Μεταπτυχιακό Εργαςύα. «Αποφυγό του φαινομϋνου Pilot Contamination ςε υςτόματα MASSIVE MIMO με Εφαρμογό Σεχνικών Συφλόσ Παρακολούθηςησ Τποχώρων»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ Δ.Π.Μ. υςτόματα Επεξεργαςύασ ημϊτων και Επικοινωνιών Μεταπτυχιακό Εργαςύα «Αποφυγό του φαινομϋνου Pilot Contamination ςε υςτόματα MASSIVE MIMO με Εφαρμογό Σεχνικών Συφλόσ Παρακολούθηςησ Τποχώρων» Ονοματεπώνυμο: Κουμπουζό Χρυςϊνθη-Ελϋνη Α.M.:203 Επιβλϋπων Καθηγητόσ: Κωνςταντύνοσ Μπερμπερύδησ Αύγουςτοσ

2 2

3 Ευχαριςτύεσ Θα όθελα να ευχαριςτόςω θερμϊ τον Καθηγητό Κώςτα Μπερμπερύδη καθώσ και το Διδϊκτορα Φρόςτο Μαυροκεφαλύδη για την καθοδόγηςη και την βοόθεια τουσ κατϊ την εκπόνηςη τησ εργαςύασ αυτόσ. Επιπλϋον να ευχαριςτόςω τουσ Καθηγητϋσ Γ. Αλεξύου και Θ. Αντωνακόπουλο για τη ςυμμετοχό τουσ ςτην τριμελό εξεταςτικό επιτροπό. 3

4 4

5 Περύληψη Ο όροσ Massive MIMO αναφϋρεται ςτα αςύρματα τηλεπικοινωνιακϊ ςυςτόματα ςτα οπούα οι ςταθμού βϊςησ εύναι εξοπλιςμϋνοι με ϋνα πολύ μεγϊλο αριθμό κεραιών. Τα ςυςτόματα αυτϊ προςφϋρουν διϊφορα πλεονεκτόματα τα κυριότερα εκ των οπούων εύναι η οικονομύα ςε ενϋργεια εκπομπόσ και η αποδοτικότερη χρόςη του ραδιοφϊςματοσ. ςημαντικό βελτύωςη τόςο ςτην φαςματικό όςο και ςτην ενεργειακό απόδοςη. Ένα από τα ςημαντικότερα προβλόματα των Massive MIMO εύναι το φαινόμενο του pilot contamination, το οπούο ςυνύςταται ςτην προςανατολιςμϋνη παρεμβολό των χρηςτών λόγω τησ προβληματικόσ εκτύμηςησ τησ κατϊςταςησ του καναλιού εξαιτύασ τησ μη ορθογωνιότητασ των ακολουθιών εκπαύδευςησ. Το φαινόμενο αυτό, μπορεύ να αποφευχθεύ με χρόςη μη γραμμικών ό τυφλών τεχνικών εκτύμηςησ. Στα πλαύςια των τυφλών τεχνικών που βαςύζονται ςτο διαχωριςμό των υποχώρων ςόματοσ και θορύβου/παρεμβολόσ εύναι δυνατό να εφαρμοςτούν μϋθοδοι απευθεύασ εκτύμηςησ των υποχώρων (subspace tracking) προκειμϋνου να αποφευχθεύ η πλόρησ διϊςπαςη, μειώνοντασ ϋτςι την πολυπλοκότητα. Μύα τϋτοια μϋθοδοσ παρακολούθηςησ υποχώρου (FDPM) μπορεύ να εφαρμοςτεύ και κατϊ τη χρόςη μιασ τυφλόσ μεθόδου για την αποφυγό του pilot contamination που ςυναντϊται ςτα ςυςτόματα massive MIMO. Τα παραπϊνω θϋματα εξετϊζονται ςτην παρούςα εργαςύα, η οπούα διαρθρώνεται ωσ εξόσ: Στο κεφϊλαιο Ι γύνεται μια παρουςύαςη των massive MIMO ςυςτημϊτων και των πλεονεκτημϊτων τουσ, κοιτϊζοντασ τόςο από τη ςκοπιϊ τησ θεωρύασ πληροφορύασ (επιτεύξιμοι ρυθμού, χωρητικότητα) όςο και από την πλευρϊ τησ επεξεργαςύασ ςόματοσ (εκτύμηςη καναλιών, ανύχνευςη). Το τϋλοσ του κεφαλαύου αφιερώνεται ςε ζητόματα που προκύπτουν ώςτε να εύναι δυνατό η υλοπούηςη ενόσ τϋτοιου ςυςτόματοσ. Στο κεφϊλαιο ΙΙ αναλύεται το φαινόμενο του pilot contamination και παρουςιϊζονται διϊφορεσ τεχνικϋσ αντιμετώπιςησ ό αποφυγόσ του. Οι τεχνικϋσ αυτϋσ χωρύζονται ςε κατηγορύεσ (μϋθοδοι που βαςύζονται ςε πρωτόκολλα, μϋθοδοι που βαςύζονται ςτη γωνύα ϊφιξησ, μϋθοδοι 5

6 προκωδικοπούηςησ και τυφλϋσ μϋθοδοι) και ςε κϊθε μια από αυτϋσ παρουςιϊζονται κϊποιεσ πρωτοπόροι μϋθοδοι. Το κεφϊλαιο ΙΙΙ αναφϋρεται ςτισ τεχνικϋσ παρακολούθηςησ υποχώρου (subspace tracking). Αρχικϊ διατυπώνεται το πρόβλημα ςτο πλαύςιο τησ κλαςικόσ μετϊδοςησ ςημϊτων και ςτη ςυνϋχεια παρουςιϊζονται οριςμϋνεσ βαςικϋσ μϋθοδοι (orthogonal iteration και παραλλαγϋσ) καθώσ και δύο αλγόριθμοι παρακολούθηςησ υποχώρου χαμηλόσ πολυπλοκότητασ (FRANS, FDPM). Στο κεφϊλαιο ΙV εξετϊζεται και προςομοιώνεται το uplink ενόσ αςύρματου massive ΜΙΜΟ ςυςτόματοσ όπου το πρόβλημα του pilot contamination αποφεύγεται χρηςιμοποιώντασ μύα μϋθοδο που βαςύζεται ςτην προβολό ςτον υποχωρο του ςόματοσ. Για την αποφυγό του υπολογιςμού τησ πλόρουσ SVD για την ανϊκτηςη του επιθυμητού υποχωρου εφαρμόζεται ο αλγόριθμοσ FDPM και ςτη ςυνϋχεια παρουςιϊζονται πειραματικϊ αποτελϋςματα από την προςομούωςη του ςυςτόματοσ ςτο MATLAB. Στο κεφϊλαιο VΙ παρουςιϊζονται τα ςυμπερϊςματα και ςυζητούνται πιθανϋσ μελλοντικϋσ κατευθύνςεισ. 6

7 Abstract Massive MIMO refers to a wireless communication system where the base station is equipped with a very large number of antennas. Such a system has several advantages, most important among which, are the spectral and energy efficiency. One of the most important problems encountered in massive MIMO systems, is pilot contamination. Pilot contamination is a form of directed interference caused by faulty channel estimation due to non-orthogonal pilot sequences that may be prevented using nonlinear or blind estimation techniques. Subspace tracking may be further employed for blind estimation techniques that are based on signal and noise subspace separation, in order to avoid full decomposition, thus lowering the complexity. All these issues will be addressed in this paper, while in the end we consider in detail a particular system simulated and present several experimental results. The work is structured as follows: Massive MIMO along with their benefits and challenges are presented in Chapter I. Chapter II is dedicated to pilot contamination. Chapter III addresses subspace tracking. Two low-complexity algorithms are presented (FRANS, FDPM). In Chapter IV we consider the uplink of a massive MIMO, where pilot contamination is avoided using a method that is based on projection upon the signal subspace. To save on computational complexity, FDPM is employed to obtain the desired subspace. Experimental results from the system s simulation are presented. Chapter V includes conclusions and future work. 7

8 8

9 Περιεχόμενα Ευχαριςτύεσ... 3 Περύληψη... 5 Abstract... 7 Πύνακασ Εικόνων & χημϊτων Κεφϊλαιο Ι Massive MIMO Ι.1. Ειςαγωγό Ι.2. Επιτεύξιμοι Ρυθμού και Φωρητικότητα Ι.2.1 Point-to-point MIMO Ι.2.2 Multi-User MIMO Ι.3. Εκτύμηςη Καναλιών Ι.4. Ανύχνευςη ημϊτων Ι.5. Προκωδικοπούηςη (Precoding) Ι.6. Ενεργειακό Απόδοςη Ι.7. Προκύπτοντα Ζητόματα Κεφϊλαιο ΙΙ Pilot Contamination ΙI.1. Διατύπωςη Προβλόματοσ ΙI.2. Μϋθοδοι Αντιμετώπιςησ ΙΙ.2.1. Μϋθοδοι που βαςύζονται ςε Πρωτόκολλα ΙΙ.2.2. Μϋθοδοι Προκωδικοπούηςησ (Precoding) ΙΙ.2.3. Μϋθοδοι που βαςύζονται ςτη γωνύα ϊφιξησ (ΑΟΑ) ΙΙ.2.4. Συφλϋσ Μϋθοδοι Κεφϊλαιο ΙΙΙ Παρακολούθηςη Τποχώρου (Subspace Tracking) ΙII.1. Ειςαγωγό ΙII.2. Διατύπωςη Προβλόματοσ ΙII.3. Αναςκόπηςη Μεθόδων IIΙ.3.1. Orthogonal Iteration IIΙ.3.2. Παραλλαγϋσ Orthogonal Iteration IIΙ.3.3. Προςαρμοςτικό Orthogonal Iteration - DPM

10 IIΙ.3.4. Αλγόριθμοσ FRANS IIΙ.3.5. Αλγόριθμοσ FDPM Κεφϊλαιο ΙV Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Τποχωρων ΙV.1. Ειςαγωγό ΙV.2. Μοντϋλο υςτόματοσ ΙV.3. Περιγραφό Μεθόδου αποφυγόσ Pilot Contamination ΙV.4. Φρόςη FDPM για την ανϊκτηςη του υποχωρου ΙV.5. Προςομοιώςεισ / Πειραματικϊ Αποτελϋςματα ΙV.5.1 Παρϊμετροι υςτόματοσ ΙV.5.2 Πειραματικϊ Αποτελϋςματα Συφλόσ Μεθόδου ΙV.5.3 Πειραματικϊ Αποτελϋςματα Μεθόδου με FDPM Κεφϊλαιο V υμπερϊςματα & Μελλοντικϋσ Κατευθύνςεισ Βιβλιογραφύα

11 Πύνακασ Εικόνων & χημϊτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εικόνα Ι-1: Massive MU-MIMO ύςτημα Εικόνα Ι-2: Λειτουργύα TDD ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εικόνα ΙΙ- 1: Pilot Contamination ςτο uplink Εικόνα ΙΙ- 2: Pilot Contamination ςτο downlink Εικόνα ΙΙ- 3: Χρονικϊ Μετατοπιςμϋνο Πρωτόκολλο για 3 ομϊδεσ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γρϊφημα IV-1: Κατανομό Ιδιαζουςών Σιμών Γρϊφημα IV-2: Περιθώριο Ιςχύοσ vs. SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του Κ Γρϊφημα IV- 3: Περιθώριο Ιςχύοσ vs. SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του Μ Γρϊφημα IV- 4: Ρυθμόσ φαλμϊτων υμβόλου vs. SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του Μ Γρϊφημα IV- 5: Μϋςο Απόλυτο φϊλμα Εκτύμηςησ Καναλιού vs. SINR για διϊφορα Μ Γρϊφημα IV- 6: Ιςχύσ φϊλματοσ Ορθοκανονικότητασ για διαφορετικό βόμα του FDPM 67 Γρϊφημα IV- 7: Μϋςο Απόλυτο φϊλμα Ορθοκανονικότητασ για διαφορετικό βόμα του FDPM Γρϊφημα IV- 8: Ιςχύσ φϊλματοσ Ορθοκανονικότητασ vs. επαναλόψεισ FDPM Γρϊφημα IV- 9: Ιςχύσ φϊλματοσ Ορθοκανονικότητασ vs. SINR Γρϊφημα IV- 10: Ιςχύσ φϊλματοσ Προβολόσ vs. επαναλόψεισ FDPM Γρϊφημα IV- 11: Ιςχύσ φϊλματοσ Προβολόσ vs. SINR Γρϊφημα IV- 12: φϊλμα Εκτύμηςησ Καναλιού με FDPM για διϊφορα Μ Γρϊφημα IV- 13: SER με FDPM για διϊφορα Μ

12 12

13 I. Massive MIMO Κεφϊλαιο Ι Massive MIMO Ι.1. Ειςαγωγό Σισ δυο τελευταύεσ δεκαετύεσ ϋχει γύνει ιδιαύτερη ϋρευνα γύρω από την τεχνολογύα των ςυςτημϊτων πολλαπλών ειςόδων-πολλαπλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output MIMO). Σα ςυςτόματα αυτϊ ϋχουν ενςωματωθεύ ςε διϊφορα ςτϊνταρ αςύρματων ςυςτημϊτων αφού προςφϋρουν ςημαντικό αύξηςη τόςο ςτη χωρητικότητα όςο και ςτην αξιοπιςτύα των αςύρματων ςυςτημϊτων. Αρχικϊ, δόθηκε βϊροσ ςτην ϋρευνα γύρω από ςυςτόματα MIMO από ςημεύο ςε ςημεύο (point-topoint), δηλαδό ςυςτόματα όπου δύο ςυςκευϋσ με πολλαπλϋσ κεραύεσ επικοινωνούν μεταξύ τουσ. την πορεύα το ενδιαφϋρον ςτρϊφηκε ςε πιο πρακτικϊ ςυςτόματα πολλαπλών χρηςτών (multi-user MU-MIMO) όπου, ςυνόθωσ, ϋνασ ςταθμόσ βϊςησ (BS) με πολλϋσ κεραύεσ εξυπηρετεύ ταυτόχρονα ϋνα πλόθοσ χρηςτών, καθϋνασ εκ των οπούων ϋχει μύα μόνο κεραύα, και οι χρόςτεσ αυτού μοιρϊζονται το κϋρδοσ πολυπλεξύασ. Με αυτόν τον τρόπο, απαιτεύται η χρόςη ακριβού, πολύπλοκου υλικού μόνο ςτην πλευρϊ του ςταθμού βϊςησ, ενώ οι ςυςκευϋσ των χρηςτών μπορούν να εύναι εξοπλιςμϋνοι με ςχετικϊ φτηνότερϋσ ςυςκευϋσ με μύα μόνο κεραύα. Επιπλϋον, λόγω τησ ποικιλομορφύασ πολλαπλών χρηςτών, η απόδοςη των MU-MIMO ςυςτημϊτων επηρεϊζεται γενικϊ λιγότερο από το περιβϊλλον διϊδοςησ, ςε ςχϋςη με την περύπτωςη των point-to-point MIMO. Ωσ αποτϋλεςμα, τα MU-MIMO ϋχουν γύνει αναπόςπαςτο κομμϊτι των τηλεπικοινωνιακών προτύπων, όπωσ το (Wi-Fi), (WiMAX), LTE, και ςταδιακϊ εφαρμόζεται ςτην πρϊξη ςε ολόκληρο τον κόςμο. τισ περιςςότερεσ πρακτικϋσ υλοποιόςεισ οι ςταθμού βϊςησ εύναι εξοπλιςμϋνοι με λύγεσ κεραύεσ (ςυνόθωσ λιγότερεσ από 10) και η αντύςτοιχη βελτύωςη ςτην φαςματικό απόδοςη εύναι ςημαντικό μεν, ςχετικϊ περιοριςμϋνη δε. ε μύα πρόςφατη προςπϊθεια επύτευξησ ακόμα μεγαλύτερου κϋρδουσ, αλλϊ και απλοπούηςησ τησ απαιτούμενησ επεξεργαςύασ ςόματοσ, ϋχουν 13

14 I. Massive MIMO προταθεύ τα massive MIMO ό ςυςτόματα κεραιών μεγϊλησ κλύμακασ (large-scale antenna systems LSAS) [1][2]. Στα ςυςτόματα αυτϊ κϊθε ςταθμόσ βϊςησ εύναι εξοπλιςμϋνοσ με τϊξεισ μεγϋθουσ περιςςότερεσ κεραύεσ (π.χ. 100 ό περιςςότερεσ). Στην εικόνα Ι-1 παρουςιϊζεται ϋνα massive MU-MIMO ςύςτημα. Εικόνα Ι-1: Massive MU-MIMO ύςτημα Αςυμπτωτικϋσ μελϋτεσ [2] ϋχουν δεύξει ότι οι επιδρϊςεισ του αςυςχϋτιςτου θορύβου και τησ εξαςθϋνιςησ μικρόσ κλύμακασ εξαλεύφονται, το πλόθοσ των χρηςτών ανϊ κυψϋλη γύνεται ανεξϊρτητο του μεγϋθουσ τησ κυψϋλησ και η απαιτούμενη ενϋργεια εκπομπόσ ανϊ bit ςχεδόν μηδενύζεται, όςο ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ αυξϊνεται απεριόριςτα. Επιπλϋον, απλϋσ γραμμικϋσ μϋθοδοι επεξεργαςύασ ςημϊτων, όπωσ π.χ. προςαρμοςμϋνα φύλτρα (matched filtering MF), μπορούν να χρηςιμοποιηθούν ώςτε να αποκομιςτούν αυτϊ τα πλεονεκτόματα. Έχει δειχθεύ επύςησ [2], ότι κϊτω από ρεαλιςτικϋσ προώποθϋςεισ διϊδοςησ, ϋνα μη ςυνεργατικό massive MU-MIMO ςύςτημα που χρηςιμοποιεύ προςαρμοςμϋνα φύλτρα, θα μπορούςε να επιτύχει ρυθμό δεδομϋνων ςτα 17Mb/s για καθϋναν από 40 χρόςτεσ ςε ϋνα κανϊλι των 20MHz τόςο ςτο uplink ό reverse link (κανϊλι από τουσ χρόςτεσ ςτο ςταθμό βϊςησ) όςο και ςτο downlink ό forward link (κανϊλι από το ςταθμό βϊςησ προσ τουσ χρόςτεσ) με μϋςη ρυθμαπόδοςη (throughput) 730Mb/s ανϊ κυψϋλη και ςυνολικό φαςματικό απόδοςη 26.5 bps/hz. Αφού ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ υποτύθεται ότι εύναι πολύ μεγαλύτεροσ από το πλόθοσ των χρηςτών, ϋνασ μεγϊλοσ αριθμόσ βαθμών ελευθερύασ εύναι διαθϋςιμοσ. Αυτού οι βαθμού ελευθερύασ μπορούν να αξιοποιηθούν προκειμϋνου να 14

15 I. Massive MIMO απλοποιηθεύ το υλικό ό να ακυρωθεύ η παρεμβολό,30-. Για να εύναι πρακτικό ϋνα τϋτοιο ςύςτημα απαιτούνται αλγόριθμοι οι οπούοι θα διατηρούν την πολυπλοκότητα ςε αποδεκτό επύπεδο. Ένα ϊλλο πλεονϋκτημα των massive MIMO ςε ςχϋςη με τα αντύςτοιχα ςυςτόματα με μια μόνο κεραύα εύναι η εν δυνϊμει ενεργειακό απόδοςό τουσ. Κϊθε χρόςτησ με μύα κεραύα ςε ϋνα massive MIMO ςύςτημα μπορεύ να μειώςει την ενϋργεια εκπομπόσ του ανϊλογα με τον αριθμό των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ, για την περύπτωςη όπου υπϊρχει πλόρησ γνώςη του καναλιού (Channel State Information CSI), ό ανϊλογα με την τετραγωνικό ρύζα του αριθμού των κεραιών του ςταθμού βϊςησ για την περύπτωςη όπου δεν υπϊρχει τϋλεια γνώςη τησ κατϊςταςησ του καναλιού, προκειμϋνου να επιτευχθεύ η ύδια απόδοςη με το αντύςτοιχο ςύςτημα μονόσ ειςόδου μονόσ εξόδου (Single Input Single Output SISO). Κϊτι τϋτοιο οδηγεύ ςε υψηλότερη ενεργειακό απόδοςη και αποτελεύ πολύ ςημαντικό ζότημα για τα μελλοντικϊ αςύρματα δύκτυα καθώσ η υπερβολικό κατανϊλωςη ενϋργειασ εύναι μια ςυνεχώσ αυξανόμενη ανηςυχύα. Από την ϊλλη πλευρϊ, εϊν υπϊρχει διαθϋςιμη αρκετό ενϋργεια εκπομπόσ, τότε ϋνα massive MIMO ςύςτημα μπορεύ να επεκτεύνει το εύροσ λειτουργύασ ςε ςύγκριςη με ϋνα ςύςτημα με μονϋσ κεραύεσ. Έτςι, τα massive MIMO εύναι μια πολλϊ υποςχόμενη προοπτικό για τη βελτύωςη τησ ενεργειακόσ αποδοτικότητασ των μελλοντικών δικτύων. Οι παραπϊνω παρατηρόςεισ ϋδωςαν ϋναυςμα ςτην ϋρευνα με ςκοπό τη βαθύτερη κατανόηςη των προεκτϊςεων τησ ςχεδύαςησ των massive MIMO τόςο από την πλευρϊ τησ επεξεργαςύασ ςόματοσ όςο και από τη ςκοπιϊ τησ θεωρύασ πληροφορύασ. Ι.2. Επιτεύξιμοι Ρυθμού και Χωρητικότητα ε αυτό την ενότητα θα εξεταςτούν τα πλεονεκτόματα των massive MIMO ςυςτημϊτων από την ςκοπιϊ τησ θεωρύασ πληροφορύασ. Αρχικϊ θα αναλυθούν τα point-to-point MIMO ςυςτόματα με ςκοπό να φανούν οι δυνατότητεσ που προκύπτουν εξοπλύζοντασ τισ μονϊδεσ με ϋνα μεγϊλο αριθμό από κεραύεσ και ςτη ςυνϋχεια θα ςυζητηθούν τα MU-MIMO, όπου πολλού χρόςτεσ που διαθϋτουν μύα μόνο κεραύα επικοινωνούν με ϋνα ςταθμό βϊςησ ο οπούοσ εύναι εξοπλιςμϋνοσ με ϋνα μεγϊλο αριθμό κεραιών [3][4]. 15

16 I. Massive MIMO Ι.2.1 Point-to-point MIMO Αρχικϊ, θεωρούμε ϋνα point-to-point ΜΙΜΟ ςύςτημα ςτο οπούο ο πομπόσ και ο δϋκτησ εύναι εξοπλιςμϋνοι με και κεραύεσ αντύςτοιχα. Τποθϋτουμε οτι τα κανϊλια εύναι ςτενόσ ζώνησ και χρονικϊ αμετϊβλητα και ορύζονται απο ϋνα ντετερμινιςτικό μητρώο. την περύπτωςη όπου τα κανϊλια εύναι ευρεύασ ζώνησ ό επιλεκτικϊ ςτη ςυχνότητα, τότε μπορούν να χρηςιμοποιηθούν OFDM ςχόματα ώςτε να μετατραπούν ςε πολλϊ παρϊλληλα κανϊλια επύπεδησ εξαςθϋνιςησ. Σο λαμβανόμενο ςόμα μπορεύ να εκφραςτεύ ωσ όπου εύναι το διϊνυςμα του εκπεμπόμενου ςόματοσ και ο όροσ αντιπροςωπεύει το θόρυβο και την παρεμβολό. Εςτιϊζουμε ςτην περύπτωςη όπου η ςυνολικό ιςχύσ του εκπεμπόμενου ςόματοσ εύναι κανονικοποιημϋνη, δηλαδό, - 1, και ο θόρυβοσ εύναι κυκλικϊ ςυμμετρικόσ μιγαδικόσ Gaussian κατανομόσ με μηδενικό μϋςη τιμό και ταυτοτικό πύνακα ςυνδιαςπορϊσ ( ). Κϊτω απο αυτϋσ τισ παραδοχϋσ, ο βαθμωτόσ αντιπροςωπεύει την ιςχύ εκπομπόσ. Εϊν υποθϋςουμε επιπλϋον ότι το ςόμα ειςόδου εύναι ανεξϊρτητα και ομοιόμορφα κατανεμημϋνα (i.i.d.) δεύγματα Gaussian κατανομόσ και ότι ο δϋκτησ ϋχει πλόρη (τϋλεια) γνώςη τησ κατϊςταςησ του καναλιού, ο ςτιγμιαύοσ επιτεύξιμοσ ρυθμόσ εύναι: d ( ) i / (1) Με τη βοόθεια τησ ανιςότητασ του Jensen, ϋχουν εξαχθεύ ϊνω και κϊτω φρϊγματα για τη χωρητικότητα για την περύπτωςη όπου οι ςυντελεςτϋσ διϊδοςησ ςτο μητρώο του καναλιού εύναι κανονικοποιημϋνοι ωσ ( ) : (1 ) i (, ) (1 (, ) ) (2) Ο πραγματικόσ επιτεύξιμοσ ρυθμόσ εξαρτϊται από την κατανομό των ιδιαζουςών τιμών (singular values) του. Μεταξύ των καναλιών με την ύδια κανονικοπούηςη, αυτϊ των οπούων οι ιδιϊζουςεσ τιμϋσ εύναι όλεσ ύςεσ μπορούν να επιτύχουν τον υψηλότερο ρυθμό, δηλαδό το ϊνω φρϊγμα 16

17 I. Massive MIMO ςτην (2), ενώ αυτϊ τα οπούα ϋχουν μύα μόνο μη μηδενικό ιδιϊζουςα τιμό επιτυγχϊνουν το χαμηλότερο ρυθμό, δηλαδό το κϊτω φρϊγμα ςτη (2). Η καλύτερη περύπτωςη μπορεύ να προςεγγιςτεύ οριακϊ από το ςενϊριο ςτο οπούο όλοι οι ςυντελεςτϋσ ςτο μητρώο του καναλιού εύναι i.i.d., ενώ η χειρότερη περύπτωςη αντιςτοιχεύ για παρϊδειγμα ςε ϋνα ςενϊριο διϊδοςησ όπου υπϊρχει οπτικό επαφό πομπού και δϋκτη (LoS). τη ςυνϋχεια θα εξεταςτούν δύο ακραύεσ περιπτώςεισ όπου εύτε ο αριθμόσ των κεραιών εκπομπόσ, εύτε ο αριθμόσ των κεραιών λόψησ τεύνει ςτο ϊπειρο. Για την πρώτη περύπτωςη, θεωρούμε ότι και. Όταν το πλόθοσ των κεραιών εκπομπόσ αυξϊνεται αυθαύρετα, ενώ ο αριθμόσ των κεραιών λόψησ παραμϋνει ςταθερόσ, τότε οι γραμμϋσ του πύνακα εύναι αςυμπτωτικϊ ορθογώνιεσ και ϋτςι ϋχουμε: ε αυτό την περύπτωςη ο επιτεύξιμοσ ρυθμόσ ςτην (1) μπορεύ να προςεγγιςτεύ ωσ: (1 ) i / που επιτυγχϊνει το ϊνω φρϊγμα τησ (2). Για την περύπτωςη όπου και προκύπτει με παρόμοιο τρόπο ότι: (1 ) i / Σο οπούο επύςησ επιτυγχϊνει το ϊνω φρϊγμα τησ (2). Tα παραπϊνω αποτελϋςματα δεύχνουν τα πλεονεκτόματα του να εξοπλύζονται οι ςυςτοιχύεσ ςε ϋνα MIMO link με ϋνα μεγϊλο πλόθοσ ςτοιχεύων κεραιών. Υυςικϊ, τα παραπϊνω ςυμπερϊςματα βαςύζονται ςτην υπόθεςη ότι οι γραμμϋσ ό οι ςτόλεσ του μητρώου εύναι αςυμπτωτικϊ ορθογώνιεσ, μια αιςιόδοξη υπόθεςη για τουσ ςυντελεςτϋσ διϊδοςησ. Σο κϋρδοσ πολυπλεξύασ εξαφανύζεται ςε περιβϊλλοντα διϊδοςησ LoS [3]. 17

18 I. Massive MIMO Ι.2.2 Multi-User MIMO Σα ςυςτόματα MIMO πολλαπλών χρηςτών μπορούν να αποκομύςουν τα πολλϊ υποςχόμενα κϋρδη πολυπλεξύασ των point-to-point massive MIMO ςυςτημϊτων, εξαλεύφοντασ ταυτόχρονα τα προβλόματα που οφεύλονται ςτο μη ευνοώκό περιβϊλλον διϊδοςησ. Τποθϋτουμε ϋνα MU-MIMO ςύςτημα με κυψϋλεσ. Κϊθε κυψϋλη εξυπηρετεύ χρόςτεσ, καθϋνασ εκ των οπούων εύναι εξοπλιςμϋνοσ με μύα μόνο κεραύα, μεςω ενόσ ςταθμού βϊςησ ο οπούοσ ϋχει κεραύεσ. Ωσ,,, υποδηλώνουμε το ςυντελεςτό του καναλιού από τον -οςτό χρόςτη ςτην -οςτό κυψϋλη προσ το -οςτό ςτοιχεύο κεραύασ ςτο ςταθμό βϊςησ τησ κυψϋλησ. Ο ςυντελεςτόσ αυτόσ ιςούται με το γινόμενο ενόσ μιγαδικού παρϊγοντα ο οπούοσ αντιπροςωπεύει την εξαςθϋνιςη μικρόσ κλύμακασ και ενόσ παρϊγοντα πλϊτουσ που αντιπροςωπεύει τη γεωμετρικό εξαςθϋνιςη μεγϊλησ κλύμακασ, δηλαδό:,,,,,,,, όπου οι παρϊγοντεσ,,, και,, αντιπροςωπεύουν την εξαςθϋνιςη μικρόσ και μεγϊλησ κλύμακασ, αντύςτοιχα. Οι ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μικρόσ κλύμακασ εύναι διαφορετικού για τουσ χρόςτεσ ό για διαφορετικϊ ςτοιχεύα κεραύασ ςε κϊθε ςταθμό βϊςησ, ενώ οι ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ εύναι οι ύδιοι για τα διαφορετικϊ ςτοιχεύα κεραύασ ςτον ύδιο ςταθμό βϊςησ, διαφορετικού όμωσ για διαφορετικούσ χρόςτεσ. Έτςι το μητρώο καναλιού από τουσ χρόςτεσ τησ -οςτόσ κυψϋλησ προσ τον - οςτό ςταθμό βϊςησ μπορεύ να εκφραςτεύ ωσ:, [,,,,,,,,,,,, / ],, (3) όπου, [,,,,,,,,,,,, ] Και, [,,,, ] 18

19 I. Massive MIMO τη ςυνϋχεια θα αςχοληθούμε με μια μόνο κυψϋλη, υποθϋτουμε δηλαδό ϋνα MU-MIMO ςύςτημα με 1, χρόςτεσ με μύα κεραύα ο καθϋνασ και ϋνα ςταθμό βϊςησ με κεραύεσ. Για λόγουσ απλότητασ, ςε αυτό την περύπτωςη οι δεύκτεσ τησ κυψϋλησ παραλεύπονται. Για τη μετϊδοςη ςτο κανϊλι από τουσ χρόςτεσ προσ το ςταθμό βϊςησ (uplink), το λαμβανόμενο ςόμα ςτο ςταθμό βϊςησ εύναι: όπου εύναι το διϊνυςμα του εκπεμπόμενου ςόματοσ (από όλουσ τουσ χρόςτεσ), το μητρώο του καναλιού, όπωσ ορύζεται ςτην (3), διϊνυςμα μιγαδικού Gaussian θορύβου μηδενικόσ μϋςησ τιμόσ και ταυτοτικού πύνακα ςυνδιαςπορϊσ και η ιςχύσ μετϊδοςησ των χρηςτών. Σο ςύμβολο που ϋςτειλε ο -οςτόσ χρόςτησ,, εύναι το -οςτό ςτοιχεύο του διανυςματοσ,,, - με, - 1. Θεωρώντασ ότι οι ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μικρόσ κλύμακασ εύναι ανεξϊρτητοι για διαφορετικούσ χρόςτεσ, τα διανύςματα-ςτόλεσ των καναλιών από διαφορετικούσ χρόςτεσ εύναι αςυμπτωτικϊ ορθογώνια όςο ο αριθμόσ των κεραιών,, ςτο ςταθμό βϊςησ τεύνει ςτο απειρο [2]. Σότε ϋχουμε: / / / / Με βϊςη αυτό το αποτϋλεςμα, ο ςυνολικόσ επιτεύξιμοσ ρυθμόσ όλων των χρηςτών γύνεται d ( ) d ( ) (1 ) i / (4) Η χωρητικότητα αυτό μπορεύ να επιτευχθεύ χρηςιμοποιώντασ απλϊ προςαρμοςμϋνα φύλτρα ςτο ςταθμό βϊςησ. Όταν χρηςιμοποιούνται προςαρμοςμϋνα φύλτρα, ο ςταθμόσ βϊςησ επεξεργϊζεται το ληφθϋν ςόμα πολλαπλαςιϊζοντασ το με το ςυζυγό ανϊςτροφο του μητρώου του καναλιού ωσ εξόσ: ( ) (5) 19

20 I. Massive MIMO Να ςημειωθεύ ότι τα διανύςματα των καναλιών εύναι αςυμπτωτικϊ ορθογώνια όταν ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ αυξϊνεται απεριόριςτα. Έτςι, ο πολλαπλαςιαςμόσ με το δε χρωματύζει το θόρυβο. Αφού το εύναι διαγώνιο μητρώο, το προςαρμοςμϋνο φύλτρο διαχωρύζει τα ςόματα από διαφορετικούσ χρόςτεσ ςε διαφορετικϋσ ροϋσ και αςυμπτωτικϊ δεν υπϊρχουν παρεμβολϋσ μεταξύ των χρηςτών. Έτςι, οι μεταδόςεισ των ςημϊτων κϊθε χρόςτη μπορούν να αντιμετωπιςτούν ςαν να προϋρχονταν από ϋνα SISO κανϊλι. Από την (5), ο λόγοσ ςόματοσ προσ θόρυβο (SNR) του χρόςτη εύναι. υνεπώσ, ο επιτεύξιμοσ ρυθμόσ με χρόςη προςαρμοςμϋνων φύλτρων εύναι ο ύδιοσ με το όριο ςτην (4) κϊτι που υπονοεύ ότι αυτού του εύδουσ η επεξεργαςύα ςτο ςταθμό βϊςησ εύναι βϋλτιςτη όταν ο αριθμόσ των ςτοιχεύων κεραύασ του ςταθμού βϊςησ,, αυξϊνεται απεριόριςτα. Για τη μετϊδοςη ςτο κανϊλι από το ςταθμό βϊςησ προσ τουσ χρόςτεσ (downlink), υποδηλώνουμε το ληφθϋν ςόμα ςτουσ χρόςτεσ ωσ. υνόθωσ ςτα massive MIMO υποτύθεται λειτουργύα time division duplexing (TDD), όπου το κανϊλι ςτο downlink εύναι το ανϊςτροφο του uplink. Έτςι το ληφθϋν ςόμα ςτουσ χρόςτεσ εύναι: όπου εύναι το διϊνυςμα του εκπεμπόμενου ςόματοσ από το ςταθμό βϊςησ, ϋνα διϊνυςμα μιγαδικού Gaussian θορύβου μηδενικόσ μϋςησ τιμόσ και ταυτοτικού πύνακα ςυνδιαςπορϊσ και η ιςχύσ μετϊδοςησ ςτο downlink. Για την κανονικοπούηςη τησ ιςχύοσ εκπομπόσ υποθϋτουμε ότι, - 1. Πραγματοποιώντασ κατανομό ιςχύοσ ςτο ςταθμό βϊςησ για να μεγιςτοποιηθεύ ο ςυνολικόσ ρυθμόσ μετϊδοςησ, η ςυνολικό χωρητικότητα του ςυςτόματοσ γύνεται,4]: d ( ) d ( ) i / όπου το εύναι ϋνα θετικό διαγώνιο μητρώο με τισ κατανομϋσ ιςχύοσ,, ωσ ςτοιχεύα τησ διαγωνύου και ιςχυει οτι 1. Εϊν χρηςιμοποιηθεύ προκωδικοπούηςη MF, τότε το ςόμα που μεταδύδεται εύναι: 20

21 I. Massive MIMO / / όπου εύναι το διϊνυςμα του ςόματοσ πληροφορύασ προσ μετϊδοςη. Έτςι, το ςόμα που λαμβϊνεται ςτουσ χρόςτεσ εύναι: Και για την περύπτωςη όπου ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ,, τεύνει ςτο ϊπειρο ιςχύει οτι / / (6) Αφού τόςο το μητρώο όςο και το εύναι διαγώνια, η μετϊδοςη του ςόματοσ από το ςταθμό βϊςησ προσ κϊθε χρόςτη μπορεύ να αντιμετωπύζεται ςαν να προϋρχεται από μια SISO μετϊδοςη και η παρεμβολό μεταξύ των χρηςτών καταργεύται και πϊλι. Ο ςυνολικόσ επιτεύξιμοσ ρυθμόσ ςτην (6) μπορεύ να μεγιςτοποιηθεύ επιλϋγοντασ κατϊλληλα την κατανομό ιςχύοσ, κϊτι που δεύχνει ότι η χωρητικότητα μπορεύ να επιτευχθεύ χρηςιμοποιώντασ ϋναν απλό κωδικοποιητό MF. Έτςι, υποθϋτοντασ ευνοώκϋσ ςυνθόκεσ διϊδοςησ, ο απλόσ κωδικοποιητόσ ό αποκωδικοποιητόσ MF μπορεύ να επιτύχει τη χωρητικότητα των massive MU-MIMO, όταν ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ,, εύναι πολύ μεγαλύτεροσ απο τον αριθμό των χρηςτών και παρϊλληλα αυξϊνεται απεριοριςτα, δηλαδό και. Ι.3. Εκτύμηςη Καναλιών ε αυτόν την ενότητα παρουςιϊζονται διϊφορεσ μϋθοδοι εκτύμηςησ καναλιών για massive MIMO και εξηγεύται γιατύ ςυνόθωσ προτιμϊται η λειτουργύα TDD ςτα ςυςτόματα αυτϊ. τα ςυμβατικϊ MIMO ςυςτόματα, η προκωδικοπούηςη ςτο downlink και η ανύχνευςη ςτο uplink απαιτούν γνώςη τησ κατϊςταςησ του καναλιού ςτο ςταθμό βϊςησ. Οι πόροι (χρόνοσ ό ςυχνότητα) που απαιτούνται για την εκτύμηςη των καναλιών ςε ϋνα ΜΙΜΟ ςύςτημα εύναι ανϊλογοι του αριθμού των κεραιών εκπομπόσ και ανεξϊρτητοι του αριθμού των κεραιών λόψησ. 21

22 I. Massive MIMO Εφαρμόζοντασ λειτουργύα frequency division duplexing (FDD), που ςημαύνει χρόςη διαφορετικών ζωνών ςυχνοτότων ςτο downlink και ςτο uplink, η πληροφορύα τησ κατϊςταςησ του καναλιού εύναι διαφορετικό για το uplink και το downlink. Η εκτύμηςη του καναλιού για το uplink γύνεται ςτο ςταθμό βϊςησ με χρόςη ακολουθιών εκπαύδευςησ (pilots) που ςτϋλνουν όλοι οι χρόςτεσ. Ο χρόνοσ που απαιτεύται για τη μετϊδοςη των pilots ςτο uplink εύναι ανεξϊρτητοσ του αριθμού των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Ωςτόςο, για την απόκτηςη τησ CSI για το downlink ςε ϋνα FDD ςύςτημα, απαιτεύται μια διαδικαςύα δυο ςταδύων. Αρχικϊ ο ςταθμόσ βϊςησ εκπϋμπει μια ακολουθύα εκπαύδευςησ προσ όλουσ τουσ χρόςτεσ. τη ςυνϋχεια οι χρόςτεσ ανατροφοδοτούν τισ εκτιμόςεισ για τα κανϊλια του downlink πύςω ςτο ςταθμό βϊςησ. Ο χρόνοσ που απαιτεύται για τη μετϊδοςη των pilots ςτο downlink εύναι ανϊλογοσ του αριθμού των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Με την αύξηςη του πλόθουσ των κεραιών αυτών, η ςυνόθησ ςτρατηγικό εκτύμηςησ καναλιών για ςυςτόματα FDD γύνεται ανϋφικτη. Σο πρόβλημα αυτό μπορεύ να λυθεύ χρηςιμοποιώντασ τη ςτρατηγικό εκτύμηςησ καναλιών ςτα TDD ςυςτόματα. Με βϊςη την υπόθεςη ότι τα κανϊλια εύναι αμοιβαύα, αρκεύ να γύνει εκτύμηςη των καναλιών μόνο ςτο uplink. την εικόνα Ι-2 [5] απεικονύζεται ϋνα TDD πρωτόκολλο ςύμφωνα με το οπούο όλοι οι χρόςτεσ ςε όλεσ τισ κυψϋλεσ μεταδύδουν ςυγχρονιςμϋνα τα ςόματα πληροφορύασ τουσ. τη ςυνϋχεια, οι χρόςτεσ ςτϋλνουν τισ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ. Οι ςταθμού βϊςησ χρηςιμοποιούν αυτϋσ τισ ακολουθύεσ για να εκτιμόςουν τα κανϊλια με τουσ χρόςτεσ που βρύςκονται ςτην ύδια κυψϋλη. Οι εκτιμόςεισ χρηςιμοποιούνται ϋπειτα για την ανύχνευςη των δεδομϋνων των χρηςτών και για το ςχεδιαςμό των διανυςμϊτων προςανατολιςμού (beamformers) για τη μετϊδοςη ςτο downlink. Ωςτόςο, εξαιτύασ του περιοριςμϋνου χρόνου ςυνοχόσ του καναλιού, οι ακολουθύεσ εκπαύδευςησ που χρηςιμοποιούν οι χρόςτεσ ςτισ γειτονικϋσ κυψϋλεσ μπορεύ να μην εύναι πλϋον ορθογώνιεσ με αυτϋσ των χρηςτών μϋςα ςτην κυψϋλη ενδιαφϋροντοσ, γεγονόσ που οδηγεύ ςτο πρόβλημα «μόλυνςησ» των pilots (pilot contamination)[2], που θα ςυζητηθεύ εκτενϋςτερα ςτο κεφϊλαιο ΙΙ. 22

23 I. Massive MIMO Εικόνα Ι-2: Λειτουργύα TDD Η γραμμικό εκτύμηςη που βαςύζεται ςτο μϋςο ελϊχιςτο τετραγωνικό ςφϊλμα (MMSE) χρηςιμοποιεύται ςυχνϊ και μπορεύ να παρϋχει ςχεδόν βϋλτιςτη απόδοςη με χαμηλό πολυπλοκότητα. Μια ϊλλη τεχνικό που ϋχει προταθεύ βαςύζεται ςτο compressive sensing [6- και εκμεταλλεύεται το γεγονόσ ότι οι βαθμού ελευθερύασ του μητρώου του φυςικού καναλιού εύναι πολύ λιγότεροι από τισ ελεύθερεσ παραμϋτρουσ. Για τη βελτύωςη τησ φαςματικόσ απόδοςησ του ςυςτόματοσ, ϋχει προταθεύ ο ςχεδιαςμόσ ακολουθιών εκπαύδευςησ ςτη ςυχνότητα και το χρόνο,7- με μια δομό η οπούα αποκομύζει τα πλεονεκτόματα τησ εκτύμηςησ τόςο ςτο πεδύο του χρόνου όςο και ςτο πεδύο των ςυχνοτότων, αποφεύγοντασ ταυτόχρονα τα επιμϋρουσ μειονεκτόματϊ τουσ. Ι.4. Ανύχνευςη ημϊτων Οι γραμμικού ανιχνευτϋσ ςόματοσ χαμηλόσ πολυπλοκότητασ, όπωσ ο MF, o ZF (zero forcing) και ο MMSE εύναι πρακτικού υποψόφιοι για τα massive MIMO ςυςτόματα. Μπορούν να επιτύχουν τη χωρητικότητα αςυμπτωτικϊ όςο ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ αυξϊνεται αρκετϊ ςε ςύγκριςη με τον αριθμό των χρηςτών και τα κανϊλια μεταξύ των διαφορετικών χρηςτών εύναι ανεξϊρτητα [2][3]. Εκτόσ από τισ μεθόδουσ γραμμικόσ ανύχνευςησ, υπϊρχουν και μηγραμμικού ανιχνευτϋσ οι οπούοι μπορούν να επιτύχουν καλύτερη απόδοςη με κόςτοσ όμωσ μεγαλύτερησ υπολογιςτικόσ πολυπλοκότητασ. Η μεύωςη τησ πολυπλοκότητασ για μη γραμμικούσ ανιχνευτϋσ για τα massive MIMO εύναι ιδιαύτερα ςημαντικό ζότημα και ϋχει προςελκύςει αρκετό ϋρευνα. 23

24 I. Massive MIMO Ι.5. Προκωδικοπούηςη (Precoding) Οι γραμμικού προκωδικοποιητϋσ μπορούν επύςησ να χρηςιμοποιηθούν ςε ςυςτόματα massive MIMO πολλαπλών κυψελών, όπου ςυνεργαζόμενοι ςταθμού βϊςησ μπορούν να ςχεδιαςτούν ώςτε να εξυπηρετούν χρόςτεσ ςε διαφορετικϋσ κυψϋλεσ,8-. Ανϊλογα με το πόςη πληροφορύα ανταλλϊςςεται μεταξύ των ςταθμών βϊςησ, υπϊρχουν τρύα ςενϊρια: επεξεργαςύα ςε μύα μόνο κυψϋλη, ςυντονιςμϋνο beamforming και επεξεργαςύα ςε πολλαπλϋσ κυψϋλεσ. Η επεξεργαςύα ςε μύα μόνο κυψϋλη βαςύζεται ςτην υπόθεςη ότι οι ςταθμού βϊςησ ϋχουν πληροφορύα μόνο για τα κανϊλια με τουσ χρόςτεσ τησ ςυγκεκριμϋνησ κυψϋλησ και καμύα γνώςη για τουσ χρόςτεσ των υπόλοιπων κυψελών. Σο ςυντονιςμϋνο beamforming αξιοποιεύ την πληροφορύα για τα κανϊλια από κϊθε ςταθμό βϊςησ προσ τουσ χρόςτεσ όλων των κυψελών. Η ιδϋα τησ επεξεργαςύασ ςε πολλαπλϋσ κυψϋλεσ βαςύζεται ςτην πλόρη ςυνεργαςύα μεταξύ των ςταθμών βϊςησ, όπου όχι μόνο η πληροφορύα για την κατϊςταςη των καναλιών, αλλϊ και τα δεδομϋνα μοιρϊζονται ςε όλεσ τισ κυψϋλεσ. Μεταξύ των παραπϊνω τριών περιπτώςεων, η επεξεργαςύα ςε μύα μόνο κυψϋλη αποφεύγει την επιβϊρυνςη λόγω ανταλλαγόσ δεδομϋνων αλλϊ δε μπορεύ να μειώςει τισ παρεμβολϋσ μεταξύ των κυψελών. Η επεξεργαςύα ςε πολλαπλϋσ κυψϋλεσ ϋχει την καλύτερη απόδοςη αλλϊ ϋχει τη μεγαλύτερη επιβϊρυνςη λόγω ανταλλαγόσ πληροφορύασ. Σο ςυντονιςμϋνο beamforming προςφϋρει τη δυνατότητα ανταλλαγόσ (tradeoff) μεταξύ απόδοςησ και επιβϊρυνςησ λόγω ανταλλαγόσ πληροφορύασ. ε ςύγκριςη με τα ςυμβατικϊ MIMO ςυςτόματα, η χρόςη ςυντονιςμϋνου beamforming ςτα massive MIMO εύναι αρκετϊ πιο δύςκολη: ο μεγϊλοσ αριθμόσ κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ καθιςτϊ όλο και λιγότερο πρακτικό την ανταλλαγό CSI μεταξύ των ςταθμών βϊςησ. Έτςι, ϋχουν μελετηθεύ διϊφορεσ τεχνικϋσ που βαςύζονται ςτην ανταλλαγό ςτατιςτικών των καναλιών κϊτω από δύο ςενϊρια: για το πρώτο γύνεται η παραδοχό ότι,, ενώ για το δεύτερο υποτύθεται / και,. Σα κατανεμημϋνα MIMO που βαςύζονται ςε περιοριςμϋνη γνώςη τησ κατϊςταςησ του καναλιού μελετώνται ςτο,9- και προτεύνεται η χρόςη γραμμικόσ Hermitian κωδικοπούηςησ η οπούα λαμβϊνει υπ' όψιν μόνο CSI από τη ςυγκεκριμϋνη κυψϋλη και τουσ ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ από τισ υπόλοιπεσ κυψϋλεσ. Η απώλεια απόδοςησ εξαιτύασ τησ χρόςησ περιοριςμϋνησ CSI εύναι αμελητϋα ςε ςύγκριςη με την περύπτωςη όπου ανταλλϊςςεται πλόρησ CSI. Έτςι, μια τϋτοια ςχεδύαςη μπορεύ να 24

25 I. Massive MIMO χρηςιμοποιηθεύ για τη μεύωςη τησ επιβϊρυνςησ λόγω ανταλλαγόσ πληροφορύασ, ειδικϊ για τα massive MIMO ςυςτόματα. Ι.6. Ενεργειακό Απόδοςη Εκτόσ από τη φαςματικό απόδοςη, η τεχνολογύα των massive MIMO μπορεύ να επιφϋρει βελτύωςη και ςτην ενεργειακό απόδοςη. Τποθϋτουμε μετϊδοςη ςτο uplink ενόσ ςυςτόματοσ με μύα κυψϋλη η οπούα ϋχει χρόςτεσ μιασ κεραύασ και ϋνα ςταθμό βϊςησ με κεραύεσ, όπου. Σα διανύςματα των καναλιών των διαφορετικών χρηςτών εύναι αςυςχϋτιςτα. ε ϋνα τϋτοιο ςενϊριο, οι γραμμικού εκτιμητϋσ (MF, ZF, MMSE) εύναι αρκετϊ καλού. Με βϊςη το,25- και την (5), ϋχοντασ τϋλεια γνώςη του καναλιού ςτο ςταθμό βϊςησ, ο επιτεύξιμοσ ρυθμόσ δεδομϋνων του uplink για τον -οςτό χρόςτη όταν ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ,, τεύνει ςτο ϊπειρο, εύναι: (1 ) i / (16) Για να γύνει ςύγκριςη, ο ρυθμόσ δεδομϋνων ενόσ χρόςτη με ιςχύ εκπομπόσ μϋςω ενόσ SISO link με ςυντελεςτό εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ εύναι μόνο, (1 ) i / (17) Από τισ δύο τελευταύεσ ςχϋςεισ φαύνεται ότι όταν το εύναι μεγϊλο, η απόδοςη ενόσ χρόςτη με ιςχύ εκπομπόσ / ςε ϋνα MU-MIMO ςύςτημα εύναι η ύδια με αυτό ενόσ χρόςτη που εκπϋμπει με ιςχύ ςε ϋνα SISO ςύςτημα, χωρύσ εξαςθϋνιςη μικρόσ κλύμακασ. υνεπώσ, η ιςχύσ ενόσ χρόςτη μπορεύ να μειωθεύ κατϊ φορϋσ όταν υπϊρχει τϋλεια γνώςη του καναλιού ςτο ςταθμό βϊςησ. Επιπρόςθετα, η φαςματικό απόδοςη αυξϊνεται κατϊ ϋνα παρϊγοντα όταν χρόςτεσ εξυπηρετούνται ταυτοχρόνωσ. Σα αποτελϋςματα όταν η γνώςη του καναλιού ςτο ςταθμό βϊςησ δεν εύναι τϋλεια εύναι διαφορετικϊ. Με βϊςη το,25], ϋχοντασ αποκτόςει μια MMSE εκτύμηςη κατϊ τη φϊςη τησ εκπαύδευςησ η οπούα χρηςιμοποιεύται για την ανύχνευςη των δεδομϋνων ςτο uplink, ο εργοδικόσ επιτεύξιμοσ ρυθμόσ για τον -οςτό χρόςτη με βϊςη τον ανιχνευτό MF όςο το, εύναι: 25

26 I. Massive MIMO, (1 ) i (18) όπου εύναι το μόκοσ τησ ακολουθύασ εκπϊιδευςησ, η ιςχύσ τησ οπούασ ικανοποιεύ την ιςότητα. Από τισ (17) και (18), ο ρυθμόσ ενόσ χρόςτη με ιςχύ εκπομπόσ / ςε ϋνα MU-MIMO ςύςτημα με κεραύεσ ςτο ςταθμό βϊςησ εύναι αςυμπτωτικϊ ο ύδιοσ με την απόδοςη ςε ϋνα SISO link με ιςχύ εκπομπόσ χωρύσ εξαςθϋνιςη μικρόσ κλύμακασ. Έτςι, η ιςχύσ εκπομπόσ ενόσ χρόςτη μπορεύ να μειωθεύ κατϊ 1/ για να επιτευχθεύ η ύδια απόδοςη. Σα αποτελϋςματα με χρόςτη ανιχνευτών MMSE και ZF για την περύπτωςη όπου δεν υπϊρχει τϋλεια γνώςη τησ κατϊςταςησ του καναλιού εύναι παρόμοια. Εκτόσ από την περύπτωςη τησ μύασ κυψϋλησ, ο νόμοσ τησ μεύωςησ τησ ιςχύοσ ιςχύει και για την περύπτωςη των πολλαπλών κυψελών. Αυτό ςημαύνει ότι ϋνασ χρόςτησ μπορεύ να μειώςει την ιςχύ εκπομπόσ του ανϊλογα του 1/ ό του 1/, για την περύπτωςη τησ τϋλειασ ό τησ μη πλόρουσ γνώςησ τησ κατϊςταςησ του καναλιού, αντύςτοιχα, για να επιτευχθεύ η ύδια απόδοςη με ϋνα SISO ςύςτημα. ημειώνεται ότι αυτό ιςχύει ακόμα και παρουςύα pilot contamination. Η ενεργειακό απόδοςη ορύζεται ωσ ο λόγοσ τησ φαςματικόσ απόδοςησ και τησ ιςχύοσ εκπομπόσ. Με τϋλεια CSI, η ενεργειακό απόδοςη μειώνεται όςο η φαςματικό απόδοςη αυξϊνεται. Ωςτόςο, για την περύπτωςη όπου δεν υπϊρχει τϋλεια CSI τα αποτελϋςματα εύναι διαφορετικϊ. την περιοχό χαμηλόσ ιςχύοσ εκπομπόσ η ενεργειακό απόδοςη αυξϊνεται με τη φαςματικό απόδοςη, ενώ για υψηλό ιςχύ εκπομπόσ η ενεργειακό απόδοςη μειώνεται όταν η φαςματικό απόδοςη αυξϊνεται. ε ςύγκριςη με τον προκωδικοποιητό MF, ο ZF ϋχει καλύτερη επύδοςη για περιπτώςεισ με υψηλό φαςματικό απόδοςη και χαμηλό ενεργειακό απόδοςη, ενώ το αντύςτροφο ιςχύει για την περύπτωςη με υψηλό ενεργειακό απόδοςη και χαμηλό φαςματικό απόδοςη. Ι.7. Προκύπτοντα Ζητόματα Εξαιτύασ όλων των πλεονεκτημϊτων που περιγρϊφηκαν παραπϊνω τα massive MIMO εύναι μια ιδιαύτερα ελκυςτικό τεχνολογύα για τα ςυςτόματα επόμενησ γενιϊσ, ϋτςι ώςτε να ικανοποιηθεύ η ςυνεχώσ 26

27 I. Massive MIMO αυξανόμενη ζότηςη των αςύρματων δικτύων. Ωςτόςο, υπϊρχουν διϊφορα προβλόματα που πρϋπει να αντιμετωπιςτούν προκειμϋνου να γύνει δυνατό η πρακτικό υλοπούηςό τουσ. Σα ςημαντικότερα από αυτϊ εύναι το φαινόμενο του pilot contamination, που θα ςυζητηθεύ αναλυτικϊ ςτο επόμενο κεφϊλαιο, και τα προβλόματα που ςχετύζονται με το υλικό [31,32]. ε ότι αφορϊ το υλικό, εύναι προφανϋσ ότι από τη ςτιγμό που το πλόθοσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ εύναι πολύ μεγϊλο, θα πρϋπει να χρηςιμοποιηθούν εξαρτόματα χαμηλού κόςτουσ. Σα φτηνϊ ςτοιχεύα υλικού εύναι επιρρεπό ςε ατϋλειεσ που ςυναντώνται ςε κϊθε πομποδϋκτη (π.χ. μη γραμμικότητεσ ενιςχυτών, I/Q imbalance, θόρυβοσ φϊςησ, ςφϊλματα κβαντιςμού). Η επύδραςη αυτών των ατελειών ςυνόθωσ μετριϊζονται χρηςιμοποιώντασ κϊποιουσ αλγορύθμουσ αντιςτϊθμιςησ, που υλοποιούνται ςτα πλαύςια τησ αναλογικόσ ό και ψηφιακόσ επεξεργαςύασ ςόματοσ. Οι αλγόριθμοι αυτού ωςτόςο δεν εξαλεύφουν πλόρωσ τισ επιδρϊςεισ του υλικού, αφού τα χρονικϊ μεταβλητϊ χαρακτηριςτικϊ του υλικού δε μπορούν να εκτιμηθούν ακριβώσ και επειδό ειςϊγονται τυχαιότητεσ λόγω των διαφορετικών ειδών θορύβων. Εκτόσ αυτού, εύναι πιθανό οριςμϋνοι από αυτούσ τουσ αλγορύθμουσ να μην εύναι υλοποιόςιμοι, λόγω πολυπλοκότητασ, ςε τόςο μεγϊλου μεγϋθουσ ςυςτόματα. Έτςι, οι επιπτώςεισ (θόρυβοσ/παραμόρφωςη) τησ χρόςησ υλικού χαμηλού κόςτουσ, καταλόγουν να επηρεϊζουν τη ςυνολικό απόδοςη του ςυςτόματοσ. Από την ϊλλη πλευρϊ το μϋγεθοσ των κεραιών ςτα massive-mimo ςυςτόματα, οδηγεύ ςτην ανϊγκη μικρότερων ςτοιχεύων κεραιών. Εκτόσ από το pilot contamination και τισ ατϋλειεσ του υλικού, ςτα massive MIMO ςυναντώνται και ϊλλα προβλόματα. Λόγω του μεγϊλου πλόθουσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ εύναι πρακτικϊ ςχεδόν αδύνατο να τηρηθεύ ικανοποιητικό απόςταςη μεταξύ των ςτοιχειοκεραιών λόγω των περιοριςμών μεγϋθουσ του ςταθμού βϊςησ. Έτςι, ο απαραύτητοσ διαχωριςμόσ των κεραιών κατϊ ϋνα μόκοσ κύματοσ καταλόγει να μην υφύςταται, προκαλώντασ ϋτςι παρεμβολϋσ μεταξύ των ςτοιχειοκεραιών (mutual coupling). Ένα ακόμη ζότημα που πρϋπει να ληφθεύ υπ' οψιν εύναι η κατανϊλωςη ιςχύοσ. Μπορεύ τα massive MIMO να υπόςχονται ςημαντικό μεύωςη τησ εκπεμπόμενησ ιςχύοσ, όμωσ η ιςχύσ που καταναλώνεται από το υλικό αυξϊνεται γραμμικϊ με το μϋγεθοσ τησ ςυςτοιχύασ κεραιών. 27

28 I. Massive MIMO Η ςυνολικό επύδραςη των μη ιδανικών ςτοιχεύων υλικού (ςυγκεκριμϋνα τησ παραμόρφωςησ που οφεύλεται ςτουσ ενιςχυτϋσ και του θορύβου κβαντιςμού που ειςϊγουν οι DACs) ςτα massive MIMO ςυςτόματα αναλύεται θεωρητικϊ αλλϊ και μϋςω προςομοιώςεων ςτο,32-, ενώ ςτο [31- προτεύνεται ϋνα μοντϋλο ςυςτόματοσ όπου οι ατϋλειεσ του υλικού λαμβϊνονται υπ όψιν. Μϋςω αυτού του μοντϋλου προκύπτει ότι η επιτεύξιμη ακρύβεια εκτύμηςησ των καναλιών δεν εύναι απόλυτη, ενώ παρϊλληλα, οι διϊφορεσ ατϋλειεσ που οφεύλονται ςτο υλικό περιορύζουν ςημαντικϊ και τη χωρητικότητα τόςο ςτο uplink, όςο και ςτο downlink, ανεξαρτότωσ του SNR και του πλόθουσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Ωςτόςο, ϋνα ενθαρρυντικό αποτϋλεςμα εύναι ότι υπϊρχει κϊποιο περιθώριο μεύωςησ τησ ποιότητασ του υλικού ςτο ςταθμό βϊςησ, όςο ο αριθμόσ των κεραιών αυξϊνεται. Εύναι, επομϋνωσ, φανερό ότι η επιτυχόσ υλοπούηςη των ςυςτημϊτων massive MIMO βαςύζεται ςτην ύπαρξη/ανϊπτυξη υλικού χαμηλού κόςτουσ, περιοριςμϋνου μεγϋθουσ, με δυνατότητεσ ψηφιακόσ επεξεργαςύασ. Κατϊ ςυνϋπεια, εύναι ανϊγκη εύτε να βρεθεύ τρόποσ αντιμετώπιςησ των ατελειών των ςτοιχεύων υλικού χαμηλού κόςτουσ, εύτε η ανϊπτυξη ςυςκευών υλικού χαμηλού κόςτουσ και περιοριςμϋνου μεγϋθουσ μεγαλύτερησ ακριβεύασ. 28

29 II. Pilot Contamination Κεφϊλαιο ΙΙ Pilot Contamination ΙI.1. Διατύπωςη Προβλόματοσ Όπωσ αναφϋραμε νωρύτερα, ςτα massive MΙΜΟ ςυςτόματα εύναι πρακτικϊ δυνατό να χρηςιμοποιηθεύ μόνο λειτουργύα TDD, εξαιτύασ τησ μεγϊλησ επιβϊρυνςησ και πολυπλοκότητασ που θα επϋφερε η εκτύμηςη καναλιού και η ανταλλαγό τησ γνώςησ αυτόσ υπό λειτουργύα FDD. Όπωσ φαύνεται ςτην εικόνα Ι-2, ςτα massive MIMO ςυςτόματα που λειτουργούν με βϊςη το TDD, οι χρόςτεσ μεταδύδουν ακολουθύεσ εκπαύδευςησ ςτο uplink προκειμϋνου να γύνει εκτύμηςη των καναλιών. Ονομϊζουμε την ακολουθύα εκπαύδευςησ (μόκουσ ) του χρόςτη ςτην κυψϋλη,, ( -,,,, -, ). Παρόλο που δεν ιςχύει απαραιτότωσ, βολεύει να, υποθϋςουμε ότι -, 1. Ιδανικϊ, οι ακολουθύεσ που χρηςιμοποιούν οι χρόςτεσ τησ ύδιασ κυψϋλησ και των γειτονικών κυψελών πρϋπει να εύναι ορθογώνιεσ, δηλαδό: Όπου η, - ορύζεται ωσ:,,, -, -, - { ώ ε αυτόν την περύπτωςη, ο ςταθμόσ βϊςησ μπορεύ να αποκτόςει μη μολυςμϋνεσ εκτιμόςεισ των καναλιών, υπό την ϋννοια ότι δεν εύναι ςυςχετιςμϋνεσ με τα κανϊλια των ϊλλων χρηςτών. Ωςτόςο, το πλόθοσ των ορθογώνιων ακολουθιών με δεδομϋνη περύοδο και εύροσ ζώνησ εύναι περιοριςμϋνο, κϊτι που περιορύζει τον αριθμό των χρηςτών που μπορούν να εξυπηρετηθούν [2]. Προκειμϋνου να εξυπηρετηθούν περιςςότεροι χρόςτεσ, οι ακολουθύεσ εκπαύδευςησ που 29

30 II. Pilot Contamination ανατύθενται ςτουσ χρόςτεσ των γειτονικών κυψελών δεν εύναι ορθογώνιεσ. Επομϋνωσ, για διαφορετικϊ,, και μπορεύ να ιςχύει:,, 0 Έτςι, η εκτύμηςη του καναλιού προσ κϊποιο χρόςτη αποκτϊ ςυςχϋτιςη με τα κανϊλια των χρηςτών ςτουσ οπούουσ δεν ϋχουν ανατεθεύ ορθογώνιεσ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ. Η ανϊθεςη των ακολουθιών εκπαύδευςησ ςτουσ χρόςτεσ των διαφορετικών κυψελών μπορεύ να γύνει με διϊφορουσ τρόπουσ. Μια απλό μϋθοδοσ εύναι η επαναχρηςιμοπούηςη του ύδιου ςυνόλου ακολουθιών, ϋςτω,,, ςε ολεσ τισ κυψϋλεσ. Αυτό πρακτικϊ ςημαύνει οτι η ακολουθύα θα ανατύθεται ςτον -οςτό χρόςτη κϊθε κυψϋλησ. Οι ύδιεσ ακολουθύεσ, που ϋχουν ανατεθεύ ςε χρόςτεσ ςε γειτονικϋσ κυψϋλεσ, θα δημιουργούν παρεμβολϋσ προκαλώντασ pilot contamination. Η κατϊςταςη αυτό απεικονύζεται ςτισ εικόνεσ ΙΙ-1 και ΙΙ-2, όπου φαύνονται μόνο οι χρόςτεσ με την ύδια ακολουθύα pilots. Κατϊ τη μετϊδοςη ςτο downlink αυτό το φαινόμενο προκαλεύ τον προςανατολιςμό των ςημϊτων από το ςταθμό βϊςησ προσ τουσ χρόςτεσ των γειτονικών κυψελών εκτόσ από τουσ χρόςτεσ τησ κυψϋλησ που βρύςκεται ο ςταθμόσ βϊςησ, προκαλώντασ ϋτςι κατευθυνόμενη παρεμβολό. Αυτό η παρεμβολό, ςε αντύθεςη με την παρεμβολό μϋςα ςτην κυψϋλη, δεν εξαφανύζεται με την αύξηςη του αριθμού των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Ένα παρόμοιο φαινόμενο ςυμβαύνει κατϊ τη μετϊδοςη ςτο uplink. Εικόνα ΙΙ- 1: Pilot Contamination ςτο uplink 30

31 II. Pilot Contamination Εικόνα ΙΙ- 2: Pilot Contamination ςτο downlink Ασ θεωρόςουμε ϋνα ςύςτημα με κυψϋλεσ, καθεμύα εκ των οπούων περιϋχει χρόςτεσ (με μύα κεραύα ο καθϋνασ) και ϋνα ςταθμό βϊςησ με κεραύεσ, όπου. Τποθϋτουμε οτι και οι κυψϋλεσ χρηςιμοποιούν το ύδιο ςύνολο ακολουθιών εκπαύδευςησ που αντιπροςωπεύονται απο το ορθογώνιο μητρώο, - για το οπούο ιςχύει. Τποθϋτουμε επιπλϋον ότι η μετϊδοςη των pilots ςτισ διαφορετικϋσ κυψϋλεσ εύναι ςυγχρονιςμϋνη, όπωσ φαύνεται ςτην εικόνα ΙΙ-1. Σο μητρώο του λαμβανόμενου ςόματοσ ςτoν -οςτό ςταθμό βϊςησ,, μπορεύ να εκφραςτεύ ωσ:, (7) Όπου, εύναι το μητρώο του καναλιού απο τουσ χρόςτεσ τησ -οςτόσ κυψϋλησ προσ τον -οςτό ςταθμό βϊςησ, όπωσ ορύςτηκε ςτην (3). Η -οςτό ςτόλη του,, που ςυμβολύζεται,,, εύναι το διϊνυςμα του καναλιού του -οςτού χρόςτη τησ -οςτόσ κυψϋλησ προσ τον -οςτό ςταθμό βϊςησ. εύναι το μητρώο του θορύβου ςτον -οςτό ςταθμό βϊςησ κατϊ τη φϊςη μετϊδοςησ των pilots και περιϋχει i.i.d. μιγαδικϊ κυκλικϊ ςυμμετρικϊ Gaussian δεύγματα, μηδενικόσ μϋςησ τιμόσ και μοναδιαύασ διαςπορϊσ και εύναι η ιςχύσ εκπομπόσ των ακολουθιών εκπαύδευςησ. Για την εκτύμηςη των καναλιών o -οςτόσ ςταθμόσ βϊςησ προβϊλλει το ληφθϋν ςόμα ςτο προκειμϋνου να αποκτόςει επαρκό ςτατιςτικϊ για την εκτύμηςη του,. Από την (7) το εκτιμηθϋν μητρώο του καναλιού εύναι: 31

32 II. Pilot Contamination, 1,,, 1 (8) Η -οςτό ςτόλη,,,, του, εύναι η εκτύμηςη του διανύςματοσ καναλιού,,. Από την (8) βλϋπουμε ότι η εκτύμηςη,, εύναι ϋνασ γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των διανυςμϊτων του καναλιού,,, 1,,, των χρηςτών ςτισ διαφορετικϋσ κυψϋλεσ που χρηςιμοποιούν την ύδια ακολουθύα εκπαύδευςησ. Αυτό ακριβώσ το φαινόμενο εύναι που ονομϊζεται pilot contamination ςτο [2]. ε ϋνα ΜΙΜΟ ςύςτημα χωρύσ pilot contamination, η εκτύμηςη του καναλιού και το precoding μπορούν να πραγματοποιηθούν ανεξϊρτητα. Η προςϋγγιςη αυτό δεν εύναι όμωσ κατϊλληλη ςτην περύπτωςη όπου υπϊρχει pilot contamination. Μεταβαύνοντασ ςτο ςτϊδιο τησ μετϊδοςησ δεδομϋνων ςτο uplink μετϊ την εκτύμηςη των καναλιών, τo ληφθϋν ςόματα ςτον i-οςτό ςταθμό βϊςησ εύναι:,,, (9) όπου, εύναι το ςύμβολο του -οςτού χρόςτη ςτην -οςτό κυψϋλη και το διϊνυςμα του προςθετικού θορύβου κατϊ τη μετϊδοςη ςτο uplink. Όταν χρηςιμοποιεύται ο ανιχνευτόσ MF, ο ςταθμόσ βϊςησ επεξεργϊζεται το διϊνυςμα του ςόματοσ πολλαπλαςιϊζοντασ με το ςυζυγό ανϊςτροφο τησ εκτύμηςησ του καναλιού. Έτςι, το ςύμβολο από τον -οςτό χρόςτη ςτην -οςτό κυψϋλη που ανιχνεύθηκε,, εύναι:, (,, ), (,, ) (,,, ) όπου εύναι η -οςτό ςτόλη του τησ (8). 32

33 II. Pilot Contamination Από την τελευταύα ςχϋςη, όςο ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ αυξϊνεται, δηλαδό, το SINR του -οςτού χρόςτη ςτην -οςτό κυψϋλη τεύνει ςτο εξόσ όριο:,,,,, (10) όπου,, εύναι ο ςυντελεςτόσ εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ. Από την (10) φαύνεται ότι το SINR εξαρτϊται μόνο από τουσ ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ, ενώ οι ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μικρόσ κλύμακασ και ο θόρυβοσ εξαφανύζονται. Ακόμη, από την (8), όταν χρηςιμοποιούνται μη ορθογώνιεσ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ ςτισ διαφορετικϋσ κυψϋλεσ, ο ςταθμόσ βϊςησ δε μπορεύ να ξεχωρύςει ποιϊ κανϊλια προϋρχονται από χρόςτεσ μϋςα ςτην κυψϋλη και ποιϊ από χρόςτεσ ϊλλων κυψελών. Επιπλϋον, το όριο του SINR που οφεύλεται ςτο pilot contamination δεν εξαφανύζεται με την αύξηςη του αριθμού των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Σα αποτελϋςματα εύναι παρόμοια και αν χρηςιμοποιηθούν ZF ό MMSE ανιχνευτϋσ. Εκτόσ από τη μετϊδοςη ςτο uplink, το φαινόμενο του pilot contamination επηρεϊζει τη μετϊδοςη και ςτο downlink, όπωσ φαύνεται ςτην εικόνα ΙΙ-2. Για το downlink, αν οι εκτιμόςεισ ςτην (8) χρηςιμοποιηθούν απευθεύασ ωσ διανύςματα προςανατολιςμού (beamforming), η ιςχύσ θα διαφϋρει ςε κϊθε διϊςτημα ςυνοχόσ. Έτςι ϋχει προταθεύ η χρόςη μιασ κανονικοποιημϋνησ εκδοχόσ για τα διανύςματα beamforming [10], ςύμφωνα με την οπούα το MF beamforming διϊνυςμα από τον -οςτό ςταθμό βϊςησ προσ τον -οςτό χρόςτη τησ -οςτόσ κυψϋλησ εύναι:,,,,,,,, (11) και ο βαθμωτόσ,,, / εύναι ϋνασ ςυντελεςτόσ κανονικοπούηςησ. Ο -οςτόσ ςταθμόσ βϊςησ μεταδύδει το -διϊςτατο διϊνυςμα,, 33

34 II. Pilot Contamination όπου, εύναι το ςύμβολο που προορύζεται για τον -οςτό χρόςτη τησ - οςτόσ κυψϋλησ. Σο ςόμα που λαμβϊνει ο -οςτόσ χρόςτησ τησ -οςτόσ κυψϋλησ εύναι:,,, (, ),, όπου, εύναι ο προςθετικόσ θόρυβοσ. Σο SINR ςτο downlink για τον - οςτό χρόςτη τησ -οςτόσ κυψϋλησ, όςο το, τεύνει ςτο όριο:,,,,,,, (12) όπου,,, 1 Εκτόσ του παρϊγοντα κανονικοπούηςησ, οι όροι παρεμβολόσ ςτισ (10) και (12) διαφϋρουν και ςτισ ςτατιςτικϋσ ιδιότητεσ. το uplink, η παρεμβολό προϋρχεται από τουσ χρόςτεσ που χρηςιμοποιούν τισ ύδιεσ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ με τον -οςτό χρόςτη τησ -οςτόσ κυψϋλησ. Ο παρονομαςτόσ ςτην (10) εξαρτϊται από τισ αποςτϊςεισ των χρηςτών που δημιουργούν παρεμβολό από το -οςτό ςταθμό βϊςησ. το downlink η παρεμβολό προκαλεύται από τουσ ςταθμούσ βϊςησ των γειτονικών κυψελών που εκπϋμπουν χρηςιμοποιώντασ λανθαςμϋνεσ (μολυςμϋνεσ) εκτιμόςεισ. Ο παρονομαςτόσ ςτη (12) εξαρτϊται από τισ αποςτϊςεισ μεταξύ των γειτονικών ςταθμών βϊςησ και του -οςτού χρόςτη ςτη -οςτό κυψϋλη. Επιπλϋον, οι ςυντελεςτϋσ ςτον παρονομαςτό τησ (10) μπορούν να αντιμετωπιςτούν ωσ ανεξϊρτητεσ παρϊμετροι, ενώ οι ςυντελεςτϋσ ςτον παρονομαςτό τησ (12) εύναι ςυςχετιςμϋνοι. Παρόλο που οι ςτατιςτικϋσ ιδιότητεσ για το uplink και το downlink εύναι διαφορετικϋσ, οι διαφορϋσ δεν επηρεϊζουν ιδιαύτερα την απόδοςη,2-,10-. Από τισ (10) και (12) εύναι φανερό ότι ϋνα massive MIMO ςύςτημα με ιςχυρό pilot contamination ϋχει ςαφώσ χαμηλότερη απόδοςη από ϋνα ϊλλο, όπου το φαινόμενο παρουςιϊζεται αςθενϋςτερα. 34

35 II. Pilot Contamination ΙI.2. Μϋθοδοι Αντιμετώπιςησ Προκειμϋνου να μειωθεύ το πρόβλημα του pilot contamination ϋχουν προταθεύ διϊφορεσ μϋθοδοι. το,11-, οι μϋθοδοι αυτϋσ ϋχουν διακριθεύ ςτισ τϋςςερισ παρακϊτω κατηγορύεσ: μϋθοδοι που βαςύζονται ςε πρωτόκολλα (protocol-based), μϋθοδοι προκωδικοπούηςησ (precoding), μϋθοδοι που βαςύζονται ςτη γωνύα ϊφιξησ (AOA-based) και τυφλϋσ μϋθοδοι (blind). τη ςυνϋχεια θα παρουςιαςτούν ςυνοπτικϊ οι βαςικότερεσ από αυτϋσ ανϊ κατηγορύα. ΙΙ.2.1. Μϋθοδοι που βαςύζονται ςε Πρωτόκολλα Ένασ τρόποσ να μειωθεύ το φαινόμενο εύναι μϋςω επαναχρηςιμοπούηςησ τησ ςυχνότητασ ό μειώνοντασ τον αριθμό των χρηςτών που χρηςιμοποιούν μη ορθογώνιεσ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ [2][12]. Για κϊποιεσ ςυγκεκριμϋνεσ περιπτώςεισ, η απόδοςη μπορεύ να βελτιωθεύ όμωσ, ςτη γενικό περύπτωςη, η επαναχρηςιμοπούηςη ςυχνότητασ ϋχει μικρό διαφορϊ αφού λιγότεροι χρόςτεσ εξυπηρετούνται ταυτόχρονα, παρόλο που τα SINR αυτών των χρηςτών αυξϊνονται. το πρωτόκολλο μετϊδοςησ που προτεύνεται ςτο [2] όλοι οι χρόςτεσ μεταδύδουν τισ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ με ςυγχρονιςμϋνο τρόπο, όπωσ φαύνεται ςτην εικόνα Ι-2. Προκειμϋνου να μειωθεύ το φαινόμενο του pilot contamination, ϋχει προταθεύ μια μϋθοδοσ,13-,14-,10- που βαςύζεται ςε ϋνα χρονικϊ μετατοπιςμϋνο (αςύγχρονο) πρωτόκολλο. Η βαςικό του ιδϋα εύναι η κατϊτμηςη των κυψελών ςε ϋνα ςύνολο ομϊδων,, οι οπούεσ θα χρηςιμοποιούν ϋνα χρονικϊ μετατοπιςμϋνο πρωτόκολλο. την εικόνα ΙΙ-3 φαύνεται ϋνα τϋτοιο παρϊδειγμα για Γ 3 ομϊδεσ. 35

36 II. Pilot Contamination Εικόνα ΙΙ- 3: Χρονικϊ Μετατοπιςμϋνο Πρωτόκολλο για 3 ομϊδεσ Ενώ οι χρόςτεσ ςτην πρώτη ομϊδα μεταδύδουν pilots, οι ςταθμού βϊςησ τησ δεύτερησ ομϊδασ ςτϋλνουν τα δεδομϋνα ςτο downlink. Αυτό αποφεύγει το pilot contamination μεταξύ των ομϊδων 1 και 2. Σην ύδια ςτιγμό, οι ςταθμού βϊςησ τησ πρώτησ ομϊδασ εκτιμούν τα κανϊλια τουσ παρουςύα των ςημϊτων που μεταδύδουν ςτο downlink η δεύτερη και η τρύτη ομϊδα. Αφού η ιςχύσ μετϊδοςησ ςτο downlink,, εύναι ςυνόθωσ πολύ μεγαλύτερη από αυτό των ακολουθιών εκπαύδευςησ,, δεν εύναι ξεκϊθαρο εκ των προτϋρων εϊν αυτό η προςϋγγιςη παρϋχει κϊποιο κϋρδοσ. Από τα,10- και [14], όςο το τεύνουν ςτα εξόσ όρια:, τα SINR ςτο uplink και ςτο downlink,,, (13),,, και,,,,,,,, (14) Από αυτϋσ τισ εκφρϊςεισ, μόνο οι χρόςτεσ τησ ύδιασ ομϊδασ δημιουργούν παρεμβολό ο ϋνασ ςτον ϊλλο. Αυτό οδηγεύ ςε καλύτερη απόδοςη ςυγκριτικϊ με τισ (10) και (12). Σο ςχόμα αυτό αποδύδει τα ύδια SINR με την περύπτωςη τησ επαναχρηςιμοπούηςησ ςυχνότητασ κατϊ, ενώ παρϊλληλα επιτρϋπει τη χρόςη όλου του διαθϋςιμου εύρουσ ζώνησ ςε όλεσ τισ κυψϋλεσ. Ένασ ϊλλοσ τρόποσ να βελτιωθεύ το SINR ςε ςχϋςη με τισ (10) και (12) εύναι η κατανομό ιςχύοσ ςτουσ χρόςτεσ,10-. Αντύ να 36

37 II. Pilot Contamination χρηςιμοποιεύται ςταθερό ιςχύσ εκπομπόσ ςτο uplink και ςτο downlink (δηλαδό και ) από όλουσ τουσ χρόςτεσ, μπορούν να ανατεθούν βελτιςτοποιημϋνεσ τιμϋσ ιςχύοσ,, και,, ςε κϊθε χρόςτη ξεχωριςτϊ. ΙΙ.2.2. Μϋθοδοι Προκωδικοπούηςησ (Precoding) Μια κατανεμημϋνη μϋθοδοσ προκωδικοπούηςησ για μια κυψϋλη προτεύνεται ςτο,15-. ύμφωνα με αυτό τη μϋθοδο, το μητρώο προκωδικοπούηςησ ςε ϋνα ςταθμό βϊςησ ςχεδιϊζεται ώςτε να ελαχιςτοποιεύται το ϊθροιςμα του τετραγωνικού ςφϊλματοσ των χρηςτών του και η παρεμβολό ςτουσ χρόςτεσ όλων των υπόλοιπων κυψελών. Η μϋθοδοσ αυτό ϋχει καλύτερη απόδοςη από την παραδοςιακό ZF προκωδικοπούηςη για μύα κυψϋλη. Οι μϋθοδοι προκωδικοπούηςησ που βαςύζονται ςτη ςυνεργαςύα πολλαπλών κυψελών,16-,17- μπορούν να μειώςουν το φαινόμενο του pilot contamination. Ωςτόςο, η επιβϊρυνςη λόγω ανταλλαγόσ πληροφορύασ που απαιτεύται μεταξύ των ςταθμών βϊςησ αυξϊνεται όςο αυξϊνεται ο αριθμόσ των κεραιών. Έτςι, οι μϋθοδοι αυτϋσ εύναι εφικτϋσ για MIMO ςυςτόματα με περιοριςμϋνο αριθμό κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Για να αποκομιςτεύ το όφελοσ τησ ςυνεργαςύασ με περιοριςμϋνη όμωσ επιβϊρυνςη λόγω ανταλλαγόσ πληροφορύασ, ϋχει προταθεύ ςτο,18- μια μϋθοδοσ προκωδικοπούηςησ για pilot contamination (pilot contamination precoding PCP). Η PCP βαςύζεται ςε δύο παραδοχϋσ. Πρώτον, ότι κϊθε ςταθμόσ βϊςησ ϋχει πρόςβαςη ςτα ςόματα προσ αποςτολό ςε όλουσ τουσ χρόςτεσ ςε όλεσ τισ κυψϋλεσ και, δεύτερον, ότι οι ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ εύναι προςβϊςιμοι από όλουσ τουσ ςταθμούσ βϊςησ ό από κϊποιο κόμβο του δικτύου. Εξαιτύασ του pilot contamination, η εκτύμηςη του καναλιού εύναι ϋνασ γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των διανυςμϊτων των καναλιών των χρηςτών από ϊλλεσ κυψϋλεσ που χρηςιμοποιούν την ύδια ακολουθύα εκπαύδευςησ όπωσ εύδαμε ςτην (8). την PCP κϊθε ςταθμόσ βϊςησ εκμεταλλεύεται το pilot contamination προκειμϋνου να μεταδώςει πληροφορύα ςε όλουσ τουσ χρόςτεσ του δικτύου, αντύ να μειώςει την παρεμβολό που οφεύλεται ςτισ προβληματικϋσ (μολυςμϋνεσ) εκτιμόςεισ. Η διαδικαςύα αυτό λειτουργεύ με τον εξόσ τρόπο: Προκειμϋνου να μεταδοθεύ πληροφορύα ςτουσ -οςτούσ χρόςτεσ όλων των κυψελών, ο -οςτόσ ςταθμόσ βϊςησ μεταδύδει το ςόμα 37

38 II. Pilot Contamination,,,, αντύ για το ςύμβολο,. Οι ςυντελεςτϋσ,, λϋγονται ςυντελεςτϋσ PCP. Τπολογύζονται ςυναρτόςει των ςυντελεςτών εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ,,. Η επιλογό,,, - αντιςτοιχεύ ςτην περύπτωςη όπου δεν εφαρμόζεται PCP. Σα -διϊςτατα διανύςματα προςανατολιςμού,,, υπολογύζονται ακριβώσ όπωσ πριν (11), δηλαδό τοπικϊ, χωρύσ καμύα ςυνεργαςύα μεταξύ των ςταθμών βϊςησ. Η PCP για το uplink διατυπώνεται με παρόμοιο τρόπο. Όταν οι ςυντελεςτϋσ PCP υπολογύζονται χρηςιμοποιώντασ το κριτόριο ZF, η μϋθοδοσ ονομϊζεται ZF-PCP. Η ZF-PCP επιτρϋπει την ταυτόχρονη απομϊκρυνςη του προςθετικού θορύβου και τησ παρεμβολόσ από τισ ϊλλεσ κυψϋλεσ. Έτςι, θεωρητικϊ, η ZF-PCP αποδύδει ϊπειρο SINR, δηλαδό,, όταν το. Ωςτόςο εύναι ενδιαφϋρον να ςημειωθεύ οτι τα αποτελϋςματα τησ μεθόδου για πεπεραςμϋνεσ τιμϋσ του δεν εύναι καλϊ. υγκεκριμϋνα για πεπεραςμϋνο εύναι:,,,,, (15) όπου ( 1,, ) (1,, ),, και,,,, Όταν οι ςυντελεςτϋσ βελτιςτοποιούνται αριθμητικϊ προκειμϋνου να μεγιςτοποιεύται ϊμεςα το, ςτην (15), η προςϋγγιςη ονομϊζεται βϋλτιςτη PCP (optimal PCP). Από προςομοιώςεισ Monte-Carlo (χρηςιμοποιώντασ την (15) και παρϊγοντασ τυχαύουσ ςυντελεςτϋσ εξαςθϋνιςησ μεγϊλησ κλύμακασ) μπορεύ να δειχθεύ ότι για ςχετικϊ μικρϊ (π.χ. μεταξύ 20 και 100) η ZF- PCP ϋχει πολύ χειρότερη απόδοςη από την περύπτωςη όπου δε 38

39 II. Pilot Contamination χρηςιμοποιεύται PCP και ϋχει δειχθεύ ότι η ZF-PCP καταφϋρνει να ξεπερϊςει ςε απόδοςη το ςενϊριο μη χρόςησ PCP για τιμϋσ του που ξεπερνούν το 10. Απο την ϊλλη, η βϋλτιςτη PCP παρϋχει πολύ μεγϊλη βελτύωςη ςε ςχϋςη με την περύπτωςη όπου δε χρηςιμοποιεύται PCP. ΙΙ.2.3. Μϋθοδοι που βαςύζονται ςτη γωνύα ϊφιξησ (ΑΟΑ) Αποδεικνύεται,19--[21] ότι κϊτω από ρεαλιςτικϊ μοντϋλα καναλιών, κϊποιοι χρόςτεσ που χρηςιμοποιούν τισ ύδιεσ ό μη ορθογώνιεσ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ μπορεύ να μη δημιουργούν παρεμβολό ο ϋνασ ςτον ϊλλο. ύμφωνα με το multipath μοντϋλο για τισ γραμμικϋσ ςυςτοιχύεσ κεραιών, τα κανϊλια από τον -οςτό χρόςτη τησ -οςτόσ κυψϋλησ προσ τον -οςτό ςταθμό βϊςησ ϋχει τη μορφό,22-,, 1 ( ),, όπου Θ εύναι ο αριθμόσ των μονοπατιών (paths),,, (0,,, ) εύναι ανεξϊρτητο του δεύκτη του μονοπατιού,,, εύναι το μϋςο path loss του χρόςτη και ( ) ϋνα διϊνυςμα διεύθυνςησ (steering vector). Για μια ομοιόμορφη γραμμικό ςυςτοιχύα (ULA) το διϊνυςμα διεύθυνςησ μπορεύ να εκφραςτεύ ωσ: ( ) 1. / ( ) [ ( ( ) ) ( ) ] όπου εύναι η απόςταςη μεταξύ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ, εύναι το μόκοσ κύματοσ τησ φϋρουςασ και μια τυχαύα γωνύα ϊφιξησ (angle-ofarrival AOA) με ςυνϊρτηςη πυκνότητασ πιθανότητασ ( ). τα,19--,21- ϋχει δειχθεύ οτι χρόςτεσ με αμοιβαύα μη επικαλυπτομενεσ πυκνότητεσ ΑΟΑ ςπϊνια δημιουργούν contamination ακόμα και αν χρηςιμοποιούν ακριβώσ την ύδια ακολουθύα από pilots. Ένα ςυντονιςμϋνο ςχόμα για την ανϊθεςη όμοιων ακολουθιών μόνο ςε τϋτοιουσ χρόςτεσ παρουςιϊζεται ςτο,21-. Η μϋθοδοσ αυτό επιτυγχϊνει ςημαντικό μεύωςη ςτην παρεμβολό μεταξύ των κυψελών και μια αντύςτοιχη αύξηςη του SINR τόςο ςτο uplink όςο και ςτο downlink. 39

40 II. Pilot Contamination ΙΙ.2.4. Συφλϋσ Μϋθοδοι Οι τυφλϋσ μϋθοδοι που βαςύζονται ςτο διαχωριςμό των υποχώρων,23-,24- επύςησ μειώνουν το φαινόμενο του pilot contamination. το [23] προτεύνεται μια μϋθοδοσ που βαςύζεται ςε ιδιοδιϊςπαςη (EVD) για την εκτύμηςη των καναλιών και ςυνδυϊζεται με επαναληπτικϊ ελϊχιςτα τετρϊγωνα με προβολό (Iterative Least-Squares with Projection ILSP). Η εκτύμηςη με EVD βαςύζεται ςτην υπόθεςη ότι τα διανύςματα των καναλιών των διαφορετικών χρηςτών εύναι ορθογώνια. Αυτό η παραδοχό επιτρϋπει την εκτύμηςη των καναλιών χρηςιμοποιώντασ τα ςτατιςτικϊ των δεδομϋνων. Η αςϊφεια (ϋνασ πολλαπλαςιαςτικόσ βαθμωτόσ) που απομϋνει, μπορεύ να επιλυθεύ χρηςιμοποιώντασ ορθογώνιεσ ακολουθύεσ εκπαύδευςησ για κϊθε κυψϋλη. Αυτό η προςϋγγιςη ςυνοψύζεται ωσ εξόσ. Κατϊ τη μετϊδοςη ςτο uplink οι χρόςτεσ αρχικϊ ςτϋλνουν τα δεδομϋνα και ϋπειτα ακολουθύεσ εκπαύδευςησ τησ κυψϋλησ. Η εκτύμηςη αποτελεύται από τρύα βόματα. το πρώτο βόμα γύνεται εκτύμηςη του πύνακα ςυνδιαςπορϊσ του ληφθϋντοσ ςόματοσ:, ( ) - 1, - (, -) όπου, - εύναι το ςόμα που ϋλαβε ο -οςτόσ ςταθμόσ βϊςησ τη χρονικό ςτιγμό, όπωσ ορύζεται ςτην (9). το δεύτερο βόμα υπολογύζεται ϋνα μητρώο, η k-οςτό ςτόλη του οπούου εύναι το ιδιοδιϊνυςμα του που αντιςτοιχεύ ςτην ιδιοτιμό που εύναι πιο κοντϊ ςτην ποςότητα,,. Επιπλϋον, με τη βοόθεια ακολουθιών εκπαύδευςησ, εκτιμϊται το πολλαπλαςιαςτικό μητρώο. το τρύτο βόμα υπολογύζεται η εκτύμηςη του καναλιού,. Η εκτύμηςη με τον ILSP βαςύζεται ςτην ιδϋα τησ από κοινού επαναληπτικό εκτύμηςησ των καναλιών και των δεδομϋνων. Έςτω το μητρώο που αποτελεύται από ςυνεχόμενα ςόματα (δεύγματα) που μεταδύδουν οι χρόςτεσ τησ -οςτόσ κυψϋλησ, το ςύνολο όλων των πιθανών και το αντύςτοιχο μητρώο των ληφθϋντων ςυμβόλων. Εϊν υπϊρχει μύα ( αρχικό εκτύμηςη ), του μητρώου του καναλιού,. (το οπούο μπορεύ να αποκτόθηκε π.χ. με εκτύμηςη EVD), τότε o ILSP απαιτεύται από μια ςειρϊ επαναλόψεων των παρακϊτω βημϊτων: 40

41 II. Pilot Contamination Βόμα 1: ( ) ( ), ( ) ( ) Βόμα 2:,, 1 τo,24- προτεύνεται μύα τυφλό μϋθοδοσ για την αποφυγό του pilot contamination για ςυςτόματα ςτα οπούα το handoff γύνεται χρηςιμοποιώντασ ϋλεγχο ιςχύοσ. Η μϋθοδοσ διαχωρύζει τον υποχώρο τησ παρεμβολόσ από τον επιθυμητό υποχώρο του ςόματοσ, κϊτι που οδηγεύ ςτην αποφυγό του pilot contamination. Η μϋθοδοσ αυτό θα παρουςιαςτεύ αναλυτικϊ ςτο κεφϊλαιο IV. Άλλεσ μϋθοδοι προκωδικοπούηςησ και ανύχνευςησ που απαιτούν λιγότερη γνώςη για την κατϊςταςη του καναλιού, όπωσ π.χ. η Hermitian μϋθοδοσ κωδικοπούηςησ, μπορούν επύςησ να βοηθόςουν ςτη μεύωςη του pilot contamination. 41

42 II. Pilot Contamination 42

43 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου Κεφϊλαιο ΙΙΙ Παρακολούθηςη Τποχώρου (Subspace Tracking) ΙII.1. Ειςαγωγό Όπωσ αναφϋρθηκε ςτο προηγούμενο κεφϊλαιο, οι τυφλϋσ μϋθοδοι που βαςύζονται ςτην προβολό ςε υποχωρουσ απαιτούν κϊποια διϊςπαςη ιδιοδιϊςπαςη (EVD) ό διϊςπαςη ιδιαζουςων τιμών (SVD). Μια τϋτοια διαδικαςύα εύναι ιδιαύτερα απαιτητικό υπολογιςτικϊ και κατ επϋκταςη πολύ χρονοβόρα. Προκειμϋνου να αποφευχθεύ ο πλόρησ υπολογιςμόσ τησ διϊςπαςησ και εφόςον αυτό που απαιτούν οι περιςςότερεσ τυφλϋσ μϋθοδοι εύναι κϊποιοσ υπόχωροσ (του ςόματοσ ό του θορύβου), εύναι επιθυμητό η χρόςη κϊποιασ μεθόδου η οπούα να υπολογύζει απευθεύασ τον επιθυμητό υποχώρο με πολύ χαμηλότερη πολυπλοκότητα. Επιπλϋον, η ανϊγκη για ανανϋωςη αυτού του υποχώρου και εφόςον ςε μύα τηλεπικοινωνιακό εφαρμογό τα δεύγματα φτϊνουν ακολουθιακϊ, μια ςτρατηγικό που μπορεύ να ακολουθηθεύ λϋγεται παρακολούθηςη υποχώρου (subspace tracking). τη ςυνϋχεια αυτού του κεφαλαύου θα γύνει μύα αναςκόπηςη διαφόρων μεθόδων subspace tracking και των αντύςτοιχων πολυπλοκοτότων τουσ και ςτο τϋλοσ του κεφαλαύου θα παρουςιαςτεύ μια μϋθοδοσ πολυωνυμικού χρόνου για προςαρμοςτικό subspace tracking η οπούα θα χρηςιμοποιηθεύ ςτισ προςομοιώςεισ του επόμενου κεφαλαύου. ΙII.2. Διατύπωςη Προβλόματοσ ε μια τυπικό εφαρμογό προςαρμοςτικόσ επεξεργαςύασ ςόματοσ που βαςύζεται ςε υποχωρουσ λαμβϊνονται ακολουθιακϊ διανύςματα παρατηρόςεων. Τποθϋτοντασ ςταςιμότητα, ορύζεται το μητρώο ςυνδιαςπορών ωσ, -. H εφαρμογό τησ SVD ςε αυτό το μητρώο μασ δύνει 43

44 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου, - [ 0 0 ], - όπου τα και εύναι διαγώνια μητρώα με ςτοιχεύα τησ διαγωνύου τισ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ του πύνακα,,, και,,, αντύςτοιχα, για τισ οπούεσ ιςχύει 0. Επομϋνωσ, τα μητρώα και περιϋχουν τισ μεγαλύτερεσ και τισ μικρότερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ του αντύςτοιχα, ενώ τα ορθοκανονικϊ μητρώα και περιϋχουν τα ιδιϊζοντα διανύςματα που τουσ αντιςτοιχούν. Τποθϋτοντασ ότι η ακολουθύα των δεδομϋνων * + διατύθεται ακολουθιακϊ, ςυχνϊ θϋλουμε κϊποια προςαρμοςτικό εκτύμηςη εύτε του εύτε του. H πιο κοινό περύπτωςη δεδομϋνων που ςυναντϊται ςτην πρϊξη αντιςτοιχεύ ςτο παρακϊτω μοντϋλο ςόματοσ και θορύβου: όπου η * + εύναι μύα ακολουθύα διανυςμϊτων μόκουσ που βρύςκονται ςε ϋνα γραμμικό υποχωρο διαςτϊςεων και * + εύναι ανεξϊρτητα και ομοιόμορφα κατανεμημϋνα διανύςματα (λευκού) θορύβου με ανεξϊρτητα ςτοιχεύα. ε αυτό την περύπτωςη η SVD παύρνει την ειδικό μορφό, - [ 0 0 ], - όπου εύναι ο ταυτοτικόσ πύνακασ μεγϋθουσ,, - εύναι η SVD του πύνακα ςυνδιαςπορϊσ του ςόματοσ, το μητρώο εύναι μη ιδιϊζον (nonsingular) και, - εύναι ο πύνακασ ςυνδιαςπορϊσ του, όπου εύναι η ιςχύσ του θορύβου. Σότε το μητρώο καλύπτει τον υποχώρο του ςόματοσ και το μητρώο καλύπτει το ςυμπλόρωμϊ του, δηλαδό τον υποχώρο του θορύβου. τη ςυνϋχεια, ο υποχώροσ που αντιςτοιχεύ ςτισ μεγαλύτερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ θα καλεύται υποχωροσ ςόματοσ, ενώ αυτόσ που αντιςτοιχεύ ςτισ μικρότερεσ θα αναφϋρεται ωσ υπόχωροσ θορύβου. 44

45 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου ΙII.3. Αναςκόπηςη Μεθόδων Ο πιο απλόσ τρόποσ να εκτιμηθεύ ο επιθυμητόσ υποχώροσ εύναι ο ϊμεςοσ υπολογιςμόσ τησ SVD ςτον πύνακα ςυνδιαςπορών του ληφθϋντοσ ςόματοσ. Ωςτόςο, η πολυπλοκότητα τησ πλόρουσ διϊςπαςησ εύναι υπερβολικϊ μεγϊλη ( ) και γι αυτό το λόγο ϋχουν αναπτυχθεύ ϊλλεσ μϋθοδοι οι οπούεσ απαιτούν λιγότερεσ πρϊξεισ. Οι διϊφορεσ μϋθοδοι παρακολούθηςησ υποχώρου μπορούν να κατηγοριοποιηθούν με βϊςη την υπολογιςτικό πολυπλοκότητϊ τουσ ςε 3 κατηγορύεσ: υψηλόσ ( ) ό ( ), μϋτριασ ( ) και χαμηλόσ ( ) πολυπλοκότητασ. Οι μϋθοδοι τησ τελευταύασ κατηγορύασ εύναι οι πιο ςημαντικϋσ και οι πιο χρόςιμεσ, ειδικϊ για εφαρμογϋσ πραγματικού χρόνου, και εύναι γνωςτϋσ ςτη βιβλιογραφύα ωσ αλγόριθμοι γρόγορησ παρακολούθηςησ υποχώρου (fast subspace tracking algorithms). χετικϊ με τισ μεθόδουσ χαμηλόσ πολυπλοκότητασ, μύα πολύ γνωςτό προςϋγγιςη για την παρακολούθηςη του υποχώρου του ςόματοσ εύναι ο αλγόριθμοσ PAST (Projection Approximation Subspace Tracking). Σο βαςικό πλεονϋκτημα αυτόσ τησ μεθόδου, που ϋχει πολυπλοκότητα ( ), εύναι η απλό δομό του αφού απαιτεύ τη ρύθμιςη μιασ μοναδικόσ παραμϋτρου, ενώ το βαςικό τησ πρόβλημα εύναι η αδυναμύα τησ να αποδώςει ορθοκανονικϋσ εκτιμόςεισ. Δύο ϊλλεσ μϋθοδοι εύναι οι αλγόριθμοι MALASE και PROTEUS. Οι δύο αυτού αλγόριθμοι ϋχουν ςχετικϊ πολύπλοκη δομό αλλϊ παρϋχουν ορθοκανονικϋσ εκτιμόςεισ για τη βϊςη του υποχωρου. Ο πρώτοσ ϋχει τϋςςερισ παραμϋτρουσ προσ ρύθμιςη ενώ ο δεύτεροσ μύα. Ένασ ϊλλοσ αλγόριθμοσ, ο FAPI ϋχει μόνο μια παρϊμετρο προσ ρύθμιςη και παρϋχει ορθοκανονικϋσ εκτιμόςεισ με πολύ καλό ςυνολικό απόδοςη. Ένα μειονϋκτημα όλων αυτών των μεθόδων εύναι η αδυναμύα τουσ να παρακολουθόςουν τον υποχωρο του θορύβου. Μια ϊλλη ενδιαφϋρουςα μϋθοδοσ εύναι ο αλγόριθμοσ FRANS, που ςυνδυϊζει τη μϋθοδο DPM με μια διαδικαςύα γρόγορησ κανονικοπούηςησ. Ωςτόςο ο FRANS δεν εύναι ευςταθόσ. Σϋλοσ, ο αλγόριθμοσ FDPM απαιτεύ τη ρύθμιςη μύασ μόνο παραμϋτρου, εύναι ευςταθόσ και ςυγκλύνει ςτον επιθυμητό υποχωρο (εύτε ςτον υποχώρο του ςόματοσ εύτε ςτον υποχωρο του θορύβου) ςε εκθετικό χρόνο. Οι δύο τελευταύοι αλγόριθμοι θα παρουςιαςτούν αναλυτικϊ ςτην επόμενη ενότητα, αφού πρώτα παρουςιαςτούν οριςμϋνεσ μϋθοδοι (Orthogonal 45

46 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου Iteration, Adaptive Orthogonal Iteration και DPM) ςτισ οπούεσ ϋχουν βαςιςτεύ. IIΙ.3.1. Orthogonal Iteration H μϋθοδοσ orthogonal iteration προϋρχεται από την αριθμητικό ανϊλυςη και εύναι η απλούςτερη επαναληπτικό διαδικαςύα που μπορεύ να χρηςιμοποιηθεύ για να υπολογιςτούν τα ιδιϊζοντα διανύςματα (singular vectors) που αντιςτοιχούν ςτισ μεγαλύτερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ ενόσ ςυμμετρικού, μη αρνητικϊ οριςμϋνου μητρώου. Θεωρούμε ϋνα ςυμμετρικό, μη αρνητικϊ οριςμϋνο μητρώο μεγϋθουσ με ιδιϊζουςεσ τιμϋσ 0 και αντύςτοιχα ιδιϊζοντα διανύςματα,,. Η ακολουθύα των μητρώων * + διαςτϊςεων ορύζεται απο την επανϊληψη * +, 1,2, (19) όπου η διαδικαςύα orthonorm εύναι η ορθοκανονικοπούηςη χρηςιμοποιώντασ αποςύνθεςη QR ό την τροποποιημϋνη διαδικαςύα Gram- Schmidt. Έτςι, το i, - υπό την προώπόθεςη ότι το μητρώο, - δεν εύναι ιδιϊζον. Για να ςυγκλύνει αυτό η διαδικαςύα, πρϋπει. ε αυτό την περύπτωςη (όταν ικανοποιεύται αυτό η ςυνθόκη), η ςύγκλιςη εύναι εκθετικό. Εϊν κϊποιεσ από τισ μεγαλύτερεσ ιδιαζουςεσ τιμϋσ ςυμπύπτουν, τότε τα αντύςτοιχα ιδιϊζοντα διανύςματα δεν εύναι μοναδικϊ. ε αυτό την περύπτωςη η Orthogonal Iteration ςυγκλύνει ςε μύα βϊςη ςτον αντύςτοιχο υποχωρο. Εϊν χρηςιμοποιηθεύ κϊποια ϊλλη διαδικαςύα ορθοκανονικοπούηςησ (εκτόσ τησ QR και τησ Gram-Schmidt), η ακολουθύα * + ςυγκλύνει ςε μια ορθοκανονικό βϊςη ςτον υποχωρο που βρύςκονται τα πρώτα ιδιϊζοντα διανύςματα. IIΙ.3.2. Παραλλαγϋσ Orthogonal Iteration τη ςυνϋχεια παρουςιϊζονται δύο παραλλαγϋσ τησ orthogonal iteration που επιτρϋπουν προςαρμοςτικό υλοπούηςη. Οι δύο παραλλαγϋσ εύναι: 46

47 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου *( ) +, 1,2, (20) *( ) +, 1,2, (21) όπου το 0 εύναι μια μικρό βαθμωτό ςταθερϊ γνωςτό ωσ βόμα (step size). Παρατηρούμε ότι οι δυο παραλλαγϋσ διαφϋρουν μόνο ςτο πρόςημο που προηγεύται του. Σο μητρώο ϋχει τα ύδια ιδιϊζοντα διανύςματα με το, ενώ οι ιδιϊζουςεσ τιμϋσ εύναι ύςεσ με 1. την περύπτωςη του, αφού το 0, οι ιδιοτιμϋσ ϋχουν την ύδια διϊταξη όπωσ οι αρχικϋσ. Αυτό ςημαύνει ότι η (20) θα ςυγκλύνει ςτισ μεγαλύτερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ όπωσ η (19). Από την ϊλλη πλευρϊ, ςτην περύπτωςη, για αρκετϊ μικρό (ώςτε το μητρώο να εύναι μη αρνητικϊ οριςμϋνο), οι ιδιϊζουςεσ τιμϋσ εύναι διατεταγμϋνεσ με ακριβώσ την αντύθετη ςειρϊ από τισ πραγματικϋσ ιδιοτιμϋσ. Αυτό αναγκϊζει την (21) να ςυγκλύνει ςτον υποχωρο του που αντιςτοιχεύ ςτισ μικρότερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ. Η ςύγκλιςη εύναι και πϊλι εκθετικό. IIΙ.3.3. Προςαρμοςτικό Orthogonal Iteration - DPM Όταν το μητρώο εύναι ϊγνωςτο και τα δεύγματα των δεδομϋνων * + αποκτώνται ακολουθιακϊ, μπορούμε να αντικαταςτόςουμε το ςτισ (20) και (21) με την προςαρμοςτικό εκτύμηςη, που ικανοποιεύ τη ςυνθόκη, -. Αυτό οδηγεύ ςτον αλγόριθμο προςαρμοςτικόσ ορθογώνιασ επανϊληψησ (Adaptive Orthogonal Iteration AOI): *( ) + όπου η χρόςη του προςόμου δύνει εκτιμόςεισ για τον υποχωρο του ςόματοσ και του για τον υποχωρο του θορύβου. Ανϊλογα με την επιλογό του προκύπτουν διϊφοροι αλγόριθμοι παρακολούθηςησ υποχωρων. Η απλούςτερη επιλογό για το εύναι η ςτιγμιαύα εκτύμηςη του πύνακα ςυνδιαςπορών, δηλαδό και οδηγεύ ςτη μϋθοδο προβολόσ δεδομϋνων (Data Projection Method DPM) [26] ( ) * + 47

48 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου και η ορθοκανονικοπούηςη πραγματοποιεύται με τη μϋθοδο Gram- Schmidt. Η χρόςη αυτόσ τησ μεθόδου καθιςτϊ τη ςυνολικό πολυπλοκότητα τησ DPM ύςη με ( ). Η DPM εύναι μια ειδικό περύπτωςη τησ AOI όπου. Σο ερώτημα εύναι εϊν εύναι δυνατό να βελτιωθεύ η παρακολούθηςη του υποχώρου εϊν χρηςιμοποιηθεύ κϊποια καλύτερη εκτύμηςη του, όπωσ θα μπορούςε να εύναι ο πύνακασ ςυνδιαςπορϊσ ολιςθαύνοντοσ παραθύρου (sliding window sample covariance matrix) 1 (22) με 1, η (22) γύνεται καλύτερη εκτύμηςη του απ οτι το απλό εξωτερικό γινόμενο. Ενώ θα περιμϋναμε κατι τϋτοιο να μεταφρϊζεται και ςε καλύτερη εκτύμηςη του υποχώρου, ςτην πραγματικότητα αυτό δεν ιςχύει. Μϊλιςτα, αποδεικνύεται,27] ότι χρηςιμοποιώντασ την καλύτερη εκτύμηςη του (22), η ΑΟΙ παρουςιϊζει παρόμοια αποτελϋςματα με τον απλό αλγόριθμο DPM. Η πτώςη τησ πολυπλοκότητασ από ( ) ςε ( ) εύναι δυνατό εαν θυςιαςτεύ η ακριβόσ ορθοκανονικότητα ςε κϊθε βόμα. ε ϋνα πρόβλημα παρακολούθηςησ υποχωρου όμωσ, η ορθοκανονικότητα εύναι ϋνα ιδιαύτερα επιθυμητό χαρακτηριςτικό. Επομϋνωσ, η χαλϊρωςη αυτόσ τησ ιδιότητασ πρϋπει να γύνεται πολύ προςεκτικϊ. Οι περιςςότερεσ μϋθοδοι πολυπλοκότητασ ( ) προςπαθούν να ςυμμορφωθούν με δύο πολύ αυςτηρϋσ απαιτόςεισ ςε ότι αφορϊ την ορθοκανονικότητα. Όταν η αρχικό εκτύμηςη εύναι ορθοκανονικό, τότε όλεσ οι επόμενεσ εκτιμόςεισ πρϋπει να ϋχουν αυτόν την ιδιότητα. Αν για κϊποιο λόγο χαθεύ η ορθοκανονικότητα (π.χ. εϊν γύνει αρχικοπούηςη με ϋνα μη ορθοκανονικό μητρώο), τότε η μϋθοδοσ πρϋπει να ςυγκλύνει το ςυντομότερο δυνατό ςε ϋνα ορθοκανονικό μητρώο. Η πρώτη απαύτηςη εύναι επιρρεπόσ ςε μη εύρωςτη ςυμπεριφορϊ (ςυςςώρευςη ςφϊλματοσ ςτρογγυλοπούηςησ). Για τη δεύτερη, εύναι προφανώσ επιθυμητό η ςύγκλιςη ςτην ορθοκανονικότητα να εύναι πολύ γρηγορότερη από το χρόνο ςύγκλιςησ των εκτιμόςεων ςτον πραγματικό υποχωρο. 48

49 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου Επιπλϋον, για να ςυγκλύνει ο αλγόριθμοσ πρϋπει να επιλεγεύ ϋνα βόμα,, ϋτςι ώςτε 0 1/, όπου η εύναι η μεγαλύτερη ιδιϊζουςα τιμό του. Για να ικανοποιηθεύ αυτό η απαύτηςη μπορεύ να χρηςιμοποιηθεύ ϋνα κανονικοποιημϋνο βόμα / ( ). Αφού ςυνόθωσ ( ), η επιλογό του κοντϊ ςτη μονϊδα ϋχει ωσ αποτϋλεςμα το 1/. Επειδό όμωσ το ( ) ςυνόθωσ δεν εύναι διαθϋςιμο, το μπορεύ να αντικαταςταθεύ εύτε από τη ςτιγμιαύα εκτύμηςό του, εύτε χρηςιμοποιώντασ ϋνα απλό ςυντελεςτό (forgetting factor) με 0 1. Πιο ςυγκεκριμϋνα μπορεύ να επιλεγεύ: ό ( ), με ( ) ( 1) (1 ) (23) Επιςτρϋφοντασ ςτη DPM, μπορούμε να γρϊψουμε ( ) όπου το μητρώο κατϊλληλα το πραγματοποιεύ την κανονικοπούηςη. Για να επιλεγεύ μπορεύ να χρηςιμοποιηθεύ η αναδρομό όπου ( 2 ). ( ) (24) Προφανώσ, ο ςτόχοσ εύναι για να εξαςφαλιςτεύ η ορθοκανονικότητα των εκτιμόςεων. IIΙ.3.4. Αλγόριθμοσ FRANS Ο αλγόριθμοσ FRANS προκύπτει από την (24) επιλϋγοντασ το ωςτε να ικανοποιεύται η πρώτη απαύτηςη. Με ϊλλα λόγια, αν το εύναι ορθοκανονικό τότε το πρϋπει να επιλεχθεύ ϋτςι ώςτε το να ϋχει την ύδια ιδιότητα. Φρηςιμοποιώντασ την (24) αυτό ςημαύνει ότι η πρϋπει να ικανοποιεύ την ιδιότητα ( ) (25) Μια απλό επιλογό που ικανοποιεύ την (25) εύναι: 49

50 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου ( ) 1 (1 1 1 ) που οδηγεύ ςτον αλγόριθμο FRANS [28] 1 (1 1 1 ( ) ) ( ) Η προςαρμογό που απεικονύζεται ςτα παραπϊνω βόματα ϋχει πολυπλοκότητα ( ). την περύπτωςη τησ εκτύμηςησ του υποχώρου του ςόματοσ, η μϋθοδοσ εύναι εύρωςτη (robust) δηλαδό δεν υπϊρχει ςυςςώρευςη ςφϊλματοσ ςτρογγυλοπούηςησ και ευςταθόσ (stable) όταν αρχικοποιεύται με ϋνα μη ορθοκανονικό μητρώο, ςυγκλύνει ςε ϋνα ορθοκανονικό. Ωςτόςο, ςτην περύπτωςη τησ εκτύμηςησ του υποχωρου του θορύβου η μϋθοδοσ ςυμπεριφϋρεται με ακριβώσ τον αντύθετο τρόπο. υγκεκριμϋνα, όταν αρχικοποιεύται με κϊποιο ορθοκανονικό μητρώο υπϊρχει ςυςςώρευςη ςφϊλματοσ ςτρογγυλοπούηςησ και μετϊ από ϋνα ςημεύο η ορθοκανονικότητα χϊνεται, ενώ αν γύνει αρχικοπούηςη με ϋνα μη ορθοκανονικό μητρώο η μϋθοδοσ αποκλύνει. Επιπλϋον, ακόμα και ςτην περύπτωςη τησ εκτύμηςησ του υποχωρου του ςόματοσ, η ταχύτητα ςύγκλιςησ προσ την ορθοκανονικότητα εύναι τησ ύδιασ τϊξησ μεγϋθουσ με τη ταχύτητα ςύγκλιςησ τησ εκτύμηςησ ςτο όριο (τον πραγματικό υποχωρο). Αυτό το φαινόμενο εύναι ςύνηθεσ ςτουσ αλγορύθμουσ πολυπλοκότητασ ( ), εκτόσ απο αυτόν που παρουςιϊζεται ςτη ςυνϋχεια. IIΙ.3.5. Αλγόριθμοσ FDPM Ο αλγόριθμοσ FDPM (Fast DPM) [27] ακολουθεύ μια ελαφρώσ διαφορετικό λογικό από το FRANS. Αντύ να απαιτεύται ορθοκανονικότητα για το μητρώο, απαιτεύται μόνο ορθογωνιότητα. Η κανονικοπούηςη των ςτηλών του ςτη ςυνϋχεια απαιτεύ ( ) πρϊξεισ, κϊτι που εξαςφαλύζει οτι η ςυνολικό πολυπλοκότητα δε θα υπερβεύ την επιθυμητό. Σο επιλϋγεται ωσ εξόσ: χηματύζοντασ το γινόμενο 50

51 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου ( ) (26) δεν εύναι ύςο με όπωσ ςτο FRANS, αφού οι ςτόλεσ του χρειϊζονται κανονικοπούηςη για να προκύψει το. Ο ςκοπόσ εύναι το γινόμενο αυτό να εύναι ϋνασ διαγώνιοσ πύνακασ (αντύ για τον ταυτοτικό), κϊτι που εξαςφαλύζει την ορθογωνιότητα των ςτηλών του. Σο θα επιλεγεύ ώςτε να ικανοποιεύται η πρώτη απαύτηςη (τησ ενότητασ ΙΙΙ.3.3). ύμφωνα με αυτό την απαύτηςη, εϊν υποτεθεύ ότι το εύναι ορθοκανονικό, τότε η (26) παύρνει τη μορφό ( ) (27) Εϊν το εύναι ορθοκανονικό με πρώτη ςτόλη το διϊνυςμα / (και επομϋνωσ οι υπόλοιπεσ 1 ςτόλεσ περιϋχουν διανύςματα ορθογώνια ςτο ), η (27) γύνεται ύςη με το εξόσ διαγώνιο μητρώο: όπου, Οι επιθυμητϋσ ιδιότητεσ για το ικανοποιούνται απο τα μητρώα Householder Reflector που ορύζονται ωσ: 2 και τα τελευταύα αυτϊ βόματα οδηγούν ςτον αλγόριθμο FDPM, ο οπούοσ ςυνοψύζεται ςτα παρακϊτω βόματα: Αρχικοπούηςη με ϋνα ορθοκανονικό μητρώο. 1. Τπολογιςμόσ του βόματοσ (23) για τον υποχωρο ςόματοσ για τον υποχωρο θορύβου i * + Σο τελευταύο βόμα εύναι η κανονικοπούηςη του μητρώου. Ο FDPM ϋχει απλό δομό με μια μοναδικό παρϊμετρο (το step size) προσ ρύθμιςη. Επιπλϋον, όπωσ και η DPM, υποςτηρύζει την εκτύμηςη του 51

52 ΙΙΙ. Παρακολούθηςη Υποχώρου υποχώρου του ςόματοσ και του θορύβου αλλϊζοντασ μόνο ϋνα πρόςημο και εύναι εύρωςτοσ ςε ότι αφορϊ την πεπεραςμϋνη ακρύβεια και ςτισ δυο περιπτώςεισ (δεν υπϊρχει ςυςςώρευςη ςφϊλματοσ ςτρογγυλοπούηςησ) αλλϊ και ευςταθόσ, αφού εϊν αρχικοποιηθεύ με ϋνα μη ορθοκανονικό μητρώο ςυγκλύνει ςε ϋνα ορθοκανονικό με ιδιαύτερα υψηλό ρυθμό ςύγκλιςησ το γρηγορότερο ςε ςύγκριςη με τουσ υπόλοιπουσ αλγορύθμουσ τησ ύδιασ πολυπλοκότητασ. Η αδυναμύα του αλγορύθμου εύναι ότι παρϋχει την ορθοκανονικό βϊςη αλλϊ όχι τα αντύςτοιχα ιδιϊζοντα διανύςματα, όπωσ ϊλλωςτε και οι περιςςότεροι αλγόριθμοι. Η αδυναμύα αυτό δεν εύναι ωςτόςο τόςο ςημαντικό, αφού ςτισ περιςςότερεσ εφαρμογϋσ ο ςκοπόσ εύναι η προβολό των δεδομϋνων πϊνω ςτον υποχωρο του ςόματοσ ό του θορύβου και όχι η εύρεςη των ιδιαζόντων διανυςμϊτων. 52

53 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Κεφϊλαιο ΙV Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Τποχωρων ΙV.1. Ειςαγωγό Σο παρόν κεφϊλαιο επικεντρώνεται ςτη μελϋτη του uplink ενόσ massive MIMO ςυςτόματοσ. Προκειμϋνου να αποφευχθεύ το φαινόμενο του pilot contamination εφαρμόζεται η τυφλό μϋθοδοσ,24- που αναφϋρθηκε ςυνοπτικϊ ςτην ενότητα Ι.6.4 και παρουςιϊζεται αναλυτικότερα ςτην ενότητα IV.2. Για τη μεύωςη τησ πολυπλοκότητασ για να αποφευχθεύ ο υπολογιςμόσ τησ πλόρουσ SVD του ςυςτόματοσ ενςωματώνεται ο αλγόριθμοσ FDPM που αναλύθηκε ςτην προηγούμενη ενότητα (ΙΙΙ.3.5). Σο ςύςτημα που θα μελετηθεύ ςτισ πρώτεσ ενότητεσ του παρόντοσ κεφαλαύου, θα προςομοιωθεύ ςτη ςυνϋχεια ςε MATLAB. Θα παρουςιαςτούν τα αποτελϋςματα των προςομοιώςεων για διϊφορεσ παραμϋτρουσ και θα αξιολογηθεύ η απόδοςη με βϊςη το ρυθμό ςφαλμϊτων ςυμβόλων (Symbol Error Rate SER) και το ςφϊλμα τησ εκτύμηςησ του καναλιού. ΙV.2. Μοντϋλο υςτόματοσ Θεωρούμε ϋνα αςύρματο τηλεπικοινωνιακό ςύςτημα. Για λόγουσ ευκολύασ θεωρούμε ότι το εύροσ ζώνησ του καναλιού εύναι ύςο με το εύροσ ζώνησ ςυνοχόσ. Σα κανϊλια των οπούων το φυςικό εύροσ ζώνησ εύναι μεγαλύτερο από το εύροσ ζώνησ ςυνοχόσ μπορούν να αποςυντεθούν ςε ιςοδύναμα παρϊλληλα κανϊλια ςτενόσ ζώνησ χρηςιμοποιώντασ τεχνικϋσ OFDM. Ο χρόνοσ ςυνοχόσ του καναλιού ςε διαςτόματα ςυμβόλων [29] εύναι 53

54 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων 4 όπου εύναι η φϋρουςα ςυχνότητα, η καθυςτϋρηςη διϊδοςησ, η ταχύτητα του κινητού και η ταχύτητα του φωτόσ. Αν θεωρόςουμε ακραύεσ τιμϋσ για αυτϋσ τισ παραμϋτρουσ (π.χ. ταχύτητα πολύ γρόγορου τρϋνου ςτα 350 / και πολύ μεγϊλη καθυςτϋρηςη διϊδοςησ 5 που αντιςτοιχεύ ςε ακραύα απόςταςη του 1,5 ο χρόνοσ ςυνοχόσ για 2,6 εύναι 99 ςύμβολα. Για πιο ςυνηθιςμϋνεσ ταχύτητεσ κινητών τερματικών και μικρότερεσ κυψϋλεσ, ο χρόνοσ ςυνοχόσ μπορεύ να εύναι μϋχρι και τϊξεισ μεγϋθουσ μικρότεροσ. Θεωρούμε το uplink ενόσ κυψελικού massive MIMO ςυςτόματοσ. Ο αριθμόσ των κεραιών λόψησ (ςταθμόσ βϊςησ),, εύναι πολύ μεγαλύτεροσ απο τον αριθμό των κεραιών εκπομπόσ (πλόθοσ χρηςτών),. Σο πλόθοσ των κεραιών εκπομπόσ περιορύζεται απο το πόςο πλούςιο εύναι το περιβϊλλον διϊδοςησ. Τποθϋτουμε ότι ο αριθμόσ των κεραιών εκπομπόσ εύναι πολύ μικρόσ ςε ςύγκριςη τόςο με τισ κεραύεσ λόψησ όςο και με το χρόνο ςυνοχόσ, δηλαδό 3 (28) Ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ περιορύζεται από το φυςικό τουσ μϋγεθοσ. τα 2,6, ϋνα ULA ςτο οπούο οι κεραύεσ απϋχουν μιςό μόκοσ κύματοσ φτϊνει τα 6 για 104 ςτοιχεύα. Σοποθετώντασ τα ςτοιχεύα ςε ϋνα διςδιϊςτατο πλϋγμα, το πλόθοσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ μπορεύ να αυξηθεύ κι ϊλλο. Υυςικϊ ο αριθμόσ των κεραιών λόψησ μπορεύ να εύναι μεγαλύτεροσ, ύςοσ ό μικρότεροσ του χρόνου ςυνοχόσ. Για το λόγο αυτό ορύζεται ο κανονικοποιημϋνοσ χρόνοσ ςυνοχόσ ο οπούοσ θεωρεύται πεπεραςμϋνη, μη μηδενικό ςταθερϊ. Σο μοντϋλο μετϊδοςησ ςε μορφό πινϊκων εύναι: (29) όπου εύναι το ληφθϋν ςόμα ςτο ςταθμό βϊςησ, εύναι το ςόμα των χρηςτών (το οπούο μπορεύ να περιϋχει και ςύμβολα εκπαύδευςησ), εύναι το μητρώο του καναλιού και εύναι το ϊθροιςμα του θορύβου και τησ παρεμβολόσ. Τποτύθεται οτι τα 54

55 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων δεδομϋνα, η παρεμβολό και τα κανϊλια ϋχουν μηδενικό μϋςη τιμό, δηλαδό, -, -, - 0. Σο, που περιϋχει την παρεμβολό από τισ ϊλλεσ κυψϋλεσ δεν εύναι ςτη γενικό περύπτωςη ούτε λευκό ούτε Gaussian διαδικαςύα. ημειώνεται εδώ ότι η (29) μπορεύ να θεωρηθεύ και ωσ ϋνα ςύςτημα CDMA όπου οι ςτόλεσ του να εύναι οι spreading sequences και το υποδηλώνει το κϋρδοσ επεξεργαςύασ. Εύναι γνωςτό οτι το CDMA μπορεύ να αποδιαμορφωθεύ χωρύσ γνώςη των spreading sequences με τη βοόθεια τυφλών αλγορύθμων. Πολλού από αυτούσ τουσ αλγόριθμουσ μπορούν επύςησ να εφαρμοςτούν ςτα massive MIMO ςυςτόματα. ΙV.3. Περιγραφό Μεθόδου αποφυγόσ Pilot Contamination Πριν μπούμε ςε λεπτομϋρειεσ του αλγορύθμου που χρηςιμοποιόθηκε, ξεκινϊμε με την ιδϋα πύςω από τη διαδικαςύα. Θεωρούμε το μοντϋλο ςτη (29) για μύα μοναδικό ενεργό κεραύα εκπομπησ, δηλαδό 1, και αναζητϊμε το προςαρμοςμϋνο φύλτρο ϋτςι ώςτε να μεγιςτοποιεύται το SNR ςτην ϋξοδό του. την περύπτωςη του λευκού θορύβου, η μεγιςτοπούηςη του SNR ιςοδυναμεύ με τη μεγιςτοπούηςη τησ ςυνολικόσ ληφθεύςασ ιςχύοσ η οπούα ϋχει κανονικοποιηθεύ με βϊςη το power gain του φύλτρου. Σο βϋλτιςτο φύλτρο εύναι (30) όπου,, - Εύναι γνωςτό αποτϋλεςμα τησ γραμμικόσ ϊλγεβρασ ότι το διϊνυςμα που μεγιςτοποιεύ τη (30), και εύναι γνωςτό ωσ Rayleigh quotient, εύναι το ιδιοδιϊνυςμα του που αντιςτοιχεύ ςτη μεγαλύτερη ιδιοτιμό του. Εφόςον το μητρώο δεν εύναι γνωςτό, χρηςιμοποιούμε την προςεγγιςτικό λύςη Αυτό η προςϋγγιςη εύναι καλό (ςφιχτό) για ϋνα μεγϊλο αριθμό από κεραύεσ, που ςημαύνει ότι το εςωτερικό γινόμενο ςυγκλύνει 55

56 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων (31) όταν το, εϊν η μεγαλύτερη ιδιοτιμό του θορύβου εύναι αμελητϋα ςε ςύγκριςη με τη μεγαλύτερη ιδιοτιμό του ςόματοσ, δηλαδό i 0 (32) Σο όριο, υπονοεύ οτι λόγω τησ (28). Για πεπεραςμϋνο αριθμό κεραιών υπϊρχουν καλύτερεσ προςεγγύςεισ για το απο το. Η (32) εύναι ςχετικϊ εύκολο να ικανοποιηθεύ. την πραγματικότητα ιςχύει εϊν τα, και περιϋχουν ανεξϊρτητα δεύγματα ςταθερόσ διαςπορϊσ. Αυτό φαύνεται αν ςκεφτούμε ότι η μεγαλύτερη ιδιοτιμό του αυξϊνεται γραμμικϊ με το, ενώ το πλόθοσ των δειγμϊτων ςτο αυξϊνει τετραγωνικϊ, όμωσ το πλόθοσ των μη μηδενικών ιδιοτιμών αυξϊνει γραμμικϊ. Σην ύδια ςτιγμό η μεγαλύτερη ιδιοτιμό του μεγαλώνει τετραγωνικϊ με το, ενώ το πλόθοσ των ςτοιχεύων ςτο αυξϊνει γραμμικϊ, το πλόθοσ των ςτοιχεύων ςτο αυξϊνει γραμμικϊ, αλλϊ ο αριθμόσ των μη μηδενικων ιδιοτιμών εύναι και επομϋνωσ ςταθερόσ. Έχοντασ βρει ϋναν αλγόριθμο για μια κεραύα εκπομπόσ και λευκό θόρυβο, θα εφαρμόςουμε την ιδϋα για πολλαπλϋσ κεραύεσ εκπομπόσ και χρωματιςμϋνο θόρυβο. Θεωρούμε τη διϊςπαςη ιδιαζουςών τιμών (singular value decomposition SVD) με τα ορθοκανονικϊ μιγαδικϊ (unitary) μητρώα και και το διαγώνιο μητρώο του οπούου τα ςτοιχεύα τησ διαγωνύου *, + εύναι διατεταγμϋνεσ ςε μη-αύξουςα ςειρϊ. Όπωσ φαύνεται ςτο,23-, οι ςτόλεσ του εύναι υψηλϊ ςυςχετιςμϋνεσ με τισ ςτόλεσ του. Σο μητρώο αποςυντύθεται ςτον υποχώρο του ςόματοσ,, και τον υποχώρο του θορύβου και τησ παρεμβολόσ, ( ), δηλαδό, - 56

57 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων και ςτη ςυνϋχεια, το ληφθϋν ςόμα προβϊλλεται ςτον υποχώρο του ςόματοσ και ϋχουμε (33) Ο υποχώροσ του θορύβου και τησ παρεμβολόσ δε χρειϊζεται ςτη μϋθοδο. Για την ακρύβεια, δεν υπϊρχει λόγοσ να υπολογύζεται κϊθε φορϊ η πλόρησ SVD, εφόςον για τη μϋθοδο χρειϊζεται μόνο ο υποχώροσ του ςόματοσ. Τπϊρχουν αλγόριθμοι οι οπούοι υπολογύζουν απευθεύασ το αποδοτικϊ. Θεωρούμε τώρα την περύπτωςη ενόσ massive ΜΙΜΟ ςυςτόματοσ, δηλαδό. Ο διαςτϊςεων υποχωροσ του ςόματοσ εύναι πολύ μικρότεροσ από το χώρο i *, + διαςτϊςεων, όπου βρύςκεται ο θόρυβοσ. Ο λευκόσ θόρυβοσ εύναι ομούομορφα κατανεμημϋνοσ ςε όλεσ τισ διαςτϊςεισ του χώρου. Επομϋνωσ, η επύδραςη του λευκού θορύβου ςτον υπόχωρο του ςόματοσ γύνεται αμελητϋα όςο το i *, +. Με ϊλλα λόγια, η (32) μπορεύ να γενικευτεύ για τισ μεγαλύτερεσ ιδιοτιμϋσ και τα αντύςτοιχα ιδιοδιανύςματα, οςο το παραμϋνει πεπεραςμϋνο. Φρηςιμοποιώντασ τον παραπϊνω αλγόριθμο, μπορεύ να επιτευχθεύ το κϋρδοσ ςυςτοιχύασ (array gain) χωρύσ να χρειϊζεται καν να εκτιμηθούν οι ςυντελεςτϋσ του καναλιού. Μϊλιςτα, η εκτύμηςη του καναλιού μπορεύ να αναβληθεύ και να πραγματοποιηθεύ αφού το ληφθϋν ςόμα ϋχει προβληθεύ ςτον υποχωρο του ςόματοσ οπότε ο θόρυβοσ ϋχει καταςταλεύ. Προκειμϋνου να γύνει οικονομύα ςτην πολυπλοκότητα εύναι λογικό να μην εκτιμηθεύ το κανϊλι. Αντ αυτού θεωρούμε το subspace channel για το οπούο ιςχύει και γύνεται εκτύμηςη του πολύ μικρότερου μητρώου με κλαςςικϋσ μεθόδουσ γραμμικόσ εκτύμηςησ καναλιών που βαςύζονται ςε pilots. Έτςι, το πρόβλημα τησ εκτύμηςησ καναλιού για εξαιρετικϊ μη ςυμμετρικϊ massive MIMO ςυςτόματα μετατρϊπηκε ςτο εκτενώσ διερευνημϋνο πρόβλημα τησ εκτύμηςησ καναλιού ςε κλαςικϊ ςυμμετρικϊ MIMO ςυςτόματα. Παρόλο που η προβολό των δεδομϋνων ςτην (33) υπονοεύ ότι ο θόρυβοσ εύναι ανεξϊρτητοσ απο τα δεδομϋνα, η παρϊβλεψη αυτόσ τησ εξϊρτηςησ εύναι μια αποδεκτό προςϋγγιςη, η οπούα γύνεται ακριβόσ λόγω τησ (31) όςο ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ,, αυξϊνεται. 57

58 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Εκτόσ από το λευκό θόρυβο, υπϊρχει και παρεμβολό ςτα κανϊλια από τισ γειτονικϋσ κυψϋλεσ. Για λόγουσ ευκολύασ ςυμβολιςμού, υποθϋτουμε ότι κϊθε κυψϋλη περιϋχει τον ύδιο αριθμό χρηςτών,. Η παρεμβολό από τισ γειτονικϋσ κυψϋλεσ εύναι κϊθε ϊλλο παρϊ λευκό. υγκεκριμϋνα, όςο μικρότεροσ εύναι ο λόγοσ / (φορτύο), τόςο πιο χρωματιςμϋνοσ εύναι ο θόρυβοσ λόγω παρεμβολόσ. Κϊθε διϊνυςμα καναλιού διϊςταςησ εύναι ορθογώνιο με οποιοδόποτε ϊλλο διϊνυςμα καναλιού ςτο όριο [30]. Αυτό ιςχύει εύτε τα δύο διανύςματα αντιςτοιχούν ςε πομπούσ τησ ύδια κυψϋλησ, εύτε ςε διαφορετικϋσ. το όριο του μηδενικού φορτύου, 0, ιςχύει κϊτι ακόμα πιο ιςχυρό: ο υποχώροσ που καλύπτεται από την παρεμβολό των καναλιών και ο υποχώροσ του ςόματοσ εύναι ορθογώνιοι. Αυτό ςημαύνει ότι όταν /, οι ( 1) μεγαλύτερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ του ληφθϋντοσ μητρώου ςόματοσ γύνονται ύςεσ με τισ Ευκλεύδειεσ νόρμεσ των ( 1) διανυςμϊτων των καναλιών. Αρκεύ, επομϋνωσ, να εντοπιςτούν οι ιδιϊζουςεσ τιμϋσ που αντιςτοιχούν ςτα κανϊλια των χρηςτών που βρύςκονται εντόσ τησ κυψϋλησ ενδιαφϋροντοσ. τη ςυνϋχεια, η παρεμβολό μπορεύ να απομακρυνθεύ πραγματοποιώντασ προβολό ςτον υποχωρο του ςόματοσ. Όταν το, το ςύςτημα ϋχει ϊπειρη ποικιλομορφύα και το φαινόμενο του short-term fading (Rayleigh) εξαφανύζεται. Έτςι η νόρμα ενόσ διανύςματοσ καναλιού καθορύζεται αποκλειςτικϊ από το path loss και το long-term fading (shadowing). ε ϋνα κυψελικό ςύςτημα με τϋλειο ϋλεγχο ιςχύοσ λόψησ και ςτρατηγικό handoff που βαςύζεται ςτην ιςχύ, η νόρμα των διανυςμϊτων των καναλιών των γειτονικών κυψελών δε μπορεύ ποτϋ να εύναι μεγαλύτερη από τη νόρμα των διανυςμϊτων των καναλιών τησ κυψϋλησ ενδιαφϋροντοσ. Έτςι, εύναι δυνατό να εντοπιςτούν οι ιδιϊζουςεσ τιμϋσ που ανόκουν ςτουσ χρόςτεσ τησ κυψϋλησ ενδιαφϋροντοσ, ταξινομώντασ τισ κατϊ πλϊτοσ ςτο όριο (, ) (, 0), δηλαδό όταν ο αριθμόσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ τεύνει ςτο ϊπειρο, ενώ ο αριθμόσ των χρηςτών όχι. Για πρακτικϊ ςυςτόματα, με μικρό αλλϊ μη μηδενικό φορτύο, δηλαδό 0 1 απαιτεύται ϋνα περιθώριο ιςχύοσ μεταξύ των ςημϊτων ενδιαφϋροντοσ και παρεμβολόσ. Για τουσ περιςςότερουσ χρόςτεσ το περιθώριο αυτό υπϊρχει, εξαιτύασ του shadowing και του path loss. Ωςτόςο για κϊποιουσ χρόςτεσ (ςυνόθωσ αυτούσ που βρύςκονται κοντϊ ςτα όρια τισ κυψϋλησ) αυτό το περιθώριο χρειϊζεται να καταςκευαςτεύ. Αυτό μπορεύ να γύνει με διϊφορουσ τρόπουσ, όπωσ π.χ. χρηςιμοποιώντασ 58

59 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων κϊποιο ϋξυπνο pattern επαναχρηςιμοπούηςησ ςυχνότητασ ό χρόνου ό εξοπλύζοντασ τουσ χρόςτεσ με περιςςότερεσ από μύα κεραύα. ΙV.4. Χρόςη FDPM για την ανϊκτηςη του υποχωρου τη μϋθοδο που παρουςιϊςτηκε ςτην ενότητα IV.3 ενςωματώνουμε τη μϋθοδο FDPM που παρουςιϊςτηκε ςτην ενότητα ΙΙΙ.3.5, προκειμϋνου να αποφευχθεύ ο υπολογιςμόσ τησ πλόρουσ SVD κϊθε φορϊ, γλιτώνοντασ ϋτςι μεγϊλο κόςτοσ χρονικόσ πολυπλοκότητασ. Έτςι, ϋχοντασ μειώςει ςημαντικϊ την πολυπλοκότητα, δύνεται η δυνατότητα να γύνει online παρακολούθηςη του υποχωρου, κϊτι που εύναι ιδιαύτερα επιθυμητό, αφού τα αςύρματα κανϊλια αλλϊζουν με την πϊροδο του χρόνου. Αφού μασ ενδιαφϋρει μόνο το μητρώο με τα αριςτερϊ ιδιϊζοντα διανύςματα,, η εφαρμογη τησ SVD ςτο ληφθϋν ςόμα, ιςοδυναμεύ με την εφαρμογό τησ SVD ςτο μητρώο ςυνδιαςπορών (για την ακρύβεια ςτη ςτιγμιαύα εκτύμηςό του). Έτςι, αντύ να πραγματοποιεύται SVD του μητρώου για να αποκτηθεύ ϋνα μϋροσ του μητρώου των αριςτερών ιδιαζόντων διανυςμϊτων, δηλαδό ο υποχωροσ του ςόματοσ, εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο FDPΜ για να το εκτιμόςουμε. ΙV.5. Προςομοιώςεισ / Πειραματικϊ Αποτελϋςματα ε αυτόν την ενότητα θα παρουςιαςτούν τα αποτελϋςματα τησ μεθόδου που περιγρϊφηκε ςτισ ενότητεσ ΙV.3 και IV.4 για το μοντϋλο ςυςτόματοσ που περιγρϊφηκε ςτην ενότητα IV.2. Η απόδοςη αξιολογεύται με βϊςη το SINR και το ρυθμό ςφαλμϊτων ανϊ ςύμβολο (Symbol Error Rate SER), για διϊφορεσ τιμϋσ των διαφόρων παραμϋτρων του ςυςτόματοσ. ΙV.5.1 Παρϊμετροι υςτόματοσ Θεωρούμε το μοντϋλο ςυςτόματοσ που παρουςιϊςτηκε ςτην ενότητα IV.2. Σο ςύςτημα αποτελεύται από 6 κυψϋλεσ καθεμύα εκ των οπούων περιϋχει ϋνα ςταθμό βϊςησ με κεραύεσ και χρόςτεσ και θεωρούμε οτι 59

60 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων το. Ο χρόνοσ ςυνοχόσ εύναι ςύμβολα και θεωρούμε επύςησ οτι το. Η διαμόρφωςη που χρηςιμοποιεύται εύναι 8-PSK με ςταθερό μοναδιαύα μϋςη ενϋργεια. τισ περιπτώςεισ όπου δεν αναφϋρεται ρητϊ κϊτι ϊλλο, οι τιμϋσ των παραμϋτρων,, και εύναι: 1000, 50 και 600. ΙV.5.2 Πειραματικϊ Αποτελϋςματα Συφλόσ Μεθόδου Αρχικϊ παρουςιϊζεται η κατανομό του περιθωρύου ιςχύοσ (power margin) μεταξύ των ιδιαζουςών τιμών του ςόματοσ και τησ παρεμβολόσ, για διϊφορεσ τιμϋσ του SINR. Να ςημειωθεύ εδώ ότι ςτα γραφόματα παρουςιϊζονται μόνο οι μεγαλύτερεσ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ και όχι αυτϋσ που αντιςτοιχούν ςτο θόρυβο οι οπούεσ βρύςκονται πολύ κοντϊ ςτο μηδϋν για την καλύτερη απεικόνιςη των αποτελεςμϊτων. SINR=4dB SINR=8dB 60

61 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων SINR=10dB SINR=12dB SINR=16dB SINR=20dB Γρϊφημα IV-1: Κατανομό Ιδιαζουςών Σιμών Προφανώσ, όςο αυξϊνεται το SINR, τόςο καλύτερα διαχωριςμϋνοι εύναι οι κϊδοι που περιϋχουν τισ ιδιϊζουςεσ τιμϋσ. Για χαμηλό SINR οι κϊδοι δεν εύναι διαχωρύςιμοι, ενώ όςο το SINR αυξϊνεται τόςο οι κϊδοι απομακρύνονται αυξϊνοντασ το περιθώριο ιςχύοσ μεταξύ τουσ. τη ςυνϋχεια παρουςιϊζεται η επύδραςη του αριθμού των χρηςτών που εξυπηρετεύ κϊθε κυψϋλη,, ςτο περιθώριο ιςχύοσ ςε ςυνϊρτηςη του SINR. 61

62 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV-2: Περιθώριο Ιςχύοσ vs. SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του Όπωσ φαύνεται ςτο παραπϊνω γρϊφημα (Γρϊφημα IV-2), το πλόθοσ των χρηςτών επηρεϊζει το περιθώριο ιςχύοσ μεταξύ των κϊδων των ιδιαζουςών τιμών. Όςο λιγότεροι χρόςτεσ εξυπηρετούνται από τουσ ςταθμούσ βϊςησ, τόςο μεγαλύτερο εύναι το περιθώριο ιςχύοσ. Όςο αυξϊνονται οι χρόςτεσ που μπαύνουν ςτο ςύςτημα, τόςο μειώνεται το περιθώριο ιςχύοσ κϊτι το οπούο εύναι λογικό εφόςον ϋχουμε υποθϋςει ότι όλεσ οι κυψϋλεσ εξυπηρετούν τον ύδιο αριθμό χρηςτών και επομϋνωσ προςθϋτοντασ χρόςτεσ ςε μύα κυψϋλη, προςτύθενται και ( 1) χρόςτεσ ςτισ γειτονικϋσ κυψϋλεσ που δημιουργούν παρεμβολό. Αντύςτοιχα, ςτο παρακϊτω Γρϊφημα IV- 3 παρουςιϊζεται το περιθώριο ιςχύοσ ςε ςυνϊρτηςη του SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του, δηλαδό του πλόθουσ των κεραιών με τισ οπούεσ εύναι εξοπλιςμϋνοσ ο ςταθμόσ βϊςησ. 62

63 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV- 3: Περιθώριο Ιςχύοσ vs. SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του Όπωσ όταν αναμενόμενο, η απόδοςη εύναι καλύτερη όςο αυξϊνεται το. Με περιςςότερεσ κεραύεσ ςτο ςταθμό βϊςησ ο διαχωριςμόσ των κϊδων των ιδιαζουςών τιμών γύνεται ευκολότερα. Αυτό ςημαύνει οτι με παραπϊνω κεραύεσ λόψησ, το ςύςτημα μπορεύ να δουλϋψει και ςε καθεςτώσ χαμηλότερου SINR. τη ςυνϋχεια θα δούμε πωσ επηρεϊζεται ρυθμόσ ςφαλμϊτων ςυμβόλου (symbol error rate SER) από την αύξηςη ό τη μεύωςη των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ, διατηρώντασ το πλόθοσ των χρηςτών ςε κϊθε κυψϋλη ςταθερό. το Γρϊφημα IV- 4 φαύνεται ότι όςο μικρότεροσ εύναι ο αριθμόσ των κεραιών λόψησ τόςο μεγαλύτερο εύναι το ςφϊλμα. Αυξϊνοντασ το πλόθοσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ, ο ρυθμόσ ςφαλμϊτων εύναι χαμηλότεροσ. Μϊλιςτα, για μϋτριο SINR (10-12dB) η διαφορϊ εύναι αρκετϊ ςημαντικό, ενώ για υψηλότερο SINR, όςο περιςςότερεσ κεραύεσ λόψησ υπϊρχουν, τόςο γρηγορότερα πληςιϊζει ο ρυθμόσ ςφαλμϊτων ςτο μηδϋν. 63

64 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV- 4: Ρυθμόσ φαλμϊτων υμβόλου vs. SINR για διϊφορεσ τιμϋσ του Μ 64

65 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV- 5: Μϋςο Απόλυτο φϊλμα Εκτύμηςησ Καναλιού vs. SINR για διϊφορα Μ Από την ϊλλη πλευρϊ, η διαφορϊ ςτην εκτύμηςη του καναλιού δεν εύναι τόςο μεγϊλη. Φυςικϊ, και πϊλι παρατηρούμε μικρότερο ςφϊλμα ςτην περύπτωςη των περιςςότερων κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ χωρύσ όμωσ ςε αυτό την περύπτωςη να ϋχουμε τραγικό βελτύωςη. Ωςτόςο, παρόλο που ςτο uplink δε μασ ενδιαφϋρει τόςο το ςφϊλμα τησ εκτύμηςησ του καναλιού από τη ςτιγμό που γύνεται καλό ανύχνευςη, όμωσ η μικρό αυτό διαφορϊ του ςφϊλματοσ εκτύμηςησ μπορεύ να επηρεϊςει αρκετϊ τη μετϊδοςη ςτο downlink, αφού οι εκτιμόςεισ αυτϋσ χρηςιμοποιούνται για τη ςχεδύαςη των beamformers. ΙV.5.3 Πειραματικϊ Αποτελϋςματα Μεθόδου με FDPM Πϋραν των αποτελεςμϊτων ςχετικϊ με το ςύςτημα που υλοποιεύται, δηλαδό το SER και το ςφϊλμα εκτύμηςησ του καναλιού, ςε αυτό την ενότητα θα παρουςιαςτούν και κϊποια γραφόματα τα οπούα αξιολογούν την απόδοςη τησ FDPM ςε ςχϋςη με την περύπτωςη όπου πραγματοποιεύται πλόρησ SVD. 65

66 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων υγκεκριμϋνα, θα οριςτούν δύο μετρικϋσ, η ιςχύσ του ςφϊλματοσ ορθοκανονικότητασ και η ιςχύσ του ςφϊλματοσ προβολόσ. Η ιςχύσ του ςφϊλματοσ ορθοκανονικότητασ αφορϊ το πόςο αποκλύνει η βϊςη του υποχωρου του ςόματοσ από το να εύναι ορθοκανονικό, ενώ η ιςχύσ του ςφϊλματοσ προβολόσ αφορϊ το πόςο αποκλύνει η εκτιμηθεύςα βϊςη του υποχωρου του ςόματοσ από την πραγματικό, δηλαδό αυτόν που υπολογύζεται από την πλόρη SVD. Επιςτρϋφοντασ ςτο notation τησ ενότητασ ΙΙΙ.3, ορύζουμε την ιςχύ του ςφϊλματοσ προβολόσ (projection error power) τη χρονικό ςτιγμό ωσ: ( ), - όπου το * + υποδηλώνει τη νόρμα Frobenius και υπενθυμύζουμε ότι το μητρώο εύναι η εκτύμηςη του και επομϋνωσ το εύναι μια εκτύμηςη του τελεςτό προβολόσ (projection operator), ενώ ο ιδανικόσ projector εύναι ύςοσ με. χετικϊ με την ορθοκανονικότητα ϋχουμε ότι, όπου το εκφρϊζει την απόκλιςη απο τον ταυτοτικό πύνακα. Ορύζουμε την ιςχύ του ςφϊλματοσ ορθοκανονικότητασ ωσ: ( ), -, - Επιπλϋον θα παρουςιαςτούν και κϊποια γραφόματα τα οπούα δεύχνουν τα αντύςτοιχα απόλυτα ςφϊλματα, δηλαδό, -,, - και, - το τετραγωνικό ςφϊλμα προβολόσ. Η ιςχύσ του ςφϊλματοσ ορθοκανονικότητασ φαύνεται ςτο επόμενο γρϊφημα (IV-6). το εν λόγω γρϊφημα εξετϊζεται η περύπτωςη όπου το SINR=20, ενώ το βόμα του αλγορύθμου FDPM μεταβϊλλεται ςύμφωνα με τη ςχϋςη (23) επιλϋγοντασ ωσ *0.5,0.7,0.9+. Περιλαμβϊνεται επύςησ η περύπτωςη του ςταθερού βόματοσ όπου χρηςιμοποιόθηκε ο πύνακασ ςυνδιαςπορϊσ των δειγμϊτων. 66

67 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV- 6: Ιςχύσ φϊλματοσ Ορθοκανονικότητασ για διαφορετικό βόμα του FDPM Για καλύτερη κατανόηςη, ςτο γρϊφημα Γρϊφημα IV- 7 παρουςιϊζουμε και το μϋςο απόλυτο ςφϊλμα ορθοκανονικότητασ, για τισ ύδιεσ τιμϋσ παραμϋτρων, το οπούο, όπωσ φαύνεται, ϋχει ακριβώσ την ύδια μορφό. Γρϊφημα IV- 7: Μϋςο Απόλυτο φϊλμα Ορθοκανονικότητασ για διαφορετικό βόμα του FDPM Όπωσ φαύνεται, ο ςυντελεςτόσ δεν επηρεϊζει ιδιαύτερα την απόδοςη, ενώ και η χρόςη ςταθερού βόματοσ παρϋχει παρόμοια αποτελϋςματα, επομϋνωσ, ςτην ςυνϋχεια, ςταθεροποιούμε την τιμό του 0.8 και 67

68 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων βλϋπουμε πωσ μεταβϊλλεται το ςφϊλμα ςε ςχϋςη με το SINR κατϊ τη διϊρκεια των επαναλόψεων τησ μεθόδου FDPM (Γρϊφημα IV- 8). Γρϊφημα IV- 8: Ιςχύσ φϊλματοσ Ορθοκανονικότητασ vs. επαναλόψεισ FDPM Περιϋργωσ, το ςφϊλμα εύναι μικρότερο για χαμηλότερο SINR, χωρύσ όμωσ η διαφορϊ να εύναι τερϊςτια. τη ςυνϋχεια, ςτο Γρϊφημα IV- 9, θα δούμε πώσ το ςφϊλμα επηρεϊζεται από το πλόθοσ των κεραιών ςτο ςταθμό βϊςησ. Σο ςφϊλμα αφορϊ την εκτύμηςη που προκύπτει από την τελευταύα επανϊληψη τησ μεθόδου FDPM, την εκτύμηςη δηλαδό που χρηςιμοποιεύται ςτην τυφλό μϋθοδο. 68

69 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV- 9: Ιςχύσ φϊλματοσ Ορθοκανονικότητασ vs. SINR Πηγαύνοντασ, τώρα, ςτο ςφϊλμα προβολόσ, παρουςιϊζεται αρχικϊ η εξϋλιξη του κατϊ το πϋρασ των επαναλόψεων τησ μεθόδου FDPM για διϊφορεσ τιμϋσ του SINR (Γρϊφημα IV- 10). 69

70 ΙV. Αποφυγό του Pilot Contamination με Παρακολούθηςη Υποχωρων Γρϊφημα IV- 10: Ιςχύσ φϊλματοσ Προβολόσ vs. επαναλόψεισ FDPM ε αυτό την περύπτωςη, ϋχουμε μικρότερο ςφϊλμα για μεγαλύτερο SINR, ενώ το απόλυτο ςφϊλμα προβολόσ εύναι τησ τϊξεωσ του 10. Η ιςχύσ του ςφϊλματοσ προβολόσ ςε ςυνϊρτηςη με το SINR παρουςιϊζεται ςτο Γρϊφημα IV- 11. Και ςε αυτό την περύπτωςη, ϋχουμε επιλϋξει 0.8 για το ςυντελεςτό που επηρεϊζει το βόμα τησ μεθόδου FDPM. 70