ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

Transcript

1 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: µε 0 - ν. Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάµεων; 1 ν ηλδή, ν ν πράγοντες µε 0 κι ν 1,, 3,.. ι δυνάµεις, µε εκθέτες γενικά κέριους ριθµούς, ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες µ ν ν µ+ν µ ν µ ν ν ( ) ν ν ν µ ( ) ν µν Οι ιδιότητες υτές ισχύουν µε την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζοντι οι δυνάµεις κι οι πράξεις που σηµειώνοντι. 3. Τι ονοµάζετι τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού ; Ονοµάζετι τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθµού που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο, µς δίνει τον ριθµό. Η τετργωνική ρίζ του συµολίζετι µε ποµένως : χ ν κι µόνο χ Ορίζουµε κόµη Ποιες είνι οι ιδιότητές των ριζών;

2 79 I. πό τον ορισµό τις τετργωνικής ρίζς ενός ριθµού 0 προκύπτει ότι: ( ) II. ι κάθε πργµτικό ριθµό ισχύει III. ν 0 κι 0, τότε IV. ν 0 κι 0, τότε 5. ν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, πόδειξη ίνι γνωστό ότι ν οι κι είνι µη ρνητικοί ριθµοί τότε. Έτσι έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) που ισχύει. 6. ν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, V. πόδειξη ίνι γνωστό ότι ν οι κι είνι µη ρνητικοί ριθµοί τότε, Έτσι έχουµε: ( ) ( ), που ισχύει. 7. Πως συγκρίνουµε( διτάσουµε) δύο πργµτικούς ριθµούς; ν οι κι είνι δύο πργµτικοί ριθµοί τότε: Λέµε ότι ο είνι µεγλύτερος του κι το συµολίζουµε >, ότν > 0.

3 80 Λέµε ότι ο είνι µικρότερος του κι το συµολίζουµε <, ότν < 0. Λέµε ότι ο είνι ίσος µε τον κι το συµολίζουµε, ότν 0. ντίστροφ ν > 0, τότε ο είνι µεγλύτερος του. ν < 0, τότε ο είνι µικρότερο του. ν 0, τότε ο είνι ίσος µε τον. 8. Τι ονοµάζετι νισότητ κι ποι τ χρκτηριστικά της; Η σχέση της µορφής > ( ή < ) ονοµάζετι νισότητ µε µέλη, πρώτο κι δεύτερο, τ κι ( ή τ κι ) ντίστοιχ. Οι νισότητες < κι γ < δ ( ή > κι γ > δ ) λέγοντι οµοιόστροφες ( έχουν την ίδι φορά ) Οι νισότητες < κι γ > δ ( ή > κι γ < δ ) λέγοντι ετερόστροφες ( έχουν ντίθετη φορά ) ι ν δηλώσουµε ότι ένς ριθµός είνι τυτόχρον µεγλύτερος του χ κι µικρότερος του ψ, γράφουµε τη «διπλή» νισότητ χ < < ψ. ι ν δηλώσουµε ότι ένς ριθµός χ είνι µεγλύτερος ή ίσος µε τον ριθµό, γράφουµε χ. 9. Ποιες είνι οι ιδιότητες των νισοτήτων; ν προσθέσουµε κι στ δύο µέλη µις νισότητς τον ίδιο ριθµό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. ηλδή ν >, τότε + γ > + γ. ν προσθέσουµε κτά µέλη δύο ή περισσότερες νισότητες της ίδις φοράς, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. ηλδή ν > κι γ > δ, τότε + γ > + δ. ν πολλπλσιάσουµε κι τ δύο µέλη µιάς νισότητς µε τον ίδιο θετικό ριθµό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. ηλδή ν > κι γ > 0, τότε γ > γ. ν πολλπλσιάσουµε κι τ δύο µέλη µιάς νισότητς µε τον ίδιο ρνητικό ριθµό, προκύπτει νισότητ ντίθετης φοράς. ηλδή ν > κι γ < 0, τότε γ < γ. 10. Τι ονοµάζετι λγερική πράστση; Ονοµάζετι λγερική πράστση κάθε έκφρση που συνδυάζει πράξεις µετξύ ριθ- µών κι µετλητών. 11. Τι ονοµάζετι ριθµητική τιµή λγερικής πράστσης;

4 81 Ονοµάζετι ριθµητική τιµή λγερικής πράστσης ο ριθµός που θ προκύψει ν ντικτστήσουµε τις µετλητές της µε ριθµούς κι εκτελέσουµε τις πράξεις. 1. Πότε µι λγερική πράστση ονοµάζετι: ) κλσµτική, ) άρρητη; Μι λγερική πράστση ονοµάζετι κλσµτική ότν περιέχει µί τουλάχιστον µετλητή σε πρνοµστή. Μι λγερική πράστση ονοµάζετι άρρητη ότν περιέχει ρίζ µε µί τουλάχιστον µετλητή στο υπόριζο. 13. Τι ονοµάζετι µονώνυµο κι πι τ µέρη πό τ οποί ποτελείτι; Ονοµάζετι µονώνυµο µι λγερική πράστση στην οποί σηµειώνετι µόνο η πράξη του πολλπλσισµού µετξύ ριθµού κι µις ή περισσοτέρων µετλητών. Σε έν µονώνυµο ο ριθµητικός πράγοντς που γράφετι πρώτος ονοµάζετι συντελεστής του µονωνύµου, ενώ το γινόµενο όλων των µετλητών ονοµάζετι κύριο µέρος του µονωνύµου. 14. Ποι µονώνυµ ονοµάζοντι όµοι; Ονοµάζοντι όµοι δύο ή περισσότερ µονώνυµ τ οποί έχουν το ίδιο κύριο µέρος. Πως ορίζετι το άθροισµ οµοίων µονωνύµων; Το άθροισµ οµοίων µονωνύµων είνι έν µονώνυµο όµοιο µε υτά που έχει συντελεστή το άθροισµ των συντελεστών τους. 15. Τι ονοµάζετι νγωγή οµοίων όρων; Ονοµάζετι νγωγή οµοίων όρων η πρόσθεση οµοίων µονωνύµων. 16. Πως ορίζετι το γινόµενο µονωνύµων; Το γινόµενο µονωνύµων είνι έν µονώνυµο που έχει ως συντελεστή το γινόµενο των συντελεστών τους κι ως κύριο µέρος όλες τις µετλητές µε εκθέτη σε κάθε µι το ά- θροισµ των εκθετών της. 17. Τι ονοµάζετι πολυώνυµο; Ονοµάζετι πολυώνυµο έν άθροισµ µονωνύµων τ οποί δεν είνι όµοι. 18. Τι ονοµάζετι τυτότητ; Ονοµάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που περιέχει µετλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιµή των µετλητών υτών. 19. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +) + + ii. ( ) + iii. ( + ) iv. ( ) v. ( )( + )

5 8 πόδειξη i. ( + ) ( + ) ( + ) ii. ( ) ( ) ( ) + + iii. ( a + ) 3 ( a + ) ( a + ) (a + a + ) ( a + ) a 3 + a + a + a + a + b 3 a 3 + 3a + 3a + 3 iv. ( ) 3 ( ) ( ) ( + ) ( ) 3 + a a v. ( ) ( + ) + 0. Τι ονοµάζετι πργοντοποίηση; Ονοµάζετι πργοντοποίηση ενός πολυωνύµου ή γενικότερ µις λγερικής πράστσης η διδικσί µεττροπής της πράστσης σε γινόµενο. 1. Τι ονοµάζετι εξίσωση: ) 1 ου θµού ) ου θµού, µε ένν άγνωστο ; Ονοµάζετι εξίσωση πρώτου θµού µε ένν άγνωστο κάθε ισότητ της µορφής χ + 0 µε 0. Ο λέγετι συντελεστής του γνώστου κι ο στθερός ( ή γνωστός ) όρος. Ρίζ της εξίσωσης ονοµάζετι ο ριθµός που ν ντικτστήσει τον χ στην εξίσωση προκύπτει ισότητ που ληθεύει. πίλυση µις εξίσωσης πρώτου θµού λέγετι η διδικσί εκείνη µε την οποί ρίσκουµε τη λύση της. Ονοµάζετι εξίσωση δευτέρου θµού µε ένν άγνωστο κάθε ισότητ της µορφής χ + χ + γ 0 µε,, γ πργµτικούς ριθµούς κι 0. Οι ριθµοί κι ονοµάζοντι συντελεστές του δευτεροθµίου κι πρωτοθµίου όρου ντίστοιχ κι ο ριθµός γ στθερός όρος. πίλυση µις εξίσωσης δευτέρου θµού λέγετι η διδικσί εκείνη µε την οποί ρίσκουµε τις τιµές του χ που την επληθεύουν.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεροάθµις εξίσωσης χ + χ +γ 0 µε,, γ πργµτικούς ριθµούς κι 0. πόδειξη ι την πόδειξη του τύπου υτού θ εφρµόσουµε την µέθοδο «συµπλήρωσης τετργώνου» ι την εξίσωση λοιπόν χ + χ + γ 0 µε,, γ πργµτικούς ριθµούς κι 0 έχουµε διδοχικά: χ + χ + γ 0(διιρούµε κι τ δύο µέλη της ισότητς µε )

6 83 χ + χ + γ 0 γ χ + χ + 0 ( µετφορά όρου) χ + χ χ + χ γ ( ηµιουργί διπλάσιου γινοµένου) γ ( Πρόσθεση κι στ δύο µέλη του ) χ + χ + γ + (νάπτυγµ τετργώνου) χ + 4 4γ ( I ) Την πράστση 4γ ονοµάζουµε δικρίνουσ κι την συµολίζουµε µε. ν 0 πό την ( I ) έχουµε χ + χ + ± ή χ ± ή χ ± ν < 0 ή εξίσωση είνι δύντη φού είνι δύντον ν ισχύει η εξίσωση ( I ) ποµένως οι λύσεις της εξίσωσης χ + χ + γ 0 µε,, γ πργµτικούς ριθµούς ± κι 0 δίδοντι πό τον τύπο: χ 3. Πότε µί εξίσωση δευτέρου θµού: a. έχει δύο άνισες ρίζες; b. έχει µι διπλή ρίζ ; c. δεν έχει ρίζες; κι υπάρχουν µόνο εφ όσον 0 Η εξίσωση χ + χ + γ 0 µε,, γ πργµτικούς ριθµούς, 0 κι δικρίνουσ 4γ: a. b. c. ± έχει δύο ρίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο χ, ότν > 0 έχει δύο ρίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο χ, ότν 0 δεν έχει ρίζες, ότν < 0

7 84 4. Τι ονοµάζετι κλσµτική εξίσωση κι πότε ορίζετι υτή; Ονοµάζετι κλσµτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο στον πρνοµστή. ι ν ορίζετι µι κλσµτική εξίσωση, πρέπει οι πρνοµστές των κλσµάτων της ν είνι διάφοροι του µηδενός. 5. Τι ονοµάζετι Τρίγωνο κι ποι τ κύρι στοιχεί του; Ονοµάζετι τρίγωνο το επίπεδο σχήµ που ορίζετι πό τρί µη συνευθεικά σηµεί τ οποί συνδέοντι µε ευθύγρµµ τµήµτ. Τ κύρι στοιχεί ενός τριγώνου είνι, οι πλευρές του κι οι γωνίες του Πλευρές του τριγώνου ονοµάζοντι τ ευθύγρµµ τµήµτ που συνδέουν τις κορυφές του. ωνίες του τριγώνου ονοµάζοντι οι γωνίες που ορίζοντι πό τις πλευρές του. γ 6. Ποι είνι τ είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές, κι ως προς τις γωνίες τους; Έν τρίγωνο που εξετάζετι ως προς τις πλευρές του λέγετι: σκληνό, ν οι πλευρές του είνι άνισες, ισοσκελές, ν δύο πλευρές του είνι ίσες, ισόπλευρο, ν κι οι τρεις πλευρές του είνι ίσες. σκληνό ισοσκελές ισόπλευρο Έν τρίγωνο που εξετάζετι ως προς τις γωνίες του λέγετι: οξυγώνιο, ν όλες του οι γωνίες είνι οξείες, ορθογώνιο, ν µί γωνί του είνι ορθή, οξυγώνιο ορθογώνιο µλυγώνιο, ν µί γωνί του είνι µλεί. >90 Ισογώνιο ν όλες οι γωνίες του είνι ίσες 7. Τι ονοµάζετι διάµεσος, διχοτόµος, ύψος, τριγώνου. ιάµεσος ενός τριγώνου ονοµάζετι το ευθύγρµµο τµήµ που συνδέει µι κορυφή του µε το µέσο της πένντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάµεσους που συµολίζοντι µ, µ, µ γ ντίστοιχ κι διέρχοντι το ίδιο σηµείο. µλυγώνιο µ ισογώνιο µ Κ µ γ Μ

8 85 Το σηµείο τοµής των διµέσων ενός τριγώνου ονοµάζετι ρύκεντρο του τριγώνου. ιχοτόµος µις γωνίς ενός τριγώνου ονοµάζετι το ευθύγρµµο τµήµ που συνδέει την κορυφή της γωνίς µε την πένντι πλευρά κι διχοτοµεί δ Ο τη γωνί υτή. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόµους που συµο- δ δ γ λίζοντι δ, δ, δ γ ντίστοιχ κι διέρχοντι πό το ίδιο σηµείο. Το σηµείο τοµής των διχοτόµων ενός τριγώνου ονοµάζετι έγκεντρο του τριγώνου. Ύψος ενός τριγώνου ονοµάζετι το ευθύγρµµο τµήµ που φέρετι πό µι κορυφή του προς την ευθεί της πένντι πλευράς. υ υ Η υ γ Κάθε τρίγωνο έχει τρί ύψη που συµολίζοντι δ, δ, δ γ ντίστοιχ κι διέρχοντι το ίδιο σηµείο. Το σηµείο τοµής των υψών ενός τριγώνου ονοµάζετι ορθόκεντρο του τριγώνου. 8. Πότε δύο τρίγων λέγοντι ίσ ; ύο τρίγων λέγοντι ίσ, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες κι τις οµόλογες πλευρές τους ( πλευρές πένντι πό ίσες γωνίες ) ίσες µί προς µί Έτσι ν τ τρίγων κι είνι ίσ τότε: ωνίες Οµόλογες πλευρές 9. Πότε δύο τρίγων είνι ίσ; ( Κριτήρι ισότητς τριγώνων) Κριτήριο (Π. Π. Π.) ύο τρίγων είνι ίσ, ότν οι τρεις πλευρές του ενός είνι ίσες µε τις τρεις πλευρές του άλλου µί προς µί. Τ τρίγων κι έχουν

9 86 Κριτήριο ( Π.. Π. ) ύο τρίγων είνι ίσ ότν οι δύο πλευρές κι η περιεχόµενη σ υτές γωνί του ενός είνι ίσες µε τις δύο πλευρές κι την περιεχόµενη σ υτές γωνί του άλλου ντίστοιχ. Τ τρίγων κι έχουν Κριτήριο (Π...) ύο τρίγων είνι ίσ, ότν η µί πλευρά κι οι προσκείµενες σ υτήν γωνίες του ενός είνι ίσες µε την µί πλευρά κι τις προσκείµενες σ υτήν γωνίες του άλλου ντίστοιχ. Τ τρίγων κι έχουν 30. Πότε δύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ; ( Κριτήρι ισότητς ορθογωνίων τριγώνων ) ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν οι δύο κάθετες πλευρές του ενός είνι ίσες µε τις δύο κάθετες πλευρές του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν : 90

10 87 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι µί κάθετη πλευρά του ενός είνι ίσες µε την υποτείνουσ κι µι κάθετη πλευρά του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν : 90 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η µί κάθετη πλευρά κι η προσκείµενη της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες µε τη µί κάθετη πλευρά κι την προσκείµενη της άλλου. οξεί γωνί του Τ τρίγων κι έχουν: 90 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η µί κάθετη πλευρά κι η πένντι της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες µε την µί κάθετη πλευρά κι την πένντι της οξεί γωνί του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν: 90 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι µί οξεί γωνί του ενός είνι ίσες µε την υποτείνουσ κι µί οξεί γωνί του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν: 90

11 Ν ποδείξετε ότι ν πό το µέσο µις πλευράς ενός τριγώνου φέρουµε πράλληλη προς µί άλλη πλευρά του, υτή διέρχετι κι πό το µέσο της τρίτης πλευράς. πόδειξη Θεωρούµε τρίγωνο κι το σηµείο Μ µέσο της πλευράς του. πό το Μ φέρουµε πράλληλη προς την που τέµνει την στο ση- µείο Ν. Θ δείξουµε ότι Ν Ν. πό το σηµείο φέρουµε µι οηθητική ευθεί ε //. Οι πράλληλες ευθείες ε, ΜΝ κι ορίζουν ίσ τµήµτ στην, άρ θ ορίζουν ίσ τµήµτ κι στην. ποµένως Ν Ν. ε Μ Ν 3. Ν ποδείξετε ότι το ευθύγρµµο τµήµ που συνδέει τ µέσ δύο πλευρών ενός τριγώνου είνι πράλληλο προς την τρίτη πλευρά κι ίσο µε το µισό της. πόδειξη Θεωρούµε τρίγωνο κι τ σηµεί Μ, Ν µέσ των πλευρών του κι ντίστοιχ. Θ δείξουµε ότι ΜΝ // νωρίζουµε ότι η πράλληλη προς την πό το Μ, που είνι µέσο της, διέρχετι κι πό το µέσο Ν της. ποµένως ΜΝ //. ν πό το Ν φέρουµε κι την ΝΡ //, το σηµείο Ρ θ είνι µέσο της, δηλδή θ είνι Ρ. φού όµως έχουµε ΜΝ // κι ΝΡ //, το τετράπλευρο ΜΝΡ είνι πρλληλόγρµµο κι επο- µένως ΜΝ // Ρ. 33. Ν διτυπώσετε το θεώρηµ του Θλή κι την πρότση που προκύπτει πό υτό γι έν τρίγωνο. δ ζ Μ Ρ Ν Ότν πράλληλες ευθείες τέµνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τ τµήµτ που ορίζοντι στη µι είνι νάλογ προς τ ντίστοιχ τµήµτ της άλλης. ε 1 ε ηλδή ε 3

12 89 Κάθε πράλληλη προς µι πλευρά τριγώνου χω- ρίζει τις άλλες πλευρές του, σε ίσους λόγους. ηλδή 35. Πότε δύο πολύγων λέγοντι όµοι; ύο πολύγων λέγοντι όµοι, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες µί προς µί κι τις πλευρές τους νάλογες. Έτσι τ πολύγων κι ΟΚΛΜΝ ονοµάζοντι όµοι ότν: Ο Ν Ο, Κ, Λ, Μ, Ν Μ κι λ ΟΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΟ Κ Λ 36. Ποιες προτάσεις προκύπτουν πό τον ορισµό της οµοιότητ δύο πολυγώνων; πό τον ορισµό της οµοιότητς δύο πολυγώνων προκύπτουν οι επόµενες προτάσεις. ύο κνονικά πολύγων µε τον ίδιο ριθµό πλευρών είνι όµοι µετξύ τους. ύο ίσ πολύγων είνι κι όµοι, µε λόγο οµοιότητς 1. Κάθε πολύγωνο είνι όµοιο µε τον ευτό του. ύο πολύγων όµοι προς τρίτο είνι κι όµοι µετξύ τους. 37. Πότε δύο τρίγων λέγοντι όµοι; ύο τρίγων λέγοντι όµοι ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες µί προς µί κι τις οµόλογες (ντίστοιχες ) πλευρές τους νάλογες. ηλδή ν, τότε,, κι Ο λόγος των ντιστοίχων (οµολόγων) πλευρών τους ονοµάζετι λόγος οµοιότητς κι συµολίζετι µε λ.

13 Πότε δύο τρίγων είνι όµοι; ( Κριτήρι οµοιότητς τριγώνων) 1 ο Κριτήριο ύο τρίγων είνι όµοι, ότν δύο γωνίες του ενός είνι ίσες µε δύο γωνίες του άλλου µί προς µί. ν δηλδή τ τρίγων κι έχουν κι, τότε κι εποµένως κι ο Κριτήριο ύο τρίγων είνι όµοι, ότν µί γωνί του ε- νός είνι ίση µε µί γωνί του άλλου κι οι πλευρές τους που περιέχουν τις ίσες γωνίες είνι νάλογες. ν δηλδή τ τρίγων κι έχουν κι, τότε. κι εποµένως, κι 3 ο Κριτήριο ύο τρίγων είνι όµοι, ότν οι πλευρές του ενός είνι νάλογες µε τις πλευρές του άλλου. ν δηλδή τ τρίγων κι έχουν, τότε. κι εποµένως, κι

14 Ποι θεωρήµτ νφέροντι στο λόγο των εµδών δύο οµοίων σχηµάτων κι στο λόγο των όγκων δύο οµοίων στερεών σχηµάτων; Ο λόγος των εµδών δύο οµοίων σχηµάτων είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς τους. Ο λόγος των όγκων δύο οµοίων στερεών σχηµάτων είνι ίσος µε τον κύο του λόγου οµοιότητς τους. 40. Πως ορίζοντι οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί µις οποισδήποτε γωνίς; Έστω ω ( 0 ω 360 )η γωνί που πράγετι πό τον ηµιάξον Οχ, ότν υτός στρφεί κτά τη θετική φορά. ν πάρουµε έν οποιοδήποτε σηµείο Μ( χ, ψ ) µε χομ ω κι ΟΜ ρ τότε ορίζουµε: ψ ηµω ρ χ συ νω ρ χ Μ ( χ, ψ) ψ εφω χ ψ Το ηµω κι συνω πίρνουν τιµές πό το 1 έως το +1. ρ ψ ω Ο χ ίνι δηλδή 1 ηµω 1 κι 1 συνω 1 Η εφω πίρνει οποιδήποτε τιµή. ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο 1 ο τετρτηµόριο, τότε ηµω> 0, συνω>0, εφω>0 ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο ο τετρτηµόριο, τότε ηµω> 0, συνω<0, εφω<0 ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο 3 ο τετρτηµόριο, τότε ηµω< 0, συνω<0, εφω>0 ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο 4 ο τετρτηµόριο, τότε ηµω< 0, συνω>0, εφω<0 41. Ν ποδείξετε ότι γι µι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι: ηµω a. ηµ ω +συν ω 1 κι b. εφω συνω a. πόδειξη ψ χ ( ) ( ) ψ χ ηµ ω + συν ω + + ρ ρ ρ ρ ψ +χ ψ + χ Ο +Ο ρ ρ ρ Μ +Ο ΟΜ ρ 1 ρ ρ ρ χ Μ ( χ, ψ) ( χ ) ρ ψ ( ψ ) Ο ψ ω χ

15 9 b. πόδειξη ψ ηµω ρ ψ ρ ψ εφω συνω χ χ ρ χ ρ 4. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόµο των ηµιτόνων. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: γ ηµ ηµ ηµγ πόδειξη Έστω τρίγωνο κι το ύψος του ( ) Στο ( Στο ( 90 ): 90 ): η µ ηµ ( 1) η µ ηµ ( ) πό ( 1 ), ( ) η µ ηµ ( 3 ) ηµ ηµ γ γ Όµοι ποδεικνύουµε ότι ηµ ηµ ( 4 ) πό ( 3 ), ( 4 ) γ ηµ ηµ ηµ 43. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόµο των συνηµιτόνων. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: + γ γσυν πόδειξη Έστω τρίγωνο κι το ύψος του ( ) Θ δείξουµε ότι + γ γσυν. Στο ( 90 ): συν συν ( 1 ) Στο ( 90 ): γ + + ( γ ) + γ γ + + γ γ ( ) πό την ( 1 ) η ( ) γίνετι + γ γσυν

16 93 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάµεων; Τι ονοµάζετι τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού ; Ποιες είνι οι ιδιότητές των ριζών; ν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, 6. ν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, e. ( )( + ) Πότε µί εξίσωση δευτέρου θµού: a. έχει δύο άνισες ρίζες; b. έχει µι διπλή ρίζ ; c. δεν έχει ρίζες; Πως συγκρίνουµε( διτάσουµε) δύο πργµτικούς ριθµούς; Τι ονοµάζετι νισότητ κι ποι τ χρκτηριστικά της; Ποιες είνι οι ιδιότητες των νισοτήτων; Τι ονοµάζετι λγερική πράστση; Τι ονοµάζετι ριθµητική τιµή λγερικής πράστσης; Πότε µι λγερική πράστση ονοµάζετι: ) κλσµτική, ) άρρητη; Τι ονοµάζετι µονώνυµο κι πι τ µέρη πό τ οποί ποτελείτι; Ποι µονώνυµ ονοµάζοντι όµοι; Πως ορίζετι το άθροισµ οµοίων µονωνύµων; Τι ονοµάζετι νγωγή οµοίων όρων; Πως ορίζετι το γινόµενο µονωνύµων; Τι ονοµάζετι πολυώνυµο; Τι ονοµάζετι τυτότητ; Ν ποδείξετε τις τυτότητες: a. ( +) + + b. ( ) + c. ( + ) d. ( ) Τι ονοµάζετι πργοντοποίηση; Τι ονοµάζετι εξίσωση: ) 1 ου θµού ) ου θµού, µε ένν άγνωστο ; Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεροάθµις εξίσωσης χ + χ +γ 0 µε,, γ πργµτικούς ριθµούς κι 0. Τι ονοµάζετι κλσµτική εξίσωση κι πότε ορίζετι υτή; Τι ονοµάζετι Τρίγωνο κι ποι τ κύρι στοιχεί του; Ποι είνι τ είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές, κι ως όρος τις γωνίες τους; Τι ονοµάζετι διάµεσος, διχοτόµος, ύψος, τριγώνου. Πότε δύο τρίγων λέγοντι ίσ ; Πότε δύο τρίγων είνι ίσ; ( Κριτήρι ισότητς τριγώνων) Πότε δύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ; ( Κριτήρι ισότητς ορθογωνίων τριγώνων ) Ν ποδείξετε ότι ν πό το µέσο µις πλευράς ενός τριγώνου φέρουµε πράλληλη προς µί άλλη πλευρά του, υτή διέρχετι κι πό το µέσο της τρίτης πλευράς. Ν ποδείξετε ότι το ευθύγρµµο τµήµ που συνδέει τ µέσ δύο πλευρών ενός τριγώνου είνι πράλληλο προς την τρίτη πλευρά κι ίσο µε το µισό της. Ν διτυπώσετε το θεώρηµ του Θλή κι την πρότση που προκύπτει πό υτό γι έν τρίγωνο. Πότε δύο πολύγων λέγοντι όµοι; Ποιες προτάσεις προκύπτουν πό τον ορισµό της οµοιότητ δύο πολυγώνων; Πότε δύο τρίγων είνι όµοι; ( Κριτήρι οµοιότητς τριγώνων) Ποι θεωρήµτ νφέροντι στο λόγο των εµδών δύο οµοίων σχηµάτων Πως ορίζοντι οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί µις οποισδήποτε γωνίς; Ν ποδείξετε ότι γι µι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι: ηµω ηµ ω +συν ω 1 κι εφω συνω Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόµο των ηµιτόνων. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόµο των