ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ"

Transcript

1 66

2 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ S ìå Ýíá áñéèìü. Ãéá ðáñüäåéãìá, ç óõíüñôçóç f(x 1, x 2,..., x n ) = x x x2 n ìáò äßíåé ôçí áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ (x 1, x 2,..., x n ) áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Öõóéêü ðåäßï ïñéóìïý: Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíüñôçóçò f äåí ðñïóäéïñßæåôáé, ôüôå ôï óõíüëï ôùí óçìåßùí ãéá ôá ïðïßá ï ôýðïò ôçò f äßíåé Ýíá ðñáãìáôéêü áñéèìü (äçëáäþ, ç f ïñßæåôáé), êáëåßôáé öõóéêü ðåäßï ïñéóìïý. Ãéá ðáñüäåéãìá, ç óõíüñôçóç f(x, y) = 6x 2 y 2 x y+5 Ý åé öõóéêü ðåäßï ïñéóìïý y 0 êáé ç f(x, y) = ln(x 2 y) Ý åé öõóéêü ðåäßï ïñéóìïý x 2 y > 0 y< x 2. ¼ðùò êáé ãéá ôéò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò, ïñßæïõìå ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìéáò óõíüñôçóçò f n ìåôáâëçôþí, x 1, x 2,..., x n, íá åßíáé ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí 67

3 68 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ óôïí (n + 1)-äéÜóôáôï þñï ôçò ìïñöþò (x 1, x 2,..., x n, f(x 1, x 2,..., x n )), üðïõ (x 1, x 2,..., x n ) åßíáé ôï ðåäßïí ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f. Ãéá ðáñüäåéãìá, ãéá n = 2 ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò f åßíáé ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí (x, y, f(x, y)). Ãéá êüèå áñéèìü c, ç åîßóùóç f(x, y) = c åßíáé ç åîßóùóç ìéáò êáìðýëçò óôï åðßðåäï. ÁõôÞ ç êáìðýëç êáëåßôáé éóïóôáèìéêþ êáìðýëç ôçò f óôï óçìåßï (0, 0, c). Ìå ôç âïþèåéá ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôýôïéùí êáìðõëþí ìðïñïýìå íá Ý ïõìå ìéá êáëþ ðåñéãñáöþ ôçò f. ÐáñÜäåéãìá: óôù f(x, y) = x 2 + y 2. Ïé éóïóôáèìéêýò êáìðýëåò ïñßæïíôáé áðü ôéò êáìðýëåò x 2 + y 2 = c, c 0 ïé ïðïßåò åßíáé êýêëïé áêôßíáò c. Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò z = f(x, y) = x 2 + y 2 óôï 3-äéÜóôáôï þñï åßíáé

4 3.1. ÅéóáãùãÞ 69 Óôç ðåñßðôùóç ôùí óõíáñôþóåùí 3 ìåôáâëçôþí, f(x, y, z), ïé åîéóþóåéò f(x, y, z) = c êáëïýíôáé éóïóôáèìéêýò åðéöüíåéåò. ÐáñÜäåéãìá: óôù f(x, y) = x 2 + y 2 + z 2. Ïé éóïóôáèìéêýò åðéöüíåéåò ïñßæïíôáé áðü ôéò åîéóþóåéò x 2 + y 2 + z 2 = c, c 0 ïé ïðïßåò åßíáé óöáßñåò áêôßíáò c. ïõìå äåé üôé óôïí IR 3 ïé åðéöüíåéåò ïñßæïíôáé ðáñáìåôñéêü áðü ôñåéò åîéóþóåéò ðïõ ðåñéý ïõí ìéá ðáñüìåôñï. ÁíÜëïãá, ïé åðéöüíåéåò óôïí IR 3 ìðïñïýí íá ïñéóôïýí ðáñáìåôñéêü áðü ôñåéò åîéóþóåéò ðïõ ðåñéý ïõí äýï ðáñáìýôñïõò. ÄçëáäÞ, x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v), üðïõ u êáé v åßíáé ðáñüìåôñïé, Þ ùò äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(u, v) = xi + yj + zk = f(u, v)i + g(u, v)j + h(u, v)k. ÐáñÜäåéãìá: óôù z = 16 x 2 y 2. ÈÝôïõìå x = u êáé y = v, ïðüôå ç åðéöüíåéá ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü ùò x = u, y = v, z = 16 u 2 v 2 Þ r(u, v) = ui + vj + (16 u 2 v 2 )k. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç êáñôåóéáíþ åîßóùóç ôçò åðéöüíåéáò ç ïðïßá ïñßæåôáé áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(u, v) = 3u cos vi + 4u sin vj + uk, 0 u 1, 0 v 2π.

5 70 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.2 ¼ñéá êáé óõíý åéá Ãéá ôéò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò õðüñ ïõí ìüíï äýï äéáäñïìýò ìå ôéò ïðïßåò Ýíá óçìåßï ðñïóåããßæåé Ýíá Üëëï (ðëåõñéêü üñéá), lim f(x) êáé lim f(x) x x + 0 x x 0 Ãéá ôéò óõíáñôþóåéò äýï ìåôáâëçôþí õðüñ ïõí Üðåéñåò äéáäñïìýò (êáìðýëåò) ìå ôéò ïðïßåò Ýíá óçìåßï ðñïóåããßæåé Ýíá Üëëï. Áí C åßíáé ìéá ïìáëþ ðáñáìåôñéêþ êáìðýëç, x = x(t), y = y(t) êáé áí x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ), ôüôå ïñßæïõìå lim (x, y) (x 0, y 0 ) (êáôü ìþêïò ôçò C) f(x, y) = lim t t0 f (x(t), y(t)) ÐáñÜäåéãìá: óôù ç óõíüñôçóç f(x, y) = xy. Íá âñåèåß ôï üñéï x 2 +y 2 êáôü ìþêïò (a) ôçò ðáñáâïëþò y = x 2, (b) ôçò åõèåßáò y = x. lim (x,y) (0,0) f(x, y)

6 3.2. ¼ñéá êáé óõíý åéá 71 Ôá üñéá êáôü ìþêïò óõãêåêñéìýíùí êáìðýëùí äåí ìáò äßíïõí ôç óõìðåñéöïñü ìéáò óõíüñôçóçò óå ïëüêëçñç ôç ðåñéï Þ ãýñù áðü Ýíá óçìåßï. Ïñéóìüò: óôù f = f(x, y). ÃñÜöïõìå lim f(x, y) = L (x,y) (x 0,y 0 ) áí ãéá êüèå áñéèìü ɛ > 0, ìðïñïýìå íá âñïýìå Ýíá áñéèìü δ > 0 Ýôóé þóôå ç óõíüñôçóç f(x, y) íá éêáíïðïéåß ôçí áíéóüôçôá f(x, y) L < ɛ üôáí (x, y) áíþêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f êáé ç áðüóôáóç ìåôáîý (x, y) êáé (x 0, y 0 ) éêáíïðïéåß ôç ó Ýóç 0< (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ. [ÄçëáäÞ, ôï óçìåßï (x, y) âñßóêåôáé óå áíïé ôü äßóêï ìå êýíôñï (x 0, y 0 ) êáé áêôßíá δ.]

7 72 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÐáñÜäåéãìá: Íá äåé èåß üôé 2x 3 y 3 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 0.

8 3.2. ¼ñéá êáé óõíý åéá 73 Èåþñçìá: Áí ìéá óõíüñôçóç f(x, y) Ý åé üñéï L üôáí (x, y) ôåßíåé óôï (x 0, y 0 ), ôüôå ç óõíüñôçóç f(x, y) Ý åé ôï ßäéï üñéï L üôáí (x, y) ôåßíåé óôï (x 0, y 0 ) êáôü ìþêïò ïðïéáóäþðïôå êáìðýëçò. ÐáñÜäåéãìá: Óôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá, åß áìå äåßîåé üôé 2x 3 y 3 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 0. Áí åðéëýîïõìå ôï (x, y) (0, 0) êáôü ìþêïò ïðïéáóäþðïôå êáìðýëçò, ôüôå èá âñïýìå üôé ôï ðéï ðüíù üñéï åßíáé ßóï ìå ìçäýí. óôù lim (x, y) (0, 0) (êáôü ìþêïò ôçò y = x) 2x 3 y 3 x 2 + y 2 = lim 2t 3 t 3 t 0 t 2 + t 2 = lim t 3 t 0 t 2 = lim t = 0. t 0 ÓõíÝ åéá: Ç óõíüñôçóç f(x, y) åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) áí lim = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Áí ç óõíüñôçóç f(x, y) åßíáé óõíå Þò óå üëá ôá óçìåßá ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò, ôüôå ëýìå üôé åßíáé óõíå Þò. ñçóéìïðïéþíôáò ôïí ïñéóìü ôïõ ïñßïõ Ý ïõìå: Èåþñçìá: Áíáãêáßá êáé éêáíþ óõíèþêç Ýôóé þóôå ç óõíüñôçóç f(x, y) íá åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), åßíáé ãéá êüèå ɛ > 0, õðüñ åé δ > 0 ôýôïéá þóôå f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ɛ üôáí (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ. ÐáñÜäåéãìá: Ç óõíüñôçóç f(x, y) = { xy x 2 y 2, x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) åßíáé óõíå Þò óôï (0, 0), åðåéäþ f(x, y) f(0, 0) = xy x2 y 2 x 2 + y 2 = y 2 x y x2 x 2 + y 2 < x y < x 2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 < ɛ üôáí (x 0) 2 + (y 0) 2 < ɛ. ÄçëáäÞ, áðü ôï èåþñçìá åðéëýãïõìå δ = ɛ. Èåþñçìá: (á) Áí ïé g êáé h åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò, ôüôå f(x, y) = g(x)h(y) åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóç ôùí x êáé y. (â) Áí g åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóçò ìéáò ìåôáâëçôþò êáé h åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, ôüôå ç óýíèåóç f(x, y) = g(h(x, y)) åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóç ôùí x êáé y.

9 74 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÐáñÜäåéãìá: Ç óõíüñôçóç x 5 y 3 åßíáé óõíå Þò. Ç óõíüñôçóç sin(x 5 y 3 ) åßíáé óõíå Þò. Åðéðñüóèåôá ôïõ ðéï ðüíù èåùñþìáôïò éó ýïõí ôá ðéï êüôù: (i) Ç óýíèåóç óõíå þí óõíáñôþóåùí åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóç. (ii) Ôï Üèñïéóìá, ç äéáöïñü êáé ôï ãéíüìåíï óõíå þí óõíáñôþóåùí åßíáé óõíå Þò óõíüñôçóç. (iii) ôï ðçëßêï äýï óõíå þí óõíáñôþóåùí åßíáé óõíå Þò, åêôüò óôá óçìåßá ðïõ ìçäåíßæåôáé ï ðáñáíïìáóôþò. ÐáñÜäåéãìá: Ç óõíüñôçóç 1 + x 2 y + x 3 y 2 åßíáé óõíå Þò. Ç óõíüñôçóç x2 y 1 xy åßíáé óõíå Þò, åêôüò óôá óçìåßá ðïõ âñßóêïíôáé ðüíù óôçí õðåñâïëþ xy = 1.

10 3.3. ÌåñéêÝò ÐáñÜãùãïé ÌåñéêÝò ÐáñÜãùãïé óôù f = f(x, y). Áí äéáôçñþóïõìå ôï y óôáèåñü, y = y 0, ôüôå ç f ãßíåôáé óõíüñôçóç ìéáò ìåôáâëçôþò. Áí ç ðáñüãùãïò óôï x = x 0 õðüñ åé, ôüôå ç ðáñüãùãïò ôçò f(x, y 0 ) óôï x 0 êáëåßôáé ìåñéêþ ðáñüãùãïò ôçò f(x, y) ùò ðñïò x óôï óçìåßï (x 0, y 0 ). ÁíÜëïãá, áí äéáôçñþóïõìå ôï x óôáèåñü, x = x 0, ôüôå ç f ãßíåôáé óõíüñôçóç ìüíï ôçò y. Áí ç ðáñüãùãïò óôï y = y 0 õðüñ åé, ôüôå ç ðáñüãùãïò ôçò f(x 0, y) óôï y 0 êáëåßôáé ìåñéêþ ðáñüãùãïò ôçò f(x, y) ùò ðñïò y óôï óçìåßï (x 0, y 0 ). ÃåíéêÜ, Ý ïõìå Ïñéóìüò: Ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé ôçò f(x, y) ùò ðñïò x êáé y, áíôßóôïé á, ïñßæïíôáé ùò f x = f x = lim f(x + h, y) f(x, y) h 0 h f y = f y = lim f(x, y + k) f(x, y) k 0 k ÐáñÜäåéãìá: óôù f(x, y) = x 2 y 2 +xy 2 +2xy+4y. Íá âñåèïýí: f x (1, 1), f y (2, 0).

11 76 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÐáñÜäåéãìá: óôù z = x+y x y. Íá âñåèïýí: z x, z y. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ïé ðñþôåò ìåñéêýò ðáñüãùãïé ôçò f(x, y, z) = (4x 3y + 2z) 5.

12 3.3. ÌåñéêÝò ÐáñÜãùãïé 77 ÐáñÜãùãïé áíþôåñçò ôüîçò: ÅðåéäÞ ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé f x, f y åßíáé óõíáñôþóåéò ôùí x êáé y, êáé áõôýò ìå ôçí óåéñü ôïõò èá Ý ïõíå ìåñéêýò ðáñáãþãïõò. ôóé ïñßæïõìå 4 ìåñéêýò ðáñáãþãïõò äåýôåñçò ôüîçò ôçò óõíüñôçóçò f(x, y): f xx = 2 f x 2 = x f yx = 2 f x y = x ( ) f, f xy = 2 f x y x = y ( ) f, f yy = 2 f y y 2 = y ( ) f x ( ) f y Áí f xy êáé f yx, ïé ïðïßåò êáëïýíôáé ìéêôýò ðáñüãùãïé, åßíáé óõíå åßò, ôüôå f xy = f yx. ÄçëáäÞ, äåí Ý åé óçìáóßá ç óåéñü ðáñáãþãéóçò. ÁíÜëïãá, ïñßæïíôáé ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé ôñßôçò ôüîçò ê.ï.ê. Ãéá ðáñüäåéãìá, f xxx = 3 f x 3 = x ( 2 f x 2 ), f yyx = 3 f y 2 x = y ( 2 f y x ÐáñÜäåéãìá: óôù f(x, y) = x 4 y 3 + 2x 3 y + 3xy 2. Íá âñåèåß ç f xyy. ) ÌåñéêÝò ðáñüãùãïé äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí: óôù ôüôå r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k r u = x u i + y u j + z u k r v = x v i + y v j + z v k ÕðïèÝôïõìå üôé ïé óõíáñôþóåéò r r u 0 êáé v 0 åßíáé óõíå åßò. Ôüôå ôï äéüíõóìá r åßíáé åöáðôüìåíï óôç u-êáìðýëç u (v äéáôçñåßôáé óôáèåñü) óôï (u 0, v 0 ) êáé áíüëïãá ôï äéüíõóìá r v åßíáé åöáðôüìåíï óôç v-êáìðýëç. ÅðïìÝíùò áí r u r v 0, ôüôå ôï äéüíõóìá n = r u r v r u r v

13 78 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ åßíáé êüèåôï óôá äéáíýóìáôá r r u êáé óôï óçìåßï v (u 0, v 0 ). Êáëïýìå ôï äéüíõóìá n ìïíáäéáßï êüèåôï óôçí åðéöüíåéá r(u, v) óôï óçìåßï r(u 0, v 0 ) êáé ïñßæïõìå ùò åöáðôüìåíï åðßðåäï ôçò r(u, v) óôï óçìåßï r(u 0, v 0 ), ôï åðßðåäï ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï r(u 0, v 0 ) êáé Ý åé ôï n ùò êüèåôï äéüíõóìá. ÐáñÜäåéãìá: óôù ç óöáßñá ìå áêôßíá a, r(φ, θ) = a sin φ cos θi + a sin φ sin θj + a cos φk, üðïõ 0 φ π êáé 0 θ < 2π. Íá äåé èåß üôé óå êüèå óçìåßï ôçò óöáßñáò ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï åßíáé êüèåôï óôï äéüíõóìá èýóçò.

14 3.4. Ðáñáãùãßóéìåò óõíáñôþóåéò - Êáíüíáò áëõóßäáò Ðáñáãùãßóéìåò óõíáñôþóåéò - Êáíüíáò áëõóßäáò óôù f = f(x, y), ôüôå f êáëåßôáé ç áýîçóç ôçò f, ç ïðïßá óõìâïëßæåé ôçí áëëáãþ ôçò f üôáí (x, y) áëëüæåé áðü ìéá áñ éêþ èýóç (x 0, y 0 ) óå ìéá Üëëç èýóç (x 0 + x, y 0 + y). ÄçëáäÞ, f = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) Ïñéóìüò: Ç f = f(x, y) êáëåßôáé ðáñáãùãßóéìç Þ äéáöïñßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) áí f x (x 0, y 0 ) êáé f y (x 0, y 0 ) õðüñ ïõí êáé f ìðïñåß íá ãñáöôåß óôç ìïñöþ f = f x (x 0, y 0 ) x + f y (x 0, y 0 ) y + ɛ 1 x + ɛ 2 y, üðïõ ɛ 1 êáé ɛ 2 åßíáé óõíáñôþóåéò ôùí x êáé y ôýôïéåò þóôå ɛ 1 0 êáé ɛ 2 0 üôáí ( x, y) (0, 0). Èåþñçìá: Áí ç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ôüôå ç f åßíáé óõíå Þò óôï (x 0, y 0 ). Áðüäåéîç:

15 80 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ Èåþñçìá: Áí ç óõíüñôçóç f Ý åé ðñþôçò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óå êüèå óçìåßï óå êüðïéá êõêëéêþ ðåñéï Þ ìå êýíôñï ôï (x 0, y 0 ) êáé áí áõôýò ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé åßíáé óõíå åßò óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ôüôå ç f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï (x 0, y 0 ). Áðüäåéîç: ñçóéìïðïéïýìå ôï èåþñçìá ìýóçò ôéìþò. Êáíüíáò áëõóßäáò: Áí y åßíáé ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç ôïõ x êáé x åßíáé ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç ôïõ t, ôüôå áðü ôïí êáíüíá áëõóßäáò, Ý ïõìå dy dt = dy dx dx dt. Èåþñçìá: Áí x = x(t) êáé y = y(t) åßíáé ðáñáãùãßóéìåò óõíáñôþóåéò ôïõ t êáé áí z = f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç ôùí x êáé y, ôüôå z = f(x(t), y(t)) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç ôïõ t êáé Áðüäåéîç: dz dt = z dx x dt + z dy y dt.

16 3.4. Ðáñáãùãßóéìåò óõíáñôþóåéò - Êáíüíáò áëõóßäáò 81 ÐáñÜäåéãìá: óôù z = ln(2x 2 + y), x = t, y = t 2 3. Íá âñåèåß ç dz dt. ÐáñÜäåéãìá: óôù z = xy + y, x = cos θ, y = sin θ. Íá âñåèåß ç dz dθ üôáí θ = π 2. Èåþñçìá: Áí x = x(u, v) êáé y = y(u, v) Ý ïõí ðñþôçò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï óçìåßï (u, v) êáé áí z = f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï (x(u, v), y(u, v)), ôüôå z = f(x(u, v), y(u, v)) Ý åé ðñþôçò ôüîçò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï óçìåßï (u, v) ïé ïðïßåò äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò z u = z x x u + z y y u êáé z v = z x x v + z y y v ÐáñÜäåéãìá: óôù z = x 2 y tan x, x = u v, y = u2 v 2. Íá âñåèïýí: z u, z v.

17 82 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.5 Åöáðôüìåíá åðßðåäá Áí P (x 0, y 0, z 0 ) åßíáé Ýíá óçìåßï ðüíù óôçí åðéöüíåéá S êáé áí üëåò ïé åöáðôüìåíåò åõèåßåò ôùí ïìáëþí êáìðõëþí ðïõ äéýñ ïíôáé áðü ôï P (êáé âñßóêïíôáé ðüíù óôçí S) âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï, ôüôå èåùñïýìå áõôü ôï åðßðåäï ùò ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï ôçò åðéöüíåéáò S óôï óçìåßï P (x 0, y 0, z 0 ). Èåþñçìá: óôù üôé P (x 0, y 0, z 0 ) åßíáé Ýíá óçìåßï ôçò åðéöüíåéáò z = f(x, y). Áí ç f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ôüôå áõôþ ç åðéöüíåéá Ý åé åöáðôüìåíï åðßðåäï óôï P ôï ïðïßï Ý åé åîßóùóç f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (z z 0 ) = 0. Áðüäåéîç: Ãéá íá áðïäåßîïõìå ôçí ýðáñîç ôïõ åöáðôüìåíïõ åðéðýäïõ óôï óçìåßï P, ðñýðåé íá äåßîïõìå üôé üëåò ïé ïìáëýò êáìðýëåò ôçò åðéöüíåéáò z = f(x, y) ðïõ äéýñ ïíôáé áðü ôï P Ý ïõí åöáðôïìýíåò ðïõ âñßóêïíôáé óôï ßäéï åðßðåäï. ÄçëáäÞ, ðñýðåé íá äåßîïõìå üôé üëá ôá åöáðôüìåíá äéáíýóìáôá óôï P åßíáé êüèåôá óôï äéüíõóìá n = (f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1). óôù üôé C åßíáé ìéá êáìðýëç ôçò z = f(x, y) ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï P êáé ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü x = x(s), y = y(s), z = z(s), üðïõ s åßíáé ìþêïò ôüîïõ. óôù üôé P (x 0, y 0, z 0 ) áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ s = s 0. ÄçëáäÞ, x 0 = x(s 0 ), y 0 = y(s 0 ), z 0 = z(s 0 ). ÅðåéäÞ ç êáìðýëç C âñßóêåôáé ðüíù óôçí åðéöüíåéá z = f(x, y), êüèå óçìåßï ôçò, (x(s), y(s), z(s)), éêáíïðïéåß ôçí åîßóùóç z(s) = f(x(s), y(s)), s. Ðáñáãùãßæïõìå ùò ðñïò s êáé ñçóéìïðïéïýìå ôïí êáíüíá áëõóßäáò, ãéá íá âñïýìå dz ds = f dx x ds + f dy y ds

18 3.5. Åöáðôüìåíá åðßðåäá 83 f dx x ds + f dy y ds dz ds = 0 (f x (x, y), f y (x, y), 1) (x (s), y (s), z (s)) = 0 Áí èýóïõìå s = s 0, Ý ïõìå (f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) (x (s 0 ), y (s 0 ), z (s 0 )) = 0 Ôï äéüíõóìá (x (s 0 ), y (s 0 ), z (s 0 )) åßíáé ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá óôï P êáé áõôü ôï äéüíõóìá åßíáé êüèåôï óôï n = (f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1). Áí ç óõíüñôçóç f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ôüôå ôï äéüíõóìá n = (f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) êáëåßôáé êüèåôï äéüíõóìá ôçò åðéöüíåéáò z = f(x, y) óôï óçìåßï P (x 0, y 0, z 0 ). Ç åõèåßá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï P êáé åßíáé ðáñüëëçëç ìå ôï n êáëåßôáé êüèåôç åõèåßá ãñáììþ êáé Ý åé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò x = x 0 + tf x (x 0, y 0 ), y = y 0 + tf y (x 0, y 0 ), z = z 0 t. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï êáé ç êüèåôç åõèåßá ôçò z = xe y óôï óçìåßï P (1, 0, 1). Äéáöïñéêü:

19 84 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ïõìå äåé üôé ãéá óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò y = f(x), ôï äéáöïñéêü dy = f (x 0 )dx áíôéðñïóùðåýåé ôçí áëëáãþ ôïõ y êáôü ìþêïò ôçò åöáðôïìýíçò óôï (x 0, y 0 ) üôáí ôï x áëëüæåé êáôü dx. Åðßóçò y = f(x 0 + x) f(x 0 ) áíôéðñïóùðåýåé ôçí áëëáãþ ôïõ y êáôü ìþêïò ôçò êáìðýëçò y = f(x) üôáí ôï x áëëüæåé êáôü x. ÁíÜëïãá, áí z = F (x, y) ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå dz íá åßíáé ç áëëáãþ ôçò z êáôü ìþêïò ôïõ åöáðôüìåíïõ åðéðýäïõ óôï (x 0, y 0, z 0 ) üôáí x êáé y áëëüæïõí êáôü dx êáé dy, áíôßóôïé á. Åðßóçò z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) áíôéðñïóùðåýåé ôçí áëëáãþ ôïõ z êáôü ìþêïò ôçò åðéöüíåéáò z = f(x, y) üôáí ôï x êáé y áëëüæïõí êáôü x êáé y, áíôßóôïé á. Ãéá íá âñïýìå ôïí ôýðï ãéá ôï dz, Ýóôù P (x 0, y 0, z 0 ) Ýíá óçìåßï ôçò åðéöüíåéáò z = f(x, y). Áí ç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ôüôå ç åðéöüíåéá Ý åé åöáðôüìåíï åðßðåäï óôï P ôï ïðïßï Ý åé åîßóùóç Þ f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (z z 0 ) = 0 z = z 0 + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Áðü ôçí ðéï ðüíù åîßóùóç, üôáí x = x 0, y = y 0, ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï Ý åé ýøïò z 0 êáé üôáí x = x 0 + dx, y = y 0 + dy Ý åé ýøïò z 0 + f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy. ñá ç áëëáãþ dz ôïõ ýøïõò ôïõ åöáðôüìåíïõ åðéðýäïõ üôáí (x, y) áëëüæåé áðü (x 0, y 0 ) óå (x 0 + dx, y 0 + dy) åßíáé ßóç ìå (áöáéñïýìå ôï z 0 áðü ôçí ðéï ðüíù ó Ýóç) dz = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy. ÁõôÞ ç ðïóüôçôá êáëåßôáé ïëéêü äéáöïñéêü ôçò z óôï (x 0, y 0 ). ÃåíéêÜ, dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy. Ôþñá, áí z = f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x, y), ôüôå ç áýîçóç z ãñüöåôáé z = f x (x, y) x + f y (x, y) y + ɛ 1 x + ɛ 2 y, üðïõ ɛ 1 0, ɛ 2 0 üôáí ( x, y) (0, 0). Óôçí ðåñßðôùóç üðïõ dx = x êáé dy = y, Ý ïõìå z = dz + ɛ 1 x + ɛ 2 y.

20 3.5. Åöáðôüìåíá åðßðåäá 85 ¼ôáí dx = x êáé dy = y åßíáé ìéêñýò ðïóüôçôåò, ôüôå z dz. ÃåùìåôñéêÜ, áõôþ ç ðñïóýããéóç äçëþíåé üôé ç áëëáãþ ôïõ z êáôü ìþêïò ôçò åðéöüíåéáò êáé ç áëëáãþ ôïõ z êáôü ìþêïò ôïõ åöáðôüìåíïõ åðéðýäïõ åßíáé êáôü ðñïóýããéóç ßóåò üôáí dx = x êáé dy = y åßíáé ìéêñýò ðïóüôçôåò. ÐáñÜäåéãìá: óôù z = 4x 2 cos y. Íá âñåèåß ç dz. ÐáñÜäåéãìá: óôù f(x, y) = x 2 + y 2. Íá âñåèåß êáôü ðñïóýããéóç ç áëëáãþ ôçò f üôáí ôï (x, y) áëëüæåé áðü ôï óçìåßï (3, 4) óôï óçìåßï (3.04, 3.98). ÐáñÜäåéãìá: Ç áêôßíá åíüò ïñèï-êõêëéêïý êõëßíäñïõ Ý åé ìåôñçèåß ìå ìýãéóôï óöüëìá 2% êáé ôï ýøïò ìå ìýãéóôï óöüëìá 4%. Íá âñåèåß êáôü ðñïóýããéóç ôï ìýãéóôï óöüëìá ôïõ üãêïõ ôïõ êõëßíäñïõ.

21 86 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.6 ÊáôåõèõíôéêÞ ðáñüãùãïò - Êëßóç óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí ¼ðùò èá äïýìå ðéï êüôù ìéá åðéöüíåéá z = f(x, y) ìðïñåß íá Ý åé äéáöïñåôéêýò êëßóåéò óå äéáöïñåôéêýò êáôåõèýíóåéò áðü Ýíá óçìåßï (x 0, y 0, z 0 ) ðüíù óôçí åðéöüíåéá. óôù ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá u(u 1, u 2 ) óôï åðßðåäï xy êáé Ýóôù l ç åõèåßá ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï P (x 0, y 0 ) êáé åßíáé ðáñüëëçëç ìå ôï äéüíõóìá u. Ïé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôçò l óõíáñôþóåé ôïõ s åßíáé x = x 0 + su 1, y = y 0 + su 2. óôù ç åðéöüíåéá z = f(x, y) êáé åðïìýíùò z = f(x 0 + su 1, y 0 + su 2 ). Ðáñáãùãßæïõìå ùò ðñïò s, ãéá íá âñïýìå ôï ñõèìü ìåôáâïëþò ôïõ z, êáé dz ds = z dx x ds + z dy y ds = f xu 1 + f y u 2 dz ds = f x (x 0, y 0 )u 1 + f y (x 0, y 0 )u 2 s=0 ÓõíïðôéêÜ Ý ïõìå Ïñéóìüò: Áí ç óõíüñôçóç f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) êáé áí u = (u 1, u 2 ) åßíáé Ýíá ìïíáäéáßï äéüíõóìá, ôüôå ç êáôåõèõíôéêþ ðáñüãùãïò ôçò f óôï (x 0, y 0 ) óôçí êáôåýèõíóç ôïõ u ïñßæåôáé ùò D u f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )u 1 + f y (x 0, y 0 )u 2. Óçìåéþóåéò: 1. ÅðåéäÞ u = cos θi + sin θj, üðïõ θ åßíáé ç ãùíßá ðïõ ó çìáôßæåé ôï äéüíõóìá u ìå ôï èåôéêü Üîïíá ôùí x, âñßóêïõìå D u f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) cos θ + f y (x 0, y 0 ) sin θ.

22 3.6. ÊáôåõèõíôéêÞ ðáñüãùãïò - Êëßóç óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí Óôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç üðïõ u = i = (1, 0), Ý ïõìå D i f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) êáé üôáí u = j = (0, 1) Ý ïõìå D j f(x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ). ñá ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé ùò ðñïò x êáé y ìðïñïýí íá èåùñçèïýí ùò ïé êáôåõèõíôéêýò ðáñüãùãïé óôçí êáôåýèõíóç ôïõ èåôéêïý Üîïíá ôùí x êáé ôïõ èåôéêïý Üîïíá ôùí y, áíôßóôïé á. 3. D u f(x 0, y 0 ) = D u f(x 0, y 0 ) ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç êáôåõèõíôéêþ ðáñüãùãïò ôçò f(x, y) = (1 + xy) 3 2 óôï óçìåßï (3,1) óôçí êáôåýèõíóç ôïõ u = 1 2 i j. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç êáôåõèõíôéêþ ðáñüãùãïò ôçò f(x, y) = 4x 3 y 2 óôï óçìåßï (2,1) óôçí êáôåýèõíóç ôïõ a = 4i 3j. Êëßóç óõíüñôçóçò: Ç êáôåõèõíôéêþ ðáñüãùãïò ãñüöåôáé D u f(x, y) = f x (x, y)u 1 + f y (x, y)u 2. D u f(x, y) = (f x (x, y)i + f y (x, y)j) (u 1 i + u 2 j). Ôï ðñþôï äéüíõóìá óôï äåîéü ìýëïò êáëåßôáé êëßóç ôçò óõíüñôçóçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(x, y). ÄçëáäÞ, f(x, y) = f x (x, y)i + f y (x, y)j.

23 88 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÅðïìÝíùò ç êáôåõèõíôéêþ ðáñüãùãïò ãñüöåôáé D u f(x, y) = f(x, y) u. ¼ðùò èá äïýìå óôï ðéï êüôù èåþñçìá ôï ìþêïò êáé ç êáôåýèõíóç ôçò f(x, y) ìáò äßíïõí óçìáíôéêýò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí f(x, y). Èåþñçìá: óôù üôé ç f = f(x, y) åßíáé ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ). (á) Áí f(x 0, y 0 ) = 0, ôüôå üëåò ïé êáôåõèõíôéêýò ðáñüãùãïé ôçò f óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) åßíáé ìçäýí. (â) Áí f(x 0, y 0 ) 0, ôüôå ìåôáîý üëùí ôùí êáôåõèõíôéêþí ðáñáãþãùí óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ç ðáñüãùãïò óôçí êáôåýèõíóç ôïõ f(x 0, y 0 ) Ý åé ôç ìýãéóôç ôéìþ ç ïðïßá åßíáé f(x 0, y 0 ) êáé ç ðáñüãùãïò óôçí áíôßèåôç êáôåýèõíóç ôïõ f(x 0, y 0 ) Ý åé ôçí åëü éóôç ôéìþ ç ïðïßá åßíáé ßóç ìå f(x 0, y 0 ). Áðüäåéîç: (á) Áí f(x 0, y 0 ) = 0, ôüôå u Ý ïõìå D u f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) u = 0 u = 0. (â) ÕðïèÝôïõìå üôé f(x 0, y 0 ) 0 êáé Ýóôù θ ç ãùíßá ìåôáîý f(x 0, y 0 ) êáé ôïõ u. ïõìå D u f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) u = f(x 0, y 0 ) u cos θ êáé åðåéäþ u = 1, D u f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) cos θ Ãíùñßæïõìå üôé 1 cos θ 1. ÅðïìÝíùò ç ìýãéóôç ôéìþ ôçò D u f(x 0, y 0 ) óõìâáßíåé üôáí cos θ = 1. ñá θ = 0. ÄçëáäÞ, ç ìýãéóôç ôéìþ ôçò D u f(x 0, y 0 ) óõìâáßíåé üôáí u Ý åé ôçí êáôåýèõíóç ôïõ f(x 0, y 0 ). Ç åëü éóôç ôéìþ åßíáé f(x 0, y 0 ) êáé áõôþ óõìâáßíåé üôáí cos θ = 1. ñá θ = π. ÄçëáäÞ, üôáí ôï äéüíõóìá u Ý åé ôçí áíôßèåôç êáôåýèõíóç ôïõ f(x 0, y 0 ). ÐáñÜäåéãìá: óôù ç óõíüñôçóç f(x, y) = x 2 + y 2. Íá âñåèåß ç ìýãéóôç êáôåõèõíôéêþ ðáñüãùãïò óôï óçìåßï (4, 3) êáé íá âñåèåß ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá óå áõôþ ôçí êáôåýèõíóç.

24 3.6. ÊáôåõèõíôéêÞ ðáñüãùãïò - Êëßóç óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí 89 Óôï ðéï êüôù èåþñçìá äßíïõìå ìéá ãåùìåôñéêþ ó Ýóç ìåôáîý ôùí éóïóôáèìéêþí êáìðýëùí êáé ôçò êëßóçò ìéáò óõíüñôçóçò f äýï ìåôáâëçôþí. Èåþñçìá: Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), ôüôå ç f(x 0, y 0 ) åßíáé êüèåôç óôçí éóïóôáèìéêþ êáìðýëç ôçò f ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôï (x 0, y 0 ). Áðüäåéîç: óôù ç éóïóôáèìéêþ êáìðýëç f(x, y) = c, ç ïðïßá ìðïñåß íá åêöñáóôåß óõíáñôþóåé ôçò ðáñáìýôñïõ s, f(x(s), y(s)) = c. Ðáñáãùãßæïõìå ùò ðñïò s, (êáíüíáò áëõóßäáò) f dx x ds + f dy y ds = 0 ç ïðïßá ãñüöåôáé ( f x i + f ) ( dx y j ds i + dy ) ds j = 0. Óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) Ý ïõìå f(x 0, y 0 ) u = 0 [r (s) = T(s)]. ÐáñÜäåéãìá: óôù ç óõíüñôçóç f(x, y) = x 2 + y 2. Íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò éóïóôáèìéêþò êáìðýëçò óôï óçìåßï (3, 4) êáé íá ó åäéáóôåß ôï äéüíõóìá f óå áõôü ôï óçìåßï.

25 90 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.7 ÌÝãéóôá - ÅëÜ éóôá óõíáñôþóåùí äýï ìåôáâëçôþí Ïñéóìüò: Ç óõíüñôçóç f(x, y) ëýìå üôé Ý åé ó åôéêü Þ ôïðéêü ìýãéóôï óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) áí õðüñ åé êýêëïò ìå êýíôñï ôï (x 0, y 0 ) Ýôóé þóôå f(x 0, y 0 ) f(x, y) ãéá üëá ôá óçìåßá (x, y) ðïõ áíþêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f êáé âñßóêïíôáé ìýóá óôïí êýêëï. Áí f(x 0, y 0 ) f(x, y) ãéá üëá ôá óçìåßá (x, y) ðïõ áíþêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, ôüôå ëýìå üôé ç f Ý åé áðüëõôï ìýãéóôï óôï (x 0, y 0 ). Ïñéóìüò: Ç óõíüñôçóç f(x, y) ëýìå üôé Ý åé ó åôéêü Þ ôïðéêü åëü éóôï óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) áí õðüñ åé êýêëïò ìå êýíôñï ôï (x 0, y 0 ) Ýôóé þóôå f(x 0, y 0 ) f(x, y) ãéá üëá ôá óçìåßá (x, y) ðïõ áíþêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f êáé âñßóêïíôáé ìýóá óôïí êýêëï. Áí f(x 0, y 0 ) f(x, y) ãéá üëá ôá óçìåßá (x, y) ðïõ áíþêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, ôüôå ëýìå üôé ç f Ý åé áðüëõôï åëü éóôï óôï (x 0, y 0 ). Ôá ó åôéêü åëü éóôá êáé ìýãéóôá êáëïýíôáé ó åôéêü áêñüôáôá. Ôá áðüëõôá åëü éóôá êáé ìýãéóôá êáëïýíôáé áðüëõôá áêñüôáôá. Èåþñçìá: Áí ç óõíüñôçóç f(x, y) Ý åé ó åôéêü áêñüôáôï óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) êáé áí ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé õðüñ ïõí óôï (x 0, y 0 ), ôüôå f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. Ãéá ôéò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò f(x) ïñßæïõìå ùò êñßóéìï óçìåßï ôï óçìåßï x 0 ãéá ôï ïðïßï f (x 0 ) = 0 Þ f (x 0 ) äåí õðüñ åé. ÁíÜëïãá, ôï óçìåßï (x 0, y 0 ) êáëåßôáé êñßóéìï óçìåßï ôçò óõíüñôçóçò f(x, y) áí f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0 Þ áí ôïõëü éóôïí ìéá áðü ôéò f x (x 0, y 0 ) êáé f y (x 0, y 0 ) äåí ïñßæåôáé. Ôþñá, ãéá ôéò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò, ç óõíèþêç f (x 0 ) = 0 äåí åßíáé éêáíþ ãéá íá Ý åé ç f(x) ó åôéêü áêñüôáôï óôï x 0. ôóé êáé ïé óõíèþêåò f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0 äåí åßíáé éêáíýò ãéá íá Ý åé ç f(x, y) ó åôéêü áêñüôáôï óôï (x 0, y 0 ). ÐáñÜäåéãìá: Ïé ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ôùí z = f(x, y) = x 2 + y 2 z = g(x, y) = 1 x 2 y 2 z = h(x, y) = y 2 x 2 äßíïíôáé óôï ðéï êüôù ó Þìá.

26 3.7. ÌÝãéóôá - ÅëÜ éóôá óõíáñôþóåùí äýï ìåôáâëçôþí 91 Âñßóêïõìå ôéò ðñþôåò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò f x = 2x, g x = 2x, h x = 2x, f y = 2y g y = 2y h y = 2y ñá êáé óôéò 3 ðåñéðôþóåéò ïé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ìçäåíßæïíôáé óôï óçìåßï (0, 0). ÄçëáäÞ, ôï (0, 0) åßíáé êñßóéìï óçìåßï. Áðü ôéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ðáñáôçñïýìå üôé ç f Ý åé ó åôéêü åëü éóôï óôï (0, 0) êáé ç g Ý åé ó åôéêü ìýãéóôï óôï (0, 0). ¼ìùò ç h äåí Ý åé ó åôéêü áêñüôáôï. Áõôü öáßíåôáé áí ðüñïõìå ïðïéïäþðïôå êýêëï óôï xy åðßðåäï ìå êýíôñï ôï (0, 0), õðüñ ïõí óçìåßá üðïõ ç h åßíáé èåôéêþ (Üîïíáò ôùí y) êáé óçìåßá üðïõ ç h åßíáé áñíçôéêþ (Üîïíáò ôùí x). ñá h(0, 0) = 0 äåí åßíáé ïýôå åëü éóôç ïýôå ìýãéóôç ôéìþ ôçò h(x, y) ìýóá óôïí êýêëï. íá êñßóéìï óçìåßï ðïõ äåí åßíáé ó åôéêü áêñüôáôï êáëåßôáé óáãìáôéêü óçìåßï. ñá ôï óçìåßï (0, 0) åßíáé óáãìáôéêü óçìåßï ôçò óõíüñôçóçò h(x, y) = y 2 x 2. Ãéá ôéò óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò ôï êñéôþñéï ôçò äåýôåñçò ðáñáãþãïõ åîåôüæåé ôçí óõìðåñéöïñü ìéáò óõíüñôçóçò óå Ýíá êñßóéìï óçìåßï. Ôï áíüëïãï êñéôþñéï ãéá ôéò óõíáñôþóåéò äýï ìåôáâëçôþí äßíåôáé óôï ðéï êüôù èåþñçìá. Èåþñçìá: óôù üôé ç óõíüñôçóç f = f(x, y) Ý åé óõíå åßò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò äåýôåñçò ôüîçò óå êüðïéï êýêëï ðïõ ðåñéý åé ôï êñßóéìï óçìåßï (x 0, y 0 ) êáé Ýóôù = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) f 2 xy(x 0, y 0 ). (á) Áí > 0 êáé f xx > 0, ôüôå ç f Ý åé ó åôéêü åëü éóôï óôï (x 0, y 0 ). (â) Áí > 0 êáé f xx < 0, ôüôå ç f Ý åé ó åôéêü ìýãéóôï óôï (x 0, y 0 ). (ã) Áí < 0, ôüôå ç f Ý åé óáãìáôéêü óçìåßï óôï (x 0, y 0 ). (ä) Áí = 0, äåí õðüñ åé óõìðýñáóìá. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ôá ó åôéêü áêñüôáôá êáé óáãìáôéêü óçìåßá ôçò f(x, y) = 4xy x 4 y 4.

27 92 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ôá ó åôéêü áêñüôáôá êáé óáãìáôéêü óçìåßá ôçò f(x, y) = x 2 + y 2 + 2, (x, y) (0, 0). xy

28 3.7. ÌÝãéóôá - ÅëÜ éóôá óõíáñôþóåùí äýï ìåôáâëçôþí 93 Áðüëõôá áêñüôáôá: Èá åîåôüóïõìå ðùò íá õðïëïãßæïõìå áðüëõôá áêñüôáôá. Ôá äýï ðéï êüôù èåùñþìáôá èá ìáò âïçèþóïõí óôïí õðïëïãéóìü ôùí áðüëõôùí áêñüôáôùí. Èåþñçìá: Áí ç óõíüñôçóç f(x, y) åßíáé óõíå Þò óå Ýíá êëåéóôü êáé öñáãìýíï óýíïëï R, ôüôå Ý åé áðüëõôï ìýãéóôï êáé áðüëõôï åëü éóôï óôï R. ÐáñÜäåéãìá: Ç ðåñéï Þ R ôçò ïðïßáò ôá óçìåßá éêáíïðïéïýí ôéò áíéóþóåéò 0 x a êáé 0 y b åßíáé Ýíá êëåéóôü êáé öñáãìýíï óýíïëï óôï åðßðåäï xy. Èåþñçìá: Áí ç óõíüñôçóç f = f(x, y) Ý åé áðüëõôï áêñüôáôï óå Ýíá åóùôåñéêü óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò, ôüôå áõôü ôï óçìåßï åßíáé êñßóéìï. Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôá áðüëõôá áêñüôáôá ôçò óõíüñôçóçò f(x, y) ç ïðïßá åßíáé óõíå Þò óå Ýíá êëåéóôü êáé öñáãìýíï óýíïëï R, áêïëïõèïýìå ôá ðéï êüôù âþìáôá: 1. Âñßóêïõìå ôá êñßóéìá óçìåßá ôçò f ôá ïðïßá âñßóêïíôáé óôï åóùôåñéêü ôïõ R. 2. Âñßóêïõìå ôá óõíïñéáêü óçìåßá óôá ïðïßá ìðïñïýí íá åìöáíéóôïýí áðüëõôá áêñüôáôá. 3. Õðïëïãßæïõìå ôçí ôéìþ ôçò f(x, y) óôá óçìåßá ðïõ Ý ïõìå âñåé óôá âþìáôá 1 êáé 2. Ç ìåãáëýôåñç ôéìþ ôçò f äßíåé ôï áðüëõôï ìýãéóôï êáé ç ìéêñüôåñç ôï áðüëõôï åëü éóôï. ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ôá áðüëõôá áêñüôáôá ôçò f(x, y) = 3xy 6x 3y + 7 óôç êëåéóôþ ôñéãùíéêþ ðåñéï Þ R ìå êïñõöýò óôá óçìåßá (0,0), (3,0) êáé (0,5).

29 94 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ïé äéáóôüóåéò åíüò ïñèïãùíßïõ êïõôéïý, áíïé ôü áðü ðüíù, ôï ïðïßï Ý åé üãêï 32 cm 3, Ýôóé þóôå íá ñçóéìïðïéçèåß ç åëü éóôç ðïóüôçôá õëéêïý ãéá ôçí êáôáóêåõþ ôïõ.

30 3.8. ÐïëëáðëáóéáóôÝò ôïõ Lagrange ÐïëëáðëáóéáóôÝò ôïõ Lagrange Óôç ðñïçãïýìåíç åíüôçôá åß áìå õðïëïãßóåé ôï åëü éóôï ôçò óõíüñôçóçò S = xy + 2xz + 2yz õðïêåßìåíç óôç óõíèþêç xyz 32 = 0. ÃåíéêÜ, óå áñêåôü ðñïâëþìáôá Ý ïõìå íá õðïëïãßóïõìå áêñüôáôá ôçò óõíüñôçóçò f(x, y, z) õðïêåßìåíç óôç óõíèþêç g(x, y, z) = 0. ¼ðùò åß áìå äåé óôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá, ëýóáìå ôç äåóìåõôéêþ óõíèþêç ùò ðñïò z êáé áíôéêáôáóôþóáìå óôç óõíüñôçóç S ç ïðïßá Ýãéíå óõíüñôçóç äýï ìåôáâëçôþí. Óôç óõíý åéá âñþêáìå ôá áêñüôáôá áõôþò ôçò íýáò óõíüñôçóçò ìå ôç óýíçèåò ìýèïäï. ¼ìùò óå áñêåôü ðñïâëþìáôá äåí åßíáé äõíáôü íá ëýóïõìå ôç äåóìåõôéêþ óõíèþêç ùò ðñïò ìéá áðü ôéò ìåôáâëçôýò. Ãéá áõôü ðñýðåé íá ñçóéìïðïéþóïõìå ìéá äéáöïñåôéêþ äéáäéêáóßá õðïëïãéóìïý áêñüôáôùí óõíáñôþóåùí õðïêåßìåíåò óå äåóìåõôéêýò óõíèþêåò. Èá áó ïëçèïýìå ìå óõíáñôþóåéò äýï ìåôáâëçôþí. ÄçëáäÞ, èýëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôá áêñüôáôá ôçò óõíüñôçóçò f(x, y) õðïêåßìåíç óôç óõíèþêç g(x, y) = 0. Ôï ðéï êüôù èåþñçìá ìáò äßíåé ìéá ìýèïäï õðïëïãéóìïý ó åôéêþí áêñüôáôùí óõíáñôþóåùí õðïêåßìåíåò óå äåóìåõôéêýò óõíèþêåò. Èåþñçìá: óôù üôé ïé óõíáñôþóåéò f(x, y) êáé g(x, y) Ý ïõí óõíå åßò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ðñþôçò ôüîçò óå Ýíá áíïé ôü óýíïëï ðïõ ðåñéý åé ôç äåóìåõôéêþ êáìðýëç g(x, y) = 0 êáé õðïèýôïõìå üôé g 0 ãéá êüèå óçìåßï ðüíù óôçí êáìðýëç. Áí ç f Ý åé äåóìåõôéêü áêñüôáôï, ôüôå áõôü óõìâáßíåé óôï (x 0, y 0 ) ôï ïðïßï âñßóêåôáé óôç äåóìåõôéêþ êáìðýëç üðïõ ïé êëßóåéò f(x 0, y 0 ) êáé g(x 0, y 0 ) åßíáé ðáñüëëçëåò. ÄçëáäÞ, õðüñ åé êüðïéïò áñéèìüò λ, ï ïðïßïò êáëåßôáé ðïëëáðëáóéáóôþò ôïõ Lagrange, Ýôóé þóôå f(x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ) Áðüäåéîç: óôù üôé z = f(x, y) êáé ç äåóìåõôéêþ êáìðýëç g(x, y) = 0 ìðïñïýí íá åêöñáóôïýí óõíáñôþóåé ôçò ðáñáìýôñïõ s, x = x(s), y = y(s) üðïõ ôï óçìåßï (x 0, y 0 ) áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ s = s 0. ñá ãéá Ýíá óçìåßï (x, y) ç äåóìåõôéêþ êáìðýëç ãñüöåôáé z = f(x(s), y(s)). ÅðåéäÞ ôï ó åôéêü áêñüôáôï óõìâáßíåé óôï óçìåßï (x 0, y 0 ), Ý ïõìå dz ds s = s 0. ñá dz ds = f dx x ds + f ( dy f y ds = x i + f ) y j ( dx ds i + dy ds j ). = 0, üôáí

31 96 ÊåöÜëáéï 3. ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ Óôï s = s 0, ôï ðñþôï äéüíõóìá åßíáé ç êëßóç ôçò f óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) êáé ôï äåýôåñï åßíáé ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá u ôçò g(x, y) = 0 óôï óçìåßï (x 0, y 0 ). ñá óôï s = s 0 Ý ïõìå f(x 0, y 0 ) u = 0. ÄçëáäÞ, ç êëßóç ôçò f óôï óçìåßï (x 0, y 0 ) åßíáé êüèåôç óôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá ôçò g(x, y) = 0, ôï ïðïßï åßíáé êüèåôï óôç êëßóç ôçò g. ñá f(x 0, y 0 ) // g(x 0, y 0 ) êáé åðïìýíùò f(x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ). ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ôï óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôïí êýêëï x 2 + y 2 = 1 êáé äßíåé ìýãéóôç ôéìþ óôçí f(x, y) = xy.

32 3.8. ÐïëëáðëáóéáóôÝò ôïõ Lagrange 97 ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèïýí ïé áêñüôáôåò ôéìýò ôçò f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ç ïðïßá õðüêåéôáé óôéò äåóìåõôéêýò óõíèþêåò x2 4 + y2 5 + z2 25 = 1 êáé z = x + y.

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç 0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá

ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ

Διαβάστε περισσότερα

ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE

ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE . Ôï åã åéñßäéï áõôü Ý åé åôïéìáóôåß áðü ôç ñéóôßíá Ôóáïýóç óôá ðëáßóéá ôïõ åñåõíçôéêïý Ýñãïõ ìå ôßôëï "Áóýã ñïíç ôçëåêðáßäåõóç Áíþôåñùí Ìáèçìáôéêþí

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ

ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá; ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Εισαγωγή Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ

11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o

ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head

Διαβάστε περισσότερα

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,

Διαβάστε περισσότερα

Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού. Ενότητα 4: Συμβολικοί υπολογισμοί. Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού. Ενότητα 4: Συμβολικοί υπολογισμοί. Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού Ενότητα 4: Συμβολικοί υπολογισμοί Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης è Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. è Για

Διαβάστε περισσότερα

Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç

Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç êåöüëáéï Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç Ç ëýîç çëåêôñéóìüò óõíþèùò ìáò ìåôáöýñåé óå åéêüíåò ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óýã ñïíç ôå íïëïãßá, üðùò öþò êáé çëåêôñéêþ åíýñãåéá, êéíçôþñåò, çëåêôñïíéêü êõêëþìáôá

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá 1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x

Διαβάστε περισσότερα

8. ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ. 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò. Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò

8. ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ. 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò. Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 31 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò Óôç äéüôáîç ôçò åéêüíáò 7.5.1 ï ìéêñïûðïëïãéóôþò ìðïñåß íá ìåôñþóåé ôï ñïíéêü äéüóôçìá ðïõ ñåéüæåôáé ãéá íá äéáíýóåé ôï áìáîßäéï ôçí

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç 8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí

¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),

Διαβάστε περισσότερα

Ramsey's Theory or something like that.

Ramsey's Theory or something like that. Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá

Διαβάστε περισσότερα