Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους;"

Transcript

1 Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; «Ο πολιτισµός των αρχαίων Αιγυπτίων άρχισε πιθανόν κάποια στιγµή την 5η χιλιετία π.χ. και διήρκεσε µέχρι που τους κατέκτησε ο Μέγας Αλέξανδρος το 332 π.χ., µια περίοδο περίπου τεσσάρων χιλιετιών. Οι πρώτοι Αιγύπτιοι ζούσαν σε δύο Βασίλεια: στην Άνω Αίγυπτο, στην κοιλάδα του Νείλου, και στην Κάτω Αίγυπτο, στο Δέλτα του Νείλου. Συγκρότησαν µια µεγάλη αυτοκρατορία όταν ο Μήνης ένωσε αυτά τα δύο µισά και έκανε πρωτεύουσά του τη Μέµφιδα, κάποια στιγµή µεταξύ 3500 και 3000 π.χ. Οι Αιγύπτιοι αποτέλεσαν µια µεγάλη παγκόσµια δύναµη τα επόµενα τρεις χιλιάδες χρόνια.» 2.Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; «Οι Αιγύπτιοι έφτασαν στην ακµή του πρώιµου πολιτισµού τους από το 3000 π.χ. µέχρι την 3η Δυναστεία, γύρω στο 2500 π.χ. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου έχτισαν τις περίφηµες πυραµίδες και, παρ όλο που δεν υπάρχει καµιά άµεση µαρτυρία, είναι πιθανόν αυτή την περίοδο να έθεσαν τις βάσεις των µαθηµατικών τους. Μεγαλούργησαν τόσο γρήγορα, ώστε λίγο πριν το 3000 π. Χ. µάθαιναν να κόβουν πέτρες για την κατασκευή κτιρίων και, στην αρχή του εικοστού ενάτου αιώνα π.χ., έχτισαν τη Μεγάλη Πυραµίδα της Γκίζας. Η ισχύς του αιγυπτιακού πολιτισµού, ο οποίος στηριζόταν στην αφθονία του σιταριού που καλλιεργούσαν κατά µήκος του ποταµού Νείλου, παρείχε στους Αιγυπτίους διάρκεια και σταθερότητα. Αυτή η ισχύς αντανακλάται στα σπουδαία µνηµεία τους και στην πρωτοφανή µακροηµέρευση της κοινωνίας τους, αντανακλάται όµως και στο γεγονός ότι τα µαθηµατικά

2 τους δεν αναπτύχθηκαν πολύ, αν αναπτύχθηκαν καθόλου, µετά την 3η χιλιετία. Δε χρειάζονταν καλύτερα µαθηµατικά, αφού τα παλαιά ήταν απολύτως επαρκή. Ένα άλλο χαρακτηριστικό του αιγυπτιακού πολιτισµού είναι η ιδιότυπη γραφή. Δύο συστήµατα γραφής αναπτύχθηκαν από τους Αιγυπτίους. Το πρώτο ήταν τα ιερογλυφικά, τα οποία ξεκίνησαν ως απλά σύµβολα που έµοιαζαν µε εικόνες γύρω στο 3000 π.χ. και µπορεί να είχαν επηρεαστεί από τη σφηνοειδή γραφή των Σουµέριων. Τα ιερογλυφικά εξελίχθηκαν σ ένα συνδυασµό πικτογραµµάτων και φωνητικών σηµείων και χρησιµοποιούνταν για να γράφονται επίσηµα κείµενα στα µνηµεία και στους ναούς. Κύριος σκοπός τους ήταν η καταγραφή των επιτευγµάτων του κάθε Φαραώ και διατηρήθηκαν µέχρι τον 1ο αιώνα π.χ. Το δεύτερο σύστηµα γραφής ονοµάζεται ιερατική γραφή και χρησιµοποιούνταν για την καθηµερινή διοίκηση της αυτοκρατορίας. Η ιερατική γραφή ήταν λιγότερο επίσηµη από τα ιερογλυφικά και περισσότερο αφηρηµένη, απαιτώντας γενικά λιγότερες πινελιές. Μέσω της ιερατικής γραφής έχουν διασωθεί χιλιάδες κείµενα γραµµένα σε παπύρους, τα περισσότερα όµως τοποθετούνται χρονικά στο τέλος της αυτοκρατορίας. Οι γραφείς, οι οποίοι αναλάµβαναν να γράφουν στους παπύρους χρησιµοποιώντας την ιερατική γραφή, ανήκαν σε διαφορετική τάξη από τους ιερείς και ήταν συνήθως έµπιστοι δούλοι. Τους απασχολούσαν ως γραµµατείς και λογιστές και εργάζονταν στους ναούς, που τότε χρησιµοποιούνταν ως κυβερνητικά γραφεία. Από τη φαραωνική εποχή η Αίγυπτος διατηρούσε µεγάλες πόλεις: στην Ιλιάδα αναφέρονται οι Θήβες, η Εκατόµπυλος πόλη, που υπήρξε επί αιώνες η πιο λαµπρή όλης της χώρας, αλλά γνώρισε ολοκληρωτική παρακµή µε τη µεταφορά της εξουσίας πιο βόρεια της Σαίς, η σπουδαιότητα της οποίας αυξήθηκε αναλογικά µε τη συχνότητα των διακινήσεων στη Μεσόγειο. Άλλη περίφηµη πόλη ήταν η Μέµφις, η αρχαιότερη αιγυπτιακή πρωτεύουσα. Η αιγυπτιακή πολεοδοµία, που αναπτύχθηκε γύρω από τους επιβλητικούς ναούς και τα ανάκτορα της Μέµφιδος και των Θηβών, εδραιώθηκε σταδιακά στο βορρά, όπου

3 σήµερα η Αλεξάνδρεια και το Κάιρο φιλοξενούν περίπου το 1/5 του πληθυσµού της χώρας.» 3. Ποιοι είναι οι βασικοί λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη των µαθηµατικών; «Τα µαθηµατικά και οι επιστήµες αναπτύχθηκαν επειδή ήταν απαραίτητα για την επίλυση πρακτικών θεµάτων της καθηµερινής ζωής: όπως για παράδειγµα το µοίρασµα του ψωµιού και της µπίρας στους εργάτες και των µετρήσεων στα κτίρια. Όταν η αιγυπτιακή κοινωνία σχεδίαζε και πραγµατοποιούσε την κατασκευή των πυραµίδων, από το 3500 ως το 2500 π.χ., οι Αιγύπτιοι δεν χρειάζονταν καλύτερα µαθηµατικά αφού τα παλαιότερα ήταν απολύτως επαρκή. Έτσι, όταν ολοκληρώθηκε το σχέδιο τους αυτό, οι κανόνες των µαθηµατικών καθιερώθηκαν και έπαψαν να εξελίσσονται». 4.Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά;(βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, άρρητους αριθµούς). «Οι Αιγύπτιοι χρησιµοποιούσαν τα κλάσµατα. Το σύστηµά τους ήταν πολύ δύσχρηστο. Με εξαίρεση τα κλάσµατα δύο τρίτα (2/3) και τρία τέταρτα (3/4), όλα τα κλάσµατά τους ήταν µοναδιαία ή κλάσµατα όπου ο αριθµητής ήταν το 1 και ο παρονοµαστής οποιοσδήποτε ακέραιος αριθµός. Ως εκ τούτου, όλα τα κλάσµατα είχαν τη µορφή 1/ν. Για να κάνουν υπολογισµούς µε µοναδιαία κλάσµατα, οι Αιγύπτιοι έπρεπε να καταφεύγουν στην εκτεταµένη χρήση πινάκων. Δεν υπάρχει ένας µόνος τρόπος γραφής ενός κλάσµατος ως άθροισµα µοναδιαίων κλασµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι δύο διαφορετικοί γραφείς µπορούσαν να παραστήσουν το ίδιο κλάσµα µε δύο διαφορετικούς τρόπους, κάνοντας έτσι δύσκολες τις συγκρίσεις. Πέρα από τις τέσσερις πράξεις της αριθµητικής, οι Αιγύπτιοι µπορούσαν, περιορισµένα βεβαίως, να κάνουν κάποιους αλγεβρικούς και γεωµετρικούς υπολογισµούς µε τη µορφή διήγησης προβληµάτων, αφού δεν είχαν κανένα σχεδόν σύµβολο για τις αλγεβρικές πράξεις. Το σύµβολο για την πρόσθεση και την αφαίρεση

4 ήταν ένας άντρας ο οποίος έµπαινε (στην πρόσθεση) ή έβγαινε (στην αφαίρεση) από ένα σπίτι. Στην άλγεβρα έλυναν γραµµικές εξισώσεις µε έναν άγνωστο της µορφής «α + αχ =β» και «χ+ αχ +βχ =γ». Έλυναν επίσης απλές δευτεροβάθµιες εξισώσεις µε έναν ή δύο αγνώστους. Με το σηµερινό σύστηµα χαρακτήρων και συµβόλων, παραδείγµατα τέτοιων εξισώσεων είναι τα εξής:αχ 2 +βχ+γ=0 ή αχ 2 +βy 2 =γ. Οι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν τους άρρητους αριθµούς και απλώς χρησιµοποιούσαν ακέραιους αριθµούς και κλάσµατα για να συµβολίσουν τις τετραγωνικές ρίζες των αριθµών». 5.Είχαν βασικές γνώσεις γεωµετρίας; «Στη γεωµετρία είχαν κανόνες για τον υπολογισµό των εµβαδών και των όγκων, κάποιοι από τους οποίους ήταν σωστοί ενώ άλλοι οδηγούσαν µόνο σε προσεγγίσεις. Παρόλο που συχνά θεωρείται ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα, από τα κείµενά τους δεν υπάρχει άµεση µαρτυρία γι αυτό. Όµως οι χωροµέτρες τους είναι πιθανόν να γνώριζαν πράγµατι ότι, αν διαιρέσουµε ένα σκοινί σε µήκη των τριών, τεσσάρων και πέντε µονάδων, τα µήκη αυτά, αν αποτελούσαν πλευρές τριγώνου, θα σχηµάτιζαν ένα ορθογώνιο τρίγωνο». 6.Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν.(δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κτλ.).ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Πώς συµβόλιζαν τα κλάσµατα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; «Το αιγυπτιακό σύστηµα αριθµών είχε ως βάση το δέκα. Στα ιερογλυφικά χρησιµοποιούνταν ένας συνδυασµός γραµµών ( ) που αναπαριστούσαν τους αριθµούς από το 1 ως το 9, ενώ η συνεχής ιερατική γραφή χρησιµοποιούσε γραµµές για το 1 ως το 3 και ξεχωριστά σύµβολα για τους αριθµούς από το 4 ως το 9. Η τιµή ενός συµβόλου δε συνδεόταν µε τη θέση του, εποµένως το σύστηµα ήταν αυστηρά προσθετικό. Για να διαβαστεί ένας αριθµός έπρεπε να προστεθούν οι τιµές των διαφορετικών συµβόλων. Αυτό µπορεί να είναι χρονοβόρο για τους µεγάλους αριθµούς, οι Αιγύπτιοι ωστόσο κατόρθωναν να καταγράφουν αριθµούς που έφταναν σε εκατοµµύρια. Χρησιµοποιούσαν επιδέξια και τις τέσσερις πράξεις της αριθµητικής, αλλά οι υπολογισµοί τόσο για τον πολλαπλασιασµό όσο και για τη

5 διαίρεση ήταν από τη φύση τους προσθετικοί. Για τον πολλαπλασιασµό δύο αριθµών, απλώς καταγράφονταν σε µια στήλη τα πολλαπλάσια του ενός εκ των δύο αριθµών αρχίζοντας από το 1 και, πολλαπλασιάζοντας καθώς προχωρούσαµε µε το22, πηγαίναµε στο 2, στο 4, στο 8, κ.ο.κ. Ο πολλαπλασιασµός µε διπλασιασµό ήταν µία αγαπηµένη µέθοδος των απλών ανθρώπων για να επιλύουν τα προβλήµατα που συναντούσαν στην καθηµερινή τους ζωή. Για τη διαίρεση ενεργούσαν µε ένα σκεπτικό παρόµοιο µε αυτό της αφαίρεσης. Για τις διαιρέσεις των οποίων το υπόλοιπο δεν είναι µηδέν εισήγαγαν τα κλάσµατα, µε αριθµητή 1, που ονοµάζουµε αντίστροφους αριθµούς ακεραίων. Σε περίπτωση που το αποτέλεσµα δεν µπορούσε να εκφραστεί σε κλάσµα µε αριθµητή ένα, το έγραφαν ως αποτέλεσµα της πρόσθεσης διαφόρων αντίστροφων αριθµών των ακεραίων. Στα ιερογλυφικά, το κλάσµα, το κλάσµα, συµβολιζόταν µε ένα ωοειδές σχήµα πάνω από τον ακέραιο αριθµό, ενώ στην ιερατική γραφή, ξεκινώντας το1/5, το κλάσµα συµβολιζόταν µε µια κουκίδα πάνω από τον ακέραιο αριθµό.(παράθεση εικονογραφικού υλικού µε παρουσίαση αρχαίων αιγυπτιακών ιερογλυφικών και ιερατικών αριθµητικών ψηφίων)». 7.Να γράψετε τον αριθµό 324 χρησιµοποιώντας σύµβολα των Αιγυπτίων (ιερατική γραφή): «324: )))^^-- ή --^^)))» 8.Είχαν κατασκευάσει ηµερολόγιο; «Οι Αιγύπτιοι στηρίζονταν στις καλλιέργειες σιταριού στην κοιλάδα του Νείλου και έπρεπε να παρακολουθούν τις πληµµύρες του ποταµού και την αλλαγή του επιπέδου του νερού κατά τη διάρκεια του έτους. Το αιγυπτιακό έτος είχε δώδεκα µήνες των τριάντα ηµερών συν πέντε

6 µέρες θρησκευτικών εορτών, συνολικά 365 ηµέρες. Αυτό έπεφτε έξω κατά ένα τέταρτο της ηµέρας και δε διορθώθηκε µε την πρόσθεση κάθε τέσσερα χρόνια µιας επιπλέον ηµέρας το Φεβρουάριο, όπως κάνουµε εµείς σήµερα. Με το γεγονός αυτό οι εποχές σιγά σιγά έπαυαν να συµφωνούν µε το ηµερολόγιο. Όµως ύστερα από 1460 χρόνια, οι ηµέρες θα ταίριαζαν πάλι µε τις εποχές». 9.Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; «Η µεγάλη πυραµίδα της Αιγύπτου αποτελεί σηµαντικό αίνιγµα σε σχέση µε τον αστρολογικό προσανατολισµό της. Το άθροισµα των διαγωνίων της δίνει 25, 826, τη διάρκεια του ζωδιακού κύκλου και από µόνο του αυτό θα ήταν αρκετό να µας βάλει σε σκέψεις. Λέγεται ότι κατά την κατασκευή της στόχευε το άστρο του Σείριου. Η τοποθέτησή της στο έδαφος µαζί µε τις άλλες πυραµίδες και το άγαλµα της Σφίγγας έχει προβληµατίσει ιδιαίτερα τους ειδικούς που βρίσκουν παράξενες οµοιότητες µε θέσεις αστερισµών όσο και µε αντίστοιχες κατασκευές του Άρη κοντά στην περιοχή µε το γεωλογικό σχηµατισµό που µοιάζει µε ανθρώπινο πρόσωπο. Κατά το µεσουράνηµά του ο Αστερισµός του Ωρίωνα δείχνει οµοιότητες µε τις µεγαλύτερες πυραµίδες (και µε αναλογία µεγέθους και φωτεινότητας) και µε το Νείλο. Από όλα αυτά συµπεραίνουµε ότι η αστρονοµία των Αιγυπτίων, όχι µόνο ήταν πιο εξελιγµένη από αυτή των Βαβυλωνίων (γιατί υπάρχουν αναφορές που υποστηρίζουν ότι η αστρονοµία των Αιγυπτίων ήταν κατώτερη των Βαβυλωνίων), αλλά και κάθε άλλου πολιτισµού. Φυσικά αν οι οµοιότητες ανάµεσα στις πυραµίδες και στον Άρη δεν είναι τυχαίες, ισχύει αυτό. Και αυτό σηµαίνει ότι οι Αιγύπτιοι είχαν κατασκευάσει ένα τηλεσκόπιο υψηλής ευκρίνειας, το οποίο µάλλον έχει καταστραφεί». 10. Aπό ποιον ή από ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; «Οι Αιγύπτιοι επηρεάστηκαν κυρίως από δύο λαούς της αρχαιότητας ως προς τα µαθηµατικά. Από τους Σουµέριους που πολύ πιθανόν είναι να άσκησαν επιρροή στη δηµιουργία της ιερογλυφικής αιγυπτιακής γραφής και από τους Βαβυλώνιους ως προς τα αριθµητικά τους συστήµατα. Βέβαια δεν αποκλείεται οι Αιγύπτιοι να δέχτηκαν ορισµένες πολιτισµικές επιρροές που ίσως σχετίζονται µε την ανάπτυξη των µαθηµατικών τους, από λαούς της αρχαιότητας µε τους οποίους είτε ήρθαν σε σφοδρές συγκρούσεις είτε σε εµπορικούς δεσµούς.(π.χ. Χετταίοι, Ασσύριοι κ.ά.)».

7 11.Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο στους Αιγυπτίους; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό τους. «Μέσα από τη µελέτη του αιγυπτιακού πολιτισµού και ιδιαίτερα των µαθηµατικών τους, καταλήξαµε στο συµπέρασµα πως ο αιγυπτιακός τρόπος σκέψης και ζωής υπήρξε πραγµατικά ένα θαύµα του αρχαίου κόσµου! Είναι καταπληκτική η πορεία συλλογισµού που ακολούθησε αυτός ο λαός, αξιοθαύµαστο το επίπεδο γνώσης της αστρονοµικής επιστήµης, µεγαλειώδης η παρατηρητική και κριτική ικανότητα αυτού του λαού, που φαντάζει ως κάτι ανέφικτο και αξεπέραστο στους αιώνες, όπως επιβεβαιώνουν και τα έργα τέχνης του, τα κορυφαία επιτεύγµατα της ανθρώπινης προσπάθειας, και τελικά παραµένουν διαχρονικές αξίες, θυµίζοντάς µας µε κάθε τρόπο, µοναδικό για τον καθένα, την µηδαµινότητα και ταυτόχρονα την λογική δύναµη του ανθρώπου». Μαθητές που συµµετείχαν : 1)Ζήση Χριστίνα 2)Σοκολόβα Ιλόνα 3)Χατζόπουλος Καλλίδωρος

8 Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Γύρω στο 2000 π.χ., ο λαός των Αµοριτών εισέβαλε στη γη των Σουµέριων και κατέκτησε τις πόλεις τους. Αυτοί οι άνθρωποι έγιναν γνωστοί ως Βαβυλώνιοι και δηµιούργησαν σιγά σιγά µια µεγάλη αυτοκρατορία που περιλάµβανε πολλές περιοχές του σηµερινού Ιράκ, της Ιορδανίας και της Συρίας. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Γενικά, µέσα στη βαβυλωνιακή θρησκεία συναντάµε χιλιάδες θεούς. Το θρησκευτικό συναίσθηµα ήταν πολύ έντονο. Οι πόλεις είχαν πολλούς ναούς και το ιερατείο ήταν οργανωµένο. Ο ίδιος ο βασιλιάς ανήκει σε αυτό.

9 Στην Τέχνη υπήρξε πολύ µεγάλη ανάπτυξη της Αρχιτεκτονικής. Κύριο δοµικό στοιχείο ήταν τα τούβλα από ψηµένη άργιλο. Χαρακτηριστικά ήταν τα επισµαλτωµένα τούβλα, που δηµιουργούσαν συνθέσεις διακοσµητικών παραστάσεων. Οι κατασκευές σε οχυρωµατικά έργα, τείχη, πύλες, ανάκτορα κτλ. ήταν τεράστιες. Περίφηµα είναι τα Ζιγκουράτ, επιβλητικοί, κλιµακωτοί πύργοι, από τους οποίους τροφοδοτήθηκε ο µύθος του "Πύργου της Βαβέλ", της Βίβλου. Ακόµη, διάσηµοι στην αρχαιότητα ήταν οι κρεµαστοί κήποι της Βαβυλώνας, ένα από τα θαύµατα του αρχαίου κόσµου Πολύ αναπτύχθηκαν η αστρονοµία, οι µαντικές τέχνες, καθώς και τα µαθηµατικά. Οι Σοφοί της Βαβυλώνας ήταν κατά κάποιο τρόπο ιερείς και επιστήµονες µαζί. Εφάρµοζαν αριθµητικές και γεωµετρικές γνώσεις και παρατηρούσαν τις θέσεις και τις κινήσεις των άστρων. Σηµαντικές πόλεις των Βαβυλωνίων ήταν: η Βαβυλώνα η οποία ήταν η πρωτεύουσα και πιθανόν ιδρύθηκε την 3 η π.χ. χιλιετία. Επίσης σηµαντικές ήταν οι πόλεις: Αχάδ, Ερέχ, Χαλέκ, Ισίν και Λάρσα. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; (βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοποίηση, άρρητους αριθµούς, πυθαγόρειο θεώρηµα) Οι βασικές γνώσεις τους στα µαθηµατικά ήταν: στο σύστηµα τους όταν ήθελαν να παραστήσουν κλάσµατα, τοποθετούσαν µια υποδιαστολή

10 στα δεξιά και τα υπόλοιπα ψηφία συµβόλιζαν δέκατα, εκατοστά, κ.τ.λ. αυτό γίνεται και στο δικό µας σύστηµα µε µόνη διαφορά ότι εµείς χρησιµοποιούµε το 10 ως βάση και όχι το 60 όπως έκαναν αυτοί. Επίσης οι Βαβυλώνιοι µπορούσαν να επιλύουν συστήµατα εξισώσεων µε 2 αγνώστους, ορισµένες δευτεροβάθµιες εξισώσεις και κάποιες κυβικές. Επιπλέον γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα. Οι επιστήµονες της αρχαιότητας θεωρούσαν ότι το ανακάλυψε ο Έλληνας µαθηµατικός Πυθαγόρας, µεταγενέστερες όµως ανακαλύψεις φανέρωσαν ότι οι Βαβυλώνιοι και οι Κινέζοι το γνώριζαν πολύ πριν τον Πυθαγόρα. Υπάρχει άπειρο πλήθος τριάδων ακέραιων αριθµών που ικανοποιούν αυτό το θεώρηµα. Ας µην παραλείψουµε βέβαια ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν πώς να χρησιµοποιούν την άλγεβρα για να επιλύουν προβλήµατα υψηλού επιπέδου. Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τ.λ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; Το αριθµητικό σύστηµα των Βαβυλωνίων ήταν εξηκονταδικό, δηλαδή οι διαδοχικές θέσεις στις οποίες γράφονται τα ψηφία ενός αριθµού δηλώνουν διαδοχικές δυνάµεις του 60 και όχι του 10, όπως γίνεται στο δικό µας δεκαδικό σύστηµα. Επιπλέον το σύστηµα τους ήταν θεσιακό, δηλαδή η τιµή του κάθε συµβόλου εξαρτάται από τη θέση του µέσα στον αριθµό. Οι Βαβυλώνιοι έγραφαν οποιοδήποτε ακέραιο αριθµό χρησιµοποιώντας 2 σύµβολα:1.την απλή κατακόρυφη σφήνα, που παριστάνει τη µονάδα.2.τη διπλή σφήνα, που παριστάνει τη δεκάδα. Το µόνο όµως πρόβληµα είναι ότι δεν υπήρχε σύµβολο για το µηδέν και εποµένως ο µόνος τρόπος για να αναγνωρίσουµε έναν αριθµό είναι από τα συµφραζόµενα ενός προβλήµατος. Ποιο πρόβληµα υπήρχε στον τρόπο γραφής των αριθµών στους Βαβυλώνιους; Αναφέρετε ένα δικό σας παράδειγµα. Δυστυχώς το βαβυλωνιακό σύστηµα υστερούσε εξαιτίας 2 σηµαντικών ελλείψεων. Πρώτον δεν υπήρχε το µηδέν για να δείχνει ότι µια από τις δυνάµεις του εξήντα ήταν κενή. Δεύτερον δεν υπήρχε υποδιαστολή για να δείχνει πού αρχίζει το κλασµατικό τµήµα του αριθµού. Για παράδειγµα το 4,5 το έγραφαν έτσι από το 4 και το 30/60 το οποίο είναι ίδιο µε το 5/10. Είχαν κατασκευάσει ηµερολόγιο; Τα αστρονοµικά - αστρολογικά κείµενα που έχουµε απ' τους

11 Βαβυλώνιους είναι αστρολογικά ηµερολόγια (µηνιαίας ή ετήσιας βάσης), συλλογές από ηµερολόγια περασµένων ετών µε σκοπό την πρόβλεψη των γεγονότων του επόµενου έτους, αλλά και κείµενα µε µαθηµατικούς διεργασίες για τον υπολογισµό των κινήσεων των πλανητών, πίνακες εκλείψεων και προσωπικά ωροσκόπια. Για παράδειγµα σε κάποια κείµενα βλέπουµε να διαιρείται ο ουρανός σε 3 ζώνες µε 12 τοµείς η καθεµιά. Κάθε ζώνη περιέχει τα ονόµατα των αστερισµών και των πλανητών. Άλλη κατηγορία κειµένων αναφέρεται αποκλειστικά στην Αφροδίτη, παρουσιάζοντας τις εµφανίσεις και εξαφανίσεις του πλανήτη για πολλά χρόνια µε ηµεροµηνίες δοσµένες στο σεληνιακό ηµερολόγιο. Στα αστρονοµικά ηµερολόγια βρίσκουµε υπολογισµούς για την ώρα ανατολής και δύσης του Ήλιου καθώς και για την εµφάνιση των φάσεων της Σελήνης, κάτι που βοηθούσε στον καθορισµό της έναρξης του επόµενου µήνα. Επίσης καταγράφονταν η καθηµερινή θέση της Σελήνης. Για τις κινήσεις των πλανητών υπολογίζονταν και καταγράφονταν η µέρα εµφάνισης και η µέρα εξαφάνισής τους απ' τον ουρανό, καθώς και πορείες τους (ορθές ή ανάδροµες) και οι συζυγίες τους. Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Οι Βαβυλώνιοι εφάρµοσαν τα µαθηµατικά στην επιστήµη της αστρονοµίας. Μπορούσαν να µετρούν τις περιοδικές κινήσεις της Σελήνης, του Ήλιου και των 5 ορατών πλανητών: του Ερµή, της Αφροδίτης, του Άρη, του Δία και του Κρόνου. Από αυτές τις µετρήσεις δηµιούργησαν ένα αριθµητικό µοντέλο για να προβλέπουν τις µελλοντικές συζυγίες και ευθυγραµµίσεις των πλανητών. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Τα µαθηµατικά των Βαβυλωνίων ήταν κυρίως επηρεασµένα από τα µαθηµατικά των Σουµέριων. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι πήραν τις βάσεις τους από αυτά των Σουµέριων. Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Βαβυλώνιους; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό και τα µαθηµατικά τους. Όπως κάθε Έλληνας θα συγκλονιζόταν εάν µάθαινε ότι δεν ανακάλυψε ένας πρόγονός του το γνωστό σε όλο τον κόσµο «Πυθαγόρειο Θεώρηµα»,αλλά πολύ πριν από αυτόν το είχαν στα µαθηµατικά τους οι Βαβυλώνιοι έτσι και εµείς. Επίσης δεν θα έπρεπε να παραληφθεί ότι µας έκανε εντύπωση το ότι οι Βαβυλώνιοι έγραφαν τους αριθµούς µόνο µε δύο σηµάδια, δεν υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα

12 αλλά ούτε και η υποδιαστολή. Αυτό που µας εντυπωσίασε όµως περισσότερο είναι ότι έχουν ανακαλυφθεί πήλινες πινακίδες, πάνω στις οποίες υπάρχουν οικονοµικά στοιχεία. Ακόµη όταν πληροφορηθήκαµε για τα ηµερολόγια και την αστρονοµία των Βαβυλωνίων τους θαυµάσαµε. Μας εντυπωσίασε η σκέψη και το ότι πριν χιλιάδες χρόνια άνθρωποι µελετούσαν τα άστρα. Τέλος, µετά από αυτή τη µελέτη µας πάνω στον πολιτισµό και τα µαθηµατικά των Βαβυλωνίων, εκφράζουµε τον ενθουσιασµό µας µε όλα αυτά που είχαν καταφέρει οι Βαβυλώνιοι. Ας µην ξεχνάµε βέβαια και τον Πύργο της Βαβέλ, ο οποίος ήταν ένα από τα 7 θαύµατα του κόσµου. Μαθητές που συµµετείχαν : 1)Καραµπατζιάκης Μιχάλης 2)Μανοµενίδου Χριστίνα 3) Κυριακίδης Νίκος 4)Παπαγιαννάκη Δήµητρα Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους;

13 Ο ελληνικός πολιτισµός ξεκίνησε περίπου το 2000 π.χ. µέχρι το 300 µ.χ. όταν ένα φύλο ινδοευρωπαϊκής προέλευσης εγκατέλειψε τα βόρεια Βαλκάνια και µετανάστευσε στον κυρίως ελλαδικό χώρο και στην ανατολική Μεσόγειο. Τα επόµενα 1400 χρόνια, εξαπλώθηκαν στη δυτική Μ. Ασία, στα νησιά του Αιγαίου και σε όλη την υπόλοιπη Ελλάδα. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Αρχικά πολύ σηµαντικό και ιδιαίτερα παράξενο για την εποχή τους αλλά ακόµη και για σήµερα είναι πως οι Έλληνες ζούσαν σε ξεχωριστές πόλεις-κράτη µε διαφορετικές αντιλήψεις, νοµοθεσίες και θεσµούς. Αυτό φάνηκε αρκετό έτσι ώστε να µην είναι όλοι επιβαρυµένοι από την ιδία κοσµοθεωρία την οποία επέβαλαν οι ιερείς που ήταν ισχυρές προσωπικότητες µε προνόµια. Ακόµη και έτσι όµως ήταν ενωµένοι µέσω οµοσπονδιών και βεβαίως των σπουδαίων αγώνων που διοργάνωναν. Το σηµαντικότερο στοιχείο του ελληνικού πολιτισµού αλλά και κάθε πολιτισµού πιστεύω πως είναι η γλώσσα του. Επίσης οι αρχαίοι Έλληνες φηµίζονται για τα πνευµατικά, τα φιλοσοφικά, αλλά και τα ιατρικά επιτεύγµατα τους. Επιπροσθέτως πιστεύω πως σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη του ελληνικού πολιτισµού έπαιξε η δηµοκρατία και γενικά η δικαιοσύνη, σήµα κατατεθέν για την αρχαία Ελλάδα. Τέλος ανυπολόγιστη ήταν η συνεισφορά των Ελλήνων στην ποίηση, στο θέατρο και στην λογοτεχνία.

14 Ποιοι είναι οι βασικοί λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη των αριθµών; Στο διάστηµα από το 775 έως το 750 π.χ. άρχισαν εµπορικές συναλλαγές, µε τους Φοίνικες. Εκείνη περίπου την εποχή άρχισαν να χρησιµοποιούν νοµίσµατα στις εµπορικές συναλλαγές τους. Το ενδιαφέρον µας εστιάζεται στην περίοδο των Κλασικών Χρόνων γιατί τότε οι Έλληνες προσδιόριζαν τη δική τους έννοια για τους αριθµούς. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; (βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοποίηση, άρρητους αριθµούς) Οι Έλληνες δε χρησιµοποιούσαν τιµές θέσης, όπως κάνουν οι σηµερινές κοινωνίες. Το σύµβολο για το πέντε, το σηµερινό Γ, χρησιµοποιούνταν σε συνδυασµό µε άλλα σύµβολα ως πολλαπλασιαστής. Για παράδειγµα έχουµε το Γ Η, όπου ήτα =100 το οποίο συµβολίζει το 5x100 ή 500. Τα σύµβολα γράφονταν µε φθίνουσα σειρά. Τι γνώσεις γεωµετρίας είχαν; Οι Έλληνες έκαναν πολλές επαγωγικές ανακαλύψεις που αφορούσαν γεωµετρικές σχέσεις, η επιστήµη τους όµως συναντούσε σοβαρά εµπόδια εξαιτίας µιας ελλιπούς µεθόδου. Ο Θαλής µε την απαγωγική του µέθοδο, µας πρόσφερε ένα σπουδαίο δώρο για την ανακάλυψη γεωµετρικών αληθειών(σε συνδυασµό µε τα θεωρητικά σχέδια του),αλλά οι Έλληνες των µετέπειτα γενιών είχαν εντυπωσιασθεί τόσο από τη µέθοδο του ώστε την εφάρµοζαν λανθασµένα σε όλα τα είδη

15 αληθειών, κάτι που καθυστέρησε την ανάπτυξη της επιστήµης. Η γεωµετρία βασίζεται στην έννοια της λογικής απόδειξης που λειτουργεί ως µέθοδος επιβεβαίωσης της αλήθειας µιας γεωµετρικής πρότασης. Στη διαµόρφωση των γεωµετρικών εννοιών, αποφασιστικής σηµασίας πρέπει να ήταν η προσπάθεια απεικόνισης των γεωµετρικών αντικειµένων και σχέσεων µε ζωγραφικές παραστάσεις, που λειτουργούσαν ως των πραγµατικών αντικειµένων. Από απλή µελέτη θέσης ή µεγέθους µεταµορφώνεται σε αφηρηµένη αποδεικτική επιστήµη. Πιο είναι το πιο σηµαντικό µαθηµατικό έργο των Ελλήνων; Το πρώτο αξιόλογο µαθηµατικό έργο ήταν τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που γράφτηκε γύρω στο 300µ.Χ. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτέλεσαν το επιστέγασµα της αρχαίας Ελληνικής µαθηµατικής παράδοσης, αλλά και πρότυπο επιστηµονικού ιδεώδους για πολλούς αιώνες. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα είναι κι αυτό ένα κόσµηµα της ευκλείδειας γεωµετρίας και εδώ και δυο χιλιάδες χρόνια διδάσκεται στην Δύση στο πλαίσιο της βασικής γεωµετρίας. Ποια η άποψη των Πυθαγορείων για τους αριθµούς; Οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν πως τα πάντα ήταν αριθµός, δηλαδή τα πάντα εξαρτώνται από τους αριθµούς. Αν όλα τα πράγµατα εξαρτώνται από τους αριθµούς, τότε, για να µάθουµε όλες τις αλήθειες, το µόνο που πρέπει να κάνουµε είναι να συνάγουµε επαγωγικά τις αλήθειες για τους αριθµούς. Οι Πυθαγόρειοι για να γεφυρώσουν το χάσµα µεταξύ της θεωρίας των αριθµών και στον πραγµατικό κόσµο, υποστήριζαν κάποιες εξαιρετικά παράξενες θεωρίες.

16 Το είδος του αριθµητικού µυστικισµού που ανέπτυξαν, ήταν ολοφάνερο στην σηµερινή αριθµολογία. Για παράδειγµα οι περιττοί ήταν οι αρσενικοί και οι άρτιοι οι θηλυκοί. Τα τέλεια τετράγωνα όπως, το τέσσερα και το εννιά, συµβόλιζαν τη δικαιοσύνη το πέντε συµβόλιζε το γάµο, κα. Άρχιζε µε το 1(τη Μονάδα, το Περιορισµένο), το οποίο µετά διαχωρίζονταν σε 2 (τη Δυάδα) µε βάση την αρχή του Απεριόριστου. Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τλ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Πώς συµβόλιζαν τα κλάσµατα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; Αρχικά οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν το αττικό ή ηρωδιανό, σύστηµα απλούστερο και παλαιότερο, και στην συνέχεια ιωνικό ή αλεξανδρινό το οποίο ήταν περισσότερο πολύπλοκο, ευκολότερο και πιο σύγχρονο. Τα σύµβολα που χρησιµοποιούσαν στο αττικό ήταν 1=I, 5=Γ, 10=Δ, 100=Η, 1000=Χ, 10000=Μ Τα σύµβολα που χρησιµοποιούσαν στο ιωνικό ήταν Μονάδες Δεκάδες Εκατοντάδες Χιλιάδες 1=Α 10=l 100=Ρ 1000= Α 2=Β 20=Κ 200=Σ 2000=Β 3=Γ 30=Λ 300=Τ 3000= Γ 4=Δ 40=Μ 400=Υ 4000= Δ 5=Ε 50=Ν 500=Φ 5000= Ε 6=F 60=Ξ 600=Χ 6000= F 7=Z 70=O 700=Ψ 7000= Ζ

17 8=Η 80=Π 800=Ω 8000= Η 9=Θ 90=Q 900= 9000= Θ Παραδόξως οι Έλληνες δε χρησιµοποιούσαν το µηδέν, το οποίο δεν είχε ακόµα ανακαλυφθεί! Τα κλάσµατά τους ήταν µοναδιαία όπως των Αιγυπτίων ή γνήσια. Τα κλάσµατα µπορούσαν να συµβολιστούν µε διάφορους τρόπους. Πρώτος τρόπος ήταν να γράφετε ο αριθµητής και ο παρανοµαστής (ένα τονισµένο ψηφίο) από δίπλα. Μια δεύτερη µέθοδος ήταν να γράφεται ο αριθµητής και δίπλα ο παρανοµαστής ένα τονισµένο γρά µµα δύο φορές. Τέλος, ο τρίτος τρόπος ήταν να γράφουµε τον αριθµητή κανονικά και ο παρανοµαστής να γράφεται από επάνω αλλά µε µικρά γράµµατα. Ήταν µη θεσιακό το σύστηµά τους. Να γράψετε τον αριθµό 683 χρησιµοποιώντας σύµβολα των Ελλήνων. Αττικό σύστηµα: Γ Η ΗΓ Δ ΔΔΔlll =683 Ιωνικό σύστηµα: ΧΠΓ=683 Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Την εποχή εκείνη ο Θαλής είχε προβλέψει την έκλειψη Ηλίου 585 π.χ. και εντυπωσίασε ιδιαίτερα τους συµπατριώτες του αλλά οι επιστήµονες της εποχής µας τον αµφισβητούν αφού οι αστρονοµικές γνώσεις των Ελλήνων δεν είχαν αναπτυχθεί ιδιαίτερα εκείνη την εποχή. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Οι Έλληνες είναι σίγουρο ότι στηρίχτηκαν τόσο στους Αιγυπτίους όσο και στους Βαβυλώνιους. Ωστόσο, από πολλές απόψεις, αυτά που κατάφεραν ήταν εντελώς καινούρια. Επίσης από τους Φοίνικες δανείστηκαν το αλφάβητο το οποίο αποτελούνταν µόνο από σύµ φωνα µόνο που οι Έλληνες προσθέσανε και τα φωνήεντα.

18 Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Έλληνες; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό και τα µαθηµατικά τους. Οι Έλληνες όπως είδαµε, είχαν σπουδαίο πολιτισµό και αρκετές γνώσεις στα µαθηµατικά. Οι Έλληνες έθεσαν τις βάσεις για τις περισσότερες από τις µέχρι σήµ ερα επιστήµες και προσδιόρισαν µε πενιχρά µέσα πολύπλοκες και δυσνόητες έννοιες, συµβάλλοντας έτσι στην ανάπτυξη της πλειονότητας των σηµ ερινών επιστήµων. Αυτό που µας εντυπωσίασε όµ ως περισσότερο, είναι οι γνώσεις τους στα µαθηµατικά. Ιδιαίτερα προσοδοφόρες ήταν οι θεµελιώσεις, όπως τους υπολογισµούς σχετικά µε το διάστηµα του Θαλή. Επιπρόσθετα έκαναν σπουδαίες και ακριβείς ανακαλύψεις στα µαθηµατικά, όπως στη γεωµετρία την επαγωγική µέθοδο, Όντας γνωστό τοις πασοις διοργάνωναν τους περίφηµους Ολυµπιακούς Αγώνες στην Ολυµπία προς τιµήν του Δία, τους Ολυµπιακούς. Είχαν ανεπτυγµένη ναυτιλία και εµπορικές συναλλαγές µε τους Φοίνικες γύρω στο 750π.Χ.Τέλος το πιο σηµαντικό είναι πως ήταν ενωµένοι, χάρη στην κοινή τους γλώσσα και προέλευση, και χάρη γι αυτό µπόρεσαν να αναπτυχθούν, πράγµα που πρέπει να κάνουµε κι εµείς σήµερα για να προοδεύσουµε ως Έλληνες που είµαστε. Μαθητές που συµµετείχαν : 1)Καραγκιοζάκη Δώρα

19 2)Ράντος Δηµήτρης 3)Βενιζελέα Ελίζα 4)Αποστολίδης Δηµήτρης Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Ο πολιτισµός των Ινδών είναι ο αρχαιότερος από όλους τους άλλους πολιτισµούς της ανθρωπότητας και είναι ιδιαίτερα εξελιγµένος. Τα πρώτα δείγµατα οργανωµένης ζωής ανάγονται στην εποχή του λίθου και χρονολογούνται από τα τέλη της 4 ης χιλιετίας πχ. Όµως, έφτασε στη µεγαλύτερη ακµή της γύρω στο 2300 πχ και άρχισε να παρακµάζει µετά από 500 περίπου χρόνια. Η περιοχή που άκµ ασε ο ινδικός πολιτισµός είναι η Πενταποταµία, δηλαδή η βορειοδυτική περιοχή της Ινδίας που βρίσκεται στις όχθες του Ινδού ποταµού(σηµερινό Πακιστάν). Μοέντζο-Ντάρο Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Ο πολιτισµός των Ινδών είναι η κοιτίδα ενός από τους λαµπρότερους πολιτισµούς που διαδόθηκε σ ολόκληρη την Ανατολική Ασία. Ο αρχαίος πολιτισµός «του Ινδού ποταµού», που άνθισε στο

20 έδαφος της σηµερινής Ινδίας και του Πακιστάν, έφτασε στη µεγαλύτερη ακµή του κατά την τρίτη χιλιετία π.χ. Oι πιο σηµαντικές πόλεις κατά το 2500 π.χ. είναι το Αµρί (κοντά στο δέλτα του Ινδού), Μοέντζο-Ντάρο (Ινδό ποταµό), Λοτάλ (κοντά στον κόλπο Καµπέι) και Χαράππα (κοντά στον ποταµό Ράβι). Οι κάτοικοι του Μοχέντζο- Ντάρο ανέπτυξαν την γραφή και ένα δεκαδικό σύστηµα αριθµών. Δυστυχώς, λίγα επιπλέον γράµµατα γνωρίζουµε για τα µαθηµατικά τους. Γλώσσα: Στις αρχές της 2 ης χιλιετίας ο πολιτισµός των Ινδών δέχτηκε επιρροές από τον πολιτισµό των Αρίων και Βεδών. Η γλώσσα που µιλούσαν ήταν η σανσκριτική, η οποία παρουσιάζει στοιχεία κοινής καταγωγής µε την ελληνική, τη λατινική και γενικότερα τις λεγόµενες ινδοευρωπαϊκές γλώσσες. Παρά τις προσπάθειές τους, οι µελετητές δεν είναι σε θέση να αποκρυπτογραφήσουν τη γραφή αυτού του πολιτισµού. Ένα πρόβληµα το σηµαντικότερο ίσως- είναι η έλλειψη στοιχείων. Οι περισσότερες από τις γνωστές επιγραφές έχουν βρεθεί σε σφραγίδες ή κεραµικά δοχεία και περιέχουν λιγότερους από 4 ή 5 χαρακτήρες. Μάλιστα, το µακρύτερο κείµενο περιέχει 26 χαρακτήρες. Επίσης, δεν υπάρχουν ως τώρα περισσότερες ενδείξεις κάποιου φιλολογικού corpus. Από τον 4 ο 3 ο αιώνα αντλούµε πληροφορίες από τους θρησκευτικούς τους ύ µνους, τις Βέδες, οι οποίες είναι γραµµένες στη µέση ινδική γλώσσα (πιο συγκεκριµένα την πρακρίτ). Η ινδική, η λατινική και η ελληνική γραφή θεωρούνται οι αρχαιότερες και οι πιο ανεπτυγµένες στην οµάδα των ινδοευρωπαϊκών γλωσσών. Θρησκεία: Από την εποχή της εµφάνισης των Αρίων (1500π.Χ.) µέχρι τον 4 ο αιώνα π.χ. υπάρχει ένα µεγάλο ιστορικό κενό λόγω της έλλειψης ιστορικών τεκ µηρίων. Τότε διαµορφώθηκαν οι δύο µεγάλες

21 θρησκείες, ο Βραχµ ανισµός (Ινδουισµός) και ο Βουδισµός. Ο Βραχµανισµός είναι η αρχαιότερη από τις µεγάλες παγκόσµιες θρησκείες. Αυτή η θρησκεία ως τρόπο ζωής και ως θεωρία, είναι πολυσύνδετη µε αντικρουόµενα µεταξύ τους στοιχεία, που ξεκινούν από αφελείς αφηγήσεις των χορικών και φτάνουν µέχρι τη δυσνόητη λογική των φιλοσόφων. Ο Βραχµανισµός ή Ινδουισµός είναι η πρώτη θρησκεία του λαού της Ινδίας. Τη µεγάλη χρονική περίοδο της επικράτησης των Αρίων η βόρεια και η κεντρική Ινδία ήταν διαιρεµένη σε µικρά, φεουδαρχικού τύπου, κρατίδια. Σε ένα απ αυτά γεννήθηκε τον 6 ο αιώνα π.χ. ο ιδρυτής της δεύτερης µεγάλης θρησκείας του Βουδισµού, ο οποίος ονοµάζονταν Σιντάρα Γκαουτάµα (υπαρκτό ιστορικό πρόσωπο, π.χ.), γνωστός ως Βούδας(=φωτισµένος). Τέχνη: Μας άφησε ο πολιτισµός τους εντυπωσιακά αρχιτεκτονικά λείψανα, γλυπτικές µορφές που διακρίνονται για την ποικιλία των τύπων και για την υψηλή τεχνική τους, άφθονη κεραµ ική και σφραγίδες. Η ινδουϊστική τέχνη, που αναδείχνεται νωρίτερα και επικρατεί µε το πέρασµα του χρόνου, είναι συνυφασµ ένη µε τις µορφές της βασικής τριάδας του ινδουιστικού πανθέου: του θεού Σίβα, Βράχµα και Βισνού. Μπορούµε να αναφέρουµε ότι η θρησκευτική τέχνη τ ους, όπως και οι τέχνες µερικών λαών τις Ασίας, έχουν επηρεάσει κατά ένα µέρος την ελληνική. Απ όλες τις πηγές που έχουµε στη διάθεσή µας, γίνεται αντιληπτό στην Ινδία η θρησκεία, η ποίηση, το θέατρο, ο χορός και η µουσική γεννήθηκαν και συνυπάρχουν όπως και σε τόσους άλλους πολιτισµούς σε µία άρρηκτη ενότητα όπου δύσκολα µπορεί κανείς να ξεχωρίσει τα όρια µιας τέχνης από την άλλη. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; (βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοποίηση, άρρητοι αριθµοί) Οι Ινδοί χρησιµοποίησαν κάποιους ειδικούς κανόνες οι οποίοι προϋποθέτανε ότι ο αριθµός γραφόταν µε δεκαδική σηµειογραφία, µε τη

22 πρέπουσα σπουδαιότητα στη θέση του µηδενός και της υποδιαστολής. Ακόµα, είχαν γνώσεις των δυνάµεων του δέκα. Στην αριθµητική η µέθοδος των τριών ήταν γνωστή, όπως και οι σύνθετες µέθοδοι ονοµάζονταν µέθοδος των πέντε, µέθοδος των επτά κτλ. Στη συνέχεια, πιστεύεται ότι οι δύο µεγάλοι µαθηµατικοί και αστρονόµοι, ο Aryabhatta & o Brahmagupta, γνώριζαν τον τρόπο επιλύσεις απροσδιόριστων εξισώσεων β βαθµού. Ο Brahmagupta, κατά τον 6 ο αιώνα µ.χ., σχεδίασε τη µέθοδο λύσης της εξίσωσης τύπου Ν x 2 + 1=My 2 (η οποία ήταν γνωστή µε το όνοµα «Varga Prakriti»). Επιπροσθέτως, είχαν γνώσεις άλγεβρας, γεωµετρίας, µια αντίληψη των αφηρηµένων αριθµών και διάφορων λύσεων σε σχέση µε το µηδέν. Ήξεραν τα µαθηµατικά και, γενικά, τις βασικές αριθµητικές πράξεις(πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση, πολλαπλασιασµός) και τις χρησιµοποιούσαν καθηµερινά κάτοικοι της Ινδίας. Τέλος, από Ινδούς µαθηµατικούς έρχονται για πρώτη φορά στην επιφάνεια η έννοια του µηδενός, οι τεχνικές της Άλγεβρας και των Αλγόριθµων, της τετραγωνικής και κυβικής ρίζας. Είχαν βασικές γνώσεις γεωµετρίας; Οι Ινδοί προσέφεραν πολλά στη γεωµετρία υπήρχε ένα πεδίο µαθηµατικών υπολογισµών που λεγόταν Rekha Ganita (γραµµικοί υπολογισµοί), µορφοποιήθηκαν και εφαρµόστηκαν για τον σχηµατισµό των Mandalas για αρχιτεκτονικούς σκοπούς. Εµφανίζονται στα γεωµετρικά σχέδια και στα διαφορετικά µοτίβα ναών. Τα Sulva-sutra που σηµαίνουν «κανόνας της χορδής» δίνουν γεωµετρικές µεθόδους κατασκευής πυλώνων και ναών. Τα πιο συνηθισµένα σχήµατα είναι το κυκλικό, τετραγωνικό και η µικυκλικό. Όµως κάθε σχήµα έχει το ίδιο προκαθορισµένο µέγεθος και αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη µιας γεωµετρίας πρωτόγονης που σχετιζόταν µε τα ίσα ε µβαδά. Επίσης, ο Αριαµπάτα, εκτός από αστρονόµος ήταν και µαθηµατικός και ασχολήθηκε µε την τριγωνοµετρία (για τις µετρήσεις της σφαίρας) και υπολόγισε το π, δηλαδή το 62,832/20,000=3,1416. Τέλος, κατά την

23 εποχή της Σουλβασούτρας υπάρχουν αναφορές στην πυθαγόρεια τριάδα αριθµών π.χ. το 3,4,5. Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τλ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; O πρώτος γνωστός ινδουιστής µαθηµατικός, ο Αριαµπάτα, γεννήθηκε το 476 µχ. Στα κείµενά του υπάρχουν οι πρώτες µαρτυρίες ενός δεκαδικού συστήµατος θέσης-τιµής. Το αριθµητικό σύστηµα της Ινδίας χρησιµοποιείται και σήµερα παγκοσµίως. Υπάρχουν τέσσερις βασικές αρχές σ αυτό το σύστηµα αριθµών: είναι ένα σύστηµα που έχει ως βάση το 10 περιέχει ένα σύνολο ξεχωριστών συµβόλων για τον αριθµό από το 1 έως το 9 έχει γραφή θέσης-τιµής, καθώς και ένα µηδέν. Καµ ιά απ αυτές τις βασικές αρχ ές δε συναντάµε αποκλειστικά στην Ινδία. Όµως, τα πρώτα αριθµικά σύµ βολα, που ονοµ άζονταν βραχµανικά ψηφία, δεν είχαν εξελιχθεί στα σύµβολα που χρησιµοποιούµε σήµερα και δεν περιλάµβαναν το µηδέν. Στα πρώτα χρόνια της εµφάνισής τους αυτά τα αριθµητικά σύ µβολα δεν κατείχαν µια τιµή-θέση. Στη πορεία των χρόνων, περίπου το 600 µ.χ., τα βραχµανικά αριθµητικά ψηφία άρχιζαν να εµφανίζονται σ ένα σύστηµα θέσης-τιµής. Την ίδια εποχή προστέθηκε το µηδέν(ονοµαζόταν Pujham=ιερό και συµ βολίζονταν µε µια τελεία ή µικρό κύκλο ) και έτσι ολοκληρώθηκε το αριθµητικό σύστηµα των Ινδών, το οποίο µετά το αφοµοίωσαν και το τροποποίησαν οι Άραβες. Έτσι απ αυτούς διαδόθηκε αυτό το αριθµητικό σύστηµα στην Ευρώπη και παγκοσµιοποιήθηκε, αργότερα.

24 Να γράψετε τον αριθµό 457 χρησιµοποιώντας σύµβολα των Ινδών. Τα Ινδο-βραχµανικά σύµβολα του 4:, του 5:, του 7:. Άρα το νούµερο 457 στον ινδο-βραχµανικό πολιτισµό είναι: Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Από το 200 µ.χ. κατείχαν γνώσεις αστρονοµίας, δηλαδή µετά την περίοδο Σουλβασούτρα, που φτάνει µέχρι το 200 µ.χ., έρχεται η εποχή Σιντάνα, κατά την οποία ανήκει το πρώτο γνωστό έργο αστρονοµίας, Σούρια Σιντάνα. Έχουµε αναφέρει στις προηγούµενες απαντήσεις ότι οι Αριαµπάτα και Βαραχαµιχίρα ήταν µεγάλοι και σηµαντικοί µαθηµατικοίαστρονόµοι της Ινδίας και έπαιξαν καθοριστικό ρόλο για τη πρόοδο και των δυο επιστηµών. Ο Βραχαµιχίρα δίδασκε ότι η Γη είναι σφαιρική, το οποίο όµ ως είχαν ανακαλύψει οι Έλληνες πολλούς αιώνες νωρίτερα. Επιπροσθέτως, περιείχε στο έργο του εκείνους τους υπολογισµούς που ήταν απαραίτητοι για την ανεύρεση της θέσης ενός πλανήτη. Ακόµα, αυτός ο µεγάλος αστρονόµος ήταν ο πρώτος που συνδύασε την άλγεβρα µε την αστρονοµία. Έτσι, λοιπόν, η αστρονοµία των Ινδών ήταν αρκετά ανεπτυγµένη χάρη στον Βραχαµι χίρα και άλλους µεταγενέστερους απ αυτόν αστρονόµους. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Οι ινδουιστές είχαν σίγουρα πληροφορίες για τους Έλληνες, αφού ο Μέγας Αλέξανδρος κατέκτησε τη Περσική αυτοκρατορία και προήλασε µέχρι την κοιλάδα του Ινδού ποταµού µεταξύ π.χ. Εποµένως, οι Έλληνες και οι ινδουιστές στοχαστές θα πρέπει να είχαν κάποιες ευκαιρίες για ανταλλαγή ιδεών. Ακόµα δύο λαοί που πιθανόν να επηρέασαν τους Ινδούς είναι η Βαβυλώνιοι και οι Κινέζοι ως προς τον

25 πολιτισµό τους και τα µαθηµατικά. Όµως, αυτή η πιθανότητα και αυτό το ερώτηµα δεν έχει εξακριβωθεί. Ποια κατά την γνώµη σας ήταν η µεγαλύτερη συνεισφορά των Ινδών στα µαθηµατικά; Πιστεύουµε ότι η µεγαλύτερη συνεισφορά των Ινδών στα µαθηµατικά ήταν (πρώτα) το αριθµητικό σύστηµά της, το οποίο σήµερα χρησιµοποιείται από τους περισσότερους λαούς της γης, και (µετά) η αποδοχή των αρνητικών αριθµών και του µηδενός(µετά από 6 ο αιώνα µ.χ.). Το σύστηµά της που έχει παγκοσµιοποιηθεί είναι το δεκαδικό. Τα σύµβολα των αριθµών στα παλιά χρόνια δεν ήταν ίδια µε τα σηµερινά, αλλά διαφορετικά. Εξελίχθηκαν κατά χρονικά διαστήµατα και έφτασαν στην τελική τους µορφή που έχουνε σήµερα. Μετά από την αντιγραφή και την ελαφρώς τροποποιηµένη µορφή αυτού του συστήµατος, διαδόθηκε σ όλη την Ευρώπη και µετά στον κόσµο. Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Ινδούς; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό και τα µαθηµατικά τους. Πριν αρχίσουµε την εργασία διαπιστώσαµε ότι σχέση των Ινδών µε τα µαθηµατικά ήταν η ίδια µε τους άλλους λαούς. Τώρα που έχουµε τελειώσει καταλάβαµε ότι ήταν πιο ανεπτυγµένη από οποιοδήποτε άλλο λαό της γης στην εποχή Gupta, ακόµα και από τους Έλληνες και Αιγυπτίους. Η διαφορά από τους Έλληνες φαίνεται στο ότι ο ι ινδουιστές µαθηµατικοί µε τη χρήση του µηδενός και των αρνητικών αριθµών προχώρησαν από την πρωτόγονη, ρητορική άλγεβρα που δε χρησιµοποιεί σύµβολα, σε µία σχεδόν εξ ολοκλήρου συµβολική άλγεβρα φτάνοντας σε ένα επίπεδο συµ βολικής αφαίρεσης ανώτερο από αυτό του Διόφαντου (ο καλύτερος αλγεβριστής των Ελλήνων).

26 Μας εντυπωσίασαν πολλά πράγµατα στον πολιτισµό των Ινδών και τα µαθηµατικά τους. Πρώτον, θαυµαστό είναι ότι η άλγεβρά τους ήταν γνωστή αιώνες πριν εµφανιστεί στους Ευρωπαίους. Δεύτερον, ενδιαφέρον είναι ότι θεωρείται ο πρώτος πολιτισµός που ανέπτυξε τον αστικό σχεδιασµό. Μπορούµε να αναφέρουµε ότι οι περισσότεροι οικισµοί του αρχαίου κόσµου είχαν αναπτυχθεί µε κάποια αναρχία, αλλά στον πολιτισµό του Ινδού κάθε πόλη µοιάζει να δηµιουργήθηκε σύµφωνα µε ένα σχέδιο: µια ακρόπολη-φρούριο πο υ έβλεπε προς τη δύση, περιβαλλόµενη από συγκροτήµατα οικιών κατά µήκος µεγάλων αρτηριών µε κατεύθυνση Βορρά-Νότου. Οι κύριες αρτηρίες χώριζαν την πόλη σε ορθογώνια, ενώ οι µικρότεροι δρόµοι ήταν σχεδιασµένοι στην τύχη. Προσπαθούσαν, επίσης, ό, τι έχτιζαν, ακόµα και τα τούβλα, να ήταν οµοιόµορφο και αρµονικό. Ας υπογραµµίσουµε ότι οι κατασκευές των πυλώνων και των ναών γίνονταν σύµφωνα µε τις γεωµετρικές µεθόδους Sulva Sutras, που σηµαίνουν «Κανόνας της Χορδής» Τέλος, οι Ινδοί κατά τη γνώµη µας προσέφεραν πολλά στα Μαθηµατικά και γενικά στον κόσµο. Αυτό φαίνεται, κυρίως, από το σύστηµα γραφής και τα αριθµητικά σύµβολα που χρησιµοποιεί ο µισός πληθυσµός της Γης και παραπάνω. Όπως και από τους ινδουιστές µαθηµατικούς που προσέφεραν ένα µεγάλο έργο σ αυτή την επιστήµη είτε αποδεικνύοντας κάποια σηµαντικά θεωρήµατα, είτε εισάγοντας καινούργιες τεχνικές και νέες έννοιες που βοήθησαν στην ανάπτυξη διαφόρων κλάδων της. Μαθητές που συµµετείχαν: 1) Αφροδίτη-Λυδία Παναγιωτοπούλου 2) Ελένη Σαββίδου 3) Μαλβίνα Τσαντεκίδου

27 Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Οι Ίνκα ήταν λαός της Α µερικής και συγκεκριµένα του Περού. Οι πρώτοι κάτοικοι του Περού ήταν κυνηγοί νοµάδες που κατοικούσαν σε σπήλαια στις περιοχές της περουβιανής ακτής. Η πιο παλιά τοποθεσία, το σπήλαιο χρονολογείται το π.χ., δηλαδή πριν την ανακάλυψη της Αµερικής από τον Κολόµβο. Η αυτοκρατορία των Ίνκα εκτεινόταν από το βορειοδυτικό

28 Εκουαδόρ και περιλάµβανε τ µήµατα του Περού, της Βολιβίας και της Αργεντινής, και αρχίζει από το 1200 π.χ. περίπου µέχρι το 1532 όπου καταλύεται από τον Ισπανό Πιζάρο. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Οι Ίνκα ανάπτυξαν σπουδαίο π ολιτισµό, που άφησε έκπληκτους τους πρώτους Ισπανούς κυρίους τους. Αν και αυτοκρατορία τους είχε διάρκεια µόνο 200 χρόνων, οι Ίνκα κατάφεραν να αναπτύξουν αρκετά τις επιστήµες όπως την είχαν αρχιτεκτονική, την αστρολογία και την ιατρική. Είχαν ένα σύστηµα δηµόσιων δρόµων περίπου τριάντα χιλιάδων χιλιοµέτρων που συνέδεε την πρωτεύουσα των Ίνκας «Κούσκο» µε τα αποµακρυσµένα τ µήµατα της αυτοκρατορίας. Οι Ίνκας ονόµασαν την επικράτεια τους Tawantinsuyu, που στη γλώσσα Quechua,την γλώσσα των Ίνκας σηµαίνει Τα τέσσερα µέρη. Δεν υπήρχαν µεγάλες πόλεις αλλά έµεναν σε µικρά χωριά, τα οποία είχαν σπάνια πάνω από 1000 κατοίκους. Ποιοι είναι οι βασικοί λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη των αριθµών; Για ποιο λόγο ανέπτυξαν το αριθµητικό τους σύστηµα; Οι Ίνκας δεν χρησιµοποιούσαν γραφή, αλλά τα µυστηριώδη "κιπού" φαίνεται ότι κάλυπταν αυτό το κενό και χρησιµοποιούνταν και για απαρίθµηση και καταγραφή αριθµών. Οι βασικοί λόγοι για την ανάπτυξη των αριθµών στους Ίνκας ήταν η απογραφή του πληθυσµού, που γινόταν ανά πενταετία, η φορολογία, το εµπόριο, τα υλικά που υπήρχαν στις αποθήκες της αυτοκρατορίας, τα όπλα και τα αποτελέσµατα των εκστρατειών. Με ποιον τρόπο κατέγραφαν τους αριθµούς; Οι Ίνκας χρησιµοποιούσαν τα "κιπού" τα οποία ήταν κορδόνια κορδέλες µε κόµπους. Δεν έχουν αποκωδικοποιηθεί ακόµα σε όλες τους τις λεπτοµέρειες, αλλά γνωρίζουµε µε ποιο τρόπο τα χρησιµοποιούσαν: Πάνω σε µια κορδέλα

29 έκαναν έναν κόµπο για τις δεκάδες χιλιάδων, έναν τριπλό κόµπο για τις χιλιάδες, έναν διπλό για τις εκατοντάδες κ.ο.κ. αφήνοντας ένα κενό στην κορδέλα, που σήµαινε το µηδενικό. Το κάθε ψηφίο συµβολιζόταν από ένα συνδυασµό κόµπων και απείχε εξίσου από τα γειτονικά ψηφία. Η κορδέλα δενόταν από την άκρη της πάω σε ένα άλλο, κύριο σχοινί, σηµαδεύοντας το ψηφίο της µεγαλύτερης µονάδας. Για παράδειγµα, ο αριθµός 475 θα υποδηλωνόταν µε τέσσερις κόµπους στο πάνω µέρος του σχοινιού, ακολουθούµενους από µια οµάδα επτά κόµπων και στη συνέχεια θα υπήρχαν είτε πέντε µονοί κόµποι είτε ένα κόµπος µε πέντε θηλιές. Ρόλο έπαιζε και το χρώµα και το υλικό της κορδέλας, π.χ. η κίτρινη κορδέλα συµβόλιζε το χρυσάφι ή το καλαµπόκι (ανάλογα µε το υλικό της). Επίσης για να πραγµατοποιήσουν υπολογισµούς δεν χρησιµοποιούσαν τα κιπού άλλα το έκαναν µε άλλα βοηθήµατα όπως τα δάχτυλά τους ή µε χαλίκια και µετά απλώς κατέγραφαν τα αποτελέσµατα στα κιπού Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τ.λ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό;

30 Οι Ίνκας Χρησιµοποιούσαν το δεκαδικό σύστηµα.. Η κορδέλα δενόταν από την άκρη της πάνω σε ένα άλλο, κύριο σχοινί, σηµαδεύοντας το ψηφίο της µεγαλύτερης µονάδας. Ρόλο έπαιζε και το χρώµα και το υλικό της κορδέλας. Επίσης σύµφωνα µε έρευνες πιστεύεται ότι ταυτόχρονα χρησιµοποιούσαν και στοιχεία από το δυαδικό σύστηµα. Φαίνεται ότι υπάρχουν 7 σηµεία για να φτιαχτεί ένα «κιπού», στα οποία θα πρέπει ο δηµιουργός να πάρει µια απλή απόφαση µεταξύ δύο πιθανοτήτων - η λογική του δυαδικού κώδικα των 7 σηµείων. Μαθητές που συµµετείχαν : 1) Γκουντέλα Χριστιάνα 2) Καφετζοπούλου Εµµανουέλα 3) Τσολάκης Κώστας 4) Σχοινάς Νίκος Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Μια λογική υπόθεση για την αρχή του κινέζικου πολιτισµού είναι µεταξύ 2852 και 2738π.χ, τ ην εποχή της βασιλείας του Φου-Χι ο οποίος αναφέρεται ως ο πρώτος αυτοκράτορας της Κίνας. Κυριάρχησε στην Κίνα µετά την ενοποίηση της Άνω και Κάτω Αιγύπτου, τότε που χτίζονταν οι πυραµίδες και υπήρχε η αυτοκρατορία των Σουµέριων στη Μεσοποταµία. Η Κίνα βρίσκεται στην Κεντροανατολική Ασία από το Παρίµ και το Καροκόραµ µέχρι τον Ειρηνικό Ωκεανό και την Ρωσική Άπω Ανατολή σε γεωγραφικό µήκος 600 και από τα Αλτάι και τον ποταµό Αµούρ ως τα Ιµαλάϊα και την χερσόνησο της Ινδοκίνας.

31 Ποιά είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Το µοναρχικό και αριστοκρατικό πολιτικό σύστηµα που είχε πάντα η Κίνα είτε όταν γινόταν αυτοκρατορία είτε πολλά χωριστά βασίλεια πλαισιώνονταν πάντα από υπαλλήλους µορφωµένους και καλλιεργηµένους. Οι τίτλοι δεν µεταβιβάζονταν σ τον κληρονόµο γιατί έπρεπε να δίνουν εξετάσεις για να αναλάβουν τα καθήκοντα τους οι µορφωµένοι, έτσι στα υψηλά κοινωνικά στρώµατα εκλέγονταν νέοι ηγέτες. Η θρησκεία τους περιλάµβανε το σαµ ανιστικό υπόβαθρο. Αρχαιότατη είναι και η επιστήµη της γεωµαντείας γνωστής ως Φένγκ- Σούι. Στην Κίνα όµως συναντάµε 2 µεγάλες θρησκείες, τον Λάο Τσε και Βούδα οι οποίες γεννήθηκαν από τον Κοµ φούκιο. Σηµ αντικό ρόλο έπαιξε η γραπτή γλώσσα η οποία µπορούσε να διαβαστεί από όλους τους εγγράµµατους σε όλη την αυτοκρατορία. Αυτό συντέλεσε στην διατήρηση της ενότητας των Κινέζων. 3. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; [βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοπoίηση, άρρητοι αριθµοί.] Oι Κινέζοι χρησιµοποιούσαν το µαγικό τετράγωνο, µια τετραγωνική διάταξη των εννέα αριθµών τέτοια ώστε οι 3 οριζόντιες σειρές, οι 3 κάθετες σειρές και οι δύο διαγώνιοι όταν αθροίζονται να καταλήγουν όλες στον ίδιο αριθµό. Το πρώτο αληθινά µαθηµατικό κείµενο που διασώθηκε ήταν το Τζού-µπέι, το οποίο πιθανόν να γράφτηκε το

32 1100π.χ, περιέχει ηµ ερολογιακούς υπολογισµούς και υλικό σχετικό µε τα κλάσµατα. Το έργο αναφέρεται επίσης στη διαίρεση µιας γραµµής των τριών κ.τ.λ. µονάδων κάτι που αφορά πιθανότατα στο ορθογώνιο τρίγωνο µε µήκη πλευρών τρία, τέσσερα και πέντε. Εποµένως γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα. Ένα έργο µεγάλης εκτίµησης είναι το τζιούτζάν σ ούα-σου ή Η αριθµητική σε 9 κεφάλαια. Τα θέµατα περιλαµβάνουν προβλήµατα σχετικά µε τη φορολόγηση, την τοπογράφηση, τα ποσοστά και τον υπολογισµό ε µβαδού τριγώ νων, κύκλων και τραπεζίων. Περιλαµβάνει επίσης προβλήµατα που σχετίζονται µε τα συστήµατα γραµµικών εξισώσεων, µε το πυθαγόριο τρίγωνο, µε τις τετραγωνικές τις κυβικές ρίζες, και µε τη χρήση του κανόνα της λαθεµ ένης παραδοχής. Οι Κινέζοι έλυναν εξισώσεις π ου περιείχαν αγνώστους στο τετράγωνο ή στον κύβο, αλλά και απλές εξισώσεις όπου ο άγνωστος ήταν υψωµένος στη δέκατη δύναµη. 5.Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. Ποιά σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό ; Το βασικό σύστηµα αριθµών τους ήταν δεκαδικό και είχε ξεχωριστές λέξεις για τους αριθµούς από το 1-9. Αριθµοί που έφταναν ακόµη και σε εκατοµµύρια σχηµατίζονταν µε συνδυασµό των αριθµητικών λέξε ων των µεγαλύτερων αριθµών. Το κινέζικο σύστηµα δεν είναι καθορισµένο αφού οι διάφοροι σύνθετοι αριθµοί Μπορούν να µετακινηθούν χωρίς να χάσουν το βασικό τους µέγεθος. Όταν οι Κινέζοι πήγαιναν από την οµ ιλούµενη αριθµητική λέξη στο γραπτό αριθµητικό ψηφίο,

33 διατηρούσαν το βασικό τους σύστηµα. Σε κάθε αριθµό στο οµιλούµενο σύστηµα αριθµητικών λέξεων εκχωρείται ένα ξεχωριστό πικτόγραµµα και η διαδικασία των αριθµών είναι ίδια. Στην αρχαία Κίνα αναπτύχθηκαν 4 διαφορετικά γραπτά συστήµατα: τα βασικά, τα εµπορικά, τα επίσηµα και τα ραβδόµορφα αριθµητικά ψηφία. Οι Κινέζοι δεν χρησιµοποιούσαν το µηδέν γιατί δεν το χρειάζονταν. Μόνο τον 13 ο αιώνα µ.χ. άρχισε να εµφανίζεται σε κάποια γραπτά τους. Αυτό συνέβη από την εµφάνιση του µηδενός στα ευρωπαϊκά αριθµητικά ψηφία όσο και σε αυτά των Μάγια στον νέο κόσµο. Στα κινέζικα ο αριθµός γράφεται από πάνω προς τα κάτω αντί από τα αριστερά προς τα δεξιά.για κάθε ψηφίο χρησιµοποιείται ένα ζεύγος συµβόλων, όπου το ένα σύµβολο δηλώνει το αριθµητικό ψηφίο και το δεύτερο σύµβολο δηλώνει την τιµή λόγω της θέσης. Εποµένως είναι δυνατόν να αλλάζουµε τις θέσεις των ζευγών των κινέζικων αριθµητικών συµβόλων χωρίς να χαθεί το νόηµα. 6.Να γράψετε τον αριθµό χρησιµοποιώντας τα εµπορικά σύµβολα των Κινέζων. 4=Χ 3=ΙΙΙ 8= 0=Ο 1=Ι => 43801=ΧΙΙΙ ΟΙ 7.Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Κατά την κύρια του Φου-Χι οι Κινέζοι έκαναν διεξοδικές αστρονοµικές παρατηρήσεις. Με την υποστήριξη του κίτρινου αυτοκράτορα, του Χουάνγκ-Τι,ένα κείµενο µε θέµα την αστρονοµία και καθιερώθηκε ένα σύστηµα που είχε ως βάση το 60 (εξηνταδικό) και όχι το 10(δεκαδικό). Είχαν κατασκευάσει ηµερολόγιο;

34 Κάθε νέος αυτοκράτορας διέταζε να υπολογιστεί ξανά το κινέζικο ηµερολόγιο και για αυτό οι µαθηµατικοί ήταν απαραίτητα µέλη των βασιλικών αυλών. Έτσι όλη η βασιλική αυλή αλλά και ο απλός κόσµος ήξερε τις σωστές µέρες των σηµαντικών γιορτών, αλλά ήξεραν και για τις πληµµύρες των ποταµών και την κατάλληλη εποχή για καλλιέργεια. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Υπήρχαν περιορισµένες επαφές της Κίνας µε την Ινδία πιθανόν ακόµα και µε την Δύση, δεν είναι σίγουρο όµως ότι τα µαθηµατικά τους ήταν κατά µεγάλο µέρος της ιστορίας τους αποµονωµ ένα από τους άλλους πολιτισµούς. Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Κινέζους; Το πιο εντυπωσιακό είναι η αποµόνωση τους από τους άλλους πολιτισµούς, αλλά και η ακρίβεια των ηµερολογίων τους που βοήθησαν όλους τους ανθρώπους ανεξαρτήτως της κοινωνικής τους τάξης. Επίσης εντυπωσιακή είναι και η ανυπαρξία του µηδενός το οποίο είναι αρκετά σηµαντικό στο δικό µας αριθµητικό σύστηµα ενώ στο κινέζικο είναι σχεδόν αδιάφορο. Άλλο εντυπωσιακό είναι το περίφηµο π το οποίο εκφράζει το λόγω µεταξύ περιµέτρου του κύκλου, ο οποίος λόγος είναι αδύνατον να εκφραστεί µε ακέραιους αριθµούς, αλλά µπορεί να υποδιαιρεθεί σε άπειρους δεκαδικούς. Τα οµ ιληµένα κινέζικα έχουν λίγες λέξεις, ενώ η γραπτή γλώσσα έχει πολλές χιλιάδες σύµβολα. Εποµένως,η γραπτή γλώσσα που βασίζεται σε πικτογράµµατα και όχι σε φωνητικές λέξεις, µπορούσε να διαβαστεί από µορφωµένους Κινέζους της παντού στην αυτοκρατορία την εποχή εκείνη.

35 Μαθητές που συµµετείχαν : 1) Τσαλκάτη Χριστίνα 2) Κνίκου Αθανασία 3) Παναγιωτίδου Ευγενία 4) Βασιλειάδου Νατάσα Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Η περίοδος ακµής των Μάγια ήταν από τον 3 ο µέχρι και τον 10 ο αιώνα µ.χ. Ο πολιτισµός τους αναπτύχθηκε στην χερσόνησο του Γιουκατάν

36 στο Νότιο Μεξικό, στη σηµερινή Μπελίσε και στη Γουατεµάλα. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Ο πολιτισµός των Μάγια θα µπορούσαµε να πού µε ότι έχει πολλές οµοιότητες µε άλλους αρχαίους πολιτισµούς(έλληνες, Αιγύπτιοι).Από τα πρώτα χρόνια της ύπαρξής τους δηµιούργησαν αρκετά ηµερολόγια, ο σκοπός των οποίων ήταν θρησκευτικός αλλά και γεωργικός. Ο γεωργικός λόγος ήταν οι καλλιέργειες τους καθώς έπρεπε να ξέρουν τον ρυθµό και τρόπο µε τον οποίο εναλλασσόταν οι εποχές. Επίσης όπως και άλλοι αρχαίοι λαοί θεµελίωσαν θεότητες που είχαν σχέση µε την φύση όπως ο θεός Ήλιος. Δύο από τις σηµαντικότερες πόλεις των Μάγια ήταν η Τικάλ που παροµοιάζετε µε την σηµερινή Νέα Υόρκη και η Κοπάν που λέγετε ότι ήταν κάτι σαν το σηµερινό Παρίσι. Οι πόλεις αυτές ανακαλύφθηκαν σε αναζητήσεις που έγιναν από τους Μπάρκαβιλ(Τικάλ) και τον Στίβεν(Κοπάν).Ο καθένας τους,µε την δική του οµάδα βρήκε τις πόλεις αυτές, που ήταν και θρησκευτικά κέντρα στα οποία συχνά γίνονταν ανθρωποθυσίες και πολλά τελετουργικά µε αίµα και γενετικά όργανα των αρχηγών τους.

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Οι πρώτες μορφές γραφής

Οι πρώτες μορφές γραφής Οι πρώτες μορφές γραφής Σφηνοειδής γραφή Τα παλιότερα είδη γραφής ανακαλύφθηκαν από τους αρχαιολόγους στη Μεσοποταμία, στην περιοχή ανάμεσα στους ποταμούς Τίγρη και Ευφράτη,στο σημερινό Ιράκ. Εφευρέτες

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Θ.Ε.: ΕΠΟ 11 Κοινωνική και οικονομική ιστορία της Ευρώπης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Θ.Ε.: ΕΠΟ 11 Κοινωνική και οικονομική ιστορία της Ευρώπης ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Θ.Ε.: ΕΠΟ 11 Κοινωνική και οικονομική ιστορία της Ευρώπης 2 η εργασία 2012 13 ΘΕΜΑ: «Στις παραμονές της λεγόμενης βιομηχανικής επανάστασης,

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης;

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Μέρος της οχύρωσης Οι αρχαιολογικές ανασκαφές που διενεργούνται στην περιοχή της La Bastida (Totana, Murcia στην Ισπανία) έχουν αποκαλύψει ένα επιβλητικό οχυρωματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ Οι οίκοι είναι ένα από τα κυριότερα ερμηνευτικά μέσα που χρησιμοποιεί η αστρολογία. Μαζί με τους πλανήτες, τα ζώδια και τις όψεις αποτελούν τις βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά Το πρόβλημα στα Μαθηματικά από το ΣΔΕ Γιαννιτσών Δημήτρης Πολυτίδης (Μαθηματικός) Στα Μαθηματικά το πρόβλημα θα πρέπει να είναι μια κατάσταση η επίλυση της οποίας, από το μαθητή, δεν είναι αυτόματη και

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα 8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα υπεύθυνου τµήµατος : Γλαρού Άννα ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών)

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών) (σύντομα δημοσιοποιούνται τα νέα Πιστοποιημένα Προγράμματα δια βίου του Παν/μιου Αιγαίου στο https://e-epimorfosi.aegean.gr. Σας προωθούμε εκ των προτέρων ενημέρωση σχετικά με το πρόγραμμά μας) e-learning

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Επιµέλεια: Καλαντζής Παναγιώτης, ηµ. Σχ. Παίδων «Π. & Α. Κυριακού». Γνωστικό αντικείµενο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ 1. ΤΙΤΛΟΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ: Μονάδες µέτρησης επιφανείας

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Ζ Ηανάπτυξητης Μακεδονίας.

Κεφάλαιο Ζ Ηανάπτυξητης Μακεδονίας. Πρόταση διδασκαλίας Κεφάλαιο Ζ Ηανάπτυξητης Μακεδονίας. Ενότητα 4. Το έργο του Αλέξανδρου Κύρια σημεία της ενότητας Περιγραφή της γεωγραφικής έκτασης και της ποικιλίας των λαών του κράτους που δημιούργησε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος»

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάστε προσεκτικά τις κάτωθι Οδηγίες για την συμμετοχή σας στην 1 η φάση «Εύδοξος» Για να θεωρηθεί έγκυρη η συμμετοχή σας στην 1 η φάση, θα πρέπει απαραίτητα να έχετε συμπληρώσει τον πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα. 1. Είναι απαραίτητο να εξετάζουμε στην περίοδο που διανύουμε το ξεκίνημα των τεχνών και των επιστημών, έτσι διαπιστώνουμε, ότι πρώτα οι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΚΟΠΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ. Μιχάλης Αρφαράς

ΙΑΚΟΠΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ. Μιχάλης Αρφαράς ΙΑΚΟΠΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Μιχάλης Αρφαράς «ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΓΕΝΝΑΕΙ ΤΙΣ ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΚΙΕΣ, Ο ΗΛΙΟΣ ΤΙΣ ΕΠΙΜΟΝΕΣ.» Η προσωπική διαδροµή του Μιχάλη Αρφαρά έχει να κάνει µε τη ΣΚΙΑ. Η γέννησή του σε µια χώρα σαν την Ελλάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική πρόταση 1: 1 Πώς οργανώνονταν οι άνθρωποι της. Γεωμετρικής Εποχής»

Διδακτική πρόταση 1: 1 Πώς οργανώνονταν οι άνθρωποι της. Γεωμετρικής Εποχής» Διδακτική πρόταση 1: 1 Πώς οργανώνονταν οι άνθρωποι της Γεωμετρική ς Εποχής; Ερωτήματα - κλειδιά: 2 Πόσο μεγάλες ήταν οι ομάδες των ανθρώπων της Γεωμετρικής Εποχής; Υπήρχαν αρχηγοί στις ομάδες των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Φιλοκοσμικός Διαφωτισμός

Ο Φιλοκοσμικός Διαφωτισμός ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗΣ Ο ΔΙΑΛΟΓΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ RICHARD DAWKINS «ΤΗΕ GOD DELUSION» («Η ΠΕΡΙ ΘΕΟΥ ΑΥΤΑΠΑΤΗ») Ο Φιλοκοσμικός Διαφωτισμός ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ: 08/07/2007 00:00 Του Π. Ν. ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΥ Η ανθρωπότητα και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ 1 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ Κώστας Κύρος ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Ανοίξτε το λογισμικό Google Earth και προσπαθήστε να εντοπίσετε τη θέση της Ευρώπης στη Γη. Κατόπιν για να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Τύποι, Σταθερές και Μεταβλητές

Τύποι, Σταθερές και Μεταβλητές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τύποι, Σταθερές και Μεταβλητές Η έννοια της μεταβλητής Γενικά μπορούμε να πούμε ότι η έννοια της μεταβλητής στον προγραμματισμό είναι άμεσα συνδεδεμένη με την έννοια που αυτή έχει σε μαθηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ.

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Οι κατακτήσεις του Μ. Αλεξάνδρου και η πολιτική ενοποίηση του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς..

ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.. 1 ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ»..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.. (Αισχύλος, Προμηθέας Δεσμώτης) Τα μέλη της ομάδας που ασχολήθηκαν με την εκπόνηση αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα