ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Μια θεώρηση της «παλιάς» γεωμετρίας (Ευκλείδεια Γεωμετρία) σε σχέση με άλλες «νέες» γεωμετρίες (Μη ευκλείδειες) που προέκυψαν με την αίρεση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη. Μια ιστορική αναδρομή-καταγραφή. Εφαρμογές και ρεαλιστικά αποτελέσματα στην καθημερινή ζωή. Ευγένιος Αυγερινός, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Ζουρούδη Τσαμπίκα, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης,

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα πτυχιακή εργασία με θέμα «Μια θεώρηση της «παλιάς» γεωμετρίας (Ευκλείδεια Γεωμετρία) σε σχέση με άλλες «νέες» γεωμετρίες (Μη ευκλείδειες) που προέκυψαν με την αίρεση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη. Μια ιστορική αναδρομήκαταγραφή. Εφαρμογές και ρεαλιστικά αποτελέσματα στην καθημερινή ζωή», έχει σκοπό να περιγράψει, τόσο την Ευκλείδεια Γεωμετρία, η οποία στηρίζεται στις θεωρίες και τα αξιώματα του μαθηματικού Ευκλείδη, όσο και τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, οι οποίες προκύπτουν από την αίρεση του 5 ου αξιώματος του Ευκλείδη. Ειδικότερα, γίνεται μια ιστορική αναδρομή για την εμφάνιση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας ως επιστήμης, περιγράφονται οι διάφορες θεωρίες, πάνω στις οποίες στηρίχθηκαν η Ευκλείδεια και οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, καθώς γίνεται αναφορά στους υποστηρικτές της κάθε μιας Γεωμετρίας από αυτές. Επιπλέον, γίνεται μια ρεαλιστική εφαρμογή της επιστήμης αυτής στην καθημερινότητα. Η πτυχιακή εργασία έχει κυρίως θεωρητικό υπόβαθρο, βασισμένη σε διάφορες πηγές. Πιο αναλυτικά, η ερευνητική διαδικασία του θέματος διεξάχθηκε σε διάφορες διπλωματικές εργασίες, άρθρα και ιστοσελίδες (επισκόπηση βιβλιογραφίας), στα οποία βασίστηκε η εργασία. Στη συνέχεια, μαζεύτηκαν τα στοιχεία εκείνα που ήταν χρήσιμα για την πραγματοποίηση της πτυχιακής, μελετήθηκαν και στη συνέχεια σχεδιάστηκε η ακόλουθη εργασία. Η εργασία στηρίχθηκε κατά κύριο λόγο στη διδακτορική διατριβή της Μαρίας Καίσαρης, αλλά και σε άλλες παραπομπές από το Διαδίκτυο, όπως φαίνεται στη Βιβλιογραφία στο τέλος της εργασίας. Τέλος, μετά την θεωρητική περιγραφή του θέματος πραγματοποιείται η ρεαλιστική εφαρμογή των Γεωμετριών σε αντικείμενα καθημερινής χρήσης. Για παράδειγμα, αναφέρονται αντικείμενα, των οποίων το σχήμα παραπέμπουν στα διάφορα είδη Γεωμετρίας, είτε στην Ευκλείδεια, είτε στις μη Ευκλείδειες. Με αυτόν τον τρόπο, γίνεται βαθύτερη κατανόηση του θέματος, υπάρχει συνδυασμός θεωρίας, εμπειρίας και πράξης, καθώς και εφαρμογή στην πραγματικότητα. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Ευκλείδεια Γεωμετρία, Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, αξιώματα, ρεαλιστική εφαρμογή. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ: Μαρία Δ. Καίσαρη, «ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ» Διδακτορική Εργασία, Πάτρα [2]

3 SUMMARY This diploma thesis entitled "A View of" Old "Geometry (Euclidean Geometry) in relation to other" new "geometries (Non-Euclidean) that emerged with the heresy of Euclid's fifth request. A historical flashback. Applications and Realistic Results in Everyday Life "aims to describe both Euclidean Geometry, which is based on the theories and axioms of mathematical Euclid, as well as non-euclidean Geometries, which arise from the heresy of the fifth Eukleid posture. In particular, there is a historical retrospection for the emergence and development of Geometry as a science, the various theories on which Euclidean and Non-Euclidean Geometries were based, as well as the supporters of each Geometry. In addition, it is a realistic application of this science in everyday life. The dissertation has mainly a theoretical background, based on various sources. More specifically, the research process of the topic was conducted in various diplomatic papers, articles and web pages (bibliography review) on which the work was based. Then the data were collected that were useful for the graduation, were studied and then the following work was planned. The work was mainly based on the doctoral thesis of Maria Caesaris, but also on other references from the Internet, as shown in the Bibliography at the end of the paper. Finally, after the theoretical description of the subject, the realistic application of the Geometry is made to objects of everyday use. For example, objects are referenced, the shape of which refers to different types of geometry, either in Euclidean or non-euclidian. In this way, there is a deeper understanding of the subject, there is a combination of theory, experience and practice, as well as implementation in reality. KEY WORDS: Euclidean Geometry, Non-Euclidean Geometry, axioms, realistic application. BIBLIOGRAPHIC SOURCES: Maria D. Caesaris, "DIMENSIONAL DIMENSIONS OF NON-EFFECTIVE GEOMETRY MODELS IN THE FRAMEWORK OF UNIVERSITY EDUCATION" Doctoral Work, Patra [3]

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΙΝ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ 7 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 10 Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΕΙΔΗ ΤΟΥΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΤΩΝ SACCHERI-LAMBERT NEWTON-GAUSS: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ Η ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ BOLYAI ΚΑΙ LOBACHEVSKI Η ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ RIEMANN ΚΑΙ BELTRAM ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ CAYLEY-KLEIN-POINCARE- HILBERT...40 A. Η μετρική του Cayley...40 B. Χρήση μετρικής από τον Klein.43 C. Μοντέλο Poincare.44 D. Hilbert...46 ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΥΝΟΨΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ...53 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ (ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ-ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ- ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ) ΕΙΚΟΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ.60 ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ.61 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.66 [4]

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα Μαθηματικά ως θεωρητική επιστήμη αναπτύχθηκαν στην αρχαία Ελλάδα. Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν τον όρο της επιστήμης και άρχισαν να προσδιορίζουν έννοιες και ορολογίες, άσκησαν τον κριτικό λόγο, εισήγαγαν την αποδεικτική διαδικασία και προχώρησαν στην παραγωγική μέθοδο. Τα Μαθηματικά είχαν απήχηση σε σημαντικούς πολιτισμούς, όπως την περιοχή της Μεσοποταμίας, όπου η εξέλιξη των Μαθηματικών ήταν σημαντική και σε υψηλό επίπεδο. Το ίδιο ισχύει και με την αρχαία Αίγυπτο, παρ όλο που δεν είχαν περάσει το προεπιστημονικό στάδιο. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός πως τα Μαθηματικά βασίζονταν στα εργαλεία της «παρατήρησης» και της «εμπειρίας», «ήταν ένα άθροισμα εμπειρικών συμπερασμάτων, στοιχειώδεις κανόνες και τεχνικές, που έδιναν απαντήσεις στα προβλήματα, τα οποία έθεταν οι συγκεκριμένες καταστάσεις και ανάγκες». ( Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ) Η επιστήμη των Μαθηματικών αρχίζει να αποκτά μια αφηρημένη έννοια, να στηρίζεται σε αφηρημένους κανόνες. Πιο συγκεκριμένα, ενδιαφέρεται να βρει τον αφηρημένο κανόνα που θα υπολογίζει, όχι την έκταση ενός χωραφιού, αλλά όλα τα χωράφια. Να μπορεί να κατασκευάσει όχι ένα συγκεκριμένο ογκώδες οικοδόμημα, αλλά πολλά, και ακόμη να επεκταθεί παραπέρα σε όλα τα νοητά αντίστοιχα προβλήματα, καθώς και σε όλες τις νοητές επιφάνειες και τα νοητά στερεά. (Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος, Η αρχαία Ελλάδα κοιτίδα της μαθηματικής σκέψης, Πρακτικά 7 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε, Αθήνα 2000) [5]

6 Στα έργα των αρχαίων Ελλήνων θα βρούμε και όλες σχεδόν τις μεθόδους απόδειξης που χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα. Ειδικότερα, κάποιες από αυτές τις μεθόδους απόδειξης είναι η «μέθοδος της συνεπαγωγής», «η συνθετική μέθοδος», «η αναλυτική μέθοδος», «η μέθοδος της εις άτοπον Απαγωγής», και «η μέθοδος της τέλειας επαγωγής». Η αξιωματική θεμελίωση είναι ένας άλλος τομέας που ξεκίνησε από την αρχαία Ελλάδα. Για παράδειγμα, οι Πυθαγόρειοι εισήγαγαν θεωρήματα πιο βελτιωμένα από αυτά του Θαλή και υποστήριξαν ότι η αποδεικτική διαδικασία δεν είναι απλά ένας παραγωγικός συλλογισμός, αλλά πρέπει να έχει κάποια δεδομένα (υποθέσεις) και κάποιους αρχικούς συλλογισμούς. Αναλυτικότερα, θέσπισαν ένα σύνολο αποδεικτικών κανόνων, που μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στην αποδεικτική διαδικασία και εισήγαγαν ορισμούς για ορισμένα μαθηματικά αντικείμενα. Επιπλέον, ο Αριστοτέλης δίνει όλα τα στοιχεία μιας αξιωματικής θεμελίωσης. Αναφέρεται στις αρχικές έννοιες, τις θέσεις όπως ονομάζει, στους ορισμούς, τα αξιώματα, στην αποδεικτική διαδικασία και στην απόδειξη. ( Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ) Στην αξιωματική θεμελίωση ανήκουν και τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, τα οποία περιέχουν αρχικές έννοιες ή αρχικούς όρους των γεωμετρικών αντικειμένων, όπως το σημείο, η γραμμή, κ.τ.λ. Δημιούργησε έτσι μια μαθηματική θεωρία, μέσα στην οποία κάθε πρόταση μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια των ορισμών, των αιτημάτων, των κοινών εννοιών και των προτάσεων που έχουν προηγουμένως αποδειχθεί. (Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ) Το βιβλίο του Ευκλείδη «Τα Στοιχεία» είναι πολύ διαδεδομένο σε πολλές χώρες του κόσμου και για πολλούς αιώνες αποτελούσε εγχειρίδιο διδασκαλίας, απασχολώντας πολλούς εκδότες. Επιπροσθέτως, έχει μεταφραστεί σε πολλές γλώσσες και έχει κάνει πάνω από 2000 εκδόσεις. (Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος, Η αρχαία Ελλάδα κοιτίδα της μαθηματικής σκέψης, Πρακτικά 7ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε, Αθήνα 2000) [6]

7 Τέλος, υπήρξαν οι μαθηματικοί και φιλόσοφοι μετά τον Ευκλείδη, οι οποίοι μελετώντας τα 5 αξιώματα του, προβληματίστηκαν στο 5 ο και τελευταίο, το οποίο και αμφισβήτησαν δημιουργώντας τις δικές τους γεωμετρίες, τις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΙΝ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Η Γεωμετρία πριν από τον Ευκλείδη ξεκίνησε από τη Μεσοποταμία και τους αρχαίους λαούς. Ειδικότερα, οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι και οι Έλληνες ήταν οι λαοί που ξεκίνησαν να χρησιμοποιούν την γεωμετρία για τις καθημερινές τους ανάγκες και ανέπτυξαν πολιτισμούς. Οι Αιγύπτιοι είχαν ανακαλύψει γεωμετρικές τεχνικές για να τις εφαρμόζουν στην καθημερινότητά τους. Πιο συγκεκριμένα, ο ποταμός Νείλος, του οποίου τα νερά διέρρεαν στα χωράφια των κατοίκων των γύρω περιοχών, τα κατέστρεφε, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται αντιπαραθέσεις ως προς τις εκτάσεις που είχε ο κάθε ένας. Γι' αυτό τον λόγο, βρήκαν μια μέθοδο, που θα χρησιμοποιούσαν για να μετρούν τις εκτάσεις τους. Η μέθοδος αυτή, όμως, δεν ακολουθούσε κάποιον κανόνα, ο οποίος θα ήταν κοινός και θα εφαρμοζόταν για τη μέτρηση της έκτασης όλων των χωραφιών. Δεν υπήρχε καμία γενίκευση ή απόδειξη για τα αποτελέσματα που ανακάλυπταν. Ωστόσο, χρησιμοποιούσαν τα μαθηματικά για να φτάνουν σε αποτελέσματα, που ήταν χρήσιμα για τις πρακτικές ανάγκες που αντιμετώπιζαν. ( Σπυλιοπούλου, Αθήνα 2010: 12) Από την άλλη πλευρά, οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει έναν αξιοσημείωτο πολιτισμό. Ως προς τις μαθηματικές και γεωμετρικές τους ανακαλύψεις, αυτές ήταν περιορισμένες και τις χρησιμοποιούσαν για τις πρακτικές τους ανάγκες. Γίνεται λόγος ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν επίγνωση ορισμένων θεωρημάτων, γεγονός που προκύπτει από τον τρόπο, με τον οποίο έκαναν υπολογισμούς. [7]

8 Η μέθοδος της αξιωματικοποίησης προκύπτει κατά τον 10 ο π.χ. αιώνα (αντικατάσταση χαλκού από το σίδηρο), όπου υπάρχει η ανάπτυξη του εμπορίου. Γίνεται επιτακτική η ανάγκη για την δημιουργία γεωργικών εργαλείων, με σκοπό την ανάπτυξη της γεωργίας και του εμπορίου. Με αυτό τον τρόπο, δημιουργούνται οι "πλούσιες" τάξεις, οι οποίες προωθούν την τέχνη και την επιστήμη. Έτσι, τα επιστημονικά ερωτήματα μετατοπίζονται από το "πώς" στο "γιατί", δίνοντας έμφαση στην αιτιολόγηση της επιστήμης. Πρωτοπόρο γεγονός για την ανάπτυξη της επιστήμης αποτελεί η ίδρυση της Ελεατικής Σχολής και της Σχολής των Πυθαγορείων στην Ιταλία. Οι επιστήμονες και φιλόσοφοι αυτών των σχολών διώχθηκαν από μοναρχικά πολιτικά καθεστώτα και αναζήτησαν κατάλληλες συνθήκες για την θεωρητικοποίηση της επιστήμης. (Σπυλιοπούλου, Αθήνα 2010: 12, 13) Για να επιτευχθεί η αξιωματικοποίηση της γεωμετρίας συνέβαλαν πολλοί Έλληνες φιλόσοφοι και μαθηματικοί. Ο Θαλής (περίπου 600 π.χ.), προσωκρατικός φιλόσοφος και εκτός των άλλων και μαθηματικός, ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, ίδρυσε την "Ιωνική Σχολή" στη Μίλητο, η ποία αποτελούσε την πρώτη φιλοσοφική σχολή στην Αρχαία Ελλάδα. Η θεωρητικοποίηση της Γεωμετρίας ξεκινάει από τον Θαλή, ο οποίος θέτει ερωτήματα για τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και χρησιμοποιεί συλλογιστικές μεθόδους, οι οποίες βασίζονται σε "αφηρημένα σχήματα". (Σπυλιοπούλου, Αθήνα 2010: 13) Ο Πυθαγόρας (περίπου π.χ.) ίδρυσε την σχολή των Πυθαγορείων, αρχικά στη Σάμο και ύστερα στη Νότιο Ιταλία. Ήταν ένας από τους σημαντικότερους Έλληνες, που συνεισέφεραν στην επιστήμη της Γεωμετρίας. Η Γεωμετρία αρχίζει από τότε να παίρνει τη μορφή που γνωρίζουμε σήμερα, αφού οι Πυθαγόρειοι αναπτύσσουν ένα σύστημα θεωρημάτων. Κάθε θεώρημα έχει απόδειξη, η οποία προκύπτει από άλλα αποδεδειγμένα θεωρήματα. [8]

9 Ένα σημαντικό πρόσωπο από τους Πυθαγόρειους είναι ο Ίππασος (5 ος π.χ αι.), ο οποίος ανακάλυψε τα ασύμμετρα μεγέθη, ανακάλυψη που επηρέασε σημαντικά την εξέλιξη της γεωμετρίας. Λόγω της παρουσίας των ασύμμετρων μεγεθών, ζητήθηκαν απαντήσεις, που θα είχαν θεωρητική βάση, που είχε ως επακόλουθο την κατασκευή σχημάτων μόνο με κανόνα και διαβήτη. Ο Ιπποκράτης ο Χίος γνώριζε πολλά θεωρήματα και προσπαθούσε να δίνει αποδείξεις. Μάλιστα φέρεται να είναι ο πρώτος συγγραφέας βιβλίου Γεωμετρίας, από το οποίο ο Ευκλείδης συμπεριέλαβε μεγάλο μέρος της ύλης του στα 4 πρώτα βιβλία των «Στοιχείων». Επιπλέον, ο Ιπποκράτης έκανε προσπάθειες, ώστε να προσεγγίσει το εμβαδόν του κύκλου με εμβαδά κανονικών πολυγώνων εγγεγραμμένων σε αυτόν. (Σπυλιοπούλου, Αθήνα 2010: 13,14) [9]

10 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια και η ακμή του τοποθετείται γύρω στο 300 π.χ. Η δημιουργία του μεγάλου έργου του ονομάζεται «Στοιχεία», το οποίο περιλαμβάνει μαθηματικές γνώσεις, αλλά και την οργάνωση της γεωμετρίας βασισμένη στην λογική και στην ενότητα, που ανέπτυξαν και οι προηγούμενοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι. Ο Ευκλείδης θεωρείται δημιουργός της δισδιάστατης γεωμετρίας, καθώς πρότεινε δικές του αποδείξεις, αλλά και απλοποίησε προγενέστερες. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη είναι από τα μεγαλύτερα έργα μετά την Αγία Γραφή και το δεύτερο έργο που εκδόθηκε παγκοσμίως. Η δημιουργία αυτού του έργου θεωρήθηκε αφετηρία για την πνευματική καλλιέργεια, [10]

11 αλλά και την εξέλιξη της επιστήμης. Σύμφωνα με τον Immanuel Kant ( ): «η Ευκλειδεια Γεωμετρία είναι η μόνη γεωμετρία την οποίαν μπορεί να αντιληφθεί ο άνθρώπινος νούς, εξαιτίας της δομής του εγκεφάλου του. Αποτέλεσμα αυτού είναι ότι η γνώση του χώρου δεν είναι εμπειρική, αλλά υπάρχει a priori». (Βασιλείου, «Γεωμετρία για τη διδακτική», Αθήνα 2012) Η γεωμετρία αναφέρεται στην έννοια του χώρου, συστατικά του οποίου είναι τα σημεία, οι ευθείες και τα επίπεδα. Πρόκειται για έννοιες που, ενώ τις αντιλαμβανόμαστε στην καθημερινή μας εμπειρία, δεν μπορούμε να τις ορίσου- με με ακρίβεια. Επομένως δημιουργείται το εύλογο ερώτημα: πώς είναι δυνατόν να οικοδομηθεί αυστηρά η γεωμετρία, όταν τα ίδια τα δομικά στοιχεία της παραμένουν άγνωστα; Ο Ευκλείδης έπαιξε καταλυτικό ρόλο σε αυτό το σημείο, τονίζοντας ότι δεν έχει σημασία η ουσία των αντικειμένων, αλλά οι μεταξύ τους σχέσεις. Άρα, σύμφωνα με τον Ευκλείδη υπάρχει αδιαφορία για την ύπαρξη των σημείων και των ευθειών και επικεντρωνόμαστε σε ένα σύστημα σχέσεων, που είναι τα αξιώματα, όπου αποδεχόμαστε την αλήθεια που υπάρχει εκ των προτέρων και μέσω των αποδείξεων παρατηρούμε αν ισχύει ή όχι μια γεωμετρική σχέση. Αυτή η διαδικασία είναι η αξιωματική θεμελίωση που εφαρμόζει ο Ευκλείδης. Το περιεχόμενό των Στοιχείων κατανέμεται σε: 13 ϐιβλία (κάτι σαν 13 κεφάλαια) και αποτελείται από: 23 όρους, 5 αιτήματα 7 (ή 9) κοινές έννοιες, και μέσω αυτών αποδεικνύονται 465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σημερινά θεωρήματα, προτάσεις, λήμματα και πορίσματα). [11]

12 Οι όροι αποτελούν ουσιαστικά τους ορισμούς εννοιών όπως σημείο, ευθεία γραμμή, γωνία, ορθή γωνία, κύκλος κλπ. Μερικοί απ αυτούς (όπως ο κύκλος, οι παράλληλες ευθείες κλπ.) είναι ακριβείς, ενώ άλλοι (όπως το σημείο, η ευθεία κλπ.) είναι ασαφείς και χωρίς ιδιαίτερη αξία. Οπως αναφέρθηκε και πιο πάνω, τα αιτήματα (ή αξιώματα) αναφέρονται σε γεωμετρικές προτάσεις ή ιδιότητες, που συνδέουν απροσδιόριστους όρους και των οποίων η αλήθεια γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη. Συνήθως απορρέουν από την απλή παρατήρηση (μέσα στα στενά όρια της ανθρώπινης κλίμακας) ή από τη μελέτη ενός συγκεκριμένου παραδείγματος. Ετσι, η πρακτική διαπίστωση ότι, ανάμεσα σε δύο σημεία ενός κοινού επιπέδου, ή ενός ϕύλλου χαρτιού, χαράσσεται μία μόνον ευθεία, οδηγεί στη διατύπωση του πρώτου αξιώματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (που ϑα αναφέρουμε, μαζί με τα άλλα, πιο κάτω). Οι κοινές έννοιες είναι προτάσεις των οποίων δεχόμαστε την αλήθεια (όπως και των αξιωμάτων), δεν αναφέρονται σε γεωμετρικές ιδιότητες ή σχέσεις, αλλά είναι κυρίως προτάσεις της Λογικής (για παράδειγμα: «Τὰ τ ω αὐτ ωι ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστίν ἴσα», «Καὶ τὸ ὅλον το υ μέρους με ιϲὸν [ἐστιν]» κλπ.). Σήμερα, χρησιμοποιούμε κυρίως τον (μεταγενέστερο) αριστοτελικό όρο αξίωμα για τα αιτήματα και τις κοινές έννοιες. Οι προτάσεις (όπως και τα ϑεωρήματα κλπ.) είναι πλέον αποφάνσεις των οποίων η αλήθεια συνάγεται, με λογική διαδικασία, από τα αιτήματα και τις κοινές έννοιες, καθώς και από άλλα ήδη αποδειχθέντα ϑεωρήματα. (Βασιλείου, «Γεωμετρία για τη διδακτική», Αθήνα 2012). ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Σύμφωνα με όσα προαναφέρθηκαν και αποτελούν το έργο του Ευκλείδη Στοιχεία, θα αναφερθούν τα 5 αξιώματα-αιτήματα του Ευκλείδη, καθώς θα γίνει αναφορά στο 5 ο αίτημα, από το οποίο προκύπτουν οι μη- Ευκλείδειες Γεωμετρίες. [12]

13 Αξίωμα 1: Από ένα σημείο άγεται σε ένα άλλο μια ευθεία γραμμή. Α Β Αξίωμα 2: Κάθε πεπερασμένη ευθεία μπορεί να εκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως. Α Β Αξίωμα 3: Μπορούμε να γράψουμε κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και οποιαδήποτε ακτίνα. [13]

14 ( Αξίωμα 4: Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες. ( ) [14]

15 ( Αξίωμα 5: Αν μία ευθεία, που τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες, προεκτεινόμενες επ άπειρον ϑα τμηθούν (συμπέσουν) και μάλιστα προς το μέρος όπου βρίσκονται οι γωνίες με το μικρότερο των δύο ορθών άθροισμα. ( [15]

16 Τα πρώτα 4 αξιώματα φαίνεται να είναι πιο απλά και να αγγίζουν την εμπειρία του ανθρώπου. Το 5 ο αίτημα, που διαφορετικά ονομάζεται και αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι τόσο απλό όσο τα άλλα. Σε αυτό ευθύνεται ο Ευκλείδης, ο οποίος μέχρι την 28 η πρότασή του δεν είχε κάνει αναφορά σε αυτό το αξίωμα. Λόγω της πολυπλοκότητας της αρχικής του διατύπωσης, οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί το αντιμετώπισαν με κάποια αμηχανία, γι αυτό πολλοί θεώρησαν ότι είναι απόρροια των προηγουμένων αξιωμάτων, συνεπώς είναι ένα θεώρημα. Αυτή η προσπάθεια της αναγωγής του 5 ου αξιώματος στα άλλα άρχισε πολύ νωρίς μετά την εμφάνιση των «Στοιχείων» και συνεχίστηκε μέχρι τον 19ο αιώνα, οπότε τελικά αποδείχτηκε η ανεξαρτησία του [το 1868 από τον Eugenio Beltrami ( )]. Σημειώνουμε ότι όλες οι προτάσεις (μεταξύ αυτών και οι πρώτες 28 των «Στοιχείων», που μπορούν να αποδειχθούν χωρίς τη χρήση του αξιώματος των παραλλήλων, συνιστούν την λεγόμενη Απόλυτη ή Ουδέτερη Γεωμετρία. Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΕΙΔΗ ΤΟΥΣ Η ανακάλυψη των μη ευκλείδειων Γεωμετριών προκύπτουν από την αμφισβήτηση του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη. Θεωρείται ένα σημαντικό γεγονός στην ιστορία της Φιλοσοφίας και των Μαθηματικών, καθώς προκύπτει η αλλαγή στην αντίληψη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη, υπήρξαν αμφισβητήσεις και συγκρούσεις στα πλαίσια της μαθηματικής κοινότητας. [16]

17 Την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έχουν πραγματευθεί πολλοί ιστορικοί των Μαθηματικών και αρκετοί από το χώρο της φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Ένα από τα χαρακτηριστικά που κάνουν τις μελέτες αυτές διαφορετικές μεταξύ τους, είναι ο τρόπος που χωρίζουν το κομμάτι αυτό της ιστορίας των Μαθηματικών σε περιόδους. Ο διαχωρισμός αυτός είναι σημαντικός, αφού υποδεικνύει τα σημεία καμπής, δηλαδή τα σημεία στα οποία οι εξελίξεις ή οι αντιλήψεις αλλάζουν. (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) «Σύμφωνα με τον Bertrand Russel, στην πραγματεία του Επί των Θεμελίων της Γεωμετρίας (Russell,1897/1956), η αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος σηματοδοτεί την έναρξη της πρώτης περιόδου της μεταγεωμετρίας. Σ αυτήν την πραγματεία του ο Russell, ασχολείται με την γεωμετρία σε σχέση με την επιστήμη του χώρου και την εμπειρία αλλά και το ερώτημα της a priori γνώσης. Αυτό το είδος γνώσης, σύμφωνα με τον Kant και την πραγματεία του Η κριτική του Καθαρού Λόγου, (Καντ, 1781/1976) αφορά την αντίληψη του φυσικού χώρου. Το ανθρώπινο μυαλό, σύμφωνα με τον Kant, οργανώνει την χωρική εμπειρία σύμφωνα με μια a-priori διαίσθηση που υπακούει στους κανόνες του Ευκλείδη. O Russell, ακολουθώντας αυτή την καντιανή αντίληψη, καταλήγει ότι αυτή η a-priori γεωμετρική διαίσθηση υπακούει στους κανόνες της Προβολικής Γεωμετρίας, χωρίς όμως να συνδέεται άμεσα με την εμπειρία. Η δεύτερη περίοδος για τον Russell είναι μικρότερη σε διάρκεια αλλά καθοριστικής σημασίας αφού απαντά σε ερωτήματα που σχετίζονται με το λεγόμενο πρόβλημα του χώρου. Η περίοδος αυτή ξεκινά με τον Riemann και την διάσημή του διάλεξη (Riemann, 1854). Συνεχίζεται αλλά και τελειώνει με τους Beltrami και Helmholtz. Η τρίτη περίοδος σύμφωνα με τον Russell διαφέρει από την προηγούμενη τόσο στις μεθόδους και στους στόχους όσο και στο φιλοσοφικό υπόβαθρο. Όλες οι λεγόμενες μετρικές έννοιες ανάγονται σε προβολικές, κατορθώνοντας μια μεθοδολογική απλοποίηση που δε θα μπορούσε να γίνει την προηγούμενη περίοδο. Στην περίοδο αυτή πρωτοστατούν οι Klein, Poincare, Cayley και Sophus Lie». (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014). O Roberto Bonola (1912), ορίζει το ίδιο κομμάτι της ιστορίας των Μαθηματικών σε τέσσερα μέρη. Το πρώτο μέρος ξεκινά από την αμφισβήτηση του πέμπτου αιτήματος και τον Saccheri (1733) και τελειώνει με τον Thibaut (1809). Οι προσπάθειες απόδειξης του πέμπτου αιτήματος αποβαίνουν άκαρπες αλλά δημιουργούν το υπόβαθρο για τις έρευνες που θα ακολουθήσουν. Το δεύτερο μέρος, ξεκινά με τον Gauss και την αλληλογραφία του με τον W. Bolyai και τελειώνει με την σφαιρική γεωμετρία του Taurinus. Το τρίτο μέρος, αφιερώνεται στους Bolyai και Lobachevsky ενώ το τέταρτο στην μετέπειτα εξέλιξη της μη-ευκλείδειας Γεωμετρίας, από τον Riemann έως τον Cayley. O Coolidge (1940/1963) ορίζει δύο μόνο περιόδους: την περίοδο έως τους Bolyai και Lobachevsky και την περίοδο μετά απ αυτούς την οποία καλεί μοντέρνα θεώρηση του προβλήματος από τους Riemann, Beltrami, Klein κ.λπ. [17]

18 Σύμφωνα, πάλι με τον Τorretti (1930/1984), η πρώτη περίοδος ξεκινά από τον Ευκλείδη ενώ τελειώνει με τους Bolyai και Lobachevsky. Η δεύτερη δομείται από τους Gauss, Riemann, Herbart και Grassman ξεκινώντας από την έννοια της καμπυλότητας και τελειώνοντας με την έννοια της πολλαπλότητας». (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014). Ο χωρισμός της ιστορίας των μαθηματικών γίνεται σε τέσσερις περιόδους. Τα κριτήρια, με τα οποία χωρίζονται οι τέσσερις περίοδοι είναι με βάση τους στόχους που θέτονται κάθε φορά από τους Μαθηματικούς. Η πρώτη περίοδος, ξεκινά από τον Ευκλείδη και τελειώνει με τους Gauss και Minding και την ενασχόλησή τους με τις επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας. Ασφαλώς το τέλος αυτής της περιόδου με τους Gauss και Minding πρέπει να θεωρηθεί μια μεταβατική φάση αφού ήδη η ύπαρξη μιας άλλης γεωμετρίας είναι ορατή. Η δεύτερη περίοδος, αφιερώνεται στους Bolyai και Lobachevsky και στην ανακάλυψη της μη-ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η περίοδος, αυτή πολύ μικρότερη από την προηγούμενη και πολύ διαφορετική σε μέθοδο αφού χρησιμοποιείται η ανάλυση. Στην δεύτερη περίοδο λοιπόν, στόχος δεν είναι να αποδειχθεί το πέμπτο αίτημα για να αναδειχθεί η Ευκλείδεια Γεωμετρία ως η μοναδική γεωμετρία του χώρου, αλλά η θεμελίωση μιας νέας γεωμετρίας. Η Τρίτη περίοδος, σηματοδοτείται από την διάσημη διάλεξη του Riemann και συνεχίζεται από τον Beltrami και τα μοντέλα του. Η τέταρτη περίοδος, περιλαμβάνει τους Klein, Poincare, Cayley και τον Hilbert. Ο λόγος που η τρίτη περίοδος διαχωρίζεται από την δεύτερη είναι ότι και εδώ ο στόχος έχει αλλάξει: ο Beltrami επηρεασμένος από τον Riemann δημιουργεί τα μοντέλα με σκοπό να βρει τρόπο να αναπαραστήσει και να ερμηνεύσει την μη Ευκλείδεια γεωμετρία στον Ευκλείδειο χώρο. Στην τέταρτη περίοδο, δεν υπάρχει αυτή η πρόθεση, παρότι στα μοντέλα του Klein υπάρχει η έννοια της αναπαράστασης και της ερμηνείας, στόχος είναι όπως λέει ο ίδιος να εξηγηθεί η πραγματική ουσία των μη-ευκλείδειων γεωμετριών. H περίοδος αυτή, κλείνει με τον Hilbert και το αξιωματικό του σύστημα. (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) [18]

19 ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΑΜΦΙΣΒΗΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΕΜΠΤΟΥ ΑΙΤΗΜΑΤΟΣ Αρχικά, θα αναφερθούν πιο σύντομα τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη: I. Ζητείται να γίνει παραδεκτό ότι από οποιοδήποτε σημείο άγεται προς οποιοδήποτε σημείο ευθεία γραμμή. II. Κάθε πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται κατά τρόπο συνεχή σε ευθεία. III. Και με οποιοδήποτε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος. IV. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. V. Και αν ευθεία η οποία συναντά δυο ευθείες, σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες (κατά το άθροισμα) των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ άπειρο, συναντιούνται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες που είναι μικρότερες των δύο ορθών. Το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη αμφισβητήθηκε από μεταγενέστερους μαθηματικούς λόγω της έλλειψης πειστικότητάς του, καθώς μέχρι και την 28 η πρότασή του δε φαίνεται να χρησιμοποιεί το συγκεκριμένο αξίωμα. Επιπλέον, στην πρόταση 17 του πρώτου του βιβλίου υποστηρίζεται το αντίθετο από αυτό που παρουσιάζεται στο 5 ο αξίωμα. Ειδικότερα, αναφέρει: «Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών του είναι μικρότερο των δύο ορθών». Αυτή είναι μια πρόταση, η οποία ανήκει στην Ουδέτερη/ Απόλυτη Γεωμετρία. Ο Πρόκλος προβληματιζόταν πως το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη δεν μπορούσε να αποδειχθεί από τη στιγμή που μια πρόταση αντίθετη ως προς αυτό το αξίωμα χρειάζεται απόδειξη. Το 5 ο αίτημα επιχείρησαν να αποδείξουν σπουδαίοι διανοούμενοι όπως: Ποσειδώνιος (1ος αιώνας [19]

20 μχ), Nasireddin ( ) Commandino ( ), Clavio ( ), Cataldi ( ), Borelli ( ), Vitale ( ), Wallis ( ) και Saccheri ( ). 1. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SACCHERI-LAMBERT Ο Saccheri ασχολείται με το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη, το οποίο απορρίπτει, αποδέχοντας και εφαρμόζοντας τις πρώτες είκοσι έξι προτάσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη. Πιο συγκεκριμένα, προσπαθεί να οδηγήσει το 5 ο αξίωμα σε άτομο και να αποδείξει ότι δεν ισχύει. Αυτή η μέθοδος που επέλεξε θα τον οδηγήσει στην διατύπωση των τριών διάσημων υποθέσεων καθώς και σε αποδείξεις προτάσεων- θεμελίων για τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Χρησιμοποιεί σαν σχήμα το ισοσκελές δισορθογώνιο, το οποίο έχει τις δυο απέναντι πλευρές ίσες και κάθετες στη βάση. [20]

21 Στην πρόταση ΙΙΙ διατυπώνει τις τρείς διάσημες υποθέσεις: Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα AC και BD είναι κάθετα σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε το ευθύγραμμο τμήμα CD που τα ενώνει θα είναι ίσο, μικρότερο ή μεγαλύτερο από το ΑΒ ανάλογα με το αν οι γωνίες που σχηματίζει το CD με τα AC και BD είναι ορθές, αμβλείες ή οξείες. (Saccheri 1733/1986, σελ. 21). Με την πρόταση XXXII (Saccheri 1733/1986, σελ. 171) ουσιαστικά ο Saccheri καταλήγει στο εξής σημαντικό συμπέρασμα: «Όσον αφορά την υπόθεση της οξείας γωνίας, αν θεωρήσουμε μια ευθεία b και ένα σημείο Α το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία, απ όλες τις ευθείες που περνούν από το Α, υπάρχουν δύο ευθείες p, q από δεξιά και από αριστερά. Οι ευθείες αυτές είναι ασύμπτωτες της b, και χωρίζουν τη δέσμη των ευθειών που περνούν από το Α σε δυο μέρη (κλάσεις): αυτές που τέμνουν την b και αυτές που έχουν κοινή κάθετο με την b». [21]

22 p A b q Φυσικά οι ευθείες p και q δεν είναι άλλες από τις ασυμπτωτικά παράλληλες ευθείες της Υπερβολικής Γεωμετρίας όπως θα δούμε παρακάτω. Το έργο του Saccheri είναι μεγάλης σπουδαιότητας γιατί με την άρνηση του πέμπτου αιτήματος διατύπωσε σημαντικές προτάσεις των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών και αποτέλεσε τον προάγγελό τους 100 χρόνια πριν την ανακάλυψή τους. Ο Johann Heinrich Lambert ήταν εκείνος που συνέχισε το έργο του Saccheri, ο οποίος ήταν μαθηματικός και φιλόσοφος και από τους μεγαλύτερους πρακτικούς μαθηματικούς του 18 ου αιώνα. Ο Lambert ξεκίνησε να μελετάει το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη θεωρώντας πως δεν ήταν τόσο ξεκάθαρο και αυτονόητο σαν όλα τα άλλα κι έτσι προσπάθησε να το αποδείξει. Ο ίδιος υποστηρίζει: «για να αποδειχθεί το αίτημα του Ευκλείδη αυστηρά ή για να θεμελιωθεί μια γεωμετρία γενικά δεν πρέπει να γίνει οπτικοποίηση ή αναπαράσταση του θέματος» (1786, παρ. 2). Αναφέρει χαρακτηριστικά: «Αφού ο Ευκλείδης στα αιτήματα και στα αξιώματα χρησιμοποιεί λέξεις, αυτό σημαίνει ότι η απόδειξη δεν θα πρέπει να αναφέρεται στο «θέμα» αλλά η όποια απόδειξη να γίνει καθαρά συμβολικά εφόσον είναι δυνατόν. Από αυτήν την άποψη τα αιτήματα του Ευκλείδη είναι όπως οι αλγεβρικές [22]

23 εξισώσεις όπου τις έχεις μπροστά σου και υπολογίζεις τα x, y, z, κ.τ.λ. χωρίς να κοιτάς πίσω στο ίδιο το θέμα» (1786, παρ. 11). Ο Lambert χρησιμοποιεί ως βασικό το δικό του σχήμα, το οποίο είναι το τετράπλευρο με τρεις ορθές γωνίες. Εξετάζει και αυτός όπως ο Saccheri τρείς υποθέσεις: η πρώτη, αν η γωνία είναι ορθή, η δεύτερη, αν η γωνία είναι αμβλεία και η τρίτη, αν η γωνία είναι οξεία. Η πρώτη υπόθεση οδηγεί στην γεωμετρία του Ευκλείδη και ο Lambert σκοπεύει να αποδείξει ότι η δεύτερη και η τρίτη υπόθεση οδηγούν σε αντιφάσεις. Σχετικά με τη δεύτερη υπόθεση που διατύπωσε ο Lambert «αν η γωνία είναι αμβλεία», υποστηρίζει ότι όταν έχουμε μια σφαιρική επιφάνεια, το άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου ικανοποιεί δύο συνθήκες, οι οποίες προκύπτουν από την εξής υπόθεση: είναι μεγαλύτερο από 180 ο και δεύτερον το πλεόνασμα είναι ανάλογο του εμβαδού του τριγώνου. «Μου φαίνεται εκπληκτικό το γεγονός ότι η δεύτερη υπόθεση (υπόθεση της αμβλείας) ισχύει αν θεωρήσουμε σφαιρικά τρίγωνα αντί για επίπεδα [23]

24 τρίγωνα.» (Lambert, 1786, παρ. 82 και Stackel και Engel, 1895, σελ. 202). (Βικιπαίδεια, Ελεύθερη Εγκυκλοπαίδεια) Ο Lambert για να αποδείξει το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη, χρησιμοποιεί την υπόθεση ότι οι ευθείες έχουν άπειρο μήκος, πράγμα το οποίο κάνει και ο Saccheri και αποτελεί σφάλμα. Λαμβάνοντας υπόψη τη φανταστική σφαιρική επιφάνεια, ο Lambert έχει καταλήξει ότι η τρίτη υπόθεση ισχύει (αν η γωνία είναι οξεία). Σύμφωνα με τον Dunlop, η επιφάνεια αυτή δεν είναι ένα απλό κατασκεύασμα της φαντασίας. Ο Lambert προχώρησε στη μελέτη υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και την οποία δημοσίευσε το 1768 (Lambert, 1768). Θεωρώντας σφαιρικά τρίγωνα και αντικαθιστώντας στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις των πλευρών τις φανταστικές τιμές, οι συναρτήσεις μετατρέπονται σε υπερβολικές. Στο άρθρο του αυτό ασχολείται με αστρονομικό πρόβλημα που για την λύση του απαιτεί τη χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε φανταστικά τόξα (σφαιρικά τρίγωνα με φανταστικές πλευρές). Η σφαιρική επιφάνεια με τρίγωνα που έχουν φανταστικές πλευρές και πραγματικές γωνίες είναι ισοδύναμη με την σφαίρα φανταστικής ακτίνας. Για να διαψεύσει την τρίτη υπόθεση ο Lambert, το μοναδικό επιχείρημα που χρησιμοποιεί είναι ότι αν αλήθευε η τρίτη υπόθεση τότε δύο μεταξύ τους κάθετες ευθείες θα ήταν παράλληλες προς την ίδια ευθεία (Torretti, 1984, σελ. 51). Αυτό βέβαια αντιστοιχεί στην περίπτωση που η γωνία παραλληλίας, σύμφωνα με τον Lobachevsky, γίνει ίση με π/4. [24]

25 Ο Lambert για την αναπαράσταση του θέματος και την απόδειξη των υποθέσεών του χρησιμοποιεί δύο επιφάνειες. Η μια αφορά την κανονική σφαίρα και η άλλη είναι η σφαίρα φανταστικής ακτίνας. Σφαίρα λέγεται το στερεό σώμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από μία διάμετρό του. ( Ο Torretti και ο Webb, ερευνητές, θεώρησαν ότι ο Lambert έχει προσεγγίσει την έννοια του μοντέλου. Ωστόσο στην πρόσφατη έρευνά της η Dunlop υποστηρίζει ότι τις δύο επιφάνειες που χρησιμοποιεί ο Lambert δεν τις θεωρεί αναπαραστάσεις του θέματος αλλά σαν σχηματικά παραδείγματα που θα τον βοηθούσαν να οδηγηθεί σε άτοπο (Dunlop, 2009 σελ ). [25]

26 2. NEWTON-GAUSS: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ ( %CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%BF%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D/%CE%B6%CF%89%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%B9%CE%B A%CE%AE/%CE%BA%CE%B1%CE%BC%CF%80%CF%8D%CE%BB%CE%B7-%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%AE/) Ήδη από την αρχαιότητα εμφανίζονται οι καμπύλες και οι επιφάνειες. Πιο συγκεκριμένα, γίνονται εμφανείς από την ευκλείδεια γεωμετρία με τρισδιάστατη μορφή. Ο Απολλώνιος στο έργο του Κωνικά, μελετάει τις τομές του κώνου με το επίπεδο, απ όπου προκύπτουν και οι γνωστές κωνικές τομές, οι οποίες είναι η έλλειψη, η υπερβολή και η παραβολή. Ο Descartes ήταν αυτός ο οποίος διαχώρησε την Συνθετική από την Αναλυτική γεωμετρία. Ειδικότερα, η Συνθετική είναι η γεωμετρία που χρησιμοποιεί την αξιωματική μέθοδο του Ευκλείδη, ενώ η Αναλυτική προκύπτει από την ένωση της άλγεβρας με τη γεωμετρία, γεγονός που κατόρθωσε ο Descartes. Μία άλλη οπτική και διαφοροποίηση της γεωμετρίας επιτυγχάνεται από τον Newton, σύμφωνα με τον οποίο η καμπυλότητα παίζει κεντρικό ρόλο και καταλήγει στον γνωστό τύπο y=f(x), όταν η παράμετρος είναι τυχαία και η καμπύλη επίπεδη. Η ακτίνα καμπυλότητας δεν είναι άλλη από την ακτίνα του εγγύτατου κύκλου, του κύκλου δηλαδή του εγγύτατου επιπέδου ο οποίος έχει κοινή εφαπτομένη με την καμπύλη και εφάπτεται με αυτήν κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Η απόδοση του όρου εγγύτατος κύκλος οφείλεται στον Leibnitz. Η γενίκευση όμως της έννοιας της καμπυλότητας ήταν αυτή που επέτρεψε στο μέγεθος αυτό να παίρνει και αρνητικές τιμές. [26]

27 Η μελέτη των επιφανειών έγινε τον 19 ο αιώνα και οφείλεται στον Carl Freiderich Gauss ( ). Ο Gauss ξεκινάει την πραγματεία του θεωρώντας τη σφαίρα με μοναδιαία ακτίνα ως «βοήθημα». Σε αυτή τη βάση ο Gauss ορίζει την ολική καμπυλότητα μιας επιφάνειας αντιστοιχίζοντάς την στην μοναδιαία σφαίρα. Η ιδέα του αυτή βασίζεται στις αστρονομικές του έρευνες. ( Όπως αναφέρει ο Gauss (Gauss, 1828/2005, σελ. 10): «Η θέση του σχήματος πάνω στην σφαίρα μπορεί να είναι ίδια ή αντίθετη από ότι στην επιφάνεια». Στην συνέχεια ο Gauss δίνει επιπλέον εξηγήσεις για την ολική καμπυλότητα ανάλογα με την φύση της επιφάνειας: «Αν το τμήμα της επιφάνειας είναι τέτοιο ώστε διαφορετικά του σημεία να αντιστοιχίζονται σε διαφορετικά σημεία της επιφάνειας της σφαίρας τότε δεν χρειάζονται επιπλέον επεξηγήσεις Αν όμως δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο ο απλούστερος τρόπος θα είναι να θεωρήσουμε κομμάτια της επιφάνειας για τα οποία ισχύει η παραπάνω συνθήκη Η ολική τότε καμπυλότητα ενός τμήματος της επιφάνειας θα είναι kd όπου k το μέτρο της καμπυλότητας σε κάθε σημείο και dσ το στοιχείο της επιφάνειας». Ο Gauss αναφέρει: [27]

28 «Αν μια επιφάνεια S αναπτυχθεί σε οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, το μέτρο της καμπυλότητας της επιφάνειας S σε κάθε σημείο παραμένει σταθερό» (Gauss, 1827/2005, σελ.20). Ο Gauss συνδέεται με την ανακάλυψη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας που αφορά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών, του θεωρήματος Gauss- Bonnet. Ειδικότερα, ο Gauss κάνει την εξής υπόθεση: Έστω Α, Β, Γ τρία σημεία πάνω σε μια επιφάνεια Ε, τα οποία ενώνονται με καμπύλες ελαχίστου μήκους. Έστω α, β, γ οι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ που σχηματίζεται από τα τόξα ελαχίστου μήκους. α+β+γ-π Κdς a) αν η διαφορά α+β+γ-π, είναι θετική ο Gauss την ονομάζει υπεροχή και το τρίγωνο ΑΒΓ κείται σε επιφάνεια θετικής καμπυλότητας. b) αν είναι αρνητική την ονομάζει έλλειμμα και το τρίγωνο κείται σε επιφάνεια αρνητικής καμπυλότητας. (Gauss, 1827/2005, σελ. 30) Η περίπτωση όπου το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι π τότε έχουμε την επιφάνεια μηδενικής καμπυλότητας και η γεωμετρία στην οποία αντιστοιχεί είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Στο παρακάτω σχήμα μπορούμε να δούμε τις τρείς περιπτώσεις τριγώνων όταν κείνται σε επιφάνεια μηδενικής, θετικής και αρνητικής καμπυλότητας αντίστοιχα. [28]

29 (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) Ο Gauss γνώριζε για τις επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας (έλλειμα). Συγκεκριμένα, γνώριζε για την επιφάνεια της ψευδόσφαιρας. Την θεωρεί ως αντίστροφή της σφαίρας, αλλά δεν την συνδέει με μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η επίπεδη καμπύλη που δημιουργεί την Ψευδόσφαιρα αν περιστραφεί γύρω από τον ασύμπτωτό της ονομάζεται άτρακτος. Παρακάτω φαίνεται η εικόνα της συγκεκριμένης καμπύλης: ( [29]

30 Ο Leibniz κάνει λόγο για την καμπύλη αυτή το έτος 1963 στο Acta Euiditorum και παρουσιάζεται η εξής ιδιότητα: «το τμήμα της εφαπτομένης της καμπύλης μεταξύ του σημείου επαφής και του σημείου τομής της εφαπτομένης με σταθερή ευθεία του επιπέδου της (ασύμπτωτος της καμπύλης) είναι σταθερό», (Παπαντωνίου, 1997: 31). O Minding παρατηρεί ότι η ψευδόσφαιρα που δημιουργείται από την περιστροφή της ατράκτου γύρω από την ασύμπτωτή της είναι μια επιφάνεια αρνητικής καμπυλότητας, που θα συνδεθεί τριάντα χρόνια αργότερα με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Ο Gauss ήταν ο πρώτος που ήρθε κοντά με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, μελετώντας συγκεκριμένα το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη για τις παράλληλες ευθείες, αλλά ποτέ δεν δημοσίευσε κάτι, διότι φοβόταν για τη φήμη του. 3. Η ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ BOLYAI ΚΑΙ LOBACHEVSKI Η ανακάλυψη και η ασχολία με τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία πραγματοποιήθηκε ταυτόχρονα από τους δυο σπουδαίους μαθηματικούς και γεωμέτρες, τον Lobachevski ( ) και τον Bolyai ( ). Ξεκίνησαν το 1830, όπου ο Lobachevski δημοσίευσε το την πραγματεία του Αρχές της Γεωμετρίας ενώ ο Bolyai δημοσίευσε το 1831 την πραγματεία του Απόλυτη επιστήμη του χώρου. Και οι δύο ασχολήθηκαν με την υπερβολική γεωμετρία, η οποία εντάσσεται στις μη Ευκλείδειες και προκύπτει από την αμφισβήτηση του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη για τις παράλληλες ευθείες. Ξεκινώντας µε την απόπειρα να αποδείξει το αξίωµα των παραλλήλων είδε ότι κάποιος οδηγείται σε τελείως αναπάντεχα αποτελέσµατα. Αυτές οι απόπειρες συνίσταντο στην χρήση της απόδειξης µε αντίφαση (απαγωγή σε άτοπο) και ήταν στηριγµένες στο ακόλουθο επιχείρηµα: Αν [30]

31 το Ευκλείδειο αίτηµα παραλλήλων είναι συνέπεια των υπόλοιπων αιτηµάτων των Στοιχείων, και αν κάποιος υποθέσει κακόβουλα ότι τουλάχιστον δυο ευθείες που δεν τέµνουν δοθείσα ευθεία και που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο µ αυτήν μπορούν χαραχθούν από σημείο εκτός αυτής, τότε αυτή η υπόθεση αργά ή γρήγορα, θα οδηγήσει µέσω των συνεπειών της σε κάποια αντίφαση. Βρίσκοντας όμως ολοένα κι άλλες νέες συνέπειες αυτής της υπόθεσης, ο Λοµπατσέφσκι πείστηκε ότι δεν έχει σημασία πόσο παράδοξες φαίνονται αυτές οι συνέπειες από την σκοπιά της Ευκλείδειας γεωμετρίας, κι ότι αυτές μπορούν να σχηματίσουν την βάση μιας νέας επιστημονικής θεωρίας. ( LOBACHEVSKIAN GEOMETRY ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, 1976: σελ. 9) Ο Lobachevsky στο «Γεωμετρικές μελέτες πάνω στην θεωρία των παραλλήλων» ορίζει τις παράλληλες ως εξής: «Όλες οι ευθείες γραμμές που άγονται σ ένα επίπεδο από το ίδιο σημείο, αναφορικά σε μία ευθεία του ίδιου επιπέδου, χωρίζονται σε δύο κλάσεις, ειδικότερα σε τέμνουσες και μη τέμνουσες. Οριακές ευθείες των δύο αυτών κλάσεων θα ονομάζονται παράλληλες στην δοσμένη ευθεία». Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη AD στην BC και στην συνέχεια την ΑΕ κάθετη στην AD. Στην ορθή γωνία EAD περιέχονται ευθείες οι οποίες είτε τέμνουν την DC, όπως για παράδειγμα η AF, είτε δεν την τέμνουν, όπως η ΑΕ. Στο ερώτημα αν η ΑΕ είναι η μοναδική που δεν τέμνει την DC, θεωρούμε ότι υπάρχουν και άλλες ευθείες οι οποίες δεν τέμνουν την DC, όσο και αν προεκταθούν, όπως η AG. Περνώντας από όλες τις ευθείες που δεν τέμνουν την DC προς τις ευθείες που την τέμνουν συναντάμε την ΑΗ παράλληλη στην DC, μια οριακή ευθεία, όπου από την μία της πλευρά βρίσκονται οι ευθείες που τέμνουν την DC ενώ από την άλλη πλευρά αυτές που δεν την τέμνουν. Η γωνία HAD, μεταξύ της παράλληλης ΑΗ και της κάθετης AD ονομάζεται γωνία παραλληλίας την οποία συμβολίσουμε Π(p) από το μήκος AD=p. [31]

32 (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) Στην συνέχεια ο Lobachevsky διακρίνει δύο περιπτώσεις για τη γωνία παραλληλίας: 1. Αν Π(p)= ½ π, τότε έχουμε την περίπτωση της Ευκλείδειας γεωμετρίας όπου οι ευθείες μπορεί να είναι είτε τέμνουσες είτε παράλληλες προς τη δοσμένη ευθεία. 2. Αν Π(p)< ½ π, έχουμε δύο παράλληλες προς δοσμένη ευθεία, ενώ οι υπόλοιπες ευθείες χωρίζονται σε τέμνουσες και μη τέμνουσες. Στην περίπτωση αυτής της γεωμετρίας το αξίωμα διαμορφώνεται ακολούθως: [32]

33 ΑΞΙΩΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ Έστω Α ένα σημείο και (ε) τυχαία ευθεία η οποία δεν διέρχεται από το Α. Τότε από το Α διέρχονται δύο ευθείες XX και YY τέτοιες ώστε: 1. ΧΑΥ δεν αποτελεί ευθεία. 2. Οι ευθείες XX, YY είναι και οι δύο παράλληλες προς την (ε). 3. Καμία ευθεία γραμμή η οποία περιέχεται στην γωνία ΧΑΥ δεν είναι παράλληλη προς την ευθεία (ε). Υ Χ Α Χ Ύ ε Όπως επισημαίνει ο Gray, υπάρχουν διαφορές ως προς την εργασία μεταξύ του Bolyai και του Lobachevski. Ο πρώτος έδωσε βαρύτητα στη λεγόμενη απόλυτη γεωμετρία, ενώ ο δεύτερος επικεντρώθηκε στις ιδιότητες της ίδιας της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά ενδιαφερόταν και για τη γεωμετρία τους φυσικού χώρου. [33]

34 4. Η ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ RIEMANN ΚΑΙ BELTRAMI RIEMANN Η τρίτη περίοδος για τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες ξεκίνησε από τη διάλεξη του Riemann το 1854, ο οποίος έστρεψε το ενδιαφέρον του στη μελέτη αυτών των γεωμετριών. Ο Riemann έκανε κάποιες υποθέσεις πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η γεωμετρία. Αυτή η διάλεξη σηματοδοτεί το ξεκίνημα της μοντέρνας φιλοσοφίας της γεωμετρίας, η οποία εξελίσσεται ως επιστήμη. Όπως υποστηρίζει ο Riemann, η έννοια του χώρου είναι κοινό χαρακτηριστικό στις πραγματείες της γεωμετρίας, όπως και η χρήση των θεμελιωδών εννοιών και συγκεκριμένα οι έννοιες του «σημείου» και της «ευθείας». Συνεχίζει τονίζοντας ότι: «Οι ονομαστικοί ορισμοί των θεμελιωδών εννοιών που δίνει ο Ευκλείδης δεν διαφωτίζουν τις σχέσεις μεταξύ των υποθέσεων και δεν μας πληροφορούν για την a-priori ύπαρξή τους». (Riemann 1998/1854 σελ. 1) Λέγοντας υποθέσεις ο Riemann εννοεί τα αξιώματα ενώ ο χώρος για αυτόν έχει ευρύτερη σημασία: είναι ο Χώρος, μια οντότητα μοναδική μέσα στην οποία λαμβάνουν χώρα όλα τα φυσικά φαινόμενα. Στο πλαίσιο αυτό φαίνεται εύλογο το ερώτημα αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι η μοναδική και η καταλληλότερη για να περιγράψει όλα τα φυσικά φαινόμενα. Στην διάλεξη αυτή ο Riemann αναφέρεται για πρώτη φορά στις πολλαπλά εκτεταμένες ποσότητες που σήμερα ονομάζουμε πολλαπλότητες του Riemann. Με την καμπυλότητα ως κυρίαρχη έννοια, ο Riemann διαχωρίζει τις πολλαπλότητες σ αυτές με σταθερή και σ αυτές με μη σταθερή καμπυλότητα: Ο κοινός χαρακτήρας εκείνων των πολλαπλοτήτων των οποίων η καμπυλότητα είναι σταθερή, μπορεί να εκφραστεί ως εξής: μπορούν να κινηθούν εντός τους σχήματος χωρίς να παραμορφωθούν. (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) [34]

35 Συγκεκριμένα αναφέρει: «Η θεώρηση επιφανειών σταθερής καμπυλότητας μπορεί να χρησιμεύσει για μια γεωμετρική ερμηνεία. Εύκολα βλέπουμε ότι οι επιφάνειες με θετική καμπυλότητα μπορούν πάντοτε να τυλιχθούν πάνω σε μια σφαίρα ακτίνας ίσης με το αντίστροφο της καμπυλότητας Η επιφάνεια μηδενικής καμπυλότητας θα είναι ένας κύλινδρος που εφάπτεται πάνω στον ισημερινό. Οι επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας θα αγγίζουν αυτόν τον κύλινδρο από το εξωτερικό του και η μορφή τους θα μοιάζει με το τμήμα της επιφάνειας ενός δακτυλίου ο οποίος είναι τοποθετημένος κοντά στον άξονα». (Riemann, 1998/1854, σελ. 9) Ο Riemann δεν συνδέει άμεσα την περίπτωση των επιφανειών με αρνητική καμπυλότητα με την μη Ευκλείδεια γεωμετρία των Lobachevsky και Bolyai. Σύμφωνα με τον Torretti (1984, σελ. 101), είχε επίγνωση της σύνδεσης αυτής, αλλά ο σκοπός του ήταν διαφορετικός: ήθελε να δείξει ότι ο Ευκλείδειος χώρος είναι μόνο μια ειδική περίπτωση της νεοεισαχθείσας έννοιας, της έννοιας της πολλαπλότητας. «Μια πολλαπλά εκτεταμένη ποσότητα επιδέχεται ποικίλες μετρικές σχέσεις με αποτέλεσμα ο Ευκλείδειος 3-διάστατος χώρος να συνιστά μια ειδική μόνο περίπτωση μιας τριπλά εκτεταμένης ποσότητας». (Riemann, 1999/1854, σελ. 22). Πρώτος ο Riemann όμως, κάνει την κρίσιμη παραδοχή ότι οι ευθείες μπορεί να μην έχουν όριο (φράγμα) χωρίς ωστόσο να είναι άπειρες σε έκταση (Gray, 1989, σελ. 155) όπως είναι οι μέγιστοι κύκλοι πάνω στην σφαίρα, προαναγγέλλοντας τα μοντέλα της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Έτσι, ενώ ο Gauss εφαρμόζει την έννοια της καμπυλότητας μόνο στις επιφάνειες, ο Riemann επεκτείνεται στις ν-διαστάσεις, μετατρέποντας την έννοια της καμπυλότητας σε θεμελιώδη ιδιότητα του χώρου. (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) [35]

36 ( BELTRAMI O Beltrami, σε αντίθεση με τον Riemann, υποστηρίζει ότι υπάρχουν συγκεκριμένες επιφάνειες στον Ευκλείδειο χώρο, οι ψευδόσφαιρες, στις οποίες τα θεωρήματα της μη ευκλείδειας γεωμετρίας των Lobachevski- Bolyai επαληθεύονται. Ενώ η σφαίρα έχει σταθερή θετική καμπυλότητα, οι ψευδόσφαιρες είναι επιφάνειες σταθερής αρνητικής καμπυλότητας. Έτσι, με βάση αυτά ο Beltrami προσπαθεί αν βρει βάσεις για τη γεωμετρία των Lobachevski-Bolyai. Ας δούμε τώρα τι ακριβώς συμβαίνει στο εσωτερικό του κύκλου: Τα σημεία του μοντέλου είναι τα συνήθη σημεία στο εσωτερικό του κύκλου ενώ ευθείες είναι οι χορδές του κύκλου (εξαιρούμε από αυτές τα σημεία που ανήκουν στην περιφέρεια του κύκλου. Έστω Α ένα σημείο και λ μια ευθεία που δεν διέρχεται από το Α και τέμνει την περιφέρεια του κύκλου στα Β και C. Θεωρούμε τις δύο χορδές που ενώνουν το A με τα B και C. Οι ευθείες αυτές του μοντέλου δεν τέμνουν την λ στο εσωτερικό του κύκλου και επιπλέον χωρίζουν τις χορδές που διέρχονται από το Α σε δύο κλάσεις: [36]

37 σε αυτές που τέμνουν την λ και σε αυτές που δεν την τέμνουν. Στο μοντέλο αυτό, από ένα τυχόν σημείο Α διέρχονται άπειρες παράλληλες προς την ευθεία λ και είναι όλες αυτές που δεν τέμνουν τα εσωτερικά σημεία του BC στο εσωτερικό του κύκλου. (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) Σύμφωνα με τον Torretti, στόχος του Beltrami ήταν να φτάσει στην ψευδόσφαιρα θεωρώντας το μοντέλο αυτό μεταβατικό. Η γεωμετρία του Lobachevski-Bolyai είχε νόημα γι αυτόν σε ένα πραγματικό αντικείμενο του χώρου. Στο άρθρο Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante το οποίο δημοσιεύθηκε σχεδόν ταυτόχρονα με το πρώτο (Beltrami, 1968) πραγματεύεται τις ν-διάστατες πολλαπλότητες σταθερά αρνητικής καμπυλότητας και αναφέρει: «Κάθε έννοια της μη-ευκλείδειας γεωμετρίας μπορεί να βρει ένα τέλειο ισοδύναμο στην γεωμετρία του χώρου με σταθερά αρνητική καμπυλότητα.». Πρώτος ο Beltrami λοιπόν, με το επίπεδο μοντέλο αλλά κυρίως με την Ψευδοσφαίρα, υλοποιεί ή πραγματώνει την γεωμετρία των Lobachevsky και Bolyai. Στο ερώτημα αν η καινούρια γεωμετρία είναι συνεπής η απάντηση, μέσω αυτών των μοντέλων, είναι ότι οποιαδήποτε ασυνέπεια στην γεωμετρία αυτή θα σήμαινε ασυνέπεια στην γεωμετρία του χώρου (Ευκλείδεια γεωμετρία). Ωστόσο, όπως απέδειξε ο Hilbert (Hilbert, 1901), καμία επιφάνεια σταθερά αρνητικής [37]

38 καμπυλότητας (εμφυτευμένη στον Ευκλείδειο χώρο) δεν μπορεί να θεωρηθεί ως ολικό μοντέλο της Υπερβολικής Γεωμετρίας. (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) ( [38]

39 5. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Βαρυτική θεωρία (Einstein 1915) Οι 3 διαστάσεις του στερεού εξαρτώνται και από την κίνησή του στον χώρο, όπου υφίσταται και 4η διάσταση, ο χ ρ ό ν ο ς. Ο χ ω ρ ό χ ρ ο ν ο ς ως ενοποιημένη έννοια, που είναι μαθηματικά χώρος Μινκόφσκι, είναι απόλυτος, ενώ οι συνιστώσες του, ο χώρος και ο χρόνος, αποτελούν πλευρές του που εξαρτώνται από τον παρατηρητή (το σύστημα αναφοράς). Η β α ρ υ τ ι κ ή δ ύ- ν α μ η περιγράφεται μέσω καμπυλώσεων του χωροχρονικού συνεχούς παρουσία μάζας. To δισδιάστατο ανάλογο παραμόρφωσης του χωρόχρονου. Η παρουσία ύλης αλλάζει τη γ ε ω μ ε τ ρ ί α του χωροχρονικού συνεχούς, η θετική κ α μ π ύ λ ω σ η του οποίου ερμηνεύεται ως βαρύτητα. (Μυτιλιναίος «Η Γεωμετρία και η σημασία της στη σύγχρονη Φυσική.Η οντότητα των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών») Το 1905, ο Albert Einstein διατύπωσε μια Θεωρία που θα μετέβαλλε εντελώς την αντίληψή μας για τον χώρο και τον χρόνο. Ο Einstein Θεμελίωσε την ειδική Θεωρία της σχετικότητας διατυπώνοντας την εξής γενική υπόθεση, η οποία σήμερα είναι γνωστή ως Αρχή της Σχετικότητας: Όλοι οι νόμοι της φυσικής είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. [39]

40 Σύμφωνα με τα γραφόμενα του ίδιου του Einstein, «...οι iδιοι νόμοι της ηλεκτροδυναμικής και της οπτικής ισχύουν σε όλα τα συστήματα αναφοράς στα οποία ισχύουν οι εξισώσεις της μηχανικής». Αυτή η απλή φράση εiναι μια γενίκευση της αρχής της σχετικότητας του Νεύτωνα και αποτελεi τη βάση της ειδικής Θεωρίας της σχετικότητας. Μια δεύτερη υπόθεση που έκανε ο Eίnstein είναι η εξής: Η ταχύτητα του φωτός στο κενό έχει την ίδια τιμή,, σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε μετρά την ταχύτητα του φωτός θα βρει την ίδια τιμή, c. Αν αποδεχθούμε τη Θεωρία της σχετικότητας του Einstein, πρέπει να συμπεράνουμε ότι η σχετική κίνηση δεν έχει καμιά σημασία για τη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός. Ταυτόχρονα, πρέπει να αλλάξουμε τις κοινές συμβατικές πεποιθήσεις μας για τον χώρο και τον χρόνο και να είμαστε προετοιμασμένοι για ορισμένες μάλλον παράξενες συνέπειες. 6. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΤΩΝ CAYLEY-KLEIN- POINCARE-HILBERT Σε αυτό το σημείο βρισκόμαστε στην τέταρτη περίοδο των μη ευκλείδειων γεωμετριών, όπου γίνεται η μεγαλύτερη κατανόηση των μοντέλων και των αναπαραστάσεών τους από την μαθηματική κοινότητα, αφού η έννοια των μοντέλων δεν είχε τότε τη σημερινή σημασία. Α. Η μετρική του Cayley Σε αυτό το σημείο κάνει την εμφάνισή της η προβολική γεωμετρία. Το είδος αυτής της γεωμετρίας έγινε γρήγορα αποδεκτή σε σχέση με αυτήν του Lobachevski-Bolyai, γεγονός που οφείλεται στην ομοιότητά της με [40]

41 την Ευκλείδεια Γεωμετρία, στην απλότητά της και την ομορφιά της, όπως υποστηρίζει και ο Torretti (1978/1984, σελ.110). Πιο συγκεκριμένα, οι μαθηματικοί συνήθιζαν να αναφέρουν την προβολική γεωμετρία, καθώς οι ρίζες της βρίσκονται στην τεχνική της προοπτικής, στην τέχνη της ζωγραφικής και της αρχιτεκτονικής της Αναγέννησης (Kline, 1953/1987 σελ ). Ο Kepler το 1604 στο πλαίσιο των Μαθηματικών, είναι αυτός που σε κάθε ευθεία θα αντιστοιχίσει ένα σημείο στο άπειρο. Ακολούθησαν οι Desargues ( ), Pascal ( ), Hire ( ). Η μεγάλη απήχηση της Προβολικής Γεωμετρίας οφείλεται κυρίως στους Monge ( ) και Poncelet ( ) που ήταν μαθητής του πρώτου. Μέχρι και τον Poncelet η γεωμετρία αυτή ήταν συνθετική αλλά από τον Klein ξεκινά η ανάπτυξη της αναλυτικής Προβολικής γεωμετρίας. Η διαφορά στη γεωμετρία του Cayley είναι ότι έκανε ένταξη της έννοιας «μετρική» και σύνδεσε την προβολική γεωμετρία με τις μη ευκλείδειες, παρ όλο που όπως αναφέρθηκε έχει ομοιότητες με την Ευκλείδεια γεωμετρία. Το 1859 στην εργασία του Sixth Memoir on Quantics ξεκινά με την φράση Στην εργασία αυτή προτείνω να διαπραγματευτούμε την γεωμετρική θεωρία. Αυτό που εννοεί ο Cayley είναι η διασαφήνιση της σχέσης της Προβολικής Γεωμετρίας και της μετρικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Κωνική σημειοσειρά θα είναι το σύνολο των σημείων τομής ομόλογων ζευγών ευθειών προβολικών επίπεδων δεσμών από δύο διαφορετικά σημεία. [41]

42 ( delin.html) Κωνική δέσμη, δυικά, θα καλούμε το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από τα ομόλογα σημεία δύο προβολικών συνεπίπεδων σημειοσειρών. Στην εργασία του αυτή ο Cayley εισάγει μια μετρική στο προβολικό επίπεδο βασισμένη σε μια δοσμένη κωνική την οποία καλεί απόλυτη (absolute) και θεωρεί τους προβολικούς μετασχηματισμούς που αφήνουν την κωνική αυτή αμετάβλητη. «Οι μετρικές ιδιότητες ενός σχήματος δεν έχουν να κάνουν με το σχήμα αυτό κάθε αυτό ξεχωριστά από οτιδήποτε άλλο, αλλά θεωρώντας το σε σχέση με ένα άλλο σχήμα όπως είναι η κωνική βάση με τον τρόπο αυτό η προβολική γεωμετρία περιέχει όλες τις γεωμετρίες». (Cayley, 1859, σελ.130) Ο Carley διακρίνει δυο περιπτώσεις, εκ των οποίων η πρώτη οδηγεί στην Ελλειπτική Γεωμετρία και η δεύτερη οδηγεί στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. [42] (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014)

43 Παρακάτω παρουσιάζονται κάποια σχήματα προβολικής γεωμετρίας. ( Β. Χρήση μετρικής από τον Klein Αυτό που πραγματοποιεί ο Klein είναι η σύνδεση της κωνικής βάσης της μετρικής του Cayley με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Συγκεκριμένα αναφέρει: [43]

44 «Η ανάγκη να κάνουμε διαισθητικά ξεκάθαρες τις αφηρημένες υποθέσεις που οδήγησαν στις τρείς γεωμετρίες, οδήγησαν τις έρευνές μου στην εύρεση παραδειγμάτων μετρικών, που θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως αναπαραστάσεις των τριών Γεωμετριών κάνοντας προφανή τη συνέπεια της κάθε μιας Σκοπός μου είναι να κατασκευάσω αναπαραστάσεις, στο επίπεδο και στον χώρο, των τριών γεωμετριών, οι οποίες θα προσφέρουν μια πλήρη εικόνα των χαρακτηριστικών γνωρισμάτων τους. Με τον τρόπο αυτό οι αναπαραστάσεις αυτές δεν θα είναι απλά ερμηνείες των εν λόγω γεωμετριών αλλά θα εξηγούν την πραγματική τους ουσία». Η γενικευμένη αυτή μετρική κατασκευάστηκε ουσιαστικά από τον Cayley. Του Cayley η οπτική γωνία ήταν ωστόσο τελείως διαφορετική από την παρούσα, αφού κατασκευάζει την μετρική του με σκοπό να δείξει πως η μετρική Ευκλείδεια Γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως τμήμα της Προβολικής Γεωμετρίας. (Klein, 1871, σελ ) Οι υποθέσεις που διατυπώνει ο Klein θεωρώντας την κωνική επιφάνεια στο χώρο είναι: a. Η θεμελιώδης επιφάνεια είναι φανταστική. b. Η θεμελιώδης επιφάνεια είναι πραγματική. c. Η θεμελιώδης επιφάνεια εκφυλλίζεται σε φανταστική καμπύλη. Οι υποθέσεις αυτές οδηγούν στην Ελλειπτική Γεωμετρία, την Υπερβολική Γεωμετρία, αλλά και την Ευκλείδεια. Όμως, ο Klein χρησιμοποίησε τη μετρική του Cayley και το επίπεδο μοντέλο Beltrami. Γίνεται φανερό, ότι τα μοντέλα του Klein και του Beltrami διαχωρίζονται, αφού το μοντέλο του Klein στοχεύει στην αναπαράσταση του θέματος, ενώ του Beltrami προσεγγίζει την Ευκλείδεια υλοποίηση, στοχεύει σε ένα αντικείμενο του πραγματικού χώρου. Γ. Μοντέλο Poincare O Poincare ( ) ήταν από τους τελευταίους επιστήμονες που ασχολήθηκαν με έρευνες στα Μαθηματικά, την Φυσική και την [44]

45 Αστρονομία. Μετά από τη διάλεξή του στο Παρίσι το 1908 και τη δημοσίευση του άρθρου του το 1909 συνδέθηκε με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Ο Torretti (1978/1984) συνοψίζει σε μια παράγραφο την κεντρική ιδέα αυτού που αποκαλείται συμβατισμός (conventionalism) του Poincaré: «Η αναντιστοιχία του απόλυτου χώρου με τις επιστημονικές παρατηρήσεις και τα πειράματα, τον οδήγησαν από νωρίς σε ένα ακραίο συμπέρασμα: η εμπειρία δεν μπορεί να μας διδάξει τίποτα για την δομή του πραγματικού χώρου τελικά η επιλογή της γεωμετρίας για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων είναι καθαρά θέμα σύμβασης». (σελ. 325) Με βάση το επίπεδο μοντέλο των Beltrami-Klein, ο Poincare οδηγήθηκε στη δημιουργία άλλων δύο επίπεδων μοντέλων: τον δίσκο και το ημιεπίπεδο. Θεωρούμε το επίπεδο μοντέλο των Beltrami-Klein και το καλούμε B2. Με την ίδια ακτίνα θεωρούμε σφαίρα στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο που εφάπτεται στον δίσκο B2 στο κέντρο του. Προβάλλουμε κάθετα τον B2 στην σφαίρα: η περιφέρεια του δίσκου θα προβληθεί στον ισημερινό της σφαίρας, ενώ οι χορδές του B2 θα είναι τώρα τόξα ορθογώνια στον ισημερινό της σφαίρας. Τώρα προβάλλουμε στερεογραφικά το νότιο αυτό ημισφαίριο από τον βόρειο πόλο Ν στο εφαπτόμενο επίπεδο στης σφαίρας στον νότιο πόλο S. [45] (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) Το διάσημο μοντέλο του Poincare είναι ο δίσκος D 2 που προέκυψε από αυτή τη στερεογραφική προβολή. Οι ευθείες στον δίσκο του Poincare

46 είναι ημικύκλια ορθογώνια στην περιφέρεια του δίσκου, αφού η στερεογραφική προβολή είναι ισογώνια. Η παραπάνω κατασκευή αποτελεί τον ισομορφισμό που προκύπτει από τα δυο αυτά μοντέλα, δηλαδή την ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ των σημείων και των ευθειών τους (Greenberg, 1980). (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) Ένα άλλο μοντέλο που οφείλεται στον Poincaré είναι το upper halfplane model το οποίο συμβολίζεται με Η, είναι το μοντέλο στο οποίο ως χώρος έχει επιλεγεί το πάνω ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή είναι το σύνολο που περιέχει όλους τους μιγαδικούς αριθμούς των οποίων το φανταστικό μέρος είναι θετικό. Δ. Hilbert Ο David Hilbert ήταν ο μοναδικός που συνέταξε ένα πλήρες σύστημα αξιωμάτων, το οποίο δημοσίευσε στο έργο του Grundlagen der Geometrie (Θεμέλια της Γεωμετρίας) το Σε αυτό το σύστημα θεωρεί τον τρισδιάστατο χώρο ως σύνολο θεμελιωδών στοιχείων και ορίζει τρία συστήματα αντικειμένων: [46]

47 Πρώτου συστήματος ονομάζει τα σημεία του μονοδιάστατου χώρου δηλαδή τα στοιχεία της γραμμικής γεωμετρίας και τα συμβολίζει με Α, Β, C,... Δεύτερου συστήματος ονομάζει τις ευθείες δηλαδή τα στοιχεία της επίπεδης γεωμετρίας και τα συμβολίζει με a, b, c. Τρίτου συστήματος ονομάζει τα επίπεδα δηλαδή τα στοιχεία του τρισδιάστατου χώρου και τα συμβολίζει με α, β, γ. Οι ιδιότητες του τρισδιάστατου χώρου προκύπτουν από τις σχέσεις των θεμελιωδών αυτών στοιχείων. Τα αξιώματα του Hilbert χωρίζονται σε 5 ομάδες, όπου κάθε ομάδα αντιστοιχεί σε μια λέξη, η οποία εκφράζει κάποια σχέση μεταξύ των θεμελιωδών στοιχείων. I. Τα αξιώματα θέσεως, τα οποία αντιστοιχούν στην σχέση ανήκειν των θεμελιωδών στοιχείων. II. Τα αξιώματα διάταξης που εκφράζουν την σχέση κείσθαι μεταξύ των θεμελιωδών στοιχείων. III. Τα μετρικά αξιώματα που απορρέουν από την σχέση της ισότητας. IV. Το αξίωμα των παραλλήλων από την λέξη παραλληλία. V. Τα αξιώματα συνέχειας από την λέξη συνέχεια. Από τις πέντε ομάδες αξιωμάτων θα δούμε το αξίωμα των παραλλήλων για το οποίο ο Hilbert ξεκινά με τους βασικούς ορισμούς: 1. Δυο ευθείες λέγονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο μεταξύ τους. 2. Δύο επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους όταν δεν έχουν κανένα [47]

48 κοινό σημείο μεταξύ τους. 3. Μια ευθεία είναι παράλληλη προς ένα επίπεδο όταν δεν έχει κανένα κοινό σημείο με αυτό. Ι. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΘΕΣΗΣ 1. Σε δύο σημεία αντιστοιχεί μία ευθεία στην οποία τα σημεία αυτά ανήκουν. 2. Η ευθεία στην οποία αντιστοιχούν δύο σημεία είναι μοναδική και ταυτίζεται με την ευθεία στην οποία ανήκουν. 3. Σε μία ευθεία ανήκουν τουλάχιστον δύο σημεία και υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. 4. Σε τρία σημεία αντιστοιχεί ένα επίπεδο, στο οποίο τα σημεία αυτά ανήκουν, και σε ένα επίπεδο αντιστοιχεί τουλάχιστον ένα σημείο το οποίο ανήκει σε αυτό. 5. Σε τρία σημεία, τα οποία δεν ανήκουν σε μία ευθεία, αντιστοιχεί μοναδικό επίπεδο και στο οποίο τα σημεία αυτά ανήκουν. 6. Αν δύο σημεία ανήκουν σε ένα επίπεδο τότε όλα τα σημεία της ευθείας την οποία ορίζουν τα σημεία αυτά, ανήκουν στο επίπεδο αυτό. 7. Αν ένα σημείο ανήκει σε δύο επίπεδα τότε θα υπάρχει και άλλο σημείο το οποίο θα ανήκει στα επίπεδα αυτά. 8. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. ΙΙ. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ 1. Αν το σημείο Β βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Γ τότε τα σημεία [48]

49 Α, Β και Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους και ανήκουν στην ίδια ευθεία. Μετά το αξίωμα αυτό μπορεί να δοθεί ο ορισμός του ευθύγραμμου τμήματος: «Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή ΒΑ με άκρα τα δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α και Β ονομάζουμε το σχήμα που αποτελείται από το σύνολο των σημείων που βρίσκονται μεταξύ των Α και Β. Το σχήμα αυτό προφανώς ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα Α και Β». 2. Στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α και Β υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ τέτοιο ώστε το Β να βρίσκεται μεταξύ των Α, Γ. 3. Από τρία σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία, το πολύ ένα βρίσκεται μεταξύ των άλλων δύο. 4. Έστω τρία σημεία Α, Β, Γ τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία και (ε) η ευθεία η οποία ανήκει στο επίπεδο που ορίζουν τα Α, Β, Γ και δεν διέρχεται από κανένα από τα σημεία αυτά (σχήμα 2.16). Αν η ευθεία αυτή έχει κοινό σημείο με ένα από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ τότε θα έχει κοινό σημείο και με το ένα από τα υπόλοιπα δύο ευθύγραμμα τμήματα. Α ε Β Γ [49]

50 ΙΙΙ ΜΕΤΡΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ 1. Έστω (λ) μια ευθεία, Α, Β δύο σημεία αυτής και Γ σημείο της ίδιας ευθείας ή κάποιας άλλης ευθείας (μ). Έστω Γχ η μια από τις ημιευθείες που σχηματίζει το Γ με την (λ) ή με την (μ). Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Δ της Γχ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ να είναι ίσο με το ΑΒ δηλαδή ΑΒ=ΓΔ. 2. Αν μεταξύ τριών ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ισχύουν ΑΒ=ΓΔ και ΓΔ=ΕΖ τότε θα είναι και ΑΒ=ΕΖ. 3. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ μιας ευθείας (ε) δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και το ίδιο συμβαίνει για τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ, ΕΖ της ίδιας ή άλλης ευθείας και ισχύουν οι σχέσεις ΑΒ=ΔΕ, ΒΓ=ΕΖ τότε θα έχουμε ότι: ΑΓ=ΔΖ. 4. Έστω επίπεδη γωνία xoˆy με Π το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται και ευθεία (ε) η οποία βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με την γωνία ή σε άλλο επίπεδο έστω P. Αν K σημείο της ευθείας (ε) θεωρούμε 1 Kx την μια από τις ημιευθείες που ορίζει το Κ στην (ε). Τότε αν Ε το ένα από τα ημιεπίπεδα που σχηματίζει η 1 Kx με το επίπεδο Π ή το P, υπάρχει επί του ημιεπιπέδου αυτού μοναδική ημιευθεία 1 Ky με αρχή το Κ τέτοια ώστε η γωνία χ 1 ky 1 να είναι ίση προς την γωνία xoˆy. 5. Έστω (Α, Δ), (Β, Ε), (Γ, Ζ) τρία ζεύγη σημείων από τα οποία το ένα τουλάχιστον περιέχει σημεία διάφορα μεταξύ τους και τα σημεία Α, Β, Γ αλλά και τα Δ, Ε, Ζ δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Αν ισχύει ΔΕ=ΑΒ, ΔΖ=ΑΓ και ΕΔΖ=ΒΑΓ, τότε θα ισχύει και ΔΕΖ=ΑΒΓ, ΕΖΔ=ΑΓΒ. [50]

51 IV ΑΞΙΩΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Από κάθε σημείο που δεν ανήκει σε μια ευθεία διέρχεται μια τουλάχιστον παράλληλος προς τη ευθεία αυτή. Το αξίωμα των παραλλήλων του Hilbert είναι το εξής: «Από κάθε σημείο το οποίο δεν ανήκει σε δοθείσα ευθεία διέρχεται το πολύ μια παράλληλος προς την ευθεία αυτή». Από το αξίωμα αυτό και το θεώρημα 1 προκύπτει το εξής: ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Από κάθε σημείο το οποίο δεν ανήκει σε δοθείσα ευθεία διέρχεται μοναδική παράλληλος προς την ευθεία αυτή. V. ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 1. Έστω ημιευθεία Αχ με αρχή το σημείο Α και Β σημείο της ημιευθείας αυτής. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ είναι άνισα και έστω ΑΒ το ΓΔ τότε επί της ημιευθείας με αρχή το Α και στην οποία ανήκει ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, υπάρχει πεπερασμένο πλήθος διαδοχικών σημείων A 1, A 2,, A ν τέτοιων ώστε: ΑΑ 1 =Α 1 Α 2 =Α 2 Α 3 = =Α ν- 1Α ν =ΓΔ 2. Έστω ευθεία (ε) και ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των οποίων [51]

52 αποτελούν ακολουθία Α 1 Β 1, Α 2 Β 2,, Α i B i,, και τα οποία ανήκουν στην ευθεία αυτή. Είναι δε τέτοια ώστε το A j βρίσκεται μεταξύ των A j-1, B 1 ή συμπίπτει με το B j-1 με j=2,..,i, και δεν υπάρχει τμήμα της (ε) το οποίο να ανήκει στο AnBn τμήμα της ακολουθίας και συγχρόνως να ανήκει σε όλα τα επόμενα του A n B n τμήματα της ακολουθίας. Τότε υπάρχει σημείο Μ της ευθείας (ε) τέτοιο ώστε να μην είναι εξωτερικό προς κανένα από τα τμήματα της ακολουθίας. Από τα αξιώματα αυτά το πρώτο είναι το γνωστό Αξίωμα του Αρχιμήδη ή Αξίωμα του Εύδοξου, ενώ το δεύτερο είναι το γνωστό Αξίωμα του Cantor. Τα δύο αυτά αξιώματα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα άλλο αξίωμα το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως το μοναδικό αξίωμα διάταξης. Αυτό είναι το γνωστό Αξίωμα του Dedekind και είναι το εξής: «Θεωρούμε ότι τα σημεία και τα άκρα ενός διατεταγμένου ευθύγραμμου τμήματος χωρίζονται σε δύο κατηγορίες με ονομασίες, πρώτη και δεύτερη, τέτοιες ώστε α) η αρχή του τμήματος να ανήκει στην πρώτη κατηγορία και το πέρας στην δεύτερη β) τυχαίο σημείο του τμήματος να ανήκει στην πρώτη ή την δεύτερη κατηγορία γ) οποιοδήποτε σημείο το οποίο ανήκει στην πρώτη κατηγορία προηγείται όλων των σημείων που ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία. Τότε υπάρχει σημείο στην ευθεία στην οποία ανήκει το ευθύγραμμο αυτό τμήμα, τέτοιο ώστε να μην είναι εξωτερικό του τμήματος. Το σημείο αυτό κατά την συγκεκριμένη διάταξη έπεται του ευθύγραμμου τμήματος και ανήκει στην πρώτη κατηγορία. Επίσης οποιοδήποτε σημείο του τμήματος έπεται του σημείου αυτού, ανήκει στην δεύτερη κατηγορία. Το σημείο αυτό είναι μοναδικό και ανήκει σε μια από τις δυο κατηγορίες. Αν συμπίπτει με την αρχή τότε είναι και το μοναδικό σημείο πρώτης κατηγορίας, ενώ αν συμπίπτει με το πέρας είναι το μοναδικό σημείο δεύτερης κατηγορίας». (Καίσαρη, Διδακτορική Εργασία, 2014) [52]

53 Ας δούμε τώρα το αριθμητικό μοντέλο του Hilbert για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. 1 ε Ω Αν α, b ε Ω, b 0, τότε και a+b, a-b, ab, a:b, ανήκουν στο Ω. Αν α ε Ω, τότε και 1+α 2 ε Ω Για τον Hilbert τα αξιώματα έχουν τελείως διαφορετικό νόημα από αυτό που αποδίδεται στον Ευκλείδη αφού δεν συνδέονται με την διαίσθηση. Το κριτήριό του για την αλήθεια είναι η μη αντιφατικότητα των αξιωμάτων και των συνεπειών τους που θα συνεπάγεται την ύπαρξη των αντικειμένων που ορίζουν. Θέλοντας να αποκοπεί από την καντιανή αντίληψη για την γεωμετρία ήταν πρόθυμος να αλλάξει τον χαρακτηρισμό αξίωμα για να μην δημιουργείται σύγκρουση με την χρήση του από τους Μαθηματικούς και τους Φυσικούς (Torretti, 1978/1984, σελ. 249). ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΥΝΟΨΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ Το 1830 βγήκαν στη δημοσιότητα σχεδόν ταυτόχρονα τα δυο πρώτα ολοκληρωμένα έργα μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Οι συγγραφείς τους, Ρώσσος Lobachevski, καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Καζάν και ο Ούγγρος Bolyai, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, προσπάθησαν να αποδείξουν το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη. Έτσι, αντικατέστησαν το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη με την εξής πρόταση: [53]

54 «Υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες προς μια άλλη ευθεία, που διέρχονται από ένα σημείο έξω από την ευθεία». Ρ Μ Μ L Η μεγαλύτερη εργασία του Lobachevski με τίτλο Geometriya ολοκληρώθηκε το 1823, αλλά δεν εκδόθηκε στην αρχική της μορφή, παρά μόνο δεκαετίες αργότερα, το Η εργασία του για τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και ιδιαίτερα για την Υπερβολική γεωμετρία τυπώθηκε το ( Η σφαιρική ή ελλειπτική γεωμετρία στηρίζεται στον Riemann, ο οποίος πήρε μαθήματα μαθηματικών από τον Moritz Stern και τον Gauss [54]

55 στο πανεπιστήμιο του Gottingen. Ο Riemann μετακόμισε το 1847 στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Εκεί πέρασε μια σημαντική εποχή για την επιστημονική του διαμόρφωση. Ο καθηγητής που τον επηρέασε περισσότερο ήταν ο Dirichlet. O Gauss του εμπιστεύτηκε μια διάλεξη. Στο πρώτο μέρος έθετε το πρόβλημα του τρόπου, με τον οποίο μπορούμε να προσδιορίσουμε έναν χώρο διαστάσεων και τελείωνε δίνοντας έναν ορισμό αυτού που σήμερα αποκαλούμε χώρο του Riemann. O Riemann μπόρεσε να ξεφύγει από τα στενά όρια της Ευκλείδειας γεωμετρίας και να αποδείξει ότι υπάρχει και μια άλλη Γεωμετρία εξίσου αληθινή, όπου ο χώρος είναι καμπύλος. Σε αυτόν τον γεωμετρικό χώρο αλλάζει τελείως το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη. Η πρόταση στη Ρημάνεια Γεωμετρία είναι η ακόλουθη: «Από ένα σημείο έξω από την ευθεία δε διέρχεται καμία παράλληλη προς την ευθεία». Σε αυτή την σφαιρική γεωμετρία όλες οι ευθείες συναντώνται κάπου. Στο δεύτερο μέρος της διάλεξης έθεσε πιο βαθιά ερωτήματα σχετικά με τη γεωμετρία και τον κόσμο που ζούμε. Έθεσε το ζήτημα ποια ήταν η διάσταση του αληθινού χώρου και ποια γεωμετρία περιγράφει τον πραγματικό χώρο. Από όλο το ακροατήριο μόνο ο Gauss μπόρεσε να αντιληφθεί το βάθος και την πρωτοπορία των θέσεων του Riemann. Οι θέσεις αυτές του Riemann ήταν τόσο πρωτοποριακές που μόνο μετά από 60 χρόνια μπόρεσαν να αποδειχθούν πόσο θεμελιώδεις είναι για την φύση και τη δομή του σύμπαντος μέσα από τη «Γενική Θεωρία της Σχετικότητας» του Αϊνστάιν. Στη Γεωμετρία του Riemann, o Αϊνστάιν βρήκε το πλαίσιο για να θέσει τις δικές του ιδέες, την κοσμολογία και την κοσμογονία του κι έτσι το πνεύμα του Riemann βρήκε επιτέλους τη Φυσική που του ταίριαζε. ( [55]

56 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ (ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ- ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ-ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ) [56]

57 [57]

58 Στις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, η περίμετρος του κύκλου δεν ισούται με 2πρ, όπου ρ η ακτίνα του. Επίσης, δεν ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. [58]

59 [59] (

60 ΕΙΚΟΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ [60]

61 ( ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΣΤΑΥΡΟΛΕΞΟ Σταυρόλεξο είναι ένα παιχνίδι μυαλού και γνώσης, στο οποίο ο λύτης προσπαθεί να βρει κρυμμένες λέξεις. Αποτελείται συνήθως από έναν ασπρόμαυρο πίνακα που αποτελείται από λευκά και μαύρα τετράγωνα. Στα λευκά τετράγωνα γράφονται γράμματα που σχηματίζουν λέξεις, οι οποίες διασταυρώνονται μεταξύ τους τα μαύρα τετράγωνα οριοθετούν το τέλος ή την αρχή των λέξεων του σταυρολέξου. Στο σταυρόλεξο περιλαμβάνονται επίσης και ορισμοί που περιγράφουν περιφραστικά κάθε λέξη, και οι οποίοι μπορούν είτε να βρίσκονται πάνω στο σταυρόλεξο (όπως στα σκανδιναβικά σταυρόλεξα) [61]

62 είτε, συνηθέστερα, τυπωμένοι κάτω από τον πίνακα και αριθμημένοι. Ο αριθμός κάθε ορισμού αναφέρεται στη «συντεταγμένη» της αντίστοιχης λέξης πάνω στον πίνακα. Πολλές φορές σαν μέρος ενός ορισμού υπάρχει μια εικόνα ή φωτογραφία. (Βικιπαίδεια, Ελεύθερη Εγκυκλοπαίδεια) ( ΣΚΑΚΙ Το σκάκι είναι επιτραπέζιο παιχνίδι και ιδιαίτερα πνευματικό άθλημα για δύο παίκτες. Παίζεται σε τετράγωνο διάγραμμα, που λέγεται σκακιέρα, επί της οποίας οι παίκτες, καθισμένοι αντικριστά, μετακινούν, ο ένας τους 16 λευκούς πεσσούς (πιόνια) του παιγνιδιού και ο άλλος τους 16 μαύρους, σε εναλλάξ κινήσεις, μία προς μία, με βάση τους κανονισμούς του παιχνιδιού. (Βικιπαίδεια, Ελεύθερη Εγκυκλοπαίδεια) [62]

63 ( ΤΣΟΥΛΙΘΡΑ [63]

64 ΣΑΜΑΡΙ ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ ΣΦΑΙΡΑ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΩ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν ισούται με 180. Η περίμετρος του κύκλου δεν ισούται με 2πR, όπου R η ακτίνα του. Δεν ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. [64]

65 ( ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ ΔΥΟ ΕΙΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΣΕ ΜΠΑΛΟΝΙ Υπερβολική γεωμετρία Τρίγωνο < 180 ο Ελλειπτική γεωμετρία Τρίγωνο > 180 ο [65]