4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K"

Transcript

1 4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva: (1) za sve v 1, v 2, w P V i sve α 1, α 2 P K vrijedi pα 1 v 1 ` α 2 v 2 wq α 1 pv 1 wq ` α 2 pv 2 wq (linearnost u prvoj varijabli) (2) za sve v, w P V vrijedi pv wq pw vq (hermitska komutativnost) (3) za svaki v P V vrijedi pv vq ě 0 i za svaki v P V vrijedi pv vq 0 ô v 0 (pozitivna definitnost) Ured eni par pv, p qq zove se unitarni prostor. Iz svojstava (1) i (2) slijedi svojstvo: (1 ) za sve v, w 1, w 2 P V i sve β 1, β 2 P K vrijedi (antilinearnost u drugoj varijabli) Primjeri unitarnih prostora. pv β 1 w 1 ` β 2 w 2 q β 1 pv w 1 q ` β 2 pv w 2 q 1. V K n za neki n P N, α 1,..., α n ą 0 fiksni skalari, v pv 1,..., v n q, w pw 1,..., w n q P V. pv wq : α j v j w j p q je skalarni produkt na K n. Za α 1 α n 1 ovo je standardni skalarni produkt na K n. 2. ra, bs Ď R, V Cpra, bs, Kq tf : ra, bs Ñ K f neprekidnau, f, g P V. p q je skalarni produkt na Cpra, bs, Kq. 3. V M n pkq za neki n P N, A, B P V. pf gq : ż b a fptq gptq dt pa Bq : trpab q, gdje je B B τ matrica adjungirana matrici B. p q je skalarni produkt na M n pkq. Naime, za ř matrice A rα ij s, B rβ ij s imamo pa Bq trpr n ř α ik β jk sq n α jk β jk pa je unitarni prostor M n pkq prirodno izomorfan unitarnom prostoru K n2 uz standardni skalarni produkt (kao vektorski prostori K n2 M n pkq, n 2 -torke umjesto kao vektore pišemo kao n ˆ n matrice). k 1 j,k 1

2 Napomena. Na svakom realnom ili kompleksnom konačno-dimenzionalnom vektorskom prostoru može se definirati skalarni produkt. Naime, za svaki konačno-dimenzionalni vektorski prostor V nad K postoji izomorfizam Φ: V Ñ K n, n dim V. Ako je p q standardni skalarni produkt na K n, onda je formulom xv wy : pφpvq Φpwqq definiran skalarni produkt x y na V. U daljnjem je V unitarni prostor sa skalarnim produktom p q. Za v P V je v : a pv vq norma (duljina) vektora v. Funkcija : V Ñ R ima svojstva: (1) p@v P V qp v ě 0q (2) p@v P V qp v 0 ô v 0q (3) p@v P V qp@α P Kqp αv α v q (4) p@v, w P V qp v ` w ď v ` w q To su tzv. aksiomi norme. Zbog toga što ova norma potječe od skalarnog produkta za nju vrijedi još relacija paralelograma: p@v, w P V q p v ` w 2 ` v w 2 2 v 2 ` 2 w 2 q. Ona se dobije ovako: v ` w 2 ` v w 2 pv ` w v ` wq ` pv w v wq pv vq ` pv wq ` pw vq ` pw wq ` pv vq pv wq pw vq ` pw wq 2pv vq ` 2pw wq 2 v 2 ` 2 w 2. U svakom unitarnom prostoru V vrijedi: Schwarz-Cauchy-Bunjakovskijeva nejednakost. Za sve v, w P V je pv wq ď v w. Jednakost se postiže ako i samo ako su v i w kolinearni (tj. linearno zavisni). Zadatak 1. Da li postoji a P R takav da je sa ppx 1, x 2, x 3 q py 1, y 2, y 3 qq ax 1 y 1 ax 2 y 2 `x 3 y 3 definiran skalarni produkt na R 3? Zadatak 2. Zadatak 3. Koristeći scb-nejednakost, dokažite da vrijedi p a`b 2 q2 ď a2`b 2 b P R. Neka je V unitarni prostor nad K polje R ili C. Za vektore x, y P V dokažite da vrijedi px yq 0 ô p@α P Kq p x ď x ` αy q. Zadatak 4. Neka za matricu A P M n pcq vrijedi AA A 2. Dokažite da je A hermitska matrica, tj. da vrijedi A A.

3 Zadatak 5. Provjerite jesu li sljedeći vektorski prostori unitarni uz sljedeća preslikavanja: (a) R 3 uz ppx 1, x 2, x 3 q py 1, y 2, y 3 qq sinpx 1 y 1 ` x 2 y 2 ` x 3 y 3 q (b) R 3 uz ppx 1, x 2, x 3 q py 1, y 2, y 3 qq x 1 y 2 ` x 2 y 1 ` x 3 y 3 (c) R uz px yq xy ` 2 (d) R 2 uz ppx 1, x 2 q py 1, y 2 qq x 2 1 ` y 2 1 Gram-Schmidtov postupak ortonormiranja. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, pa 1,..., a m q linearno nezavisan sistem vektora iz V. Definiramo vektore pe 1,..., e m q induktivno na sljedeći način: e 1 : a 1 a 1 b k`1 : a k`1 kř pa k`1 e j q e j, e k`1 : b k`1 k 1,..., m 1 b k`1 Tada je pe 1,..., e m q ortonormirani sistem vektora koji još ima svojstva: rte 1,..., e k us rta 1,..., a k us, za k 1,..., m pa k, e k q ě 0, za k 1,..., m Zadatak 6. Neka su f 1, f 2 i f 3 P Cpr0, 1s, Rq, f 1 ptq 1, f 2 ptq t, f 3 ptq t 2 za svaki t P r0, 1s. Ortonormirajte sistem pf 1, f 2, f 3 q. Zadatak 7. pv 1, v 2 q. Neka su v 1, v 2 P C 2 takvi da je v 1 1, v 2 2 i pv 1 v 2 q? 3. Ortonormirajte sistem Ako za S, T Ď V vrijedi p@v P Sqp@w P T qppv wq 0q, onda pišemo S K T i kažemo da su S i T med usobno ortogonalni. Za S Ď V definiramo skup S K : tv P V tvu K Su tv P V p@w P Sqppv wq 0qu koji zovemo ortogonalni komplement skupa S. Očigledno je S K S K. Propozicija. Neka je V konačno-dimenzionalni vektorski prostor, S Ď V, L ď V. Vrijedi: (a) S K rss K, t0u K V, V K t0u (b) pl K q K L, ps K q K rss (c) V L L K (kažemo da je V ortogonalna suma potprostora L i L K ) (d) dim L K dim V dim L

4 Zadatak 8. Neka je M r t p0, 0, 1, 1q, p1, 0, 1, 0qu s ď R 4. Nad ite jednu ortonormiranu bazu za M K uz standardni skalarni produkt na R 4. Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. (1) (Pitagorin poučak) Ako su a 1,..., a n u parovima ortogonalni, onda vrijedi a j 2 a j 2. (2) Ako je te 1,..., e n u Ď V ortonormiran skup, onda za svaki x P V vrijedi (Besselova nejednakost) px e j q 2 ď x 2. U slučaju da je te 1,..., e n u ortonormirana baza, vrijedi za svaki x P V (Parsevalova jednakost) px e j q 2 x 2. (3) (Teorem o najboljoj aproksimaciji) Neka je te 1,..., e n u Ď V ortonormiran skup. Za x P V ř označimo y 0 : n px e j qe j. Tada za svaki y P rte 1,..., e n us, y y 0 vrijedi x y 0 ă x y. Zadatak 9. Nad ite najbolju aproksimaciju matrice A r s P M 2 pcq u potprostoru od M 2 pcq koji čine matrice traga Linearni operatori na unitarnim prostorima Teorem. (Riesz) Teorem. Za svaki funkcional f P V 1 postoji jedinstveni vektor a P V takav da je fpvq pv P V. Za svaki A P LpV, W q postoji jedinstveni A P LpW, V q takav da je pav wq W pv A wq P P W. Operator A zovemo adjungiranim operatorom operatora A. Propozicija. Pridruživanje A ÞÑ A ima svojstva: (a) bijektivno je LpV, W q Ñ LpW, V q (b) antilinearno je, tj. pαa ` βbq αa ` βb za A, B P LpV, W q (c) pabq B A, za B P LpV, W q, A P LpW, Uq (d) pa q A, za A P LpV, W q (e) pa q 1 pa 1 q, za A P LpV, W q bijekciju (f) I V I V

5 Propozicija. Ako su peq, pfq redom ortonomirane baze vektorskih prostora V, W te A P LpV, W q, onda vrijedi: A pe, fq papf, eqq papf, eqq τ. Zadatak 1. Na prostoru P 2 realnih polinoma stupnja ď 2 uz skalarni produkt pp qq ş 1 ppxqqpxq dx 0 promotrimo linearni funkcional S, Sp 1pp1q p1 p1q` 1 24 p2 p1q. Odredite s P P 2 takav da je Sp pp sq za svaki p P P 2. Propozicija. Za svaki A P LpV, W q vrijedi V KerA ImA i W KerA ImA. Zadatak za DZ. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Dokažite da vrijedi ImpAA q ImA. Zadatak 2. Nad ite adjungirani operator operatora A P LpC 2 q, Apx 1, x 2 q p2x 1, ix 1 x 2 q. Definicija. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Operator A P LpV q je hermitski ako vrijedi A A, antihermitski ako vrijedi A A, unitaran ako vrijedi AA A A I, tj. A 1 A, normalan ako vrijedi AA A A. Analogno definiramo hermitsku matricu, antihermitsku matricu, unitarnu matricu i normalnu matricu. Napomena. Operator je hermitski ako i samo ako u nekoj (pa onda i u svakoj) ortonormiranoj bazi ima hermitsku matricu. Analogna tvrdnja vrijedi i za antihermitski operator, unitaran operator i normalan operator. Zadatak 3. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad C. (a) Dokažite da za svaki A P LpV q postoje jedinstveni hermitski operatori H, K P LpV q takvi da je A H ` ik. (b) Dokažite da je A P LpV q normalan ako i samo ako H i K iz gornjeg prikaza med usobno komutiraju. Zadatak 4. Napišite operator A P LpC 2 q, Apx 1, x 2 q p2x 1, ix 1 x 2 q u obliku H ` ik, gdje su H, K P LpC 2 q hermitski operatori. Zadatak 5. Neka je P n prostor kompleksnih polinoma stupnja ď n uz skalarni produkt pf gq ş 1 0 fptqgptq dt. Je li operator deriviranja D : P n Ñ P n, Df f 1 hermitski operator? Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i M ď V. Vrijedi V M M K, tj. svaki vektor x P V ima jedinstven zapis oblika x a ` b, a P M, b P M K. Operator P P LpV q definiran s P x : a zove se ortogonalni projektor (ili hermitski projektor). Propozicija. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i P P LpV q. Operator P je ortogonalni projektor ako i samo ako vrijedi P 2 P P.

6 Zadatak 6. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i neka su P 1, P 2 P LpV q ortogonalni projektori. Uz koje uvjete na P 1 i P 2 je operator P 1 P 2 ortogonalni projektor? Na koji potprostor u tom slučaju on projicira prostor V? Zadatak za DZ. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i neka su P 1, P 2 P LpV q ortogonalni projektori. Uz koje uvjete na P 1 i P 2 je operator P 1 ` P 2 ortogonalni projektor? Na koji potprostor u tom slučaju on projicira prostor V? 4.3 Unitarni operatori Unitarne operatore možemo okarakterizirati na nekoliko načina. Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Ekvivalentno je: (a) A je unitaran (b) A A I (ili A A I) (c) p@v, w P V q ppav Awq pv wqq, tj. A čuva skalarni produkt (d) p@v P V qp Av v q, tj. A čuva normu (e) za svaku ortonormiranu bazu pe 1,..., e n q od V je pae 1,..., Ae n q opet ortonormirana baza od V (f) postoji ortonormirana baza pe 1,..., e n q od V takva da je pae 1,..., Ae n q ortonormirana baza od V Zadatak 1. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Dokažite: ako su A, B P LpV q unitarni operatori takvi da je operator A ` B takod er unitaran, onda je AB unitaran operator za koji vrijedi pab q 3 I. Zadatak 2. Dokažite: ako je A unitaran operator takav da je A ` I takod er unitaran, onda je A 3 I. Zadatak za DZ. Na unitarnom prostoru R 3 zadan je operator Apx 1, x 2, x 3 q p 3x 5 1 4x 5 3, 4x 5 1` 3x 5 3, x 2 q. Provjerite je li operator A unitaran i odredite A Normalni operatori Teorem. (a) A je normalan Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Ekvivalentno je: (b) p@v, w P V q ppa v A wq pav Awqq (c) p@v P V qp A v Av q Ako je V kompleksan vektorski prostor, onda vrijedi i: (d) postoji ortonormirana baza od V u kojoj A ima dijagonalnu matricu.

7 Zadatak 1. Neka je operator A P LpC 3 q zadan sa Apx 1, x 2, x 3 q p3x 1 ` 2x 2 ` 4x 3, 2x 1 ` 2x 3, 4x 1 ` 2x 2 ` 3x 3 q. Ako postoji, odredite ortonormiranu bazu za C 3 u kojoj A ima dijagonalni prikaz. Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad C. Ako je A familija normalnih operatora koji med usobno komutiraju, onda postoji ortonormirana baza prostora V u kojoj svi operatori iz A imaju dijagonalnu matricu. Zadatak 2. Dokažite: Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q normalan operator. (a) A je hermitski ô σpaq Ď R (b) A je antihermitski ô σpaq Ď ir (c) A je unitaran ô σpaq Ď S 1 tλ P C λ 1u. Zadatak 3. Na kompleksnom konačno-dimenzionalnom vektorskom prostoru dan je normalan operator A za koji vrijedi A 5 ` A 3 A 2 I 0. Dokažite da A mora biti unitaran. Zadatak 4. Neka je V konačno-dimenzionalan kompleksni vektorski prostor i A P LpV q. Dokažite: A je normalan operator ako i samo ako postoji unitaran operator U P LpV q takav da je A UA. 4.5 Hermitski i pozitivni operatori Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor (nad R ili C). Ako je A familija hermitskih operatora na V koji med usobno komutiraju, onda postoji ortonormirana baza prostora V u kojoj svi operatori iz A imaju (realne) dijagonalne matrice. Definicija. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Operator A P LpV q je pozitivan ako je A A i vrijedi p@v P V q ppav vq ě 0q. Tada pišemo A ě 0. Operator A P LpV q je strogo pozitivan ako je A A i vrijedi p@v P V zt0uq ppav vq ą 0q. Tada pišemo A ą 0. Propozicija. vrijedi: Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q hermitski operator. Tada (a) A je pozitivan ô σpaq Ď r0, `8y (b) A je strogo pozitivan ô σpaq Ď x0, `8y Teorem. (O pozitivnom drugom korijenu) Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Za svaki A P LpV q, A ě 0 postoji jedinstveni B P LpV q, B ě 0 takav da je B 2 A. (Kažemo da je B pozitivni drugi korijen operatora A i pišemo B? A.) Štoviše, imamo da vrijedi p@t P LpV qqpat T A ô BT T Bq.

8 Teorem. (O polarnoj formi) Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Za svaki A P LpV q postoje unitarni operatori U 1, U 2 P LpV q i pozitivni operatori P 1, P 2 P LpV q takvi da je A P 1 U 1 U 2 P 2. Operatori P 1, P 2 su jednoznačno odred eni s A, a ako je operator A regularan, onda su jednoznačno odred eni i operatori U 1, U 2. Zadatak 1. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Dokažite: ako vrijedi A A AA ě 0, onda je A normalan. Zadatak 2. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad C. Neka su A, B P LpV q, A ą 0 takvi da vrijedi AB ` iba 0. Dokažite da je B 0. Zadatak 3. Neka je P pozitivan operator na konačno-dimenzionalnom unitarnom vektorskom prostoru koji zadovoljava jednakost P 10 ` 2P 4 3I 0. Dokažite da je P I. Zadatak 4. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i neka su A, B P LpV q takvi da je Av Bv za svaki v P V. Dokažite da postoji unitaran operator U takav da je B UA. Zadatak 5. Operator A P LpR 2 q zadan je formulom Apx, yq p2x ` 3y, 3x ` 5yq. Dokažite da je A pozitivan operator i odredite njegov pozitivni drugi korijen? A. 4.6 Dodatni zadaci Zadatak 1. Koliko najviše elemenata može imati spektar unitarnog operatora U P LpC 2006 q takvog da je operator U I takod er unitaran? Zadatak 2. Neka je A linearan operator na konačno-dimenzionalnom unitarnom prostoru V. Dokažite: ako vrijedi A x Ax za svaki x P V, onda je A normalan. Zadatak 3. Neka je V konačno-dimenzionalan unitarni prostor i H P LpV q hermitski operator. Neka je λ 0 najmanja svojstvena vrijednost operatora H. Dokažite: λ 0 px xq ď phx xq za sve x P V. Zadatak 4. Neka je H P M n pcq hermitska matrica i pretpostavimo da su B, C P M n pcq hermitske matrice takve da je B 3 H C 3. Dokažite da je B C. L A TEX-irala: Martina Stojić martina.stojic@gmail.com prosinac i siječanj 2015.

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne

Διαβάστε περισσότερα

2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori

2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori 2 Jordanova forma 2 Nilpotentni operatori Definicija Neka je V vektorski prostor Operator N P LpV q je nilpotentan indeksa p (p P N) ako vrijedi N p, N p Propozicija Ako je e P V takav da je N p e, onda

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4. Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra

Linearna algebra Linearna algebra 2 Siniša Miličić cinik@studentmathhr 2462004 Molim da se sve uočene greške i primjedbe pošalju na mail Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograničeno umnažati, mijenjati i koristiti

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Ljuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI. skripta

Ljuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI. skripta Ljuban Dedić VEKTORSKI PROSTORI skripta 30.05.2008 Sadržaj Predgovor ii 1 Uvod 1 2 Funkcionalni račun 13 2.1 Poluprosti i nilpotentni operatori................ 13 2.2 Operatorske funkcije.......................

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

Konačno dimenzionalni vektorski prostori

Konačno dimenzionalni vektorski prostori Konačno dimenzionalni vektorski prostori Dragan S. Dor dević Niš, 2012. 2 Sadržaj Predgovor 5 1 Redukcija operatora 7 1.1 Linearni operatori, matrica linearnog operatora................ 7 1.2 Invarijatni

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015. Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Oznake: Skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva označavamo sa N, Z, Q, R, C. Važnije tvrdnje pišemo kosim slovima.

Linearna algebra. Oznake: Skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva označavamo sa N, Z, Q, R, C. Važnije tvrdnje pišemo kosim slovima. Linearna algebra DARKO ŽUBRINIĆ Cilj ovog teksta je olakšati praćenje kolegija Linearne algebre onim studentima postdiplomskog studija FER-a koji nisu odslušali kolegij Linearne algebre u prvom semestru

Διαβάστε περισσότερα

Principi kvantne mehanike

Principi kvantne mehanike 4. studenog 2016. Princip 1: stanje sustava Fizikalno stanje u kojem se nalazi neki kvantni sustav prikazujemo normiranim vektorom Φ u N-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H (N). Vektor Φ zovemo vektorom

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

PLOHE KONSTANTNE SREDNJE ZAKRIVLJENOSTI U MINKOWSKIJEVOM PROSTORU

PLOHE KONSTANTNE SREDNJE ZAKRIVLJENOSTI U MINKOWSKIJEVOM PROSTORU SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Davor Devald PLOHE KONSTANTNE SREDNJE ZAKRIVLJENOSTI U MINKOWSKIJEVOM PROSTORU Diplomski rad Zagreb, 017. Voditelj rada: prof.

Διαβάστε περισσότερα

Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.

Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016. 17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu. Teorija relativnosti i kosmološki modeli

Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu. Teorija relativnosti i kosmološki modeli Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu Žarko Mijajlović Teorija relativnosti i kosmološki modeli Beograd 2011 2 Opis Kursa: 1. Matematičke osnove[5], [6], [4] 2. Klasična mehanika [4], [9] 3. Teorija

Διαβάστε περισσότερα

2. Vektorski prostori

2. Vektorski prostori 2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Uvod i vektorski prostori

Uvod i vektorski prostori ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или

Διαβάστε περισσότερα