Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών
|
|
- Γερασιμος Λούπης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Αφού δοθεί ο ορισμός ολικής στροφορμής θα γίνει η συσχέτιση της βάσης ολικής στροφορμής (jm j) με τη βάση των επιμέρους στροφορμών (m 1m ). Οι συντελεστές (σταθερές) που συσχετίζουν τις δύο βάσεις είναι οι συντελεστές μετάβασης Glebsch-Gordon τους οποίους θα μελετήσουμε σε ειδικές περιπτώσεις σύνθεσης στροφορμών (l=1 s=1/ και s 1=1/ s =1/). (Ταμβάκης 003 Τραχανάς 005β Τραχανάς 008 Binney & Skinner 013 Fitzpatrick 010 Griffiths 004 Gasiorowicz 003 Peleg et al. 010). 14. Πρόσθεση Στροφορμών 14.1 Η Ολική Στροφορμή J Έστω σωμάτιο με τροχιακή στροφορμή L=(L x L y L z) και spin S=(S x S y S z). Ορίζουμε το άθροισμα J=L+S των δύο στροφορμών. Θα δούμε ότι η ολική στροφρομή J ικανοποιεί σχέσεις μετάθεσης στροφορμής. Οι σχέσεις μετάθεσης της τροχιακής στροφορμής L εκφράζονται περιεκτικά ως: Αντίστοιχα για το spin έχουμε: Ισχύει ακόμα λόγω ανεξαρτησίας των δύο στροφορμών: L L = iħl. (14.1) S S = iħs. (14.) [L i S j ] = 0 (14.3) Επομένως για τις σχέσεις μετάθεσης των συνιστωσών της ολικής στροφορμής έχουμε: J J = (L + S) (L + S) = L L + S S + L S + S L = = L L + S S = iħl + iħs = iħj. (14.4) Επομένως για την ολική στροφορμή ισχύουν οι ίδιες σχέσεις μετάθεσης που ισχύουν για τις επιμέρους στροφορμές από τις οποίες συντέθηκε η ολική στροφορμή: J J = iħj. (14.5) Άσκηση 1: Με χρήση των σχέσεων μετάθεσης που εκφράζονται μέσω της (14.3) δείξτε ότι το μέτρο της ολικής στροφορμής J = J x + J y + J z μετατίθεται με μια συνιστώσα (πχ J z ) και επομένως έχει κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων (βάση) με αυτή. Με βάση το αποτέλεσμα της παραπάνω άσκησης ισχύει ότι: J z ψ jmj = m j ħψ jmj J ψ jmj = j(j + 1)ħ ψ jmj (14.6) όπου το j παίρνει ακέραιες και ημιακέραιες τιμές και το m j παίρνει τις τιμές: j j + 1 j 1 j. (14.7) 33
2 Άσκηση : Αποδείξτε ότι το m j παίρνει τις τιμές που δίνονται από τη (14.7). Θα βρούμε τώρα τις ιδιοκαταστάσεις των J J z συναρτήσει των ιδιοκαταστάσεων των L L z και S S z.. Εκφράζουμε πρώτα το J συναρτήσει τελεστών για τους οποίους ξέρουμε τον τρόπο που δρουν στις ιδιοκαταστάσεις των L L z και S S z.. Έχουμε: J = (L + S) (L + S) = L + S + L S (14.8) Αντικαθιστούμε τώρα το γινόμενο των τελεστών L S με τελεστές που έχουν καθορισμένη δράση στις ιδιοκαταστάσεις των L L z και S S z. Από τη σχέση: L + S + L S + = (L x + il y )(S x is y ) + (L x il y )(S x + is y ) = = (L x S x + L y S y il x S y + il y S x ) +(L x S x + L y S y + il x S y il y S x ) = (L x S x + L y S y ) (14.9) έχουμε: J = L + S + L z S z + L + S + L S +. (14.10) Άσκηση 3: Αποδείξτε τη σχέση (14.10). Από τη σχέση (14.10) προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις μετάθεσης για τον τελεστή J : [J L ] = 0. [J S ] = 0. [J L z ] 0. [J S z ] 0. (14.11) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ολική στροφορμή J έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με το μέτρο της τροχιακής στροφορμής στο τετράγωνο L και με το μέτρο του spin στο τετράγωνο S αλλά όχι και με τις προβολές στον άξονα z L z και S z. Ακόμα η προβολή της ολικής στροφορμής στον άξονα z J z= L z+ S z έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με τα μέτρα όλων των στροφορμών και των προβολών τους στον άξονα z (J L L z και S S z.) αφού για παράδειγμα: [J z L z ] = [J z S z ] = 0. (14.1) Άρα υπάρχουν δύο σύνολα μετατιθέμενων μεγεθών με κοινές ιδιοκαταστάσεις. Σε κάθε σύνολο τα μεγέθη μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα χωρίς αβεβαιότητα. Το πρώτο σύνολο είναι: ενώ το δεύτερο: L S L z S z (14.13) L S J J z (14.14) Παρατηρούμε ότι το μέτρο της ολικής στροφορμής δεν μπορεί να μετρηθεί ταυτόχρονα με τις προβολές στον άξονα z των επιμέρους στροφορμών αφού οι αντίστοιχοι τελεστές δεν μετατίθενται (σχέσεις 14.11). Οι κοινές ιδιοκαταστάσεις του πρώτου συνόλου μετατιθέμενων μεγεθών [(14.13) (βάση ] ικανοποιούν τις σχέσεις ιδιοτιμών: 34
3 L ψ ls;mms S ψ ls;mms L z ψ ls;mms S z ψ ls;mms = l(l + 1)ħ ψ ls;mms = s(s + 1)ħ ψ ls;mms = m ħ ψ ls;mms = m s ħ ψ ls;mms. (14.15) Οι ιδιοκαταστάσεις αυτές είναι και ιδιοκαταστάσεις του J z και μάλιστα ισχύει: J z ψ ls;mms = (L z + S z )ψ ls;mms = (m + m s )ħψ ls;mms = m j ħψ ls;mms. (14.16) Επομένως για το m j του συνόλου () ισχύει η σύνδεση με τους κβαντικούς αριθμούς του συνόλου : m j = m + m s. (14.17) Σε αντιστοιχία με τις σχέσεις (14.15) η βάση () ικανοποιεί τις σχέσεις ιδιοτιμών: L () ψ ls;jmj S () ψ ls;jmj J () ψ ls;jmj () J z ψ ls;jmj = l(l + 1)ħ () ψ ls;jmj = s(s + 1)ħ () ψ ls;jmj = j(j + 1)ħ () ψ ls;jmj () = m j ħψ ls;jmj. (14.18) Θα δούμε σε επόμενα κεφάλαια ότι σε ορισμένες Hamiltonians εμφανίζεται ο τελεστής της ολικής στροφορμής και επομένως είναι σημαντικό να εκφράσουμε τις ιδιοκαταστάσεις της βάσης () συναρτήσει των καταστάσεων της βάσης που είναι ήδη γνωστές για το άτομο του υδρογόνου. ψ l1 ;m±1 = Y lm χ ±. (14.19) 14. Συντελεστές Clebsch-Gordan Θα εκφράσουμε τις ιδιοκαταστάσεις της ολικής στροφορμής [βάση ()] ως γραμμικό συνδυασμό καταστάσεων της βάσης. Για δεδομένο m j της βάσης οι καταστάσεις που μπορούν να συμμετέχουν στον γραμμικό συνδυασμό είναι αυτές που ικανοποιούν τη σχέση (14.17). Επομένως για την κατάσταση της βάσης () με κβαντικούς αριθμούς l ½ j m j=m+1/ χρησιμοποιούμε γραμμικό συνδυασμό δύο καταστάσεων της βάσης ως εξής: ψ l1 ;lm+1 = αψ l1 ;m1 + βψ l1 ;m+1 1 (14.0) όπου οι σταθερές α και β μπορούν να έχουν πραγματικές τιμές και ικανοποιούν τη σχέση κανονικοποίησης: α + β = 1. (14.1) Για να βρούμε τις σταθερές α και β δρούμε και στα δυο μέλη της σχέσης (14.0) με τον τελεστή J χρησιμοποιώντας και τη σχέση (14.10) που ουσιαστικά καθορίζει τον τρόπο δράσης του J στις ιδιοκαταστάσεις των επιμέρους στροφορμών [βάση ]. Η δράση αυτή βασίζεται και στη δράση των τελεστών ανύψωσης και μείωσης για τις στροφορμές που όπως έχουμε δει είναι της μορφής: L + Y lm = [l(l + 1) m(m + 1)] 1 ħy lm+1 L Y lm = [l(l + 1) m(m 1)] 1 ħy lm 1. (14.) 35
4 S + χ sms = [s(s + 1) m s (m s + 1)] 1 ħχ sms +1 S χ sms = [s(s + 1) m s (m s 1)] 1 ħχ sms 1. (14.3) Για το spin με s=1/ οι σχέσεις αυτές παίρνουν τη μορφή: S + χ + = S χ = 0 S ± χ = ħχ ±. (14.4) Επομένως από τις σχέσεις (14.0) (14.10) (14.) και (14.4) έχουμε: J (αy lm χ + + βy lm+1 χ ) = = (L + S + L z S z + L + S + L S + )(αy lm χ + + βy lm+1 χ ) j(j + 1)ħ (αy lm χ + + βy lm+1 χ ) = = α (l(l + 1)ħ Y lm χ ħ Y lm χ + + my lm χ + + (l(l + 1) m(m + 1)) 1 ħ Y lm χ + ) + +β (l(l + 1)ħ Y lm+1 χ (m + 1)Y lm+1 χ (l(l + 1) m(m + 1)) 1 ħ Y lm χ + ) (14.5) (j(j + 1) l(l + 1) 3 m) α (l(l + 1) m(m + 1))1 β = 0 4 (j(j + 1) l(l + 1) 3 + m(m + 1)) β (l(l + 1) m(m + 1))1 α = 0 4 Άρα οι σχέσεις από τις οποίες μπορούν να προκύψουν οι σταθερές α και β είναι: (j(j + 1) l(l + 1) 3 m) α (l(l + 1) m(m + 1))1 β = 0 4 (j(j + 1) l(l + 1) 3 + m(m + 1)) β (l(l + 1) m(m + 1))1 α = 0 4 (14.6) Άσκηση 4: Αποδείξτε τις σχέσεις (14.6). Αν θέσουμε: οι σχέσεις (1.6) γράφονται: x = j(j + 1) l(l + 1) 3 4. (14.7) (x m)α [l(l + 1) m(m + 1)] 1 β = 0 [l(l + 1) m(m + 1)] 1 α + (x + m + 1)β = 0 (14.8) που οδηγεί σε: 36
5 α β = [(l m)(l + m + 1)]1 x + m + 1 = x m [(l m)(l + m + 1)] 1 (l m)(l + m + 1) = (x m)(x + m + 1) l + lm + l lm m m = x + xm + x xm x m x = l l(l + 1) = x(x + 1) x = l 1 (14.9) Επομένως για να υπάρχει λύση ο κβαντικός αριθμός j δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Για x=l η τιμή που μπορεί να πάρει ο j προκύπτει ως εξής: x = l j + j l l 3 4 l = 0 j + j (l + l ) = 0 j = 1 ± 1 + 4l + 8l + 3 = 1 ± (l + 1) j>0 j = l + 1 (14.30) Η άλλη τιμή του j προκύπτει παρόμοια ως: x = l 1 j = l 1 (14.31) Γενικά αν αντί για τους κβαντικούς αριθμούς l s = 1/ έχουμε σύνθεση γενικών στροφορμών με κβαντικούς αριθμούς j 1 και j τότε οι τιμές που μπορεί να πάρει ο κβαντικός αριθμός της ολικής στροφορμής j αποδεικνύεται ότι είναι μεταξύ (π.χ. Τραχανάς 008): j min = j 1 j j max = j 1 + j (14.3) Για παράδειγμα αν j 1=5 και j =3/ τότε οι τιμές που μπορεί να πάρει ο κβαντικός αριθμός της ολικής στροφορμής είναι j = Η απόδειξη της (14.3) γίνεται με χρήση της σχέσης m j = m j1 + m j και εύρεση όλων των δυνατών m j που αντιστοιχούν σε ζεύγος m j1 m j. Μετά από τα m j βρίσκουμε και τα αντίστοιχα j. Από την πρώτη ισότητα της (14.9): α β = [(l m)(l + m + 1)]1 x m (14.33) προκύπτει ότι πράγματι οι σταθερές α και β μπορούν να επιλεγούν ώστε να είναι πραγματικές (έχουν την ίδια μιγαδική φάση) και επομένως η σχέση κανονικοποίησης είναι η (14.1). Θέτοντας x=l (j=l+1/) στη σχέση (14.33) και χρησιμοποιώντας τη σχέση κανονικοποίησης (14.1) βρίσκουμε: () ψ l+1 m+1 1 l + m + 1 = ( l + 1 ) ψ m1 1 l m + ( l + 1 ) ψ m+1 1 (14.34) Ο κβαντικός αριθμός m j έχει γραφεί με τη μορφή m + 1/ για να υποδηλώσει την ισχύ της σχέσης (14.17). Η παράμετρος m προσδιορίζεται από την απαίτηση m j = m + 1/. Θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει και την παραμετροποίηση m j = m 1/ (δείτε άλυτη άσκηση ). Όμοια εφόσον θέσουμε x = l 1 (j = l 1/) στη σχέση (14.33) και χρησιμοποιήσουμε τη σχέση κανονικοποίησης (14.1) βρίσκουμε: 37
6 () ψ l 1 m+1 l m = ( l + 1 ) 1 ψ m1 1 l + m + 1 ( l + 1 ) ψ (14.35) m+1 1 Οι σχέσεις (14.34) (14.35) καθορίζουν τη μετάβαση από τη βάση των επιμέρους στροφορμών l s=1/ στη βάση () της ολικής στροφορμής μέσω των συντελεστών μετάβασης α και β. Οι συντελεστές αυτοί λέγονται συντελεστές Clebsch-Gordan. Οι σχέσεις (14.34) και (14.35) μπορούν εύκολα να αντιστραφούν και να βρεθούν έτσι οι σχέσεις που καθορίζουν την αντίστροφη μετάβαση [από τη βάση () στη βάση των επιμέρους στροφορμών]. Οι σχέσεις αυτές είναι: ψ m1 ψ m l + m + 1 = ( l + 1 ) 1 l m = ( l + 1 ) () ψ l+1 m+1 () ψ l+1 m+1 1 l m + ( l + 1 ) 1 l + m + 1 ( l + 1 ) () ψ l 1 m+1 () ψ l 1 m+1. (14.36) Οι σχέσεις (14.34) (14.35) και (14.36) μπορούν να συνοψιστούν επιγραμματικά στον παρακάτω πίνακα: l + 1 m + 1 l 1 m + 1 j m j m 1 m m m s (l + m + 1)/(l + 1) (l m)/(l + 1) (l m)/(l + 1) (l + m + 1)/(l + 1) Πίνακας 14.1: Οι συντελεστές Clebsch-Gordan για την σύνθεση των στροφορμών l ½ Παραδείγματα Σύνθεσης Στροφορμών Ως ένα παράδειγμα εφαρμογής των σχέσεων (14.34) και (14.35) θεωρούμε την περίπτωση l=1. Στην περίπτωση αυτή οι σχέσεις (14.34) και (14.35) οδηγούν στις σχέσεις μετάβασης από τη βάση στη βάση (): () ψ 3 1 () ψ 3 ±3 = 3 ψ 01 = ψ ±1± ψ 1 1 () ψ 1 1 = 1 3 ψ 01 3 ψ 1 1 (14.37) () ψ 1 1 = 3 ψ ψ 0 1 () ψ 3 1 = 1 3 ψ ψ 0 1 Ενώ οι αντίστροφες σχέσεις (14.36) δίνουν: 38
7 ψ 1 1 ψ ±1±1 = 1 3 ψ 3 = ψ 3 () 1 () ±3 3 ψ 1 () 1 ψ 01 ψ 0 1 = 3 ψ 3 = 3 ψ 3 () 1 () ψ 1 () ψ 1 () 1 (14.38) ψ 11 = 1 3 ψ 3 () ψ 1 () 1. Επομένως στην περίπτωση αυτή ο πίνακας 14.1 των συντελεστών Clebsch-Gordan παίρνει τη μορφή: m m s j m j Πίνακας 14.: Οι συντελεστές Clebsch-Gordan για σύνθεση στροφορμών με κβαντικούς αριθμούς l=1 s=1/ Ένα άλλο ενδιαφέρον παράδειγμα αποτελεί η περίπτωση σύνθεσης στροφορμών που είναι και οι δυο spin με s=1/ (s 1=s =1/). Στην περίπτωση αυτή εξακολουθεί να ισχύει ο πίνακας συντελεστών 14.1 με l=s 1=1/ s=s =1/. Στην περίπτωση αυτή η ολική στροφορμή είναι το ολικό spin: Η βάση στην περίπτωση αυτή ορίζεται από τις σχέσεις ιδιοτιμών: S = S 1 + S (14.39) S 1 χ s1 s ;m s 1 m s S χ s1 s ;m s 1 m s S 1z χ s1 s ;m s 1 m s S z χ s1 s ;m s 1 m s S z χ s1 s ;m s 1 m s = s 1 (s 1 + 1)ħ χ s1 s ;m s 1 m s = s (s + 1)ħ χ s1 s ;m s 1 m s = m s1 ħχ s1 s ;m s 1 m s = m s ħχ s1 s ;m s 1 m s = m s ħχ s1 s ;m s 1 m. s (14.40) ενώ η βάση () ορίζεται από τις σχέσεις ιδιοτιμών: 39
8 S () 1 χ s1 s ;sm s S () χ s1 s ;sm s S () χ s1 s ;sm s () S z χ s1 s ;sm s = s 1 (s 1 + 1)ħ () χ s1 s ;sm s = s (s + 1)ħ () χ s1 s ;sm s = s(s + 1)ħ () χ s1 s ;sm s () = m s ħχ s1 s ;sm s. (14.41) με: s 1z s z = ± 1. m s = m s1 + m s. (14.4) Από τον πίνακα 14.1 προκύπτουν οι συντελεστές Clebsch-Gordon για την παραπάνω σύνθεση στροφορμών ως: m s1 m s / 1/ (14.43) 00 1/ 1/ 11 1 s m s Επομένως οι καταστάσεις με κβαντικό αριθμό ολικής στροφορμής j=s 1+s =1 (καταστάσεις triplet) προκύπτουν από τις καταστάσεις της βάσης ως: () 1 χ 10 = () χ 1 1 (χ 1 1 = χ χ 1 () χ 11 = χ1 1 1 ) (14.44) ενώ η κατάσταση με κβαντικό αριθμό ολικής στροφορμής j=s 1-s =0 (κατάσταση singlet) προκύπτει από τις καταστάσεις της βάσης ως: () 1 χ 00 = (χ 1 1 χ 1 1 ). (14.45) 14.4 Σύνοψη Για την περιγραφή συστημάτων που συντίθενται από υποσυστήματα με στροφορμή μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο βάσεις καταστάσεων: η βάση των επιμέρους στροφορμών και η βάση της ολικής στροφορμής. Οι δύο βάσεις συνδέονται με χρήση των συντελεστών Glebsch-Gordan. 40
9 Οι συντελεστές Glebsch-Gordan δίνουν την πιθανότητα μέτρησης τιμών για τις επιμέρους στροφορμές όταν έχει μετρηθεί αρχικά η ολική στροφορμή (οπότε αρχικά το σύστημα περιγράφεται από ιδιοκατάσταση της ολικής στροφορμής). Οι συντελεστές Glebsch-Gordon υπολογίστηκαν σε απλές περιπτώσεις συστημάτων όπου η μία από τις δύο επιμέρους στροφορμές αντιστοιχεί σε spin ½. 41
10 Κριτήρια αξιολόγησης (Λαγανάς 005α Λαγανάς 005β Τραχανάς 005 Constantinescu & Magyari 1971 Peleg et αl. 010 Squires 1995 Tamvakis 005). Κριτήριο αξιολόγησης 1 Ηλεκτρόνιο σε άτομο υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση: R 1 ( 1 3 Y 10 χ Y 11 χ ) (14.46) Βρείτε τις πιθανές τιμές και τις αντίστοιχες πιθανότητες που αντιστοιχούν σε μέτρηση των μεγεθών L L z S S z J J z. Ποιά είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στη θέση r θ φ; Ποιά είναι η αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο σε θέση r με spin πάνω; Λύση Έχουμε και για τις δύο καταστάσεις που υπερτίθενται l=1. Επομένως για το L θα μετρηθεί η τιμή ћ 1(1+1)= ћ με πιθανότητα 1. Για το L z θα μετρήσουμε 0 με πιθανότητα 1/3 και ћ με πιθανότητα /3. Έχουμε και για τις δύο καταστάσεις που υπερτίθενται s=1/. Επομένως για το S θα μετρηθεί η τιμή ћ 1/(1/+1)=3/4 ћ με πιθανότητα 1. Για το J θα πρέπει να εκφράσουμε την κατάσταση στη βάση () j m j. Με χρήση των σχέσεων (14.39) έχουμε: ψ = R 1 ( 1 3 Y 10 χ Y 11 χ ) = = R 1 ( 1 3 ψ ψ 1 1 ) = () 1 = R 1 [ 1 3 ( β ψ 3 = R 1 ( 3 ψ () ( 1 3 ψ ψ 1 () ψ 1 () 1 () 1 ). ) () 1 3 ψ 1 )] = (14.47) Επομένως για το J θα μετρήσουμε ћ 3/(3/+1)=15/4 ћ με πιθανότητα 8/9 και θα μετρήσουμε ћ 1/(1/+1)=3/4 ћ με πιθανότητα 1/9. Ακόμα για το J z θα μετρήσουμε ½ ћ με πιθανότητα 1. Η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στη θέση r θ φ είναι: P(r θ φ) = R 1 (1 3 Y Y 11 ) r sin θ (14.48) Η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στη θέση r θ φ με spin πάνω είναι: P(r θ φ) = R 1 (1 3 Y Y 11 ) r sin θ (14.49) Κριτήριο αξιολόγησης Δύο σωμάτια με spin ½ αλληλεπιδρούν σύμφωνα με τη Hamiltonian: 4
11 H = A s 1 s (14.50) όπου Α είναι η δεδομένη σταθερά. Βρείτε τις ενεργειακές ιδιοτιμές του συστήματος και τον αντίστοιχο εκφυλισμό. Λύση Το ολικό spin του συστήματος είναι της μορφής: Άρα η Hamiltonian εκφράζεται συναρτήσει του ολικού spin ως: S = (s 1 + s ) = s 1 + s + s 1 s (14.51) και οι ιδιοτιμές δίνονται από τη σχέση: H = A (S s 1 s ) (14.5) E = A ħ (S(S + 1) s 1 (s 1 + 1) s (s + 1)) = A ħ (S(S + 1) 3 ) (14.53) Οι δυνατές τιμές του S είναι 0 και 1 με εκφυλισμούς (S+1) (1 και 3 αντίστοιχα). Άλυτες Ασκήσεις 1. Θεωρήστε δύο ηλεκτρόνια σε κατάσταση s=0 (singlet). a. Μέτρηση της z συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή S z=ћ/. Ποιά η πιθανότητα να μετρηθεί η ίδια συνιστώσα του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή ћ/; b. Μέτρηση της y συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή S y=ћ/. Ποιά η πιθανότητα να μετρηθεί η x συνιστώσα του spin του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή S x=-ћ/; c. Αν το ηλεκτρόνιο 1 είναι στην κατάσταση χ + + sina 1 e iβ 1χ το ηλεκτρόνιο στην κατάσταση cosa χ + + sina e iβ χ ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε κατάσταση ολικού spin s=1 (triplet);. Βρείτε τους συντελεστές Glebsch-Gordon με την παραμετροποίηση l1/jm-1/. 43
12 Βιβλιογραφία/Αναφορές Λαγανάς E. (005α). Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Λαγανάς E. (005β). Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Μοδινός Α. (1994). Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης. Αθήνα: Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Ταμβάκης Κ. (003). Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική. Αθήνα: Leader Books. Τραχανάς Σ. (005). Προβλήματα Κβαντομηχανικής. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τραχανάς Σ. (008). Κβαντομηχανικη ΙI. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Binney J. & Skinner D. (013). The Physics of Quantum Mechanics. Oxford: Oxford University Press. Constantinescu F. Magyari E. (1971). Problems in Quantum Mechanics (Paperback). Oxford: Pergamon Press. Fitzpatrick R. (010). Quantum Mechanics. Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 015 από Gasiorowicz S. (003). Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση). Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Griffiths D. J. (004). Introduction to Quantum Mechanics (nd edition). Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. Peleg Y. Pnini R. Zaarur E. Hecht E. (010). Schaum s Outline of Quantum Mechanics (Schaum s Outlines) (nd edition). McGraw-Hill. Squires G.L. (1995). Problems in Quantum Mechanics: with solutions. Cambridge: Cambridge University Press. Tamvakis K. (005). Problems and Solutions in Quantum Mechanics. New York: Cambridge University Press. 44
Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )
Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων
Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό, είναι τα εξής (Βαγιονάκης, 1996 Μοδινός, 1994 Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο
Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό, θα θεωρήσουμε ως αδιατάρακτη Hamiltonian, εκείνη του ατόμου του υδρογόνου και θα μελετήσουμε τρία είδη διαταραχών.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Κεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό είναι τα εξής (Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013 Fitzpatrick,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών
Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαχθεί μία γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενη Hailtonian. Θα παρουσιαστεί η μέθοδος εύρεσης
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής
Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή
Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4
ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli
Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις V: Εύρεση παραγόντων Clebsch-Gordan Όπως έχομε δεί στην τάξη, όταν έχομε δύο στροφορμές, J και J, π.χ. επειδή έχομε
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα
ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΔύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1
Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στροφορμής
Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότερα3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)
Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΧρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών
Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΛΕΑΝΔΡΟΣ ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Εισαγωγή στην Κβαντική θεωρία
ΛΕΑΝΔΡΟΣ ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή στην Κβαντική θεωρία Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία Συγγραφή Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Κριτικός αναγνώστης Θεοχάρης Κοσμάς Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών
Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες
Διαβάστε περισσότεραΕύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής
Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος
Κβαντομηχανική Ι Εισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος Στοιχεία Διδάσκοντα Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής-Κοσμολογίας Γραφείο Φ2-303 Ώρες Γραφείου:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο
Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο
Διαβάστε περισσότεραΑτομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)
Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό
Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöding για το κεντρικό δυναμικό Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 k V ) Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.
Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι
Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν
Διαβάστε περισσότεραΣχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια
Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά
Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων Άσκηση a) Τρόπος α : Λύνουμε όλους (ή έστω μερικούς από) τους συνδυασμούς [l i, r j ]: [l x, x] = [l y, y] = [l z, x] = i ħ y Κ.ο.κ., και συμπεραίνουμε
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετηθεί μια εφαρμογή σχετικά με τις βασικές
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία
Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Διαβάστε περισσότεραΑπαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005
ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότερα1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)
. Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις
Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου
Διαβάστε περισσότεραΗ άλγεβρα της στροφορμής
Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.
Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΤΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ασκήσεις και Προβλήματα. Α. Π. Λύκκας
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΤΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ασκήσεις και Προβλήματα Α. Π. Λύκκας Επιβλέπων Καθηγητής : Λ. Περιβολαρόπουλος Ιωάννινα 2013 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 : υστήματα Πολλών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ
Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Πολλών Σωματίων
Συστήματα Πολλών Σωματίων Δομή Διάλεξης Βασικές γενικεύσεις: Κυματοσυνάρτηση-Ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια: Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων:
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί
Κβαντικοί αριθμοί Στην κβαντομηχανική εισάγονται τρεις κβαντικοί αριθμοί για τον καθορισμό της κατανομής του ηλεκτρονιακού νέφους (ατομικού τροχιακού). Οι κβαντικοί αυτοί αριθμοί προκύπτουν από την επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΗ Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)
Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικές Καταστάσεις
Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραSˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)
Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΤο Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 27/3/2014
Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 27/3/2014 Ισοσπίν 27/3/2014 Τι θα συζητήσουµε σήµερα 1. Η ιδέα και ο ορισµός του Ισοτοπικού σπιν («Ισοσπίν») Η αρχική ιδέα του Heisenberg για πρωτόνιο και νετρόνιο 2. Φορµαλισµός
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα
Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το πιο απλό κβαντομηχανικό ρεαλιστικό σύστημα, το οποίο λύνεται ακριβώς, είναι το άτομο του Υδρογόνου (1 πρωτόνιο και 1 ηλεκτρόνιο) Το δυναμικό στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΧρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα
Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 33: Εφαρμογές στο άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 33: Εφαρμογές στο άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει κάποιες εφαρμογές που αφορούν
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναδείξει την ερμιτιανότητα
Διαβάστε περισσότεραÂ. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου
Διαβάστε περισσότεραΚύριος κβαντικός αριθμός (n)
Κύριος κβαντικός αριθμός (n) Επιτρεπτές τιμές: n = 1, 2, 3, Καθορίζει: το μέγεθος του ηλεκτρονιακού νέφους κατά μεγάλο μέρος, την ενέργεια του τροχιακού τη στιβάδα στην οποία κινείται το ηλεκτρόνιο Όσομεγαλύτερηείναιητιμήτουn
Διαβάστε περισσότερα+ z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας
r Έστω κβαντικός περιστροφέας ολικής στροφορμής J, που περιγράφεται από Jx J y J τη Χαμιλτονιανή H = z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας I x I y I z του περιστροφέα ως προς τους άξονες x,y,z,
Διαβάστε περισσότεραΤο Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 30/3/2017
Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 3/3/217 Ισοσπίν 3/3/217 Τι θα συζητήσουµε σήµερα Ισοσπίν 3/3/217 2 1. Η ιδέα και ο ορισµός του Ισοτοπικού σπιν («Ισοσπίν») Η
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: Ε. Βιτωράτος
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 016-017 Ε. Βιτωράτος Υπολογισμός της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στην περίπτωση του υδρογόνου Η τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,
Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ
Διαβάστε περισσότεραΔείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού 2
Δείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού Jˆ Jˆ Jˆ περιστροφέα με Χαμιλτονιανή Hˆ = x y z και ολική στροφορμή j = x y z είναι οι ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών της στροφορομής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές κβαντικής θεωρίας
Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.
Διαβάστε περισσότερα