ΘΕΜΑ. Προσομοίωση Φυσικού Επιπέδου και Επιπέδου Σύνδεσης Δεδομένων Ασύρματου Δικτύου Ιατρικών Αισθητήρων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ. Προσομοίωση Φυσικού Επιπέδου και Επιπέδου Σύνδεσης Δεδομένων Ασύρματου Δικτύου Ιατρικών Αισθητήρων"

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Πατρών Σχολή Επιστηµών Υγείας Τµήµα Ιατρικής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Προσομοίωση Φυσικού Επιπέδου και Επιπέδου Σύνδεσης Δεδομένων Ασύρματου Δικτύου Ιατρικών Αισθητήρων ΚΑΡΚΑΝΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΜ: 4 ΑΘΗΝΑ 005

2 Πανεπιστήµιο Πατρών Σχολή Επιστηµών Υγείας Τµήµα Ιατρικής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Προσομοίωση Φυσικού Επιπέδου και Επιπέδου Σύνδεσης Δεδομένων Ασύρματου Δικτύου Ιατρικών Αισθητήρων ΚΑΡΚΑΝΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΜ: 4 ΑΘΗΝΑ 005

3 Τριµελής Επιτροπή: ) Καθηγητής Κουτσούρης Δημήτριος ) Καθηγητής Τσανάκας Παναγιώτης 3) Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Νικήτα Κωνσταντίνα

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. ΜΕΡΟΣ Α (Θεωρητικό υπόβαθρο) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων Γενικά...7. Είδη Κωδίκων...9. Block κώδικες. 9.. Γραμμικοί Block Κώδικες.4.. Γεννήτριες μήτρες και μήτρες ελέγχου ισοτιμίας (Generator matrix and parity check matrix) Κώδικες Hamming. 8.3 Αποκωδικοποίηση και Επίδοση Γραμμικών Block Κωδίκων Αποκωδικοποίηση ευέλικτης απόφασης Αποκωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης Ανίχνευση και διόρθωση σφάλματος. 7.4 Κυκλικοί κώδικες Διαδικασία κωδικοποίησης κυκλικού κώδικα Εντοπισμός σφαλμάτων με κυκλικούς κώδικες Διαδικασία διόρθωσης λαθών Shortened Cyclic Block Codes Burst-Error-correcting Cyclic Codes Συνδυασμός Κωδίκων. 44

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Μετάδοση της ιατρικής πληροφορίας Γενικά Εισαγωγή στην Μεταλλαγή Μετατόπισης Συχνότητας (Frequency Shift Keying, FSK) Αποδιαμόρφωση και ανίχνευση σημάτων FSK.50.3 Ο βέλτιστος ανιχνευτής για το δυαδικό FSK Πιθανότητα σφάλματος για μη σύμφωνη ανίχνευση FSK FSK συνεχούς φάσης (Continuous Phase FSK, CPFSK) 60.6 Φασματικά χαρακτηριστικά των σημάτων CPFSK..66 ΜΕΡΟΣ Β (Προσομοίωση - Αποτελέσματα) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : Περιγραφή της πειραματικής διάταξης και α- νάπτυξη προγραμμάτων σε Η/Υ Γενικά Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Δημιουργία της CRC λέξης Εισαγωγή στον Κυκλικό Έλεγχο Πλεονασμού (Cyclic Redundancy Check, CRC) Εφαρμογή του CRC στο block δεδομένων της ιατρικής πληροφορίας Κωδικοποίηση Forward Error Correction (FEC) του block της ιατρικής πληροφορίας Εισαγωγή στο Forward Error Correction (FEC) Εφαρμογή του FEC στο block δεδομένων της ιατρικής πληροφορίας Μετάδοση των block δεδομένων Ο πομποδέκτης ΧΕ Αναλυτική περιγραφή του πομποδέκτη ΧΕ Τυπικά εξωτερικά εξαρτήματα RF σήματα εισόδου / εξόδου.84

6 Προγραμματισμός του ΧΕ Ο καταχωρητής διαμόρφωσης Υπολογισμός παραμέτρων μετάδοσης Έλεγχος της CRC λέξης Διόρθωση της λέξης CRC Επανέλεγχος της CRC λέξης Διόρθωση όλων των λέξεων του block Προσομοίωση της επεξεργασίας και της μετάδοσης της ιατρικής πληροφορίας στο Matlab Υλοποίηση των συναρτήσεων fec, defec, crc, decrc Προσομοίωση της μετάδοσης CPFSK με τα modules του Simulink Προγράμματα υπολογισμού σφαλμάτων σε blocks, bits και λέξεις.07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Αποτελέσματα της προσομοίωσης Γενικά....8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Συμπεράσματα Γενικά.... ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ....34

7 Εισαγωγή Ο σκοπός της μεταπτυχιακής αυτής εργασίας, είναι η ανάλυση, όσον αφορά την πιθανότητα σφάλματος, ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος το οποίο μεταδίδει ιατρική πληροφορία, ασύρματα, μεταξύ δυο κόμβων ενός δικτύου ιατρικών αισθητήρων. Το δίκτυο αυτό περιλαμβάνει έναν επιβλέποντα κόμβο ο οποίος προωθεί τα δεδομένα που συλλέχθηκαν σε ένα σταθμό βάσης ο οποίος βρίσκεται σε ένα νοσοκομείο. Η μετάδοση της ιατρικής πληροφορίας επιτυγχάνεται με ένα πομποδέκτη ο οποίος είναι ενσωματωμένος σε όλους τους κόμβους του ασύρματου δικτύου. Χρησιμοποιείται ο ΧΕ09 πομποδέκτης της εταιρίας Xemics S.A. ο οποίος χρησιμοποιεί την διαμόρφωση -CPFSK ενώ η φέρουσα συχνότητα είναι τα 36,86 khz. Η επιλογή του συγκεκριμένου πομποδέκτη έγινε λόγω της χαμηλής κατανάλωσης ισχύος του καθώς και λόγω του ότι είναι κατάλληλος για την μετάδοση δεδομένων σε χαμηλές συχνότητες, και συνεπώς χωρίς να υπάρχει ανάγκη αδειοδότησης. Προτού, όμως, μεταδοθεί η ιατρική πληροφορία, λόγω της κρισιμότητας της φύσης της, θα πρέπει να γίνει μια κατάλληλη επεξεργασία ώστε να προστατευθεί από τον πανταχού παρών θόρυβο και να φτάσει αναλλοίωτη στο δέκτη. Η επεξεργασία της ιατρικής πληροφορίας περιλαμβάνει τον κυκλικό έλεγχο πλεονασμού (Cyclic Redundancy Check - CRC) και την εφαρμογή ενός σχήματος διόρθωσης λαθών (Forward Error Correction FEC). Η ιατρική πληροφορία πριν την είσοδό της στον κωδικοποιητή έχει ψηφιοποιηθεί (μετατρέπεται δηλαδή σε μια ακολουθία από bits). Τα bits της πληροφορίας, στη συνέχεια, ομαδοποιούνται σε «λέξεις» των 6 ψηφίων, ενώ 80 τέτοιες «λέξεις», με τη σειρά τους, συνενώνονται σε ένα «block» το οποίο αποτελεί και το στοιχειώδες πακέτο πληροφορίας προς μετάδοση. Στη συνέχεια της ανάλυσής μας θα θεωρούμε ότι ένα block έχει σταλεί σωστά όταν κανένα bit, σε οποιαδήποτε λέ-

8 Εισαγωγή ξη που περιέχει, δεν έχει μεταδοθεί λάθος. Έχουμε λοιπόν 80 λέξεις των 6 bit η καθεμία, να αποτελούν ένα block και ακολουθεί η επεξεργασία αυτού του block (κωδικοποίησή του) ώστε να «αντέχει» στις συνθήκες μετάδοσης και να φτάνει στον δέκτη, μετά από την αποκωδικοποίησή του, χωρίς σφάλμα. Στην εικόνα που ακολουθεί βλέπουμε το διάγραμμα του συστήματος το οποίο θα αναλύσουμε. Εικόνα Διάγραμμα του συστήματος επικοινωνίας προς μελέτη Η διαδικασία κωδικοποίησης περιλαμβάνει τον κυκλικό έλεγχο πλεονασμού (Cyclic Redundancy Check - CRC) και την εφαρμογή του σχήματος διόρθωσης λαθών (Forward Error Correction - FEC), όπως έχουμε ήδη αναφέρει και πιο πάνω. Κατά την διαδικασία υπολογισμού της κωδικής λέξης CRC ενός στοιχειώδους πακέτου πληροφορίας, το κάθε block υπόκειται σε μια κυκλική διαδικασία, έναν αλγόριθμο, τον οποίο και θα δούμε αναλυτικά σε επόμενο κεφάλαιο και στο τέλος της διαδικασίας αυτής δημιουργείται μια καινούρια λέξη των 6 bit, η οποία είναι χαρακτηριστική της ακολουθίας των 80 λέξεων του block και η οποία προστίθεται στο τέλος του block. Η λειτουργία της λέξης αυτής θα φανεί στην αποκωδικοποίηση του block, ενώ η χρησιμότητά της έγκειται στην γρηγορότερη αποκωδικοποίηση ενός σωστά μεταδιδόμενου block. Μετά από το CRC, λοιπόν, έχουμε ένα block το οποίο αποτελείται από 8 λέξεις των 6 bit. Το νέο block, υπόκειται, στη συνέχεια, σε ένα είδος κωδικοποίησης η οποία ονομάζεται Forward Error Correction (FEC). Κατά την διάρκεια της FEC σε κάθε κωδική λέξη προστίθενται 0 bits στο τέλος της (δηλαδή μετά τα 6 ψηφία της ιατρικής πληροφορίας). Η δομή του block, λοιπόν, πριν αυτό μεταδοθεί είναι 8 λέξεις των 6 bits η κάθε μια. Τα 0 τελευταία bits είναι χαρακτηριστικά για την κάθε λέξη, δημιουργούνται έπειτα από την εφαρμογή ενός αλγόριθμου σε κάθε λέξη ξεχωριστά και η χρησιμότητά τους θα φανεί κατά την αποκωδικοποίηση, όπου θα δούμε ότι με μια διαδικασία αντίστροφη από αυτή του υπολογισμού του FEC, γίνεται διόρθωση των λανθασμένων bits. Σχετικά με τις δυνατότητες διόρθωσης του χρησιμοποιούμενου σχήματος θα μιλήσουμε σε επόμενο κεφάλαιο. Ακολουθεί διαμόρφωση των bits από τον πομπό χρησιμοποιώντας το δυαδικό CPFSK, ασύρματη μετάδοση της ιατρικής πληροφορίας και αποδιαμόρφωση

9 Εισαγωγή 3 στον δέκτη ώστε στη συνέχεια, στην είσοδο του αποκωδικοποιητή, να εμφανίζεται ένα block το οποίο αποτελείται από 8 λέξεις των 6 bits η καθεμιά. Από τις 8 λέξεις των 6 bits, απομονώνονται τα 6 πρώτα bits, ώστε να έχουμε 8 λέξεις των 6 bits. Στη συνέχεια, ακολουθείται η διαδικασία CRC με τον ίδιο αλγόριθμο ο οποίος χρησιμοποιήθηκε και για την κωδικοποίηση, με τη διαφορά ότι αντί για την κυκλική εφαρμογή του αλγορίθμου 80 φορές και τον τελικό σχηματισμό μιας λέξης, αυτή η οποία προστέθηκε στο τέλος, τώρα εκτελείται κυκλικά ο αλγόριθμος 8 φορές και σε περίπτωση που έχει σταλεί σωστά, η λέξη που θα εμφανιστεί στο τέλος είναι η μηδενική (όλα, δηλαδή, τα bits θα είναι μηδέν). Στην περίπτωση αυτή, η διαδικασία αποκωδικοποίησης DEFEC παρακάμπτεται και η έξοδος του αποκωδικοποιητή είναι οι 80 λέξεις των 6 bits οι οποίες έχουν ληφθεί. Το γεγονός ότι ο έλεγχος CRC, προηγείται της διόρθωσης σφαλμάτων μέσω του αλγορίθμου FEC, συντελεί στην εξοικονόμηση χρόνου, υπολογιστικών πόρων και ενέργειας αφού, στην περίπτωση που ένα block έχει μεταδοθεί χωρίς σφάλματα δεν πραγματοποιείται η χρονοβόρα αποκωδικοποίηση DEFEC. Το συγκεκριμένο, όμως, σύστημά διαθέτει και την ικανότητα εντοπισμού και διόρθωσης ενός ορισμένου πλήθους και ειδών λαθών. Αν, συνεχίζοντας από την προηγούμενη παράγραφο, η λέξη που εμφανιστεί μετά από τον έλεγχο CRC ο ο- ποίος γίνεται, δεν είναι η μηδενική, άμεσο επακόλουθο είναι μία ή περισσότερες λέξεις στο block να έχουν σφάλμα σε ένα ή περισσότερα bits. Ο αλγόριθμος ο ο- ποίος εφαρμόζεται στη συνέχεια για την διόρθωση των λαθών, είναι διαφορετικός από αυτόν που χρησιμοποιήθηκε στην κωδικοποίηση και διορθώνει ξεχωριστά την κάθε μια από τις 80 λέξεις των 6 bits (η 8 η λέξη ήταν η πλεονάζουσα λέξη ελέγχου την οποία και παραλείπουμε). Σύμφωνα με τις δυνατότητες της μεθόδου FEC, είτε επιτυγχάνεται ο εντοπισμός και η διόρθωση του σφάλματος, είτε κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό και η πληροφορία, ενώ θεωρείται αληθινή, στην πραγματικότητα δεν ήταν εφικτό να διορθωθεί και κατά συνέπεια δημιουργείται σφάλμα. Ο λόγος για τον οποίο επιλέχθηκε η κωδικοποίηση FEC, είναι λόγω τις ικανότητάς της στην διόρθωση ριπών σφαλμάτων, και τα σφάλματα στην πραγματικότητα, συμβαίνουν με αυτόν ακριβώς τον τρόπο. Ας δούμε, όμως, αναλυτικά το περιεχόμενο των κεφαλαίων της συγκεκριμένης μεταπτυχιακής εργασίας. Η εργασία χωρίζεται σε δύο μέρη. στο πρώτο, το οποίο αποτελείται από δύο κεφάλαια, έχουμε την παρουσίαση του θεωρητικού υπόβαθρου πάνω στο οποίο στηριχθήκαμε για την περαιτέρω ανάλυσή μας, ενώ στο δεύτερο, το οποίο αποτελείται από τρία κεφάλαια αναπτύσσουμε την προσομοίωση την οποία έγινε, τα α- ποτελέσματά της και τα συμπεράσματα στα οποία καταλήξαμε.

10 Εισαγωγή 4 Πιο αναλυτικά, στο ο κεφάλαιο, θα δούμε τα είδη κωδίκων που υπάρχουν ενώ θα εστιάσουμε πάνω σε ένα από αυτά, στους block κώδικες. Θα αναφερθούμε στους γραμμικούς block κώδικες και θα δείξουμε ένα παράδειγμα τέτοιων κωδίκων, τους κώδικες Hamming. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την αποκωδικοποίηση και επίδοση των γραμμικών block κωδίκων δίνοντας βαρύτητα στα κριτήρια ευέλικτης και άκαμπτης απόφασης και θα ολοκληρώσουμε την ανάλυσή τους με την μελέτη της ικανότητας ανίχνευσης και διόρθωσης σφάλματος την οποία έχουν. Θα ακολουθήσει η μελέτη των κυκλικών κωδίκων (υποπερίπτωση των γραμμικών block κωδίκων), στους οποίους ανήκουν τόσο το CRC όσο και το FEC, αφού πρώτα αναφερθούμε γενικά στην διαδικασία κωδικοποίησης, στον εντοπισμό και τη διόρθωση των σφαλμάτων. Θα αναφερθούμε λεπτομερώς στους Shortened Cyclic Block Codes και θα ολοκληρώσουμε το κεφάλαιο με την αναλυτική περιγραφή των Burst-Error-correcting Cyclic Codes και μιας τεχνικής η οποία ονομάζεται συνδυασμός κωδίκων. Το ο κεφάλαιο, πραγματεύεται την μετάδοση της ιατρικής πληροφορίας. Αρχικά, παρουσιάζεται μια εισαγωγή στην μεταλλαγή μετατόπισης συχνότητας (Frequency Shift Keying FSK), ενώ στη συνέχεια εξετάζεται η αποδιαμόρφωση και ανίχνευση σημάτων FSK. Ακολουθεί η ανάλυση του βέλτιστου ανιχνευτή, για το δυαδικό FSK, ενώ παρατίθεται και ο τρόπος υπολογισμού της πιθανότητας σφάλματος για μη σύμφωνη ανίχνευση του FSK. Έχοντας εξασφαλίσει το απαραίτητο υπόβαθρο, η διαμόρφωση FSK συνεχούς φάσης (Continuous Phase FSK CPFSK), είναι το αντικείμενο το οποίο έπεται, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζουμε τα φασματικά χαρακτηριστικά των σημάτων CPFSK. Στο 3 ο κεφάλαιο, έχουμε την περιγραφή της πειραματικής διάταξης, του τρόπου λειτουργίας της και την ανάπτυξη προγραμμάτων σε Η/Υ. Αρχικά, παρατίθεται block διάγραμμα της διαδικασίας μετάδοσης και ακολουθεί η ανάλυση καθενός από τα στάδιά της. Έτσι, περιγράφουμε τον τρόπο δημιουργίας της CRC λέξης, αφού πρώτα κάνουμε μια εισαγωγή στον Κυκλικό Έλεγχο Πλεονασμού (Cyclic Redundancy Check CRC). Έπειτα, αναλύουμε την κωδικοποίηση Forward Error Correction (FEC) και την εφαρμογή της στην μετάδοση του block δεδομένων της ιατρικής πληροφορίας. Ακολουθεί η περιγραφή του πομποδέκτη που χρησιμοποιείται, και γίνεται υπολογισμός των παραμέτρων μετάδοσης. Έχοντας ολοκληρώσει την περιγραφή του τμήματος της μετάδοσης, θα εξετάσουμε, ακολούθως, την διαδικασία λήψης του block. Θα περιγράψουμε τον τρόπο ελέγχου της CRC λέξης, την διόρθωσή της, καθώς και την διόρθωση όλων των λέξεων του block. Το τελευταίο μέρος του κεφαλαίο, πραγματεύεται την προσομοίωση της επεξεργασίας και της μετάδοσης της ιατρικής πληροφορίας στο Matlab με την υλοποίηση των συναρτήσεων fec, defec, crc, decrc και την χρήση για την προσομοίωση της μετάδοσης

11 Εισαγωγή 5 CPFSK των modules του Simulink. Θα παρατεθούν τα προγράμματα υπολογισμού σφαλμάτων σε blocks, bits και λέξεις που δημιουργήθηκαν και θα αναλυθεί η λειτουργία τους. Το 4 ο κεφάλαιο, είναι το σημείο παράθεσης των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης, ενώ τέλος, στο 5 ο κεφάλαιο, θα κλείσουμε με την απαρίθμηση των συμπερασμάτων της μελέτης του συγκεκριμένου συστήματος επικοινωνίας με την βοήθεια γραφημάτων. Ας δούμε, λοιπόν, αναλυτικά το καθένα.

12 ΜΕΡΟΣ Α (ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ) Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων Κεφάλαιο ο Μετάδοση της ιατρικής πληροφορίας

13 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων Γενικά Με την ραγδαία αύξηση του πλήθους και της πολυπλοκότητας των τηλεπικοινωνιακών διατάξεων, καθώς και λόγω της ανάγκης μετάδοσης της πληροφορίας σε μεγάλες αποστάσεις και σε έντονα "θορυβώδες" περιβάλλον, παρουσιάστηκε η ταυτόχρονη ανάγκη για αύξηση της πιθανότητας μετάδοσής της. Ακόμη, η εγγενής κρισιμότητα της φύσης της πληροφορίας (π.χ. ιατρικό σήμα) απαίτησε την χρησιμοποίηση είτε υπηρεσιών οι οποίες στερούνται λαθών είτε κάποιων ειδών αλγορίθμων, οι οποίοι εντοπίζουν τα λάθη ή ακόμη καλύτερα έχουν την δυνατότητα να τα διορθώσουν. Οι τελευταίοι, αποτελούν βέβαια και την καλύτερη λύση, αφού συνδυάζουν τον εντοπισμό με την διόρθωση λαθών, η επιλογή, όμως, του αλγόριθμου που θα χρησιμοποιηθεί είναι ένας συμβιβασμός ανάμεσα στην πολυπλοκότητα του, και συνεπώς και στην απαίτησή του σε χρονική διάρκεια, και στην αποτελεσματικότητά του. Η εξέλιξη στο πεδίο των αλγορίθμων διόρθωσης σφαλμάτων, είναι το ίδιο ραγδαία με την εξέλιξη των τηλεπικοινωνιακών διατάξεων. Έχουν αναπτυχθεί αρκετοί ισχυροί κώδικες, η διαδικασία αποκωδικοποίησης των οποίων μπορεί να υλοποιηθεί με σχετικά περιορισμένο σε έκταση και πολυπλοκότητα hardware. Το block διάγραμμα, ενός στοιχειώδους ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας, φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.. Η πηγή πληροφορίας παρέχει δυαδικά ψηφία. Ο κωδικοποιητής μετατρέπει αυτά τα ψηφία και στη συνέχεια ο διαμορφωτής τα μετασχηματίζει σε σήματα τα οποία είναι ικανά να μεταδοθούν στο κανάλι. Εισερχόμενα στο κανάλι τα σήματα αυτά διαταράσσονται από το θόρυβο και στη συνέχεια εισέρχονται στον αποδιαμορφωτή, αποδιαμορφώνονται και περνούν στον

14 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 8 αποκωδικοποιητή, ο οποίος και παίρνει την απόφαση σχετικά με το ποίο σήμα στάλθηκε και το προωθεί στην έξοδό του. Εικόνα. Block διάγραμμα ενός στοιχειώδους συστήματος επικοινωνίας Σε ένα ιδανικό σύστημα η πληροφορία, μετά την κωδικοποίηση, διαμόρφωση και μετάδοση, λήψη, αποδιαμόρφωση και αποκωδικοποίηση, θα παρέμενε ίδια με αυτή που στάλθηκε. Στην πράξη όμως δεν συμβαίνει αυτό. Στο κανάλι ενυπάρχει "θόρυβος" ο οποίος και παραποιεί το σήμα που στέλνουμε, έτσι ώστε να λαμβάνουμε πολλές φορές εντελώς διαφορετική πληροφορία από αυτήν που στείλαμε. Ένας από τους σκοπούς των κωδίκων, είναι να εντοπίζουν και σε πολλές περιπτώσεις να διορθώνουν, τα σφάλματα που προκαλεί στο σήμα της πληροφορίας ο "θόρυβος". Οι κώδικες, γενικά, δεν μπορούν να διορθώσουν οποιοδήποτε πιθανό σφάλμα που μπορεί να προκληθεί. Κατασκευάζονται έτσι ώστε να μπορούν να διορθώσουν μόνο τα μοτίβα λαθών τα οποία είναι πιο πιθανό να συμβούν. Δύο από τους τρόπους με τους οποίους εμφανίζονται τα λάθη είναι σε ριπές λαθών ή μεμονωμένα. Θα ασχοληθούμε αργότερα, πιο αναλυτικά, με μια μέθοδο διόρθωσης ριπών λαθών. Υπάρχουν δύο ειδών κανάλια μετάδοσης. Τα αμφίδρομα κανάλια, στα οποία μπορεί και ο δέκτης να μεταδίδει πληροφορία στον πομπό, και τα μονόδρομα κανάλια στα οποία η μετάδοση αυτή δεν είναι εφικτή. Στα αμφίδρομα κανάλια, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούνται κώδικες εντοπισμού του σφάλματος, ώστε σε περίπτωση που συμβεί ένα σφάλμα να σταλεί ένα μήνυμα αίτησης επανάληψης της εκπομπής της πληροφορίας από τον δέκτη στον πομπό και να έχουμε έτσι επικοινωνία χωρίς απώλεια πληροφορίας. Το όφελος από την χρησιμοποίηση κωδίκων αποκάλυψης λαθών (όπου αυτό είναι βέβαια εφικτό, όπως στα αμφίδρομα κανάλια) και όχι κωδίκων διόρθωσης λαθών, είναι ότι απαιτούν πολύ μικρότερη πολυπλοκότητα στα συστήματα λήψης. Όταν, όμως, α- παιτείται καλύτερη απόδοση σε ένα σύστημα επικοινωνίας, η χρησιμοποίηση και των δύο μεθόδων (εντοπισμού και διόρθωσης σφάλματος) είναι απαραίτητη. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τα είδη των κωδίκων που υπάρχουν, καθώς και τους αλγορίθμους που αυτοί χρησιμοποιούν, για τον εντοπισμό και την διόρθωση σφαλμάτων.

15 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 9. Είδη Κωδίκων, [5] Υπάρχουν δύο θεμελιώδη είδη κωδίκων. Οι block κώδικες και οι tree κώδικες. Οι block κώδικες ομαδοποιούν τη συνεχόμενη ακολουθία των bits της πληροφορίας, τα οποία εισέρχονται στον κωδικοποιητή, σε κομμάτια ή block k- συμβόλων. Στη συνέχεια, λειτουργούν, ανάλογα με τον κώδικα, πάνω σε αυτά τα block ξεχωριστά. Σε κάθε πιθανό block πληροφορίας k-συμβόλων αντιστοιχίζεται ένα block το οποίο αποτελείται από n κωδικά σύμβολα, όπου n>k. Το αποτέλεσμα, το οποίο από εδώ και στο εξής θα ονομάζεται κωδική λέξη, μεταδίδεται, μεταβάλλεται από τον θόρυβο και αποκωδικοποιείται στον δέκτη ανεξάρτητα από όλες τις άλλες κωδικές λέξεις. Το n ονομάζεται μήκος του κώδικα ή αλλιώς block length. Οι tree κώδικες, από την άλλη, χρησιμοποιούν την ακολουθία της πληροφορίας χωρίς να την κατατμήσουν όπως οι block κώδικες σε ανεξάρτητα κομμάτια. Ο κωδικοποιητής επεξεργάζεται την πληροφορία συνεχόμενα και συσχετίζει κάθε ένα μεγάλο τμήμα της με μια κωδική ακολουθία, η οποία περιέχει περισσότερα ψηφία. Το όνομά τους το πήραν από το γεγονός ότι οι κανόνες κωδικοποίησής τους μπορούν να περιγραφούν με ένα διάγραμμα δέντρου. Δεν θα ασχοληθούμε περισσότερο με αυτούς τους κώδικες, μιας και δεν αποτελούν τμήμα της προσπάθειας ανάλυσης του συστήματος το οποίο πραγματεύεται η συγκεκριμένη εργασία.. Block κώδικες, [5] Όπως αναφέραμε και πιο πάνω, οι block κώδικες ομαδοποιούν τη συνεχόμενη ακολουθία των bits της πληροφορίας, τα οποία εισέρχονται στον κωδικοποιητη, σε block k συμβόλων. Block κώδικας, ονομάζεται ένα σύνολο από Μ ακολουθίες συμβόλων μήκους n. Έστω q, ο αριθμός των διακριτών συμβόλων πληροφορίας (στην περίπτωση της δυαδικής μετάδοσης πληροφορίας q=). Οι ακολουθίες αυτές, συμβόλων μήκους n, q διακριτών συμβόλων, ονομάζονται κωδικές λέξεις του κώδικα. Ο αριθμός των κωδικών λέξεων είναι μια δύναμη του q, είναι δηλαδή Μ=q m. Στον δέκτη, ακολούθως, λαμβάνεται μια απόφαση, με βάση την πληροφορία από το ληφθέν n-διάστατο πολυώνυμο, σχετικά με την κωδική λέξη που μεταδόθηκε. Αυτή η απόφαση είναι μια στατιστική απόφαση, είναι μια απόφαση που από την φύση της χρησιμοποιεί ως βάση την πληροφορία που είναι διαθέσιμη και κατά συνέπεια δεν μπορεί να είναι αλάνθαστη. Με την χρήση του κατάλληλου κώδικα, η πιθανότητα μιας λανθασμένης απόφασης είναι συνήθως πολύ μικρότερη

16 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 0 από την πιθανότητα που υπήρχε αρχικά, στα σύμβολα εισόδου στο κανάλι, να α- ναπαραχθούν χωρίς λάθος στην έξοδο του καναλιού. Η διαδικασία απόφασης, μπορεί να οριστεί μαθηματικά από έναν πίνακα α- ποκωδικοποίησης, όπως τον πίνακα. που βλέπουμε πιο κάτω. Οι κωδικές λέξεις αποτελούν την πρώτη σειρά του πίνακα. Όταν λαμβάνεται μια κωδική λέξη, είναι λογικό να θεωρούμε ότι η ίδια κωδική λέξη είναι και αυτή που στάλθηκε. Η απόφαση του δέκτη για άλλες πιθανές ληφθείσες λέξεις περιγράφεται παραθέτοντας κάτω από κάθε μια κωδική λέξη, τις ληφθείσες λέξεις οι οποίες θα αποκωδικοποιηθούν σε αυτήν. Έτσι κάθε μια από τις πιθανές να ληφθούν λέξεις, εμφανίζεται μόνο μια φορά στον πίνακα αποκωδικοποίησης. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέσσερα πιθανά μηνύματα a, b, c και d και ότι το μήνυμα μεταδίδεται χρησιμοποιώντας έναν δυαδικό block κώδικα με μήκος πέντε. Στη συνέχεια, τέσσερις κωδικές λέξεις πρέπει να επιλεγούν, έστω 000 για το a, 000 για το b, 00 για το c και 00 για το d. Η απόφαση του δέκτη πρέπει να περιγραφεί για κάθε μια από τις 5 =3 πιθανές ληφθείσες λέξεις. Ένα παράδειγμα για το πώς μπορεί να γίνει αυτό φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Κωδικές Λέξεις Άλλες Ληφθήσες Λέξεις Πίνακας. Πίνακας αποκωδικοποίησης για έναν δυαδικό κώδικα με q=k= και n=5 Οι κανόνες κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης, οι οποίοι φαίνονται στον πίνακα., αποκωδικοποιούν σωστά μια λέξη η οποία δεν θα έχει περισσότερα από ένα λάθη, δηλαδή περισσότερα από ένα αλλαγμένα σύμβολα, μια και κάθε μια από τις πέντε λέξεις οι οποίες θα είχαν ως αποτέλεσμα ένα μοναδικό λάθος βρίσκονται κάτω από κάθε μια κωδική λέξη (ανάμεσα στην συνεχόμενη και την διακεκομμένη γραμμή). Όμως, δεν αποκωδικοποιούνται σωστά όλα τα μοτίβα λαθών. Για παράδειγμα, εάν μεταδοθεί το 000 και συμβούν δύο λάθη οδηγώντας έστω στο 0 η λέξη θα αποκωδικοποιηθεί σωστά γιατί το 0 είναι στην στήλη κάτω από το 000 στον πίνακα.. Όμως, αν σε άλλη περίπτωση τα δύο λάθη έχουν σαν αποτέλεσμα να λάβουμε την 0, θα αποκωδικοποιηθεί λανθασμένα σε 00, επειδή το 0 είναι στην στήλη κάτω από το 00.

17 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων Σε μερικές περιπτώσεις, είναι δυνατό ο αποκωδικοποιητής να είναι σε θέση να δηλώσει απλά ότι υπάρχει λάθος στην κωδική λέξη που λήφθηκε χωρίς όμως να μπορεί να υποδείξει ποια ήταν η κωδική λέξη που εστάλη. Αυτό μπορεί να πάρει την μορφή ενός συστήματος εντοπισμού λαθών, στο οποίο ο αποκωδικοποιητής δίνει το σήμα ότι υπάρχει λάθος αλλά δεν πράττει τίποτε πιο πέρα εκτός και αν ληφθεί μια κωδική λέξη. Επιπρόσθετα, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, μπορεί να συνδυαστεί ο εντοπισμός λάθους με την διόρθωση σφαλμάτων. Για παράδειγμα, για τον κώδικα ο οποίος φαίνεται στον πίνακα., κάθε ληφθείσα λέξη πάνω από την διακεκομμένη γραμμή μπορεί να αποκωδικοποιηθεί στην κωδική λέξη στην κορυφή της στήλης, αλλά ο αποκωδικοποιητής δεν θα μπορέσει να εντοπίσει λάθη για τις λέξεις που λαμβάνονται κάτω από αυτή τη γραμμή. Αυτό αντιστοιχεί σε διόρθωση μοναδικού λάθους με εντοπισμό μερικών συνδυασμών δύο ή περισσότερων λαθών. Θέλοντας να προβλέψουμε την απόδοση ενός κώδικα, είναι απαραίτητο να έχουμε ακριβείς πληροφορίες σχετικά με το κανάλι. Αν και τα περισσότερα πραγματικά τηλεπικοινωνιακά κανάλια δεν μπορούν να παρασταθούν με ακρίβεια από το δυαδικό συμμετρικό κανάλι (Binary Symmetric Channel, BSC) το οποίο φαίνεται στην εικόνα., αυτή είναι η θεώρηση του καναλιού που χρησιμοποιείται ευρέως. Για αυτό το δυαδικό συμμετρικό κανάλι, η πιθανότητα να ληφθεί το ίδιο σύμβολο με αυτό που στάλθηκε είναι Q. Υποτίθεται ότι Q>P και ότι το κάθε σύμβολο είναι ανεξάρτητο από όλα τα άλλα (ένα τέτοιο κανάλι λέγεται κανάλι δίχως μνήμη). Εννοείται ότι ένα τέτοιο κανάλι συμπεριλαμβάνει και τον διαμορφωτή και τον αποδιαμορφωτή ενός τυπικού επικοινωνιακού συστήματος το οποίο είδαμε προηγουμένως. Εικόνα. Το δυαδικό συμμετρικό κανάλι (BSC) Ένα άλλο ιδανικό κανάλι, το οποίο έχει μελετηθεί ευρέως, είναι το δυαδικό erasure κανάλι το οποίο φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.3. Για αυτό το κανάλι, η πιθανότητα να ληφθεί το ίδιο δυαδικό ψηφίο το οποίο στάλθηκε είναι Q. Η πιθανότητα να σβηστεί ένα σύμβολο που μεταδόθηκε είναι P=-Q. (Το σβήσιμο συμβολίζεται με το Χ). Τα δυαδικά σύμβολα θεωρούνται ότι επηρεάζονται ανεξάρτητα. Σημειώστε ότι με αυτό το κανάλι, οι τοποθεσίες των αλλαγμένων συμβόλων είναι

18 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων γνωστές, και αυτό το γεγονός κάνει τις διορθώσεις των σβησιμάτων πιο εύκολες από τις διορθώσεις των λαθών. Γενικεύσεις αυτού του erasure καναλιού περιλαμβάνουν ένα μη δυαδικό erasure κανάλι και ένα κανάλι και με σβησίματα και με λάθη. Το erasure κανάλι είναι μια εξιδανίκευση ενός συστήματος στο οποίο ο αποδιαμορφωτής της εικόνας. είναι σχεδιασμένος ώστε να παραδίδει ένα σύμβολο σβησίματος (Χ) παρά ένα ή 0 σε περιπτώσεις αμφισβήτησης. Εικόνα.3 Το δυαδικό erasure κανάλι Τώρα, ας θεωρήσουμε ένα δυαδικό συμμετρικό κανάλι και ότι μεταδίδεται σε αυτό μια συγκεκριμένη δυαδική κωδική λέξη. Η πιθανότητα ώστε να μην συμβεί κάποιο σφάλμα είναι Q n. Η πιθανότητα να συμβεί ένα λάθος σε μια συγκεκριμένη θέση είναι PQ n-. Η πιθανότητα μιας συγκεκριμένης λέξης που λήφθηκε να διαφέρει από την λέξη που μεταδόθηκε σε i θέσεις είναι P i Q n-. Μια και Q>P, το ληφθέν block έχει τις περισσότερες πιθανότητες να μην έχει λάθη. Οποιαδήποτε ληφθείσα λέξη με ένα λάθος είναι πολύ πιο πιθανή από μια λέξη η οποία θα έχει δύο ή περισσότερα λάθη, και ούτω καθεξής. Σε αυτή την περίπτωση, με την υπόθεση ότι όλες οι κωδικές λέξεις είναι εξίσου πιθανό να μεταδοθούν, η καλύτερη απόφαση στον δέκτη θα είναι πάντα να αποκωδικοποιεί την κάθε λέξη που λαμβάνει στην κωδική λέξη η οποία διαφέρει στις λιγότερες θέσεις με την ληφθείσα. Αυτή η αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας, όπως αυτή καλείται, μπορεί να γενικευτεί σε μη δυαδικό κανάλι χωρίς μνήμη. Με την προϋπόθεση ότι έχουμε ένα δυαδικό συμμετρικό κανάλι, η πιθανότητα της σωστής αποκωδικοποίησης μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τρόπο για τον κώδικα του πίνακα.. Έστω ότι στάλθηκε η λέξη 000. Θα αποκωδικοποιηθεί σωστά αν ληφθεί οποιαδήποτε λέξη στην στήλη της. Μια από αυτές τις λέξεις δεν διαφέρει σε καμία θέση, πέντε από αυτές διαφέρουν σε μια θέση και δύο από αυτές διαφέρουν σε δύο θέσεις. Η πιθανότητα σωστής αποκωδικοποίησης είναι τότε, P(σωστής αποκωδικοποίησης)=ρ 0 Q 5 +5P Q 4 +P Q 3 (.) Παρόμοιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν και για τις άλλες κωδικές λέξεις.

19 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 3 Εάν αυτός ο κώδικας χρησιμοποιείται μόνο για εντοπισμό σφάλματος, η πιθανότητα σωστής λήψης είναι Q 5. Η πιθανότητα ενός μη αντιληπτού λάθους, στην περίπτωση που έχει μεταδοθεί το 000 είναι η πιθανότητα να ληφθεί μια άλλη κωδική λέξη όταν έχει αποσταλεί η λέξη 000. Μια και μια κωδική λέξη διαφέρει σε τέσσερις θέσεις και οι άλλες δύο σε τρεις θέσεις η κάθε μια, P(μη αντιληπτό λάθος)=ρ 4 Q+P 3 Q (.) Η έννοια της απόστασης Hamming είναι χρήσιμη στην μελέτη της ικανότητας διόρθωσης σφαλμάτων των κωδικών. Η απόσταση Hamming, ανάμεσα σε δύο λέξεις, ορίζεται ως ο αριθμός των θέσεων στις οποίες διαφέρουν οι δύο λέξεις. Έ- τσι, ένα μοναδικό σφάλμα αντιστοιχεί σε απόσταση Hamming ίση με ανάμεσα στην λέξη που στάλθηκε και στην λέξη που λήφθηκε. Αν ένας κώδικας χρησιμοποιείται μόνο για εντοπισμό λαθών και πρέπει να εντοπίζει όλα τα μοτίβα d- ή λιγότερων λαθών, είναι απαραίτητο και επαρκεί η ελάχιστη απόσταση Hamming α- νάμεσα στις κωδικές λέξεις να είναι d. Γιατί, εάν η ελάχιστη απόσταση είναι d, κανένα μοτίβο με d- λάθη δεν μπορεί να αλλάξει μια κωδική λέξη σε μια άλλη, ενώ εάν η ελάχιστη απόσταση Hamming είναι d- ή μικρότερη, υπάρχει κάποιο ζευγάρι λέξεων με απόσταση μικρότερη από d μεταξύ τους και υπάρχει ένα μοτίβο με λιγότερα από d λάθη το οποίο θα μπορεί να οδηγήσει από την μια στην άλλη. Παρομοίως, είναι πιθανό να αποκωδικοποιήσουμε με τέτοιον τρόπο ώστε να μπορούμε να διορθώσουμε όλα τα μοτίβα με t ή λιγότερα λάθη αν και μόνο αν η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις κωδικές λέξεις είναι τουλάχιστο t+. Τότε ο- ποιαδήποτε ληφθείσα λέξη, με t t λάθη, διαφέρει από την κωδική λέξη που μεταδόθηκε σε t σύμβολα, αλλά από οποιαδήποτε άλλη κωδική λέξη σε τουλάχιστο t+-t >t σύμβολα. Στον αντίποδα, εάν η ελάχιστη απόσταση είναι μικρότερη, υπάρχει τουλάχιστον μια περίπτωση όπου ένα σφάλμα μήκους t, έχει ως αποτέλεσμα μια ληφθείσα λέξη τουλάχιστο τόσο κοντά σε μια κωδική λέξη όσο και η κωδική λέξη που μεταδόθηκε. Τέλος, μπορεί να δειχθεί ότι είναι πιθανό να αποκωδικοποιήσουμε με έναν τέτοιο τρόπο ώστε να διορθώσουμε όλους τους συνδυασμούς από t ή λιγότερα λάθη και ταυτόχρονα να εντοπίσουμε όλους τους συνδυασμούς από d ή λιγότερα λάθη (d t) αν και μόνο αν η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις κωδικές λέξεις είναι t+d+. Έκτος από την εφαρμογή τους σε τηλεπικοινωνιακά συστήματα, οι block κώδικες βρίσκουν εφαρμογή και σε αρκετές άλλες επιστημονικές περιοχές. Αποτελούν την βάση για τον πίνακα μεταγωγής καταμερισμού φορτίου, ο οποίος δεν είναι απλώς πιο αποδοτικός από τα συμβατικά συστήματα διευθυνσιοδότησης μνήμης, αλλά κάνει και κάποια αυτόματη διόρθωση σε περιπτώσεις βλαβών των εξαρ-

20 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 4 τημάτων. Έχουν, επίσης, προταθεί για χρήση σε συστήματα ανάκτησης εγγράφων, για συμπίεση δεδομένων και κατασκευή υπολογιστών ανθεκτικών σε σφάλματα... Γραμμικοί Μπλοκ Κώδικες, [6] Ένας δυαδικός μπλοκ κώδικας (n, k), ορίζεται πλήρως από Μ= k δυαδικές ακολουθίες μήκους n που ονομάζονται κωδικές λέξεις. Ένας κώδικας C, συνίσταται από M κωδικές λέξεις c i με i k. C={c, c,, c M } (.3) όπου c i είναι μια ακολουθία μήκους n με όρους που παίρνουν τιμές 0 ή. Ορισμός. Ένας μπλοκ κώδικας είναι γραμμικός, αν κάθε γραμμικός συνδυασμός δύο κωδικών λέξεων είναι επίσης μια κωδική λέξη. Στη δυαδική περίπτωση αυτή η απαίτηση σημαίνει ότι αν c i και c j είναι κωδικές λέξεις τότε c i c j είναι επίσης μια κωδική λέξη, όπου συμβολίζει πρόσθεση modulo- των συντεταγμένων των δύο διανυσμάτων. Με τον ορισμό αυτό, βλέπουμε ότι ένας γραμμικός κώδικας είναι ένας k- διάστατος υποχώρος του n-διάστατου χώρου. Είναι ακόμη προφανές ότι, η ακολουθία 0, που όλες οι συντεταγμένες της είναι μηδέν, είναι κωδική λέξη κάθε γραμμικού κώδικα γιατί για κάθε κωδική λέξη c i ισχύει c i c j =0. Σημειώστε ότι σύμφωνα με τον πιο πάνω ορισμό η γραμμικότητα ενός κώδικα εξαρτάται μόνο από τις κωδικές λέξεις και όχι από τον τρόπο με τον οποίο οι ακολουθίες πληροφορίας αντιστοιχίζονται στις κωδικές λέξεις. Αλλά είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι αν η ακολουθία πληροφορίας u (μήκους k) αντιστοιχίζεται στην κωδική λέξη c (μήκους n) και η ακολουθία πληροφορίας u αντιστοιχίζεται στην κωδική λέξη c, τότε η u u αντιστοιχίζεται στην c c. Στο εξής, θα υποθέτουμε ότι οι γραμμικοί κώδικες που μελετούμε έχουν την ιδιότητα αυτή. Σαν παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε έναν κώδικα (5, ) ο οποίος ορίζεται ως εξής C=(00000, 000, 00, ) Είναι πολύ εύκολο να δούμε ότι ο κώδικας αυτός είναι γραμμικός. Αν η α- ντιστοιχία μεταξύ των ακολουθιών πληροφορίας και κωδικών λέξεων είναι η ιδιότητα που συζητήσαμε προηγουμένως ισχύει. Αν η αντιστοιχία είναι

21 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων η ιδιότητα δεν ισχύει. Αλλά, και στις δύο περιπτώσεις ο κώδικας είναι γραμμικός. Τώρα θα ορίσουμε τις βασικές παραμέτρους που χαρακτηρίζουν έναν κώδικα. Ορισμός. Η απόσταση Hamming μεταξύ δύο κωδικών λέξεων, c i και c j, είναι ο αριθμός των συντεταγμένων στις οποίες οι δύο κωδικές λέξεις διαφέρουν και συμβολίζεται με d(c i, c j ). Ορισμός.3 Το βάρος Hamming ή απλά βάρος μιας κωδικής λέξης c i, είναι ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων μιας κωδικής λέξης και συμβολίζεται με w(c i ). Ορισμός.4 Η ελάχιστη απόσταση ενός κώδικα, είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών κωδικών λέξεων, δηλαδή, d min =min{d(c i, c j )}, όπου i j, c i, c j Ορισμός.5 Το ελάχιστο βάρος ενός κώδικα, είναι το ελάχιστο βάρος των κωδικών λέξεων με εξαίρεση την κωδική λέξη 0, w min =min{w(c i )}, όπου c i 0 Ορισμός.6 Σε κάθε γραμμικό κώδικα, d min =w min.. Γεννήτριες μήτρες και μήτρες ελέγχου ισοτιμίας (Generator matrix and parity check matrix), [5] Σε ένα γραμμικό κώδικα, ας συμβολίσουμε τις κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν στις ακολουθίες πληροφορίας e =(000 0), e =(000 0), e 3 =(000 0),, e k =(0000 ) ως g, g, g 3,, g k αντίστοιχα, όπου κάθε μια από τις ακολουθίες g i είναι δυαδική μήκους n. Παρατηρούμε ότι κάθε ακολουθία x=(x, x, x 3,, x k ) ψηφίων πληροφορίας μπορεί να γραφεί ως n x = e (.4) i = και επομένως η αντίστοιχη κωδική λέξη θα είναι n i = x i i c = g (.5) Αν ορίσουμε τη γεννήτρια μήτρα του κώδικα αυτού ως x i i

22 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 6 g g g L gn g = g g L gn G = (.6) M M M O M gk gk gk L gkn τότε μπορούμε να γράψουμε c=xg (.7) Έτσι, βλέπουμε ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός των γραμμών της γεννήτριας μήτρας είναι μια κωδική λέξη. Η γεννήτρια μήτρα, για κάθε γραμμικό μπλοκ κώδικα, είναι μια kxn μήτρα βαθμού k (γιατί εξ ορισμού, η διάσταση του υποχώρου είναι k). Η γεννήτρια μήτρα του κώδικα περιγράφει πλήρως τον κώδικα. Όταν δίδεται η γεννήτρια, η κατασκευή του κωδικοποιητή είναι πολύ απλή. Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να βρεθεί η γεννήτρια μήτρα για τον πρώτο κώδικα που δόθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα. Πρέπει να βρούμε τις κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν στις ακολουθίες πληροφορίας (0) και (0). Αυτές είναι αντίστοιχα (000) και (00). Έτσι, 000 G = (.8) 0 Βλέπουμε ότι στην ακολουθία πληροφορίας (x, x ) αντιστοιχεί η κωδική λέξη ή ( x c, c, c, c, c ) = ( x, )G (.9) c 3 c c c c = x 4 5 = x = x = x = x x (.0) Ο προηγούμενος κώδικας έχει την ιδιότητα ότι, η κωδική λέξη που αντιστοιχεί σε κάθε ακολουθία πληροφορίας, έχει σαν πρώτα της ψηφία την ίδια την ακολουθία πληροφορίας και κατόπιν ακολουθούν μερικά επιπλέον ψηφία. Ένας τέτοιος κώδικας ονομάζεται συστηματικός, και τα επιπλέον ψηφία, που ακολουθούν την ακολουθία πληροφορίας στην κωδική λέξη, ονομάζονται ψηφία ελέγχου ισοτιμίας (parity check bits). Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας κώδικας συστηματικός, είναι η γεννήτρια μήτρα του να έχει τη μορφή [ I P] G = (.) όπου I k είναι μια kxk μοναδιαία μήτρα και P είναι μια kx(n-k) δυαδική μήτρα. Σε ένα συστηματικό κώδικα, έχουμε k

23 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 7 xi = k c pjix j j = i k k + i όπου όλα τα αθροίσματα είναι modulo-. i n (.) Εξ ορισμού, ένας γραμμικός μπλοκ κώδικας C είναι ένα k-διάστατος γραμμικός υποχώρος του n-διάστατου χώρου. Γνωρίζουμε από τη γραμμική άλγεβρα, ότι το σύνολο των ακολουθιών μήκους n, που είναι ορθογώνιες σε όλα τα διανύσματα αυτού του k-διάστατου χώρου, αποτελούν έναν (n-k)-διάστατο γραμμικό υποχώρο που ονομάζεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του k-διάστατου υποχώρου. Αυτός ο (n-k)-διάστατος υποχώρος, ορίζει έναν (n, n-k) γραμμικό κώδικα, που ονομάζεται δίδυμος (dual) του αρχικού (n, k) κώδικα C. Ο δίδυμος κώδικας συμβολίζεται ως C Τ. Προφανώς, οι κωδικές λέξεις του αρχικού κώδικα C είναι ορθογώνιες με όλες τις κωδικές λέξεις του δίδυμου κώδικα C Τ. Αν συμβολίσουμε τη γεννήτρια μήτρα του δίδυμου κώδικα, που είναι μια (n-k)xn, ως H, τότε κάθε κωδική λέξη του αρχικού κώδικα είναι ορθογώνια με όλες τις γραμμές του H, δηλαδή, ch t = 0 για όλα τα c C (.3) Η μήτρα H, που είναι η γεννήτρια μήτρα του δίδυμου κώδικα C Τ, ονομάζεται μήτρα ελέγχου ισοτιμίας του αρχικού κώδικα C. Επειδή όλες οι γραμμές της γεννήτρια μήτρας είναι κωδικές λέξεις, συμπεραίνουμε ότι GH t = 0 (.4) Στην ειδική περίπτωση ενός συστηματικού κώδικα, όπου [ I P] η μήτρα ελέγχου ισοτιμίας έχει την ακόλουθη μορφή G = (.5) k t [ P ] H = I n k (.6) Σαν ένα ακόμη παράδειγμα μπορούμε να βρούμε την μήτρα ελέγχου ισοτιμίας για τον κώδικα του προηγούμενου παραδείγματος. Έχουμε 000 G = (.7) 0 0 I = (.8) 0 00 P = (.9) ότι Παρατηρώντας ότι στη δυαδική περίπτωση έχουμε t t P = P συμπεραίνουμε

24 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 8 και επομένως, P t = 0 (.0) 0 00 H = 0 00 (.) Κώδικες Hamming, [6] Οι κώδικες Hamming, είναι μια ομάδα γραμμικών block κωδίκων, όπου n= m -, k= m -m- και d min =3, για κάποιον ακέραιο m. Όπως θα δούμε αργότερα, με τέτοια ελάχιστη απόσταση αυτοί οι κώδικες, είναι ικανοί να διορθώνουν ο- ποιαδήποτε μοναδικά σφάλματα γίνουν στη μεταδιδόμενη ακολουθία. Η μήτρα ε- λέγχου ισοτιμίας για τους κώδικες αυτούς έχουν μια πολύ απλή μορφή. Οι στήλες της αποτελούνται από όλες τις δυαδικές ακολουθίες μήκους m, εκτός της μηδενικής ακολουθίας. Ο ρυθμός των κωδίκων αυτών είναι m m R c = (.) m ο οποίος είναι κοντά στο για μεγάλες τιμές του m. Επομένως, οι κώδικες Hamming έχουν μεγάλο ρυθμό με σχετικά μικρή ελάχιστη απόσταση (d min =3). Θα δούμε αργότερα, ότι η ελάχιστη απόσταση ενός κώδικα έχει στενή σχέση με τις ικανότητές του να διορθώνει σφάλματα. Άρα, οι κώδικες Hamming έχουν περιορισμένη ικανότητα διόρθωσης σφαλμάτων. Για παράδειγμα, μπορούμε να βρούμε την μήτρα ελέγχου ισοτιμίας και την γεννήτρια μήτρα ενός (7, 4) κώδικα Hamming στη συστηματική της μορφή. Στην περίπτωση αυτή έχουμε m=3 και επομένως η H αποτελείται από όλες τις δυαδικές ακολουθίες μήκους 3 εκτός από την μηδενική ακολουθία. Η μήτρα σε συστηματική μορφή είναι H = (.3) και η γεννήτρια μήτρα είναι

25 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων G = (.4) Αποκωδικοποίηση και Επίδοση Γραμμικών Block Κωδίκων, [6] Η κωδικοποίηση, χρησιμοποιείται στα συστήματα επικοινωνίας, κατά κύριο λόγο, για να αυξηθεί η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των μεταδιδόμενων σημάτων και έτσι να μειωθεί η πιθανότητα σφάλματος για δεδομένη ισχύ μετάδοσης, πράγμα που είδαμε με παράδειγμα στην προηγούμενη ενότητα. Αυτό το πετυχαίνουμε διαλέγοντας τις κωδικές λέξεις έτσι ώστε να βρίσκονται όσο μακριά γίνεται η μία από την άλλη. Αυτό σημαίνει ότι ένα καλό μέτρο για να συγκρίνουμε την επίδοση δύο κωδίκων είναι η απόσταση Hamming μεταξύ των κωδικών λέξεων. Αλλά το να εξετάζουμε όλες τις αποστάσεις μεταξύ των κωδικών λέξεων είναι δύσκολο και σε αρκετές περιπτώσεις αδύνατο. Έτσι, η σύγκριση μεταξύ κωδίκων γίνεται συνήθως με βάση την ελάχιστη απόσταση ενός κώδικα, που για τους γραμμικούς κώδικες είναι ίση με το ελάχιστο βάρος. Έτσι, με δεδομένα τα n και k, ένας κώδικας με μεγαλύτερη απόσταση d min (ή w min ) έχει συνήθως καλύτερη επίδοση από έναν κώδικα με μικρότερη απόσταση..3. Αποκωδικοποίηση ευέλικτης απόφασης, [6] Ο βέλτιστος ανιχνευτής, σε ένα κανάλι με προσθετικό λευκό θόρυβο Gauss (Additive White Gaussian Noise, AWGN), βασίζεται στην ελαχιστοποίηση της ελάχιστης Ευκλείδειας απόστασης μεταξύ του λαμβανόμενου και του εκπεμπόμενου σήματος. Αυτό σημαίνει ότι επιλέγουμε ένα από τα σήματα εκπομπής που η Ευκλείδεια απόστασή του από το λαμβανόμενο σήμα είναι ελάχιστη. Το ίδιο συμβαίνει όταν χρησιμοποιούμε κωδικοποιημένες κυματομορφές. Υποθέτοντας ότι χρησιμοποιούμε δυαδικό PSK για την μετάδοση των κωδικοποιημένων μηνυμάτων, μια κωδική λέξη c=(c i, c i,, c in ) αντιστοιχίζεται στην κυματομορφή n k = s ( t) = ψ ( t ( k ) T) (.5) i όπου ψ( t) aν cik = ψ ik ( t) = (.6) ψ( t) aν cik = 0 ik

26 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 0 και το ψ(t) είναι ένα σήμα διάρκειας T με ενέργεια E, που είναι ίσο με το μηδέν έξω από το διάστημα [0, T]. Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο κυματομορφών είναι E ( dij ) = ( ± E ) k n k: c ik c jk H ij = 4d E (.7) Αυτή είναι η σχέση μεταξύ Ευκλείδειας απόστασης και απόστασης Hamming όταν χρησιμοποιείται η δυαδική PSK (ή αντιποδική) μέθοδος διαμόρφωσης. Αν χρησιμοποιηθεί ορθογώνια διαμόρφωση, τότε η κυματομορφή που μεταδίδεται είναι n k = s ( t) = ψ ( t ( k ) T) (.8) i όπου ψ( t) aν cik = ψ ik ( t) = (.9) ψ( t) aν cij = 0 ik και τα ψ (t), ψ (t) είναι ορθογώνια σήματα με ενέργεια E. Η Ευκλείδεια απόσταση στην περίπτωση αυτή είναι T E ( dij ) = [ ψ t) ψ( t) ] k n 0 k: c ik c jk E ij ( dt = d E (.30) Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα την σχέση έχουμε E d p e = Q (.3) N 0 H d E ij Q για ορθογώνια σήματα N0 p( s j λήφθηκε si μεταδόθηκε) = (.3) H d E ij Q για αντιποδικά σήματα N0 Επειδή d ij d min και το Q(x) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση του x, συμπεραίνουμε ότι

27 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων dmine Q για ορθογώνια σήματα N0 p( s j λήφθηκε si μεταδόθηκε) (.33) dmine Q για αντιποδικά σήματα N0 Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα το όριο της ένωσης, έχουμε dmine ( M ) Q για ορθογώνια σήματα N0 p( σφάλματος i μεταδόθηκε) (.34) dmine ( M ) Q για αντιποδικά σήματα N0 και αν υποθέσουμε ότι τα σήματα που μεταδίδονται είναι ισοπίθανα, συμπεραίνουμε τελικά ότι p e ( M ) Q ( M ) Q d mine N 0 d E min N 0 για ορθογώνια σήματα για αντιποδικά σήματα (.35) Αυτά είναι τα άνω φράγματα στην πιθανότητα σφάλματος ενός συστήματος επικοινωνίας που χρησιμοποιεί κωδικοποίηση και βέλτιστη μέθοδο αποδιαμόρφωσης. Με τον όρο βέλτιστη αποδιαμόρφωση, εννοούμε ότι το λαμβανόμενο σήμα r(t) περνάει από μια σειρά από προσαρμοσμένα φίλτρα που έχει σαν έξοδο το διάνυσμα r, και κατόπιν επιλέγουμε από τα διανύσματα της ομάδας σημάτων που μεταδόθηκαν, αυτό που η Ευκλείδεια απόστασή του από το r είναι ελάχιστη. Αυτή η μέθοδος αποκωδικοποίησης, που απαιτεί την εύρεση της ελάχιστης απόστασης, ο- νομάζεται αποκωδικοποίηση ευέλικτης απόφασης και απαιτεί υπολογισμούς με πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, μπορούμε να συγκρίνουμε την επίδοση ενός συστήματος που δεν χρησιμοποιεί κωδικοποίηση με την επίδοση ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τον (7, 4) κώδικα Hamming του προηγούμενου παραδείγματος. Ο ρυθμός μετάδοσης της πηγής πληροφορίας είναι R=0 4 bits/sec. Το κανάλι υπόκειται σε AWGN, η λαμβανόμενη ισχύς είναι μw και η πυκνότητα φασματικής ισχύος είναι N 0 /=0 -. Η μέθοδος διαμόρφωσης είναι το δυαδικό PSK. Αν δεν χρησιμοποιήσουμε κωδικοποίηση, έχουμε

28 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων = όμως, P /( RN ) = 0 /(0 0 ) 0 και επομένως, E b = P p b = Q Q (.36) N0 RN0 p b = Q( 0) = Q(4.47) (.37) Η πιθανότητα να γίνουν σφάλματα σε τέσσερα ψηφία είναι 4 p 4 = ( pb).55 0 (.38) σφάλμα σε ψηφία Αν χρησιμοποιήσουμε κωδικοποίηση, έχουμε d min =3 και E N 0 E b P 4 40 = Rc = Rc = 0 = (.39) N RN 7 7 Έτσι, η πιθανότητα σφάλματος ενός μηνύματος είναι 0 0 min 40 8 ( ) d E p e M Q = 5Q 6 = 5Q( 5.85) 4 0 (.40) 0 7 N 6 5 Βλέπουμε, ότι με την κωδικοποίηση η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται σημαντικά. Βέβαια, το τίμημα που πληρώνουμε είναι η αύξηση του εύρους φάσματος που απαιτείται για τη μετάδοση των μηνυμάτων. Ο λόγος αύξησης του εύρους φάσματος είναι W W coded uncoded = R c = 7 4 =.75 (.4).3. Αποκωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης, [6] Μια απλούστερη μορφή αποκωδικοποίησης που χρησιμοποιείται συχνά είναι η λήψη δυαδικών αποφάσεων για κάθε συντεταγμένη του λαμβανόμενου διανύσματος r, και κατόπιν η εύρεση της κωδικής λέξης που είναι πιο κοντά στο r με βάση την απόσταση Hamming. Το παρακάτω παράδειγμα διευκρινίζει τη διαφορά μεταξύ ευέλικτης και άκαμπτης απόφασης. Έστω ένας (3, ) κώδικας ο οποίος αποτελείται από δύο κωδικές λέξεις 000 και. Οι κωδικές λέξεις μεταδίδονται χρησιμοποιώντας δυαδική PSK διαμόρφωση με E=. Το λαμβανόμενο διάνυσμα (δηλαδή τα δείγματα στις εξόδους των προσαρμοσμένων φίλτρων) είναι r=(0.5, 0.5, -3). Αν χρησιμοποιηθεί ευέλικτη απόφαση, πρέπει να συγκρίνουμε την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ του r και των δύο σημείων (,, ) και (-, -, -) και να διαλέξουμε την μικρότερη. Έχουμε, (d E (r,(,,)) = =6.5 και (d E (r,(-,-,-)) = (-) =8.5 και έτσι ο αποκωδικοποιητής ευέλικτης απόφασης θα αποκωδικοποιήσει το r ως (-,-,-) ή ισοδύναμα (0,0,0).

29 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 3 Αν εφαρμόσουμε τον αποκωδικοποιητή άκαμπτης απόφασης, ανιχνεύουμε την κάθε συντεταγμένη του r σαν + ή 0. Αυτό απαιτεί την σύγκριση της κάθε συντεταγμένης του r με το μηδέν. Το διάνυσμα που παίρνουμε είναι λοιπόν y=(,, 0). Τώρα πρέπει να συγκρίνουμε το y με το (,, ) και (0, 0, 0), και να βρούμε πιο από τα δύο σημεία έχει την μικρότερη απόσταση Hamming από το y. Το αποτέλεσμα είναι βέβαια το (,, ). Όπως βλέπουμε από το παράδειγμα αυτό τα αποτελέσματα της ευέλικτης απόφασης μπορεί να διαφέρουν κατά πολύ από αυτά της άκαμπτης απόφασης. Βέβαια, η ευέλικτη απόφαση είναι βέλτιστη και έχει τη μικρότερη πιθανότητα σφάλματος. Η κωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης γίνεται σε τρία βασικά βήματα. Πρώτον, εκτελείται αποδιαμόρφωση περνώντας το λαμβανόμενο σήμα r(t) μέσα από προσαρμοσμένα φίλτρα και κάνοντας δειγματοληψία της εξόδου των φίλτρων, ο- πότε παίρνουμε το διάνυσμα r. Δεύτερον, συγκρίνουμε κάθε μια από τις συντεταγμένες του r με ένα όριο και δίδουμε σε κάθε μια από τις συντεταγμένες αυτές μια από δύο τιμές, οπότε παίρνουμε το διάνυσμα y. Τέλος, εκτελούμε αποκωδικοποίηση βρίσκοντας την κωδική λέξη της οποίας η απόσταση Hamming από το y είναι ελάχιστη. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουμε μια συστηματική μέθοδο αποκωδικοποίησης άκαμπτης απόφασης. Κατ' αρχήν εισάγουμε την έννοια της τυπικής μήτρας. Ας συμβολίσουμε τις κωδικές λέξεις του κώδικα που θεωρούμε ως, c, c,, c M όπου κάθε κωδική λέξη είναι μήκους n, M= k και η κωδική λέξη c συμβολίζει την κωδική λέξη που όλες οι συντεταγμένες της είναι μηδέν. Μία τυπική μήτρα είναι μια μήτρα n-k x k μήτρα που τα στοιχεία της είναι δυαδικές ακολουθίες μήκους n. Η πρώτη σειρά της μήτρας προκύπτει γράφοντας όλες τις κωδικές λέξεις στη σειρά ξεκινώντας από την μηδενική κωδική λέξη. Για να σχηματίσουμε τη δεύτερη σειρά της μήτρας θεωρούμε όλες τις κωδικές λέξεις μήκους n που δεν περιλαμβάνονται στην πρώτη σειρά της μήτρας. Από αυτές τις κωδικές λέξεις επιλέγουμε αυτήν που έχει ελάχιστο βάρος και την ονομάζουμε e. Γράφουμε την e κάτω από την c και την e c i κάτω από την c i για i M. Η τρίτη σειρά συμπληρώνεται κατά παρόμοιο τρόπο. Από τις κωδικές λέξεις μήκους n που δεν έχουν επιλεγεί στις πρώτες δύο σειρές επιλέγουμε αυτήν που έχει ελάχιστο βάρος και την ονομάζουμε e. Κατόπιν ορίζουμε το i στοιχείο της τρίτης σειράς ως e c i. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου εξαντλήσουμε όλες τις κωδικές λέξεις μήκους n. Η εικόνα.4 δείχνει την τυπική μήτρα που προκύπτει από την προηγούμενη διαδικασία. Κάθε σειρά της τυπικής μήτρας ονομάζεται coset και το πρώτο στοιχείο κάθε coset (το e i ) ονομάζεται coset leader.

30 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 4 Εικόνα.4 Η τυπική μήτρα Η τυπική μήτρα έχει τις ακόλουθες σημαντικές ιδιότητες. Ιδιότητα η : Όλα τα στοιχεία της τυπικής μήτρας είναι διαφορετικά. Άρα η τυπική μήτρα έχει ακριβώς n-k σειρές. Ιδιότητα η : Αν τα y και y είναι στοιχεία του ίδιου coset, ισχύει y H t =y H t. Αν τα y και y δεν ανήκουν στο ίδιο coset τότε y H t y H t. Από την τελευταία ιδιότητα συμπεραίνουμε ότι η σειρά l της τυπικής μήτρας μπορεί να προσδιορισθεί κατά μοναδικό τρόπο από το γινόμενο e l H t. Γενικά, για κάθε δυαδική ακολουθία y μήκους n, ορίζουμε το σύνδρομο s ως t s = yh (.4) Αν y=e l c i, δηλαδή το y ανήκει στο (l+) coset, τότε προφανώς s=e l H t. Το σύνδρομο είναι μια δυαδική ακολουθία μήκους n-k και σε κάθε coset αντιστοιχεί ένα μοναδικό σύνδρομο. Το σύνδρομο που αντιστοιχεί στο πρώτο coset, το οποίο αποτελείται από κωδικές λέξεις, είναι s=0. Έστω, τώρα, ότι θέλουμε να βρεθεί η τυπική μήτρα για τον (5, ) κώδικα με κωδικές λέξεις 00000, 00, 00, 0. Ακόμη, να βρεθεί το σύνδρομο που αντιστοιχεί σε κάθε coset. Η γεννήτρια του κώδικα είναι και η μήτρα ελέγχου ισοτιμίας που αντιστοιχεί στην G είναι μήτρα είναι 00 G = (.43) H = 000 (.44) 00 Χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που αναπτύξαμε προηγουμένως, η τυπική σύνδρομο= σύνδρομο= σύνδρομο= σύνδρομο= σύνδρομο= σύνδρομο= σύνδρομο= σύνδρομο= (.45)

31 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 5 Αφού συγκρίνουμε κάθε συντεταγμένη του λαμβανόμενου διανύσματος r με ένα όριο και πάρουμε σαν αποτέλεσμα το διάνυσμα y, πρέπει να βρούμε την κωδική λέξη με τη μικρότερη απόσταση Hamming από το y. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής. Πρώτον, βρίσκουμε το coset όπου βρίσκεται το y. Για το σκοπό αυτό βρίσκουμε το σύνδρομο του y υπολογίζοντας s=yh t. Κατόπιν βρίσκουμε το συνσύνολο στο οποίο ανήκει το s. Ας υποθέσουμε ότι ο coset leader που αντιστοιχεί στο coset αυτό είναι e l. Αφού το y ανήκει στο coset αυτό, μπορεί να γραφεί ως y=e l c i για κάποιο i. Επομένως, η απόσταση Hamming του y από μια κωδική λέξη c j είναι d y, c ) = w(y c ) = w(e c c ) (.46) ( j j l i j Άρα, Επειδή ο κώδικας είναι γραμμικός, έχουμε c i c j =c k για κάποιο k, k M. d y, c ) = w(c e ) (.47) ( j k l αλλά το c k e l ανήκει στο ίδιο coset όπου ανήκει το y. Επομένως για να ελαχιστοποιήσουμε την d(y, c j ) αρκεί να βρούμε το στοιχείο με το ελάχιστο βάρος στο coset στο οποίο ανήκει το y. Εκ κατασκευής της τυπικής μήτρας, αυτό το στοιχείο είναι ο coset leader, δηλαδή επιλέγουμε c k =0 και επομένως c j =c i. Δηλαδή, το y αποκωδικοποιείται σαν c i υπολογίζοντας c = y (.48) i e i Έτσι, η διαδικασία με την οποία επιτυγχάνεται η αποκωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης είναι η ακόλουθη. Βρίσκουμε την διανυσματική αναπαράσταση του λαμβανόμενου σήματος r. Συγκρίνουμε κάθε συντεταγμένη του r με το βέλτιστο όριο και παίρνουμε μια δυαδική απόφαση για την τιμή της συντεταγμένης. Σαν αποτέλεσμα παίρνουμε το διάνυσμα y. Βρίσκουμε το σύνδρομο του y, s=yh t. Βρίσκουμε το coset που αντιστοιχεί στο s χρησιμοποιώντας την τυπική μήτρα. Βρίσκουμε τον coset leader e και αποκωδικοποιούμε το y ως c=y e. Επειδή με αυτή τη μέθοδο αποκωδικοποίησης η διαφορά μεταξύ του διανύσματος y και του αποκωδικοποιημένου διανύσματος c είναι e, η δυαδική ακολουθία e αναφέρεται συνήθως ως πρότυπο σφάλματος (error pattern). Αυτό σημαίνει ότι οι coset leaders αποτελούν το σύνολο όλων των προτύπων σφάλματος που μπορούν να διορθωθούν. Για να βρούμε ένα όριο σφάλματος στην αποκωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης, παρατηρούμε ότι αφού παίρνουμε αποφάσεις για κάθε μια από τις συντεταγμένες ανεξάρτητα, η πιθανότητα σφάλματος κάθε μιας από τις συντεταγμένες για αντιποδικά σήματα είναι

32 Κεφάλαιο ο Κωδικοποίηση και διόρθωση σφαλμάτων 6 και για ορθογώνια σήματα E p b = Q (.49) N0 E p b = Q (.50) N 0 Ας προσέξουμε ότι στους τύπους αυτούς χρησιμοποιούμε την ενέργεια ενός ψηφίου της ακολουθίας εξόδου του κωδικοποιητή και όχι την ενέργεια ενός ψηφίου εισόδου στον κωδικοποιητή. Το σύστημα μεταξύ της κωδικής λέξης εισόδου c και της λέξης εξόδου του άκαμπτου αποκωδικοποιητή, y, μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα συμμετρικό κανάλι δυαδικής εισόδου και δυαδικής εξόδου, με πιθανότητα σφάλματος p b. Επειδή ο κώδικας είναι γραμμικός, η απόσταση μεταξύ δύο κωδικών λέξεων c i και c j είναι ίδια με την απόσταση της κωδικής λέξης c i c j =c k από την μηδενική κωδική λέξη. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι μεταδόθηκε η κωδική λέξη 0. Αν μεταδόθηκε το 0, τότε χρησιμοποιώντας το όριο ένωσης βλέπουμε ότι η πιθανότητα σφάλματος δεν μπορεί να υπερβαίνει M- φορές την πιθανότητα να αποκωδικοποιήσουμε την κωδική λέξη 0 ως την κωδική λέξη c που η απόστασή Hamming από την 0 είναι ελάχιστη. Αφού η κωδική λέξη απέχει d min από την 0, έχουμε dmin dmin i dmin i pb ( pb ) αν το dmin είναι περιττό i i = ( d + min ) / p( c 0) = (.5) dmin dmin i dmin i pb ( pb ) + αν το dmin είναι άρτιο = i i d / min ή, γενικά, Έτσι, d min dmin i dmin i p (c 0) = p b ( p) (.5) i= ( d + i min ) / d min dmin i dmin i p e ( M ) pb( p) (.53) i= ( d + i min ) / Ο τελευταίος τύπος δίδει ένα άνω όριο στην πιθανότητα σφάλματος του γραμμικού κώδικα όταν χρησιμοποιείται αποκωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης. Βλέπουμε ότι τόσο στην κωδικοποίηση ευέλικτης απόφασης, όσο και στην κωδικοποίηση άκαμπτης απόφασης, η d min είναι πολύ σημαντική για τον υπολογισμό του ορίου στην πιθανότητα σφάλματος. Για το λόγο αυτό, για δεδομένο (n, k), είναι επιθυμητό να έχουμε κώδικες με μεγάλο d min.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΉΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 7 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/tst25 e-ail:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ BPSK ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΗ ΜΕ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ HAMMING ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ AWGN ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ BPSK ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΗ ΜΕ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ HAMMING ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ AWGN ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ BPSK ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΗ ΜΕ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ HAMMING ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ AWGN ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Διάλειψη (fading) είναι η παραμόρφωση ενός διαμορφωμένου σήματος λόγω της μετάδοσης του σε ασύρματο περιβάλλον. Η προσομοίωση μίας τέτοιας μετάδοσης γίνεται με την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ. Δορυφορική ψηφιακή τηλεόραση

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ. Δορυφορική ψηφιακή τηλεόραση ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ 4 Δορυφορική ψηφιακή τηλεόραση Δορυφορική τηλεόραση: Η εκπομπή και λήψη του τηλεοπτικού σήματος από επίγειους σταθμούς μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ: «ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-ΚΩ ΙΚΕΣ» ρ. ΒΑΡΖΑΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Εργαστήριο Επεξεργασίας Σημάτων και Τηλεπικοινωνιών Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Μέρος Α: Τηλεπικοινωνιακά Θέματα: Τεχνικές Ψηφιακής Διαμόρφωσης και Μετάδοσης Tο γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Στρώµα Ζεύξης: Αρχές Λειτουργίας & Το Υπόδειγµα του Ethernet

Ενότητα 3. Στρώµα Ζεύξης: Αρχές Λειτουργίας & Το Υπόδειγµα του Ethernet Ενότητα 3 Στρώµα Ζεύξης: Αρχές Λειτουργίας & Το Υπόδειγµα του Ethernet Εισαγωγή στις βασικές έννοιες του στρώµατος Ζεύξης (Data Link Layer) στα δίκτυα ΗΥ Γενικές Αρχές Λειτουργίας ηµιουργία Πλαισίων Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ. Επίγεια ψηφιακή τηλεόραση

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ. Επίγεια ψηφιακή τηλεόραση ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Γ. ΓΑΡΔΙΚΗΣ 5 Επίγεια ψηφιακή τηλεόραση Επίγεια τηλεόραση: Η ασύρματη εκπομπή και λήψη του τηλεοπτικού σήματος αποκλειστικά από επίγειους

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Διάρθρωση. Δίκτυα Υπολογιστών Αξιόπιστη επικοινωνία μέσα από ένα σύνδεσμο. Αναγκαιότητα και ορισμός λογικής σύνδεσης. Διάρθρωση

Διάρθρωση. Δίκτυα Υπολογιστών Αξιόπιστη επικοινωνία μέσα από ένα σύνδεσμο. Αναγκαιότητα και ορισμός λογικής σύνδεσης. Διάρθρωση Δίκτυα Υπολογιστών Αξιόπιστη επικοινωνία μέσα από ένα σύνδεσμο Ευάγγελος Παπαπέτρου Τμ Μηχ Η/Υ & Πληροφορικής, Παν Ιωαννίνων 1 Λογική σύνδεση 2 Πλαισίωση 3 Ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων 4 5 Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 Μάθημα : Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Τεχνολογία ΙΙ Τεχνικών Σχολών, Θεωρητικής Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET ΥΠΕΠΘ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΙΕΚ ΧΑΝΙΩΝ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ : ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΑΜΗΝΟ : Α ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ INTERNET

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Συναρτήσεις Κατακερματισμού και Πιστοποίηση Μηνύματος Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org Αντίρριο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ

ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ (κεφ. 9) ροµολόγηση σε ίκτυα Μεταγωγής Κυκλώµατος Σηµατοδοσία Ελέγχου Λειτουργίες Σηµατοδοσίας Τοποθεσία Σηµατοδοσίας Σηµατοδοσία Κοινού Καναλιού Σύστηµα Σηµατοδοσίας Νο 7 Βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσκληση 10: Προηγμένες Τηλεματικές Υπηρεσίες Τ.Ε.Ι. Ηπείρου Δίκτυο Τ.Ε.Ι. Ηπείρου ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ MODEM

Πρόσκληση 10: Προηγμένες Τηλεματικές Υπηρεσίες Τ.Ε.Ι. Ηπείρου Δίκτυο Τ.Ε.Ι. Ηπείρου ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ MODEM ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ MODEM To Modem (Modulator-Demodulator) είναι μια συσκευή που επιτρέπει σε υπολογιστές να επικοινωνούν μεταξύ τους μέσω τηλεφωνικών γραμμών, δίνοντας έτσι την ευκαιρία στους χρήστες να έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής

Τ.Ε.Ι Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής 2 η ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μπαρμπάκος Δημήτριος Τζούτζης Έλτον-Αντώνιος Διδάσκων: Δρ. Βασίλης Κώτσος Λαμία 2013 Περιεχόμενα 1. Οπτική πηγή 1.1 Χαρακτηριστικές καμπύλες

Διαβάστε περισσότερα

Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης

Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Η συνολική ποιότητα της σύνδεσης µέσω ραδιοσυχνοτήτων εξαρτάται από την 9000 απολαβή της κεραίας του

Διαβάστε περισσότερα

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24-5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης ; Ποιες κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δίδονται: Ποσότητα Πληροφορίας. D4: 300 bit ΔΜ: 2 Kbit E: 10 Mbit. Διαφημιστικά Μηνύματα (ΔΜ) + Εικόνες (Ε)

Άσκηση 1. Δίδονται: Ποσότητα Πληροφορίας. D4: 300 bit ΔΜ: 2 Kbit E: 10 Mbit. Διαφημιστικά Μηνύματα (ΔΜ) + Εικόνες (Ε) Άσκηση 1 Σε ένα δίκτυο τηλεματικής όπου υποστηρίζεται η υπηρεσία Διαχείρισης Στόλου Δημοσίων Οχημάτων Μεταφοράς επιβατών, ο κεντρικός υπολογιστής του κάθε οχήματος λαμβάνει μέσω αισθητήρων τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ. ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΝΧΤ ΚΑΙ ΤΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ BLUETOOTH, I2C και serial communication

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ. ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΝΧΤ ΚΑΙ ΤΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ BLUETOOTH, I2C και serial communication ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΝΧΤ ΚΑΙ ΤΑ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ BLUETOOTH, I2C και serial communication ΜΠΑΝΤΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ 533 ΤΣΙΚΤΣΙΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 551 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΟΥ ΡΟΜΠΟΤ LEGO NXT Το ρομπότ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας: Ηλεκτρονικής και Υπολογιστών Εργαστήριο Ηλεκτρονικών Εφαρμογών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας: Ηλεκτρονικής και Υπολογιστών Εργαστήριο Ηλεκτρονικών Εφαρμογών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας: Ηλεκτρονικής και Υπολογιστών Εργαστήριο Ηλεκτρονικών Εφαρμογών Διπλωματική Εργασία του Φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

1η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ:

1η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Εισαγωγή. Η διεξαγωγή της παρούσας εργαστηριακής άσκησης προϋποθέτει την μελέτη τουλάχιστον των πρώτων παραγράφων του

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Τεχνολογία Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ψηφιακές Υπογραφές Ορίζονται πάνω σε μηνύματα και είναι αριθμοί που εξαρτώνται από κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 10 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 0.1 Εστω ότι η τ.µ. X ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή µε µέση τιµή 10 και διασπορά σ 2 = 4, δηλαδή X N( 10, 4). Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

5η Δραστηριότητα. Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας. Περίληψη. Λπν τ φνντ π τν πρτσ. Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

5η Δραστηριότητα. Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας. Περίληψη. Λπν τ φνντ π τν πρτσ. Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 5η Δραστηριότητα Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας Περίληψη Πόση πληροφορία περιέχεται σε ένα βιβλίο των 1000 σελίδων; Υπάρχει περισσότερη πληροφορία σε έναν τηλεφωνικό κατάλογο των 1000 σελίδων ή

Διαβάστε περισσότερα

υαδικό Σύστημα 192.168.0.0-11000000.10101000.00000000.00000000

υαδικό Σύστημα 192.168.0.0-11000000.10101000.00000000.00000000 υαδικό Σύστημα Για να μπορέσουμε να καταλάβουμε πως γίνεται το Subnetting, πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε καλά το δυαδικό σύστημα, τις Classes των δικτύων και τι ακριβώς γίνεται στην καθεμία. Όπως γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α )

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Του Νίκου Παναγιωτίδη (SV6 DBK) φυσικού και ραδιοερασιτέχνη. Ο σκοπός του άρθρου αυτού είναι να κατευθύνει τον αναγνώστη ραδιοερασιτέχνη να κατασκευάσει το

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 (Α) Σημειώστε δίπλα σε κάθε πρόταση «Σ» ή «Λ» εφόσον είναι σωστή ή λανθασμένη αντίστοιχα. 1. Τα συντακτικά λάθη ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμ. Ηλ.γων Μηχ/κων ΤΕ. Δίκτυα Υπολογιστών. Διάλεξη 1: Εισαγωγή στα δίκτυα υπολογιστών και βασικές αρχές

ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμ. Ηλ.γων Μηχ/κων ΤΕ. Δίκτυα Υπολογιστών. Διάλεξη 1: Εισαγωγή στα δίκτυα υπολογιστών και βασικές αρχές ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμ. Ηλ.γων Μηχ/κων ΤΕ Δίκτυα Υπολογιστών Διάλεξη 1: Εισαγωγή στα δίκτυα υπολογιστών και βασικές αρχές Γενικά Τα αρχεία των διαλέξεων του μαθήματος μπορείτε να βρείτε στο: http://eclass.gunet.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 10 Μετάδοση και Αποδιαμόρφωση Ραδιοφωνικών Σημάτων Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 10

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Τεχνική Εκπαίδευση Ψηφιακές Επικοινωνίες Παναγιώτης Γεώργιζας BEng Cybernetics with Automotive Electronics MSc Embedded Systems Engineering Θέματα που θα αναλυθούν Στόχοι του σεμιναρίου Λίγη Θεωρία για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΉΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Μετρητές 1

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Μετρητές 1 ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Μετρητές Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Περίληψη Μετρητής Ριπής Σύγχρονος υαδικός Μετρητής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση Ανασκόπηση ύλης Στόχοι της κρυπτογραφίας Ιστορικό Γενικά χαρακτηριστικά Κλασσική κρυπτογραφία Συμμετρικού κλειδιού (block ciphers stream ciphers) Δημοσίου κλειδιού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΔΕΚΤΗ ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ QPSK

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΔΕΚΤΗ ΜΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ QPSK ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: "ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ" ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΔΕΚΤΗ ΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 4 ο ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΜΝΗΜΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΜΝΗΜΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 4 ο ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΜΝΗΜΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΜΝΗΜΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 4 ο ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΜΝΗΜΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΜΝΗΜΗ ΧΕΙΜΩΝΑΣ 2009 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1 Γενική οργάνωση του υπολογιστή Ο καταχωρητής δεδομένων της μνήμης (memory data register

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Στόχος: 1 η Γραπτή Εργασία ΠΛΗ 23 Ακαδημαϊκό Έτος 2010-2011 (Τόμος Α, Κεφάλαια 1-3) Ημερομηνία Παράδοσης 21/11/2010 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση 1 Στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής ύλης του Α Τόμου, ο στόχος

Διαβάστε περισσότερα

Βίντεο. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 06-1

Βίντεο. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 06-1 Βίντεο Εισαγωγή Χαρακτηριστικά του βίντεο Απόσταση θέασης Μετάδοση τηλεοπτικού σήματος Συμβατικά τηλεοπτικά συστήματα Ψηφιακό βίντεο Εναλλακτικά μορφότυπα Τηλεόραση υψηλής ευκρίνειας Κινούμενες εικόνες

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ MIDI

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ MIDI ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ MIDI Τί είναι το MIDI; Το MIDI (Musical Instrument Digital Interface) είναι ένα πρωτόκολλο επικοινωνίας μεταξύ 2 ή περισσοτέρων ηλεκτρονικών μουσικών οργάνων. Μέσω του πρωτοκόλλου αυτού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Μάθημα : Τεχνολογία Ηλεκτρονικών Επικοινωνιών Τεχνολογία Ι, Πρακτικής Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα