Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους;"

Transcript

1 Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; «Ο πολιτισµός των αρχαίων Αιγυπτίων άρχισε πιθανόν κάποια στιγµή την 5η χιλιετία π.χ. και διήρκεσε µέχρι που τους κατέκτησε ο Μέγας Αλέξανδρος το 332 π.χ., µια περίοδο περίπου τεσσάρων χιλιετιών. Οι πρώτοι Αιγύπτιοι ζούσαν σε δύο Βασίλεια: στην Άνω Αίγυπτο, στην κοιλάδα του Νείλου, και στην Κάτω Αίγυπτο, στο Δέλτα του Νείλου. Συγκρότησαν µια µεγάλη αυτοκρατορία όταν ο Μήνης ένωσε αυτά τα δύο µισά και έκανε πρωτεύουσά του τη Μέµφιδα, κάποια στιγµή µεταξύ 3500 και 3000 π.χ. Οι Αιγύπτιοι αποτέλεσαν µια µεγάλη παγκόσµια δύναµη τα επόµενα τρεις χιλιάδες χρόνια.» 2.Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; «Οι Αιγύπτιοι έφτασαν στην ακµή του πρώιµου πολιτισµού τους από το 3000 π.χ. µέχρι την 3η Δυναστεία, γύρω στο 2500 π.χ. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου έχτισαν τις περίφηµες πυραµίδες και, παρ όλο που δεν υπάρχει καµιά άµεση µαρτυρία, είναι πιθανόν αυτή την περίοδο να έθεσαν τις βάσεις των µαθηµατικών τους. Μεγαλούργησαν τόσο γρήγορα, ώστε λίγο πριν το 3000 π. Χ. µάθαιναν να κόβουν πέτρες για την κατασκευή κτιρίων και, στην αρχή του εικοστού ενάτου αιώνα π.χ., έχτισαν τη Μεγάλη Πυραµίδα της Γκίζας. Η ισχύς του αιγυπτιακού πολιτισµού, ο οποίος στηριζόταν στην αφθονία του σιταριού που καλλιεργούσαν κατά µήκος του ποταµού Νείλου, παρείχε στους Αιγυπτίους διάρκεια και σταθερότητα. Αυτή η ισχύς αντανακλάται στα σπουδαία µνηµεία τους και στην πρωτοφανή µακροηµέρευση της κοινωνίας τους, αντανακλάται όµως και στο γεγονός ότι τα µαθηµατικά

2 τους δεν αναπτύχθηκαν πολύ, αν αναπτύχθηκαν καθόλου, µετά την 3η χιλιετία. Δε χρειάζονταν καλύτερα µαθηµατικά, αφού τα παλαιά ήταν απολύτως επαρκή. Ένα άλλο χαρακτηριστικό του αιγυπτιακού πολιτισµού είναι η ιδιότυπη γραφή. Δύο συστήµατα γραφής αναπτύχθηκαν από τους Αιγυπτίους. Το πρώτο ήταν τα ιερογλυφικά, τα οποία ξεκίνησαν ως απλά σύµβολα που έµοιαζαν µε εικόνες γύρω στο 3000 π.χ. και µπορεί να είχαν επηρεαστεί από τη σφηνοειδή γραφή των Σουµέριων. Τα ιερογλυφικά εξελίχθηκαν σ ένα συνδυασµό πικτογραµµάτων και φωνητικών σηµείων και χρησιµοποιούνταν για να γράφονται επίσηµα κείµενα στα µνηµεία και στους ναούς. Κύριος σκοπός τους ήταν η καταγραφή των επιτευγµάτων του κάθε Φαραώ και διατηρήθηκαν µέχρι τον 1ο αιώνα π.χ. Το δεύτερο σύστηµα γραφής ονοµάζεται ιερατική γραφή και χρησιµοποιούνταν για την καθηµερινή διοίκηση της αυτοκρατορίας. Η ιερατική γραφή ήταν λιγότερο επίσηµη από τα ιερογλυφικά και περισσότερο αφηρηµένη, απαιτώντας γενικά λιγότερες πινελιές. Μέσω της ιερατικής γραφής έχουν διασωθεί χιλιάδες κείµενα γραµµένα σε παπύρους, τα περισσότερα όµως τοποθετούνται χρονικά στο τέλος της αυτοκρατορίας. Οι γραφείς, οι οποίοι αναλάµβαναν να γράφουν στους παπύρους χρησιµοποιώντας την ιερατική γραφή, ανήκαν σε διαφορετική τάξη από τους ιερείς και ήταν συνήθως έµπιστοι δούλοι. Τους απασχολούσαν ως γραµµατείς και λογιστές και εργάζονταν στους ναούς, που τότε χρησιµοποιούνταν ως κυβερνητικά γραφεία. Από τη φαραωνική εποχή η Αίγυπτος διατηρούσε µεγάλες πόλεις: στην Ιλιάδα αναφέρονται οι Θήβες, η Εκατόµπυλος πόλη, που υπήρξε επί αιώνες η πιο λαµπρή όλης της χώρας, αλλά γνώρισε ολοκληρωτική παρακµή µε τη µεταφορά της εξουσίας πιο βόρεια της Σαίς, η σπουδαιότητα της οποίας αυξήθηκε αναλογικά µε τη συχνότητα των διακινήσεων στη Μεσόγειο. Άλλη περίφηµη πόλη ήταν η Μέµφις, η αρχαιότερη αιγυπτιακή πρωτεύουσα. Η αιγυπτιακή πολεοδοµία, που αναπτύχθηκε γύρω από τους επιβλητικούς ναούς και τα ανάκτορα της Μέµφιδος και των Θηβών, εδραιώθηκε σταδιακά στο βορρά, όπου

3 σήµερα η Αλεξάνδρεια και το Κάιρο φιλοξενούν περίπου το 1/5 του πληθυσµού της χώρας.» 3. Ποιοι είναι οι βασικοί λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη των µαθηµατικών; «Τα µαθηµατικά και οι επιστήµες αναπτύχθηκαν επειδή ήταν απαραίτητα για την επίλυση πρακτικών θεµάτων της καθηµερινής ζωής: όπως για παράδειγµα το µοίρασµα του ψωµιού και της µπίρας στους εργάτες και των µετρήσεων στα κτίρια. Όταν η αιγυπτιακή κοινωνία σχεδίαζε και πραγµατοποιούσε την κατασκευή των πυραµίδων, από το 3500 ως το 2500 π.χ., οι Αιγύπτιοι δεν χρειάζονταν καλύτερα µαθηµατικά αφού τα παλαιότερα ήταν απολύτως επαρκή. Έτσι, όταν ολοκληρώθηκε το σχέδιο τους αυτό, οι κανόνες των µαθηµατικών καθιερώθηκαν και έπαψαν να εξελίσσονται». 4.Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά;(βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, άρρητους αριθµούς). «Οι Αιγύπτιοι χρησιµοποιούσαν τα κλάσµατα. Το σύστηµά τους ήταν πολύ δύσχρηστο. Με εξαίρεση τα κλάσµατα δύο τρίτα (2/3) και τρία τέταρτα (3/4), όλα τα κλάσµατά τους ήταν µοναδιαία ή κλάσµατα όπου ο αριθµητής ήταν το 1 και ο παρονοµαστής οποιοσδήποτε ακέραιος αριθµός. Ως εκ τούτου, όλα τα κλάσµατα είχαν τη µορφή 1/ν. Για να κάνουν υπολογισµούς µε µοναδιαία κλάσµατα, οι Αιγύπτιοι έπρεπε να καταφεύγουν στην εκτεταµένη χρήση πινάκων. Δεν υπάρχει ένας µόνος τρόπος γραφής ενός κλάσµατος ως άθροισµα µοναδιαίων κλασµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι δύο διαφορετικοί γραφείς µπορούσαν να παραστήσουν το ίδιο κλάσµα µε δύο διαφορετικούς τρόπους, κάνοντας έτσι δύσκολες τις συγκρίσεις. Πέρα από τις τέσσερις πράξεις της αριθµητικής, οι Αιγύπτιοι µπορούσαν, περιορισµένα βεβαίως, να κάνουν κάποιους αλγεβρικούς και γεωµετρικούς υπολογισµούς µε τη µορφή διήγησης προβληµάτων, αφού δεν είχαν κανένα σχεδόν σύµβολο για τις αλγεβρικές πράξεις. Το σύµβολο για την πρόσθεση και την αφαίρεση

4 ήταν ένας άντρας ο οποίος έµπαινε (στην πρόσθεση) ή έβγαινε (στην αφαίρεση) από ένα σπίτι. Στην άλγεβρα έλυναν γραµµικές εξισώσεις µε έναν άγνωστο της µορφής «α + αχ =β» και «χ+ αχ +βχ =γ». Έλυναν επίσης απλές δευτεροβάθµιες εξισώσεις µε έναν ή δύο αγνώστους. Με το σηµερινό σύστηµα χαρακτήρων και συµβόλων, παραδείγµατα τέτοιων εξισώσεων είναι τα εξής:αχ 2 +βχ+γ=0 ή αχ 2 +βy 2 =γ. Οι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν τους άρρητους αριθµούς και απλώς χρησιµοποιούσαν ακέραιους αριθµούς και κλάσµατα για να συµβολίσουν τις τετραγωνικές ρίζες των αριθµών». 5.Είχαν βασικές γνώσεις γεωµετρίας; «Στη γεωµετρία είχαν κανόνες για τον υπολογισµό των εµβαδών και των όγκων, κάποιοι από τους οποίους ήταν σωστοί ενώ άλλοι οδηγούσαν µόνο σε προσεγγίσεις. Παρόλο που συχνά θεωρείται ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα, από τα κείµενά τους δεν υπάρχει άµεση µαρτυρία γι αυτό. Όµως οι χωροµέτρες τους είναι πιθανόν να γνώριζαν πράγµατι ότι, αν διαιρέσουµε ένα σκοινί σε µήκη των τριών, τεσσάρων και πέντε µονάδων, τα µήκη αυτά, αν αποτελούσαν πλευρές τριγώνου, θα σχηµάτιζαν ένα ορθογώνιο τρίγωνο». 6.Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν.(δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κτλ.).ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Πώς συµβόλιζαν τα κλάσµατα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; «Το αιγυπτιακό σύστηµα αριθµών είχε ως βάση το δέκα. Στα ιερογλυφικά χρησιµοποιούνταν ένας συνδυασµός γραµµών ( ) που αναπαριστούσαν τους αριθµούς από το 1 ως το 9, ενώ η συνεχής ιερατική γραφή χρησιµοποιούσε γραµµές για το 1 ως το 3 και ξεχωριστά σύµβολα για τους αριθµούς από το 4 ως το 9. Η τιµή ενός συµβόλου δε συνδεόταν µε τη θέση του, εποµένως το σύστηµα ήταν αυστηρά προσθετικό. Για να διαβαστεί ένας αριθµός έπρεπε να προστεθούν οι τιµές των διαφορετικών συµβόλων. Αυτό µπορεί να είναι χρονοβόρο για τους µεγάλους αριθµούς, οι Αιγύπτιοι ωστόσο κατόρθωναν να καταγράφουν αριθµούς που έφταναν σε εκατοµµύρια. Χρησιµοποιούσαν επιδέξια και τις τέσσερις πράξεις της αριθµητικής, αλλά οι υπολογισµοί τόσο για τον πολλαπλασιασµό όσο και για τη

5 διαίρεση ήταν από τη φύση τους προσθετικοί. Για τον πολλαπλασιασµό δύο αριθµών, απλώς καταγράφονταν σε µια στήλη τα πολλαπλάσια του ενός εκ των δύο αριθµών αρχίζοντας από το 1 και, πολλαπλασιάζοντας καθώς προχωρούσαµε µε το22, πηγαίναµε στο 2, στο 4, στο 8, κ.ο.κ. Ο πολλαπλασιασµός µε διπλασιασµό ήταν µία αγαπηµένη µέθοδος των απλών ανθρώπων για να επιλύουν τα προβλήµατα που συναντούσαν στην καθηµερινή τους ζωή. Για τη διαίρεση ενεργούσαν µε ένα σκεπτικό παρόµοιο µε αυτό της αφαίρεσης. Για τις διαιρέσεις των οποίων το υπόλοιπο δεν είναι µηδέν εισήγαγαν τα κλάσµατα, µε αριθµητή 1, που ονοµάζουµε αντίστροφους αριθµούς ακεραίων. Σε περίπτωση που το αποτέλεσµα δεν µπορούσε να εκφραστεί σε κλάσµα µε αριθµητή ένα, το έγραφαν ως αποτέλεσµα της πρόσθεσης διαφόρων αντίστροφων αριθµών των ακεραίων. Στα ιερογλυφικά, το κλάσµα, το κλάσµα, συµβολιζόταν µε ένα ωοειδές σχήµα πάνω από τον ακέραιο αριθµό, ενώ στην ιερατική γραφή, ξεκινώντας το1/5, το κλάσµα συµβολιζόταν µε µια κουκίδα πάνω από τον ακέραιο αριθµό.(παράθεση εικονογραφικού υλικού µε παρουσίαση αρχαίων αιγυπτιακών ιερογλυφικών και ιερατικών αριθµητικών ψηφίων)». 7.Να γράψετε τον αριθµό 324 χρησιµοποιώντας σύµβολα των Αιγυπτίων (ιερατική γραφή): «324: )))^^-- ή --^^)))» 8.Είχαν κατασκευάσει ηµερολόγιο; «Οι Αιγύπτιοι στηρίζονταν στις καλλιέργειες σιταριού στην κοιλάδα του Νείλου και έπρεπε να παρακολουθούν τις πληµµύρες του ποταµού και την αλλαγή του επιπέδου του νερού κατά τη διάρκεια του έτους. Το αιγυπτιακό έτος είχε δώδεκα µήνες των τριάντα ηµερών συν πέντε

6 µέρες θρησκευτικών εορτών, συνολικά 365 ηµέρες. Αυτό έπεφτε έξω κατά ένα τέταρτο της ηµέρας και δε διορθώθηκε µε την πρόσθεση κάθε τέσσερα χρόνια µιας επιπλέον ηµέρας το Φεβρουάριο, όπως κάνουµε εµείς σήµερα. Με το γεγονός αυτό οι εποχές σιγά σιγά έπαυαν να συµφωνούν µε το ηµερολόγιο. Όµως ύστερα από 1460 χρόνια, οι ηµέρες θα ταίριαζαν πάλι µε τις εποχές». 9.Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; «Η µεγάλη πυραµίδα της Αιγύπτου αποτελεί σηµαντικό αίνιγµα σε σχέση µε τον αστρολογικό προσανατολισµό της. Το άθροισµα των διαγωνίων της δίνει 25, 826, τη διάρκεια του ζωδιακού κύκλου και από µόνο του αυτό θα ήταν αρκετό να µας βάλει σε σκέψεις. Λέγεται ότι κατά την κατασκευή της στόχευε το άστρο του Σείριου. Η τοποθέτησή της στο έδαφος µαζί µε τις άλλες πυραµίδες και το άγαλµα της Σφίγγας έχει προβληµατίσει ιδιαίτερα τους ειδικούς που βρίσκουν παράξενες οµοιότητες µε θέσεις αστερισµών όσο και µε αντίστοιχες κατασκευές του Άρη κοντά στην περιοχή µε το γεωλογικό σχηµατισµό που µοιάζει µε ανθρώπινο πρόσωπο. Κατά το µεσουράνηµά του ο Αστερισµός του Ωρίωνα δείχνει οµοιότητες µε τις µεγαλύτερες πυραµίδες (και µε αναλογία µεγέθους και φωτεινότητας) και µε το Νείλο. Από όλα αυτά συµπεραίνουµε ότι η αστρονοµία των Αιγυπτίων, όχι µόνο ήταν πιο εξελιγµένη από αυτή των Βαβυλωνίων (γιατί υπάρχουν αναφορές που υποστηρίζουν ότι η αστρονοµία των Αιγυπτίων ήταν κατώτερη των Βαβυλωνίων), αλλά και κάθε άλλου πολιτισµού. Φυσικά αν οι οµοιότητες ανάµεσα στις πυραµίδες και στον Άρη δεν είναι τυχαίες, ισχύει αυτό. Και αυτό σηµαίνει ότι οι Αιγύπτιοι είχαν κατασκευάσει ένα τηλεσκόπιο υψηλής ευκρίνειας, το οποίο µάλλον έχει καταστραφεί». 10. Aπό ποιον ή από ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; «Οι Αιγύπτιοι επηρεάστηκαν κυρίως από δύο λαούς της αρχαιότητας ως προς τα µαθηµατικά. Από τους Σουµέριους που πολύ πιθανόν είναι να άσκησαν επιρροή στη δηµιουργία της ιερογλυφικής αιγυπτιακής γραφής και από τους Βαβυλώνιους ως προς τα αριθµητικά τους συστήµατα. Βέβαια δεν αποκλείεται οι Αιγύπτιοι να δέχτηκαν ορισµένες πολιτισµικές επιρροές που ίσως σχετίζονται µε την ανάπτυξη των µαθηµατικών τους, από λαούς της αρχαιότητας µε τους οποίους είτε ήρθαν σε σφοδρές συγκρούσεις είτε σε εµπορικούς δεσµούς.(π.χ. Χετταίοι, Ασσύριοι κ.ά.)».

7 11.Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο στους Αιγυπτίους; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό τους. «Μέσα από τη µελέτη του αιγυπτιακού πολιτισµού και ιδιαίτερα των µαθηµατικών τους, καταλήξαµε στο συµπέρασµα πως ο αιγυπτιακός τρόπος σκέψης και ζωής υπήρξε πραγµατικά ένα θαύµα του αρχαίου κόσµου! Είναι καταπληκτική η πορεία συλλογισµού που ακολούθησε αυτός ο λαός, αξιοθαύµαστο το επίπεδο γνώσης της αστρονοµικής επιστήµης, µεγαλειώδης η παρατηρητική και κριτική ικανότητα αυτού του λαού, που φαντάζει ως κάτι ανέφικτο και αξεπέραστο στους αιώνες, όπως επιβεβαιώνουν και τα έργα τέχνης του, τα κορυφαία επιτεύγµατα της ανθρώπινης προσπάθειας, και τελικά παραµένουν διαχρονικές αξίες, θυµίζοντάς µας µε κάθε τρόπο, µοναδικό για τον καθένα, την µηδαµινότητα και ταυτόχρονα την λογική δύναµη του ανθρώπου». Μαθητές που συµµετείχαν : 1)Ζήση Χριστίνα 2)Σοκολόβα Ιλόνα 3)Χατζόπουλος Καλλίδωρος

8 Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Γύρω στο 2000 π.χ., ο λαός των Αµοριτών εισέβαλε στη γη των Σουµέριων και κατέκτησε τις πόλεις τους. Αυτοί οι άνθρωποι έγιναν γνωστοί ως Βαβυλώνιοι και δηµιούργησαν σιγά σιγά µια µεγάλη αυτοκρατορία που περιλάµβανε πολλές περιοχές του σηµερινού Ιράκ, της Ιορδανίας και της Συρίας. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Γενικά, µέσα στη βαβυλωνιακή θρησκεία συναντάµε χιλιάδες θεούς. Το θρησκευτικό συναίσθηµα ήταν πολύ έντονο. Οι πόλεις είχαν πολλούς ναούς και το ιερατείο ήταν οργανωµένο. Ο ίδιος ο βασιλιάς ανήκει σε αυτό.

9 Στην Τέχνη υπήρξε πολύ µεγάλη ανάπτυξη της Αρχιτεκτονικής. Κύριο δοµικό στοιχείο ήταν τα τούβλα από ψηµένη άργιλο. Χαρακτηριστικά ήταν τα επισµαλτωµένα τούβλα, που δηµιουργούσαν συνθέσεις διακοσµητικών παραστάσεων. Οι κατασκευές σε οχυρωµατικά έργα, τείχη, πύλες, ανάκτορα κτλ. ήταν τεράστιες. Περίφηµα είναι τα Ζιγκουράτ, επιβλητικοί, κλιµακωτοί πύργοι, από τους οποίους τροφοδοτήθηκε ο µύθος του "Πύργου της Βαβέλ", της Βίβλου. Ακόµη, διάσηµοι στην αρχαιότητα ήταν οι κρεµαστοί κήποι της Βαβυλώνας, ένα από τα θαύµατα του αρχαίου κόσµου Πολύ αναπτύχθηκαν η αστρονοµία, οι µαντικές τέχνες, καθώς και τα µαθηµατικά. Οι Σοφοί της Βαβυλώνας ήταν κατά κάποιο τρόπο ιερείς και επιστήµονες µαζί. Εφάρµοζαν αριθµητικές και γεωµετρικές γνώσεις και παρατηρούσαν τις θέσεις και τις κινήσεις των άστρων. Σηµαντικές πόλεις των Βαβυλωνίων ήταν: η Βαβυλώνα η οποία ήταν η πρωτεύουσα και πιθανόν ιδρύθηκε την 3 η π.χ. χιλιετία. Επίσης σηµαντικές ήταν οι πόλεις: Αχάδ, Ερέχ, Χαλέκ, Ισίν και Λάρσα. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; (βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοποίηση, άρρητους αριθµούς, πυθαγόρειο θεώρηµα) Οι βασικές γνώσεις τους στα µαθηµατικά ήταν: στο σύστηµα τους όταν ήθελαν να παραστήσουν κλάσµατα, τοποθετούσαν µια υποδιαστολή

10 στα δεξιά και τα υπόλοιπα ψηφία συµβόλιζαν δέκατα, εκατοστά, κ.τ.λ. αυτό γίνεται και στο δικό µας σύστηµα µε µόνη διαφορά ότι εµείς χρησιµοποιούµε το 10 ως βάση και όχι το 60 όπως έκαναν αυτοί. Επίσης οι Βαβυλώνιοι µπορούσαν να επιλύουν συστήµατα εξισώσεων µε 2 αγνώστους, ορισµένες δευτεροβάθµιες εξισώσεις και κάποιες κυβικές. Επιπλέον γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα. Οι επιστήµονες της αρχαιότητας θεωρούσαν ότι το ανακάλυψε ο Έλληνας µαθηµατικός Πυθαγόρας, µεταγενέστερες όµως ανακαλύψεις φανέρωσαν ότι οι Βαβυλώνιοι και οι Κινέζοι το γνώριζαν πολύ πριν τον Πυθαγόρα. Υπάρχει άπειρο πλήθος τριάδων ακέραιων αριθµών που ικανοποιούν αυτό το θεώρηµα. Ας µην παραλείψουµε βέβαια ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν πώς να χρησιµοποιούν την άλγεβρα για να επιλύουν προβλήµατα υψηλού επιπέδου. Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τ.λ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; Το αριθµητικό σύστηµα των Βαβυλωνίων ήταν εξηκονταδικό, δηλαδή οι διαδοχικές θέσεις στις οποίες γράφονται τα ψηφία ενός αριθµού δηλώνουν διαδοχικές δυνάµεις του 60 και όχι του 10, όπως γίνεται στο δικό µας δεκαδικό σύστηµα. Επιπλέον το σύστηµα τους ήταν θεσιακό, δηλαδή η τιµή του κάθε συµβόλου εξαρτάται από τη θέση του µέσα στον αριθµό. Οι Βαβυλώνιοι έγραφαν οποιοδήποτε ακέραιο αριθµό χρησιµοποιώντας 2 σύµβολα:1.την απλή κατακόρυφη σφήνα, που παριστάνει τη µονάδα.2.τη διπλή σφήνα, που παριστάνει τη δεκάδα. Το µόνο όµως πρόβληµα είναι ότι δεν υπήρχε σύµβολο για το µηδέν και εποµένως ο µόνος τρόπος για να αναγνωρίσουµε έναν αριθµό είναι από τα συµφραζόµενα ενός προβλήµατος. Ποιο πρόβληµα υπήρχε στον τρόπο γραφής των αριθµών στους Βαβυλώνιους; Αναφέρετε ένα δικό σας παράδειγµα. Δυστυχώς το βαβυλωνιακό σύστηµα υστερούσε εξαιτίας 2 σηµαντικών ελλείψεων. Πρώτον δεν υπήρχε το µηδέν για να δείχνει ότι µια από τις δυνάµεις του εξήντα ήταν κενή. Δεύτερον δεν υπήρχε υποδιαστολή για να δείχνει πού αρχίζει το κλασµατικό τµήµα του αριθµού. Για παράδειγµα το 4,5 το έγραφαν έτσι από το 4 και το 30/60 το οποίο είναι ίδιο µε το 5/10. Είχαν κατασκευάσει ηµερολόγιο; Τα αστρονοµικά - αστρολογικά κείµενα που έχουµε απ' τους

11 Βαβυλώνιους είναι αστρολογικά ηµερολόγια (µηνιαίας ή ετήσιας βάσης), συλλογές από ηµερολόγια περασµένων ετών µε σκοπό την πρόβλεψη των γεγονότων του επόµενου έτους, αλλά και κείµενα µε µαθηµατικούς διεργασίες για τον υπολογισµό των κινήσεων των πλανητών, πίνακες εκλείψεων και προσωπικά ωροσκόπια. Για παράδειγµα σε κάποια κείµενα βλέπουµε να διαιρείται ο ουρανός σε 3 ζώνες µε 12 τοµείς η καθεµιά. Κάθε ζώνη περιέχει τα ονόµατα των αστερισµών και των πλανητών. Άλλη κατηγορία κειµένων αναφέρεται αποκλειστικά στην Αφροδίτη, παρουσιάζοντας τις εµφανίσεις και εξαφανίσεις του πλανήτη για πολλά χρόνια µε ηµεροµηνίες δοσµένες στο σεληνιακό ηµερολόγιο. Στα αστρονοµικά ηµερολόγια βρίσκουµε υπολογισµούς για την ώρα ανατολής και δύσης του Ήλιου καθώς και για την εµφάνιση των φάσεων της Σελήνης, κάτι που βοηθούσε στον καθορισµό της έναρξης του επόµενου µήνα. Επίσης καταγράφονταν η καθηµερινή θέση της Σελήνης. Για τις κινήσεις των πλανητών υπολογίζονταν και καταγράφονταν η µέρα εµφάνισης και η µέρα εξαφάνισής τους απ' τον ουρανό, καθώς και πορείες τους (ορθές ή ανάδροµες) και οι συζυγίες τους. Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Οι Βαβυλώνιοι εφάρµοσαν τα µαθηµατικά στην επιστήµη της αστρονοµίας. Μπορούσαν να µετρούν τις περιοδικές κινήσεις της Σελήνης, του Ήλιου και των 5 ορατών πλανητών: του Ερµή, της Αφροδίτης, του Άρη, του Δία και του Κρόνου. Από αυτές τις µετρήσεις δηµιούργησαν ένα αριθµητικό µοντέλο για να προβλέπουν τις µελλοντικές συζυγίες και ευθυγραµµίσεις των πλανητών. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Τα µαθηµατικά των Βαβυλωνίων ήταν κυρίως επηρεασµένα από τα µαθηµατικά των Σουµέριων. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι πήραν τις βάσεις τους από αυτά των Σουµέριων. Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Βαβυλώνιους; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό και τα µαθηµατικά τους. Όπως κάθε Έλληνας θα συγκλονιζόταν εάν µάθαινε ότι δεν ανακάλυψε ένας πρόγονός του το γνωστό σε όλο τον κόσµο «Πυθαγόρειο Θεώρηµα»,αλλά πολύ πριν από αυτόν το είχαν στα µαθηµατικά τους οι Βαβυλώνιοι έτσι και εµείς. Επίσης δεν θα έπρεπε να παραληφθεί ότι µας έκανε εντύπωση το ότι οι Βαβυλώνιοι έγραφαν τους αριθµούς µόνο µε δύο σηµάδια, δεν υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα

12 αλλά ούτε και η υποδιαστολή. Αυτό που µας εντυπωσίασε όµως περισσότερο είναι ότι έχουν ανακαλυφθεί πήλινες πινακίδες, πάνω στις οποίες υπάρχουν οικονοµικά στοιχεία. Ακόµη όταν πληροφορηθήκαµε για τα ηµερολόγια και την αστρονοµία των Βαβυλωνίων τους θαυµάσαµε. Μας εντυπωσίασε η σκέψη και το ότι πριν χιλιάδες χρόνια άνθρωποι µελετούσαν τα άστρα. Τέλος, µετά από αυτή τη µελέτη µας πάνω στον πολιτισµό και τα µαθηµατικά των Βαβυλωνίων, εκφράζουµε τον ενθουσιασµό µας µε όλα αυτά που είχαν καταφέρει οι Βαβυλώνιοι. Ας µην ξεχνάµε βέβαια και τον Πύργο της Βαβέλ, ο οποίος ήταν ένα από τα 7 θαύµατα του κόσµου. Μαθητές που συµµετείχαν : 1)Καραµπατζιάκης Μιχάλης 2)Μανοµενίδου Χριστίνα 3) Κυριακίδης Νίκος 4)Παπαγιαννάκη Δήµητρα Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους;

13 Ο ελληνικός πολιτισµός ξεκίνησε περίπου το 2000 π.χ. µέχρι το 300 µ.χ. όταν ένα φύλο ινδοευρωπαϊκής προέλευσης εγκατέλειψε τα βόρεια Βαλκάνια και µετανάστευσε στον κυρίως ελλαδικό χώρο και στην ανατολική Μεσόγειο. Τα επόµενα 1400 χρόνια, εξαπλώθηκαν στη δυτική Μ. Ασία, στα νησιά του Αιγαίου και σε όλη την υπόλοιπη Ελλάδα. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Αρχικά πολύ σηµαντικό και ιδιαίτερα παράξενο για την εποχή τους αλλά ακόµη και για σήµερα είναι πως οι Έλληνες ζούσαν σε ξεχωριστές πόλεις-κράτη µε διαφορετικές αντιλήψεις, νοµοθεσίες και θεσµούς. Αυτό φάνηκε αρκετό έτσι ώστε να µην είναι όλοι επιβαρυµένοι από την ιδία κοσµοθεωρία την οποία επέβαλαν οι ιερείς που ήταν ισχυρές προσωπικότητες µε προνόµια. Ακόµη και έτσι όµως ήταν ενωµένοι µέσω οµοσπονδιών και βεβαίως των σπουδαίων αγώνων που διοργάνωναν. Το σηµαντικότερο στοιχείο του ελληνικού πολιτισµού αλλά και κάθε πολιτισµού πιστεύω πως είναι η γλώσσα του. Επίσης οι αρχαίοι Έλληνες φηµίζονται για τα πνευµατικά, τα φιλοσοφικά, αλλά και τα ιατρικά επιτεύγµατα τους. Επιπροσθέτως πιστεύω πως σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη του ελληνικού πολιτισµού έπαιξε η δηµοκρατία και γενικά η δικαιοσύνη, σήµα κατατεθέν για την αρχαία Ελλάδα. Τέλος ανυπολόγιστη ήταν η συνεισφορά των Ελλήνων στην ποίηση, στο θέατρο και στην λογοτεχνία.

14 Ποιοι είναι οι βασικοί λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη των αριθµών; Στο διάστηµα από το 775 έως το 750 π.χ. άρχισαν εµπορικές συναλλαγές, µε τους Φοίνικες. Εκείνη περίπου την εποχή άρχισαν να χρησιµοποιούν νοµίσµατα στις εµπορικές συναλλαγές τους. Το ενδιαφέρον µας εστιάζεται στην περίοδο των Κλασικών Χρόνων γιατί τότε οι Έλληνες προσδιόριζαν τη δική τους έννοια για τους αριθµούς. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; (βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοποίηση, άρρητους αριθµούς) Οι Έλληνες δε χρησιµοποιούσαν τιµές θέσης, όπως κάνουν οι σηµερινές κοινωνίες. Το σύµβολο για το πέντε, το σηµερινό Γ, χρησιµοποιούνταν σε συνδυασµό µε άλλα σύµβολα ως πολλαπλασιαστής. Για παράδειγµα έχουµε το Γ Η, όπου ήτα =100 το οποίο συµβολίζει το 5x100 ή 500. Τα σύµβολα γράφονταν µε φθίνουσα σειρά. Τι γνώσεις γεωµετρίας είχαν; Οι Έλληνες έκαναν πολλές επαγωγικές ανακαλύψεις που αφορούσαν γεωµετρικές σχέσεις, η επιστήµη τους όµως συναντούσε σοβαρά εµπόδια εξαιτίας µιας ελλιπούς µεθόδου. Ο Θαλής µε την απαγωγική του µέθοδο, µας πρόσφερε ένα σπουδαίο δώρο για την ανακάλυψη γεωµετρικών αληθειών(σε συνδυασµό µε τα θεωρητικά σχέδια του),αλλά οι Έλληνες των µετέπειτα γενιών είχαν εντυπωσιασθεί τόσο από τη µέθοδο του ώστε την εφάρµοζαν λανθασµένα σε όλα τα είδη

15 αληθειών, κάτι που καθυστέρησε την ανάπτυξη της επιστήµης. Η γεωµετρία βασίζεται στην έννοια της λογικής απόδειξης που λειτουργεί ως µέθοδος επιβεβαίωσης της αλήθειας µιας γεωµετρικής πρότασης. Στη διαµόρφωση των γεωµετρικών εννοιών, αποφασιστικής σηµασίας πρέπει να ήταν η προσπάθεια απεικόνισης των γεωµετρικών αντικειµένων και σχέσεων µε ζωγραφικές παραστάσεις, που λειτουργούσαν ως των πραγµατικών αντικειµένων. Από απλή µελέτη θέσης ή µεγέθους µεταµορφώνεται σε αφηρηµένη αποδεικτική επιστήµη. Πιο είναι το πιο σηµαντικό µαθηµατικό έργο των Ελλήνων; Το πρώτο αξιόλογο µαθηµατικό έργο ήταν τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που γράφτηκε γύρω στο 300µ.Χ. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτέλεσαν το επιστέγασµα της αρχαίας Ελληνικής µαθηµατικής παράδοσης, αλλά και πρότυπο επιστηµονικού ιδεώδους για πολλούς αιώνες. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα είναι κι αυτό ένα κόσµηµα της ευκλείδειας γεωµετρίας και εδώ και δυο χιλιάδες χρόνια διδάσκεται στην Δύση στο πλαίσιο της βασικής γεωµετρίας. Ποια η άποψη των Πυθαγορείων για τους αριθµούς; Οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν πως τα πάντα ήταν αριθµός, δηλαδή τα πάντα εξαρτώνται από τους αριθµούς. Αν όλα τα πράγµατα εξαρτώνται από τους αριθµούς, τότε, για να µάθουµε όλες τις αλήθειες, το µόνο που πρέπει να κάνουµε είναι να συνάγουµε επαγωγικά τις αλήθειες για τους αριθµούς. Οι Πυθαγόρειοι για να γεφυρώσουν το χάσµα µεταξύ της θεωρίας των αριθµών και στον πραγµατικό κόσµο, υποστήριζαν κάποιες εξαιρετικά παράξενες θεωρίες.

16 Το είδος του αριθµητικού µυστικισµού που ανέπτυξαν, ήταν ολοφάνερο στην σηµερινή αριθµολογία. Για παράδειγµα οι περιττοί ήταν οι αρσενικοί και οι άρτιοι οι θηλυκοί. Τα τέλεια τετράγωνα όπως, το τέσσερα και το εννιά, συµβόλιζαν τη δικαιοσύνη το πέντε συµβόλιζε το γάµο, κα. Άρχιζε µε το 1(τη Μονάδα, το Περιορισµένο), το οποίο µετά διαχωρίζονταν σε 2 (τη Δυάδα) µε βάση την αρχή του Απεριόριστου. Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τλ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Πώς συµβόλιζαν τα κλάσµατα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; Αρχικά οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν το αττικό ή ηρωδιανό, σύστηµα απλούστερο και παλαιότερο, και στην συνέχεια ιωνικό ή αλεξανδρινό το οποίο ήταν περισσότερο πολύπλοκο, ευκολότερο και πιο σύγχρονο. Τα σύµβολα που χρησιµοποιούσαν στο αττικό ήταν 1=I, 5=Γ, 10=Δ, 100=Η, 1000=Χ, 10000=Μ Τα σύµβολα που χρησιµοποιούσαν στο ιωνικό ήταν Μονάδες Δεκάδες Εκατοντάδες Χιλιάδες 1=Α 10=l 100=Ρ 1000= Α 2=Β 20=Κ 200=Σ 2000=Β 3=Γ 30=Λ 300=Τ 3000= Γ 4=Δ 40=Μ 400=Υ 4000= Δ 5=Ε 50=Ν 500=Φ 5000= Ε 6=F 60=Ξ 600=Χ 6000= F 7=Z 70=O 700=Ψ 7000= Ζ

17 8=Η 80=Π 800=Ω 8000= Η 9=Θ 90=Q 900= 9000= Θ Παραδόξως οι Έλληνες δε χρησιµοποιούσαν το µηδέν, το οποίο δεν είχε ακόµα ανακαλυφθεί! Τα κλάσµατά τους ήταν µοναδιαία όπως των Αιγυπτίων ή γνήσια. Τα κλάσµατα µπορούσαν να συµβολιστούν µε διάφορους τρόπους. Πρώτος τρόπος ήταν να γράφετε ο αριθµητής και ο παρανοµαστής (ένα τονισµένο ψηφίο) από δίπλα. Μια δεύτερη µέθοδος ήταν να γράφεται ο αριθµητής και δίπλα ο παρανοµαστής ένα τονισµένο γρά µµα δύο φορές. Τέλος, ο τρίτος τρόπος ήταν να γράφουµε τον αριθµητή κανονικά και ο παρανοµαστής να γράφεται από επάνω αλλά µε µικρά γράµµατα. Ήταν µη θεσιακό το σύστηµά τους. Να γράψετε τον αριθµό 683 χρησιµοποιώντας σύµβολα των Ελλήνων. Αττικό σύστηµα: Γ Η ΗΓ Δ ΔΔΔlll =683 Ιωνικό σύστηµα: ΧΠΓ=683 Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Την εποχή εκείνη ο Θαλής είχε προβλέψει την έκλειψη Ηλίου 585 π.χ. και εντυπωσίασε ιδιαίτερα τους συµπατριώτες του αλλά οι επιστήµονες της εποχής µας τον αµφισβητούν αφού οι αστρονοµικές γνώσεις των Ελλήνων δεν είχαν αναπτυχθεί ιδιαίτερα εκείνη την εποχή. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Οι Έλληνες είναι σίγουρο ότι στηρίχτηκαν τόσο στους Αιγυπτίους όσο και στους Βαβυλώνιους. Ωστόσο, από πολλές απόψεις, αυτά που κατάφεραν ήταν εντελώς καινούρια. Επίσης από τους Φοίνικες δανείστηκαν το αλφάβητο το οποίο αποτελούνταν µόνο από σύµ φωνα µόνο που οι Έλληνες προσθέσανε και τα φωνήεντα.

18 Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Έλληνες; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό και τα µαθηµατικά τους. Οι Έλληνες όπως είδαµε, είχαν σπουδαίο πολιτισµό και αρκετές γνώσεις στα µαθηµατικά. Οι Έλληνες έθεσαν τις βάσεις για τις περισσότερες από τις µέχρι σήµ ερα επιστήµες και προσδιόρισαν µε πενιχρά µέσα πολύπλοκες και δυσνόητες έννοιες, συµβάλλοντας έτσι στην ανάπτυξη της πλειονότητας των σηµ ερινών επιστήµων. Αυτό που µας εντυπωσίασε όµ ως περισσότερο, είναι οι γνώσεις τους στα µαθηµατικά. Ιδιαίτερα προσοδοφόρες ήταν οι θεµελιώσεις, όπως τους υπολογισµούς σχετικά µε το διάστηµα του Θαλή. Επιπρόσθετα έκαναν σπουδαίες και ακριβείς ανακαλύψεις στα µαθηµατικά, όπως στη γεωµετρία την επαγωγική µέθοδο, Όντας γνωστό τοις πασοις διοργάνωναν τους περίφηµους Ολυµπιακούς Αγώνες στην Ολυµπία προς τιµήν του Δία, τους Ολυµπιακούς. Είχαν ανεπτυγµένη ναυτιλία και εµπορικές συναλλαγές µε τους Φοίνικες γύρω στο 750π.Χ.Τέλος το πιο σηµαντικό είναι πως ήταν ενωµένοι, χάρη στην κοινή τους γλώσσα και προέλευση, και χάρη γι αυτό µπόρεσαν να αναπτυχθούν, πράγµα που πρέπει να κάνουµε κι εµείς σήµερα για να προοδεύσουµε ως Έλληνες που είµαστε. Μαθητές που συµµετείχαν : 1)Καραγκιοζάκη Δώρα

19 2)Ράντος Δηµήτρης 3)Βενιζελέα Ελίζα 4)Αποστολίδης Δηµήτρης Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Ο πολιτισµός των Ινδών είναι ο αρχαιότερος από όλους τους άλλους πολιτισµούς της ανθρωπότητας και είναι ιδιαίτερα εξελιγµένος. Τα πρώτα δείγµατα οργανωµένης ζωής ανάγονται στην εποχή του λίθου και χρονολογούνται από τα τέλη της 4 ης χιλιετίας πχ. Όµως, έφτασε στη µεγαλύτερη ακµή της γύρω στο 2300 πχ και άρχισε να παρακµάζει µετά από 500 περίπου χρόνια. Η περιοχή που άκµ ασε ο ινδικός πολιτισµός είναι η Πενταποταµία, δηλαδή η βορειοδυτική περιοχή της Ινδίας που βρίσκεται στις όχθες του Ινδού ποταµού(σηµερινό Πακιστάν). Μοέντζο-Ντάρο Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Ο πολιτισµός των Ινδών είναι η κοιτίδα ενός από τους λαµπρότερους πολιτισµούς που διαδόθηκε σ ολόκληρη την Ανατολική Ασία. Ο αρχαίος πολιτισµός «του Ινδού ποταµού», που άνθισε στο

20 έδαφος της σηµερινής Ινδίας και του Πακιστάν, έφτασε στη µεγαλύτερη ακµή του κατά την τρίτη χιλιετία π.χ. Oι πιο σηµαντικές πόλεις κατά το 2500 π.χ. είναι το Αµρί (κοντά στο δέλτα του Ινδού), Μοέντζο-Ντάρο (Ινδό ποταµό), Λοτάλ (κοντά στον κόλπο Καµπέι) και Χαράππα (κοντά στον ποταµό Ράβι). Οι κάτοικοι του Μοχέντζο- Ντάρο ανέπτυξαν την γραφή και ένα δεκαδικό σύστηµα αριθµών. Δυστυχώς, λίγα επιπλέον γράµµατα γνωρίζουµε για τα µαθηµατικά τους. Γλώσσα: Στις αρχές της 2 ης χιλιετίας ο πολιτισµός των Ινδών δέχτηκε επιρροές από τον πολιτισµό των Αρίων και Βεδών. Η γλώσσα που µιλούσαν ήταν η σανσκριτική, η οποία παρουσιάζει στοιχεία κοινής καταγωγής µε την ελληνική, τη λατινική και γενικότερα τις λεγόµενες ινδοευρωπαϊκές γλώσσες. Παρά τις προσπάθειές τους, οι µελετητές δεν είναι σε θέση να αποκρυπτογραφήσουν τη γραφή αυτού του πολιτισµού. Ένα πρόβληµα το σηµαντικότερο ίσως- είναι η έλλειψη στοιχείων. Οι περισσότερες από τις γνωστές επιγραφές έχουν βρεθεί σε σφραγίδες ή κεραµικά δοχεία και περιέχουν λιγότερους από 4 ή 5 χαρακτήρες. Μάλιστα, το µακρύτερο κείµενο περιέχει 26 χαρακτήρες. Επίσης, δεν υπάρχουν ως τώρα περισσότερες ενδείξεις κάποιου φιλολογικού corpus. Από τον 4 ο 3 ο αιώνα αντλούµε πληροφορίες από τους θρησκευτικούς τους ύ µνους, τις Βέδες, οι οποίες είναι γραµµένες στη µέση ινδική γλώσσα (πιο συγκεκριµένα την πρακρίτ). Η ινδική, η λατινική και η ελληνική γραφή θεωρούνται οι αρχαιότερες και οι πιο ανεπτυγµένες στην οµάδα των ινδοευρωπαϊκών γλωσσών. Θρησκεία: Από την εποχή της εµφάνισης των Αρίων (1500π.Χ.) µέχρι τον 4 ο αιώνα π.χ. υπάρχει ένα µεγάλο ιστορικό κενό λόγω της έλλειψης ιστορικών τεκ µηρίων. Τότε διαµορφώθηκαν οι δύο µεγάλες

21 θρησκείες, ο Βραχµ ανισµός (Ινδουισµός) και ο Βουδισµός. Ο Βραχµανισµός είναι η αρχαιότερη από τις µεγάλες παγκόσµιες θρησκείες. Αυτή η θρησκεία ως τρόπο ζωής και ως θεωρία, είναι πολυσύνδετη µε αντικρουόµενα µεταξύ τους στοιχεία, που ξεκινούν από αφελείς αφηγήσεις των χορικών και φτάνουν µέχρι τη δυσνόητη λογική των φιλοσόφων. Ο Βραχµανισµός ή Ινδουισµός είναι η πρώτη θρησκεία του λαού της Ινδίας. Τη µεγάλη χρονική περίοδο της επικράτησης των Αρίων η βόρεια και η κεντρική Ινδία ήταν διαιρεµένη σε µικρά, φεουδαρχικού τύπου, κρατίδια. Σε ένα απ αυτά γεννήθηκε τον 6 ο αιώνα π.χ. ο ιδρυτής της δεύτερης µεγάλης θρησκείας του Βουδισµού, ο οποίος ονοµάζονταν Σιντάρα Γκαουτάµα (υπαρκτό ιστορικό πρόσωπο, π.χ.), γνωστός ως Βούδας(=φωτισµένος). Τέχνη: Μας άφησε ο πολιτισµός τους εντυπωσιακά αρχιτεκτονικά λείψανα, γλυπτικές µορφές που διακρίνονται για την ποικιλία των τύπων και για την υψηλή τεχνική τους, άφθονη κεραµ ική και σφραγίδες. Η ινδουϊστική τέχνη, που αναδείχνεται νωρίτερα και επικρατεί µε το πέρασµα του χρόνου, είναι συνυφασµ ένη µε τις µορφές της βασικής τριάδας του ινδουιστικού πανθέου: του θεού Σίβα, Βράχµα και Βισνού. Μπορούµε να αναφέρουµε ότι η θρησκευτική τέχνη τ ους, όπως και οι τέχνες µερικών λαών τις Ασίας, έχουν επηρεάσει κατά ένα µέρος την ελληνική. Απ όλες τις πηγές που έχουµε στη διάθεσή µας, γίνεται αντιληπτό στην Ινδία η θρησκεία, η ποίηση, το θέατρο, ο χορός και η µουσική γεννήθηκαν και συνυπάρχουν όπως και σε τόσους άλλους πολιτισµούς σε µία άρρηκτη ενότητα όπου δύσκολα µπορεί κανείς να ξεχωρίσει τα όρια µιας τέχνης από την άλλη. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; (βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοποίηση, άρρητοι αριθµοί) Οι Ινδοί χρησιµοποίησαν κάποιους ειδικούς κανόνες οι οποίοι προϋποθέτανε ότι ο αριθµός γραφόταν µε δεκαδική σηµειογραφία, µε τη

22 πρέπουσα σπουδαιότητα στη θέση του µηδενός και της υποδιαστολής. Ακόµα, είχαν γνώσεις των δυνάµεων του δέκα. Στην αριθµητική η µέθοδος των τριών ήταν γνωστή, όπως και οι σύνθετες µέθοδοι ονοµάζονταν µέθοδος των πέντε, µέθοδος των επτά κτλ. Στη συνέχεια, πιστεύεται ότι οι δύο µεγάλοι µαθηµατικοί και αστρονόµοι, ο Aryabhatta & o Brahmagupta, γνώριζαν τον τρόπο επιλύσεις απροσδιόριστων εξισώσεων β βαθµού. Ο Brahmagupta, κατά τον 6 ο αιώνα µ.χ., σχεδίασε τη µέθοδο λύσης της εξίσωσης τύπου Ν x 2 + 1=My 2 (η οποία ήταν γνωστή µε το όνοµα «Varga Prakriti»). Επιπροσθέτως, είχαν γνώσεις άλγεβρας, γεωµετρίας, µια αντίληψη των αφηρηµένων αριθµών και διάφορων λύσεων σε σχέση µε το µηδέν. Ήξεραν τα µαθηµατικά και, γενικά, τις βασικές αριθµητικές πράξεις(πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση, πολλαπλασιασµός) και τις χρησιµοποιούσαν καθηµερινά κάτοικοι της Ινδίας. Τέλος, από Ινδούς µαθηµατικούς έρχονται για πρώτη φορά στην επιφάνεια η έννοια του µηδενός, οι τεχνικές της Άλγεβρας και των Αλγόριθµων, της τετραγωνικής και κυβικής ρίζας. Είχαν βασικές γνώσεις γεωµετρίας; Οι Ινδοί προσέφεραν πολλά στη γεωµετρία υπήρχε ένα πεδίο µαθηµατικών υπολογισµών που λεγόταν Rekha Ganita (γραµµικοί υπολογισµοί), µορφοποιήθηκαν και εφαρµόστηκαν για τον σχηµατισµό των Mandalas για αρχιτεκτονικούς σκοπούς. Εµφανίζονται στα γεωµετρικά σχέδια και στα διαφορετικά µοτίβα ναών. Τα Sulva-sutra που σηµαίνουν «κανόνας της χορδής» δίνουν γεωµετρικές µεθόδους κατασκευής πυλώνων και ναών. Τα πιο συνηθισµένα σχήµατα είναι το κυκλικό, τετραγωνικό και η µικυκλικό. Όµως κάθε σχήµα έχει το ίδιο προκαθορισµένο µέγεθος και αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη µιας γεωµετρίας πρωτόγονης που σχετιζόταν µε τα ίσα ε µβαδά. Επίσης, ο Αριαµπάτα, εκτός από αστρονόµος ήταν και µαθηµατικός και ασχολήθηκε µε την τριγωνοµετρία (για τις µετρήσεις της σφαίρας) και υπολόγισε το π, δηλαδή το 62,832/20,000=3,1416. Τέλος, κατά την

23 εποχή της Σουλβασούτρας υπάρχουν αναφορές στην πυθαγόρεια τριάδα αριθµών π.χ. το 3,4,5. Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τλ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό; O πρώτος γνωστός ινδουιστής µαθηµατικός, ο Αριαµπάτα, γεννήθηκε το 476 µχ. Στα κείµενά του υπάρχουν οι πρώτες µαρτυρίες ενός δεκαδικού συστήµατος θέσης-τιµής. Το αριθµητικό σύστηµα της Ινδίας χρησιµοποιείται και σήµερα παγκοσµίως. Υπάρχουν τέσσερις βασικές αρχές σ αυτό το σύστηµα αριθµών: είναι ένα σύστηµα που έχει ως βάση το 10 περιέχει ένα σύνολο ξεχωριστών συµβόλων για τον αριθµό από το 1 έως το 9 έχει γραφή θέσης-τιµής, καθώς και ένα µηδέν. Καµ ιά απ αυτές τις βασικές αρχ ές δε συναντάµε αποκλειστικά στην Ινδία. Όµως, τα πρώτα αριθµικά σύµ βολα, που ονοµ άζονταν βραχµανικά ψηφία, δεν είχαν εξελιχθεί στα σύµβολα που χρησιµοποιούµε σήµερα και δεν περιλάµβαναν το µηδέν. Στα πρώτα χρόνια της εµφάνισής τους αυτά τα αριθµητικά σύ µβολα δεν κατείχαν µια τιµή-θέση. Στη πορεία των χρόνων, περίπου το 600 µ.χ., τα βραχµανικά αριθµητικά ψηφία άρχιζαν να εµφανίζονται σ ένα σύστηµα θέσης-τιµής. Την ίδια εποχή προστέθηκε το µηδέν(ονοµαζόταν Pujham=ιερό και συµ βολίζονταν µε µια τελεία ή µικρό κύκλο ) και έτσι ολοκληρώθηκε το αριθµητικό σύστηµα των Ινδών, το οποίο µετά το αφοµοίωσαν και το τροποποίησαν οι Άραβες. Έτσι απ αυτούς διαδόθηκε αυτό το αριθµητικό σύστηµα στην Ευρώπη και παγκοσµιοποιήθηκε, αργότερα.

24 Να γράψετε τον αριθµό 457 χρησιµοποιώντας σύµβολα των Ινδών. Τα Ινδο-βραχµανικά σύµβολα του 4:, του 5:, του 7:. Άρα το νούµερο 457 στον ινδο-βραχµανικό πολιτισµό είναι: Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Από το 200 µ.χ. κατείχαν γνώσεις αστρονοµίας, δηλαδή µετά την περίοδο Σουλβασούτρα, που φτάνει µέχρι το 200 µ.χ., έρχεται η εποχή Σιντάνα, κατά την οποία ανήκει το πρώτο γνωστό έργο αστρονοµίας, Σούρια Σιντάνα. Έχουµε αναφέρει στις προηγούµενες απαντήσεις ότι οι Αριαµπάτα και Βαραχαµιχίρα ήταν µεγάλοι και σηµαντικοί µαθηµατικοίαστρονόµοι της Ινδίας και έπαιξαν καθοριστικό ρόλο για τη πρόοδο και των δυο επιστηµών. Ο Βραχαµιχίρα δίδασκε ότι η Γη είναι σφαιρική, το οποίο όµ ως είχαν ανακαλύψει οι Έλληνες πολλούς αιώνες νωρίτερα. Επιπροσθέτως, περιείχε στο έργο του εκείνους τους υπολογισµούς που ήταν απαραίτητοι για την ανεύρεση της θέσης ενός πλανήτη. Ακόµα, αυτός ο µεγάλος αστρονόµος ήταν ο πρώτος που συνδύασε την άλγεβρα µε την αστρονοµία. Έτσι, λοιπόν, η αστρονοµία των Ινδών ήταν αρκετά ανεπτυγµένη χάρη στον Βραχαµι χίρα και άλλους µεταγενέστερους απ αυτόν αστρονόµους. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Οι ινδουιστές είχαν σίγουρα πληροφορίες για τους Έλληνες, αφού ο Μέγας Αλέξανδρος κατέκτησε τη Περσική αυτοκρατορία και προήλασε µέχρι την κοιλάδα του Ινδού ποταµού µεταξύ π.χ. Εποµένως, οι Έλληνες και οι ινδουιστές στοχαστές θα πρέπει να είχαν κάποιες ευκαιρίες για ανταλλαγή ιδεών. Ακόµα δύο λαοί που πιθανόν να επηρέασαν τους Ινδούς είναι η Βαβυλώνιοι και οι Κινέζοι ως προς τον

25 πολιτισµό τους και τα µαθηµατικά. Όµως, αυτή η πιθανότητα και αυτό το ερώτηµα δεν έχει εξακριβωθεί. Ποια κατά την γνώµη σας ήταν η µεγαλύτερη συνεισφορά των Ινδών στα µαθηµατικά; Πιστεύουµε ότι η µεγαλύτερη συνεισφορά των Ινδών στα µαθηµατικά ήταν (πρώτα) το αριθµητικό σύστηµά της, το οποίο σήµερα χρησιµοποιείται από τους περισσότερους λαούς της γης, και (µετά) η αποδοχή των αρνητικών αριθµών και του µηδενός(µετά από 6 ο αιώνα µ.χ.). Το σύστηµά της που έχει παγκοσµιοποιηθεί είναι το δεκαδικό. Τα σύµβολα των αριθµών στα παλιά χρόνια δεν ήταν ίδια µε τα σηµερινά, αλλά διαφορετικά. Εξελίχθηκαν κατά χρονικά διαστήµατα και έφτασαν στην τελική τους µορφή που έχουνε σήµερα. Μετά από την αντιγραφή και την ελαφρώς τροποποιηµένη µορφή αυτού του συστήµατος, διαδόθηκε σ όλη την Ευρώπη και µετά στον κόσµο. Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Ινδούς; Αναπτύξτε ελεύθερα τις απόψεις σας για τον πολιτισµό και τα µαθηµατικά τους. Πριν αρχίσουµε την εργασία διαπιστώσαµε ότι σχέση των Ινδών µε τα µαθηµατικά ήταν η ίδια µε τους άλλους λαούς. Τώρα που έχουµε τελειώσει καταλάβαµε ότι ήταν πιο ανεπτυγµένη από οποιοδήποτε άλλο λαό της γης στην εποχή Gupta, ακόµα και από τους Έλληνες και Αιγυπτίους. Η διαφορά από τους Έλληνες φαίνεται στο ότι ο ι ινδουιστές µαθηµατικοί µε τη χρήση του µηδενός και των αρνητικών αριθµών προχώρησαν από την πρωτόγονη, ρητορική άλγεβρα που δε χρησιµοποιεί σύµβολα, σε µία σχεδόν εξ ολοκλήρου συµβολική άλγεβρα φτάνοντας σε ένα επίπεδο συµ βολικής αφαίρεσης ανώτερο από αυτό του Διόφαντου (ο καλύτερος αλγεβριστής των Ελλήνων).

26 Μας εντυπωσίασαν πολλά πράγµατα στον πολιτισµό των Ινδών και τα µαθηµατικά τους. Πρώτον, θαυµαστό είναι ότι η άλγεβρά τους ήταν γνωστή αιώνες πριν εµφανιστεί στους Ευρωπαίους. Δεύτερον, ενδιαφέρον είναι ότι θεωρείται ο πρώτος πολιτισµός που ανέπτυξε τον αστικό σχεδιασµό. Μπορούµε να αναφέρουµε ότι οι περισσότεροι οικισµοί του αρχαίου κόσµου είχαν αναπτυχθεί µε κάποια αναρχία, αλλά στον πολιτισµό του Ινδού κάθε πόλη µοιάζει να δηµιουργήθηκε σύµφωνα µε ένα σχέδιο: µια ακρόπολη-φρούριο πο υ έβλεπε προς τη δύση, περιβαλλόµενη από συγκροτήµατα οικιών κατά µήκος µεγάλων αρτηριών µε κατεύθυνση Βορρά-Νότου. Οι κύριες αρτηρίες χώριζαν την πόλη σε ορθογώνια, ενώ οι µικρότεροι δρόµοι ήταν σχεδιασµένοι στην τύχη. Προσπαθούσαν, επίσης, ό, τι έχτιζαν, ακόµα και τα τούβλα, να ήταν οµοιόµορφο και αρµονικό. Ας υπογραµµίσουµε ότι οι κατασκευές των πυλώνων και των ναών γίνονταν σύµφωνα µε τις γεωµετρικές µεθόδους Sulva Sutras, που σηµαίνουν «Κανόνας της Χορδής» Τέλος, οι Ινδοί κατά τη γνώµη µας προσέφεραν πολλά στα Μαθηµατικά και γενικά στον κόσµο. Αυτό φαίνεται, κυρίως, από το σύστηµα γραφής και τα αριθµητικά σύµβολα που χρησιµοποιεί ο µισός πληθυσµός της Γης και παραπάνω. Όπως και από τους ινδουιστές µαθηµατικούς που προσέφεραν ένα µεγάλο έργο σ αυτή την επιστήµη είτε αποδεικνύοντας κάποια σηµαντικά θεωρήµατα, είτε εισάγοντας καινούργιες τεχνικές και νέες έννοιες που βοήθησαν στην ανάπτυξη διαφόρων κλάδων της. Μαθητές που συµµετείχαν: 1) Αφροδίτη-Λυδία Παναγιωτοπούλου 2) Ελένη Σαββίδου 3) Μαλβίνα Τσαντεκίδου

27 Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Οι Ίνκα ήταν λαός της Α µερικής και συγκεκριµένα του Περού. Οι πρώτοι κάτοικοι του Περού ήταν κυνηγοί νοµάδες που κατοικούσαν σε σπήλαια στις περιοχές της περουβιανής ακτής. Η πιο παλιά τοποθεσία, το σπήλαιο χρονολογείται το π.χ., δηλαδή πριν την ανακάλυψη της Αµερικής από τον Κολόµβο. Η αυτοκρατορία των Ίνκα εκτεινόταν από το βορειοδυτικό

28 Εκουαδόρ και περιλάµβανε τ µήµατα του Περού, της Βολιβίας και της Αργεντινής, και αρχίζει από το 1200 π.χ. περίπου µέχρι το 1532 όπου καταλύεται από τον Ισπανό Πιζάρο. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Οι Ίνκα ανάπτυξαν σπουδαίο π ολιτισµό, που άφησε έκπληκτους τους πρώτους Ισπανούς κυρίους τους. Αν και αυτοκρατορία τους είχε διάρκεια µόνο 200 χρόνων, οι Ίνκα κατάφεραν να αναπτύξουν αρκετά τις επιστήµες όπως την είχαν αρχιτεκτονική, την αστρολογία και την ιατρική. Είχαν ένα σύστηµα δηµόσιων δρόµων περίπου τριάντα χιλιάδων χιλιοµέτρων που συνέδεε την πρωτεύουσα των Ίνκας «Κούσκο» µε τα αποµακρυσµένα τ µήµατα της αυτοκρατορίας. Οι Ίνκας ονόµασαν την επικράτεια τους Tawantinsuyu, που στη γλώσσα Quechua,την γλώσσα των Ίνκας σηµαίνει Τα τέσσερα µέρη. Δεν υπήρχαν µεγάλες πόλεις αλλά έµεναν σε µικρά χωριά, τα οποία είχαν σπάνια πάνω από 1000 κατοίκους. Ποιοι είναι οι βασικοί λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη των αριθµών; Για ποιο λόγο ανέπτυξαν το αριθµητικό τους σύστηµα; Οι Ίνκας δεν χρησιµοποιούσαν γραφή, αλλά τα µυστηριώδη "κιπού" φαίνεται ότι κάλυπταν αυτό το κενό και χρησιµοποιούνταν και για απαρίθµηση και καταγραφή αριθµών. Οι βασικοί λόγοι για την ανάπτυξη των αριθµών στους Ίνκας ήταν η απογραφή του πληθυσµού, που γινόταν ανά πενταετία, η φορολογία, το εµπόριο, τα υλικά που υπήρχαν στις αποθήκες της αυτοκρατορίας, τα όπλα και τα αποτελέσµατα των εκστρατειών. Με ποιον τρόπο κατέγραφαν τους αριθµούς; Οι Ίνκας χρησιµοποιούσαν τα "κιπού" τα οποία ήταν κορδόνια κορδέλες µε κόµπους. Δεν έχουν αποκωδικοποιηθεί ακόµα σε όλες τους τις λεπτοµέρειες, αλλά γνωρίζουµε µε ποιο τρόπο τα χρησιµοποιούσαν: Πάνω σε µια κορδέλα

29 έκαναν έναν κόµπο για τις δεκάδες χιλιάδων, έναν τριπλό κόµπο για τις χιλιάδες, έναν διπλό για τις εκατοντάδες κ.ο.κ. αφήνοντας ένα κενό στην κορδέλα, που σήµαινε το µηδενικό. Το κάθε ψηφίο συµβολιζόταν από ένα συνδυασµό κόµπων και απείχε εξίσου από τα γειτονικά ψηφία. Η κορδέλα δενόταν από την άκρη της πάω σε ένα άλλο, κύριο σχοινί, σηµαδεύοντας το ψηφίο της µεγαλύτερης µονάδας. Για παράδειγµα, ο αριθµός 475 θα υποδηλωνόταν µε τέσσερις κόµπους στο πάνω µέρος του σχοινιού, ακολουθούµενους από µια οµάδα επτά κόµπων και στη συνέχεια θα υπήρχαν είτε πέντε µονοί κόµποι είτε ένα κόµπος µε πέντε θηλιές. Ρόλο έπαιζε και το χρώµα και το υλικό της κορδέλας, π.χ. η κίτρινη κορδέλα συµβόλιζε το χρυσάφι ή το καλαµπόκι (ανάλογα µε το υλικό της). Επίσης για να πραγµατοποιήσουν υπολογισµούς δεν χρησιµοποιούσαν τα κιπού άλλα το έκαναν µε άλλα βοηθήµατα όπως τα δάχτυλά τους ή µε χαλίκια και µετά απλώς κατέγραφαν τα αποτελέσµατα στα κιπού Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. (δεκαδικό, εικοσαδικό, εξηκονταδικό κ.τ.λ.). Ποια σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό;

30 Οι Ίνκας Χρησιµοποιούσαν το δεκαδικό σύστηµα.. Η κορδέλα δενόταν από την άκρη της πάνω σε ένα άλλο, κύριο σχοινί, σηµαδεύοντας το ψηφίο της µεγαλύτερης µονάδας. Ρόλο έπαιζε και το χρώµα και το υλικό της κορδέλας. Επίσης σύµφωνα µε έρευνες πιστεύεται ότι ταυτόχρονα χρησιµοποιούσαν και στοιχεία από το δυαδικό σύστηµα. Φαίνεται ότι υπάρχουν 7 σηµεία για να φτιαχτεί ένα «κιπού», στα οποία θα πρέπει ο δηµιουργός να πάρει µια απλή απόφαση µεταξύ δύο πιθανοτήτων - η λογική του δυαδικού κώδικα των 7 σηµείων. Μαθητές που συµµετείχαν : 1) Γκουντέλα Χριστιάνα 2) Καφετζοπούλου Εµµανουέλα 3) Τσολάκης Κώστας 4) Σχοινάς Νίκος Πότε και πού αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Μια λογική υπόθεση για την αρχή του κινέζικου πολιτισµού είναι µεταξύ 2852 και 2738π.χ, τ ην εποχή της βασιλείας του Φου-Χι ο οποίος αναφέρεται ως ο πρώτος αυτοκράτορας της Κίνας. Κυριάρχησε στην Κίνα µετά την ενοποίηση της Άνω και Κάτω Αιγύπτου, τότε που χτίζονταν οι πυραµίδες και υπήρχε η αυτοκρατορία των Σουµέριων στη Μεσοποταµία. Η Κίνα βρίσκεται στην Κεντροανατολική Ασία από το Παρίµ και το Καροκόραµ µέχρι τον Ειρηνικό Ωκεανό και την Ρωσική Άπω Ανατολή σε γεωγραφικό µήκος 600 και από τα Αλτάι και τον ποταµό Αµούρ ως τα Ιµαλάϊα και την χερσόνησο της Ινδοκίνας.

31 Ποιά είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Το µοναρχικό και αριστοκρατικό πολιτικό σύστηµα που είχε πάντα η Κίνα είτε όταν γινόταν αυτοκρατορία είτε πολλά χωριστά βασίλεια πλαισιώνονταν πάντα από υπαλλήλους µορφωµένους και καλλιεργηµένους. Οι τίτλοι δεν µεταβιβάζονταν σ τον κληρονόµο γιατί έπρεπε να δίνουν εξετάσεις για να αναλάβουν τα καθήκοντα τους οι µορφωµένοι, έτσι στα υψηλά κοινωνικά στρώµατα εκλέγονταν νέοι ηγέτες. Η θρησκεία τους περιλάµβανε το σαµ ανιστικό υπόβαθρο. Αρχαιότατη είναι και η επιστήµη της γεωµαντείας γνωστής ως Φένγκ- Σούι. Στην Κίνα όµως συναντάµε 2 µεγάλες θρησκείες, τον Λάο Τσε και Βούδα οι οποίες γεννήθηκαν από τον Κοµ φούκιο. Σηµ αντικό ρόλο έπαιξε η γραπτή γλώσσα η οποία µπορούσε να διαβαστεί από όλους τους εγγράµµατους σε όλη την αυτοκρατορία. Αυτό συντέλεσε στην διατήρηση της ενότητας των Κινέζων. 3. Ποιες βασικές γνώσεις είχαν για τα µαθηµατικά; [βασικές αριθµητικές πράξεις, κλάσµατα, εξισώσεις, παραγοντοπoίηση, άρρητοι αριθµοί.] Oι Κινέζοι χρησιµοποιούσαν το µαγικό τετράγωνο, µια τετραγωνική διάταξη των εννέα αριθµών τέτοια ώστε οι 3 οριζόντιες σειρές, οι 3 κάθετες σειρές και οι δύο διαγώνιοι όταν αθροίζονται να καταλήγουν όλες στον ίδιο αριθµό. Το πρώτο αληθινά µαθηµατικό κείµενο που διασώθηκε ήταν το Τζού-µπέι, το οποίο πιθανόν να γράφτηκε το

32 1100π.χ, περιέχει ηµ ερολογιακούς υπολογισµούς και υλικό σχετικό µε τα κλάσµατα. Το έργο αναφέρεται επίσης στη διαίρεση µιας γραµµής των τριών κ.τ.λ. µονάδων κάτι που αφορά πιθανότατα στο ορθογώνιο τρίγωνο µε µήκη πλευρών τρία, τέσσερα και πέντε. Εποµένως γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρηµα. Ένα έργο µεγάλης εκτίµησης είναι το τζιούτζάν σ ούα-σου ή Η αριθµητική σε 9 κεφάλαια. Τα θέµατα περιλαµβάνουν προβλήµατα σχετικά µε τη φορολόγηση, την τοπογράφηση, τα ποσοστά και τον υπολογισµό ε µβαδού τριγώ νων, κύκλων και τραπεζίων. Περιλαµβάνει επίσης προβλήµατα που σχετίζονται µε τα συστήµατα γραµµικών εξισώσεων, µε το πυθαγόριο τρίγωνο, µε τις τετραγωνικές τις κυβικές ρίζες, και µε τη χρήση του κανόνα της λαθεµ ένης παραδοχής. Οι Κινέζοι έλυναν εξισώσεις π ου περιείχαν αγνώστους στο τετράγωνο ή στον κύβο, αλλά και απλές εξισώσεις όπου ο άγνωστος ήταν υψωµένος στη δέκατη δύναµη. 5.Αναφέρετε λίγα λόγια για το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούσαν. Ποιά σύµβολα χρησιµοποιούσαν; Υπήρχε το µηδέν στο αριθµητικό τους σύστηµα; Ήταν το αριθµητικό τους σύστηµα θεσιακό ; Το βασικό σύστηµα αριθµών τους ήταν δεκαδικό και είχε ξεχωριστές λέξεις για τους αριθµούς από το 1-9. Αριθµοί που έφταναν ακόµη και σε εκατοµµύρια σχηµατίζονταν µε συνδυασµό των αριθµητικών λέξε ων των µεγαλύτερων αριθµών. Το κινέζικο σύστηµα δεν είναι καθορισµένο αφού οι διάφοροι σύνθετοι αριθµοί Μπορούν να µετακινηθούν χωρίς να χάσουν το βασικό τους µέγεθος. Όταν οι Κινέζοι πήγαιναν από την οµ ιλούµενη αριθµητική λέξη στο γραπτό αριθµητικό ψηφίο,

33 διατηρούσαν το βασικό τους σύστηµα. Σε κάθε αριθµό στο οµιλούµενο σύστηµα αριθµητικών λέξεων εκχωρείται ένα ξεχωριστό πικτόγραµµα και η διαδικασία των αριθµών είναι ίδια. Στην αρχαία Κίνα αναπτύχθηκαν 4 διαφορετικά γραπτά συστήµατα: τα βασικά, τα εµπορικά, τα επίσηµα και τα ραβδόµορφα αριθµητικά ψηφία. Οι Κινέζοι δεν χρησιµοποιούσαν το µηδέν γιατί δεν το χρειάζονταν. Μόνο τον 13 ο αιώνα µ.χ. άρχισε να εµφανίζεται σε κάποια γραπτά τους. Αυτό συνέβη από την εµφάνιση του µηδενός στα ευρωπαϊκά αριθµητικά ψηφία όσο και σε αυτά των Μάγια στον νέο κόσµο. Στα κινέζικα ο αριθµός γράφεται από πάνω προς τα κάτω αντί από τα αριστερά προς τα δεξιά.για κάθε ψηφίο χρησιµοποιείται ένα ζεύγος συµβόλων, όπου το ένα σύµβολο δηλώνει το αριθµητικό ψηφίο και το δεύτερο σύµβολο δηλώνει την τιµή λόγω της θέσης. Εποµένως είναι δυνατόν να αλλάζουµε τις θέσεις των ζευγών των κινέζικων αριθµητικών συµβόλων χωρίς να χαθεί το νόηµα. 6.Να γράψετε τον αριθµό χρησιµοποιώντας τα εµπορικά σύµβολα των Κινέζων. 4=Χ 3=ΙΙΙ 8= 0=Ο 1=Ι => 43801=ΧΙΙΙ ΟΙ 7.Είχαν βασικές γνώσεις αστρονοµίας; Κατά την κύρια του Φου-Χι οι Κινέζοι έκαναν διεξοδικές αστρονοµικές παρατηρήσεις. Με την υποστήριξη του κίτρινου αυτοκράτορα, του Χουάνγκ-Τι,ένα κείµενο µε θέµα την αστρονοµία και καθιερώθηκε ένα σύστηµα που είχε ως βάση το 60 (εξηνταδικό) και όχι το 10(δεκαδικό). Είχαν κατασκευάσει ηµερολόγιο;

34 Κάθε νέος αυτοκράτορας διέταζε να υπολογιστεί ξανά το κινέζικο ηµερολόγιο και για αυτό οι µαθηµατικοί ήταν απαραίτητα µέλη των βασιλικών αυλών. Έτσι όλη η βασιλική αυλή αλλά και ο απλός κόσµος ήξερε τις σωστές µέρες των σηµαντικών γιορτών, αλλά ήξεραν και για τις πληµµύρες των ποταµών και την κατάλληλη εποχή για καλλιέργεια. Από ποιον ή ποιους λαούς επηρεάστηκαν τα µαθηµατικά τους; Υπήρχαν περιορισµένες επαφές της Κίνας µε την Ινδία πιθανόν ακόµα και µε την Δύση, δεν είναι σίγουρο όµως ότι τα µαθηµατικά τους ήταν κατά µεγάλο µέρος της ιστορίας τους αποµονωµ ένα από τους άλλους πολιτισµούς. Τι σας εντυπωσίασε περισσότερο από τους Κινέζους; Το πιο εντυπωσιακό είναι η αποµόνωση τους από τους άλλους πολιτισµούς, αλλά και η ακρίβεια των ηµερολογίων τους που βοήθησαν όλους τους ανθρώπους ανεξαρτήτως της κοινωνικής τους τάξης. Επίσης εντυπωσιακή είναι και η ανυπαρξία του µηδενός το οποίο είναι αρκετά σηµαντικό στο δικό µας αριθµητικό σύστηµα ενώ στο κινέζικο είναι σχεδόν αδιάφορο. Άλλο εντυπωσιακό είναι το περίφηµο π το οποίο εκφράζει το λόγω µεταξύ περιµέτρου του κύκλου, ο οποίος λόγος είναι αδύνατον να εκφραστεί µε ακέραιους αριθµούς, αλλά µπορεί να υποδιαιρεθεί σε άπειρους δεκαδικούς. Τα οµ ιληµένα κινέζικα έχουν λίγες λέξεις, ενώ η γραπτή γλώσσα έχει πολλές χιλιάδες σύµβολα. Εποµένως,η γραπτή γλώσσα που βασίζεται σε πικτογράµµατα και όχι σε φωνητικές λέξεις, µπορούσε να διαβαστεί από µορφωµένους Κινέζους της παντού στην αυτοκρατορία την εποχή εκείνη.

35 Μαθητές που συµµετείχαν : 1) Τσαλκάτη Χριστίνα 2) Κνίκου Αθανασία 3) Παναγιωτίδου Ευγενία 4) Βασιλειάδου Νατάσα Πότε και που αναπτύχθηκε ο πολιτισµός τους; Η περίοδος ακµής των Μάγια ήταν από τον 3 ο µέχρι και τον 10 ο αιώνα µ.χ. Ο πολιτισµός τους αναπτύχθηκε στην χερσόνησο του Γιουκατάν

36 στο Νότιο Μεξικό, στη σηµερινή Μπελίσε και στη Γουατεµάλα. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του πολιτισµού τους; Ποιες ήταν οι σηµαντικότερες πόλεις τους; Ο πολιτισµός των Μάγια θα µπορούσαµε να πού µε ότι έχει πολλές οµοιότητες µε άλλους αρχαίους πολιτισµούς(έλληνες, Αιγύπτιοι).Από τα πρώτα χρόνια της ύπαρξής τους δηµιούργησαν αρκετά ηµερολόγια, ο σκοπός των οποίων ήταν θρησκευτικός αλλά και γεωργικός. Ο γεωργικός λόγος ήταν οι καλλιέργειες τους καθώς έπρεπε να ξέρουν τον ρυθµό και τρόπο µε τον οποίο εναλλασσόταν οι εποχές. Επίσης όπως και άλλοι αρχαίοι λαοί θεµελίωσαν θεότητες που είχαν σχέση µε την φύση όπως ο θεός Ήλιος. Δύο από τις σηµαντικότερες πόλεις των Μάγια ήταν η Τικάλ που παροµοιάζετε µε την σηµερινή Νέα Υόρκη και η Κοπάν που λέγετε ότι ήταν κάτι σαν το σηµερινό Παρίσι. Οι πόλεις αυτές ανακαλύφθηκαν σε αναζητήσεις που έγιναν από τους Μπάρκαβιλ(Τικάλ) και τον Στίβεν(Κοπάν).Ο καθένας τους,µε την δική του οµάδα βρήκε τις πόλεις αυτές, που ήταν και θρησκευτικά κέντρα στα οποία συχνά γίνονταν ανθρωποθυσίες και πολλά τελετουργικά µε αίµα και γενετικά όργανα των αρχηγών τους.

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο μάθημα της Ιστορίας

Εργασία στο μάθημα της Ιστορίας Εργασία στο μάθημα της Ιστορίας Αυγερίκος Γιώργος Α 1 Γυμνασίου ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ Οι Σουμέριοι ήταν αρχαίος ιστορικός λαός, εμφανίστηκαν στην περιοχή μεταξύ 6000 και 4000 π.χ. και ονόμαζαν τους εαυτούς τους, Εμ-ε-γκιρ

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι απόγονοι του Νώε, μετά τη διασπορά τους σ όλη τη γη, άρχισαν να λησμονούν τον αληθινό Θεό και να λατρεύουν τα είδωλα, δηλαδή τα δημιουργήματα του

Οι απόγονοι του Νώε, μετά τη διασπορά τους σ όλη τη γη, άρχισαν να λησμονούν τον αληθινό Θεό και να λατρεύουν τα είδωλα, δηλαδή τα δημιουργήματα του H εποχή των Πατριαρχών Από τον πολυθεϊσμό στην πίστη στον ένα Θεό Ο Θεός σχεδιάζει τη σωτηρία του κόσμου Οι απόγονοι του Νώε, μετά τη διασπορά τους σ όλη τη γη, άρχισαν να λησμονούν τον αληθινό Θεό και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία Ιστορίας. Ελένη Ζέρβα

Εργασία Ιστορίας. Ελένη Ζέρβα Εργασία Ιστορίας U«Μυκηναϊκός Πολιτισµός» UΜε βάση τις πηγές και τα παραθέµατα Ελένη Ζέρβα Α1 Μελετώντας τον παραπάνω χάρτη παρατηρούµε ότι τα κέντρα του µυκηναϊκού κόσµου ήταν διασκορπισµένα στον ελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΑΡΧΑΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥΣ ΣΕ ΟΣΤΡΑΚΑ ΠΗΛΙΝΩΝ ΑΓΓΕΙΩΝ Μεσοποταμία-Σουμέριοι Μέσα 4ης χιλιετίας π.χ. Σφηνοειδής γραφή Τρόπος γραφής που

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ (ΚΑΙ Ο ΣΥΛΒΕΣΤΕΡ) ΚΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ [ Στην ιστοσελίδα http://www.goldenmuseum.com/1207fibdivis_engl.html διάβασα για την (τελικά υποτιθέµενη) «διαίρεση του Φιµπονάτσι». Για να επιβεβαιώσω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Φεβρουάριος 2013. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 21/2/2013 Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

Φεβρουάριος 2013. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 21/2/2013 Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Φεβρουάριος 2013 2 Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 26 1/5 Ν:9 ο Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αραίων Ελλήνων Η σολή της Ιωνίας - Αναφορά στο έργο του

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Οι πρώτες μορφές γραφής

Οι πρώτες μορφές γραφής Οι πρώτες μορφές γραφής Σφηνοειδής γραφή Τα παλιότερα είδη γραφής ανακαλύφθηκαν από τους αρχαιολόγους στη Μεσοποταμία, στην περιοχή ανάμεσα στους ποταμούς Τίγρη και Ευφράτη,στο σημερινό Ιράκ. Εφευρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΓΡΑΦΕΣ ΣΤΟ ΠΡΟΙΣΤΟΡΙΚΟ ΑΙΓΑΙΟ Όταν οι μαθητές δημιουργούν

ΟΙ ΓΡΑΦΕΣ ΣΤΟ ΠΡΟΙΣΤΟΡΙΚΟ ΑΙΓΑΙΟ Όταν οι μαθητές δημιουργούν ΟΙ ΓΡΑΦΕΣ ΣΤΟ ΠΡΟΙΣΤΟΡΙΚΟ ΑΙΓΑΙΟ Όταν οι μαθητές δημιουργούν ΜΑΘΗΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ Στο πλαίσιο του μαθήματος της Αρχαίας Ελληνικής Ιστορίας στην Α τάξη Γυμνασίου, οι μαθητές μας

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΠΟΧΗ ΤΟΥ ΧΑΛΚΟΥ. Χρωματίστε τη γραμμή του χρόνου Α.. Β.. Γ...

Η ΕΠΟΧΗ ΤΟΥ ΧΑΛΚΟΥ. Χρωματίστε τη γραμμή του χρόνου Α.. Β.. Γ... Χρωματίστε τη γραμμή του χρόνου 1) Καταγράφω τους τρεις (3) σημαντικότερους πολιτισμούς που εμφανίστηκαν στον ελλαδικό χώρο κατά την εποχή του χαλκού: Α.. Β.. Γ... 2) Επιλέξτε ποιες λέξεις της στήλης Β

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή;

Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή; Γιατί μελετούμε την Αγία Γραφή; Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή; Είναι ένα σπουδαίο βιβλίο Το πιο πολυδιαβασμένο στον κόσμο. Το πρώτο που τυπώθηκε από τον Γουτεμβέργιο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ιστορία της αστρολογίας ανάγεται στη 2η χιλιετία π.χ.

Η ιστορία της αστρολογίας ανάγεται στη 2η χιλιετία π.χ. Η ιστορία της αστρολογίας ανάγεται στη 2η χιλιετία π.χ. Η Βαβυλωνιακή αστρολογία λέγεται ότι είχε επηρεάσει τους Έλληνες ήδη από τα μέσα του 4ου π.χ. αιώνα. Ακόμη και αν η προέλευση της αστρολογίας των

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ 1. Από τη Γραμμική Β στην εισαγωγή του αλφαβήτου - Στον ελληνικό χώρο, υπήρχε ένα σύστημα γραφής μέχρι το 1200 π.χ. περίπου, η

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΛΑΜ η θρησκεία της υποταγής στον Αλλάχ

ΙΣΛΑΜ η θρησκεία της υποταγής στον Αλλάχ ΘΡΗΣΚΕΙΕΣ ΤΗΣ ΑΣΙΑΣ ΙΣΛΑΜ η θρησκεία της υποταγής στον Αλλάχ Ιδρυτής του Ισλάμ είναι ο Μωάμεθ (ο οποίος θεωρείται απ τους μουσουλμάνους ο τελευταίος και μεγαλύτερος προφήτης) Το ιερό βιβλίο της θρησκείας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ 1 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΜΕΡΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012 - ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013 Α 3 2 MNEIA Μάγια 1. Παπαχρήστου Μάριος Κινέζοι 1. Παπαδάκης Δημήτρης 2. Πλαφουντζής Σπύρος Αιγύπτιοι 1. Παναγοπούλου Μαρία 2. Πολυχρονοπούλου

Διαβάστε περισσότερα