4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K"

Transcript

1 4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva: (1) za sve v 1, v 2, w P V i sve α 1, α 2 P K vrijedi pα 1 v 1 ` α 2 v 2 wq α 1 pv 1 wq ` α 2 pv 2 wq (linearnost u prvoj varijabli) (2) za sve v, w P V vrijedi pv wq pw vq (hermitska komutativnost) (3) za svaki v P V vrijedi pv vq ě 0 i za svaki v P V vrijedi pv vq 0 ô v 0 (pozitivna definitnost) Ured eni par pv, p qq zove se unitarni prostor. Iz svojstava (1) i (2) slijedi svojstvo: (1 ) za sve v, w 1, w 2 P V i sve β 1, β 2 P K vrijedi (antilinearnost u drugoj varijabli) Primjeri unitarnih prostora. pv β 1 w 1 ` β 2 w 2 q β 1 pv w 1 q ` β 2 pv w 2 q 1. V K n za neki n P N, α 1,..., α n ą 0 fiksni skalari, v pv 1,..., v n q, w pw 1,..., w n q P V. pv wq : α j v j w j p q je skalarni produkt na K n. Za α 1 α n 1 ovo je standardni skalarni produkt na K n. 2. ra, bs Ď R, V Cpra, bs, Kq tf : ra, bs Ñ K f neprekidnau, f, g P V. p q je skalarni produkt na Cpra, bs, Kq. 3. V M n pkq za neki n P N, A, B P V. pf gq : ż b a fptq gptq dt pa Bq : trpab q, gdje je B B τ matrica adjungirana matrici B. p q je skalarni produkt na M n pkq. Naime, za ř matrice A rα ij s, B rβ ij s imamo pa Bq trpr n ř α ik β jk sq n α jk β jk pa je unitarni prostor M n pkq prirodno izomorfan unitarnom prostoru K n2 uz standardni skalarni produkt (kao vektorski prostori K n2 M n pkq, n 2 -torke umjesto kao vektore pišemo kao n ˆ n matrice). k 1 j,k 1

2 Napomena. Na svakom realnom ili kompleksnom konačno-dimenzionalnom vektorskom prostoru može se definirati skalarni produkt. Naime, za svaki konačno-dimenzionalni vektorski prostor V nad K postoji izomorfizam Φ: V Ñ K n, n dim V. Ako je p q standardni skalarni produkt na K n, onda je formulom xv wy : pφpvq Φpwqq definiran skalarni produkt x y na V. U daljnjem je V unitarni prostor sa skalarnim produktom p q. Za v P V je v : a pv vq norma (duljina) vektora v. Funkcija : V Ñ R ima svojstva: (1) P V qp v ě 0q (2) P V qp v 0 ô v 0q (3) P V P Kqp αv α v q (4) w P V qp v ` w ď v ` w q To su tzv. aksiomi norme. Zbog toga što ova norma potječe od skalarnog produkta za nju vrijedi još relacija paralelograma: w P V q p v ` w 2 ` v w 2 2 v 2 ` 2 w 2 q. Ona se dobije ovako: v ` w 2 ` v w 2 pv ` w v ` wq ` pv w v wq pv vq ` pv wq ` pw vq ` pw wq ` pv vq pv wq pw vq ` pw wq 2pv vq ` 2pw wq 2 v 2 ` 2 w 2. U svakom unitarnom prostoru V vrijedi: Schwarz-Cauchy-Bunjakovskijeva nejednakost. Za sve v, w P V je pv wq ď v w. Jednakost se postiže ako i samo ako su v i w kolinearni (tj. linearno zavisni). Zadatak 1. Da li postoji a P R takav da je sa ppx 1, x 2, x 3 q py 1, y 2, y 3 qq ax 1 y 1 ax 2 y 2 `x 3 y 3 definiran skalarni produkt na R 3? Zadatak 2. Zadatak 3. Koristeći scb-nejednakost, dokažite da vrijedi p a`b 2 q2 ď a2`b 2 b P R. Neka je V unitarni prostor nad K polje R ili C. Za vektore x, y P V dokažite da vrijedi px yq 0 ô P Kq p x ď x ` αy q. Zadatak 4. Neka za matricu A P M n pcq vrijedi AA A 2. Dokažite da je A hermitska matrica, tj. da vrijedi A A.

3 Zadatak 5. Provjerite jesu li sljedeći vektorski prostori unitarni uz sljedeća preslikavanja: (a) R 3 uz ppx 1, x 2, x 3 q py 1, y 2, y 3 qq sinpx 1 y 1 ` x 2 y 2 ` x 3 y 3 q (b) R 3 uz ppx 1, x 2, x 3 q py 1, y 2, y 3 qq x 1 y 2 ` x 2 y 1 ` x 3 y 3 (c) R uz px yq xy ` 2 (d) R 2 uz ppx 1, x 2 q py 1, y 2 qq x 2 1 ` y 2 1 Gram-Schmidtov postupak ortonormiranja. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor, pa 1,..., a m q linearno nezavisan sistem vektora iz V. Definiramo vektore pe 1,..., e m q induktivno na sljedeći način: e 1 : a 1 a 1 b k`1 : a k`1 kř pa k`1 e j q e j, e k`1 : b k`1 k 1,..., m 1 b k`1 Tada je pe 1,..., e m q ortonormirani sistem vektora koji još ima svojstva: rte 1,..., e k us rta 1,..., a k us, za k 1,..., m pa k, e k q ě 0, za k 1,..., m Zadatak 6. Neka su f 1, f 2 i f 3 P Cpr0, 1s, Rq, f 1 ptq 1, f 2 ptq t, f 3 ptq t 2 za svaki t P r0, 1s. Ortonormirajte sistem pf 1, f 2, f 3 q. Zadatak 7. pv 1, v 2 q. Neka su v 1, v 2 P C 2 takvi da je v 1 1, v 2 2 i pv 1 v 2 q? 3. Ortonormirajte sistem Ako za S, T Ď V vrijedi P P T qppv wq 0q, onda pišemo S K T i kažemo da su S i T med usobno ortogonalni. Za S Ď V definiramo skup S K : tv P V tvu K Su tv P V P Sqppv wq 0qu koji zovemo ortogonalni komplement skupa S. Očigledno je S K S K. Propozicija. Neka je V konačno-dimenzionalni vektorski prostor, S Ď V, L ď V. Vrijedi: (a) S K rss K, t0u K V, V K t0u (b) pl K q K L, ps K q K rss (c) V L L K (kažemo da je V ortogonalna suma potprostora L i L K ) (d) dim L K dim V dim L

4 Zadatak 8. Neka je M r t p0, 0, 1, 1q, p1, 0, 1, 0qu s ď R 4. Nad ite jednu ortonormiranu bazu za M K uz standardni skalarni produkt na R 4. Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. (1) (Pitagorin poučak) Ako su a 1,..., a n u parovima ortogonalni, onda vrijedi a j 2 a j 2. (2) Ako je te 1,..., e n u Ď V ortonormiran skup, onda za svaki x P V vrijedi (Besselova nejednakost) px e j q 2 ď x 2. U slučaju da je te 1,..., e n u ortonormirana baza, vrijedi za svaki x P V (Parsevalova jednakost) px e j q 2 x 2. (3) (Teorem o najboljoj aproksimaciji) Neka je te 1,..., e n u Ď V ortonormiran skup. Za x P V ř označimo y 0 : n px e j qe j. Tada za svaki y P rte 1,..., e n us, y y 0 vrijedi x y 0 ă x y. Zadatak 9. Nad ite najbolju aproksimaciju matrice A r s P M 2 pcq u potprostoru od M 2 pcq koji čine matrice traga Linearni operatori na unitarnim prostorima Teorem. (Riesz) Teorem. Za svaki funkcional f P V 1 postoji jedinstveni vektor a P V takav da je fpvq pv P V. Za svaki A P LpV, W q postoji jedinstveni A P LpW, V q takav da je pav wq W pv A wq P P W. Operator A zovemo adjungiranim operatorom operatora A. Propozicija. Pridruživanje A ÞÑ A ima svojstva: (a) bijektivno je LpV, W q Ñ LpW, V q (b) antilinearno je, tj. pαa ` βbq αa ` βb za A, B P LpV, W q (c) pabq B A, za B P LpV, W q, A P LpW, Uq (d) pa q A, za A P LpV, W q (e) pa q 1 pa 1 q, za A P LpV, W q bijekciju (f) I V I V

5 Propozicija. Ako su peq, pfq redom ortonomirane baze vektorskih prostora V, W te A P LpV, W q, onda vrijedi: A pe, fq papf, eqq papf, eqq τ. Zadatak 1. Na prostoru P 2 realnih polinoma stupnja ď 2 uz skalarni produkt pp qq ş 1 ppxqqpxq dx 0 promotrimo linearni funkcional S, Sp 1pp1q p1 p1q` 1 24 p2 p1q. Odredite s P P 2 takav da je Sp pp sq za svaki p P P 2. Propozicija. Za svaki A P LpV, W q vrijedi V KerA ImA i W KerA ImA. Zadatak za DZ. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Dokažite da vrijedi ImpAA q ImA. Zadatak 2. Nad ite adjungirani operator operatora A P LpC 2 q, Apx 1, x 2 q p2x 1, ix 1 x 2 q. Definicija. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Operator A P LpV q je hermitski ako vrijedi A A, antihermitski ako vrijedi A A, unitaran ako vrijedi AA A A I, tj. A 1 A, normalan ako vrijedi AA A A. Analogno definiramo hermitsku matricu, antihermitsku matricu, unitarnu matricu i normalnu matricu. Napomena. Operator je hermitski ako i samo ako u nekoj (pa onda i u svakoj) ortonormiranoj bazi ima hermitsku matricu. Analogna tvrdnja vrijedi i za antihermitski operator, unitaran operator i normalan operator. Zadatak 3. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad C. (a) Dokažite da za svaki A P LpV q postoje jedinstveni hermitski operatori H, K P LpV q takvi da je A H ` ik. (b) Dokažite da je A P LpV q normalan ako i samo ako H i K iz gornjeg prikaza med usobno komutiraju. Zadatak 4. Napišite operator A P LpC 2 q, Apx 1, x 2 q p2x 1, ix 1 x 2 q u obliku H ` ik, gdje su H, K P LpC 2 q hermitski operatori. Zadatak 5. Neka je P n prostor kompleksnih polinoma stupnja ď n uz skalarni produkt pf gq ş 1 0 fptqgptq dt. Je li operator deriviranja D : P n Ñ P n, Df f 1 hermitski operator? Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i M ď V. Vrijedi V M M K, tj. svaki vektor x P V ima jedinstven zapis oblika x a ` b, a P M, b P M K. Operator P P LpV q definiran s P x : a zove se ortogonalni projektor (ili hermitski projektor). Propozicija. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i P P LpV q. Operator P je ortogonalni projektor ako i samo ako vrijedi P 2 P P.

6 Zadatak 6. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i neka su P 1, P 2 P LpV q ortogonalni projektori. Uz koje uvjete na P 1 i P 2 je operator P 1 P 2 ortogonalni projektor? Na koji potprostor u tom slučaju on projicira prostor V? Zadatak za DZ. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i neka su P 1, P 2 P LpV q ortogonalni projektori. Uz koje uvjete na P 1 i P 2 je operator P 1 ` P 2 ortogonalni projektor? Na koji potprostor u tom slučaju on projicira prostor V? 4.3 Unitarni operatori Unitarne operatore možemo okarakterizirati na nekoliko načina. Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Ekvivalentno je: (a) A je unitaran (b) A A I (ili A A I) (c) w P V q ppav Awq pv wqq, tj. A čuva skalarni produkt (d) P V qp Av v q, tj. A čuva normu (e) za svaku ortonormiranu bazu pe 1,..., e n q od V je pae 1,..., Ae n q opet ortonormirana baza od V (f) postoji ortonormirana baza pe 1,..., e n q od V takva da je pae 1,..., Ae n q ortonormirana baza od V Zadatak 1. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Dokažite: ako su A, B P LpV q unitarni operatori takvi da je operator A ` B takod er unitaran, onda je AB unitaran operator za koji vrijedi pab q 3 I. Zadatak 2. Dokažite: ako je A unitaran operator takav da je A ` I takod er unitaran, onda je A 3 I. Zadatak za DZ. Na unitarnom prostoru R 3 zadan je operator Apx 1, x 2, x 3 q p 3x 5 1 4x 5 3, 4x 5 1` 3x 5 3, x 2 q. Provjerite je li operator A unitaran i odredite A Normalni operatori Teorem. (a) A je normalan Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Ekvivalentno je: (b) w P V q ppa v A wq pav Awqq (c) P V qp A v Av q Ako je V kompleksan vektorski prostor, onda vrijedi i: (d) postoji ortonormirana baza od V u kojoj A ima dijagonalnu matricu.

7 Zadatak 1. Neka je operator A P LpC 3 q zadan sa Apx 1, x 2, x 3 q p3x 1 ` 2x 2 ` 4x 3, 2x 1 ` 2x 3, 4x 1 ` 2x 2 ` 3x 3 q. Ako postoji, odredite ortonormiranu bazu za C 3 u kojoj A ima dijagonalni prikaz. Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad C. Ako je A familija normalnih operatora koji med usobno komutiraju, onda postoji ortonormirana baza prostora V u kojoj svi operatori iz A imaju dijagonalnu matricu. Zadatak 2. Dokažite: Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q normalan operator. (a) A je hermitski ô σpaq Ď R (b) A je antihermitski ô σpaq Ď ir (c) A je unitaran ô σpaq Ď S 1 tλ P C λ 1u. Zadatak 3. Na kompleksnom konačno-dimenzionalnom vektorskom prostoru dan je normalan operator A za koji vrijedi A 5 ` A 3 A 2 I 0. Dokažite da A mora biti unitaran. Zadatak 4. Neka je V konačno-dimenzionalan kompleksni vektorski prostor i A P LpV q. Dokažite: A je normalan operator ako i samo ako postoji unitaran operator U P LpV q takav da je A UA. 4.5 Hermitski i pozitivni operatori Teorem. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor (nad R ili C). Ako je A familija hermitskih operatora na V koji med usobno komutiraju, onda postoji ortonormirana baza prostora V u kojoj svi operatori iz A imaju (realne) dijagonalne matrice. Definicija. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Operator A P LpV q je pozitivan ako je A A i vrijedi P V q ppav vq ě 0q. Tada pišemo A ě 0. Operator A P LpV q je strogo pozitivan ako je A A i vrijedi P V zt0uq ppav vq ą 0q. Tada pišemo A ą 0. Propozicija. vrijedi: Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q hermitski operator. Tada (a) A je pozitivan ô σpaq Ď r0, `8y (b) A je strogo pozitivan ô σpaq Ď x0, `8y Teorem. (O pozitivnom drugom korijenu) Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Za svaki A P LpV q, A ě 0 postoji jedinstveni B P LpV q, B ě 0 takav da je B 2 A. (Kažemo da je B pozitivni drugi korijen operatora A i pišemo B? A.) Štoviše, imamo da vrijedi P LpV qqpat T A ô BT T Bq.

8 Teorem. (O polarnoj formi) Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor. Za svaki A P LpV q postoje unitarni operatori U 1, U 2 P LpV q i pozitivni operatori P 1, P 2 P LpV q takvi da je A P 1 U 1 U 2 P 2. Operatori P 1, P 2 su jednoznačno odred eni s A, a ako je operator A regularan, onda su jednoznačno odred eni i operatori U 1, U 2. Zadatak 1. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i A P LpV q. Dokažite: ako vrijedi A A AA ě 0, onda je A normalan. Zadatak 2. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor nad C. Neka su A, B P LpV q, A ą 0 takvi da vrijedi AB ` iba 0. Dokažite da je B 0. Zadatak 3. Neka je P pozitivan operator na konačno-dimenzionalnom unitarnom vektorskom prostoru koji zadovoljava jednakost P 10 ` 2P 4 3I 0. Dokažite da je P I. Zadatak 4. Neka je V konačno-dimenzionalan vektorski prostor i neka su A, B P LpV q takvi da je Av Bv za svaki v P V. Dokažite da postoji unitaran operator U takav da je B UA. Zadatak 5. Operator A P LpR 2 q zadan je formulom Apx, yq p2x ` 3y, 3x ` 5yq. Dokažite da je A pozitivan operator i odredite njegov pozitivni drugi korijen? A. 4.6 Dodatni zadaci Zadatak 1. Koliko najviše elemenata može imati spektar unitarnog operatora U P LpC 2006 q takvog da je operator U I takod er unitaran? Zadatak 2. Neka je A linearan operator na konačno-dimenzionalnom unitarnom prostoru V. Dokažite: ako vrijedi A x Ax za svaki x P V, onda je A normalan. Zadatak 3. Neka je V konačno-dimenzionalan unitarni prostor i H P LpV q hermitski operator. Neka je λ 0 najmanja svojstvena vrijednost operatora H. Dokažite: λ 0 px xq ď phx xq za sve x P V. Zadatak 4. Neka je H P M n pcq hermitska matrica i pretpostavimo da su B, C P M n pcq hermitske matrice takve da je B 3 H C 3. Dokažite da je B C. L A TEX-irala: Martina Stojić prosinac i siječanj 2015.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra

Linearna algebra Linearna algebra 2 Siniša Miličić cinik@studentmathhr 2462004 Molim da se sve uočene greške i primjedbe pošalju na mail Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograničeno umnažati, mijenjati i koristiti

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Oznake: Skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva označavamo sa N, Z, Q, R, C. Važnije tvrdnje pišemo kosim slovima.

Linearna algebra. Oznake: Skupove prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva označavamo sa N, Z, Q, R, C. Važnije tvrdnje pišemo kosim slovima. Linearna algebra DARKO ŽUBRINIĆ Cilj ovog teksta je olakšati praćenje kolegija Linearne algebre onim studentima postdiplomskog studija FER-a koji nisu odslušali kolegij Linearne algebre u prvom semestru

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ.

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. 1. Linearni operatori Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. Kako je V 2 (O) vektorski prostor, prirodno je pitanje

Διαβάστε περισσότερα

2. Vektorski prostori

2. Vektorski prostori 2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje

Διαβάστε περισσότερα

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator...

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator... Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE

VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE VEKTORSKI PROSTORI I ELEMENTI VEKTORSKE ANALIZE Ivanka Milošević Univerzitet u Beogradu 1997 Predgovor Kurs MATEMATIČKA FIZIKA I prvi put sam predavala 1995/1996 godine, pri čemu sam se velikom delu držla

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1. Diferencijalni operatori. 1.1 Pojam derivacije

Poglavlje 1. Diferencijalni operatori. 1.1 Pojam derivacije Poglavlje Diferencijalni operatori U ovom uvodu donosimo neke elemente diferencijalnog računa koje koristimo kasnije. Većinu ovdje iznesenog sadržaja može se naći u [3], a ostale korisne reference su []

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase

Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Jelena Gajić Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase -master rad- Novi Sad, 2009 Predgovor

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra i geometrija

Linearna algebra i geometrija Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković

Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematičke analize

Osnove matematičke analize Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture Algebarske strukture vježbe prema predlošku i zadacima Martine Balagović i Marcele Hanzer natipkali, proširili i uredili Matija Bašić Aleksandar Milivojević Sanjin Ružić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

Ispit iz Matematike 2

Ispit iz Matematike 2 Ispit iz Matematike 2 I grupa 1. Dato je preslikavanje H: M 2x2 M 2x2, H A = 1 2 A + AT. Pokazati da je to preslikavanje linearni operator, nadi matricu, sopstvene vrednosti i sopstvene vektore tog operatora.

Διαβάστε περισσότερα

Globalna rješenja valnih jednadžbi

Globalna rješenja valnih jednadžbi Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Neven Balenović Globalna rješenja valnih jednadžbi Diplomski rad Zagreb, 1995. Sadržaj Predgovor...........................

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα