PSEUDORANDOM GENERATORS- PREDICATES & ZK PROOFS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PSEUDORANDOM GENERATORS- PREDICATES & ZK PROOFS"

Transcript

1 PSEUDORANDOM GENERATORS- PREDICATES & ZK PROOFS ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 Επιμέλεια: Νικόλαος Λάμπρου μπλ 2014

2 Γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών Άτυπος ορισμός: Έστω μια συνάρτηση G από strings σε strings.λέμε ότι η G είναι γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών αν από τυχαία strings μήκους m μπορεί να παράγει τυχαία strings μήκους l>m.

3 Γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών Άτυπος ορισμός: Έστω μια συνάρτηση G από strings σε strings.λέμε ότι η G είναι γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών αν από τυχαία strings μήκους m μπορεί να παράγει τυχαία strings μήκους l>m. Έχουν πολλές εφαρμογές στην κρυπτογραφία (κυρίως σαν υπορουτίνα πρωτοκόλλων)

4 Γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών Ορισμός : Μια συνάρτηση G από το {0,1} n {0,1} l(n) λέμε ότι είναι ψευδογεννήτρια τυχαίων αριθμών αν είναι δύσκολο να διαχωρίσεις αν οι τιμές της προέρχονται από την G η από την U l.

5 Γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών Ορισμός : Μια συνάρτηση G από το {0,1} n {0,1} l(n) λέμε ότι είναι ψευδογεννήτρια τυχαίων αριθμών αν είναι δύσκολο να διαχωρίσεις αν οι τιμές της προέρχονται από την G η από την U l. Δηλαδή για ppt αλγόριθμο διαχωρισμού Α να ισχύει: Pr[A(G(U n ))=1]-Pr[A(U l )=1]<neg(1 n )

6 Γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών Ορισμός : Μια συνάρτηση G από το {0,1} n {0,1} l(n) λέμε ότι είναι ψευδογεννήτρια τυχαίων αριθμών αν είναι δύσκολο να διαχωρίσεις αν οι τιμές της προέρχονται από την G η από την U l. Δηλαδή για ppt αλγόριθμο διαχωρισμού Α να ισχύει: Pr[A(G(U n ))=1]-Pr[A(U l )=1]<neg(1 n ) Αλλιώς για οποιοδήποτε στατιστικό test πολυωνυμικού χρόνου η απόσταση να είναι αμελητέα.

7 Ορισμοί Έστω δυο τυχαίες κατανομές X,Y.Ορίζουμε την στατιστική τους απόσταση ως: D(X,Y)=½(Σ Pr(X=k)-Pr(Y=k) )

8 Ορισμοί Έστω δυο τυχαίες κατανομές X,Y.Ορίζουμε την στατιστική τους απόσταση ως: D(X,Y)=½(Σ Pr(X=k)-Pr(Y=k) ) Ορίζουμε ως στατιστικό test η αλγόριθμο διαχωρισμού Α (δεν μας ενδιαφέρει να είναι πολυωνυμικός) Pr(A(x)=1)-Pr(A(y)=1) D(X,Y)

9 Ορισμοί Έστω δυο τυχαίες κατανομές X,Y.Ορίζουμε την στατιστική τους απόσταση ως: D(X,Y)=½(Σ Pr(X=k)-Pr(Y=k) ) Ορίζουμε ως στατιστικό test η αλγόριθμο διαχωρισμού Α (δεν μας ενδιαφέρει να είναι πολυωνυμικός) Pr(A(x)=1)-Pr(A(y)=1) D(X,Y) Αυτό μας περιγράφει την επιτυχία του Α να καταλάβει από πια κατανομή εμφανίζεται η τιμή και το καλύτερο που μπορεί να φτάσει είναι η στατιστική απόσταση τον τιμών.

10 Unpredictability Ορισμός: Μια συνάρτηση G από το {0,1} n {0,1} l(n) λέμε ότι είναι unpredictable αν μας δώσουν μια ακολουθία της εικόνας του string τις και εμείς δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το επόμενο bit της.

11 Unpredictability Ορισμός: Μια συνάρτηση G από το {0,1} n {0,1} l(n) λέμε ότι είναι unpredictable αν μας δώσουν μια ακολουθία της εικόνας του string τις και εμείς δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το επόμενο bit της. Δηλαδή στην καλύτερη να διαλέξουμε τυχαία! Πιο αναλυτικά:

12 Unpredictability Ορισμός: Μια συνάρτηση G από το {0,1} n {0,1} l(n) λέμε ότι είναι unpredictable αν μας δώσουν μια ακολουθία της εικόνας του string τις και εμείς δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το επόμενο bit της. Δηλαδή στην καλύτερη να διαλέξουμε τυχαία! Πιο αναλυτικά: Για κάθε πιθανοτικό πολυωνιμικό αλγόριθμο Β,η πιθανότητα να βρει το επόμενο bit είναι το πολύ ½ και κάτι αμελητέο. Pr[B(1 n,y 1,y 2,..,y i-1 )=y i ]<=1/2+neg(1 n )

13 Το unpredictability είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του psedorandomness Υποθέτοντας ότι υπάρχει Α ppt τω να μπορεί να προβλέψει το επόμενο bit με πιθανότητα ½ + κάτι μη αμελητέο, τότε μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να διακρίνουμε αν κάτι είναι τυχαίο η ψευδοτυχαίο με πιθανότητα μη αμελητέα.

14 Το unpredictability είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του psedorandomness Υποθέτοντας ότι υπάρχει Α ppt τω να μπορεί να προβλέψει το επόμενο bit με πιθανότητα ½ + κάτι μη αμελητέο, τότε μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να διακρίνουμε αν κάτι είναι τυχαίο ή ψευδοτυχαίο με πιθανότητα μη αμελητέα. Β κάνει το εξής: 1)Διάβασε το input μέχρι το i-1.

15 Το unpredictability είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του psedorandomness Υποθέτοντας ότι υπάρχει Α ppt τω να μπορεί να προβλέψει το επόμενο bit με πιθανότητα ½ + κάτι μη αμελητέο, τότε μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να διακρίνουμε αν κάτι είναι τυχαίο ή ψευδοτυχαίο με πιθανότητα μη αμελητέα. Β κάνει το εξής: 1)Διάβασε το input μέχρι το i-1. 2)Κάλεσε τον predicator A με input τα πρώτα i-1 bits.

16 Το unpredictability είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του psedorandomness Υποθέτοντας ότι υπάρχει Α ppt τω να μπορεί να προβλέψει το επόμενο bit με πιθανότητα ½ + κάτι μη αμελητέο, τότε μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να διακρίνουμε αν κάτι είναι τυχαίο ή ψευδοτυχαίο με πιθανότητα μη αμελητέα. Β κάνει το εξής: 1)Διάβασε το input μέχρι το i-1. 2)Κάλεσε τον predicator A με input τα πρώτα i-1 bits. 3)Υπολόγισε το επόμενο bit (το i-οστο)

17 Το unpredictability είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του psedorandomness Υποθέτοντας ότι υπάρχει Α ppt τω να μπορεί να προβλέψει το επόμενο bit με πιθανότητα ½ + κάτι μη αμελητέο, τότε μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να διακρίνουμε αν κάτι είναι τυχαίο ή ψευδοτυχαίο με πιθανότητα μη αμελητέα. Β κάνει το εξής: 1)Διάβασε το input μέχρι το i-1. 2)Κάλεσε τον predicator A με input τα πρώτα i-1 bits. 3)Υπολόγισε το επόμενο bit (το i-οστο) 4) Σύγκρινε το με το i του input,αν ταυτίζονται επέστρεψε 1, αλλιώς 0.

18 Πιθανότητα επιτυχίας του Β Η πιθανότητα επιτυχίας του Β δεδομένου ότι αυτό που πηρέ σαν input ήταν από την σωστή κατανομή είναι όσο και πιθανότητα επιτυχίας του Α.

19 Πιθανότητα επιτυχίας του Β Η πιθανότητα επιτυχίας του Β δεδομένου ότι αυτό που πηρέ σαν input ήταν από την σωστή κατανομή είναι όσο και πιθανότητα επιτυχίας του Α. Ενώ η πιθανότητα να εκτυπώσει ένα δεδομένου ότι ήταν τελείως random, είναι το πολύ ½.

20 Πιθανότητα επιτυχίας του Β Η πιθανότητα επιτυχίας του Β δεδομένου ότι αυτό που πηρέ σαν input ήταν από την σωστή κατανομή είναι όσο και πιθανότητα επιτυχίας του Α. Ενώ η πιθανότητα να εκτυπώσει ένα δεδομένου ότι ήταν τελείως random, είναι το πολύ ½. Άρα: Pr[B(G(Un))=1]-Pr[B(U l )=1] a

21 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Υποθέτουμε ότι έχουμε αλγόριθμο Α τω Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a

22 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Υποθέτουμε ότι έχουμε αλγόριθμο Α τω Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a Θα φτιάξουμε predicator B τω αν μας δοθούν τα πρώτα i bits να προβλέπει με πιθανότητα καλύτερη του ½ + κάτι μη αμελητέο, το επόμενο bit.

23 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Υποθέτουμε ότι έχουμε αλγόριθμο Α τω Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a Θα φτιάξουμε predicator B τω αν μας δοθούν τα πρώτα i bits να προβλέπει με πιθανότητα καλύτερη του ½ + κάτι μη αμελητέο, το επόμενο bit. Για την απόδειξη αυτή θα χρησιμοποιηθεί το υβριδικό επιχείρημα (στην πιθανοτική ανάλυση).

24 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η τεχνική hydrid argument ορίζει l-αδες bit,h 0,H 1,,H l.

25 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η τεχνική hydrid argument ορίζει l-αδες bit,h 0,H 1,,H l. H 0 =(z 1,z 2,,z l ), όπου z i є R {0,1}

26 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η τεχνική hydrid argument ορίζει l-αδες bit,h 0,H 1,,H l. H 0 =(z 1,z 2,,z l ), όπου z i є R {0,1} Η 1 =(y 1,z 2,.,z l ), όπου y 1 το πρώτο bit της γεννήτριας μας για εισοδο x (η γεννήτρια έδωσε l τέτοιες τιμές, από τις οποίες εμείς πήραμε την πρώτη.

27 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η τεχνική hydrid argument ορίζει l-αδες bit,h 0,H 1,,H l. H 0 =(z 1,z 2,,z l ), όπου z i є R {0,1} Η 1 =(y 1,z 2,.,z l ), όπου y 1 το πρώτο bit της γεννήτριας μας για εισοδο x (η γεννήτρια έδωσε l τέτοιες τιμές, από τις οποίες εμείς πήραμε την πρώτη. Γενικά Η i =(y 1,y 2,,y i,z i+1,,z l )

28 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η κατασκευή του Β:

29 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η κατασκευή του Β: Δέχεται σαν είσοδο τα πρώτα i bits τις τιμής G(x) (όπου x є R {0,1} n )

30 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η κατασκευή του Β: Δέχεται σαν είσοδο τα πρώτα i bits τις τιμής G(x) (όπου x є R {0,1} n ) Δημιουργεί τον H i και καλεί τον Α με είσοδο H i

31 Το psedorandomness είναι ασφαλές κάτω από την υπόθεση του unpredictability Η κατασκευή του Β: Δέχεται σαν είσοδο τα πρώτα i bits τις τιμής G(x) (όπου x є R {0,1} n ) Δημιουργεί τον H i και καλεί τον Α με είσοδο H i Αν ο Α εκτυπώσει 1 τότε ο Β εκτυπώνει τον z i+1, αλλιώς 1-z i+1.

32 Πιθανοτική ανάλυση Β Λόγω του ότι η σχέση Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a ισχύει για απείρως πολλά n. Eίτε με το ευθύ θα ισχύει για απείρως πολλά είτε το αντίθετο.

33 Πιθανοτική ανάλυση Β Λόγω του ότι η σχέση Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a ισχύει για απείρως πολλά n. Eίτε με το ευθύ θα ισχύει για απείρως πολλά είτε το αντίθετο. Χ.Γ υποθέτω ότι ισχύει για το ευθύ, δηλαδή Pr[Α(G(Un))=1]- Pr[Α(U l )=1] a (στην άλλη περίπτωση θα τροποποιήσουμε λιγάκι τα παρακάτω για να εκφράσουμε τα ιδία συμπεράσματα αλλά στην περίπτωση που η μηχανή εκτύπωνε 0,μας διευκολύνει για το φράξιμο) Ορίζω p i =Pr(A(H i )=1)

34 Πιθανοτική ανάλυση Β Λόγω του ότι η σχέση Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a ισχύει για απείρως πολλά n. Eίτε με το ευθύ θα ισχύει για απείρως πολλά είτε το αντίθετο. Χ.Γ υποθέτω ότι ισχύει για το ευθύ, δηλαδή Pr[Α(G(Un))=1]- Pr[Α(U l )=1] a (στην άλλη περίπτωση θα τροποποιήσουμε λιγάκι τα παρακάτω για να εκφράσουμε τα ιδία συμπεράσματα αλλά στην περίπτωση που η μηχανή εκτύπωνε 0,μας διευκολύνει για το φράξιμο) Ορίζω p i =Pr(A(H i )=1) Από υπόθεση p l -p 0 a

35 Πιθανοτική ανάλυση Β Λόγω του ότι η σχέση Pr[Α(G(U n ))=1]-Pr[Α(U l )=1] a ισχύει για απείρως πολλά n. Eίτε με το ευθύ θα ισχύει για απείρως πολλά είτε το αντίθετο. Χ.Γ υποθέτω ότι ισχύει για το ευθύ, δηλαδή Pr[Α(G(Un))=1]- Pr[Α(U l )=1] a (στην άλλη περίπτωση θα τροποποιήσουμε λιγάκι τα παρακάτω για να εκφράσουμε τα ιδία συμπεράσματα αλλά στην περίπτωση που η μηχανή εκτύπωνε 0,μας διευκολύνει για το φράξιμο) Ορίζω p i =Pr(A(H i )=1) Από υπόθεση p l -p 0 a Αναπτύσσω το παραπάνω σαν τηλεσκοπική σειρά, δηλαδή (p l -p l-1 )+(p l-1 -p l-2 )+ +(p 1 -p 0 ) a

36 Πιθανοτική ανάλυση Β To E[p i -p i-1 ] a/l

37 Πιθανοτική ανάλυση Β To E[p i -p i-1 ] a/l Παρατηρούμε ότι τουλάχιστον 1 ζευγαράκι θα υπάρχει που p i -p i-1 a/l (αν είχαμε κράτηση τα απόλυτα λόγω τριγωνικής ανισότητας)

38 Πιθανοτική ανάλυση Β To E[p i -p i-1 ] a/l Παρατηρούμε ότι τουλάχιστον 1 ζευγαράκι θα υπάρχει που p i -p i-1 a/l (αν είχαμε κράτηση τα απόλυτα λόγω τριγωνικής ανισότητας) Θα δείξουμε ότι Pr[B(1 n,y 1,y 2,..,y i-1 )=y i ] 1/2 +(p i -p i-1 ) για κάθε i.

39 Πιθανοτική ανάλυση Β Η πιθανότητα επιτυχίας του αλγορίθμου μας είναι Pr(A print =1 z i =y i ) Pr(z i =y i )+Pr(A print =0 z i =1-y i ) Pr(z i =1-y i ) ½ p i +1/2 (1-Pr(A print =1 z i =1-y i ))

40 Πιθανοτική ανάλυση Β Η πιθανότητα επιτυχίας του αλγορίθμου μας είναι Pr(A print =1 z i =y i ) Pr(z i =y i )+ Pr(A print =0 z i =1-y i ) Pr(z i =1-y i ) ½ p i +1/2 (1-Pr(A print =1 z i =1-y i )) Ξέρουμε ότι p i-1 =1/2p i +1/2 Pr(A print =1 z i =1-y i )

41 Πιθανοτική ανάλυση Β Η πιθανότητα επιτυχίας του αλγορίθμου μας είναι Pr(A print =1 z i =y i ) Pr(z i =y i )+ Pr(A print =0 z i =1-y i ) Pr(z i =1-y i ) ½ p i +1/2 (1-Pr(A print =1 z i =1-y i )) Ξέρουμε ότι p i-1 =1/2p i +1/2 Pr(A print =1 z i =1-y i ) Αντικαθιστώντας προκύπτει το ζητούμενο.

42 ZERO KNOWLEDGE Έχουμε δυο παίκτες Α,Β

43 ZERO KNOWLEDGE Έχουμε δυο παίκτες Α,Β Ο Α(prover) θέλει να πείσει τον Β(verifier) ότι ξέρει ένα μυστικό χωρίς βεβαία να το αποκαλύψει.

44 ZERO KNOWLEDGE Έχουμε δυο παίκτες Α,Β Ο Α(prover) θέλει να πείσει τον Β(verifier) ότι ξέρει ένα μυστικό χωρίς βεβαία να το αποκαλύψει. Ο Β κάνει μια ερώτηση στον Α(challenge) που μόνο αν γνωρίζει το μυστικό (μικρή πιθανότητα να τον ξεγελάσει) να μπορεί να απαντήσει.

45 ZERO KNOWLEDGE Έχουμε δυο παίκτες Α,Β Ο Α(prover) θέλει να πείσει τον Β(verifier) ότι ξέρει ένα μυστικό χωρίς βεβαία να το αποκαλύψει. Ο Β κάνει μια ερώτηση στον Α(challenge) που μόνο αν γνωρίζει το μυστικό (μικρή πιθανότητα να τον ξεγελάσει) να μπορεί να απαντήσει. Έτσι ο Α έχει πείσει τον Β (με μεγάλη πιθανότητα) ότι όντως ξέρει το μυστικό, χωρίς να το αποκαλύψει.

46 ZERO KNOWLEDGE ZK proofs: Έστω L μια γλώσσα στο NP,και Μ(x,y) η ντετερμινιστική πολ/κου χρόνου μηχανή Turing για την οπoία αν το x є L υπάρχει πολ/κου μήκους πιστοποιητικό y, τω Μ(x,y)=1

47 ZERO KNOWLEDGE ZK proofs: Έστω L μια γλώσσα στο NP,και Μ(x,y) η ντετερμινιστική πολ/κου χρόνου μηχανή Turing για την οπoία αν το x є L υπάρχει πολ/κου μήκους πιστοποιητικό y, τω Μ(x,y)=1 Ένα ζευγάρι P,V ppt αλγόριθμοι καλούνται απόδειξη μηδενικής γνώσης για την γλωσσά L αν ικανοποιούν τα εξής:

48 ZERO KNOWLEDGE ZK proofs: Έστω L μια γλώσσα στο NP,και Μ(x,y) η ντετερμινιστική πολ/κου χρόνου μηχανή Turing για την οπoία αν το x є L υπάρχει πολ/κου μήκους πιστοποιητικό y, τω Μ(x,y)=1 Ένα ζευγάρι P,V ppt αλγόριθμοι καλούνται απόδειξη μηδενικής γνώσης για την γλωσσά L αν ικανοποιούν τα εξής: Completeness:Aν για κάθε x є L και y πιστοποιητικό γι αυτό Pr[out V (P(x,y),V(x)] 2/3,με άλλα λόγια αν και οι δυο είναι τίμιοι(δεν ακολουθούν κάποια στρατηγική)το verify να γίνει με πιθανότητα τουλάχιστον 2/3.

49 ZERO KNOWLEDGE ZK proofs: Έστω L μια γλώσσα στο NP,και Μ(x,y) η ντετερμινιστική πολ/κου χρόνου μηχανή Turing για την οπoία αν το x є L υπάρχει πολ/κου μήκους πιστοποιητικό y, τω Μ(x,y)=1 Ένα ζευγάρι P,V ppt αλγόριθμοι καλούνται απόδειξη μηδενικής γνώσης για την γλωσσά L αν ικανοποιούν τα εξής: Completeness:Aν για κάθε x є L και y πιστοποιητικό γι αυτό Pr[out V (P(x,y),V(x)] 2/3,με άλλα λόγια αν και οι δυο είναι τίμιοι(δεν ακολουθούν κάποια στρατηγική)το verify να γίνει με πιθανότητα τουλάχιστον 2/3. Soundness:Aν x δεν ανήκει L και για οποιαδήποτε στρατηγική P* με input y, Pr[out V (P*(x,y),V(x)] 1/3, δηλαδή να είναι δύσκολο o P* κοροϊδέψει τον V σε περίπτωση που δεν έχει αυτή την γνώση.

50 ZERO KNOWLEDGE Perfect Zero Knowledge:Για κάθε ppt V* υπάρχει ένας προσδοκώμενος ppt (average case) αλγόριθμος S* τω για κάθε x ανήκει L και y πιστοποιητικό, να ισχύει:

51 ZERO KNOWLEDGE Perfect Zero Knowledge:Για κάθε ppt V* υπάρχει ένας προσδοκώμενος ppt (average case) αλγόριθμος S* τω για κάθε x ανήκει L και y πιστοποιητικό, να ισχύει: out V* (P(x,y),V*(x)) S*(x)

52 ZERO KNOWLEDGE Perfect Zero Knowledge:Για κάθε ppt V* υπάρχει ένας προσδοκώμενος ppt (average case) αλγόριθμος S* τω για κάθε x ανήκει L και y πιστοποιητικό, να ισχύει: out V* (P(x,y),V*(x)) S*(x) Δηλαδή να είναι στατιστικά αδιαχώριστα

53 ZERO KNOWLEDGE Perfect Zero Knowledge:Για κάθε ppt V* υπάρχει ένας προσδοκώμενος ppt (average case) αλγόριθμος S* τω για κάθε x ανήκει L και y πιστοποιητικό, να ισχύει: out V* (P(x,y),V*(x)) S*(x) Δηλαδή να είναι στατιστικά αδιαχώριστα Ο S* ονομάζεται simulator για τον V*,και προσομοιώνει το output του με τον τίμιο prover P.(real/ideal paradigm,simulator base security)

54 Ένα παράδειγμα ZK proof Public input:ένα ζευγάρι γραφήματα G 0,G 1 με n κορυφές

55 Ένα παράδειγμα ZK proof Public input:ένα ζευγάρι γραφήματα G 0,G 1 με n κορυφές Prover input:ένα permutation π :[n]->[n], τω G 1 =π(g 0 )

56 Ένα παράδειγμα ZK proof Public input:ένα ζευγάρι γραφήματα G 0,G 1 με n κορυφές Prover input:ένα permutation π :[n]->[n], τω G 1 =π(g 0 ) Ο P διαλέγει ένα τυχαίο permutation π 1 και στέλνει στον V το π 1 (G 1 )

57 Ένα παράδειγμα ZK proof Public input:ένα ζευγάρι γραφήματα G 0,G 1 με n κορυφές Prover input:ένα permutation π :[n]->[n], τω G 1 =π(g 0 ) Ο P διαλέγει ένα τυχαίο permutation π 1 και στέλνει στον V το π 1 (G 1 ) Ο V διαλέγει b є R {0,1} και το στέλνει

58 Ένα παράδειγμα ZK proof Public input:ένα ζευγάρι γραφήματα G 0,G 1 με n κορυφές Prover input:ένα permutation π :[n]->[n], τω G 1 =π(g 0 ) Ο P διαλέγει ένα τυχαίο permutation π 1 και στέλνει στον V το π 1 (G 1 ) Ο V διαλέγει b є R {0,1} και το στέλνει Αν το b=1 ο P στέλνει το π 1, αλλιώς το π 1 (π)

59 Ένα παράδειγμα ZK proof Public input:ένα ζευγάρι γραφήματα G 0,G 1 με n κορυφές Prover input:ένα permutation π :[n]->[n], τω G 1 =π(g 0 ) Ο P διαλέγει ένα τυχαίο permutation π 1 και στέλνει στον V το π 1 (G 1 ) Ο V διαλέγει b є R {0,1} και το στέλνει Αν το b=1 ο P στέλνει το π 1, αλλιώς το π 1 (π) Ο V δέχεται αν H=π(G b ),(όπου H= π 1 (G 1 ))

60 Ένα παράδειγμα ZK proof Aν και οι δυο παίκτες επακολουθήσουν το πρωτόκολλο ο V θα δεχτεί με πιθανότητα 1(1>2/3-> correctness)

61 Ένα παράδειγμα ZK proof Aν και οι δυο παίκτες επακολουθήσουν το πρωτόκολλο ο V θα δεχτεί με πιθανότητα 1(1>2/3-> correctness) Aν τα γραφήματα είναι ισομορφικά ο V θα απορρίψει με πιθανότητα ½( αν το τρέξουμε το πρωτόκολλο πιο πολλές φορές η πιθανότητα γίνεται <1/3, soundness)

62 Ένα παράδειγμα ZK proof Tώρα για το perfect ZK

63 Ένα παράδειγμα ZK proof Tώρα για το perfect ZK Κατασκευάζω S* ως εξής

64 Ένα παράδειγμα ZK proof Tώρα για το perfect ZK Κατασκευάζω S* ως εξής S* διαλέγει b є R {0,1} και ένα τυχαιο permutation π, και στέλνει το π(g b ) Αν το b που θα λάβει από τον V* είναι ίσο με το b τότε στέλνει το π στον V* και εκτυπώνει ότι και αυτός

65 Ένα παράδειγμα ZK proof Tώρα για το perfect ZK Κατασκευάζω S* ως εξής S* διαλέγει b є R {0,1} και ένα τυχαιο permutation π, και στέλνει το π(g b ) Αν το b που θα λάβει από τον V* είναι ίσο με το b τότε στέλνει το π στον V* και εκτυπώνει ότι και αυτός ( λέμε ότι η εξομοίωση ήταν επιτυχής) Αλλιώς ξανατρέχει το πρωτόκολλο (rewind)

66 Ένα παράδειγμα ZK proof Tώρα για το perfect ZK Κατασκευάζω S* ως εξής S* διαλέγει b є R {0,1} και ένα τυχαιο permutation π, και στέλνει το π(g b ) Αν το b που θα λάβει από τον V* είναι ίσο με το b τότε στέλνει το π στον V* και εκτυπώνει ότι και αυτός ( λέμε ότι η εξομοίωση ήταν επιτυχής) Αλλιώς ξανατρέχει το πρωτόκολλο (rewind) Παρατηρούμε ότι η πιθανότητα επιτυχίας είναι ½,και με κ επαναλήψεις ευελπιστούμε να έχει μια επιτυχία(εχει με πιθανότητα 1-2 -κ )

67 Ένα παράδειγμα ZK proof Σε περίπτωση επιτυχούς εξομοίωσης παρατηρούμε ότι ο V* είτε μίλαγε με τον P είτε με τον S* του ήταν το ίδιο, ήταν σαν μίλαγε μονός του! Άρα ότι πληροφορία πήρε από την συζήτηση με τον P την πήρε και μιλώντας με τον εαυτό του!(τον S*)

68 Ένα παράδειγμα ZK proof Σε περίπτωση επιτυχούς εξομοίωσης παρατηρούμε ότι ο V* είτε μίλαγε με τον P είτε με τον S* του ήταν το ίδιο, ήταν σαν μίλαγε μονός του! Άρα ότι πληροφορία πήρε από την συζήτηση με τον P την πήρε και μιλώντας με τον εαυτό του!(τον S*) Άρα out V* (P(x,y),V*(x)) S*(x)

69 Στρίψιμο νομίσματος μέσω τηλεφώνου και δέσμευση bit Έστω δυο παίκτες Α,Β που θέλουν να παράγουν ένα τυχαίο bit.

70 Στρίψιμο νομίσματος μέσω τηλεφώνου και δέσμευση bit Έστω δυο παίκτες Α,Β που θέλουν να παράγουν ένα τυχαίο bit. Ο Α διαλέγει b є R {0,1} το δεσμεύει μέσω μια συνάρτησης com(b),και το στέλνει στον Β.

71 Στρίψιμο νομίσματος μέσω τηλεφώνου και δέσμευση bit Έστω δυο παίκτες Α,Β που θέλουν να παράγουν ένα τυχαίο bit. Ο Α διαλέγει b є R {0,1} το δεσμεύει μέσω μια συνάρτησης com(b),και το στέλνει στον Β. Ο Β διαλέγει ένα a є R {0,1} και το στέλνει στον Α.

72 Στρίψιμο νομίσματος μέσω τηλεφώνου και δέσμευση bit Έστω δυο παίκτες Α,Β που θέλουν να παράγουν ένα τυχαίο bit. Ο Α διαλέγει b є R {0,1} το δεσμεύει μέσω μια συνάρτησης com(b),και το στέλνει στον Β. Ο Β διαλέγει ένα a є R {0,1} και το στέλνει στον Α. Ο Α ανοίγει την δέσμευση του στον Β

73 Στρίψιμο νομίσματος μέσω τηλεφώνου και δέσμευση bit Έστω δυο παίκτες Α,Β που θέλουν να παράγουν ένα τυχαίο bit. Ο Α διαλέγει b є R {0,1} το δεσμεύει μέσω μια συνάρτησης com(b),και το στέλνει στον Β. Ο Β διαλέγει ένα a є R {0,1} και το στέλνει στον Α. Ο Α ανοίγει την δέσμευση του στον Β Και οι δυο υπολογίζουν το XOR(a,b) και εκτυπώνουν

Διαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012

Διαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Εισαγωγή Ορισμός Επέκταση του NP συστήματος αποδείξεων εισάγωντας αλληλεπίδραση! Ενα άτομο προσπαθεί να πείσει ένα άλλο για το ότι μία συμβολοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κρυπτοσυστήματα ροής. Πέτρος Ποτίκας. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κρυπτογραφία. Κρυπτοσυστήματα ροής. Πέτρος Ποτίκας. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτογραφία Κρυπτοσυστήματα ροής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 22 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ Η Alice θέλει να στείλει ένα μήνυμα m(plaintext) στον Bob μέσα από ένα μη έμπιστο κανάλι και να μην μπορεί να το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Blum Blum Shub Generator

Blum Blum Shub Generator Κρυπτογραφικά Ασφαλείς Γεννήτριες Ψευδοτυχαίων Αριθμών : Blum Blum Shub Generator Διονύσης Μανούσακας 31-01-2012 Εισαγωγή Πού χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς; Σε κρυπτογραφικές εφαρμογές κλειδιά κρυπτογράφησης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαιότητα (Randomness) I

Τυχαιότητα (Randomness) I I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Συναρτήσεις μονής κατεύθυνσης - Συναρτήσεις κατακερματισμού. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. Συναρτήσεις μονής κατεύθυνσης - Συναρτήσεις κατακερματισμού. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία Συναρτήσεις μονής κατεύθυνσης - Συναρτήσεις κατακερματισμού Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα

Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Παύλος Εφραιµίδης 25/04/2013 1 Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Bit Commitment Fair Coin Mental Poker Secret Sharing Zero-Knowledge Protocol 2 πρωτόκολλα και υπηρεσίες χρήστης κρυπτογραφικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 Diffie-Hellman Key Exchange Protocol

1 Diffie-Hellman Key Exchange Protocol 1 Diffie-Hellman Key Exchange Potocol To 1976, οι Whitefield Diffie και Matin Hellman δημοσίευσαν το άρθρο New Diections in Cyptogaphy, φέρνοντας επανάσταση στην οποία οφείλεται η λεγόμενη "μοντέρνα κρυπτογραφια".

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 32 Περιεχόμενα 1 Message

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Εργαστηριακό μάθημα 9 (Πρωτόκολλα πιστοποίησης ταυτότητας μηδενικής γνώσης Fiat-Shamir)

Κρυπτογραφία. Εργαστηριακό μάθημα 9 (Πρωτόκολλα πιστοποίησης ταυτότητας μηδενικής γνώσης Fiat-Shamir) Κρυπτογραφία Εργαστηριακό μάθημα 9 (Πρωτόκολλα πιστοποίησης ταυτότητας μηδενικής γνώσης Fiat-Shamir) Πρωτόκολλα μηδενικής γνώσης Βασική ιδέα: Ένας χρήστης Α (claimant) αποδεικνύει την ταυτότητά του σε

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Pseudorandomness. Pseudorandom Generators - Derandomisation. Παναγιώτης Γροντάς ,

Pseudorandomness. Pseudorandom Generators - Derandomisation. Παναγιώτης Γροντάς , Pseudorandomness Pseudorandom Generators - Derandomisation Παναγιώτης Γροντάς µπλ 17.05.2012, 24.05.2012 1 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness Κλάσεις Πολυπλοκότητας Θα χρησιμοποιήσουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών Και Εφαρμογές Στην Κρυπτογραφία. Linux Random Number Generator

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών Και Εφαρμογές Στην Κρυπτογραφία. Linux Random Number Generator Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών Και Εφαρμογές Στην Κρυπτογραφία Linux Random Number Generator Επιμέλεια Διαφανειών : Ι. Κατσάτος ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013 ΑΘΗΝΑ Ορισμός: Τυχαίοι Αριθμοί Συχνά στην καθομιλουμένη, ο κόσμος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα. Η δομή Επιλογής στη PASCAL. H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Η εντολή επανάληψης for

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα. Η δομή Επιλογής στη PASCAL. H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Η εντολή επανάληψης for Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL Η εντολή επανάληψης for Σκοπός Η εντολή επανάληψης while. 1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6 Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 38

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού

Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Βυζαντινά Σφάλματα Τι θα δούμε σήμερα Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Συμφωνίας με Βυζαντινά Σφάλματα: n > 3f Αλγόριθμος Συμφωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 37 Περιεχόμενα 1 Message

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

Παύλος Εφραιμίδης. προηγμένα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα. Ασφ Υπολ Συστ

Παύλος Εφραιμίδης. προηγμένα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα. Ασφ Υπολ Συστ Παύλος Εφραιμίδης προηγμένα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα Ασφ Υπολ Συστ 1 Zero-Knowledge Proofs Zero-Knowledge Proofs of Identity Blind Signatures Oblivious Signatures Simultaneous Contract Signing Simultaneous

Διαβάστε περισσότερα

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς - Αλέξανδρος Ζαχαράκης 04/12/2018 ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2018-2019) Zero Knowledge 1 / 56 Περιεχόμενα Εισαγωγή Ορισμός - Εφαρμογές στην Θ. Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα Περίπτωσης. Τίτλος: Οι διαφορές της απλής, της σύνθετης και της εμφωλευμένης δομής επιλογής

Δραστηριότητα Περίπτωσης. Τίτλος: Οι διαφορές της απλής, της σύνθετης και της εμφωλευμένης δομής επιλογής Δραστηριότητα Περίπτωσης Τίτλος: Οι διαφορές της απλής, της σύνθετης και της εμφωλευμένης δομής επιλογής Γενικός Διδακτικός Στόχος: Να κατανοήσουν οι μαθητές τις διαφορές της απλής, της σύνθετης και της

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Πύλια Κατερίνα Σωτηράκη

Ελένη Πύλια Κατερίνα Σωτηράκη Ελένη Πύλια Κατερίνα Σωτηράκη Στα πλαίσια του secure multi-party computation, n παίκτες με ιδιωτικές εισόδους (private inputs) επιθυμούν να υπολογίσουν από κοινού και με ασφάλεια μία συνάρτηση αυτών των

Διαβάστε περισσότερα

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου»

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» (8 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» Το πρόβλημα του διαμέσου στοιχείου: ένα θεμελιακό πρόβλημα Συναντήσαμε ήδη αρκετές φορές το πρόβλημα του να «κόψουμε» ένα σύνολο στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

1 Βασικές Έννοιες Ιδιωτικότητας

1 Βασικές Έννοιες Ιδιωτικότητας 1 Βασικές Έννοιες Ιδιωτικότητας Τα κρυπτογραφικά εργαλεία που συζητήσαμε μέχρι στιγμής δεν μπορούν να λύσουν το πρόβλημα της ανάγκης για ιδιωτικότητα των χρηστών ενός συστήματος Η ιδιωτικότητα με την έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παύλος Εφραιμίδης. Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα. Ασφ Υπολ Συστ

Παύλος Εφραιμίδης. Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα. Ασφ Υπολ Συστ Παύλος Εφραιμίδης Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Ασφ Υπολ Συστ 1 Fair Coin Millionaires Problem Blind Signatures Oblivious Signatures Simultaneous Contract Signing Simultaneous Exchange of Secrets προηγμένα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

UP class. & DES και AES

UP class. & DES και AES Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων UP class & DES και AES Επιμέλεια σημειώσεων: Ιωάννης Νέμπαρης Μάριος Κουβαράς Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ψευδοτυχαίοι Αριθμοί Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Ψευδοτυχαίοι Αριθμοί Μια γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός 2 Σημειώσεις εργαστηρίου

Προγραμματισμός 2 Σημειώσεις εργαστηρίου Προγραμματισμός 2 Σημειώσεις εργαστηρίου 02-Java, Τύποι Δεδομένων ως Αντικείμενα Νεβράντζας Βάιος-Γερμανός Λάρισα, Μάρτιος 2013 02-iProgramminginJava, Τυ ποι δεδομε νων ως Αντικει μενα, σελίδα 1 Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 37

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική και Θεωρητική Πληροφορική σε πολλές Διαστάσεις

Στατιστική και Θεωρητική Πληροφορική σε πολλές Διαστάσεις Στατιστική και Θεωρητική Πληροφορική σε πολλές Διαστάσεις ΜΑΝΩΛΗΣ ΖΑΜΠΕΤΑΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΜΙΤ Ημερίδα «Νέες Εξελίξεις στην Πληροφορική», 2018 Ροή Ομιλίας Παράδειγμα Σύνθετου Στατιστικού Προβλήματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/20 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 2 3 4 5 2/20

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας

Κρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 37

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Κεφάλαιο 10 Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης 10.1 Εισαγωγή Οι αποδείξεις μηδενικής γνώσης (Zero Knowledge Proofs) προτάθηκαν στη δεκαετία του 1980 από τους Shaffi Goldwasser, Silvio Micali και Charles Rackoff

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Κλάσεις και Αντικείμενα Αναφορές

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Κλάσεις και Αντικείμενα Αναφορές ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Κλάσεις και Αντικείμενα Αναφορές Μαθήματα από το lab Υπενθύμιση: Η άσκηση ζητούσε να υλοποιήσετε μία κλάση vector που να διαχειρίζεται διανύσματα οποιουδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 10 Λύσεις

Φροντιστήριο 10 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ελένη Μπακάλη Άρης Παγουρτζής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Συνολικό Πλαίσιο Ασφάλεια ΠΕΣ Εμπιστευτικότητα Ακεραιότητα Πιστοποίηση Μη-αποποίηση Κρυπτογράφηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - (2017-2018) 12/12/2017 Zero Knowledge Proofs 1 / 53 Περιεχόμενα Εισαγωγή Ορισμός - Εφαρμογές στην Θ. Πολυπλοκότητας Σ-πρωτόκολλα Πρακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης

Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017) 16/12/2016 1 / 49 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017)) Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Περιεχόμενα Εισαγωγή Ορισμός - Εφαρμογές στην

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ο & Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ Όριο Συνάρτησης

Ο Ρ Ι Ο & Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ Όριο Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Ο Ρ Ι Ο & Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ Όριο Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω; Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f: (α x0) (x0 β) έχει όριο τον πραγματικό αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)

Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method) Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα