ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α"

Transcript

1 ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται ως εξής: f ( g(, αν ο είναι άρτιος h(,αν ο είναι περιτός Να εξετάσετε αν κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι - ή/και επί και να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω συνθέσεις: a f ο g, g ο f, g οh, h οg, f ο( g οh, ( f οg οh b f ο f, f ο f ο f, g οg, g οg οg, h οh, h οh οh Η συνάρτηση f ( είναι - διότι αν f ( f ( ' δηλαδή ' τότε προφανώς ισχύει ότι '. Παρόµοια η g( είναι - διότι αν ' τότε και '. Όµως η h(δεν είναι - διότι h ( h( 5 και 5. Η συνάρτηση f ( από το Ζ στο Ζ είναι επί διότι το πεδίο τιµών της είναι όλο το Ζ. Πράγµατι για κάθε y Z υπάρχει Z έτσι ώστε y. Αντίθετα η g : Z Z δεν είναι επί διότι π.χ. το δεν είναι εικόνα κανενός Z. Παρόµοια η h : Z Z δεν είναι επί διότι οι µόνες τιµές που παίρνει είναι και. η εργασία, ΠΛΗ

2 Α Έχουµε ( f ο g(,( g ο f ( (. Επίσης, αν ο είναι άρτιος ( g ο h(,αν ο είναι περιττός Η ( h οg( ισούται µε την h διότι η εφαρµογή της g σε κάθε περιττό δίδει περιττό αριθµό ενώ σε άρτιο, άρτιο. Έχοντας υπολογίσει τις εσωτερικές συνθέσεις βρίσκουµε εύκολα ότι:, αν ο είναι άρτιος ( f ο ( g οh(,αν ο είναι περιττός Τέλος έχουµε ότι:, αν ο είναι άρτιος (( f ο g οh(,αν ο είναι περιτός β Η ( f ο f ( (. Η ( f ο f ο f ( (. Η ( g ο g( ( 9. Η (g ο g οg( (9 7. Η h τέλος επιστρέφει (ένα άρτιο αριθµό αν το είναι άρτιο και (ένα περιττό αν είναι περιττό. Άρα έχουµε ότι h οh h και h ο h οh h. Ερώτηµα. Θεωρείστε το σύνολο Χ που αποτελείται από όλες τις δυνατές ακολουθίες τεσσάρων δυαδικών αριθµών (παράδειγµα, κλπ. Ορίζουµε µια διµελή σχέση Σ επί του συνόλου X, έτσι ώστε (,y Σ αν µια ακολουθία ψηφιών στο ταυτίζεται µε µια ακολουθία ψηφίων στο y, όχι απαραίτητα στην ίδια θέση (για παράδειγµα το ζεύγος {, } ανήκει στο Σ αφού και στα δύο υπάρχει η ακολουθία, ενώ το ζεύγος {, } προφανώς δεν ανήκει στη Σ. Να υπολογιστεί ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου Χ. Να εξεταστεί αν η σχέση Σ είναι ανακλαστική, συµµετρική, αντισυµµετρική, µεταβατική, σχέση µερικής διάταξης. Ο αριθµός των στοιχείων του Χ είναι ο αριθµός των διατάξεων µε επανάληψη στοιχείων από το σύνολο {,} δηλαδή. η εργασία, ΠΛΗ

3 Για να είναι η Σ ανακλαστική θα πρέπει X, (, Σ. Όµως αυτό ισχύει διότι και τα δύο µέλη του ζεύγους περιέχουν βέβαια την ίδια υπακολουθία µια και είναι ίσα. Παρόµοια η Σ είναι συµµετρική διότι,y Χ, αν (,y Σ, τότε τα και y περιέχουν την ίδια υπακολουθία και άρα και (y, Σ. Επειδή λοιπόν η Σ είναι συµµετρική δεν είναι και αντισυµµετρική διότι κάθε αντισυµµετρική σχέση είναι µη συµµετρική (δες ραστηριότητα. από το βιβλίο των «ιακριτών». Η Σ επίσης είναι µη µεταβατική διότι έχουµε ότι (, Σ και (, Σ, όµως (, Σ. Τέλος, επειδή η Σ δεν είναι ούτε αντισυµµετρική ούτε µεταβατική δεν είναι και σχέση µερικής διάταξης. Ερώτηµα. Το ΤΖΟΚΕΡ είναι ένα παιχνίδι όπου κληρώνονται πέντε διαφορετικοί µεταξύ τους αριθµοί από το έως το 5 (δεν παίζει ρόλο η σειρά κλήρωσης των αριθµών και ένας ακόµη αριθµός τζόκερ από το έως το (ο αριθµός τζόκερ µπορεί να συµπίπτει µε κάποιον από τους 5 αρχικούς αριθµούς. Οι αριθµοί που κληρώνονται αποτελούν τη νικήτρια στήλη του παιχνιδιού. Όταν λέµε ότι «ο παίκτης συµπληρώνει µία στήλη», αυτό σηµαίνει ότι επιλέγει επίσης πέντε διαφορετικούς µεταξύ τους αριθµούς από το έως το 5 και έναν ακόµη αριθµό τζόκερ από το έως το ευελπιστώντας ότι αυτοί θα συµπίπτουν µε τους αριθµούς της νικήτριας στήλης. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: Ο αριθµός των στηλών που πρέπει να συµπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη σε κάθε περίπτωση. Τον αριθµό των στηλών που πρέπει να συµπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη στην περίπτωση όπου στην κλήρωση συµβούν ταυτόχρονα τα εξής: - Από τους 5 αρχικούς αριθµούς ο ένας είναι µεταξύ του και του, ο δεύτερος µεταξύ του και του, ο τρίτος µεταξύ του και του, ο τέταρτος µεταξύ του και του και ο πέµπτος µεταξύ του και του 5 - Ο αριθµός τζόκερ είναι άρτιος. Ας θεωρήσετε ότι κάποιος συµπληρώνει όλες τις στήλες που υπολογίστηκαν στο ερώτηµα και η κλήρωση τον ευνοεί, δηλαδή ικανοποιούνται όλες οι υποθέσεις του προηγούµενου ερωτήµατος. Πόσες είναι οι στήλες που είναι απόλυτα επιτυχείς; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους 5 αρχικούς αριθµούς όχι όµως και τον αριθµό τζόκερ; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους από τους 5 αρχικούς αριθµούς και τον αριθµό τζόκερ; η εργασία, ΠΛΗ

4 Το ζητούµενο είναι ισοδύναµο µε την εύρεση του συνολικού αριθµού των στηλών που µπορεί να συµπληρωθούν σε ένα δελτίο ΤΖΟΚΕΡ. Αυτό γιατί αν συµπληρωθούν όλες οι δυνατές στήλες, τότε σε αυτές θα συµπεριλαµβάνεται ασφαλώς και η νικήτρια. Υπάρχουν 5 δυνατότητες για τον πρώτο αριθµό, που επιλέγεται µεταξύ και 5. Στην συνέχεια και για κάθε επιλογή του πρώτου, υπάρχουν δυνατότητες για τον δεύτερο επειδή η επιλογή είναι τώρα µεταξύ του και του 5, χωρίς να επιτρέπεται η επιλογή του πρώτου αριθµού µια και από τους κανόνες του παιγνιδιού, οι αριθµοί πρέπει να διαφέρουν. Παρόµοια, και για κάθε µία επιλογή του πρώτου και του δεύτερου, υπάρχουν δυνατότητες για τον τρίτο αριθµό, στην συνέχεια για τον τέταρτο και για τον πέµπτο. Τέλος και για κάθε µία επιλογή των πέντε πρώτων αριθµών, υπάρχουν και δυνατότητες για τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ. Επειδή ακριβώς ο αριθµός των επιλογών που προσδιορίσαµε είναι δυνατός για «κάθε άλλη δυνατή επιλογή», εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου παίρνουµε ότι ο συνολικός αριθµός στηλών είναι: 5*****. Όµως από τους κανόνες του παιχνιδιού η σειρά εµφάνισης των αριθµών δεν έχει σηµασία. Το γινόµενο που υπολογίσαµε µετρά τον αριθµό επιλογής 5 αριθµών όταν η σειρά (η µετάθεση έχει σηµασία. Για να το διορθώσουµε σκεφτόµαστε ως εξής: όλες οι µεταθέσεις που προκύπτουν από µία όταν ο πρώτος αριθµός µετακινηθεί σε άλλη θέση (αφήνοντας τις σχετικές θέσεις των υπολοίπων τεσσάρων άθικτες θεωρούνται ταυτόσηµες. Συνεπώς ο αριθµός των στηλών πρέπει να διαιρεθεί µε το 5. Στην συνέχεια για τον δεύτερο αριθµό υπάρχουν δυνατότητες µετακίνησης (οι υπόλοιπες θέσεις άρα ο αριθµός των στηλών διαιρείται περαιτέρω µε το. Συνεχίζοντας έτσι βρίσκουµε ότι ο συνολικός αριθµός των στηλών είναι 5*****/(5****58. Αλλιώς το πρόβληµα µπορεί να λυθεί παρατηρώντας ότι η επιλογή των 5 αριθµών είναι επιλογή ενός πενταµελούς υποσυνόλου του {,,...,5} και άρα οι τρόποι επιλογής είναι C(5,5. Στην συνέχεια η επιλογή του αριθµού ΤΖΟΚΕΡ γίνεται ανεξάρτητα από ένα σύνολο επιλογών. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου παίρνουµε για τον αριθµό των τρόπων επιλογής C(5,5*. Αν συµβούν τα παραπάνω τότε οι δυνατότητες επιλογών έχουν περιοριστεί ως εξής: Οι πρώτοι αριθµοί επιλέγονται κάθε ένας µέσα από µία δεκάδα επιλογών ενώ ο πέµπτος από µία πεντάδα. Όλες οι δεκάδες και η πεντάδα είναι ξένες µεταξύ τους. Τέλος οι δυνατότητες για τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ είναι, όσοι είναι οι άρτιοι αριθµοί µεταξύ και. Εφαρµόζουµε και πάλι τον κανόνα του γινοµένου και παίρνουµε ****5*5. Αν συµβούν τα παραπάνω και οι στήλες συµπληρώθηκαν µε τους ίδιους περιορισµούς του ερωτήµατος, τότε µόνο µία στήλη είναι απόλυτα επιτυχής µια κάθε µία από τις στήλες που µετρήσαµε είναι διαφορετική από όλες τις άλλες. Οι στήλες που συµφωνούν στους 5 πρώτους αριθµούς είναι µια και τώρα η µοναδική δυνατότητα επιλογής αφορά τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ. Από αυτές µία είναι η η εργασία, ΠΛΗ

5 απόλυτα επιτυχής στήλη (που συµφωνεί και στον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ. Συνεπώς ο αριθµός των στηλών που συµφωνούν στους 5 πρώτους αριθµούς αλλά όχι και στον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ είναι 9. Οι στήλες που (κάτω από τις προϋποθέσεις του ερωτήµατος διαφέρουν στον πρώτο αριθµό, αλλά πετυχαίνουν τους επόµενους και τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ είναι 9 µια και τώρα έχουµε 9 επιλογές για τον πρώτο αριθµό και καµία για τους υπόλοιπους. Παρόµοια οι στήλες που διαφέρουν σε ένα µόνο από τους υπόλοιπους τρεις είναι επίσης 9. Για τον πέµπτο µια και παίρνει 5 τιµές µόνο έχουµε ότι οι στήλες που διαφέρουν σε αυτόν είναι. Τα ενδεχόµενα αυτά είναι διαφορετικά µεταξύ τους και δεν µπορούν να συµβούν ταυτόχρονα. Συνεπώς εφαρµόζοντας τον κανόνα του αθροίσµατος έχουµε ότι οι στήλες που συµφωνούν σε τέσσερις από τους 5 αριθµούς είναι Ερώτηµα. Υπολογίστε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να τοποθετήσουµε φοιτητές σε θέσεις σε σειρά µε την προϋπόθεση ότι για δύο συγκεκριµένους από αυτούς πρέπει να κάθονται υποχρεωτικά ακριβώς k φοιτητές ανάµεσά τους. Ποιό το αποτέλεσµα της άσκησης για, k ; Η πρώτη µας επιλογή αφορά το ποιοι k από τους φοιτητές και µε ποια σειρά θα καθίσουν µεταξύ των δύο συγκεκριµένων φοιτητών. Αυτό είναι µετάθεση k πραγµάτων από - (εφόσον δύο φοιτητές δεν είναι µεταξύ των επιλεγοµένων. Ο αριθµός αυτός είναι P(-,k. Στην συνέχεια αν θεωρήσουµε την οµάδα των k φοιτητών σαν ένα αντικείµενο, αποµένει να επιλέξουµε την µετάθεση -(kk- αντικειµένων. Οι δυνατότητες είναι (-k-! Συνολικά λοιπόν οι τρόποι είναι *P(-,k*(-k-!*(-k-*(-!. Το αρχικό οφείλεται στις επιλογές που έχουµε για τους συγκεκριµένους φοιτητές (ποιος δηλαδή θα είναι στην αρχή της οµάδας και ποιος στο τέλος. Για τις συγκεκριµένες τιµές των και k έχουµε **8!88. Ερώτηµα 5. Σε µια εκλογική αναµέτρηση και σε ένα εκλογικό τµήµα το ψηφοδέλτιο ενός συγκεκριµένου κόµµατος µε υποψήφιους βουλευτές ψήφισαν ψηφοφόροι και κάθε ένας από αυτούς είχε τη δυνατότητα είτε να µη βάλει η εργασία, ΠΛΗ 5

6 κανένα σταυρό είτε να βάλει έναν µόνο σταυρό σε ακριβώς έναν υποψήφιο. Σε κάποιο σηµείο στη διάρκεια της καταµέτρησης υπολογίζεται ότι κάθε υποψήφιος βουλευτής έχει λάβει ακριβώς σταυρούς, ενώ επίσης έχουν βρεθεί ψηφοδέλτια του συγκεκριµένου κόµµατος χωρίς να περιέχουν σταυρό. Να υπολογιστεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούν να κατανεµηθούν οι υπόλοιποι σταυροί στους υποψήφιους βουλευτές. Σε ένα τµήµα µιας αίθουσας που αποτελείται από θέσεις στη σειρά πρόκειται να καθίσουν k φοιτητές για να εξεταστούν σε ένα µάθηµα. Οι επιτηρητές θέλουν να φροντίσουν ώστε να µην κάθεται κάποιος φοιτητής ακριβώς δίπλα σε κάποιον άλλο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούν να το επιτύχουν; Ποιό το αποτέλεσµα της άσκησης για, k ; Εφόσον κάθε βουλευτής έχει στο σηµείο αυτό της καταµέτρησης σταυρούς έχουν καταµετρηθεί συνολικά σταυροί ενώ έχουν εξεταστεί ψηφοδέλτια. Αποµένουν λοιπόν να εξεταστούν 9 ψηφοδέλτια. Η βασική παρατήρηση είναι να θεωρήσουµε ότι το λευκό ψηφοδέλτιο πηγαίνει σε ένα ακόµη ο «βουλευτή». Τα λοιπόν καταµετρηθέντα µέχρι στιγµής λευκά ψηφοδέλτια έχουν πάει σε αυτό τον υποθετικό βουλευτή. Το πρόβληµα λοιπόν είναι ισοδύναµο µε την εύρεση του αριθµού των τρόπων τοποθέτησης 9 αντικειµένων σε υποδοχές. Στο προηγούµενο ερώτηµα χρησιµοποιήσαµε τον τύπο.7 του βιβλίου που δίνει τον αριθµό των τρόπων C(r-,r. Στο παρόν ερώτηµα έχουµε και r9 και άρα η απάντηση είναι C(,9. Εναλλακτικά µπορούµε να δούµε το πρόβληµα σαν «ανάθεση» µιας υποδοχής από τις σε κάθε ένα από τα 9 αντικείµενα. Πρόκειται δηλαδή για συνδυασµούς µε επανάληψη (µια και µια υποδοχή µπορεί να ανατεθεί σε πολλά αντικείµενα 9 αντικειµένων από. Ο τύπος είναι και πάλι C(,9 (παρ.. του βιβλίου. Η λύση µας βασίζεται στην παρατήρηση ότι το πρόβληµα µπορεί να λυθεί ευκολότερα αν πρώτα υπολογίσουµε τον αριθµό των τρόπων που µπορούµε να επιλέξουµε k από τις θέσεις µε τον περιορισµό να µην υπάρχουν στην επιλογή µας δύο γειτονικές. Στην συνέχεια και για κάθε «νόµιµη» επιλογή πρέπει να βρούµε τους διαφορετικούς τρόπους που οι k φοιτητές µπορούν να κάτσουν στις επιλεγµένες θέσεις. Ας θεωρήσουµε ότι έχουµε επιλέξει τις k θέσεις των φοιτητών και στην συνέχεια τοποθετούµε ανάµεσα τους καθώς και «αριστερά» της πρώτης και «δεξιά» της τελευταίας τις ελεύθερες θέσεις. Πρέπει όµως να βάλουµε οπωσδήποτε κατ αρχήν µία κενή θέση µεταξύ δύο διαδοχικών φοιτητών ώστε να αποφύγουµε το ενδεχόµενο να τοποθετηθούν κενές θέσεις µεταξύ τους και άρα να πάρουµε µη νόµιµη επιλογή. η εργασία, ΠΛΗ

7 εσµεύουµε λοιπόν k- θέσεις (k των φοιτητών και k- οι κενές µεταξύ κάθε διαδοχικού ζευγαριού φοιτητών. Αποµένουν λοιπόν προς διανοµή -k θέσεις σε k «υποδοχές» δηλαδή στους χώρους µεταξύ κάθε φοιτητή και του επόµενου του καθώς και αριστερά του πρώτου και δεξιά του τελευταίου. Χρησιµοποιώντας τον τύπο.7 του βιβλίου ο οποίος µας δίνει τον αριθµό των τρόπων που διανέµουµε ένα αριθµό (στην περίπτωση µας -k µη διακεκριµένων αντικειµένων σε κάποιες διακεκριµένες υποδοχές (στην περίπτωση µας σε k υποδοχές παίρνουµε C(- kk-,-kc(-k,-kc(-k,k. Όπως είπαµε όµως πρέπει αυτός ο αριθµός να πολλαπλασιαστεί µε k! όσες είναι οι δυνατές µεταθέσεις των k φοιτητών στις επιλεγµένες θέσεις. Το αποτέλεσµα είναι τελικά C(-k,k*k!. Όταν και k το αποτέλεσµα είναι C(8,*!. Ερώτηµα. Έχουµε 5 µπλε µπάλες των 5 κιλών, πράσινες των κιλών και απεριόριστες κόκκινες µπάλες του κιλού. Να γραφούν γεννήτριες συναρτήσεις που να υπολογίζουν τα ακόλουθα: Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες. Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες που το συνολικό τους βάρος είναι. α Εφόσον η επιλογή µας µπορεί να γίνει χωρίς κανένα περιορισµό (πλην του διαθέσιµου αριθµού µπαλών η γεννήτρια συνάρτηση είναι: ( 5 ( ( Οι παραπάνω παράγοντες αντιστοιχούν στις επιλογές µπλε, πράσινων και κόκκινων µπαλών. Οι µπλε είναι µέχρι 5 άρα ο εκθέτης του φτάνει µέχρι το 5, αντίστοιχα µέχρι το για τις πράσινες και δεν υπάρχει περιορισµός για τις κόκκινες. Ζητείται ο συντελεστής του. Β Σε αυτή την περίπτωση ο κάθε εκθέτης πολλαπλασιάζεται µε το αντίστοιχο βάρος της µπάλας. Το άθροισµα των πολλαπλασιασµένων εκθετών θα πρέπει να είναι πάλι. Έχουµε λοιπόν: ( ( ( Ο ζητούµενος συντελεστής είναι και πάλι του. η εργασία, ΠΛΗ 7

8 Ερώτηµα 7. Μια οµάδα στη διάρκεια του πρωταθλήµατος δίνει αγώνες, όπου σε κάθε αγώνα αν κερδίσει παίρνει τρεις βαθµούς, αν φέρει ισοπαλία παίρνει ένα βαθµό και αν χάσει παίρνει βαθµούς. Χρησιµοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις να υπολογίσετε τα ακόλουθα: Τον αριθµό των δυνατών διαφορετικών συνολικών αποτελεσµάτων αν ο συνολικός αριθµός των νικών είναι περιττός, ο συνολικός αριθµός των ηττών είναι άρτιος, ενώ οι ισοπαλίες είναι τουλάχιστον (ένα αποδεκτό συνολικό αποτέλεσµα είναι για παράδειγµα 7 νίκες, ήττες και 7 ισοπαλίες. Τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους η συνολική βαθµολογία της οµάδας στο τέλος του πρωταθλήµατος θα είναι 5 βαθµοί, µε την προϋπόθεση οι νίκες να είναι περισσότερες από τις ήττες. Έστω w, d και e οι αριθµοί των νικών, ηττών και ισοπαλιών αντίστοιχα της οµάδας στο πρωτάθληµα. Τότε βέβαια ισχύει wde. Αν τώρα θεωρήσουµε το γινόµενο τριών πολυωνύµων (απαριθµητών ως προς και τις τρεις προηγούµενες µεταβλητές σαν την συνεισφορά του κάθε πολυωνύµου στον συνολικό εκθέτη του, έχουµε ότι ο απαριθµητής για τις νίκες πρέπει να έχει την µορφή: ( 5... µια και έτσι η συνεισφορά αυτού του όρου στο συνολικό εκθέτη είναι περιττός αριθµός. Ο απαριθµητής για τις ήττες την µορφή: (... διότι έτσι συνεισφέρει άρτιο αριθµό. Και τέλος για τις ισοπαλίες την µορφή: ( 5... ιότι έτσι συνεισφέρει αριθµό µεγαλύτερο ή ίσο του. Η συνολική γεννήτρια συνάρτηση είναι συνεπώς: ( ( 5...(... (...(... και ο ζητούµενος συντελεστής είναι του Προχωράµε στην συνέχεια στον υπολογισµό αυτού του συντελεστή. η εργασία, ΠΛΗ 8

9 (... (... ( ( ( ( ( ( ( ( Χρησιµοποιώντας τώρα το γενικευµένο δυωνυµικό ανάπτυγµα (δηλ. και για αρνητικό, δες Σχέση. παίρνουµε: ( r ( r r r r ( ( ( ( r r r r r r ( ( ( r r r ( Παρατηρούµε ότι το πρώτο άθροισµα δεν είναι δυνατό να δώσει εκθέτη του ίσο µε. Το δεύτερο όµως δίνει για r. Ο συντελεστής λοιπόν του είναι Αυτό ισούται µε ( ( ( 5 5. r r. ( Με τους παραπάνω συµβολισµούς όπως στο ( οι απαιτήσεις τώρα είναι w>d, we5 και wde. Για να εξασφαλίσουµε την απαίτηση w>d, εισάγουµε µια καινούργια µεταβλητή kw-d, οπότε τώρα οι απαιτήσεις µας διαµορφώνονται ως εξής: k>, dke5 και kde. Αντικαθιστούµε το αριστερό µέλος της τελευταίας εξίσωσης στην πρώτη και έχουµε για τους περιορισµούς: k> και dk5. Γράφουµε συνεπώς γεννήτρια συνάρτηση για τους τρόπους που µπορεί τα d και k να πληρούν αυτές τις προϋποθέσεις που είναι: (...(... Αυτό γιατί για το d δεν υπάρχουν περιορισµοί, για το k όµως υπάρχει ο περιορισµός να είναι µεγαλύτερο του και άρα το διπλάσιο του µεγαλύτερο ή ίσο του και βέβαια άρτιο. Ο ζητούµενος συντελεστής είναι του 5. Σηµειώστε ότι ο αριθµός των τρόπων επιλογής των d και k που δίνει η παραπάνω γεννήτρια συνάρτηση, είναι ακριβώς ο αριθµός των τρόπων επιλογής των αρχικών µεταβλητών w,d και e. Αυτό γιατί δύο διαφορετικοί τρόποι επιλογής των d και k έχουν οπωσδήποτε διαφορετικό το d και συνεπώς και η τριάδα w,d,e θα είναι διαφορετική. Για την εύρεση του συντελεστή µπορούµε ασφαλώς να ακολουθήσουµε την µεθοδολογία του (. Όµως στην περίπτωση µας ο αριθµός των τρόπων µπορεί να βρεθεί απλούστερα, χωρίς την χρήση της γεννήτριας συνάρτησης, παρατηρώντας ότι η σχέση dk5 ικανοποιείται για 7 τιµές του k> από k έως k7. Ερώτηµα 8. η εργασία, ΠΛΗ 9

10 Να γραφεί εκθετική γεννήτρια συνάρτηση που να υπολογίζει τον αριθµό των διαφορετικών διατάξεων µήκους που µπορούν να δηµιουργηθούν από τα γράµµατα A, B, Γ, µε τον περιορισµό ο αριθµός εµφανίσεων του Α να είναι περιττός και επίσης ο αριθµός εµφανίσεων του Β να είναι περιττός. Να βρεθεί ο αριθµός των διατάξεων για 8. Εφόσον ζητάµε αριθµό διαφορετικών διατάξεων (δηλ. η σειρά επιλογής των γραµµάτων έχει και αυτή σηµασία, και όχι µόνο ο αριθµός κάθε γράµµατος στη λέξη θα χρησιµοποιήσουµε εκθετική γεννήτρια συνάρτηση. Οι απαριθµητές για τις εµφανίσεις των Α και Β είναι: (! 5 5!... Για το Γ δεν έχουµε περιορισµό, οπότε ο απαριθµητής είναι: (...!! Η γεννήτρια συνάρτηση είναι λοιπόν η: (! 5!!! 5... (... Ο ζητούµενος συντελεστής είναι του. Μπορούµε να βρούµε τον συντελεστή! χρησιµοποιώντας το γνωστό ανάπτυγµα του e... Με βάση αυτό η!! γεννήτρια συνάρτηση µας γίνεται: ( e e e e! e ( e! ( e e! e ( (! Ο συντελεστής λοιπόν του είναι ο! (. Για 8 παίρνουµε. Ερώτηµα 9. η εργασία, ΠΛΗ

11 Η θεωρία µέτρησης Polya αναπτύχθηκε µε σκοπό τον υπολογισµό των διαφορετικών µορφών (ισοµερών µε τις οποίες µπορεί να υπάρξει στη φύση µια χηµική ένωση. Στο ερώτηµα αυτό καλείστε να εφαρµόσετε τη θεωρία Polya σε ένα τέτοιο πρόβληµα, που περιγράφεται στη συνέχεια: Το βενζόλιο είναι η χηµική ένωση CH που αποτελείται από άτοµα άνθρακα και άτοµα υδρογόνου. Τα άτοµα του υδρογόνου µπορούν να αντικατασταθούν από άλλα άτοµα, δηµιουργώντας έτσι καινούριες ενώσεις. Για παράδειγµα η ένωση C H Br προκύπτει µε αντικατάσταση ατόµων υδρογόνου µε άτοµα βρωµίου. Ενώ όµως το βενζόλιο εµφανίζεται σε µία µόνο µορφή, η ένωση C H Br εµφανίζεται σε τρεις διαφορετικές µορφές ανάλογα µε τη θέση των ατόµων βρωµίου. Αυτές είναι οι ακόλουθες: H H B H H B B H B H HB H HB H H H H H H Σηµειώστε ότι περιστροφή του µορίου κατά µοίρες (µετακίνηση δηλαδή όλων των ατόµων κατά µία θέση ή αναποδογύρισµα (καθρέφτισµα γύρω από οποιονδήποτε άξονα συµµετρίας δεν αντιστοιχεί σε καινούρια µορφή του µορίου. Στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει να εφαρµόσετε τη θεωρία µέτρησης Polya για τον υπολογισµό των διαφορετικών µορφών µε τις οποίες µπορούν να εµφανιστούν στη φύση οι ακόλουθες χηµικές ενώσεις: H ClBr ( άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτοµο C χλωρίου και ένα άτοµο βρωµίου CH ClBr ( άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από δύο άτοµα χλωρίου και δύο άτοµα βρωµίου CH IClBr ( άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτοµο ιωδίου, ένα άτοµο χλωρίου και δύο άτοµα βρωµίου Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να δηµιουργήσετε πίνακα αντίστοιχο µε εκείνον της σελίδας 97 του βιβλίου των Κυρούση-Μπούρα-Σπυράκη, όπου να φαίνονται όλες οι δυνατές αντιµεταθέσεις που αφήνουν αναλλοίωτο το µόριο η εργασία, ΠΛΗ

12 (λαµβάνοντας υπόψη τις συµµετρίες που αναφέρηκαν πιο πάνω, δηλαδή τις στροφές και τους καθρεφτισµούς και οι αντίστοιχες κυκλικές αναπαραστάσεις και δείκτριες συναρτήσεις. Στη συνέχεια για κάθε µία από τις τρεις χηµικές ενώσεις θα πρέπει να προσδιορίσετε το δείκτη κύκλων P G και επίσης το µονώνυµο του οποίου ο συντελεστής µας δίνει τον αριθµό των διαφορετικών µορφών της ένωσης. εν είναι απαραίτητος ο υπολογισµός των συντελεστών αυτών. Το πρόβληµα είναι ισοδύναµο µε την εύρεση των διαφορετικών τρόπων χρωµατισµού ενός εξαγώνου µε τις συµµετρίες που επιτρέπει το πρόβληµα (δηλαδή αναλλοίωτο ως προς στροφές και καθρεφτισµούς και επίσης µε τους συγκεκριµένους περιορισµούς ως προς την χρήση των χρωµάτων. Έτσι στο ( πρέπει να βρεθούν οι χρωµατισµοί µε χρώµατα όπου το πρώτο χρώµα χρησιµοποιείται σε κόµβους και τα άλλα δύο σε ένα το καθένα. Στο ( κάθε ένα από τα τρία χρώµατα χρησιµοποιείται σε δύο κόµβους και στο ( χρησιµοποιούνται χρώµατα όπου τα δύο χρησιµοποιούνται καθένα σε δύο κόµβους και τα άλλα δύο σε ένα. e e 5 e Εξετάζουµε τώρα τις διαφορετικές συµµετρίες που παρουσιάζει το εξάγωνο. Υπάρχουν συµµετρίες π i, i,... 5 οι οποίες αντιστοιχούν σε στροφή που είναι πολλαπλάσιο των ο. ηλαδή η o π συµµετρία αντιστοιχεί σε στροφή i. i Υπάρχουν επίσης οι καθρεφτισµοί ως προς τους άξονες e,e και e και οι καθρεφτισµοί ως προς τους άξονες -, -5 και -. Στον παρακάτω πίνακα η εργασία, ΠΛΗ

13 συνοψίζονται οι συµµετρίες, η κυκλική τους αναπαράσταση και η δείκτρια συνάρτηση τους. Αντιµετάθεση Κυκλική αναπαράσταση π (((((5( είκτρια συνάρτηση π (5 π (5( π ((5( π (5( π 5 (5 π (άξονας e (((5 π 7(άξονας e (((5 π 8(άξονας e ((5( π 9(άξονας - (((5( π (άξονας -5 ((((5 π (άξονας - (5((( Η δείκτρια κύκλων συνάρτηση είναι λοιπόν: P G (,..., ( i i i Οι κλάσεις ισοδυναµίας βρίσκονται όταν θέσουµε i, i,...,για τις περιπτώσεις όπου το πρόβληµα αφορά χρώµατα (περιπτώσεις ( και ( και i i i i i, i,..., όταν το ερώτηµα αφορά χρώµατα (περίπτωση (. Στις δύο πρώτες η δείκτρια γίνεται: P G ( (( ( ( ( ( Στο πολυώνυµο αυτό για το ερώτηµα (α πρέπει να βρούµε τον συντελεστή του µονώνυµου µια και το ένα χρώµα χρησιµοποιείται σε κόµβους και κάθε ένα από τα άλλα δύο χρώµατα σε ένα κόµβο. Αναπτύσσοντας το πολυώνυµο (αν και κάτι η εργασία, ΠΛΗ

14 τέτοιο δεν ζητείται παίρνουµε για τον συντελεστή το. Για το ερώτηµα ( πρέπει να βρούµε τον συντελεστή του µονώνυµου εφόσον κάθε χρώµα χρησιµοποιείται σε δύο κόµβους. Ο ζητούµενος συντελεστή είναι το. ( Για το (γ η δείκτρια γίνεται: ( ( ( ( (( P G Στο πολυώνυµο αυτό πρέπει να βρούµε τον συντελεστή του. Αναπτύσσοντας βρίσκουµε για τον συντελεστή το. η εργασία, ΠΛΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Συνδυαστικής

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιανουάριος 2015 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Οργανωτικά Ζητήματα Επικοινωνία: Επίλυση αποριών, οδηγίες,..., και λοιπά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα ίδεται το ακόλουθο δίκτυο: E Είσοδος:

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).

Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). Συνδυασμοί Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). ιαφορετικές 6άδες Lotto (από 1-49): #υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: #τρόπων στελέχωσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:

Κεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε: Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya Ι 1 / 21 Οι έξι όψεις ενός κύβου θα χρωματιστούν με 6 διαφορετικά χρώματα, κάθε όψη με ένα διαφορετικό χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 4/10/014 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/11/014

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1)

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1) Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya ΙΙ 1 / 15 Ενας κύλινδρος, που έχει διαιρεθεί σε 6 τμήματα θα χρωματιστεί με 1 ή περισσότερα από διαφορετικά χρώματα. Με πόσους τρόπους επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 66 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2006

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 66 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2006 Ο ΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕ ΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕ ΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούµε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους µαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Οργανωτικά Ζητήματα Επικοινωνία: Επίλυση αποριών, οδηγίες,..., και λοιπά

Διαβάστε περισσότερα