ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Διαστασιολόγηση σε κάμψη δοκών Ο/Σ. Αναλυτικός υπολογισμός και ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διαστασιολόγηση σε κάμψη δοκών Ο/Σ Αναλυτικός υπολογισμός και ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού Σπουδαστής: Τομπουλίδης Κωνσταντίνος Επιβλέπων: Παναγόπουλος Γεώργιος ΣΕΡΡΕΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 013

2 Διαστασιολόγηση σε κάμψη δοκών Ο/Σ Αναλυτικός υπολογισμός και ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού Σπουδαστής Τομπουλίδης Κωνσταντίνος 6333 Επιβλέπων Παναγόπουλος Γεώργιος Πολιτικός Μηχανικός Msc Καθηγητής Εφαρμογών ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΕΡΡΕΣ Οκτώβριος 013

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η διαστασιολόγηση δοκών οπλισμένου σκυροδέματος σε κάμψη σύμφωνα με τον ΕΚΩΣ 000 και τον Ευρωκώδικα. Μετά το πρώτο κεφάλαιο που αποτελεί την εισαγωγή, παρουσιάζονται τα δεδομένα των κανονισμών σε ό,τι αφορά τα υλικά και τις παραμορφώσεις αυτών και ακολουθεί το τρίτο κεφάλαιο όπου υπολογίζονται οι δυνάμεις που καταπονούν τα υλικά και όπως θα φανεί, παραλαμβάνονται από αυτά, ως συνισταμένες των τάσεων που αναπτύσσονται λόγω της παραμόρφωσης. Η πορεία της διαστασιολόγησης για ορθογωνική διατομή παρουσιάζεται στο τέταρτο κεφάλαιο με αφετηρία την ισορροπία της διατομής. Αναλύεται η διαδικασία με ανηγμένα και φυσικά μεγέθη, για απλό και διπλό οπλισμό και στη συνέχεια γίνεται διερεύνηση της οικονομικότητας των λύσεων διπλού οπλισμού. Στο πέμπτο κεφάλαιο εξετάζονται οι πλακοδοκοί και περιγράφεται η προτεινόμενη διαδικασία αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων ισορροπίας για τον υπολογισμό της παραμόρφωσης καθώς και ο τρόπος αριθμητικού προσδιορισμού της οικονομικής λύσης. Η παρουσίαση του βοηθητικού λογισμικού RC-Beam, που αναπτύχθηκε στα πλαίσια αυτής της εργασίας, γίνεται στο έκτο κεφάλαιο, όπου περιλαμβάνονται και δυο συγκριτικά παραδείγματα, στα οποία γίνεται αντιπαραβολή των αποτελεσμάτων του RC-Beam με αυτά του λογισμικού pidesign, ενώ στο έβδομο κεφάλαιο παρατίθενται τα αποτελέσματα παραμετρικών επιλύσεων με το εν λόγω λογισμικό. Ακολουθεί ο επίλογος με τα συμπεράσματα στα οποία οδήγησε η παρούσα εργασία καθώς επίσης και προτάσεις για συνέχεια. Λέξεις κλειδιά: οπλισμένο, σκυρόδεμα, δοκός, κάμψη, οπλισμός, διαστασιολόγηση i

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ όλους όσους με στήριξαν στις σπουδές μου, οικογένεια, φίλους και καθηγητές. Θα ήθελα όμως να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως ορισμένους ανθρώπους, η συμβολή των οποίων ήταν καθοριστική για την περάτωση της εργασίας, ξεκινώντας από τον καθηγητή του Τ.Ε.Ι. Κεντρικής Μακεδονίας και φίλο μου κ. Παναγόπουλο Γεώργιο, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε αναθέτοντάς μου αυτήν την εργασία, όσο και για την πολύτιμη βοήθεια και συνεργασία του τόσο για την εκπόνησή της όσο και κατά τη διάρκεια της πρακτικής μου άσκησης στο Τ.Ε.Ι. Συνεχίζοντας θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Δρ. Βασίλη Κουκουλογιάννη, καθηγητή και φίλο μου, για τις συμβουλές του για τις αριθμητικές επιλύσεις αλλά και για τη στήριξή του γενικότερα, καθώς και την κ. Στέλλα Παπαϊωάννου, συμφοιτήτρια και φίλη μου, για το σχεδιασμό και την επιμέλεια του εξώφυλλου. Τέλος, ευχαριστώ την εταιρία τεχνικού λογισμικού π-systems και τον πρόεδρό της κ. Κωνσταντινίδη Απόστολο για την παραχώρηση εκπαιδευτικής άδειας χρήσης του λογισμικού pi-design. ii

5 ΛΙΣΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΛΙΣΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ i ii iii Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1 Κεφάλαιο : Επιτρεπόμενες παραμορφώσεις 3.1 Δυνατές παραμορφώσεις διατομής υπό ορθή καταπόνηση 3. Επιτρεπτές παραμορφώσεις από τους κανονισμούς 4.3 Γενικευμένο Διάγραμμα Παραμορφώσεων 7.4 Περιοχές του Γενικευμένου Διαγράμματος Παραμορφώσεων 9.5 Περιορισμός των λύσεων 11 Κεφάλαιο 3: Αναπτυσσόμενες τάσεις Τάση σκυροδέματος Τάση χάλυβα Οι δυνάμεις των υλικών ως αποτέλεσμα της παραμόρφωσης Η δύναμη που αναλαμβάνει ο οπλισμός Η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα Περιοχή Περιοχή α Περιοχή β Περιοχή Περιοχή Περιοχή Επιρροή της ύπαρξης οπλισμού στη θλιβόμενη ζώνη Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της δύναμης του σκυροδέματος 46 Κεφάλαιο 4: Ισορροπία της διατομή Σύμβαση προσήμων και θετικής φοράς Ανάλυση της καταπόνησης Η δύναμη του σκυροδέματος συναρτήσει της παραμόρφωσης Ισορροπία της διατομής για κάμψη με απλό οπλισμό 54 iii

6 4.4.1 Επίλυση με φυσικά μεγέθη Επίλυση με ανηγμένα μεγέθη Περιοχή α Περιοχή β Περιοχή Περιοχή Διαγράμματα και πίνακες διαστασιολόγησης με ανηγμένα μεγέθη Ισορροπία της διατομής για κάμψη με διπλό οπλισμό Επίλυση με φυσικά μεγέθη Επίλυση με ανηγμένα μεγέθη Η επιλογή της παραμόρφωσης Οικονομικός οπλισμός 84 Κεφάλαιο 5: Πλακοδοκοί Η έννοια του συνεργαζόμενου πλάτους Ισορροπία της διατομής Υπολογισμός της δύναμης σκυροδέματος Περιοχή α Θλίβεται ολόκληρη η πλάκα και τμήμα του κορμού Θλίβεται τμήμα της πλάκας Περιοχή β Θλίβεται όλη η πλάκα και τμήμα του κορμού αλλαγή κλάδου στον κορμό Θλίβεται όλη η πλάκα και τμήμα του κορμού αλλαγή κλάδου στην πλάκα Θλίβεται τμήμα της πλάκας Περιοχή 3 & Πορεία της διαστασιολόγησης Προσδιορισμός του οικονομικού οπλισμού 105 Κεφάλαιο 6: Παρουσίαση του λογισμικού RC-Beam Σκοπός, παραδοχές και περιορισμοί του προγράμματος Λειτουργίες του λογισμικού Διαστασιολόγηση 108 iv

7 6.. Παραγωγή πινάκων Επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων του RC-Beam Παράδειγμα για ΕΚΟΣ Παραγωγή για Ευρωκώδικα 130 Κεφάλαιο 7: Παραμετρικές επιλύσεις Σκοπός των παραμετρικών επιλύσεων Σύγκριση μηχανικού ποσοστού οπλισμού ΕΚΩΣ & EC Επιρροή ποιότητας του σκυροδέματος Επιρροή της ποιότητας του χάλυβα Επιρροή του συνεργαζόμενου πλάτους των πλακοδοκών Διαφορά οικονομικού και απλού οπλισμού κατά ΕΚΟΣ & EC 147 Κεφάλαιο 8: Συμπεράσματα Συμπεράσματα από την εκπόνηση της εργασίας Προτάσεις για συνέχεια 151 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 153 v

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Η διαστασιολόγηση σε κάμψη δομικών στοιχείων από οπλισμένο σκυρόδεμα είναι ένα αντικείμενο που απασχολεί τον μελετητή μηχανικό στο σχεδιασμό κάθε έργου. Η συνήθης πρακτική για την αντιμετώπιση του προβλήματος είναι η χρήση πινάκων και διαγραμμάτων που έχουν υπολογιστεί στο παρελθόν και αποτελούν τμήμα των σχετικών βιβλίων και τεχνικών εγχειριδίων. Η ανάγκη αυτή προκύπτει καθώς η διαδικασία που προβλέπεται από τους σύγχρονους κανονισμούς οπλισμένου σκυροδέματος (ΕΚΩΣ000, EC) είναι ιδιαίτερα σύνθετη, τόσο στην πλήρη κατανόησή της, όσο και κατ επέκταση στην πρακτική εφαρμογή της, ώστε η ενσωμάτωσή της στην καθημερινότητα ενός τεχνικού γραφείου να είναι ανέφικτη. Στο πλαίσιο της πτυχιακής εργασίας, επιχειρείται η σε βάθος διερεύνηση του αντικειμένου της κάμψης διατομών δοκών Ο/Σ, με σαφή αναγνώριση των επιμέρους υποπεριπτώσεων που προκύπτουν εφαρμόζοντας τη μεθοδολογία των κανονισμών (περιοχές) και η παρουσίαση των σχέσεων υπολογισμού που προκύπτουν σε κάθε μία από αυτές. Επιπλέον, διερευνώνται εναλλακτικοί τρόποι υπολογισμού του απαιτούμενου οπλισμού, όταν είναι αυτό εφικτό, είτε χρησιμοποιώντας οπλισμό μόνο στην εφελκυόμενη περιοχή (απλός οπλισμός), είτε και στη θλιβόμενη περιοχή (διπλός οπλισμός) με παράλληλη αναγνώριση της οικονομικότερης λύσης. Γίνεται εφαρμογή σε δοκούς με ορθογωνική διατομή αλλά και μορφής αμφίπλευρης πλακοδοκού. Κατά την εφαρμογή των ανωτέρω γίνεται απολύτως κατανοητό ότι η πολυπλοκότητα του αντικειμένου απαιτεί τη χρήση Η/Υ για την αυτοματοποίηση της όλης διαδικασίας και την περαιτέρω διερεύνηση της επιρροής των επιμέρους παραμέτρων που υπεισέρχονται στη διαδικασία. Επιχειρήθηκε η ανάπτυξη ειδικού λογισμικού σε περιβάλλον Visual Basic.NET, με τη βοήθεια του οποίου επιτυγχάνεται αυτή η αυτοματοποίηση, χρησιμοποιώντας αναλυτικές λύσεις, όταν αυτό είναι εφικτό, ενώ σε ορισμένες περιπτώσεις στις οποίες η αναλυτική διαδικασία προκύπτει ιδιαίτερα δυσχερής, ακολουθείται αριθμητική προσέγγιση. Η χρήση του λογισμικού επιτρέπει επιπλέον την γρήγορη επίλυση μεγάλου αριθμού παραδειγμάτων, αφενός για την παραγωγή πινάκων και διαγραμμάτων με τα οποία είναι εξοικειωμένος ο μηχανικός και αφετέρου την εκτέλεση παραμετρικών επιλύσεων για περαιτέρω διερεύνηση. 1

9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επιτρεπτές παραμορφώσεις.1 Δυνατές παραμορφώσεις διατομής υπό ορθή καταπόνηση Όταν μια διατομή είναι πλήρως ορισμένη, δηλαδή με συγκεκριμένες διαστάσεις και ποιότητες σκυροδέματος και οπλισμού, τότε υπό δεδομένη καταπόνηση θα υποστεί μια συγκεκριμένη παραμόρφωση η οποία είναι μονοσήμαντα ορισμένη. Το παραπάνω σημείο είναι ιδιαίτερα κρίσιμο καθώς όπως θα φανεί στη συνέχεια, κατά την διαστασιολόγηση μιας διατομής οπλισμένου σκυροδέματος δεν είναι γνωστή η παραμόρφωση της διατομής, καθώς η ποσότητα του οπλισμού είναι στα ζητούμενα και όχι στα δεδομένα. Αν η καταπόνηση είναι από μεγέθη ορθής έντασης (καμπτικές ροπές και αξονικές δυνάμεις) τότε και οι τάσεις που αναπτύσσονται στα επιμέρους υλικά της διατομής, χάλυβα και σκυρόδεμα, είναι επίσης ορθές. Δηλαδή κάθε σημείο της διατομής είτε εφελκύεται είτε θλίβεται, με αποτέλεσμα να παραμορφώνεται αξονικά. Η κατανομή των παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής εξαρτάται από την καταπόνηση, ποιοτικά και ποσοτικά, αλλά και από τη διατομή και τα επιμέρους υλικά. Σε κάθε περίπτωση πάντως γίνεται η θεώρηση ότι η κατανομή της είναι γραμμική καθ ύψος της διατομής, ως απόρροια της αρχής Bernulli, σύμφωνα με την οποία οι επίπεδες διατομές που είναι κάθετες στον άξονα ενός μέλους, παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον παραμορφωμένο άξονα του μέλους μετά την παραμόρφωση. Συνεπώς η διατομή δεν μπορεί παρά μόνο είτε να εφελκύεται ολόκληρη ομοιόμορφα (Σχ..1α) ή ανομοιόμορφα (Σχ..1β &.1γ), είτε να θλίβεται ολόκληρη ομοιόμορφα (Σχ..1η) ή ανομοιόμορφα (Σχ..1στ &.1ζ) είτε κατά ένα μέρος να θλίβεται και στο υπόλοιπο να εφελκύεται (Σχ..1δ &.1ε). 3

11 (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) (η) Σχ..1: Δυνατές παραμορφώσεις από ορθή καταπόνηση. Επιτρεπτές παραμορφώσεις από τους κανονισμούς Σύμφωνα και με τους δυο κανονισμούς (ΕΚΟΣ & EC) η εικόνα της παραμορφωμένης διατομής είναι ποιοτικά προσδιορισμένη από τους κανονισμούς και γίνεται σαφές πως μια παραμόρφωση είναι επιτρεπτή μόνο όταν εξασφαλίζει οριακή παραμόρφωση για τουλάχιστον ένα από τα δυο υλικά, χάλυβα και σκυρόδεμα. Δηλαδή επιδιώκεται τουλάχιστον ένα από τα δυο υλικά να εξαντλεί την οριακή του παραμόρφωση. Oι τιμές των επιτρεπόμενων οριακών παραμορφώσεων του χάλυβα διαφέρουν στους δυο κανονισμούς, ωστόσο για τις συνήθεις ποιότητες σκυροδέματος (μέχρι C50) είναι ίδιες. 4

12 Και στις δυο περιπτώσεις προβλέπονται οι εξής οριακές παραμορφώσεις: η οριακή θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος για κάμψη (ε cu ) η οριακή παραμόρφωση του οπλισμού (ε su ) η οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος για κεντρική θλίψη (ε cc ) Για λόγους συμβατότητας των διαγραμμάτων των κανονισμών, ως προς τα πρόσημα και τις θετικές φορές, με τις γνωστές από την αντοχή υλικών θεωρήσεις των διατομών, θεωρείται ότι η εξεταζόμενη διατομή είναι έτσι προσανατολισμένη ώστε το κάτω μέρος να εφελκύεται και το πάνω μέρος να θλίβεται (θετική ροπή), είτε το κάτω μέρος να είναι περισσότερο εφελκυόμενο από το πάνω (στην περίπτωση που όλη διατομή είναι ολόκληρη υπό εφελκυσμό), είτε το πάνω μέρος να είναι περισσότερο θλιβόμενο από το κάτω (στην περίπτωση που όλη η διατομή είναι υπό θλίψη). Ως προς τη φορά σχεδίασης των παραμορφώσεων, μπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστάται το τμήμα του στοιχείου, δεξιά της διατομής που εξετάζεται. Για να ακολουθηθεί η συνήθης πρακτική, δηλαδή οι εφελκυστικές δυνάμεις κατά το θετικό ημιάξονα των x και οι θλιπτικές κατά τον αρνητικό, προκύπτει μια αντινομία στα σχέδια όπου οι παραμορφώσεις είναι αντίθετα σχεδιασμένες απ ότι θα έπρεπε βάσει των δυνάμεων που τις προκαλούν, ωστόσο όπως θα φανεί και στη μαθηματική επεξεργασία, η φορά σχεδίασης των παραμορφώσεων δεν υπεισέρχεται στους υπολογισμούς. Οι δείκτες 1 & υποδηλώνουν την κάτω και άνω παρειά αντίστοιχα, ενώ οι δείκτες s και c αναφέρονται στον οπλισμό (steel) και σκυρόδεμα (concrete). Για παράδειγμα, η παραμόρφωση ε s αναφέρεται στον άνω οπλισμό. 5

13 ε c = εsu εsu > ε c > 0 ε c = 0 d A s ε s ε s ε s M d N d d h A s1 ε s1 = εsu ε s1 = εsu ε s1 = εsu d1 ε c1 ε c1 ε c1 (α) (β) (γ) 0 < ε c < εcu ε c = εcu ε c = εcu ε c = εcu ε s ε s ε s ε s ε s1 = εsu ε c1 ε s1 = εsu ε c1 ε c1 ε c1 ε s1 = 0 (δ) (ε) (στ) (ζ) ε c = εcu εcc < ε c < εcu ε c = εcc ε s ε s h(εcu-εcc)/εcu ε s ε=εcc ε s1 ε c1 = 0 (η) ε c1 (θ) ε s1 ε c1 = εcc (ι) ε s1 Σχ..: Επιτρεπτές παραμορφώσεις 6

14 .3 Γενικευμένο Διάγραμμα Παραμορφώσεων Οι επιτρεπτές παραμορφώσεις δίνονται σχηματικά από τους κανονισμούς μέσω του Γενικευμένου Διαγράμματος Παραμορφώσεων, το οποίο δεν είναι τίποτα άλλο παρά η σύνθεση των πιθανών περιπτώσεων του σχήματος.. Στο διάγραμμα διακρίνονται τρία χαρακτηριστικά σημεία Α, Β & Γ με τα οποία περιγράφονται δέσμες ευθειών που παριστάνουν τις επιτρεπτές από τους κανονισμούς κατανομές των παραμορφώσεων (Σχ..3). Σε παραμόρφωση που διέρχεται από το A ο κάτω οπλισμός εφελκύεται και εξαντλεί την οριακή παραμόρφωση του, ενώ σε παραμόρφωση που διέρχεται από το Β, η άνω ακραία ίνα της διατομής θλίβεται και εξαντλεί την οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος. Στο σημείο Γ, η συγκεκριμένη ίνα, η οποία προσδιορίζεται έμμεσα, θλίβεται εξαντλώντας την οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος σε ομοιόμορφη θλίψη. Η ευθεία που παριστάνει την κατανομή των παραμορφώσεων η οποία καταχρηστικά θα αναφέρεται ως παραμόρφωση της διατομής στο εξής, πρέπει να διέρχεται από τουλάχιστον ένα από τα χαρακτηριστικά σημεία Α, Β & Γ για να είναι επιτρεπτή από τον κανονισμό. Οποιαδήποτε παραμόρφωση η οποία υπερβαίνει τα όρια αυτά δεν είναι δυνατή εξ ορισμού, ενώ μια παραμόρφωση η οποία είναι εντός των ορίων των υλικών αλλά χωρίς να εξαντλεί την οριακή παραμόρφωση τουλάχιστον ενός εκ των δυο υλικών (δηλαδή δεν διέρχεται από κανένα από τα σημεία Α, Β, ή Γ) θεωρητικά είναι υπέρ της ασφαλείας διότι τα υλικά έχουν περιθώριο να παραμορφωθούν, αλλά δεν είναι επιτρεπτή από τους κανονισμούς, υπό την έννοια του σχεδιασμού στην οριακή κατάσταση αστοχίας και αυτή ακριβώς είναι μια από τις ουσιαστικές διαφορές της μεθόδου των οριακών καταστάσεων από την μέθοδο των επιτρεπόμενων τάσεων που χρησιμοποιούνταν στο παρελθόν. 7

15 d εsu 0 ε y εcc εcu B A s 1β α β h d M d N d 1α 3α 3 3β Γ 1 5 d1 A s1 A εsu ε y 4 εcc Σχ..3: Γενικευμένο Διάγραμμα παραμορφώσεων 8

16 .4 Περιοχές του Γενικευμένου Διαγράμματος Παραμορφώσεων Για την καλύτερη όμως οργάνωση του προβλήματος και της λύσης του, καθώς και για λόγους ευκολότερης μαθηματικής επεξεργασίας και προγραμματιστικής σύνταξης, κρίνεται σκόπιμο να χωριστεί το Γ.Δ.Π. σε «περιοχές» (Σχ..3). Να σημειωθεί πως οι περιοχές αυτές δεν συμβαδίζουν ακριβώς με τον τρόπο που αυτές ορίζονται στο διάγραμμα του Ε.Κ.Ο.Σ. Στην περιοχή 1 εφελκύεται το σύνολο της διατομής συνεπώς και οι δυο οπλισμοί (άνω και κάτω). Περιλαμβάνονται όλες αυτές τις παραμορφώσεις για τις οποίες η παραμόρφωση του κάτω οπλισμού είναι σταθερά οριακή και η παραμόρφωση της ακραίας άνω ίνας σκυροδέματος είναι επίσης εφελκυστική, με μέγιστη τιμή ίση με τη οριακή παραμόρφωση του χάλυβα και ελάχιστη το μηδέν. Είναι δηλαδή στο Γ.Δ.Π. μια δέσμη ευθειών που διέρχονται από το Α, για τις οποίες 0<ε c <ε su. Το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων του χάλυβα αποτελείται από δυο κλάδους (ελαστική και πλαστική περιοχή). Σύμφωνα με αυτό, η περιοχή 1 χωρίζεται στην υποπεριοχή 1α στην οποία ανήκουν οι παραμορφώσεις για τις οποίες ο άνω οπλισμός έχει διαρρεύσει και στην 1β στην οποία ανήκουν αυτές με τον άνω οπλισμό στην ελαστική περιοχή. Η περιοχή αρχίζει στο τέλος της περιοχής 1 και σε αυτήν το ανώτερο τμήμα της διατομής θλίβεται, ενώ το κάτω εφελκύεται. Περιλαμβάνει όλες αυτές τις παραμορφώσεις για τις οποίες ο κάτω οπλισμός εφελκύεται σταθερά με οριακή παραμόρφωση, ενώ η παραμόρφωση της ακραίας άνω ίνας σκυροδέματος είναι θλιπτική, με ελάχιστη τιμή το μηδέν (το τέλος της περιοχής 1) και μέγιστη τιμή (αρνητική) την οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος. Είναι δηλαδή στο Γ.Δ.Π. μια δέσμη ευθειών που διέρχονται από το Α (δηλαδή ε s1 =ε su ) για τις οποίες 0< ε c < ε cu. Το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων του σκυροδέματος αποτελείται από δυο κλάδους (καμπύλο και ευθύγραμμο τμήμα). Σύμφωνα με αυτό, η περιοχή χωρίζεται σε δυο τμήματα και αν η παραμόρφωση της άνω ακραίας ίνας αντιστοιχεί στον πρώτο κλάδο (καμπύλο τμήμα) τότε η παραμόρφωση της διατομής ανήκει στην υποπεριοχή α, ενώ αν αντιστοιχεί στο δεύτερο κλάδο (οριζόντιο τμήμα) ανήκει στη β. Η περιοχή 3 αρχίζει στο τέλος της περιοχής και όπως και στην προηγούμενη, το ανώτερο τμήμα της διατομής θλίβεται, ενώ το υπόλοιπό εφελκύεται. Η διαφορά με την περιοχή είναι ότι δεν εξαντλείται η οριακή παραμόρφωση του χάλυβα, αλλά 9

17 του σκυροδέματος. Περιλαμβάνει όλες αυτές τις παραμορφώσεις για τις οποίες η παραμόρφωση της ακραίας άνω θλιβόμενης ίνας σκυροδέματος είναι σταθερά οριακή και η παραμόρφωση του κάτω οπλισμού είναι εφελκυστική με μέγιστη τιμή την οριακή παραμόρφωση του χάλυβα και ελάχιστη το μηδέν. Είναι δηλαδή στο Γ.Δ.Π. μια δέσμη ευθειών που διέρχονται από το B για τις οποίες ε su <ε s1 <0. Η περιοχή 3 χωρίζεται σε 3α και 3β βάσει της παραμόρφωσης του κάτω οπλισμού (ομοίως με την περιοχή 1). Στην 3α ανήκουν οι παραμορφώσεις για τις οποίες ο κάτω οπλισμός έχει ξεπεράσει το όριο διαρροής, ενώ στην 3β αυτές για τις οποίες είναι στην ελαστική περιοχή. Η περιοχή 4 αρχίζει το τέλος της περιοχής 3, το σημείο δηλαδή που ο κάτω οπλισμός έχει μηδενική παραμόρφωση και όπως και στην περιοχή 3, το άνω τμήμα της διατομής θλίβεται και το υπόλοιπο εφελκύεται. Περιλαμβάνει όλες αυτές τις παραμορφώσεις για τις οποίες η ακραία άνω ίνα σκυροδέματος θλίβεται σταθερά με οριακή παραμόρφωση και η παραμόρφωση του χάλυβα είναι επίσης θλιπτική με ελάχιστη τιμή το μηδέν και μέγιστη (αρνητική) αυτή που αντιστοιχεί σε μηδενική παραμόρφωση της κάτω ακραίας ίνας σκυροδέματος. Είναι δηλαδή στο Γ.Δ.Π. μια δέσμη ευθειών που διέρχονται από το B για τις οποίες ε s1 <0 και ε c1 >0. Η περιοχή 5 αρχίζει στο τέλος της περιοχής 4 και χαρακτηρίζεται από θλίψη ολόκληρης της διατομής. Είναι δηλαδή στο Γ.Δ.Π. μια δέσμη ευθειών που διέρχονται από το Γ για τις οποίες θλίβεται το σύνολο της διατομής. Σε αντίθεση με τα σημεία Α & Β, η θέση του σημείου Γ δεν είναι άμεση απαίτηση του κανονισμού για τα υλικά, αλλά προκύπτει έμμεσα με γεωμετρικό τρόπο από τα όρια παραμορφώσεων του σκυροδέματος για κάμψη και ομοιόμορφη θλίψη. Υπολογίζεται εύκολα από τα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται από την παραμόρφωση στο τέλος της περιοχής 4 και την παραμόρφωση με ομοιόμορφη θλίψη (Σχ..4). s ε cu ε cu ε cc s ε cu ε cc ε cu 10

18 εcc εcu s h Γ Σχ..4: Θέση σημείου Γ.5 Περιορισμός των λύσεων Έχει ήδη αναφερθεί η παραδοχή της επιπεδότητας των διατομών πριν και μετά την παραμόρφωση (αρχή Bernulli) από την οποία απορρέει η ομοιόμορφη κατανομή των τάσεων στη διατομή, που αντικατοπτρίζεται στις ευθείες παραμορφώσεων του Γ.Δ.Π. οι οποίες είναι στην ουσία προβολές της διατομής στο επίπεδο σχεδίασης. Ως εκ τούτου, με τον όρο παραμόρφωση ενός σημείου, εννοείται η παραμόρφωση ολόκληρης της ίνας του στοιχείου, το σύνολο δηλαδή των σημείων στο επίπεδο της διατομής που έχουν την ίδια παραμόρφωση. Ο σχεδιασμός ενός δομικού στοιχείου από οπλισμένο σκυρόδεμα συνίσταται τόσο στην επιλογή της γεωμετρίας της διατομής (μορφή και διαστάσεις) όσο και στον υπολογισμό του οπλισμού, έτσι ώστε να μπορεί να ανταποκριθεί στην καταπόνηση που υφίσταται. Με δεδομένη λοιπόν τη διατομή και την επιθυμητή διάταξη του οπλισμού, στη γενική περίπτωση σχεδιασμού για ορθή καταπόνηση, ήτοι διαξονική κάμψη με ορθή δύναμη σε μη συμμετρική διατομή, το τελικό ζητούμενο είναι η ποσότητα του οπλισμού για την οποία οι δυνάμεις που αναλαμβάνουν τα υλικά (χάλυβας και σκυρόδεμα), ως συνισταμένες των τάσεων που αναπτύσσονται σε αυτά από την παραμόρφωση της διατομής, ικανοποιούν τις συνθήκες ισορροπίας των δυνάμεων που δρουν κάθετα στο επίπεδο της διατομής, αλλά και των ροπών στις δυο κύριες διευθύνσεις της καταπόνησης. Δηλαδή εκτός από τον απαιτούμενο οπλισμό (ένας άγνωστος) είναι άγνωστη και η παραμόρφωση της διατομής η οποία για να οριστεί απαιτούνται τρία στοιχεία (τρεις 11

19 άγνωστοι), τα οποία είναι η κλίση του ουδέτερου άξονα της διατομής καθώς και οι ακραίες τιμές στην ευθεία κατανομής των παραμορφώσεων της διατομής. Εναλλακτικά, αντί της κάθε ακραίας τιμής, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν η καμπυλότητα (γωνία της ευθείας της κατανομής των παραμορφώσεων) ή το ύψος της θλιβόμενης ζώνης, μετρούμενο κάθετα στον ουδέτερο άξονα. Βέβαια μέσω των σχέσεων που συνδέουν τα παραπάνω μεγέθη, εύκολα αποδεικνύεται ότι οι άγνωστοι για την παραμόρφωση σε κάθε περίπτωση παραμένουν τρεις. Συνεπώς ο υπολογισμός του απαιτούμενου οπλισμού είναι ένα πρόβλημα τεσσάρων αγνώστων με τρεις εξισώσεις. Για να μπορέσει να λυθεί το πρόβλημα, πρέπει ένα από τα άγνωστα στοιχεία να προεπιλεγεί. Κάθε επιλογή που μπορεί να εξασφαλίσει την ισορροπία της διατομής, με την προϋπόθεση ότι η μέγιστη παραμόρφωση του κάθε υλικού αντιστοιχεί σε τάση μικρότερη ή ίση της επιτρεπόμενης, είναι και μια αποδεκτή λύση. Θεωρητικά λοιπόν οι λύσεις είναι άπειρες. Με την μέθοδο όμως των οριακών καταστάσεων και τη δέσμευση από το Γ.Δ.Π. ότι τουλάχιστον ένα από τα δυο υλικά πρέπει να εξαντλεί την οριακή του παραμόρφωση, ο ένας άγνωστος που ορίζει την ευθεία της κατανομής των παραμορφώσεων, χωρίς να είναι προδιαγεγραμμένο ποιος, έχει προκαθορισμένη τιμή. Σε κάθε περίπτωση είναι γνωστό ένα σημείο της ευθείας που παριστά την παραμόρφωση της διατομής (Α, Β ή Γ). Δοκιμάζοντας δηλαδή με δεδομένη την οριακή παραμόρφωση του χάλυβα (η ευθεία διέρχεται από το Α), αν προκύψει λύση αυτή θα είναι μοναδική, ενώ αν δεν προκύπτει λύση, τότε θα προκύπτει με δεδομένη την οριακή παραμόρφωση του σκυροδέματος (η ευθεία διέρχεται είτε από το Β είτε από το Γ) και θα είναι επίσης μοναδική. Σε κάθε δοκιμή πάντως η μια μεταβλητή θα είναι γνωστή. Το στοιχείο αυτό, φαινομενικά όχι και τόσο σημαντικό, περιορίζει τις άπειρες λύσεις σε μια και αφαιρεί κατά τον υπολογισμό της παραμόρφωσης και του απαιτούμενου οπλισμού τη δυνατότητα επιλογής. Έχοντας αυτό το στοιχείο και με την προϋπόθεση ότι έχει επιλογή η σωστή περιοχή, αρκεί να βρεθεί η παραμόρφωση και ο οπλισμός έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας εντός της διατομής. Σε διαφορετική περίπτωση, αν δεν υπήρχε απαίτηση η ευθεία της παραμόρφωσης να διέρχεται από τουλάχιστον ένα από τα σημεία Α, Β ή Γ, το Γ.Δ.Π. δεν θα έδινε κάποιο άμεσα αξιοποιήσιμο δεδομένο αλλά θα εκφυλιζόταν σε μια γενική περίπτωση με δυνατές παραμορφώσεις διατομών από μεγέθη ορθής έντασης όπως το σχήμα.1. 1

20 3.1 Τάση σκυροδέματος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αναπτυσσόμενες τάσεις Για το σκυρόδεμα γίνεται η παραδοχή ότι παραλαμβάνει μόνο θλιπτική καταπόνηση, ενώ στην εφελκυόμενη ζώνη της διατομής του σκυροδέματος δεν αναπτύσσονται τάσεις καθώς θεωρείται ότι έχει ρηγματωθεί. Το μοντέλο τάσεων-παραμορφώσεων που προτείνεται από τους δυο κανονισμούς είναι το ίδιο. Για τις ανάγκες του σχεδιασμού όμως χρησιμοποιείται μια πιο ομαλοποιημένη καμπύλη η οποία για ποιότητες σκυροδέματος έως και C50 είναι ίδια μεταξύ των κανονισμών. Πρόκειται για το ίδιο ακριβώς παραβολικό-ορθογωνικό διάγραμμα διατυπωμένο με λίγο διαφορετικές εξισώσεις. Επίσης δίνεται η δυνατότητα χρήσης απλουστευμένων διγραμμικών, είτε ορθογωνικών διαγραμμάτων, πιο συντηρητικών ως προς τη διαστασιολόγηση. Στην παρούσα εργασία προτιμήθηκε το παραβολικό-ορθογωνικό μοντέλο με τη μαθηματική διατύπωση του ΕΚΟΣ. Κατά τον ΕΚΟΣ η σχέση σ-ε του σκυροδέματος είναι: 0.85 c σ c { 1000ε c (50ε c 1)0.85 c 0.00 ε c ε c 0.00 c α cc c γ c όπου: f cd f ck η θλιπτική αντοχή σχεδιασμού η χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή γ c ο συντελεστής ασφαλείας του σκυροδέματος (συνήθως 1.5) η μέγιστη θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος σε κεντρική θλίψη 3.5 η μέγιστη θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος σε κάμψη 13

21 Σχ. 3.1: Εξιδανικευμένο παραβολικό-ορθογωνικό διάγραμμα σ-ε σκυροδέματος και διάγραμμα σχεδιασμού κατά ΕΚΟΣ Ο α κλάδος (καμπύλο τμήμα) είναι τμήμα παραβολής (εξίσωση β βαθμού) και η τάση αυξάνει μαζί με την παραμόρφωση μέχρι την οριακή τιμή παραμόρφωσης σκυροδέματος για διατομή υπό κεντρική θλίψη της οποίας η τιμή είναι. Ο β κλάδος (ευθύγραμμο τμήμα) είναι τμήμα οριζόντιας ευθείας, με αρχή το τέλος του κλάδου α και τέλος την οριακή τιμή παραμόρφωσης σκυροδέματος για διατομή υπό προέχουσα κάμψη της οποίας η τιμή είναι 3.5. Η τάση σχεδιασμού εισάγεται στην εξίσωση με θετικό πρόσημο, ενώ η παραμόρφωση με αρνητικό πρόσημο και τιμή ανηγμένη στην μονάδα και η τάση που προκύπτει έχει αρνητικό πρόσημο. Παράδειγμα για C30 & ε c = η τάση υπολογίζεται: σ c 1000ε c (50ε c 1)0.85 c = 1000 ( ) (50 ( ) 1) = 16.83M a Κατά τον Ευρωκώδικα η σχέση σ-ε του σκυροδέματος είναι: σ c { c c [1 (1 ε n c ) ] ε c 0 ε c ε c ε c ε c ε cu c α cc c γ c 14

22 όπου: f cd f ck η θλιπτική αντοχή σχεδιασμού η χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή γ c ο συντελεστής ασφαλείας του σκυροδέματος (συνήθως 1.5) α cc ε c ε cu n συντελεστής που συνεκτιμά μακροχρόνιες επιδράσεις στη θλιπτική αντοχή και δυσμενείς επιρροές που προκύπτουν από τον τρόπο με τον οποίο επιβάλλεται το φορτίο. Η τιμή δίνεται στο εθνικό προσάρτημα κάθε χώρας. Για την Ελλάδα η συνιστώμενη τιμή είναι 1. η παραμόρφωση που αντιστοιχεί στη μέγιστη αντοχή η παραμόρφωση αστοχίας ο βαθμός του πολυωνύμου του πρώτου κλάδου Σχ. 3.: Εξιδανικευμένο παραβολικό-ορθογωνικό διάγραμμα σ-ε σκυροδέματος και διάγραμμα σχεδιασμού κατά EC Για ποιότητες σκυροδέματος έως και C50 οι συντελεστές ε c, ε cu & n είναι: ε c ε cu 3.5 n 15

23 Με αυτές τις τιμές η εξίσωση γίνεται: σ c = { c c [1 (1 ε c ) ] 0 ε c ε c 3.5 Για αυτές τις ποιότητες σκυροδέματος, το διάγραμμα έχει τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά με του ΕΚΟΣ. Η τάση σχεδιασμού εισάγεται στην εξίσωση με θετικό πρόσημο, η παραμόρφωση με θετικό πρόσημο και τιμή επί τοις χιλίοις ως απόλυτο μέγεθος και έτσι η τάση που προκύπτει έχει θετικό πρόσημο. Παράδειγμα για C30, ε c = & α cc =1 η τάση υπολογίζεται: σ c = c [1 (1 ε c ) ] = ( ) [1 (1 1.5 ) ] 16.8M a Σε αυτό το σημείο εντοπίζεται μια διαφοροποίηση στους δυο κανονισμούς: Στον ΕΚΟΣ η αντοχή σχεδιασμού εισάγεται με μειωμένη τιμή στην εξίσωση της τάσης ως 0.85f cd, όπου ο συντελεστής 0.85 λαμβάνει υπ όψη του τη μείωση της θλιπτικής αντοχής που οφείλεται στη μακροχρόνια και επαναλαμβανόμενη δράση των φορτίων και δεν έχει το ρόλο του συντελεστή ασφαλείας c 0.85 c γ c Για αποφυγή σύγχυσης κατά την ανάπτυξη των εξισώσεων ο συντελεστής αυτός θα συμβολίζεται στο εξής ως α gr : α r c c α r γ c 16

24 Στον Ευρωκώδικα, όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, δίνεται η δυνατότητα να ληφθεί υπ όψιν ο αντίστοιχος συντελεστής (α cc ), όμως η διαφορά με τον ΕΚΟΣ είναι ότι η τάση σχεδιασμού λαμβάνεται ίση με f cd, δηλαδή ο συντελεστής έχει ήδη ενσωματωθεί κατά τον υπολογισμό του f cd. c α cc c γ c Η σχέση που θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς που ακολουθούν θα είναι αυτή του ΕΚΟΣ κατάλληλα τροποποιημένη έτσι ώστε τα μεγέθη να εισάγονται όπως στη σχέση του Ευρωκώδικα και η τάση που προκύπτει να είναι θετική, χάριν ευκολότερης επεξεργασίας, καθώς επίσης και για να ληφθεί υπ όψιν η διαφοροποίηση της αντοχής σχεδιασμού των μεταξύ των δυο κανονισμών. Η αντοχή θα είναι: α r c α cc c γ c Για διαστασιολόγηση κατά ΕΚΟΣ οι συντελεστές θα είναι : α r 0.85 & α cc 1 ενώ για διαστασιολόγηση κατά Ευρωκώδικα: α r 1 α cc από το εθνικό προσάρτημα Για να εισάγεται η παραμόρφωση στην εξίσωση με την τιμή θετική επί τοις χιλίοις ως απόλυτο μέγεθος (πχ 1, 1.5, κτλ) και για να προκύπτει θετική τάση, η εξίσωση του β κλάδου τροποποιείται ως εξής: σ c 1000 ε c 1000 ( 50 ε c ) α r c ε c ( ε c 4 1) α r c α r 4 c ε c (4 ε c ) 17

25 Έτσι η σχέση τάσεων-παραμορφώσεων του σκυροδέματος είναι: σ c { c α cc c γ c α r c 0 ε c α r 4 c ε c (4 ε c ) ε c 3.5 Για να εξασφαλιστεί η δυνατότητα παραμετροποίησης του άνω ορίου του β κλάδου κατά τη διαστασιολόγηση, ορίζεται ως ε cu (concrete-ultimate) η μέγιστη θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος σε κάμψη. Έτσι η σχέση τάσεων παραμορφώσεων παίρνει την τελική της μορφή: Παράδειγμα για C30 και ε c = α r c 0 ε c σ c { α r 4 c ε c (4 ε c ) ε c ε cu c α cc c γ c Κατά ΕΚΟΣ α r 0.85 α cc 1 c a cc c γ c M a σ c α r c 4 ε c (4 ε c ) (4 1.6) 16.3M a 4 Κατά Ευρωκώδικα α r 1 α cc 1 c α cc c γ c M a σ c α r c 4 ε c (4 ε c )= (4 1.6) 1.M a 4 18

26 3. Τάση χάλυβα Ο χάλυβας σε αντίθεση με το σκυρόδεμα, μπορεί να παραλάβει και εφελκυσμό και θλίψη και γίνεται η θεώρηση και από τους δυο κανονισμούς ότι η συμπεριφορά του όσον αφορά στη σχέση τάσεων-παραμορφώσεων είναι ίδια σε θλίψη και εφελκυσμό. Τα ακριβή μοντέλα των χαλύβων γενικά αποτελούνται από αρκετές καμπύλες και η χρήση των διαγραμμάτων αυτών είναι πιο δύσκολη, ενώ πολλές φορές δεν είναι καν διαθέσιμα. Γι αυτό και για το σχεδιασμό οι κανονισμοί επιτρέπουν τη χρήση εξιδανικευμένων και αρκετά απλούστερων στη χρήση, αλλά προς τη μεριά της ασφάλειας, διαγραμμάτων. Στον ΕΚΟΣ το προτεινόμενο διάγραμμα είναι δι-γραμμικό, με τον πρώτο κλάδο κεκλιμένο μέχρι το όριο διαρροής και το δεύτερο κλάδο οριζόντιο. Θεωρείται πως τα όρια αναλογίας και ελαστικότητας συμπίπτουν με το όριο διαρροής. Στον πρώτο κλάδο η συμπεριφορά είναι ελαστική, ενώ στο δεύτερο κλάδο είναι τελείως πλαστική. Η αντοχή θεωρείται ίδια σε θλίψη και εφελκυσμό, το ίδιο και η μέγιστη παραμόρφωση, ωστόσο το διάγραμμα δεν φτάνει μέχρι τέλους στη θλίψη διότι υπάρχει ο περιορισμός του θλιβόμενου σκυροδέματος (-3.5 ). Κατά τον ΕΚΟΣ η σχέση σ-ε του χάλυβα για εφελκυσμό και θλίψη είναι: ε ε s σ s { E s ε s 0 ε s ε ε ε s γ s όπου: Ε s f yd f yk το μέτρο ελαστικότητας του χάλυβα (00 GPa) η αντοχή διαρροής σχεδιασμού η χαρακτηριστική αντοχή διαρροής γ s ο συντελεστής ασφαλείας του σκυροδέματος (συνήθως 1.15) ε y η παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού του χάλυβα, ε y =f yd /E s 19

27 0 η μέγιστη εφελκυστική παραμόρφωση του χάλυβα 3.5 η μέγιστη θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος σε κάμψη Σχ. 3.3: Εξιδανικευμένο διάγραμμα σ-ε και διάγραμμα σχεδιασμού χάλυβα κατά EΚΟΣ Παράδειγμα για S500 & ε s =0.001 η τάση υπολογίζεται: ε 500/1.15 E s ε s 1. ε σ s E s ε s M a Στον Ευρωκώδικα προτείνονται δυο μοντέλα σχεδιασμού για τους χάλυβες. Το πρώτο είναι δι-γραμμικό και μοιάζει με αυτό του ΕΚΟΣ, δηλαδή έχει τον πρώτο κλάδο κεκλιμένο μέχρι το όριο διαρροής και το δεύτερο κλάδο οριζόντιο. Θεωρείται πως τα όρια αναλογίας και ελαστικότητας συμπίπτουν με το όριο διαρροής. Στον πρώτο κλάδο η συμπεριφορά είναι ελαστική, ενώ στο δεύτερο κλάδο είναι απολύτως πλαστική. Η αντοχή θεωρείται ίδια σε θλίψη και εφελκυσμό. Η διαφορά με τον ΕΚΟΣ είναι ότι όταν επιλέγεται αυτό το διάγραμμα, στο δεύτερο κλάδος δεν ελέγχεται το όριο παραμόρφωσης. Το δεύτερο διάγραμμα είναι επίσης δι-γραμμικό και ο πρώτος κλάδος είναι ακριβώς όπως και στο πρώτο διάγραμμα, μέχρι το όριο διαρροής, ωστόσο ο β κλάδος είναι κεκλιμένος αντί για οριζόντιος, δηλαδή ο χάλυβας παρουσιάζει κράτυνση. Ο 0

28 κεκλιμένος κλάδος εκτείνεται μέχρι τη μέγιστη παραμόρφωση σχεδιασμού (ε ud ), η οποία είναι ποσοστό της χαρακτηριστικής παραμόρφωσης του οπλισμού στο μέγιστο φορτίο (ε uk ) και συνήθως λαμβάνεται 0. ε uk. Η κλίση του δεύτερου κλάδου δίνεται μέσω της τάσης σχεδιασμού που θα αντιστοιχούσε (ο κλάδος δεν φτάνει μέχρι αυτήν την τιμή) στη χαρακτηριστική παραμόρφωση του χάλυβα στο μέγιστο φορτίο (ε uk ). Η μέγιστη τιμή αυτή της τάσης προκύπτει ως γινόμενο του δείκτη πλαστιμότητας (k) και της τάσης διαρροής σχεδιασμού (f yd ). Ο συντελεστής πλαστιμότητας (k) είναι το πηλίκο της χαρακτηριστικής αντοχής (f t,k ) και της χαρακτηριστικής τάσης διαρροής (f y,k ). Οι αποδεκτές τιμές για τη χαρακτηριστική αντοχή διαρροής (f y,k ) και τη χαρακτηριστική ανηγμένη παραμόρφωση στη μέγιστη δύναμη (ε uk ) για κάθε κατηγορία ολκιμότητας χάλυβα (A,B,C) δίνονται στον πίνακα C.1 του παραρτήματος C στον EC. Κατά τον EC η σχέση σ-ε του χάλυβα για εφελκυσμό και θλίψη είναι: με οριζόντιο β κλάδο ε s ε σ s E s ε s ε { ε s ε γ s με κεκλιμένο β κλάδο ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε σ s E s ε s ε s ε { ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε γ s όπου: Ε s το μέτρο ελαστικότητας του χάλυβα (00 GPa) 1

29 f yd f yk f t f tk k η αντοχή διαρροής σχεδιασμού η χαρακτηριστική τιμή αντοχής διαρροής η εφελκυστική αντοχή του οπλισμού η χαρακτηριστική τιμή της εφελκυστικής αντοχή του οπλισμού ο δείκτης πλαστιμότητας του οπλισμού, k=(f t /f y ) k γ s ο συντελεστής ασφαλείας του σκυροδέματος (συνήθως 1.15) ε y ε uk ε ud η παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού του χάλυβα, ε y =f yd /E s η χαρακτηριστική παραμόρφωση στον οπλισμό στο μέγιστο φορτίο η τιμή σχεδιασμού παραμόρφωσης στον οπλισμό στο μέγιστο φορτίο (συνήθως λαμβάνεται ε ud =0. ε uk ) Σχ. 3.4: Εξιδανικευμένο διάγραμμα σ-ε & διάγραμμα σχεδιασμού χάλυβα κατά EC Παράδειγμα 1 για Β500C, & ε s =0.001 η τάση υπολογίζεται: γ s M a ε 500/1.15 E s ε s 1. ε σ s E s ε s = =40M a

30 Παράδειγμα για Β500C, & ε s =0.010 η τάση υπολογίζεται: Με οριζόντιο β κλάδο: ε s 1. ε σ s M a Με κεκλιμένο β κλάδο: Έστω ε uk =75 και k=1.15 (EC Παράρτημα C) ε u 0. ε u ε ε s ε u σ s ( 1) ε s ε ε u ε (1.15 1) M a Η εξίσωση της τάσης καθ αυτή δεν υπεισέρχεται στην κατάστρωση των εξισώσεων κατά τη μαθηματική επεξεργασία παρά μόνο η τιμή αυτής και μάλιστα στα τελευταία βήματα των υπολογισμών. Συνεπώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν και τα δυο εξιδανικευμένα μοντέλα τάσεων-παραμορφώσεων, ήτοι με οριζόντιο ή με κεκλιμένο β κλάδο. Οι σχέσεις που θα χρησιμοποιηθούν στους υπολογισμούς που ακολουθούν θα είναι αυτές του EC καθώς το διάγραμμα του ΕΚΟΣ είναι στην ουσία μια υποπερίπτωση του πρώτου μοντέλου του Ευρωκώδικα. Στις σχέσεις η παραμόρφωση θα εισάγεται με τιμή ανηγμένη επί τοις χιλίοις ως απόλυτο μέγεθος (πχ 1,, 0 κτλ) και οι παράμετροι ε uk, ε ud, k θα είναι δυνατό να ορίζονται ξεχωριστά, σύμφωνα πάντα με τις οδηγίες του πίνακα C.1 από το Παράρτημα C του Ευρωκώδικα. Στις εξισώσεις παρακάτω, για το ε ud έχει χρησιμοποιηθεί ο συμβολισμός ε su (steelultimate) κατ αντιστοιχία του ε cu (concrete-ultimate). 3

31 3.3 Οι δυνάμεις των υλικών ως αποτέλεσμα της παραμόρφωσης Στο προηγούμενο κεφάλαιο, έγινε σαφές ότι οι αποδεκτές παραμορφώσεις ορίζονται μέσω του Γ.Δ.Π. του κάθε κανονισμού. Για να οριστεί μια παραμόρφωση στις περιπτώσεις που εξετάζονται στην παρούσα εργασία, ήτοι δοκοί υπό μονοαξονική κάμψη με διατομή συμμετρική ως προς άξονα κάθετο σε αυτόν της κάμψης, άρα με ουδέτερο άξονα παράλληλο στον άξονα της κάμψης, χρειάζονται δυο δεδομένα. Αυτά μπορεί να είναι η παραμόρφωση της άνω ακραίας ίνας σκυροδέματος (ε c ) και η παραμόρφωσης του κάτω οπλισμού (ε s1 ). Συνήθως όμως προτιμάται σαν δεύτερο δεδομένο, αντί ενός εκ των δυο αυτών μεγεθών, το ύψος της θλιβόμενης ζώνης (x). Όταν λοιπόν θα γίνεται αναφορά σε μια συγκεκριμένη και αποδεκτή από τον κανονισμό παραμόρφωση, θα είναι σαφώς ορισμένη η ευθεία που παριστά την κατανομή των παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής και συνεπώς θα είναι γνωστή η τιμή της παραμόρφωσης (εφελκυστικής ή θλιπτικής) κάθε ενδιάμεσου σημείου της διατομής τόσο του σκυροδέματος όσο και του χάλυβα. Λόγω της παραμόρφωσής κάθε σημείου, αντιστοιχεί σε αυτό τάση η οποία προσδιορίζεται μέσω την διαγραμμάτων τάσεων-παραμορφώσεων για το κάθε υλικό. Οπότε με γνωστή την κατανομή των παραμορφώσεων μπορεί να προκύψει και η κατανομή των τάσεων για το σκυρόδεμα και το χάλυβα. Η τάση αυτή είναι που προκάλεσε την παραμόρφωση κάθε σημείου του υλικού υπό την έννοια της καταπόνησης, αλλά και η τάση που παραλαμβάνει το υλικό αντιστεκόμενο στην παραμόρφωση, υπό την έννοια της αντίδρασης στην καταπόνηση. Η τάση ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας. Μια δύναμη (F) που ασκείται σε μια επιφάνεια, προκαλεί τάση (σ) της οποίας το μέτρο ισούται με το πηλίκο του μέτρου της δύναμης (F) προς το εμβαδόν (Α) της επιφάνειας και η κατεύθυνσή είναι ίδια με της δύναμης. σ A Σε κάθε στοιχειώδες εμβαδόν da με τάση σ, η στοιχειώδης δύναμη είναι σ da. Ακολουθώντας την αντίστροφη διαδικασία και εξετάζοντας τις τάσεις και τη διατομή πιο συνολικά, η συνολική δύναμη (F) που παραλαμβάνει καθένα από τα δυο υλικά ως 4

32 αποτέλεσμα της παραμόρφωσης κατά την καταπόνησή του είναι το άθροισμα των στοιχειωδών δυνάμεων όλων των σημείων του. Το άθροισμα αυτό εκφράζεται μέσω ολοκληρώματος με τόπο ολοκλήρωσης την επιφάνεια της διατομής του κάθε υλικού. σ Α Α 3.4 Η δύναμη που αναλαμβάνει ο οπλισμός Στο πρόβλημα της διαστασιολόγησης η ποσότητα του οπλισμού ανήκει στα ζητούμενα. Συνεπώς δεν είναι γνωστή και η διατομή των ράβδων οπλισμού. Γενικά όμως γίνεται η θεώρηση ότι ο απαιτούμενος οπλισμός θα τοποθετηθεί ομοιόμορφα κατανεμημένος σε μια ισοπαχή στρώση και είναι γνωστή η θέση του κέντρου βάρους της. Στους δύο κανονισμούς γίνεται η παραδοχή ο οπλισμός υφίσταται τις ίδιες παραμορφώσεις με το περιβάλλον αυτού σκυρόδεμα και τυχόν φαινόμενα ολίσθησης του οπλισμού, ήτοι σχετικής μετατόπισης ράβδων οπλισμού και σκυροδέματος, αγνοούνται. Υπέρ αυτής της παραδοχής συντελεί η καλή συνάφεια του οπλισμού με το σκυρόδεμα και η αγκύρωσή του. ε c d ε s A s h d M d N d A s1 ε s1 d1 ε c1 Σχ. 3.5: Γραμμική κατανομή παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής 5

33 Συνεπώς η κατανομή των παραμορφώσεων είναι γραμμική καθ ύψος και της διατομής του οπλισμού (Σχ. 3.6α). Οι δοκοί που εξετάζονται είναι συμμετρικές ως τον κεντροβαρικό τους άξονα που είναι κάθετος στον άξονα της κάμψης με αποτέλεσμα η παραμόρφωση να είναι ενιαία για όλα τα σημεία που ανήκουν στην ίδια ίνα της διατομής σε όλο το πλάτος της δοκού. Γι αυτό άλλωστε και ο ουδέτερος άξονας της διατομής να είναι παράλληλος στον άξονα της κάμψης. Συνεπώς για την παραμόρφωση όλης της ίνας μπορεί να χρησιμοποιείται μια αντιπροσωπευτική προβολή της στο επίπεδο. Έτσι διακρίνονται τέσσερεις περιπτώσεις με βάση την εικόνα της κατανομής των τάσεων: η παραμόρφωση όλων των σημείων του οπλισμού είναι μικρότερη (ή ίση) της παραμόρφωσης διαρροής σχεδιασμού ε y (Σχ. 3.6β) η παραμόρφωση όλων των σημείων του οπλισμού έχει ξεπεράσει την παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού ε y και ο β κλάδος του χάλυβα είναι οριζόντιος (Σχ. 3.6γ) η παραμόρφωση όλων των σημείων του οπλισμού έχει ξεπεράσει την παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού ε y και ο β κλάδος του χάλυβα είναι κεκλιμένος (Σχ. 3.6δ) οι παραμορφώσεις ενός τμήματος του οπλισμού είναι μικρότερες της παραμόρφωσης διαρροής σχεδιασμού ε y ενώ στο υπόλοιπο τμήμα έχει ξεπεραστεί, είτε με οριζόντιο, είτε με κεκλιμένο β κλάδο χάλυβα (Σχ. 3.6ε) ε s,t < ε y ε s,t > ε y ε s,t > ε y ε s,t > ε y ε s,t σ s,t < f yd σ s,t = f yd σ s,t > f yd σ s,t > f yd Fs σ s,m Fs Fs σ s,m Fs σ s,m f yd ε s,b σ s,b < f yd σ s,b = f yd σ s,b > f yd σ s,b < f yd ε s,b < ε y ε s,b > ε y ε s,b > ε y ε s,b < ε y (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχ. 3.6: Γραμμική κατανομή παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής 6

34 Η δύναμή που αναλαμβάνει ο οπλισμός υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα s σ s Α Α s Η θέση της δύναμης του χάλυβα είναι στο μέσον του πλάτους της διατομής του οπλισμού και σε ύψος το οποίο μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από το γεωμετρικό κέντρο του διαγράμματος της κατανομής των τάσεων καθ ύψος της διατομής του χάλυβα (Σχ. 3.6). Παρόλα για τους υπολογισμούς θεωρείται ότι ο οπλισμός είναι συγκεντρωμένος σε μια ίνα χωρίς πάχος η οποία όταν προβάλλεται στο επίπεδο σχεδίασης αντιστοιχεί σε σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο βάρους της πραγματικής διατομής του οπλισμού και για στους υπολογισμούς χρησιμοποιείται η τάση που αναπτύσσεται στο σημείο αυτό, δηλαδή στο μέσον (σ s,m ). Οπότε το ολοκλήρωμα απλοποιείται και γίνεται: s σ s, Α s Α Α s σ s, Στην περίπτωση β του σχήματος 3.6 η μέση τάση σ s m ταυτίζεται με την τάση στο μέσον σ s,m οπότε ο υπολογισμός της F s είναι ακριβής, όχι όμως η θέσης της. Όσο πιο τριγωνική η κατανομή τόσο πιο απομακρυσμένη είναι η F s. Στην περίπτωση γ του σχήματος 3.6 η μέση τάση σ s m ταυτίζεται με την τάση στο μέσον σ s,m οπότε ο υπολογισμός της F s είναι ακριβής και η θέση της είναι στο μέσον. Στην περίπτωση δ του σχήματος 3.6, ομοίως με την περίπτωση β, η μέση τάση σ s m ταυτίζεται με την τάση στο μέσον σ s,m οπότε ο υπολογισμός της F s είναι ακριβής, όχι όμως η θέσης της. Τέλος στην περίπτωση ε του σχήματος 3.6 η μέση τάση σ s m δεν ταυτίζεται με την τάση στο μέσον σ s,m και ούτε ο υπολογισμός της F s είναι απόλυτα ορθός ούτε και η θέση της είναι στο μέσον. Για τους υπολογισμούς στο εξής η F s θα λαμβάνεται στο κέντρο βάρους του οπλισμού και σαν μέση τάση θα λαμβάνεται η τάση που αντιστοιχεί στην παραμόρφωση του σημείου αυτού. Η παραδοχή αυτή παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια και δεν οδηγεί σε σημαντικό λάθος. 7

35 3.5 Η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα Κοινή παραδοχή των δύο κανονισμών είναι ότι το σκυρόδεμα δεν παραλαμβάνει εφελκυστικές τάσεις, συνεπώς δεν έχει νόημα να συμπεριλαμβάνεται στον τόπο ολοκλήρωσης η εφελκυόμενη ζώνη. Σε αντίθεση με τον οπλισμό, η διατομή του σκυροδέματος έχει ήδη επιλεχθεί, οπότε για κάθε συγκεκριμένη παραμόρφωση μπορεί να υπολογιστεί η δύναμη που αναλαμβάνει. Επαναλαμβάνεται σε αυτό το σημείο ότι η παραμόρφωση είναι ενιαία σε κάθε ίνα της διατομής του σκυροδέματος, συνεπώς και η αναπτυσσόμενη τάση και μπορεί να αντιπροσωπεύεται από την προβολή της στο επίπεδο σχεδίασης. εcy ε c d ε s A s x h d M d N d A s1 ε s1 d1 ε c1 Σχ. 3.7: Γραμμική κατανομή παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής Για συγκεκριμένη λοιπόν παραμόρφωση της διατομής, θα είναι γνωστή η παραμόρφωση κάθε σημείου της και η τάση σε κάθε σημείο μπορεί να υπολογιστεί συναρτήσει της παραμόρφωσης. Αν dε ένα στοιχειώδες εμβαδό και σ c η τάση στο μέσον αυτού, η οποία λόγω της παραδοχής απειροστών διαστάσεων μπορεί να θεωρηθεί σταθερή σε όλο το εμβαδόν του, τότε η στοιχειώδης δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα σε αυτό το εμβαδόν είναι σ c dε. Η συνολική δύναμη του 8

36 σκυροδέματος είναι το άθροισμα των στοιχειωδών δυνάμεων όλου του εμβαδού της θλιβόμενης ζώνης και εκφράζεται με τη βοήθεια ολοκληρώματος: c σ c Ε θλιβόμενη ζώνη Για μια συγκεκριμένη κατανομή των παραμορφώσεων η κατανομή των τάσεων θα είναι και αυτή συγκεκριμένη, αλλά ισχύει και το αντίστροφο. Για να μπορεί να παρασταθεί ευκολότερα η κατανομή των τάσεων καθ ύψος της διατομής, η σχέση τάσεων παραμορφώσεων του σκυροδέματος μετασχηματίζεται ώστε η τάση να γίνει συνάρτηση της απόστασης y από τον ουδέτερο άξονα. Στη θλιβόμενη ζώνη της διατομής, της οποίας το ύψος μετρούμενο από τον ουδέτερο άξονα είναι x, η ακραία άνω ίνα, ήτοι η άνω παρειά της διατομής έχει παραμόρφωση ε c. Μια ενδιάμεση ίνα σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα έχει παραμόρφωση ε cy η οποία υπολογίζεται από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν (Σχ. 3.8): ε c ε c ε c ε c εcy ε s ε c a Fc x σc(y) d y ε s1 d1 ε c1 Σχ. 3.8: Κατανομή των τάσεων καθ ύψος της διατομής 9

37 Για παραμορφώσεις που ανήκουν στον α κλάδο της σχέσης τάσεωνπαραμορφώσεων του σκυροδέματος, η τάση ενός σημείου σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα με παραμόρφωση ε cy θα είναι σ c (y) = σ c (ε cy ) : σ c ( ) σ c (ε c ) α r 4 c ε c (4 ε c ) α r 4 c ε c (4 ε c ) Το ολοκλήρωμα που δίνει την F c θα υπολογιστεί χωρίζοντας τη θλιβόμενη ζώνη ύψους x σε λωρίδες απειροστού πάχους dy, με απειροστό εμβαδό dε, που καθεμιά απέχει απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα και η τάση της είναι σ c (y). Η συνολική δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι το άθροισμα των στοιχειωδών δυνάμεων σ c (y) dε όλων των λωρίδων: c σ c ( ) 0 Ε Η ροπή κάθε λωρίδας ως προς την άνω παρειά είναι η στοιχειώδης δύναμή της (σ c dε) επί την απόστασής της (x-y) από την άνω παρειά, οπότε η το άθροισμα των στοιχειωδών ροπών είναι: σ c ( ) ( ) Ε 0 Έστω z η απόσταση της δύναμης F c από την άνω παρειά της διατομής. Η ροπή της F c ως προς την ακραία θλιβόμενη ίνα θα πρέπει να ισούται με το άθροισμα των στοιχειωδών ροπών των όλων των λωρίδων: c a σ c ( ) ( ) Ε 0 Οπότε μπορεί να υπολογιστεί η απόσταση a της F c από την άνω παρειά της διατομής: a σ c ( )( 0 c ) E σ c ( )( 0 σ c ( ) E 0 ) E 30

38 Στις δοκούς που εξετάζονται στην παρούσα εργασία η θλιβόμενη ζώνη είναι ορθογωνική (ή μπορεί να αναλυθεί σε ορθογωνικά τμήματα σε περίπτωση πλακοδοκού) οπότε οι λωρίδες απειροστού πάχους dy στις οποίες χωρίζεται η θλιβόμενη ζώνη, έχουν σταθερό πλάτος b και το εμβαδόν καθεμιάς είναι: E Σε ορθογωνικές δοκούς η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) 0 Ε σ c ( ) 0 σ c ( ) 0 Η απόστασή της δύναμης του σκυροδέματος από την άνω παρειά σε ορθογωνικές δοκούς είναι: a σ c ( )( 0 σ c ( ) E 0 ) E σ c ( )( ) 0 σ c ( ) 0 σ c ( )( ) 0 σ c ( ) 0 Λόγω της αλλαγής του κλάδου στη σχέση τάσεων παραμορφώσεων, μια γενική αναλυτική λύση που να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις δεν θα είναι εύχρηστη. Γι αυτό άλλωστε και η διαίρεση του Γ.Δ.Π. έγινε με βασικό γνώμονα τους δυο κλάδους της σχέσης τάσεων παραμορφώσεων του σκυροδέματος. Έτσι, τα ολοκληρώματα για τον υπολογισμό της δύναμης του σκυροδέματος και της θέση της θα υπολογισθούν με αναλυτικό τρόπο ξεχωριστά για κάθε περιοχή. Οι υπολογισμοί που ακολουθούν αναφέρονται σε ορθογωνικές δοκούς. Οι υπολογισμοί για τις πλακοδοκούς θα γίνουν σε ξεχωριστό κεφάλαιο, αφού θα έχει πρώτα παρουσιαστεί όλη η πορεία της διαστασιολόγησης, καθώς δεν αλλάζει κάτι επί τοις ουσίας παρά μόνο τα όρια της ολοκλήρωσης και κατά συνέπεια οι εξισώσεις των F c και a. 31

39 3.5.1 Περιοχή 1 Στην περιοχή 1 το σύνολο της διατομής εφελκύεται συνεπώς το σκυρόδεμα δεν αναπτύσσει καμία τάση (Σχ. 3. ). Η περιοχή 1 αντιστοιχεί σε περιπτώσεις καθαρού εφελκυσμού και εφελκυσμού μεγάλης εκκεντρότητας, ήτοι κάμψη με εφελκυστική αξονική δύναμη με τον ουδέτερο άξονα εκτός διατομής. ε c >0 ε s d ε s1 = εsu d1 ε c1 Σχ. 3.9: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή 1 3

40 3.5. Περιοχή α Στην περιοχή α το κάτω μέρος της διατομής εφελκύεται και το υπόλοιπο θλίβεται. Ο κάτω οπλισμός είναι σταθερά εφελκυόμενος με τη μέγιστη τιμή παραμόρφωσης (ε su ) ενώ η άνω παρειά έχει θλιπτική παραμόρφωση (ε c ) με τιμή από 0 έως (Σχ. 3.10). Συνεπώς η κατανομή των τάσεων αντιστοιχεί στον πρώτο κλάδο του σκυροδέματος. Η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) 0 α r 4 c ε c (4 ε c ) 0 α r 4 c ε c (4 εc ) 0 α r c 4 α r c 4 ε c (4 εc ) 0 ε c ( ε c ) α r c 4 α r c 4 ε c (4 ε c ) 0 ε c [ ε c 3 3 ] 0 α r c 4 ε c [( ε c 3 3 ) ( 0 ε c )] α r c 4 ε c ( ε c 3 ) α r c 4 ε c ( ε c 3 ) α ε c r c 4 (6 ε c ) α r c 3 ε c (6 ε c ) 1 εcy ε c < ε s a Fc x y σc(y) d ε s1 = εsu d1 ε c1 Σχ. 3.10: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή α 33

41 Η ροπή της c ως προς την άνω παρειά είναι: a c σ c ( ) 0 ( ) α r 4 c ε c (4 ε c ) ( ) 0 α r 4 ε c c (4 ε c ) ( ) 0 α r 4 c ε c (4 4 ε c ε c 0 3 ) α r 4 c ε c ( ε c 3 3 ε c 4 4 ) α r 4 c ε c [ ε c 3 3 ε c 4 4 ] 0 α r 4 c ε c [( ε c 3 3 ε c 4 4 ) 0] α r 4 c ε c ( ε c 3 3 ε c 3 4 ) α r ε c c ( 3 ε c 3 ε c 4 ) α r 4 c ε c ( ε c 3ε c ) 1 α r 4 c ε c ( ε c 3ε c 1 α r c ε c (8 ε c ) 48 ) α r 4 c ε c ( 8 ε c 1 ) H απόσταση της δύναμης F c από την άνω παρειά υπολογίζεται: a σ c ( ) ( ) 0 c α r c ε c (8 ε c ) 48 α r c ε c (6 ε c ) 1 1 (8 ε c ) 48(6 ε c ) (8 ε c ) 4(6 ε c ) 34

42 Ορίζονται οι συντελεστές α και k a ως: α ε c(6 ε c ) 1 a (8 ε c) 4(6 ε c ) Έτσι η δύναμη F c και η απόστασή της a διατυπώνονται με απλούστερο τρόπο c α α r c a a H φυσική ερμηνεία του συντελεστή k a είναι ότι εκφράζει την απόσταση της δύναμης F c από την άνω παρειά της διατομής, σαν ποσοστό του ύψους της θλιβόμενης ζώνης. Είναι αδιάστατο μέγεθος και στη βιβλιογραφία συναντάται ως «συντελεστής θέσης». Η φυσική ερμηνεία του συντελεστή α είναι ότι εκφράζει τη δύναμη της διατομής του σκυροδέματος σαν ποσοστό της δύναμης που θα είχε το σκυρόδεμα αν όλη θλιβόμενη ζώνη λειτουργούσε υπό πλήρη τάση α gr f cd. Πράγματι η θλιβόμενη ζώνη έχει διαστάσεις b,x και αν θεωρηθεί ότι όλη η θλιβόμενη διατομή έχει σταθερή τάση α gr f cd τότε η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι α gr f cd bx. Ο συντελεστής αυτός είναι αδιάστατο μέγεθος και στη βιβλιογραφία συναντάται ως «συντελεστής πλήρωσης». Οι δυο αυτοί συντελεστές δεν πρέπει να συγχέονται με τους ανάλογους συντελεστές που επιβάλλουν οι κανονισμοί όταν επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί απλουστευτικά το ορθογωνικό διάγραμμα κατανομής των τάσεων στη θλιβόμενη ζώνη. 35

43 3.5.3 Περιοχή β Στην περιοχή β το κάτω μέρος της διατομής εφελκύεται και το υπόλοιπο θλίβεται. Ο κάτω οπλισμός είναι σταθερά εφελκυόμενος με τη μέγιστη τιμή παραμόρφωσης (ε su ) ενώ η άνω παρειά έχει θλιπτική παραμόρφωση (ε c ) με τιμή από έως την οριακή τιμή παραμόρφωσης του σκυροδέματος σε κάμψη (Σχ.3.11). Συνεπώς η κατανομή των τάσεων στη διατομή του σκυροδέματος περιλαμβάνει και τους δυο κλάδους. Για τον υπολογισμό της F c και της θέσης της, η θλιβόμενη ζώνη θα χωριστεί σε δυο τμήματα. Το πρώτο θα περιλαμβάνει το τμήμα από τον ουδέτερο άξονα μέχρι το σημείο όπου η παραμόρφωση είναι, ενώ το δεύτερο θα είναι η υπόλοιπη θλιβόμενη ζώνη με εύρος παραμορφώσεων από έως ε cu. Οι παραμορφώσεις του πρώτου τμήματος θα αντιστοιχούν στον α κλάδο του σκυροδέματος, ενώ του δεύτερου στο β κλάδο με πλήρη τάση. Η συνολική δύναμη του σκυροδέματος θα είναι το άθροισμα των δυνάμεων των δυο επιμέρους τμημάτων ενώ η θέση της θα βρεθεί από την ισορροπία των ροπών. Αν y η απόσταση του σημείου του οποίου η παραμόρφωση (ε cy ) είναι, τότε το πρώτο τμήμα έχει ύψος y ενώ το δεύτερο έχει ύψος (x y ). Η απόσταση y προσδιορίζεται από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν: ε c ε c ε c ε c ε c εcy εcy < ε c < εcu ε s a a1 F c Fc a d x y σc(y ) σc(y) σc(y ) F c1 σc(y) y d1 ε s1 = εsu ε c1 Σχ. 3.11: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή β 36

44 Υπολογισμός της F c1 : c σ c ( ) 0 α r 4 c ε c (4 ε c ) 0 α r 4 c ε c (4 εc ) α r c 4 0 ε c ε c (4 ) 0 α r c 4 α r c 4 ε c (4 εc ) 0 ε c ( ε c ) α r c 4 α r c 4 ε c [ ε c 3 3 ] 0 ε c [( ε c 3 ) ( ε c )] α r c 4 ε c [ ( ) ε c 3 ε c 3 ( ) ] α c r ε c 4 ε c [ 4 ε c ε c ε c ] α r c 4 ε c ( 8 8 ε c ) α c r 3ε c 4 ε c ( 16 3ε c ) α r c 4 3ε c Υπολογισμός της F c : c σ c ( ) α r c α r c ( ) α r c ( ε c ) α r c ( ε c ε c ) Η δύναμη του σκυροδέματος είναι: c c1 c α r c 4 3ε c α r c ( ε c ε c ) α r c ( 3ε c 3ε c ) 37

45 Η ροπή της F c1 ως προς την άνω παρειά είναι: a 1 c σ c ( ) 0 ( ) α r 4 c ε c (4 ε c ) ( ) 0 α r 4 c ε c (4 ε c ) ( ) 0 α r 4 c ε c (4 4 ε c ε c 0 3 ) α r 4 c ε c ( ε c 3 3 ε c 4 4 ) α r 4 c ε c [ ε c ε c 4 ] 0 α r ε c 4 c [( 4 3 α r ε c 4 c [ ε c 3 3 ε c 3 4 ε c 4 ) 0] 4 ε c 4 ] α r ε c 4 c [ ( ) ε c ( ) ε c 3 ε c 3 ( ) ε c 4 ε c 4 ( ) ] ε c α r 4 c ε c [ 4 α r 4 c ε c ( ε c ε c 3 ε c ε c 3 ε c ε c 3ε c 3ε c ε ) c α r ε c c ( 8 ε c ε c α r c ( 4ε c 5 ) 3ε c 3ε c 16 4 ] 4 ε c 1 3ε ) α r c ( 4 5 c 3ε c ε c 3ε ) c 38

46 H απόσταση της F c1 από την άνω παρειά υπολογίζεται: a 1 σ c ( )( ) 0 c1 α r c ( 4ε c 5 ) 3ε c 4 α r c 3ε c 4ε c 5 3ε c 4 3ε c 3ε c (4ε c 5) 4ε c 5 4 3ε c 4ε c Η F c δρα στο μέσο του δεύτερου τμήματος της θλιβόμενης ζώνης: a ε c ε c ε c Η ροπή της F c ως προς την άνω παρειά είναι: a a 1 c a c α r c ( 4ε c 5 ) ε c α r 3ε c ε c ( ε c ) c ε c α r c ( 4ε c 5 ) α r c ( ε c ) ( ε c ) 3ε c ε c ε c α r c ( 4ε c 5 ) α r c ( (ε c ) 3ε c ε c α r c ( 4ε c 5 (ε c ) 3ε c ε c ) α r c ( (4ε c 5) 3(ε c ) α r c ( 8ε c 10 3ε c α r c ( 3ε c 4ε c ) 6ε c ) 6ε c 1ε c 1 ) ) 6ε c 39

47 H απόσταση της F c από την άνω παρειά υπολογίζεται: a a 1 c c a c α r c ( 3ε c 4ε c ) 6ε c α r c ( 3ε c 3ε c ) 3ε c (3ε c 4ε c ) (3ε c ) 6ε c 3ε c 4ε c ε c (3ε c ) ε c (3ε c 4) ε c (3ε c ) Κατά τον ίδιο τρόπο που ορίστηκαν οι συντελεστές α και k a στην περιοχή α, εδώ γίνονται: α 3ε c 3ε c a ε c(3ε c 4) ε c (3ε c ) Έτσι η δύναμη F c και η απόστασή της a διατυπώνονται με απλούστερο τρόπο c α α r c a a 40

48 3.5.4 Περιοχή 3 Στην περιοχή 3 το μόνο που αλλάζει σε σχέση με την περιοχή β είναι ότι η άνω ακραία ίνα της διατομής είναι σταθερά θλιβόμενη με τιμή παραμόρφωσης τη μέγιστη παραμόρφωση του σκυροδέματος σε κάμψη (ε cu ) ενώ ο κάτω οπλισμός εφελκύεται με παραμορφώσεις (ε s1 ) από ε su έως 0 (Σχ. 3.1). Όσον αφορά δηλαδή στην κατανομή των τάσεων του σκυροδέματος δεν διαφέρει σε κάτι ριζικά, συνεπώς οι εξισώσεις της περιοχής β, για τη δύναμη του σκυροδέματος και τη θέση της, ισχύουν και στην περιοχή 3. εcy εcy ε c =εcu ε s a a1 F c d x y Fc σc(y ) σc(y) a σc(y ) F c1 σc(y) y d1 0<ε s1 <εsu ε c1 Σχ. 3.1: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή 3 41

49 3.5.5 Περιοχή 4 Στην περιοχή 4, όπως και στην περιοχή 3, η άνω ακραία ίνα της διατομής είναι σταθερά θλιβόμενη με τιμή παραμόρφωσης τη μέγιστη παραμόρφωση του σκυροδέματος σε κάμψη (ε cu ) με τη διαφορά ότι ο κάτω οπλισμός θλίβεται (Σχ. 3.13). Η κατανομή των παραμορφώσεων περιλαμβάνει και τους δυο κλάδους όπως και στις περιοχές β και 3, συνεπώς οι εξισώσεις της β ισχύουν και στην περιοχή 4. εcy εcy ε c =εcu ε s a a1 Fc F c a d x σc(y ) σc(y) σc(y ) F c1 y y d1 ε s1 <0 ε c1 Σχ. 3.13: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή 4 4

50 3.5.6 Περιοχή 5 Στην περιοχή 5 το σύνολο της διατομής θλίβεται και αυτό αντιστοιχεί σε περιπτώσεις καθαρής θλίψης και θλίψης μεγάλης εκκεντρότητας, ήτοι κάμψη με θλιπτική αξονική δύναμη με τον ουδέτερο άξονα εκτός διατομής. Τέτοιου είδους καταπονήσεις παρουσιάζονται συνήθως σε υποστυλώματα οπότε δεν θα εξεταστεί καθόλου αυτή η περιοχή παρακάτω. Ωστόσο χάριν πληρότητας δίνεται το ολοκλήρωμα που πρέπει να υπολογιστεί, χωρίς τη λύση του. Λόγω της ιδιαιτερότητας αυτής της περιοχής θα τροποποιηθούν κάποιοι ορισμοί. Το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι ίσο με το ύψος της διατομής (h), αφού η διατομή θλίβεται εξολοκλήρου (Σχ. 3.14). Η θέση του σημείου Γ έχει προσδιοριστεί σε προηγούμενη παράγραφο και η απόστασή του (s) από την άνω παρειά της διατομής είναι: s ε cu ε cc ε cu Ο ιδεατός ουδέτερος άξονας βρίσκεται εκτός διατομής και η απόστασή του (e) από την κάτω παρειά υπολογίζεται από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν: e ε c s e ε c(ε cu ε cc ) ε c ε cc ε cu (ε c ε cc ) Για να μη χρειαστεί να τροποποιηθεί εκ νέου η εξίσωση της τάσης σ c (y), οι διαστάσεις x & y θα έχουν για αρχή το σημείο που βρίσκεται ο ιδεατός ουδέτερος άξονας, οπότε θα είναι: e Η απόσταση y προσδιορίζεται από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν: ε c ε c ε c ε c ε c Επίσης για το y ισχύει: s 43

51 Η κατανομή των τάσεων περιλαμβάνει και τους δυο κλάδους του σκυροδέματος οπότε θα χωριστεί η διατομή σε δυο τμήματα. Το πρώτο τμήμα είναι το κάτω μέρος της διατομής έως το σημείο Γ όπου η παραμόρφωση είναι και οι τάσεις αντιστοιχούν στον α κλάδο του σκυροδέματος, ενώ δεύτερο τμήμα είναι το υπόλοιπο από το Γ και πάνω όπου το σκυρόδεμα είναι υπό πλήρη τάση. Υπολογισμός της F c1 : c1 σ c ( ) e α r 4 c ε c (4 ε c ) e Υπολογισμός της Fc: c σ c ( ) α r c α r c [ ] α r c Η συνολική δύναμη του σκυροδέματος είναι: c c1 c Η ροπή στης Fc1 ως προς την άνω παρειά είναι: a 1 c σ c ( ) e ( ) α r 4 c ε c (4 ε c ) ( ) e Αν και δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί, η απόσταση της F c1 από την άνω παρειά είναι: a 1 σ c ( ) ( ) e c1 e α r 4 c ε c (4 ε c ) ( ) c1 Η F c δρα στο μέσο του δεύτερου τμήματος της θλιβόμενης ζώνης: a s ε cu ε cc ε cu Η ροπή της F c ως προς την άνω παρειά είναι: a c a 1 c1 a c 44

52 H απόσταση της F c από την άνω παρειά υπολογίζεται: a a 1 c c a c εcy ε c > s ε s a a1 F c h d ε cγ = Γ Fc σc(y ) a σc(y ) x h-s σc(y) σc(y) F c1 y ε s1 d1 y ε c1 e Σχ. 3.14: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή Επιρροή της ύπαρξης οπλισμού στη θλιβόμενη ζώνη Στις περιπτώσεις που υπάρχει οπλισμός μέσα στη θλιβόμενη ζώνη (πχ άνω οπλισμός σε τμήμα των περιοχών & 3, ή άνω και κάτω οπλισμός στις περιοχές 4 & 5), ο χώρος που καταλαμβάνει ο οπλισμός και που συνεπώς δεν υπάρχει σκυρόδεμα, δεν εξαιρέθηκε από τον τόπο ολοκλήρωσης. Ωστόσο κάτι τέτοιο είναι αδύνατο να γίνει διότι δεν είναι γνωστή η ποσότητα του οπλισμού κατά τη διαστασιολόγηση. Μπορεί ωστόσο να γίνεται έλεγχος της επιρροής του οπλισμού κατόπιν. 45

53 3.5.8 Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της δύναμης του σκυροδέματος Εκτός από τον αναλυτικό τρόπο υπολογισμού της εξίσωσης F c με ολοκλήρωση των τάσεων ξεχωριστά για κάθε περιοχή, θα μπορούσε ο υπολογισμός της F c να γίνεται πολύ απλούστερα με αριθμητική ολοκλήρωση. Η διατομή χωρίζεται σε n λωρίδες (Σχ. 3.15) πάχους t: n Η απόσταση y i του κέντρου βάρους κάθε λωρίδας από την κάτω παρειά είναι: i (i 1 0.5) (i 0.5) Για μια δεδομένη παραμόρφωση έχοντας γνωστά τα ε c & ε s1, μπορεί να υπολογιστεί η παραμόρφωση οποιοδήποτε άλλου σημείου μέσω της κλίσης της ευθείας της κατανομής των παραμορφώσεων και των προσήμων των ε c & ε s1. Η παραμόρφωση εκφράζεται με το πρόσημό της σαν απόλυτο μέγεθος επί τοις χιλίοις (πχ 3.5,, 0 κτλ) Η τάση σ c,i στο κέντρο κάθε λωρίδας θα είναι: α r ε c c,i 0 σ c,i α r 4 c ε c,i (4 ε c,i ) ε cu ε c,i { 0 ε c,i 0 c α cc c γ c Η δύναμη f c,i που αναλαμβάνει κάθε λωρίδα σκυροδέματος είναι: c,i σ c,i i Η ροπή m c,i κάθε λωρίδας ως προς την κάτω παρειά είναι: c,i σ c,i i ( i ) σ c,i i [ (i 0.5) ] Η συνολική δύναμη του σκυροδέματος είναι: n c c i 1 n σ c i i i 1 46

54 Ισορροπία των ροπών ως προς την άνω παρειά: n a c c Η απόσταση της δύναμης F c από την άνω παρειά είναι: i 1 a n c,i i 1 c n [σ c,i i [ (i 0.5) ]] i 1 c Ο τρόπος αυτός είναι πιο γενικός και μπορεί πολύ εύκολα να τροποποιηθεί για να καλύπτει τραπεζοειδείς διατομές, ταυ, διπλό ταυ κ.α. Είναι προφανές ότι σε όσο περισσότερες λωρίδες χωρίζεται η διατομή, δηλαδή όσο μεγαλύτερο το n, τόσο μεγαλύτερη η ακρίβεια του αποτελέσματος. Στην περίπτωση διαξονικής κάμψης, όπου ο ουδέτερος άξονας είναι κεκλιμένος, είναι ευκολότερο αντί για λωρίδες, να χρησιμοποιηθούν ορθογώνια απειροστών διαστάσεων. ε c d A s n ε s n-1 Fc n- M d N d h d... i... ε c,i σ c,i yi 3 A s1 1 ε s1 d1 t ε c1 Σχ. 3.15: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή 5 47

55 48

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ισορροπία της διατομής 4.1 Σύμβαση προσήμων και θετικής φοράς Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναπτύχθηκαν οι εξισώσεις για τον υπολογισμό των δυνάμεων των υλικών. Η δύναμη που ασκείται στο υλικό για να προκαλέσει την παραμόρφωσή του, είναι ταυτόχρονα και η δύναμη με την οποία αντιδρά το υλικό στην παραμόρφωση αυτή ως αποτέλεσμα δράσης και αντίδρασης. Οι δυνάμεις των υλικών μπορούν να εξετάζονται από την πλευρά της καταπόνησης, δηλαδή ως δρώσες δυνάμεις (Σχ. 4.1 αριστερά), ή από την πλευρά της από την πλευρά της αντίστασης του υλικού, δηλαδή ως δυνάμεις αντίδρασης (Σχ. 4.1 δεξιά). Στο προηγούμενο κεφάλαιο οι δυνάμεις του σκυροδέματος σχεδιάστηκαν ως δυνάμεις καταπόνησης, ωστόσο αυτό δεν παίζει κανένα ρόλο κατά τη διατύπωση των εξισώσεων τους. εcy ε c A s d ε s a F s Fc F s Fc x σc(y) σc(y) h d M d N d y A s1 ε s1 F s1 F s1 d1 ε c1 Σχ. 4.1: Οι δυνάμεις των υλικών ως δρώσες δυνάμεις και ως δυνάμεις αντίδρασης του υλικού Το γεγονός ότι το Γ.Δ.Π. έχει το θετικό ημιάξονα των x προς τα αριστερά έρχεται σε αντίθεση με τη συνήθη πρακτική όπου ο τα θετικά x είναι προς τα δεξιά. Ωστόσο όλες οι πληροφορίες που δίνει το Γ.Δ.Π. έχουν ενσωματωθεί στις εξισώσεις των δυνάμεων και συνεπώς δεν είναι απαραίτητο πλέον. Γι αυτό το λόγο στο εξής οι θετικές παραμορφώσεις θα σχεδιάζονται προς τα δεξιά και οι αρνητικές προς τα αριστερά. Θα σχεδιάζεται το τμήμα της δοκού δεξιά από τη διατομή που εξετάζεται, ενώ οι δυνάμεις των υλικών θα θεωρούνται ως δρώσες δυνάμεις (Σχ. 4. αριστερά) 49

57 ώστε να μπορεί να τηρηθεί η σύμβαση των εφελκυστικών δυνάμεων προς τα δεξιά και των θλιπτικών προς τα αριστερά (Σχ. 4.). εcy ε c A s d ε s a F s Fc F s Fc x σc(y) σc(y) h d N d M d y A s1 ε s1 F s1 F s1 d1 ε c1 Σχ. 4.: Οι δυνάμεις των υλικών ως δρώσες δυνάμεις και ως δυνάμεις αντίδρασης του υλικού σύμφωνα με τη συμβατική φορά των θετικών & αρνητικών παραμορφώσεων Σύμφωνα με την σύμβαση των εφελκυστικών δυνάμεων προς τα δεξιά και των θλιπτικών προς τα αριστερά, η δύναμη του σκυροδέματος F c όπως είναι σχεδιασμένη προς τα αριστερά έχει θετικό πρόσημο, ενώ οι θλιπτικές δυνάμεις συνηθίζεται να θεωρούνται αρνητικές. Αν όμως σχεδιαστούν οι δρώσες δυνάμεις προς τα δεξιά, τότε όταν μια δύναμη προκύπτει θετική, αυτό θα σημαίνει ότι όντως η φορά της είναι προς τα δεξιά, άρα θα είναι εφελκυστική, ενώ όταν θα προκύπτει αρνητική, η φορά της θα είναι προς τα αριστερά (αντίθετη αυτής που σχεδιάστηκε) και κατά συνέπεια θα είναι θλιπτική (Σχ. 4.3). Συνοψίζοντας ως δυνάμεις των υλικών θα νοούνται οι δρώσες δυνάμεις (δυνάμεις ως καταπόνησης) και οι εφελκυστικές δυνάμεις θα είναι οι θετικές, ενώ θλιπτικές θα είναι οι αρνητικές και όλες θα σχεδιάζονται κατά τη θετική φορά (προς τα δεξιά). Οι παραμορφώσεις θα σχεδιάζονται και θεωρώντας τις θετικές τιμές προς τα δεξιά και τις αρνητικές προς τα αριστερά (Σχ. 4.3). Θετικές ροπές θεωρούνται οι αριστερόστροφες. 50

58 εcy ε c ε s F s Fc x σc(y) N d M d y ε s1 F s1 ε c1 Σχ. 4.3: Οι δυνάμεις των υλικών ως δρώσες δυνάμεις με τη σύμβαση αρνητικές/θλιπτικές θετικές/εφελκυστικές 4. Ανάλυση της καταπόνησης Ως ορθή ένταση εννοείται η ένταση που προκαλεί ορθές τάσεις στη διατομή. Ορθές τάσεις προκαλούνται από αξονικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές. Γενικά γίνεται η θεώρηση πως οι δυνάμεις ακολουθούν την καμπύλωση του δομικού στοιχείου κατά την παραμόρφωση και είναι συνεχώς κάθετες στη διατομή. Η καταπόνηση με ροπή M d και αξονική δύναμη N d η οποία ασκείται στο κέντρο βάρους της διατομής, μπορεί να αναλυθεί σε διάφορες ισοδύναμες μορφές ανάλογα με το πρόβλημα και την εντατική περιοχή. Η παρούσα εργασία εξετάζει περιπτώσεις απλής κάμψης χωρίς αξονική δύναμη. Συνεπώς θα αναλυθεί μόνο η ροπή M d και οι περιοχές του Γ.Δ.Π. στις οποίες αντιστοιχεί αυτού του είδους η καταπόνηση είναι οι και 3. Οι δυνάμεις των υλικών σχεδιάστηκαν ως δρώσες δυνάμεις που καταπονούν τα υλικά ώστε να προκληθεί η παραμόρφωση της διατομής. Την παραμόρφωση όμως προκαλεί η M d ως καταπόνηση, συνεπώς η M d θα αναλυθεί σε δυνάμεις που καταπονούν τα υλικά σκυρόδεμα και χάλυβα (το ίδιο όμως ισχύει και στην περίπτωση που N d 0). Η Μ d ως αριστερόστροφη θεωρείται θετική διότι προκαλεί εφελκυσμό στο κάτω τμήμα της διατομής. 51

59 Για τις δυνάμεις αυτές θα πρέπει να ισχύουν τα εξής: Οι δυνάμεις των οπλισμών F s1 και F s θα ασκούνται στα κέντρα βάρους των οπλισμών. Η δύναμη του σκυροδέματος θα είναι πάντα θλιπτική και θα πρέπει να αντιστοιχεί σε κάποια από τις αποδεκτές παραμορφώσεις των κανονισμών. Οι δυνάμεις F s1 και F s μπορούν να είναι είτε θλιπτικές είτε εφελκυστικές ανάλογα με την παραμόρφωση ε s στο κέντρο βάρους του κάθε οπλισμού, θεωρώντας πως ο οπλισμός υφίσταται τις ίδιες παραμορφώσεις με το περιβάλλον αυτού σκυρόδεμα. F s Fc M d = F s1 Σχ. 4.4: Ανάλυση της ροπής καταπόνησης σε επιμέρους δυνάμεις στα υλικά της διατομής Είναι προφανές ότι οι δυνάμεις στις οποίες αναλύθηκε η καταπόνηση, δεν μπορούν να είναι διαφορετικές από της δυνάμεις που αναλαμβάνουν τα υλικά με την παραμόρφωσή τους (Σχ. 4.4). 5

60 4.3 Η δύναμη του σκυροδέματος συναρτήσει της παραμόρφωσης Η δύναμη του σκυροδέματος και η απόστασή της από την άνω παρειά της διατομής έχουν υπολογιστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο: c a a α α r c Όπου: ε c (6 ε c ) 1 (8 ε c ) 4(6 ε c ) ε c (Περ. α) α 3ε c 3ε c a ε c (3ε c 4) ε c (3ε c ) για ε c ε cu (Περ. β) { 3ε c 3ε c ε c (3ε c 4) { ε c (3ε c ) ε c ε cu (Περ. ) Το ύψος της θλιβόμενης ζώνης x μπορεί να εκφραστεί ως ποσοστό του στατικού ύψους d. Από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν (Σχ. 4.5): ε c ε s1 ε c ε c ε s1 Αν z η απόσταση της δύναμης του σκυροδέματος από τη θέση του κάτω οπλισμού, είναι: a ( a ) ( a ε c ε c ε s1 ) (1 a ε c ε c ε s1 ) 53

61 F s a ε c ε s d Fc x z F s1 ε s1 d1 ε c1 Σχ. 4.5: Αποστάσεις της δύναμης σκυροδέματος & κατανομή των παραμορφώσεων 4.4 Ισορροπία της διατομής για κάμψη με απλό οπλισμό Στην περίπτωση του απλού οπλισμού η ροπή αναλύεται με μοναδικό τρόπο στη δύναμη του σκυροδέματος και στη δύναμη του κάτω οπλισμού, διότι είναι συγκεκριμένη κάθε φορά η μεταξύ τους απόσταση (Σχ. 4.6). Η F c είναι θλιπτική (η πραγματική της κατεύθυνση είναι προς τα αριστερά) οπότε: c c Fc Fc a d M d = = z F s1 F s1 d1 Σχ. 4.6: Πραγματική κατεύθυνση της F c και ισοδυναμία της καταπόνησης 54

62 Για την ισοδυναμία της καταπόνησης, η ισορροπία των δυνάμεων και των ροπών στη θέση του κάτω οπλισμού είναι: 0 s1 c M c s1 c M c Ορίζεται ως M c η ροπή της δύναμης του σκυροδέματος ως προς τον κάτω οπλισμό η οποία είναι αριστερόστροφη (άρα θετική): M c c Συνεπώς πρέπει όλη η ροπή να παραληφθεί από το σκυρόδεμα: M M c c Η δύναμη του σκυροδέματος καθώς και η θέση της, για δεδομένη διατομή και υλικά, εξαρτάται μόνο από την παραμόρφωση και όπως έχει αναφερθεί υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ της παραμόρφωσης και της δύναμης του σκυροδέματος (και της θέσης αυτής). Επομένως και η ροπή M c της δύναμης F c ως προς τον κάτω οπλισμό είναι συγκεκριμένη για κάθε παραμόρφωση. Πρέπει λοιπόν να βρεθεί η παραμόρφωση της διατομής, για την οποία η ροπή της δύναμης του σκυροδέματος ως προς τη θέση του κάτω οπλισμού ισούται με τη ροπή καταπόνησης. Η ζητούμενη παραμόρφωση θα υπολογιστεί από την επίλυση της εξίσωσης: M c Καταρχάς διευκρινίζεται ότι λόγω της αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας παραμόρφωσης και F c, (άρα και M c ) είναι λογικό να αναμένεται το πολύ μια λύση, καθώς δεν μπορεί να υπάρχει δεύτερη παραμόρφωση επιτρεπτή από τους κανονισμούς που να μπορεί να δώσεις την ίδια F c. Εξετάζοντας τις περιοχές α, β και 3 που αφορούν την απλή κάμψη, παρατηρείται ότι από τη μια περιοχή στην άλλη ή και μέσα σε κάθε περιοχή, είτε αυξάνεται η παραμόρφωση του σκυροδέματος στην άνω παρειά, είτε το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είτε και τα δυο. Οπότε η δύναμη του σκυροδέματος αυξάνεται μεταξύ των περιοχών, αλλά και από την αρχή της μιας περιοχής προς το τέλος αυτής. Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η F c καθώς και η ροπή αυτής βρίσκεται στο τέλος της περιοχής 3. Αν η ροπή καταπόνησης είναι μεγαλύτερη από αυτήν την ροπή στο τέλος της περιοχής 3τότε δεν μπορεί να λυθεί το 55

63 πρόβλημα με απλό οπλισμό, διότι στην περίπτωση του απλού οπλισμού όλη η θλιπτική καταπόνηση παραλαμβάνεται από το σκυρόδεμα. Η λύση με απλό οπλισμό θα είναι εφικτή με αύξηση της διατομής ή και της ποιότητας του σκυροδέματος Επίλυση με φυσικά μεγέθη Για την επίλυση της εξίσωσης πρέπει να είναι γνωστή η περιοχή του Γ.Δ.Π. στην οποία θα ανήκει η παραμόρφωση, διότι αλλάζει το τυπολόγιο για τη δύναμη του σκυροδέματος και τη θέση της. Αν υπολογιστεί η τιμή της F c και η θέση αυτής z (άρα και η ροπή αυτής ως προς τον κάτω οπλισμό) στην αρχή και στο τέλος κάθε περιοχής, μπορεί να προβλεφθεί σε ποια περιοχή του Γ.Δ.Π. θα ανήκει η ζητούμενη παραμόρφωση. Συνεπώς με γνωστή την περιοχή και το τυπολόγιο που ισχύει σε αυτήν μπορεί να λυθεί η εξίσωση. Υπενθυμίζεται πως σε κάθε περιοχή η μια παραμόρφωση είναι γνωστή, δηλαδή στην περιοχή είναι ε s1 =ε su και απομένει να βρεθεί η ε cu, ενώ στην περιοχή 3 είναι ε c =ε cu και απομένει βρεθεί η ε s1. Η εξίσωση μπορεί να λυθεί είτε αναλυτικά είτε αριθμητικά, ωστόσο προτιμάται η αριθμητική επίλυση όταν πρόκειται να χρησιμοποιηθούν φυσικά μεγέθη. Για διατομή που δεν είναι ορθογωνική, ο αριθμητικός υπολογισμός της F c και της θέσης της, όπως περιγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι αρκετά πιο εύκολος από τον αναλυτικό, συνεπώς η αναλυτική επίλυση της εξίσωσης δεν μπορεί να γίνει διότι δεν υπάρχει τυπολόγιο σε αυτήν την περίπτωση. Ακόμη, υπέρ της αριθμητικής επίλυσης συντελεί το ότι η λύση ανήκει σε γνωστό εύρος τιμών κάθε φορά, δηλαδή στην περιοχή α το ζητούμενο ε c θα είναι από 0 έως, στην περιοχή β το ε c θα είναι από έως ε cu, ενώ στη περιοχή 3 το ε s1 θα είναι από 0 έως ε su. Για την αναλυτική επίλυση ορθογωνικής δοκού, αντικαθιστώνται στην εξίσωση η δύναμη F c και η απόσταση z: c α α r c a a ε c ε c ε s1 (1 a ε c ε c ε s1 ) Όπου 56

64 ε c (6 ε c ) 1 (8 ε c ) 4(6 ε c ) ε c (Περ. α) α 3ε c 3ε c a ε c (3ε c 4) ε c (3ε c ) για ε c ε cu (Περ. β) { 3ε c 3ε c ε c (3ε c 4) { ε c (3ε c ) ε c ε cu (Περ. ) Η εξίσωση γίνεται: M c M (α α r c ) (1 a ε c ε c ε s1 ) M (α ε c ε c ε s1 α r c ) (1 a ε c ε c ε s1 ) Από τη λύση της εξίσωσης έχει βρεθεί η παραμόρφωση (είτε αριθμητικά είναι αναλυτικά) για την οποία η ροπή M c είναι ίση με τη M d. Έτσι μπορεί να υπολογιστεί και η τάση του οπλισμού: ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε σ s { E s ε s ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε ε s ε Από την ισορροπία κατά x, αποδείχτηκε ότι οι δυνάμεις F c και F s1 είναι ίσες κατά απόλυτη τιμή, οπότε: M s1 ( M c c ) M s1 ( M c σ s 1 c ) Η δύναμη του οπλισμού είναι: s1 σ s 1 A s1 Τελικά προκύπτει ο απαιτούμενος οπλισμός: A s1 M σ s 1 ( M c σ s 1 c σ s 1 ) 57

65 4.4. Επίλυση με ανηγμένα μεγέθη Τα ανηγμένα μεγέθη έχουν το πλεονέκτημα ότι απαλλάσσουν το πρόβλημα από της διαστάσεις της διατομής αλλά και από τις ποιότητες των υλικών. Συνεπώς μπορεί τα τυποποιηθεί η επίλυση και να συνταχθούν διαγράμματα και πίνακες για τη διαστασιολόγηση που απλοποιούν τη διαδικασία και παρέχουν μια πιο εποπτική εικόνα της διατομής. Απαραίτητη προϋπόθεση για την επίλυση με ανηγμένα μεγέθη είναι να υπάρχει διαθέσιμο τυπολόγιο για τη δύναμη του σκυροδέματος και τη θέση της. Διαφορετικά (π.χ. αριθμητικός υπολογισμός της F c ), η επίλυση γίνεται με τα φυσικά μεγέθη και στη συνέχεια υπολογίζονται τα ανηγμένα. Σύμφωνα με το τυπολόγιο που αναπτύχθηκε για ορθογωνική δοκό είναι: c α α r c a a ε c ε c ε s1 (1 a ε c ε c ε s1 ) Όπου ε c (6 ε c ) 1 (8 ε c ) 4(6 ε c ) ε c (Περ. α) α 3ε c 3ε c a ε c (3ε c 4) ε c (3ε c ) για ε c ε cu (Περ. β) { 3ε c 3ε c ε c (3ε c 4) { ε c (3ε c ) ε c ε cu (Περ. ) Ορίζεται: ξ ε c ε c ε s1 ε c ζ 1 a ε c ε s1 1 a ξ οπότε είναι ξ 58

66 ζ και η δύναμη F c γίνεται: c α ξ α r c Παρατηρείται ότι ενώ τα μεγέθη a, z και x εξαρτώνται από την παραμόρφωση και τη γεωμετρία της διατομής, τα ανηγμένα μεγέθη k a, ζ και ξ εξαρτώνται μόνο από την παραμόρφωση της διατομής και για κάθε επιτρεπτή παραμόρφωση από τους κανονισμούς είναι συγκεκριμένα (ισχύει και το αντίστροφο), ανεξαρτήτως διατομής. Τα ξ & ζ εκφράζουν τα x & z αντίστοιχα, ως ποσοστά του στατικού ύψους d. Η εξίσωση που η λύση της θα δώσει την παραμόρφωση που ικανοποιεί την ισορροπία είναι: M c ( M c ) Με αντικατάσταση των F c και z η εξίσωση γίνεται: M α ξ α r c ζ ( M c ) M αξζ α r c ( M c ) Οι συντελεστές α, ξ, ζ εξαρτώνται μόνο από την παραμόρφωση και τίποτα άλλο. Αν απομονωθούν στο ένα μέλος της εξίσωσης, τότε είναι: M c αξζα r ( M c c ) Ορίζεται: μ c αξζα r οπότε είναι μ c M c c ( c c ) Το μ c είναι συνάρτηση των ανηγμένων μεγεθών α, ξ, ζ συνεπώς είναι και αυτό μέγεθος της παραμόρφωσης, θετικό και αδιάστατο, με την οποία το συνδέει αμφιμονοσήμαντη σχέση. Λόγω της αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας της 59

67 παραμόρφωσης με το μέγεθος μ c, στο εξής η παραμόρφωση που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο μ c θα αναφέρεται καταχρηστικά και ως παραμόρφωση μ c. Κατά τον ίδιο τρόπο ορίζεται: μ s M c Το μ sd είναι μέγεθος της καταπόνησης, ενώ το μ c είναι μέγεθος της παραμόρφωσης. Ο παρονομαστής bd f cd γράφεται ως [(bd)f cd ]d. Τα b και d είναι διαστάσεις και το γινόμενό τους είμαι εμβαδόν. Πολλαπλασιαζόμενα με f cd, δηλαδή τάση, το αποτέλεσμα είναι δύναμη. Η δύναμη (bd)f cd επί το d, το οποίο είναι απόσταση, δίνει σαν αποτέλεσμα ροπή [(bd)f cd ]d. Στο τέλος της περιοχής 3, είναι η παραμόρφωση για την οποία η διατομή έχει το μέγιστο ύψος θλιβόμενης ζώνης, για παραμορφώσεις που αντιστοιχούν σε απλή κάμψη και ισούται με το στατικό ύψος d. Αν θεωρηθεί ότι το σκυρόδεμα αναπτύσσει πλήρη τάση f cd (χωρίς το μειωτικό συντελεστή α gr ) στην ενεργό διατομή του στο τέλος της περιοχής 3, ήτοι στη θλιβόμενη ζώνη διαστάσεων b d, τότε δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι (bd)f cd. Η δύναμη αυτή με μοχλοβραχίονα την απόσταση d της άνω παρειάς από τον οπλισμό δίνει ένα οριακό μέγεθος ροπής, το οποίο έχει μόνο λογιστική χρήση και η φυσική του ερμηνεία είναι ότι εκφράζει μια οριακή ικανότητα της συγκεκριμένης διατομής για τη συγκεκριμένη ποιότητα σκυροδέματος. Στο εξής θα αναφέρονται ως δύναμη και ροπή αναγωγής αντίστοιχα. Συνεπώς τα μ sd και μ c είναι η ροπή καταπόνησης και η ροπή της δύναμης του σκυροδέματος ως προς τον κάτω οπλισμό αντίστοιχα, ανηγμένες στην εν λόγω ροπή αναγωγής. Στην εξίσωση της δύναμης του σκυροδέματος, απομονώνονται τα μεγέθη της παραμόρφωσης: c α ξ α r c c c αξα r Ορίζεται: ρ c αξα r 60

68 Οπότε είναι ρ c c Το ρ c είναι συνάρτηση των ανηγμένων μεγεθών α και ξ συνεπώς είναι και αυτό μέγεθος της παραμόρφωσης, θετικό και αδιάστατο, με την οποία το συνδέει αμφιμονοσήμαντη σχέση. Ο παρονομαστής bdf cd είναι η οριακή δύναμη της διατομής του σκυροδέματος όπως περιγράφηκε προηγουμένως. Το ρ c είναι απόλυτη τιμή τη δύναμης του σκυροδέματος ανηγμένη στην δύναμη αναγωγής. Η ροπή του σκυροδέματος ως προς τη θέση του κάτω οπλισμού ορίστηκε: M c c c M c c μ c c ζ ρ c c μ c ζ ρ c μ c ρ c ζ Ορίζεται: ρ 1 s1 c Το ρ 1 κατά αντιστοιχία με το ρ c, είναι η δύναμη του οπλισμού ανηγμένη στην δύναμη αναγωγής (bd)f cd και έχει πρόσημο ίδιο με τη δύναμη F s1. Οι εξισώσεις ισορροπίας γίνονται: M M c } s1 c μ s c μ c c ρ 1 c ρ c c } μ s μ c ρ 1 ρ c Συνεπώς στην περίπτωση της κάμψης με απλό οπλισμό, η παραμόρφωση που θα ικανοποιεί την ισορροπία θα υπολογιστεί από την εξίσωση: μ c αξζα r 61

69 Όπου μ c μ s Για μια συγκεκριμένη παραμόρφωση μπορεί να υπολογιστεί και η ανηγμένη ροπή μ c μέσω των α, ξ και ζ. Εφόσον οι παραμορφώσεις είναι γνωστές στα όρια κάθε περιοχής του Γ.Δ.Π. υπολογίζεται το μ c στην αρχή και το τέλος καθεμιάς, οπότε προσδιορίζεται η περιοχή στην οποία θα αναζητηθεί η λύση. Η εξίσωση όμως θα πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να μπορεί να υπολογίζεται η παραμόρφωση για συγκεκριμένη ανηγμένη ροπή. Λόγω της διαφοροποίησης του τυπολογίου, θα γίνει ξεχωριστή επεξεργασία για κάθε περιοχή του Γ.Δ.Π. Η εξίσωση και οι λύσεις κάθε περιοχής παρατίθενται στις αμέσως επόμενες παραγράφους. Από την επίλυση της εξίσωσης υπολογίζεται η παραμόρφωση για την οποία η ανηγμένη ροπή του σκυροδέματος μ c είναι ίση με την ανηγμένη ροπή της καταπόνησης. Έτσι μπορεί να υπολογιστεί και η τάση του οπλισμού: ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε σ s { E s ε s ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε ε s ε Για κάμψη με απλό οπλισμό η ανηγμένη δύναμη του οπλισμού είναι ίση με την ανηγμένη δύναμη του σκυροδέματος: ρ 1 ρ c ρ 1 αξα r Η δύναμη του οπλισμού είναι: s1 σ s 1 A s1 ρ 1 c σ s 1 A s1 Τελικά προκύπτει ο απαιτούμενος οπλισμός: A s1 ρ 1 c σ s 1 6

70 Ο ισοδύναμος οπλισμός που με τάση σ sd1 παραλαμβάνει δύναμη που είναι ίση κατά μέτρο με την δύναμη αναγωγής είναι: ισοδ. σ s 1 A s1 c ισοδ. c A s1 σ s 1 Συνεπώς το μέγεθος ρ 1 αφενός εκφράζει τη δύναμη του οπλισμού ως ποσοστό της δύναμης αναγωγής, αλλά είναι και ο απαιτούμενος οπλισμός A s1 ανηγμένος στον ισοδύναμο οπλισμό Περιοχή α Η παραμόρφωση του κάτω οπλισμού είναι: ε s1 ε su Η παραμόρφωση της άνω παρειάς του σκυροδέματος θα πρέπει να είναι: ε c Τα ανηγμένα μεγέθη της παραμόρφωσης είναι: α ε c(6 ε c ) 1 a (8 ε c) 4(6 ε c ) ξ ε c ε c ε s1 ε c ζ 1 a ξ 1 (8 ε c) 4(6 ε c ) ε c ε s1 Η εξίσωση της ανηγμένης ροπής σκυροδέματος γίνεται: μ c ε c(6 ε c ) 1 ε c μ c αξζα r ε c (1 (8 ε c) ) α r ε c ε s1 4(6 ε c ) ε c ε s ε c ( ε s1 16)ε c ( 48 μ α c 4ε s1 ) ε c ( 48 μ r α c 4ε s1 ) ε 48 c μ r α c ε s1 r 63

71 Η 4βάθμια εξίσωσης έχει αρκετά πολύπλοκες λύσεις. Γι αυτό θα εφαρμοστεί αριθμητική επίλυση με τη μέθοδο Newton-Raphson. Σε αυτήν τη μέθοδο προβλέπεται μια αρχική προσέγγιση της λύσης. Έστω ότι η αρχική προσέγγιση είναι η τιμή της παραμόρφωσης στο μεσοδιάστημα (0, ) του εύρους της λύσης, δηλαδή ε c,a =1. Για την αρχική προσέγγιση που έγινε υπολογίζεται η τιμή του πολυωνύμου f(ε c,a ) και της παραγώγου του f (ε c,a ). Η παράγωγος του παραπάνω πολυωνύμου είναι: 3 1ε c ( ε s1 16)ε c ( 48 μ α c 4ε s1 ) ε c ( 48 μ r α c 4ε s1 ) r Υπολογίζεται η επόμενη προσέγγιση ε c,b από τη σχέση: ε c ε c (ε c ) (ε c ) Υπολογίζεται η διαφορά n της νέας προσέγγισης από την προηγούμενη: n ε c ε c Επαναλαμβάνεται η διαδικασία μέχρι η διαφορά n να είναι μικρότερη από την απαιτούμενη ακρίβεια. Η μέθοδος έχει γρήγορη σύγκλιση, ελλοχεύει όμως ο κίνδυνος να οδηγήσει σε λύση εκτός του αποδεκτού εύρους. Σε αυτήν τη περίπτωση αρκεί να επιλεγεί μια πιο κατάλληλη αρχική προσέγγιση. 64

72 4.4.. Περιοχή β Η παραμόρφωση του κάτω οπλισμού είναι: ε s1 ε su Η παραμόρφωση της άνω παρειάς του σκυροδέματος θα πρέπει να είναι: ε c ε cu Τα ανηγμένα μεγέθη της παραμόρφωσης είναι: α 3ε c 3ε c a ε c(3ε c 4) ε c (3ε c ) ξ ε c ε c ε s1 ζ 1 a ξ 1 ε c(3ε c 4) ε c (3ε c ) Η εξίσωση της ανηγμένης ροπής σκυροδέματος γίνεται: ε c ε c ε s1 μ c 3ε c 3ε c μ c αξζα r ε c (1 ε c(3ε c 4) ε c ε s1 ε c (3ε c ) ε c ε c ε s1 ) α r (3 6 μ α c ) ε c (6 1 μ r α c ) ε s1 ε c ( 4ε 6 s1 μ r α c ε s1 ) r Η λύση του τριωνύμου έχει δυο λύσεις, και αποδεκτή είναι μόνο αυτή που ανήκει στο διάστημα (, ε cu ): ε c (6 1 α r μ c ) ε s1 Δ (3 6 α r μ c ) Όπου Δ (6 1 μ α c ) ε s1 4 (3 6 μ r α c ) ( 4ε 6 s1 μ r α c ε s1 ) r 65

73 Περιοχή 3 Η παραμόρφωση της άνω παρειάς του σκυροδέματος είναι: ε c ε cu Η παραμόρφωση του κάτω οπλισμού θα πρέπει να είναι: 0 ε s1 ε su Τα ανηγμένα μεγέθη της παραμόρφωσης είναι όπως και στην περιοχή β: α 3ε c 3ε c a ε c(3ε c 4) ε c (3ε c ) ξ ε c ε c ε s1 ζ 1 a ξ 1 ε c(3ε c 4) ε c (3ε c ) Η εξίσωση της ανηγμένης ροπής σκυροδέματος γίνεται: ε c ε c ε s1 μ c 3ε c 3ε c μ c αξζα r ε c (1 ε c(3ε c 4) ε c ε s1 ε c (3ε c ) ε c ε c ε s1 ) α r ( 6 μ α c ) ε s1 (4 1 μ r α c ε c 6ε c ) ε s1 ( 6 μ r α c ε c 3 ε c ) r Η λύση του τριωνύμου έχει δυο λύσεις, και αποδεκτή είναι μόνο αυτή που ανήκει στο διάστημα (0, ε su ): ε s1 (4 1 α r μ c ε c 6ε c ) Δ ( 6 α r μ c ) Όπου Δ (4 1 μ α c ε c 6ε c ) 4 ( 6 μ r α c ) ( 6 μ r α c ε c r 3 ε c ) 66

74 Περιοχή 4 Παρόλο που οι παραμορφώσεις της περιοχής 4 φαινομενικά αντιστοιχούν σε κάμψη, καθώς ένα μέρος της διατομής εφελκύεται και το υπόλοιπο θλίβεται, η περιοχή αυτή αποκλείεται καθώς το σκυρόδεμα δεν μπορεί να παραλάβει εφελκυστική τάση και εφόσον δεν υπάρχει οπλισμός στο εφελκυόμενο τμήμα της διατομής που να μπορεί να παραλάβει δύναμη αντίθετης φοράς απ ότι η υπόλοιπη διατομή που θλίβεται, δεν ικανοποιείται η ισορροπία Διαγράμματα και πίνακες διαστασιολόγησης με ανηγμένα μεγέθη Τα ανηγμένα μεγέθη απαλλάσσονται από τις διαστάσεις της διατομής, τις ποιότητες των υλικών και το μέγεθος της καταπόνησης. Μπορούν να έχουν γενική εφαρμογή στο πρόβλημα της διαστασιολόγησης και με διαθέσιμες όλες τις εξισώσεις μπορούν να σχεδιαστούν διαγράμματα και να συνταχθούν πίνακες διαστασιολόγησης. Κάτι τέτοιο θα ήταν αδύνατο με τα φυσικά μεγέθη. Τέτοιου είδους πίνακες παρατίθενται στο κεφάλαιο 6, ενώ αντίστοιχα διαγράμματα διαστασιολόγησης παρατίθενται στο κεφάλαιο 7. 67

75 4.5 Ισορροπία της διατομής για κάμψη με διπλό οπλισμό Στο πρόβλημα της απλής κάμψης με διπλό οπλισμό, ο κάτω οπλισμός εφελκύεται ενώ ο άνω οπλισμός, ανάλογα με την παραμόρφωση και την απόσταση του από την άνω παρειά της διατομής, είναι δυνατόν να θλίβεται ή να εφελκύεται. Οι λύσεις με τον άνω οπλισμό να εφελκύεται είναι δυνατές όμως είναι αντιοικονομικές σε σχέση με αυτές που προκύπτουν όταν θλίβεται. Το εύρος των παραμορφώσεων για τις οποίες ο άνω οπλισμός εφελκύεται έχει αφετηρία την αρχή της περιοχής α και είναι δυνατό να καλύπτει μέρος της περιοχής ή ακόμη και τμήμα της περιοχής 3 (Σχ. 4.7). Οι λύσεις θα αναζητηθούν στις περιοχές και 3 με εξαίρεση το τμήμα για το οποίο προκύπτει εφελκυόμενος άνω οπλισμός. d εsu α β 0 εcc εcu B 3 3α d M d 3β N d d1 A εsu ε y Σχ. 4.7: Διάφορες θέσεις του άνω οπλισμού στο Γενικευμένο Διάγραμμα Παραμορφώσεων Στις περιοχές που θα αναζητείται η λύση με θλιβόμενο άνω οπλισμό η παραμόρφωση της άνω παρειάς της διατομής (ε c ) και του άνω οπλισμού (ε s ) θα είναι αρνητική (θλιπτική) ενώ του κάτω οπλισμού θετική (εφελκυστική). ε c ε s ε s1 ε c ε c ε s ε s ε s1 ε s1 68

76 Αρχικά υπολογίζεται η παραμόρφωση του άνω οπλισμού συναρτήσει των άλλων δυο παραμορφώσεων (ε c και ε s1 ). Καθώς το σκυρόδεμα συμμετέχει μόνο στην παραλαβή θλιπτικών τάσεων, οι οποίες προκαλούνται από θλιπτικές (αρνητικές) παραμορφώσεις, έχει γίνει η σύμβαση από το προηγούμενο κεφάλαιο ακόμη ότι θα εισάγεται σε όλες τις εξισώσεις με θετικό πρόσημο. Με το ίδιο σκεπτικό θα αναπτυχθεί και η εξίσωση για το ε s, ώστε να προκύπτει θετικό, καθώς μόνο οι περιπτώσεις θλιβόμενου άνω οπλισμού θα εξεταστούν. Από τα όμοια τρίγωνα (Σχ. 4.8) είναι: Συναρτήσει του ε c ε c ε s ε s ε c ε s ε c ξ ξ ε s ε c ξ ξ Συναρτήσει του ε s1 ε s ε s1 ε s ε s1 ε s ε s1 ξ ξ ε s ε s1 ξ 1 ξ Συναρτήσει των ε s1 και ε c ε s1 ε s ε s1 ε c ε s (ε s1 ε c ) ( ) ε s1 ε s ε c ( ) ε s1 ( ( ) 1) ε s ε c ( ) ε s1 (1 1) ε s ε c (1 ) ε s1 Το ξ εκφράζει το ύψος της θλιβόμενης ζώνης (x) ως ποσοστό του στατικού ύψους (d). Στην αρχή της περιοχής α (ε c =0) το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μηδενικό, συνεπώς η πρώτη εξίσωση παρουσιάζει αοριστία, αν και στη λύση με θλιβόμενο άνω 69

77 οπλισμό η παραμόρφωση αυτή ανήκει στις μη αποδεκτές. Στο τέλος της περιοχής 3 θα δυο αυτά μήκη (x και d) είναι ίσα οπότε το ξ ισούται με τη μονάδα και η δεύτερη εξίσωση του ε s θα οδηγήσει σε αοριστία λόγω του παρονομαστή (1 ξ). Γι αυτό το λόγο προτιμήθηκε η τρίτη εξίσωση στην οποία δεν υπεισέρχεται το ξ. ε c ε s d x d ε s1 d1 ε c1 Σχ. 4.8: Παραμόρφωση του άνω οπλισμού Για την ανάλυση της ροπής σε δυο δυνάμεις οι άγνωστοι είναι τρεις, ήτοι οι δυνάμεις F 1, F και η μεταξύ τους απόσταση α, ενώ οι εξισώσεις είναι δυο, η ισορροπία των δυνάμεων και η ισορροπία των ροπών. Συνεπώς ένας από τους τρεις αγνώστους πρέπει να επιλεγεί για να λυθεί το πρόβλημα και να υπολογιστούν οι άλλοι δυο. Στο πρόβλημα της κάμψης με απλό οπλισμό, η ροπή αναλύθηκε στις δυνάμεις F c και F s1 με απόσταση z. Όμως οι άγνωστοι F c και z συνδέονται μέσω της παραμόρφωσης, οπότε στην ουσία το πρόβλημα είχε δυο αγνώστους, την παραμόρφωση και την F s1 και έτσι με τις δυο εξισώσεις ισορροπίας προέκυψε μονοσήμαντα μια λύση. Ωστόσο στο πρόβλημα με διπλό οπλισμό, η ροπή πρέπει να αναλυθεί στις δυνάμεις F c, F s1, F s3 με τις δυο μεταξύ τους αποστάσεις. Ακόμη όμως και με τη σχέση της F c και της θέσης της με την παραμόρφωση, καθώς και τις δεδομένες θέσεις των οπλισμών το σύστημα είναι αόριστο, διότι οι άγνωστοι είναι τρεις (F s1,f s και παραμόρφωση) ενώ οι εξισώσεις δυο. Συνεπώς πρέπει ένα από τα δεδομένα να επιλεγεί. 70

78 Η ροπή καταπόνησης αναλύεται σε τρεις δυνάμεις F c, F s και F s1 (Σχ. 4. ). Οι F c και F s είναι αρνητικές (θλιπτικές) και η πραγματική τους φορά είναι προς τα αριστερά, οπότε: c c s s Για την ισοδυναμία της καταπόνησης, η ισορροπία των δυνάμεων και των ροπών στη θέση του κάτω οπλισμού είναι: 0 s1 c s M c s ( ) s1 c s M c s ( ) d F s F s Fc Fc a d M d = = z F s1 F s1 Σχ. 4.9: Πραγματική κατεύθυνση των F c και s και ισοδυναμία της καταπόνησης Επίλυση με φυσικά μεγέθη Η ροπή της δύναμης του σκυροδέματος ως προς τον κάτω οπλισμό είναι αριστερόστροφη (άρα θετική): M c c 71

79 Συνεπώς πρέπει όχι όλη, αλλά ένα μέρος της ροπής καταπόνησης θα παραληφθεί από το σκυρόδεμα: M M c s ( ) Ο άνω οπλισμός θα παραλάβει την υπόλοιπη ροπή καταπόνησης: s ( ) M M c Η δύναμη του άνω οπλισμού θα είναι: s M M c Η δύναμη του κάτω οπλισμού θα είναι σύμφωνα με την ισορροπία των δυνάμεων: s1 c s Η σχέση που συνδέει τους οπλισμούς με τις δυνάμεις είναι: s σ s A s Ωστόσο για να υπολογιστούν οι οπλισμοί πρέπει να είναι γνωστές οι δυνάμεις αλλά και οι τάσεις. Κάθε συγκεκριμένη παραμόρφωση αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη M c και αντίστροφα. Αν επιλεχθεί μια παραμόρφωση ή μια ροπή σκυροδέματος το πρόβλημα μπορεί να λυθεί. Πράγματι, επιλέγεται μια παραμόρφωση και υπολογίζεται η ροπή M c, η δύναμη F c και η απόσταση z σύμφωνα με το τυπολόγιο κάθε περιοχής: M c c Διαφορετικά επιλέγεται μια ροπή σκυροδέματος και υπολογίζεται η παραμόρφωση και τα υπόλοιπα μεγέθη. Με γνωστή την παραμόρφωση υπολογίζεται η τάση του άνω και κάτω οπλισμού: ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε σ s { E s ε s ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε ε s ε 7

80 Η παραμόρφωση του άνω οπλισμού είναι θλιπτική, συνεπώς και η τάση του θα είναι αρνητική λόγω της αρνητικής F s : σ s 0 σ s σ s Υπολογίζεται η δύναμη του άνω οπλισμού: Ο απαιτούμενος άνω οπλισμός είναι: s M M c σ s A s M M c A 1 M M c s σ s ( ) Υπολογίζεται η δύναμη του κάτω οπλισμού: Ο απαιτούμενος κάτω οπλισμός είναι: s1 c s s1 M c M M c σ s 1 A s1 M c M M c A s1 1 σ s 1 [ M c M M c ( ) ] Από τις εξισώσεις γίνεται κατανοητό πως κάθε παραμόρφωση οδηγεί και σε διαφορετική λύση οπλισμών. Η ροπή του σκυροδέματος που θα επιλεγεί πρέπει να αντιστοιχεί σε παραμόρφωση των περιοχών ή 3, για την οποία ο άνω οπλισμός θλίβεται. Για να είναι μέσα στις περιοχές ή 3 η ροπή θα έχει κατώτατο όριο την τιμή στην αρχή της α (Μ c,α =0) και ανώτατο όριο την τιμή στο τέλος της 3β (Μ c,3β ). Όμως για να θλίβεται ο άνω οπλισμός πρέπει το ύψος της θλιβόμενης ζώνης (x) να είναι μεγαλύτερο από την επικάλυψη d, δηλαδή: 73

81 ε c ε c ε s1 Στην περιοχή είναι ε s1 =ε su και ε c από 0 έως ε cu, ενώ στην περιοχή 3 είναι ε c =ε cu και ε s1 από 0 έως ε su. Η ανίσωση λύνεται και στις δυο περιοχές, αλλά μόνο η μία λύση θα είναι αποδεκτή (εντός εύρους). Στην περιοχή : ε c ε s1 Στην περιοχή 3: ε s1 ε c Η M c θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη ροπή που αντιστοιχεί σε παραμόρφωση στο όριο της ανίσωσης, έτσι ώστε ο άνω οπλισμός να ανήκει στη θλιβόμενη ζώνη. Ακόμη στη σχέση υπολογισμού της απόλυτης τιμής της F s ο παρονομαστής (d-d ) είναι πάντα θετικός, συνεπώς για προκύπτει θετικό όλο το κλάσμα πρέπει η M c να είναι μικρότερο της M d : s M M c ( ) Συνεπώς οι αποδεκτές τιμές για τη ροπή M c είναι: M c,εs=0 c in (M M c,3β ) Στην οριακή περίπτωση που επιλογή ροπή σκυροδέματος επιλεχθεί (εφόσον αυτό είναι συμβατό) ίση με τη ροπή καταπόνησης οι εξισώσεις ταυτίζονται με αυτές του απλού οπλισμού. Πράγματι: Αν M c = M d η F s θα είναι: s M M c ( ) 0 Ενώ η F s1 θα είναι: s1 M c M M c M c c 74

82 Ο κάτω οπλισμός υπολογίζεται: A s1 1 σ s 1 [ M c M M c ( ) ] 1 σ s 1 M c 1 σ s 1 c 4.5. Επίλυση με ανηγμένα μεγέθη Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι: s1 c s M M c s ( ) Κατά αντιστοιχία με την ανηγμένη δύναμη του κάτω οπλισμού (ρ 1 ), ορίζεται και η ανηγμένη δύναμη του άνω οπλισμού: ρ s c Η δύναμη Fs είναι θλιπτική και έχει αρνητικό πρόσημο, συνεπώς και η ανηγμένη τιμή της είναι αρνητική: ρ 0 ρ ρ Ανάγονται οι δυνάμεις και οι ροπές στη δύναμη και στη ροπή αναγωγής της διατομής: s1 c s ρ 1 ρ c ρ c c c M M c s ( ) c c c } μ s μ c ρ ( ) } ρ 1 ρ c ρ ρ 1 ρ c ρ } μ s μ c ρ (1 ) ρ μ c μ s (1 ) Από τα ανηγμένα μεγέθη της παραμόρφωσης είναι: ρ c μ c ζ 75

83 Συνεπώς οι ανηγμένες εξισώσεις ισορροπίας είναι: ρ μ c μ s (1 ) ρ 1 μ c ζ μ c μ s (1 ) Από τον ορισμό των ανηγμένων δυνάμεων των οπλισμών είναι: ρ 1 ρ s1 c s c σ s 1 A s1 c σ s A s c Για να υπολογιστούν οι οπλισμοί επιλέγεται μια παραμόρφωση και υπολογίζεται το αντίστοιχο μ c σύμφωνα με το τυπολόγιο κάθε περιοχής, ή αντιστρόφως. Με γνωστή πλέον την παραμόρφωση υπολογίζονται οι τάσεις των οπλισμών: ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε σ s { E s ε s ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε ε s ε Η παραμόρφωση του άνω οπλισμού είναι θλιπτική, συνεπώς και η τάση του θα είναι αρνητική λόγω της αρνητικής F s : σ s 0 σ s σ s Οπότε υπολογίζονται οι απαιτούμενοι οπλισμοί: A s ρ c σ s μ c μ s (1 ) c μ s μ c σ s (1 ) c σ s A s1 ρ 1 c σ s 1 [ μ c ζ μ c μ s (1 ) ] c σ s 1 [ μ c ζ μ s μ c (1 ) ] c σ s 1 Η επιλογή του μ c πρέπει να εξασφαλίζει ότι αντιστοιχεί σε παραμόρφωση των περιοχών ή 3 για την οποία ο άνω οπλισμός θλίβεται και τηρείται η συμβατότητα των εξισώσεων. Για να είναι μέσα στις περιοχές ή 3 το μc θα έχει κατώτατο όριο την τιμή στην αρχή της α (μ c,α =0) και ανώτατο όριο την τιμή στο τέλος της 3β 76

84 (μ c,3β ). Όμως για να θλίβεται ο άνω οπλισμός πρέπει το ύψος της θλιβόμενης ζώνης (x) να είναι μεγαλύτερο από την επικάλυψη d, δηλαδή: ξ To μ c πρέπει να είναι μεγαλύτερο από τo μ c που αντιστοιχεί σε παραμόρφωση στο όριο της ανίσωσης (μ c,εs=0 ). Ακόμη, το ρ είναι αρνητικό λόγω του θλιβόμενου οπλισμού σύμφωνα με τη σύμβαση των προσήμων. Στη σχέση υπολογισμού του ρ, ο παρονομαστής (1-d /d) είναι πάντα θετικός, συνεπώς για προκύπτει αρνητικό το κλάσμα πρέπει το μ c να είναι μικρότερο του μ sd : ρ μ c μ s (1 ) Συνεπώς οι αποδεκτές τιμές για το μ c είναι: μ c,εs=0 μ c in (μ s μ c,3β ) Όπως αποδείχθηκε και στην επίλυση με φυσικά μεγέθη, στην οριακή περίπτωση που η ανηγμένη ροπή σκυροδέματος επιλεχθεί ίση με την ανηγμένη ροπή καταπόνησης (εφόσον αυτό είναι συμβατό), τότε η εξισώσεις εκφυλίζονται σε αυτές του απλού οπλισμού Η επιλογή της παραμόρφωσης Στην κάμψη με απλό οπλισμό, το σκυρόδεμα παραλαμβάνει όλες τις θλιπτικές τάσεις ενώ ο οπλισμός όλες τις εφελκυστικές και λόγω τις ισορροπίας οι δυνάμεις των δυο υλικών είναι ίσες κατά μέτρο. Στην κάμψη με διπλό οπλισμό όπου ο άνω οπλισμός θλίβεται, ο κάτω οπλισμός εξακολουθεί να παραλαμβάνει όλες τις εφελκυστικές τάσεις, όμως από τις εξισώσεις ισορροπίας είτε των φυσικών, είτε των ανηγμένων μεγεθών γίνεται φανερό ότι ένα μέρος των θλιπτικών τάσεων παραλαμβάνεται από το σκυρόδεμα βάση της επιλογής της παραμόρφωσης, ενώ το υπόλοιπο από τον άνω οπλισμό. Ο επιμερισμός της θλιπτικής καταπόνησης στο σκυρόδεμα και τον άνω οπλισμό μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αρκεί να αντιστοιχεί σε αποδεκτή παραμόρφωση σύμφωνα με τα όρια που έχουν τεθεί. Ωστόσο, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως κάθε επιλογή οδηγεί σε διαφορετική λύση οπλισμών. 77

85 Ακόμη, στα προβλήματα απλού οπλισμού η λύση είναι μονοσήμαντα προσδιορισμένη ενώ στον διπλό οπλισμό οποιαδήποτε παραμόρφωση, εντός των ορίων που έχουν τεθεί, είναι αποδεκτή. Στον απλό οπλισμό η ροπή καταπόνησης εφόσον πρέπει να είναι ίση με τη ροπή σκυροδέματος, δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από αυτήν που αντιστοιχεί στο τέλος της περιοχής 3β. Αν η ροπή καταπόνησης είναι μεγαλύτερη το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Στο διπλό οπλισμό, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και για ροπές καταπόνησης μεγαλύτερες από αυτήν που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα στο τέλος της περιοχής 3β, καθώς την υπόλοιπη ροπή αναλαμβάνει ο άνω οπλισμός. Τέλος, είναι δυνατόν ένα πρόβλημα διπλού οπλισμού να μην έχει λύση στην περίπτωση που η ροπή καταπόνησης μ sd είναι μικρότερη από το κάτω όριο των αποδεκτών σκυροδέματος μ c. Αυτό συμβαίνει διότι έχει επιλεχθεί πολύ μεγάλη διατομή για τη συγκεκριμένη ροπή καταπόνησης με αποτέλεσμα η ανηγμένη ροπή να προκύπτει αρκετά μικρή. Στα παραδείγματα που ακολουθούν θα υπολογιστεί ο απαιτούμενος συνολικός οπλισμός δοκού για διάφορες επιλογές παραμόρφωσης, χωρίς να ληφθούν υπ όψιν οι ελάχιστες και μέγιστες απαιτήσεις του κανονισμού. Παράδειγμα Υπολογισμός απαιτούμενου οπλισμού δοκού οπλισμένου σκυροδέματος με διπλό οπλισμό κατά ΕΚΟΣ για διάφορες τιμές παραμόρφωσης. Ορθογωνική διατομή b/h=5/55 cm, επικάλυψη 5 cm, υλικά C30 & S500. Ροπή καταπόνησης α) Μ d = 350 kn & β) Μ d = 475 kn Υπολογίζεται το στατικό ύψος d: Οι παραμορφώσεις για τις οποίες ο άνω οπλισμός θλίβεται προσδιορίζονται από την επίλυση της ανίσωσης x > d στις περιοχές & 3: Στην περιοχή : ε c ε s1 ε su ε c. 78

86 Στην περιοχή 3: ε s1 ε c ε s Από από την επίλυση των ανισώσεων μόνο η πρώτη έχει λύση εντός αποδεκτού εύρους. Για να θλίβεται λοιπόν ο άνω οπλισμός πρέπει η παραμόρφωση του σκυροδέματος να είναι μεγαλύτερη από., πράγμα που σημαίνει ότι η παραμόρφωση αυτή βρίσκεται στην περιοχή β. Η οριακή περίπτωση για την οποία ο άνω οπλισμός έχει μηδενική παραμόρφωση είναι για ε s1 =ε su =0 και ε c =. ενώ η αντίστοιχη ανηγμένη ροπή σκυροδέματος υπολογίζεται σύμφωνα με το τυπολόγιο της περιοχής β: μ c,εs=0 αξζα r 3ε c 3ε c ε c (1 ε c(3ε c 4) ε c ε s1 ε c (3ε c ) ε c ε c ε s1 ) 0.85 μ c,εs= Ακόμη στο τέλος της περιοχής 3β είναι ε s1 =0 και ε c =ε cu =3.5 ενώ η αντίστοιχη ανηγμένη ροπή σκυροδέματος είναι: μ c,3β=0 αξζα r 3ε c 3ε c ε c (1 ε c(3ε c 4) ε c ε s1 ε c (3ε c ) ε c ε c ε s1 ) 0.85 μ c,3β= Υπολογίζεται η ανηγμένη ροπή καταπόνησης: α) μ s M c β) μ s M c

87 Συνεπώς η επιλογή της ανηγμένης παραμόρφωσης ροπής σκυροδέματος πρέπει να κυμαίνεται στο εύρος: α) μ c,εs=0 μ c in (μ s μ c,3β ) μ c in( ) μ c 0.8 β) μ c,εs=0 μ c in (μ s μ c,3β ) μ c in( ) μ c 0.38 Στους πίνακες που ακολουθούν παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της διαστασιολόγησης για διάφορες τιμές παραμόρφωσης. Στον πίνακα 4.1 παρατηρείται πως η επιλογή ολοένα και μεγαλύτερης ανηγμένης ροπής σκυροδέματος έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση του συνολικού οπλισμού και τελικά η πιο οικονομική λύση είναι αυτή για μ c =μ sd δηλαδή με απλό οπλισμό. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και στη δεύτερη περίπτωση όπως φαίνεται και στον πίνακα 4. όπου η αύξηση της μ c οδηγεί σε λύση με λιγότερο συνολικό οπλισμό μέχρι ενός σημείου, όπου αυτός ελαχιστοποιείται, ωστόσο η περαιτέρω αύξηση της παραμόρφωσης συνεπάγεται και αύξηση του οπλισμού. Κάθε επιλογή της παραμόρφωσης περιορίζει τις δυνατές λύσεις σε μια και οι δυνατές περιπτώσεις λύσεων είναι οι εξής: Μια λύση για συγκεκριμένη αναλογία Α s /A s1, όπου μπορεί ο άνω οπλισμός να είναι περισσότερος, λιγότερος, ή ίσος (συμμετρικός οπλισμός) με τον κάτω. Μια λύση με τον οικονομικότερο οπλισμό (Α s1 + A s ) min Μια λύση με απλό οπλισμό (Α s = 0) 80

88 Οι διαφορετικές λύσεις οφείλονται στο ότι η δύναμη που αναλαμβάνει μια συγκεκριμένη διατομή σκυροδέματος δεν είναι μια, αλλά εξαρτάται από την παραμόρφωση αυτής, η οποία εξαρτάται και από τους οπλισμούς. 81

89 Πίνακας 4.1: Αποτελέσματα διαστασιολόγησης διπλού οπλισμού για ανηγμένη ροπή καταπόνσης μ sd =0.8 μ c A s1 A s A s,tot σ sd1 σ sd σ cd ε s1 ε s ε c ρ 1 ρ ρ c ζ ξ

90 Πίνακας 4.: Αποτελέσματα διαστασιολόγησης διπλού οπλισμού για ανηγμένη ροπή καταπόνσης μ sd =0.38 μ c A s1 A s A s,tot σ sd1 σ sd σ cd ε s1 ε s ε c ρ 1 ρ ρ c ζ ξ

91 4.5.4 Οικονομικός οπλισμός Μια μόνο επιλογή ανηγμένης ροπής σκυροδέματος δίνει τον λιγότερο συνολικό οπλισμό. Αν επιλεγεί το πρόβλημα να λύνεται κάθε φορά με κριτήριο την οικονομικότητα, τότε οι θεωρητικά άπειρες αποδεκτές λύσεις περιορίζονται σε μια. Αξίζει όμως να γίνουν μερικές επισημάνσεις για τη διακύμανση των τιμών των μεγεθών που υπεισέρχονται στον υπολογισμό των οπλισμών, συναρτήσει της μεταβολής της τιμής της ανηγμένης ροπής σκυροδέματος: Από το διάγραμμα με τις καμπύλες των διαφόρων μεγεθών της παραμόρφωσης γίνεται φανερό πως μεταβαίνοντας από την αρχή της περιοχής, προς το τέλος αυτής και στη συνέχεια στο τέλος της 3β, η ανηγμένη ροπή σκυροδέματος μ c αυξάνεται. Όσο μεγαλύτερη δύναμη αναλαμβάνει το σκυρόδεμα λόγω της επιλεγμένης παραμόρφωσης, τόσο μεγαλύτερο μέρος της θλιπτικής καταπόνησης επιμερίζεται σε αυτό και συνεπώς λιγότερο στον άνω οπλισμό, συνεπώς μικραίνει η s. Από την αρχή της περιοχής προς το τέλος αυτής αλλά και μέχρι το τέλος της 3 αυξάνεται το ύψος της θλιβόμενης ζώνης (x) και η παραμόρφωση της άνω παρειάς στην περιοχή αυξάνεται ενώ στην περιοχή 3 είναι σταθερή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να αυξάνεται η δύναμη σκυροδέματος. Συνεπώς σε μεγαλύτερο μ c αντιστοιχεί μεγαλύτερη δύναμη σκυροδέματος c που σημαίνει καλύτερη εκμετάλλευση του σκυροδέματος. Όσο αυξάνεται το μ c, αυξάνεται και η θλιπτική παραμόρφωση του άνω οπλισμού ε s (για παραμορφώσεις μ c > μ c,εs=0 ) και κατά συνέπεια αυξάνεται και η τάση αυτού. Για την ακρίβεια η τάση θα αυξάνεται συνεχώς αν ο β κλάδος του χάλυβα είναι κεκλιμένος, διαφορετικά θα αυξάνεται μέχρι την παραμόρφωση για την οποία ο άνω οπλισμός διαρρέει ε s = ε y, εφόσον βέβαια αυτή η παραμόρφωση είναι εντός των περιοχών ή 3. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την καλύτερη εκμετάλλευση του άνω οπλισμού, καθώς για δεδομένη ποσότητα οπλισμού Α s, σε μεγαλύτερη τάση σ sd αντιστοιχεί μεγαλύτερη δύναμη F s. 84

92 Από τις δυο προηγούμενες παρατηρήσεις συμπεραίνεται πως όσο μεγαλύτερο το μ c, απαιτείται λιγότερος οπλισμός άνω καθώς αφενός βελτιώνεται η εκμετάλλευση του σκυροδέματος αυξάνοντας την F c και μειώνοντας την απαίτηση για την F s και αφετέρου αυξάνεται η τάση του άνω οπλισμού. Η αύξηση του μ c μειώνει την F s η οποία έχει σταθερό σημείο εφαρμογής και αυξάνει την F c μετατοπίζοντας το σημείο εφαρμογής της προς τα κάτω, συνεπώς και η συνισταμένη των θλιπτικών δυνάμεων μετατοπίζεται προς τα κάτω λόγω της F c, και το μέτρο τα αυξάνεται καθώς η ροπή της είναι σταθερή ως προς τη θέση του κάτω οπλισμού και ίση με M d. Εφόσον ο κάτω οπλισμός παραλαμβάνει όλη την εφελκυστική καταπόνηση, η δύναμή του F s1 μεγαλώνει για να ισορροπήσει την αυξανόμενη θλιπτική καταπόνηση ως συνέπεια της αύξησης του μ c. Το μ c στην περιοχή αντιστοιχεί σε σταθερή παραμόρφωση του κάτω οπλισμού ο οποίος λειτουργεί υπό πλήρη τάση, ωστόσο στην περιοχή 3α η αύξηση του μ c αντιστοιχεί σε ολοένα και μικρότερες παραμορφώσεις για τον κάτω οπλισμό, μεγαλύτερες όμως από την παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού ε y, με αποτέλεσμα να μειώνεται η τάση στην περίπτωση κεκλιμένου β κλάδου στη σχέση σ s -ε s, ή να παραμένει σταθερή και ίση με τη μέγιστη τάση f yd στην περίπτωση οριζόντιου β κλάδου. Στην περιοχή 3β οι παραμορφώσεις του χάλυβα αντιστοιχούν στον ελαστικό κλάδο που σημαίνει ότι όσο μικραίνει η παραμόρφωση του χάλυβα, μικραίνει και η τάση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την χειρότερη εκμετάλλευση του κάτω οπλισμού, καθώς για δεδομένη ποσότητα οπλισμού Α s1, σε μικρότερη τάση σ sd1 αντιστοιχεί μεγαλύτερη δύναμη F s1. Από το συνδυασμό των δυο προηγούμενων παρατηρήσεων συμπεραίνεται πως η αύξηση του μ c στην περιοχή 3β οδηγεί σε μεγαλύτερη απαίτηση κάτω οπλισμού καθώς αυξάνεται η F s1 ενώ η τάση σ sd1 μειώνεται. Συνεπώς όσο μεγαλώνει το μ c, μεγαλώνει η εκμετάλλευση του σκυροδέματος, μειώνεται ο άνω οπλισμός και αυξάνεται ο κάτω. Από το προηγούμενο παράδειγμα φαίνεται πως στην αρχή η μείωση του άνω οπλισμού είναι μεγαλύτερη από την αύξηση που αναλογεί στον κάτω οπλισμό. Συνεπώς για μεγαλύτεροo μ c απαιτείται λιγότερος συνολικός οπλισμός. Στο πρώτο παράδειγμα αυτό συμβαίνει μέχρι την τιμή 85

93 του μ c για την οποία προκύπτει λύση με απλό οπλισμό, η οποία είναι και η οικονομικότερη λύση, ενώ στο δεύτερο παράδειγμα η αύξηση του μ c οδηγεί σε μείωση του συνολικού απαιτούμενου οπλισμού μέχρι ενός σημείου, όπου προκύπτει λύση για τον οικονομικότερο οπλισμό, ενώ για μεγαλύτερες τιμές του μ c η αύξηση του κάτω οπλισμού γίνεται με μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής από το ρυθμό μείωσης του άνω οπλισμού με αποτέλεσμα ο συνολικός οπλισμός να αυξάνεται. Δηλαδή η αύξηση του μ c έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση του συνολικού οπλισμού, μέχρι της οριακής τιμής, η οποία στη βιβλιογραφία συναντάται ως μ lim, για την οποία προκύπτει ο οικονομικότερος οπλισμός, ενώ περαιτέρω αύξηση του μ c συνεπάγεται την αύξηση του οπλισμού. Σε κάθε περίπτωση όμως εξακολουθεί να υπάρχει ο περιορισμός: μ c,εs=0 μ c in (μ s μ c,3β ) Βάση όμως του προηγούμενου περιορισμού διακρίνονται δυο περιπτώσεις: μ s μ li και μ s μ li Στην πρώτη περίπτωση μ sd < μ lim δεν μπορεί να επιλεγεί η τιμή μ lim καθώς υπάρχει ο περιορισμός μ c < μ sd. Η πιο οικονομική λύση προκύπτει για τη μέγιστη τιμή του μ c που μπορεί να επιλεγεί, ήτοι μ c = μ sd η οποία είναι η λύση του απλού οπλισμό. Στην περίπτωση που μ lim < μ sd μπορεί να επιλεχθούν τιμές έως και μ sd όμως κάθε επιλογή μεγαλύτερη από το μ lim έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση του συνολικού οπλισμού. Συνεπώς η πιο οικονομική λύση προκύπτει για μ c =μ lim. Συνεπώς η οριακή τιμή μ lim, εκτός από το να είναι αυτή που αντιστοιχεί στην οικονομικότερη λύση για τα προβλήματα διπλού οπλισμού, χωρίζει τα προβλήματα σε αυτά που οικονομικότερη είναι η λύση του απλού οπλισμού (μ c =μ sd ) και σε αυτά που η οικονομικότερη λύση είναι με διπλό οπλισμό και μάλιστα για την τιμή μ c =μ lim. Ο προσδιορισμός του μ lim, μπορεί να γίνει με αναλυτικό ή αριθμητικό τρόπο. Για λίγο πιο σύνθετες διατομές από αυτήν της ορθογωνικής, όπως είναι οι πλακοδοκοί, ο αναλυτικός υπολογισμός γίνεται σημαντικά δυσκολότερος όμως μπορεί να γίνει αριθμητικός υπολογισμός με τη χρήση υπολογιστή. Για τον αναλυτικό προσδιορισμό του μ lim πρέπει να γίνει μελέτη της συνάρτησης του αθροίσματος των οπλισμών, ξεχωριστά για κάθε περιοχή του Γ.Δ.Π. και λαμβάνοντας υπ όψιν τις περιπτώσεις που διαρρέει ή όχι ο άνω και ο κάτω οπλισμός. Σε κάθε περίπτωση το μ lim εξαρτάται 86

94 από την ποιότητα του χάλυβα καθώς αυτή επηρεάζει την παραμόρφωση διαρροής αλλά και από τη θέση του άνω οπλισμού η οποία εκφράζεται από το λόγο d /d. Η συνάρτηση είναι: A s1 A s [ μ c ζ μ s μ c (1 ) ] c μ s μ c c σ s 1 (1 ) σ s Το γινόμενο bdf cd μπορεί να απομονωθεί διότι ως σταθερός αριθμός δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα: [ μ c ζ μ s μ c (1 ) ] 1 μ s μ c 1 σ s 1 (1 ) σ s Η αντίστοιχη συνάρτηση με φυσικά μεγέθη είναι: [ M c M M c ( ) ] 1 M M c σ s 1 ( ) 1 σ s Η διαδικασία για τον αριθμητικό προσδιορισμό του μ lim παρουσιάζεται στο κεφάλαιο των πλακοδοκών. Από τις προηγούμενες παρατηρήσεις μπορεί να εξαχθεί με ασφάλεια το συμπέρασμα πως η οριακή τιμή μ lim αναμένεται εντός της περιοχής 3. Στις περισσότερες περιπτώσεις και για τις συνήθεις τιμές του λόγου d /d (0.05 έως 0.) τo μ lim θα αντιστοιχεί στην παραμόρφωση του τέλους της περιοχής 3α ή λίγο πριν το τέλος αυτής. Υπάρχει και το ενδεχόμενο η παραμόρφωση αυτή να βρίσκεται λίγο μετά την αρχή της περιοχής 3β, ωστόσο αυτό είναι πολύ ιδιαίτερη περίπτωση η οποία δεν θα εξεταστεί. Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμητικός προσδιορισμός του μ lim είναι πιο ασφαλής και γενικός, υπό την έννοια του ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για διαφορετικές διατομές σκυροδέματος (πχ πλακοδοκοί), ενώ ο αναλυτικός τύπος που θα δοθεί αφορά μόνο ορθογωνικές δοκούς και στην πλειονότητα των περιπτώσεων (όχι πάντα). Ο αναλυτικός υπολογισμός του μ lim έχει μεγάλη έκταση και ξεφεύγει από το σκοπό της παρούσας πτυχιακής, γι αυτό το λόγο παρατίθεται η εξίσωση υπολογισμού χωρίς απόδειξη. Για ορθογωνικές διατομές ο αναλυτικός τύπος είναι: 87

95 μ c,3β ε s1 ε (τέλος 3β) μ li in { μ c για ε s1 6ε c 8ε c 4 (3ε c )(1 ) ε c όπου ε c ε cu Όπως αναφέρθηκε η επιλογή της παραμόρφωσης για διαστασιολόγηση με διπλό οπλισμό επαφίεται στην κρίση του μηχανικού. Αν και συνήθως το κριτήριο είναι η οικονομικότητα της λύσης, η επιλογή θα μπορούσε να γίνει με μια μικρή παραβίαση της οικονομικότητας. Για παράδειγμα μπορεί να λαμβάνεται το μ lim με τιμή μικρότερη την αυστηρά οικονομική, έτσι ώστε μικρότερες καταπονήσεις να οδηγούν σε λύση με διπλό οπλισμό, ενώ κανονικά θα οδηγούσαν σε λύση με απλό οπλισμό. Αυτό αποσκοπεί στο να γίνει διαφορετικός επιμερισμός της θλιπτικής καταπόνησης, καθώς ο χάλυβας του οπλισμού, ως καθαρά βιομηχανοποιημένο προϊόν παρουσιάζει χαρακτηριστικά με πολύ μικρή απόκλιση από τις προδιαγραφές του, σε αντίθεση με το σκυρόδεμα και δη το εργοταξιακό, το οποίο λόγω φύσεως και διαδικασίας παραγωγής παρουσιάζει μεγαλύτερη αβεβαιότητα ως προς τα μηχανικά χαρακτηριστικά του. Έτσι ακόμη και αν το σκυρόδεμα δεν πληροί τις προδιαγραφές και απαιτήσεις του σχεδιασμού, θα υπάρχει οπλισμός για να παραλάβει τη θλιπτική καταπόνηση σε περίπτωση αστοχίας του σκυροδέματος. 88

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Πλακοδοκοί 5.1 Η έννοια του συνεργαζόμενου πλάτους Στους φέροντες οργανισμούς από οπλισμένο σκυρόδεμα, λόγω της μονολιθικότητας του υλικού και της γεωμετρίας δομικών στοιχείων που συντρέχουν στους κόμβους, δεν είναι απολύτως σαφή τα όρια των επιμέρους στοιχείων. Ωστόσο για τις ανάγκες της ανάλυσης πρωτίστως, αλλά και της διαστασιολόγησης, προηγείται διακριτοποίηση του φορέα, δηλαδή το μηχανικό και υπολογιστικό προσομοίωμα αποτελείται στοιχεία με σαφή όρια και γεωμετρία. Για παράδειγμα στο σημείο που συναντιούνται η πλάκα και η δοκός, το όριο που τις διαχωρίζει δεν είναι σαφώς ορισμένο. Υπάρχει μια ζώνη στην οποία το σκυρόδεμα της πλάκας συμμετέχει στην παραλαβή θλιπτικών τάσεων από την καταπόνηση της δοκού, δίνοντας έτσι μεγαλύτερη φέρουσα ικανότητα στη δοκό (Σχ. 5.1). Αυτό αναγνωρίζεται από τους κανονισμούς και δίνεται η δυνατότητα να ληφθεί υπ όψιν κατά τη διαστασιολόγηση, όταν κάτι τέτοιο υφίσταται, εισάγοντας την έννοια του συνεργαζόμενου πλάτους δοκού-πλάκας. Ο τρόπος υπολογισμού του συνεργαζόμενου πλάτους καθορίζεται από τον κάθε κανονισμό. Σχ. 5.1: Συνεργασία πλάκας-δοκού για την παραλαβή θλιπτικών τάσεων 89

97 (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχ. 5.: Αμφίπλευρες, μονόπλευρες, κανονικές και ανεστραμμένες πλακοδοκοί Με το συνεργαζόμενο πλάτος μια ορθογωνική δοκός μπορεί να διαστασιολογηθεί ως αμφίπλευρη ή μονόπλευρη πλακοδοκός, κανονική ή ανεστραμμένη (Σχήμα 5.). Στην παρούσα εργασία θα εξεταστούν μόνο αμφίπλευρες και συμμετρικές πλακοδοκοί με διατομή τύπου Τ, καθώς όπως έχει αναφερθεί και σε προηγούμενο κεφάλαιο, ο ουδέτερος άξονας είναι παράλληλος στο διάνυσμα της ροπής, ενώ σε μη-συμμετρικές διατομές είναι κεκλιμένος. Ωστόσο οι εξισώσεις που θα αναπτυχθούν μπορούν να χρησιμοποιούνται καταχρηστικά και για μονόπλευρες πλακοδοκούς με διατομή τύπου Γ (Σχήμα 6. β & γ), για μια αρχική εκτίμηση στα πλαίσια της προδιαστασιολόγησης. 5. Ισορροπία της διατομής Η ισορροπία των δυνάμεων που αναπτύσσονται στη διατομή δεν διαφέρει στην περίπτωση της πλακοδοκού. Η διαδικασία της διαστασιολόγησης είναι ίδια, ωστόσο οι εξισώσεις για τον υπολογισμό της δύναμης του σκυροδέματος είναι διαφορετικές, καθώς αλλάζει η γεωμετρία της θλιβόμενης ζώνης. Σε αυτήν την περίπτωση είναι προτιμότερο να γίνονται οι υπολογισμοί με φυσικά μεγέθη, όπως περιγράφηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο και στο τέλος να υπολογίζονται τα αντίστοιχα ανηγμένα. Ακόμη, ο υπολογισμός του μ lim θα γίνεται αριθμητικά καθώς η ανάπτυξη αναλυτικού τυπολογίου είναι αρκετά επίπονη διαδικασία. 90

98 5.3 Υπολογισμός της δύναμης του σκυροδέματος Το Γ.Δ.Π έχει καθολική ισχύ συνεπώς οι παραμορφώσεις της πλακοδοκού καθορίζονται από αυτό. Ομοίως με το συλλογισμό που έγινε στις ορθογωνικές δοκούς, η παραμόρφωση κάθε σημείου αντιστοιχεί σε τάση και η ολοκλήρωση των τάσεων σε όλη τη θλιβόμενη ζώνη δίνει την δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα. Ο υπολογισμός της δύναμης του σκυροδέματος θα γίνει ξεχωριστά για την κάθε περιοχή του Γ.Δ.Π που αντιστοιχεί σε απλή κάμψη. Το ύψος της θλιβόμενης ζώνης έχει υπολογιστεί: ε c ε c ε s1 Για παραμορφώσεις που ανήκουν στον α κλάδο της σχέσης τάσεωνπαραμορφώσεων του σκυροδέματος, η τάση ενός σημείου σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα με παραμόρφωση ε cy θα έχει υπολογιστεί σ c (y) = σ c (ε cy ) : σ c ( ) α r 4 c ε c (4 ε c ) Επιπλέον ορίζεται το συνεργαζόμενο πλάτος b eff, το πάχος της πλάκας h f και το μέγεθος y h που είναι η απόσταση του ουδέτερου άξονα από το κάτω μέρος της πλάκας. Το y h χρειάζεται στους υπολογισμούς μόνο όταν το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μεγαλύτερο από το πάχος της πλάκας (x>h f ). Όπως θα φανεί παρακάτω υπάρχουν διαφορετικές υποπεριπτώσεις για τον υπολογισμό της δύναμης του σκυροδέματος και της θέσης αυτής. Χάριν περιορισμού και γενίκευσης του τυπολογίου όπου αυτό είναι δυνατό, το y h θα οριστεί ως εξής: { όταν Ο περιορισμός του τυπολογίου είναι επιθυμητός και για την περίπτωση που επιλέγεται αριθμητική ολοκλήρωση καθώς τα ίδια ολοκληρώματα θα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διαφορετικές υποπεριπτώσεις. 91

99 5.3.1 Περιοχή α Στην περιοχή α ο κάτω οπλισμός είναι σταθερά εφελκυόμενος με τη μέγιστη τιμή παραμόρφωσης (ε su ) ενώ η άνω παρειά έχει θλιπτική παραμόρφωση (ε c ) με τιμή από 0 έως. Συνεπώς η κατανομή των τάσεων αντιστοιχεί στον πρώτο κλάδο του σκυροδέματος και η θλιβόμενη ζώνη είναι δυνατόν να καταλαμβάνει μόνο τμήμα της πλάκας ή και τμήμα της δοκού κάτω από την πλάκα Θλίβεται ολόκληρη η πλάκα και τμήμα του κορμού Σε αυτήν την περίπτωση το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μεγαλύτερο από το πάχος της πλάκας (Σχ. 5.3): εcy ε c < hf A s d x ε s a Fc σc(y) yh y h d A s1 ε s1 = εsu d1 ε c1 Σχ. 5.3: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή α όταν x > h f Η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) 0 σ c ( ) e α r c ε c [( e ) ( ε c 3 1 ) e ( 1 ε c 1 )] 9

100 H απόσταση της δύναμης από την άνω παρειά υπολογίζεται ομοίως με τον τρόπο που υπολογίστηκε και στις ορθογωνικές δοκούς, μέσω της ισορροπίας του αθροίσματος στοιχειωδών ροπών με την ροπή F c a: a σ c ( ) ( ) 0 σ c ( ) 0 ( e ) ( ε c 3 1 ε c 4 16 ( e ) ( ε c 3 1 σ c ( ) e ( ) σ c ( ) e ) e 3 3 ) e 3 ( 6 ε c 1 ) 4 ( 8 ε c 48 ) Θλίβεται τμήμα της πλάκας Σε αυτήν την περίπτωση το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μικρότερο από το πάχος της πλάκας (Σχ. 5.4): εcy ε c < hf A s d x y ε s a σc(y) Fc h d A s1 ε s1 = εsu d1 ε c1 Σχ. 5.4: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή α όταν x < h f 93

101 Η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) 0 e α r c e ε c (6 ε c ) 1 H απόσταση της δύναμης από την άνω παρειά υπολογίζεται μέσω της ισορροπίας του αθροίσματος στοιχειωδών ροπών με την ροπή c a: a σ c ( ) e ( ) 0 σ c ( ) e 0 (8 ε c ) 4(6 ε c ) Παρατηρείται πως οι εξισώσεις μοιάζουν με της ορθογωνικής δοκού στην περιοχή α, όμως αντί για b, το πλάτος είναι b eff. Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί το τυπολόγιο για την περίπτωση που x > h f αρκεί να ληφθεί y h = 0. c σ c ( ) 0 σ c ( ) e α r c ε c [( e ) ( ε c 3 1 ) e ( 1 ε c 1 )] α ε c (6 ε c ) r c e 1 a σ c ( ) ( ) 0 σ c ( ) 0 σ c ( ) e ( ) σ c ( ) e ( e ) ( ε c 3 1 ε c 4 16 ( e ) ( ε c 3 1 ) e 3 3 ) e 3 ( 6 ε c 1 ) 4 ( 8 ε c 48 ) (8 ε c ) 4(6 ε c ) 94

102 5.3. Περιοχή β Στην περιοχή β ο κάτω οπλισμός είναι σταθερά εφελκυόμενος με τη μέγιστη τιμή παραμόρφωσης (ε su ) ενώ η άνω παρειά έχει θλιπτική παραμόρφωση (ε c ) με τιμή από έως την οριακή τιμή παραμόρφωσης του σκυροδέματος σε κάμψη. Συνεπώς η κατανομή των τάσεων στη διατομή του σκυροδέματος περιλαμβάνει και τους δυο κλάδους. Είναι δυνατόν η θλιβόμενη ζώνη να καταλαμβάνει μόνο τμήμα της πλάκας ή ολόκληρη την πλάκα και τμήμα του κορμού της δοκού και σε αυτήν την περίπτωση η αλλαγή του κλάδου του σκυροδέματος μπορεί να συμβαίνει είτε στο τμήμα της πλάκας είτε της δοκού. Η απόσταση y του σημείου του οποίου η παραμόρφωση (ε cy ) είναι από τον ουδέτερο άξονα έχει υπολογιστεί: ε c Θλίβεται όλη η πλάκα και τμήμα του κορμού αλλαγή κλάδου στον κορμό Σε αυτήν την περίπτωση το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μεγαλύτερο από το πάχος της πλάκας (Σχ. 5.5): εcy εcy ε c > hf A s d ε s a Fc x σc(y ) h d yh y y σc(y) A s1 d1 ε s1 = εsu ε c1 Σχ. 5.5: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή β όταν x > h f & y < y h 95

103 Η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) α r c α r c e 0 α r c [ ( ε c 3 ε c 1 ) e ( )] H απόσταση της δύναμης από την άνω παρειά υπολογίζεται ομοίως με τον τρόπο που υπολογίστηκε και στις ορθογωνικές δοκούς, μέσω της ισορροπίας του αθροίσματος στοιχειωδών ροπών με την ροπή F c a: a σ c ( ) ( ) 0 σ c ( ) 0 α r c ( ) α r c α r c α r c e ( ) e ε c ( ε c 3 1 ε c ) ( ) e ( ) ( ε c ε c 3 1 ) e ( ) 96

104 Θλίβεται όλη η πλάκα και τμήμα του κορμού αλλαγή κλάδου στην πλάκα Σε αυτήν την περίπτωση το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μεγαλύτερο από το πάχος της πλάκας (Σχ. 5.6): εcy εcy ε c > d a σc(y ) hf A s yh x y y ε s Fc σc(y) h d A s1 ε s1 = εsu d1 ε c1 Σχ. 5.6: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή β όταν x > h f & y > y h 97

105 Η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) σ c ( ) e α r c e 0 α r c ε c [( e ) ( ε c 3 1 ) e ( ε c 3 1 )] α r c e ( ) H απόσταση της δύναμης από την άνω παρειά υπολογίζεται ομοίως με τον τρόπο που υπολογίστηκε και στις ορθογωνικές δοκούς, μέσω της ισορροπίας του αθροίσματος στοιχειωδών ροπών με την ροπή F c a: a σ c ( ) ( ) 0 σ c ( ) 0 σ c ( ) e ( ) σ c ( ) e α r c e ( ) α r c e ε c ( e ) ( ε c 3 1 ε c 4 16 ε c ( e ) ( ε c ) ε c e ( ) ε c e ( ε c 3 1 ε c 4 16 ε c 3 1 ) e 3 3 ) e ( ) ( ) 98

106 Θλίβεται τμήμα της πλάκας Σε αυτήν την περίπτωση το ύψος της θλιβόμενης ζώνης είναι μικρότερο από το πάχος της πλάκας (Σχ. 5.7): εcy εcy ε c > d a σc(y ) hf A s x y y ε s Fc σc(y) h d A s1 ε s1 = εsu d1 ε c1 Σχ. 5.7: Δύναμη σκυροδέματος στην περιοχή β όταν x > hf & y > yh Η δύναμη του σκυροδέματος υπολογίζεται: c σ c ( ) 0 e α r c e α r e c ( 3ε c 3ε c ) H απόσταση της δύναμης από την άνω παρειά υπολογίζεται ομοίως με τον τρόπο που υπολογίστηκε και στις ορθογωνικές δοκούς, μέσω της ισορροπίας του αθροίσματος στοιχειωδών ροπών με την ροπή c a: a σ c ( ) e ( ) 0 0 σ c ( ) e α r c e ( ) α r c e ε c (3ε c 4) ε c (3ε c ) Παρατηρείται πως οι εξισώσεις μοιάζουν με της ορθογωνικής δοκού στην περιοχή β, όμως αντί για b, το πλάτος είναι b eff. 99

107 Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί το τυπολόγιο για την περίπτωση που x > h f & y > y h αρκεί να ληφθεί y h = 0. c σ c ( ) σ c ( ) e α r c e 0 α r c ε c [( e ) ( ε c 3 1 ) e ( ε c 3 1 )] α r c e ( ) α r e c ( 3ε c 3ε c ) a σ c ( ) ( ) 0 σ c ( ) 0 σ c ( ) e ( ) σ c ( ) e α r c e ( ) α r c e ε c ( e ) ( ε c 3 1 ε c 4 16 ε c ( e ) ( ε c ) ε c e ( ) ε c e ( ε c 3 1 ε c 4 16 ε c 3 1 ) e 3 3 ) e ( ) ( ) ε c (3ε c ) ε c(3ε c 4) 100

108 5.3.3 Περιοχή 3 & 4 Οι εξισώσεις που αναπτύχθηκαν για τις τρεις περιπτώσεις τις περιοχής β μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στις περιοχές 3 & 4, όπως φάνηκε και στο κεφάλαιο για τις ορθογωνικές δοκούς. Στην περιοχή 3 θα πρέπει να ληφθεί ε c =ε cu και ε su < ε s1 <0 ενώ η περιοχή 4 δεν θα εξεταστεί καθώς όπως έχει αναφερθεί δεν αντιστοιχεί σε προβλήματα καθαρής κάμψης. 5.4 Πορεία της διαστασιολόγησης Όπως αναφέρθηκε, η εξίσωση είναι αρκετά πολύπλοκη για να αναζητηθεί αναλυτικός τύπος, συνεπώς η αριθμητική επίλυση είναι μονόδρομος. Αρχικά γίνεται προσδιορισμός των χαρακτηριστικών τιμών της ροπής του σκυροδέματος στα όρια κάθε περιοχής. Οι παραμορφώσεις στα όρια μεταξύ των περιοχών είναι γνωστές, καθώς βάσει των παραμορφώσεων έγινε η διαίρεση του Γ.Π.Δ. σε περιοχές. Συνεπώς μπορεί να προσδιοριστεί η δύναμη Fc και η απόσταση της από την άνω παρειά a βάση του τυπολογίου της προηγούμενης παραγράφου. Η απόσταση z υπολογίζεται: a όπου d = h d 1 Έτσι υπολογίζεται η ροπή του σκυροδέματος ως προς τον κάτω οπλισμό στα όρια κάθε περιοχής: M c c Αν η επίλυση θα γίνει για απλό οπλισμό τότε η ζητούμενη ροπή σκυροδέματος θα πρέπει να είναι ίση με τη ροπή καταπόνησης, διαφορετικά επιλέγεται μια παραμόρφωση της διατομής. Στον απλό οπλισμό: M c M 101

109 Στο διπλό οπλισμό μπορεί να επιλεχθεί είτε η ροπή του σκυροδέματος ως φυσικό μέγεθος, ή μπορεί να εισαχθεί μια ανηγμένη τιμή. Σε κάθε περίπτωση παραμόρφωση και ροπή έχουν αντιστοίχιση 1-1. Στην περίπτωση που επιλεχθεί ανηγμένη τιμή, αυτή ορίζεται ως: μ c e M c c ( c e c ) Το αντίστοιχο φυσικό μέγεθος υπολογίζεται: M c μ c e c Με γνωστή τη ροπή του σκυροδέματος στα όρια κάθε περιοχής προσδιορίζεται εύκολα σε ποιά περιοχή θα πρέπει να αναζητηθεί η λύση. Η ζητούμενη παραμόρφωση υπολογίζεται από την επίλυση της εξίσωσης: M c c Για τον υπολογισμό της λύσης προτείνεται η ακόλουθη διαδικασία: α) Εφόσον έχει προσδιοριστεί σε ποιά περιοχή βρίσκεται η λύση και οι παραμορφώσεις στα όρια της περιοχής είναι γνωστές (η μια παράμετρος της παραμόρφωσης είναι πάντα γνωστή και δεδομένη από τον κανονισμό) ορίζεται το διάστημα του εύρους της λύσης (x 0, x 1 ). Περιοχή α: ε s1 ε su ε c (0, ] Περιοχή β: ε s1 ε su ε c [, ε cu ] Περιοχή 3: ε c ε cu ε s1 (0, ε su ] 10

110 β) Το διάστημα αυτό διαιρείται σε n τμήματα πλάτους s: s 1 0 n γ) Γίνεται επαναληπτική διαδικασία n+1 φορές (0...n) όπου υπολογίζεται κάθε φορά η τιμή της παράστασης M c c για τιμή της ζητούμενης παραμόρφωσης ε 0 n s δ) Έστω ε min η παραμόρφωση για την ελάχιστη τιμή της παράστασης. Το εύρος που θα αναζητηθεί η λύση περιορίζεται σε [ 0 1] όπου: 0 ε in s 1 ε in s ε) Επαναλαμβάνονται τα βήματα β, γ & δ έως ότου επιτευχθεί η ζητούμενη ακρίβεια, ήτοι: M c c όπου ν η ζητούμενη ακρίβεια Με την παραμόρφωση προσδιορισμένη, επαναϋπολογίζονται η δύναμη του σκυροδέματος, η θέση της και η ροπή της ως προς τον κάτω οπλισμό σύμφωνα με το τυπολόγιο της περιοχής στην οποία είναι η λύση. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι τάσεις των οπλισμών από τη σχέση σ s -ε s : ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε σ s E s ε s ε s ε { ( 1) ε s ε ε u ε ε s ε 103

111 Υπολογίζεται η δύναμη του εφελκυόμενου και του θλιβόμενου οπλισμού: Οι απαιτούμενοι οπλισμοί είναι: s M M c s1 M c M M c A s1 1 σ s 1 [ M c M M c ( ) ] A 1 M M c s σ s ( ) Στην περίπτωση του απλού οπλισμού όπου M c =M d εύκολα αποδεικνύεται ότι F s =A s =0 Με υπολογισμένα τα φυσικά μεγέθη μπορούν να υπολογιστούν και τα ανηγμένα τα οποία παρέχουν μια πιο εποπτική εικόνα της παραμόρφωσης. Ωστόσο για την πλακοδοκό ορίζονται συναρτήσει του beff αντί του b όπως στις ορθογωνικές διατομές: μ c M c e c ρ c e c c ρ μ c μ s (1 ) e s1 c ρ 1 μ c ζ μ c μ s (1 ) e s c A s ρ e c σ s μ c μ s (1 ) e c μ s μ c σ s (1 ) e c σ s A s1 ρ 1 e c σ s 1 [ μ c ζ μ c μ s (1 ) ] e c σ s 1 [ μ c ζ μ s μ c (1 ) ] e c σ s 1 104

112 5.5 Προσδιορισμός του οικονομικού οπλισμού Από τη διερεύνηση που έγινε στο κεφάλαιο των ορθογωνικών δοκών, η παραμόρφωση για το όριο του οικονομικού οπλισμού αναμένεται στην περιοχή 3. Για τον προσδιορισμό του μπορεί να ακολουθηθεί αριθμητική διαδικασία παρόμοια με αυτή που προτείνεται για τον υπολογισμό της παραμόρφωσης που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Η ζητούμενη αυτή παραμόρφωση ανήκει στην περιοχή 3 στο εύρος (x 0, x 1 ) όπου: ε su α) Το διάστημα αυτό διαιρείται σε n τμήματα πλάτους s: s 1 0 n β) Γίνεται επαναληπτική διαδικασία n+1 φορές (0...n) όπου υπολογίζεται κάθε φορά η τιμή της παράστασης για τιμή της ζητούμενης παραμόρφωσης [ M c M M c ( ) ] 1 M M c σ s 1 ( ) 1 σ s ε s1 0 n s δ) Έστω ε min η παραμόρφωση για την ελάχιστη τιμή K min της παράστασης. Το εύρος που θα αναζητηθεί η λύση περιορίζεται σε [ 0 1] όπου: 0 ε in s 1 ε in s ε) Επαναλαμβάνονται τα βήματα β, γ & δ έως ότου επιτευχθεί η ζητούμενη ακρίβεια. Η παραπάνω διαδικασία φαίνεται σχηματικά στο παρακάτω διάγραμμα (Διάγραμμα. 5.8) και μπορεί να εφαρμοστεί και σε ορθογωνικές διατομές. 105

113 A s,tot (cm ) ε s1 =0 ε c =- μ c = εs1=0 εc=-3.5 μc= ε s =15 ε s =10 ε s =5 ε s1 =.174 ε c =-3.5 μ c = εs1=0 εc=-3.5 μc= ε s1 ( ) ε s =3.75 εs=.5 εs= As,tot εs1 εy μ c 0 Διαγρ. 5.8: Απεικόνιση επαναληπτικής διαδικασίας για τον υπολογισμό του μ lim σε ορθογωνική διατομή κατά ΕΚΟΣ 106

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Παρουσίαση του λογισμικού RC-Beam 6.1 Σκοπός, παραδοχές και περιορισμοί του προγράμματος Το πρόγραμμα RC-Beam είναι ένα πρόγραμμα διαστασιολόγησης δοκών οπλισμένου σκυροδέματος υπό μονοαξονική κάμψη, το οποίο αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Έχει εκπαιδευτικό χαρακτήρα και απευθύνεται σε σπουδαστές. Η υλοποίησή προγράμματος του έγινε με τη γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic.NET 010 στο περιβάλλον εργασίας του Microsoft Visual Studio. Για τις υπορουτίνες του προγράμματος χρησιμοποιήθηκαν οι εξισώσεις που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια ενώ η επιβεβαίωση της ορθότητας των αποτελεσμάτων έγινε με χρήση υπολογιστικών φύλλων excel και συγκρίσεις με πίνακες και διαγράμματα αναγνωρισμένων συγγραμμάτων (Ζαράρης, Nara anan) καθώς και του εμπορικού προγράμματος pi-design της εταιρίας π-systems. Αν και θα ήταν αρκετά απλούστερο να χρησιμοποιηθούν αριθμητικές μέθοδοι κατά τις οποίες η ολοκλήρωση των τάσεων γίνεται χωρίζοντας τη διατομή σε ίνες απειροστού πάχους, ενώ η λύση βρίσκεται με επαναληπτική διαδικασία που συγκλίνει στην παραμόρφωση για την οποία επέρχεται ισορροπία, κρίθηκε σκόπιμο να ακολουθηθεί η αναλυτική διαδικασία όπου αυτό είναι δυνατό καθώς είναι ταχύτερη. Έτσι, ο υπολογισμός της δύναμης σκυροδέματος και της θέσης αυτής γίνεται παντού αναλυτικά, η επίλυση της εξίσωσης για τον υπολογισμό της παραμόρφωσης γίνεται για τις μεν ορθογωνικές δοκούς αναλυτικά (με εξαίρεση την περιοχή α όπου για την 4βάθμια εξίσωση χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος New on- Rap son), ενώ για τις πλακοδοκούς αριθμητικά. Ο υπολογισμός του μ lim γίνεται παντού αριθμητικά και στην περίπτωση των ορθογωνικών δοκών συγκρίνεται με τον αναλυτικό τύπο όπου αν προκύψει διαφορά, χρησιμοποιείται η αριθμητικά προσδιορισμένη τιμή. Στον πίνακα 7.1 φαίνονται συνοπτικά τα σημεία στα οποία γίνονται αναλυτικοί ή αριθμητικοί υπολογισμοί και επιλύσεις. 107

115 Πίνακας 6.1 : Αριθμητικοί και αναλυτικοί υπολογισμοί του προγράμματος Διατομή Ορθογωνική Διατομή Πλακοδοκός Περιοχή α β 3 α β 3 δύναμη σκυροδέματος Αναλυτικά Αναλυτικά παραμόρφωση Αριθμητικά Αναλυτικά Αριθμητικά μ lim Αριθμητικά & Αναλυτικά Αριθμητικά Οι παραδοχές που έγιναν κατά την ανάπτυξη των εξισώσεων υιοθετούνται και στο πρόγραμμα. Συγκεκριμένα, μπορούν να διαστασιολογηθούν ορθογωνικές διατομές ή πλακοδοκοί με απλό οπλισμό, διπλό οπλισμό ή με την οικονομικότερη λύση και καλύπτονται σκυροδέματα ποιότητας έως και C50 καθώς στα σκυροδέματα μεγαλύτερης αντοχής ο πρώτος κλάδος του νόμου σ-ε είναι καμπύλη γ βαθμού, ενώ ο χάλυβας των οπλισμών μπορεί να έχει κράτυνση ή όχι και οι τιμές των παραμέτρων είναι οι προτεινόμενες από τον εκάστοτε κανονισμό, με δυνατότητα τροποποίησης τους. Οι διατάξεις των κανονισμών περί γεωμετρικών απαιτήσεων, ελαχίστων και μέγιστων διαστάσεων διατομής και ποσοτήτων οπλισμού δεν λαμβάνονται υπ όψιν από το πρόγραμμα και οι οπλισμοί που υπολογίζονται πρέπει να συγκρίνονται με τα όρια που θέτουν οι κανονισμοί. 6. Λειτουργίες του λογισμικού Το RC-Beam υπολογίζει τον απαιτούμενο οπλισμό για δεδομένες ποιότητες υλικών, διατομή και καταπόνηση αλλά δίνεται και τη δυνατότητα παραγωγής πινάκωνβοηθημάτων διαστασιολόγησης Διαστασιολόγηση Η λειτουργία της διαστασιολόγησης ενεργοποιείται επιλέγοντας «design reinforcement» από το μενού της καρτέλας «design-tools» (Εικόνα 6.1). 108

116 Εικόνα 6.1: Ενεργοποίηση λειτουργίας διαστασιολόγησης Στο παράθυρο που ανοίγει στο πεδίο «Διατομή» επιλέγεται ο τύπος της διατομής «Ορθογωνική» ή «Πλακοδοκός» και εμφανίζεται η αντίστοιχη εικόνα δεξιά, για την επεξήγηση των συμβόλων (Εικόνες 6. & 6.3). Εικόνα 6.: Ορθογωνική δοκός Εικόνα 6.3: Πλακοδοκός 109

117 Η εισαγωγή των διαστάσεων b, h, d 1, d γίνεται πληκτρολογώντας την τιμή τους σε m στα πλαίσια κειμένου κάτω από την επιλογή της διατομής. Όταν είναι επιλεγμένη η πλακοδοκός εμφανίζονται επιπλέον τα h f και b eff. Η ροπή καταπόνησης η οποία πρέπει να έχει θετική τιμή σε knm εισάγεται στο πλαίσιο M d. Από αυτά τα δεδομένα υπολογίζονται αυτόματα η ανηγμένη ροπή μ sd, το στατικό ύψος d (σε m), ο λόγος d /d και στην περίπτωση της πλακοδοκού οι λόγοι h f /d και b eff /d. Η διαστασιολόγηση μπορεί να γίνει κατά ΕΚΟΣ 000, Ευρωκώδικα είτε για γενική περίπτωση με όλες τις διαθέσιμες παραμέτρους. Η επιλογή γίνεται στο πεδίο «Κανονισμός» (Εικόνα 6.4) Εικόνα 6.4: ΕΚΟΣ 000 Η επιλογή του ΕΚΟΣ εμφανίζει στο πεδίο «σκυρόδεμα» το πλαίσιο του συντελεστή α gr με προεπιλεγμένη τιμή 0.85 σύμφωνα με τον κανονισμό, ενώ η επιλογή του Ευρωκώδικα εμφανίζει το πλαίσιο α cc με προεπιλεγμένη τιμή 1 όπως συνιστάται. (Εικόνες 6.4 & 6.5) 110

118 Εικόνα 6.5: Ευρωκώδικας Η επιλογή της γενικής περίπτωσης εμφανίζει και τους δυο συντελεστές α gr και α cc με προεπιλεγμένη τιμή 1. Οι τιμές των α gr και α cc στις περιπτώσεις όπου εμφανίζονται μπορούν να τροποποιηθούν (Εικόνα 6.6). Εικόνα 6.6: Γενική περίπτωση Η τιμή της μέγιστης θλιπτικής παραμόρφωσης του σκυροδέματος σε κάμψη εισάγεται στο πλαίσιο ε cu και ως προεπιλογή είναι 3.5 όπως προβλέπεται και στους δυο 111

119 κανονισμούς. Η χαρακτηριστική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος (σε MPa) και ο συντελεστή ασφαλείας του εισάγονται στα πλαίσια f ck και γ c αντίστοιχα. Η θλιπτική αντοχή σχεδιασμού εμφανίζεται στο πλαίσιο f cd και επαναϋπολογίζεται αυτόματα σε κάθε μεταβολή των f cd, γ c, α cc (Εικόνα 6.7) Εικόνα 6.7: Σκυρόδεμα Εικόνα 6.8: Χάλυβας Η χαρακτηριστική αντοχή διαρροής του χάλυβα (σε MPa), η οποία θεωρείται ίση σε θλίψη και εφελκυσμό και στους δυο κανονισμούς και ο συντελεστής ασφαλείας του εισάγονται στα πλαίσια f yk και γ s αντίστοιχα. Το μέτρο ελαστικότητας Ε s λαμβάνεται ίσο με 00 GPa και στους δυο κανονισμούς, ωστόσο μπορεί να τροποποιηθεί. Η αντοχή διαρροής σχεδιασμού καθώς και η αντίστοιχη παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού εμφανίζονται στα πλαίσια f yd και ε yd και επαναϋπολογίζονται αυτόματα σε κάθε μεταβολή των f yk, γ s και Ε s (Εικόνα 6.8) 11

120 Εικόνα 6.9: Χάλυβας στον ΕΚΟΣ 000 Ο χάλυβας κατά τον ελληνικό κανονισμό έχει μέγιστη παραμόρφωση σχεδιασμού 0 και οριζόντιο β κλάδο στο διάγραμμα σ-ε (Εικόνα 6.9). Ο Ευρωκώδικας δίνει την επιλογή για οριζόντιο ή κεκλιμένο β κλάδο, δηλαδή μπορεί να ληφθεί υπ όψιν η κράτυνση του χάλυβα. Για να ληφθεί υπ όψιν η κράτυνση πρέπει να επιλεχθεί ο κεκλιμένος β κλάδος (Εικόνα 6.10). Σε αυτήν την περίπτωση επιλέγεται κατηγορία ολκιμότητας (A,B,C) από το αναδυόμενο μενού (Εικόνα 6.11). Για κάθε επιλογή ολκιμότητας τροποποιούνται η προεπιλεγμένη τιμή του λόγου κράτυνσης k και της χαρακτηριστικής μέγιστης παραμόρφωσης ε uk, σύμφωνα τιμές του πίνακα C.1 του παραρτήματος C του Ευρωκώδικα. Η μέγιστη παραμόρφωση σχεδιασμού ε ud υπολογίζεται έμμεσα ως ποσοστό της μέγιστης χαρακτηριστικής παραμόρφωσης ε uk. Η συνιστώμενη τιμή αυτού του ποσοστού στον κανονισμό είναι 0. και μπορεί να τροποποιηθεί στο πλαίσιο ε ud /ε uk. 113

121 Εικόνα 6.10: Ευρωκώδικας Χάλυβας με κεκλιμένο β κλάδο Εικόνα 6.11: Επιλογή ολκιμότητας χάλυβα Στην περίπτωση οριζόντιου β κλάδου η τιμή της μέγιστης παραμόρφωσης εισάγεται κατευθείαν στο πλαίσιο ε ud και ο κεκλιμένος β κλάδος είναι από-επιλεγμένος. Η προεπιλεγμένη τιμή είναι 67.5 και είναι ίση με 0. ε uk όπου το ε uk λαμβάνεται 75 για κατηγορία ολκιμότητας C (Εικόνα 6.1). 114

122 Εικόνα 6.1: Ευρωκώδικας Χάλυβας με οριζόντιο β κλάδο Στη Γενική περίπτωση διαστασιολόγησης, για το χάλυβα τα δεδομένα δίνονται όπως και στον Ευρωκώδικα. Το πεδίο «Τρόπος επίλυσης» έχει τρεις επιλογές απλός, οικονομικός και διπλός οπλισμός. Επιλέγοντας απλό οπλισμό, η διατομή θα διαστασιολογηθεί μόνο με εφελκυόμενο οπλισμό. Εικόνα 6.13: Επίλυση για απλό οπλισμό 115

123 Αν επιλεχθεί διπλός οπλισμός, όπως φάνηκε και στο κεφάλαιο της διαστασιολόγησης, πρέπει να επιλεχθεί μια παραμόρφωση, διαφορετικά οι αποδεκτές λύσεις είναι άπειρες. Σε αυτήν την περίπτωση η επιλογή της παραμόρφωσης της διατομής γίνεται μέσω της ανηγμένης ροπής σκυροδέματος μ c καθώς συνδέονται μεταξύ τους με αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία. Εικόνα 6.14: Επίλυση για διπλό οπλισμό Η επιλογή του οικονομικού οπλισμού, θα αναζητήσει την οικονομικότερη λύση. Υπολογίζεται από το πρόγραμμα η οριακή τιμή της παραμόρφωσης μ lim η οποία χωρίζει τα προβλήματα σε αυτά που επιλύνονται οικονομικότερα με απλό οπλισμό και σε αυτά που επιλύονται οικονομικότερα με διπλό οπλισμό. Αν η ανηγμένη ροπή καταπόνησης μ sd προκύψει μικρότερη από την τιμή μ lim, τότε η διαστασιολόγηση γίνεται για απλό οπλισμό. Διαφορετικά η διαστασιολόγηση γίνεται για διπλό οπλισμό και για την παραμόρφωσης που αντιστοιχεί σε ανηγμένη ροπή σκυροδέματος μ c ίση με μ lim. 116

124 Εικόνα 6.15: Επίλυση για οικονομικό οπλισμό Με επιλεγμένη τη διατομή και την καταπόνηση, τον κανονισμό, τα υλικά και τον τρόπο επίλυσης, η επίλυση γίνεται με απλό κλικ το κουμπί «Run». Αν δεν έχει γίνει κάποια λάθος επιλογή, εμφανίζεται το μ lim στο πεδίο της διατομής (Εικόνα 6.16), το πεδίο των αποτελεσμάτων (Εικόνες 6.17 & 6.18), το πλαίσιο εμπλουτισμένου κειμένου (Εικόνα 6.19) και το σκαρίφημα της διατομής που δίνει την έκταση της θλιβόμενης ζώνης και την κατανομή των παραμορφώσεων στη διατομή (Εικόνα 6.0). Εικόνα 6.16: Όριο οικονομικότητας απλού-διπλού οπλισμού μ lim 117

125 Εικόνα 6.17: Πεδίο αποτελεσμάτων χωρίς άνω οπλισμό Στο πεδίο των αποτελεσμάτων εμφανίζονται οι παραμορφώσεις των οπλισμών και του σκυροδέματος καθώς και οι αντίστοιχες τάσεις με το πραγματικό τους πρόσημο. Ακολουθούν τα μεγέθη (ανηγμένα και φυσικά) που συνδέονται με την παραμόρφωση της διατομής και στο τέλος είναι οι οπλισμοί. Αναλυτικά: ε s1 παραμόρφωση εφελκυόμενου οπλισμού ( ) ε s παραμόρφωση θλιβόμενου οπλισμού ( ) ε c παραμόρφωση σκυροδέματος στη θλιβόμενη (άνω) παρειά ( ) σ sd1 σ sd σ cd x ξ z τάση εφελκυόμενου οπλισμού (MPa) τάση θλιβόμενου οπλισμού (MPa) τάση σκυροδέματος στη θλιβόμενη (άνω) παρειά (MPa) ύψος θλιβόμενης ζώνης μετρούμενο κάθετα στον ουδέτερο άξονα της διατομής (m) ύψος θλιβόμενης ζώνης ανηγμένο στο στατικό ύψος d 1 (αδιάστατο) απόσταση της δύναμης σκυροδέματος από τον εφελκυόμενο οπλισμό (m) 118

126 ζ a απόσταση της δύναμης σκυροδέματος από τον εφελκυόμενο οπλισμό ανηγμένη στο στατικό ύψος d 1 (αδιάστατο) απόσταση της δύναμης σκυροδέματος από την άνω παρειά (m) α, k a συντελεστές που έχουν να κάνουν με την έκφραση της δύναμης σκυροδέματος και τη θέση αυτής (βλ. κεφάλαιο 3) ρ c F c μ c M c ανηγμένη δύναμη σκυροδέματος (αδιάστατο) δύναμη σκυροδέματος (kn) ανηγμένη ροπή σκυροδέματος (αδιάστατο) ροπή σκυροδέματος (knm) ρ 1 ανηγμένη δύναμη εφελκυόμενου οπλισμού μηχανικό ποσοστό εφελκυόμενου οπλισμού (αδιάστατο) ρ ανηγμένη δύναμη θλιβόμενου οπλισμού μηχανικό ποσοστό θλιβόμενου οπλισμού (αδιάστατο) A s1 εμβαδόν εφελκυόμενου οπλισμού (cm ) A s εμβαδόν θλιβόμενου οπλισμού (cm ) Εικόνα 6.18: Πεδίο αποτελεσμάτων με άνω οπλισμό 119

127 Στο πλαίσιο εμπλουτισμένου κειμένου είναι συγκεντρωμένα τα δεδομένα και τα αποτελέσματα της επίλυσης και μπορούν να επιλεχθούν και να αντιγραφούν όλα μαζί για να μεταφερθούν σε πρόγραμμα κειμενογράφου. Εικόνα 6.19: Πλαίσιο εμπλουτισμένου κειμένου Τέλος το σκαρίφημα της διατομής με τη θλιβόμενης ζώνη δίνει μια πιο παραστατική εικόνα της παραμόρφωσης. Εικόνα 6.0: Σκαρίφημα διατομής και κατανομή των παραμορφώσεων 10

128 Ωστόσο υπάρχει πιθανότητα να μην εμφανιστούν τα αποτελέσματα αλλά κάποιο προειδοποιητικό μήνυμα. Στην περίπτωση του απλού οπλισμού αν η ροπή καταπόνησης ξεπερνάει τη ροπή που μπορεί να παραλάβει η διατομή (στο τέλος της περιοχής 3) τότε η επίλυση δεν μπορεί να γίνει και εμφανίζεται το αντίστοιχο μήνυμα (Εικόνα 6.1). Για να μπορέσει να γίνει η διαστασιολόγηση πρέπει υπάρχουν οι εξής επιλογές: α) Αύξηση μεγέθους της διατομής ή/και της ποιότητας του σκυροδέματος β) Επίλυση για διπλό οπλισμό (η επιλογή «οικονομικός οπλισμός οδηγεί σε λύση διπλού οπλισμού) Εικόνα 6.1: Η επίλυση με απλό οπλισμό είναι αδύνατη Στην περίπτωση του διπλού οπλισμού αν η επιλεγμένη ανηγμένη ροπή σκυροδέματος είναι μικρότερη από την ανηγμένη ροπή καταπόνησης ή αν δεν εξασφαλίζει ότι ο άνω οπλισμός θλίβεται τότε εμφανίζεται μήνυμα λάθους και η διαστασιολόγηση δεν γίνεται (Εικόνα 6.). Εικόνα 6.: Άστοχη επιλογή ανηγμένης ροπής σκυροδέματος 11

129 6.. Παραγωγή πινάκων Η λειτουργία της παραγωγής πινάκων ενεργοποιείται επιλέγοντας «Rectangular Beam» ή «T-section Beam» για ορθογωνική διατομή ή πλακοδοκό αντίστοιχα reinforcement» από το μενού της καρτέλας «Tables» (Εικόνα 6.3). Εικόνα 6.3: Ενεργοποίηση λειτουργίας παραγωγής πινάκων Στο παράθυρο που ανοίγει το πεδίο διατομή έχει μόνο το λόγο d /d και εδώ διαφαίνεται η χρησιμότητα των ανηγμένων μεγεθών, καθώς απαλλάσσουν το πρόβλημα από τις φυσικές διαστάσεις και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για σύνταξη βοηθημάτων γενικής εφαρμογής. Στην περίπτωση πλακοδοκού προστίθενται και τα πλαίσια των λόγων h f /d και b eff /b (Εικόνες 6.4 & 6.5) Όσον αφορά στα υλικά και τους κανονισμούς ισχύει η ίδια περιγραφή που έγινε και για τη λειτουργία της διαστασιολόγησης. Η μόνο διαφορά είναι πως δεν δίνεται η επιλογή της «Γενικής περίπτωσης» και της επίλυσης για διπλό οπλισμό. Η επίλυση γίνεται με απλό κλικ το κουμπί «Generate Table». 1

130 Εικόνα 6.4: Ορθογωνική διατομή Εικόνα 6.5: Πλακοδοκός 13

131 Στην περίπτωση του απλού οπλισμού γίνονται διαδοχικές επιλύσεις για ανηγμένες ροπές καταπόνησης μ sd από 0.01 μέχρι την οριακή ικανότητα της διατομής σε κάμψη, ήτοι στο τέλος της περιοχής 3β, με βήμα Οι επιλύσεις για τιμές στα όρια των περιοχών α-β, β-3α, 3α-3β καθώς η επίλυση για τιμή καταπόνησης ίση με μ lim βρίσκονται συγκεντρωμένες στο τέλος του πίνακα είναι ώστε να διακρίνονται ευκολότερα (Εικόνα 6.6). Ωστόσο τα αποτελέσματα μπορούν να ταξινομηθούν κάνοντας κλικ πάνω στον τίτλο της στήλης μ sd (Εικόνα 6.7). Σε αρκετές περιπτώσεις το όριο της περιοχής 3α-3β συμπίπτει με το μ lim (Εικόνα 6.7). Όταν επιλέγεται οικονομικός οπλισμός οι διαδοχικές οι λύσεις, αν και θα μπορούσαν να συνεχίζουν, σταματούν στο ίδιο σημείο που τελειώνουν και οι λύσεις του απλού οπλισμού, διότι γενικά αποφεύγονται στην πράξη τόσο μεγάλες τιμές ανηγμένης ροπής λόγω οικονομίας και στα δυο υλικά. Για τιμές μικρότερες του μ lim οι λύσεις είναι με απλό οπλισμό ενώ στην αντίθετη περίπτωση είναι με διπλό και για μ c =μ lim (Εικόνα 6.8). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν έχουν αρκετά δεκαδικά ψηφία, μπορούν όμως να μεταφερθούν με αντιγραφή και επικόλληση σε υπολογιστικά φύλλα (excel) για περεταίρω επεξεργασία και μορφοποίηση. 14

132 Εικόνα 6.6 Αποτελέσματα για απλό οπλισμό 15

133 Εικόνα 6.7: Ταξινόμηση των αποτελεσμάτων 16

134 Εικόνα 6.8 Αποτελέσματα για οικονομικό οπλισμό 17

135 6.3 Επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων του RC-Beam Η επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων του RC-Beam έγινε συγκρίνοντάς τα με διαγράμματα ή/και πίνακες διαστασιολόγησης αναγνωρισμένων συγγραμμάτων καθώς με το λογισμικό pi-design της π-systems. Για τις συγκρίσεις χρησιμοποιήθηκαν τα εξής συγγράμματα: Εφαρμογές Οπλισμένου Σκυροδέματος σύμφωνα με τον νέο κανονισμό σκυροδέματος Πίνακες, Απόστολος Κωνσταντινίδης (1994) Μέθοδοι Υπολογισμού Σιδηροπαγούς Σκυροδέματος, Πρόδρομος Ζαράρης (00). Desi ners Gui e o EN and EN Eurocode : Design of Concrete Structures. General rules and rules for buildings and structural fire design, R.S. Narayanan & A.Beeby (005) Ακολουθούν δυο ενδεικτικά παραδείγματα σύγκρισης αποτελεσμάτων με το pidesign. 18

136 6.3.1 Παράδειγμα για ΕΚΟΣ 000 Δίνεται δοκός διαστάσεων b=0.5m, h=0.55m με επικάλυψη d 1 =d =0.05m. Να υπολογιστεί ο οικονομικότερος απαιτούμενος οπλισμός κατά ΕΚΟΣ για την παραλαβή ροπής Μ=300 knm με υλικά C0 και S500. Τα αποτελέσματα της επίλυσης παρουσιάζονται στον πίνακα 6.. Πίνακας 6. : Αποτελέσματα RC-Beam & pi-design Αποτελέσματα RC-Beam pi-design Α s1 (cm ) Α s (cm ) Α stot (cm ) ε s1 ( ) ε s ( ) ε c ( ) x (m) σ sd1 (MPa) σ sd (MPa) σ cd (MPa) F c (kn) z (m) M c (knm) M rd (knm) Εικόνα 6.9 Γράφημα κατανομής τάσεων και παραμορφώσεων από το pi-design 19

137 6.3. Παράδειγμα για Ευρωκώδικα Δίνεται δοκός διαστάσεων b=0.m h=0.5m με επικάλυψη d 1 =d =0.05m. Να υπολογιστεί ο οικονομικότερος απαιτούμενος οπλισμός κατά Ευρωκώδικα για την παραλαβή ροπής Μ=300 knm με υλικά C0 (α cc =1.0) και Β500C λαμβάνοντας υπ όψιν η κράτυνση του χάλυβα (ε uk =75, ε ud =0.9ε uk, k=1.15). Στο άνω τμήμα της δοκού υπάρχει πλάκα πάχους h f =0.10 m με συνεργαζόμενο πλάτος b eff =0.8m Τα αποτελέσματα της επίλυσης παρουσιάζονται στον πίνακα 6.. Πίνακας 6. : Αποτελέσματα RC-Beam & pi-design Αποτελέσματα RC-Beam pi-design Α s1 (cm ) Α s (cm ) 0 0 Α stot (cm ) ε s1 ( ) ε c ( ) x (m) σ sd1 (MPa) σ cd (MPa) F c (kn) z (m) M c (knm) M rd (knm) Εικόνα 6.30 Γράφημα κατανομής τάσεων και παραμορφώσεων από το pi-design 130

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Παραμετρικές επιλύσεις 7.1 Σκοπός των παραμετρικών επιλύσεων Στα προβλήματα διαστασιολόγησης συνήθως βασική επιδίωξη είναι η οικονομικότερη λύση για την οποία εξασφαλίζεται η απαιτούμενη αντοχή. Λόγω όμως της πληθώρας των παραμέτρων όσων αφορά στα υλικά, σε ορισμένες περιπτώσεις δεν είναι προφανές το πώς ή σε τί βαθμό επηρεάζει μια παράμετρος την οικονομικότητα της λύσης. Ωστόσο, ακόμη και όταν βρεθεί η «χρυσή τομή» για τη μέγιστη οικονομικότητα, δεν είναι βέβαιο ότι θα μπορεί να εφαρμοστεί η λύση, καθώς οι κανονισμοί θέτουν περιορισμούς προβλέποντας ελάχιστα και μέγιστα όρια για τις διαστάσεις της διατομής και την ποσότητα των οπλισμών. Παρά ταύτα, σε αυτό το κεφάλαιο θα επιχειρηθεί μια σειρά από παραμετρικές επιλύσεις, άλλοτε για τον έναν κανονισμό, άλλοτε και για τους δυο. Προτιμήθηκε να εξεταστούν διατομές με τις συνήθεις διαστάσεις που χρησιμοποιούνται στην πράξη, ενώ οι επιλύσεις έγιναν για τον οικονομικότερο οπλισμό (εκτός αν ορίζεται διαφορετικά σε κάποιο σημείο) με σκοπό να εξεταστεί η επιρροή των διαφόρων παραμέτρων στην ποσότητα του οπλισμού όπως αυτός προκύπτει από τους υπολογισμούς, χωρίς να. λαμβάνονται υπ όψιν οι περιορισμοί των κανονισμών. Ο μειωτικός συντελεστής α cc στον Ευρωκώδικα έχει συνιστώμενη τιμή ίση με τη μονάδα, ενώ ο αντίστοιχος συντελεστής στον ΕΚΟΣ λαμβάνεται Σε ορισμένες περιπτώσεις θα δίνονται δυο διαγράμματα για κάθε κανονισμό, με ή χωρίς μειωτικό συντελεστή. Αυτό γίνεται στην προσπάθεια να εστιαστεί η σύγκριση των δυο κανονισμών στη μεταβολή εξεταζόμενης κάθε φορά παραμέτρου απαλλαγμένη από τη διαφορά της τιμής του συντελεστή μεταξύ των κανονισμών. 7. Σύγκριση μηχανικού ποσοστού οπλισμού ΕΚΩΣ & EC Στα παρακάτω διαγράμματα, τα οποία στη βιβλιογραφία αναφέρονται ως διαγράμματα διαστασιολόγησης σε κάμψη, αναπαριστάται για τον κάθε κανονισμό η μεταβολή των ανηγμένων μεγεθών α, k a, ρ c, ξ, ζ, ε s1, ε c, ε s της παραμόρφωσης 131

139 συναρτήσει της ανηγμένης ροπής σκυροδέματος μ c. Στην περίπτωση απλού οπλισμού η ανηγμένη ροπή καταπόνησης μ sd ισούται με αυτήν του σκυροδέματος και το μηχανικό ποσοστό οπλισμού ισούται με την ανηγμένη δύναμη σκυροδέματος ρ c. Με γνωστό το τυπολόγιο μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί ο απαιτούμενος οπλισμός. Τα ίδια διαγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για διπλό οπλισμό με το ανάλογο τυπολόγιο. Σημειώνεται πως τα διαγράμματα έχουν σχεδιαστεί για οπλισμό με χαρακτηριστική αντοχή διαρροής f yk =500 MPa και παραμόρφωση διαρροής σχεδιασμού ε yd =.174. Τα δυο πρώτα διαγράμματα είναι για τον ΕΚΟΣ, το πρώτο με την κανονική τιμή του συντελεστή α gr (Διαγρ. 7.1 & 7.). Το τρίτο διάγραμμα είναι για τον Ευρωκώδικα με την προτεινόμενη τιμή του αντίστοιχου συντελεστή α cc =1 (Διαγρ. 7.3). Στο τέταρτο διάγραμμα γίνεται σύγκριση των μηχανικών ποσοστών οπλισμού ως προς την ανηγμένη ροπή σκυροδέματος μεταξύ των δυο κανονισμών, για τις τιμές συντελεστή α cc που προβλέπονται (Διαγρ. 7.4). Γίνεται φανερό πως η διαφορά του μηχανικού ποσοστού οπλισμού μεταξύ των κανονισμών για τις συνήθεις τιμές ανηγμένης ροπής είναι αμελητέα. Από μόνο τους όμως αυτό το συγκριτικό διάγραμμα δεν μπορεί να παρέχει πλήρη εικόνα καθώς στον υπολογισμό του οπλισμού υπεισέρχεται και η τάση. 13

140 α, k a, ρ c, ξ, ζ ε s1 =0 ε c =- μ c = ε s1 =0 ε c =-3.5 μ c = ε s1 =.174 ε c =-3.5 μ c = ε s1 =0 ε c =-3.5 μ c = ε s1 ε c ( ) μ c α ka ζ ξ ρc εs1 εc εs d/d=0.1 Διαγρ. 7.1: Διάγραμμα ανηγμένων μεγεθών για ΕΚΟΣ (αgr=0.85) 133

141 α, k a, ρ c, ξ, ζ 1.1 ε s1 =0 ε c =- μ c = ε s1 =0 ε c =-3.5 μ c = ε s1 =.174 ε c =-3.5 μ c =0.371 ε s1 =0 ε c =-3.5 μ c =0.478 ε s1 ε c ( ) μ c α ka ζ ξ ρc εs1 εc εs d/d=0.1 Διαγρ. 7.: Διάγραμμα ανηγμένων μεγεθών για ΕΚΟΣ (αgr=1.00) 134

142 α, k a, ρ c ξ, ζ ε s1 =67.5 ε c =- μ c = ε s1 =67.5 ε c =-3.5 μ c = ε s1 =.174 ε c =-3.5 μ c =0.371 ε s1 =0 ε c =-3.5 μ c =0.478 ε s1 ε c ( ) μ c α ka ζ ξ ρc εs1 εc εs d/d=0.1 Διαγρ. 7.3: Διάγραμμα ανηγμένων μεγεθών για EC (α cc =1.00) 135

143 ρ c εs1=67.5 εs1=0 εc=- εc=- μc= μc= εs1=0 εc=-3.5 μc= εs1=.174 εc=-3.5 μc= εs1=.174 εs1=0 εc=-3.5 εc=-3.5 μc=0.371 μc= εs1=0 εc=-3.5 μc= εs1= εc=-3.5 ΕΚΟΣ 000 Eurocode μc= Διαγρ. 7.4: Συγκριτικό διάγραμμα μ c -ρ c για EC (α cc =1.00) & ΕΚΩΣ (α gr =0.85) 136 μ c

144 7.3 Επιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος Σε αυτήν την ανάλυση εξετάζεται επιρροή της ποιότητας σκυροδέματος στην ποσότητα του οπλισμού. Θεωρήθηκε μια τυπική ορθογωνική διατομή διαστάσεων b=0.5m, h=0.55m επικάλυψης d 1 =d =0.05m για τρεις τιμές ροπής καταπόνησης Μ d. Οι επιλύσεις έγιναν για οικονομικό οπλισμό με χάλυβα χαρακτηριστικής αντοχής διαρροής f yk =500MPa (για τον ΕC δεν λήφθηκε υπ όψιν η κράτυνση του χάλυβα). Στο πρώτο διάγραμμα παρουσιάζεται ο συνολικός οπλισμός, για τιμή ροπής Μ d =350KNm, ενώ στο δεύτερο και τρίτο διάγραμμα για Μ d =00 N και Μ d =100kNm αντίστοιχα. Παρατηρείται πως στη μεγαλύτερη ροπή, η μεταβολή του σκυροδέματος προκαλεί σημαντικότερη μείωση του απαιτούμενου οπλισμού, απ ό,τι στις μικρότερες. Ακόμη, για σταθερή ροπή, η αύξηση της ποιότητας του σκυροδέματος μετά από ένα σημείο κι έπειτα δεν έχει σημαντική διαφορά στον οπλισμό. 137

145 M d =350 KNm A s,tot (cm ) C1 C16 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 ΕΚΟΣ αgr=0.85 EC αcc=0.85 ΕΚΟΣ αgr=1 EC αcc=1 f ck (MPa) Διαγρ. 7.5: Επιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος στην ποσότητα του οπλισμού για ροπή Μ d =350kNm 138

146 M d =00 KNm A s,tot (cm ) C1 C16 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 ΕΚΟΣ αgr=0.85 EC αcc=0.85 ΕΚΟΣ αgr=1 EC αcc=1 f ck (MPa) Διαγρ. 7.6: Επιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος στην ποσότητα του οπλισμού για ροπή Μ d = Μ d =00kNm 139

147 M d =100 KNm A s,tot (cm ) C1 C16 C0 C5 C30 C35 C40 C45 C50 ΕΚΟΣ αgr=0.85 EC αcc=0.85 ΕΚΟΣ αgr=1 EC αcc=1 f ck (MPa) Διαγρ. 7.7: Επιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος στην ποσότητα του οπλισμού για ροπή Μ d =100kNm 140

148 7.4 Επιρροή της ποιότητας του χάλυβα Ο χάλυβας στους δυο κανονισμούς έχει σημαντική διαφορά στη μέγιστη παραμόρφωση σχεδιασμού. Για τον ΕΚΟΣ είναι 0 ενώ για τον Ευρωκώδικα η τιμή που λαμβάνεται είναι συνήθως =67.5. Επιπλέον στον Ευρωκώδικα δίνεται η δυνατότητα να ληφθεί υπ όψιν η κράτυνση του χάλυβα (συντελεστής k). Η ίδια διατομή (b=0.5m, h=0.55m, d 1 =d =0.05m) από σκυρόδεμα C0 επιλύεται με οικονομικό οπλισμό για ροπές 350kNm, 00kNm & 100kNm για διάφορες ποιότητες χάλυβα με ή χωρίς κράτυνση. Το πρώτο διάγραμμα είναι για ροπή 350kNm, το δεύτερο για 00 N για 100kNm. και το τρίτο Παρατηρείται πως η αύξηση της αντοχής του χάλυβα προκαλεί σημαντική μείωση του απαιτούμενου οπλισμού, ειδικά στη μεγάλη ροπή. Ωστόσο η κράτυνση δεν προκαλεί καθόλου μείωση των οπλισμών στη μεγάλη ροπή, ενώ μια μικρή διαφορά υπάρχει στην μικρότερη ροπή. Αυτό ερμηνεύεται εύκολα από το ότι όταν η καταπόνηση βρίσκεται αρκετά κοντά στην αρχή της περιοχής 3α, η παραμόρφωση του χάλυβα έχει μόλις αρχίσει να μειώνεται από τη μέγιστη τιμή της, συνεπώς η τάση του οπλισμού έχει τη μεγαλύτερη δυνατή διαφορά από την τάση διαρροής σχεδιασμού, με την οποία γίνεται ίση όταν η καταπόνηση βρίσκεται προς το τέλος της περιοχής 3α. 141

149 A s,tot (cm ) 30 M d =350 KNm MPa 400MPa k= MPa 500MPa k= MPa 600MPa k=1.15 ΕΚΟΣ αgr=0.85 EC αcc=0.85 ΕΚΟΣ αgr=1 EC αcc=1 f yd (MPa) Διαγρ. 7.8: Επιρροή της ποιότητας του χάλυβα στην ποσότητα του οπλισμού για ροπή Μ d =350kNm 14

150 A s,tot (cm ) M d =00 KNm MPa 400MPa k= MPa 500MPa k= MPa 600MPa k=1.15 ΕΚΟΣ αgr=0.85 EC αcc=0.85 ΕΚΟΣ αgr=1 EC αcc=1 f yd (MPa) Διαγρ. 7.9: Επιρροή της ποιότητας του χάλυβα στην ποσότητα του οπλισμού για ροπή Μ d =00kNm 143

151 A s,tot (cm ) M d =100 KNm MPa 400MPa k= MPa 500MPa k= MPa 600MPa k=1.15 ΕΚΟΣ αgr=0.85 EC αcc=0.85 ΕΚΟΣ αgr=1 EC αcc=1 f yd (MPa) Διαγρ. 7.10: Επιρροή της ποιότητας του χάλυβα στην ποσότητα του οπλισμού για ροπή Μ d =100kNm 144

152 7.5 Επιρροή του συνεργαζόμενου πλάτους των πλακοδοκών Όπως έχει αναφερθεί και στο κεφάλαιο των πλακοδοκών, όταν η δοκός βρίσκεται σε στάθμη όπου υπάρχει πλάκα, οι κανονισμοί δίνουν τη δυνατότητα να ληφθεί υπ όψιν η συμμετοχή της πλάκας στην παραλαβή των θλιπτικών τάσεων της δοκού. Σε αυτήν την ανάλυση εξετάζεται η επιρροή της τιμής του συνεργαζόμενου πλάτους πλάκας δοκού. Θεωρήθηκε μια τυπική ορθογωνική διατομή διαστάσεων b=0.m, h=0.5m επικάλυψης d 1 =d =0.05m με ροπής καταπόνησης Μ d =00kNm. Οι επιλύσεις έγιναν για οικονομικό οπλισμό με χάλυβα χαρακτηριστικής αντοχής διαρροής f yk =500MPa (για τον ΕC δεν λήφθηκε υπ όψιν η κράτυνση του χάλυβα). Παρατηρείται στο διάγραμμα πως η θεώρηση της συνεργασίας πλάκας δοκού προκαλεί μια μικρή μείωση του οπλισμού σε σχέση με την θεώρηση ορθογωνικής διατομής (πρώτη στήλη διαγράμματος) ωστόσο η αύξηση του συνεργαζόμενο πλάτους b eff δεν συνοδεύεται από έντονη μεταβολή του οπλισμού. 145

153 A s,tot (cm ) M d =00 KNm ΕΚΟΣ EC αcc=1 b eff (m) Διαγρ. 7.11: Επιρροή του συνεργαζόμενου πλάτους στην ποσότητα του οπλισμού 146

154 7.6 Διαφορά οικονομικού και απλού οπλισμού κατά ΕΚΟΣ & EC Η οικονομικότητα είναι πολύ σημαντικός παράγοντας, ωστόσο δεν μπορεί να αποτυπωθεί πλήρως στα διαγράμματα των ανηγμένων μεγεθών. Για το σκοπό αυτό θεωρήθηκε μια τυπική ορθογωνική διατομή διαστάσεων b=0.m, h=0.5m επικάλυψης d 1 =d =0.05m από σκυρόδεμα C5 και οπλισμό με χαρακτηριστική αντοχή σχεδιασμού f yk =500MPa. Έγιναν επιλύσεις και με τους δυο κανονισμούς, για απλό και οικονομικό οπλισμό, σε όλο το εύρος καταπόνησης που μπορεί να παραλάβει μια διατομή υπό κάμψη με απλό οπλισμό, ήτοι από την αρχή της περιοχής α μέχρι το τέλος της περιοχής 3β. Στο πρώτο διάγραμμα παρίσταται η ποσότητα του απλού και του οικονομικού οπλισμού συναρτήσει της ροπής καταπόνησης. Στον Ευρωκώδικα η επιρροή της κράτυνσης εκφράζεται με την ποσοστιαία μείωση που προκαλεί στην ποσότητα του οικονομικού οπλισμού, καθώς η διαφορά σε απόλυτα μεγέθη είναι τόσο μικρή, που γραφικά είναι αρκετά δύσκολο να παρασταθεί. Παρατηρείται πως μετά το όριο της οικονομικότητας το οποίο για τη συγκεκριμένη διατομή και ποιότητα χάλυβα συμπίπτει με το τέλος της περιοχής 3α, οι καμπύλες απλού και οικονομικού οπλισμού διαχωρίζονται καθώς η τοποθέτηση και θλιβόμενου οπλισμού είναι πλέον η οικονομικότερη λύση. Στο δεύτερο διάγραμμα παρίστανται η ποσότητα του εφελκυόμενου και θλιβόμενου οπλισμού. Και σε αυτό το σημείο φαίνεται ότι η τοποθέτηση θλιβόμενου οπλισμού ξεκινά στο όριο της οικονομικότητας. 147

155 A s,tot (cm ) α-β Μ d =0 α-β Μ d =5 β-3α Μ d =100 3α-3β Μ d =39 3α-3β Μ d =387 Τέλος 3β Μ d =419 Τέλος 3β Μ d =493 (%) β-3α Μ d =41 As,tot EC As EC As,tot ΕΚΟΣ As ΕΚΟΣ Ποσοστό μείωσης με κράτυνση 0 Μ d (knm) Διαγρ. 7.1: Επιρροή της ροπής στην ποσότητα του οπλισμού 148

156 A s,tot (cm ) α-β Μ d =0 α-β Μ d =5 β-3α Μ d =100 3α-3β Μ d =39 3α-3β Μ d =387 Τέλος 3β Μ d =419 Τέλος 3β Μ d = β-3α Μ d =41 As1 EC As EC As1 ΕΚΟΣ As ΕΚΟΣ M d (knm) Διαγρ. 7.13: Επιρροή της ροπής στην ποσότητα του εφελκυόμενου και θλιβόμενου οπλισμού 149

157 150

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Συμπεράσματα 8.1 Συμπεράσματα από την εκπόνηση της εργασίας Η κατανόηση των μεθόδων και των λειτουργιών που διέπουν τη λύση του προβλήματος της διαστασιολόγησης δοκών οπλισμένου σκυροδέματος σε κάμψη, είναι μια διαδικασία πολύ πιο απαιτητική από την απλή χρήση πινάκων και τυπολογίων από τεχνικά εγχειρίδια για την επίλυση του ίδιου προβλήματος. Σε καμία περίπτωση δεν υπονοείται πως είναι λανθασμένη η δεύτερη προσέγγιση ούτε και γίνεται ο ισχυρισμός πως η πρώτη υπερτερεί της δεύτερης. Αντιθέτως, οι δυο προσεγγίσεις λειτουργούν συμπληρωματικά η μια στην άλλη, καθώς η ολοκληρωμένη γνώση των παραμέτρων του προβλήματος και της λύσης του δίνει άλλη αξία στα προαναφερθέντα βοηθήματα. Ο μελετητής καθίσταται ικανός να αντλήσει όλη την πληροφόρηση που του παρέχουν τα βοηθήματα αυτά, μπορεί να ελίσσεται καλύτερα και να βρίσκει τη βέλτιστη λύση, αφού πλέον γνωρίζει όλες τις επιλογές που έχει και είναι σε θέση να εκτιμήσει τη χρησιμότητα των πινάκων καθώς αντιλαμβάνεται τον υπολογιστικό φόρτο από τον οποίο απαλλάσσεται, ειδικά όταν δεν είναι δυνατή η χρήση Η/Υ. 8. Προτάσεις για συνέχεια Η εργασίας αυτή αποτελεί μια απλή εισαγωγή καθώς είναι το απλούστερη, αλλά σημαντική για την κατανόηση, περίπτωση διαστασιολόγησης σε κάμψη. Ως συνέχειά προτείνονται τα εξής θέματα: Λεπτομερέστερες παραμετρικές αναλύσεις οι οποίες να συγκρίνουν τα αποτελέσματά τους με τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές που επιτρέπουν οι κανονισμοί. Σύγκρισή αποτελεσμάτων με την περίπτωση χρησιμοποίησης ορθογωνικού ή δι-γραμμικού μοντέλου για το σκυρόδεμα. 151

159 Σύγκριση της μεθόδου και τον αποτελεσμάτων των νέων κανονισμών με τη μέθοδο των επιτρεπόμενων τάσεων. Υπολογισμός αντοχής δοκού για συγκεκριμένους οπλισμούς και παραγωγή διαγραμμάτων και παραγωγή διαγραμμάτων ροπής-καμπυλότητας. Επέκτασή της μεθόδου και του τυπολογίου σε διατομές μη-συμμετρικές (π.χ. μονόπλευρη πλακοδοκός), διαξονική κάμψη κτλ. 15

160 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ελληνικός Κανονισμός Οπλισμένου Σκυροδέματος (ΕΚΩΣ 000), ΦΕΚ Β 13 / , Αθήνα Ευρωκώδικας Μέρος 1-1 (ΕΛΟΤ EN 1-1-1:005): Σχεδιασμός κατασκευών από σκυρόδεμα, Μέρος 1-1 Γενικοί κανόνες και κανόνες για κτίρια, ΕΛΟΤ, Αθήνα Ζάγκλης Π. & Ζάγκλης Αρ. (1 6), «Διαστασιολόγηση φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Θεωρία Προγράμματα Η/Υ. Τεύχος 1 Α» Ζάγκλης Π. & Ζάγκλης Αρ. (1 6), «Διαστασιολόγηση φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Θεωρία Προγράμματα Η/Υ. Τεύχος 1 Β» Ζαράρης Πρ. (00), «Μέθοδοι Υπολογισμού Σιδηροπαγούς Σκυροδέματος», Αφοί Κυριακίδη, Θεσ/νίκη Κωνσταντινίδης Απ. (1 4), «Εφαρμογές Οπλισμένου Σκυροδέματος σύμφωνα με τον νέο κανονισμό σκυροδέματος Πίνακες», Εκδόσεις π-systems International Α.Ε.Β.Ε.Λ., Αθήνα Κωνσταντινίδης Απ. (00 ), «Επιστημονική τεκμηρίωση λογισμικού διαστασιολόγησης σε κάμψη κατά EC», π-systems International S.A., Αθήνα Παναγόπουλος Γ. & Κίρτας Εμμ. (005), «Κατασκευές οπλισμένου σκυροδέματος Ι», Τ.Ε.Ι. Σερρών, Σέρρες Παπαϊωάννου Στ. (008), «Διδακτικές σημειώσεις για το μάθημα της αριθμητικής ανάλυσης», Τ.Ε.Ι. Σερρών, Σέρρες Σέξτος Αν. & Κατσάνος Ευάγγ. (009), «Τεχνικές Προγραμματισμού και χρήσης λογισμικού Η/Υ στις κατασκευές», Εκδόσεις Αϊβαζή, Θεσσαλονίκη Foxxal J. (010), «Teach yourself Visual Basic 010 in 4 hours», Sams Publishing, Indianapolis U.S.A. Narayanan R.S. & Beeby A. (005), «Desi ners Gui e o EN and EN Eurocode : Design of Concrete Structures. General rules and rules for buildings and structural fire design», Thomas Telford Ltd, London 153

161 154