ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Transcript

1 ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0

2 ΘΔΧΡΗΜΑTA ΜΔΝΔΛΑΟΤ - CEVA - AUBEL. ΘΔΧΡΗΜΑ ΣΟΤ ΜΔΝΔΛΑΟΤ Γίλεηαη ηξίγσλν AB. ηηο επζείεο πνπ νξίδνπλ νη πιεπξέο ηνπ B, A θαη AB, ζεσξνύκε ηα ζεκεία A, B θαη αληίζηνηρα. Αλ ηα ζεκεία A,B, είλαη A B B A ζπλεπζεηαθά ηόηε ηζρύεη:. A B A B Αληίζηξνθα: Αλ έλα από ηα ζεκεία A,B, (ή όια) είλαη εμσηεξηθά ζεκεία ησλ A B B A πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη ηζρύεη ε ζρέζε, ηόηε ηα ζεκεία A B A B A,B,, είλαη ζπλεπζεηαθά. ηο ηστόλ ζεκείο O ηες ηέκλοσζας ( ) ζεφρούκαη εσζεία ( ) ( ) θαη έζηφ A,B, οη προβοιές ηφλ A,B,, επάλφ ζηελ εσζεία ( ).. A B OB OA // BB // () A O OB // AA //. B O B A OA. A OA O // BB // AA B OB Ποιιαπιαζηάδοσκε ηης ζτέζεης ( ),( ),( 3 ) θαηά κέιε έτοσκε: A B B A OB O OA. A B A B O OA OB Σο αληίζηροθο ηοσ ζεφρήκαηος ηοσ Μελειάοσ αποδεηθλύεηαη κε ηελ εης άηοπο απαγφγή θαη ε τρεζηκόηεηά ηοσ περηγράθεηαη ζηε παραθάηφ παραηήρεζε. ( ) ( 3 ) ελίδα από

3 ΘΔΧΡΗΜΑΣΑ ΜΔΝΔΛΑΟΤ-CEVA-AUBEL ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Για μα απξδείνξρμε όηι ηα ζημεία,, (πξρ αμήκξρμ ζηιπ πλεροέπ ηοιγώμξρ) είμαι ζρμερθειακά, αοκεί μα απξδείνξρμε όηι ιζςύει ηξ αμηίζηοξθξ ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ Μεμελάξρ.. ΘΔΧΡΗΜΑ CEVA Γίλεηαη ηξίγσλν AB. ηηο επζείεο πνπ νξίδνπλ νη πιεπξέο ηνπ B, A θαη AB, ζεσξνύκε ηα ζεκεία A, B θαη αληίζηνηρα. Αλ νη επζείεο AA,BB, πεξλάλε A B B A από ην ίδην ζεκείν ηόηε:. A B A B Αληίζηξνθα: Αλ έλα από ηα ζεκεία A,B, (ή όια) είλαη εζσηεξηθά ζεκεία ησλ A B B A πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ θαη ηζρύεη ε ζρέζε, ηόηε νη επζείεο A B A B AA,BB, πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν. Έζηφ όηη οη εσζείες AA,BB, ηέκλοληαη ζηο ζεκείο. Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο ABA ηο ζεώρεκα ηοσ Μελειάοσ κε ηέκλοσζα ηελ K έτοσκε: A (). Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο A A ηο ζεώρεκα ηοσ Μελειάοσ κε ηέκλοσζα ηελ K έτοσκε: A A ( ). Ποιιαπιαζηάδοληας ηης ζτέζεης ( ),( ) θαηά κέιε έτοσκε: A B B A. A B A B Σο αληίζηροθο ηοσ ζεφρήκαηος ηοσ Ceva αποδεηθλύεηαη κε ηελ εης άηοπο απαγφγή θαη ε τρεζηκόηεηά ηοσ περηγράθεηαη ζηε παραθάηφ παραηήρεζε. ελίδα 3 από

4 ΣΥΝΤΡΕΦΟΥΣΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Για μα απξδείνξρμε όηι ηοειπ ερθείεπ πεομάμε από ηξ ίδιξ ζημείξ, αοκεί μα απξδείνξρμε όηι είμαι Σεβιαμέπ (*) ηοιγώμξρ για ηιπ ξπξίεπ ιζςύει ηξ αμηίζηοξθξ ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ Ceva. (*) Ολοκάδοσκε εβηαλέο ηρηγώλοσ, ηα εσζύγρακκα ηκήκαηα ποσ ζσλδέοσλ ηης θορσθές ηοσ ηρηγώλοσ κε ζεκεία ηφλ απέλαληη πιεσρώλ ηοσ..3 ΣΡΙΓΧΝΟΜΔΣΡΙΚΗ ΔΚΓΟΥΗ ΣΟΤ ΘΔΧΡΗΜΑΣΟ CEVA Γίλεηαη ηξίγσλν AB. ηηο επζείεο πνπ νξίδνπλ νη πιεπξέο ηνπ B, A θαη AB, ζεσξνύκε ηα ζεκεία A, B θαη αληίζηνηρα. Οη επζείεο AA,BB, πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν αλ θαη κόλν αλ:. Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ έτοσκε: R (). Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ έτοσκε: ( ). Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ έτοσκε: ( 3 ). Δηαηρώληας ηης ζτέζεης ( ) θαη ( 3 ) θαηά κέιε έτοσκε: ελίδα 4 από

5 ΘΔΧΡΗΜΑΣΑ ΜΔΝΔΛΑΟΤ-CEVA-AUBEL A B. A Η ηειεσηαία ζτέζε γίλεηαη (κε βάζεη ηε ζτέζε ( ) ): A B ( i ) A Με όκοηο ηρόπο αποδεηθλύοσκε ηης ζτέζεης: ( ii ) ( iii ) Ποιιαπιαζηάδοληας ηης ζτέζεης ( i ),(ii ),(iii ) θαηά κέιε έτοσκε:. Παξαηήξεζε α) Σελ ηρηγφλοκεηρηθή εθδοτή ηοσ ζεφρήκαηος ηοσ Ceva ζα ηελ αλαθέροσκε απιά, φς Σξηγσλνκεηξηθό Ceva. β) Προθαλώς ηζτύεη ηο αληίζηροθο ηοσ ζεφρήκαηος ηοσ Ceva θαη γηα ηε ηρηγφλοκεηρηθή κορθή ηοσ..4 ΘΔΧΡΗΜΑ ΣΟΤ AUBEL Γίλεηαη ηξίγσλν AB. ηηο επζείεο πνπ νξίδνπλ νη πιεπξέο ηνπ B, A θαη AB, ζεσξνύκε ηα ζεκεία, θαη αληίζηνηρα. Αλ νη επζείεο AA,BB, πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν ηόηε:. Έζηφ όηη οη εσζείες AA,BB, ηέκλοληαη ζηο ζεκείο. ελίδα 5 από

6 Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο ABA ηο ζεώρεκα ηοσ Μελειάοσ κε ηέκλοσζα ηελ έτοσκε: A A (). Εθαρκόδοληας ζηο ηρίγφλο A A ηο ζεώρεκα ηοσ Μελειάοσ κε ηέκλοσζα ηελ έτοσκε: A ( ). Προζζέηοληας θαηά κέιε ηης ζτέζεης ( ) θαη ( ) έτοσκε: A. ελίδα 6 από

7 ΘΔΧΡΗΜΑΣΑ ΜΔΝΔΛΑΟΤ-CEVA-AUBEL ΑΚΗΔΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ. ΟΡΘΟΚΔΝΣΡΟ ΜΔ ΣΡΙΓΧΝΟΜΔΣΡΙΚΟ CEVA Απνδείμηε όηη ηα ύςε ηξηγώλνπ πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν. Από ηα ορζογώληα ηρίγφλα ποσ δεκηοσργούληαη έτοσκε:, (i ), (ii ), (iii ). Από ηης ζτέζεης ( i ),(ii ),(iii ) έτοσκε:. Άρα (ζύκθφλα κε ηε ηρηγφλοκεηρηθή εθδοτή ηοσ ζεφρήκαηος ηοσ Ceva) ηα ύυε ηοσ ηρηγώλοσ ζσληρέτοσλ.. ΓΔΝΙΚΔΤΗ STEINER ΜΔ ΣΡΙΓΧΝΟΜΔΣΡΙΚΟ CEVA Γίλεηαη ηξίγσλν AB. Με βάζε ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ θαηαζθεπάδνπκε ηζνζθειή ηξίγσλα A B, B θαη AB ηα νπνία βξίζθνληαη εμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ θαη είλαη όκνηα κεηαμύ ηνπο. Απνδείμηε όηη νη επζείεο AA,BB, πεξλάλε από ην ίδην ζεκείν. Εθόζολ ηα ηρίγφλα A B, B θαη AB είλαη ηζοζθειή θαη όκοηα, οη παρά ηε βάζε γφλίες ηοσς είλαη ίζες. Από ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ ζηο ηρίγφλο B έτοσκε: (). ( Από ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ ζηο ηρίγφλο έτοσκε: ελίδα 7 από

8 ( Δηαηρώληας ηης ζτέζεης ( ) θαη ( ) έτοσκε: ( ( ( ) ( ). Με όκοηο ηρόπο έτοσκε: ( ( ). ( ( ( ). ( Ποιιαπιαζηάδοληας ηης ζτέζεης ( ),( ) θαη ( ) θαηαιήγοσκε:. Οπόηε ζύκθφλα κε ηο Θεώρεκα ηοσ Ceva οη εσζείες AA,BB, περλάλε από ηο ίδηο ζεκείο. ελίδα 8 από

9 ΘΔΧΡΗΜΑΣΑ ΜΔΝΔΛΑΟΤ-CEVA-AUBEL.3 ΓΔΝΙΚΔΤΗ GERGONNE ME ΣΡΙΓΧΝΟΜΔΣΡΙΚΟ CEVA Έζησ ην θέληξν ηνπ εγγεγξακκέλνπ ζην ηξίγσλν θύθινπ o θαη ηηο πξνεθηάζεηο ησλ C o ηα ζεκεία επαθήο ηνπ θύθινπ κε ηηο πιεπξέο o, o θαη C θαη έζησ o, C, C θαη αληίζηνηρα. Co ζεσξνύκε ηα ζεκεία L, M θαη K αληίζηνηρα ώζηε L M I K. α) Απνδείμηε όηη νη επζείεο AL, BM θαη CK ζπληξέρνπλ. β) α) Από ηε θαηαζθεσή ηοσ ζτήκαηος, ηζτύοσλ οη παραθάηφ (προθαλείς) ηζόηεηες ηρηγώλφλ, από ηης οποίες προθύπηοσλ ηζόηεηες γφληώλ θαη εσζσγράκκφλ ηκεκάηφλ. Σα ηρίγφλα AKC 0 θαη AMB 0 είλαη ίζα. Άρα AM AK θαη ÂC MÂB xˆ. Σα ηρίγφλα BKC 0 θαη BLA 0 είλαη ίζα. Άρα Σα ηρίγφλα M CB0 θαη CLA 0 είλαη ίζα. Άρα K 0 0 BK BL θαη Bˆ C LBˆ A ˆ. K 0 0 CL CM θαη ĈB LĈA ˆ. M 0 0 Από ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ ζηο ηρίγφλο L έτοσκε: L L (). ( ) Από ηο λόκο ηφλ εκηηόλφλ ζηο ηρίγφλο CL έτοσκε: ελίδα 9 από

10 CL L ( ). ( C ) Δηαηρώληας ηης ζτέζεης ( ) θαη ( ) έτοσκε: ( C ) CL ( ) ( ) L Με όκοηο ηρόπο έτοσκε: ( ( ). ( C ) C C ( ) ( ). C ( Ποιιαπιαζηάδοληας ηης ζτέζεης ( ),( ),( ) θαη τρεζηκοποηώληας ηης ηζόηεηες AM AK, BK BL θαη CL CM θαηαιήγοσκε: C. C Οπόηε ζύκθφλα κε ηο Θεώρεκα ηοσ Ceva οη εσζείες AL,BM,C περλάλε από ηο ίδηο ζεκείο. ελίδα 0 από

11 ΘΔΧΡΗΜΑΣΑ ΜΔΝΔΛΑΟΤ-CEVA-AUBEL ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΘΔΩΡΗΜΑTA ΜΔΝΔΛΑΟΤ - CEVA - AUBEL.... Θεώρεκα ηοσ Μελειάοσ.... ΘΕΩΡΗΜΑ CEVA ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΗ ΕΚΔΟΥΗ ΣΟΤ ΘΕΩΡΗΜΑΣΟ CEVA ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΟΤ AUBEL... 5 ΑΚΗΔΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΟΡΘΟΚΕΝΣΡΟ ΜΕ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟ CEVA ΓΕΝΙΚΕΤΗ STEINER ΜΕ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟ CEVA ΓΕΝΙΚΕΤΗ GERGONNE ME ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟ CEVA... 9 ελίδα από