Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Τοµέας Αστροφυσικής Αστρονοµίας Μηχανικής Εργαστηριακές Ασκήσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ (Α' Μέρος) Αθήνα

2 Πρόλογος Το παρόν είναι αποτέλεσµα µιας σειράς προηγουµένων εκδόσεων για τις «Εργαστηριακές Ασκήσεις» που συνοδεύουν το µάθηµα της Παρατηρησιακής Αστροφυσικής. Το µάθηµα είναι υποχρεωτικό για τους φοιτητές που έχουν επιλέξει ως κατεύθυνση την Αστροφυσική Αστρονοµία & Μηχανική, ενώ είναι µάθηµα επιλογής για τους φοιτητές των άλλων Τοµέων του Τµήµατος Φυσικής. Οι Εργαστηριακές Ασκήσεις που συµπεριλαµβάνονται στην παρούσα έκδοση είτε έχουν γραφεί εξ ολοκλήρου από την κ., ή είναι ασκήσεις που έχουν προταθεί από διακεκριµένους αστρονόµους της αλλοδαπής και βρίσκονται σε διάφορα βιβλία. Στη δεύτερη αυτή περίπτωση αναφέρεται η πηγή τους. Η παρούσα έκδοση περιλαµβάνει σε Παράρτηµα όπως και οι προηγούµενες τα ονόµατα των αστερισµών, Πίνακες αστέρων και χάρτες του ουρανού. Στο Παράρτηµα περιγράφονται επίσης ο γνώµονας καθώς τα ηλιακά ωρολόγια και ο τρόπος κατασκευής τους. Ο γνώµονας συµπεριελήφθη για πρώτη φορά στην έκδοση του Ακαδηµαϊκού έτους , ενώ τα ηλιακά ωρολόγια σ αυτήν του Αυτό έγινε µετά από συζητήσεις µε πολλούς φοιτητές, οπότε διαπιστώθηκε η σχεδόν πλήρης άγνοιά τους για το τί µπορεί να υπολογισθεί µε τη βοήθεια ενός απλού γνώµονα και για το πως κατασκευάζεται ένα ηλιακό ωρολόγιο. Στο Παράρτηµα δίνεται και Πίνακας µε τις Αστρονοµικές σταθερές. Αθήνα

3 Περιεχόµενα Σελ. Πρόλογος 2 Περιεχόµενα 3 Συστήµατα Συντεταγµένων 4 Τίτλος Άσκησης Άσκηση 1 η : Ηµερησία Φαινοµένη Κίνηση Αστέρα 5 Άσκηση 2 η : Επιλογή Χρόνου και Εποχής Παρατήρησης Αστέρα 6 Α Χάρτης του ουρανού (Επιπεδόσφαιρο) 8 Β Χάρτης του ουρανού (Επιπεδόσφαιρο) 9 Άσκηση 3 η : Ίδιες Κινήσεις των Αστέρων (Α Μέρος) 10 Ίδιες Κινήσεις των Αστέρων (Β Μέρος) 13 Άσκηση 4 η : Τηλεσκόπια 15 Άσκηση 5 η : υναµικές Παραλλάξεις ιπλών Αστέρων 16 Άσκηση 6 η : ιαστολή του Σύµπαντος 18 Άσκηση 7 η : Κατασκευή ιαγράµµατος H-R για Αστέρες µε Μεγάλη Παράλλαξη 21 Άσκηση 8 η : Φασµατοφωτοµετρία των Αστέρων στο Εγγύς Υπέρυθρο 25 Άσκηση 9 η : Κατασκευή ιαγραµµάτων H-R 29 Άσκηση 10 η : ιάγραµµα H-R ενός Αστρικού Σµήνους 32 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Ι: Ονόµατα Αστερισµών 35 ΙΙ: Γνώµονας: Το πιο απλό αστρονοµικό όργανο 37 ΙΙΙ: Ηλιακά Ωρολόγια 40 IV: ιάφορες Σταθερές 43 V: Χρήσιµες Πληροφορίες 44 Όψεις Ουράνιας Σφαίρας (Για παρατηρητή στο Βόρειο ηµισφαίριο) 47 Όψεις Ουράνιας Σφαίρας (Για παρατηρητή στο Νότιο ηµισφαίριο) 49 Όψεις του νυκτερινού ουρανού (αστέρες µε δ 50 ) 52 3

4 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 1 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΤΕΡΑ Σκοπός της άσκησης: Η άσκηση αυτή έχει σκοπό: 1) την αναγνώριση κάποιου αστέρα κατά τη διάβασή του από τον µεσηµβρινό ενός τόπου Τ. 2) εάν ο αστέρας είναι αµφιφανής να προσδιορίσει τα σηµεία ανατολής και δύσης στον τόπο παρατήρησής του και να υπολογίσει τους αντίστοιχους χρόνους. Υλικό άσκησης: Χάρτης αστέρων και µια αστρονοµική εφηµερίδα. Σχετική θεωρία: Φαινόµενη ηµερήσια τροχιά αστέρα, χρόνος. Άσκηση Από τον Αστρονοµικό Σταθµό Κρυονερίου Κορινθίας, (φ=37 50, λ= 1 h 27 m ), παρατηρούνται την / / δύο αστέρες κατά τη διάβασή τους από το µεσηµβρινό του τόπου (άνω µεσουράνηση των αστέρων). Εάν ο ένας αστέρας, Σ 1, µεσουρανεί άνω προς Νότο και ο άλλος, Σ 2, προς Βορρά του Ζενίθ του τόπου, ο παγκόσµιος χρόνος τη στιγµή της παρατήρησης είναι U.T. = h m s επιλέξτε κατάλληλα µεσηµβρινά ύψη υ Σ1, υ Σ2 για τους δύο αστέρες ώστε να είναι αµφιφανείς: υ Σ1 = ( ο ) και υ Σ2 = ( ο ) Βήµατα Άσκησης α) Υπολογίστε τον τοπικό αστρικό χρόνο παρατήρησης t. (Με την βοήθεια γνωστών τύπων υποθέτοντας ότι δεν διαθέτετε χρονόµετρο αστρικού χρόνου). β) Βρείτε τις ουρανογραφικές συντεταγµένες των αγνώστων αστέρων Σ 1 (α 1, δ 1 ) και Σ 2 (α 2, δ 2 ). γ) Με βάση τα δεδοµένα και τα στοιχεία που υπολογίσατε φτιάξτε την ουράνια σφαίρα του τόπου παρατήρησης και τις φαινόµενες ηµερήσιες τροχιές των αστέρων Σ 1 και Σ 2. δ) Από ποιό µεσηµβρινό ύψος ο αστέρας Σ 2 είναι αειφανής; ε) Από ποιό µεσηµβρινό ύψος ο αστέρας Σ 1 είναι αφανής; στ) Υπολογίστε τους τοπικούς αστρικούς χρόνους ανατολής και δύσης των αστέρων. ζ) Πού βρίσκεται το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ τη στιγµή της παρατήρησης; η) Βρείτε ποιοι ήταν οι αστέρες που παρατηρήθηκαν. (Με τη βοήθεια χάρτη ή οµοιώµατος της ουράνιας σφαίρας). θ) Υπολογίστε τα αζιµούθια της Ανατολής και ύσης του αστέρα Σ 1 στον τόπο, (άνω µεσουράνηση προς Νότο του Ζενίθ του τόπου). ι) Υπάρχει κατά τη διάρκεια του έτους ηµεροµηνία κατά την οποία ο(οι) αστέρας(ες) ανατέλλει(ουν) την ίδια ώρα µε τον Ήλιο; ικαιολογήστε την απάντησή σας. 5

6 ΑΣΚΗΣΗ 2η ΕΠΙΛΟΓΗ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΟΧΗΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ ΑΣΤΕΡΑ Σκοπός της άσκησης: Προσδιορισµός του κατάλληλου χρόνου παρατήρησης ενός γνωστού αστέρα Σ(α,δ) από κάποιο τόπο Τ(φ,λ). Υλικό άσκησης: Ένας κατάλογος αστέρων, µια αστρονοµική εφηµερίδα και ένας (περιστροφικός) χάρτης του ουρανού. Σχετική θεωρία: Χρόνος φαινόµενη ηµερήσια τροχιά αστέρα. εδοµένα Άσκησης: Έστω ο λαµπρός αστέρας Σ (α 1950 =, δ 1950 = ) (Επιλογή από τον παρακάτω κατάλογο) Ερωτήµατα Άσκησης: 1) Σε ποιό τµήµα του ουρανού ( υτικό ή Ανατολικό) θα εµφανισθεί και ποιά θα είναι η ωριαία γωνία του όταν το εαρινό ισηµερινό σηµείο γ µεσουρανεί α) άνω και β) κάτω στην Αθήνα; Οι γεωγραφικές συντεταγµένες της Αθήνας είναι: φ=37 ο 58, λ= 1 h 31 m. 2) Βρείτε τη ζενιθιακή απόσταση z και το Αζιµούθιο Α του ίδιου αστέρα σήµερα τη στιγµή που ο τοπικός αστρικός χρόνος είναι t= h m s. 3) Αν θέλετε να παρατηρήσετε τον αστέρα από τον Αστρονοµικό Σταθµό Κρυονερίου Κορινθίας (φ=37 ο 50, λ= 1 h 27 m ), ποιά είναι η πιο κατάλληλη εποχή παρατήρησής του; Βήµατα για απάντηση ερωτηµάτων β 1 ) Για το 1 ο ερώτηµα πρέπει να φτιάξετε την ουράνια σφαίρα για την Αθήνα και να τοποθετήσετε το γ και τον αστέρα σ αυτήν. β 2 ) Για το 2 ο ερώτηµα πρέπει να επιλύσετε το τρίγωνο θέσης ΠΖΣ του αστέρα. β 3 ) Για το 3 ο ερώτηµα: 1) Από τον κατάλογο των αστέρων βρείτε τα στοιχεία του αστέρα που θέλετε να παρατηρήσετε και από την ιδία του κίνηση υπολογίστε τις σηµερινές ουρανογραφικές του συντεταγµένες. 2) Υπολογίστε τις χρονικές στιγµές (τοπικού αστρικού χρόνου) ανατολής, t A, και δύσης, t, του αστέρα στον τόπο παρατήρησής του, Τ(φ,λ). 3) Βρείτε την κατάλληλη εποχή παρατήρησης του αστέρα, (από τον τόπο παρατήρησής του, Τ(φ,λ)). 6

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΣΤΕΡΩΝ Όνοµα Αστέρα α 1950 δ 1950 M Φ.Τ µ α µ δ 1. Λαµπαδίας (α Ταύρου) 04 h 34 m 34.9 s ,1 Κ5 0,005 0, Μπέτελγκεζ (α Ωρίωνα) 05 h 53 m 54.6 s M0 0,004 0, Σείριος (α Μεγ.Κυνός) 06 h 44 m 7.1 s ,6 A0 0,007 0, Βασιλίσκος (α Λέοντα) 10 h 07 m 7.9 s ,3 B8 0,003 0, Στάχυς (α Παρθένου) 13 h 23 m 57.7 s ,2 B2 0,002 0, Αρκτούρος (α Βοώτου) 14 h 14 m 35.7 s ,2 K0 0,004 0, Αντάρης 16 h 27 m 58.6 s M ,2 (α Σκορπίου) A3 0,005 0, Βέγας (α Λύρας) 18 h 36 m 8.5 s ,1 A0 0,003-0, Αλτάιρ 19 h 49 m 38.6 s 0, ,9 A5 0,002 (α Αετού) h 07 m 17.9 s A0p ,1 (α Ανδροµέδας) 0,003 0, (γ Ωρίωνα) 05 h 24 m 0.2 s ,7 Β2 0,004-0, (δ Μεγ. Κυνός) 07 h 07 m 33.2 s ,0 F8p 0,003 0, (β Ταύρου) (β Λέοντα ) (β Παρθένου) 05 h 24 m 57.8 s ,8 Β8 0,005 0, h 47 m 59.3 s ,2 A2 0,003-0, h 49 m 36.0 s ,9 F8 0,002 0,001 7

8 8

9 9

10 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Ι ΙΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ Σκοπός: α) Αλλαγή µορφής των αστερισµών λόγω ιδίας κίνησης των αστέρων τους. β) Εύρεση απόστασης κινούµενου σµήνους αστέρων. Υλικό άσκησης: Θέσεις των πιο λαµπρών αστέρων ενός αστερισµού, (π.χ. Ωρίωνα), Χάρτης του σµήνους των Υάδων, στοιχεία για µερικούς αστέρες του σµήνους. Σχετική θεωρία: Ιδία κίνηση αστέρα (proper motion). Ιδία Κίνηση Αστέρα Οι αστέρες κινούνται στο χώρο και η κίνησή τους εξετάζεται σε σχέση µε την κίνηση του Ήλιου, Η, από την περιοχή του οποίου τους παρατηρούµε. Έστω αστέρας Σ 1 (Σχήµα 1) σε απόσταση ΗΣ 1 =r(km) που κινείται µε σχετική ταχύτητα V(Km/sec). Αν σε διάστηµα ενός έτους διανύσει την απόσταση Σ 1 Σ 2 η γωνιώδης απόσταση των δύο αυτών σηµείων εκφράζει την ιδία κίνηση του αστέρα. Ας αναλύσουµε το άνυσµα V της ταχύτητας (space velocity) του αστέρα σε δύο συνιστώσες (ακτινική V A και επιτρόχιο V E ): V 2 =V A 2 +V E 2 (1) Η ακτινική συνιστώσα προσδιορίζεται από τη µετατόπιση των φασµατικών γραµµών (φαινόµενο Doppler), από τη σχέση: (V A /c)=( λ/λ) (2) Και από το σχήµα 1: V A = V. συνθ & V Ε = V. ηµθ Σχήµα 1: Ιδία κίνηση αστέρα Σχήµα 2 10

11 Από το σχήµα 2, η επιτρόχιος συνιστώσα V Ε είναι προφανώς: V E t= χ, ενώ η χ: χ=r θ rad Οπότε καταλήγουµε στη σχέση: V E. t=r θ (3) Κι αν θεωρήσουµε την κίνηση του αστέρα σε ένα χρόνο, η (3) γράφεται: V E. E=r. µ (4) όπου µ η ιδία κίνηση του αστέρα και Ε ένα έτος. Από τη σχέση (4) προκύπτει η απόσταση r του αστέρα: r=206265(v E. E/µ) (5) Επιπλέον γνωρίζουµε ότι η παράλλαξη π του αστέρα είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασής του, αν η τελευταία µετράται σε pc. Είναι δηλαδή: π =1/r(pc), όπου 1pc= A.U. και 1A.U.=1,5x10 8 Km. Αν επιπλέον λάβουµε υπόψη ότι 1Ε=3,16x10 7 sec, καταλήγουµε στις σχέσεις: V E (Km/sec)=4,74 µ( /y)/r(pc) & r(pc)=0,21[v E (Km/sec)/µ( /y)] (6) από την οποία είναι δυνατόν να υπολογισθεί η απόσταση του αστέρα, αν γνωρίζουµε την ιδία του κίνηση και την επιτρόχιο συνιστώσα της ταχύτητάς του στο χώρο. Η ιδία κίνηση των αστέρων είναι πολύ µικρή και εκφράζεται σε /y. Παρά ταύτα µεταβάλλει τις ουρανογραφικές συντεταγµένες των αστέρων και διακρίνεται σε ιδία κίνηση κατ ορθή αναφορά, µ α, και κατ απόκλιση, µ δ. Επιπλέον, επειδή οι ταχύτητες των αστέρων έχουν διαφορετικές διευθύνσεις στο χώρο, µε την πάροδο εκατοµµυρίων ετών η ιδία κίνηση των αστέρων έχει ως από-τέλεσµα τη µεταβολή της µορφής των αστερισµών. Α Τµήµα Άσκησης Πίνακας Λαµπρότεροι Αστέρες στον αστερισµό του Ωρίωνα Αστέρας α δ µ α µ δ Φάσµα α 5 h 54 m , M2 β ,001 0,000 Β8 γ ,001-0,014 Β2 δ ,001-0,001 Β0 ε ,000 0,000 Β0 ζ ,004-0,002 Β0 κ ,004-0,002 Β0 ι ,003 0,004 Ο8 θ ,003 0,003 Ο5 11

12 Με βάση τα δεδοµένα του Πίνακα: α 1 : Φτιάξτε τη σηµερινή µορφή του αστερισµού. α 2 : Τη µορφή του µετά από 1 εκατοµµύριο χρόνια. α 3 : Τη µορφή του πριν από 1 εκατοµµύριο χρόνια. Για διευκόλυνσή σας, δίνονται: 1) Η περιοχή του ουρανού που βρίσκονται οι πιο λαµπροί αστέρες του αστερισµού. 2) Κλίµακα αποστάσεων (σε δευτερόλεπτα τόξου). Κλίµακα αποστάσεων Περιοχή του αστερισµού του Ωρίωνα 12

13 Β Τµήµα Άσκησης Προσδιορισµός Απόστασης Κινουµένου Σµήνους Αστέρων (Από το βιβλίο Exercises in Astronomy, Kleczek J., σελ.223) Σκοπός: Προσδιορισµός της απόστασης του κινούµενου σµήνους των Υάδων. Υλικό άσκησης: Χάρτης του σµήνους των Υάδων, στοιχεία για µερικούς αστέρες του σµήνους. Κινούµενο Σµήνος Αστέρων (Υάδες) ίνεται σµήνος αστέρων (Υάδες), όπου τα βέλη (ανύσµατα) δηλώνουν τις ταχύτητες των αστέρων του σµήνους στο χώρο. Τα ανύσµατα αυτά συγκλίνουν σε κάποιο σηµείο, έστω ΣΣ. Βήµατα Άσκησης α) Προεκτείνετε τα ανύσµατα των αστέρων του σµήνους, ώστε να προσδιορίσετε το σηµείο σύγκλισής τους. (Επειδή οι αστέρες του σµήνους περιφέρονται και γύρω από το κοινό κέντρο µάζας τους, το σηµείο ΣΣ δεν προσδιορίζεται µε µεγάλη ακρίβεια). β) Επιλέξτε το σηµείο ΣΣ (αυτό που θεωρείται πιο πιθανό) και προσδιορίστε τις ουρανογραφικές του συντεταγµένες. γ) Από τα δεδοµένα για 8 αστέρες του σµήνους, συµπληρώστε τα υπόλοιπα στοιχεία τους. γ1: Αναγνωρίστε τους 8 αστέρες (από τις συντεταγµένες και το µέγεθός τους). γ2: Μετρείστε την απόσταση κάθε αστέρα από το σηµείο ΣΣ και µετατρέψτε την σε γωνία. (Ένας απλός και πρόχειρος τρόπος είναι µέσω του άξονα των αποκλίσεων) γ3: Υπολογίστε την ιδία κίνηση µ και την επιτρόχιο συνιστώσα της ταχύτητας, V E. (µ= (µ α 2 cos 2 δ + µδ 2 ) = (µsinθ +µcosθ) και V E =V sinθ & V E = 4,74 µ/r ) δ) Βρείτε την απόσταση του σµήνους (µέσος όρος των αποστάσεων των 8 αστέρων). ε) Είναι δυνατόν να προσδιορίσετε τις αποστάσεις των µελών του σµήνους από τις τριγωνοµετρικές τους παραλλάξεις; ( ικαιολογήστε την απάντησή σας). 13

14 Το κινούµενο σµήνος των Υάδων εδοµένα 8 αστέρων του σµήνους των Υάδων (Συµπληρώστε τις κενές στήλες του Πίνακα) α.α. α δ m V µ α cosδ 0, 001/α µ δ 0, 001/α 6 3 h 50 m 15 s ,96 149±2-28±2 31,6±0, ,71 152±2 10±2 35,8±2, ,27 112±2-23±2 36,1±0, ,20 106±5-46±6 40,5±1, ,30 103±3-11±2 44,4±2, ,43 74±4-4±3 38,2±1, ,70 68±1-42±1 42,5±1, ,10 62±4-70±3 41,3±0,9 V A Km/s µ θ V E r 14

15 ΑΣΚΗΣΗ 4 η ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΑ Σκοπός: Εξοικείωση µε τα οπτικά τηλεσκόπια και την παρατήρηση απλών και διπλών αστέρων. Σχετική Θεωρία: Περί οπτικών τηλεσκοπίων & σχετικοί τύποι, µεγέθη & λαµπρότητες αστέρων. Γενικά Για την εκτέλεση της άσκησης εκτός από τους γνωστούς ορισµούς της µεγέθυνσης, της διακριτικής ικανότητας κλπ. χρειάζεται να ορίσουµε την κλίµακα µιας φωτογρα- φικής πλάκας, K, που είναι ο λόγος της γωνιώδους προς τη γραµµική απόσταση. ηλαδή της γωνιώδους απόστασης ω δύο σηµείων ενός ουρανίου σώµατος π.χ. κέντρο, περιφέρεια ή δύο ουρανίων σωµάτων όπως αυτά φαίνονται στον ουρανό προς τη γραµµική τους απόσταση d, όπως αποτυπώνεται στη φωτογραφική πλάκα. Εποµένως είναι: Κ= ω /d (mm). Επιπλέον, αν F είναι η εστιακή απόσταση του τηλεσκοπίου µε το οποίο έγινε η φωτογράφηση, αυτή συνδέεται µε την Κ µε τον τύπο: F = /K. Βήµατα Άσκησης 1. Αποδώστε σχηµατικά την αρχή λειτουργίας ενός διοπτρικού τηλεσκοπίου. 2. Τα τηλεσκόπια στους Αστρονοµικούς Σταθµούς Αθηνών, Πεντέλης, Κρυονερίου, Σκίνακα και Χελµού έχουν, αντίστοιχα, διαµέτρους: D Α =40cm, D Π =25inch, D Κρ =1,20m, D Σκ =1,30m & D Χ =2,30m. 2α) Να βρεθούν τα µεγέθη των πιο αµυδρών αστέρων που µπορούν να παρατηρηθούν µε τα τηλεσκόπια αυτά. 2β) Ποία η διακριτική ικανότητα των τηλεσκοπίων αυτών; 3. Πώς φαίνονται τα παρακάτω ζεύγη αστέρων µε τηλεσκόπιο εστιακής απόστασης F=1,5m και εστιακού λόγου Ν/6; Ζεύγος Μέγεθος Μέγεθος Γωνιώδης 1 ου αστέρα 2 ου αστέρα Απόσταση( ) α m 1 =8 m 2 =9 α=0,30 β m 1 =15 m 2 =16 α=0,25 γ m 1 =13 m 2 =12 α=0,63 δ m 1 =14 m 2 =17 α=0,50 ε m 1 =16 m 2 =13 α=0,40 στ m 1 =9 m 2 =15 α=0,18 όπου m 1, m 2 τα φαινόµενα µεγέθη των δύο αστέρων του ζεύγους αντίστοιχα και α η γωνιώδης τους απόσταση σε δευτερόλεπτα τόξου. 4. Να βρεθεί η εστιακή απόσταση ενός αστρογράφου αν σε φωτογραφική πλάκα που πήραµε µε αυτόν η απόσταση δύο ουρανίων σωµάτων µετρήθηκε ίση προς 5cm, ενώ η γωνιώδης τους απόσταση είναι 0,5. 15

16 ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΑΞΕΙΣ ΙΠΛΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ (Από το βιβλίο Exercises in Astronomy, Kleczek J., σελ. 272) Σκοπός της άσκησης: Προσδιορισµός παράλλαξης (δηλαδή απόστασης) ενός ζεύγους αστέρων µε απλό µαθηµατικό τρόπο. Υλικό άσκησης: Στοιχεία του ζεύγους και γνωστοί πίνακες αναγωγών. Γενική εισαγωγή Η παράλλαξη (και κατ επέκταση η απόσταση) ενός ζεύγους αστέρων µπορεί να βρεθεί µε εφαρµογή του νόµου του Νεύτωνα. Για το λόγο αυτό οι παραλλάξεις που προσδιορίζονται µε τον τρόπο αυτό ονοµάζονται δυναµικές. Έστω ζεύγος αστέρων µε µάζες των δύο µελών του Μ 1 και Μ 2 (εκπεφρασµένες σε ηλιακές). Εάν π είναι η παράλλαξη (σε arcsec, ), Ρ η περίοδος περιφοράς του ζεύγους (σε έτη) και α ο µεγάλος ηµιάξονας της σχετικής του τροχιάς, από το νόµο του Νεύτωνα έχουµε ότι: Μ 1 + Μ 2 = α 3 /(Ρ 2 π 3 ) (1) Αν επιπλέον Μ και m είναι το απόλυτο και το φαινόµενο µέγεθος του ζεύγους, τότε: Μ v = m v logπ (2) Για την άσκηση χρειάζονται ακόµη η σχέση µάζας-λαµπρότητας: log(l/l ) = 3,5log(M/M ) Και η βολοµετρική διόρθωση (bolometric correction): B.C. = M v M Bol. Άσκηση: Να υπολογισθούν οι τριγωνοµετρικές παραλλάξεις των παρακάτω ζευγών αστέρων, (Πίνακας 1). Πίνακας 1 Όνοµα Φαιν. Οπτικό Περίοδος Ηµιάξονας Φάσµατα Τριγων. Αστέρα Μέγεθος Ρ (έτη) α Παραλ. m 1 m 2 ( ) ( ) α Cen -0,04 1,38 79,9 17,58 G2 K5 0,751 η Cas 3,47 7,22 480,0 11,99 G0 M0 0,176 ε Hyd 3,70 4,80 15,0 0,21 G0? 0,014 Βήµατα άσκησης 1) Υπολογίστε τις (δυναµικές) παραλλάξεις των ζευγών, µε τη βοήθεια της εξίσωσης (1) και υποθέτοντας ότι Μ 1 = Μ 2 = 1 Μ. 2) Βρήτε τα απόλυτα µεγέθη Μ v1 & Μ v2 των ζευγών από τη σχέση (2). 3) Βρήτε τα αντίστοιχα βολοµετρικά µεγέθη των ζευγών. (Mε τη βοήθεια των δεδοµένων του Πίνακα 2). 16

17 4 α ) Από τη χέση µάζας-λαµπρότητας προσδιορίστε νέες τιµές των µαζών Μ 1 & Μ 2. ή 4 β ) Βρήτε τις νέες αυτές τιµές των Μ 1 & Μ 2 απ ευθείας µε τη βοήθεια των δεδοµένων του Πίνακα 3. 5) Επαναλάβετε τα προηγούµενα βήµατα µε τις νέες τιµές και συνεχίστε έως ότου καταλήξετε σε σύγκλιση. ( ηλαδή όταν τα αποτελέσµατα του νιοστού υπολογισµού δεν διαφέρουν σηµαντικά από αυτά του ν-1). 6) Συγκρίνετε τις τιµές των (δυναµικών) παραλλάξεων που υπολογίσατε προς αυτές των τριγωνοµετρικών όπως δίδονται στον Πίνακα 1. 7) Για να δείτε πόσο γρήγορα συγκλίνει η µέθοδος, αντί για Μ 1 = Μ 2 = 1 Μ, ξεκινήστε υποθέτοντας ότι Μ 1 = Μ 2 = 10 Μ. Πίνακας 2 Βολοµετρική ιόρθωση και Αστρικές Θερµοκρασίες (C.W. ALLEN: 1963, Astrophysical Quantities, p.201) Spectrum (class V) B.C. T e (K) O5 4, B0 3, B5 1, A0 0, A5 0, F0 0, F5 0, G0 0, G5 0, K0 0, K5 0, M0 1, M5 2, Πίνακας 3 Η σχέση Μάζας-Λαµπρότητας (C.W. ALLEN: 1963, Astrophysical Quantities, p.203) logμ Μ Βol M ν -1,0 +11,3 +14,8-0,8 +10,3 +13,7-0,6 +9,4 +12,4-0,4 +8,1 +10,6-0,2 +6,6 +7,8 0,0 +4,7 +4,8 +0,2 +2,7 +2,8 +0,4 +0,8 +1,2 +0,6-0,9-0,1 +0,8-2,4-1,2 +1,0-3,9-2,5 +1,2-5,4-3,7 +1,4-6,8-4,8 +1,6-8,1-5,9 +1,8-9,5-7,0 17

18 ΑΣΚΗΣΗ 6 η ΙΑΣΤΟΛΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Σκοπός: ιαστολή του Σύµπαντος, από µετρήσεις της µετατόπισης προς το ερυθρό (red shift) των γραµµών απορρόφησης σε φάσµατα γαλαξιών. Υλικό: Φάσµατα κάποιων γαλαξιών. Γενικά Η διαστολή του Σύµπαντος εκφράζεται από τη σχέση: V α =H. r (1) που είναι γνωστή ως νόµος του Hubble, επειδή προτάθηκε από αυτόν το Στη σχέση (1) η V α είναι η ακτινική ταχύτητα (σε Km/sec), r η απόσταση του γαλαξία και H η σταθερά του Hubble. Σχήµα 1 Η σχέση (1) που δηλώνει ότι η ταχύτητα αποµάκρυνσης ενός γαλαξία είναι ανάλογη προς την απόστασή του, αποδίδεται γραφικά στο σχήµα 1. Η τιµή της σταθεράς του Hubble προσδιορίζεται από παρατηρήσεις, αλλά ο προσδιορισµός της είναι αρκετά δύσκολος. Η τιµή της κυµαίνεται από (30 75) Km/sec ανά pc, (1Μpc), και η µέση και κοινά αποδεκτή τιµή της σήµερα είναι τα 50 Km/sec ανά εκατοµµύριο parsec. Επειδή και οι γαλαξίες παρουσιάζουν ίδιες κινήσεις, δεν είναι εύκολο για γαλαξίες που βρίσκονται σχετικά κοντά µας να ξεχωρίσουµε το ποσοστό που προέρχεται από την ιδία τους κίνηση και αυτό που οφείλεται στην αποµάκρυνσή τους. Έτσι η αποµάκρυνση των γαλαξιών παρατηρείται σε αποστάσεις µεγαλύτερες από 35 εκατοµµύρια έτη φωτός (35x10 6 ly). Η σχέση (1) γράφεται και ως: c. z = H. r (2) αν z είναι η σχετική µετατόπιση ενός γαλαξία προς το ερυθρό (δηλαδή z = λ/λ) και c η ταχύτητα του φωτός. Για κανονικές τιµές του z ισχύει ο νόµος του Doppler: V α = λ (3) c λ Για πολύ µεγάλες τιµές του z δηλαδή πολύ µεγάλη µετατόπιση, άρα και µεγάλες ταχύτητες ισχύει: V α = (1+z) 2-1 (4) c (1+z)

19 Εφαρµογή Άσκηση (Από το βιβλίο των Holzinger J.R. & Seeds M.A., σελ. 255) ίνονται τα φάσµατα πέντε γαλαξιών που είναι µέλη διαφορετικών σµηνών, των οποίων γνωρίζουµε τις αποστάσεις. Από την παρατηρούµενη µετατόπιση των φασµατικών γραµµών του ιονισµένου ασβεστίου, CaII, προς το ερυθρό να υπολογισθούν οι ταχύτητες αποµάκρυνσης των γαλαξιών. Στα φάσµατα, τα λευκά οριζόντια βέλη δείχνουν την µετατόπιση των φασµατικών γραµµών Η (λ=3933,67 Å) & Κ (λ=3968,47 Å) του ασβεστίου. Το κατακόρυφο βέλος στο πρώτο φάσµα δείχνει την αρχική θέση των γραµµών του ιονισµένου ασβεστίου. Η µαύρη οριζόντια γραµµή πάνω από τα φάσµατα δηλώνει µια απόσταση Å (κλίµακα). 19

20 Βήµατα της Άσκησης 1) Μετρήστε το µήκος του µαύρου οριζόντιου βέλους, µε τη µεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, και χρησιµοποιείστε το ως µέτρο σύγκρισης (κλίµακα για τις µετατοπίσεις των φασµατικών γραµµών). 2) Φτιάξτε ένα Πίνακα για τις µετρήσεις σας, όπως π.χ. ο Πίνακας που ακολουθεί: Πίνακας Μετρήσεων Σµήνος γαλαξιών r (Mpc) Παρθένου 24 Μεγάλης Άρκτου 310 Β. Στεφάνου 430 Βοώτη 770 Ύδρας 1200 Μετατόπιση d (mm) λ Å V α Km/sec 3) Μετρείστε τη µετατόπιση Doppler σε mm -και µε τη βοήθεια της κλίµακας- µετατρέψτε τα mm σε Å. 4) Υπολογίστε την ακτινική ταχύτητα του κάθε γαλαξία, από τη σχέση (3), λαµβάνοντας ως λ τη µέση τιµή των µηκών κύµατων των δύο φασµατικών γραµµών του ιονισµένου ασβεστίου Η & Κ, (λ=3951 Å). 5) Από τις τιµές των αποστάσεων και των ακτινικών ταχυτήτων για τους 5 γαλαξίες, φτιάξτε ένα διάγραµµα παρόµοιο προς το Σχήµα 1. Για διευκόλυνσή σας χρησιµοποιείστε το παρακάτω πλαίσιο. 20

21 6) Χαράξτε µια ευθεία που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και όσο πιο κοντά γίνεται από τα 5 σηµεία. Η κλίση της είναι η τιµή της σταθεράς Η του Hubble. Συγκρίνατε την τιµή που βρήκατε προς αυτήν από τη βιβλιογραφία. 7) Γιατί η ευθεία πρέπει να διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 8) Σε κάποιο σµήνος γαλαξιών οι γραµµές Η & Κ του ιονισµένου ασβεστίου είναι µετατοπισµένες κατά 430 Å. Ποία είναι η εκτίµησή σας για την απόστασή του; 9) Στον ηµι-αστέρα (quasi-stellar-object, quasar) PHL 1127, η γραµµή Lyman-α του υδρογόνου, L α, που κανονικά βρίσκεται στα 1216 Å, βρέθηκε µετατοπι-σµένη στα 3648 Å. Υπολογίστε την ακτινική του ταχύτητα µε τον κλασικό και τον ρελατιβιστικό νόµο του Doppler και εξηγήστε τα αποτελέσµατά σας. 10) Εφαρµόστε το ρελατιβιστικό τύπο για τα σµήνη γαλαξιών στην Παρθένο και την Ύδρα. Συγκρίνετε τα αποτελέσµατά σας µε αυτά που έχετε ήδη υπολογίσει µε τον κλασικό νόµο. Σε τί συµπέρασµα καταλήγετε; 11) Η ευθεία του διαγράµµατος που φτιάξατε, δίνει τη σχέση (1). Αν την γράψουµε ως: 1 = r H V α Τότε το 1/Η έχει µονάδες χρόνου. Ο χρόνος αυτός είναι περίπου η ηλικία του Σύµπαντος. Υπολογίστε την ηλικία του Σύµπαντος χρησιµοποιώντας για το Η τη µέση τιµή Η=50 (Km/sec)/Mpc. 12) Αποδείξτε ότι οι τύποι: V α = (1+z) 2 1 & λ = 1+(V α /c) _ 1 c (1+z) 2 +1 λ 1 ( V α /c) 2 είναι ισοδύναµοι. 13) είξτε ότι όταν η ακτινική ταχύτητα είναι πολύ µικρότερη από την ταχύτητα του φωτός (V α <<c), ο κλασικός τύπος του Doppler µπορεί να προέλθει από τον ρελατιβιστικό. 14) είξτε ότι το σφάλµα στον υπολογισµό της ακτινικής ταχύτητας µε τον κλασικό τύπο είναι 5%,εάν λ/λ =0,1. 21

22 ΑΣΚΗΣΗ 7 η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η-R ΓΙΑ ΑΣΤΕΡΕΣ ΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΠΑΡΑΛΛΑΞΗ (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Practical Work in Elementary Astronomy» του Minnaert M.G.J, σ. 187, µε τίτλο «The nearest Stars», δηλαδή «Οι πλησιέστεροι Αστέρες») Σκοπός: Η άσκηση έχει ως στόχο να κατασκευάσει το διάγραµµα H-R και να υπολογίσει τα βασικά στοιχεία των πιο κοντινών µας αστέρων, (όπως ΜBol, Τ, R). Υλικό: Κάποια παρατηρησιακά στοιχεία των πιο κοντινών µας αστέρων (Πίνακας 1), καθώς και Πίνακας βολοµετρικών διορθώσεων θερµοκρασιών (Πίνακας 2). Βήµατα της Άσκησης 1) Βρήτε τις αποστάσεις r των αστέρων, από τις παραλλάξεις τους, π. 2) Υπολογίστε τα απόλυτα οπτικά µεγέθη Μ v των αστέρων, από τα φαινόµενα και τις παραλλάξεις τους, µε τη βοήθεια του τύπου: Μ v = m v logπ (1) 3) Βρήτε τα βολοµετρικά µεγέθη των αστέρων. Με βάση το φασµατικό τους τύπο και τη βοήθεια του Πίνακα 2, από τη γνωστή σχέση: Μ Bol = Μ v B.C. (2) 4) Υπολογίστε τις ακτίνες των αστέρων (σε ηλιακές), µε τη βοήθεια των σχέσεων: (I /I ) Bol = (R/R ) 2 (T/T ) 4 5) Κατασκευάστε το διάγραµµα H-R για τους δοθέντες αστέρες. Στον άξονα των Υ βάλτε (ως συνήθως) το απόλυτο οπτικό µέγεθος. Στον άξονα των Χ µην βάλετε τους φασµατικούς τύπους, αλλά τον logt. 6) Πόσο διαφορετικό είναι το διάγραµµα που κατασκευάσατε από αυτό που βρίσκετε στα βιβλία; 7) Πώς κατανέµονται οι διάµετροι των αστέρων στο διάγραµµα; Μπορείτε να φέρετε γραµµές ίσων διαµέτρων; 8) Ποιά είναι κατά την εκτίµησή σας η µέση απόσταση δύο γειτονικών αστέρων στο διάγραµµα; Ποιό είναι το ποσοστό των διπλών αστέρων και των λευκών νάνων; Πίνακας Μετρήσεων α.α r=1/π Μ v B.C. Μ Bol T 10logT M+10logT (M+10logT)/5 log(r/r ) R 22

23 Πίνακας 1 The Nearest Stars (After W. GLIESE: 1963, IN Landolt-Börnstein, VI, Bd. 1, 598.) Nr. Name α 1950 δ 1950 π" µ ("/a) * U r (km/sec) 1 Sun -26 m.73 G 2 V 2 6 ) Proxima Cen 14 h 26 m ".762 3" M 5 e α Cen A B G 2 V K 5 V 3 2 ) Barnard s Star M 5 V 4 6 ) Wolf dm 6 e 5 2 ) BD M 2 V 6 ) α CMa A B A 1 V DA 7 ) L 726-8A B dm 6 e dm 6 e 8 6 ) Ross dm 4 e 9 Ross dm 6 e 10 ε Eri K 2 V 11 Ross dm 5 12 L dm 6 e 13 2 ) 61 Cyg A B α Cmi A ) B ε Ind K 5 V 16 1 ) BD A M 1 V B M 6 V m v Sp K 5 V K 7 V F 5 IV-V DF 17 BD A B dm 4 dm 5 18 τ Cet G 8 Vp 19 CD M 2 V 20 BD dm 4 21 CD M 0 V 22 5 ) CD sdm ) Krüger 60 A M 4 V 6 ) B M 6 V e 24 Ross 614 A dm 4 e B 14.8 (M) 25 1 ) BD dm ) van Maanen s ? DG Star 27 Wolf 424 A B dm 7 e dm 7 e 28 BD dm 0 29 CD dm ) 6 ) BD M 4 5 Ve 31 CD M 4 32 CD M 5 33 CD M 3 34 BD dm 5 35 BD M 3.5 V 36 6 ) L DC 37 4 ) ο 2 Eri A B C K 1 V DA dm 4 e 38 BD M 4 V 39 α Aql A 7 IV,V 40 6 ) BD dm 5 e 41 5 ) AC sdm 4 23

24 Επεξηγήσεις συµβόλων Πίνακα 1: * Γωνία θέσεως του ανύσµατος της ιδίας κίνησης (position angle of proper motion vector). 1) Φασµατοσκοπικά διπλός αστέρας (Spectroscopic binary). 2) Κοντινός συνοδός που µετρήθηκε από το βαρυτικό του πεδίο (Near companion measured by gravitation). 3) Πιθανόν αόρατος κοντινός συνοδός, 4) Λευκός νάνος (White dwarf), 5) Υπονάνος (Subdwarf), 6) Αστέρας αναλάµψεων (Flare star), Nr. 7 B = UV Cet; Nr. 23 B = BD Cep; Nr. 30 = AD Leo; Nr. 40 = EV Lac. Πίνακας 2 (Βολοµετρικές διορθώσεις Θερµοκρασίες) (C.W. ALLEN: 1963, Astrophysical Quantities, p.201) Spectrum (class V) B.C. T e (K) O5 4, B0 3, B5 1, A0 0, A5 0, F0 0, F5 0, G0 0, G5 0, K0 0, K5 0, M0 1, M5 2,

25 ΑΣΚΗΣΗ 8 η ΦΑΣΜΑΤΟΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ ΣΤΟ ΕΓΓΥΣ ΥΠΕΡΥΘΡΟ (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Exercises in Astronomy» του Kleczek J., σ. 181) Σκοπός: Η άσκηση έχει ως στόχο την αναγωγή των παρατηρήσεων. Υλικό: Κάποια φάσµατα (Εργαστηριακά και από παρατηρήσεις). Γενική Εισαγωγή Σε κάθε φασµατοφωτοµετρική παρατήρηση -π.χ. για να προσδιορίσουµε τη φασµατική κατανοµή της ενέργειας ενός αστέρα- είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε την καµπύλη απόκρισης (response curve), S(λ), του συστήµατος µε το οποίο κάναµε την παρατήρηση. ηλαδή τη σχέση µεταξύ της ροής ακτινοβολίας του αστέρα, F(λ) και του λαµβανοµένου σήµατος D(λ): D(λ) = S(λ)F(λ) Η καµπύλη απόκρισης του συστήµατος είναι το αποτέλεσµα µεταβολών που εξαρτώνται από την ικανότητα «διέλευσης» της ακτινοβολίας µέσα από τους φακούς, (transmissivity), από την ανακλαστική ικανότητα των κατόπτρων, (reflectivity), την απόδοση του φασµατογράφου καθώς και τη µεταβολή της κβαντικής απόδοσης του δέκτη µε το µήκος κύµατος λ. Μέσω εργαστηριακών πειραµάτων προσπαθούµε να βρούµε τη συµβολή καθενός από τα οπτικά συστήµατα που χρησιµοποιούµε για την εν λόγω παρατήρηση και να µετρήσουµε ξεχωριστά την κβαντική απόδοση του δέκτη συναρτήσει του µήκους κύµατος. Η S(λ) είναι το τελικό αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού όλων των επι-µέρους συναρτήσεων. Αλλά είναι προτιµότερο να υπολογίσουµε την S(λ) µε µία µόνο µέτρηση. Αυτό το πετυχένουµε µε την παρατήρηση ενός ή περισσοτέρων σταθερών αστέρων (standard stars), δηλαδή αστέρων των οποίων η κατανοµή της ενέργειάς των είναι µε µεγάλη ακρίβεια γνωστή. Μερικές φορές η S(λ) προσδιορίζεται από ένα ειδικό λαµπτήρα (λαµπτήρας ταινίας λευκού µετάλλου, tungsten ribbon lamp). Άσκηση ίνονται τα 4 φάσµατα (Εικόνες 1, 2, 3 & 4). Το υπ. αρ. 3 δίνεται συναρτήσει του λ, ενώ τα άλλα τρία είναι συναρτήσει του αριθµού των pixels. Βήµατα της Άσκησης Α) Εύρεση του νόµου της διασποράς ηλαδή της σχέσης µεταξύ της γραµµικής κλίµακας των φασµάτων στις εικόνες 1, 2 & 4 και αυτής της εικόνας 3. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της εικόνας 2 και του Πίνακα 1, ως εξής: Α1) Ταυτοποιείστε µερικές γραµµές του φάσµατος της εικόνας 2 και αφού βρήτε την έντασή τους φτιάξτε έναν Πίνακα µηκών κύµατος εντάσεων. 25

26 Μήκος Κύµατος λ Πίνακας Ένταση Α2) Στον Πίνακα προσθέστε και τις 3 γραµµές του ουδέτερου ηλίου, (Ηe I), από την εικόνα 3. Α3) Από τα δεδοµένα του Πίνακα που φτιάξατε κατασκευάστε ένα διάγραµµα εντάσεων (ε) µηκών κύµατος (λ). Α4) Με τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων βρήτε τη σχέση µεταξύ εντάσεως και µήκους κύµατος: ε = ε 0 + β λ. Α5) Αντιστρέφοντας την παραπάνω σχέση έχετε: λ = λ 0 + β ε όπου λ 0 = (ε 0 /β) και β =1/β, η οποία αποτελεί τον ζητούµενο νόµο διασποράς. Πίνακας 1 Μήκη κύµατος µερικών γραµµών ουδέτερου Νέου & Αργού καθώς ουδέτερου υδρογόνου της σειράς Paschen (Wavelength of a few times of NeI and ArI and of the Paschen series of HI) Neon Argon Hydrogen (Paschent series) 6929,5 7635,1 P ,4 7032,4 7948,2 P ,0 7245,2 8115,3 P ,0 8377,6 8264,5 P ,9 8495,4 9123,0 P ,8 8780,6 9224,5 P ,5 9657,8 P ,0 P ,4 P ,4 P , P 8203,6 (Από: MOORE C.E.: 1945, A Multiplet Table of Astrophysical Interest,MSRDS-NBS40). Β) Προσδιορισµός της καµπύλης απόκρισης Για να βρούµε την S(λ) αρκεί να υπολογίσουµε τις D(λ) & F(λ). Ο Πίνακας 2 δίνει τις τιµές των απολύτων µεγεθών του Βέγα σε διάφορα µήκη κύµατος. 26

27 Β1) Από τα απόλυτα µεγέθη υπολογίζουµε τα F(λ), από τις σχέσεις: Μ v = 2,5λογ F ν F λ = cλ 2 F ν, όπου c η ταχύτητα του φωτός. Β2) Βρείτε την D(λ). (Κατ ευθείαν από το φάσµα του Βέγα, µε τη βοήθεια του νόµου της διασποράς που έχετε ήδη υπολογίσει). Β3) Προσδιορίστε την S(λ) από τη σχέση: S(λ) = D(λ)/F(λ). Β4) Οµαλοποιείστε τα αποτελέσµατά σας, έτσι ώστε η S(λ=7821 Å)=50 (ή 100). Β5) Γράψτε τα αποτελέσµατά σας σε Πίνακα. Β6) Αποδώστε τα αποτελέσµατά σας γραφικά. Πίνακας 2 Κατανοµή του ενεργειακού φάσµατος του Βέγα Energy distribution in the spectrum of Vega (α Lyrae) (M ν versus wavelength) λ Μ ν λ Μ ν λ Μ ν λ Μ ν λ Μ ν , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,577 (Από: Cochran A.I. & Barnes III T.G.: 1981, ApJSS 45, 73). Προσοχή 1) εν µπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα δεδοµένα του Πίνακα 2. 2) Πρέπει να αποφύγετε τις έντονες περιοχές στο φάσµα της ατµόσφαιρας, (εικόνα 3). 3) Πρέπει να αποφύγετε επίσης τις γραµµές έντονης αστρικής απορρόφησης (σειρά Raschen του ουδέτερου υδρογόνου, Η Ι). 27

28 28

29 ΑΣΚΗΣΗ 9 η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ H-R (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Laboratory Exercises in Astronomy» των Holzinger H.R. & Seeds M.A., σελ. 193) Σκοπός: Κατασκευή διαγράµµατος H-R. Υλικό: Πίνακες µε φασµατικούς τύπους και απόλυτα µεγέθη αστέρων. Βήµατα της Άσκησης Α. ίνονται οι Πίνακες 1 & 2 µε στοιχεία για αστέρες της κύριας ακολουθίας & για γίγαντες αστέρες, αντίστοιχα. Α1: Με βάση τους φασµατικούς τύπους και τα απόλυτα µεγέθη των αστέρων φτιάξτε ένα διάγραµµα H-R. Α2: Τί συµβαίνει µε τους αστέρες του Πίνακα 2; Πού βρίσκονται στο διάγραµµα H-R; Β. οθέντος ότι ο Ήλιος είναι φασµατικού τύπου G2 V και η Capella (Αίγα, α Ηνιόχου, α Aur) G2 III, απαντήστε στις ερωτήσεις: Β1: Πόσα µεγέθη λαµπρότερη είναι η Capella από τον Ήλιο; Β2: Πόσες φορές πιο λαµπρή είναι η Capella από τον Ήλιο; Β3: Πόσο µεγαλύτερη είναι η επιφάνεια της Capella από τον Ήλιο; Β4: Συγκρίνατε την ακτίνα του Ήλιου προς αυτήν της Capella. Γ. Ο Πίνακας 3 αναφέρεται στους πιο λαµπρούς αστέρες. Παρατηρήστε τον και απαντήστε τις ερωτήσεις: Γ1: Πιο είναι το πιο κοινό είδος ενός λαµπρού αστέρα; (θερµός ή ψυχρός;) Γ2: Πιο είναι κατά την εκτίµησή σας, το µέσο φαινόµενο µέγεθος των αστέρων του Πίνακα 3; Γ3: Κοιτάζοντας στον ουρανό ένα λαµπρό αστέρα πρώτου µεγέθους, τί φασµατικού τύπου αστέρα, κατά πάσα πιθανότητα, παρατηρείτε; Γ4: Φτιάξτε το διάγραµµα H-R των πιο λαµπρών αστέρων.. Ο Πίνακας 4 αναφέρεται στους πλησιέστερους προς τον Ήλιο αστέρες. Παρατηρήστε τον και απαντήστε τις ερωτήσεις: 1: Πιο είναι το πιο κοινό είδος ενός γειτονικού προς τον Ήλιο αστέρα; (θερµός ή ψυχρός;) 2: Υπολογίστε το µέσο φαινόµενο µέγεθος των αστέρων του Πίνακα 4. Ε: Πώς θα ήταν ο ουρανός, αν όλοι οι αστέρες του Γαλαξία µας είχαν το ίδιο απόλυτο µέγεθος και αυτό ήταν ίσο προς αυτό του Ήλιου µας; 29

30 Πίνακας 1 (Αστέρες της κύριας ακολουθίας) Αστέρας Φάσµα Μ v Ήλιος G2 +4,8 σ Per A B0 3,7 γ Cet A2 +2,0 α Hyi F0 +2,9 Kruger 60B M6 +13,2 Procyon F5 +2,7 61 Cyg A K5 +7,5 τ Cet G8 +5,7 α Cru B5 +0,3 Kapteyn s Star M0 +10,8 Πίνακας 3 (Οι πιο λαµπροί αστέρες) Όνοµα Αστέρα m v M v Φασµ. Τύπος Sirius 1,4 1,5 AIV Canopus 0,7 4,0 F0Ib Rigil Kentaurus 0,3 4,4 G2V Arcturus 0,1 0,3 K2III Vega 0,0 0,5 A0V Capella 0,1 0,0 G2III Rigel 0,1 7,1 B8Ia Procyon 0,4 2,7 F5IV-V Betelgeuse 0,4 5,6 M2Ia Achernar 0,5 3,0 B5IV Hadar 0,6 3,0 BIII Altair 0,8 2,3 A7IV-V Acrux 0,8 3,9 BIIV Aldebaran 0,9 0,7 K5III Antares 0,9 3,0 M1Ib Spica 0,9 2,0 B1V Pollux 1,2 1,0 K0III Fomalhaut 1,2 2,0 A3V Deneb 1,3 7,1 A2Ia β Crucis 1,3 4,6 B0III Regulus 1,4 0,6 B7V Adhara 1,5 5,1 B2II Castor 1,6 0,9 A1V Shaula 1,6 3,3 B1V Bellatrix 1,6 2,0 B2III Elnath 1,7 3,2 B7III Miaplacidus 1,7 0,4 A0III Alnilam 1,7 6,8 B0Ia 30

31 Ως γνωστόν οι αστέρες κατατάσσονται σε 5 κατηγορίες ή τάξεις, ανάλογα µε τη λαµπρότητά τους. Οι αστέρες της κύριας ακολουθίας ανήκουν στην κατηγορία V, στην IV οι υπογίγαντες, στην III οι γίγαντες, στην II οι λαµπροί γίγαντες και στις Ia & Ib οι υπερ-γίγαντες. Πίνακας 2 (Αστέρες Γίγαντες) Αστέρας Φάσµα Μ v Αρκτούρος Κ2 0,3 Καπέλλα G2 +0,0 Αλντεµπαράν K5 0,7 Πολλικός K0 +1,0 Πίνακας 4 (Οι πιο κοντινοί µας αστέρες) Αστέρας m v M v Φάσµα Sun 26,8 4,8 G2 Proxima Centauri 0,1 15,4 M5 α Centauri A 1,5 4,4 G2 α Centauri B 11,0 5,8 K5 Barnard s Star 9,5 13,2 M5 Wolf ,5 16,7 M6 Lalande ,5 10,5 M2 Sirius A 1,4 1,5 A1 Sirius B 7,2 10,1 wd Luyten 726-8A 12,5 15,3 M6 Luyten 726-8B 13,0 15,8 M6 Ross ,6 13,3 M5 ε Eridani 3,7 6,1 K2 Luyten ,2 14,6 M6 Ross ,1 13,5 M5 61 Cygni A 5,2 7,5 K5 61 Cygni B 6,0 8,3 K7 ε Indi 4,7 7,0 K5 Procyon A 0,3 2,7 F5 Procyon B 10,8 13,1 wd Cincinnati 2456A 8,9 11,2 M4 Cincinnati 2456B 9,7 12,0 M4 Groombridge 34A 8,1 10,4 M1 Groombridge 34B 11,0 13,3 M6 Lacaille ,4 9,6 M2 τ Ceti 3,5 5,7 G8 Luyten s Star 9,8 11,9 M4 Lacaille ,7 8,8 M1 Kapteyn s Star 8,8 10,8 M0 Kruger 60A 9,7 11,7 M4 Kruger 60B 11,2 13,2 M6 31

32 ΑΣΚΗΣΗ 10 η ΙΑΓΡΑΜΜΑ H-R ΕΝΟΣ ΑΣΤΡΙΚΟΥ ΣΜΗΝΟΥΣ (Η άσκηση είναι από το βιβλίο «Laboratory Exercises in Astronomy» των Holzinger H.R. & Seeds M.A., σελ. 201) Σκοπός: Κατασκευή διαγράµµατος H-R ενός αστρικού σµήνους και εύρεση απόστασης και ηλικίας του. Υλικό: Φωτογραφία του σµήνους NGC 6819 και Πίνακας µε διάφορα στοιχεία των αστέρων του σµήνους. Γενικά Σε ένα σµήνος θεωρούµε ότι όλοι οι αστέρες του βρίσκονται στην ίδια περίπου απόσταση από εµάς. Θεωρούµε επίσης ότι δηµιουργήθηκαν από το ίδιο υλικό και την ίδια εποχή και εποµένως έχουν την ίδια ηλικία. Φωτογραφία του σµήνους NGC 6819 Στην παραπάνω φωτογραφία οι αστέρες του σµήνους εµφανίζονται ως µαύροι κύκλοι σε λευκό φόντο (ουρανός). Με τη βοήθεια ενός χάρακα ή της παρακάτω (φωτοµετρικής) σφήνας µπορείτε να βρείτε τη διάµετρο των αστέρων του σµήνους. Φωτοµετρική Σφήνα 32

33 Βήµατα της Άσκησης 1. Μετρήστε τη διάµετρο των 49 αστέρων του σµήνους και τοποθετήστε τις µετρήσεις σας στην αντίστοιχη στήλη, (2 η ), του Πίνακα 1. Στον Πίνακα 1 για 8 αστέρες (αστέρες standards) του σµήνους δίνονται τα φαινόµενα µεγέθη τους. Με τη βοήθειά τους µπορείτε να κατασκευάσετε την καµπύλη αναγωγής (που δεν είναι παρά η οµαλή καµπύλη που διέρχεται από τα σηµεία θέσης των 8 αυτών αστέρων) στο διάγραµµα Μέγεθος- ιάµετρος. ιάγραµµα Μεγέθους- ιαµέτρου 2. Φτιάξτε την καµπύλη αναγωγής στο διάγραµµα Μεγέθους- ιαµέτρου. 3. Με τη βοήθεια της καµπύλης αναγωγής υπολογίστε τα µεγέθη των υπολοίπων 41 αστέρων του σµήνους NGC 6819 και συµπληρώστε την 3 η στήλη του Πίνακα Φτιάξτε το διάγραµµα Μεγέθους-Χρώµατος του σµήνους, συµπεριλαµβάνοντας όλους τους αστέρες του. (Είναι προφανές ότι στο διάγραµµα Μεγέθους-Χρώµατος θα υπάρχει η κ.α. καθώς και κάποιοι γίγαντες αστέρες). ιάγραµµα Μεγέθους-Χρώµατος ίνεται ο Πίνακας 2, του οποίου οι δύο πρώτες στήλες βασίζονται σε δεδοµένα του σµήνους των Υάδων, στον αστερισµό του Ταύρου. Πίνακας 2 (Φωτοµετρικά στοιχεία των αστέρων του σµήνους των Υάδων) B-V M V m v (cluster) m V -M V (distance modulus) 0,00 1,50 0,20 2,50 0,40 3,60 0,60 4,80 0,80 5,90 5. Συµπληρώστε τις στήλες 3 & 4 του Πίνακα 2, για τους αστέρες της κύριας ακολουθίας του σµήνους NGC 6819 και βρείτε τη µέση τιµή της απόστασής του, (modulus). 6. Από τη σχέση m v M V = 5 logr 5 υπολογίστε την απόσταση r του σµήνους NGC 6819 σε parsecs. 7. Από το σχήµα 1 µε τα θεωρητικά σηµεία εκτροπών από την κύρια ακολουθία για σµήνη διαφόρων ηλικιών, εκτιµήστε την ηλικία του σµήνους NGC Αν ο Ήλιος µας, (Μ = 4,79 & Β-V = 0,62), ήταν µέλος του σµήνους, τοποθετήστε τον στο διάγραµµα Χρώµατος-Μεγέθους, λαµβάνοντας υπόψη την απόσταση του σµήνους. 33

34 Πίνακας 1 (Φωτοµετρικά στοιχεία των αστέρων του σµήνους NGC 6819) Αστέρας ιάµετρος m v B-V Αστέρας ιάµετρος m v B-V 1 0, ,90 2 0, ,77 3 0, ,90 1,10 4 1, , ,06 0, ,97 0, ,64 7 0, ,69 0,74 8 1, ,62 9 1, , ,03 0, , ,97 1, , , , ,29 1, , , , , , , , , , , , , , , ,87 0, , , , , , , ,49 Σχήµα 1: Τα σηµεία εκτροπής σµηνών διαφόρων ηλικιών 34

35 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΟΝΟΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ Andromeda And Ανδροµέδα Antlia Ant Αντλία Apus Aps Πτηνό Aquarius Aqr Υδροχόος Aquila Aql Αετός Ara Ara Βωµός Aries Ari Κριός Auriga Aur Ηνίοχος Bootes Boo Βοώτης Caelum Cae Γλυφείο Camelopardalis Cam Καµηλοπάρδαλης Cancer Cnc Καρκίνος Canes Venatici CVn Θηρευτικοί Κύνες Canis Major CMa Μέγας Κύων Canis Minor CMi Μικρός Κύων Capricornus Cap Αιγόκερως Carina Car Τρόπις Cassiopeia Cas Κασσιόπη Centaurus Cen Κένταυρος Cepheus Cep Κηφεύς Cetus Cet Κήτος Chamaeleon Cha Χαµαιλέων Cirninus Cir ιαβήτης Columba Col Περιστερά Coma Berenices Com Κόµη Βερενίκης Corona Australis CrA Νότιος Στέφανος Corona Borealis CrB Βόρειος Στέφανος Corvus Crv Κόραξ Crater Crt Κρατήρας Crux Cru Νότιος Σταυρός Cygnus Cyg Κύκνος Delphinus Del ελφίν Dorato Dor οράς Draco Dra ράκων Equuleus Equ Ιππάριον Eridanus Eri Ηριδανός Formax For Κάµινος Gemini Gem ίδυµοι Grus Gru Γερανός Hercules Her Ηρακλής Horologium Hor Ωρολόγιον Hydra Hya Υδρα Hydrus Hyi Υδρος 35

36 Indus Ind Ινδός Lacerta Lac Σαύρα Leo Leo Λέων Leo Minor LMi Μικρός Λέων Lepus Lep Λαγωός Libra Lib Ζυγός Lupus Lup Λύκος Lynx Lyn Λύγξ Lyra Lyr Λύρα Mensa Men Τράπεζα Microscopium Mic Μικροσκόπιο Monoceros Mon Μονόκερος Musca Mus Μυϊα Norma Nor Γνώµων Octans Oct Οκτάς Ophiuchus Oph Οφιούχος Orion Ori Ορίων Pavo Pav Ταώς Pegasus Peg Πήγασος Perseus Per Περσεύς Phoenix Phe Φοίνιξ Pictor Pic Ζωγράφος Pisces Psc Ιχθύες Piscis Austrinus PsA Νότιος Ιχθύς Puppis Pup Πρύµνη Pyxis Pyx Πυξίς Recticulum Ret ίκτυο Sagitta Sge Βέλος Sagittarius Sgr Τοξότης Scorpio Sco Σκορπιός Sculptor Scl Γλύπτης Scutum Sct Ασπίς Serpens Ser Όφις Sextans Sex Εξάς Taurus Tau Ταύρος Telescopium Tel Τηλεσκόπιο Triangulum Tri Τρίγωνο Triangulum Australe TrA Νότιο Τρίγωνο Tucana Tuc Τουκάνα Ursa Major UMa Μεγάλη Αρκτος Ursa Minor UMi Μικρά Αρκτος Vela Vel Ιστία Virgo Vir Παρθένος Volans Vol Ιπτάµενος Ιχθύς Vulpecula Vul Αλώπηξ 36

37 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙI ΓΝΩΜΟΝΑΣ: Το πιο απλό αστρονοµικό όργανο Ο γνώµονας δεν είναι παρά όπως κατακόρυφος στύλος, κάθετος στο επίπεδο του ορίζοντα όπως τόπου. Κατέχει δηλαδή το ρόλο όπως κατακορύφου του τόπου. Παρά την απλούστατη κατασκευή του ο γνώµονας έχει προσφέρει πολλά, γιατί µε τη βοήθειά του, µε απλή παρατήρηση του µήκους και όπως διεύθυνσης όπως σκιάς του, οι αρχαίοι λαοί προσδιόριζαν διάφορα στοιχεία µε επαρκή για την εποχή όπως- ακρίβεια. Τα στοιχεία που µπορεί κάποιος να υπολογίσει µε τη βοήθεια όπως γνώµονα είναι: η διεύθυνση Βορράς-Νότος (µεσηµβρινή γραµµή) όπως ισηµερίες και όπως τροπές (και εποµένως τη διάρκεια του τροπικού έτους) το γεωγραφικό πλάτος όπως Τόπου, Όπως(φ) την τιµή όπως λόξωσης όπως εκλειπτικής την απόκλιση του Ήλιου τον αληθή ηλιακό χρόνο Όπως δούµε πόσο απλά µπορούν να προσδιορισθούν τα στοιχεία αυτά. Προσδιορισµός ιεύθυνσης Βορρά-Νότου Για να προσδιορίσουµε µε τη βοήθεια όπως γνώµονα τη διεύθυνση Βορρά-Νότου και να ορίσουµε έτσι τη µεσηµβρινή γραµµή σ ένα τόπο, αρκεί να χαράξουµε πάνω στο οριζόντιο επίπεδο τη διεύθυνση όπως σκιάς του κατακόρυφου στύλου κάποια τυχαία χρονική στιγµή, πριν από το µεσηµέρι και µε κέντρο το σηµείο που ο κατακόρυφος είναι καρφωµένος στο έδαφος- φτιάχνουµε ένα κύκλο µε ακτίνα όση το µήκος όπως σκιάς. Επειδή οι σκιές του γνώµονα έχουν το ίδιο µήκος όταν ο Ήλιος έχει το ίδιο ύψος (Ανατολικά & υτικά του µεσηµβρινού του τόπου), παρατηρούµε πότε το άκρο όπως σκιάς θα «πέσει» πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, οπότε και χαράζουµε τη διεύθυνση όπως όπως όπως σκιάς. Η διχοτόµος όπως γωνίας που σχηµατίζουν οι δύο διευθύνσεις των σκιών (πριν και µετά την άνω µεσουράνηση του Ήλιου) θα είναι η διεύθυνση Βορράς-Νότος. Βέβαια, επειδή ο Ήλιος δεν είναι ένα απλό φωτεινό σηµείο, τα άκρα όπως σκιάς του γνώµονα δεν είναι τελείως σαφή και ιδιαίτερα εάν ο γνώµονας έχει µεγάλο ύψος. Για το λόγο αυτό αντί µιας σκιάς, πριν το µεσηµέρι, χαράσσονται περισσότερες. Και στη συνέχεια λαµβάνονται οι συµµετρικές όπως µετά το µεσηµέρι. Οπότε η διεύθυνση Βορράς-Νότος προσδιορίζεται από την κοινή διχοτόµο όλων των επιµέρους γωνιών. Προσδιορισµός των Τροπών και των Ισηµεριών Ο προσδιορισµός των τροπών (ηλιοστασίων) και των ισηµεριών είναι εύκολο να γίνει µε απλή παρατήρηση όπως µεταβολής στα µήκη όπως σκιάς του γνώµονα κατά τη διάρκεια του έτους, δεδοµένου ότι το µήκος αυτό µεταβάλλεται όχι µόνο κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας, αλλά και από ηµέρα σε ηµέρα. Κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα γίνεται ελάχιστο, (µεσηµβρινό µήκος), όταν ο Ήλιος µεσουρανεί άνω στον τόπο, (αληθής µεσηµβρία). Κατά 37

38 τη διάρκεια του έτους το µεσηµβρινό αυτό µήκος όπως σκιάς του γνώµονα (για παρατηρητή του Βορείου ηµισφαιρίου) γίνεται µέγιστο ή ελάχιστο, όταν ο Ήλιος έχει το µεγαλύτερο ή το µικρότερο µεσηµβρινό ύψος στον τόπο, (Σχ. 1). Αυτό συµβαίνει, ως γνωστό, όπως τροπές. Στη θερινή τροπή (21 η Ιουνίου) όταν ο Ήλιος έχει το µέγιστο µεσηµβρινό ύψος του (θέση Η ΘΤ, στο Σχ. 1), η σκιά του γνώµονα είναι ελάχιστη (ΚΗ min ). Ενώ στη χειµερινή τροπή (περί την 22 α εκεµβρίου) όταν ο Ήλιος έχει το ελάχιστο µεσηµβρινό ύψος του (θέση Η ΧΤ, στο Σχ. 1), η σκιά του γνώµονα είναι µέγιστη (KH max ). Σχήµα 1 Από το ύψος του γνώµονα KK και τα µήκη των σκιών όπως τροπές, όπου ως γνωστό η απόκλιση του Ηλίου δ ~23,5º είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι γωνίες ΚΚΉ min & ΚΚΉ max από όπως σχέσεις: εφ(κκή min )= ΚH min /ΚΚ & εφ(κκή max )= ΚΗ max /ΚΚ (1) από όπως οποίες προσδιορίζεται η γωνία ζ=(1/2)(κκή min + ΚΚΉ max ). Η γωνία αυτή δεν είναι παρά η ζενιθιακή απόσταση του Ήλιου, όταν όπως µεσουρανεί στον τόπο κατά όπως τροπές. (Επειδή τότε οι θέσεις του Ήλιου είναι συµµετρικές ως όπως τον ουράνιο ισηµερινό. Είναι δηλαδή Η ΘΤ Κ Ι=ΙΚ Η ΧΤ ). Όπως ισηµερίες ο Ήλιος διαγράφει τον ουράνιο ισηµερινό. Και το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα, έστω ΚΕ, µπορεί να υπολογισθεί από την επίλυση του ορθογωνίου τριγώνου ΚΚ Ε. Η διάρκεια του τροπικού έτους δηλαδή το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικές οµώνυµες ισηµερίες ή τροπές- προσδιορίζεται αµέσως. Προσδιορισµός του Γεωγραφικού Πλάτους Τόπου Η εύρεση του γεωγραφικού πλάτους όπως τόπου µε τη βοήθεια του γνώµονα γίνεται µε εφαρµογή όπως σχέσης: φ=δ±ζ (2) 38

39 που ισχύει στην άνω µεσουράνηση όπως αστέρα σε κάποιο τόπο γεωγραφικού πλάτους φ. Αρκεί δηλαδή να προσδιορισθούν η απόκλιση δ και η ζενιθιακή απόσταση ζ του αστέρα κατά την άνω µεσουράνησή του στον τόπο. Στη σχέση (2), ως γνωστό, το + ισχύει για αστέρες που µεσουρανούν άνω όπως Νότο του Ζενίθ του τόπου και το γι όπως που µεσουρανούν όπως Βορρά. Ειδικά για τα δικά όπως γεωγραφικά πλάτη ο Ήλιος µεσουρανεί άνω πάντα όπως Νότο του Ζενίθ και η παραπάνω σχέση είναι φ=δ+ζ. Επιπλέον η σχέση απλουστεύεται εάν δ =0, δηλαδή όπως ισηµερίες όταν ο Ήλιος διαγράφει τον ουράνιο ισηµερινό (φαινόµενη ηµερήσια τροχιά του Ήλιου). Οπότε φ=ζ. ηλαδή αρκεί να προσδιορισθεί το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα, (ΚΕ στο Σχ. 1), κατά τη µεσηµβρία των ισηµεριών και να επιλυθεί το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΚ Ε, γνωστού όντος του ύψους του γνώµονα ΚΚ. Εάν έχουµε δύο τόπους Όπως(λ,φ) και Όπως (λ,φ ) µε το ίδιο γεωγραφικό µήκος λ (βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο µεσηµβρινό), είναι δυνατόν να προσδιορισθεί το µήκος όπως ακτίνας όπως Γης. Πράγµατι αυτή θα προκύψει από τη σχέση: R = α/(φ-φ ) (3) εάν α είναι η απόσταση των δύο τόπων και η Γη έχει θεωρηθεί σφαιρική. (Τον τρόπο αυτό χρησιµοποίησε ο Ερατοσθένης, το 250 π.χ.). Προσδιορισµός όπως Λόξωσης όπως Εκλειπτικής Η τιµή όπως λόξωσης όπως Εκλειπτικής, έστω ε, βρίσκεται εύκολα από όπως ζενιθιακές αποστάσεις του Ήλιου κατά την άνω µεσουράνησή του όπως τροπές (θέσεις Η ΘΤ & Η ΧΤ, στο Σχ. 1) και το ύψος του γνώµονα ΚΚ. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚΉ min & ΚΚ Η max έχουµε ότι: οπότε: ζ ΘΤ =ζ-ε & ζ ΧΤ = ζ+ε ε=(1/2)(ζ ΧΤ ζ ΘΤ ) (4) Όµοια είναι δυνατόν να υπολογισθεί και η απόκλιση δ του Ήλιου πολύ απλά. ηλαδή από τη σχέση φ=δ±ζ, εφόσον έχουµε προηγουµένως υπολογίσει το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου µε τον τρόπο που ήδη αναφέρθηκε. Τέλος, µε τον γνώµονα είναι δυνατός ο υπολογισµός του αληθούς ηλιακού χρόνου. Αλλά η χρήση του γνώµονα ως ωρολόγιο παρουσιάζει όπως δυσχέρειες λόγω µεταβολής όπως απόκλισης δ του Ήλιου από ηµέρα σε ηµέρα. Αυτό έχει ως συνέπεια την ίδια ώρα κάθε ηµέρας το µήκος όπως σκιάς του γνώµονα να µην είναι το ίδιο. Έτσι ο γνώµονας τροποποιήθηκε κατάλληλα (αντί ο στύλος να είναι κατακόρυφος να έχει την κατεύθυνση του άξονα του κόσµου), που οδήγησε στην ανακάλυψη των ηλιακών ωρολογίων. Έστω γνώµονας γνωστού ύψους KK (Σχ. 1), που έχει τοποθετηθεί σε τόπο Όπως στον οποίο έχει ήδη προσδιορισθεί η διεύθυνση όπως µεσηµβρινής γραµµής. Από την ελάχιστη τιµή του µήκους όπως σκιάς του γνώµονα, έστω ΚΝ min, προσδιορίζεται η χρονική στιγµή όπως άνω µεσουράνησης του Ήλιου στον τόπο Τ. Και από το τρίγωνο ΚΚ Ν min η τιµή όπως γωνίας ΚΚ Ν min =φ. 39

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Ηλιακά Ωρολόγια Γενικά Θεωρία Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως ο υπολογισµός του αληθούς ηλιακού χρόνου είναι δυνατόν να γίνει µε τη βοήθεια του γνώµονα. Επειδή όπως η απόκλιση δ του Ήλιου δεν παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια όπως έτους, αλλά λαµβάνει τιµές στο διάστηµα: δ , οι γραµµές που θα προσδιόριζαν τις ώρες ωρικές γραµµές- στο επίπεδο του ορίζοντα του τόπου θα έπρεπε να αλλάζουν συνεχώς. Αυτή η δυσκολία παρακάµπτεται εάν αντί όπως κάθετου στύλου χρησιµοποιήσουµε έναν πλάγιο (ως όπως τον ορίζοντα του τόπου), υπό γωνία όση το γεωγραφικό πλάτος φ του τόπου στον οποίο θα εγκαταστήσουµε το ηλιακό ωρολόγιο. Ένα ηλιακό ωρολόγιο είναι ένα απλό αστρονοµικό όργανο µε τη βοήθεια του οποίου προσδιορίζεται ο αληθής ηλιακός χρόνος όπως τόπου, ο οποίος ορίζεται ως: Α = Η Α + 12 h (1) Για να υπολογίσουµε τον πολιτικό χρόνο όπως τόπου, δηλαδή τον µέσο ηλιακό του τόπου, Μ = Η M + 12 h, θα πρέπει να γνωρίζουµε την εξίσωση του χρόνου Ε, δεδοµένου ότι : Ε = Α Μ = Η Α - Η M, oπότε: Μ = Α Ε Αν θέλουµε να βρούµε και τον επίσηµο χρόνο, Μ, όπως χώρας στην οποία ανήκει ο τόπος, αρκεί να γνωρίζουµε τη διαφορά του ν, (δηλαδή του αριθµού όπως ατράκτου στην οποία ανήκει η χώρα ή το µεγαλύτερο τµήµα όπως) από το γεωγραφικό µήκος λ του τόπου. Θα είναι δηλαδή: Μ = Α + (λ ν) Ε = Μ + (λ ν) (2) Στην παραπάνω σχέση (2) τα λ και ν είναι σταθερά, αλλά όχι και η εξίσωση του χρόνου Ε, η οποία ως γνωστόν µεταβάλλεται συνεχώς στη διάρκεια του έτους, (Σχ. Π2). Εποµένως κάθε ηλιακό ωρολόγιο πρέπει να συνοδεύεται από ένα Πίνακα διορθώσεων, (µε διορθώσεις τουλάχιστον ανά 10 ηµέρες). Στο σχήµα Π2 η καµπύλη όπως είναι η εξίσωση του χρόνου. Είναι το αποτέλεσµα του συνδυασµού των καµπύλων (a) & (b) που παριστάνουν την ετήσια µεταβολή όπως ταχύτητας όπως Γης & όπως λόξωσης όπως εκλειπτικής, αντίστοιχα. Σχήµα Π2 40

23 h. Andromeda M 110 M31. λ 7686. Lacerta M 52. Cassiopeia ε IC1848. Alderamin. Cepheus. β γ. Polaris. Ursa Minor +75 M 82 M 81 +60 M 101.

23 h. Andromeda M 110 M31. λ 7686. Lacerta M 52. Cassiopeia ε IC1848. Alderamin. Cepheus. β γ. Polaris. Ursa Minor +75 M 82 M 81 +60 M 101. m m 0 h 9 h 8 h 6 h 70 67 M IC 756 Aquila Altair 66 665 7 6709 Sagitta 09 Serpens Caput M 5 h Delphinus Coathanger Hercules Equuleus M 7 Albireo M 57 68 Corona Borealis Gemma 687 Vega M M 5 Vulpecula Cirrus

Διαβάστε περισσότερα

Name Constellation Αστερισµός Con. Triangulum Galaxy. Triangulum Τρίγωνον TRI 01 33.9 +30 39 5,7 68.7 m 60. Andromeda Galaxy

Name Constellation Αστερισµός Con. Triangulum Galaxy. Triangulum Τρίγωνον TRI 01 33.9 +30 39 5,7 68.7 m 60. Andromeda Galaxy 1 M 77 1068 Spiral GALXY 60000. Cetus Κήτος CET 02 42.7-00 01 8,9 7.3 m 83 2 M 74 628 Spiral GALXY 35000. Pisces Ιχθείς PSC 01 36.7 +15 47 9,4 10 m 60 3 M 33 598 Spiral GALXY 2590 Triangulum Triangulum

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016

Ερωτήσεις Λυκείου 21 ου Πανελλήνιου Διαγωνισμού Αστρονομίας Διαστημικής 2016 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αυτό το έγγραφο ΔΕΝ θα το αποστείλετε ηλεκτρονικά (μέσω e-mail). Απλά το αναρτήσαμε για την δική σας διευκόλυνση. Μόλις βρείτε τις απαντήσεις που γνωρίζετε και τις σημειώσετε σ αυτό το έντυπο,

Διαβάστε περισσότερα

SFA Star Chart 2 - Equatorial Region

SFA Star Chart 2 - Equatorial Region 5 h SFA Star Chart 1 - Northern Region ANDROMEDA - Daughter of Cepheus and Cassiopeia ANTLIA - Air Pumpe APUS - Bird of Paradise AQUILA - Eagle AQUARIUS - Water Carrier ARA - Altar ARIES - Ram AURIGA -

Διαβάστε περισσότερα

GREECE. k = 1 + n/100, k = 1 n/100,

GREECE. k = 1 + n/100, k = 1 n/100, Κανονισµοί Οµαδικής Εξέτασης 1. Οµάδες οι οποίες αποτελούνται από τρεις ή περισσότερους µαθητές µπορούν να συµµετάσχουν στην οµαδική εξέταση 2. Σε κάθε οµάδα θα δοθούν 5 προβλήµατα που πρέπει να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Messier Marathon List

Messier Marathon List Messier Marathon List 1. M77 spiral galaxy in Cetus 4. M31 The Andromeda Galaxy spiral galaxy in Andromeda M32 Satellite galaxy of M31 elliptical galaxy in Andromeda M110 Satellite galaxy of M31 elliptical

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

d = 10(m-M+5)/5 pc. (m-m distance modulus)

d = 10(m-M+5)/5 pc. (m-m distance modulus) Παρατηρησιακά χαρακτηριστικά αστέρων Α. Πόσο μακρυά βρίσκονται τα αστέρια; Μέση απόσταση Γης-'Ηλιου=1AU=149597870,7 km Απόσταση αστέρα: 206264 d= AU ή p'' d= 1 pc, p' ' όπου p είναι η παράλλαξη του αστέρα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 2008. Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών.

Εργαστήριο 2008. Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών. Υπολογισμός σταθεράς Hubble Εργαστήριο 2008 Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών. Εισαγωγή Το 1929, ο Edwin Hubble (με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων

18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων 18 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2013 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Ανάλυση Δεδομένων Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον χάρακα και το κομπιουτεράκι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ Αν υποθέσουμε ότι ο Ήλιος αναπαριστάται με σφαίρα (μεγέθους) διαμέτρου 10 cm, τότε η Γη τοποθετείται περίπου 11 μέτρα μακριά και έχει μέγεθος μόλις 1 mm (χιλιοστό). Ο Ερμής και η Αφροδίτη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ

ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Το λαμπρότερο αστέρι στον νυχτερινό ουρανό είναι ο Σείριος Α του αστερισμού του Μεγάλου Κυνός (a Canis Majoris) και αποτελεί μέρος διπλού συστήματος αστέρων. Απέχει από το ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ. Πρόγραμμα βραδιών παρατηρήσεων Μάιος 2009 7 Μαΐου 14 Μαΐου 21 Μαΐου 28 Μαΐου

ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ. Πρόγραμμα βραδιών παρατηρήσεων Μάιος 2009 7 Μαΐου 14 Μαΐου 21 Μαΐου 28 Μαΐου ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ Πρόγραμμα βραδιών παρατηρήσεων Μάιος 2009 7 Μαΐου 14 Μαΐου 21 Μαΐου 28 Μαΐου www.ea.gr/ep/cosmos www.discoveryspace.net Οι βραδιές παρατήρησης υποστηρίζονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Η φωτεινότητα των διπλών εκλειπτικών συστημάτων

Η φωτεινότητα των διπλών εκλειπτικών συστημάτων Ονοματεπώνυμο: Μελέτη Διπλών εκλειπτικών συστημάτων Κέντρο μάζας: Βρίσκεται πάντα στην ευθεία που ενώνει τις δύο μάζες και πλησιέστερα στην μεγαλύτερη. m 1 / m 2 =r 2 / r 1 x cm = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009

Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση. Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 Εισαγωγή στην Αστρονοµική Παρατήρηση Ανδρέας Παπαλάμπρου Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας Ωρίων 20/5/2009 1 Ερασιτεχνική Αστρονομία Μια ενασχόληση που αρχίζει από απλό χόμπι... & φτάνει έως συμβολή σε επιστημονικές

Διαβάστε περισσότερα

Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται

Η γωνία υπό την οποία φαίνονται από κάποιον παρατηρητή δύο αστέρες ονοµάζεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 2.1 Ουράνια σφαίρα-βασικοί ορισµοί Για να ορίσουµε τις θέσεις των αστέρων, τους θεωρούµε να προβάλλονται σαν σηµεία στην εσωτερική επιφάνεια µιας σφαίρας µε αυθαίρετη

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

1.2: 1.2 D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2)

1.2: 1.2    D R r (1.1) 1.3: 206.265 (1.2) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Αστρονοµία κατέχει ξεχωριστή θέση ανάµεσα στις επιστήµες και από πολλούς θεωρείται η αρχαιότερη όλων. Παρά ταύτα πρόδροµος και «µητέρα» της θεωρείται η Αστρολογία. Η Αστρονοµία ξεκίνησε παρατηρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση Περίληψη: Λέγοντας «μέτρηση διπλού άστρου» εννοούμε τη μέτρηση δύο γωνιών, της «γωνίας θέσης»

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην αστρονοµία (Πως να προετοιµαστώ για τις εξετάσεις;)

Εισαγωγή στην αστρονοµία (Πως να προετοιµαστώ για τις εξετάσεις;) Εισαγωγή στην αστρονοµία (Πως να προετοιµαστώ για τις εξετάσεις;) Λ. Βλάχος 1 Ιανουαρίου 2010 1 Εισαγωγικές Σκέψεις Ενα πολύ σοβαρό ϑέµα, για το οποίο σπάνια συζητάµε στα µαθήµατα, είναι το πως περιµένουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2014 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων. Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 204 Αστροφωτογραφίες Ελλήνων Ερασιτεχνών Αστρονόμων Επιμέλεια: Γ. Μποκοβός - Α. Βοσινάκης ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 204 Νεφέλωμα NGC 6888 στον Κύκνο - Αντώνης Αγιομαμίτης ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΡΙΤΗ ΤΕΤΑΡΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015

Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015 Φ230: Αστροφυσική Ι Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015 1. Ο Σείριος Α, έχει φαινόμενο οπτικό μέγεθος mv - 1.47 και ακτίνα R1.7𝑅 και αποτελεί το κύριο αστέρι ενός διπλού συστήματος σε απόσταση 8.6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005 Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η µελέτη των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων.

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 101 10. Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 10.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην παρατήρηση και τον αστρονομικό εξοπλισμό

Εισαγωγή στην παρατήρηση και τον αστρονομικό εξοπλισμό Εισαγωγή στην παρατήρηση και τον αστρονομικό εξοπλισμό Θεόφιλος Στεργίου Αστρονομική Εταιρία ΩΡΙΩΝ Είδη Ερασιτεχνικής αστρονομίας (Δεν είναι αστροφυσική) Αστρονόμος του καναπέ Παρατηρησιακός αστρονόμος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 35 ΠερίθλασηκαιΠόλωση ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 35 Περίθλαση απλής σχισµής ή δίσκου Intensity in Single-Slit Diffraction Pattern Περίθλαση διπλής σχισµής ιακριτική ικανότητα; Κυκλικές ίριδες ιακριτική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο

3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Σηµειώσεις ΑΠΕ Ι Κεφ. 3 ρ Π. Αξαόπουλος Σελ. 1 3. ΗΛΙΑΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η γνώση της ηλιακής ακτινοβολίας που δέχεται ένα κεκλιµένο επίπεδο είναι απαραίτητη στις περισσότερες εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 130 Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. α, β 2. γ 3. ε 4. β, δ 5. γ 6. α, β, γ, ε Β. Απαντήσεις στις ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού 1. η αρχαιότερη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Εξοπλισμός για τον Ερασιτέχνη Αστρονόμο. Χάρης Καμπάνης

Εξοπλισμός για τον Ερασιτέχνη Αστρονόμο. Χάρης Καμπάνης Εξοπλισμός για τον Ερασιτέχνη Αστρονόμο Χάρης Καμπάνης Τι μας ενδιαφέρει να παρατηρούμε πώς και από πού. Μας Ενδιαφέρει Παρατήρηση Πλανητών, Ηλιακή Παρατήρηση, Βαθύς Ουρανός; Θα Παρατηρούμε μέσα από την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΛΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΛΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ RA DEC MAG ΕΙΔΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΕ Ε.Φ. ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΛΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Mizar / Alcor 13.23.9 +54.56 2.1/4.0 Τριπλό 78 ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1. άστρο ξ UMa 11.18.2 +31.32 4.3/4.8 Διπλό 27

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες Μορφές Ενέργειας

Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ήπιες Μορφές Ενέργειας Ενότητα 2: Ελευθέριος Αμανατίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Περιεχόμενα ενότητας Ο Ήλιος ως πηγή ενέργειας Κατανομή ενέργειας στη γη Ηλιακό φάσμα και ηλιακή σταθερά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη. 2 Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ. 2.1 Ο νόμος του Hubble. Διδάσκων: Θεόδωρος Ν.

1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη. 2 Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ. 2.1 Ο νόμος του Hubble. Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Α. ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη 1 light year = 0.951 10 16 m 1 AU = 1.50 10 11 m 1 = 4.85 10 6 rad 1pc 1 parsec 1AU/(1 in rad) = 3.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ

AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ AΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΙΙ: Ο ΗΛΙΟΣ 1. Ο Ήλιος μας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αστέρες της περιοχής μας, του Γαλαξία μας αλλά και του σύμπαντος (NASA Science, εικόνα 1), όντας ο μοναδικός στο ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ 7.1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διαδιδόμενη από οπτικό μέσο α με δείκτη διάθλασης n 1 προσπίπτει σε άλλο οπτικό μέσο β με δείκτη διάθλασης n 2 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις στα Συστήματα για τη ορυφορική Γεωδαισία Οι αρχαίοι θεωρούσαν τη Γη ακίνητη και κέντρο του σύμπαντος Η κίνηση της Γης TEPAK ορυφορική Γεωδαισία 6 ο Εξάμηνο 2011-12 Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορίες για τον Ήλιο:

Πληροφορίες για τον Ήλιο: Πληροφορίες για τον Ήλιο: 1) Ηλιακή σταθερά: F ʘ =1.37 kw m -2 =1.37 10 6 erg sec -1 cm -2 2) Απόσταση Γης Ήλιου: 1AU (~150 10 6 km) 3) L ʘ = 3.839 10 26 W = 3.839 10 33 erg sec -1 4) Διαστάσεις: Η διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

19 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2014. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση

19 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2014. 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση 19 ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2014 4 η φάση: «ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ» Θεωρητική Εξέταση Παρακαλούμε, διαβάστε προσεκτικά τα παρακάτω: 1. Ο διαθέσιμος χρόνος για την απάντηση των θεωρητικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic

P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc. Ergasthriak AstronomÐa. Ergasthriakèc Ask seic Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών - Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής & Μαθηματικής Φυσικής, Αστρονομίας & Αστροφυσικής P. E. QristopoÔlou - N. Galanˆkhc Ergasthriak AstronomÐa Ergasthriakèc Ask

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ Ερασιτεχνικής Αστρονομίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ (Εκπαιδευτικός ΠΕ19-Μεταπτυχιακός φοιτητής ΕΑΠ- Μέλος Αστρονομικής Εταιρείας Πάτρας «Ωρίων») gianakop@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s.

Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. Κεφάλαιο 1 Το Φως Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. Το φως διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. 3 Η ταχύτητα του φωτός μικραίνει, όταν το φως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 05 2 0 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος A. Κριεμπάρδης. Φυσικός M.Sc, Εκπ/κός

Γιώργος A. Κριεμπάρδης. Φυσικός M.Sc, Εκπ/κός ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρών εγχειρίδιο φιλοδοξεί να δώσει τις απαραίτητες γνώσεις στον μη ειδικό ενδιαφερόμενο για την αστρονομία. Γράφτηκε με σκοπό να τον εφοδιάσει με τις απαραίτητες γνώσεις ώστε να μπορεί πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

2015 ii. iii. 8 ii. iii. 9

2015 ii. iii. 8 ii. iii. 9 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση.

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th International Physics Olympiad, erida, exico, -9 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας

Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας Ελληνική Αστρονομική Ένωση (Ε.Α.Ε.) Συνοπτικό Εγχειρίδιο Αστρονομίας του Άρη Μυλωνά Εισαγωγή Έχετε βρεθεί ποτέ στην εξοχή; Έχετε βρεθεί σε σκοτεινό νυκτερινό ουρανό, μακριά από τα φώτα των πόλεων; Έχετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα