. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ". Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!"

Ἀνδρέας Βιλαέτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή δύναµη F!, της οποίας ο φορέας είναι παράλ ληλος προς το έδαφος, να µελετηθεί η κίνηση του δίσκου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =m / του δίσκου, ως πρός άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας τυυ C και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: Θα µελετήσουµε σε πρώτο στάδιο την κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Είναι γνωστό ότι ο κέντρο µάζας κινείται ως υλικό σηµείο µε µάζα ίση προς την µάζα m του δίσκου πάνω στο οποίο δρά η σταθερή δύναµη F!. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F! /m. Σε δεύτερο στάδιο ας εξετάσουµε την κίνηση του δίσκου στο σύστηµα αναφοράς του κεντρου µάζας C (το σύστηµα αυτό είναι µη αδρανειακό). Στο σύστηµα αυτό ο δίσκος δέχεται την σταθερή δύναµη F! και µια δύναµη αδράνειας -m a!, δηλαδή - F,! που θεωρείται ότι επιδρά στο κέντρο µάζας του. Οι δύο αυτές Σχήµα α. δυνάµεις αποτελούν ζεύγος που προκαλεί περιστροφή του δίσκου περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του C. Εαν φ είναι η γωνι ακή εκτροπή του δίσκου από τη θέση ισορροπίας του* κατά την τυχαία χρο νική στιγµή t, τότε λαµβάνοντας ως θετική φορά περιστροφής την φορά * Η θέση ισορροπίας του δίσκου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του είναι εκείνη για την οποία η ροπή του ζεύγους των δυνάµεων F! και - F! είναι µη δενική, δηλαδή η θεση φ=

2 κατά την οποία η γωνία φ αυξάνεται και εφαρµόζοντας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας, παίρνουµε τη σχέση: I C d! dt m = -F"µ!! d! dt = - F"µ!! d! dt d! dt = - F m "µ!! d! dt + k "µ! = µε k = F m + F m "µ! =! (1) H (1) αποτελεί µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, η οποία δεν µπορεί να λυθεί µε αναλυτικό τρόπο αλλά µόνο γραφικά, λογου χάρη µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί κατάλληλο πρόγραµµα. Αυτό σηµαίνει ότι η γωνιακή εκτροπή φ του δίσκου δεν είναι µια ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή η στροφική κίνηση του δίσ κου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του είναι µη αρµονική στροφική ταλάντωση. Στο σχήµα (β) φαίνεται το διάγραµµα της συνάρτη σης φ=f(t) που αποτελεί γραφική λύση της διαφορικής εξίσωσης (1), όπως αυτή προέκυψε µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστη, µε αρχικές συνθή κες φ()=π/, dφ()/dt= και k =.1 s -. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση φ=f(t) είναι περιοδική µε φαινοµενικά συνηµιτονική µορφή. Σχήµα β. Αν τώρα επιστρέψουµε στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι ευκολο να καταλάβουµε ότι ο δίσκος εκτελεί επίπεδη κίνηση που αποτελείται από µια ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη µεταφορική κίνηση και µια µή αρµονική στροφική ταλάντωση περί το κέντρο µάζας του C. Σχόλια : α. Εάν η γωνία φ στην διάρκεια της κίνησης του δίσκου είναι πολύ µικρή (της τάξεως των 3 ) τότε µπορούµε να γράψουµε ηµφ φ και η (1) παίρνει στην περίπτωση αυτή την µορφή: d! dt + k! = ()

3 H () είναι µια γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:! = A"µ (kt + #) (3) όπου A, θ σταθερές ολοκλήρωσης που καθορίζονται από τις αρχικές συνθή κες κίνησης του δίσκου. Αν για t= είναι φ=φ και dφ/dt= τότε θα είναι Α=φ και θ=π/ και η (3) γράφεται:! =! "µ (kt + # / ) =! %&kt (4) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν η σταθερή δύναµη! F ενεργεί ώστε τη στιγµή t= η γωνία φ να είναι πολύ µικρή και ο δίσκος να ηρεµεί στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του, τότε η στροφική ταλάντωση που θα εκτελέσει στο σύστηµα αυτό είναι αρµονική. β. Η σχέση (1) µπορεί να πάρει την µορφή: d! / dt = -k "µ# (5) όπου dω/dt η αλγεβρική τιµή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου. Όµως ισχύει ακόµη η σχέση: d! dt = d! d" d" dt = d! (5) d"!! - k!µ" = d# d" # -k!µ" d" = # d#! d (! / ) = -k "µ# d# (6) Ολοκληρώνοντας την (6) παίρνουµε:! / = k "#% + C (7) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί από τις αρχικές συνθήκες ότι για t= είναι ω= και φ=φ, οπότε η (7) δίνει: = k!"# + C! C = -k!"# όπου φ η η τιµή της φ την στιγµή που αρχίζει να επιδρά επί του δίσκου η δύναµη F!. Έτσι η (7) παίρνει την µορφή:! = 4k ("#% - "#% )! = ± k "#% - "#% (8) Aπό την (8) προκύπτουν τα εξής: α. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου µηδενίζεται για φ = ± φ β. Για φ= η γωνιακή ταχύτητα έχει αλγεβρική τιµή! = ± k"µ(# /) δηλαδή παρουσιάζει µεγιστή τιµή όταν ο δίσκος κινείται αντίθετα προς την θετική φορά περιστροφής του και ελάχιστη τιµή όταν κινείται κατά την θετική φορά περιστροφής.

4 Τα δύο αυτά συµπεράσµατα εγγυώνται ότι η στροφική ταλάντωση του δίσκου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας του είναι περιοδική κίνη ση µε περίοδο ίση προς το διπλάσιο του χρόνου κίνησής του µεταξύ των θέσεων φ=φ και φ=-φ. Ο υπολογισµός της περιόδου Τ της στροφικής αυτής ταλάντωσης είναι εξαιρετικά πολύπλοκος καταλήγει δε στην σχέση: T =! * k 1 + " 1 %, ' # & +, ) (µ + " 1.3 % ' #.4& ) (µ 4 + " % ' #.4.6& ) - (µ /. / Έάν η γωνία φ είναι µικρή, δηλαδή της τάξεως των 3, τότε oι ηµιτονικοί όροι της αγγύλης είναι ασήµαντοι σε σχέση µε την µονάδα και η προηγού µενη σχέση δίνει για την περίοδο Τ την προσεγγιστική τιµή: T! " k = " m F P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο την χρονική στιγµή t= βρίσκεται στο κατώ τατο σηµείο µιας κατακόρυφης τροχιάς ανακυλκώσεως, κέντρου Ο και ακτίνας, η δε ταχύτητά του έχει µέτρο που του επιτρέπει οριακά να εκτελεί ανακύκλωση. Εαν µεταξύ του σφαιριδίου και της τροχιάς δεν υπάρχει τριβή, να δείξετε ότι ο χρόνος ανόδου t α του σφαιριδίου, ικανοποιεί την σχέση: t = 5g # d! [ ] 1 - / 5 "µ(!/) όπου φ η γωνία µεταξύ της επιβατικής ακτίνας του σφαιριδίου ως προς το κέντρο Ο και της κατακόρυφης διευθύνσεως ΟΚ. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ της τροχιάς του, όπου η ταχύτητά του είναι v!. Στη θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w! που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα w! 1 και στην εφαπτοµενική συνιστώσα w! και την δύναµη επαφής N! από την τροχιά ανακύκλωσης, η οποία έχει ακτινική διεύθυνση, διότι η τροχιά είναι λεία. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας έργου µεταξύ της κατώτατης θέσεως Κ και της θέσεως Μ παίρνουµε την σχέση: mv - mv = -mg( -!"#)! v = v - g(1 -!"#)! v = v - 4g!µ ("/) (1)

5 όπου φ η γωνία της επιβατικής άκτινας OM του σφαιριδίου µε την ακτίνα OK και v! η τάχύτητα του σφαιριδίου στην κατώτατη θέση. Εάν dφ είναι η επίκεντρη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και ds tο αντίστοιχο µήκος του τόξου που διαγράφει το σφαιρίδιο, θα ισχύει η σχέση: v = ds dt = d! dt! dt = d! v (1)! dt = d! v - 4g"µ (!/) () Ολοκληρώνοντας την σχέση () µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τις τιµές και π παίρνουµε τον ζητούµενο χρόνο ανόδου t α, δηλαδή θα έχουµε: t! = d" % (3) v - 4g#µ ("/) Όµως σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης η ταχύτητα v! αντιστοιχεί σε οριακή ανακύκλωση του σφαιριδίου, δήλαδη αντιστοιχεί στην περίπτωση που όταν το σφαιρίδιο φθάνει στην ανώτατη θέση του Α µηδενίζεται η δύνα µη επαφής N!, οπότε την στιγµή αυτή το βάρος w! του σφαιριδίου ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη, οπότε θα ισχύει η σχέση: mg = mv min! v min = g (4) όπου! v min η ταχύτητα του σφαιριδίου στην θέση Α. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας έργου µεταξύ της κατώ τατης θέσεως Κ και της ανώτατης θέσεως Α παίρνουµε την σχέση: mv min - mv (4) = -mg! g - v = - 4g! v = 5g (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) έχουµε;

6 d" t! = %! t! = 5g - 4g#µ ("/) g d" %! 5-4#µ ("/) t = 5g # d! (6) 1 - / 5 "µ(!/) [ ] Παρατήρηση: To ολοκλήρωµα που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της σχέσεως (6) είναι ένα ελλειπτικό ολόκλήρωµα και υπόλογίζεται κατά προσεγ γιση µε τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούµενο θέµα. P.M. fysikos

Σχετικά έγγραφα

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L! Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της