ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ Βασίλειος Ι. Καδδίτης ιπλωµατική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς εκέµβριος 008

2 Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εγκρίθηκε οµόφωνα από την Τριµελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τµήµατος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς στην υπ αριθµ.... συνεδρίασή του σύµφωνα µε τον Εσωτερικό Κανονισµό Λειτουργίας του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Τα µέλη της Επιτροπής ήταν: -. (Επιβλέπων) Η έγκριση της ιπλωµατικής Εργασίας από το Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωµών του συγγραφέα.

3 UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPLIED STATISTICS QUESTIONNAIRE ANALYSIS THROUGH CORRESPONDENCE ANALYSIS AND ASSOCIATION MODELS By Vasilios J. Kadditis MSc Dissertation submitted to the Department of Statistics and Insurance Science of the University of Piraeus in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Science in Applied Statistics Pireaus, Greece December 008

4

5 Η εργασία αυτή είναι αφιερωµένη στην οικογένεια µου για την ανυστερόβουλη στήριξη όλα αυτά τα χρόνια

6 Περίληψη Η παρούσα εργασία πραγµατεύεται πολυδιάστατα κατηγορικά δεδοµένα όπως αυτά προκύπτουν από συλλογή µέσω ερωτηµατολογίου. Για να αναλυθεί όµως ένα ερωτηµατολόγιο το οποίο περιλαµβάνει πλήθος ερωτήσεων-µεταβλητών και να εξάγουµε ορισµένα χρήσιµα συµπεράσµατα θα πρέπει, πρώτα από όλα, να του επιβάλουµε δοµή στις περιπτώσεις εκείνες που η δοµή απουσιάζει. Εφόσον η δοµή αυτή επιτευχθεί, τότε χρησιµοποιώντας στατιστικές τεχνικές και µεθόδους κατάλληλες για κατηγορικά δεδοµένα µπορούµε πιο εύκολα να µελετήσουµε τις σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών για τις οποίες έχουµε δει ότι παρουσιάζουν το µεγαλύτερο ενδιαφέρον για περαιτέρω ανάλυση. Με τον τρόπο αυτό, µπορεί κανείς να πει ότι, η εργασία χωρίζεται σε δύο µεγάλες θεµατικές ενότητες i το πρώτο µέρος αφορά τον τρόπο µε τον οποίο δηµιουργούµε τη δοµή βρίσκοντας οµοειδείς οµάδες µεταβλητών και το δεύτερο µέρος αφορά τη µελέτη και ανάλυση µιας οµάδας ή υποσυνόλου µικρότερης διάστασης. Για τον σκοπό αυτό, παρουσιάζουµε και αναλύουµε τη θεωρία της Παραγοντικής Ανάλυσης και της Ανάλυσης Κατά Συστάδες, δίνοντας ιδιαίτερη έµφαση στον τρόπο µε τον οποίο οµαδοποιούµε κατηγορικές µεταβλητές. Ύστερα, συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα που δίνουν οι δύο διαφορετικές µέθοδοι όταν τις χρησιµοποιήσουµε για την ανάλυση του ερωτηµατολογίου. Τα συµπεράσµατα που προκύπτουν έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Επιπλέον, για την περαιτέρω ανάλυση ενός υποσυνόλου µεταβλητών βασιζόµαστε στα µοντέλα συνάφειας. Συγκεκριµένα, παρουσιάζουµε αναλυτικά τα µοντέλα συνάφειας για διδιάστατους και τρισδιάστατους πίνακες και δείχνουµε πώς µπορούν να χρησιµοποιηθούν από τους ερευνητές για τη µελέτη διατάξιµων αλλά και ονοµαστικών κατηγορικών µεταβλητών. Η δυναµικότητα των µοντέλων αυτών παρουσιάζεται µέσα από µία εφαρµογή από τον χώρο των κοινωνικών επιστηµών σε θέµατα που αφορούν τις οικογένειες. Τέλος για τη περαιτέρω ανάλυση µιας µικρότερης οµάδας µεταβλητών παρουσιάζουµε µια εναλλακτική µέθοδο των µοντέλων συνάφειας, την Ανάλυση Αντιστοιχιών και τα Μοντέλα

7 Συσχέτισης ενώ δεν παραλείπουµε να αναφερθούµε και στην Πολλαπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών. Στις µεθόδους αυτές δίνεται έµφαση κυρίως στα γραφικά αποτελέσµατα αλλά και στις εκτιµήσεις των σκορ των κατηγοριών των µεταβλητών. Όλα τα παραπάνω τα συγκρίνουµε κριτικά µεταξύ τους στη θεωρία και στη πράξη έτσι ώστε ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης να κατανοήσει περισσότερο τις µεθόδους αυτές και να αποκοµίσει όσο το δυνατόν περισσότερες πληροφορίες που θα τον βοηθήσουν για την εφαρµογή τους.

8 Abstract This dissertation deals with multivariate categorical data of a raw data set produced by a questionnaire designed for a research purpose. However, in order to analyze a questionnaire and extract some fruitful results, that includes a great number of questions-variables, we must first impose a structure on it especially on situations this specific structure is missing. Whenever the structure is imposed, by using statistical techniques and methods designed for categorical data, we can then study more efficiently the relations among the variables in concern for further analyses. In this way, it is better to view this dissertation as having two thematic sections, one that deals with the procedures to find and impose this structure to the whole set of variables and the other that involves the study and further analysis of the relations in a smaller group of variables. For that purpose we present and develop the theoretical issues of Factor Analysis and Cluster Analysis, by focusing our attention in the approach of finding similar groups of categorical variables that behave in a similar manner. At the end we compare those results obtained from the two different methods by implementing them on a research questionnaire. These results show some very interesting findings. Moreover, for the analysis of a smaller subset of categorical variables we use association models. We present association models for two-way and three-way contingency tables in an analytical and exploratory way and show how these models are very useful and help researchers clarify the relations among variables of ordinal but also nominal scales. Their utility is exhibited through an example of a tree-way contingency table taken from real data regarding family issues. Finally, the analysis on a smaller subset is further explored by describing the issues of Correspondence Analysis, Correlation Models and Multiple Correspondence Analysis. In all of those methods, we focus on the interpretation of the results on the graphical displays of the data but also on the estimated category scores of the variables.

9 The above methods described in this dissertation and the results after implementing them are all critically compared with each other at each chapter. This gives to the interesting reader the possibility to fully understand them and to obtain additional information on their implementation.

10 Πίνακας Περιεχοµένων Περίληψη Abstract vii ix. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 5. Εισαγωγή 5. Ορθογώνιο παραγοντικό µοντέλο 5.. Μέθοδοι Εκτίµησης του Παραγοντικού Μοντέλου 7.3 Έλεγχος των Συσχετίσεων-Αριθµός των Παραγόντων.4 Περιστροφή των Παραγόντων.5 Σκορ Παραγόντων 4.6 Μη ορθογώνια Παραγοντική Ανάλυση 6.7 Σχόλια και Συµπεράσµατα 6.8 Εφαρµογή της Μεθόδου 7 3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑ ΣΥΣΤΑ ΕΣ 3 3. Εισαγωγή 3 3. Οµοιογένεια Μεταβλητών Μέτρα Οµοιότητας και Απόστασης για τις Μεταβλητές Οι Μεταβλητές είναι Ποσοτικές Οι Μεταβλητές είναι Ποιοτικές Οι Συσχετίσεις ως Μέτρα Οµοιότητας ή Ανοµοιότητας 30 xi

11 3.4 Αλγόριθµοι και Μέθοδοι Οµαδοποίησης Μέθοδος της Απλής Συνένωσης Μέθοδος της Πλήρους Συνένωσης Μέθοδος της Μέσης Οµάδας ή των µη Σταθµισµένων Μέσων Μέθοδος του Ward ιαιρετικές Μέθοδοι Σχόλια Περί των Μεθόδων Αξιολόγηση της Μεθόδου και Επιλογή Συστάδων Εφαρµογή ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ Μοντέλα Συνάφειας για ιδιάστατους Πίνακες Εισαγωγή Μοντέλο Συνάφειας Τύπου RC(M) Μοντέλα Συνάφειας για Τρισδιάστατους Πίνακες Εισαγωγή Λογαριθµογραµµικά Μοντέλα Αναλύοντας µόνο τις Αλληλεπιδράσεις ης Τάξης Αλληλεπίδραση τριών Παραγόντων ιάφορα log-trilinear Μοντέλα Εφαρµογή 6 5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 7 5. Γενικά 7 5. Ανάλυση Αντιστοιχιών για Πίνακες Συνάφειας ιαστάσεων Εισαγωγή Μάζες και Προφίλ Μέσο Προφίλ και Απόκλιση από την Ανεξαρτησία Μέτρα Απόστασης-Σχέση µε το 5..5 Ολική Αδράνεια και χ χ τεστ του Pearson 74 Απόσταση Σύνδεση της SVD µε την Ολική Αδράνεια-Συντεταγµένες των Προφίλ Απόλυτες Συνεισφορές και Σχετικές Συνεισφορές Σχέση µε τη Γενικευµένη SVD του Πίνακα Αντιστοιχιών 8 xii

12 5.3 Πολλαπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών Πίνακας είκτης και Πίνακας Burt Προσαρµοσµένες Βασικές Αδράνειες Μοντέλα Συσχέτισης Εισαγωγή Μοντέλα Κανονικής Συσχέτισης και Μοντέλα Ανάλυσης Αντιστοιχιών Canonical Correlation Ανάλυση Μοντέλα Συσχέτισης Εφαρµογή η Εφαρµογή η 98 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 07 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ 9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 3 xiii

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Στην πράξη, τα δεδοµένα που έχει ένας αναλυτής στα χέρια του σχεδόν πάντα είναι πολυµεταβλητά. Έτσι τίθεται στη διακριτική ικανότητα και ευχέρεια του αναλυτή, η αναγκαιότητα χρησιµοποίησης όλων των δεδοµένων για την αποκοµιδή της µεγαλύτερης δυνατής πληροφορίας από αυτά. Ωστόσο χρησιµοποιώντας µεθόδους της πολυµεταβλητής στατιστικής ο αναλυτής µπορεί να µελετήσει καλύτερα τα φαινόµενα που τον απασχολούν χωρίς να χάσει µεγάλο µέρος της πληροφορίας των αρχικών δεδοµένων. Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουµε και θα χρησιµοποιήσουµε κάποιες πολυµεταβλητές τεχνικές για να αναλύσουµε πολυδιάστατα κατηγορικά δεδοµένα. Οι µέθοδοι και τεχνικές που θα αναπτύξουµε πρώτα σε θεωρητικό επίπεδο, στη συνέχεια θα χρησιµοποιηθούν για την ανάλυση ενός ερωτηµατολογίου της Τράπεζας ABC που έχει ως στόχο τη διερεύνηση της αποτελεσµατικότητας του συστήµατος αξιολόγησης των εργαζοµένων της. Το εν λόγω ερωτηµατολόγιο παρατίθεται στο Παράρτηµα Α, ενώ για λόγους δέσµευσης προς τους ανθρώπους που διενέργησαν την έρευνα αυτή να µην δηµοσιευθεί το όνοµα της τράπεζας και να µην δοθούν τα αρχικά δεδοµένα, το πραγµατικό όνοµα δεν δίνεται. Η δε έρευνα ήταν ανώνυµη. Το ερωτηµατολόγιο αυτό, θα αποτελεί τη βασική µας εφαρµογή και παράδειγµα επίδειξης των µεθοδολογιών που θα ασχοληθούµε στη συνέχεια. Στο ο Κεφάλαιο αναπτύσσουµε την µέθοδο της Παραγοντικής Ανάλυσης. Με την µέθοδο προσπαθούµε να βρούµε και να ερµηνεύσουµε κοινούς παράγοντες οι οποίοι είναι αφανείς και πιστεύουµε ότι µπορούν να ερµηνεύσουν τις συσχετίσεις µεταξύ των παρατηρούµενων µεταβλητών. Επιπλέον, οι κοινοί παράγοντες χρησιµοποιούνται ως νέες µεταβλητές για την µείωση της διάστασης των δεδοµένων αφού είναι έτσι κατασκευασµένοι ώστε να διατηρούν όσο γίνεται την αρχική πληροφορία. Στο 3 ο Κεφάλαιο αναφερόµαστε στην τεχνική της Ανάλυσης κατά Συστάδες. Η τεχνική αυτή είναι πολύ χρήσιµη για την οµαδοποίηση των αντικειµένων ενός πολυδιάστατου πίνακα σε οµοιογενείς οµάδες είτε τα αντικείµενα είναι οι παρατηρήσεις είτε είναι οι µεταβλητές

14 (χαρακτηριστικά). Όµως στο κεφάλαιο αυτό για την ανάλυση κατά συστάδες θα δώσουµε το πλαίσιο στο οποίο χρησιµοποιείται για την οµαδοποίηση των µεταβλητών µόνο ενός συνόλου δεδοµένων. Πριν προχωρήσουµε όµως µε τα επόµενα κεφάλαια πρέπει να πούµε ότι ο στόχος της εργασίας είναι να αναδείξουµε τα οφέλη από τις διάφορες τεχνικές και µεθόδους για τη µελέτη πολυδιάστατων κατηγορικών δεδοµένων. Για τον λόγο αυτό, το ερωτηµατολόγιο του Παραρτήµατος Α όταν το αναλύουµε µε τις παραπάνω µεθόδους, έχουµε σκοπό να δηµιουργήσουµε µικρότερες οµάδες µεταβλητών ίσως για µια διεξοδικότερη µελέτη τους. Αυτός είναι ο λόγος που χρησιµοποιούµε την παραγοντική ανάλυση και την ανάλυση κατά συστάδες για την οµαδοποίηση των µεταβλητών. Να µειώσουµε δηλαδή τη διάσταση του προβλήµατος φτιάχνοντας οµάδες µικρότερης διάστασης τις οποίες µπορούµε να µελετήσουµε ευκολότερα αλλά και να κάνουµε αν χρειαστεί επιπλέον υποθέσεις. Θα πρέπει να τονιστεί ότι επειδή έχουµε κατηγορικά δεδοµένα, η χρήση των παραπάνω µεθόδων απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή. Έτσι για το ο και 3 ο Κεφάλαιο όταν στο τέλος αναλύουµε το ερωτηµατολόγιο, κάνουµε την παραδοχή ότι αυτό είναι χωρίς δοµή (δεν είναι χωρισµένο σε ενότητες) και βάσει της µεθοδολογία που περιγράφουµε προσπαθούµε να του «επιβάλλουµε» µία µέσω δύο διαφορετικών προσεγγίσεων. Αν τα αποτελέσµατα που θα δώσουν οι δύο µέθοδοι είναι περίπου ίδια τότε είναι σίγουρο ότι η δοµή που βρήκαµε είναι η σωστή. Επίσης για να συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα της παραγοντικής ανάλυσης µε εκείνα της ανάλυσης των συστάδων, στο τέλος του 3 ου Κεφαλαίου χρησιµοποιούµε την meta-analysis ή Q-factor analysis. Η διαδικασία αυτή συνιστά αρχικά την χρήση της παραγοντικής ανάλυσης για την εύρεση των κοινών παραγόντων και στη συνέχεια την χρησιµοποίηση των φορτίων των παραγόντων για την οµαδοποίηση και τη δηµιουργία των συστάδων. Η µεθοδολογία αυτή έχει συζητηθεί αρκετά από διάφορους συγγραφείς όπως ο Cattell (965), Milligan and Cooper (987), Urban and McDaniel (990), Cheung and Chan (005), να είναι ορισµένα από τα ονόµατα που έχουν ασχοληθεί µε τις δύο αυτές µεθόδους σε παραλληλία. Με αυτό τον τρόπο εάν οι συστάδες «υπάρχουν» στις νέες διαστάσεις που κατασκευάσαµε, τότε η κλασική παραγοντική ανάλυση θα είναι σε θέση να εντοπίσει σωστά την δοµή των µεταβλητών. Τέλος συγκρίνουµε τη δοµή που δηµιούργησαν τα δεδοµένα µε εκείνη που a priori είχε θέσει ο ερευνητής και ανάλογα την επιβεβαιώνουµε ή όχι. Στο 4 ο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε τα µοντέλα συνάφειας για διδιάστατους και τρισδιάστατους πίνακες, µαζί µε µια σύντοµη αναφορά στα λογαριθµογραµµικά µοντέλα. Στο

15 κεφάλαιο αυτό δείχνουµε πως τα µοντέλα αυτά χρησιµοποιούνται για τη µελέτη των σχέσεων των κατηγορικών µεταβλητών µε διατάξιµη κλίµακα αλλά και στις περιπτώσεις εκείνες που τα µοντέλα µεταχειρίζονται τις µεταβλητές του πίνακα σαν ονοµαστικές. Στο τέλος του κεφαλαίου υπάρχει και µια ενδιαφέρουσα εφαρµογή. Η σύνδεση του 4 ου Κεφαλαίου µε τα δύο προηγούµενα είναι η εξής: Για παράδειγµα, µετά την οµαδοποίηση που δηµιουργήσαµε ή µετά την εύρεση των παραγόντων, µπορούµε να αναλύσουµε τις σχέσεις των κατηγορικών µεταβλητών µέσα στην οµάδα της µικρότερης διάστασης από αυτές που έχουµε ήδη βρει φτιάχνοντας πίνακες συνάφειας τους οποίους µελετάµε µε τα µοντέλα συνάφειας. Όµως οι ερωτήσεις-µεταβλητές του ερωτηµατολογίου δεν χρησιµοποιήθηκαν για την ανάλυση αυτή γιατί το µέγεθος του δείγµατος δεν ήταν επαρκές για να φτιάξουµε τουλάχιστον τρισδιάστατους πίνακες συνάφειας. Αλλά ας γίνουµε περισσότερο σαφής επί του θέµατος αυτού: Για να αναλύσουµε πολυδιάστατους πίνακες χρησιµοποιώντας λογαριθµογραµµικά µοντέλα και µοντέλα συνάφειας θα πρέπει πρωτίστως να έχουµε στη διάθεση µας ένα ικανοποιητικό µέγεθος δείγµατος. Ο Cochran (964) πρότεινε ότι τουλάχιστον 80% των κελιών πρέπει να έχουν αναµενόµενες συχνότητες πάνω από 5.0 και αυτές θα πρέπει να ξεπερνούν το.0 για όλα τα κελιά ενός πίνακα. Βάσει λοιπόν αυτού του πρακτικού θέµατος τίθεται ένα µείζων πρόβληµα για την κατασκευή πολυδιάστατου πίνακα συνάφειας χρησιµοποιώντας τις µεταβλητές του ερωτηµατολογίου της Τράπεζας ABC. Του ερωτηµατολογίου οι µεταβλητές είναι σε πενταβάθµια κλίµακα Likert ενώ το µέγεθος του δείγµατος δεν ξεπερνάει τους 50. Συνεπώς ακόµα και για την κατασκευή πίνακα συνάφειας 3 διαστάσεων οι αναµενόµενες συχνότητες των κελιών δεν θα ξεπερνούν το. και πολλά κελιά στην πράξη θα είναι µε µηδέν συχνότητες. Αν τύχει να αναλύσουµε περισσότερες µεταβλητές θα διογκωθεί ακόµα πιο πολύ το πρόβληµα των µηδενικών κελιών. Ακόµα και αν συµπτύξουµε τις ακραίες κατηγορίες της κλίµακας γνωρίζοντας ότι θα χάσουµε πληροφορία ώστε να δηµιουργήσουµε τριτοβάθµια κλίµακα για τις ερωτήσεις, στον νέο πίνακα συνάφειας 3 διαστάσεων που θα προκύψει, ο µέσος όρος της συχνότητας ενός κελιού θα είναι σχεδόν 5 παρατηρήσεις ενώ αρκετά από τα κελιά του πίνακα πάλι δεν θα έχουν συχνότητες! Για τα µοντέλα συνάφειας µεγαλύτερης διάστασης του τρία απαιτείται ο πίνακας να µην είναι αραιός αλλιώς τα αποτελέσµατα δεν θα είναι ικανοποιητικά και στην πράξη δεν θα µπορέσουν να εκτιµηθούν οι αλληλεπιδράσεις των παραγόντων και να προβούµε σε συµπερασµατολογία. Για τον λόγο αυτό την ανάλυση της σχέσης των µεταβλητών από ένα 3

16 υποσύνολο µικρότερης διάστασης την εφαρµόζουµε στο 4 ο Κεφάλαιο σε ένα διαφορετικό σύνολο δεδοµένων διαθέσιµο στη βιβλιογραφία. Άλλωστε αν έχουµε στη διάθεση µας ένα σύνολο δεδοµένων µε πολλές µεταβλητές και ένα καλό µέγεθος δείγµατος τότε µε βάση την µεθοδολογία που αναπτύσσουµε στο ο και 3 ο Κεφάλαιο δηµιουργούµε πίνακες συνάφειας διασταυρώνοντας τις µεταβλητές που θέλουµε να µελετήσουµε από τα υποσύνολα των µεταβλητών που δηµιουργήσαµε ο τρόπος της ανάλυσης του πίνακα αυτού σε γενικές γραµµές είναι ίδιος µε την εφαρµογή που θα παρουσιάσουµε. Τέλος στο 5 ο Κεφάλαιο µιλάµε για την Ανάλυση Αντιστοιχιών και την Πολλαπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών. Η µέθοδος της ανάλυσης αντιστοιχιών είναι πολύ ισχυρή για την ανάλυση κατηγορικών µεταβλητών σε µορφή διδιάστατου πίνακα συνάφειας. Επίσης γίνεται σύγκριση της µεθόδου µε τα µοντέλα συσχέτισης. Από την άλλη η πολλαπλή ανάλυση αντιστοιχιών είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για πολυδιάστατα κατηγορικά δεδοµένα όπως τα ερωτηµατολόγια. Στο τέλος του κεφαλαίου αναλύουµε την εφαρµογή του 4 ου Κεφαλαίου µέσω της ανάλυσης αντιστοιχιών. Επιπλέον, εφαρµόζουµε την ανάλυση αντιστοιχιών στα δεδοµένα του ερωτηµατολογίου µας, δηλαδή τις υποοµάδες των µεταβλητών όπου ερευνούµε την αποτελεσµατικότητα του υπάρχοντος συστήµατος αξιολόγησης από τα δεδοµένα που έχουµε µε την βοήθεια της πολλαπλής ανάλυσης αντιστοιχιών. Για τον σκοπό αυτό έχει δοθεί ιδιαίτερη έµφαση στη γραφική απόδοση τους. Εν κατακλείδι στόχος της εργασίας αυτής είναι να δείξει τον τρόπο που χειριζόµαστε πολυδιάστατα κατηγορικά δεδοµένα και τα οποία προέρχονται από έρευνες µέσω ερωτηµατολογίων ή συναφών πηγών και ζητάµε να αποµονώσουµε ορισµένα χαρακτηριστικά τα οποία θέλουµε να µελετήσουµε γιατί ικανοποιούν ορισµένες σηµαντικές προϋποθέσεις όπως εκείνης της συσχέτισης ή συνάφειας (µεταξύ των µεταβλητών και µεταξύ των παρατηρήσεων). 4

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παραγοντική Ανάλυση. Εισαγωγή Συχνά συµβαίνει να ενδιαφερόµαστε να µετρήσουµε ορισµένες ποσότητες όπως για παράδειγµα την ευφυΐα, το κοινωνικό και οικονοµικό status, την πολιτική ιδεολογία, το στρες, οι οποίες είναι αδύνατον να ποσοτικοποιηθούν άµεσα και να µετρηθούν. Όµως είναι δυνατόν να µετρήσουµε κάποιες άλλες «ποσότητες» οι οποίες εκφράζουν τις µεταβλητές για τις οποίες ενδιαφερόµαστε. Για να γίνει αυτό θεωρούµε για τις µεταβλητές που απαρτίζουν τον πίνακα δεδοµένων X n p, ότι οι συσχετίσεις που υπάρχουν µεταξύ τους είναι «προϊόν» κάποιων αφανών (latent) παραγόντων που στην πραγµατικότητα δεν υπάρχουν και πρέπει να εκτιµηθούν. Η παραγοντική ανάλυση είναι µια στατιστική τεχνική η οποία προσπαθεί να ερµηνεύσει τις συσχετίσεις µεταξύ των παρατηρούµενων µεταβλητών ενός πίνακα X n p υποθέτοντας ότι οφείλονται αποκλειστικά στην ύπαρξη κάποιων κοινών παραγόντων οι οποίοι δεν είναι άµεσα εµφανείς. Με τον τρόπο αυτό αφενός πετυχαίνουµε µείωση της διάστασης των δεδοµένων, αφού αντί να δουλεύουµε µε τις αρχικές µεταβλητές τώρα δουλεύουµε µε τους παράγοντες που «κατασκευάσαµε» και αφετέρου µε έναν υποκειµενικό τρόπο να τους αναγνωρίσουµε ως κάποιες µη µετρήσιµες µεταβλητές. Ιδιαίτερα στην δεύτερη περίπτωση η παραγοντική ανάλυση βρίσκει ευρεία εφαρµογή στις κοινωνικές επιστήµες, την ψυχολογία και την ψυχοµετρία, το marketing και στην έρευνα αγοράς.. Ορθογώνιο Παραγοντικό Μοντέλο Έστω ' X = ( X, X,, X p ) είναι το ( ) p διάνυσµα των παρατηρούµενων µεταβλητών του πίνακα X n p. Το πρόβληµα που προσπαθεί η παραγοντική ανάλυση να λύσει είναι κατά κάποιο τρόπο όµοιο µε εκείνο της παλινδρόµησης για την πρόβλεψη ενός µεγέθους, µόνο που τώρα η σχέση αυτή αντιστρέφεται και προσπαθούµε να µάθουµε για τους παράγοντες όταν 5

18 γνωρίζουµε τις παρατηρούµενες µεταβλητές. Επιπλέον οι παράγοντες είναι άγνωστοι (latent), αλλά πιστεύεται ότι ο πίνακας των συνδιακυµάνσεων ή συσχετίσεων των παρατηρούµενων µεταβλητών περιέχει όλη την πληροφορία που χρειαζόµαστε για να εκτιµήσουµε την σχέση αυτή ώστε να συµπεράνουµε ότι οι µεταβλητές εξαρτώνται από έναν µικρότερο αριθµό µη παρατηρήσιµων (αφανών) µεταβλητών. Για τον λόγο αυτό, υποθέτουµε ότι οι p µεταβλητές X, X,, X p µε µέσο µ p και πίνακα συνδιακύµανσης Σ p p, µπορούν να γραφούν σαν γραµµικός συνδυασµός των m κοινών παραγόντων F, F,, Fm και του σφάλµατος ε p, µε m p. Η µορφή που θα έχουν τα δεδοµένα είναι η εξής X µ = F + F + + F + ε m m X µ = F + F + + F + ε m m X µ = F + F + + F + ε p p p p pm m p (.) Το µοντέλο (.) µπορεί να γραφτεί µε µορφή πινάκων ως X µ = LF + ε (.) Οι συντελεστές ij στην (.) λέγονται φορτία (loadings) τα οποία χρησιµεύουν για σταθµά ενώ κάτω από κατάλληλες προϋποθέσεις υποδηλώνουν τη σπουδαιότητα που έχει ο j παράγοντας στην i µεταβλητή και χρησιµοποιούνται συνήθως για την ερµηνεία των F j. Τα πιο υψηλά φορτία σε απόλυτη τιµή για τον F παράγοντα µε j =,,, m, συνδέουν τον j παράγοντα αυτόν µε τις µεταβλητές X, i =,,, p και µε αυτόν τον τρόπο εκτιµάται ότι i θα εξηγηθούν οι συσχετίσεις των µεταβλητών αντιστοιχίζοντας τους παράγοντες σε αυτές. Είναι όµως σηµαντικό για το παραγοντικό µοντέλο να γίνουν ορισµένες υποθέσεις για την αναγνωρισιµότητα του. Υποθέτουµε λοιπόν ότι οι κοινοί παράγοντες F j έχουν µέσο µηδέν και διακύµανση ένα και ότι είναι αµοιβαία ασυσχέτιστοι, cov( F, F ) = 0, j k. Για το σφάλµα ε υποθέτουµε ότι έχει µέσο µηδέν και διακύµανση j k ψ i και ότι είναι επίσης αµοιβαία ασυσχέτιστο, cov( ε, ε ) = 0. Επιπλέον κάνουµε την υπόθεση ότι κάθε κοινός παράγοντας i k δεν σχετίζεται µε το σφάλµα, cov( F, ε ) = 0, i, j. Οι υποθέσεις αυτές µας οδηγούν σε µια j i απλούστερη µορφή για τη διακύµανση των X i την οποία µπορούµε να γράψουµε ως ( X ) = και η οποία έχει ιδιαίτερη σηµασία. Παράλληλα, µε την var i i i im ψ i 6

19 υπόθεση cov( ε, ε ) = 0, σηµαίνει ότι µόνο οι παράγοντες και µόνο αυτοί, εξηγούν τις i k συσχετίσεις που υπάρχουν στα δεδοµένα. Επίσης παρατηρούµε για τη διακύµανση των X i ότι µπορεί να χωριστεί σε δύο µέρη, στην ποσότητα που ονοµάζεται εταιρικότητα (communality) και συµβολίζεται µε i i im h i και στο ψ i που ονοµάζεται ιδιαιτερότητα (uniqueness, specificity). Άρα µπορούµε να γράψουµε την διακύµανση και ως εξής ( X ) σ = σ = var = h + ψ (.3) ii i i i i Η σχέση (.3) µας δείχνει ότι τη διακύµανση και κατά συνέπεια τη συνδιακύµανση των µεταβλητών του πίνακα ( n p) X µπορούµε να την εκφράσουµε µε τους όρους των φορτίων και των ιδιαιτεροτήτων. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα ο θεωρητικός πίνακας συνδιακύµανσης Σ ( p p) να εκφράζεται µέσω των L ( p m) και ( ) diag Ψ. Από την (.) και αφού το µ δεν επηρεάζει τη διακύµανση, για τη συνδιακύµανση των µεταβλητών θα ισχύει ότι ( ) cov( ) Σ = cov X = LF+ ε και επειδή οι LF, ε είναι ασυσχέτιστοι τότε θα είναι ( ) cov( ) ' ( ) Σ = cov LF + ε = Lcov F L + Ψ Όµως από τις αρχικές υποθέσεις είναι cov ( F) = I άρα T Σ = LL + Ψ (.4) µε τον πίνακα Ψ να είναι διαγώνιος. Συνεπώς για να µπορέσουµε να ερµηνεύσουµε τις συνδιακυµάνσεις των µεταβλητών κάτω από το παραγοντικό µοντέλο (θεωρούµε ότι µπορεί να γραφούν όπως στην.4), θα πρέπει να εκτιµήσουµε τον πίνακα των φορτίων και των ιδιαιτεροτήτων καθότι ο θεωρητικός πίνακας συνδιακύµανσης στην (.4) διαµερίζεται σε δύο µέρη, στο κοµµάτι εκείνο που ερµηνεύουν οι κοινοί παράγοντες δηλαδή την εταιρικότητα και στο κοµµάτι που οφείλεται στους µοναδικούς παράγοντες την ιδιαιτερότητα, η οποία δεν ερµηνεύεται από το µοντέλο... Μέθοδοι Εκτίµησης του Παραγοντικού Μοντέλου Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για να εκτιµήσουµε τους συντελεστές του παραγοντικού µοντέλου αλλά οι περισσότερο διαδεδοµένες είναι η µέθοδος των κυρίων συνιστωσών και η p 7

20 µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας. Πρώτα θα αναφερθούµε στην µέθοδο των κυρίων συνιστωσών. Στην πράξη τον θεωρητικό πίνακα συνδιακύµανσης στην (.4) τον αντικαθιστούµε µε τον δειγµατικό πίνακα συνδιακύµανσης ώστε να ισχύει ότι S p p και εκτιµούµε τα φορτία και την εταιρικότητα έτσι S LL ˆˆ' + Ψ ˆ (.5) Καθώς ο πίνακας συνδιακύµανσης είναι συµµετρικός, χρησιµοποιούµε το θεώρηµα της φασµατικής ανάλυσης (spectral decomposition theorem) για να τον παραγοντοποιήσουµε και να βρούµε την προσέγγιση του. Με τη µέθοδο των κυρίων συνιστωσών αγνοούµε τον Ψ, άρα θα πάρουµε την προσέγγιση του S p pµόνο από το ˆˆ' LL. Συνεπώς για τον S θα έχουµε ότι ' S = CDC (.5.α) όπου στην (.5.α) ο C είναι ένας ορθογώνιος πίνακας µε κανονικοποιηµένα ιδιοδιανύσµατα { cc T i j = ci = } c : 0, και ο D είναι ο διαγώνιος πίνακας µε τις ιδιοτιµές θ, θ,, θp του S. Επιπλέον αφού ο S είναι θετικά ηµιορισµένος S 0, µπορούµε να γράψουµε τον diag ( D ) / όπου = diag ( θ, θ,, θp ) / / D=D D D, έτσι ώστε η παραγοντοποίηση του S να γίνει Η σχέση (.6) είναι της µορφής ( )( ) ' ' / / ' / / S=CDC = CD D C = CD CD (.6) S=LL ' ˆˆ, αλλά καθώς ο / CD είναι p p πίνακας και ο ˆL είναι ένας p m πίνακας θέτουµε, D = diag ( θ, θ,, θm ) µε m p, θ > θ > > θm και ( c c c ) C =,,, m. Έτσι µετά την τροποποίηση αυτή θα πάρουµε Η (.7) σε πίνακες γράφεται στην µορφή / ( p m) = ( θ c θ c θ c ) L ˆ =CD,,, (.7) m m Lˆ ( p m) ˆ ˆ ˆ m c c c m θ 0 = =. ˆ ˆ ˆ c p p pm p cp c pm 0 θm 8

21 Ωστόσο χρειάζεται να υπολογίσουµε και τα ψ ˆi ειδικά στην περίπτωση που m p. Επειδή για τον πίνακα ˆ ˆ' ( p p) LL το άθροισµα της διαγωνίου του ισούται µε m ˆ ij, ορίζουµε ότι j= m ˆ i si ij j= ψˆ = και πλέον έχουµε την προσέγγιση του S στην (.5). Οι εκτιµηµένες εταιρικότητες h i, δείχνουν το ποσοστό της διακύµανσης της κάθε µεταβλητής που εξηγείται από τους παράγοντες που βρήκαµε και όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή αυτή τόσο καλύτερα ερµηνεύεται η µεταβλητή ποσότητα h i X i από το παραγοντικό µοντέλο. Η tr( S) δείχνει το συνολικό ποσοστό της δοµής που ερµηνεύεται από τους m παράγοντες. Στην πράξη αν κάποιες µεταβλητές έχουν χαµηλά h i, για παράδειγµα < 0.30, τότε το παραγοντικό µοντέλο που προσαρµόσαµε δεν καταφέρνει να εξηγήσει µεγάλο µέρος της διακύµανσης των µεταβλητών αυτών και πιθανώς να χρειάζεται να ερευνήσουµε για επιπλέον παράγοντες ώστε να αυξήσουµε την προσαρµοστικότητα του µοντέλου στο σύνολο των µεταβλητών. Αν πάλι χρησιµοποιούµε τον δειγµατικό πίνακα συσχετίσεων ( p p) να ερµηνεύσουµε τις συσχετίσεις των µεταβλητών, αντίστοιχα, η ποσότητα R για h p µας i δείχνει το συνολικό ποσοστό της διακύµανσης που ερµηνεύεται από τους m παράγοντες. Οι εκτιµήσεις των ιδιαιτεροτήτων ψ ˆi υπολογίζονται από τη σχέση ψ ˆ = h και όπως είπαµε είναι το κοµµάτι εκείνο της διακύµανσης της κάθε µεταβλητής που δεν µπορεί να εξηγηθεί από το παραγοντικό µοντέλο. Ιδανικά θέλουµε να ισχύει ποσότητα - ˆˆ' ( + ˆ ) i i i h και ψ ˆ 0. Η E=S LL Ψ αναφέρεται ως ο εκτιµηµένος πίνακας υπολοίπων και για την µέθοδο των κυρίων συνιστωσών αποτελεί εσωτερικό κριτήριο της επιτυχίας της. Όταν τα στοιχεία του πίνακα E είναι µικρά σε απόλυτη τιµή τότε η προσαρµογή θεωρείται καλή. Στην περίπτωση που για την εκτίµηση του παραγοντικού µοντέλου χρησιµοποιηθεί η µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας, τότε αρχικά υποθέτουµε ότι τα σφάλµατα ακολουθούν την πολυµεταβλητή κανονική κατανοµή και το ίδιο υποθέτουµε για τους παράγοντες. Έτσι προκύπτει ότι και το διάνυσµα των µεταβλητών πολυµεταβλητή κανονική κατανοµή. Αν λοιπόν X ( µ, Σ) ' X = (,,, ) προέρχεται από την N p X X X p ο λογάριθµος της συνάρτησης πιθανοφάνειας (log-likelihood) του τυχαίου δείγµατος και των παραµέτρων είναι: i 9

22 log L X ;, = ( µ Σ) n log π Σ n tr Σ S n X µ Σ X µ (.8) - σταθερά ( ) ( ) ( ) ' Αν αντικαταστήσουµε τον αµερόληπτο εκτιµητή του µ ˆ = X, η (.8) είναι η log-likelihood του Σ µόνο: n - log L( X; Σ) = log π +tr ( ) Σ Σ S T όπου στην (.9) αντικαταστούµε το Σ µε Σ = LL + Ψ. (.9) Οι εκτιµήτριες µέγιστης πιθανοφάνειας ˆL και ˆΨ θα προκύψουν όταν µεγιστοποιήσουµε την συνάρτηση (.9) ως προς L και Ψ µε τον περιορισµό ότι ο ' - LΨ L είναι διαγώνιος. Ωστόσο η µεγιστοποίηση της παραπάνω συνάρτησης δεν έχει αναλυτική λύση και πρέπει να λυθεί επαναληπτικά χρησιµοποιώντας κάποιον αλγόριθµο (για λεπτοµέρειες βλ. Harman, :04 και Knafl and Grey, 007). Επιπλέον, δεν είναι βέβαιο ότι ο επαναληπτικός αλγόριθµος τελικά θα συγκλίνει µε αποτέλεσµα να βρεθούν λύσεις µε αρνητικά στοιχεία στον πίνακα ˆΨ ή να εκτιµηθούν οι εταιρικότητες των µεταβλητών µε τιµές ίσες ή µεγαλύτερες της µονάδας. Το τελευταίο συνήθως ονοµάζεται Heywood case. Ένα σηµαντικό πλεονέκτηµα της συγκεκριµένης µεθόδου εκτίµησης έναντι εκείνης των κυρίων συνιστωσών είναι το γεγονός ότι µπορούµε να κάνουµε ελέγχους καλής προσαρµογής της καταλληλότητας του ορθογώνιου παραγοντικού µοντέλου. οθέντος της εκτιµήτριες µέγιστης πιθανοφάνειας ˆL και ˆΨ, ο έλεγχος συγκρίνει το ˆΣ µε το ( n ) n S που είναι ο εκτιµητής µέγιστης πιθανοφάνειας του Σ όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί στο πίνακα (δηλ. η Hα εναλλακτική υπόθεση). Η ελεγχοσυνάρτηση µε τη διόρθωση του Bartlett δίνεται από τη σχέση p + m ˆ n ln n Σ 6 3 ( n ) S και η οποία ασυµπτωτικά έχει X ν κατανοµή όταν η µηδενική ( H 0 ) υπόθεση αληθεύει µε ν = ( p m) ( p+ m) βαθµοί ελευθερίας. Μια συνήθης προσέγγιση µε τη συγκεκριµένη µέθοδο εκτίµησης είναι να ξεκινάµε το παραγοντικό µοντέλο µε τη λύση m = και σταδιακά να αυξάνουµε τους παράγοντες έως ότου ο έλεγχος καλής προσαρµογής γίνει αποδεκτός ή µέχρις ότου οι βαθµοί ελευθερίας γίνουν αρνητικοί. 0

23 .3 Έλεγχος των Συσχετίσεων - Αριθµός των Παραγόντων Σε πραγµατικά δεδοµένα εκείνο που ο αναλυτής πρέπει πρώτα να κάνει είναι να αποφασίσει µε ποιον πίνακα θα δουλέψει. Ανάλογα µε τη φύση των δεδοµένων, θα πρέπει διαλέξει ανάµεσα στον πίνακα συνδιακυµάνσεων S ή στον πίνακα συσχετίσεων R καθώς και ποια µέθοδο εκτίµησης θα χρησιµοποιήσει για τους παράγοντες. Για παράδειγµα, µε τη µέθοδο της µέγιστης πιθανοφάνειας η οποία είναι ανεξάρτητη κλίµακας (scale invariant), δεν παίζει ρόλο ποιο πίνακα θα χρησιµοποιήσουµε για να εκτιµήσουµε το µοντέλο, αλλά µε µεθόδους που δεν είναι scale invariant όπως συµβαίνει µε τη µέθοδο των κυρίων συνιστωσών τα αποτελέσµατα που θα πάρουµε αν βασιστούµε στον πίνακα συνδιακυµάνσεων θα είναι πολύ διαφορετικά από τον πίνακα συσχετίσεων. Αν τελικά δουλέψουµε µε τον πίνακα συσχετίσεων R είναι σηµαντικό να υπάρχουν συσχετίσεις αρκετά µεγάλες, γιατί αυτές τις συσχετίσεις θα προσπαθήσουµε να εξηγήσουµε. Θεωρητικά συσχετίσεις µε τιµές > 0.40 είναι ευπρόσδεκτες, σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει έννοια να συνεχίσουµε αφού δεν θα µπορέσουµε να βρούµε κοινούς παράγοντες. Αν πάλι υπάρχουν µεταβλητές που είναι ασυσχέτιστες µε τις υπόλοιπες, καλό είναι να τις αγνοήσουµε διότι θα προκύψουν από µόνες τους ως ένας ξεχωριστός παράγοντας. Κάποιοι συγγραφείς έχουν προτείνει ότι ο R θα πρέπει να είναι σχεδόν διαγώνιος πίνακας ώστε να βρεθεί ικανοποιητικό παραγοντικό µοντέλο. Για να εκτιµηθεί πόσο κοντά είναι ο R σε διαγώνιο πίνακα, ο Kaiser (970) πρότεινε ένα µέτρο δειγµατικής καταλληλότητας (MSA) το οποίο για την i µεταβλητή υπολογίζεται ως όπου πίνακα ij i j MSA i = r ij + qij i j i j r ij είναι η ρίζα ενός στοιχείου του πίνακα R και - / Q= DR D, µε ( diag ) r q ij είναι η ρίζα ενός στοιχείου από τον D = R. Καθώς το MSA πλησιάζει την τιµή, αυτό i είναι ένδειξη της καταλληλότητας της µεταβλητής ενώ στην πράξη θα πρέπει να ξεπερνάει το 0.8 για να υπάρξουν ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Ένα ακόµη µέτρο που είναι πολύ σηµαντικό για τον έλεγχο των δεδοµένων πριν την παραγοντική ανάλυση είναι η τιµή του στατιστικού KMO (Kaiser-Meyer-Olkin)

24 KMO = r ij i j rij + aij i j i j όπου r ij και a ij είναι οι συντελεστές δειγµατικής και µερικής συσχέτισης αντίστοιχα. Το KMO συγκρίνει το σχετικό µέγεθος των συντελεστών συσχέτισης σχετικά µε τους µερικούς συντελεστές συσχέτισης και αν η τιµή του είναι µεγάλη τότε τα δεδοµένα είναι κατάλληλα (Καρλής, 005). Έχει υπολογιστεί ότι τιµές µικρότερες του 0.5 είναι πολύ κακές ενώ πάνω από 0.8 θεωρούνται καλές για να προχωρήσουµε µε την ανάλυση. Αφού λοιπόν γίνουν οι απαραίτητοι έλεγχοι και προχωρήσουµε σε παραγοντική ανάλυση θα πρέπει να αποφασίσουµε για τον αριθµό των παραγόντων m που θα κρατήσουµε. Κάποια κριτήρια για το σκοπό αυτό είναι τα εξής: Επιλέγουµε τόσους παράγοντες m ώστε να επιτύχουµε κάποιο επιθυµητό ποσοστό της συνολικής διακύµανσης Επιλέγουµε παράγοντες m ίσους µε τον αριθµό των ιδιοτιµών της διάσπασης του S ή του R που έχουν τιµή µεγαλύτερη της µονάδας Από το scree plot των ιδιοτιµών αποφασίζουµε για τον αριθµό m, από τη στιγµή που το γράφηµα αρχίζει να αλλάζει κλίση Κάνουµε ελέγχους για τον αριθµό των παραγόντων. Για τη µέθοδο εκτίµησης της µέγιστης πιθανοφάνειας, µέχρι το κριτήριο καλής προσαρµογής γίνει αποδεκτό ή οι βαθµοί ελευθερίας γίνουν αρνητικοί. Για τη µέθοδο των κυρίων συνιστωσών, ελέγχουµε τον εκτιµηµένο πίνακα (reproduced matrix) και κοιτάµε τις αποκλίσεις του από τον πραγµατικό να είναι µικρές Μια σηµαντική διαφορά ανάµεσα στις δύο µεθόδους εκτίµησης είναι το γεγονός ότι µε τη µέθοδο των κυρίων συνιστωσών από την στιγµή που από m παράγοντες πάµε σε m + στο παραγοντικό µοντέλο, οι τιµές των φορτίων των προηγούµενων παραγόντων δεν αλλάζουν άρα δεν αλλάζει και η ερµηνεία τους. Κάτι αντίστοιχο όµως δεν ισχύει µε τη µέθοδο της µέγιστης πιθανοφάνειας..4 Περιστροφή των Παραγόντων Με την περιστροφή των παραγόντων προσπαθούµε να κάνουµε τους παράγοντες πιο ερµηνεύσιµους. Η περιστροφή είναι ανεξάρτητη της µεθόδου εκτίµησης και βοηθάει τον

25 αναλυτή στο να ξεχωρίσει τους παράγοντες, δηλαδή να µπορέσει πιο εύκολα να τους δώσει φυσική ερµηνεία αφού ο σκοπός της είναι να διαχωριστούν οι µεταβλητές που εξηγούνται από τους παράγοντες. Με την περιστροφή δεν αλλάζουν κάποια από τα χαρακτηριστικά του µοντέλου όπως η προσαρµοστικότητα και το συνολικό ποσοστό της διακύµανσης που ερµηνεύεται από το µοντέλο, ο εκτιµηµένος πίνακας συσχετίσεων ή συνδιακυµάνσεων και οι εταιρικότητες, παρά µόνο οι τιµές των φορτίων και το ποσοστό της διακύµανσης που εξηγείται από κάθε παράγοντα. Γενικά, αν ( p m) L είναι ο πίνακας µε τα φορτία των παραγόντων και T είναι ένας ορθογώνιος πίνακας έτσι ώστε ' ' TT = I = T T, τότε ισχύει ότι ( ) ' ' ' = = LT ˆ LT ˆ LTT ˆ Lˆ LL ˆ ˆ εποµένως ο T ορίζει έναν ορθογώνιο µετασχηµατισµό και ο πίνακας ˆLT µπορεί να θεωρηθεί ως ο νέος πίνακας των φορτίων. Αν συµβολίσουµε µε ˆ* L = ˆ ' LT τα φορτία µετά την περιστροφή, τότε παίρνουµε την ίδια εκτίµηση του πίνακα συνδιακύµανσης S αφού ˆ ' ˆ ' ˆ ˆ* ˆ* S LL + Ψ = LTT ˆ Lˆ + Ψ = LL ˆ ˆ + Ψ. Από γεωµετρικής άποψης τα φορτία της i γραµµής του πίνακα ˆL είναι οι συντεταγµένες για την µεταβλητή X, i =,, p. Σύµφωνα µε τον Harman (976), µε την περιστροφή i στοχεύεται να επιτευχθεί αυτό που ονοµάζει ως simple structure. Αυτό σηµαίνει ότι οι µεταβλητές που έχουν υψηλά φορτία σε ένα παράγοντα θα πρέπει να έχουν µικρή ή σχεδόν µηδενική συνεισφορά στους υπόλοιπους παράγοντες. Σχηµατικά αυτό µπορεί να δειχτεί ως εξής για τρεις παράγοντες και πέντε µεταβλητές: F i F i F i3 X X X X X Κάτι τέτοιο στην πράξη δεν είναι βέβαιο ότι θα συµβεί, αλλά όταν αυτό επιτευχθεί τότε η ερµηνεία των παραγόντων γίνεται πολύ πιο εύκολα. 3

26 Υπάρχουν στη βιβλιογραφία διάφοροι µετασχηµατισµοί για να περιστρέψουµε τους παράγοντες. Οι περισσότερο διαδεδοµένοι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί είναι η varimax περιστροφή όπως αυτή προτάθηκε από τον Kaiser (985) και η οποία προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει τον αριθµό των µεταβλητών που έχουν µεγάλα φορτία σε κάθε παράγοντα. ηλαδή προσπαθεί να κάνει κάτι ανάλογο του simple structure. Στην πιο απλή µορφή όπου m = παράγοντες, ο πίνακας µετασχηµατισµού T για δοθείσα γωνία ϕ υπολογίζεται από τον πίνακα T cosϕ sinϕ = sinϕ cosϕ και οι νέες τιµές των φορτίων µετά την περιστροφή από την σχέση L ˆ * = p LT. ˆ Η δεύτερη πιο διαδεδοµένη µέθοδος ορθογώνιας περιστροφής των αξόνων είναι η quartimax και η οποία προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει τον αριθµό των παραγόντων που εξηγούν µια µεταβλητή. Συνήθως µε την quartimax οι µεταβλητές µαζεύονται στους δύο πρώτους παράγοντες αν m. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις που η ορθογώνια περιστροφή δεν ξεχωρίζει καλά τους παράγοντες και χρειάζεται να προσαρµόσουµε µη-ορθογώνια περιστροφή διότι τυγχάνει οι παράγοντες να είναι συσχετισµένοι µεταξύ τους. Για παράδειγµα, ο παράγοντας που εκφράζει το επαγγελµατικό status του παιδιού θα πρέπει, φυσιολογικά, να σχετίζεται µε εκείνο του πατέρα του αντί οι δυο παράγοντες να είναι ανεξάρτητοι (ασυσχέτιστοι). Κάποια επιπλέον κριτήρια µη-ορθογώνιων (oblique) περιστροφών που χρησιµοποιούνται συχνά από τους αναλυτές είναι το oblimin και το promax και για µια αναλυτικότερη παρουσίαση τους, προτείνεται στον αναγνώστη να κοιτάξει στον Harman (976) και στον Jobson (99)..5 Σκορ Παραγόντων Έχουµε ήδη αναφέρει ότι ένας από τους σκοπούς που γίνεται παραγοντική ανάλυση είναι η µείωση της αρχικής διάστασης των δεδοµένων (δηλαδή των µεταβλητών). Για να γίνει αυτό εκφράζουµε τους παράγοντες σαν γραµµική συνάρτηση των αρχικών µεταβλητών έτσι ώστε αντί να δουλεύουµε µε τις p µεταβλητές του πίνακα X n p, να δουλεύουµε µε τους m παράγοντες (m p) στους οποίους έχουµε δώσει µια φυσική ερµηνεία και µπορούν να θεωρηθούν σαν «καινούργιες» µεταβλητές. Για να µπορέσουµε όµως να χρησιµοποιήσουµε τους «κατασκευασµένους» παράγοντες είτε σε περαιτέρω αναλύσεις, όπως στην MANOVA ή 4

27 στην πολλαπλή παλινδρόµηση είτε για διαγνωστικούς σκοπούς σχετικά µε τη συµπεριφορά των παρατηρήσεων σε αυτούς είτε για τη δηµιουργία δεικτών, πρέπει να δηµιουργήσουµε τιµές για τις n γραµµές (παρατηρήσεις) του αρχικού πίνακα ονοµάζονται σκορ των παραγόντων. X n p. Οι τιµές αυτές Έχοντας εκτιµήσει ένα παραγοντικό µοντέλο µε ˆL, ˆΨ, L ˆ* και Ψ ˆ * αντίστοιχα, να είναι οι εκτιµήσεις των παραµέτρων του πριν και µετά την περιστροφή, εκτιµούµε τα σκορ των παραγόντων, ˆ = ( fˆ, fˆ,, fˆ ) ' f για i=,, n. Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι εκτίµησης των i i im παραγοντικών σκορ όπως, η regression µέθοδος, η µέθοδος Bartlett και η µέθοδος του Anderson. Εδώ θα αναφερθούµε στην µέθοδο regression ή αλλιώς στις Thomson εκτιµήσεις. Για τις υπόλοιπες µεθόδους παραπέµπουµε στον Harman (976, 6). Ωστόσο αναφέρουµε πως και οι τρεις µέθοδοι δίνουν παράγοντες µε µέση τιµή µηδέν ( ) E f = 0. i Regression µέθοδος Κάθε παράγοντας f j γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των µεταβλητών X i µε κεντροποίηση στην µορφή ( ) ( ) p( p p) f = β X X + β X X + + β X X + ξ ( ) ( ) ( ) f = β X X + β X X + + β X X + ξ m m m mp p p m Η (.0) σε µορφή πινάκων γράφεται ως ' ( ) (.0) F = Β X X + ξ (.) Ο πίνακας των συντελεστών που χρειάζεται για να πάρουµε τις εκτιµήσεις των παραγόντων είναι ο B και λέγεται factor score coefficient matrix. Αποδεικνύεται ότι για να βρούµε τον πίνακα των συντελεστών των σκορ πρέπει να υπολογίσουµε τις ποσότητες Bˆ = το ˆ Bˆ = ˆ - S L ή - R L αντίστοιχα. Οι εκτιµήσεις ή σκορ των παραγόντων δίνονται µε αντικατάσταση για ˆB στην (.), ˆ ˆ ' ( ) F = Β X X + ξ, δηλαδή από τις σχέσεις Fˆ = ˆ - YS c L ή ˆ ˆ - F= YS R L (.) όπου στην (.) Y είναι ο πίνακας των τυποποιηµένων µεταβλητών ( x x ) s. S Συνήθως ij j j ζητάµε να υπολογίσουµε τα σκορ για τους παράγοντες που βρήκαµε µετά την περιστροφή, οπότε στην περίπτωση αυτή στις παραπάνω σχέσεις χρησιµοποιούµε αντί του ˆL τον L ˆ. 5

28 .6 Μη ορθογώνια Παραγοντική Ανάλυση Το ορθογώνιο παραγοντικό µοντέλο βασίστηκε στην υπόθεση ότι οι παράγοντες είναι ασυσχέτιστοι µεταξύ τους. Όµως σε αρκετές περιπτώσεις η υπόθεση αυτή δεν είναι ρεαλιστική και οι παράγοντες θα πρέπει να συσχετίζονται. ηλαδή αντί της υπόθεσης Cov( F ) = I, τώρα υποθέτουµε ότι ( ) T Cov F = Ω άρα Σ = LΩL +Ψ και επιπλέον στη σχέση θα πρέπει να εκτιµήσουµε τον πίνακα Ω. Στην πράξη συνήθως αυτό που γίνεται όταν θέλουµε οι παράγοντες να είναι συσχετισµένοι, απλώς εφαρµόζουµε µια µη-ορθογώνια περιστροφή των αξόνων, π.χ. oblimin µέθοδο και οδηγούµαστε σε παράγοντες που είναι συσχετισµένοι µεταξύ τους..7 Σχόλια και Συµπεράσµατα Η παραγοντική ανάλυση θεωρείται model-based µέθοδος. Σε σχέση µε άλλες τεχνικές, προσπαθεί περισσότερο να ερµηνεύσει τη δοµή παρά την µεταβλητότητα. Από τον τρόπο ορισµού του µοντέλου χρησιµοποιείται κυρίως για συνεχή δεδοµένα ενώ το ίδιο υποθέτουµε και για τους παράγοντες που κατασκευάζουµε. Όταν στα δεδοµένα υπάρχουν κατηγορικές µεταβλητές µε δύο ή περισσότερες κατηγορίες, όπως για παράδειγµα όταν οι µεταβλητές αφορούν ερωτήσεις στην κλίµακα Likert, τότε η παραγοντική ανάλυση θα πρέπει να γίνεται µε προσοχή. Σύµφωνα µε τους Bishop (977), Bartholomew et al. (00), στις περιπτώσεις που οι µεταβλητές είναι κατηγορικές µε µεγάλο αριθµό κατηγοριών, περισσότερες από 5 ή 6 τότε µπορούµε να θεωρήσουµε τα δεδοµένα σε συνεχή κλίµακα και να προχωρήσουµε στην εύρεση µοντέλου. Τονίζουν όµως ότι ενώ το ίδιο ισχύει και για κατηγορικές µεταβλητές µε λιγότερες κατηγορίες, οι εκτιµήσεις των φορτίων µάλλον θα είναι µεροληπτικές. Στις περιπτώσεις που έχουµε κατηγορικά δεδοµένα και θέλουµε να προχωρήσουµε σε παραγοντική ανάλυση, για τον υπολογισµό των συσχετίσεων χρησιµοποιούνται άλλοι συντελεστές όπως του Kruskal ο gamma, του Somer ο d, ο συντελεστής του Kendall τau ή του Spearman ο r S, αντί του συντελεστή r p του Pearson εκτός και αν οι συσχετίσεις που υπολογίζονται από τους συντελεστές αυτούς είναι πολύ κοντά (.00) µε τον r p. Τέλος, µπορεί να γίνει παραγοντική ανάλυση έχοντας µόνο τον πίνακα συνδιακυµάνσεων ή συσχετίσεων των µεταβλητών και όχι τα πλήρη δεδοµένα. Τότε είναι ξεκάθαρο ότι τα σκορ των παραγόντων δεν µπορούν να υπολογιστούν. 6

29 .8 Εφαρµογή της Μεθόδου Σε έρευνα που πραγµατοποιήθηκε για λογαριασµό της Τράπεζας ABC, οι εργαζόµενοι και τα στελέχη απάντησαν σε ένα ερωτηµατολόγιο που είχε ως στόχο να ερευνήσει την αποτελεσµατικότητα του υπάρχοντος συστήµατος αξιολόγησης ώστε µελλοντικά να υπάρξει βελτίωση του. Το ερωτηµατολόγιο διατίθεται στο Παράρτηµα Α στο τέλος της εργασίας. Οι ερωτήσεις εµφανίζονται σε πενταβάθµια κλίµακα Likert µε τις εξής κατηγορίες: = ιαφωνώ Απολύτως, = ιαφωνώ, 3 = Ούτε συµφωνώ Ούτε διαφωνώ, 4 = Συµφωνώ, 5 = Συµφωνώ Απολύτως. Το ερωτηµατολόγιο αποτελείται από 7 ερωτήσεις που για την συνέχεια της ανάλυσης θα τις µεταχειριζόµαστε ως κατηγορικές µεταβλητές ή απλά µεταβλητές p, ενώ το µέγεθος του δείγµατος είναι n = 49 εργαζόµενοι. Σκοπός της ανάλυσης είναι να οµαδοποιήσουµε κατάλληλα τις p µεταβλητές έτσι ώστε να δηµιουργήσουµε οµοιογενής οµάδες µικρότερης διάστασης µε συγκεκριµένες ιδιότητες και ταυτότητα. Με τον τρόπο αυτό η παραγοντική ανάλυση θα χρησιµοποιηθεί σαν τεχνική µείωσης (ελάττωσης) της αρχικής διάστασης των δεδοµένων του X ( n p), δηλαδή του ερωτηµατολογίου, σε µικρότερα υποσύνολα ώστε οι µεταβλητές στην κάθε οµάδα (group) να έχουν µεγάλες συσχετίσεις µεταξύ τους, ενώ παράλληλα οι µεταβλητές των διαφορετικών group να είναι σχετικά ασυσχέτιστες. Επιπλέον µε την εύρεση των παραγόντων (group) θα µπορέσουµε να ελέγξουµε και να επιβεβαιώσουµε την αρχική δοµή του ερωτηµατολογίου έτσι όπως αυτή δόθηκε σε εµάς από τον ερευνητή. Όπως θα δούµε και στο επόµενο κεφάλαιο, την µείωση της διάστασης ενός συνόλου δεδοµένων µπορούµε να την επιτύχουµε επίσης χρησιµοποιώντας την ανάλυση κατά συστάδες αλλά η προσέγγιση στο πρόβληµα είναι διαφορετική. Για να έχουµε όσο το δυνατόν αµερόληπτες εκτιµήσεις των παραµέτρων, αφαιρέθηκαν τα µη πλήρη δεδοµένα µε listwise deletion παίρνοντας τελικά δείγµα n = 43 εργαζοµένων. Χρησιµοποιώντας για την εύρεση των παραγόντων τον πίνακα συσχετίσεων R s ελέγχουµε πρώτα τον βαθµό των συσχετίσεων µεταξύ των κατηγορικών µεταβλητών στον πίνακα. Είναι πολύ σηµαντικό ο πίνακας των συσχετίσεων να έχει µεγάλες τιµές, θεωρητικά µεγαλύτερες του 0.40, αλλιώς δεν έχει νόηµα να προχωρήσει η ανάλυση αφού δεν πρόκειται να βρεθεί ένα ικανοποιητικό παραγοντικό µοντέλο για τα δεδοµένα. Άλλωστε τις συσχετίσεις αυτές θα προσπαθήσουµε να εξηγήσουµε µε τους παράγοντες. 7

30 Από τον πίνακα συσχετίσεων - δεν δίνεται λόγω του µεγέθους του - για όλα τα ζεύγη µεταβλητών, παρατηρείται µια µέτρια θετική συσχέτιση των µεταβλητών αλλά αυτό είναι κάπως αναµενόµενο αφού έχουµε κατηγορικές µεταβλητές να µετρήσουµε. Οι χαµηλές συσχετίσεις εµφανίζονται κυρίως για τις µεταβλητές { α3, α5, α8, α4, c, ε } σε σχέση µε τις υπόλοιπες (και µε αντίστοιχα µεγάλα p-values), οπότε τις εξαιρούµε από την συνέχεια της ανάλυσης αφού όπως όλα δείχνουν θα προκύψουν από µόνες τους σαν ένας ξεχωριστός παράγοντας (Θα δούµε ύστερα ότι στην ανάλυση κατά συστάδες θα προκύψουν σαν µία συστάδα µεταβλητών). Στη συνέχεια, ελέγχουµε να δούµε αν οι τιµές του στατιστικού KMO και του MSA των µεταβλητών είναι ικανοποιητικές. Συγκεκριµένα η τιµή του KMO=0.96 είναι υψηλή που σηµαίνει ότι οι συσχετίσεις είναι ικανοποιητικές, ενώ όλες οι τιµές για τα MSA των 66 µεταβλητών είναι πάνω από 0,840 οπότε µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την ανάλυση και δεν χρειάζεται να διώξουµε επιπλέον άλλες. Το πρόβληµα της επιλογής αριθµού παραγόντων είναι άµεσα συνδεδεµένο µε τη µέθοδο εκτίµησης του µοντέλου. Τους παράγοντες θα τους εκτιµήσουµε µε τη µέθοδο των κύριων συνιστωσών αφού η µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας δεν πρέπει να χρησιµοποιείται διότι τα δεδοµένα δεν είναι προέρχονται από κανονική κατανοµή (οι µεταβλητές-ερωτήσεις είναι κατηγορικές). Άρα αντί να κάνουµε ελέγχους καλής προσαρµογής για το µοντέλο που θα προσαρµόσουµε και για τον αριθµό των παραγόντων που θα κρατήσουµε, µπορούµε να ελέγξουµε το µοντέλο βάσει του ποσοστού της διακύµανσης που εξηγείται από τους παράγοντες ή από τα κατάλοιπα του εκτιµηµένου πίνακα συσχετίσεων ˆR s. Επίσης για να επιλέξουµε αριθµό παραγόντων, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διάφορα κριτήρια που χρησιµοποιούνται επίσης στην ανάλυση σε κύριες συνιστώσες (PCA) και που βασίζονται στις ιδιοτιµές του πίνακα συσχετίσεων κριτήριο του Kaiser, το scree plot ή την ποσότητα R s. Εποµένως µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει το h i p. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να προσαρµόσουµε αρκετά µοντέλα και να κρατήσουµε αυτό που θεωρούµε καλύτερο µε βάση κάποιο από τα παραπάνω κριτήρια. Παρόλα αυτά ένα µοντέλο µε πολλούς παράγοντες που ικανοποιεί τα παραπάνω κριτήρια µπορεί να χάνει ερµηνείας και ένα άλλο που δεν είναι τόσο ικανοποιητικό και έχει λιγότερους παράγοντες να έχει καλύτερη φυσική ερµηνεία. Όσον αφορά το ερωτηµατολόγιο, στην Εικόνα 3 που υπάρχει στο Παράρτηµα Β µπορούµε να δούµε τις ιδιοτιµές και το ποσοστό της διακύµανσης που κάθε ιδιοτιµή ερµηνεύει. Με βάση το κριτήριο του Kaiser, υπάρχουν 0 ιδιοτιµές µεγαλύτερες της µονάδας οπότε θα 8

31 πρέπει να επιλέξουµε µοντέλο µε 0 παράγοντες. Ωστόσο η η ιδιοτιµή είναι και η 0 η µόλις.079. Το scree plot της Εικόνα 4 ωστόσο, δείχνει ότι πρέπει να επιλέξουµε 3 ή 4 παράγοντες το πολύ. Επίσης από τον πίνακα της Εικόνας 3 βλέπουµε ότι µετά από την 4 η ιδιοτιµή λ 4 =.985, ο ρυθµός µείωσης της διακύµανσης είναι αρκετά αργός. Το γεγονός αυτό ενισχύει την υποψία µας ότι το πολύ τέσσερεις παράγοντες χρειάζεται να επιλέξουµε. Επίσης, αθροιστικά, οι 4 παράγοντες εξηγούν το 6.085% της συνολικής διακύµανσης ενώ οι 0 παράγοντες µε το κριτήριο Kaiser το 73.79%. Για την τελική λύση διάφορα παραγοντικά µοντέλα εξετάστηκαν µεταξύ τριών και έξι παραγόντων καθώς και εκείνο µε τους δέκα παράγοντες. Τελικά επιλέχθηκε το µοντέλο µε τέσσερεις παράγοντες ως το πιο κατάλληλο για λόγους φυσικής ερµηνείας των παραγόντων αλλά και βάσει των παραπάνω κριτηρίων. Από όλα αυτά τα διαφορετικά µοντέλα παρατηρήθηκε, ότι οι µεταβλητές είχαν την «τάση» να δηµιουργήσουν 4 group µεταβλητών. Επίσης, τις παραµέτρους του παραγοντικού µοντέλου τις εκτιµήσαµε µε την µέθοδο των κύριων συνιστωσών όπως προαναφέραµε, ενώ για να δούµε καλύτερα την υποκείµενη δοµή των παραγόντων χρησιµοποιήσαµε την ορθογώνια περιστροφή varimax των αξόνων. Στην Εικόνα του Παραρτήµατος Β υπάρχει ο πίνακας L ˆ *, δηλαδή τα φορτία µετά την ορθογώνια περιστροφή, όπου µε έντονο χρώµα είναι τα φορτία µεγαλύτερα από 0.45 και που θα µας χρησιµεύσουν για την αναγνώριση των παραγόντων. Επίσης στην Εικόνα δίνεται ο πίνακας µε τις εταιρικότητες των µεταβλητών για το παραγοντικό µοντέλο. Από αυτόν τον πίνακα µπορούµε να δούµε τις συνολικές διακυµάνσεις για τις µεταβλητές που εξηγούν οι παράγοντες για το µοντέλο που εκτιµήσαµε. Η συνολική εικόνα δείχνει να εξηγείται ένα καλό ποσοστό για τις µεταβλητές εκτός από τις α0, α5 και ε7 που το µοντέλο µε τέσσερεις παράγοντες ερµηνεύει το 39.5%, 39.3% και 39.8% της διακύµανσης τους. Αυτό ίσως να σηµαίνει ότι περισσότεροι παράγοντες χρειάζονται για να αυξηθούν τα ποσοστά αυτά αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο ότι θα συµβεί. Πράγµατι αν προσθέσουµε κι άλλον παράγοντα τότε παίρνουµε το 44% για την α0, το 44.7% για την α5 και το 44.5% για την ε7, δηλαδή καµία ουσιαστική διαφορά και το µοντέλο µε πέντε παράγοντες δεν έχει καλή ερµηνεία. Οπότε δεν υπάρχει λόγος να µην δεχτούµε το µοντέλο µε τέσσερεις παράγοντες. Επίσης ένας ακόµη λόγος για να αποδεχτούµε το συγκεκριµένο παραγοντικό µοντέλο είναι ότι στον εκτιµηµένο πίνακα καταλοίπων Ê οι διαφορές είναι αρκετά µικρές. Αν και τα φορτία της Εικόνας δεν φαίνεται να ικανοποιούν πλήρως το simple structure ωστόσο φαίνεται ότι έχουν ένα ερµηνεύσιµο µοτίβο (pattern). Από τα φορτία του πίνακα * ˆL 9

32 παρατηρούµε ότι στη διαµόρφωση του ου παράγοντα συνεισφέρουν περισσότερο οι µεταβλητές {α4, α6, α9, α0, α3, α5, c, c, c3, c4, c5, c9, c0, c, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9, c0, c, c}, στον ο παράγοντα οι µεταβλητές {β, β, β3, β4, β5, β6, β7, β8, β9, β0, c6, c7, c8, ε8}, στον 3 ο παράγοντα οι {α, α, α7, α, α, ε, ε3, ε4, ε5, ε6, ε7, ε9, ε0, ε, ε, ε3} και στον 4 ο παράγοντα οι {d, d, d3, d4, d5, d6, d7, d8, d9, d0, d, d}. Αυτό σηµαίνει ότι 66 µεταβλητές µπορούν να µελετηθούν ανά κατηγορίες όπου κάθε κατηγορία αντιστοιχεί σε ένα παράγοντα. Παραπέρα το ερωτηµατολόγιο της έρευνας µπορεί να δοµηθεί µε 4 ενότητες και η κάθε ενότητα να περιέχει συγκεκριµένες ερωτήσεις. Έτσι δηµιουργείται οµοιογένεια και δίνεται η δυνατότητα στον ερευνητή να βγάλει ευκολότερα τα συµπεράσµατα του. Επίσης αφού οι ερωτήσεις-µεταβλητές µέσα σε κάθε κατηγορία είναι αµοιβαίως συσχετισµένες, είναι δυνατόν σε νέα έρευνα κάποιες να παραληφθούν και το νέο ερωτηµατολόγιο να είναι πιο περιεκτικό και ενδεχόµενα να αποτυπώσει καλύτερα το σκοπό για τον οποίο κατασκευάστηκε. Ακόµα µπορούµε να δώσουµε και µια ερµηνεία ή µια «επικεφαλίδα» για κάθε παράγοντα ή ενότητα του ερωτηµατολογίου, ώστε να γνωρίζουµε τι αντιπροσωπεύει κάθε group µεταβλητών. Σε αυτό ίσως να µας βοηθήσει το παρακάτω γράφηµα που δείχνει τις µεταβλητές µε τα υψηλότερα φορτία σε κάθε παράγοντα. Γράφηµα : Οι µεταβλητές µε τα µεγαλύτερα φορτία για κάθε παράγοντα για το µοντέλο. Factor c c c7 c5 c4 c Factor b8 b4 b6 b b9 b3 Factor a a7 a e4 e3 e0 Factor d7 d3 d5 d d8 d4 0

33 Θα µπορούσαµε λοιπόν να ονοµάσουµε τον ο παράγοντα ως «Συνάντηση αξιολόγησης και ικανότητα των αξιολογητών-προϊσταµένων», τον ο παράγοντα ή ενότητα «Γενική εικόνα των προϊσταµένων», την 3 η ενότητα (κατηγορία) «Στήριξη από την επιχείρηση και ποιότητα των κριτηρίων αξιολόγησης» και τον 4 ο παράγοντα ως «Χρησιµότητα και αξιοπιστία του συστήµατος αξιολόγησης». Γράφηµα : Γραφική απεικόνιση των rotated loadings για m=. F d3 d8 d9 d5 d d0d7 d4 d d6 d d e4 e e3 e a e0 e a e9 e5 a7 a e3 e6 a e7 a0 a5 c6 c7 c8 a6 b a4 a9 c3 c0 c4 c5 b0 c3 c e8 c4 b9 c9 cc5 c b7 b8 c b6 b4 b5 c0 b c9 a3 c7 c6 c8 b F Επιπλέον, µε γνώµονα τις 4 ενότητες µπορεί ο ερευνητής να δηµιουργήσει νέες ερωτήσεις και να ελέγξει το πού θα τις τοποθετήσει. Ένα άλλο πλεονέκτηµα που του δίνεται είναι ότι µπορεί να θεωρήσει τους παράγοντες ως συνεχείς «καινούργιες» µεταβλητές και να εκτιµά σκορ για τους νυν και µελλοντικούς ερωτηθέντες στις µεταβλητές αυτές. Αυτό ίσως τον βοηθήσει να δει πως οµαδοποιούνται οι ερωτώµενοι και µαζί µε κάποια άλλα χαρακτηριστικά όπως για παράδειγµα το φύλο, η ηλικία, το µορφωτικό επίπεδο, να δει αν οι παράγοντες έχουν διακριτική ικανότητα µέσα στις διάφορες υποοµάδες. Οι τιµές των σκορ των ερωτηθέντων επίσης µπορούν να αποτελέσουν κριτήριο για να ξεχωρίσουν κάποιοι εργαζόµενοι από το σύστηµα αξιολόγησης, υπό την έννοια ότι µεγαλύτερα σκορ σε κάποιους ή σε όλους τους παράγοντες µπορεί να σηµαίνει την αποτελεσµατικότερη αξιολόγηση τους. Στην Εικόνα 5 του Παραρτήµατος µπορεί κανείς να δει τις εκτιµήσεις του πίνακα των συντελεστών των σκορ. Από τον πίνακα αυτόν µπορούµε να βρούµε τα σκορ και για τους 43 εργαζόµενους. Όταν m > είναι δύσκολο σε ένα γράφηµα να δούµε την απεικόνιση τους και να βγάλουµε συµπεράσµατα. Μια λύση είναι να απεικονίσουµε ανά δύο τους παράγοντες.

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρούµε να εξάγουµε τις συνιστώσες της µαθητικής επίδοσης, χρησιµοποιώντας παραγοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1.1 Εισαγωγή. Τι είναι Στατιστική 1.2 Μεθοδολογία Ερευνας 1.3 Τι είναι το SPSS 1.4 οµή του προγράµµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ο 12.1 Λογιστική Παλινδρόµηση 12.2 Η εξίσωση της Λογιστικής Παλινδρόµησης. 12.3 Βήµατα δηµιουργίας του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τα δηµογραφικά δεδοµένα τα οποία προέρχονται από τις απογραφές πληθυσµού, τις καταγραφές της φυσικής και µεταναστευτικής κίνησης του πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή

Μεταπτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Μεταπτυχιακή διατριβή «100% Α.Π.Ε.» : ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΣΥΜΒΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γονεϊκές αντιλήψεις για τη δομή της παιδικής προσωπικότητας σε Ελλάδα και Κύπρο

Γονεϊκές αντιλήψεις για τη δομή της παιδικής προσωπικότητας σε Ελλάδα και Κύπρο Γονεϊκές αντιλήψεις για τη δομή της παιδικής προσωπικότητας σε Ελλάδα και Κύπρο Βασίλης Παυλόπουλος Τομέας Ψυχολογίας, Πανεπιστήμιο Αθηνών Ανακοίνωση στο 7 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ψυχολογικής Έρευνας, Λευκωσία,

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ. Προώθηση και συµπεριφορά καταναλωτή. Μελέτη περίπτωσης: Toyota Auris. Εισηγητής: Φιλιώ Πλέστη. Επιβλέπων Καθηγητής: Μαρία Αντωνάκη

ΘΕΜΑ. Προώθηση και συµπεριφορά καταναλωτή. Μελέτη περίπτωσης: Toyota Auris. Εισηγητής: Φιλιώ Πλέστη. Επιβλέπων Καθηγητής: Μαρία Αντωνάκη ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΜΠΟΡΙΑΣ & ΙΑΦΗΜΙΣΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ Προώθηση και συµπεριφορά καταναλωτή. Μελέτη περίπτωσης: Toyota Auris Εισηγητής: Φιλιώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙ ΡΟΥΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙ ΡΟΥΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΙ ΡΟΥΝ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την ολοένα και ταχύτερη ανάπτυξη των τεχνολογιών και των επικοινωνιών και ιδίως τη ραγδαία, τα τελευταία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Εγχειρίδιο Χρήσης My Plan 2

Εισαγωγή. Εγχειρίδιο Χρήσης My Plan 2 Εγχειρίδιο Χρήσης Εισαγωγή Το δηµιουργήθηκε µε στόχο να αποτελέσει υποστηρικτικό εργαλείο για τον επαγγελµατία Ασφαλιστικό ιαµεσολαβητή, ο οποίος χρειάζεται να διευκρινίζει και να αναλύει τις ασφαλιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

«Καθοριστικοί παράγοντες της αποτελεσματικότητας της από στόμα-σε-στόμα επικοινωνίας στις ιστοσελίδες κοινωνικής δικτύωσης»

«Καθοριστικοί παράγοντες της αποτελεσματικότητας της από στόμα-σε-στόμα επικοινωνίας στις ιστοσελίδες κοινωνικής δικτύωσης» «Καθοριστικοί παράγοντες της αποτελεσματικότητας της από στόμα-σε-στόμα επικοινωνίας στις ιστοσελίδες κοινωνικής δικτύωσης» Ονοματεπώνυμο: Ταχταρά Κατερίνα Σειρά: 8 η Επιβλέπων Καθηγητής: Βρεχόπουλος Αδάμ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση

Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Κεϕάλαιο 5 Συσχέτιση και Παλινδρόµηση Στο προηγούµενο κεϕάλαιο µελετήσαµε τη διάδοση του σϕάλµατος από µια τυχαία µεταβλητή X σε µια τ.µ. Y που δίνεται ως συνάρτηση της X. Σε αυτό το κεϕάλαιο ϑα διερευνήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοπιστία Εγκυρότητα της Μέτρησης. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2012-2013

Αξιοπιστία Εγκυρότητα της Μέτρησης. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2012-2013 Αξιοπιστία Εγκυρότητα της Μέτρησης Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2012-2013 Η παρουσίαση βασίζεται σε υλικό από - Cohen, L., Manion, L. & Keith, M.

Διαβάστε περισσότερα

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου.

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου. Το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Solow σχεδιάστηκε προκειµένου να δείξει πως η µεγέθυνση του κεφαλαίου, του εργατικού δυναµικού αλλά και οι µεταβολές στην τεχνολογία αλληλεπιδρούν σε µια οικονοµία,

Διαβάστε περισσότερα

Εταιρικοί δικτυακοί τόποι: Λειτουργία και Χρησιµότητα

Εταιρικοί δικτυακοί τόποι: Λειτουργία και Χρησιµότητα Εταιρικοί δικτυακοί τόποι: Λειτουργία και Χρησιµότητα Στέλεχος του Εργαστηρίου Πολυµέσων Επικοινωνίας του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών Οκτώβριος 2007 1. Σκοπός της έρευνας Ποιοι είναι οι σηµαντικότεροι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή εργασία ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΚΗΣ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΣΤΗ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ Έλλη Φωτίου 2010364426 Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΤΛΑΝΤΑΣ ΤΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΝΕΟ ΣΧ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΛΛΙΚΡΑΤΗΣ

ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΟΣ ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΤΛΑΝΤΑΣ ΤΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΝΕΟ ΣΧ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΛΛΙΚΡΑΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Υπεύθυνη Δήλωση Η παρακάτω υπογράφουσα δηλώνω ότι είμαι συγγραφέα τη παρούσα πτυχιακή εργασία. Κάθε τη, είναι πλήρω αναγνωρισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Οργανωσιακή Δέσμευση και η επίδρασή της στην εργασιακή ικανοποίηση των υπαλλήλων της Ανώτατης Τεχνολογικής Εκπαίδευσης. Ανδρουλακάκη Αικατερίνη

Οργανωσιακή Δέσμευση και η επίδρασή της στην εργασιακή ικανοποίηση των υπαλλήλων της Ανώτατης Τεχνολογικής Εκπαίδευσης. Ανδρουλακάκη Αικατερίνη Π.Μ.Σ. ΔΙΕΘΝΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Οργανωσιακή Δέσμευση και η επίδρασή της στην εργασιακή ικανοποίηση των υπαλλήλων της Ανώτατης Τεχνολογικής Εκπαίδευσης Ανδρουλακάκη Αικατερίνη

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Εβελίνα Θεμιστοκλέους

Διαβάστε περισσότερα