ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος"

Transcript

1 ΥΠΥΡΕΙ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φρντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ υμνασίου ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος

2

3 Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος

4 ΣΥΡΦΕΙΣ Ιωάννης ανδουλάκης, Μαθηματικός Χαράλαμπος Καλλιγάς, Μαθημ/κός-Πληροφορικός, Εκπ. Ιδιωτ. Εκπ/σης Νικηφόρος Μαρκάκης, Μαθημ/κός-Πληροφορικός, Εκπ. Ιδιωτ. Εκπ/σης Σπύρος Φρντίνος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΚΡΙΤΕΣ-ΞΙΛΗΤΕΣ Χαράλαμπος Τσίτουρας, ν. Καθηγητής ΤΕΙ-Χαλκίδας ώργιος Μπαραλός, Σχολικός Σύμβουλος Μαθ/κών Χαρίκλια Κωνσταντακοπούλου, Μαθ/κός Εκπ/κός /θμιας Εκπ/σης ΕΙΚΝΡΦΗΣΗ Κλιώ κιζλή, Ζωγράφος Ιόλη Κυρούση, ραφίστρια ΦΙΛΛΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙ αρβάρα ρνλή, Φιλόλογος Εκπ/κός /θμιας Εκπ/σης ΥΠΕΥΘΥΝΣ ΤΥ ΜΘΗΜΤΣ ΚΙ ΤΥ ΥΠΕΡΥ ΚΤ ΤΗ ΣΥΡΦΗ θανάσιος Σκούρας, Σύμβουλος Παιδαγωγ. Ινστιτούτου ΕΞΩΦΥΛΛ Μανώλης Χάρος, Ζωγράφος ΠΡΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΣΙΕΣ ΕΚ ΣΕΙΣ ΠΤΚΗ Στη συγγραφή του πρώτου μέρους (1/3) έλαβ μέρος και η Θοδώρα στέρη, Eκπ/κός /θμιας Εκπ/σης

5 ΥΠΥΡΕΙ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φρντίνος Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος

6 Κ.Π.Σ. / ΕΠΕΕΚ ΙΙ / Ενέργια / Κατηγορία Πράξων α: «ναμόρφωση των προγραμμάτων σπουδών και συγγραφή νέων κπαιδυτικών πακέτων» ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ ημήτριος. λάχος μότιμος Καθηγητής του.π.θ Πρόδρος του Παιδαγωγ. Ινστιτούτου Πράξη µ τίτλο: «Συγγραφή νέων βιβλίων και παραγωγή υποστηρικτικού κπαιδυτικού υλικού µ βάση το ΕΠΠΣ και τα ΠΣ για το υμνάσιο» Επιστηµονικός Υπύθυνος Έργου ντώνιος Σ. Μπομπέτσης Σύμβουλος του Παιδαγωγ. Ινστιτούτου ναπληρωτής Επιστηµ. Υπύθ. Έργου ώργιος Κ. Παληός Σύμβουλος του Παιδαγωγ. Ινστιτούτου Ιγνάτιος Ε. Χατζηυστρατίου Μόνιμος Πάρδρος του Παιδαγ. Ινστιτ. Έργο συγχρηµατοδοτούµνο 75% από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμίο και 25% από θνικούς πόρους. ΠΡΣΡΜΗ ΤΥ ΙΛΙΥ Ι ΜΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΡΣΗ μάδα Εργασίας ποφ / και 75142/6/ ΥΠΕΠΘ

7 Επίκντρη γωνία Σχέση πίκντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα ποσοστά που πήραν τέσσρα κόμματα στις κλογές. Μπορίς να 45% 40% βρις σ πόσς μοίρς αντιστοι- 10% χί κάθ φέτα της πίτας; 5% Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Κατασκυάζουμ έναν κύκλο (, ρ) και μια γωνία, xoy της οποίας η O κορυφή συμπίπτι μ το κέντρο του κύκλου. Η γωνία αυτή λέγται πίκντρη B γωνία. A y x ν η πλυρά x της γωνίας xoy τέμνι τον κύκλο στο σημίο και η πλυρά y στο σημίο, τότ: Το τόξο που βρίσκται στο σωτρικό της κυρτής γωνίας xoy λέγται αντίστοιχο τόξο της πίκντρης γωνίας xoy. Το τόξο Δ που βρίσκται στο σωτρικό της μη κυρτής γωνίας O xoy ίναι κι αυτό αντίστοιχο τόξο B της μη κυρτής πίκντρης γωνίας xoy. A x y 5 / 190

8 Ως μέτρο νός τόξου ορίζται το μέτρο της αντίστοιχης πίκντρης γωνίας, δηλαδή το μέτρο νός τόξου το μτράμ σ μοίρς. Σ έναν κύκλο ή σ ίσους κύκλους, δυο ίσς πίκντρς γωνίς έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα. Και αντίστροφα Σ έναν κύκλο ή σ ίσους κύκλους, δυο ίσα τόξα έχουν ίσς τις πίκντρς γωνίς. O A x y B x A B y A O x B y O y B x A ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να κατασκυαστί γωνία ίση μ 30 ο. Λύση 1 x 6 / 191

9 2 90 x x x ω = 30 ο 5 x ω ια να κατασκυάσουμ μία γωνία χρησιμοποιούμ το μοιρογνωμόνιο. Το μοιρογνωμόνιο ίναι ένα όργανο μ το οποίο μπορούμ να μτρήσουμ το μέτρο νός τόξου ή μιας γωνίας. Κάθ μοιρογνωμόνιο αντιστοιχί σ ημικύκλιο που έχι βαθμολογηθί έτσι, ώστ να δίχνι 7 / 191

10 τα μέτρα των τόξων από 0 ο έως 180 ο. τρόπος που μπορούμ να κατασκυάσουμ τη ζητούμνη γωνία 30 ο φαίνται στα διαδοχικά παραπάνω σχήματα. 2. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι δύο πλυρές 3 cm και 4 cm και των οποίων η πριχόμνη γωνία ίναι 55 ο ο 180 ο 2 55 ο Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι μία πλυρά 3 cm και τις προσκίμνς γωνίς 40 ο και 100 ο. 8 /

11 3 cm ο ο 40 ο 100 ο ο 180 ο 3 ο 4 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να βρις πόσς μοίρς έχι: α) ένας κύκλος, β) ένα ημικύκλιο και γ) καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζται ένας κύκλος από δύο κάθτς διαμέτρους. 2. ύο διάμτροι νός κύκλου σχηματίζουν γωνία 60. Να βρις πόσς μοίρς ίναι κάθ ένα από τα τόξα στα οποία χωρίζται ο κύκλος από αυτές τις διαμέτρους του. 3. Σχδίασ δύο κύκλους (, 3 cm) και (O, 4 cm). Να ορίσις στον κάθ κύκλο από ένα τόξο 45 ο και να ξτάσις άν τα τόξα αυτά ίναι ίσα. Να δικαιολογήσις την απάντησή σου. 9 / 192

12 4. Τρις διάμτροι χωρίζουν έναν κύκλο σ έξι ίσα τόξα. Πόσων μοιρών ίναι καθμιά από τις έξι πίκντρς γωνίς που αντιστοιχούν στα τόξα αυτά; 5. Σ έναν κύκλο (, ρ) να χαράξις μία χορδή ίση μ την ακτίνα του κύκλου. Να υπολογίσις σ μοίρς την πίκντρη γωνία και να βρις σ ποιο κλάσμα του κύκλου αντιστοιχί το τόξο. 7. Να σχδιάσις ένα τμήμα = 2,8 cm και τους κύκλους (, 4 cm) και (, 4 cm). Να ονομάσις το ένα από τα δύο σημία στα οποία τέμνονται οι κύκλοι και να μτρήσις τις γωνίς του τριγώνου. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Ι Τ ΣΠΙΤΙ Το παρακάτω ημικυκλικό διάγραμμα έχι κάποιο λάθος! ιατί; Μπορίς να το διορθώσις; 40% 15% 15% 30% 10 / 192

13 Θέσις υθίας και κύκλου ς ξτάσουμ τώρα τις σχτικές θέσις που μπορί να έχουν σ ένα πίπδο ένας κύκλος και μια υθία; Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Όταν υθία και κύκλος δν έχουν κανένα κοινό σημίο λέμ ότι η υθία ίναι ξωτρική του κύκλου. Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι μγαλύτρη από την ακτίνα ρ (Μ > ρ), η υθία ίναι ξωτρική του κύκλου. Όταν υθία και κύκλος έχουν ένα ρ Μ μόνο κοινό σημίο Μ, η υθία λέγται φαπτόμνη του κύκλου στο σημίο Μ. Όταν η απόσταση Μ του κέντρου ρ Μ από την υθία ίναι ίση μ την ακτίνα ρ (Μ = ρ), η υθία ίναι φαπτομένη του κύκλου στο Μ. Όταν υθία και κύκλος έχουν δύο κοινά σημία και, η υθία λέγται τέμνουσα του κύκλου ή λέμ ότι η ρ υθία τέμνι τον κύκλο στα και Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι μικρότρη από την ακτίνα ρ (Μ < ρ), η υθία ίναι τέμνουσα του κύκλου. Μ 11 / 193

14 ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να σχδιαστί κύκλος που να φάπτται σ σημίο μιας υθίας. Λύση Παίρνουμ μια υθία και το σημίο της. Σχδιάζουμ την υθία που ίναι κάθτη στην στο σημίο. Μ κέντρο ένα οποιοδήποτ σημίο Κ της κάθτης αυτής και ακτίνα το τμήμα Κ γράφουμ κύκλο. κύκλος που φέραμ θα φάπτται στην υθία, διότι αυτή ίναι κάθτη στην ακτίνα Κ του κύκλου στο άκρο της. Κ 2. Να σχδιαστί υθία που να φάπτται σ σημίο νός κύκλου. Λύση Παίρνουμ ένα κύκλο (, ρ) και το σημίο του. Σχδιάζουμ την υθία, που ίναι κάθτη στην ακτίνα στο σημίο. Η υθία θα φάπτται στον κύκλο στο σημίο, διότι ίναι κάθτη στην ακτίνα στο άκρο της. 3. Να σχδιαστούν φαπτόμνς νός κύκλου (, ρ) στα άκρα και μιας χορδής του. Λύση Σχδιάζουμ τις ακτίνς και. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία 1 κάθτη στην ακτίνα 12 / 193

15 αυτή. Η υθία 1 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία 2 κάθτη στην ακτίνα αυτή. Η υθία 2 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. 1 2 Μ ν ίναι Μ το σημίο που τέμνονται οι φαπτόμνς, τα υθύγραμμα τμήματα Μ και Μ λέγονται φαπτόμνα τμήματα του κύκλου ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να σχδιάσις δύο παράλληλς υθίς 1 και 2 που να απέχουν μταξύ τους 2,5 cm. Να πάρις ένα σημίο Μ της 1 και να βρις σημία της 2 που απέχουν 3,6 cm από το Μ. 2. Να σχδιάσις ένα υθύγραμμο τμήμα = 3,6 cm και έναν κύκλο μ διάμτρο την. Να χαράξις τις φαπτόμνς του κύκλου που διέρχονται από τα και. Να δικαιολογήσις γιατί οι φαπτόμνς αυτές ίναι υθίς παράλληλς. 3. Παίρνουμ έναν κύκλο (, ρ) και μια υθία. νομάζουμ δ την απόσταση του κέντρου από την υθία. Να βρις τον αριθμό των κοινών σημίων του κύκλου και της υθίας, στις πριπτώσις: (α) ν ρ = 5 cm και δ = 4 cm, (β) αν ρ = 2,5 cm και δ = 2,5 cm και (γ) αν ρ = 3 cm και δ = 6 cm. 4. Να σχδιάσις δύο κάθτς υθίς 1 και 2 και να ονομάσις το σημίο τομής τους. Να πάρις ένα 13 /

16 σημίο Κ της 1 ώστ να ίναι Κ = 3,1 cm. Να φέρις τους κύκλους (Κ, 2,1cm), (Κ, 3,1cm) και (Κ, 36 cm). Να βρις ποια ίναι η θέση της 2 ως προς τους κύκλους αυτούς. 5. Να σχδιάσις ένα υθύγραμμο τμήμα = 40 mm. Να πάρις ένα σημίο Μ του, ώστ να ίναι Μ = 18 mm. Να φέρις τους κύκλους (, 18 mm) και (, 22 mm). Να χαράξις υθία που να διέρχται από το Μ και να ίναι κάθτη στην. Ποια ίναι η θέση της ως προς τον καθένα από τους κύκλους; Να δικαιολογήσις την απάντησή σου. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤΕΣ Ι Τ ΣΠΙΤΙ 1. Μια πιχίρηση αποφάσισ να κατασκυάσι ένα ργοστάσιο σ μια αγροτική πριοχή που πιλέγι για το σκοπό αυτό. Η πλυρά κάθ ττραγώνου του σχήματος της πόμνης σλίδας, αντιπροσωπύι απόσταση 100 m. Τ ργοστάσιο πρέπι να βρίσκται τουλάχιστον σ ακτίνα 600 m μακριά από τα σπίτια (Σ). Επίσης πρέπι να απέχι το λιγότρο 300 m από την άκρη του δρόμου. Να αντιγράψις σ ττραγωνισμένο χαρτί το σχήμα και να χρωματίσις τις πριοχές όπου μπορί να κατασκυαστί το ργοστάσιο. 14 / 194

17 Σπίτι Σπίτι δρόμος Σπίτι Σπίτι Σπίτι Σπίτι Σπίτι 2. Η συμφωνία μταξύ των χωριών, και για την κατασκυή μιας γώτρησης σ μια θέση Μ πριλαμβάνι τους ξής τρις όρους: α) Μ > 2 km, β) Μ = 3 km και γ) Μ = 4 km. Να αντιγράψις το παρακάτω σχήμα και να βρις τη θέση του σημίου Μ, καθώς και την απόσταση της θέσης αυτής από το δρόμο. 6 km 15 / 194

18 νακφαλαίωση ΣΗΜΕΙ ΕΥΘΥΡΜΜ ΤΜΗΜ σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα παράλληλα υθύγραμμα τμήματα ΕΥΘΕΙ ΗΜΙΕΥΘΕΙ x x υθία υθία x x x ημιυθία x το σημίο χωρίζι μια υθία σ δύο ημιυθίς x και x 16 / 195

19 τμνόμνς κάθτς υθίς παράλληλς υθίς υθίς ο από το μία μόνο κάθτη στην 2 από το μία μόνο παράλληλη στην ΕΠΙΠΕ ΗΜΙΕΠΙΠΕ Π τρία σημία ορίζουν ένα πίπδο Π Η υθία ανήκι ολόκληρη στο πίπδο Π Π 2 Π Η υθία τέμνι το πίπδο Π Π 1 Η υθία χωρίζι ένα πίπδο σ δύο ημιπίπδα 17 / 195

20 ΠΣΤΣΗ απόσταση δύο σημίων 1 απόσταση σημίου από υθία 2 απόσταση δύο παράλληλων υθιών κορυφή πλυρά ω O ΩΝΙ y y διχοτόμος z πλυρά x x γωνία διχοτόμος γωνίας x y y x κατακορυφήν γωνίς φξής γωνίς 18 /

21 y διαδοχικές γωνίς x φ ω z 0 ο 180 ο παραπληρωματικές γωνίς x 90 ο y β α x 0 ο συμπληρωματικές γωνίς y 90 x οξία γωνία / 196

22 y 90 x ορθή γωνία y x αμβλία γωνία x υθία γωνία y 20 / 196

23 Κύκλος ρ χορδή διάμτρος κύκλος(, ρ) και χορδή η διάμτρος κυκλικός δίσκος χωρίζι τον κύκλο σ 2 ημικύκλια ρ Μ 1 Μ 2 Μ 3 τόξο δύο σημία και Μ1 σωτρικό του (, ρ) του κύκλου ορίζουν Μ2 σημίο του (, ρ) δύο τόξα του κύκλου Μ3 ξωτρικό του (, ρ) A x O B y Επίκντρη γωνία 21 / 196

24 ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΣ ΚΙ ΚΥΚΛΥ ρ Μ ρ Μ ξωτρική φαπτόμνη ρ Μ τέμνουσα 1 2 φαπτόμνα τμήματα Μ 22 / 196

25 ΣΧΕ Ι ΕΡΣΙΣ Πολύ συχνά, σ αυτά που διαβάζουμ, σ ό,τι ακούμ, αλλά και σ κίνα που γράφουμ ή λέμ, υπάρχουν λέξις που την αρχική τους προέλυση ή τη βασική τους σημασία την αντλούν από τη γωμτρία ή γνικότρα από τα μαθηματικά. Είναι λέξις που τις χρησιμοποιούμ μ την ίδια πρίπου έννοια όπως και στα μαθηματικά, π.χ. στο μέσο της διαδρομής ή το μισό του προϋπολογισμού κ.λπ. Σ αρκτές όμως πριπτώσις, μ αυτές τις λέξις κφραζόμαστ μταφορικά, αποδίδοντάς τους ένα υρύτρο νόημα. Λέμ πχ. Όλς οι χώρς της Ευρώπης δ βρίσκονται στο ίδιο οικονομικό πίπδο ή το φστιβάλ συνχίστηκ μ παράλληλς κδηλώσις. Στο κίμνο που ακολουθί, υπάρχουν πολλές τέτοις λέξις. Προσπάθησ να τις ντοπίσις και να τις υπογραμμίσις μ την πρώτη ανάγνωση. Το κρίσιμο σημίο Η μπάλα έχι τοποθτηθί στο σημίο του πέναλτι. ι φίλαθλοι στις κρκίδς έχουν παγώσι. ι παίκτς των δύο ομάδων βρίσκονται, ήδη, έξω από τις γραμμές της μγάλης πριοχής. τρματοφύλακας, στο μέσον ακριβώς της στίας του, κοιτάζι κατυθίαν στα μάτια τον αντίπαλο του, που τοιμάζται να κτλέσι την σχάτην των ποινών αυτού του αγώνα. ια ένα κλάσμα του δυτρολέπτου οι δύο παίκτς και η μπάλα βρίσκονται ακριβώς στην ίδια υθία και αμέσως μτά η σφαιρική μάγισσα διαγράφι μια καμπύλη τροχιά και 23 / 197

26 καρφώνται στη δξιά γωνία της στίας, τη στιγμή που ο τρματοφύλακας πέφτι προς την αντίθτη πλυρά. κοοοοοοόλ, φωνάζι μ όλη τη δύναμη του ο Μιχάλης, τρέχοντας προς το κέντρο του κατάφωτου από τους προβολίς γηπέδου, νώ οι οπαδοί της ομάδας του τον αποθώνουν αφού έδωσ λύση στο πιο κρίσιμο σημίο του αγώνα. Ταυτόχρονα, ανοίγι η πόρτα του δωματίου και η μητέρα του Μιχάλη, μισοξυπνημένη, τρέχι ανήσυχη να δι τι συμβαίνι στον ύπνο του γιού της. υτό το παιδί, μουρμουρίζι, δ θα μάθι ποτέ να σβήνι το φως πριν κοιμηθί Μπορίς στα νολληνικά κίμνα, αλλά και στα άλλα μαθήματα π.χ. στην ιστορία, τη ωγραφία, τη ιολογία κ.λπ., να ντοπίσις τέτοις λέξις; Να λέγξις σ ποις πριπτώσις έχουν σημασία κυριολκτική και σ ποις μταφορική. Προσπάθησ να συλλέξις φράσις, από λογοτχνικά κίμνα, όπου οι λέξις χρησιμοποιούνται κυρίως μ μταφορική σημασία, όπως π.χ. βίοι παράλληλοι, του κύκλου τα γυρίσματα κ.λπ. Τέλος, προσπάθησ να γράψις κι σύ ένα κίμνο ή μια ιστορία, στην οποία να χρησιμοποιήσις τέτοις λέξις ή κφράσις, μ κυριολκτική ή και μταφορική σημασία. 24 / 197

27 Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης σκήσις Σωστού ή Λάθους ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος 1. ντικίμνς ημιυθίς λέγονται δύο ημιυθίς που έχουν κοινή αρχή. 2. Παράλληλς λέγονται δύο υθίς του ιδίου πιπέδου, που δν έχουν κοινό σημίο. 3. πόσταση δύο παράλληλων υθιών λέγται το μήκος κάθ υθύγραμμου τμήματος που έχι τα άκρα του σ αυτές. 4. ντίστοιχα στοιχία των ίσων σχημάτων λέμ αυτά που συμπίπτουν όταν τοποθτήσουμ τα σχήματα το ένα πάνω στο άλλο μ κατάλληλο τρόπο. 5. Μέσο νός υθύγραμμου τμήματος ονομάζουμ το σημίο Μ του τμήματος, που απέχι ξίσου από τα άκρα του. 6. Τόξο λέγται το υθύγραμμο τμήμα, που συνδέι δύο σημία και του κύκλου. 7. ιάμτρος του κύκλου λέγται η χορδή που πρνάι από το κέντρο του κύκλου. 8. Παραπληρωματικές γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς, μ άθροισμα Συμπληρωματικές γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς μ άθροισμα / 198

28 10. Κατακορυφήν γωνίς λέγονται δύο γωνίς που έχουν την κορυφή τους κοινή. 11. πό ένα σημίο διέρχται μία μόνο υθία. 12. πό δύο σημία μπορούν να πράσουν άπιρς υθίς. 13. Μια υθία πκτίνται απριόριστα. 14. Ένα πίπδο πκτίνται απριόριστα. 15. Κάθ υθία νός πιπέδου το χωρίζι σ άπιρα ημιπίπδα. 16. ύο υθίς που βρίσκονται στο πίπδο ίναι πάντα παράλληλς. 17. πό ένα σημίο μπορούμ να φέρουμ άπιρς υθίς κάθτς σ μια υθία. 18. ύο υθίς του πιπέδου κάθτς σ μια τρίτη υθία ίναι μταξύ τους κάθτς. 19. ι τθλασμένς γραμμές διακρίνονται σ κλιστές ή μη κυρτές. 20. Η τθλασμένη γραμμή έχι μήκος το άθροισμα των μηκών των υθύγραμμων τμημάτων, από τα οποία αποτλίται. 21. Το υθύγραμμο τμήμα ίναι μγαλύτρο από κάθ τθλασμένη γραμμή μ τα ίδια άκρα και. 22. Κάθ υθύγραμμο τμήμα που νώνι ένα σημίο του κύκλου μ το κέντρο του ίναι διάμτρος του κύκλου. 26 / 198

29 23. ύο κύκλοι μ ακτίνς άνισς ίναι ίσοι. 24. Η διάμτρος ίναι τριπλάσια από την ακτίνα του κύκλου. 25. Όλα τα σημία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο απόσταση μικρότρη ή ίση μ την ακτίνα ρ. 26. ι προσκίμνς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου γωνίς ίναι ίσς. 27. ύο κατακορυφήν γωνίς ίναι συμπληρωματικές. 28. Ημικύκλιο λέγται ένα από τα δύο τόξα, στα οποία διαιρίται ένας κύκλος από μια διάμτρό του. 27 / 198

30 Συμμτρία ΜΕΡΣ 2ο Κ Ε Φ Λ Ι ΘΛΗΣ ΜΙΛΗΣΙΣ π.χ.

31 2.1 Συμμτρία ως προς άξονα νωρίζω πότ δύο σημία ίναι συμμτρικά ως προς υθία νωρίζω πότ δύο σχήματα ίναι συμμτρικά ως προς υθία και ότι τα συμμτρικά ως προς υθία σχήματα ίναι ίσα ρίσκω το συμμτρικό σημίο υθυγράμμου τμήματος, υθίας, τριγώνου, γωνίας και κύκλου ως προς μία υθία και γνωρίζω τις γωμτρικές ιδιότητς που απορρέουν από την συμμτρία αυτή 2.2 Άξονας συμμτρίας ναγνωρίζω σχήματα μ άξονα ή άξονς συμμτρίας 2.3 Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος Χαράσσω τη μσοκάθτο νός υθυγράμμου τμήματος μ τη βοήθια βαθμολογημένου κανόνα και γνώμονα νωρίζω τη χαρακτηριστική ιδιότητα της μσοκαθέτου υθυγράμμου τμήματος Χαράσσω τη μσοκάθτο νός υθυγράμμου τμήματος μ κανόνα και διαβήτη 2.4 Συμμτρία ως προς σημίο νωρίζω ότι η συμμτρία ως προς κέντρο ίναι μια στροφή γύρω από το κατά γωνία 180 νωρίζω πότ δύο σημία ίναι συμμτρικά ως προς σημίο νωρίζω πότ δύο σχήματα ίναι συμμτρικά ως προς σημίο και ότι αυτά τα συμμτρικά σχήματα ίναι ίσα Κατασκυάζω το συμμτρικό σημίου, υθυγράμμου τμήματος, υθίας, γωνίας, τριγώνου, πολυγώνου και κύκλου ως προς σημίο 29 / 199

32 2.5 Κέντρο συμμτρίας ναγνωρίζω σχήματα μ κέντρο συμμτρίας νωρίζω τα βασικά γωμτρικά σχήματα μ κέντρο συμμτρίας και τις γωμτρικές ιδιότητς που απορρέουν από τη συμμτρία αυτή 2.6 Παράλληλς υθίς που τέμνονται από μία άλλη υθία νωρίζω πώς ονομάζονται τα ζύγη των γωνιών που σχηματίζονται από την τομή δύο παραλλήλων μ μία τέμνουσά τους. ιαπιστώνω ότι όλς οι οξίς (ή οι αμβλίς) γωνίς, που σχηματίζουν δύο παράλληλς οι οποίς τέμνονται από τρίτη υθία, ίναι ίσς ιαπιστώνω ότι μία οξία και μία αμβλία γωνία από τις γωνίς που σχηματίζονται από την τομή δύο παραλλήλων από την τρίτη υθία ίναι παραπληρωματικές 30 / 199

33 .2.1. Συμμτρία ως προς άξονα Τι ίναι συμμτρία; ποιητής θα έλγ: ό,τι φοριέται από την ανάποδη. Ότι διπλώνι και ταιριάζι, ότι στρίβι και «συμπίπτι». Μόνο η φαντασία δν έχι καθόλου συμμτρία. ι αυτό η συμμτρία χριάζται και λίγη φαντασία. ν αυτή ακριβώς τη φαντασία τη φορέσουμ ανάποδα, θα μας βγι όλη η ωμτρία. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Κατασκύασ ένα ισοσκλές τρίγωνο μ = = 5 cm και = 4 cm και τη διάμσό του. ίπλωσ το σχήμα κατά μήκος της υθίας που ανήκι η. Τι παρατηρίς; Σκφτόμαστ Παρατηρούμ ότι τα τρίγωνα Δ και Δ συμπίπτουν. υτό σημαίνι, ότι κάθ σημίο του 5 cm Μ Κ 5 cm Μ νός τριγώνου συμπίπτι μ ένα σημίο του άλλου τριγώνου. ια 4 cm παράδιγμα, το συμπίπτι μ το. Τα σημία αυτά λέγονται συμμτρικά ως προς άξονα συμμτρίας την υθία. Μ τη δίπλωση κατά μήκος της υθίας, κάθ σημίο της συμπίπτι μ τον αυτό του. Επομένως συμμτρικό του ίναι το, του Δ το Δ και νός οποιουδήποτ σημίου Κ της το ίδιο το Κ. 31 / 200

34 Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Συμμτρικό σημίου ως προς υθία, ίναι το σημίο μ το οποίο συμπίπτι το, αν διπλώσουμ το φύλλο κατά μήκος της υθίας. Κάθ σημίο μιας υθίας ίναι συμμτρικό του αυτού του ως προς την. Όπως ίδαμ, μ τη δίπλωση κατά μήκος της υθίας κάθ σημίο του τριγώνου Δ συμπίπτι μ ένα σημίο του τριγώνου Δ. υτό σημαίνι ότι καθένα από τα τρίγωνα αυτά αποτλίται από τα συμμτρικά όλων των σημίων του άλλου τριγώνου ως προς την υθία. ι αυτό λέμ ότι: Τα τρίγωνα Δ και Δ ίναι συμμτρικά ως προς την υθία. νικότρα: ύο σχήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) λέγονται συμμτρικά ως προς μία υθία, όταν καθένα αποτλίται από τα συμμτρικά σημία του άλλου ως προς την. (Σ 1 ) (Σ 2 ) Επιδή μ δίπλωση κατά μήκος της συμπίπτι το (Σ 1,) μ το (Σ 2 ), γνωρίζουμ ότι αυτά θα ίναι ίσα. Επομένως: Μ Μ Τα συμμτρικά ως προς υθία σχήματα ίναι ίσα. 32 / 200

35 ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Μια γραμμή γ τέμνι την υθία στα σημία, και. Να βρθί ο λόγος για τον οποίο και η συμμτρική γ της γ, ως προς την υθία, θα πρνάι από τα ίδια σημία. γ Λύση Η συμμτρική γραμμή A γ της γ ως προς την γ, αποτλίται από τα συμμτρικά όλων των σημίων της γ. Επομένως στη γ ανήκουν και τα συμμτρικά σημία των, και. Επιδή όμως τα, και ίναι σημία της τα συμμτρικά τους ίναι τα ίδια τα σημία. Άρα τα, και ανήκουν και στη γ. 2. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σημίου ως προς μια υθία. Λύση A ιακρίνουμ δύο πριπτώσις: Το σημίο ανήκι στην υθία. Τότ, όπως ίδαμ, το συμμτρικό του ίναι το ίδιο το σημίο. A Το σημίο δν ανήκι στην υθία. Τότ, για να βρούμ το συμμτρικό του, ακολουθούμ την παρακάτω διαδικασία: Φέρνουμ το κάθτο τμήμα από το σημίο προς την υθία και το προκτίνουμ κατά ίσο τμήμα, ώστ να ίναι =. Το σημίο ίναι το συμμτρικό του ως προς την υθία. 33 / 201

36 3. Να κατασκυαστί η συμμτρική ως προς υθία : (α) υθίας δ και (β) ημιυθίας χ. Λύση (α) Παίρνουμ δύο σημία και πάνω στην υθία δ και βρίσκουμ, όπως πριγράφται στην φαρμογή 2, τα συμμτρικά τους και, ως προς την. Η υθία δ που ορίζουν τα και ίναι η συμμτρική της υθίας δ. (β) Παρόμοια παίρνουμ, κτός του, ένα δύτρο σημίο πάνω στην ημιυθία x και βρίσκουμ, όπως πριν, τα συμμτρικά τους και ως προς την. Η ημιυθία x που ορίζουν τα και ίναι η συμμτρική της ημιυθίας x. δ A δ A A A B B x x 4. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός υθύγραμμου τμήματος, ως προς μια υθία. Λύση A A A 1 B 2 B A 3 ρίσκουμ μ τον τρόπο που ίδαμ στην φαρμογή 3, τα συμμτρικά και, ως προς την, των και 34 / 201

37 αντίστοιχα. Τότ το υθύγραμμο τμήμα θα ίναι το συμμτρικό του, ως προς την υθία. Τα συμμτρικά υθύγραμμα τμήματα θα ίναι μταξύ τους ίσα, δηλαδή: = 5. Να κατασκυαστί η συμμτρική γωνίας xay ως προς μία υθία. Λύση A ια να κατασκυάσουμ τη γωνία xay αρκί να βρούμ το συμμτρικό της κορυφής x καθώς και τα συμμτρικά και y y δύο ακόμα σημίων και, που ανήκουν το καθένα σ μια από τις πλυρές της αντίστοιχα. νωρίζουμ ότι θα ίναι: x Ay = xay x 6. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς μία υθία, η οποία (α) δν τέμνι τις πλυρές του, (β) διέρχται από δύο κορυφές του και (γ) τέμνι τις πλυρές του. Λύση Σ κάθ πρίπτωση βρίσκουμ τα συμμτρικά,,, ως προς την, των κορυφών,, του τριγώνου. Τότ το τρίγωνο έχι συμμτρικό το τρίγωνο, που ίναι ίσο μ το. A (H δν τέμνι τις πλυρές) 35 /

38 A A (Η διέρχται από (H τέμνι τις πλυρές) τα και ) 7. Να κατασκυαστί το συμμτρικό κύκλου (, ρ) ως προς υθία. Λύση Το συμμτρικό του κύκλου (, ρ) ως προς την ίναι κύκλος (, ρ) ίσος μ τον (, ρ), μ συμμτρικό του ως προς την. Όπως όλα τα συμμτρικά σχήματα, οι κύκλοι (, ρ) και (, ρ) ίναι ίσοι, δηλαδή έχουν ίσς ακτίνς. 8. Να χαραχθί η πορία των ακτίνων του φωτός, που κπέμπονται από ένα φωτινό σημίο και ανακλώνται σ έναν πίπδο καθρέφτη (ο οποίος στο σχήμα φαίνται ως μία υθία ). A Λύση ρ ρ ρίσκουμ το συμμτρικό του σημίου ως προς την υθία. ι ακτίνς ανακλώνται στον καθρέφτη και ακολουθούν την πορία, που θα ίχαν, αν η 36 / 202 A

39 πηγή του φωτός ήταν το σημίο. Επιδή οι γωνίς που σχηματίζουν οι ακτίνς μ την ίναι συμμτρικές, θα ίναι και ίσς. Άρα, η γωνία μ την οποία μια ακτίνα πέφτι στον καθρέφτη ίναι ίση μ τη γωνία μ την οποία ανακλάται. 9. Στο σχήμα τα σημία και ' ίναι συμμτρικά ως προς την υθία. Να βρθί μ τη βοήθια μόνο του χάρακα το συμμτρικό του ως προς την υθία. Λύση Επιδή μ το χάρακα μπορούμ να φέρουμ μόνο υθίς γραμμές, ακολουθούμ τα παρακάτω βήματα, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα: Φέρνουμ την υθία και την προκτίνουμ μέχρι να τμήσι τον άξονα στο σημίο Κ. Φέρνουμ την υθία Κ, η οποία ίναι συμμτρική της Κ, αφού νώνι δύο συμμτρικά σημία αυτής, τα Κ και. Κ Κ Κ /

40 Φέρνουμ την, που τέμνι την στο. Τέλος, φέρνουμ την, που η συμμτρική της ίναι η. ι υθίς Κ και ίναι συμμτρικές των Κ και αντίστοιχα και οι τομές τους θα ίναι συμμτρικά σημία, τα και. Κ Κ 4 5 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να βρις τη συμμτρική της γωνίας xy ως προς την υθία, σ καθμιά από τις δυο πριπτώσις. x y y x 2. Να βρις το συμμτρικό του κύκλου (, ρ) ως προς την υθία σ καθμιά από τις δυο πριπτώσις. ρ 38 / 203

41 3. Να βρις το συμμτρικό του σχήματος ως προς την υθία και το συμμτρικό του νέου σχήματος ως προς την υθία, η οποία ίναι παράλληλη μ την. Τι σχέση έχουν το αρχικό και το τλυταίο σχήμα; Να παναλάβις το ίδιο και μ μια τρίτη παράλληλη. Τι παρατηρίς; ΡΣΤΗΡΙΤΗΤΕΣ Ι Τ ΣΠΙΤΙ 1. ρς το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς μια υθία και το συμμτρικό του νέου τριγώνου ως προς μία άλλη υθία ζ. Τι σχέση έχουν το αρχικό και το τλυταίο τρίγωνο; Να παναλάβις το ίδιο και μ τρίτη υθία. 2. Προσπάθησ να δίξις, ότι το συμμτρικό σχήμα ως προς άξονα δ μιας υθίας παράλληλης προς τη δ, ίναι υθία παράλληλη προς την υθία. 39 / 203

42 .2.2. Άξονας συμμτρίας ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Σχδίασ σ ένα διαφανές χαρτί μια υθία. Τοποθέτησ το διαφανές αυτό χαρτί πάνω σ καθένα από τα παρακάτω σχήματα. Εξέτασ αν υπάρχι θέση τέτοια που τα δύο μέρη, στα οποία η υθία χωρίζι το σχήμα, συμπίπτουν, όταν το διπλώσις κατά μήκος της υθίας, ακριβώς στη θέση αυτή. Προσπάθησ να βρις αν υπάρχι και άλλη θέση στην οποία μπορίς να παρατηρήσις το ίδιο φαινόμνο για το ίδιο σχήμα. 40 / 204

43 Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Άξονας συμμτρίας σχήματος ονομάζται η υθία που χωρίζι το σχήμα σ δύο μέρη, τα οποία συμπίπτουν όταν διπλωθί το σχήμα κατά μήκος της υθίας. Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι το σχήμα έχι άξονα συμμτρίας την υθία αυτή. Όταν ένα σχήμα έχι άξονα συμμτρίας, το συμμτρικό του ως προς τον άξονα αυτόν ίναι το ίδιο το σχήμα. ΠΡ ΕΙΜ - ΕΦΡΜΗ Να βρθούν οι άξονς συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου (, ρ). Λύση Μ δίπλωση διαπιστώνουμ ότι η υθία πάνω στην οποία βρίσκται μια οποιαδήποτ διάμτρος του κύκλου (, ρ) ίναι άξονας συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. Επομένως: ποιαδήποτ διάμτρος κύκλου ίναι άξονας συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να πιλέξις τη σωστή απάντηση: Κάθ κύκλος και ο αντίστοιχος κυκλικός δίσκος έχουν: Ένα άξονα συμμτρίας 41 / ρ

44 Άπιρους άξονς συμμτρίας Κανένα άξονα συμμτρίας. 2. Εξέτασ αν τα κφαλαία γράμματα του αλφαβήτου, Ι, και Θ έχουν: (α) κανένα, (β) ένα, (γ) πρισσότρους από ένα άξονς συμμτρίας. 3. Σχδίασ τους άξονς συμμτρίας των παρακάτω γωμτρικών σχημάτων. 4. Σχδίασ τους άξονς συμμτρίας του σχήματος που δημιουργίται από δύο ίσους τμνόμνους κύκλους. 5. ρς τους άξονς συμμτρίας του σχήματος που δημιουργίται από δύο κύκλους μ διαφορτικές ακτίνς, όταν: (α) έχουν το ίδιο κέντρο και (β) έχουν διαφορτικά κέντρα. 42 / 205

45 .2.3. Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ καπτάνιος του πλοίου προσπαθί να κρατήσι την πορία του πλοίου το ίδιο μακριά από τις βάσις και της γέφυρας, πιδή η στνότητα του πράσματος, ο αέρας και η γνωστή παλίρροια του Ευβοϊκού κόλπου πιδρούν στην πορία των καραβιών και κάνουν τη διέλυση πικίνδυνη. Μπορίς να υποδίξις την πορία που πρέπι να έχι ένα πλοίο για να πράσι μ ασφάλια το στνό του Ευρίππου; Μ Κ 5 Κ 4 Κ 3 Κ 2 Κ 1 Κ Τι ίναι η πορία του πλοίου σ σχέση μ το υθύγραμμο τμήμα ; Τι ίναι τα σημία και μταξύ τους σ σχέση μ την πορία του πλοίου; Ποια σημαντική ιδιότητα πρέπι να έχουν τα σημία της πορίας αυτής; Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος λέγται η υθία που ίναι κάθτη προς αυτό και διέρχται από το μέσον του. Κάθ σημίο της μσοκαθέτου νός υθυγράμμου τμήματος έχι ίσς αποστάσις (ισαπέχι) από τα άκρα του. 43 / 206

46 Κάθ σημίο που ισαπέχι από τα άκρα νός υθυγράμμου τμήματος βρίσκται πάνω στη μσοκάθτό του. Η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος ίναι άξονας συμμτρίας του. Κατά τον Ευκλίδη οι Κατασκυές, στηρίζονται σ τρις κανόνς ( αιτήματα ) πό δύο σημία να διέρχται μία μόνο υθία. Ένα υθύγραμμο τμήμα προκτίνται απριόριστα κύκλος ορίζται μ ένα σημίο (κέντρο) και ένα υθύγραμμο τμήμα (ακτίνα) Μ βάση τους παραπάνω κανόνς («αιτήματα») μπορούν να γίνουν οι κατασκυές όλων των γωμτρικών σχημάτων μ την χρήση «του κανόνα και του διαβήτη». («Κανόνας» ίναι ένας χάρακας χωρίς υποδιαιρέσις για να χαράζουμ υθίς και όχι για να κάνουμ μτρήσις μηκών). ι κατασκυές αυτές απαιτούν μγαλύτρη πιδξιότητα και γνώση, δίνουν όμως ακριβέστρα αποτλέσματα και βοηθούν να αποφύγονται λάθη, που οφίλονται σ ατέλις των οργάνων που χρησιμοποιούμ στην πράξη. 44 / 206

47 ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να σχδιαστί η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος, μ τη βοήθια του υποδκάμτρου και του γνώμονα. Λύση Προσδιορίζουμ το μέσον Μ του υθυγράμμου τμήματος μ το υποδκάμτρο και στη συνέχια μ το γνώμονα σχδιάζουμ την υθία, που διέρχται από το Μ και ίναι κάθτη στο. 1 2 Μ Μ 1,5 3 4 Μ Μ 2. Να σχδιαστί η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος, χωρίς τη βοήθια του υποδκάμτρου και του γνώμονα, άλλα μονό μ τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη. 45 / 207

48 Λύση νωρίζουμ ότι η μσοκάθτος, όπως κάθ υθία, ορίζται από δύο σημία και ότι κάθ σημίο της μσοκαθέτου νός υθυγράμμου τμήματος ισαπέχι από τα άκρα του. ια να σχδιάσουμ τη μσοκάθτο του υθυγράμμου τμήματος πρέπι να βρούμ δύο σημία που να ισαπέχουν από τα και. ράφουμ, λοιπόν, δύο ίσους κύκλους μ κέντρα τα άκρα και του υθυγράμμου τμήματος και μ ακτίνα ρ (μγαλύτρη από το μισό μήκος του, για να τέμνονται). Τα σημία και Δ, στα οποία τέμνονται οι δύο κύκλοι ορίζουν την υθία που ίναι μσοκάθτος του υθυγράμμου τμήματος, διότι δύο σημία της, τα και Δ, απέχουν ξίσου από τα άκρα και, αφού ίναι = = ρ και Δ = Δ = ρ ρ ρ ρ ρ Μ Μ την κατασκυή της μσοκαθέτου του υθυγράμμου τμήματος, βρήκαμ μ ακρίβια και το μέσο Μ, χωρίς να χρησιμοποιήσουμ υποδκάμτρο. 46 / 207

49 3. Να κατασκυαστί υθία δ κάθτη σ υθία στο σημίο της. Λύση ράφουμ κύκλο μ κέντρο το και τυχαία ακτίνα, που τέμνι την σ δύο σημία και Δ. Επιδή το ίναι μέσο του Δ, αρκί να φέρουμ τη μσοκάθτο του Δ που διέρχται από το μέσο του και ίναι κάθτη στην. 1 2 Ε Ζ δ Ε 3 Ζ 4 δ 4. Να κατασκυαστί η κάθτη δ μιας υθίας από σημίο κτός αυτής. Λύση ράφουμ κύκλο μ κέντρο το και ακτίνα τέτοια ώστ να τέμνι την σ δύο σημία και Δ. Επιδή το ισαπέχι από τα και Δ, θα ίναι σημίο της μσοκαθέτου του τμήματος Δ. Επομένως, αρκί να φέρουμ, μ τον τρόπο που μάθαμ στην φαρμογή 2, τη μσοκάθτο του Δ που διέρχται από το. 47 / 208

50 1 2 3 δ 4 δ 5. Να κατασκυαστί ένα ισόπλυρο τρίγωνο πλυράς α. Λύση ράφουμ ένα υθύγραμμο τμήμα = α. Μ κέντρα τα άκρα και και ακτίνα ίση μ α γράφουμ δύο κύκλους. Έστω το ένα σημίο από τα δύο που τέμνονται οι κύκλοι αυτοί. Το τρίγωνο α α ίναι το ζητούμνο ισόπλυρο, α διότι έχι όλς τις πλυρές του ίσς μ α, ως ακτίνς ίσων κύκλων ακτίνας α. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Συμπλήρωσ τα παρακάτω κνά: (α) Κάθ σημίο που ισαπέχι από τα άκρα υθυγράμμου τμήματος βρίσκται πάνω στη 48 /

51 (β) Μ την κατασκυή της μσοκαθέτου του υθυγράμμου τμήματος, βρήκαμ μ ακρίβια και το του, χωρίς να χρησιμοποιήσουμ υποδκάμτρο. (γ) ύο σημία Μ και Μ ίναι συμμτρικά ως προς υθία, όταν η ίναι του τμήματος ΜΜ. 2. Να χαράξις ένα υθύγραμμο τμήμα και μ τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη να το χωρίσις σ δυο ίσα τμήματα και στη συνέχια σ τέσσρα ίσα τμήματα. 3. Σχδίασ έναν κύκλο και μια ακτίνα του Κ. ρς δυο σημία του κύκλου, που το καθένα να ισαπέχι από τα Κ και. 4. Στο παρακάτω σχήμα η καμπύλη γραμμή γ παριστά τμήμα της διαδρομής του αστικού λωφορίου. ι κάτοικοι των οικισμών και αποφάσισαν να κατασκυάσουν μια στάση, που να απέχι ξίσου από τους δύο οικισμούς. ρς το κατάλληλο σημίο της διαδρομής και δικαιολόγησ τη λύση που θα δώσις. 5. Να βρις το σημίο της όχθης νός ποταμού το οποίο ισαπέχι από δύο χωριά και. 6. Σχδίασ ένα τρίγωνο και βρς μ ακρίβια τα μέσα των πλυρών του. 7. Σχδίασ έναν κύκλο μ κέντρο Κ και μια χορδή του. Να κατασκυάσις τη μσοκάθτο της χορδής 49 / 209 γ

52 και να ονομάσις Μ και Ν τα σημία στα οποία τέμνι τον κύκλο. (α) Σύγκριν τις χορδές Μ και Μ και δικαιολόγησ το αποτέλσμα της σύγκρισης, (β) κάν το ίδιο και για τις χορδές Ν και Ν, (γ) βρς άν το κέντρο Κ του κύκλου ίναι σημίο της μσοκαθέτου και δικαιολόγησ την απάντησή σου. 8. Σχδίασ τις μσοκάθτς τριών χορδών νός κύκλου και ξέτασ αν υπάρχι σημίο στο σχήμα σου, από το οποίο να διέρχονται και οι τρις μσοκάθτς. 9. Στο διπλανό σχήμα βρς κίνο το σημίο της, που να ισαπέχι από τα σημία και. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤΕΣ Ι Τ ΣΠΙΤΙ 1. Σχδίασ έναν κύκλο μ ένα νόμισμα. Πώς μπορίς να βρις το κέντρο του; 2. Τρις οικογένις κατασκήνωσαν σ ένα κάμπινγκ και τοποθέτησαν τις σκηνές τους Σ 1, Σ 2 και Σ 3 έτσι ώστ: Σ 1 Σ 2 = 3,8 m, Σ 1 Σ 3 = 2 m και Σ 2 Σ 3 = 3,5 m. Να σχδιάσις τη διάταξη των σκηνών σ σχέδιο μ κλίμακα 1:100 και να βρις το σημίο Ν, που πρέπι να τοποθτηθί ένα ντους, ώστ και οι τρις σκηνές να απέχουν ξίσου απ αυτό. Υπάρχουν πολλές τέτοις θέσις; Να δικαιολογήσις την απάντησή σου. 50 / 209

53 .2.4. Συμμτρία ως προς σημίο ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ ν πριστραφί το σχήμα, γύρω από το σημίο κατά 180 ο,παίρνι μια νέα θέση την. A O Τι συμπραίνις για τα σχήματα και ; Σκφτόμαστ Παρατηρούμ ότι όταν ολοκληρωθί η στροφή αυτή, κάθ σημίο του συμπίπτι μ ένα σημίο του. ια παράδιγμα, θα συμπέσουν τα σημία και. Τα σημία αυτά λέγονται συμμτρικά, ως προς κέντρο. ηλαδή: Συμμτρικό σημίου ως προς κέντρο, ίναι το σημίο, μ το οποίο το, αν πριστραφί πρί το κατά 180 ο. Ισχύι ότι: ύο σημία Μ και Μ ίναι συμμτρικά ως προς σημίο, όταν το ίναι μέσο του τμήματος ΜΜ. ύο σχήματα λέγονται συμμτρικά ως προς σημίο, όταν κάθ σημίο του νός ίναι συμμτρικό νός σημίου του άλλου ως προς το. Μ Τα συμμτρικά ως προς Μ σημίο σχήματα ίναι ίσα. 51 / 210

54 ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να βρθί το συμμτρικό του σημίου, ως προς σημίο. Λύση ια να κατασκυάσουμ το συμμτρικό νός σημίου ως προς σημίο, φέρνουμ το υθύγραμμο τμήμα και στην προέκτασή του (μ το υποδκάμτρο ή μ το διαβήτη) παίρνουμ ίσο τμήμα, όπως δίχνουν οι παρακάτω ικόνς Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός υθυγράμμου τμήματος ως προς σημίο. Λύση Το συμμτρικό νός υθυγράμμου τμήματος ως προς σημίο, ίναι υθύγραμμο τμήμα. ια να το κατασκυάσουμ αρκί να βρούμ τα σημία και, που ίναι τα συμμτρικά των και ως προς. Παρατηρούμ ότι ίναι: = και //. 52 / 210

55 3. Να κατασκυαστί το συμμτρικό ως προς σημίο : (α) μιας υθίας και (β) μιας ημιυθίας x. Λύση Παίρνουμ δύο σημία και πάνω στην υθία ή την ημιυθία χ και βρίσκουμ, όπως παραπάνω, τα συμμτρικά ως προς το. Η προέκταση του υθύγραμμου τμήματος ίναι η ή η x, που ίναι συμμτρική της υθίας ή της ημιυθίας x αντίστοιχα. (α) // (β) x x 1 2 x 4. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σχήμα μιας γωνίας xy ως προς σημίο. Λύση ρίσκουμ το συμμτρικό της κορυφής και τις συμμτρικές ημιυθίς x και y των δύο πλυρών της x και y 53 / 211 x y A y x

56 αντίστοιχα ως προς το, όπως μάθαμ προηγουμένως. Τότ, η γωνία x y ίναι συμμτρική της xy και ίναι ίση μ αυτή. 5. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς σημίο, το οποίο (α) ίναι κτός τριγώνου, (β) βρίσκται ντός του τριγώνου και (γ) ίναι μία κορυφή του. Λύση Και στις τρις πριπτώσις, βρίσκουμ τα συμμτρικά,,, ως προς το, των κορυφών,, του τριγώνου. Τότ το τρίγωνο έχι συμμτρικό το τρίγωνο, που ίναι ίσο μ το. (α) (β) (γ) 6. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σχήμα νός κύκλου (Κ, ρ) ως προς σημίο. Λύση ρίσκουμ το συμμτρικό ως ρ Κ Κ προς το του κέντρου Κ και ρ νός σημίου του κύκλου, που ίναι τα σημία Κ και αντίστοιχα. ράφουμ τον κύκλο (Κ, ρ = Κ ) που ίναι ο ζητούμνος. ι δύο κύκλοι ίναι ίσοι διότι έχουν ίσς ακτίνς. 54 / 211

57 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Να κατασκυάσις τα συμμτρικά, Μ και των, Μ και αντίστοιχα ως προς το και να δικαιολογήσις ότι το Μ ίναι μέσο του. (Το Μ ίναι το μέσο της ). Μ 2. Να σχδιάσις τρίγωνο και το συμμτρικό της κορυφής του ως προς το μέσον της πλυράς. Πώς μπορίς να χαρακτηρίσις το ττράπλυρο ; 55 / 211

58 .2.5. Κέντρο συμμτρίας ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ ρς ένα σημίο, σ κάθ ένα από τα παρακάτω σχήματα, γύρω από το οποίο προσπάθησ να πριστρέψις το σχήμα αυτό κατά 180 ο και να παρατηρήσις άν συμπίπτι ή όχι μ τον αυτό του, μτά την ολοκλήρωση της πριστροφής αυτής. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Κέντρο συμμτρίας σχήματος ονομάζται ένα σημίο του, γύρω από το οποίο αν πριστραφί το σχήμα κατά 180 ο, συμπίπτι μ το αρχικό. Στην πρίπτωση που υπάρχι τέτοιο σημίο, λέμ ότι το σχήμα έχι κέντρο συμμτρίας το σημίο. 56 / 212

59 Όταν ένα σχήμα έχι κέντρο συμμτρίας, το συμμτρικό του ως προς το κέντρο αυτό ίναι το ίδιο το σχήμα. ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Το συμμτρικό παραλληλογράμμου, ως προς κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του, ίναι το ίδιο το παραλληλόγραμμο. Λύση Παρατηρούμ, ότι ένα σημίο Ε του παραλληλογράμμου, μ στροφή κατά 180 ο γύρω από το, θα συμπέσι μ ένα άλλο σημίο Ε του ίδιου του παραλληλογράμμου. υτό συμβαίνι για όλα τα σημία του Δ, πομένως το συμμτρικό του ως προς το ίναι πάλι το ίδιο το παραλληλόγραμμο Δ. 2. Ποιο ίναι το κέντρο συμμτρίας νός κύκλου; Λύση Μ στροφή κατά 180 ο γύρω από το κέντρο του κύκλου, διαπιστώνουμ ότι αυτός συμπίπτι μ τον αυτό του. Επομένως: Το κέντρο του κύκλου ίναι κέντρο συμμτρίας του καθώς και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. 57 /

60 3. Να αποδιχθί ότι το συμμτρικό σχήμα μιας υθίας, ως προς κέντρο, ίναι υθία //. Λύση Φέρνουμ την απόσταση του από την. Έστω ένα άλλο σημίο της. ρίσκουμ τα συμμτρικά και των σημίων και ως προς το και ονομάζουμ την υθία που διέρχται από τα και. Η υθία ίναι συμμτρική της ως προς κέντρο συμμτρίας το. Η γωνία θα ίναι συμμτρική της γωνίας. Επιδή οι συμμτρικές γωνίς ίναι ίσς, θα ίναι: = = 90 ο. Άρα, οι υθίς και ίναι κάθτς στην ίδια υθία, συνπώς μταξύ τους παράλληλς. ι συμμτρικές ως προς σημίο υθίς, ίναι μταξύ τους παράλληλς. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. φού γράψις τα κφαλαία γράμματα του αλφαβήτου, ξέτασ αν έχουν κέντρο συμμτρίας. 2. Να βρις στα παρακάτω σχήματα το κέντρο συμμτρίας, αν υπάρχι. 58 / 213

61 3. Τοποθέτησ ένα Χ στις κατάλληλς θέσις, για τη θτική σου απάντηση. Άξονς συμμτρίας Κανένα Ένα ύο Τρις Τέσσρις Πρισσότρους Έχι Κέντρο Συμμτρίας Ευθύγραμμο τμήμα Ισοσκλές τρίγωνο Ισόπλυρο τρίγωνο Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Κύκλος 59 / 213

62 .2.6. Παράλληλς υθίς που τέμνονται από μια άλλη υθία ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Στη διπλανή ικόνα βλέπουμ ένα δημόσιο δρόμο να διασχίζι δύο αγροκτήματα. ι παράλληλς υθίς 1, και 2 ορίζουν τα όρια του δρόμου αυτού και χωρίζουν τη γη σ τρις ζώνς. ώσ μια συγκκριμένη κοινή ονομασία για όλα τα σημία που βρίσκονται στην άσφαλτο του δρόμου, δηλαδή στη ζώνη ανάμσα στις υθίς 1, και 2, καθώς και μία άλλη κοινή ονομασία γιά όλα τα σημία που βρίσκονται έξω απ αυτή, δηλαδή στα χωράφια. Στην ίδια ικόνα υπάρχι ένας χωματόδρομος που χωρίζι τα δύο αγροκτήματα και ορίζι μια υθία δ που ίναι το σύνορο μταξύ τους. Πώς μπορίς να δώσις μια κοινή ονομασία σ όλα τα σημία που ανήκουν στο ίδιο και μόνο αγρόκτημα; 1 2 πί τα αυτά δ πί τα αυτά 60 / 214

63 1 φ ω 4 Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ 1 3 φ 2 ω 4 ω φ δ 1 ω 2 3 φ 3, 4, 1, 2 ίναι ντός και 1, 2, 3, 4 ίναι κτός ι γωνίς που βρίσκονται ανάμσα στις υθίς 1, και 2 ονομάζονται «ντός» (των υθιών) και όλς οι άλλς «κτός». ι γωνίς που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της υθίας δ ονομάζονται πί τα αυτά (μέρη της υθίας) 2, 3, 2, 3 ίναι πί τα αυτά και 1, 4, 1, 4 ίναι πί τα αυτά ύο γωνίς που βρίσκονται η μία στο ένα κι η άλλη στο άλλο ημιπίπδο της υθίας δ, λέγονται μταξύ τους ναλλάξ. π.χ. η 4 μ τη 2 ίναι ναλλάξ αλλά και η 2 μ τη 1 ίναι ναλλάξ κ.ο.κ. πό τον συνδυασμό των παραπάνω προκύπτι ότι θα έχουμ τις παρακάτω έξι ονομασίς για τα 16 διαφορτικά ζυγάρια των γωνιών. (α) ντός ναλλάξ και (β) κτός ναλλάξ (γ) ντός και πί τα αυτά και (δ) κτός και πί τα αυτά () ντός-κτός ναλλάξ και (στ) ντός-κτός πί τα αυτά. 61 / 214

64 ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να συγκριθούν μταξύ τους οι γωνίς, που σχηματίζονται στα σημία και, στα οποία τέμνι μια υθία δ δύο παράλληλς υθίς 1 και 2 αντίστοιχα. Λύση φ δ ω Μπορούμ να διαπιστώσουμ (μτρώντας μ το μοιρογνωμόνιο) ότι οι γωνίς που σχηματίζονται και στα δύο σημία τομής και, ίναι δύο ιδών: ω 4 ι οξίς γωνίς ω, που ίναι μταξύ τους ίσς και ι αμβλίς γωνίς φ, που ίναι κι αυτές μταξύ τους ίσς. Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς οξίς και ίσς μταξύ τους ίναι: 1 2 πό τις ντός ναλλάξ : 4 = 2 φ 1 3 φ 2 ω 4 ω φ πό τις κτός ναλλάξ : 2 = 4 πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : 2 = 2 και 4 = / 215

65 Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς αμβλίς και ίσς μταξύ τους ίναι: πό τις ντός ναλλάξ : 3 = 1 πό τις κτός ναλλάξ : 1 = 3 πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : 1 = 1 και 3 = 3 Επιδή όμως οι γωνίς 1 και 2 ίναι παραπληρωματικές, θα ισχύι γνικά: ω + φ = 180 ο. πότ συμπραίνουμ ότι τα υπόλοιπα ζυγάρια των γωνιών ίναι ζυγάρια παραπληρωματικών γωνιών, τα οποία και ίναι τα ξής: ι ντός πί τα αυτά : = 180 ο και = 180 ο ι κτός πί τα αυτά : = 180 ο και = 180 ο ι ντός- κτός ναλλάξ : = 180 ο και = 180 ο = 180 ο και = 180 ο και 63 / 215

66 2. Στο παρακάτω σχήμα ίναι 1 // 2. Να υπολογίστ όλς τις γωνίς, που ίναι σημιωμένς, αν ίναι α = 40 ο. 1 2 Λύση ι γωνίς α και γ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: α = γ = 40 ο ι γωνίς α και γ ίναι παραπληρωματικές, άρα θα ίναι: α + β = 180 ο από τη σχέση αυτή συμπραίνουμ ότι: β = 180 ο α = 180 ο 40 ο = 140 ο. ι γωνίς β και δ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: β = δ = 140 ο λλά πιδή 1 // 2 και η 3 τέμνουσα των δύο παραλλήλων υθιών θα ίναι: = α, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα = 40 ο. ζ + α = 180 ο ως ντός πί τα αυτά, άρα ζ = 180 ο α = 180 ο 40 ο = 140 ο. β α γ δ η = α, ως ντός ναλλάξ, πομένως: η = 40 ο και θ = δ, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα: θ = 140 ο. ζ η θ 3 64 / 216

67 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Σχδίασ δυο παράλληλς υθίς 1 και 2, οι οποίς να απέχουν 4 cm. Φέρ μία υθία που να σχηματίζι μ την 1 γωνία 12 ο και υπολόγισ τις υπόλοιπς γωνίς. 2. Στο παρακάτω σχήμα ίναι 1 // 2 και 3 // 4. Να υπολογίσις τις σημιωμένς γωνίς του σχήματος, αν ίναι α = β = 70 ο. ζ α 1 β γ δ Να σχηματίσις μια γωνία xay = 63 ο. Να πάρις ένα σημίο της πλυράς x, ώστ να ίναι = 5 cm και ένα σημίο της y, ώστ να ίναι = 2,9 cm. Να φέρις από το την παράλληλη προς την y και από το την παράλληλη προς την x. Να ονομάσις το σημίο τομής των παράλληλων αυτών. Να υπολογίσις τις γωνίς του ττραπλύρου. 4. Στο διπλανό σχήμα οι υθίς 1 και 2 ίναι 1 παράλληλς και η ημιυθία δ 2 ίναι διχοτόμος της γωνίας. Να υπολογίσις τις γωνίς α, β και γ 2 του σχήματος. 65 / φ φ δ δ 1 2 β γ α

68 5. Στο διπλανό σχήμα ίναι 1 // 2 και 3 // 4. Να υπολογίσις τις γωνίς α και β φ α β Στο ττράπλυρο του παρακάτω σχήματος ίναι: // και //. Να υπολογίσις όλς τις σημιωμένς γωνίς. γ α 30 ω φ 105 θ 66 / 216

69 Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια ΜΕΡΣ 3ο Κ Ε Φ Λ Ι ΠΛΤΩΝ ΘΗΝΙΣ ( π.χ.)

70 3.1 Στοιχία τριγώνου Είδη τριγώνων νωρίζω τα στοιχία του τριγώνου νωρίζω τα ίδη των τριγώνων 3.2 Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητς ισοσκλούς τριγώνου νωρίζω ότι το άθροισμα των γωνιών νός τριγώνου ίναι 180 ο νωρίζω τις ιδιότητς του ισοσκλούς τριγώνου και του ισοπλύρου τριγώνου 3.3 Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Τραπέζιο Ισοσκλές τραπέζιο νωρίζω ποιο ττράπλυρο ονομάζται παραλληλόγραμμο, ποιο ορθογώνιο, ποιο ρόμβος, ποιο ττράγωνο και ποιο τραπέζιο Χαράσσω τα ύψη του παραλληλογράμμου και του τραπζίου 3.4 Ιδιότητς Παραλληλογράμμου ρθογωνίου Ρόμβου Ττράγωνου Τραπζίου Ισοσκλούς τραπζίου νωρίζω τις ιδιότητς του παραλληλογράμμου, του ορθογωνίου, του ρόμβου και του ισοσκλούς τραπζίου 68 / 217

71 .3.1. Στοιχία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Κύρια στοιχία τριγώνου Κάθ τρίγωνο έχι τρις κορυφές,,, τρις πλυρές,, και τρις γωνίς,,. κορυφή πλυρά πλυρά κορυφή πλυρά κορυφή Τα,,, κτός από τις πλυρές, συμβολίζουν και τα μήκη των αντίστοιχων υθυγράμμων τμημάτων. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Παρακάτω βλέπουμ την κατάταξη των τριγώνων μ βάση δύο συγκκριμένα κριτήρια. Μπορίς να κφράσις μ λόγια τα κριτήρια μ τα οποία έγιν αυτή η κατάταξη; Σκφτόμαστ Μ βάση το 1ο κριτήριο διακρίνουμ τρις πριπτώσις: 69 / 218

72 Πλυρές κάθτς Μία γωνία ορθή Μία γωνία μγαλύτρη της ορθής Όχι κάθτς πλυρές Όλς οι γωνίς μικρότρς της ορθής ρθογώνιο μβλυγώνιο ξυγώνιο Μ βάση το 2ο κριτήριο διακρίνουμ τρις πριπτώσις: Ισότητα πλυρών Τρις πλυρές ύο πλυρές ίσς ίσς νισότητα πλυρών Όλς οι πλυρές άνισς Ισόπλυρο Ισοσκλές Σκαληνό υτρύοντα στοιχία τριγώνου Το υθύγραμμο τμήμα που νώνι την κορυφή νός τριγώνου μ το μέσο της απέναντι πλυράς, λέγται διάμσος. 70 / Μ

73 Το υθύγραμμο τμήμα που φέρνουμ από μία κορυφή νός τριγώνου κάθτο στην υθία της απέναντι πλυράς, λέγται ύψος του τριγώνου. Το υθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας νός τριγώνου που φέρνουμ από μια κορυφή και καταλήγι στην απέναντι πλυρά, λέγται διχοτόμος του τριγώνου. ΠΡ ΕΙΜ - ΕΦΡΜΗ ω ω Να σχδιαστούν τα ύψη σ τρίγωνο που ίναι: (α) οξυγώνιο, (β) αμβλυγώνιο και (γ) ορθογώνιο. Λύση πό την κορυφή π.χ. την του τριγώνου φέρνουμ την κάθτο στην απέναντι πλυρά του. Τότ η απόσταση του από την πλυρά ίναι το ύψος του τριγώνου. υτήν τη διαδικασία την παναλαμβάνουμ και από τις άλλς δύο κορυφές του τριγώνου για να βρούμ και τα τρία ύψη του, τα οποία παρατηρούμ ότι διέρχονται από το ίδιο σημίο Η, που λέγται ορθόκντρο. (α) 1 2 Ε 3 Ζ 4 Ζ Ε Η B B B B 71 / 219

74 (β) 1 2 Ζ 3 Ε Ζ 4 Η Ε Ζ (γ) ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος. (α) Κάθ ορθογώνιο τρίγωνο έχι μια ορθή γωνία. (β) Το αμβλυγώνιο τρίγωνο έχι δύο αμβλίς γωνίς. (γ) Το ισόπλυρο τρίγωνο έχι όλς τις πλυρές του ίσς. (δ) Το ισοσκλές τρίγωνο μπορί να ίναι και αμβλυγώνιο. () Το ορθογώνιο τρίγωνο μπορί να ίναι και ισόπλυρο. (στ) Το ορθογώνιο τρίγωνο μπορί να ίναι και ισοσκλές. (ζ) Το ισόπλυρο τρίγωνο ίναι πάντα οξυγώνιο. (η) Ένα σκαληνό τρίγωνο δν μπορί να ίναι ορθογώνιο. 72 /

75 2. Σ ένα τρίγωνο, μ πλυρά = 4,4 cm, φέρ τη διάμσο Μ. Μτά φέρ τις διάμσους Κ και Λ των τριγώνων Μ και Μ και βρς το μήκος των ΚΜ και. 3. Σχδίασ ένα ισόπλυρο τρίγωνο και τις διάμσους του, Ε και Ζ. ικαιολόγησ γιατί οι διάμσοι του ισόπλυρου ίναι διχοτόμοι και ύψη του. 4. Σχδίασ ένα τρίγωνο. (α) ρς το μέσο της πλυράς, το μέσο Ε της πλυράς και το μέσο Ζ της πλυράς. (β) Σχδίασ τη διάμσο Ε του τριγώνου που τέμνι τη Ζ στο σημίο Μ. Σύγκριν μ το διαβήτη τα τμήματα Μ και ΜΖ. Τι παρατηρίς; 5. ίνται τρίγωνο. (α) Φέρ τις διάμσους Μ και Ν και ονόμασ μ το γράμμα Θ το σημίο στο οποίο τέμνονται, (β) Μτά σχδίασ την υθία Θ και ονόμασ μ το γράμμα Ρ το σημίο στο οποίο η υθία Θ τέμνι την πλυρά. (γ) Σύγκριν μ το διαβήτη τα υθύγραμμα τμήματα Ρ και Ρ. Τι παρατηρίς; 6. Σχδίασ ένα τρίγωνο, πάρ το μέσο Μ της πλυράς και χάραξ από το σημίο Μ μια υθία παράλληλη προς την πλυρά του τριγώνου. ν το σημίο στο οποίο τέμνι την πλυρά το ονομάσις Ν, να συγκρίνις μ το διαβήτη τα τμήματα Ν και N. Τι παρατηρίς; 73 / 220

76 ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Ι Τ ΣΠΙΤΙ Να συμπληρώσις τον παρακάτω πίνακα μ τα σχήματα των αντίστοιχων τριγώνων. ΤΡΙΩΝ ξυγώνιο ρθογώνιο μβλυγώνιο Σκαληνό Ισοσκλές Ισόπλυρο 74 / 220

77 .3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητς ισοσκλούς τριγώνου ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Σχδίασ διάφορα τυχαία ορθογώνια, αμβλυγώνια και οξυγώνια τρίγωνα, όπως π.χ. αυτά που φαίνονται πιο κάτω. Μέτρησ τις γωνίς τους μ το μοιρογνωμόνιο και υπολόγισ το άθροισμά τους. Μπορίς να διατυπώσις κάποιο συμπέρασμα; ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 2η Προσπάθησ να διαπιστώσις ποια διάμσος νός ισοσκλούς τριγώνου ίναι άξονας συμμτρίας του και γιατί. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 3η Προσπάθησ να διρυνήσις πόσους άξονς συμμτρίας έχι ένα ισόπλυρο τρίγωνο και γιατί. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Σ κάθ τρίγωνο ισχύι: + + = 180 ο 75 / 221

78 Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο ισχύι ότι: Η υθία της διαμέσου, που αντιστοιχί στη βάση ίναι άξονας συμμτρίας του ισοσκλούς τριγώνου. Η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση ίναι ύψος και διχοτόμος. B ι προσκίμνς γωνίς στη βάση του ισοσκλούς ίναι ίσς. βάση Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο ισχύι ότι: ι υθίς των διαμέσων ίναι άξονς συμμτρίας του ισοπλύρου τριγώνου. Κάθ διάμσος ίναι ύψος και διχοτόμος. Όλς οι πλυρές και όλς οι γωνίς του ισοπλύρου τριγώνου ίναι ίσς. ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να δικαιολογηθί μ λογικά πιχιρήματα ότι το άθροισμα των τριών γωνιών κάθ τριγώνου ίναι Λύση Σχδιάζουμ το τρίγωνο και μία υθία xy, που διέρχται από το και ίναι παράλληλη προς B την υθία. 76 / x ω ω θ A θ y

79 Παρατηρούμ ότι: xb = ω = γιατί ίναι γωνίς ντός ναλλάξ, των παράλληλων υθιών xy και, που τέμνονται από την. ya = θ = γιατί ίναι γωνίς ντός ναλλάξ των παράλληλων υθιών xy και, που τέμνονται από την. ι γωνίς ω, και θ σχηματίζουν μια υθία γωνία. Επομένως θα ίναι: ω + + θ = 180 ο. Επιδή όμως ίναι: ω = και θ = θα έχουμ: + + = 180 ο. 2. Σ κάθ ορθογώνιο τρίγωνο οι οξίς γωνίς ίναι συμπληρωματικές. Λύση Σχδιάζουμ το ορθογώνιο τρίγωνο μ = 90 ο. Επιδή ίναι: + + = 180 ο θα έχουμ: + = 180 ο 90 ο = 90 ο νωρίζουμ, ότι δύο γωνίς που έχουν άθροισμα 90 ο λέγονται συμπληρωματικές. Άρα, σ κάθ ορθογώνιο τρίγωνο οι οξίς γωνίς του ίναι συμπληρωματικές. 3. Το άθροισμα δύο γωνιών νός τριγώνου ισούται μ την ξωτρική της τρίτης γωνίας. (Στο τρίγωνο η 77 / 222

80 γωνία x, που σχηματίζται από την και την προέκταση της προς το μέρος του, ονομάζται ξωτρική γωνία της ). Λύση Η ξωτρική γωνία φ ίναι παραπληρωματική της σωτρικής γωνίας του τριγώνου, δηλαδή θα ίναι φ = 180 ο. φ Επιδή σ κάθ τρίγωνο ίναι + + = 180 ο, άρα + = 180 ο δηλαδή + = φ Άρα, η ξωτρική γωνία ισούται μ το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. 4. ι γωνίς νός ισόπλυρου τριγώνου ίναι όλς ίσς μ 60 ο. Λύση νωρίζουμ ότι στο ισόπλυρο τρίγωνο ίναι: = =. Επιδή σ κάθ τρίγωνο ίναι + + = 180 ο, θα ίναι + + = 180 ο, άρα 3 = 180 ο, 60 ο 2 60 ο 60 ο συνπώς: = 180 ο : 3 = 60 ο. Άρα, όλς οι γωνίς του ισόπλυρου τριγώνου ίναι ίσς μ 60 ο. 5. Να υπολογιστούν οι γωνίς νός ορθογωνίου και ισοσκλούς τριγώνου. 78 / ο 45 ο

81 Λύση Σ κάθ τρίγωνο ισχύι + + = 180 ο. Επιδή στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία ίναι ορθή, δηλαδή = 90 ο, θα ίναι: + = 90 ο. Επιδή το τρίγωνο ίναι και ισοσκλές θα ίναι = άρα θα ίναι, + = 90 ο, από την οποία προκύπτι ότι: 2 = 90 ο δηλαδή θα έχουμ = 90 ο : 2 = 45 ο και πομένως και = 45 ο. 6. Να βρθούν τα μέτρα των γωνιών νός ισοσκλούς τριγώνου, αν ίναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του ίναι 40 ο. Λύση Έστω ένα ισοσκλές τρίγωνο μ =. Τότ θα ίναι =. Επιδή ίναι + + = 180 ο, διακρίνουμ τις ξής δύο πριπτώσις: 40 ο (α) ν ίναι = 40 ο. Συνπώς θα ίναι 40 ο + + = 180 ο, πομένως + = 180 ο 40 ο. Επομένως θα ίναι: + = 140 ο, από την οποία προκύπτι ότι: 2 = 140 ο, δηλαδή = 140 ο : 2 = 70 ο άρα και = 70 ο. 79 / 223

82 (β) ν ίναι = = 40 ο. Θα ίναι + 40 ο + 40 ο = 180 ο, δηλαδή + 80 ο = 180 ο, συνπώς 40 ο 40 ο θα έχουμ: = 180 ο 80 ο = 100 ο. Παρατηρούμ ότι μ τα ίδια ακριβώς δδομένα προκύπτουν δύο τλίως διαφορτικά ισοσκλή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δδομένα. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος. (α) ι προσκίμνς γωνίς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου ίναι ίσς. (β) Σ κάθ τρίγωνο ισχύι: + + = 90 ο. (γ) Κάθ ισόπλυρο τρίγωνο έχι όλς τις γωνίς ίσς μ 30 ο. (δ) Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η υθία μιας διαμέσου ίναι άξονας συμμτρίας. () Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση, ίναι και διχοτόμος. (στ) Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο οι υθίς των πλυρών ίναι άξονς συμμτρίας. (ζ) Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο οι υθίς των υψών ίναι άξονς συμμτρίας. 80 /

83 (η) Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο κάθ διάμσος ίναι και ύψος. (θ) Σ κάθ ορθογώνιο και ισοσκλές τρίγωνο οι προσκίμνς γωνίς στη βάση ίναι 60 ο. 2. Σχδίασ ένα τρίγωνο ώστ να ίναι = 75 ο και = 35 ο και υπολόγισ τη γωνία. 3. Σχδίασ ένα ορθογώνιο τρίγωνο, στο οποίο να ίναι = 90 ο, = 60 ο και = 4,2 cm. (α) Υπολόγισ τη γωνία. (β) Μέτρησ την πλυρά και σύγκριν το μήκος της μ το μήκος της πλυράς. δ 1 δ 2 4. Στο διπλανό σχήμα ίναι 48 ο β 1 // 2. Να υπολογίσις γ τις γωνίς α, β, γ και δ. α δ 52 ο Στα παρακάτω σχήματα ίναι 1 // 2. Να υπολογίσις τη γωνία φ. φ 1 35 ο 1 35 ο 72 ο ο φ 2 81 / 224

84 6. Στο διπλανό σχήμα ίναι //. Υπολόγισ τη γωνία ω. 40 ο Ε ω 42 ο 7. Σ ένα ισοσκλές τρίγωνο, η γωνία που ίναι απέναντι από τη βάση ίναι 74 ο. Να υπολογίσις τις υπόλοιπς γωνίς. 8. Σ ένα τρίγωνο ίναι = 36 ο και η γωνία ίναι διπλάσια από τη. Υπολόγισ τις γωνίς και. 9. Σ ένα τρίγωνο η γωνία ίναι διπλάσια από τη και η τριπλάσια από τη. Να υπολογίσις τις γωνίς του τριγώνου. 10. Να σχδιάσις ένα ττράπλυρο, να πάρις ένα σημίο στο σωτρικό του και να φέρις τις,, και. Να υπολογίσις το άθροισμα των γωνιών,, και και στη συνέχια το άθροισμα των γωνιών του. 82 / 224

85 .3.3. Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Τραπέζιο Ισοσκλές τραπέζιο ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Η υπηρσία οδικής ασφάλιας αποφάσισ να βάψι το οδόστρωμα σ όλς τις διασταυρώσις μ έντονο κίτρινο χρώμα. ια να κάνι τους υπολογισμούς της, πρέπι να βρθί το ακριβές σχήμα του οδοστρώματος στο κοινό μέρος δύο δρόμων, σ κάθ διασταύρωση. Μ την προϋπόθση ότι οι δρόμοι που διασταυρώνονται ίναι υθίς, προσπάθησ να βρις όλς τις πριπτώσις των ττραπλύρων που σχηματίζουν οι δρόμοι: (α) όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέμνονται καθέτως. (β) όταν έχουν διαφορτικό πλάτος και τέμνονται καθέτως. (γ) όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέμνονται πλαγίως. (δ)όταν έχουν διαφορτικό πλάτος και τέμνονται πλαγίως. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Παραλληλόγραμμο λέγται το ττράπλυρο Δ που έχι τις απέναντι πλυρές του παράλληλς, δηλαδή // Δ και Δ //. 83 / 225

86 Κάθ πλυρά του παραλληλογράμμου μπορί να ονομαστί βάση του παραλληλογράμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλυρά λέγται ύψος του παραλληλογράμμου. Ε Η Ζ υ 1 ια τις βάσις και Δ ύψος ίναι το ΕΖ, νώ για τις βάσις Δ και ύψος ίναι το ΗΘ. υ 2 Θ Ειδικές πριπτώσις παραλληλογράμμων Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις γωνίς του ορθές λέγται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο. B B Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις πλυρές του ίσς λέγται ρόμβος. Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις γωνίς του ορθές και όλς τις πλυρές του ίσς λέγται ττράγωνο. B 84 /

87 Τραπέζιο Το ττράπλυρο Δ του οποίου μόνο δύο πλυρές ίναι παράλληλς λέγται τραπέζιο. ι παράλληλς πλυρές, ( // ) του τραπζίου λέγονται βάσις του τραπζίου. Η απόσταση των βάσων λέγται ύψος του τραπζίου. Ε B υ Η απόσταση των βάσων και ίναι το ύψος ΕΖ. Ζ ν ένα τραπέζιο έχι τις μη παράλληλς πλυρές του ίσς λέγται ισοσκλές τραπέζιο. Είναι = ΠΡ ΕΙΜΤ - ΕΦΡΜΕΣ 1. Να ξηγήστ γιατί οι πλυρές του ορθογωνίου ίναι και ύψη. Λύση Επιδή όλς οι γωνίς του ορθογωνίου ίναι ορθές, οι διαδοχικές πλυρές του θα ίναι κάθτς μταξύ τους. Επομένως οι πλυρές του ορθογωνίου ίναι και ύψη. 85 /

88 2. Να συγκριθούν τα ύψη του ρόμβου που άγονται από μία κορυφή. Λύση Συγκρίνουμ μ το διαβήτη ή μ διαφανές χαρτί τα ύψη Ε και Ζ του ρόμβου και διαπιστώνουμ ότι ίναι ίσα, δηλαδή: Ε = Ζ. 3. Να σχδιαστούν τα ύψη του παραλληλογράμμου που άγονται από μια κορυφή. Λύση Τα ύψη του παραλληλογράμμου Δ που φέρνουμ από την κορυφή στις πλυρές Δ και ίναι τα Ε και Ζ αντίστοιχα. ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. ράψ Σ μπροστά από κάθ σωστή πρόταση και Λ μπροστά από κάθ λάθος. (α) Ένα ττράγωνο ίναι και ρόμβος. (β) Ένας ρόμβος ίναι ττράγωνο. (γ) Κάθ διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλογράμμου το χωρίζι σ δύο ορθογώνια τρίγωνα. (δ) Κάθ διαγώνιος ρόμβου τον χωρίζι σ δύο ισόπλυρα τρίγωνα. () Κάθ διαγώνιος ισοσκλούς τραπζίου το χωρίζι σ δύο ισοσκλή τρίγωνα. 86 / 227 Ε υ 1 Ε υ 2 Ζ Ζ

89 2. Πόσα ισοσκλή τρίγωνα σχηματίζονται σ ένα ισοσκλές τραπέζιο, που έχι τρις πλυρές ίσς, όταν φέρουμ τις δύο διαγώνις του; ικαιολόγησ την απάντησή σου. 3. Μ τέσσρα σπίρτα (ολόκληρα και ίσα) ποια ττράπλυρα μπορίς να κατασκυάσις; ικαιολόγησ την απάντηση σου. 4. Μ δύο ολόκληρα και δύο μισά σπίρτα μπορίς να κατασκυάσις παραλληλόγραμμα και ποια; ικαιολόγησ την απάντησή σου. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ Ι Τ ΣΠΙΤΙ Προσπάθησ να χωρίσις τα πιο κάτω ττράπλυρα σ ομάδς. ώσ από ένα όνομα στο καθένα. Προσπάθησ να δικαιολογήσις το χωρισμό σ ομάδς που έκανς. 87 /

90 ΙΣΤΡΙΚΗ Ν ΡΜΗ Ευκλίδης στα Στοιχία του προτίνι μια ταξινόμηση ( ιάγραμμα 1), που δν χρησιμοποιί ως κριτήριο την παραλληλία, την οποία ισάγι αργότρα. Τραπέζιο ονομάζι, όχι κίνο που λέμ μίς σήμρα, δηλαδή το ττράπλυρο μ δύο μόνο πλυρές παράλληλς, αλλά οποιοδήποτ ττράπλυρο. Τον όρο τραπέζιο, μ τη σύγχρονη έννοια, τον συναντάμ αργότρα στον ρχιμήδη. Επίσης το ττράπλυρο που ονομάζι ρομβοιδές κφράζι το σημρινό παραλληλόγραμμο. ΤΕΤΡΠΛΕΥΡ ΤΕΤΡΩΝ Ισόπλυρο και ορθογώνιο ΤΡΠΕΖΙ ΕΤΕΡΜΗΚΕΣ ορθογώνιο και όχι ισόπλυρο ΡΜΣ ισόπλυρο και όχι ορθογώνιο ΡΜΕΙ ΕΣ απέναντι πλυρές και απέναντι γωνίς ίσς ιάγραμμα 1 Η Ευκλίδια ταξινόμηση 88 / 228

91 Μια προσπάθια διόρθωσης της Ευκλίδιας ταξινόμησης απαντάται τον 16ο αιώνα στη ωμτρία (1569) του Petrus Ramus ή Pierre de la Ramée. ΤΕΤΡΠΛΕΥΡ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜ ΤΡΠΕΖΙ ΠΛΙ ΠΡΛΛΗΛ- ΡΜΜ ΡΜΣ ΡΜΕΙ ΕΣ ΡΘΩΝΙ ΠΡΛΛΗΛ- ΡΜΜ ΤΕΤΡΩΝ ΕΤΕΡΜΗΚΕΣ ιάγραμμα 2 Η ταξινόμηση του Ramus 89 / 228

92 .3.4. Ιδιότητς Παραλληλογράμμου - ρθογωνίου - Ρόμβου -Ττραγώνου Τραπζίου - Ισοσκλούς τραπζίου ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 1η Προσπάθησ να διαπιστώσις άν το παραλληλόγραμμο κέντρο συμμτρίας. ΡΣΤΗΡΙΤΗΤ 2η Προσπάθησ να βρις τους άξονς συμμτρίας: (α) του ορθογωνίου, (β) του ρόμβου, (γ) του ττραγώνου και (δ) του ισοσκλούς τραπζίου. Θυμόμαστ - Μαθαίνουμ Ιδιότητς του ορθογώνιου και πλάγιου παραλληλογράμμου Σ κάθ παραλληλόγραμμο το σημίο τομής των διαγωνίων του ίναι κέντρο συμμτρίας του. ι διαγώνιές του διχοτομούνται (κάθ μία πρνάι από το μέσον της άλλης). 90 / 229

93 ι απέναντι πλυρές ίναι ίσς. ι απέναντι γωνίς ίναι ίσς. Στο ορθογώνιο: ι μσοκάθτοι των πλυρών του ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνιές του ίναι ίσς και διχοτομούνται. 1 Ιδιότητς του ρόμβου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχι ακόμα και τις ξής: ι υθίς των διαγωνίων ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνις ίναι κάθτς (και διχοτομούνται) ι διαγώνιές του ίναι και διχοτόμοι των γωνιών του. Ιδιότητς του ττραγώνου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχι ακόμα και τις ξής: ι υθίς των διαγωνίων του και οι μσοκάθτοι των πλυρών του ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνιές του ίναι ίσς, κάθτς (και διχοτομούνται) ι διαγώνιές του ίναι και διχοτόμοι των γωνιών του. 91 / ο

94 Ιδιότητς του ισοσκλούς τραπζίου Η υθία που διέρχται από τα μέσα των βάσων ίναι άξονας συμμτρίας και μσοκάθτος στις βάσις του. ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του ίναι ίσς. ΠΡ ΕΙΜ - ΕΦΡΜΗ Ν Μ Να βρθί το κέντρο συμμτρίας: (α) του ρόμβου, (β) του ορθογωνίου και (γ) του ττραγώνου. Λύση (α) Επιδή ο ρόμβος ίναι και παραλληλόγραμμο, το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. (β) Επιδή το ορθογώνιο ίναι και παραλληλόγραμμο, το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. (γ) Επιδή το ττράγωνο ίναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. 92 / 230

95 ΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙ ΠΡΛΗΜΤ 1. Σχδίασ ένα ορθογώνιο, ένα ρόμβο και ένα ττράγωνο μ τις διαγώνιές τους και ξέτασ άν τα τρίγωνα στα οποία χωρίζται το καθένα από τις διαγώνις ίναι ίσα. 2. Σχδίασ ένα ορθογώνιο και μ διάμτρο τη διαγώνιο του γράψ ένα κύκλο. ικαιολόγησ το γγονός ότι ο κύκλος αυτός πρνάι από όλς τις κορυφές του ορθογωνίου. 3. Σ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο φέρ τη διαγώνιο και μτά σύγκριν τις αποστάσις των κορυφών και απ αυτή. 4. Σχδίασ ένα παραλληλόγραμμο και από τις κορυφές του φέρ παράλληλς υθίς προς τις διαγωνίους του. Τι παρατηρίς; 5. Σχδίασ τις διχοτόμους των γωνιών νός πλαγίου παραλληλογράμμου. Τι παρατηρίς για το σχήμα που δημιουργίται απ αυτές, άν προκταθούν; 6. Σχδίασ τις διχοτόμους των γωνιών νός ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Τι παρατηρίς για το σχήμα που δημιουργίται απ αυτές άν προκταθούν; Επίσης, τις διχοτόμους των γωνιών (α) νός ττραγώνου και (β) νός ρόμβου. Τι παρατηρίς; 7. Σχδίασ τα ύψη των τριγώνων και, τα οποία σχηματίζονται, όταν φέρις τη διαγώνιο του τραπζίου. Μέτρησ τα ύψη των δύο αυτών 93 / 231

96 τριγώνων μ το υποδκάμτρο. Τι παρατηρίς; ( ικαιολόγησ την απάντησή σου). 8. Πάνω σ δύο μη αντικίμνς ημιυθίς x και y, πάρ τα σημία και αντίστοιχα έτσι, ώστ =. πό το φέρ y // y και από το την x // x. νόμασ Κ το σημίο τομής των y και x. Φέρ τις διαγώνις του Κ και διαπίστωσ τη σχτική τους θέση. Επίσης, σύγκριν μταξύ τους τις αποστάσις του από τις υθίς y και x και του Κ από τις x και y. 9. Σχδίασ ένα ττράπλυρο έτσι, ώστ ανά δύο οι διαδοχικές πλυρές του να ίναι κάθτς. ν = 3 cm και = 4 cm. Να βρις: (α) το μήκος των και και (β) το μήκος των και, μ τη βοήθια του υποδκάμτρου. Τι παρατηρίς; 94 / 231

97 Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης. Τοποθέτησ ένα x στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση ΝΜΣΙ ΖΕΥΥΣ ΩΝΙΩΝ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΜΕΝΕΣ Π ΕΥΘΕΙ ΕΝΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΙΣΕΣ ΣΧΕΣΗ ΠΡΠΛΗΡΩ- ΜΤΙΚΕΣ. Τοποθέτησ ένα «x» στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση. (Υπάρχουν και πριπτώσις που πρισσότρς από μία απαντήσις ίναι σωστές). 1. Το άθροισμα των γωνιών νός τριγώνου ίναι: 270 ο 180 ο 90 ο 2. Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση, ίναι και: Άξονας συμμτρίας Ύψος ιχοτόμος 3. Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο όλς οι ξωτρικές του γωνίς ίναι ίσς μ: 145 ο 270 ο 120 ο 95 / 232

98 4. Σ κάθ ισοσκλές τραπέζιο ίναι ίσς οι: ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του Όλς οι πλυρές του ι διαγώνιοι του. 5. Σ κάθ ρόμβο οι διαγώνις του ίναι: Άξονς συμμτρίας Κάθτς και διχοτομούνται ιχοτόμοι των γωνιών του. 6. Σ κάθ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άξονς συμμτρίας ίναι: ι διαγώνιές του ι μσοκάθτοι των πλυρών του ι πλυρές του. 7. Σ κάθ ττράγωνο οι υθίς των διαγωνίων του ίναι: ιχοτόμοι των γωνιών του Μσοκάθτοι των πλυρών του Άξονς συμμτρίας. 96 / 232

99 8. Σ κάθ παραλληλόγραμμο ίναι: Κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του. ι διαγώνιές του άξονς συμμτρίας ι διαγώνιές του διχοτομούνται. 97 / 232

100 . Τοποθέτησ ένα «x» στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση. ΕΥΘΥ- ΡΜΜ ΣΧΗΜΤ ΕΥΘΥ- ΡΜΜ ΤΜΗΜ ΩΝΙ ΚΤ- ΚΡΥΦΗΝ ΩΝΙΕΣ ΕΝΤΣ ΕΝΛΛΞ ΩΝΙΕΣ ΤΥΧΙ ΤΡΙΩΝ ΙΣΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΩΝ ΙΣΠΛΕΥΡ ΤΡΙΩΝ ΡΙΘΜΣ ΞΝΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΚΕΝΤΡ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ 98 / 232

101 ΕΥΘΥ- ΡΜΜ ΣΧΗΜΤ ΤΡΠΕΖΙ ΙΣΣΚΕΛΕΣ ΤΡΠΕΖΙ ΤΥΧΙ ΤΕΤΡ- ΠΛΕΥΡ ΠΡΛΛΗ- ΛΡΜΜ ΡΘΩΝΙ ΤΕΤΡΩΝ ΡΜΣ ΡΙΘΜΣ ΞΝΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΚΕΝΤΡ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ 99 / 232

102 ΠΕΡΙΕΧΜΕΝ ΜΕΡΣ B ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ασικές γωμτρικές έννοις (συνέχια από 1ο τόμο) Επίκντρη γωνία Σχέση πίκντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου Θέσις υθίας και κύκλου...11 νακφαλαίωση...16 Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης...25 ΚΕΦΛΙ 2ο Συμμτρία Συμμτρία ως προς άξονα Άξονας συμμτρίας Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος Συμμτρία ως προς σημίο Κέντρο συμμτρίας Παράλληλς υθίς που τέμνονται από μία άλλη υθία...60 ΚΕΦΛΙ 3ο Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια Στοιχία τριγώνου Είδη τριγώνων Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητς ισοσκλούς τριγώνου Παραλληλόγραμμο ρθογώνιο Ρόμβος Ττράγωνο Τραπέζιο Ισοσκλές τραπέζιο Ιδιότητς Παραλληλογράμμου ρθογωνίου Ρόμβου Ττράγωνου Τραπζίου Ισοσκλούς τραπζίου...90 Επαναληπτικές Ερωτήσις υτοαξιολόγησης

103

104 Μ απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του ημοτικού, του υμνασίου και του Λυκίου τυπώνονται από τον ργανισμό Εκδόσως ιδακτικών ιβλίων και διανέμονται δωράν στα ημόσια Σχολία. Τα βιβλία μπορί να διατίθνται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδιξη της γνησιότητάς τους. Κάθ αντίτυπο που διατίθται προς πώληση και δ φέρι βιβλιόσημο, θωρίται κλψίτυπο και ο παραβάτης διώκται σύμφωνα µ τις διατάξις του άρθρου 7, του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦEK 1946, 108, A ). παγορύται η αναπαραγωγή οποιουδήποτ τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σ οποιαδήποτ μορφή, χωρίς τη γραπτή άδια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

105

106

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι

Διαβάστε περισσότερα

φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο

φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο 1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμτρία ως προς άξονα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Δραστηριότητα 1 Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς την υθία Βρίτ το συμμτρικό του Β ως προς την υθία 1 Α Β Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ 1 1-2 ΣΥΜΜΕΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΞΝ ΞΝΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΘΕΩΡΙ Συµµτρικό σηµίου ως προς υθία Όταν το ν βρίσκται πάνω στην νοµάζουµ συµµτρικό του ως προς την υθία το σηµίο µ το οποίο συµπίπτι το όταν ιπλώσουµ το σχήµα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές - 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΚΕΦΛΙ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΤΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΣ ΝΘΠΥΛΣ, ΕΠΙΚΥΡΣ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΔΙΙΚΗΣΗΣ ΚΙ ΔΙΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΡΙΣΣ Θέμα 16 ο : αρμονική σωτρική ρική διαίρση υθύγραμμου τμήματος σ λόγο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Β ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τόμος 3ος Μαθηματικά ΓΥΜΝΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Οι ϐασικές έννοιες. 1.1 Αόριστες έννοιες, αξιώµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Οι ϐασικές έννοιες. 1.1 Αόριστες έννοιες, αξιώµατα ΚΕΦΛΙΟ 1 Οι ϐασικές έννοις 1.1 όριστς έννοις, αξιώµατα υτό ισχύι ακόµη και για το ίδιο µας το γώ : το αντιλαµβανόµαστ µόνον ως κδήλωση, όχι ως κάτι που µπορίνα υπάρχι καθ αυτό. Thomas Mann, Schopenhauer

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Θεώρηµα ( ) x x. f (x) Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1)

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) Εξίσση γραµµής C του πιπέδου: Είναι µια ξίσση µ δύο αγνώστους x, που έχι τις ιδιότητς i) Oι συντταγµένς κάθ σηµίου της γραµµής C παληθύουν την ξίσση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.11 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

1.11 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ 1 11 ΥΣ Ι ΣΤΙΧΕΙ ΤΥ ΥΥ ΘΕΩΡΙ ύκλος µε κέντρο : νοµάζεται το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που απέχουν από το την ίδια απόσταση. Το σηµείο το λέµε κέντρο του κύκλου και τη σταθερή απόσταση που συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκια Εξέτασης: ώρς ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Ν. ΠΕΡΑΜΟΥ ΣΧ. ΕΤ Επαναληπτικές ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Ν. ΠΕΡΑΜΟΥ ΣΧ. ΕΤ Επαναληπτικές ασκήσεις Επαναληπτικές ασκήσις 1. Ο Γιάννης και η Μαρία μοιράστηκαν το ποσό των 3500. Ο Γιάννης πήρ 1300 πρισσότρα από τη Μαρία. ν η Μαρία πήρ x, να ράψτ μ τη οήθια της μταλητής x μια σχέση η οποία να κφράι τον

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α 1 ΣΚΗΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ 3 η Κ 1. Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο παριστάνει µία τετράγωνη πλατεία και τα τετράπλευρα ΚΛΘ και ΗΜΡΖ παριστάνουν δύο κήπους. Η πλευρά του είναι 30m και η απόσταση των ΚΛ και ΡΜ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε) 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ υμνασίου ΜΕΡΟΣ ΕΩΜΕΤΡΙ Τόμος 1ος Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α Λυκείου. Λεξιλόγιο Γεωμετρίας. Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Επιμζλεια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ

Γεωμετρία Α Λυκείου. Λεξιλόγιο Γεωμετρίας. Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Επιμζλεια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίας Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλθ 28 (μ Δθμθτριάδοσ) όλοσ τθλ. 2421302598 Επιμζλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίασ Λυκίου Ευκίσ Ευκφγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα