Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται η συχνότητα της διέγερσης στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Η μελέτη της απόκρισης συχνότητας ενός κυκλώματος είναι ιδιαίτερα σημαντική για πολλές εφαρμογές, όπως στις τηλεπικοινωνίες ή στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου. Για να μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας των κυκλωμάτων θα χρειαστεί να ορίσουμε μια νέα έννοια που περιγράφει τη συμπεριφορά ενός κυκλώματος, τη συνάρτηση μεταφοράς. Δεδομένου ότι η απόκριση συχνότητας περιλαμβάνει τόσο την απόκριση πλάτους όσο και την απόκριση φάσης, για τη γραφική τους αναπαράσταση θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε τα διαγράμματα Bode, τα οποία διευκολύνουν στον σχεδιασμό των γραφικών παραστάσεων του πλάτους ή της φάσης συναρτήσει της συχνότητας. 4. Συνάρτηση μεταφοράς Η συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος που έχει μία είσοδο (με δύο ακροδέκτες) και μία έξοδο (με άλλους δύο ακροδέκτες) και το οποίο ονομάζεται δίθυρο, ορίζεται ως ο λόγος της εξόδου προς την είσοδο, όταν η είσοδος και η έξοδος είναι συναρτήσεις της συχνότητας: H ( ω) Y X όπου X(ω) είναι η είσοδος και Y(ω) είναι η έξοδος του κυκλώματος. Σημειώνεται ότι η είσοδος ή η έξοδος μπορεί να είναι ρεύμα ή τάση (Σχήμα 4.). ( ω) ( ω) Σχήμα 4. Είσοδος, έξοδος και συνάρτηση μεταφοράς ενός δίθυρου κυκλώματος.

2 Έτσι μπορούμε να έχουμε τέσσερις περιπτώσεις. Όταν και η είσοδος και η έξοδος είναι τάσεις ή ρεύματα, τότε η συνάρτηση μεταφοράς μάς δείχνει πώς μεταβάλλεται το κέρδος τάσης ή το κέρδος ρεύματος του κυκλώματος με τη μεταβολή της συχνότητας: και H ( ω) V V o ( ω) ( ω) H ( ω) I I o ( ω) ( ω) Όταν η είσοδος είναι ρεύμα και η έξοδος είναι τάση, τότε η συνάρτηση μεταφοράς μας δείχνει πώς μεταβάλλεται η σύνθετη αντίσταση μεταφοράς του κυκλώματος με τη συχνότητα, ενώ όταν η είσοδος είναι τάση και η έξοδος είναι ρεύμα, τότε η συνάρτηση μεταφοράς μας δείχνει πώς μεταβάλλεται η σύνθετη αγωγιμότητα μεταφοράς του κυκλώματος: και H H ( ω) ( ω) V I o I V Συνηθίζεται οι συναρτήσεις των τάσεων ή των ρευμάτων, καθώς και η συνάρτηση μεταφοράς να εκφράζονται είτε ως προς το jω είτε ως προς το ω (θυμόμαστε από το δεύτερο κεφάλαιο ότι η γωνιακή συχνότητα εμφανίζεται στην επίλυση των κυκλωμάτων με τη φανταστική μονάδα, σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων). Έτσι η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται επίσης Η(jω) ή H(), όπου jω είναι η μιγαδική συχνότητα. Για να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος εφαρμόζουμε τους νόμους που ισχύουν στα κυκλώματα ώστε να καταλήξουμε σε μία συνάρτηση που εκφράζει τον λόγο των δύο μεγεθών που αποτελούν τη συνάρτηση μεταφοράς. Ως εκ τούτου, η συνάρτηση μεταφοράς συνήθως αποτελείται από τον λόγο δύο πολυωνύμων: o ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) H N D Οι ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή jω που μηδενίζουν τον αριθμητή του κλάσματος λέγονται μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς. Αντιστοίχως οι ρίζες του παρονομαστή του κλάσματος λέγονται πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς. Οι πόλοι της

3 συνάρτησης μεταφοράς την απειρίζουν. Τα μηδενικά και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς χαρακτηρίζουν τη μορφή της. Παράδειγμα 4- Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος (Σχήμα 4.). Ως σήμα εξόδου παίρνουμε την τάση στα άκρα του πηνίου και ως σήμα εισόδου τη συνολική τάση που εφαρμόζεται στον εν σειρά συνδυασμό της αντίστασης και του πηνίου. Απάντηση Η τάση στα άκρα του πηνίου δίνεται από τη σχέση του διαιρέτη τάσης: V Z jω V R + Z R + jω ( ω) H j Σχήμα 4. Κύκλωμα παραδείγματος 4-. Για να απλοποιήσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον αριθμητή και έχουμε: Η ποσότητα: ( ω) H j R R ω + j j jω ω ω ω R αποτελεί πόλο της συνάρτησης μεταφοράς και λέγεται συχνότητα καμπής ή συχνότητα αποκοπής. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι μια μιγαδική συνάρτηση. Το μέτρο της είναι:

4 H jω Η φάση της συνάρτησης μεταφοράς είναι: ω ω + ω ω < H ( jω) tan tan ω ω Η μεταβολή του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς συναρτήσει του λόγου της γωνιακής συχνότητας σε σχέση με τη συχνότητα αποκοπής σχεδιάζεται σε ημιλογαριθμική κλίμακα (Σχήμα 4.3). Η τιμή του πλάτους της συνάρτησης μεταφοράς είναι πάντα μικρότερη της μονάδας, όπως αναμένεται, αφού η τάση στα άκρα του πηνίου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τη συνολική τάση. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς παίρνει μικρές τιμές για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας αποκοπής, ενώ στη συχνότητα αποκοπής έχει τιμή /,77. Όταν η συχνότητα αυξάνεται η τιμή της προσεγγίζει ασυμπτωτικά τη μονάδα. Σχήμα 4.3 Γραφική παράσταση του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας Στη γραφική παράσταση της γωνίας της συνάρτησης μεταφοράς (Σχήμα 4.4) βλέπουμε ότι η γωνία ξεκινά από τις 9 για χαμηλές συχνότητες, στη συχνότητα αποκοπής ισούται με 45, ενώ σε υψηλές συχνότητες προσεγγίζει τις.

5 Σχήμα 4.4 Γραφική παράσταση της φάσης της συνάρτησης μεταφοράς συναρτήσει της συχνότητας Η συνάρτηση μεταφοράς έχει έναν πόλο στη μιγαδική συχνότητα: R ω Το σημείο αυτό αποτελεί το σημείο καμπής της καμπύλης πλάτους και της καμπύλης φάσης της συνάρτησης μεταφοράς. Το φαινόμενο αυτό το μελετήσαμε στον συντονισμό των ηλεκτρικών κυκλωμάτων στο Κεφάλαιο και δεν θα το αναλύσουμε περαιτέρω. 4. Διαγράμματα Bode Τα διαγράμματα Bode είναι προσεγγιστικά διαγράμματα της μεταβολής πλάτους και φάσης μιας συνάρτησης μεταφοράς σε λογαριθμικούς άξονες. Προσεγγίζουν μια συνάρτηση μεταφοράς με ευθύγραμμα τμήματα που είναι εύκολο να σχεδιαστούν πρόχειρα, και κατασκευάζονται με βάση τους πόλους και τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς. 4.. Η κλίμακα decibel (db) Τα διαγράμματα φάσης σχεδιάζονται σε ημιλογαριθμικό διάγραμμα, δηλαδή με λογαριθμική κλίμακα στον οριζόντιο άξονα, που παριστάνεται η συχνότητα και με γραμμική κλίμακα στον κατακόρυφο άξονα που παριστάνεται η γωνία. Για τα διαγράμματα πλάτους χρησιμοποιείται η ίδια λογαριθμική κλίμακα στον οριζόντιο άξονα για τη συχνότητα, αλλά χρησιμοποιείται επίσης λογαριθμική κλίμακα και στον κατακόρυφο άξονα για το πλάτος. Οι λογαριθμικές μονάδες που χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση του πλάτους λέγονται decibel (db) και ορίζονται από το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς με τη σχέση: HdB log H Υπενθυμίζεται ότι με το γράμμα συμβολίζουμε τη μιγαδική συχνότητα, jω. Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση μεταφοράς που εκφράζει λόγο τάσεων (τάση εξόδου προς τάση εισόδου ενός κυκλώματος), δηλαδή κέρδος τάσης. Θετικές τιμές σε db αντιστοιχούν σε τιμές της συνάρτησης μεταφοράς μεγαλύτερες της μονάδας, δηλαδή σε ενίσχυση, ενώ αρνητικές

6 τιμές σε db αντιστοιχούν σε τιμές της συνάρτησης μεταφοράς μικρότερες της μονάδας, δηλαδή σε απόσβεση (Πίνακας 4.). Η χρήση της λογαριθμικής κλίμακας διευκολύνει σημαντικά τους υπολογισμούς. Υπενθυμίζουμε μερικές βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων: log ( a b) loga + logb a log loga logb b log loga a n log ( a ) n loga loga log ( a ) 4.. Απλά μηδενικά Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση μεταφοράς με ένα μόνο μηδενικό: H + + j ω α α Το μηδενικό είναι στη συχνότητα -α. Θέτοντας jω βρίσκουμε το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς: H ω + α Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς σε db είναι: ( ) ω H log H log + db α Για να βρούμε τη μορφή της παραπάνω συνάρτησης εξετάζουμε τι συμβαίνει σε συχνότητες μακριά από την τιμή ωα. Για ω<<α έχουμε:

7 ω H log + log db α Άρα για μικρές συχνότητες το πλάτος της συνάρτησης HdB είναι μηδέν και προσεγγίζεται από μια οριζόντια ευθεία. Για ω>>α έχουμε: ω ω H log + log db α α Σχήμα 4.5 Διάγραμμα Bode συνάρτησης μεταφοράς ενός μηδενικού. Η παραπάνω συνάρτηση είναι μια ευθεία που περνάει από το σημείο ωα, όπου HdB, με κλίση +db για κάθε δεκαπλασιασμό της συχνότητας, δηλαδή για ω α HdB, για ω α HdB 4 κ.λπ. Λέμε ότι η ευθεία έχει κλίση +db ανά δεκάδα. Σημειώστε ότι όταν η συχνότητα διπλασιάζεται τότε η τιμή της συνάρτησης αυξάνεται κατά 6dB: α H log log 6 db db α Ο διπλασιασμός της συχνότητας λέγεται οκτάβα, οπότε λέμε ότι η κλίση της καμπύλης είναι +6 db/οκτάβα. Το διάγραμμα Bode αποτελείται από δύο ευθείες που τέμνονται στο σημείο ωα και δείχνει την προσεγγιστική μορφή του πλάτους της συνάρτησης μεταφοράς σε db (Σχήμα 4.5). Το διάγραμμα Bode απεικονίζει με πολύ καλή προσέγγιση την απόκριση συχνότητας της συνάρτησης μεταφοράς. Μια σύγκριση με την πραγματική απόκριση συχνότητας της ίδιας συνάρτησης μεταφοράς (Σχήμα 4.6) δείχνει ότι υπάρχει μια μικρή απόκλιση μόνο κοντά στη συχνότητα ωα.

8 Σχήμα 4.6 Λογαριθμικό διάγραμμα της απόκρισης συχνότητας συνάρτησης μεταφοράς ενός μηδενικού. Στο διάγραμμα Bode στην ίδια συχνότητα ωα απεικονίζεται η τιμή db, οπότε παρουσιάζεται σφάλμα σε σχέση με την πραγματική μορφή της καμπύλης κατά 3dB. Αυτή είναι η μέγιστη απόκλιση του διαγράμματος Bode από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Η συχνότητα ωα λέγεται συχνότητα 3dB. Καθώς απομακρυνόμαστε από τη συχνότητα ωα το σφάλμα μειώνεται και πολύ γρήγορα γίνεται αμελητέο. Εάν η συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά το διάγραμμα Bode μετατοπίζεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, ανάλογα με την τιμή της σταθεράς Απλοί πόλοι Η συνάρτηση μεταφοράς ενός απλού πόλου στη συχνότητα -α είναι: H Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς είναι: α + α ω + + j α α H Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς σε db είναι: ω + α ω H log ( H ( ) ) log log + db ω α + α

9 Σχήμα 4.7 Διάγραμμα Bode του πλάτους μιας συνάρτησης μεταφοράς ενός απλού πόλου. Η συνάρτηση είναι ίδια με αυτή του απλού μηδενικού αλλά με αρνητικό πρόσημο. Δεν χρειάζεται να κάνουμε λεπτομερή ανάλυση για να καταλάβουμε τη μορφή του διαγράμματος Bode. Είναι το συμμετρικό του διαγράμματος της περίπτωσης απλού μηδενικού ως προς τον οριζόντιο άξονα των συχνοτήτων, με συχνότητα καμπής τη συχνότητα του πόλου. Αποτελείται από ένα οριζόντιο τμήμα από τη μηδενική συχνότητα μέχρι τη συχνότητα καμπής και από ένα τμήμα με κλίση -db/δεκάδα (ή -6dB/οκτάβα) για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας καμπής ωα (Σχήμα 4.7). Το ίδιο απλή είναι και η διαδικασία σχεδιασμού του διαγράμματος φάσης. Η γωνία της συνάρτησης μεταφοράς απλού πόλου είναι: ω < H ( ) < < tan jω α + + α α Σχήμα 4.8 Διάγραμμα Bode της φάσης μιας συνάρτησης μεταφοράς ενός απλού πόλου. Το διάγραμμα φάσης της συνάρτησης απλού πόλου είναι επίσης συμμετρικό με αυτό της συνάρτησης απλού μηδενικού ως προς τον άξονα της συχνότητας (Σχήμα 4.8) Πολλαπλά μηδενικά ή πολλαπλοί πόλοι Για συνάρτηση μεταφοράς με ένα διπλό μηδενικό στη συχνότητα -α, δηλαδή της μορφής:

10 H + α Η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται: H log 4 log db + + α α Η διαφορά είναι ότι η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας καμπής είναι 4dB/δεκάδα. Κατ' αναλογία, εάν η συνάρτηση μεταφοράς είναι μεγαλύτερου βαθμού: H + α το διάγραμμα Bode έχει κλίση N db/δεκάδα πάνω από τη συχνότητα καμπής. Αντίστοιχα, εάν η συνάρτηση μεταφοράς έχει πολλαπλό πόλο: N H + α N τότε το διάγραμμα Bode έχει μεγαλύτερη αρνητική κλίση πάνω από τη συχνότητα καμπής, η οποία είναι - N db/δεκάδα Συναρτήσεις με μηδενικά και πόλους Στις προηγούμενες ενότητες εξετάσαμε τα διαγράμματα Bode πλάτους και φάσης για τις απλούστερες συναρτήσεις μεταφοράς, που έχουν μόνο ένα μηδενικό, πρώτης ή μεγαλύτερης τάξης, και μόνο έναν πόλο, πάλι πρώτης ή μεγαλύτερης τάξης. Ένα πραγματικό κύκλωμα όμως έχει συνάρτηση μεταφοράς που έχει ταυτόχρονα και μηδενικά και πόλους. Ανάλογα με την πολυπλοκότητα του κυκλώματος θα έχουμε πολλά μηδενικά και πολλούς πόλους. Ας ξεκινήσουμε, για παράδειγμα, από το απλό κύκλωμα R του παραδείγματος 4- (Σχήμα 4.: Κύκλωμα παραδείγματος 4-). Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: H α R + R + α + + α

11 όπου α είναι η συχνότητα 3db (ω ), όπως την ονομάσαμε στο παράδειγμα 4-: ω α R Η παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς έχει ένα μηδενικό στη συχνότητα και έναν πόλο στη συχνότητα αποκοπής -α. Η συνάρτηση μεταφοράς σε db είναι: H log log db + α α Σχήμα 4.9 Διάγραμμα Bode πλάτους της συνάρτησης H()/α. Το διάγραμμα πλάτους της H() είναι μια ευθεία με κλίση db/δεκάδα που τέμνει τον άξονα της συχνότητας στο σημείο ω. Το διάγραμμα της συνάρτησης H()/α (ο πρώτος όρος της παραπάνω εξίσωσης) είναι μια ευθεία με την ίδια κλίση, αλλά μετατοπισμένη προς τα κάτω κατά - logα, με αποτέλεσμα να τέμνει τον άξονα της συχνότητας στο σημείο ωα (Σχήμα 4.9): log log logα α Το διάγραμμα πλάτους της συνάρτησης H()/(+/α) (ο δεύτερος όρος της παραπάνω εξίσωσης) έχει ένα οριζόντιο τμήμα στα db από συχνότητα μέχρι α και ένα τμήμα με αρνητική κλίση -db/δεκάδα από συχνότητα α μέχρι άπειρο (Σχήμα 4.).

12 Σχήμα 4. Διάγραμμα Bode πλάτους της συνάρτησης H()/(+/α). Το ζητούμενο διάγραμμα της συνάρτησης μεταφοράς του κυκλώματος R προκύπτει αθροίζοντας τα παραπάνω δύο διαγράμματα (Σχήματα 4.9 και 4.). Η ευθεία που προκύπτει είναι στη θέση db (Σχήμα 4.). Το διάγραμμα μας δείχνει τη συμπεριφορά του κυκλώματος. Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι το κέρδος τάσης του κυκλώματος. Για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας αποκοπής το κύκλωμα έχει κέρδος τάσης db. Αυτό σημαίνει ότι το κέρδος τάσης ισούται με, δηλαδή η τάση εξόδου ισούται με την τάση εισόδου. Θυμηθείτε ότι log. Όσο η συχνότητα μειώνεται κάτω από τη συχνότητα αποκοπής το κέρδος μειώνεται κατά db/δεκάδα. Αρνητικές τιμές κέρδους σε db σημαίνουν απόσβεση, δηλαδή κέρδος μικρότερο της μονάδας. Καθώς η συχνότητα μειώνεται και τείνει στο μηδέν το κέρδος σε db τείνει στο μείον άπειρο. Σχήμα 4. Διάγραμμα Bode πλάτους της συνάρτησης μεταφοράς του κυκλώματος R Συζυγή μηδενικά - συζυγείς πόλοι Η περίπτωση που δεν έχουμε εξετάσει ακόμα και θα εξετάσουμε τώρα είναι η συνάρτηση μεταφοράς να περιέχει είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή μιγαδικές ρίζες. Υπενθυμίζεται ότι μιγαδικές ρίζες μπορούν να εμφανιστούν μόνο ως συζυγή ζεύγη ως λύσεις μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού, όπως αυτή που εξετάσαμε στη μελέτη του φαινομένου του συντονισμού: + + H a ω

13 Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: H ( ) + ζ ω + ω ω ζ + + ω ω όπου ζα/ω. Υπενθυμίζεται ότι ο συντελεστής α της παραπάνω εξίσωσης είναι ο εκθετικός συντελεστής απόσβεσης που μελετήσαμε στον συντονισμό, αλλά και στα μεταβατικά φαινόμενα σε κυκλώματα RC, και ω είναι η συχνότητα συντονισμού. Για την παράμετρο ζ στην αγγλική βιβλιογραφία χρησιμοποιείται ό όρος συντελεστή απόσβεσης (damping factor), ενώ για την παράμετρο α χρησιμοποιείται ο όρος εκθετικός συντελεστής απόσβεσης (exponential damping coefficient). Η παράμετρος ζ μπορεί να εκφραστεί και συναρτήσει του συντελεστή ποιότητας Q: α ζ ω Q Προσέξτε ότι η συχνότητα συντονισμού ω δεν συμπίπτει με τις ρίζες της εξίσωσης. Εστιάζουμε στην εξίσωση: H + ζ + ω ω Εάν ζ έχουμε ένα διπλό μηδενικό στη συχνότητα ωω, διότι η εξίσωση γίνεται: H + ω Το διάγραμμα πλάτους Bode είναι μια οριζόντια γραμμή μέχρι τη συχνότητα ω, όπου είναι το σημείο καμπής, και στη συνέχεια είναι μια γραμμή με κλίση +4dB/δεκάδα. Η απόκλιση της πραγματικής καμπύλης από το διάγραμμα Bode στη συχνότητα καμπής ω είναι 6dB. Το διάγραμμα φάσης θα έχει ένα οριζόντιο τμήμα μέχρι τη συχνότητα,ω, στη συνέχεια έχουμε μια γραμμή με κλίση 9 /δεκάδα για δύο δεκάδες, μέχρι τη συχνότητα ω, όπου φτάνουμε στις 8, και η τρίτη γραμμή του διαγράμματος είναι οριζόντια στις 8. Εάν ζ> έχουμε δύο απλά μηδενικά στις συχνότητες: ζ ζ, ω

14 ( ) ζ + ζ ω Η περίπτωση αυτή έχει ήδη εξεταστεί και δεν δημιουργεί κάποια ιδιαιτερότητα. Εάν όμως έχουμε ζ< οι ρίζες της εξίσωσης είναι συζυγείς μιγαδικές και υπάρχει ιδιαιτερότητα. Δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τις ρίζες, αρκεί να διερευνήσουμε τη μορφή της καμπύλης. Για το πλάτος η εξίσωση είναι: H db jω jω log + ζ + ω ω ω ω H db log + 4ζ ω ω Για χαμηλές συχνότητες (ω<<ω) η τιμή του πλάτους τείνει στα db, καθώς οι όροι που περιέχουν την ποσότητα ω/ω είναι αμελητέοι. Για ω>>ω επικρατέστερος είναι ο όρος (ω/ω) που μας δίνει μία ευθεία που περνάει από τη συχνότητα ω με κλίση +4dB/δεκάδα. Παράδειγμα 4- Να σχεδιαστούν τα διαγράμματα πλάτους και φάσης της συνάρτησης: H ( + ) ( + ) ( + ) Απάντηση Η συνάρτηση έχει ένα μηδενικό και δύο πόλους. Αρχικά τη φέρνουμε στην πρότυπη μορφή: H +, Θέτοντας jω η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται:

15 ( ω) H j Το πλάτος της συνάρτησης είναι: ( jω), + ω ω + j + j ( ( ω) ) ω log H j log, + log + ω ω log + log + ω ω + log + ω log + log + Το διάγραμμα πλάτους αποτελείται από ένα ευθύγραμμο τμήμα στα -db για συχνότητες μικρότερες της ωrad/ec. Στη συνέχεια το πλάτος αυξάνεται με κλίση +db/δεκάδα μέχρι τη συχνότητα ωrad/ec, όπου φτάνει την τιμή db. Για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας του πρώτου πόλου (ω) η κλίση γίνεται, άρα έχουμε ένα οριζόντιο τμήμα από τη συχνότητα ωμέχρι τη συχνότητα ωrad/ec. Για συχνότητες μεγαλύτερες της ωrad/ec η κλίση της καμπύλης είναι -db/δεκάδα (Σχήμα 4.). Η γωνία της συνάρτησης μεταφοράς είναι: < H ( jω) ω ω < ( + jω) < + j < + j ω tan ( + jω) tan + j ω tan + j

16 Σχήμα 4. Διάγραμμα πλάτους της συνάρτησης μεταφοράς. Η κατασκευή του διαγράμματος φάσης είναι πιο πολύπλοκη, διότι η κλίση της καμπύλης αλλάζει μία δεκάδα πριν κάθε συχνότητα καμπής. Το μηδενικό στη συχνότητα ω δημιουργεί ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση 45 /δεκάδα από τη συχνότητα, μέχρι τη συχνότητα και ένα οριζόντιο τμήμα στις 9 πάνω από τη συχνότητα. Ο πρώτος πόλος στη συχνότητα ω δημιουργεί ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση -45 /δεκάδα από τη συχνότητα μέχρι τη συχνότητα και ένα οριζόντιο τμήμα στις -9 πάνω από τη συχνότητα, ενώ ο δεύτερος πόλος στη συχνότητα ω δημιουργεί ένα ευθύγραμμο τμήμα με κλίση πάλι -45 /δεκάδα από τη συχνότητα μέχρι τη συχνότητα και ένα οριζόντιο τμήμα στις -9 για συχνότητες πάνω από. Σχήμα 4.3 Διάγραμμα φάσης της συνάρτησης μεταφοράς. Τα αθροίσματα των παραπάνω τμημάτων δίνουν την απόκριση που σχεδιάστηκε (Σχήμα 4.3). Με ανάλογο τρόπο, όπως εργαστήκαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, μπορούμε να σχεδιάσουμε προσεγγιστικά διαγράμματα πλάτους και φάσης πιο πολύπλοκων συναρτήσεων μεταφοράς. Τα διαγράμματα Bode παρέχουν έναν γρήγορο τρόπο σχεδίασης της απόκρισης συχνότητας συναρτήσεων μεταφοράς σε λογαριθμικά διαγράμματα που μας δίνουν μια γρήγορη εκτίμηση της συμπεριφοράς ενός κυκλώματος με πολύ καλή προσέγγιση. Εάν χρειαζόμαστε πιο ακριβή ανάλυση μπορούμε να εισάγουμε την ακριβή συνάρτηση σε ένα πρόγραμμα και με τη βοήθεια του υπολογιστή να πάρουμε την ακριβή απόκρισης συχνότητας ενός κυκλώματος.

17 4..7 Παθητικά φίλτρα Χρησιμοποιήσαμε ένα απλό κύκλωμα αποτελούμενο από μία αντίσταση και ένα πηνίο στο παράδειγμα 4- για να δείξουμε πώς εξάγεται η συνάρτηση μεταφοράς από ένα κύκλωμα. Αυτό το απλό κύκλωμα R είναι ένα υψιπερατό φίλτρο. Επιτρέπει τη διέλευση των υψηλών συχνοτήτων και αποκόπτει τις χαμηλές συχνότητες. Τα φίλτρα είναι πολύ χρήσιμα κυκλώματα επεξεργασίας ενός σήματος και χρησιμοποιούνται ήδη από τη δεκαετία του 9 στις τηλεπικοινωνίες. Τα φίλτρα κατατάσσονται σε διάφορες κατηγορίες. Όσον αφορά τα στοιχεία με τα οποία κατασκευάζονται, χωρίζονται σε παθητικά και ενεργά φίλτρα. Τα παθητικά φίλτρα κατασκευάζονται μόνο με παθητικά στοιχεία, δηλαδή αντιστάσεις, πηνία και πυκνωτές. Τα παθητικά φίλτρα έχουν το μειονέκτημα ότι δεν μπορούν να παρουσιάζουν ενίσχυση του σήματος, δηλαδή ακόμα και στις συχνότητες που επιτρέπουν τη διέλευση το κέρδος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ή από db, αν μετράμε το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς σε db. Ένα άλλο μειονέκτημα που έχουν είναι ότι απαιτούν τη χρήση και πηνίων, τα οποία είναι στοιχεία ογκώδη και δύσκολα στην κατασκευή. Στα ενεργά φίλτρα μπορούμε να έχουμε κέρδος μεγαλύτερο της μονάδας, ενώ επιπλέον μπορούν να κατασκευάζονται χωρίς πηνία. Τα ενεργά φίλτρα όμως περιέχουν, επιπλέον των παθητικών, και ενεργά στοιχεία, όπως τα τρανζίστορ ή οι τελεστικοί ενισχυτές, στοιχεία που πρέπει να τροφοδοτούνται από ηλεκτρική ενέργεια για να λειτουργήσουν. Σχήμα 4.4 Απόκριση συχνότητας ιδανικών φίλτρων: α) βαθυπερατό, β) υψιπερατό, γ) ζωνοπερατό, δ) ζωνοφρακτικό. Τα φίλτρα επιπλέον χαρακτηρίζονται από τον βαθμό του πολυωνύμου της συνάρτησης μεταφοράς τους. Έτσι έχουμε φίλτρα πρώτης τάξης, δεύτερης τάξης κ.ο.κ. Τα φίλτρα πρώτης τάξης έχουν μόνο έναν πυκνωτή ή ένα πηνίο, ενώ τα φίλτρα δεύτερης τάξης έχουν περισσότερα του ενός τέτοια στοιχεία. Παράδειγμα 4-3 Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας του κυκλώματος του Σχήματος 4.5.

18 Σχήμα 4.5 Κύκλωμα παραδείγματος 4-3. Απάντηση Το κύκλωμα θα πρέπει να είναι βαθυπερατό, καθώς οι πυκνωτές παρουσιάζουν μεγάλη αντίσταση σε χαμηλές συχνότητες και μικρή αντίσταση σε υψηλές συχνότητες. Για να βρούμε την ακριβή μορφή της απόκρισης συχνότητας θα βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς. Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας δύο φορές τη σχέση του διαιρέτη τάσης: H in x V V out out Vx V V V in R + C C + R + C C C R + R C + C C R + + R + C C R + C C + RC R + R + + R + C C C C

19 R + C C + RC R R + R + + C C C + RC C + RC 3R + 3RC + R C + + R C C Θέτοντας στην παραπάνω σχέση: ω RC Έχουμε: H ω ω Συγκρίνοντας την παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς με τη συνάρτηση μεταφοράς του βαθυπερατού φίλτρου RC, βλέπουμε ότι έχουμε ένα βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής: και συντελεστή ποιότητας: ω RC Q Εάν οι τιμές των αντιστάσεων και των πυκνωτών είναι διαφορετικές, καταλήγουμε σε συνάρτηση μεταφοράς βαθυπερατού φίλτρου, με διαφορετικό συντελεστή ποιότητας και με συχνότητα αποκοπής που δίνεται από τη σχέση: 3

20 ω R R C C Φίλτρα μεγαλύτερης τάξης προκύπτουν όταν ένα κύκλωμα έχει περισσότερα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας. Για παράδειγμα, εάν στο παραπάνω κύκλωμα υπήρχε ένα πηνίο στη θέση μίας από τις αντιστάσεις θα είχαμε ένα φίλτρο τρίτης τάξης. 4.3 Μετασχηματισμός aplace 4.3. Εισαγωγή Στην ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων (Κεφάλαιο ) έχουμε ήδη δει μετασχηματισμούς, όπως αυτόν της ημιτονοειδούς διέγερσης, που μας επέτρεψε να λύσουμε απλά και γρήγορα ένα σύνθετο κύκλωμα ή ακόμη περισσότερο ένα σύνθετο δίκτυο. Ένας μαθηματικός μετασχηματισμός που μπορεί να εφαρμοστεί για περισσότερα είδη διεγέρσεων και επιπλέον μπορεί να λαμβάνει υπόψη και τις αρχικές συνθήκες ενός κυκλώματος (αρχικά ρεύματα σε πηνία ή αρχικές τάσεις σε πυκνωτές) είναι ο μετασχηματισμός aplace. Ο μετασχηματισμός aplace επιπλέον επιτρέπει να υπολογίζουμε απευθείας τη συνολική απόκριση ενός κυκλώματος, η οποία περιλαμβάνει και τη μεταβατική απόκριση και την απόκριση μόνιμης κατάστασης. Ο μετασχηματισμός aplace είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας. Η συχνότητα δηλαδή θα περιλαμβάνει και πραγματικό και φανταστικό μέρος, έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνει εκτός της ημιτονοειδούς και την εκθετική συνάρτηση, που όπως είδαμε αποτελεί τη φυσική απόκριση πολλών κυκλωμάτων Ορισμός του μετασχηματισμού aplace Θα ορίσουμε τη μιγαδική συχνότητα, που θα συμβολίζουμε με το γράμμα, ως συχνότητα που περιλαμβάνει πραγματικό και φανταστικό μέρος: σ + jω Χρησιμοποιώντας τη μιγαδική συχνότητα μπορούμε να παραστήσουμε με συμπαγή τρόπο τόσο συνεχείς τάσεις, όσο και ημιτονοειδείς, εκθετικές ή αποσβενόμενες ημιτονοειδείς. Στη γενική μορφή μια τάση μπορεί να γραφεί (Κεφάλαιο ): j t j ( j ) ϕ ϕ + t V t V e e V e e σ ω Ο μετασχηματισμός aplace μιας συνάρτησης του χρόνου ορίζεται με το ολοκλήρωμα:

21 + t F e f t dt Με το ολοκλήρωμα αυτό μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση του χρόνου f ( t ) στη συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας F ( ). Ο μετασχηματισμός που ορίζεται με το παραπάνω ολοκλήρωμα λέγεται αμφίπλευρος μετασχηματισμός aplace, καθώς στο πεδίο του χρόνου συμπεριλαμβάνονται και οι αρνητικές τιμές του χρόνου. Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως: + t F e f t dt Για να επιστρέψουμε από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου εφαρμόζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace, που ορίζεται με το ολοκλήρωμα: σ + j t f t e F d π j σ j Η ολοκλήρωση γίνεται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής του επιπέδου της μιγαδικής συχνότητας για να διασφαλιστεί η σύγκλιση του ολοκληρώματος. Ευτυχώς δεν θα χρειαστεί να ασχοληθούμε με τέτοια ολοκληρώματα, καθώς ποτέ δεν θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω σχέση για να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace μιας συνάρτησης. Υπάρχει πιο εύκολος τρόπος για να βρίσκουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Οι ολοκληρωτικές σχέσεις που δώσαμε ορίζουν μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Σε μία συνάρτηση του χρόνου αντιστοιχίζεται μία και μόνο μία συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας και αντίστροφα: F ( ) f t Μεταβαίνουμε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας με χρήση του ολοκληρώματος μετασχηματισμού: + t F e f t dt

22 Μεταβαίνουμε από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου με χρήση του ολοκληρώματος αντίστροφου μετασχηματισμού: σ + j t f t e F d π j σ j Επαναλαμβάνουμε ότι το δεύτερο ολοκλήρωμα δεν θα χρειαστεί να το χρησιμοποιήσουμε. Δεν μπορούν να μετασχηματιστούν όλες οι συναρτήσεις του χρόνου και πρέπει να συντρέχουν δύο προϋποθέσεις: α) Πρέπει να υπάρχει το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f ( t ) για κάθε πεπερασμένο διάστημα t <t<t. β) Πρέπει να υπάρχει το όριο της συνάρτησης: lime t at f t για κάποια τιμή του α Μετασχηματισμοί aplace απλών συναρτήσεων Θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ορισμού του μετασχηματισμού aplace για να βρούμε τον μετασχηματισμό μερικών απλών συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται συχνά Μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(t) Από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace έχουμε: + + F e u t dt t e dt t t e e e Για να υπάρχει το παραπάνω ολοκλήρωμα πρέπει να ισχύει η σχέση σ>. Άρα έχουμε το ζεύγος μετασχηματισμού aplace: u t

23 Εάν η βηματική συνάρτηση εφαρμόζεται κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή tt, ο μετασχηματισμός της συνάρτησης u(t-t ) είναι: + + F e u t t dt t e dt t ( ) t t e e e e t t t Άρα: ( α ) u t e α Κρουστική συνάρτηση δ(t) Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση (unit impule function) συμβολίζεται διεθνώς με δ(t) και παρουσιάζει ιδιαίτερη χρησιμότητα. Η γραφική της παράσταση συμβολίζεται με ένα βέλος στη θέση t, με μήκος ίσο με τη μονάδα (Σχήμα 4.6). Η τιμή της είναι μηδενική για κάθε χρονική στιγμή, εκτός από τη χρονική στιγμή t, που η τιμή της απειρίζεται με τρόπο ώστε το ολοκλήρωμά της να ισούται με τη μονάδα. Μαθηματικά ορίζεται ως εξής: ( t), t δ + δ ( t ) dt Σχήμα 4.6 Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t).

24 Η κρουστική συνάρτηση είναι το όριο ενός συμμετρικού τετραγωνικού παλμού με σταθερό εμβαδό ίσο με τη μονάδα, καθώς μειώνεται το χρονικό του πλάτος. Επιπλέον, η κρουστική συνάρτηση είναι η παράγωγος της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης: ( t ) δ du ( t ) Η θέση του κρουστικού παλμού μπορεί να είναι στη θέση tt και όχι στο μηδέν, αλλάζοντας το όρισμα της κρουστικής συνάρτησης: dt δ ( t t ) Μία ενδιαφέρουσα ιδιότητα της κρουστικής συνάρτησης είναι ότι το ολοκλήρωμα του γινομένου οποιασδήποτε συνάρτησης επί την κρουστική μάς δίνει την τιμή της συνάρτησης στο μηδέν: + δ ( ) f t t dt f Μεταθέτοντας την κρουστική συνάρτηση στο χρόνο μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε τιμή της συνάρτησης: + δ ( ) ( ) f t t t dt f t Ο μετασχηματισμός aplace της κρουστικής συνάρτησης είναι: + t t δ ( ) F e t t dt e Άρα έχουμε το ζεύγος μετασχηματισμού: Για t έχουμε: δ t ( t t ) e δ ( t )

25 Εκθετική συνάρτηση e -αt u(t) Ο μετασχηματισμός aplace μιας εκθετικής συνάρτησης που ξεκινά τη χρονική στιγμή μηδέν είναι: t α t ( α ) t F e e u t dt e dt ( + α ) t e + α + α Ο παραπάνω μετασχηματισμός ισχύει για σ>-α. Έτσι έχουμε το ζεύγος μετασχηματισμού: e α t u t + α Η συνάρτηση t u(t) Ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι το ολοκλήρωμα: και έχουμε: Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: + + F t e u t dt t t e dt t ( ) f x d g x f x g x g x d f x + + t t t e t F t d e e dt + + t t t e e Άρα έχουμε το ζεύγος μετασχηματισμού:

26 Η συνάρτηση t e -α t u(t) Με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν έχουμε: t u t + + at t ( + a) t F t e e u t dt t e dt ( + a) t + t e ( + a) t + e dt + a + a Άρα έχουμε το ζεύγος μετασχηματισμού: + t t t e e + a + a + a t e at u t ( + a) Ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace Πριν προχωρήσουμε στην εύρεση του μετασχηματισμού aplace πιο πολύπλοκων συναρτήσεων του χρόνου πρέπει να δούμε μερικές ιδιότητες της «πράξης» του μετασχηματισμού aplace. Ο μετασχηματισμός aplace είναι μια πράξη ολοκλήρωσης, ακριβέστερα ένας τελεστής, που εφαρμόζεται σε συναρτήσεις του χρόνου και δίνει ως αποτέλεσμα της πράξης συναρτήσεις της συχνότητας. Συμβολίζουμε τον τελεστή του μετασχηματισμού aplace με το γράμμα. Αντιστοίχως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace είναι και αυτός μια πράξη που εφαρμόζεται σε συναρτήσεις της συχνότητας και δίνει ως αποτέλεσμα συναρτήσεις του χρόνου. Ο τελεστής του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace συμβολίζεται με -. Χρησιμοποιώντας τους τελεστές αυτούς μπορούμε να γράφουμε ότι: u t ή ότι:

27 α t e u t + α Αντιστοίχως, για τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace μπορούμε να γράφουμε ότι: e ( α ) α u t ή ότι: α ( t) e ( t ) δ και δ α Γραμμικότητα Έστω ότι [f (t)]f () και [f (t)]f ().Έστω επίσης ότι α και α είναι σταθεροί αριθμοί. Τότε ο μετασχηματισμός του γραμμικού συνδυασμού των δύο συναρτήσεων είναι: + α α f t f t ( α α ) t e f t f t dt + t t α α e f t dt + e f t dt α α F + F Η πράξη του μετασχηματισμού aplace δηλαδή υπακούει στην αρχή της γραμμικότητας. Το ίδιο ισχύει και για την πράξη του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace. Χρησιμοποιώντας την αρχή της γραμμικότητας μπορούμε να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό aplace των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Έτσι, για τον μετασχηματισμό της ημιτονοειδούς συνάρτησης έχουμε: inωt u t e e j jωt jωt

28 jωt jωt e e jω + jω j j ( ω ) + ω + jω jω ω j + Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και τον μετασχηματισμό aplace του συνημιτόνου: coωt u t e + e jωt jωt Άρα έχουμε τα ζεύγη μετασχηματισμού: jωt jωt e e + + jω + jω ( ω) ( ω ) + ω + jω + j + ω inωt u t + ω coωt u t + ω Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου Ο μετασχηματισμός aplace της χρονικής παραγώγου μιας συνάρτησης είναι: df ( t ) df t dt dt Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: t e dt t e df t

29 και το ολοκλήρωμα γίνεται: ( ) f x d g x f x g x g x d f x t df t d e t e f ( t) f ( t) dt dt t t e f ( t) e f ( t) dt + ( ) + t e f t F F f Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε τον μετασχηματισμό aplace της παραγώγου μιας συνάρτησης υψηλότερης τάξης. Για την παράγωγο δεύτερης τάξης θα βρούμε: df t df F ( ) f ( ) dt dt ( ) Εάν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές, η παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό με τη συχνότητα στο πεδίο της συχνότητας. Θυμηθείτε ότι αντίστοιχη ιδιότητα ισχύει στον μετασχηματισμό που κάναμε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας με στρεφόμενα διανύσματα. Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη, καθώς μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις στο πεδίο του χρόνου, που υπάρχουν σε ένα κύκλωμα λόγω της φύσης του πηνίου και του πυκνωτή, σε αλγεβρικές εξισώσεις στο πεδίο της συχνότητας, ακόμα και όταν υπάρχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Μάλιστα οι εξισώσεις που προκύπτουν περιλαμβάνουν και τις αρχικές συνθήκες. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό aplace του συνημιτόνου, από τον μετασχηματισμό aplace του ημιτόνου: d coωt u( t) inωt u( t) ω dt ω in ω + ω + ω

30 Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το μετασχηματισμό aplace του ημιτόνου, από το μετασχηματισμό aplace του συνημιτόνου: d inωt u( t) coωt u( t) ω dt co ω + ω ω + ω ω + ω Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου Περιμένουμε, σε αντιστοιχία με τον μετασχηματισμό μέσω στρεφομένων διανυσμάτων που είχαμε δει, ότι η ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί με διαίρεση με τη συχνότητα στο πεδίο του μετασχηματισμού aplace. Πράγματι: t t t Χρησιμοποιούμε πάλι την ιδιότητα: και το ολοκλήρωμα γίνεται: f x dx e f x dx dt t f x dx d e t ( ) f x d g x f x g x g x d f x t f x dx t t t t e f x dx e d f x dx +

31 t t e t f ( x ) dx e f ( t ) dt + t t F F e f ( x ) dx + αφού ο όρος: t t e f ( x ) dx ισούται με το μηδέν και στα δύο όρια, καθώς στο άπειρο ο εκθετικός όρος τείνει στο μηδέν, ενώ στο μηδέν που ο εκθετικός όρος τείνει στη μονάδα ταυτίζονται τα όρια του ολοκληρώματος και το ολοκλήρωμα τείνει στο μηδέν (κάθε ορισμένο ολοκλήρωμα μηδενίζεται όταν συμπίπτουν τα όρια του ολοκληρώματος). Άρα η πράξη της ολοκλήρωσης στο πεδίο του χρόνου ισοδυναμεί με διαίρεση με τη (μιγαδική) συχνότητα στο πεδίο της συχνότητας Μετασχηματισμός aplace περιοδικών συναρτήσεων Έστω ότι έχουμε μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, δηλαδή f ( t + k T) f ( t), όπου k ακέραιος. Η συνάρτηση f ( t ) μπορεί να παρασταθεί ως ένα άθροισμα άπειρων όρων χρονικά μετατοπισμένων συναρτήσεων: όπου f ( ) ( ) f t f t + f t T u t T + f t T u t T + t είναι οι τιμές της συνάρτησης για την πρώτη περίοδο, δηλαδή για το χρονικό διάστημα <t<t. Εφαρμόζοντας την ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης ο μετασχηματισμός της συνάρτησης είναι: T T f t F F + e F + e F + T T 3T F + e + e + e + ότι: Για το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς όμως της παραπάνω σχέσης ισχύει

32 + e + e + e + e T T 3T T T αφού e <. Έτσι, για το μετασχηματισμό aplace μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο Τ έχουμε: F F e T όπου F ( ) είναι ο μετασχηματισμός που αντιστοιχεί στην πρώτη περίοδο της συνάρτησης, για το χρονικό διάστημα <t<t Παραγώγιση στο πεδίο της συχνότητας Έστω F ( ) ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης f ( t ), δηλαδή: t F e f t dt Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς τη μιγαδική συχνότητα: df d t t e f ( t ) dt e t f ( t ) dt d d t f t Συνεπώς έχουμε το εξής ζεύγος μετασχηματισμού: t df f ( t) d Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα αυτή για να βρούμε τον μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης t u(t), αφού είχαμε βρει το μετασχηματισμό της βηματικής συνάρτησης. Υπενθυμίζεται ότι είχαμε υπολογίσει ότι: u t

33 Άρα ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης t u(t) ισούται με την παράγωγο του μετασχηματισμού της u(t): d u( t) d t u t d d Επίσης, αφού είχαμε υπολογίσει το μετασχηματισμό aplace της εκθετικής συνάρτησης: at e u t + a Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα αυτή για να βρούμε το μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης που προκύπτει από την εκθετική εάν την πολλαπλασιάσουμε με τον χρόνο: at d at d t e u( t) e u( t) d d + a ( + a) Ολοκλήρωση στο πεδίο της συχνότητας Έστω F ( ) ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης f ( t ) : t F e f t dt Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη ως προς τη μιγαδική συχνότητα: t F ( ) d e f ( t ) dt d

34 t t e e f ( t ) dt f ( t ) dt t t f ( t) f t t t e dt Συνεπώς έχουμε το εξής ζεύγος μετασχηματισμού: t f t t F d Θεώρημα αρχικής τιμής Το θεώρημα της αρχικής τιμής μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την αρχική τιμή μιας συνάρτησης (την τιμή της για t + ) εάν γνωρίζουμε ή μπορούμε να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης. Ξεκινάμε την απόδειξη του θεωρήματος αρχικής τιμής από τη σχέση του μετασχηματισμού aplace της παραγώγου της συνάρτησης που έχουμε ήδη δείξει: df ( t ) df t dt dt ( ) t e dt F f Στη συνέχεια παίρνουμε το όριο και των δύο μερών της παραπάνω σχέσης όταν η συχνότητα τείνει στο άπειρο: t ( F ( ) f ) e df ( t ) lim lim Ξεχωρίζουμε το ολοκλήρωμα στο δεξί μέρος της παραπάνω σχέσης σε δύο όρους, μοιράζοντας το διάστημα ολοκλήρωσης: ( F ( ) f ) lim + t t lim e df ( t ) + e df ( t ) +

35 ( F ( ) f ) lim + t t lim lim e df t + e df t + Όμως: + + t e df t e df t + + ( ) ( ) df t f f και: lim t t e df ( t ), αφού lime + Οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται: ( F ( ) f ) f f + lim lim Οι τιμές όμως της χρονικής συνάρτησης f ( ) οπότε μπορούν να βγουν έξω από το όριο: + και f ( ) είναι ανεξάρτητες του, + ( F ( ) ) f f f lim + ( F ( ) ) f lim Προσέξτε ότι με το θεώρημα αρχικής τιμής μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης αμέσως μετά τη χρονική στιγμή μηδέν.

36 Θεώρημα τελικής τιμής Το θεώρημα της τελικής τιμής μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την τελική τιμή μιας συνάρτησης (την τιμή της για t ) εάν γνωρίζουμε ή μπορούμε να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης. Ξεκινάμε την απόδειξη του θεωρήματος τελικής τιμής από τη σχέση του μετασχηματισμού aplace της παραγώγου της συνάρτησης που έχουμε ήδη δείξει: df ( t ) df t dt dt ( ) t e dt F f Αυτή τη φορά παίρνουμε το όριο και των δύο μερών της σχέσης καθώς η μιγαδική συχνότητα τείνει το μηδέν: Όμως: t αφού ( e ) Επίσης: lim t ( F ( ) f ) e df ( t ) lim lim lim e lim ( ) ( ) t df t df t f t f, t. ( F ( ) f ) ( F ( ) ) f lim lim Συνεπώς: lim t ( f ( t) ) lim F ( ) F ( ) Για να συγκλίνει το όριο στη δεξιά πλευρά της παραπάνω σχέσης (τη συνάρτηση f t θα πρέπει η συνάρτηση ) και, κατά συνέπεια, να είναι πεπερασμένο το όριο της F ( ) να έχει πόλους μόνο στο αριστερό ημιεπίπεδο (όπου σ<). Συνεπώς η συνάρτηση F ( ) μπορεί να έχει μόνο μέχρι έναν πόλο στη συχνότητα.

37 Οι ιδιότητες που παρουσιάστηκαν θα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού aplace συναρτήσεων, έτσι ώστε να αποφεύγουμε την απευθείας ολοκλήρωση που περιλαμβάνει ο ορισμός του μετασχηματισμού aplace. Οι ιδιότητες αυτές περιλαμβάνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Πίνακας 4. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace (συνέχεια). Τα ζεύγη μετασχηματισμού aplace βασικών συναρτήσεων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με τις ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace δίνονται στον Πίνακα 4.. Ζεύγη μετασχηματισμού που δεν έχουν αποδειχθεί μπορούν εύκολα να αποδειχθούν εφαρμόζοντας τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace ή τις ιδιότητες.

38 Πίνακας 4. Ζεύγη μετασχηματισμών aplace. Παράδειγμα 4-4 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός aplace ενός θετικού ορθογωνικού παλμού (Σχήμα 4.7) Σχήμα 4.7 Ορθογωνικός παλμός.

39 Απάντηση Η συνάρτηση του ορθογωνικού παλμού του σχήματος είναι: 4 ( ) f t u t u t Από τον πίνακα ζευγών μετασχηματισμού έχουμε ότι: u t Επίσης από την ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης προκύπτει ότι: u t ( ) e Συνεπώς και χρησιμοποιώντας την αρχή της γραμμικότητας ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι: F e 4 4 ( e ) Εάν ο ορθογωνικός παλμός είναι χρονικά μετατοπισμένος, για παράδειγμα εάν ξεκινά τη χρονική στιγμή t και τελειώνει τη χρονική στιγμή t3 ο μετασχηματισμός είναι: F 3 3 e e 4 e e Αντίστροφος μετασχηματισμός aplace Για να βρίσκουμε όμως τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace συναρτήσεων, θα προσπαθούμε να φέρουμε τη συνάρτηση, της οποίας τον αντίστροφο μετασχηματισμό θέλουμε να υπολογίσουμε, στη μορφή γραμμικού συνδυασμού όρων των οποίων είναι γνωστός ο αντίστροφος μετασχηματισμός, περιλαμβάνονται δηλαδή στους πίνακες που έχουμε παρουσιάσει. Συνήθως οι συναρτήσεις της συχνότητας των οποίων θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace μοιάζουν με συναρτήσεις μεταφοράς, δηλαδή είναι λόγος πολυωνύμων:

40 F N D όπου ο βαθμός του παρονομαστή θα είναι μεγαλύτερος του βαθμού του αριθμητή. Εάν ο βαθμός του παρονομαστή είναι ίσος με τον βαθμό του αριθμητή μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή και θα πάρουμε ως αποτέλεσμα έναν αριθμό συν μία συνάρτηση της παραπάνω μορφής όπου ο βαθμός του παρονομαστή θα είναι μεγαλύτερος του βαθμού του αριθμητή. Υπενθυμίζεται ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός ενός σταθερού αριθμού είναι η κρουστική συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με τον αριθμό αυτό. Οι ρίζες του αριθμητή λέγονται μηδενικά της συνάρτησης και οι ρίζες του παρονομαστή λέγονται πόλοι της συνάρτησης. Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό της συνάρτησης την αναλύουμε σε μερικά πηλίκα, δηλαδή την εκφράζουμε ως άθροισμα όρων που ο καθένας έχει έναν απλό πόλο, έναν πολλαπλό πόλο ή δύο συζυγείς μιγαδικούς πόλους. Η διαδικασία ανάλυσης εξαρτάται από το είδος των πόλων της συνάρτησης. Παράδειγμα 4-5 Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης: F Απάντηση Αναλύουμε τη συνάρτηση σε άθροισμα ενός αριθμού και μιας συνάρτησης με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό του παρονομαστή: F Ο ζητούμενος αντίστροφος μετασχηματισμός της συνάρτησης είναι: f t 5 t ( t) 3 e u( t) δ

41 4.4 Εφαρμογές του μετασχηματισμού aplace 4.4. Εισαγωγή Τώρα θα δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί ο μετασχηματισμός aplace για την επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Η εφαρμογή του μετασχηματισμού aplace για την επίλυση κυκλωμάτων περιλαμβάνει τρία στάδια, σε αναλογία με την εφαρμογή της μεθόδου των στρεφομένων διανυσμάτων που χρησιμοποιήσαμε εκτενώς για την επίλυση κυκλωμάτων με ημιτονοειδή διέγερση στη μόνιμη κατάσταση: Στο πρώτο στάδιο μετασχηματίζουμε το κύκλωμά μας από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Θα πρέπει δηλαδή να μετατρέψουμε όλα τα στοιχεία του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας. Στο δεύτερο στάδιο εφαρμόζουμε τους νόμους και τις μεθόδους που ξέρουμε για να καταστρώσουμε εξισώσεις και να τις λύσουμε. Στο τρίτο και τελευταίο στάδιο απομένει ο αντίστροφος μετασχηματισμός από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. Το θέμα αυτό το έχουμε αναλύσει σε αρκετό βάθος στο προηγούμενο κεφάλαιο. Συνεπώς, το δεύτερο από τα παραπάνω βήματα φαίνεται απλό, έχουμε ήδη αρκετή εμπειρία από την εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff, από την εφαρμογή της μεθόδου των βρόχων, των κόμβων ή από τη μέθοδο της επαλληλίας. Το τρίτο το εξετάσαμε από μαθηματική άποψη στο προηγούμενο κεφάλαιο, άρα αυτό που μένει να μάθουμε να κάνουμε είναι το πρώτο βήμα, δηλαδή η μετατροπή του κυκλώματος και των στοιχείων του από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Το μεγάλο πλεονέκτημα του μετασχηματισμού aplace είναι ότι μας επιτρέπει την ταυτόχρονη εύρεση και της μεταβατικής και της απόκρισης μόνιμης κατάστασης ενός κυκλώματος Μετασχηματισμός aplace κυκλωματικών στοιχείων Ας ξεκινήσουμε από την ωμική αντίσταση, που είναι το απλούστερο στοιχείο (Σχήμα 4.8). Η ωμική αντίσταση χαρακτηρίζεται από το νόμο του Ωμ: v t v( t) R i( t) R i t Παίρνοντας τον μετασχηματισμό aplace της παραπάνω σχέσης έχουμε: V V ( ) R I ( ) R I

42 Σχήμα 4.8 Σχέση τάσης - ρεύματος της αντίστασης στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας. Αφού η ωμική αντίσταση είναι ανεξάρτητη της συχνότητας, η σχέση τάσης - ρεύματος της αντίστασης στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας παραμένει γραμμική, όπως αναμενόταν. Στο πηνίο όμως (Σχήμα 4.9), η σχέση τάσης - ρεύματος είναι διαφορική: v t di ( t ) dt Παίρνοντας τον μετασχηματισμό aplace της παραπάνω σχέσης έχουμε: di t v( t) dt ( ) ( ) V I i I i Σχήμα 4.9 Σχέση τάσης ρεύματος του πηνίου στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας. Το πηνίο δηλαδή μπορεί να μοντελοποιηθεί στο πεδίο της συχνότητας (Σχήμα 4.9) από μια σύνθετη αντίσταση ανάλογη της μιγαδικής συχνότητας:

43 Z ( ) συνδεδεμένη σε σειρά με μία πηγή τάσης που περιλαμβάνει το αρχικό ρεύμα του πηνίου, με τιμή: i ( ) Εάν το αρχικό ρεύμα του πηνίου είναι μηδενικό, τότε το πηνίο μοντελοποιείται με μια σύνθετη αντίσταση: Z ( ) που στην περίπτωση που η συχνότητα είναι καθαρά φανταστική, j ω, παίρνει τη γνωστή μας μορφή: ( ω) Z Z jω Το ρεύμα του πηνίου συναρτήσει της τάσης δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) V I i I V + i I i ( ) V + Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να βρούμε τη σχέση τάσης - ρεύματος του πυκνωτή στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, αφού ο πυκνωτής, όπως και το πηνίο, έχει διαφορική σχέση τάσης - ρεύματος στο πεδίο του χρόνου: i t C dv ( t ) dt Παίρνοντας τον μετασχηματισμό aplace της παραπάνω σχέσης έχουμε:

44 Σχήμα 4. Σχέση τάσης - ρεύματος του πυκνωτή στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας. dv t i( t) C dt ( ) I C V v ( ) C V C v Ο πυκνωτής δηλαδή μπορεί να μοντελοποιηθεί στο πεδίο της συχνότητας από μια σύνθετη αντίσταση αντιστρόφως ανάλογη της μιγαδικής συχνότητας: Z C συνδεδεμένη παράλληλα με μία πηγή ρεύματος που περιλαμβάνει την αρχική τάση του πυκνωτή, με τιμή: C v ( ) Εάν η αρχική τάση του πυκνωτή είναι μηδενική, τότε ο πυκνωτής μοντελοποιείται με μια σύνθετη αντίσταση: Z C που στην περίπτωση που η συχνότητα είναι καθαρά φανταστική, j ω, παίρνει τη γνωστή μας μορφή:

45 ( ω) Z Z j C jω C ωc Η τάση του πυκνωτή συναρτήσει του ρεύματος που τον διαρρέει δίνεται από τη σχέση: ( ) I C V C v ( ) C V I + C v V v ( ) I + C Παράδειγμα 4-6 Βρείτε την απόκριση ενός κυκλώματος R (Σχήμα 4.) στις περιπτώσεις: α) Που υπάρχει αρχικό ρεύμα στο πηνίο i( - )I, αλλά δεν υπάρχει πηγή, β) Που δεν υπάρχει αρχικό ρεύμα στο πηνίο, αλλά υπάρχει βηματική πηγή τάσης και γ) Που υπάρχει αρχικό ρεύμα στο πηνίο και ταυτόχρονα εφαρμόζεται και βηματική πηγή τάσης. Σχήμα 4- Κύκλωμα R σε σειρά που διεγείρεται από βηματική πηγή τάσης. Απάντηση Στην πρώτη περίπτωση η εξίσωση του νόμου τάσεων του Kirchhoff στο πεδίο του χρόνου είναι: di t v ( t) + v ( t) i( t) R + R dt Μετατρέπουμε την εξίσωση στο πεδίο της συχνότητας και έχουμε:

46 I R + I i I ( R + ) I ( ) i( ) I ( ) Παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό και βρίσκουμε: I R + R + R t i t I e u t Στη δεύτερη περίπτωση που δεν υπάρχει αρχικό ρεύμα αλλά εφαρμόζεται βηματική τάση στο κύκλωμα η εξίσωση του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου είναι: di t v ( t) + v R ( t) V u( t) i( t) R + V u t dt Μετατρέπουμε την εξίσωση στο πεδίο της συχνότητας και έχουμε: V V I R + I R I + I V R + V R + Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό πρέπει να χωρίσουμε την παραπάνω συνάρτηση σε άθροισμα μερικών πηλίκων: Οι τιμές των α και α είναι: V a + I R + a R +

47 a V V V I ( ) R R R + V V R V a + I ( ) R R R R Η συνάρτηση που δίνει το ρεύμα του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας γίνεται: I V V V R R R R + + Παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό και βρίσκουμε: i t u t e u t e u t R R R R V t V t Έστω τώρα ότι τη χρονική στιγμή t - αμέσως πριν εφαρμοστεί η βηματική πηγή τάσης στο κύκλωμα το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα ίσο με Ι. Η εξίσωσή μας είναι: di t v ( t) + v R ( t) V u( t) i( t) R + V u t dt Μετατρέπουμε την εξίσωση στο πεδίο της συχνότητας και έχουμε: ( ) V I R + I i ( R ) I V ( ) i ( ) + +

48 I V V + I + I ( R + ) R + Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, πρέπει πάλι να χωρίσουμε την παραπάνω συνάρτηση σε άθροισμα μερικών πηλίκων: I V + I a a + R + + R Οι τιμές των α και α είναι: a V + I V V I ( ) R R R + V R + I a I + ( ) R R V I R V I R V I R R R Η συνάρτηση που δίνει το ρεύμα του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας γίνεται: I V + I V R + R + V I R R +

49 Παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό και βρίσκουμε: i t u t I e u t R R R V V t + Για να βεβαιωθούμε ότι είναι σωστό το αποτέλεσμα ελέγχουμε την τιμή του ρεύματος που δίνει η παραπάνω εξίσωση για t και για t : V V V V i( ) + I e + I I R R R R R R V V V i( ) + I e R R R Συνεπώς τα αποτελέσματα είναι σωστά και συμφωνούν με αυτά που είχαμε βρει όταν ασχοληθήκαμε με την επίλυση του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου. Προσέξτε ότι η συνάρτηση του ρεύματος στο πεδίο του χρόνου στην τελευταία περίπτωση, που υπάρχει και πηγή στο κύκλωμα και αρχικό ρεύμα στο πηνίο, προκύπτει από το άθροισμα των αντίστοιχων συναρτήσεων στις δύο άλλες περιπτώσεις, δηλαδή στην πρώτη που υπήρχε μόνο αρχικό ρεύμα στο πηνίο και στη δεύτερη που υπήρχε μόνο η βηματική πηγή τάσης Επίλυση κυκλωμάτων στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας Στα προηγούμενα παραδείγματα φάνηκε η αξία του μετασχηματισμού aplace στην επίλυση κυκλωμάτων. Η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε κύκλωμα, αλλά εάν το κύκλωμα είναι πολύπλοκο καταλήγουμε σε εξισώσεις μεγάλου βαθμού και για την εύρεση των ριζών του παρονομαστή πρέπει να χρησιμοποιηθεί κάποιο πρόγραμμα, όπως το MATAB. Σημειώνεται ότι αφού μετατρέψουμε ένα κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας μπορούμε να εφαρμόσουμε όλες τις μεθόδους που έχουμε μάθει για την επίλυση των κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος, όπως τη μέθοδο των κόμβων ή τη μέθοδο των βρόχων, τη μέθοδο της επαλληλίας, τα θεωρήματα Thevenin και Norton, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις σχέσεις του διαιρέτη ρεύματος και του διαιρέτη τάσης, καθώς και κάθε άλλη τεχνική που έχουμε αναπτύξει στα προηγούμενα κεφάλαια. Παράδειγμα 4-7 Ένα κύκλωμα αποτελείται από μία βηματική πηγή τάσης, έναν πυκνωτή και δύο αντιστάσεις (Σχήμα 4.). Τη χρονική στιγμή μηδέν ο πυκνωτής δεν έχει τάση στα άκρα του. Να υπολογιστεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου.

50 Σχήμα 4. Κύκλωμα παραδείγματος 4-6. Απάντηση Μετατρέπουμε το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας. Αφού ο πυκνωτής δεν έχει αρχική τάση μπορεί να μετατραπεί σε σύνθετη αντίσταση με τιμή: 6 Z kω C C 5 Η ισοδύναμη αντίσταση του πυκνωτή και της αντίστασης 6 kω που συνδέονται παράλληλα είναι: 6 6 Z ( ) kω RC Η ζητούμενη τάση στο πεδίο της συχνότητας μπορεί να υπολογιστεί με χρήση της σχέσης του διαιρέτη τάσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι η βηματική πηγή τάσης μετασχηματίζεται στο πεδίο της συχνότητας σε 3/: V C ( ) ( ( + 3 ) ) ( ) ( 9 9) ( ) Στη συνέχεια αναλύουμε την παραπάνω συνάρτηση της τάσης του πυκνωτή σε άθροισμα μερικών πηλίκων:

51 V C ( ) a a ( ) Υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστών α και α: a V C ( ) + a ( + ) V ( ) C Οπότε η ζητούμενη τάση στο πεδίο της συχνότητας είναι: VC ( ) + Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace της τάσης είναι: C t t v t u t e u t e u t Η ορθότητα του αποτελέσματος επαληθεύεται εύκολα. Τη χρονική στιγμή μόλις ενεργοποιηθεί η πηγή τάσης η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι μηδέν, επαληθεύοντας το γεγονός ότι η τάση του πυκνωτή δεν μπορεί να αλλάξει απότομα. Όλο το ρεύμα της πηγής ρέει μέσω του πυκνωτή, με αποτέλεσμα η αντίσταση των 6 kω να μην διαρρέεται από ρεύμα και να μην αναπτύσσεται τάση στα άκρα της. Σε άπειρο χρόνο, όταν θα έχουν εκλείψει τα μεταβατικά φαινόμενα, ο πυκνωτής μπορεί να θεωρηθεί ανοικτοκύκλωμα και η τάση μοιράζεται στις δύο αντιστάσεις σύμφωνα με τη σχέση του διαιρέτη τάσης, άρα στην αντίσταση των 6 kω θα αναπτυχθεί τάση ίση με Volt και στην αντίσταση των 3 kω θα αναπτυχθεί τάση ίση με Volt. Επιπλέον, η σταθερά χρόνου του κυκλώματος σύμφωνα με τη σχέση που βρήκαμε για την τάση ισούται με ec. Πράγματι, η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: τ R C 3 6 kω 5 µ F kω 5 µ F ec Ο μετασχηματισμός aplace αποτελεί ένα πανίσχυρο εργαλείο για την ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Μετατρέποντας το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας μπορούμε να εφαρμόσουμε με τον ίδιο τρόπο οποιαδήποτε διέγερση, απλώς εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό της στο πεδίο της συχνότητας, να βρούμε την απόκριση που θέλουμε στο πεδίο της συχνότητας και ύστερα να εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό για να βρούμε την απόκριση στο πεδίο του χρόνου. Οι διαφορικές εξισώσεις μετατρέπονται σε

52 αλγεβρικές, γεγονός που απλουστεύει σημαντικά την επίλυση του κυκλώματος. Επιπλέον, τα αποτελέσματα που παίρνουμε αφορούν την πλήρη απόκριση του κυκλώματος, που συμπεριλαμβάνει και τη μεταβατική και την απόκριση μόνιμης κατάστασης. Τα παραδείγματα που δείξαμε αφορούν απλά κυκλώματα. Σε περίπτωση που έχουμε σύνθετα κυκλώματα με μεγάλο αριθμό στοιχείων αυξάνεται ο βαθμός των πολυωνύμων (και κατά συνέπεια ο αριθμός των πόλων της συνάρτησης του μεγέθους που θέλουμε να βρούμε), με αποτέλεσμα να μην είναι εύκολη η διαδικασία της ανάλυσης της συνάρτησης σε άθροισμα μερικών πηλίκων. Στην περίπτωση αυτή είναι απαραίτητη η χρήση ενός πακέτου λογισμικού όπως το MATAB. Με ένα τέτοιο εργαλείο μπορούμε να βρούμε οποιαδήποτε απόκριση ακόμα και πολύπλοκων κυκλωμάτων Συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο aplace Εξετάσαμε την έννοια της συνάρτησης μεταφοράς όταν μελετήσαμε την απόκριση συχνότητας. Εκεί ασχοληθήκαμε με τη συνάρτηση μεταφοράς ως συνάρτηση της γωνιακής συχνότητας ω. Συγκεκριμένα, στο παράδειγμα 4- πήραμε το λόγο της τάσης του πηνίου προς την τάση εισόδου ως συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος R, όπου είχαμε βρει ότι: ( ω) H j V Z jω V R + Z R + jω R j ω Η παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς, όμως, αναφέρεται μόνο σε ημιτονοειδή διέγερση, δηλαδή μας επιτρέπει να βρούμε την απόκριση του κυκλώματος, πολλαπλασιάζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς με μια ημιτονοειδή είσοδο: ( ω) ( ω) ( ω) V j H j V j Εκφράζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας θα είχαμε: H V Z V R + Z R + R + Η συνάρτηση μεταφοράς στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας μάς επιτρέπει να βρούμε την απόκριση του κυκλώματος ως προς το συγκεκριμένο μέγεθος, που στην περίπτωσή μας είναι ο λόγος της τάσης του πηνίου προς την τάση εισόδου, για οποιαδήποτε διέγερση. Εάν βάλουμε σαν είσοδο στο κύκλωμα μια βηματική τάση για να βρούμε την έξοδο του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας πολλαπλασιάζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς με το μετασχηματισμό aplace της βηματικής τάσης:

53 v t V u t V V V V ( ) H ( ) V ( ) V R R + + Για να βρούμε την τάση του πηνίου στο πεδίο του χρόνου κάνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό της τάσης που βρήκαμε στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας: R t v t V e Εάν η διέγερση είναι ημιτονοειδής, πολλαπλασιάζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς με τον μετασχηματισμό aplace της ημιτονοειδούς τάσης για να βρούμε την έξοδο του κυκλώματος. Έτσι, στην περίπτωση της ημιτονοειδούς διέγερσης: όπου: ω v t V co t V V + ω V H V V R + ω + V V R ( ω ) ( ω ω ) ω R Αναλύοντας σε άθροισμα μερικών πηλίκων: V ( ) V ω ω ω ω + ω + ω ( + ω ) ( + ω )

54 V ( ) V ω V ω V ω ω ω + ω ω ω ω ω ω ( + ω ) ( + ω ) ( + ω ) Για να βρούμε την τάση του πηνίου στο πεδίο του χρόνου κάνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό της τάσης που βρήκαμε στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας: V ω ω V ω V ω ω v ( t ) e + co t inωt ω ω ω ω ω ω t ω V ω ω V ω ω v ( t ) e + co t + tan ω + ω ω ω ω + t ω ( ω) ( ω) R V ω t V R v ( t ) e + co ωt tan + ω + ω ω R + Ο πρώτος όρος της παραπάνω σχέσης είναι η μεταβατική τάση του πηνίου, που οφείλεται στο γεγονός ότι η ημιτονοειδής πηγή τάσης ενεργοποιείται τη χρονική στιγμή μηδέν [αμελήσαμε στην παραπάνω ανάλυση που κάναμε τον παράγοντα u(t)]. Ο όρος αυτός φθίνει εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σταθερά χρόνου του κυκλώματος. Ο δεύτερος όρος είναι η τάση μόνιμης κατάστασης και είναι ακριβώς η τάση που είχαμε βρει όταν αναλύσαμε το κύκλωμα χρησιμοποιώντας στρεφόμενα διανύσματα. Για την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων έχει σχεδιαστεί το διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων του κυκλώματος (Σχήμα 4.3). Βάλαμε σαν είσοδο τη συνάρτηση συνημιτόνου και πήραμε σαν έξοδο την τάση του πηνίου με γωνία αναφοράς αυτή της τάσης εισόδου. Ο αναγνώστης μπορεί να δοκιμάσει σαν είσοδο τη συνάρτηση ημιτόνου. Θα πάρει σαν έξοδο την ίδια συνάρτηση στραμμένη κατά 9. Επίσης θα πρέπει να είναι διαφορετική και η μεταβατική συνιστώσα της τάσης του πηνίου. Μπορούμε να δοκιμάσουμε και διαφορετικές συναρτήσεις εισόδου, για παράδειγμα την εκθετική. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όμως έχει η κρουστική συνάρτηση δ(t), καθώς ο μετασχηματισμός της στο πεδίο της συχνότητας μας δίνει τη μονάδα. Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος συμπίπτει με την απόκρισή του στην κρουστική διέγερση.

55 Σχήμα 4.3 Διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων του κυκλώματος R σειράς Ευστάθεια κυκλωμάτων Ένα κύκλωμα είναι ευσταθές όταν η απόκρισή του για πεπερασμένη διέγερση είναι πεπερασμένη. Μπορούμε να ελέγξουμε την ευστάθεια ενός κυκλώματος ελέγχοντας τη συνάρτηση μεταφοράς του. Όπως έχουμε δει, η συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος εκφράζεται ως λόγος πολυωνύμων: H N D όπου N() το πολυώνυμο του αριθμητή του κλάσματος και D() το πολυώνυμο του παρονομαστή του κλάσματος. Η απόκριση του κυκλώματος εξαρτάται από δύο παράγοντες: Το βαθμό των πολυωνύμων και τη θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο, δηλαδή τη θέση των ριζών του πολυωνύμου του παρονομαστή του κλάσματος της συνάρτησης μεταφοράς. Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάσαμε, και αφορούσαν πραγματικά κυκλώματα, ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή ήταν μικρότερος του βαθμού του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εάν αυτό δεν ισχύει, τότε το κύκλωμα είναι ασταθές. Πράγματι, έστω ότι οι βαθμοί των δύο πολυωνύμων είναι ίσοι. Τότε, εκτελώντας διαίρεση, η συνάρτηση μεταφοράς καταλήγει στη μορφή: H ' N N k + D D όπου το k είναι αριθμός και ο βαθμός του πολυωνύμου του νέου αριθμητή N'() είναι κατά μία μονάδα μικρότερος του βαθμού του πολυωνύμου του παρονομαστή. Θυμίζουμε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός ενός σταθερού αριθμού είναι ο αριθμός αυτός πολλαπλασιασμένος με την κρουστική συνάρτηση, η οποία απειρίζεται για t. Άρα η έξοδος του κυκλώματος δεν είναι πεπερασμένη και το κύκλωμα είναι ασταθές. Εάν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος κατά μία μονάδα από το βαθμό του παρονομαστή, τότε η διαίρεση των δύο πολυωνύμων θα δώσει μια συνάρτηση της μορφής:

56 ' N N H ( ) k + k + D D Ο αντίστροφος μετασχηματισμός αυτής της συνάρτησης θα δώσει εκτός από την κρουστική συνάρτηση και την παράγωγό της, άρα πάλι το κύκλωμα δεν είναι ευσταθές. Η δεύτερη προϋπόθεση για να είναι ευσταθές ένα κύκλωμα αφορά την τιμή των πόλων. Θα πρέπει το πραγματικό τους μέρος να είναι αρνητικός αριθμός. Θυμηθείτε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα μερικών πηλίκων της μορφής: H N a a a D p p p n n όπου p i, i...n, οι ρίζες του παρονομαστή. Οι ρίζες μπορεί να είναι πραγματικές ή μιγαδικές. Έστω ότι έχουμε μια πραγματική ρίζα. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός του όρου με την πραγματική ρίζα είναι της μορφής: i i i p t h t a e Εάν η ρίζα είναι θετικός αριθμός, η τιμή του παραπάνω όρου απειρίζεται καθώς αυξάνει ο χρόνος. Εάν έχουμε ένα πραγματικό κύκλωμα οι μιγαδικές ρίζες μπορούν να εμφανίζονται μόνο σε συζυγή ζεύγη. Εάν έχουμε το ζεύγος μιγαδικών ριζών p i σ i +jω i και p i σ i -jω i, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός του όρου αυτού είναι της μορφής: i i + p t p t h t a e a e i i i Θυμίζουμε ότι και οι συντελεστές α i και α i είναι συζυγείς αριθμοί. Μετά από λίγες πράξεις η παραπάνω ποσότητα καταλήγει πάντα σε μια μορφή εκθετικής ημιτονοειδούς συνάρτησης: σ i t ( ω + ϕ ) h t k e co t i i i i Εάν το πραγματικό μέρος σ i της μιγαδικής συχνότητας είναι θετικός αριθμός, η παραπάνω ποσότητα απειρίζεται καθώς αυξάνεται ο χρόνος, με αποτέλεσμα το κύκλωμα να είναι ασταθές. Ποια πραγματικά κυκλώματα είναι ευσταθή και ποια μπορεί να είναι ασταθή; Όταν ένα κύκλωμα περιέχει μόνο παθητικά στοιχεία, τότε είναι πάντα ευσταθές. Εάν ένα κύκλωμα περιέχει μόνο πηνία και πυκνωτές και όχι ωμικές αντιστάσεις είναι ασταθές στη συχνότητα συντονισμού, αλλά πρακτικά είναι αδύνατο ένα πραγματικό κύκλωμα να μην περιέχει ωμική αντίσταση, λόγω της μικρής έστω ωμικής αντίστασης που έχει ο αγωγός με τον οποίο

57 κατασκευάζονται τα πηνία, αλλά και λόγω της μικρής έστω ωμικής αντίστασης που έχουν οι αγωγοί που χρησιμοποιούμε για να συνδέσουμε τα στοιχεία μεταξύ τους. Ασταθές μπορεί να είναι ένα κύκλωμα όταν περιλαμβάνει στοιχεία που παρέχουν ενέργεια στο κύκλωμα, δηλαδή ενεργά στοιχεία. Τα ενεργά στοιχεία, όπως τα τρανζίστορ και τα ολοκληρωμένα κυκλώματα που χρησιμοποιούνται σε ηλεκτρονικά κυκλώματα, μοντελοποιούνται με εξαρτημένες πηγές. Έτσι, ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει εξαρτημένες πηγές μπορεί να είναι ασταθές. Για να ελέγξουμε την ευστάθεια ενός τέτοιου κυκλώματος πρέπει να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του και να ελέγξουμε δύο παράγοντες: Εάν ο βαθμός του πολυωνύμου του παρονομαστή είναι μεγαλύτερος του βαθμού του πολυωνύμου του αριθμητή. Τις θέσεις των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς. Θα πρέπει όλοι οι πόλοι να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, ή διαφορετικά, να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του επιπέδου της μιγαδικής συχνότητας. Παράδειγμα 4-8 Ένα κύκλωμα έχει συνάρτηση μεταφοράς: H k + k + ( ( 5) 5) όπου k θετικός αριθμός. Για ποιές τιμές του k είναι το κύκλωμα ασταθές; Απάντηση Ο βαθμός του αριθμητή είναι και του παρονομαστή 3, άρα το πρώτο κριτήριο ευστάθειας ικανοποιείται. Το κύκλωμα έχει ένα πόλο στη συχνότητα και δύο πόλους που είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας συνάρτησης του παρονομαστή: Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: k , ( k 5) ( k ) 5 ± Για να είναι ασταθές το κύκλωμα πρέπει οι παραπάνω ρίζες να έχουν θετικό πραγματικό μέρος:

58 ( k 5) > k 5 < k < Συνέλιξη 4.5. Ορισμός Μία πολύ χρήσιμη έννοια στην επεξεργασία σημάτων είναι αυτή της συνέλιξης (convolution). Η συνέλιξη δύο σημάτων είναι ένα τρίτο σήμα που ορίζεται με το ολοκλήρωμα: + conv t x λ y t λ dλ Η συνέλιξη δηλαδή είναι μια πράξη ανάμεσα σε δύο χρονικές συναρτήσεις που δίνει ως αποτέλεσμα μια τρίτη χρονική συνάρτηση. Η πράξη αυτή αθροίζει (ολοκληρώνει) τις τιμές του ενός σήματος πολλαπλασιασμένες με χρονικές μετατοπίσεις του άλλου σήματος, για όλες τις δυνατές τιμές της χρονικής μετατόπισης. Δείχνει την ομοιότητα των δύο σημάτων. Η πράξη της συνέλιξης συμβολίζεται με έναν αστερίσκο: * conv t x t y t x λ y t λ dλ Εφαρμογή σε συναρτήσεις μεταφοράς Έστω ότι έχουμε ένα γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα, με μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή χωρίς αρχική αποθηκευμένη ενέργεια στα πηνία και τους πυκνωτές του, το οποίο έχει συνάρτηση μεταφοράς, στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, H ( ). Δεδομένου ότι ο μετασχηματισμός aplace της μοναδιαίας κρουστικής συνάρτησης δ ( t ) είναι ίσος με τη μονάδα, η συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος ταυτίζεται με τον μετασχηματισμό aplace της απόκρισης του κυκλώματος, όταν η διέγερση είναι η κρουστική συνάρτηση και, κατά συνέπεια, ο αντίστροφος μετασχηματισμός της συνάρτησης μεταφοράς δίνει την απόκριση του κυκλώματος όταν σαν είσοδο έχουμε βάλει την κρουστική συνάρτηση: + H ( ) h t

59 Σχήμα 4.4 Σχέση εισόδου και εξόδου σε ένα κύκλωμα, στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου. Έτσι, εάν σαν είσοδο σε ένα κύκλωμα βάλουμε την κρουστική συνάρτηση δ ( t ) παίρνουμε σαν έξοδο την κρουστική απόκριση του κυκλώματος h( t ) : δ ( t ) h ( t ) H ( ) Εάν μετατοπίσουμε τη διέγερση κατά λ ec, τότε μετατοπίζεται χρονικά και η απόκριση δ t λ θα πάρουμε σαν έξοδο κατά ίσο χρόνο, άρα αν βάλουμε σαν είσοδο τη συνάρτηση τη συνάρτηση h( t λ ) : ( t ) h( t ) δ λ λ Πολλαπλασιάζουμε την είσοδο με την τιμή της συνάρτησης x( t ) τη χρονική στιγμή tλ, δηλαδή με την τιμή x ( λ ). Λόγω της γραμμικότητας του κυκλώματος, η έξοδος πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό: ( λ) δ ( λ) ( λ) ( λ) x t x h t Πάλι σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, αφού αναφερόμαστε σε γραμμικά κυκλώματα, εάν βάλουμε σαν είσοδο το άθροισμα των συναρτήσεων x( λ) δ ( t λ) για όλες τις δυνατές τιμές του λ, τότε θα πάρουμε σαν έξοδο το αντίστοιχο άθροισμα των x λ h t λ : συναρτήσεων + + x λ δ t λ dλ x λ h t λ dλ

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρωση. Φάσμα συχνοτήτων. Πεδίο μιγαδικής μγ συχνότητας Πόλοι & μηδενικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ. ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/01/2015

ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ. ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/01/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Η έξοδος του αισθητήρα του παρακάτω σχήματος είναι γραμμικό σήμα τάσης, το οποίο εφαρμόζεται για χρονικό διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1

Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1 Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3...2 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ...2 3.1 Απόκριση συχνότητας ενισχυτών...2 3.1.1 Παραμόρφωση στους ενισχυτές...5 3.1.2 Πιστότητα των ενισχυτών...6 3.1.3

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

1.5 1 Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff 11 1.5 2 Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff 12 1.5 3 Το θεώρημα του Tellegen 13

1.5 1 Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff 11 1.5 2 Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff 12 1.5 3 Το θεώρημα του Tellegen 13 Μέρος Α 1. Εισαγωγικές Έννοιες 3 1.1 Το αντικείμενο της θεωρίας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων 4 1.2 Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα 5 1.3 Συγκεντρωμένα και κατανεμημένα κυκλώματα 6 1.4 Ορισμοί Φορές αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο ( μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 1, 0.7, 00 kω, 4 kω, h e. kω και β h 100. (α) Να προσδιορίσετε τις τιμές των αντιστάσεων και ώστε το σημείο λειτουργίας Q (, ) του τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ R-C ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Η θεωρία της άσκησης καλύπτεται από το βιβλίο του Εργαστηρίου. ( j

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ R-C ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Η θεωρία της άσκησης καλύπτεται από το βιβλίο του Εργαστηρίου. ( j ΑΣΚΗΣΗ 07 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ - ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Αντικείμενο της άσκησης είναι η μελέτη της συνάρτησης μεταφοράς ενός εν σειρά - κυκλώματος συναρτήσει της συχνότητας του σήματος εισόδου. Η θεωρία της άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4

ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 Το βασικό μοντέλο ενισχυτή Χαρακτηριστικά Ενίσχυση σημάτων μηδενικής (σχεδόν) τάσης Τροφοδοσία από μια ή περισσότερες DC πηγές Απαιτεί κατάλληλο DC biasing

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί (olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο (3 μονάδες):

ΘΕΜΑ 1 ο (3 μονάδες): ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 9/0/00 ΘΕΜΑ ο ( μονάδες): Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 0, 0.7, kω, 0 kω, Ε kω, L kω, β fe 00, e kω. (α) Να προσδιορίσετε τις τιμές των αντιστάσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 21/01/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 21/01/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ /0/0 ΘΕΜΑ ο (5 μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 0 Ω, Ε kω, Β 00 kω, 4 kω, L kω, e 5 kω και 00 (α) Να προσδιορίσετε την ενίσχυση τάσης (A

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

3 η ενότητα ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ

3 η ενότητα ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ ρ. Λάμπρος Μπισδούνης Καθηγητής 3 η ενότητα ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ T.E.I. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Περιεχόμενα 3 ης ενότητας Στην τρίτη ενότητα θα μελετήσουμε την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

περιεχομενα Πρόλογος vii

περιεχομενα Πρόλογος vii Πρόλογος vii περιεχομενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...4 1.2 Συστήματα και Μονάδες...5 1.3 Φορτίο και Ρεύμα...6 1.4 Δυναμικό...9 1.5 Ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /6/6 ΘΕΜΑ ο (5 μονάδες Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: =, = 6 kω, = kω και = = Ε = = kω, ενώ για το τρανζίστορ δίνονται: = 78, β

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. 3 η ενότητα ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. ρ. Λάμπρος Μπισδούνης.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. 3 η ενότητα ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. ρ. Λάμπρος Μπισδούνης. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ρ. Λάμπρος Μπισδούνης Καθηγητής η ενότητα ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ T... ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Περιεχόμενα ης ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα

Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα Κεφάλαιο Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα C Το κύκλωμα του Σχήματος. είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης V, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση

Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Φώτης Πλέσσας fplessas@e-ce.uth.gr Εισαγωγή Πολλά πραγματικά συστήματα, όπως οι μονάδες παραγωγής και τα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, οι τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. 3 η ενότητα ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. ρ. Λάμπρος Μπισδούνης.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. 3 η ενότητα ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. ρ. Λάμπρος Μπισδούνης. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ρ. Λάμπρος Μπισδούνης Καθηγητής 3 η ενότητα ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ T.E.I. ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Περιεχόμενα 3 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΤΡΑ ΜΕ ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΦΙΛΤΡΑ ΜΕ ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΙΛΤΡΑ ΜΕ ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τα φίλτρα είναι ηλεκτρικά δικτυώματα που αφήνουν να περνούν απαραμόρφωτα ηλεκτρικά σήματα μέσα σε συγκεκριμένες ζώνες συχνοτήτων και ταυτόχρονα μηδενίζουν κάθε άλλο ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος RC σε βηµατική και αρµονική διέγερση

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος RC σε βηµατική και αρµονική διέγερση Ονοµατεπώνυµο: Αριθµός Μητρώου: Εξάµηνο: Υπογραφή Εργαστήριο Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων και Συστηµάτων 1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος σε βηµατική και αρµονική διέγερση Μέρος Α : Απόκριση στο πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6 Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Gree Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη Εισαγωγή στην ημιτονοειδή ανάλυση στην σταθερή κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 26/01/2017

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 26/01/2017 ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/0/07 ΘΕΜΑ ο ( μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ;

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ; Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Κινητά τηλέφωνα Τηλεπικοινωνίες Δίκτυα Ο κόσμος της Ηλεκτρονικής Ιατρική Ενέργεια Βιομηχανία Διασκέδαση ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Τι περιέχουν οι ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k,

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k, Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ) με τα εξής χαρακτηριστικά: 3 k, 50, k, S k και V 5 α) Nα υπολογιστούν οι τιμές των αντιστάσεων β) Να επιλεγούν οι χωρητικότητες C, CC έτσι ώστε ο ενισχυτής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα