού πραγματοποιείται στο σημείο V, όπου ο Α έχει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα (και όπου ο Β περιορίζει στο ελάχιστο τα κέρδη του Α, επομένως και την ζημία του). Το σημείο V δίνει την τιμή του παιχνιδιού V = 2.70 και τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του A (3/7, 4/7). Επίσης, το σημείο V καθορίζει και τις βέλτιστες καθαρές στρατηγικές του Β(Υ 1, Υ 3 ). Επειδή το σημείο maximin καθορίζεται από την τομή δυο ευθειών, (1) και (3), η ευθεία (2) δεν λαμβάνεται υπόψη, διότι η πιθανότητα χρησιμοποίησης της είναι ίση προς το 0. Το παιχνίδι περιορίζεται σε 2 x 2, δηλαδή: Οπότε, οι πιθανότητες χρησιμοποίησης από τον Β των στρατηγικών Υ, και Υ, είναι: 17

18 Συνεπώς, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του Β είναι η (4/7,3/7). Παράδειγμα δεύτερο (2): Έχουμε την ακόλουθη μήτρα παιχνιδιού: Φέρνουμε τις παρακάτω ευθείες: Αν.Κε/Υ 1 = (-6p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-5)] = -p 1-5 (1) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 1 = -6 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 1 = -5 Αν.Κε/Υ 2 = (-3p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-6)] = 3p 1-6 (2) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 2 = -3 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 2 = -6 Αν.Κε/Υ 3 = (-8p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-4)] = -4p 1-4 (3) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 3 = -8 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 3 = -4 Αν.Κε/Υ 2 = (-7p 1 ) + (1 p 1 ) = -8p 1 +1 (4) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 4 = -7 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 4 = 1 18

19 Παρατηρούμε ότι περιορίζουμε το κάτω τμήμα. Το παιχνίδι, όπως είναι προφανές, ευνοεί τον Β, ο οποίος έχει το μεγαλύτερο από τα ελάχιστα κέρδη στο σημείο V. Το σημείο V προσδιορίζει και τις δυο κυρίαρχες στρατηγικές του Β (Υ 1, Υ 2 ), την τιμή του παιχνιδιού, V = -5,25 (ζημία του Α) και τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του Α, που είναι η p 1 = 0.25 = 1/4 και p 2 =0.75=3/4. Σύμφωνα δε με τους τύπους που χρησιμοποιούμε στα παιχνίδια 2x2, μπορούμε να βρούμε και την λύση του παιχνιδιού για τον παίκτη Β. Έτσι: q 1 = 3/4 και q 2 =1/4 και V=-5.25 Συνεπώς, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β είναι η (3/4,1/4). δ) Παιχνίδια μήτρας m χ n (Επίλυση με την μέθοδο Simplex) Έστω ότι έχουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού Α: 19

20 Προσθέτουμε τον αριθμό 2, για να γίνουν όλα τα στοιχεία της μήτρας θετικά, οπότε έχουμε την παρακάτω μήτρα Α*: Παίκτης Α Όπως γνωρίζουμε, ο παίκτης Α επιλέγει την στρατηγική που θα του δώσει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Επομένως, εάν το αναμενόμενο σίγουρο μέγιστο κέρδος που θα έχει ο Α, για οποιαδήποτε στρατηγική ακολουθήσει ο Β, είναι V* (V* αντιστοιχεί στην μήτρα Α*, ενώ V στην μήτρα Α) και εάν p 1, p 2, p 3 είναι οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Χ 1, Χ 2, Χ 3, τότε το αναμενόμενο κέρδος του Α για κάθε μια από τις καθαρές στρατηγικές του Β είναι: 4p 1 +p 2 +p 3 V* 3p 1 +4p 2 +p 3 V* 4p 1 +p 2 +2p 3 V* όπου p 1 +p 2 +p 3 =1 Διαιρούμε τα δυο μέλη των ανισοϊσοτήτων δια του V* και έχουμε: Καθώς και Εάν βάλουμε όπου p 1 /V * =x 1, p 2 /V * =x 2, p 3 /V * =x 3, Θα έχουμε: 4x 1 +x 2 +x 3 1 3x 1 +4x 2 +x 3 1 x 1 +x 2 +2x 3 1 όπου x 1 +x 2 +x 3 =1/V * 20

21 Ο παίκτης Α επιδιώκει να μεγιστοποιήσει την τιμή του V* ή να ελαχιστοποιήσει την τιμή 1/V *. Επομένως, είναι προφανές ότι το παιχνίδι μπορεί να διατυπωθεί σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, με την παρακάτω μορφή: Να βρεθούν μη αρνητικοί αριθμοί x 1, x 2, x 3 που πληρούν τους περιορισμούς: 4x 1 +x 2 +x 3 - x 4 + x 7 =1 3x 1 +4x 2 +x 3 - x 5 + x 8 =1 x 1 +x 2 +2x 3 -x 6 + x 9 =1 Και δίνουν το ελάχιστο της συνάρτησης: Εξάλλου στη γενική του μορφή έχει ως εξής: Να βρεθεί το max z= V Που ικανοποιεί τους περιορισμούς Όπου V η τιμή του παιχνιδιού. Παίκτης Β Ο παίκτης Β επιλέγει επίσης τη στρατηγική που θα του δώσει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Συνεπώς, εάν η αναμενόμενη ελάχιστη ζημία την οποία δεν θα υπερβεί ο Β, για οποιαδήποτε στρατηγική χρησιμοποιήσει ο Α, είναι V* και εάν q 1 q 2, q 3, είναι οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Υ 1, Υ 2, Υ 3, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β για κάθε μια από τις καθαρές στρατηγικές του Α είναι: και Διαιρούμε και τα δύο μέλη των ανισοτήτων δια του V * και 21

22 Εάν βάλουμε όπου q 1 /V * =y 1, q 2 /V * =y 2, q 3 /V * =y 3, Θα έχουμε: και Ο παίκτης Β επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει την τιμή του V* ή να μεγιστοποιήσει την τιμή του 1/V*. Το πρόβλημα με την προσθήκη των χαλαρών μεταβλητών y 4, y 5, y 6 παίρνει την παρακάτω μορφή: Να βρεθούν μη αρνητικοί αριθμοί y1, y2, y3 που πληρούν τους περιορισμούς: και δίνουν το μέγιστο της συνάρτησης: Με βάση αυτές τις σχέσεις καταρτίζουμε τον αρχικό πίνακα simplex και σε συνέχεια, εφαρμόζοντας τη γνωστή υπολογιστική διαδικασία, καταλήγουμε στον τελικό πίνακα, που μας δίνει την βέλτιστη λύση. ΠΙΝΑΚΑΣ I (Αρχικός πίνακας simplex) 22

23 ΠΙΝΑΚΑΣ II ΠΙΝΑΚΑΣ III 23

24 ΠΙΝΑΚΑΣ IV (Βέλτιστη λύση) Από τον τελικό πίνακα (IV) προκύπτουν τα παρακάτω: Συνεπώς: Άρα η βέλτιστη μικτή στρατηγική του Β είναι η (1/3, 3/13, 9/13). Επειδή όμως το παιχνίδι του παίκτη Β είναι το δυϊκό του παίκτη Α, από τον τελικό πίνακα IV προκύπτει και η λύση του παιχνιδιού για τον Β, δηλαδή από την τελευταία γραμμή (στήλες 4, 5, 6), έχουμε: Οπότε X 1 =3/22, X 2 =1/22, X 3 =9/22 24

25 Δηλαδή, η βέλτιστη στρατηγική του παίκτη Α είναι η (3/13, 1/13, 9/13). Η τιμή δε του παιχνιδιού, V, είναι ίση με V* = -2, δηλαδή V = (22/13)-2 =4/13 (κερδίζει ο παίκτης Β: 4/13 και χάνει o A: -4/13). 25

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ 2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τα παίγνια αποτελούν τη δεύτερη μορφή επιχειρησιακής έρευνας που θα εξετάζουμε. Πρόκειται για μία μέθοδο ανάλυσης προβλημάτων που έχουν σχέση με τον τρόπο λήψης αποφάσεων σε καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Θεωρία Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Θεωρία Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Θεωρία Αποφάσεων Εισαγωγή στην θεωρία αποφάσεων Στα μέχρι τώρα μοντέλα και τεχνικές υπήρχε η προϋπόθεση της βεβαιότητας. Στην πράξη, τα προβλήματα είναι περισσότερο πολύπλοκα,

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 7: Εισαγωγή στη Θεωρία Αποφάσεων Δέντρα Αποφάσεων Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος

Συνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη

Κυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 5. Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Αναζήτησης σε Παίγνια ύο Αντιπάλων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής.

Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Μελέτη πάνω στην εφαρμογή της θεωρίας παιγνίων σε θέματα πολεμικών τακτικών και στρατηγικής. Ιστορική αναδρομή 1713 Ο Francis Waldegrave, σε ένα γράμμα του, παρουσίασε την πρώτη μικτή στρατηγική μεγίστου

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 6: Θεωρία παιγνίων Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ. 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ. 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΜΟΡΦΕΣ ΑΓΟΡΑΣ 1. Τι πρέπει να κατανοήσει ο μαθητής Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται τέσσερις βασικές μορφές οργάνωσης της αγοράς: ο πλήρης ανταγωνισμός, το μονοπώλιο, το ολιγοπώλιο και ο μονοπωλιακός

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 22 Απριλίου 2015 Πρόβλημα 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Θεωρία Παιγνίων Μαρκωβιανά Παιχνίδια Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Μερική αρατηρησιµότητα POMDPs

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Σημειώσεις μαθημάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Σημειώσεις μαθημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Σημειώσεις μαθημάτων Περιεχόμενα ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ... 2 Σκοπός... 2 Μαθησιακοί στόχοι... 2 1. Παίγνια και λήψη αποφάσεων... 2 2. Μαθηματική διατύπωση παιγνίων... 6 3. Παίγνια μηδενικού αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 206-207 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 227035468

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Εργαλεία Κανονιστικής Ανάλυσης Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΟΝΟΠΩΛΙΑΚΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ, ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΑ, ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Κεφάλαιο 7 Ε. Σαρτζετάκης Μονοπωλιακός ανταγωνισμός Η μορφή αγοράς του μονοπωλιακού ανταγωνισμού περιέχει στοιχεία πλήρους ανταγωνισμού (ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Κάθε έργο αποτελεί ένα οικονομικό μηχανισμό, ο οποίος αναλώνει, αλλά και παράγει χρήμα. Οι εμπλεκόμενοι στο έργο

Διαβάστε περισσότερα

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1 Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική 2 η έκδοση Chapter 1 Κεφάλαιο 1 Χωροθέτηση δραστηριοτήτων Περιεχόμενα διάλεξης Υπόδειγμα για τη χωροθέτηση της παραγωγής Weber και Moses Ανάλυση της περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Διαχείριση Αβεβαιότητας Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Όταν έχω να αντιμετωπίσω ένα πρόβλημα λήψης αποφάσεων υπό αβεβαιότητα, μπορώ να ακολουθήσω τις ακόλουθες στρατηγικές: 1. Η λάθος προσέγγιση: «Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ- ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ (ΔΔΕ) ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ (MASTER) ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ» ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Αντικατάσταση Μηχανημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Α

Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Α Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Α Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος 2011-12 Αντικείμενο της ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ με τη λέξη ΑΠΟΦΑΣΗ εννοούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα