UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA"

Transcript

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO ANITA MANDELJ

2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: Matematika in ra unalni²tvo Ravninske mreºe in posplo²itve Pickovega izreka DIPLOMSKO DELO Mentor: prof. dr. Matija Cencelj Kandidatka: Anita Mandelj Somentor: asist. dr. Bo²tjan Gabrov²ek Ljubljana, junij, 016

3

4 Zahvala Zahvaljujem se mentorju dr. Matiji Cenclju za potrpeºjivost, strokovno vodenje in vso pomo pri nastajanju diploskega dela. Tudi somentorju dr. Bo²tjanu Gabrov²ku hvala za nasvete, predloge in pomo pri programiranju. Zahvaljujem se star²ema Silvi in Ivanu, sestri Tini, in Mihu za razumevanje, podporo ter spodbudo. Hvala tudi vsem ostalim, ki so verjeli vame.

5

6 Povzetek Obravnavamo enakomerno porazdeljene diskretne mnoºice to k v ravnini, ki jim pravimo mreºe. Najbolj znane in preu evane so kvadratne mreºe, poseben predstavnik takih mreº je mreºa vseh to k s celo²tevilskimi koordinatami v ravnini R R. Obravnavamo tudi pravokotne mreºe, paralelogramske mreºe in trikotni²ke mreºe. Z raziskovanjem kroºnic, postavljenih na razli nih mreºah, ugotavljamo povezavo med ²tevilom mreºnih to k znotraj in na kroºnici ter ²tevilom π. Ugotavljanje zgornje in spodnje meje za napako, ki pri tem nastane, imenujemo Gauÿov problem s kroºnicami, saj je prav on prvi raziskoval mreºe in kroºnice na njej. Pokaºemo tudi zgornjo mejo za najkraj²o razdaljo med dvema mreºnima to kama. S pomo jo izreka iz teorije ²tevil poveºemo ²tevilo mreºnih to k v in na kroºnici z Leibnizevo vrsto. Obravnavamo vpra²anje posplo²itve Pickovega izreka na splo²nej²e mreºe v ravnini in s protiprimerom pokaºemo, da izrek ne velja za heksagonalne mreºe. Posebej predstavimo dva programa: program za ra unanje ²tevila mreºnih to k znotraj in na robu kroºnice, ki obenem izra una tudi pribliºek za ²tevilo π ter napako, ki pri tem nastane ter program za izra un plo² ine ve kotnika po Pickovem izreku. Klju ne besede: mreºe v ravnini, enotske kvadratne mreºe, Gauÿov problem s kroºnicami, Leibnizeva vrsta, Pickov izrek, kot vidljivosti Klasikacija AMS MSC(010): 5C05 I

7 II

8 Abstract Plane Lattices and Generalizations of Pick's Theorem A uniformly distributed discrete set of points in the plane called lattices are considered. The most well-known and studied are square lattices, a special representative of such lattices is the lattice of all points with integer coecients in the plane R R. We are dealing with rectangular lattices, parallelogram lattices and triangle lattices. By exploring the circles, positioned on dierent lattices, we establish a link between the number of lattice points inside and on the edge of a circle and the number π. Determining the upper and lower bound of the error occurring, is called Gauss circle problem, since it was him who rst explored lattices and circles on it. We also show the upper bound of the shortest distance between two lattice points. With the help of a theorem of number theory, we connect the number of lattice points inside and on the edge of a circle with Leibniz series. Generalizations of Pick's theorem on general lattices in the plane are considered and with a counterexample it is shown that the theorem does not apply to the hexagonal lattices. Separately we introduce two programs: a program for calculating the number of lattice points inside and on the edge of a circle, which also calculates an approximation for the number π and the error occurring, and a program for calculating the area of a polygon with Pick's theorem. Keywords: plane lattices, unit square lattices, Gauÿ's circle problem, Leibniz series, Pick's theorem, visibility angle Classication AMS MSC(010): 5C05 III

9 IV

10 Kazalo 1 Uvod 1 Mreºe v ravnini.1 Enotska kvadratna mreºa Enotska pravokotna mreºa Enotska paralelogramska mreºa Enotska rombna mreºa Leibnizeva vrsta Pickov izrek Dokaz Pickovega izreka Prilagojen Pickov izrek za ve kotnike s k luknjami Vidljivost in Pickov izrek Splo²nej²e mreºe in Pickov izrek Ra unalni²ka programa Opis programa Gauÿov problem s kroºnicami Koda programa Gauÿov problem s kroºnicami Opis programa Pickov izrek Koda programa Pickov izrek Zaklju ek 54 7 Viri in literatura 55 V

11 VI

12 Slike 1 Kvadratna mreºa a 1 = a in ϕ = Heksagonalna mreºa a 1 = a in ϕ = Po²evna mreºa a 1 a in ϕ Pravokotna mreºa a 1 a in ϕ = Centralno pravokotna mreºa a 1 a in ϕ Enotski lik Premik enotskega lika vzdolº stranice a Premik traku vzdolº stranice b Enotska mreºa Enotska kvadratna mreºa Paralelogrami na enotski kvadratni mreºi Kroºnica na enotski kvadratni mreºi Podro je F Podro ji A(r) in B(r) Graf pribliºkov ²tevila π za r med 1 in Podro je G Podro ji C(r) in D(r) Enotska pravokotna mreºa Podro je H Podro ji M(r) in N(r) Paralelogramska enotska mreºa Podro je I Podro ji O(r) in P (r) Podro je J Podro ji R(r) in S(r) Enotska rombna mreºa, generirana z dvema enakostrani nima trikotnikoma Prikaz dokaza Trditve Najgostej²a razporeditev kroºnic tevilo mreºnih to k na kroºnici s polmerom r = Pickov izrek za pravokotnik Pickov izrek za pravokotni trikotnik VII

13 3 Pickov izrek za poljuben trikotnik Triangulacija ve kotnika Spajanje ve kotnika in trikotnika Ve kotniki z luknjami Ve kotniki Pravokotnik Pravokotni trikotnik Trikotnik Ve kotnik A Ve kotnik B Ve kotnik C Ve kotniki Tloris osnovne ploskve tristrane piramide Tristrana piramida A Tristrana piramida B Izgled ra unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob zagonu Izgled ra unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob izvajanju Izgled ra unalni²kega programa Pickov izrek ob zagonu Izgled ra unalni²kega programa Pickov izrek ob izvajanju Tabele 1 Tabela ²tevil mreºnih to k pri danem r in plo² ina kroºnice Tabela pribliºkov ²tevila π pri danem r Primerjava dejanske plo² ine in plo² ine izra unane po Pickovi formuli ve kotnikov s slike VIII

14 1 Uvod Preu evali bomo razli ne mreºe v ravnini, bolj natan no pa enotsko kvadratno mreºo, saj je ta osnova nekaterih znanih izrekov. Poglobili se bomo v Gauÿov problem s kroºnicami ter poizkusili ta problem prenesti na nekatere druge enotske mreºe. Obstaja tudi povezava med ²tevilom mreºnih to k v notranjosti in na robu kroºnice ter Leibnizevo vrsto. Eden bolj znanih izrekov, ki se nana²ajo na enotske kvadratne mreºe, je Pickov izrek, ki izra una plo² ino enostavnega mreºnega ve kotnika, s pomo jo ²tevila to k v notranjosti ve kotnika ter ²tevila to k na njegovih stranicah in ogli² ih. Osnovni Pickov izrek se da raz²iriti tudi na ve kotnike z luknjami, ter na ve kotnike, kjer se stranice sekajo med seboj ali dotikajo. Da to velja, bomo pokazali tako, da bomo mreºnim to kam ve kotnika dodelili uteºi glede na njihov kot vidljivosti. Pogledali bomo tudi, ali Pickov izrek velja za posebno heksagonalno mreºo. Za demonstracijo bomo izdelali tudi dve ra unalni²ki aplikaciji. Prva se nana²a na Gauÿov problem s kroºnicami, druga pa na Pickov izrek. 1

15 Mreºe v ravnini Mreºe v ravnini so neskon ne mnoºice to k v dvodimenzionalnem evklidskem prostoru. To ke so po ravnini razporejene po to no dolo enem vzorcu oziroma liku, pravimo tudi, da so generirane z dolo enim likom. Slika 1: Kvadratna mreºa a 1 = a in ϕ = 90 Slika : Heksagonalna mreºa a 1 = a in ϕ = 10 Slika 3: Po²evna mreºa a 1 a Slika 4: Pravokotna mreºa a 1 in ϕ 90 a in ϕ = 90 Slika 5: Centralno pravokotna mreºa a 1 a in ϕ 90 Prvi, ki je bolj natan no raziskoval mreºe v ve dimenzionalnih prostorih, je bil francoski zik in kristalograf Auguste Bravais ( ), zato jih tudi imenujemo

16 Bravaisove mreºe. Pogledali si bomo samo mreºe v dvodimenzionalnem prostoru, torej v ravnini, kjer je Bravais glede na lastnosti generativnih likov in moºnih simetrij znotraj mreºe, dolo il pet osnovnih mreº. Prikazane so na slikah od 1 do 5 skupaj z osnovnimi lastnostmi generativnih likov. Mreºa v ravnini je neskon en niz to k, ki jih generira niz diskretnih translacijskih operacij, zapisanih z ena bo R = n 1 a 1 + n a. n 1 in n sta poljubni celi ²tevili, a 1 in a pa osnovna vektorja, ki ne leºita na isti osi in povezujeta mreºo. Poseben primer mreºe so enotske mreºe. ƒe ºelimo, da je mreºa enotska, mora biti generirana z enotskim likom, kar pomeni, da mora imeti izbrani lik plo² ino 1. Slika 6: Enotski lik Enotsko mreºo skonstruiramo tako, da na ravnino nari²emo vsa ²tiri ogli² a enotskega lika (slika 6). Nato enotski lik premaknemo vzdolº stranice a za eno dolºino stranice a in na ravnini ozna imo dve novi ogli² i. Ta proces ponovljamo v neskon nost, potem pa enako storimo ²e za nasprotno smer. Tako dobimo trak, ki vsebuje dve vrsti to k v ravnini (slika 7). Slika 7: Premik enotskega lika vzdolº stranice a Nato celoten trak premaknemo vzdolº stranice b za eno dolºino stranice b (slika 8). Ozna imo novo nastale to ke in ta proces ponavljamo v neskon nost, najprej za izbrano smer, nato ²e za nasprotno. Mnoºica vseh to k tvori enotsko mreºo (slika 9). 3

17 Slika 8: Premik traku vzdolº stranice b Slika 9: Enotska mreºa.1 Enotska kvadratna mreºa Enotska kvadratna mreºa je vrsta mreºe v dvodimenzionalnem Evklidskem prostoru. Zanjo je zna ilno, da ima enotski kvadrat, s katerim je mreºa generirana, vse stranice dolºine 1 ter plo² ino 1 (slika 10). Deniramo jo lahko tudi kot mnoºico vseh to k v ravnini, ki imajo za kartezi ne koordinate cela ²tevila. Torej je mnoºica vseh mreºnih to k M enaka M = {(x, y); (x, y) Z Z R. Slika 10: Enotska kvadratna mreºa Na to mreºo lahko sedaj poleg kvadrata nari²emo tudi ostale like s ²tirimi ogli² i (npr. paralelogrami). S slike 11 je razvidno, da lahko celotno enotsko kvadratno mreºo generiramo tudi s katerimkoli paralelogramom, ki nima v notranjosti ali na 4

18 robu nobene od mreºnih to k, razen v ogli² ih. ƒe ta pogoj ni izpolnjen, ne dobimo vseh mreºnih to k pri konstrukciji mreºe. Kasneje bomo pokazali, da ima vsak tak paralelogram enotsko plo² ino. Slika 11: Paralelogrami na enotski kvadratni mreºi Eno prvih matemati nih raziskav na enotski kvadratni mreºi je bil Gauÿov problem s kroºnicami [Hilbert, Cohn-Vossen]. Johann Carl Friedrich Gauÿ ( ) je bil nem²ki matematik, astronom, zik in geodet. Posku²al je denirati ²tevilo f(r), ki ozna uje ²tevilo mreºnih to k v notranjosti in na robu kroºnice s polmerom r. Pri tem je sredi² e kroºnice ena od mreºnih to k, r pa je pozitivno celo ²tevilo. Slika 1: Kroºnica na enotski kvadratni mreºi Gauÿ je za razli ne vrednosti r pre²tel ²tevilo mreºnih to k v notranjosti in na robu kroºnic (Tabela 3). Natan na formula [Gauss's Circle Problem - Wolfram MathWorld] za izra un mreºnih to k v in na robu kroºnice s polmerom r Z in 5

19 x Z je f(r) = 1 + 4r + 4 r x=1 r x, kjer r x pre²teje ²tevilo to k znotraj etrtine kroºnice brez sredi² a in to k na oseh. Te pri²tejemo z 1 + 4r. Funkcija a je celi del realnega ²tevila a. Raziskovanje te funkcije ga je pripeljalo do metode za izra un pribliºka vrednosti ²tevila π. Ker je v enotski kvadratni mreºi plo² ina kroga s polmerom r enaka πr, je Gauÿ domneval, da je ²tevilo mreºnih to k v in znotraj kroºnice pribliºno πr. Pri²el je do spoznanja, da je f(r) = πr + n(r), kjer je n(r) napaka. Gauÿ je na²el tudi zgornjo mejo za to napako: n(r) πr. r f(r) πr na d.m , , , , , , 34 Tabela 1: Tabela ²tevil mreºnih to k pri danem r in plo² ina kroºnice Trditev 1. Naj bo r Z + polmer kroºnice na enotski kvadratni mreºi s sredi² em v eni od mreºnih to k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to k, ki so v noranjosti in na robu te kroºnice. Tedaj velja f(r) lim = π. r r Dokaz. Naj bo podro je F sestavljeno iz enotskih kvadratov, katerih spodnje levo ogli² e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 13). Ker ima enotski kvadrat tudi enotsko plo² ino a = 1, je ²tevilo vseh to k v notranjosti in na robu kroºnice f(r) enaka plo² ini podro ja F. Torej je F = a f(r) in ker je a = 1, sledi F = f(r). Dolo imo ²e podro je A(r), ki ga sestavljajo enotski kvadrati, katere seka kroºnica (slika 14). Tedaj je razlika med ²tevilom f(r) in plo² ino kroga, ki ga dolo a kroºnica, 6

20 Slika 13: Podro je F Slika 14: Podro ji A(r) in B(r) manj²a ali enaka plo² ini podro ja A(r). Torej f(r) πr A(r), f(r) r π A(r) r. Sedaj moramo oceniti ²e pribliºek za ²tevilo A(r). Ker je najve ja razdalja med katerimakoli dvema to kama v enotskem kvadratu enaka, lahko re emo, da je podro je A(r) vsebovano v kolobarju B(r) ²irine in omejenim s kroºnicama z radijema r + ter r (slika 14). Plo² ina kolobarja B(r) je enaka B(r) = [ (r + ) (r ) ] π, B(r) = 4 πr. Ker vemo, da je A(r) < B(r), sledi f(r) π r < 4 π. r Neena bo limitiramo in dobimo in 4 π lim r r = 0 f(r) lim = π. r r 7

21 ƒe v izraz f(r)/r vstavimo vrednosti f(r) in r, dobimo pribliºke ²tevila π (Tabela ). r f(r)/r π na 6 d.m. 10 3, 17 3, , 145 3, , 134 3, , , , , , , Tabela : Tabela pribliºkov ²tevila π pri danem r Slika 15 prikazuje graf pribliºkov ²tevila π za r med 1 in 300. Vidimo lahko, da se z nara² anjem r, vrednosti izraza f(r)/r res pribliºujejo vrednosti ²tevila π. 8

22 9 Slika 15: Graf pribliºkov ²tevila π za r med 1 in 300

23 Trditev. Plo² ina kateregakoli paralelograma, ki generira enotsko kvadratno mreºo, je enaka 1 (slika 11). Dokaz. Naj bo r Z + polmer kroºnice na enotski kvadratni mreºi s sredi² em v eni od mreºnih to k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to k, ki so v noranjosti in na robu te kroºnice. Prodro je G naj bo sestavljeno iz vseh enakih paralelogramov, katerih spodnje levo ogli² e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 16). Slika 16: Podro je G Slika 17: Podro ji C(r) in D(r) ƒe je plo² ina vsakega od teh paralelogramov enaka a, potem je plo² ina podro ja G enaka a f(r). Podro je D(r) (slika 17) naj bo kolobar, ki ga omejujeta kroºnici s polmeroma r + d in r d, kjer je d najve ja razdalja med dvema to kama v paralelogamu (dalj²a diagonala paralelograma) in je neodvisna od r: D(r) = [ (r + d) (r d) ] π, D(r) = 4dπr. Tedaj je razlika med plo² ino podro ja G in plo² ino kroga, ki ga dolo a kroºnica, 10

24 manj²a od plo² ine kolobarja D(r): af(r) πr < D(r), af(r) πr < 4dπr, Neena bo limitiramo in dobimo af(r) r π < 4dπ r. 4dπ lim = 0 r r in f(r) lim = π r r a. Vendar po prej²nji trditvi velja ena ba: f(r) lim = π. r r Torej je a = 1, kar pomeni, da je plo² ina paralelograma, ki generira enotsko kvadratno mreºo, enaka 1.. Enotska pravokotna mreºa Enotsko pravokotno mreºo skonstruiramo podobno kot enotsko kvadratno mreºo. Razlika je v tem, da namesto kvadrata s stranicama dolºine 1, na ravnino nari²emo pavokotnik s stranicama c in 1. Tako bo pravokotnik enotski, saj bo njegova plo² ina c enaka c 1 c = 1 (slika 18). Trditev 3. Naj bo enotska pravokotna mreºa generirana s pravokotnikom s stranicama c in 1 c, r Z+ polmer kroºnice na tej mreºi s sredi² em v eni od mreºnih to k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to k, ki so v noranjosti in na robu kroºnice. Tedaj velja f(r) lim = π. r r 11

25 Slika 18: Enotska pravokotna mreºa Dokaz. Naj bo podro je H sestavljeno iz enotskih pravokotnikov, katerih spodnje levo ogli² e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 19). Ker ima enotski pravokotnik tudi enotsko plo² ino a = c 1 = 1, je ²tevilo vseh to k v notranjosti in c na robu kroºnice (f(r)) enaka plo² ini podro ja H. Torej je H = a f(r) in ker je a = 1, sledi H = f(r). Slika 19: Podro je H Slika 0: Podro ji M(r) in N(r) Dolo imo ²e podro je M(r), ki ga sestavljajo enotski pravokotniki, katere seka kroºnica (slika 0). Tedaj je razlika med ²tevilom f(r) in plo² ino kroga, ki ga 1

26 dolo a kroºnica, manj²a ali enaka plo² ini podro ja M(r). Torej f(r) πr M(r), f(r) r π M(r). r Sedaj moramo oceniti ²e pribliºek za ²tevilo M(r). Ker je najve ja razdalja med katerimakoli dvema to kama v enotskem pravokotniku enaka d = c + ( ) 1 c (diagonala pravokotnika), lahko re emo, da je podro je M(r) vsebovano v kolobarju N(r) ²irine d in omejenim s kroºnicama z radijema r + d ter r d (slika 0). Plo² ina kolobarja N(r) je enaka N(r) = [ (r + d) (r d) ] π, N(r) = 4dπr. Ker vemo, da je M(r) < N(r), sledi f(r) π r < 4dπ r. Neena bo limitiramo in dobimo 4dπ lim r r = 0 in f(r) lim = π. r r.3 Enotska paralelogramska mreºa Najbolj splo²na enotska mreºa je enotska paralelogramska mreºa, paralelograme uvr² amo tudi kvadrate, pravokotnike in rombe. saj med Generiramo jo lahko s pomo jo poljubnih enotskih paralelogramov s stranico c in vi²ino na to stranico 1 1. Plo² ina takega paralelograma bo tako enaka c c c 13 = 1 (slika 1).

27 Slika 1: Paralelogramska enotska mreºa Trditev 4. Naj bo enotska paralelogramska mreºa generirana s paralelogramom s stranico c in vi²ino na to stranico 1 c, r Z+ polmer kroºnice na tej mreºi s sredi² em v eni od mreºnih to k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to k, ki so v notranjosti in na robu kroºnice. Tedaj velja f(r) lim = π. r r Dokaz. Naj bo podro je I sestavljeno iz enotskih paralelogramov, katerih spodnje levo ogli² e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika ). Ker ima enotski paralelogram tudi enotsko plo² ino a = c 1 = 1, je ²tevilo vseh to k v notranjosti c in na robu kroºnice (f(r)) enaka plo² ini podro ja I. Torej je I = a f(r) in ker je a = 1, sledi I = f(r). Slika : Podro je I Slika 3: Podro ji O(r) in P (r) 14

28 Dolo imo ²e podro je O(r), ki ga sestavljajo enotski paralelogrami, katere seka kroºnica (slika 3). Tedaj je razlika med ²tevilom f(r) in plo² ino kroga, ki ga dolo a kroºnica, manj²a ali enaka plo² ini podro ja O(r). Torej f(r) πr O(r), f(r) π r O(r). r Sedaj moramo oceniti ²e pribliºek za ²tevilo O(r). Ker je najve ja razdalja med katerimakoli dvema to kama v enotskem paralelogramu enaka d (dalj²a od obeh diagonal paralelograma), lahko re emo, da je podro je O(r) vsebovano v kolobarju P (r) ²irine d in omejenim s kroºnicama z radijema r + d ter r d (slika 3). Plo² ina kolobarja P (r) je enaka P (r) = [ (r + d) (r d) ] π, P (r) = 4dπr. Ker vemo, da je O(r) < P (r), sledi f(r) π r < 4dπ r. Neena bo limitiramo in dobimo in 4dπ lim r r = 0 f(r) lim = π. r r Isto mreºo je moºno generirati z razli nimi paralelogrami, pogoj je le, da so plo² ine paralelogramov enake 1. Dokaz za to je enak dokazu za kvadratno mreºo. Trditev 5. Plo² ina kateregakoli paralelograma, ki generira enotsko paralelogramsko mreºo, je enaka 1. Dokaz. Naj bo r Z + polmer kroºnice na enotski paralelogramski mreºi s sredi² em v eni od mreºnih to k in f(r) ²tevilo vseh mreºnih to k, ki so v notranjosti in na 15

29 robu te kroºnice. Naj ima paralelogram, ki nima v notranjosti ali na robu nobene od mreºnih to k, razen v ogli² ih, plo² ino a. Podro je J naj bo sestavljeno iz takih enakih paralelogramov, katerih spodnje levo ogli² e leºi v notranjosti ali na robu kroºnice (slika 4). Slika 4: Podro je J Slika 5: Podro ji R(r) in S(r) Ker je plo² ina vsakega od teh paralelogramov enaka a, potem je plo² ina podro ja J enaka a f(r). Podro je S(r) (slika 5) naj bo kolobar, ki ga omejujeta kroºnici s polmeroma r + d in r d, kjer je d najve ja razdalja med dvema to kama v paralelogamu (dalj²a diagonala paralelograma) in je neodvisna od r: S(r) = [ (r + d) (r d) ] π, S(r) = 4dπr. Tedaj je razlika med plo² ino podro ja J in plo² ino kroga, ki ga dolo a kroºnica, manj²a od plo² ine kolobarja S(r): af(r) πr < S(r), af(r) πr < 4dπr, af(r) r π < 4dπ r. 16

30 Neena bo limitiramo in dobimo 4dπ lim r r = 0 in f(r) lim = π r r a. Vendar po prej²nji trditvi velja ena ba: f(r) lim = π. r r Torej je a = 1, kar pomeni, da je plo² ina paralelograma, ki generira enotsko paralelogramsko mreºo, enaka 1..4 Enotska rombna mreºa Enotska rombna mreºa je poseben primer enotske paralelogramske mreºe. Romb, ki generira enotsko rombno mreºo, mora imeti vse ²tiri stranice skladne, dolºine c, vi²ino na stranco 1 c ter plo² ino 1. Natan neje si bomo pogledali enotsko rombno mreºo, kjer je romb sestavljen iz dveh enakostrani nih trikotnikov s skladnimi stranicami dolºine c. V enakostrani nem trikotniku je vi²ina enaka c 3, kar pa je obenem tudi vi²ina romba 1. Pogoj je, da c je plo² ina dveh enakostrani nih trikotnikov s stranico c enaka 1 (slika 6). c 3 = 1 c, c 3 =, c =, 3 c =, c =. Pokazali smo, da ima taka enotska rombna mreºa to no dolo eni dolºini stranice c in vi²ine na to stranico 1 c. 17

31 Slika 6: Enotska rombna mreºa, generirana z dvema enakostrani nima trikotnikoma V vsaki enotski mreºi lahko dolo imo najkraj²o razdaljo med dvema mreºnima to kama. V enotski kvadratni mreºi je najkraj²a razdalja 1, v enotski pravokotni mreºi je to kraj²a od stranic pravokotnika, v enotski pralelogramski mreºi pa je lahko najkraj²a razdalja ena od stranic paralelograma ali kraj²a od diagonal v paralelogramu. Ker mora imeti lik, s katerim je enotska mreºa generirana, plo² ino 1, lahko sklepamo, da najkraj²a razdalja a med dvema mreºnima to kama ne more biti poljubno velika. Trditev 6. Za enotske mreºe velja, da je zgornja meja za najkraj²o razdaljo a med dvema mreºnima to kama 3, torej a 3. Dokaz. Imejmo enotsko mreºo, generirano s paralelogramom s stranico a in vi²ino na to stranico 1. O itno je, da mora biti spremenljivka a poljubno majhna. V a nasprotnem primeru mreºa ne bi bila enotska. Torej lahko dolo imo zgornjo mejo za spremenljivko a. V poljubni enotski mreºi izberimo poljuben par mreºnih to k, razdalja med njima pa naj bo minimalna razdalja a. Na premici g, ki poteka skozi ti dve to ki, leºi neskon no mnogo mreºnih to k, razdalja med sosednjima mreºnima to kama na tej premici pa je enaka a. Tudi na premici h, ki je vzporedna premici g in od nje oddaljena za dolºino 1, leºi neskon no mnogo mreºnih to k, vendar jih obmo je a med obema premicama ne sme vsebovati, saj taka mreºa ne bi bila enotska. Sedaj 18

32 Slika 7: Prikaz dokaza Trditve 6 nari²emo kroºnice s sredi² i v vsaki mreºni to ki na premici g in polmerom a (slika 7). Poglejmo trak, ki je omejen s kroºnimi loki vseh kroºnic in premico g. Vsaka notranja to ka tega traku je od vsaj ene mreºne to ke oddaljena manj kot a in zato ne more biti mreºna to ka. Torej je 1 ve je ali enako najkraj²i razdalji med robom traku in a premico g. O itno je, da je ta razdalja vi²ina enakostrani nega trikotnika s stranico a, torej 3 a. Dobimo 1 a a 3 a, 3. Torej je zgornja meja a najkraj²e razdalje med dvema mreºnima to kama enaka 3. Obstaja enotska mreºa, kjer a dejansko doseºe zgornjo mejo, takrat je a enak 3. Dobimo enotsko mreºo, generirano z dvema enakostrani nima trikotnikoma s stranicami dolºine c = 3 (slika 6). 19

33 Z raztezanjem in kr enjem enotske mreºe lahko dobimo katerokoli mreºo. ƒe je plo² ina paralelograma za generiranje mreºe enaka a in je C najkraj²a razdalja med dvema sosednjima mreºnima to kama, je C a 3. Ta trditev drºi le, e je mreºa generirana z enakostrani nimi trikotniki. Za dano najkraj²o razdaljo C med dvema mreºnima to kama, ima taka mreºa najmanj²i moºni generativni paralelogram. Ker je plo² ina poljubno velikega podro ja enaka produktu ²tevila mreºnih to k na tem podro ju in plo² ini generativnega paralelograma, ima med vsemi mreºami z dano najkraj²o razdaljo C, mreºa generirana z enakostrani nimi trikotniki najve je ²tevilo mreºnih to k na danem poljubno velikem podro ju. Slika 8: Najgostej²a razporeditev kroºnic ƒe sedaj na to mreºno nari²emo kroºnice s sredi² i v vsaki od mreºnih to k in polmerom c, dobimo sistem kroºnic, kjer se nobena od kroºnic med sabo ne seka, so pa med sabo dotikajo. Tak sistem kroºnic imenujemo regularno pakiranje kroºnic (tangentna postavitev kroºnic na dolo eno obmo je). ƒe je na nekem dolo enem (dovolj velikem) obmo ju ve je ²tevilo kroºnic pri danem pakiranju kot pri drugem, re emo, da je to pakiranje tesnej²e od drugega. Torej je mreºa, generirana s pomo jo enakostrani nih trikotnikov, najtesnej²e pakiranje kroºnic (slika 8). Za merjenje gostote pakiranja kroºnic izberemo koli nik med vsoto plo² in vseh krogov, ki leºijo na danem podro ju in plo² ino tega podro ja. Za poljubno velika podro ja se ta vrednost pribliºuje koli niku med plo² ino enega kroga v pakiranju in plo² ino generativnega paralelograma. Najbolj optimalna vrednost gostote pakiranja kroºnic dobimo pri pakiranju kroºnic v mreºi generirani z dvema 0

34 enakostrani nima trikotnikoma [Hilbert, Cohn-Vossen]. D = π( c ) c 3, D = π 3 0, Leibnizeva vrsta Med Gauÿovim problemom s kroºnicami in Leibnizevo vrsto obstaja povezava, ki jo bomo pokazali v tem razdelku. Naj bo f(r) ²tevilo to k v notranjosti in na robu kroºnice s polmerom r in sredi² em v eni od mreºnih to k. ƒe vzamemo, da je sredi² e kroºnice sredi² e kartezi nega koordinatnega sistema, imajo mreºne to ke koordinate (x, y), kjer sta x, y Z. Tedaj je f(r) ²tevilo parov x, y, za katere velja x + y r. Ker sta x, y Z, je tudi x + y Z. Naj bo n = x + y. f(r) dobimo tako, da za vsak n r pre²tejemo ²tevilo vseh na inov ρ(n), s katerimi lahko n predstavimo kot vsoto kvadratov dveh celih ²tevil ter nato se²tejemo vsa ²tevila na inov za vse vrednosti n. Torej f(r) = Primer: r = r n=0 ρ(n). (1) n = 0 lahko zapi²emo na 1 na in kot vsoto dveh kvadratov: 0 = ; ρ(0) = 1. n = 1 lahko zapi²emo na 4 na ine kot vsoto dveh kvadratov: 1 = 0 + 1, 1 = 0 + ( 1), 1 = 1 + 0, 1 = ( 1) + 0 ; ρ(1) = 4. n = lahko zapi²emo na 4 na ine kot vsoto dveh kvadratov: = 1 + 1, = 1 + ( 1), = ( 1) + 1, = ( 1) + ( 1) ; ρ() = 4. n = 3 ni mogo e zapisati kot vsoto dveh kvadratov; ρ(3) = 0. 1

35 n = 4 lahko zapi²emo na 4 na ine kot vsoto dveh kvadratov: 4 = +, 4 = + ( ), 4 = ( ) +, 4 = ( ) + ( ) ; ρ(4) = 4. f() = ρ(0) + ρ(1) + ρ() + ρ(3) + ρ(4), f() = , f() = 13. Zdaj bomo potrebovali znani izrek teorije ²tevil o tem, na koliko na inov lahko dano naravno ²tevilo izrazimo kot vsoto dveh kvadratov naravnih ²tevil. Naj bo d 1 (n) ²tevilo deliteljev ²tevila n, ki so oblike 4k + 1, d 3 (n) pa ²tevilo deliteljev ²tevila n oblike 4k + 3. Tedaj je po izreku iz teorije ²tevil ρ(n) ²tevilo na inov zapisa ²tevila n kot vsoto kvadratov dveh celih ²tevil enako ρ(n) = 4d 1 (n) 4d 3 (n). () Dokaz izreka je v knjigi G.H. Hardy, E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Primer: n = 6 Delitelji ²tevila 6 so d(6) = {1,, 3, 6, od teh je oblike 4k + 1 le 1, torej d 1 (6) = 1 in oblike 4k + 3 le 3, torej d 3 (6) = 1. Po formuli je ρ(6) = = 0. Primer: n = 65 Delitelji ²tevila 65 so d(65) = {1, 5, 13, 65, vsi so oblike 4k + 1, torej d 1 (65) = 4 in noben oblike 4k + 3, torej d 3 (65) = 0. Po formuli je ρ(65) = = 16, kar pomeni, da na kroºnici s polmerom r = 65 leºi 16 mreºnih to k (slika 9). ƒe ²tevilo n = 65 zapi²emo kot vsoto dveh kvadratov, dobimo 65 = in 65 = Moºnih je 8 razli nih zapisov za vsako od vsot, s tem pa dobimo tudi koordinate vseh to k na kroºnici: (1, 8), (1, 8), ( 1, 8), ( 1, 8), (8, 1), (8, 1), ( 8, 1), ( 8, 1), (4, 7),(4, 7), ( 4, 7), ( 4, 7), (7, 4), (7, 4), ( 7, 4), ( 7, 4).

36 Slika 9: tevilo mreºnih to k na kroºnici s polmerom r = 65 Ena bo () vstavimo v ena bo (1) in dobimo f(r) = r n=0 f(r) = ( ) 1 f(r) 1 = 4 r n=1 (4d 1 (n) 4d 3 (n)), r n=1 d 1 (n) (d 1 (n) d 3 (n)), r n=1 d 3 (n). V prvi vsoti nastopajo ²tevila oblike 4k + 1 in so 1, 5, 9, 13,..., manj²a ali enaka r. Pri tem se ²tevilo 1 pojavi r -krat, 5 se pojavi -krat, 9 se pojavi -krat ter tako dalje. Pri tem je a celi del ²tevila a. Enako velja za drugo vsoto, kjer nastopajo ²tevila oblike 4k + 3 in so oblike 3, 7, 11, 15,..., manj²a ali enaka r. r 5 r 9 3

37 r tevilo 3 se v vsoti pojavi r -krat, ²tevilo 7 -krat in tako dalje. Dobimo 3 7 r r d 1 (n) = r r , 5 9 n=1 r r r r d 3 (n) = , n=1 ( ) 1 r f(r) 1 = r r r r r To lahko storimo, ker sta vrsti kon ni. vrednosti lenov pa ne nara² ajo. Nova vrsta je alternirajo a, absolutne Za laºji prikaz vzemimo, da je r liho ²tevilo. Takrat bo ²tevilo lenov enako r +1. r Za lenom, ki ima v imenovalcu r, vrsto odreºemo = r. r ( ) ( 1 r f(r) 1 = r r r ) r r ± r ± ± r + r + 4 Ker je vsota alternirajo a in absolutne vrednosti lenov ne nara² ajo, so vsi odrezani leni skupaj manj²i od r, napako, ki pri tem nastane pa zapi²emo kot ϑr, kjer je ϑ ulomek manj²i od 1. ( ) 1 f(r) 1 4 r = r r r ± r ± ϑr Naj bo c, t N, x R in x = ct+(t 1). Tedaj je najve ja moºna napaka v ulomku t pri odpravi oklepajev za celi del enaka ϑ = x x, ϑ ct + (t 1) = t ϑ = t 1, t ϑ = (1 1 t ) < 1. ct t, ƒe sedaj opustimo oklepaje za celi del, kjer je t imenovalec v vsakem lenu, se lahko vsak len pove a za najve (1 1 ) < 1. Skupno napako, ki pri tem nastane, lahko t zapi²emo kot ϑ r, kjer je ϑ ulomek manj²i od 1. Dobimo 1 4 ( f(r) 1 ) = r r 3 + r 5 r ± r ± ϑr ± ϑ r 4

38 in delimo z r ( 1 f(r) 1 ) = 1 4 r r r ϑ + ϑ ± ±. r Pokazali smo ºe, da je Limitiramo ²e drugi del ena be f(r) lim = π. r r lim 1 1 r ± 1 r ± ϑ + ϑ r in dobimo π 4 = , kar je ravno Leibnizeva vrsta. =

39 3 Pickov izrek Pickov izrek uporabljamo takrat, ko ºelimo izra unati plo² ino poljubnega ve kotnika, ki leºi na enotski kvadratni mreºi. Pri tem morajo biti vsa ogli² a na mreºnih to kah, ve kotnik mora biti zaprt, brez lukenj, robovi pa se ne smejo sekati. Pickov izrek temelji na ²tetju mreºnih to k, ki leºijo na stranicah in ogli² ih ve kotnika ter v notranjosti ve kotnika. To kam na stranicah in ogli² ih ve kotnika bomo rekli kar robne to ke ve kotnika. Trditev 7. Pickov izrek. Naj bo V poljuben zaprt ve kotnik z ogli² i na mreºnih to kah enotske kvadratne mreºe, n naj bo ²tevilo vseh notranjih to k ve kotnika V, r pa ²tevilo robnih to k ve kotnika V. Tedaj je plo² ina ve kotnika V enaka p(v ) = n + r Dokaz Pickovega izreka Dokaz. Pickov izrek. Dokaz izreka bomo naredili z matemati no indukcijo v dveh korakih. 1. Dokaºemo, da Pickov izrek velja za vsak mreºni trikotnik. Dokaºemo, da Pickov izrek velja za vsak mreºni pravokotnik Dokaºemo, da Pickov izrek velja za vsak mreºni pravokotni trikotnik. Dokaºemo, e Pickov izrek velja za vsak mreºni k-kotnik, kjer je k = 3, 4,..., (n 1), potem iz tega sledi, da Pickov izrek velja za vsak mreºni n-kotnik. ƒe ho emo dokazati, da Pickova formula velja v vsakem trikotniku, moramo najprej dokazati, da drºi v vsakem pravokotniku in vsakem pravokotnem trikotniku. Poglejmo si poljuben mreºni pravokotnik s stranicama a in b, kjer stranice leºijo na mreºnih to kah (slika 30). Jasno je, da je plo² ina takega pravokotnika p(v ) = a b. 6

40 Slika 30: Pickov izrek za pravokotnik tevilo notranjih to k je n = (a 1)(b 1), ²tevilo robnih to k pa r = a+b. Torej je plo² ina pravokotnika po Pickovem izreku enaka p(v ) = n + r 1, a + b p(v ) = (a 1)(b 1) + 1, p(v ) = ab a b a + b 1, p(v ) = ab. Pokazali smo, da Pickov izrek velja za vse mreºne pravokotnike. Slika 31: Pickov izrek za pravokotni trikotnik Poglejmo ²e poljubne mreºne pravokotne trikotnike, kjer obe kateti leºita na mreºnih to kah. Najlaºje bomo to dokazali z dejstvom, da je plo² ina pravokotnega trikotnika enaka polovici plo² ine pravokotnika, kjer sta kateti trikotnika stranici pravokotnika. 7

41 Plo² ina pravokotnega trikotnika V s katetama a in b (slika 31), je p(v ) = ab. tevilo robnih to k pravokotnega trikotnika je r = a + b d, kjer je d ²tevilo robnih to k, ki leºijo na hipotenuzi. To ke v notranjosti pravokotnega trikotnika dobimo, e notranjim to kam pravokotnika s stranicama a in b od²tejemo to ke na diagonali (d) ter jih delimo z, torej n = (a 1)(b 1) d. Dobljeno ²tevilo to k vstavimo v Pickov izrek in dobimo p(v ) = n + r 1, p(v ) = (a 1)(b 1) d p(v ) = ab a b + 1 d + a + b d + a + b d 1, 1, p(v ) = ab a b + 1 d + a + b d 1, p(v ) = ab, kar je ravno izra unana plo² ina pravokotnega trikotnika. Ker vemo, da Pickov izrek velja za pravokotnike in pravokotne trikotnike, katerih katete leºijo na mreºnih to kah, lahko pokaºemo, da velja tudi za katerikoli poljuben trikotnik, ki ima ogli² a na mreºnih to kah. Slika 3: Pickov izrek za poljuben trikotnik Poljuben trikotnik V lahko s pravokotnimi trikotniki dopolnimo v pravokotnik, kateri ima vsa ogli² a in stranice na mreºnih to kah. Primer na sliki 3 smo dopolnili s 8

42 tremi pravokotnimi trikotniki A, B in C ter dobili pravokotnik P s stranicama a in b. Naj ima pravokotnika P n P notranjih to k ter r P robnih to k, pravokotni trikotnik A n A notranjih to k ter r A robnih to k, pravokotni trikotnik B n B notranjih to k ter r B robnih to k, pravokotni trikotnik C pa n C notranjih to k ter r C robnih to k. Vemo, da veljajo plo² ine p(p ) = n P + r P 1, p(a) = n A + r A 1, p(b) = n B + r B 1, p(c) = n C + r C 1. Naj bo n V ²tevilo notranjih to k ter r V ²tevilo robnih to k poljubnega trikotnika. Dokazati moramo, da velja tudi p(v ) = n V + r V 1. Vidimo, da lahko plo² ino trikotnika V izra unamo tako, da od plo² ine pravokotnika P od²tejemo plo² ine vseh treh pravokotnih trikotnikov A, B in C. p(v ) = p(p ) p(a) p(b) p(c), p(v ) = n P n A n B n C + r P r A r B r C ƒe pre²tejemo vse robne to ke vseh trikotnikov in ²tirikotnika, dobimo tevilo notranjih to k pravokotnika je r A + r B + r C = r P + r V, +. (3) r P = r A + r B + r C r V. (4) n P = n A + n B + n C + n V + r V 3. (5) Na koncu od²tejemo 3 ogli² a trikotnika V, ker so pre²teta dvakrat. Sedaj ena bi (4) in (5) vstavimo v ena bo (3). p(v ) =n A + n B + n C + n V + r V 3 n A n B n C + + r A + r B + r C r V r A r B r C p(v ) =n V + r V 3 r V +, p(v ) =n V + r V 1. +, 9

43 Dokazali smo, da Pickov izrek drºi za poljubne trikotnike, ki imajo ogli² a na mreºnih to kah. S tem je prvi del dokaza z matemati no indukcijo kon an. Ideja za drugi del dokaza izhaja iz dejstva, da je moºno vsak ve kotnik z ogli² i na mreºnih to kah sestaviti s pomo jo manj²ih ve kotnikov, za katere vemo, da Pickov izrek velja. Pokazali smo ºe, da Pickov izrek drºi za poljuben trikotnik z ogli² i na mreºnih to kah. ƒe je to res, potem velja tudi za poljubne ²tirikotnike; e velja za poljubne trikotnike ter poljubne ²tirikotnike, velja tudi za poljubne petkotnike; e velja za poljubne trikotnike, poljubne ²tirikotnike ter poljubne petkotnike, velja tudi za poljubne ²estkotnike in podobno naprej. Slika 33: Triangulacija ve kotnika Vsak mreºni ve kotnik je moºno razstaviti na same mreºne trikotnike s postopkom triangulacije [Lavri ]. To storimo tako, da med dvema ogli² ema ve kotnika nari²emo diagonalo, ki ne sme sekati nobene stranice ali druge diagonale ve kotnika. Ta postopek ponavljamo, dokler ve kotnik ne razstavimo na same trikotnike (slika 33). k-kotnik s k ogli² i vsebuje po triangulaciji k trikotnikov in k 3 diagonal. Denimo, da je mreºni ve kotnik P sestavljen iz k trikotnikov in zanj velja Pickov izrek. Takemu ve kotniku lahko na eno od stranic dodamo nov mreºni trikotnik T, e sta stranici, ki jih spajamo, skladni. Novo nastali ve kotnik V ima spet ogli² a na mreºnih to kah (slika 34). 30

44 Slika 34: Spajanje ve kotnika in trikotnika Naj ima trikotnik T r T robnih to k ter n T notranjih to k, ve kotnik P pa r P robnih to k ter n P notranjih to k. tevilo to k, ki so skupne ve kotniku P in trikotniku T ozna imo s c. Z r V ozna imo ²tevilo robnih to k novega ve kotnika V, z n V pa ²tevilo njegovih notranjih to k. ƒe ho emo izra unati ²tevilo notranjih to k ve kotnika V, moramo notranjim to kam ve kotnika P in trikotnika T pri²teti ²e to ke, ki so na njuni skupni stranici, torej c. Ker c vsebuje tudi dve skupni ogli² i, jih moramo zato pri ra unanju notranjih to k ve kotnika V od²teti. n V = n P + n T + c, n P + n T = n V c +. (6) Za izra un ²tevila robnih to k ve kotnika V se²tejemo robne to ke ve kotnika P in trikotnika T in dvakrat od²tejemo to ke na skupni stranici. S tem smo od²teli tudi obe skupni ogli² i, zato jih moramo ²e pri²teti. r V = r P + r T c +, r P + r T = r V + c. (7) 31

45 Naj bo p(p ) plo² ina mreºnega ve kotnika P in p(t ) plo² ina trikotnika T. Tedaj je plo² ina p(v ) ve kotnika V enaka p(v ) = p(p ) + p(t ), ( p(v ) = n P + r ) P 1 + p(v ) = n P + n T + r P + r T Sedaj ena bi (6) in (7) vstavimo v ena bo (8). ( n T + r ) T 1,. (8) p(v ) = n V c + + r V + c 1, p(v ) = n V + r V 1. Dobili smo ravno Pickovo formulo za mreºni ve kotnik V. Ker se da vsak ve kotnik skonstruirati s spajanjem trikotnikov, velja, da Pickov izrek drºi za vsak mreºni ve kotnik. 3. Prilagojen Pickov izrek za ve kotnike s k luknjami Slika 35: Ve kotniki z luknjami Do sedaj smo preu evali enostavne ve kotnike brez lukenj v notranjosti. Sedaj si bomo pogledali zaprte ve kotnike, ki imajo vsa ogli² a na mreºnih to kah, stranice se med seboj ne smejo sekati, lahko pa ve kotniki v notranjosti vsebujejo luknje. Tudi za luknje velja, da morajo biti zaprte, ogli² a morajo biti na mreºnih to kah, stranice pa se med seboj ne smejo sekati ali dotikati. Za laºje razumevanje si poglejmo nekaj primerov na sliki 35. 3

46 n r p n + r 1 A B C D ,5 15,5 Tabela 3: Primerjava dejanske plo² ine in plo² ine izra unane po Pickovi formuli ve kotnikov s slike 35 V tabeli 3 smo pre²teli notranje in robne to ke ve kotnikov s slike 35. Primerjali smo dejansko plo² ino likov s plo² ino izra unano po Pickovi formuli in ugotovili, da je v ve kotnikih z eno luknjo dejanska plo² ina za 1 ve ja od izra unane po Pickovi formuli, v ve kotnikih z dvema luknjama je ta razlika, v ve kotnikih s tremi luknjami pa je razlika 3. Po dobljenih rezultatih se zdi, da je formula za plo² ino mreºnega ve kotnika V z luknjami enaka p(v ) = n + r 1 + k, kjer je k ²tevilo lukenj. Trditev 8. Za mreºne ve kotnike V s k luknjami, n notranjimi to kami ter r robnimi to kami velja p(v ) = n + r 1 + k. Dokaz. Naj bo p Z (V ) plo² ina zunanjega ve kotnika, n Z ²tevilo njegovih notranjih to k ter r Z robnih to k zunanjega ve kotnika. Ve kotnik V naj ima k lukenj s plo² inami p i (V ), kjer je i = 1,,..., k, n i notranjih to k ter r i robnih to k. Po Pickovem izreku velja p Z (V ) = n Z + r Z 1, p i (V ) = n i + r i 1. Plo² ino ve kotnika V lahko izra unamo tako, da od plo² ine zunanjega ve kotnika 33

47 od²tejemo plo² ine ve kotnikov, ki predstavljajo luknje, torej Vemo, da je k p(v ) = p Z (V ) p i (V ), i=1 p(v ) = n Z + r k Z 1 (n i + r i 1), i=1 p(v ) = n Z + r k Z 1 + k (n i + r i ). (9) i=1 Preoblikujemo in dobimo n = n Z r = r Z + k (n i + r i ), i=1 k r i. i=1 n Z = n + r Z = r k (n i + r i ), (10) i=1 k r i. (11) i=1 Ena bi (10) in (11) vstavimo v ena bo (9). k p(v ) = n + (n i + r i ) + r k r i k 1 + k (n i + r i ), i=1 i=1 p(v ) = n + r 1 + k. Dokazali smo, da prilagojena Pickova formula velja tudi za poljubne mreºne ve kotnike s k luknjami. i=1 4 Vidljivost in Pickov izrek V tem razdelku po lanku [Varberg] s popmo jo pojma vidljivosti posplo²imo Pickov izrek na ²e splo²nej²e ve kotnike z ogli² i na kvadratni mreºi. Pri tem imamo v mislih 34

48 ve kotnike, pri katerih se lahko v enem ogli² u stika ve robov. Za primer si lahko pogledamo sliko 41, kjer je ve kotnik sestavljen iz ve trikotnikov, skupna pa jim je le ena to ka ter sliko 4, kjer se luknje v ve kotniku dotikajo med sabo in roba ve kotnika. Slika 36: Ve kotniki Za konkreten primer na sliki 36 pokaºimo, da velja p(v 1 V ) = p(v 1 ) p(v ). p(v ) = n + r 1 p(v 1 ) = = 1 p(v ) = = 19 p(v 1 ) + p(v ) = = 0 p(v 1 V ) = = 0 Naj bo V ve kotnik. Vsaki mreºni to ki T k ve kotnika V (torej mreºni to ki, ki je znotraj ali na robu V ) priredimo uteº u k = θ k π, kjer θ k meri kot vidljivosti ve kotnika V iz to ke T k : e je torej T k v notranjosti V, je u k = 1; e je T k na robu V, a ni njegovo ogli² e, je u k = 1/; 35

49 e je T k ogli² e V, kjer ima V pravi kot, je u k = 1/4 in podobno za druga ogli² a. Tu si predstavljamo uteºi u k kot doprinosi to k T k k plo² ini ve kotnika V. Se²tejmo vse uteºi U(V ) = T k V u k, s p(v ) pa ozna imo plo² ino ve ktnika V. Tedaj velja naslednja trditev. Trditev 9. U(V ) = p(v ) Dokaz. Najprej opazimo, da je U aditivna koli ina, to pomeni, da za ve kotnik V = V 1 V kot na primer na sliki 36 velja U(V ) = U(V 1 ) + U(V ). To sledi iz preprostega dejstva, da v skupni to ki ve kotnikov V 1 in V kota vidljivosti v V 1 in V skupaj dasta kot vidljivosti v njuni uniji V. Slika 37: Pravokotnik Zdaj si oglejmo primere Slika 38: Pravokotni trikotnik Slika 39: Trikotnik 1. mreºnega pravokotnika s stranicami, ki so vzporedne mreºi (slika 37);. mreºnega pravokotnega trikotnika s katetama vzporednima mreºi (slika 38); 3. poljubnega mreºnega trikotnika (slika 39). 36

50 Da velja U(V ) = p(v ) v prvem primeru je o itno, saj je p(v ) = 4, U(V ) = = 4. V drugem primeru to sledi iz prvega primera z deljenjem z. p(v ) = 1 = 4, U(V ) = = 1 = 4. Za tretji primer pa to sledi iz aditivnosti plo² ine in aditivnosti vsote uteºi U(V ). p(v ) = 5 = 4 1 3, U(V ) = = 5 = Poljubni ve kotnik (tu imamo v mislih res poljubni mreºni ve kotnik, ki ima lahko luknje in v posameznem ogli² u se lahko stika ve stranic) V moramo le ²e triangulirati in zaradi aditivnosti tedaj tudi zanj velja U(V ) = p(v ). Trditev 10. Pickov izrek za enostavni ve kotnik. ve kotnik V velja p(v ) = n + r 1 = v r 1, Za enostavni mreºni kjer je v ²tevilo vseh mreºnih to k v ve kotniku V (v notranjosti ali na robu). Dokaz. Enostavni q-kotnik ima vsoto notranjih kotov (q )π, kar ni teºko preveriti. Odtod sledi, da je vsota kotov vidljivosti po to kah T k vzdolº roba ve kotnika V ravno (r )π. Naj bo N notranjost ve kotnika V, R pa njegov rob, tedaj velja p(v ) = U(V ) = T k N u k + T k R u k = n + (r )π π = n + r 1. Slika 40: Ve kotnik A Slika 41: Ve kotnik B Slika 4: Ve kotnik C 37

51 Oglejmo si zdaj splo²ni ve kotnik V, ki ima lahko luknje ali se v ogli² ih stika ve stranic (Slike 40, 41, 4), potrebujemo le to, da se da tak ve kotnik izraziti kot unija kon no mnogo enostavnih ve kotnikov. Pickov izrek v prvotni obliki za tak ve kotnik ne velja, a dovolj preprosta razli ica tega izreka, ki vklju uje Eulerjevo karakteristiko χ pa velja tudi za take ve kotnike. Eulerjeva karakteristika se da izra unati za precej splo²nej²e objekte kot so mreºni ve kotniki, a tu si zaradi enostavnosti oglejmo le to karakteristiko za splo²ni mreºni poligon; za tak ve kotnik V je Eulerjeva karakteristika kar χ(v ) = #o #s + #p, kjer #o ozna uje ²tevilo mreºnih to k na robu V, #s ²tevilo daljic med dvema mreºnima to kama roba V in f ²tevilo polj ve kotnika V. Brez teºav vidimo, da je za enostavne ve kotnike ²tevilo #s = r, Eulerjeva karakteristika pa kar enaka 1. Za splo²ni ve kotnik V velja formula p(v ) = v #s χ(v ). Za ve kotnike z m luknjami je Eulerjeva karakteristika enaka 1 m. Naj r 0, r 1,..., r m ozna ujejo ²tevila mreºnih to k na zunanjem robu V oziroma robovih m lukenj. Tedaj uporabimo dejstvo, da je v k-ti luknji vsota kotov vidljivosti (r k +)π, dobimo p(v ) = n + 1 π θ k, T k R p(v ) = n + r 0 + r r m +, p(v ) = n + 1 (r 0 + r r m ) + (m 1), p(v ) = n + 1 r χ, p(v ) = v 1 r χ. Ta dokaz pa ni dober za primera na slikah 41 in 4. Za tako splo²ne ve ktonike moramo slediti standardnemu postopku triangulacije na primitivne trikotnike s 38

52 plo² ino 1 in se²tevati ustrezne koli ine po takih trikotnikih. Primitiven trikotnik nima v notranjosti ali na stranicah nobene mreºne to ke, razen v ogli² ih. Splo²ni rezultat izrazimo v naslednjem izreku. Trditev 11. Posplo²eni Pickov izrek. Naj bo V mreºni ve kotnik. Tedaj za njegovo plo² ino velja p(v ) = v #s χ, kjer je v ²tevilo vseh mreºnih to k znotraj ali na robu ve kotnika V, #s ²tevilo daljic med mreºnimi to kami na robu V in χ Eulerjeva karakteristika za V. Dokaz. Denimo, da je V razrezan na primitivne trikotnike (dokaz je v Preseku, Boris Lavri : Ve kotniki na kvadratni mreºi) in naj bodo v, e in f ²tevila ogli², stranic in polj v tem razrezu. Vsak trikotnik ima 3 stranice in vsako stranico si delita trikotnika razen tistih, ki so na robu V. Tako velja 3f = e #s in zato f = #s + e f = v #s (v e + f) = v #s χ. Odtod pa takoj sledi p(v ) = f = v #s χ. 4.1 Splo²nej²e mreºe in Pickov izrek V tem razdelku si bomo pogledali nekaj primerov mreº in ali Pickov izrek zanje velja. Za enotsko rombno mreºo oziroma mreºo generirano z dvema enakostrani nima trikotnikoma bi rekli, da trditev drºi, saj ima romb, ki generira tako mreºo, plo² ino 1, vsak primitivni trikotnik pa ima plo² ino 1. Tudi dokaz je podoben dokazu Pickovega izreka v kvadratnih mreºah, razlika je le v tem, da so stranice 3 romba enake c = 3 in vi²ina romba 1 = c 39.

53 Slika 43: Ve kotniki Poglejmo si sedaj ²e heksagonalno mreºo, ki je generirana z enakostrani nim ²estkotnikom (slika 43). Mreºne to ke v taki mreºi leºijo le na ogli² ih tako zloºenih ²estkotnikov, plo² ina generativnega ²estkotnika pa je ravno tako 1. Na sliki 43 so ponazorjeni razli ni primeri mreºnih trikotnikov. Trikotnika ABC in DEF imata oba 3 robne to ke ter 0 notranjih in bi zato morala biti oba primitivna in s tem tudi imeti enaki plo² ini, vendar je ºe na pogled jasno, da to ne drºi, p(abc) p(def ) = 1. Primerjajmo ²e trikotnika DEF in GHI, ki sta skladna in imata enaki plo² ini p(def ) = p(ghi) = 1. To bi pomenilo, da sta oba trikotnika primitivna, vendar ima trikotnik GHI 3 robne to ke in 1 notranjo, primitivni trikotnik pa ne sme imeti v notranjosti ali na robu nobene to ke, razen v ogli² ih. pokazali, da Pickov izrek ne more veljati v heksagonalni mreºi. Vzemimo ²e primer kockaste mreºe v tridimenzionalnem prostoru. ploskev tristrane piramide vzemimo primitivni trikotnik kot kaºe slika 44. S tem smo Za osnovno Slika 44: Tloris osnovne ploskve tristrane piramide Za vrh tristrane piramide si izberemo tako mreºno to ko, da bodo ogli² a edine 40

54 Slika 45: Tristrana piramida A Slika 46: Tristrana piramida B mreºne to ke vsebovane v piramidi (slika 45). Taka piramida bi morala biti primitivna. Opazimo, da obstaja ve mreºnih to k, ki zadostijo pogojem, se pravi, da nimajo v notranjosti, na ploskvah in robovih nobene mreºne to ke, razen v ogli² ih. Potem bi morala biti primitivna tudi tristrana piramida s slike 45. Ker sta vi²ini v piramidah razli ni, sta razli ni tudi njuni prostornini, V (A) V (B). Torej Pickov izrek ne more veljati v kockastih mreºah. 41

55 5 Ra unalni²ka programa Ra unalni²ka programa Gauÿov problem s kroºnicami in Pickov izrek sta narejena s pomo jo programa Adobe Flash Professional CS5.5 in programskega jezika ActionScript 3.0. ActionScript 3.0 je objektno orientiran programski jezik in omogo a izdelavo grak, animacij, interaktivnih aplikacij in spletnih iger. Za prikaz aplikacije je potrebno imeti predvajalniki Adobe Flash Player. 5.1 Opis programa Gauÿov problem s kroºnicami Aplikacija je dostopna na povezavi vklju ena med vire [Mandelj] in se imenuje gauss.swf. Program Gauÿov problem s kroºnicami je vizualno sestavljen iz dveh delov (slika 47), na levi so naslov, navodila, besedilo, vpisno in izpisna okenca ter gumb Prikaºi, na desni strani pa je kvadrat namenjen izrisu kroºnice in mreºnih to k. Slika 47: Izgled ra unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob zagonu Aplikacija od uporabnika zahteva, da v prvo okence vpi²e polmer r kroºnice, ki je postavljena na to ke v enotski kvadratni mreºi. Pri tem r ne sme biti ve ji od 10000, vpis pa je omejen samo na ²tevilke. S klikom na gumb Prikaºi se izvede program, ki najprej preveri, e je vpisano ²tevilo 4

56 Slika 48: Izgled ra unalni²kega programa Gauÿov problem s kroºnicami ob izvajanju premajho ali preveliko. ƒe je vneseno ²tevilo 0, program v naslednjem oken ku izpi²e r je premajhen, e je vneseno ²tevilo ve je od 10000, izpi²e r je prevelik, e pa ²tevilo ustreza pogojem, program izra una ²tevilo to k znotraj in na robu kroºnice, pribliºek f(r) r za ²tevilo π ter napako za π, ki pri tem nastane. Program obenem na desni ²e izri²e kroºnico ter pobarva s rno to ke izven kroºnice, to ke znotraj kroºnice in na njej pa rde e. Izris je moºen samo za r < 60. Na sliki 48 je prikazan izpis vrednosti ter gra ni prikaz mreºe s kroºnico. 5. Koda programa Gauÿov problem s kroºnicami import ash.events.mouseevent; import ash.display.shape; st.border = true; st.restrict = 0-9; // omejen vpis na ²tevilke rezultat.background = false; pribl.background = false; napaka.background = false; 43

57 var vnos:string; var r:number = 0; var i:number = 0; var pom:number = 0; var koren:number = 0; var navzdol:number = 0; var k:number = 0; var f:number = 0; var pr:number = 0; var nap:number = 0; prikazi.addeventlistener(mouseevent.click, prikaziklik); // funkcija, ki se izvede ob kliku na gumb Prikaºi function prikaziklik(event:mouseevent):void{ for(var n=slika.numchildren-1; n>=1; n- -){ slika.removechildat(n); // cela slika na desni se izbri²e vnos = st.text; // vnos tekstovne spremenljivke r = parseint(vnos); // pretvorba tekstovne spremenljivke v ²tevilsko if(r == 0){ // preverjanje, e je vneseno ²tevilo ve je od rezultat.text = r je premajhen; // e je r 0, izpis: r je premajhen pribl.text = ; napaka.text = ; else if(r > 10000){ // preverjanje, e je vneseno ²tevilo ve je od rezultat.text = r je prevelik; // e je r prevelik, izpis: r prevelik pribl.text = ; napaka.text = ; else{ // e je r med 1 in 10000, se za ne izvajati zanka for(i = 1; i < r; i++){ // i se pomika po x osi od 1 do polmera r pom = r*r - i*i; // izra un po formuli 44

58 koren = Math.sqrt(pom); navzdol = Math.oor(koren); k = k + navzdol; // to ke samo znotraj kroºnice v enem kvadrantu f = 1 + 4*r + 4*k; // ²tevilo vseh to k v notranjosti in na robu kroºnice s sredi² em pr = f / (r * r); // izra un pribliºka ²tevila pi glede na ²tevilo to k v in na kroºnici nap = Math.PI - pr; // izra un napake med ²tevilom pi in izra unanim pribliºkom za pi f.tostring(); // pretvorba ²tevilske spremenljivke v tekstovno rezultat.text = String(f); // izpis tekstovne spremenljivke, ²tevilo to k v in na robu kroºnice k = 0; // vse ²tevilske spremenljivke se postavijo na 0 f = 0; pom = 0; koren = 0; navzdol = 0; var pri = pr.tofixed(6); // zaokroºevanje pribliºka ²tevila pi na 6 decimalnih mest pri.tostring(); pribl.text = String(pri); var napa = nap.tofixed(6); napa.tostring(); napaka.text = String(napa); narisi(r); function narisi(radij:number):void{ import ash.display.sprite; 45

59 var sirina = slika.width; var e = sirina / (*radij + 1); var enota = int(e); if (radij<60){ // e je r < 60 se izri²e kroºnica // pomikamo se po celem kvadratu for (var a = ((-radij)*enota); a <= (radij*enota); a+=enota){ for(var b = ((-radij)*enota); b <= (radij*enota); b+=enota){ var pika:shape = new Shape(); if (a*a + b*b > (radij*radij)*(enota*enota)){ pika.graphics.beginfill(0x000000, 1.0); // e je to ka zunaj kroºnice, bo to ka rne barve else { pika.graphics.beginfill(0xff0000, 1.0); // e je to ka znotraj ali na kroºnici, bo to ka rde e barve if (radij<=5){ //za r<5 bo imela to ka polmer pika.graphics.drawcircle(a, b, ); else { //za 5<=r<60 bo imela to ka polmer 1 pika.graphics.drawcircle(a, b, 1); pika.graphics.endfill(); slika.addchild(pika); // izris to k var krog:sprite = new Sprite(); krog.graphics.linestyle(1, 0x0066CC); krog.graphics.drawcircle(0, 0, radij*enota); // kroºnica v sredi² u kvadrata slika.addchild(krog); 46

60 5.3 Opis programa Pickov izrek Aplikacija je dostopna na povezavi vklju ena med vire [Mandelj] in se imenuje pick.swf. Aplikacija Pickov izrek je vizualno sestavljen iz dveh delov (slika 49). Na desni strani je naslov, Pickova formula, navodila ter izpisna okenca, na levi pa so narisane to ke enotske kvadratne mreºe. Slika 49: Izgled ra unalni²kega programa Pickov izrek ob zagonu Program od uporabnika zahteva, da s klikanjem na mreºne to ke nari²e mreºni ve kotnik. Sproti se ri²ejo stranice ve kotnika. Ko kliknemo na to ko, katero smo kliknili prvo, oziroma, ko ve kotnik zaklju imo, se ta pobarva rde e, klikanje na to ke pa se onemogo i (slika 50). Obenem se na desni strani izpi²e ²tevilo notranjih ter robnih to k ve kotnika in izra una ter izpi²e plo² ino narisanega ve kotnika s pomo jo Pickove formule. Paziti je potrebno, da se stranice v ve kotniku ne sekajo ali pokrivajo, saj je v tem primeru izra un plo² ine napa en. ƒe ho emo narisati nov ve kotnik, kliknemo na gumb Ponastavi. 47

61 Slika 50: Izgled ra unalni²kega programa Pickov izrek ob izvajanju 5.4 Koda programa Pickov izrek import ash.events.mouseevent; import ash.display.shape; ponovi.addeventlistener(mouseevent.mouse_down, ponastavi); // koda je iz // ob kliku na gumb Ponastavi se celotna aplikacija ponovno naloºi import ash.net.*; function ponastavi(event:mouseevent):void { var url:string = stage.loaderinfo.url; var request:urlrequest = new URLRequest(url); navigatetourl(request,"_level0"); mreza(4, 0x0000FF); function mreza(r:int, barva:uint) { // funkcija, ki nari²e mreºo to k var x:number=0; 48

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007

Diagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007 Diagonalni gra Zvone Klun Maj 2007 1 Predstavitev diagonalnih grafov Graf je diagonalen (ang. chordal), e ima vsak cikel dolºine 4 ali ve diagonalo. Kjer je diagonala (ang. chord) povezava med dvema vozli²

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

DARJA POTOƒAR, FMF

DARJA POTOƒAR, FMF 7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α =

Διαβάστε περισσότερα

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008 TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

predavatelj: doc. Andreja Drobni Vidic

predavatelj: doc. Andreja Drobni Vidic 1 RE ITVE 5. DOMAƒE NALOGE - TOTP - modul MATEMATIKA predavaelj: doc. Andreja Drobni Vidic UPORABA ODVODOV IN INTEGRALI Diferencialni ra un je omogo il re²evanje nalog, za kaere je pred em kazalo, da presegajo

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

1 3D-prostor; ravnina in premica

1 3D-prostor; ravnina in premica 1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne

Διαβάστε περισσότερα

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1 Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH

SPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Diplomsko delo SPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH Mentor: dr. Matej Bre²ar Kandidatka: Brigita

Διαβάστε περισσότερα

POSEBNI PITAGOREJSKI TRIKOTNIKI

POSEBNI PITAGOREJSKI TRIKOTNIKI Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo Marko Razpet POSEBNI PITAGOREJSKI TRIKOTNIKI Študijsko gradivo Matematične teme z didaktiko

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6 1000 Ljubljana Slovenija Nikolaj Lipič in Mojca Rožič 1. naloga: Poimenujte geometrijske like in telesa: pravokotnik romb trikotnik

Διαβάστε περισσότερα

Algebraične strukture

Algebraične strukture Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Lastne vrednosti in lastni vektorji Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,

Διαβάστε περισσότερα

Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo

Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Katedra za algebro in analizo Tadej Star i NALOGE IZ LOGIKE IN MNOšIC Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana, 2015 Predgovor

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dveh in več spremenljivk

Funkcije dveh in več spremenljivk Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki

Διαβάστε περισσότερα

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George

Διαβάστε περισσότερα

NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo

NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Tadej Star i NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana 07 Predgovor Matemati ni koncepti

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: srede med 9:00 in 11:30 pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si,

Διαβάστε περισσότερα

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23. Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

3.letnik - geometrijska telesa

3.letnik - geometrijska telesa .letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost naravnih števil

Deljivost naravnih števil Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.

Διαβάστε περισσότερα

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)

Διαβάστε περισσότερα

VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE

VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika. Heronova formula DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika. Heronova formula DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika Heronova formula DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Ana Malavašič Ljubljana, februar 013 Zahvala Iskreno

Διαβάστε περισσότερα