Κεφάλαιο 5 Επίπεδα Σχήματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Επίπεδα Σχήματα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Επίπεδα Σχήματα Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση Στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων Πυθαγόρειο θεώρημα Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων Στοιχεία παραλληλογράμμου Στοιχεία τραπεζίου Εμβαδόν επιφανειών Στοιχεία κύκλου Εγγεγραμμένες γωνίες Κανονικά πολύγωνα Μήκος τόξου και κύκλου Εμβαδόν κύκλου Λυμένες ασκήσεις Διαδραστικές ερωτήσεις αξιολόγησης Προβλήματα Βιβλιογραφία

2 Συντομεύσεις Ακρωνύμια Βλ. m cm km Ε β υ Βλέπε Meter (μέτρο) Centimetre (εκατοστόμετρο) Kilometre (χιλιόμετρο) Εμβαδόν βάση ύψος 2

3 Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό επικεντρώνεται στην περιγραφή των επίπεδων σχημάτων και στις ιδιότητές τους. Περιγράφονται τα επίπεδα σχήματα: τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, πολύγωνο και κύκλος. Επιπλέον, το κεφάλαιο περιλαμβάνει ξεχωριστή ενότητα με μεθόδους υπολογισμού του εμβαδού των σχημάτων εμπλουτισμένη με παραδείγματα και εφαρμογές. Προαπαιτούμενη γνώση Για την πληρέστερη κατανόηση της ύλης που αναπτύσσεται χρειάζονται βασικές γνώσεις Γεωμετρίας. 5.1 Στοιχεία τριγώνου Το τρίγωνο είναι ένα από τα πλέον βασικά γεωμετρικά σχήματα. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα παραπάνω σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές του (Fishbein, E 1993). Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και τρεις γωνίες Α, Β, Γ. Τα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, εκτός από τις πλευρές συμβολίζουν και τα μήκη των αντίστοιχων ευθυγράμμων τμημάτων. Για τις γωνίες κάθε τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: Α +Β +Γ = Η γωνία του τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών ονομάζεται περιεχόμενη γωνία των πλευρών αυτών. Για παράδειγμα στο σχήμα της Εικόνας 5.1 περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΒΓ και ΑΒ είναι η γωνία Β. Οι γωνίες του τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς ονομάζονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς αυτής. Προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΑΒ είναι οι γωνίες Α και Β. Εικόνα 5.2 Το τρίγωνο ΑΒΓ. Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι διάμεσοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι. 3

4 Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους που τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο του τριγώνου το οποίο λέγεται κέντρο βάρους ή βαρύκεντρο (βλ. Εικόνα 5.2). Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια κορυφή και είναι κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη που τέμνονται σε ένα σημείο το οποίο καλείται ορθόκεντρο (βλ. Εικόνα 5.3). Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά (βλ. Εικόνα 5.4). Εικόνα 5.2 Διάμεσος τριγώνου. Εικόνα 5.3 Ύψος τριγώνου. 4

5 Εικόνα 5.4 Διχοτόμος τριγώνου Ισότητα τριγώνων Δύο τρίγωνα ονομάζονται ίσα όταν έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους μία προς μία ίσες. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι αντίστοιχα ίσες πλευρές δύο τριγώνων, οι οποίες και βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες, ονομάζονται αντίστοιχες ή ομόλογες πλευρές. Για τον έλεγχο της ισότητας δύο τριγώνων μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα παρακάτω κριτήρια: Θεώρημα (1ο Κριτήριο ΠΓΠ ): Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. Θεώρημα (2ο Κριτήριο ΓΠΠ ): Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Θεώρημα (3ο Κριτήριο ΠΠΠ ): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 5.2 Είδη τριγώνων Τα τρίγωνα μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε συγκεκριμένους τύπους ανάλογα με το μήκος των πλευρών τους και τις εωτερικές γωνίες τους (Hoffer, A. 1981). Με βάση τα μήκη των πλευρών: Κάθε τρίγωνο μπορεί να ταξινομηθεί σε μια από τις παρακάτω κατηγορίες με βάση το μήκος των πλευρών του: Σκαληνό: όταν όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι άνισες ή ισοδύναμα όλες οι γωνίες του είναι άνισες. 5

6 Εικόνα 5.5 Σκαληνό τρίγωνο. Ισόπλευρο: όταν όλες οι πλευρές του τριγώνου έχουν το ίδιο μήκος. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο λέγεται και κανονικό πολύγωνο με όλες τις γωνίες του ίσες με 60 (βλ. Εικόνα 5.6). Εικόνα 5.6 Ισόπλευρο τρίγωνο. Ισοσκελές: όταν τουλάχιστον δύο από τις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες (βλ. Εικόνα 5.7). Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει και δύο γωνίες ίσες, είναι οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις δύο ίσες πλευρές. Αυτό αποτελεί και το θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου που διατυπώθηκε από τον Ευκλείδη. Εικόνα 5.7 Ισοσκελές τρίγωνο. Με βάση τις εσωτερικές γωνίες: Τα τρίγωνα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν σύμφωνα με τις εσωτερικές γωνίες τους και διακρίνουμε τα παρακάτω είδη: 6

7 Ορθογώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μία από τις εσωτερικές γωνίες του ίση με 90 (ορθή γωνία). Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία είναι η υποτείνουσα πλευρά και είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου. Οι άλλες δύο πλευρές λέγονται κάθετες πλευρές. 'Ένα μη ορθογώνιο τρίγωνο καλείται πλάγιο (βλ. Εικόνα 5.8). Αμβλυγώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μια εσωτερική γωνία μεγαλύτερη από 90 (βλ. Εικόνα 5.8). Οξυγώνιο: το τρίγωνο που έχει όλες τις εσωτερικές γωνίες του μικρότερες από 90 (βλ. Εικόνα 5.8). Εικόνα 5.8 Ορθογώνιο, Αμβλυγώνιο και Οξυγώνιο τρίγωνο Ιδιότητες των τριγώνων Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο (βλ. Εικόνα 5.9) ισχύει ότι: Η ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση είναι και άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου. Η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση είναι επίσης ύψος και διχοτόμος. Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 7

8 Εικόνα 5.9 Ισοσκελές τρίγωνο. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο (βλ. Εικόνα 5.10) ισχύει ότι: Οι ευθείες των διαμέσων είναι και άξονες συμμετρίας του ισόπλευρου τριγώνου. Κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος. Όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου είναι αντίστοιχα μεταξύ τους ίσες. Εικόνα 5.10 Ισόπλευρο τρίγωνο. 5.3 Πυθαγόρειο θεώρημα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αφορά τη σχέση μεταξύ της υποτείνουσας και των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο επομένως σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει ότι: Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. 8

9 Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α, β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση: α 2 + β 2 = γ 2 όπου α και β τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και γ το μήκος της υποτείνουσας. Η πυθαγόρεια εξίσωση συσχετίζει τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με απλό τρόπο, έτσι ώστε αν είναι γνωστά τα μήκη δύο πλευρών να μπορεί να υπολογισθεί το μήκος της τρίτης. Συνέπεια του θεωρήματος είναι ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά αλλά μικρότερη από το άθροισμα τους (Yaglom, M. 1962). Δίνονται οκτώ ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α και τρία τετράγωνα με πλευρές α, β, γ αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τα εμβαδά ε, Ε 1, Ε 2 των τριγώνων και τετραγώνων των Εικόνων 5.16 και β) Να τοποθετήσετε κατάλληλα τα τρίγωνα και τετράγωνα, ώστε να σχηματίσουν δύο νέα τετράγωνα, πλευράς (β + γ). α) Έχουμε ότι: ε = βγ 2 συνεπώς ε = α² και Ε 1 = γ² και Ε 2 = β². β) Αρκεί να τα τοποθετήσουμε τα τρίγωνα και τα τετράγωνα όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Παρατηρούμε ότι μπορούμε να γράψουμε το εμβαδόν των ίσων τετραγώνων πλευράς (β + γ) με δύο διαφορετικούς τρόπους: 1ος τρόπος: Ε1 + Ε2 + 4ε από το τετράγωνο της Εικόνας 5.11 που αποτελείται από 4 τρίγωνα (που απεικονίζονται με το κίτρινο χρώμα) και τα δύο τετράγωνα πλευράς β, γ (που απεικονίζονται με το γαλάζιο χρώμα) αντίστοιχα. Εικόνα 5.11 Τετράγωνο πλευράς (β+γ) 1 ος τρόπος. 2ος τρόπος: Ε + 4ε από το τετράγωνο της Εικόνας 5.12 που αποτελείται πάλι από 4 τρίγωνα (που απεικονίζονται με το πράσινο χρώμα) και το τετράγωνο πλευράς α (που απεικονίζεται με το πορτοκαλί χρώμα). Επομένως, θα ισχύει ότι Ε 1 + Ε 2 + 4ε = Ε + 4ε ή Ε 1 + Ε 2 = Ε ή β² + γ² = α². 9

10 Η σχέση αυτή, που συνδέει τις κάθετες πλευρές με την υποτείνουσα ενός τριγώνου, εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Εικόνα 5.12 Τετράγωνο πλευράς (β+γ) 2 ος τρόπος Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος Εικόνα 5.13 Σχοινί με 13 κόμπους με ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Στην Αρχαία Αίγυπτο για την κατασκευή ορθών γωνιών χρησιμοποιούσαν το σκοινί της Εικόνας Όπως βλέπουμε, το σκοινί έχει 13 κόμπους σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους που σχηματίζουν 12 ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Κρατώντας τους ακραίους κόμπους ενωμένους και τεντώνοντας το σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχηματίζεται το τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πίστευαν ότι είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την κορυφή Β. Μεταγενέστερα, οι αρχαίοι Έλληνες επαλήθευσαν τον ισχυρισμό αυτό αποδεικνύοντας την επόμενη γενική πρόταση, που είναι γνωστή ως το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος: Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. 5.4 Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων Τα κριτήρια ισότητας τριγώνων μπορούμε να τα εφαρμόσουμε και στα ορθογώνια τρίγωνα. Στην Εικόνα 5.14 τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα γιατί έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες τους επίσης ίσες καθώς είναι ορθές (Fischbein. E. & Nachlieli, T. 1998). 10

11 Εικόνα 5.14 Ίσα τρίγωνα με ίσες τις κάθετες πλευρές. Στην Εικόνα 5.15 τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες και όπως προκύπτει από το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα έχουν και τις τρίτες πλευρές τους αντίστοιχα ίσες. Άρα τα τρίγωνα θα είναι ίσα, αφού έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία. Εικόνα 5.15 Ίσα τρίγωνα, έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά ίσα. Οι δύο αυτές περιπτώσεις συνοψίζονται στο εξής κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Στην Εικόνα 5.16 τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία. 11

12 Εικόνα 5.16 Ίσα ορθογώνια τρίγωνα, έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία. Στις Εικόνες 5.17 και 5.18 τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία και επομένως θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση αφού το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι Άρα είναι τα τρίγωνα ίσα γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία. Εικόνα 5.17 Ίσα ορθογώνια τρίγωνα, έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία. Εικόνα 5.18 Ίσα ορθογώνια τρίγωνα, έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία. 12

13 Οι τρεις αυτές περιπτώσεις συνοψίζονται στο παρακάτω κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα. Από τα προηγούμενα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων διαπιστώνουμε ότι: Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ή μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. 5.5 Στοιχεία παραλληλογράμμου Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, δηλαδή ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ. Κάθε πλευρά του παραλληλόγραμμου μπορεί να ονομαστεί βάση του παραλληλόγραμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του παραλληλόγραμμου. Tο σημείο τομής των διαγώνιων λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου (Singer, I. & Thorpe, J. 1976). Οι ιδιότητες του παραλληλόγραμμου είναι: Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται. Εικόνα 5.19 Παραλληλόγραμμο Στην Εικόνα 5.19 για τις βάσεις ΑΒ και ΓΔ ύψος είναι το ΕΖ, ενώ για τις βάσεις ΑΔ και ΒΓ ύψος είναι το ΗΘ. 13

14 Ειδικές Περιπτώσεις παραλληλογράμμων: Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο (βλ. Εικόνα 5.20). Εικόνα 5.20 Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται ρόμβος (βλ. Εικόνα 5.21). Εικόνα 5.21 Ρόμβος ΑΒΓΔ. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται τετράγωνο (βλ. Εικόνα 5.22). Εικόνα 5.22 Τετράγωνο ΑΒΓΔ. Επιπρόσθετες ιδιότητες του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου είναι (βλ. Εικόνα 5.23): Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του είναι άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιές του είναι ίσες και διχοτομούνται. 14

15 Εικόνα 5.23 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Ο ρόμβος (βλ. Εικόνα 5.24) πέρα από τις γενικές ιδιότητες των παραλληλόγραμμων έχει επιπρόσθετα και τις εξής: Οι ευθείες των διαγωνίων είναι άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτομούνται. Οι διαγώνιες του είναι και διχοτόμοι των γωνιών του. Εικόνα 5.24 Ρόμβος ΑΒΓΔ. Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου το τετράγωνο (βλ. Εικόνα 5.25) έχει ακόμα και τις εξής: Οι ευθείες των διαγωνίων του και οι μεσοκάθετοι των πλευρών του είναι άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιες του είναι ίσες, κάθετες μεταξύ τους και διχοτομούνται. Οι διαγώνιές του τετραγώνου είναι και διχοτόμοι των γωνιών του. 15

16 Εικόνα 5.25 Τετράγωνο ΑΒΓΔ. 5.6 Στοιχεία τραπεζίου Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ της Εικόνας 5.26 του οποίου μόνο δύο πλευρές είναι παράλληλες λέγεται τραπέζιο. Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ, ΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) του τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου (Mironescu, P. & Panaitopol, L. 1994). Εικόνα 5.26 Τραπέζιο ΑΒΓΔ- ύψος ΕΖ. Η απόσταση των βάσεων ΑΒ και ΓΔ είναι το ύψος ΕΖ. Αν ένα τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Στο ισοσκελές τραπέζιο της Eικόνας 5.27 είναι ΑΔ = ΒΓ. Εικόνα 5.27 Τραπέζιο ΑΒΓΔ. Οι ιδιότητες του ισοσκελούς τραπέζιου είναι: 16

17 Η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων είναι άξονας συμμετρίας και μεσοκάθετος στις βάσεις του. Οι προσκείμενες σε κάθε βάση γωνίες του τραπεζίου είναι ίσες. 5.7 Εμβαδόν επιφανειών Εμβαδόν επιπέδου σχήματος ονομάζουμε την έκταση που καταλαμβάνει ένα επίπεδο σχήμα. Το εμβαδόν εκφράζεται από έναν θετικό αριθμό που μας δείχνει πόσες φορές η έκταση του σχήματος είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την έκταση ενός άλλου σχήματος, την οποία θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών. Η μονάδα μέτρησης των επιφανειών είναι το τετράγωνο με πλευρά 1m. Αυτό το τετράγωνο το ονομάζουμε τετραγωνικό μέτρο και το συμβολίζουμε με 1m 2 (Veblen, O. & Young, J. 1910) Εμβαδόν τριγώνου Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου μιας πλευράς του με το αντίστοιχο σε αυτή ύψος. Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού είναι (βλ. Εικόνα 5.28): Ε = βυ 2 Όπου β η μια πλευρά του τριγώνου και υ το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά β. Εικόνα 5.28 Η βάση και το ύψος τριγώνου. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου (βλ. Εικόνα 5.29) είναι ίσο με το μισό του γινομένου των δυο καθέτων πλευρών του. Ο τύπος υπολογισμού του δίνεται από τη σχέση: Ε = βγ 2 Όπου β η μια κάθετη πλευρά του τριγώνου και γ η άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. Εικόνα 5.29 Οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. 17

18 Η μια πλευρά ενός τριγώνου είναι 7 cm και το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή έχει μήκος 4 cm. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου. Για τον υπολογισμό του εμβαδού του τριγώνου χρησιμοποιούμε τον τύπο: Ε = βυ. Η βάση 2 στη συγκεκριμένη άσκηση είναι 7cm και το ύψος 4cm. Συνεπώς Ε = 7 4 = 28 = 14 cm² Εμβαδόν παραλληλογράμμου Εμβαδόν τετραγώνου: Το εμβαδόν του τετραγώνου (βλ. Εικόνα 5.30) προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό της πλευράς του με τον εαυτό της. Ο τύπος υπολογισμού του εμβαδού τετραγώνου είναι: Ε = αα = α 2. Εικόνα 5.30 Η πλευρά τετραγώνου α. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλόγραμμου: Για τον υπολογισμό του εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου (βλ. Εικόνα 5.31) πολλαπλασιάζουμε το μήκος με το πλάτος του (ή αλλιώς τη βάση με το ύψος). Ε = μήκος x πλάτος Εικόνα 5.31 Μήκος και πλάτος ορθογώνιου παραλληλόγραμμου. Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Για να βρούμε το εμβαδόν ενός πλάγιου παραλληλογράμμου (βλ. Εικόνα 5.32), πολλαπλασιάζουμε τη βάση με το ύψος του. Για να βρούμε το ύψος, χρησιμοποιούμε το γνώμονα και φέρουμε μια κάθετη ευθεία από την κορυφή του σχήματος. Ε = βάση x ύψος 18

19 Εικόνα 5.32 Βάση και ύψος ορθογώνιου παραλληλόγραμμου. Εμβαδόν ρόμβου: Για να βρούμε το εμβαδόν ενός ρόμβου, πολλαπλασιάζουμε τις διαγώνιές του και διαιρούμε με το 2. Αν ονομάσουμε τις διαγώνιους δ1 και δ2 (βλ. Εικόνα 5.33), τότε το εμβαδόν του ρόμβου είναι: (δ1 δ2) Ε = 2 Εικόνα 5.33 Οι διαγώνιοι του ρόμβου. Στο ρόμβο της προηγούμενης εικόνας έστω ότι δ 1 = 4cm και δ 2 = 3cm. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ρόμβου. Εφαρμόζοντας τον τύπο που δόθηκε πιο πάνω για το εμβαδόν του ρόμβου έχουμε Ε = (4 3) = 12 2 = 6 cm² Εμβαδόν τραπεζίου Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημι-αθροίσματος των βάσεων με το ύψος του. Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του τραπεζίου είναι: Ε = (Β + β) υ 2 Όπου Β ή μεγάλη βάση του τραπεζίου, β η μικρή βάση του τραπεζίου και υ το ύψος του τραπεζίου (βλ. Εικόνα 5.34). 19

20 5.8 Στοιχεία κύκλου Εικόνα 5.34 Η μεγάλη και η μικρή βάση τραπεζίου. Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο (βλ. Εικόνα 5.35). Η απόσταση αυτή συμβολίζεται με ρ και λέγεται ακτίνα του κύκλου. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου. Ένας κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. συμβολίζεται με συντομία (Ο, ρ). Δύο κύκλοι με ίσες ακτίνες είναι ίσοι (Πάμφιλος, Π. 2012). Εικόνα 5.35 Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ Επιπλέον έννοιες που σχετίζονται με τον κύκλο κύκλου είναι η χορδή, η διάμετρος, το τόξο και ο κυκλικός δίσκος τα οποία περιγράφουμε στη συνέχεια. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που συνδέει δύο σημεία Α και Β του κύκλου ονομάζεται χορδή του κύκλου (βλ. Έικόνα 5.36). Ειδικά μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου καλείται διάμετρος του κύκλου. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου, είναι διπλάσια από την ακτίνα του κύκλου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη (ημικύκλια) (βλ. Εικόνα 5.37). Εικόνα 5.36 Κύκλος με κέντρο Ο και χορδή ΑΒ. 20

21 Εικόνα 5.37 Κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ. Δύο σημεία Α και Β του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη που το καθένα ονομάζεται τόξο του κύκλου με άκρα τα Α και Β (βλ. Εικόνα 5.38). Τα τόξα µετρούνται όπως και οι γωνίες µε µονάδα µέτρησης την 1 µοίρα (1 0 ). Εικόνα 5.38 Κύκλος με τόξο ΑΒ. Κυκλικός δίσκος (Ο, ρ) είναι ο κύκλος (Ο, ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει (βλ. Εικόνα 5.39). Όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση μικρότερη ή ίση με την ακτίνα ρ. Εικόνα 5.39 Κυκλικοί δίσκοι οι 1,2,3,4. 21

22 5.9 Εγγεγραμμένες γωνίες Μια γωνία xay λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο (Ο, ρ) όταν η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο και οι πλευρές Αx, Αy τέμνουν τον κύκλο (βλ. Εικόνα 5.40). Το τόξο ΒΓ που περιέχεται στην εγγεγραμμένη xay λέγεται αντίστοιχο τόξο αυτής. Επιπρόσθετα, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία ΒΑΓ βαίνει στο τόξο ΒΓ. Εικόνα 5.40 Εγγεγρραμμένη σε κύκλο γωνία xay. Για τις εγγεγραμμένες γωνίες σε κύκλο ισχύουν τα ακόλουθα θεωρήματα και πορίσματα: Θεώρημα: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει. Θεώρημα: Η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή κύκλου και την εφαπτομένη σε ένα άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής αυτής. Πόρισμα: Επίκεντρη γωνία ονομάζεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου (βλ. Εικόνα 5.41). Μια επίκεντρη γωνία είναι ίση με το τόξο στο οποίο βαίνει, για παράδειγμα στην Εικόνα 5.40 ισχύει ΑΟΒ =ΑΒ. Πόρισμα:Η εγγεγραμμένη γωνία είναι μισή της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. Πόρισμα: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή (90 0 ). Πόρισμα: Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα ή στο ίδιο τόξο είναι μεταξύ τους ίσες. Εικόνα 5.41 Επίκεντρη γωνία ΑΟΒ. 22

23 5.10 Κανονικά πολύγωνα Πολύγωνο καλείται το κλειστό γεωμετρικό σχήμα που έχει πολλές (πάνω από τέσσερις) πλευρές και γωνίες. Τα πολύγωνα ονομάζονται ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών και των πλευρών που έχουν. Κανονικό πολύγωνο ονομάζεται ένα πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του μεταξύ τους ίσες και όλες τις γωνίες επίσης μεταξύ τους ίσες (βλ. Εικόνες 5.42). Εικόνα 5.42 Κανονικό πολύγωνο. Ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές του κανονικού πολυγώνου λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου ή λέμε ότι το πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Κέντρο κανονικού πολυγώνου ονομάζεται το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.ένα πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο όταν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. Κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται κάθε επίκεντρη γωνία του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πολυγώνου, που βαίνει σε τόξο με χορδή ίση με την πλευρά του κανονικού πολύγωνου (Πουλάκης, Δ. 2006). Η κεντρική γωνία ενός πολύγωνου συμβολίζεται με ω και ισούται με ω = 360ο. Οι γωνίες του ν πολυγώνου που συμβολίζονται με φ στην Εικόνα 5.41 ισούται με φ = 180 ω. Η κεντρική γωνία ω και η γωνία του πολυγώνου φ είναι παραπληρωματικές. Η περίμετρος ενός πολυγώνου υπολογίζεται προσθέτοντας όλες τις πλευρές του. Για να υπολογίσουμε την περίμετρο ενός κανονικού πολυγώνου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος μιας πλευράς επί τον αριθμό των πλευρών του Σε κανονικό εξάγωνο (ν = 6) ΑΒΓΔΕΖ (βλ. Εικόνα 5.42) ισχύει: Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. Οι πλευρές του εξαγώνου είναι ίσες με τις ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου. Ισχύει (ΑΒΓΔΕΖ) = 6(ΟΑΒ). Δίνεται κανονικό οκτάγωνο, να βρεθούν: α) η κεντρική γωνία β) η γωνία του πολυγώνου α) Πρόκειται για οκτάγωνο συνεπώς ν = 8 και ω= 360 ν = = 45ο => ω = 45 ο. β) φ = 180 ω => φ = =>φ = 135 ο. 23

24 5.11 Μήκος τόξου και κύκλου Μήκος κύκλου Με τη βοήθεια της περιμέτρου κανονικών πολυγώνωω προσεγγίζουμε στη συνέχεια την έννοια του μήκους κύκλου. Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (Ο, R) (βλ. Εικόνα 5.43) και ας εγγράψουμε σε αυτό διαδοχικά ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα κανονικό 6-γωνο, ένα κανονικό 12-γωνο και γενικά ένα πολύγωνο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρών από το προηγούμενο. Εικόνα 5.43 Εγγεγραμένα ν-γωνα σε κύκλο. Καθώς ο αριθμός των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλασιάζεται, από το πολύγωνο φαίνεται ότι το κανονικό πολύγωνο τείνει να ταυτισθεί με τον κύκλο. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν αντί εγγεγραμμένων θεωρήσουμε κανονικά πολύγωνα περιγεγραμμένα στον κύκλο (Ο, R) (βλ. Εικόνα 5.44) και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος των πλευρών τους. Αν θεωρήσουμε λοιπόν την ακολουθία (P ν ) των περιμέτρων των κανονικών πολυγώνων των εγγεγραμμένων στον κύκλο (Ο, R) και την ακολουθία (P ν) των περιμέτρων των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων γύρω από τον ίδιο κύκλο τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός L μεγαλύτερος όλων των όρων της ακολουθίας (P ν ) και μικρότερος όλων των όρων της (P ν) με την εξής ιδιότητα: καθώς το ν διπλασιάζεται, οι όροι των ακολουθιών (P ν ) και (P ν) προσεγγίζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό L. O αριθμός L (που είναι το κοινό όριο των ακολουθιών και ανεξάρτητος από την επιλογή κανονικών πολυγώνων) λέγεται μήκος του κύκλου (Ο, R). Εικόνα 5.44 Περιγεγραμμένα ν-γωνα σε κύκλο. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε πρώτος ότι ο λόγος L = π του μήκους του κύκλου προς τη 2R διάμετρο του είναι σταθερός, δηλαδή είναι ίδιος για κάθε κύκλο. Η σταθερή αυτή τιμή του λόγου L συμβολίζεται διεθνώς με το Ελληνικό γράμμα π, οπότε προκύπτει ότι το μήκος L του 2R κύκλου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση: L = 2πr. 24

25 Ο αριθμός π είναι ένας άρρητος αριθμός και μια προσέγγισή του, που στην πράξη χρησιμοποιείται, είναι: π 3, Μήκος τόξου Έστω ένα τόξο ΑΒ ενός κύκλου (Ο, R) (βλ. Εικόνα 5.45). Μια τεθλασμένη (τεθλασμένη γραμμή χαρακτηρίζεται το ευθύγραμμο σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένου πλήθους διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία δεν αποτελούν ευθεία γραμμή) με άκρα τα σημεία Α, Β και τις άλλες κορυφές της σημεία του τόξου λέγεται εγγεγραμμένη στο τόξο ΑΒ. Στην περίπτωση που οι πλευρές της είναι ίσες, λέγεται κανονική τεθλασμένη. Εικόνα 5.45 Τόξο ΑΒ ενός κύκλου (Ο, R). Μια τεθλασμένη με άκρα τα Α, Β και πλευρές εφαπρόμενες του τόξου ΑΒ λέγεται περιγεγραμμένη στο τόξο ΑΒ. Η έννοια της κανονικής περιγεγραμμένης ορίζεται, όπως στην περίπτωση της εγγεγραμμένης. Το μήκος του τόξου ΑΒ κύκλου (Ο, R) ορίζεται όπως και το μήκος του κύκλου. Δηάδή το μήκος του τόξου ΑΒ είναι ο μοναδικός θετικός αριθμός l τον οποίο προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο τα μήκη Pv και P ν των κανονικών τεθλασμένων γραμμών των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων αντίστοιχα στο τόξο ΑΒ καθώς το ν διπλασιάζεται. Επειδή ο κύκλος είναι τόξο 360 ο με μήκος 2 π r, το τόξο 1 ο θα έχει μήκος 2πR, οπότε ένα τόξο 360 μο θα έχει μήκος: l = πrμ. 180 Επίσης, ένα τόξο κύκλου με μήκος R λέγεται ακτίνιο (rad). Άρα ένα τόξο κύκλου με μήκος α rad έχει μήκος α r, δηλαδή l = α r. Στον κύκλο (Ο, R) της Εικόνας 5.46 θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τις χορδές ΑΓ και ΒΓ, ώστε ΑΓ = 2cm και ΒΓ = 2 3 cm. Na βρεθεί το μήκος του κύκλου και τα μήκη των τόξων ΑΓ και ΒΓ που είναι μικρότερα του ημικυκλίου. 25

26 Εικόνα 5.46 Κύκλος (Ο, R) με διάμετρο ΑΒ. Επειδή η ΑΒ είναι διάμετρος, η γωνία ΑΓΒ θα είναι ορθή, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ έχουμε ΑΒ 2 = ΑΓ 2 + ΒΓ 2 ή (2R) 2 = (2 3) 2 ή 4R 2 = 16, δηλαδή R = 2. Το μήκος L του κύκλου θα είναι L = 2πr = 4π cm. Επειδή ΑΓ = 2 = ΑΒ 2, θα είναι Β = 30Ο, οπότε ΑΓ = 60 Ο και επομένως το μήκος του θα είναι: l 1 = πrμ = π 2 60 = 2 π cm Τέλος, αφού Α = 60 0, θα είναι ΒΓ = 120 Ο και το μήκος του θα είναι: l 2 = π = 4 π cm Εμβαδόν κύκλου Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου, χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο σε όσο πιο μικρά μέρη μπορούμε. Κόβουμε τα μέρη αυτά και κατόπιν τα τοποθετούμε όπως φαίνεται στην Εικόνα Εικόνα 5.47 Μέρη του κυκλικού δίσκου. Παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ένα σχήμα που «μοιάζει» με ορθογώνιο. Αν συνεχίσουμε να χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο συνεχώς σε πιο μικρά ίσα μέρη, τότε το τελικό σχήμα θα 26

27 προσεγγίζει όλο και περισσότερο ένα ορθογώνιο, του οποίου η «βάση» είναι ίση με το μισό του μήκους του κύκλου, δηλαδή με πρ, και το «ύψος» με την ακτίνα του κύκλου. Επομένως, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, δηλαδή με ρ πρ. Οπότε το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με: Ε = πp 2. Λυμένες ασκήσεις 1. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές. Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο ΑΒΓ της Εικόνας 5.48 με Α =90 0 (βλ. Εικόνα 5.48). Επειδή είναι: Α +Β +Γ =180 0 θα έχουμε: Β + Γ = = Εικόνα 5.48 Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Γνωρίζουμε, ότι οι δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90 0 λέγονται συμπληρωματικές. Άρα σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές. 2. Στο τρίγωνο ΑΒΓ (βλ. Εικόνα 5.49) η γωνία ΑΓχ, που σχηματίζεται από την ΑΓ και την προέκταση της ΒΓ προς το μέρος του Γ, ονομάζεται εξωτερική γωνία της Γ. Να εξετάσετε αν το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου ισούται με την εξωτερική της τρίτης γωνίας. Εικόνα 5.49 Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερική γωνία φ.. Η εξωτερική γωνία φ είναι παραπληρωματική της εσωτερικής γωνίας Γ του τριγώνου, δηλαδή θα είναι: φ = Γ. 27

28 Επειδή σε κάθε τρίγωνο Α +Β +Γ =180 0, άρα Α +Β =180 0 Γ, δηλαδή Α +Β =φ. Συνεπώς, η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. 3. Να επαληθεύσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο του σχήματος της Εικόνας Εικόνα 5.50 Τρίγωνο ΕΔΖ. Στο τρίγωνο ΔΕΖ οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη 5 και 12, οπότε το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι: 5² + 12² = = 169. Επιπλέον, η υποτείνουσα έχει μήκος 13 και το τετράγωνό της ισούται με: 13² = 169. Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αφού 5² + 12² = 13². 4. Ένα ράφι ΑΒ (βλ. Εικόνα 5.51) είναι στερεωμένο σε ένα κατακόρυφο τοίχο με ένα μεταλλικό στήριγμα μήκους ΓΔ = 32,6 cm. Αν ΒΔ = 27,7 cm και BΓ = 17,2 cm, να εξετάσετε αν το ράφι είναι οριζόντιο. Εικόνα 5.51 Ράφι ΑΒ στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το ράφι θα είναι οριζόντιο, μόνο αν είναι κάθετο στον τοίχο, δηλαδή αν το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ορθογώνιο στο Β. Είναι: ΒΔ² + ΒΓ² = 27,7² + 17,2² = 767, ,84 = 1063,13. Επίσης: ΓΔ² = 32,6² = 1062,76. Επομένως: ΒΔ² + ΒΓ² ΓΔ², οπότε το τρίγωνο ΒΓΔ δεν είναι ορθογώνιο. 28

29 5. Κατά το σχεδιασμό μιας επιφάνειας μιας ντουλάπας προέκυψαν οι διαστάσεις της Εικόνας Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας της του φύλλου Α, του φύλλου Β και της συνολικής επιφάνειας. Εικόνα 5.52 Διαστάσεις επιφάνειας ντουλάπας. Για τον υπολογισμό του εμβαδού του φύλλου Α λαμβάνοντας υπόψη ότι πρόκειται για εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλόγραμμου πολλαπλασιάζουμε το μήκος με το πλάτος του (ή αλλιώς τη βάση με το ύψος). Δηλαδή, Ε = μήκος x πλάτος. Συνεπώς Ε = = cm 2. Ομοίως για το φύλλο Β: Ε = = cm 2 = cm 2. Για τη συνολική επιφάνεια έχουμε: Ε = = cm Σε ένα κανονικό πολύγωνο με γωνία να βρείτε το πλήθος των πλευρών του. φ = Όμως φ = 180 ω => 108 = 180 ω => ω = => ω = 72 0 και ω = 360 => 72 = 360 => 72ν = 360. ν ν 7. Στο τραπέζι της Εικόνας 5.53 να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας και το εμβαδόν της βάσης. 29

30 Εικόνα 5.53 Διαστάσεις επιφανειών τραπεζιού. Τόσο η επιφάνεια του τραπεζιού όσο και η βάση του έχουν κυκλικό σχήμα. Σύμφωνα με τη θεωρία το εμβαδόν του κύκλου βρίσκεται από τον τύπο: Ε = πp 2. Η επιφάνεια του κύκλου έχει ακτίνα ίση με τη διάμετρο δια δύο. Άρα ισχύει Ε = 3, = 3, = 9.498,5cm 2. Αντίστοιχα η βάση του τραπεζιού έχει ακτίνα 29 cm. Οπότε το εμβαδόν της θα είναι Ε = 3, = 3, = 2640,74 cm Να σχεδιάσετε μία ορθή γωνία ΑΟΒ τέτοια ώστε ΟΑ = 3cm και ΟΒ = 4 cm. Να φέρετε και να μετρήσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Να σχεδιάσετε τον κύκλο που έχει διάμετρο την ΑΒ. Τι παρατηρείτε για το σημείο Ο σε σχέση με τον κύκλο; Σχεδιάζουμε με τον γνωστό τρόπο ορθή γωνία ΑΟΒ με ΟΑ = 3cm και ΟΒ = 4 cm.(βλ. Εικόνα 5.54) Μετρώντας το τμήμα ΑΒ βλέπουμε ότι αυτό είναι ίσο με 5 cm. Βρίσκουμε το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ και σχεδιάζουμε τον κύκλο (Μ, 2,5 cm). Παρατηρούμε ότι το Ο βρίσκεται πάνω στον κύκλο. Εικόνα 5.54 Εγγεγραμμένη γωνία ΑΟΒ σε κύκλο. 9. Αν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,28 cm να βρείτε το εμβαδόν του. 30

31 Το μήκος του κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ, δηλαδή 6,28 = 2 3,14 ρ, οπότε ρ = 1 cm. Τότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: Ε = πρ² = 3,14 1² = 3,14 cm². 10. Στο τραπέζι της Eικόνας 5.55 να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας ΑΒΓΔ. Εικόνα 5.55 Διαστάσεις τραπεζιού. Η επιφάνεια ΑΒΓΔ έχει σήμα τραπεζίου με β = 60cm, Β = 80cm και υ = 40cm. To εμβαδόν του τραπεζίου δίνεται από τον τύπο: Ε = (Β+β)υ. Άρα Ε = (80+60) 40 = = 2800 cm. 2 2 Διαδραστικές ερωτήσεις αξιολόγησης 1. Για τις ακόλουθες προτάσεις του Πίνακα 5.1 να επιλεγεί «Σωστό» αν η πρόταση είναι σωστή ή «Λάθος» αν η πρόταση είναι λανθασμένη: α) Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια ορθή γωνία. Σωστό Λάθος β) Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει δύο αμβλείες γωνίες. Σωστό Λάθος γ) Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Σωστό Λάθος δ) Το ισοσκελές τρίγωνο μπορεί να είναι και αμβλυγώνιο. Σωστό Λάθος ε) Το ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι και ισόπλευρο. Σωστό Λάθος στ) Το ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι και ισοσκελές. Σωστό Λάθος ζ) Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο. Σωστό Λάθος η) Ένα σκαληνό τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ορθογώνιο. Σωστό Λάθος Πίνακας 5.1 Πίνακας επιλογής σωστού ή λάθους. 2. Στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 τα τρίγωνα ΑΒΓ είναι ορθογώνια στο A. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στον Πίνακα

32 Α Β Γ Δ 1. x = 7cm 9cm 10cm 12cm 2. x = 2cm 3cm 4cm 6,5cm 3. x = 14cm 20cm 28cm 30cm 4. β = και γ = β = 15 και γ = 8 β = 13 και γ = 10 β = 12 και γ = 13 β = 8 και γ = 9 Πίνακας 5.2 Πίνακας επιλογής σωστής απάντησης. 3. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις του Πίνακα 5.3 ως σωστές ή λανθασμένες. α) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία σε τεταρτοκύκλιο είναι ορθή. Σωστό Λάθος β) Αν δύο εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχά τους τόξα είναι ίσα. γ) Οι εγγεγραμμένες γωνίες σε δύο άνισους κύκλους είναι άνισες. δ) Κάθε επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της αντίστοιχης εγγεγραμμένης. ε) Δύο εγγεγραμμένες γωνίες στον ίδιο κύκλο έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα. στ) Υπάρχουν άπειρες εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Πίνακας 5.3 Πίνακας επιλογής σωστού ή λάθους. Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος Λάθος 4. Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το μήκος του κύκλου: Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: τετραπλασιάζεται Δ: παραμένει το ίδιο. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. 5. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι κανονικό όταν: Α. Έχει μόνο ίσες πλευρές. Β. Έχει μόνο τις γωνίες του ίσες. Γ. Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και έχει τις πλευρές του ίσες. Δ. Έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Προβλήματα 1. Να συμπληρωθεί ο Πίνακας 5.4 με τον εμβαδόν του κύκλου. 32

33 Ακτίνα ρ κύκλου 5cm 2,5cm Εμβαδόν κύκλου Ε Πίνακας 5.4 Πίνακας συμπλήρωσης εμβαδού. 2. Να αντιστοιχίσετε τα μέτρα των τόξων της πρώτης γραμμής του Πίνακα 5.5 από μοίρες σε ακτίνια (rad) της δεύτερης γραμμής. Μοίρες Ακτίνια Πίνακας 5.5 Πίνακας αντιστοίχισης. 3. Σε ένα τρίγωνο ΑΒ, με πλευρά ΒΓ = 4,4 cm να σχεδιαστεί η διάμεσος ΑΜ καθώς και οι διάμεσοι ΑΚ και ΑΛ των τριγώνων ΑΒΜ και ΑΓΜ. Στη συνέχεια να βρεθεί το μήκος των ΚΜ και ΛΓ. 4. Να σχεδιαστεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Να δικαιολογηθεί γιατί οι διάμεσοι του ισόπλευρου είναι διχοτόμοι και ύψη του. 5. Να σχεδιαστεί ένα τρίγωνο ΑΒΓ και α) να βρεθεί το μέσο Δ της πλευράς ΑΒ, το μέσο Ε της πλευράς ΒΓ και το μέσο Ζ της πλευράς ΓΑ, β) να σχεδιαστεί η διάμεσος ΑΕ του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει τη ΖΔ στο σημείο Μ. Να συγκρίνετε με το διαβήτη τα τμήματα ΔΜ και ΜΖ. Τι παρατηρείς; 6. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά α = 2 m. Να υπολογιστεί το ύψος του. 7. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4 cm. Τότε (α) να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου που απέχουν: 3 cm από το Α και 2 cm από το Β και (β) να βρεθούν ποια σημεία απέχουν ταυτόχρονα 3 cm από το Α και 2 cm από το Β. 8. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3,2 cm. Να σχεδιαστούν οι κύκλοι (Α, ΑΒ) και (Β, ΑΒ) και να ονομάσετε Μ και Ν τα σημεία στα οποία τέμνονται οι κύκλοι αυτοί Να βρεθούν οι αποστάσεις του Μ από τα άκρα Α και Β καθώς και τις αποστάσεις του Ν από τα Α και Β. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τις αποστάσεις αυτές. 9. Σε ένα κύκλο με κέντρο Κ και διάμετρο ΑΒ = 13 cm φέρνουμε δύο χορδές του, την ΒΓ = 12 cm και την ΑΓ. Αν από το Κ φέρουμε την ΚΠ κάθετη στη ΒΓ και την ΚΡ κάθετη στην ΑΓ να βρεθεί το εμβαδόν του τετράπλευρου ΚΠΓΡ που σχηματίζεται. 10. Να υπολογιστεί στην παρακάτω σύνθεση ντουλαπιών το εμβαδόν του κάθε φύλλου Α, Β, Γ, Δ και το συνολικό εμβαδόν της συνολικής σύνθεσης. Οι διαστάσεις της Εικόνας 5.56 είναι σε cm. 33

34 Εικόνα 5.56 Σύνθεση ντουλαπιών. 11. Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η κεντρομόλος επιτάχυνση που οφείλεται στην περιστροφή της Γης για ένα αντικείμενο που βρίσκεται στον Ισημερινό της Γης. Δίνεται ότι η ακτίνα του Ισημερινού είναι km. Η περίοδος περιστροφής της Γης είναι T = 24h. 12. Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Να βρεθεί η ταχύτητα και η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα του ελαστικού όταν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 35m/s. 13. Η οικογένεια της Μαρίας μετακόμισε στο νέο τους σπίτι. Το δωμάτιο της Μαρίας έχει κάτοψη όπως είναι στην Εικόνα 5.57 που ακολουθεί. Να βρεθεί το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας που έχει το δωμάτιο της Μαρίας. Εικόνα 5.57 Κάτοψη δωματίου. 34

35 Βιβλιογραφία Fischbein. E. & Nachlieli, T. (1998). Concepts and Figures in Geometrical Reasoning. International Journal of Science Education, 20 (10) Fishbein, E (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24, Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher 74, Mironescu, P. & Panaitopol, L. (1994). The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths. Amer. Math. Monthly, 101: Singer, I. & Thorpe, J. (1976). Lecture notes on elementary Topology and Geometry. Springer- Verlag, Berlin. Veblen, O. & Young, J. (1910). Projective Geometry vol. I,II. Gin and Company, New York. Yaglom, M. (1962). Geometric Tranformations I, II, III. The mathematical Association of America. Πάμφιλος, Π. (2012). Έλλασον γεωμετρικόν. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. Πουλάκης, Δ. (2006). Γεωμετρία των αλγεβρικών καμπυλών. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; 2. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου;

1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; 2. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; ΜΕΡΟΣ Β : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ -ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Κυρια στοιχεια του τριγωνου ειναι: οι πλευρες του ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ οι γωνιες του Α,Β,Γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση.

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση. 1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές - 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,

Διαβάστε περισσότερα