Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL"

Transcript

1 Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011

2

3 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor Mulţimi Operaţii cu mulţimi Produse carteziene Relaţii binare. Funcţii. Legi de compoziţie Structuri algebrice. Izomorfism Mulţimea numerelor reale Şiruri şi serii de numere reale Şiruri de numere reale Şir fundamental în IR Limita superioară şi limita inferioară ale unui şir numeric Puncte limită ale unui şir numeric Serii de numere reale. Definiţii. Exemple Seria geometrică Seria telescopică Seria armonică Proprietăţi generale ale seriilor convergente Criteriul general al lui Cauchy pentru serii numerice Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni oarecare Serii numerice absolut convergente şi serii semi convergente Serii cu termeni pozitivi Seria armonică generalizată Criterii de convergenţă şi divergenţă pentru serii cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Criteriul condensării al lui Cauchy Criteriul logaritmic Criteriul de convergenţă în α Criteriul raportului Criteriul radicalului Alte criterii de convergenţă ale seriilor cu termeni pozitivi Criteriul lui Kummer Criteriul lui Raabe Criteriul logaritmic al lui Bertrand Criteriul lui Gauss Criteriul integral al lui Cauchy Calculul aproximativ al sumei unei serii numerice convergente Serii numerice remarcabile Produsul după Cauchy al două serii numerice

4 3 Elemente de teoria spaţiilor metrice Definiţia spaţiului metric. Proprietăţi. Exemple Definiţia spaţiului liniar (vectorial). Proprietăţi. Exemple Şiruri de puncte în spaţii metrice. Şir de funcţii Spaţii metrice complete. Exemple Spaţii vectoriale normate. Spaţii Banach Serii în spaţii Banach. Serii de funcţii Spaţii prehilbertiene. Spaţii Hilbert Principiul contracţiei Mulţimi închise şi mulţimi deschise într-un spaţiu metric Mulţimi compacte într un spaţiu metric Mulţimi conexe şi mulţimi convexe Spaţiul IR n şi spaţiul punctual IE n Limite şi continuitate Limita unei funcţii într-un punct Funcţii continue Funcţii uniform continue Funcţii continue pe mulţimi compacte Convergenţa unui şir de funcţii Homeomorfisme Conexiune prin arce. Funcţii continue pe mulţimi conexe şi pe mulţimi convexe Aplicaţii liniare între spaţii vectoriale reale. Izomorfism Aplicaţii liniare şi continue între spaţii normate Aplicaţii liniare şi continue între spaţii normate finit dimensionale Forme multiliniare şi de gradul m pe IR n Derivabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă reală Derivabilitatea funcţiilor vectoriale de argument real Derivabilitate laterală şi derivate laterale ale funcţiilor vectoriale de variabilă reală Derivabilitate şi derivate de ordin superior ale unei funcţii vectoriale de variabilă reală Derivabilitatea funcţiilor vectoriale compuse de variabilă reală Diferenţiabilitatea unei funcţii vectoriale de o variabilă reală Diferenţiabilitate şi diferenţiale de ordin superior ale funcţiilor vectoriale de argument real Formula lui Taylor Drumuri parametrizate în IR m Formula lui Taylor pentru o funcţie reală de o variabilă reală. Aplicaţii la studiul local al funcţiilor Tabelarea funcţiilor Convexitatea funcţiilor Contactul de ordin n a două curbe plane Natura punctelor de extrem ale unei funcţii reale de o variabilă reală Metoda tangentei Diferenţiabilitatea şi derivabilitatea parţială ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale Direcţie în IR n Derivata după o direcţie a unei funcţii reale de variabilă vectorială Derivabilitatea parţială şi derivate parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale Diferenţiabilitatea şi diferenţiala de ordinul întâi ale unei funcţii reale de variabilă vectorială Condiţie suficientă de diferenţiabilitate Derivate parţiale de ordin superior ale unei funcţii reale de mai multe variabile reale Diferenţiale de ordin superior ale funcţiilor reale de variabilă vectorială Formula lui Taylor pentru funcţii reale de o variabilă vectorială Funcţii omogene. Identitatea lui Euler

5 7 Teoria diferenţiabilităţii şi derivabiltăţii funcţiilor vectoriale de argument vectorial Derivabilitatea funcţiilor vectoriale de argument vectorial Diferenţiabilitatea unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială Derivate şi diferenţiale de ordin superior ale funcţiilor vectoriale de mai multe variabile reale Diferenţiabilitatea şi derivabilitatea funcţiilor vectoriale compuse Prelungirea unei funcţii uniform continue Derivatele parţiale ale unei funcţii vectoriale pe frontiera domeniului de definiţie Pânze parametrice. Suprafeţe Aplicaţii ale calculului diferenţial Forme biliniare pe IR n Forme pătratice pe IR n Extreme locale ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale Funcţii definite implicit Extreme locale ale funcţiilor definite implicit Extreme condiţionate. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange Extremele funcţiilor reale definite pe mulţimi compacte din IR n Transformări regulate, sau difeomorfisme Dependenţă şi independenţă funcţională Coordonate curbilinii în plan Coordonate polare în plan Coordonate polare generalizate în plan Coordonate curbilinii în IR Coordonate polare în spaţiu, sau coordonate sferice Coordonate semipolare în spaţiu, sau coordonate cilindrice Bibliografie 443 Index de noţiuni 445

6

7 Capitolul 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 1.1 Mulţimi Noţiunea de mulţime este o noţiune fundamentală a matematicii moderne. În cele ce urmează, noţiunile de mulţime şi element al unei mulţimi sunt considerate noţiuni primare. O mulţime se consideră definită (dată, precizată) dacă avem un criteriu după care putem deosebi elementele mulţimii de celelalte obiecte, care nu fac parte din mulţime. În acest sens, o mulţime poate fi definită fie numind individual elementele sale, fie specificând o proprietate pe care o au toate elementele sale şi pe care nu o au alte obiecte. Mulţimile se notează cu litere mari ale alfabetului latin: A, B,..., sau X, Y,..., iar elementele se notează cu litere mici ale aceluiaşi alfabet sau ale altuia. Dacă se cunosc toate elementele mulţimii A, atunci vom nota A = {a, b,...}. Natura mulţimilor care constituie subiectul cercetărilor matematice este diversă. În cele ce urmează, examinăm mulţimea numerelor reale IR şi submulţimi ale acesteia, ca de exemplu mulţimea numerelor naturale IN, mulţimea numerelor întregi Z, mulţimea numerelor raţionale Q, intervale etc., mulţimi de puncte din spaţiul Euclidian n-dimensional precum bile deschise şi închise, sfere, intervale n-dimensionale închise şi deschise etc., ca şi mulţimi de funcţii şi, de asemenea, mulţimi ale căror elemente sunt mulţimi. Partea matematicii care examinează mulţimi arbitrare, fără a se interesa însă de natura elementelor sale, se numeşte teoria mulţimilor. În acest capitol introducem câteva noţiuni de teoria mulţimilor, necesare înţelegerii celorlalte capitole. Dacă A este o mulţime oarecare, notăm a A dacă şi numai dacă a este un element al mulţimii A şi vom citi a aparţine mulţimii A; daca b nu este element al lui A atunci această situaţie se scrie matematic în forma b / A şi se citeşte b nu aparţine mulţimii A. Elementele unei mulţimi sunt numite deseori puncte, afirmaţiile element al mulţimii A şi punct al mulţimii A având acelaşi înţeles. Definiţia Mulţimile A şi B se numesc identice sau egale şi scriem A = B, dacă şi numai dacă sunt formate din aceleaşi elemente. Prin urmare A = B dacă şi numai dacă, pentru fiecare element x, avem x A x B. Definiţia Mulţimea fără nici un element se numeşte mulţimea vidă şi se notează prin. 7

8 8 Ion Crăciun Definiţia Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea A se numeşte submulţime, sau parte a mulţimii B dacă şi numai dacă a A = a B. În această situaţie se spune că mulţimea A este inclusă în mulţimea B, sau că B include A şi scriem corespunzător A B sau B A. Dacă, în plus, mulţimea A nu este identică cu B, atunci A se numeşte submulţime strictă a lui B. Prin convenţie, există o mulţime care este inclusă în toate mulţimile. Aceasta este mulţimea vidăşi este privită ca o submulţime a oricărei mulţimi: A, oricare ar fi mulţimea A. Introducerea mulţimii vide este necesară deoarece adesea definim mulţimea elementelor care satisfac o condiţie fară să verificăm că există măcar un element care să îndeplinească această condiţie. De exemplu, în teoria polinoamelor, putem introduce noţiunea de mulţime a rădăcinilor reale ale unei ecuaţii, neţinând seama de faptul că nu cunoaştem, în general, dacă există sau nu astfel de rădăcini. Simbolul este denumit incluziune. Propoziţia Incluziunea mulţimilor are următoarele proprietăţi: A A (reflexivitate); (1.1) A B şi B C = A C (tranzitivitate); (1.2) A B şi B A = A = B (antisimetrie). (1.3) O mulţime nevidă poate avea un număr finit (respectiv infinit) de elemente, caz în care mulţimea se numeşte finită (respectiv infinită). Prin definiţie mulţimea vidă este mulţime finită. O mulţime finită poate fi specificată prin enumerarea elementelor sale; dacă acestea sunt a 1, a 2,..., a n, atunci vom scrie A = {a 1, a 2,..., a n }. În particular, {a} reprezintă mulţimea formată dintr-un singur element a. Definiţia Se numeşte familie de mulţimi, sau clasă de mulţimi, o mulţime A ale cărei elemente sunt mulţimi. O familie de mulţimi A se notează A = (A i ) i I, unde I este o mulţime oarecare care se numeşte mulţime de indici. Când I = IN familia de mulţimi A se numeşte şir de mulţimi. Deci, notaţia pentru un şir de mulţimi este (A n ) n IN. Definiţia Şirul de mulţimi (A n ) se numeşte crescător, dacă A n A n+1, pentru n = 0, 1, 2,... descrescător, dacă A n+1 A n, pentru n = 0, 1, 2,... Fie a(x) o condiţie impusă elementelor unei mulţimi X, adică o expresie cu valoarea de adevăr sau fals dacă un anume element din X este înlocuit cu x. Mulţimea tuturor elementelor x din X pentru care expresia a(x) are valoarea de adevăr se notează prin {x X : a(x)} sau, mai simplu, prin {x : a(x)}. De exemplu, {x : x 2 = 16} este mulţimea formată din numerele întregi 4 şi +4, iar {x : x 2 + 2x 35 < 0} este intervalul deschis ( 7, 5), adică {x : x 2 + 2x 35 < 0} = {x : 7 < x < 5}. Mulţimea părţilor unei mulţimi oarecare X se notează cu P(X). Avem A P(X) dacă şi numai dacă A X. Evident, P(X) şi X P(X). Elemente ale lui P(X) pot fi şi mulţimi formate din câte un singur element x din X.

9 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor Operaţii cu mulţimi Definiţia Se numeşte reuniunea a două mulţimi A şi B, mulţimea notată A B formată din toate elementele x care aparţin cel puţin uneia din mulţimile A sau B. Deci, prin definiţie A B = {x : x A sau x B}. Definiţia Se numeşte intersecţia sau partea comună a mulţimilor A şi B mulţimea notată cu A B compusă din toate elementele x care aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B. Prin definiţie A B = {x : x A şi x B}. Definiţia Mulţimile A şi B se numesc disjuncte dacă A B =. Definiţia Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea A \ B = A \ B = C A B = {x : x A şi x / B} = {x A : x / B} se numeşte diferenţa dintre mulţimea A şi mulţimea B, sau complementara mulţimii B în raport cu mulţimea A. Când mulţimea A se subînţelege din context, complementara lui B faţă de A se notează simplu prin CB şi se numeşte complementara mulţimii B. Prin urmare, CB = {x A : x / B}. De asemenea, avem CB P(A). Teorema Pentru orice mulţimi A, B, C P(X) au loc afirmaţiile: A B = B A, A B = B A; (1.4) { (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); (1.5) A = A, A = ; (1.6) A A = A, A A = A; (1.7) { A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C); (A \ B) B =, A = (A B) (A \ B), A \ B = A \ (A B); (1.8) (1.9)

10 10 Ion Crăciun { A X = (X \ A) A = X X \ (X \ A) = A; (1.10) A X = A \ B = A (X \ B); (1.11) { X \ (A B) = (X \ A) (X \ B), X \ (A B) = (X \ A) (X \ B); { A X şi B X = A B = X \ ((X \ A) (X \ B)) A B = X \ ((X \ A) (X \ B)). (1.12) (1.13) Demonstraţie. Identităţile (1.4) sunt legile de comutativitate ale reuniunii şi respectiv intersecţiei mulţimilor, (1.5) sunt legile de asociativitate ale aceloraşi operaţii cu mulţimi, iar identităţile (1.8) reprezintă legile de distributivitate ale uneia din operaţii faţă de cealaltă. Identităţile (1.12) şi (1.13) se numesc relaţiile lui De Morgan. Demonstraţia oricărei din egalităţile (1.4) (1.13) se bazează pe relaţia (1.3). Se arată că dacă un punct oarecare aparţine mulţimii din din primul membru al identităţii, atunci el este element şi al mulţimii din membrul drept al identităţii respective, şi reciproc. Să demonstrăm, de exemplu, prima dintre identităţile (1.8). Fie x A (B C), atunci x A şi x B C, adică x B sau x C. Se desprind două cazuri. În primul caz, x A şi x B, adică x A B. În cel de-al doilea caz, x A şi x C, adică x A C. În fiecare din cele două cazuri, rezultă x (A B) (A C), deci are loc incluziunea A (B C) (A B) (A C). (1.14) Reciproc, să considerăm un element arbitrar x (A B) (A C). Atunci x A B sau x A C. În primul caz, rezultă că x A şi x B, în cel de-al doilea caz vom avea x A şi x C. Din primul caz urmează că x A (B C), iar din cel de-al doilea vom avea că x A (B C). Aşadar, în ambele cazuri rezultă că x A (B C) ceea ce arată că are loc şi incluziunea (A B) (A C) A (B C). (1.15) Incluziunile (1.14), (1.15) şi proprietatea (1.3) arată că prima din identităţile (1.8) este adevărată. Teorema Pentru orice mulţimi A,B,C,D, A B = B A B = B; (1.16) A B A B = A; (1.17) A B A \ B = ; (1.18) A A B, A B A; (1.19) A C şi B D A B C D şi A B C D; (1.20)

11 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 11 A C şi B C A B C; (1.21) C A şi C B C A B; (1.22) A B C \ B C \ A. (1.23) Demonstraţie. Fiecare din aceste afirmaţii se demonstrează uşor utilizând definiţiile egalităţii, reuniunii, intersecţiei şi diferenţei a două mulţimi. Noţiunile de reuniune şi intersecţie a mulţimilor pot fi generalizate la cazul unui număr arbitrar, finit sau infinit, de mulţimi. Presupunem că A t este o mulţime pentru orice t dintr-o mulţime nevidă T. Prin reuniunea A t (respectiv intersecţia A t ) a mulţimilor A t, unde t T, înţelegem mulţimea tuturor t T t T punctelor x care aparţin cel puţin uneia din mulţimile A t (respectiv fiecărei mulţimi A t ). În simboluri, A t = {x : t T astfel încât x A t }, A t = {x : x A t, t T }. t T Uneori, menţiunea t T, sub semnul sau, se poate omite dacă se subînţeleg valorile lui t. În cazul când T este o submulţime a numerelor naturale IN, putem folosi notaţiile n j=m pentru reuniunea mulţimilor A m, A m+1,..., A n şi n j=m pentru intersecţia aceloraşi mulţimi. În mod similar, t T A j sau A m A m+1... A n (m n) A j sau A m A m+1... A n (m n) j=m reprezintă reuniunea mulţimilor A m, A m+1,..., iar semnifică intersecţia acestor mulţimi. 1.3 Produse carteziene j=m A j sau A m A m+1... A j sau A m A m+1... Definiţia Fie p 2, număr natural arbitrar, fixat, şi X 1, X 2,..., X p mulţimi oarecare. Mulţimea p-uplelor ordonate (x 1, x 2,..., x p ), unde x i X i, i 1, p, se numeşte produsul cartezian al mulţimilor X 1, X 2,..., X p, în această ordine, şi se notează cu X 1 X 2... X p.

12 12 Ion Crăciun Aşadar, X 1 X 2... X p = {x : x = (x 1, x 2,..., x p ), x i X i, i 1, p}. (1.24) În particular, produsul cartezian X Y al două mulţimi X şi Y este mulţimea tuturor perechilor ordonate (x, y) unde x X şi y Y. Deci X Y = {(x, y) : x X, y Y }. (1.25) Deoarece (x, y) (y, x), rezultă că X Y Y X. (1.26) În cazul în care X 1 = X 2 =... = X p = X produsul cartezian al celor p mulţimi identice cu X se notează prin X p. Aşadar, X p = {x : x = (x 1, x 2,..., x p ), x i X, i 1, p}. (1.27) Dacă în (1.27) X = IR, atunci IR p se numeşte spaţiul aritmetic p-dimensional. Definiţia Elementele x = (x 1, x 2,..., x p ) şi y = (y 1, y 2,..., y p ) din produsul cartezian X 1 X 2... X p se numesc egale dacă x i = y i, i 1, p. Teorema Produsul cartezian are următoarele proprietăţi: A B = A = sau B = ; (1.28) A C şi B D = A B C D; (1.29) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = A B A C, A (B \ C) = A B \ A C; (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C, (A \ B) C = A C \ B C; (1.30) (1.31) (A B) (C D) = (A C) (B D); (1.32) A B \ C D = (A (B \ D)) ((A \ C) B); (1.33) A B t = (A B t ), A B t = (A B t ); (1.34) t T t T t T ( ) A t B = ( ) (A t B), A t B = (A t B). (1.35) t T t T t T t T t T Demonstraţie. Fiecare identitate se demonstrează arătând că un punct arbitrar aparţinând mulţimii din primul membru aparţine şi membrului doi al identităţii respective, şi reciproc. Convenim ca produsul cartezian a p mulţimi să se numească simplu produs.

13 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 13 Dacă p este suma a două numere naturale nenule m şi n, produsul X p din (1.27) poate fi conceput ca produsul mulţimilor X m şi X n. Acest produs poate fi definit în modul următor. Se fixează două p-uple i = (i 1, i 2,..., i m ), j = (j 1, j 2,..., j n ), formate din numere naturale distincte, astfel încât i 1, i 2,..., i m, j 1, j 2,..., j n să fie o permutare a numerelor 1, 2,..., p. După definiţia permutării de p elemente, fiecare număr natural mai mic sau egal cu p apare exact o dată în p-uplele i şi j. Orice element poate fi identificat cu elementul p = (x 1, x 2,..., x p ) X p (1.36) unde (p 1, p 2 ) X m X n, (1.37) p 1 = (x i1, x i2,..., x im ) X m, (1.38) p 2 = (x j1, x j2,..., x jn ) X n, (1.39) Spunem atunci că X p este produsul (i, j) al lui X m şi X n şi vom scrie p = (p 1, p 2 ). (1.40) În particular, produsul X k+1 poate fi conceput ca produsul X k X prin identificarea unui punct (x 1, x 2,..., x k, x k+1 ) X k+1 cu punctul (p, x k+1 ) X k X, unde p = (x 1, x 2,..., x k ) şi x k+1 X. Cazul particular descris corespunde celui general în care i 1, k şi j = k Relaţii binare. Funcţii. Legi de compoziţie Definiţia Fie A şi B două mulţimi şi G A B. Se numeşte relaţie binară sau corespondenţă de la mulţimea A la mulţimea B terna ordonată R = {G, A, B}. Mulţimea G se numeşte graficul relaţiei binare R, A se numeşte mulţimea de pornire, iar B mulţimea de sosire. Spunem că elementele a A şi b B sunt în relaţia R, şi scriem arb, dacă (a, b) G. Când perehcea (a, b) / G, atunci se spune că a nu este în relaţia R cu b şi scriem a Rb. Dacă A = B, o relaţie binară de forma R = {G, A, A}, unde G A A = A 2, se numeşte relaţie binară în mulţimea A şi se notează R = {G, A}. De regulă, o relaţie binară se dă prin specificarea mulţimilor A şi B precum şi a proprietăţii caracteristice perechilor de elemente care sunt în acea relaţie, deci care aparţin lui G. Mulţimea relaţiilor binare de la mulţimea A la mulţimea B are proprietăţi asemănătoare celor din teoria mulţimilor. Relaţia R este inclusă în relaţia R 1, şi scriem R R 1, dacă arb = ar 1 b.

14 14 Ion Crăciun Relaţiile binare R şi R 1, de la mulţimea A la mulţimea B, sunt egale, şi scriem R = R 1, dacă R R 1 şi R 1 R. Reuniunea relaţiilor binare R şi R 1, ambele de la mulţimea A la mulţimea B, care se notează cu R R 1, este o relaţie binară de la mulţimea A la mulţimea B care ne spune că dacă ar R 1 b, atunci sau arb sau ar 1 b şi invers. Intersecţia R R 1 a relaţiei binare R cu relaţia binară R 1, ambele de la mulţimea A la mulţimea B, este formată din totalitatea perechilor ordonate (a, b) cu a A şi b B astfel încât arb cât şi ar 1 b. În afirmaţiile referitoare la proprietăţile relaţiilor binare este posibil ca B = A, iar o relaţie de la mulţimea A la mulţimea A se notează R = {G, A}. Definiţia Relaţia binară pe mulţimea A, R = {G, A}, se numeşte: (i) reflexivă, dacă a A = ara; (ii) simetrică, dacă arb = bra; (iii) tranzitivă, dacă arb şi brc = arc; (iv) antisimetrică, dacă arb şi bra = a = b. Definiţia Se numeşte relaţie de echivalenţă în mulţimea A o relaţie binară R = {G, A} care este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Dacă arb şi R este o relaţie de echivalenţă în mulţimea A, atunci scriem simplu a b. Definiţia Fie R = {G, A} o relaţie de echivalenţă în mulţimea A, dată. Prin clasă de echivalenţă modulo R asociată unui element a A se înţelege mulţimea C a = {x A : x A, xra} A. Oricare dintre elementele clasei de echivalenţă C a se numeşte reprezentant al ei. Teorema Clasele de echivalenţă C a, C b, asociate la două elemente a şi b din A, sunt sau identice sau disjuncte. Demonstraţie. Să observăm mai întâi că a, b A putem avea fie arb, fie a Rb. Dacă arb, atunci C a = C b. Într-adevăr, fie x C a arbitrar; atunci xra. Cum arb şi R este tranzitivă, rezultă xrb, deci x C b, ceea ce arată că C a C b. La fel se arată că C b C a. Din dubla incluziune a mulţimilor C a şi C b rezultă egalitatea lor. Dacă a Rb, arătăm că C a C b =. Într-adevăr, dacă ar exista x C a C b atunci x C a şi x C b, din care deducem xra şi xrb. Din proprietăţile de simetrie şi tranzitivitate ale relaţiei R rezultă atunci arb, ceea ce contrazice ipoteza. Definiţia Relaţia R = {G, A} se numeşte relaţie de ordine în mulţimea A dacă R este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă.

15 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 15 Observaţia Incluziunea în P(X) este o relaţie de ordine. Definiţia O mulţime A prevăzută cu o relaţie de ordine se numeşte mulţime ordonată. De obicei folosim pentru relaţia de ordine semnul şi scriem x y în loc de xry. Se poate întâmpla ca în mulţimea ordonată A, în care relaţia de ordine este, să existe elemente incomparabile, adică elemente x şi y pentru care nu sunt adevărate nici una din relaţiile x y sau y x. Dacă însă A nu are elemente incomparabile, spunem că este o mulţime total ordonată. Afirmaţia x y şi x y se scrie de obicei sub forma x < y sau y > x. Definiţia Fie date mulţimile nevide A şi B. Se numeşte funcţie definită pe A cu valori în B o relaţie binară f = {G, A, B} care satisface proprietăţile: x A, y B astfel încât (x, y) G (existenţă); (1.41) (x, y 1 ) G şi (x, y 2 ) G = y 1 = y 2 (unicitate). (1.42) Observaţia Proprietăţile (1.41) şi (1.42) se pot scrie împreună astfel: oricare ar fi elementul x A, există un element şi numai unul singur y B, astfel încât(x, y) G. În baza acestei observaţii, putem formula o definiţie echivalentă pentru noţiunea de funcţie. Definiţia Fie A şi B două mulţimi nevide. Prin funcţie definită pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B, se înţelege orice procedeu, lege, convenţie f, în baza căruia oricărui element x A i se asociază un unic element, notat f(x), din B. Cuvintele corespondenţă, aplicaţie, transformare, operator sunt sinonime pentru noţiunea de funcţie. O funcţie se notează f : A B. Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie, sau mulţimea de definiţie, iar B este mulţimea în care funcţia ia valori. Dacă A şi B din prezentarea unei funcţii se înţeleg din context, atunci vom scrie simplu funcţia f. Pentru o funcţie se mai folosesc şi notaţiile: x f(x), x A, f(x) B; x A f(x) B sau simplu x f(x). În continuare, funcţiile sunt notate prin literele f, g, h, ϕ, ψ, F, G, φ, Ψ etc., eventual prevăzute cu indici. Elementele mulţimii de definiţie A a unei funcţii f : A B se numesc surse. Dacă x A e o sursă, elementul y B care se ataşează lui x se numeşte valoarea funcţiei în x, transformatul lui x sau imaginea lui x prin f. Se mai spune că x este contraimaginea lui y. Se vede din Definiţia sau Definiţia că nu orice element din B apare numaidecât ca valoare pentru funcţia f. Este posibil ca o funcţie să se noteze prin f : A B după care sa se menţioneze legea după care se calculează imaginile lui x A prin f.

16 16 Ion Crăciun Definiţia Fie A 0 A şi f : A B. Mulţimea f(a 0 ) = {y B : x A 0 astfel încât f(x) = y} B se numeşte imaginea prin funcţia f a mulţimii A 0. Când A 0 = A, f(a) = Im f B se numeşte mulţimea valorilor funcţiei f. Definiţia Funcţia f : A B se numeşte surjecţie de la mulţimea A pe mulţimea B sau funcţie surjectivă dacă f(a) = B. Definiţia Funcţiile f 1 : A 1 B 1 şi f 2 : A 2 B 2 se numesc egale dacă A 1 = A 2, B 1 = B 2 şi dacă f 1 (x) = f 2 (x), x A. Definiţia Dacă mulţimea f(a) B, a valorilor funcţiei f : A B, conţine doar un element al lui B, atunci f se numeşte funcţie constantă. O funcţie remarcabilă definită pe o mulţime nevidă A şi cu valori în A este funcţia identică i A : A A, definită prin i A (x) = x, x A. Definiţia Fie funcţia f : A B şi A 0 o submulţime nevidă a lui A. Se numeşte restricţia funcţiei f la submulţimea A 0, funcţia g : A 0 B ale cărei valori se calculează după legea g(x) = f(x), x A 0. Observaţia O restricţie a unei funcţii f se obţine dacă se înlătură unele elemente din mulţimea de definiţie. Pentru restricţia funcţiei f la submulţimea A 0 A se utilizează notaţia f /A0. Definiţia Funcţia f : A B cu proprietatea f /A0 mulţimea A a funcţiei g : A 0 B. = g, unde A 0 A, se numeşte prelungire la Definiţia Funcţia f : A B se numeşte injecţie de la mulţimea A la mulţimea B sau simplu, funcţie biunivocă, dacă totdeauna x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). O injecţie de la mulţimea A la mulţimea B se numeşte funcţie injectivă. Prin urmare, f : A B este funcţie injectivă sau biunivocă dacă fiecare element din B are cel mult o contraimagine în A sau dacă orice două surse diferite au imagini diferite. De asemenea, funcţia f este injectivă dacă f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2.

17 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 17 Definiţia O funcţie f : A B care este simultan injectivă şi surjectivă se numeşte bijecţie de la mulţimea A la mulţimea B sau simplu, funcţie bijectivă. Dacă g este o funcţie de la mulţimea A pe mulţimea B şi f este o funcţie de la mulţimea B în mulţimea C, în baza Definiţiei 1.4.1, se constată că x f(g(x)) este funcţie de la A în C. Definiţia Fie funcţiile g : A B 0 şi f : B C cu g(a) = B B 0. Funcţia h : A C, h(x) = f(g(x)), x A, se numeşte funcţia compusă a funcţiilor f şi g, iar funcţia (f, g) f g, (f g)(x) = h(x) = f(g(x)), x A, se numeşte compunerea funcţiei f cu funcţia g. Observăm, de asemenea, că (f g)(a) = f(g(a)). Fie f o aplicaţie biunivocă de la mulţimea A pe mulţimea B. Aceasta înseamnă că f(a) = B şi x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). În acest caz, pentru orice element y B, există un element şi numai unul singur x A, astfel ca f(x) = y. În acest mod putem stabili o corespondenţă f(x) x de la elementele lui B la elementele lui A, care defineşte o aplicaţie biunivocă a lui B pe A, numită aplicaţia reciprocă sau funcţia inversă a funcţiei f, notată cu simbolul f 1. Definiţia Fie funcţia biunivocă f : A B şi f(a) = B 0 imaginea sa. Se numeşte funcţie inversă a funcţiei f, funcţia f 1 : B 0 A care asociază fiecărui element y B 0 elementul unic x A astfel încât y = f(x). Din Definiţia , Definiţia şi Definiţia rezultă că pentru orice două elemente x A şi y B 0, avem: y = f(x) x = f 1 (y); f 1 (f(x)) = x, x A; f(f 1 (y)) = y, y B 0. Ultimele două afirmaţii arată că funcţiiile compuse f 1 f şi f f 1 sunt aplicaţiile identice pe A şi respectiv B 0. Observaţia Inversa f 1 : B A a unei funcţii bijective f : A B este, de asemenea, funcţie bijectivă şi (f 1 ) 1 = f. Această afirmaţie rezultă din Definiţia şi Definiţia Observaţia Dacă f : A B şi g : B C sunt funcţii bijective, atunci (g f) 1 = f 1 g 1. Definiţia Fie funcţia f : A B şi B 0 B, B 0. Mulţimea se numeşte contraimaginea lui B 0 prin f. f 1 (B 0 ) = {x A : y B 0 astfel încât f(x) = y} A, 1 Simbolul, care se va întâlni pe parcurs, semnifică fie sfârşitul unei justificări, fie terminarea rezolvării unui exerciţiu.

18 18 Ion Crăciun Teorema Pentru orice funcţie f : A B: A 1 A 2 A = f(a 1 ) f(a 2 ); (1.43) B 1 B 2 B = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ); (1.44) sau, mai general sau, mai general sau, mai general în particular, f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (1.45) ( ) f A t = f(a t ); (1.46) t T t T f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (1.47) ( ) f 1 B t = f 1 (B t ); (1.48) t T t T f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (1.49) ( ) f 1 B t = f 1 (B t ); (1.50) t T t T f 1 (B 1 \ B 2 ) = f 1 (B 1 ) \ f 1 (B 2 ), (1.51) f 1 (C B B 0 ) = f 1 (B \ B 0 ) = C A f 1 (B 0 ) = A \ f 1 (B 0 ); (1.52) mai general, finjectivă = f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ), (1.53) ( ) f A t = f(a t ). (1.54) t T t T Demonstraţie. Incluziunile (1.43) şi (1.44) se arată verificând că un element oarecare aparţinând primei mulţimi este element şi pentru cea dea doua mulţime. Identităţile (1.45) (1.54) se demonstrează verificând că un element arbitrar aparţinând unui membru al identităţii este element şi al celuilalt membru, şi reciproc. Fie A şi B două mulţimi nevide. Notăm cu F(A, B) mulţimea funcţiilor definite pe A cu valori în B. Dacă B este mulţimea IR a numerelor reale, atunci F(A, IR) se notează prescurtat cu F(A) şi este mulţimea funcţiilor reale definite pe mulţimea A. Dacă A este o submulţime nevidă a lui IR şi f F(A, B), atunci se spune că f : A B este o funcţie de variabilă reală. În cazul când A IR şi B IR, funcţia f se numeşte funcţie reală de variabilă reală. Dacă f : A B şi A X 1 X 2... X n, n IN, n 2, atunci valoarea f(p) într-un punct p = (x 1, x 2,..., x n ) A se notează prin y = f(x 1, x 2,..., x n ), (1.55) şi spunem că funcţia f este o funcţie de n variabile. În cazul particular în care X 1 = X 2 =... = X n = IR şi B IR vom spune că f F(A, B) este o funcţie reală de n variabile reale.

19 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 19 Prezenta lucrare are ca principal scop studiul funcţiilor reale de mai multe variabile reale. Dacă se fixează valorile a n 1 variabile, fie acestea x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n, cu i 2, n 1, atunci expresia (1.55) poate fi concepută ca funcţie de variabila x i, definită pe mulţimea A i = {x i : (x 1, x 2,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n ) A} X i. În calculul diferenţial se studiază proprietăţile unei funcţii în punctele mulţimii de definiţie şi în puncte vecine acestora. Aceste proprietăţi se numesc proprietăţi cu caracter local. Dacă o proprietate a funcţiei se referă la întreaga mulţime pe care este definită, atunci aceasta se numeşte proprietate globală. Dacă mulţimile A şi B sunt înzestrate cu unele structuri algebrice, topologice, sau combinate, atunci aceste structuri, în anumite condiţii, transmit structuri asemănătoare pe F(A, B), sau pe părţi ale acesteia. Definiţia Se numeşte lege de compoziţie binară internă pe mulţimea nevidă A, elementul f F(A A, A). Dacă prin legea de compoziţie binară internă f F(A A, A), perechii (x, y) A A îi corespunde elementul z A, atunci scriem z = f(x, y) sau z = x y sau z = x y şi z se numeşte compusul elementelor x şi y. De multe ori, pentru compusul lui x cu y se utilizează notaţia x + y; legea de compoziţie binară internă se numeşte adunare, iar z = f(x, y) = x + y se numeşte suma elementelor x şi y. De asemenea, putem întâlni notaţia x y sau, simplu, xy pentru compusul z = f(x, y) a două elemente x A şi y A. În acest caz f se numeşte înmulţire, iar z = f(x, y) = x y = xy se numeşte produsul elementelor x şi y. Adunarea se mai numeşte operaţie binară internă aditivă, iar înmulţirea se numeşte operaţie binară internă multiplicativă. Definiţia Se numeşte lege de compoziţie externă, sau operaţie externă a lui A cu elemente din IK, o aplicaţie h F(IK A, A). Mulţimea nevidă IK se numeşte mulţimea scalarilor, sau domeniu de operatori, iar pentru h(α, x), imaginea prin funcţia h a perechii (α, x) IK A, vom utiliza una din notaţiile: α x; x α; αx; xα. Operaţiei externe pe A cu elemente din IK îi vom spune mai simplu înmulţire cu scalari din IK. Peste tot în cele ce urmează, IK este mulţimea numerelor reale IR. 1.5 Structuri algebrice. Izomorfism Definiţia Se numeşte structură algebrică o mulţime nevidă A pe care s-a definit cel puţin o lege de compoziţie. Structurile algebrice A 1 şi A 2 se zic de acelaşi tip algebric dacă ambele au acelaşi număr de operaţii externe cu acelaşi domeniu de operatori IK. Dacă unele din funcţiile f 1, f 2,..., f p sunt legi de compoziţie binare interne pe mulţimea A, iar celelalte sunt legi de compoziţie externe ale lui A cu acelaşi domeniu de operatori IK, atunci structura algebrică corespunzătoare se notează cu (A, f 1, f 2,..., f p ). Definiţia Structurile algebrice (A 1, f 1 ) şi (A 2, f 2 ) se zic homomorfe dacă există o funcţie h : A 1 A 2, numită homomorfism, sau morfism, cu proprietatea: h(f 1 (x, y)) = f 2 (h(x), h(y)), x, y A 1. (1.56)

20 20 Ion Crăciun Convenim să spunem că funcţia h : A 1 A 2 cu proprietatea (1.56) păstrează operaţiile f 1 şi f 2 de pe respectiv mulţimile A 1 şi A 2. Definiţia Două structuri algebrice (A 1, f 1,..., f p ) şi (A 2, g 1,..., g p ) se zic izomorfe dacă există o aplicaţie bijectivă h : A 1 A 2, numită izomorfism, astfel încât să avem h(f i (x, y)) = g i (h(x), h(y)), x, y A 1, i 1, p. (1.57) Definiţia Fie A 1 şi A 2 două structuri algebrice de acelaşi tip, h : A 1 A 2 un izomorfism şi P o proprietate a elementelor lui A 1. Dacă aceeaşi proprietate o au şi elementele h(x), unde x A 1, atunci P se numeşte proprietate algebrică. Observaţia Din punctul de vedere al proprietăţilor algebrice două structuri algebrice sunt identice. Definiţia Mulţimea nevidă G se numeşte grup, dacă pe G este definită o lege de compoziţie binară internă, notată de obicei aditiv (cu +), încât să fie îndeplinite axiomele (proprietăţile): x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z G (asociativitate); (1.58) 0 G astfel încât x + 0 = 0 + x = x, x G ( existenţa elementului nul ( neutru)); x G x G astfel încât x + ( x) = ( x) + x = 0 (existenţa elementului opus (simetrizabil)). Dacă, în plus, este îndeplinită proprietatea (1.59) (1.60) x + y = y + x, x G, y G ( comutativitate), (1.61) atunci grupul (G, +) se numeşte comutativ, sau grup aditiv abelian. Dacă legea de compoziţie binară internă în grupul G este înmulţirea, notată cu simbolul, grupul (G, ) se numeşte grup multiplicativ. Elementul neutru în grupul multiplicativ se notează cu 1 şi se numeşte element unitate, iar simetricul elementului x se notează cu x 1 şi se numeşte inversul elementului x. Teorema Într-un grup (G, f) elementul neutru θ este unic şi fiecă-rui element x θ îi corespunde un singur element simetric x G. Demonstraţie. Pentru simplitatea scrierii vom introduce notaţia f(x, y) = x y. Arătăm întâi că x z = y z, z G = x = y. Într-adevăr, fie z simetricul lui z θ. Atunci, (x z) z = (y z) z şi, folosind proprietăţile (1.58) (1.60), avem: (x z) z = x (z z ) = x θ = x şi (y z) z = y (z z ) = y θ = y. În consecinţă, x = y. Analog se demonstrează că z x = z y, z G = x = y.

21 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 21 Dacă θ 1 şi θ 2 sunt două elemente neutre, atunci aplicând proprietatea demonstrată, am avea θ 1 x = θ 2 x = x, ceea ce implică θ 1 = θ 2. În mod similar, dacă x şi x sunt două elemente simetrice ale aceluiaşi element x θ, atunci x x = x x = θ = x = x în virtutea aceleiaşi proprietăţi. Definiţia Fie (A, +) un grup aditiv comutativ. Dacă pe mulţimea A este definită o încă o lege de compoziţie binară internă, notată cu simbolul, numită înmulţire care, pentru orice elemente x, y, z A, verifică proprietăţile: x (y z) = (x y) z (asociativitate); (1.62) (x + y) z = x z + y z (distributivitate la dreapta); (1.63) atunci structura algebrică (A, +, ) se numeşte inel. x (y + z) = x y + x z (distributivitate la stânga), (1.64) Propoziţia Dacă (A, +, ) este un inel, atunci: x 0 = 0 x = 0, x A. (1.65) Demonstraţie. Fie x A. Utilizând faptul că x + 0 = 0 + x = x, x A, în baza proprietăţilor (1.63) şi (1.64), avem x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0 (1.66) şi de unde şi 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x, (1.67) x 0 = x 0 + x 0 (1.68) 0 x = 0 x + 0 x. (1.69) Adunând în ambii membri ai relaţiei (1.68) opusul lui x 0, iar în relaţia (1.69) opusul lui 0 x, se obţine x 0 = 0 x = 0. Deoarece x A a fost luat arbitrar, rezultă că (1.65) este adevărată. Propoziţia (Regula semnelor) Dacă (A, +, ) este un inel şi x, y A, atunci au loc relaţiile: ( x) y = x ( y) = (x y); (1.70) ( x) ( y) = x y; (1.71)

22 22 Ion Crăciun { x n, dacă n este par ( x) n = (x n ), dacă n etse impar, unde prin x se înţelege opusul lui x (simetricul său faţă de operaţia de adunare), iar n IN. (1.72) Demonstraţie. Din Definiţia avem că (A, +) este grup comutativ, deci orice element x A are un opus x A. În baza relaţiilor (1.63), (1.64), a Propoziţiei şi a proprietăţii (1.60) rezultă că pentru orice x, y A, avem x y + ( x) y = (x + ( x)) y = 0 y = 0 şi x y + x ( y) = x (y + ( y)) = x 0 = 0, de unde, folosind Teorema 1.5.1, obţinem: ( x) y = x ( y) = (x y). Din egalităţile evidente x ( y) = ( x) y; ( x) = x rezultă ( x) ( y) = x y. Relaţia (1.72) se demonstrează uşor prin inducţie. Definiţia Un inel (A, +, ) în care înmulţirea are elementul unitate 1 0 se numeşte inel cu element unitate. Dacă înmulţirea este comutativă, atunci inelul se numeşte comutativ. Definiţia O mulţime nevidă IK se numeşte corp dacă: (i) (IK, +, ) este inel cu element unitate; (ii) x IK \ {0} x 1 IK \ {0} astfel încât x x 1 = x 1 x = 1. Dacă inelul (IK, +, ) din definiţia structurii de corp este un inel comutativ, atunci structura algebrică (IK, +, ) se numeşte corp comutativ, sau câmp. Observaţia Terna (IK, +, ) este corp dacă: (IK, +) este grup comutativ (abelian); (IK \ {0}, ) este grup; înmulţirea este distributivă la stânga şi la dreapta faţă de adunare. 1.6 Mulţimea numerelor reale În acest paragraf prezentăm un model simplificat de definiţie axiomatică a mulţimii numerelor reale precizând că există însă şi alte moduri de construcţie axiomatică ale acesteia (vezi [22], [14], [17]). Definiţia Fie (X, +, ) un corp comutativ. Relaţia binară de ordine totală pe X,, se numeşte compatibilă cu operaţiile interne + şi din X, dacă sunt satisfăcute proprietăţile: x y = x + z y + z, z X; (1.73) { 0 < x y z = x y x z. (1.74)

23 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 23 Proprietatea (1.73) exprimă compatibilitatea relaţiei de ordine cu adunarea din X, în timp ce (1.74) exprimă compatibilitatea relaţiei binare de ordine faţă de înmulţirea elementelor lui X. Definiţia Câmpul (X, +, ) se numeşte corp comutativ total ordonat dacă este prevăzut cu relaţia binară de ordine totală compatibilă cu operaţiile interne din mulţimea X. Observaţia Într-un corp comutativ total ordonat (X, +, ) se pot construi mulţimea numerelor naturale IN, mulţimea numerelor întregi Zşi mulţimea numerelor raţionale Q. Între aceste mulţimi există relaţiile de incluziune IN Z Q X. Întradevăr, dacă 0 X este elementul neutru la adunare (elementul nul), iar 1 este elementul unitate din X cu 0 1 şi 0 < 1, atunci în baza proprietăţilor de corp ale lui X putem defini elementele: 2 = 1+1, 3 = (1+1)+1,... Aceste elemente alcătuiesc o mulţime, notată cu IN, numită mulţimea numerelor naturale. IN este mulţime total ordonată faţă de relaţia de ordine şi, de asemenea, este închisă faţă de operaţiile din X în sensul că adunarea şi înmulţirea a două numere naturale este tot un număr natural. Mai departe, putem introduce opusele numerelor naturale nenule, notate cu 1, 2, 3,..., pe care le vom denumi numere întregi negative. Numerele naturale nenule pot fi numite şi numere întregi pozitive. Dacă notăm cu IN mulţimea numerelor întregi negative, atunci mulţimea Z = IN IN, ordonată crescător, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, se numeşte mulţimea numerelor întregi. Observăm că Z are structură de grup aditiv abelian total ordonat. Prin x y înţelegem x + ( y). Adunarea unui număr întreg cu opusul unui alt număr întreg se numeşte scăderea celor două numere. Mulţimea Z este închisă faţă de operaţiile de înmulţire şi scădere a numerelor întregi, iar terna (Z, +, ) este inel comutativ cu unitate, numit inelul numerelor întregi. Un element de forma x y 1, unde x Z şi y Z \ {0}, se numeşte număr raţional, se notează sub formă de fracţie, adică cu x, şi i se mai spune câtul numerelor întregi x şi y. y Două fracţii x y şi x y reprezintă acelaşi număr raţional dacă şi numai dacă xy = x y. O fracţie x se numeşte ireductibilă dacă numerele întregi x şi y sunt prime între ele. y Oricare număr raţional se poate reprezenta într un singur mod ca fracţie ireductibilă cu numitorul număr natural nenul. Mulţimea tuturor fracţiilor se numeşte mulţimea numerelor raţionale şi se notează cu Q. Prin urmare, { } x Q = : x, y Z, y 0. y Putem să considerăm că y din definiţia mulţimii Q este număr natural nenul. Un număr întreg p se poate scrie ca fracţie sub forma p. Prin urmare, numerele întregi sunt în acelaşi timp 1 numere raţionale ceea ce înseamnă că are loc incluziunea Z Q. De asemenea, să remarcăm că Q este închisă faţă de operaţiile de adunare şi înmulţire din X, în sensul că suma r + s şi produsul r s a două numere raţionale sunt, de asemenea, numere raţionale. În plus, dacă r Q, atunci opusul său r este tot număr raţional, iar dacă r Q\{0}, inversul său r 1 = 1 r este, de asemenea, număr raţional.

24 24 Ion Crăciun Apoi, două numere raţionale oarecare x 1 şi x 2, unde x 1 Z, x 2 Z, iar y 1 IN, y 2 IN = IN \ {0}, y 1 y 2 sunt în relaţia de ordine x 1 x 2, când x 1 y 2 x 2 y 1, sau în relaţia de ordine x 2 x 1 atunci când x 2 y 1 x 1 y 2. y 1 y 2 y 2 y 1 Dacă x 1 y 2 < x 2 y 1, atunci x 1 < x 2. y 1 y 2 Rezultă că terna (Q, +, ) este corp comutativ total ordonat. Mai mult, spre deosebire de Z, mulţimea Q este densă în sensul că între orice două numere raţionale a < b există o infinitate de numere raţionale deoarece a < m a + n b m + n < b, m IN, Dacă a şi b sunt numere raţionale, atunci b a = b + ( a) şi b a = b a 1 (dacă a 0) sunt numere raţionale, deci ecuaţiile a + x = b şi a x = b ( dacă a 0) au soluţii în Q şi acestea sunt respectiv x = b a şi x = b a. Ecuaţia x 2 = a, unde a Q, nu mai are însă totdeauna soluţie raţională. De exemplu, ecuaţia x 2 = 2 nu are soluţie raţională căci nu există nici un număr raţional al cărui pătrat să fie 2, demonstraţia acestei afirmaţii făâ ndu se prin reducere la absurd. Într-adevăr, dacă există un număr raţional r = p, unde p şi q sunt numere întregi fără nici un alt divizor q comun afară de 1 şi 1, care să verifice ecuaţia dată, atunci trebuie să avem p 2 = 2q 2, ceea ce înseamna că p 2 este un număr par, lucru posibil numai dacă p = 2m adică şi p este număr par. Egalitatea p 2 = 2q 2 se scrie în forma 4m 2 = 2q 2, de unde 2m 2 = q 2. Rezultă că q 2 este un număr par, deci şi q este un număr par, adică q = 2n, n IN. Aşadar, p şi q au pe 2 ca divizor comun şi astfel presupunerea că există un număr raţional r cu r 2 = 2 conduce la o contradicţie. Acest exemplu demonstrează că Q X, incluziunea fiind strictă. Structura algebrică astfel definită peste o mulţime oarecare X este destul de bogată în proprietăţi. Pe baza axiomelor de corp comutativ total ordonat se poate defini operaţia de scădere a două elemente oarecare ale mulţimii X, de împărţire a două elemente, cu condiţia ca cel de-al doilea să fie diferit de elementul neutru la adunare, şi de ridicare la o putere întreagă a unui element din X. Dacă x X şi n IN, atunci prin x n înţelegem x x... x, de n ori, apoi x 0 = 1, iar x n = 1 x n Structura definită pe X are incoveniente deoarece axiomele sale nu permit definirea operaţiei inverse operaţiei de ridicare la puterea întreagă n IN, n 2, numită operaţie de extragere a rădăcinii de un ordin oarecare n IN, n 2. De exemplu, nu putem stabili în acest cadru axiomatic formulele de determinare a soluţiilor ecuaţiei de gradul doi.ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c X. Pentru satisfacerea unor astfel de cerinţe este necesar să introducem noţiuni noi care să permită definirea unei structuri suficient de generale pentru a descrie mulţimea numerelor reale. Definiţia Fie A X o submulţime nevidă arbitrară a lui X. Spunem că mulţimea A este majorată, sau mărginită superior dacă există un element b X, numit majorant al mulţimii A, astfel încât x b, x A. (1.75) Observaţia O mulţime majorată A X are o infinitate de majoranţi.

25 Capitolul 1. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 25 Într-adevăr, dacă b este majorant pentru A şi dacă b X este astfel încât b b, din (1.75) şi proprietatea de tranzitivitate a relaţiei de ordine totală, rezultă că b este majorant. Dacă există un majorant în mulţimea A, acesta se numeşte maximul mulţimii A şi se notează max A. Definiţia Fie A o submulţime nevidă majorată a corpului comutativ total ordonat (X, +, ). Se numeşte margine superioară a mulţimii A, notată sup A, cel mai mic majorant. Observaţia Este posibil ca X să fie astfel încât marginea superioară a unei submulţimi A X să nu aparţină lui X, ceea ce poate conduce la imposibilitatea rezolvării unor probleme practice concrete. Într-adevăr, dacă luăm X = Q şi A = {x Q : x 2 < 2}, se constată că sup A / X. Spre exemplu, lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de mărime l Q nu aparţine lui Q deoarece nu se poate scrie sub forma p/q cu p, q IN, q 0. Din Observaţia deducem că în mulţimea numerelor reale este necesară o astfel de proprietate care să asigure existenţa marginii superioare a unei mulţimi majorate. În acest sens, completăm axiomele de corp comutativ total ordonat cu încă una şi anume: Axioma de existenţă a marginii superioare. Orice submulţime nevidă majorată A a unui corp comutativ total ordonat X admite un cel mai mic majorant. Această axiomă este cunoscută şi sub numele de axioma de completitudine, sau axioma Cantor 2 Dedekind 3. Definiţia Se numeşte mulţime a numerelor reale un corp comutativ total ordonat în care orice submulţime nevidă majorată admite un cel mai mic majorant. O astfel de mulţime se notează cu IR. Mulţimea definită cu ajutorul fracţiilor zecimale infinite satisface Definiţia şi furnizează o metodă de construcţie a mulţimii numerelor reale(vezi [22], [17]). În baza construcţiei lui IR cu ajutorul fracţiilor zecimale putem afirma că mulţimea IR există. Se pune insa întrebarea: este unică o astfel de mulţime IR? Răspunsul îl găsim în următoarea teoremă pe care o dăm fără demonstraţie. Teorema Dacă S 1 şi S 2 sunt două corpuri comutative total ordonate care satisfac axioma de existenţă a marginii superioare, atunci există o aplicaţie bijectivă f : S 1 S 2 astfel încât f(x + y) = f(x) + f(y), f(x y) = f(x) f(y), f(0 S1 ) = 0 S2, f(1 S1 ) = 1 S2, unde 0 S1 şi 0 S2 sunt elementele neutre în raport cu adunarea în S 1, respectiv S 2, iar 1 S1, respectiv 1 S2 sunt elementele neutre în raport cu înmulţirea în S 1, respectiv S 2. În plus, dacă x y, atunci f(x) f(y). Rezultă aşadar că f este izomorfism de corpuri care păstrează relaţia de ordine şi, în baza Observaţiei 1.5.1, S 1 şi S 2 sunt identice. Axiomele ce definesc IR caracterizează această mulţime până la un izomorfism, adică IR este unică până la un izomorfism. Cea de a treia problemă care se pune în legătură cu construcţia axiomatică a numerelor reale IR, pe lângă cea a existenţei şi unicităţii lui IR, este aceea a noncontradicţiei axiomelor care o definesc. 2 Cantor, Georg ( ), renumit matematician german. 3 Dedekind, Richard ( ), matematician german.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006 1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata are urmatoarele proprietati, oricare ar fi x,y,z din R: 1) R este corp comutativ : a) (x+y)+z=x+(y+z)

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9 Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Introducere 3. I. Algebră şi Geometrie 4. 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5. 2 Polinoame 44

Introducere 3. I. Algebră şi Geometrie 4. 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5. 2 Polinoame 44 Cuprins Prefaţă 1 Introducere 3 I. Algebră şi Geometrie 4 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5 2 Polinoame 44 3 Matrice. Matrice cu blocuri. Forme canonice 85 4 Spaţii vectoriale şi

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα