ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I."

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας. Επίσης, σε αυτά τα μαθήματα μελετήθηκαν οι αποφάσεις κάτω από συνθήκες κινδύνου, στις οποίες γνωρίζουμε τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων καταστάσεων της φύσης, και σε συνέχεια ασχοληθήκαμε με βασικές έννοιες της θεωρίας των πιθανοτήτων, το θεώρημα του Bayes, τα δένδρα αποφάσεων και την διαδικασία Markov. Υπάρχει όμως και μια ιδιαίτερη κατηγορία αποφάσεων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας που αφορούν τα προβλήματα ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. Τα προβλήματα αυτά δημιουργούνται όταν η αποτελεσματικότητα εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει ένα πρόσωπο Α (ή μία ομάδα προσώπων Α) περιορίζεται εξαιτίας της εφαρμογής μιας απόφασης που παίρνει άλλο πρόσωπο Β (ή ομάδα προσώπων Β). Το χαρακτηριστικό λοιπόν γνώρισμα αυτών των αποφάσεων είναι ότι ούτε ο Α ούτε ο Β μπορούν να επιτύχουν τον αντικειμενικό στόχο που επιδιώκουν, εφαρμόζοντας τη μια ή την άλλη στρατηγική (όπως, αντίθετα, συμβαίνει στα προβλήματα π.χ. γραμμικού προγραμματισμού, όπου επιλέγεται η στρατηγική με την οποία πραγματοποιείται ο αντικειμενικός στόχος της μεγιστοποίησης του κέρδους ή ελαχιστοποίησης του κόστους κτλ.). Τα προβλήματα αυτά λέγονται προβλήματα «παιγνίων», και για την αντιμετώπιση τους αναπτύχθηκε η «θεωρία των παιγνίων» (Game Theory). Η θεωρία των παιγνίων διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Gardan, Pascal, Galileo, Waldergrave τον XVII και XVIII αιώνα και χρησιμοποιήθηκε κυρίως για την επίλυση προβλημάτων στρατιωτικής φύσης. Η σημερινή όμως εξέλιξη της θεωρίας των παιγνίων οφείλεται στον John von-neumann (δημοσίευσε το 1944 το έργο «Theory and Practice of Games and Economic Behavior»), που σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern δημοσίευσε το 1947 το γνωστό έργο «Η θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά», (Theory of Games and Economic Behavior). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η οικονομική ζωή είναι ένα παιχνίδι παικτών, που ο καθένας παίζει για δικό του λογαριασμό (μπορεί και να συνάψει συμμαχία με άλλους), προβλέπει δε να εξασφαλίσει το μεγαλύτερο κέρδος ή την ελάχιστη ζημία έναντι του άλλου (ή άλλων παικτών). Έτσι και η επιχείρηση επιδιώκει, εφαρμόζοντας διάφορες στρατηγικές, ορισμένους αντικειμενικούς στόχους που συγκρούονται με τους στόχους άλλης (ή άλλων επιχειρήσεων). Εκείνο που βασικά προσφέρει η θεωρία των παιγνίων στον οικονομολόγο (ή τον πολιτικό ή τον στρατιωτικό) δεν είναι τόσο ο καθορισμός μιας κάποιας στρατηγικής που θα επιλέξει, διότι το πεδίο εφαρμογής της είναι περιορισμένο, αλλά κυρίως ένα τρόπο σκέψης, γιατί αυτή καθεαυτή η θεωρία των παιγνίων είναι μια αυστηρή λογική, ένα ορθολογισμός, καθώς και ένα καλύτερο σημείο εκκίνησης για την έρευνα και μελέτη των πολύπλοκων και δύσκολων προβλημάτων ανταγωνισμού ή συγκρούσεων. 1

2 II. Διάκριση «παιγνίων» σε κατηγορίες Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στο πρώτο μέρος αυτής της εργασίας, τα «παίγνια» διακρίνονται στις παρακάτω δυο γενικές κατηγορίες: α) «Παίγνια» του ανθρώπου εναντίον της φύσης. β) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσοτέρων ατόμων («παίγνια» ενός ατόμου που αντιμάχεται μια ομάδα ατόμων ή «παίγνια» δυο αντιμαχόμενων ομάδων ή «παίγνια» μεταξύ περισσότερων ατόμων ή ομάδων). Η κύρια διαφορά μεταξύ των δυο αυτών γενικών κατηγοριών είναι ότι η «φύση» δεν είναι δυνατό να θεωρηθεί σαν ένας «έξυπνος» και «συνετός» αντίπαλος, ο οποίος «επιδιώκει» ένα συγκεκριμένο στόχο το παιχνίδι κατευθύνεται κυρίως από την τύχη. Αντίθετα, η βασική προϋπόθεση πάνω στην οποία βασίζεται η θεωρία των παιγνίων είναι ότι: και οι δυο παίκτες είναι «έξυπνοι» και «συνετοί», δηλαδή γνωρίζουν τις διαθέσιμες εναλλακτικές λύσεις του αντίπαλου παίκτη και τ' αντίστοιχα από την εφαρμογή τους αποτελέσματα και ο καθένας από αυτούς προσπαθεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος του (ή να ελαχιστοποιήσει την ζημία του) σε βάρος του άλλου παίκτη. Όπως είναι φανερό, ένα παιχνίδι της δεύτερης κατηγορίας δεν κατευθύνεται από μόνη την τύχη, γιατί ο παίκτης για κάθε πιθανή κίνηση του αντιπάλου του θα επιλέξει τον τρόπο δράσης που θα δώσει τις λιγότερες δυνατότητες επιτυχίας στον αντίπαλο του. Τα παιχνίδια της δεύτερης κατηγορίας τα διακρίνουμε σε συνέχεια στις παρακάτω ομάδες: αα) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσότερων ατόμων με έκβαση ίση με το μηδέν. Στα παιχνίδια αυτά το άθροισμα των κερδών του ενός παίκτη (ή της μιας ομάδας) και των απωλειών του αντίπαλου παίκτη (ή της αντίπαλης ομάδας) ισούται με το μηδέν, δηλ. τα κέρδη του ενός είναι ζημιές του άλλου. Για αυτό το λόγο τα παιχνίδια αυτά ονομάζονται «παίγνια» μηδενικού αθροίσματος (zero-sum games). ββ) «Παίγνια» μεταξύ δυο ή περισσότερων ατόμων με έκβαση του μηδενός (non zero-sum games). Στα παιχνίδια αυτά το κέρδος του ενός διαφέρει από τη ζημιά του άλλου παίκτη. Αυτό συμβαίνει, επειδή σε κάθε σειρά ενεργειών υπεισέρχονται και άλλοι παράγοντες, είτε τυχαίοι είτε ανεξάρτητοι από τη θέληση των δυο αντιπάλων, με συνέπεια το άθροισμα των κερδών και των απωλειών να είναι 0. Ένας τέτοιος παράγοντας μπορεί να είναι π.χ. το κράτος, όταν έρχεται σε αντίθεση με τον ανταγωνισμό των παικτών και παίρνει και αυτό μέρος στο παιχνίδι με σκοπό είτε να αποκτήσει ορισμένα οφέλη ή να υποστηρίξει, για διάφορους λόγους, τον ένα παίκτη. Εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων. III. Παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων (Two-person, zerosum games) Πριν ασχοληθούμε με την λογική της επίλυσης και της διάκρισης αυτής της κατηγορίας των παιχνιδιών, θα δώσουμε ένα γενικό υπόδειγμα ενός παιχνιδιού και θα αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες και όρους της θεωρίας των παιγνίων. Το γενικό υπόδειγμα ενός παιγνιδιού μεταξύ δυο ατόμων είναι το ακόλουθο : 2

3 Διάγραμμα 74: Γενικό υπόδειγμα μήτρας παιχνιδιού (ή πληρωμών). Όπου: Χ i = Οι εναλλακτικές στρατηγικές (εναλλακτικοί τρόποι δράσης) που διαθέτει ο παίκτης Α. Y j = Οι εναλλακτικές στρατηγικές που διαθέτει ο παίκτης Β. A(a ij ) = Η αξία του αποτελέσματος (πληρωμή) για κάθε συνδυασμό στρατηγικών Χi-Υ j. Ρ i = Οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Χ i (όταν εφαρμόζεται μικτή στρατηγική). q j = Οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Υ j (μικτή στρατηγική). Η μήτρα παιχνιδιού εκφράζει συνήθως τις πληρωμές του παίκτη Β (ζημίες του Β) προς τον παίκτη Α (κέρδη του Α). Οι εναλλακτικές στρατηγικές που έχει στην διάθεση του κάθε παίκτης ονομάζονται «καθαρές» στρατηγικές. Όταν δε οι παίκτες Α και Β αποφασίσουν να εφαρμόσουν στο ανταγωνιστικό παιχνίδι πάντοτε την ίδια στρατηγική, τότε λέμε ότι επιλέγουν καθαρή στρατηγική (pure strategy). Αντίθετα, όταν οι παίκτες αποφασίσουν να χρησιμοποιήσουν στο ανταγωνιστικό παιχνίδι, με μια ορισμένη συχνότητα, περισσότερες από μια καθαρές στρατηγικές, τότε λέμε ότι εφαρμόζουν μικτή στρατηγική (mixed-strategy), θεωρούμε ότι, πριν αρχίσει το παιχνίδι, οι παίκτες Α και Β επιλέγουν συγχρόνως τη στρατηγική που θα εφαρμόσουν και με την επιλογή αυτή ολοκληρώνεται ένας κύκλος παιχνιδιού. Ο κάθε παίκτης επιλέγει την βέλτιστη στρατηγική (καθαρή ή μικτή), το αποτέλεσμα δε που αναμένουν οι δυο παίκτες από την εφαρμογή των βέλτιστων στρατηγικών ονομάζεται τιμή ή αξία του παιχνιδιού (value of the game). Επίλυση του παιχνιδιού είναι η εξεύρεση της βέλτιστης στρατηγικής (καθαρής ή μικτής) για κάθε παίκτη, καθώς και ο προσδιορισμός της αξίας του παιχνιδιού, V. 3

4 Από την τιμή ενός παιχνιδιού, V, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα παιχνίδι σαν δίκαιο ή άδικο (με την έννοια ότι ευνοεί τον ένα ή τον άλλο παίκτη). Έτσι, εάν V < 0, τότε το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη Β, εάν V > 0, τότε το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη Α, και τέλος, εάν V = 0, τότε το παιχνίδι είναι δίκαιο. Η επίλυση του παιχνιδιού βασίζεται σ' ένα πολύ συντηρητικό κριτήριο, το κριτήριο minimax - maximin (το αναφέραμε στο πρώτο μέρος σαν κριτήριο του Wald). Σύμφωνα με το κριτήριο minimax, κάθε παίκτης επιλέγει την στρατηγική (καθαρή ή μικτή) που θα του αποφέρει το καλύτερο από τα χειρότερα δυνατά αποτελέσματα (πληρωμές). Στην περίπτωση δε που τόσο ο παίκτης Α, όσο και ο παίκτης Β, δεν έχουν κανένα όφελος ν' αλλάξουν την στρατηγική που διάλεξαν, τότε λέμε ότι έχουμε μια βέλτιστη λύση και ότι το παιχνίδι είναι «σταθερό», δηλαδή βρίσκεται σε μια κατάσταση ισορροπίας. Τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων διακρίνονται σε δυο υποκατηγορίες, στα αυστηρώς αποφασισμένα και στα μη αυστηρώς αποφασισμένα. 1. Αυστηρώς αποφασισμένα παιχνίδια (Strictly determined games) - Καθαρή στρατηγική Παράδειγμα: Οι επιχειρήσεις Α και Β είναι ανταγωνίστριες. Η επιχείρηση Α είναι οικονομικά ισχυρότερη από τη Β και για να αποσπάσει πελάτες από την επιχείρηση Β, σκέπτεται να εφαρμόσει τις εξής τρεις στρατηγικές: Χ 1 : Βελτίωση της συσκευασίας του προϊόντος. Χ 2 : Βελτίωση των όρων παροχής πιστώσεων. Χ 3 : Έντονη διαφήμιση του παραγόμενου προϊόντος. Η επιχείρηση Β επιδιώκει τον ίδιο σκοπό και σκέπτεται να εφαρμόσει τις παρακάτω δυο στρατηγικές: Υ 1 : Βελτίωση της ποιότητας του παραγόμενου προϊόντος. Υ 2 : Επιτάχυνση του χρόνου παράδοσης του προϊόντος στον αγοραστή. Η επιχείρηση Α υπολόγισε τις επιδράσεις των τριών στρατηγικών της πάνω στις πωλήσεις, καθώς και τις επιδράσεις στις πωλήσεις (της Α) των δυο στρατηγικών της Β και σε συνέχεια παρουσίασε τα αποτελέσματα στην παρακάτω μήτρα παιχνιδιού (ή πληρωμών): Στην παραπάνω μήτρα οι αρνητικοί αριθμοί εκφράζουν τις απώλειες του παίκτη Α (δηλ. το ποσό που θα πληρώσει στον παίκτη Β) και τα κέρδη του παίκτη Β. Αντίθετα, 4

5 οι θετικοί αριθμοί εκφράζουν τις απώλειες του παίκτη Β (δηλ. το ποσό που θα πληρώσει στον παίκτη Α) και επομένως τα κέρδη του Α. Μελετώντας αυτή τη μήτρα παιχνιδιού μπορούμε να κάνουμε τις εξής σκέψεις: Επειδή και οι δυο «παίκτες» θεωρούνται έξυπνοι και συνετοί, ο παίκτης Α (επιχ. Α) σε καμιά περίπτωση δεν θα επιλέξει τη στρατηγική Χ 1 αφού είναι οπωσδήποτε πιο συμφέρουσες για αυτόν οι στρατηγικές Χ 2 και Χ 3. Επειδή ο παίκτης Β το γνωρίζει αυτό δεν παίρνει υπόψη του καθόλου τη στρατηγική Χ 1. Ακολουθώντας τον ίδιο συλλογισμό δεν θα επιλέξει ποτέ τη στρατηγική Υ 2 αφού θα βρίσκεται σε πιο πλεονεκτική θέση με τη στρατηγική Υ 1. Αλλά και ο Α γνωρίζει ότι ο Β δεν θα εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2 και για αυτό αποφασίζει ότι η καλύτερη στρατηγική του είναι η Χ 3. Η επιλογή από τους παίκτες Α και Β των στρατηγικών Χ 3 και Υ 1 έχει σαν αποτέλεσμα να κερδίσει ο παίκτης Α 1 και ο παίκτης Β να έχει απώλεια ίση με 1. Στην τιμή άλλωστε αυτή το παιχνίδι βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, γιατί κανείς από τους παίκτες Α και Β δεν έχει λόγο να επιλέξει άλλη στρατηγική. Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε τα εξής: Σ' ένα παιχνίδι όπου ο κάθε παίκτης γνωρίζει τις στρατηγικές που διαθέτει ο αντίπαλος του, επιπλέον δε γνωρίζει ότι ο αντίπαλος του είναι έξυπνος και συνετός, είναι λογικό να περιμένει το χειρότερο αποτέλεσμα από κάθε στρατηγική που διαθέτει. Αυτός ο συλλογισμός έχει σα συνέπεια την εφαρμογή του κριτηρίου minimax, σύμφωνα με το οποίο ο κάθε παίκτης αποφασίζει να εφαρμόσει τη στρατηγική που θα του ελαχιστοποιήσει τη ζημία ή θα του δώσει το «μέγιστο» από τα «ελάχιστα» κέρδη. Εφαρμόζουμε το κριτήριο minimax στην παραπάνω μήτρα αποτελεσμάτων και σημειώνουμε τα «ελάχιστα» των γραμμών και τα «μέγιστα» των στηλών. Το «μεγιστοελάχιστο» των γραμμών (στρατηγική Χ 3 ) εξασφαλίζει στον παίκτη Α κέρδος 1 (για αυτό ο παίκτης Α ονομάζεται ο «μεγιστοποιών παίκτης»), ενώ το «ελαχιστομέγιστο» των στηλών (στρατηγική Υ 1 ) εγγυάται στον παίκτη Β την ζημία 1 (την οποία είναι σίγουρο ότι δεν θα ξεπεράσει, γι' αυτό ο παίκτης Β ονομάζεται «ο ελαχιστοποιών παίκτης»). Η στρατηγική που επιλέγει ο Α ονομάζεται στρατηγική μεγιστοελάχιστον (maximin strategy), η αναμενόμενη δε από την εφαρμογή της πληρωμή ονομάζεται 5

6 μεγιστοελάχιστη (ή χαμηλότερη) τιμή του παιχνιδιού (maximin value). Εξάλλου, η στρατηγική που επιλέγει ο Β παίκτης ονομάζεται στρατηγική ελαχιστομέγιστου (minimax strategy), η αναμενόμενη δε από την εφαρμογή της πληρωμή ονομάζεται ελαχιστομέγιστη (ή υψηλότερη) τιμή του παιχνιδιού (minimax value). Η τιμή του παιχνιδιού, V, πρέπει να ικανοποιεί την ανισοϊσότητα: μεγιστοελάχιστη τιμή (ή πληρωμή) τιμή του παιχνιδιού V ελαχιστομέγιστη τιμή (ή πληρωμή) Στο παράδειγμα μας έχουμε: μεγιστοελάχιστη τιμή (ή πληρωμή) = ελαχιστομέγιστη τιμή = 1 Αυτό σημαίνει ότι το παιχνίδι έχει σημείο «σάγματος» (saddle point), που είναι το σημείο σύμπτωσης των τιμών αυτών, δίνεται δε από την είσοδο (3,1) της μήτρας του παιχνιδιού. Η αξία του παιχνιδιού, V, είναι ίση με 1 (το ποσό 1 θα κερδίσει η επιχείρηση Α και το ίδιο ποσό θα είναι η ζημία της επιχείρησης Β). Το παιχνίδι αυτό ονομάζεται αυστηρώς αποφασισμένο, δεδομένου ότι το σημείο ισορροπίας του παιχνιδιού πραγματοποιείται στο σημείο σάγματος, το οποίο προσδιορίζει και τη βέλτιστη στρατηγική, τόσο του παίκτη Α, όσο και του παίκτη Β (Χ 3 και Υ 1 οι βέλτιστες στρατηγικές). Οι στρατηγικές που θα εφαρμόσουν οι παίκτες είναι καθαρές, με την έννοια ότι ο παίκτης Α θα παίζει σταθερά μια στρατηγική (εδώ την X 3 με πιθανότητα = 1.0) και το ίδιο σταθερά θα παίζει μια στρατηγική και ο παίκτης Β (εδώ την Υ 1 με πιθανότητα = 1.0). Η τιμή του παιχνιδιού, V, δίδεται από την κοινή είσοδο των βέλτιστων καθαρών στρατηγικών (εδώ a 3l = 1), είναι δε ίση προς την μεγιστοελάχιστη και ελαχιστομέγιστη τιμή (ή πληρωμή). Παραδείγματα παιχνιδιών με σημείο σάγματος (Τα ελάχιστα των σειρών σημειώνονται με Ο. τα δε μέγιστα των στηλών με ). 6

7 Επίλυση παιχνιδιών: (ί) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι η Χ 3 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 3 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 2 (ευνοϊκό για τον Α) (ii) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι η Χ 1 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 1 αλλά και η Υ 3 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 1 (ευνοϊκό για τον Α) (iii) Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη είναι η Χ 1 Η καλύτερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι η Υ 1 Η τιμή του παιχνιδιού είναι 0 (το παιχνίδι είναι δίκαιο) 2. Μη αυστηρώς αποφασισμένα παιχνίδια (Non-strictly determined games) - Μικτή στρατηγική Όταν τα παιχνίδια δεν έχουν σημείο σάγματος, τότε υπάρχει ένα χάσμα μεταξύ του «μεγιστοελάχιστου» που μπορεί να κερδίσει ο Α και του «ελαχιστομέγιστου» στο οποίο μπορεί να περιορίσει τη ζημία του ο Β, με συνέπεια να μη μπορούν να εφαρμόσουν οι παίκτες «καθαρή» στρατηγική. 7

8 Παράδειγμα: Σύμφωνα με το κριτήριο maxinin, ο παίκτης Α θα επιλέξει τη στρατηγική Χ 2, για να πετύχει τουλάχιστο το 7. Εξάλλου, ο παίκτης Β θα διαλέξει την στρατηγική Υ 1, για να ελαχιστοποιήσει τη ζημία του σε ποσό 9. Επειδή όμως δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας, οι δε παίκτες γνωρίζουν τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής, εάν ο παίκτης Α υποπτευθεί ότι ο Β θα εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 1 φυσικά ο ίδιος θα εφαρμόσει την Χ 1 (και όχι την Χ 2 ). Όμως και ο παίκτης Β, εάν προβλέψει την κίνηση του Α, θα προτιμήσει να εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2, οπότε θα έχει απώλεια 6 (αντί για 9) κτλ. Βλέπουμε λοιπόν ότι το παιχνίδι παίρνει μια τέτοια μορφή, όπου και ο Α και ο Β προσπαθούν να παραπλανήσουν τον αντίπαλο, με αντικειμενικό στόχο να πάρει μια λαθεμένη απόφαση. Η αδυναμία της εφαρμογής των καθαρών στρατηγικών μεγιστοελάχιστου και ελαχιστομέγιστου σε περιπτώσεις όπως το συγκεκριμένο παράδειγμα δημιούργησε την ανάγκη χρησιμοποίησης μιας μικτής στρατηγικής. Έτσι, κάθε παίκτης, αντί να επιλέξει μόνο μια καθαρή στρατηγική, χρησιμοποιεί, με μια ορισμένη πιθανότητα, περισσότερες ή και όλες τις στρατηγικές που διαθέτει. Εάν p 1, p 2,..., p m και q 1, q 2,,q n είναι οι πιθανότητες γραμμών και στηλών, σύμφωνα με τις οποίες επιλέγουν οι παίκτες Α και Β τις καθαρές τους στρατηγικές (βλ. γενικό υπόδειγμα μήτρας παιχνιδιού), τότε: Η επίλυση ενός μη αυστηρώς καθορισμένου παιχνιδιού βασίζεται πάλι στο κριτήριο minimax, δεδομένου ότι από όλες τις μικτές στρατηγικές αναζητούμε τον συνδυασμό που θα μας δώσει το μέγιστο αναμενόμενο βέβαιο κέρδος του Α, που θα είναι συγχρόνως και η βέβαιη ελάχιστη ζημία του Β. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο παίκτης Α επιλέγει τις p i, που θα του μεγιστοποιήσουν την μικρότερη αναμενόμενη πληρωμή σε μια στήλη, ενώ ο παίκτης Β επιλέγει τις q j, που θα του ελαχιστοποιήσουν την 8

9 μεγαλύτερη αναμενόμενη πληρωμή σε μια γραμμή. Αυτό γιατί, όταν π.χ. ο παίκτης Α διαλέγει μια ορισμένη μικτή στρατηγική, υπάρχει τουλάχιστο μια καθαρή στρατηγική του Β, η οποία θα του προξενήσει την ελάχιστη ζημία. Συνεπώς, ο Α προσπαθώντας να διαλέξει μεταξύ των μικτών στρατηγικών που διαθέτει πρέπει να βρίσκει για κάθε μια από αυτές. τη συγκεκριμένη καθαρή στρατηγική του Β, που θα του ελαχιστοποιεί τη ζημία. Το ίδιο φυσικά συμβαίνει και με τον παίκτη Β. Έτσι, το μεν maximin δίδεται από τον τύπο: το δε minimax από τον τύπο: Επομένως, εξακολουθεί να ισχύει η σχέση: ελαχιστομέγιστη αναμενόμενη τιμή (ή πληρωμή) μεγιστοελάχιστη αναμενόμενη τιμή (ή πληρωμή). Από την στιγμή όμως που καθοριστούν οι Χ i και Υ j } που αντιστοιχούν στην βέλτιστη λύση, η ανίσωση γίνεται εξίσωση, οι δε τιμές που προκύπτουν είναι ίσες προς την (βέλτιστη) αναμενόμενη τιμή του παιχνιδιού, V, δηλαδή: ελαχιστομέγιστη πληρωμή = μεγιστοελάχιστη πληρωμή = τιμή του παιχνιδιού V. Για την επίλυση των μη αυστηρώς αποφασισμένων παιχνιδιών (μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δυο ατόμων) αναπτύχθηκαν διάφοροι τρόποι. Η χρησιμοποίηση του ενός ή του άλλου τρόπου επίλυσης εξαρτάται κυρίως από τις διαστάσεις της μήτρας του παιχνιδιού. Έτσι, διακρίνουμε τα παιχνίδια στις παρακάτω ομάδες: Παιχνίδια μήτρας 2x2 (αλγεβρική μέθοδος επίλυσης ή γραφική μέθοδος). Παιχνίδια μήτρας m x 2 και 2 x n (γραφική μέθοδος επίλυσης). Παιχνίδια με υποχωρητικές στήλες και γραμμές που ανάγονται σε παιχνίδια μήτρας 2x2 ή m x 2 ή 2 x η. Παιχνίδια μήτρας m x n (επίλυση με τον γραμμικό προγραμματισμό). α) Παιχνίδια μήτρας 2x2 Παίρνουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού. 9

10 Αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση παιχνιδιού 2x2 Έστω ότι για τον παίκτη Α η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Χ 1 είναι ρ 1 Επομένως, 1 p 1 = p 2 είναι η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Χ 2. Εάν ο παίκτης Β εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 1, τότε ο Α θα έχει αναμενόμενο κέρδος (Αν.Κε) ίσο με: Αν.Κε/Υ 1 = (p 1 x 9) + [(1 p 1 )x7] = 9p p 1 = 2p Εξάλλου, αν ο παίκτης Β εφαρμόσει τη στρατηγική Υ 2 τότε ο Α θα έχει αναμενόμενο κέρδος ίσο με: Αν.Κε/Υ 2 = (p 1 x6) + [(1 ρ 1 ) x11] = -5p Επειδή τον παίκτη Α τον ενδιαφέρει να έχει το ίδιο αποτέλεσμα, ανεξάρτητα από τη στρατηγική που θα εφαρμόσει ο Β, εξισώνουμε το Αν.Κε/Υ 1 και Αν.Κε/Υ 2 και βρίσκουμε: 2p = -5p p 1 = 4 Ρ 1 = 4/7 και 1 p 1 = 3/7=p 2. Επομένως, ο Α θα παίξει την «μικτή στρατηγική» Χ 1 και Χ 2 με αναλογία 4:3, η τιμή του παιχνιδιού, V, είναι: 9ρ 1 + 7(1 p 1 ) = (9 x 4/7) + (7 x 3/7) = 57/7 = 8.14 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τον παίκτη Β θα έχουμε: Έστω q 1 η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Υ 1. Επομένως, 1 q 1 = q 2 είναι η πιθανότητα να διαλέξει τη στρατηγική Υ 2. Εάν ο Α εφαρμόσει τη στρατηγική Χ 1, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β είναι (Αν.Απ): Αν.Απ/Χ 2 = (q 1 x 9) + [(1 q 1 ) x 6] = 9q q 1 = 3q Εξάλλου, αν ο παίκτης Α εφαρμόσει την Χ 2, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β είναι: Αν.Απ/Χ 2 = (q 1 x 7) + [(1 q 1 ) x 11] = 7q q 1 = -4q Σύμφωνα με τα παραπάνω πρέπει: Αν.Απ/Χ 1 = Αν.Απ/Χ 2 δηλαδή 3q = -4q q 1 = 5 και q 1 =5/7, 1 q 1 =2/7 = q 2 Συνεπώς, ο Β θα εφαρμόσει εκ περιτροπής την «μικτή στρατηγική» Υ 1 και Υ 2, με αναλογία 5:2. Η τιμή του παιχνιδιού είναι ίση με: V = (9x5/7) + (6x2/7) =57/7= 8.14 Με την «μικτή στρατηγική» που θα εφαρμόσουν οι παίκτες Α και Β θα έχουν μακροχρονίως ο μεν Α κέρδη 8.14, ο δε Β ζημία ίση με 8.14 (το παιχνίδι είναι 10

11 ευνοϊκό για τον Α). Για να βρούμε απευθείας τη λύση του παιχνιδιού (μήτρας 2 x 2), χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν, όπως θα δούμε, από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Εάν εμφανίσουμε μια μήτρα 2 x 2 με την γενική μορφή: Με την «μικτή στρατηγική» που θα εφαρμόσουν οι παίκτες Α και Β θα έχουν μακροχρονίως ο μεν Α κέρδη 8.14, ο δε Β ζημία ίση με 8.14 (το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον Α). Για να βρούμε απευθείας τη λύση του παιχνιδιού (μήτρας 2x2), χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν, όπως θα δούμε, από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Εάν εμφανίσουμε μια μήτρα 2x2 με την γενική μορφή: Και εάν: q 1 = q, q 2 = 1 - q p 1 = p, p 2 = 1 - p Μπορούμε να βρούμε το ρ 1 ρ 2, q 1 q 2 και V από τις σχέσεις: Αναλυτικότερα, για να καταλήξουμε στη σχέση (1), σύμφωνα με τα παραπάνω, ακολουθούμε τον συλλογισμό: Έστω ρ η πιθανότητα επιλογής από τον Α της στρατηγικής Χ 1, τότε 1 - ρ η πιθανότητα επιλογής της Χ 2. Εάν ο B εφαρμόσει την Υ 1, τότε: Αν.Κε/Υ 1 = a p + (1 - p) c =a p + c-c p Εξάλλου: Αν.Κε/Υ 2 = b p + (1 - p) d =b p + d-d p αφού όμως είναι: Αν.Κε/Υ 1 = Αν.Κε/Υ 2 τότε: a p + c - c p = b p + d- d p a p - c p - b p + d p = d - c p (a - c - b + d) = d - c p = d-c/a+b-d-c κ.ο.κ. Γραφική μέθοδος για την επίλυση παιχνιδιού 2x2 11

12 Παίκτης Α: Στο προηγούμενο παράδειγμα μας έχουμε: Αν.Κε/Υ 1 = 2p (1) Εάν p 1 = 1 (δηλ. ο παίκτης Α χρησιμοποιεί μόνο τη στρατηγική Χ 1 ), τότε: Αν.Κε/Υ 1 = 9 Εάν p 1 = 0 (δηλ. ο Α χρησιμοποιεί μόνο την Χ 2 ), τότε: Αν.Κε/Υ 1 = 7 Εξάλλου, εάν γίνει η ίδια αντικατάσταση και στην εξίσωση: Αν.Κε/Υ 2 = -5p (2) θα έχουμε: p 1 = 1, τότε Αν.Κε/Υ 2 = 6 p 1 = 0, τότε Αν.Κε/Υ 2 = 11 Χαράζουμε τις ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (1) και (2) σε δυο κάθετους άξονες προς τον άξονα Χ, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Οι πληρωμές που αντιστοιχούν στην πρώτη γραμμή (στρατηγική Χ 1 ) σημειώνονται στον πρώτο άξονα, οι πληρωμές που αντιστοιχούν στην δεύτερη γραμμή (στρατηγική Χ 2 ) σημειώνονται στον δεύτερο άξονα. Ο άξονας Χ είναι ο άξονας των πιθανοτήτων p 1, για διάφορες δε τιμές του ρ 1 έχουμε όλα τα σημεία των ευθειών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις (1) και (2). Γραφική επίλυση παιχνιδιού για τον παίκτη Α Τα σημεία που βρίσκονται στην τεθλασμένη ΟVΠ εκφράζουν τα ελάχιστα αναμενόμενα κέρδη του παίκτη Α, για κάθε τιμή του p, από 0 έως 1. Σύμφωνα με το 12

13 κριτήριο minimax, ο Α επιλέγει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο V. Εάν φέρουμε τις συντεταγμένες του σημείου V, θα έχουμε: Βέλτιστη αναμενόμενη τιμή του Α = V = 8.14 Τιμή του p 1 =4/7, οπότε p 2 = 3/7 Επομένως, βέλτιστη μικτή στρατηγική του Α είναι η ( 4/7, 3/7 ). Παίκτης Β: Παίρνουμε τη μήτρα του παιχνιδιού, με την παρακάτω όμως διάταξη: Σύμφωνα με τα προηγούμενα: Αν.Απ/Χ 1 = 3q Εάν q, = 1, τότε: Αν.Απ/Χ 1 = 9 Εάν q, = 0, τότε: Αν.Απ/Χ 1 = 6 Αν.Απ/Χ 2 = -4q Εάν q 1 = 1, τότε: Αν.Απ/Χ 2 = 7 Εάν q 1 = 0, τότε: Αν.Απ/Χ 2 = 11 13

14 Χαράζουμε τις ευθείες έτσι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην τεθλασμένη Ο'VΠ, εκφράζουν τις μεγαλύτερες αναμενόμενες ζημίες (πληρωμές) του παίκτη Β για κάθε τιμή του q 1 από το 0 έως το 1. Σύμφωνα δε με το κριτήριο minimax, ο Β επιλέγει το καλύτερο αποτέλεσμα από τα χειρότερα. Η τιμή αυτή αντιστοιχεί στο σημείο V. Επομένως, η τιμή του παιχνιδιού είναι V = 8.14 (που θα χάσει ο παίκτης Β) και η βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β η ( 5/7, 2/7 ). β) Παιχνίδια με υποχωρητικές γραμμές και στήλες Όταν έχουμε να λύσουμε ένα παιχνίδι, το πρώτο που κάνουμε είναι να δούμε αν έχει σημείο «σάγματος». Εάν διαπιστώσουμε ότι το παιχνίδι δεν είναι αυστηρώς αποφασισμένο, τότε το επόμενο βήμα είναι να περιορίσουμε, εάν φυσικά είναι δυνατόν, τις στήλες και τις γραμμές έτσι, ώστε να παραμείνουν τελικά οι κυρίαρχες και να περιορισθεί το παιχνίδι σε 2x2 (που ήδη είδαμε τον τρόπο επίλυσης του) ή σε mx2 ή 2xn (που θα λύσουμε παρακάτω). Οι κανόνες που ακολουθούμε είναι δυο: 14

15 α) Κανόνας «κυριαρχίας» των γραμμών: «Κυρίαρχη» (συνεπώς παραμένει) είναι μια γραμμή, όταν κάθε στοιχείο της είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το αντίστοιχο στοιχείο μιας άλλης γραμμής, που γι' αυτό λέγεται «υποχωρητική» (δεν λαμβάνεται υπόψη). β) Κανόνας «κυριαρχίας» των στηλών: «Κυρίαρχη» είναι μια στήλη που κάθε στοιχείο της είναι μικρότερο ή ίσο από το αντίστοιχο στοιχείο μιας άλλης, που γι' αυτό λέγεται «υποχωρητική» στήλη. Παράδειγμα: Το παιχνίδι γίνεται 2x2, δηλαδή: 15

16 γ ) Παιχνίδια μήτρας m x 2 και 2 x n Στην κατηγορία αυτή ανήκουν τα παιχνίδια στα οποία υπάρχουν δύο παίκτες και ο ένας παίκτης διαθέτει δυο στρατηγικές, ο δε άλλος περισσότερες από δυο. Ο πιο απλός τρόπος για την επίλυση αυτών των παιχνιδιών είναι η γραφική μέθοδος. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, προσδιορίζεται ένα ακραίο σημείο, που είναι τομή ή δυο ευθειών οι οποίες εκφράζουν δυο στρατηγικές (φυσικά του παίκτη που διαθέτει περισσότερες από δύο). Μ αυτό τον τρόπο καθορίζονται οι κυρίαρχες στρατηγικές, το δε παιχνίδι περιορίζεται σε 2x2 και για τον καθορισμό πλέον της «μικτής» στρατηγικής εφαρμόζεται η γνωστή διαδικασία: Παράδειγμα πρώτο (1); Έστω ότι έχουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού: Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πια παράδειγμα της μήτρας 2x2, όπου χρησιμοποιήσαμε την γραφική μέθοδο, φέρνουμε τις ευθείες: Αν.Κε/Ύ 1 = p 1 +(1-p 1 ) 4= -3p 1 +4 (1) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 1 =1 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 1 =4 Αν.Κε/Ύ 2 = 4p 1 +(1-p 1 ) 3= p 1 +3 (2) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 2 =4 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 2 =3 Αν.Κε/Ύ 3 = 5p 1 +(1-p 1 )= 4p 1 +1 (3) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 3 =5 Εάν p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 3 =1 16

17 Όπως φαίνεται από το παραπάνω διάγραμμα, περιορίζουμε το κάτω τμήμα με πιο έντονη γραμμή, διότι οι ευθείες εκφράζουν τις στρατηγικές του Β, και αφού ο Β κερδίζει όταν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, τον ενδιαφέρει στο συγκεκριμένο παιχνίδι να περιορίσει στο ελάχιστο τη ζημία του. Έτσι, οι δυνατές λύσεις βρίσκονται στην τεθλασμένη ΟV"Π και η ισορροπία του παιχνιδιού πραγματοποιείται στο σημείο V, όπου ο Α έχει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα (και όπου ο Β περιορίζει στο ελάχιστο τα κέρδη του Α, επομένως και την ζημία του). Το σημείο V δίνει την τιμή του παιχνιδιού V = 2.70 και τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του A (3/7, 4/7). Επίσης, το σημείο V καθορίζει και τις βέλτιστες καθαρές στρατηγικές του Β(Υ 1, Υ 3 ). Επειδή το σημείο maximin καθορίζεται από την τομή δυο ευθειών, (1) και (3), η ευθεία (2) δεν λαμβάνεται υπόψη, διότι η πιθανότητα χρησιμοποίησης της είναι ίση προς το 0. Το παιχνίδι περιορίζεται σε 2 x 2, δηλαδή: Οπότε, οι πιθανότητες χρησιμοποίησης από τον Β των στρατηγικών Υ, και Υ, είναι: 17

18 Συνεπώς, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του Β είναι η (4/7,3/7). Παράδειγμα δεύτερο (2): Έχουμε την ακόλουθη μήτρα παιχνιδιού: Φέρνουμε τις παρακάτω ευθείες: Αν.Κε/Υ 1 = (-6p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-5)] = -p 1-5 (1) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 1 = -6 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 1 = -5 Αν.Κε/Υ 2 = (-3p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-6)] = 3p 1-6 (2) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 2 = -3 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 2 = -6 Αν.Κε/Υ 3 = (-8p 1 ) + [(1 p 1 ) x (-4)] = -4p 1-4 (3) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 3 = -8 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 3 = -4 Αν.Κε/Υ 2 = (-7p 1 ) + (1 p 1 ) = -8p 1 +1 (4) Εάν p 1 = 1, Αν.Κε/Υ 4 = -7 p 1 = 0, Αν.Κε/Υ 4 = 1 18

19 Παρατηρούμε ότι περιορίζουμε το κάτω τμήμα. Το παιχνίδι, όπως είναι προφανές, ευνοεί τον Β, ο οποίος έχει το μεγαλύτερο από τα ελάχιστα κέρδη στο σημείο V. Το σημείο V προσδιορίζει και τις δυο κυρίαρχες στρατηγικές του Β (Υ 1, Υ 2 ), την τιμή του παιχνιδιού, V = -5,25 (ζημία του Α) και τη βέλτιστη μικτή στρατηγική του Α, που είναι η p 1 = 0.25 = 1/4 και p 2 =0.75=3/4. Σύμφωνα δε με τους τύπους που χρησιμοποιούμε στα παιχνίδια 2x2, μπορούμε να βρούμε και την λύση του παιχνιδιού για τον παίκτη Β. Έτσι: q 1 = 3/4 και q 2 =1/4 και V=-5.25 Συνεπώς, η βέλτιστη μικτή στρατηγική του παίκτη Β είναι η (3/4,1/4). δ) Παιχνίδια μήτρας m χ n (Επίλυση με την μέθοδο Simplex) Έστω ότι έχουμε την παρακάτω μήτρα παιχνιδιού Α: 19

20 Προσθέτουμε τον αριθμό 2, για να γίνουν όλα τα στοιχεία της μήτρας θετικά, οπότε έχουμε την παρακάτω μήτρα Α*: Παίκτης Α Όπως γνωρίζουμε, ο παίκτης Α επιλέγει την στρατηγική που θα του δώσει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Επομένως, εάν το αναμενόμενο σίγουρο μέγιστο κέρδος που θα έχει ο Α, για οποιαδήποτε στρατηγική ακολουθήσει ο Β, είναι V* (V* αντιστοιχεί στην μήτρα Α*, ενώ V στην μήτρα Α) και εάν p 1, p 2, p 3 είναι οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Χ 1, Χ 2, Χ 3, τότε το αναμενόμενο κέρδος του Α για κάθε μια από τις καθαρές στρατηγικές του Β είναι: 4p 1 +p 2 +p 3 V* 3p 1 +4p 2 +p 3 V* 4p 1 +p 2 +2p 3 V* όπου p 1 +p 2 +p 3 =1 Διαιρούμε τα δυο μέλη των ανισοϊσοτήτων δια του V* και έχουμε: Καθώς και Εάν βάλουμε όπου p 1 /V * =x 1, p 2 /V * =x 2, p 3 /V * =x 3, Θα έχουμε: 4x 1 +x 2 +x 3 1 3x 1 +4x 2 +x 3 1 x 1 +x 2 +2x 3 1 όπου x 1 +x 2 +x 3 =1/V * 20

21 Ο παίκτης Α επιδιώκει να μεγιστοποιήσει την τιμή του V* ή να ελαχιστοποιήσει την τιμή 1/V *. Επομένως, είναι προφανές ότι το παιχνίδι μπορεί να διατυπωθεί σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, με την παρακάτω μορφή: Να βρεθούν μη αρνητικοί αριθμοί x 1, x 2, x 3 που πληρούν τους περιορισμούς: 4x 1 +x 2 +x 3 - x 4 + x 7 =1 3x 1 +4x 2 +x 3 - x 5 + x 8 =1 x 1 +x 2 +2x 3 -x 6 + x 9 =1 Και δίνουν το ελάχιστο της συνάρτησης: Εξάλλου στη γενική του μορφή έχει ως εξής: Να βρεθεί το max z= V Που ικανοποιεί τους περιορισμούς Όπου V η τιμή του παιχνιδιού. Παίκτης Β Ο παίκτης Β επιλέγει επίσης τη στρατηγική που θα του δώσει το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα. Συνεπώς, εάν η αναμενόμενη ελάχιστη ζημία την οποία δεν θα υπερβεί ο Β, για οποιαδήποτε στρατηγική χρησιμοποιήσει ο Α, είναι V* και εάν q 1 q 2, q 3, είναι οι πιθανότητες επιλογής των στρατηγικών Υ 1, Υ 2, Υ 3, τότε η αναμενόμενη ζημία του Β για κάθε μια από τις καθαρές στρατηγικές του Α είναι: και Διαιρούμε και τα δύο μέλη των ανισοτήτων δια του V * και 21

22 Εάν βάλουμε όπου q 1 /V * =y 1, q 2 /V * =y 2, q 3 /V * =y 3, Θα έχουμε: και Ο παίκτης Β επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει την τιμή του V* ή να μεγιστοποιήσει την τιμή του 1/V*. Το πρόβλημα με την προσθήκη των χαλαρών μεταβλητών y 4, y 5, y 6 παίρνει την παρακάτω μορφή: Να βρεθούν μη αρνητικοί αριθμοί y1, y2, y3 που πληρούν τους περιορισμούς: και δίνουν το μέγιστο της συνάρτησης: Με βάση αυτές τις σχέσεις καταρτίζουμε τον αρχικό πίνακα simplex και σε συνέχεια, εφαρμόζοντας τη γνωστή υπολογιστική διαδικασία, καταλήγουμε στον τελικό πίνακα, που μας δίνει την βέλτιστη λύση. ΠΙΝΑΚΑΣ I (Αρχικός πίνακας simplex) 22

23 ΠΙΝΑΚΑΣ II ΠΙΝΑΚΑΣ III 23

24 ΠΙΝΑΚΑΣ IV (Βέλτιστη λύση) Από τον τελικό πίνακα (IV) προκύπτουν τα παρακάτω: Συνεπώς: Άρα η βέλτιστη μικτή στρατηγική του Β είναι η (1/3, 3/13, 9/13). Επειδή όμως το παιχνίδι του παίκτη Β είναι το δυϊκό του παίκτη Α, από τον τελικό πίνακα IV προκύπτει και η λύση του παιχνιδιού για τον Β, δηλαδή από την τελευταία γραμμή (στήλες 4, 5, 6), έχουμε: Οπότε X 1 =3/22, X 2 =1/22, X 3 =9/22 24

25 Δηλαδή, η βέλτιστη στρατηγική του παίκτη Α είναι η (3/13, 1/13, 9/13). Η τιμή δε του παιχνιδιού, V, είναι ίση με V* = -2, δηλαδή V = (22/13)-2 =4/13 (κερδίζει ο παίκτης Β: 4/13 και χάνει o A: -4/13). 25

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες

Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» Μεταπτυχιακή Διατριβή Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες Στυλιανός Θ. Δρακάτος Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

www.arnos.gr κλικ στη γνώση Τιμολόγηση

www.arnos.gr κλικ στη γνώση Τιμολόγηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Τιμολόγηση Παράγοντες επηρεασμού της τιμής Στόχος της τιμολογιακής πολιτικής πρέπει να είναι ο καθορισμός μιας ιδανικής τιμής η οποία θα ικανοποιεί τόσο τους πωλητές όσο και τους αγοραστές.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Άσκηση 1 η 4 η Εργασία ΔEO13 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α )

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Του Νίκου Παναγιωτίδη (SV6 DBK) φυσικού και ραδιοερασιτέχνη. Ο σκοπός του άρθρου αυτού είναι να κατευθύνει τον αναγνώστη ραδιοερασιτέχνη να κατασκευάσει το

Διαβάστε περισσότερα

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις :

Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : Κεφάλαιο 1. ΤΕΛΕΙΟΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Τέλειος ανταγωνισμός είναι μια ακραία συμπεριφορά της αγοράς, όπου πολλές εταιρίες ανταγωνίζονται με τις παρακάτω προϋποθέσεις : α) Υπάρχουν πολλές εταιρίες οι

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 Διάλεξη 6 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 1 Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέχρι στιγμής το μονοπώλιο έχει θεωρηθεί σαν μια επιχείρηση η οποία πωλεί το προϊόν της σε κάθε πελάτη στην ίδια τιμή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ακ. Ετος 2014-15

ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ακ. Ετος 2014-15 ΕΚΠΑ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ακ. Ετος 2014-15 ΕΝΟΤΗΤΑ Νο. 1 ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ : ΣΤΟΧΟΙ, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ, ΒΑΣΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ & ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ EXCEL ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΙΔΕΕΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΤΟ EXCEL ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΙΔΕΕΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΤΕΧΝΙΚΕΣ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 295 ΤΟ EXCEL ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΙΔΕΕΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΤΕΧΝΙΚΕΣ Νικόλαος Καμπράνης Μαθηματικός Επιμορφωτής Ενδοσχολικής Επιμόρφωσης Μέλος ομάδας ανάπτυξης Εκπαιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει του ιστορικού των αναμετρήσεων

Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει του ιστορικού των αναμετρήσεων Πολυτεχνείο Κρήτης Αυτόνομοι Πράκτορες 2012-2013 Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει του ιστορικού των αναμετρήσεων Δουγιάκης Λάζαρος 13 Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Υποδείγματα: Εισαγωγικές Έννοιες - Τα οικονομικά υποδείγματα περιγράφουν τη συμπεριφορά επιχειρήσεων-καταναλωτών και την αλληλεπίδρασή

Οικονομικά Υποδείγματα: Εισαγωγικές Έννοιες - Τα οικονομικά υποδείγματα περιγράφουν τη συμπεριφορά επιχειρήσεων-καταναλωτών και την αλληλεπίδρασή Οικονομικά Υποδείγματα: Εισαγωγικές Έννοιες - Τα οικονομικά υποδείγματα περιγράφουν τη συμπεριφορά επιχειρήσεων-καταναλωτών και την αλληλεπίδρασή τους στις διάφορες αγορές. - Τα οικονομικά υποδείγματα:

Διαβάστε περισσότερα

Μακροοικονομική - Μικροοικονομική

Μακροοικονομική - Μικροοικονομική Μακροοικονομική Μικροοικονομική Η Μακροοικονομική είναι ο κλάδος της Οικονομικής Επιστήμης που ασχολείται με τη μελέτη του οικονομικού συστήματος στο σύνολό του ή μεγάλων επιμέρους τομέων του Η Μικροοικονομική

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΔΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ. ΙΩΑΝΝΑ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΥ Διπλωματική εργασία ΠΜΣ.

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΔΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ. ΙΩΑΝΝΑ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΥ Διπλωματική εργασία ΠΜΣ. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟΝ ΚΛΑΔΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ ΙΩΑΝΝΑ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΥ Διπλωματική εργασία ΠΜΣ.ΔΕ 2004 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΚΑΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟΥ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά για Νομικούς Μέρος 1ο Οι δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης

Οικονομικά για Νομικούς Μέρος 1ο Οι δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Τραπεζικής και Χρηματοοικονομικής Διοικητικής Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Χρηματοοικονομική Ανάλυση για Στελέχη» Οικονομικά για Νομικούς Μέρος 1ο Οι δυνάμεις της προσφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή

Διάκριση Τιμών 2 ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) - Η διάκριση τιμών 3 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή Διάκριση Τιμών ου Βαθμού: Μη Γραμμική Τιμολόγηση (Nonlinear Pricing) -H διάκριση τιμών 1 ου βαθμού προϋποθέτει ότι η μονοπωλιακή επιχείρηση γνωρίζει τις ατομικές συναρτήσεις ζήτησης όλων των καταναλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

Τα Οικονομικά. 6.1 Θεωρητικό πλαίσιο

Τα Οικονομικά. 6.1 Θεωρητικό πλαίσιο 6 Τα Οικονομικά 6.1 Θεωρητικό πλαίσιο Τα οικονομικά του Δημόσιου Τομέα ρυθμίζονται από τον Κρατικό Προϋπολογισμό κάθε έτους, στον οποίο προβλέπονται τα έσοδα από την φορολογία και υπολογίζονται τα ποσά

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΝΟΣ ΝΕΟΥ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΚΟΜΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΝΟΣ ΝΕΟΥ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΚΟΜΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ «ΣΠΟΥΔΑΙ», Τόμος 52, Τείχος 4ο, (2002), Πανεπιστήμιο Πειραιώς / «SPOUDAI», Vol. 52, No 4, (2002), University of Piraeus ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΝΟΣ ΝΕΟΥ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥ ΚΟΜΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ: ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack Χλης Νικόλαος-Κοσμάς Περιγραφή παιχνιδιού Βlackjack: Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωμένα Συστήματα Επικοινωνίας

Ολοκληρωμένα Συστήματα Επικοινωνίας Προβολή 1. Ολοκληρωμένα Συστήματα Επικοινωνίας 2. Σκοπός της Επικοινωνίας 3. Παράγοντες που επηρεάζουν το μίγμα προβολής 4. Το πρόγραμμα προβολής 5. Διαφήμιση 6. Προσωπική Πώληση 7. Προώθηση των Πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.6.2 Φυσικές σταθερές των χημικών ουσιών

2.6.2 Φυσικές σταθερές των χημικών ουσιών 1 2.6.2 Φυσικές σταθερές των χημικών ουσιών Ερωτήσεις θεωρίας με απαντήσεις 6-2-1. Ποιες χημικές ουσίες λέγονται καθαρές ή καθορισμένες; Τα χημικά στοιχεία και οι χημικές ενώσεις. 6-2-2. Ποια είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ

ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΓΟΡΩΝ Κεφάλαιο 7 Οικονοµικά της ευηµερίας! Τα οικονοµικά της ευηµερίας εξετάζουν τους τρόπους µε τους οποίους η κατανοµή των πόρων επηρεάζει την ευηµερία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξέταση στο μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Γεωργία Καπλάνογλου Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Η εξέταση αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγή, ορίζεται η διαδικασία μετατροπής των παραγωγικών συντελεστών σε τελικά αγαθά προς κατανάλωση. Χαρακτηρίζεται δε από τα ακόλουθα στοιχεία :

Παραγωγή, ορίζεται η διαδικασία μετατροπής των παραγωγικών συντελεστών σε τελικά αγαθά προς κατανάλωση. Χαρακτηρίζεται δε από τα ακόλουθα στοιχεία : ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εισαγωγή Παραγωγή, ορίζεται η διαδικασία μετατροπής των παραγωγικών συντελεστών σε τελικά αγαθά προς κατανάλωση. Χαρακτηρίζεται δε από τα ακόλουθα στοιχεία : Συνειδητή προσπάθεια για το

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Θεόδωρος Μαριόλης * 1. Εισαγωγή Ο λεγόμενος Λόγος Οικονομικής Εξάρτησης (Economic Dependency Ratio),

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΜΕΡΟΣ Β Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Στις παρακάτω 10 ερωτήσεις, να γράψετε τον αριθμό της κάθε ερώτησης στην εργασία σας και δίπλα του το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η κάθε σωστή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΔΕ Γ ΕΠΑ.Λ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ

ΑΟΔΕ Γ ΕΠΑ.Λ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ ΑΟ Ε-ΕΠΑΛ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ ΟΜΑ Α Α Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1. µέχρι και Α.10, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της καθεµιάς και δίπλα του την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι

Διαβάστε περισσότερα