Διδασκαλία του Αναδρομικού Αλγορίθμου «Πύργοι του Ανόι» στην Α Λυκείου με το 3D Προγραμματιστικό Περιβάλλον Starlogo TNG

Transcript

1 Διδασκαλία του Αναδρομικού Αλγορίθμου «Πύργοι του Ανόι» στην Α Λυκείου με το 3D Προγραμματιστικό Περιβάλλον Starlogo TNG Βυζαντινός Ρεπαντής 1, Αναστάσιος Λαδιάς 2 1 Καθηγητής Πληροφορικής, Κολλέγιο Ψυχικού repantis@haef.gr 2 Σχολικός Σύμβουλος Πληροφορικής Β Αθήνας ladiastas@gmail.com Περίληψη Η εργασία παρουσιάζει μια προσέγγιση στη διδασκαλία της αλγοριθμικής έννοιας της αναδρομής σε μαθητές της Α Λυκείου. Συγκεκριμένα, αναφέρεται στη μεταφορά του γνωστού αλγορίθμου των Πύργων του Ανόι στο τρισδιάστο προγραμματιστικό περιβάλλον του Starlogo TNG. Η χρήση των τρισδιάστατων γραφικών στη δημιουργία των προγραμμάτων των μαθητών, καθώς και η χρήση ομαδοσυνεργατικών μεθόδων στοχεύουν στην καλύτερη κατανόηση του αλγορίθμου, στην εύκολη διόρθωση των προγραμματιστικών λαθών από τους ίδιους (αφού είναι άμεσα ορατά στην εκτέλεση του προγράμματός τους) και στην πληρέστερη αντίληψη μιας τόσο σύνθετης έννοιας. Μία μελέτη περίπτωσης πραγματοποιήθηκε σε οκτώ μαθητές της Α Λυκείου του Κολλεγίου Ψυχικού οι οποίοι δημιούργησαν δουλεύοντας σε ομάδες τη δική τους εκδοχή του τρισδιάστατου αναδρομικού περιβάλλοντος επίλυσης του προβλήματος των Πύργων του Ανόι και συζήτησαν συλλογικά βήμα προς βήμα την πορεία εκτέλεσης των προγραμμάτων τους. Στη συνέχεια, αξιολόγησαν οι ίδιοι τη δραστηριότητα μέσω ερωτηματολογίων και έδωσαν επαρκή στοιχεία για τη συνολική εκτίμηση της αξίας της μεθόδου στη διδασκαλία σύνθετων αλλά θεμελιωδών αλγοριθμικών εννοιών σε μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Λέξεις κλειδιά: αναδρομή, Πύργοι του Ανόι, τρισδιάστατα προγραμματιστικά περιβάλλοντα, logo, Starlogo TNG. 1. Εισαγωγή Η αναδρομή γεννιέται από τη στιγμή που κάτι δημιουργείται από αναπαραγωγή του ίδιου του εαυτού του σε άλλη κλίμακα. Αναδρομή είναι η τεχνική κατά την οποία μέσα στον ορισμό μιας διαδικασίας χρησιμοποιείται η ίδια διαδικασία (Μικρόπουλος & Λαδιάς, 2000). Αναδρομικές διαδικασίες παρατηρούνται στην καθημερινή εμπειρία. Λύσεις πολλών προβλημάτων βασίζονται στον αναδρομικό τρόπο σκέψης, με την αναδρομή να αποτελεί μια θεμελιώδη αρχή του προγραμματισμού για εύκολη, γρήγορη και κομψή αντιμετώπιση ποικίλων καταστάσεων γιατί «η αναδρομή, ως μέθοδος προσέγγισης, βοηθάει στην απλοποίηση του προβλήματος που καλείται να αντιμετωπίσει ο προγραμματιστής και οδηγεί σε μικρό προγραμματιστικό κώδικα. Έτσι, τα προγράμματα που δημιουργούνται με αναδρομικές συναρτήσεις είναι μικρά σε όγκο και συνήθως αρκετά εύκολα στην κατανόησή τους. Εκείνο ωστόσο που δεν συμβαίνει πάντα εύκολα, είναι η σύλληψη, η έμπνευση της αναδρομής» (Χαλκιαδάκη & Χαλκιαδάκης, 1997). Από τα παραπάνω προκύπτει η ανάγκη για την κατανόηση της έννοιας της αναδρομής και του τρόπου λειτουργίας της. Η αναδρομή είναι κομβικός όρος για την επιστήμη των υπολογιστών. Σύμφωνα με τον Dan McCracken «η αναδρομή είναι θεμελιώδης για την επιστήμη των υπολογιστών, είτε ως κατανόηση του περιεχομένου των μαθηματικών, είτε ως τεχνική προγραμματισμού, είτε ως έκφραση ενός αλγορίθμου, είτε ως προσέγγιση της λύσης ενός προβλήματος» (1987). 2. Η διδασκαλία της αναδρομής «Οι μεγάλοι καταλαβαίνουν την αναδρομή σε προχωρημένη ηλικία, όταν ήδη έχουν διαμορφώσει τρόπους σκέψης. Έτσι η αναδρομή δεν είναι οικεία όπως η επανάληψη» (Λαδιάς & Mικρόπουλος, 1993). «Πιστεύουμε ότι αν μπολιάσουμε τον τρόπο σκέψης της

2 γενιάς που θα ζήσει με τις νοήμονες μηχανές με την έννοια της αναδρομής, αυτό θα την εξοικειώσει με την τεχνητή νοημοσύνη» (Μικρόπουλος & Λαδιάς, 2000). Έτσι αν στις πρώτες τάξεις τεθούν γερά θεμέλια στην αναδρομή τότε η κατανόηση της στις επόμενες θα είναι πολύ πιο εύκολη. «Ατυχώς οι αρχάριοι προγραμματιστές φαίνεται να συναντούν σοβαρά προβλήματα στην κατανόηση της αναδρομής. Μερικοί σπουδαστές της επιστήμης των υπολογιστών έχουν περιγράψει τη διαδικασία μάθησης της αναδρομής ως μια από τις πιο δύσκολες έννοιες να διδαχθούν» (Dann et al., 2001). Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει μια προσέγγιση για την κατανόηση της έννοιας της αναδρομής σε μαθητές της Α Λυκείου που μαθαίνουν προγραμματισμό. Με στόχο να διευκολύνεται η κατανόησή της αναδρομής, χρησιμοποιείται ένα πολυμεσικό προγραμματιστικό περιβάλλον που διαθέτει διεπαφή οπτικού προγραμματισμού και δυνατότητες 3-D απεικόνισης έτσι ώστε να οπτικοποιείται η εκτέλεση μιας αναδρομικής διαδικασίας. 3. Η επιλογή του προγραμματιστικού περιβάλλοντος 3.1 Η επιλογή της logo Ως εργαλείο για την κατανόηση και εξοικείωση με την έννοια της αναδρομής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, η εργασία προτείνει το ανοικτό περιβάλλον της γλώσσας προγραμματισμού logo. Η logo αποτελεί μια ολόκληρη θεωρία μάθησης βασισμένη στη γνώση και στην επιστημολογική άποψη του Piaget. Η επιλογή της γλώσσας logo έγινε γιατί δεν είναι μόνο ένα εργαλείο προγραμματισμού αλλά ένας χώρος για να σκέφτεται μαθητής μ αυτόν. «Διδάσκοντας τον υπολογιστή πώς να σκέφτεται, τα παιδιά ξεκινούν για μια εξερεύνηση του δικού τους τρόπου σκέψης. Η εμπειρία μπορεί να είναι μεθυστική. Η σκέψη για την σκέψη κάνει το παιδί επιστημολόγο» (Papert, 1991). Η logo είναι ένα ανοικτό, επεκτάσιμο περιβάλλον προγραμματισμού και ανάπτυξης. Εκτός από τις εντολές της, ο χρήστης δημιουργεί εύκολα νέες εντολές-διαδικασίες για να καλύψει τις ανάγκες του, τις οποίες διαδικασίες χρησιμοποιεί ως μικρές αυτόνομες δομές που μπορούν να συνδυάζονται και να παράγουν μεγαλύτερες και πιο πολύπλοκες. Έτσι από απλές -άμεσα και έμμεσααναδρομικές διαδικασίες, που είναι εύκολα κατανοητές, μπορούν να παραχθούν σύνθετες για τη δημιουργία κλασματομορφικών δομών και χαοτικών καταστάσεων. Το «παιχνίδι» του μαθητή με το «πείραγμα» των αρχικών τιμών μιας αναδρομικής διαδικασίας ξεπερνά συνήθως τη διαίσθηση και την φαντασία του. «Εκεί γίνεται κατανοητός ο περίφημος αφορισμός του χάους ότι το τίναγμα των φτερών μιας πεταλούδας στο Πεκίνο επηρεάζει τον καιρό της Νέας Υόρκης» (Briggs & Peat, 1991). 3.2 Η επιλογή της StarLogo TNG Ο εύκολος τρόπος που παράγονται τα γραφικά της logo, τα οποία δίνουν τη δυνατότητα άμεσης απεικόνισης των αποτελεσμάτων του προγράμματος, σε συνδυασμό με μια από τις σύγχρονες εκδόσεις της logo που διαθέτουν διεπαφή οπτικού προγραμματισμού (Scratch, StarLogo TNG, TurtleArt) δίνουν τη δυνατότητα στο μαθητή αφενός να εστιάσει στον αλγόριθμο χωρίς να διασπάται από «συντακτικά» λάθη και αφετέρου να έχει άμεση οπτική ανατροφοδότηση για τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εκτέλεση του προγράμματός του. Τα τρία παραπάνω οπτικά περιβάλλοντα διατίθενται δωρεάν αλλά η επιλογή του περιβάλλοντος της StarLogo TNG έγινε κυρίως γιατί, όταν ξεκίνησε το project, ήταν η μόνη που υποστήριζε τη δυνατότητα ορισμού διαδικασιών, απαραίτητη προϋπόθεση για την υποστήριξη της αναδρομής. Η ανάγκη για ένα εξελληνισμένο περιβάλλον για τη StarLogo TNG οδήγησε σε μια πρώτη προσπάθεια εξελληνισμού της από τον πρώτο συγγραφέα της παρούσης εργασίας. Για να καλυφθούν οι δεδομένες δυσκολίες στη διδασκαλία της αναδρομής σε μαθητές αυτής της ηλικίας αξιοποιήθηκαν οι εξής παράγοντες: Ο απλός συντάκτης της Starlogo TNG (drag n drop editor) έτσι ώστε να αποφύγουν οι μαθητές τα χρονοβόρα συντακτικά σφάλματα. Το τρισδιάστατο περιβάλλον της Starlogo TNG μέσω του οποίου εύκολα μπορεί, αφενός να ελεγχθεί η ορθότητα του αλγορίθμου (οι δίσκοι απεικονίζονται ως τρισδιάστατες οντότητες στην οθόνη) και αφετέρου, να προκληθεί ο ενθουσιασμός των μαθητών. 157

3 Η ομαδοσυνεργατική μέθοδος για την αλληλοβοήθεια των μαθητών στα στάδια της κατανόησης του βασικού αλγορίθμου, στην υλοποίηση του προγράμματος και στη διόρθωσή του. 4. Μελέτη περίπτωσης Στη μελέτη συμμετείχαν οκτώ (8) μαθητές της Α Λυκείου του Λυκείου Κολλεγίου Ψυχικού (ακαδημαϊκό έτος ) στο μάθημα των Εφαρμογών Πληροφορικής. Η εκπόνηση της συγκεκριμένης δραστηριότητας απαιτούσε τη σύνθεση σημαντικών κομματιών της ύλης του μαθήματος της Πληροφορικής, όπως διδάσκεται στην Γ Γυμνασίου, με τη χρήση του περιβάλλοντος Starlogo TNG. Έτσι, πριν την υλοποίηση της δραστηριότητας οι μαθητές ήταν σε θέση να αναφέρουν ένα γενικό τρόπο σύνταξης των δομών επιλογής, επανάληψης καθώς και μιας παραμετρικής διαδικασίας (procedure), να συνδέουν βασικές προγραμματιστικές έννοιες με τη μεταφορική τους σημασία π.χ. μεταβλητή-πλήθος δίσκων σε κάθε θέση, να χρησιμοποιούν αποδοτικά την κίνηση και τη διάδραση με τη «χελώνα» της Starlogo TNG, να διαλέγουν τα κατάλληλα αντικείμενα για το πρόγραμμά τους εξηγώντας τους λόγους για την επιλογή τους και να επαληθεύουν την ορθότητα του προγράμματός τους κάνοντας πολλαπλές δοκιμές κάτω από διαφορετικές συνθήκες. Επιπλέον, ήταν σε θέση να περιγράφουν ως έννοια και να χρησιμοποιούν ορθά τις καθολικές μεταβλητές ακεραίου και πραγματικού τύπου και να διαχωρίζουν την έννοια της κλάσης (class) από την έννοια του στιγμιότυπου (instance). Οι ειδικοί διδακτικοί στόχοι της συγκεκριμένης δραστηριότητας ήταν συνοψίζονται στο ότι οι μαθητές μετά το πέρας της δραστηριότητας θα έπρεπε να είναι σε θέση να: περιγράφουν γενικά την έννοια της αναδρομής και ειδικά τη χρησιμότητά της στο συγκεκριμένο πρόβλημα μεταφέρουν την αναδρομική λύση των Πύργων του Ανόι από τη μορφή ψευδοκώδικα στη μορφή προγράμματος του Starlogo TNG αποτυπώνουν λεκτικά τη λειτουργία της αναδρομής στην κλήση της βασικής διαδικασίας (procedure) που χρησιμοποιείται στον αλγόριθμο αντιλαμβάνονται τα στάδια ανάλυσης και την πορεία υλοποίησης προγραμμάτων των συμμαθητών τους, να συνεργάζονται αποδοτικά με κάποιο συμμαθητή τους για ένα κοινό πρόβλημα, να μπορούν να είναι σε θέση να καταλαβαίνουν βελτιωτικά σχόλια από τους ανθρώπους με τους οποίους συνεργάζονται και να αποδεικνύουν την ορθότητα ή όχι ενός ισχυρισμού τους (π.χ. «το τάδε σημείο δεν καλύπτεται από τις βασικές απαιτήσεις του Αλγορίθμου των Πύργων του Ανόι») ανάλογα με την εκτέλεση του προγράμματός τους. Οι μαθητές έπρεπε να δουλέψουν για έξι διδακτικές περιόδους ομαδικά (σε τρεις ομάδες των δύο ή τριών ατόμων) για την υλοποίηση της λύσης τους. Η πορεία που ακολουθήθηκε χωρίστηκε σε δύο στάδια: στο στάδιο δημιουργίας του «περιβάλλοντος» του προβλήματος (τρεις ώρες) και στο στάδιο μελέτης και υλοποίησης της αναδρομικής λύσης (τρεις ώρες). 4.1 Το «περιβάλλον» του προβλήματος Στην ουσία πρόκειται για την υλοποίηση της μη αναδρομικής επίλυσης του προβλήματος των Πύργων του Ανόι. Κατά το στάδιο αυτό οι μαθητές έπρεπε να δημιουργήσουν βήμα προς βήμα το περιβάλλον των τεσσάρων δίσκων ακολουθώντας συγκεκριμένες υποδείξεις που τους δόθηκαν και να βρούν μόνοι τους τη λύση στη μετακίνηση των δίσκων (15 διαδοχικές κινήσεις, προφανώς χωρίς τη χρήση αναδρομής). Στην πορεία οι μαθητές θυμήθηκαν καλύτερα τη χρήση των μεταβλητών, των δομών επιλογής και επανάληψης, καθώς και των παραμετρικών διαδικασιών (procedures) στην Starlogo TNG από την ύλη της Γ Γυμνασίου. Τους δόθηκαν οι βασικές οδηγίες για τη δημιουργία των Πύργων και τους αφέθηκε η ελευθερία να επιλέξουν τον τρόπο εμφάνισης των δίσκων (σχήμα, μέγεθος) καθώς και της αρίθμησής τους. Ο τελικός στόχος ήταν η δημιουργία της διαδικασίας (procedure) Move η οποία λάμβανε ως παραμέτρους τη θέση-αφετηρία (0, 1 ή 2), τη θέση-προορισμό (0, 1 ή 2) καθώς και τον αριθμό του δίσκου (0, 1, 2 ή 3). Η δημιουργία του «περιβάλλοντος» του προβλήματος δεν αφορούσε τους ειδικούς διδακτικούς στόχους (εκτός από τη συνεργασία μεταξύ των μαθητών), αλλά αποτέλεσε μια 158

4 αναγκαία εισαγωγή στο πρόβλημα. Τα βασικά στοιχεία του προγράμματος φαίνονται στα σχήματα 1, 2 και 3 που απεικονίζουν στιγμιότυπα από τον κώδικα των μαθητών: Σχήμα 1: Η διαδικασία disk Start που είναι υπεύθυνη για την ανύψωση των τεσσάρων δίσκων Η διαδικασία disk Start είναι υπεύθυνη για την ανύψωση των τεσσάρων δίσκων. Οι μεταβλητές pos 0, pos 1 και pos 2 δείχνουν το πλήθος των δίσκων στις θέσεις 0, 1 και 2 αντίστοιχα και οι εντολές set shape width, set height και set altitude εντός της εντολής ask agent καθορίζουν το πάχος, το μήκος και το αρχικό ύψος κάθε δίσκου (με ID 0 έως και 3). Σχήμα 2: Η διαδικασία disk Move που είναι υπεύθυνη για τη μετακίνηση των δίσκων Η διαδικασία Move δέχεται ως παραμέτρους τον αριθμό του δίσκου, την αρχική του θέση (0, 1 ή 2) και τη θέση στην οποία θα μεταφερθεί (0, 1, ή 2). Ανάλογα με τη θέση-προορισμό μεταφέρει το δίσκο disk number στο σημείο με συντεταγμένη x (τετμημένη) 0, 7 ή 15 (δηλαδή σε μία από τις θέσεις 0, 1 ή 2). Επιπλέον, αυξάνει την τιμή της αντίστοιχης 159

5 μεταβλητής pos 0, pos 1 ή pos 2 ανάλογα με το ποια είναι η θέση του προορισμού και μειώνει την τιμή των ίδιων μεταβλητών ανάλογα με το ποια ήταν η θέση-αφετηρία του δίσκου. Σχήμα 3: Η διαδικασία correction τοποθετεί στο σωστό ύψος τον μετακινούμενο δίσκο Η διαδικασία (procedure) correction καλείται από τη Move για να τεθεί στο σωστό ύψος ο δίσκος που μόλις κινήθηκε ανάλογα με τη θέση-προορισμό. Ο έλεγχος γίνεται μέσω της παραμέτρου new pos και μιας και οι μεταβλητές pos 0, pos 1 και pos 2 περιέχουν τον αριθμό των δίσκων σε κάθε θέση χρησιμοποιείται εκ νέου η set altitude. 4.2 Μελέτη και Υλοποίηση της αναδρομικής λύσης Αφού εξηγήθηκε στους μαθητές γενικά η έννοια της αναδρομής και η χρησιμότητά της στο συγκεκριμένο πρόβλημα τους δόθηκε σε μορφή ψευδοκώδικα ο παρακάτω αναδρομικός τρόπος επίλυσης του προβλήματος: Procedure Hanoi(source, temp, destination) if n >= 0 then begin Hanoi(source, destination, temp, n - 1) Move disk n from source to destination Hanoi(temp, source, destination, n - 1) end Main: Hanoi(0,1,2,3) Χωρίς να δοθεί άλλη εξήγηση στους μαθητές τονίστηκε απλά το γεγονός της κλήσης της διαδικασίας Hanoi από τον εαυτό της, η ύπαρξη της συνθήκης n >= 0 ως συνθήκης τερματισμού της διαδοχικής κλήσης της και το γεγονός της αρχικής κλήσης της διαδικασίας. Ζητήθηκε στη συνέχεια από τους μαθητές να μεταφέρουν τον αλγόριθμο αυτό στο πρόγραμμά τους. Παρακάτω δίνεται ένα στιγμιότυπο προγράμματος μιας από τις ομάδες μαθητών. Η διαδικασία (procedure) recursion είναι ευθέως ανάλογη της Hanoi όπως δόθηκε στον ψευδοκώδικα προηγουμένως και εκτελείται αναδρομικά (σχήμα 4): 160

6 Σχήμα 4: Η διαδικασία recursion από το πρόγραμμα μιας από τις ομάδες μαθητών. Η εντολή yield απλά καθυστερεί την εκτέλεση της τοποθέτησης των δίσκων κατά 5 δευτερόλεπτα, έτσι ώστε να μπορούν οι μαθητές να παρακολουθήσουν πιο άνετα την εκτέλεση του προγράμματος. Στο σχήμα 5 δίνεται στιγμιότυπο της εκτέλεσης του προγράμματος μιας από τις ομάδες των μαθητών. 161

7 Σχήμα 5: Στιγμιότυπο της εκτέλεσης του προγράμματος Τέλος, ένας μαθητής σηκώθηκε στον διαδραστικό πίνακα και όλοι οι μαθητές συζήτησαν βήμα προς βήμα την πορεία εκτέλεσης του προγράμματος και την αναδρομική κλήση της διαδικασίας recursion. Η πορεία εκτέλεσης όπως συζητήθηκε, διατυπώθηκε από τους μαθητές και καταγράφηκε στον διαδραστικό πίνακα για ένα πρώτο τμήμα του προγράμματος, που φαίνεται στο σχήμα 6. Σχήμα 6: Η πορεία εκτέλεσης όπως καταγράφηκε στον πίνακα Smartboard από τους μαθητές (με R εννοείται η διαδικασία recursion) Η καταγραφή των κινήσεων των δίσκων με αυτό τον τρόπο διήρκησε περίπου μία διδακτική περίοδο και στη συνέχεια οι μαθητές κλήθηκαν να απαντήσουν ανώνυμα στα σχετικά ερωτηματολόγια, παρέχοντας έτσι συγκεκριμένα στοιχεία για το βαθμό επίτευξης των διδακτικών στόχων που τέθηκαν και αξιολογώντας ταυτόχρονα τη δραστηριότητα. Στο ερωτηματολόγιο υπήρχαν ερωτήσεις που αφορούσαν την έννοια της αναδρομής γενικά, τη χρησιμότητά της σχετικά με το συγκεκριμένο πρόβλημα, τη χρήση των μεταβλητών που χρησιμοποιήθηκαν, το ρόλο της συνεργασίας στις ομάδες για την υλοποίηση του προγράμματος, καθώς και την αντίληψη που οι ίδιοι αποκόμισαν από τη δραστηριότητα για το πώς πραγματικά λειτούργησε η αναδρομική κλήση της διαδικασίας recursion. Οι ερωτήσεις σχετικά με τους γνωστικούς στόχους ήταν ανοικτού τύπου και οι απαντήσεις για την αξιολόγηση του ρόλου της συνεργασίας και της ίδιας της δραστηριότητας δόθηκαν είτε αριθμητικά (στην κλίμακα 0-5), είτε με ένα απλό ΝΑΙ ή ΟΧΙ. 5. Αποτελέσματα Όλοι οι μαθητές απάντησαν σωστά σχετικά με το ρόλο των μεταβλητών (pos 0, pos 1, pos2) να διατηρούν το αντίστοιχο πλήθος των δίσκων σε κάθε θέση. Έξι στους οχτώ μαθητές διατύπωσαν με διάφορες εκφράσεις την άποψη πως η αναδρομή είναι μια λειτουργία σε ένα πρόγραμμα κατά την οποία μια διαδικασία (procedure) καλεί διαδοχικά τον εαυτό της. Οι ίδιοι μαθητές εντόπισαν τη χρησιμότητα της συγκεκριμένης μεθόδου στο πρόβλημα των Πύργων του Ανόι στο γεγονός πως το πρόβλημα αυτό μπορεί να μετατραπεί σε ολοένα πιό απλό με τη διαδοχική διάσπαση του μέχρις ότου να βρεθεί μια λύση σε ένα στοιχειώδες υποπρόβλημα. Δύο μαθητές παρατήρησαν επιπλέον το ρόλο της πρώτης κίνησης ανάλογα με το αν έχουμε άρτιο ή περιττό αριθμό δίσκων και ένας το ρόλο των δύο διαφορετικών αναδρομικών κλήσεων της διαδικασίας recursion με αντίστροφες παραμέτρους. Καμία περιγραφή της διαδικασίας recursion από πλευράς μαθητών δεν προσπάθησε να αναπαράξει 162

8 τη βήμα προς βήμα εκτέλεση του αλγορίθμου όπως αποτυπώθηκε από το σύνολο της τάξης. Παρόλα αυτά, οι μισοί μαθητές παρατήρησαν το ρόλο της εντολής if στον τερματισμό της κλήσης της διαδικασίας αν δοθεί ως παράμετρος για δίσκο η τιμή -1 και πως στη συνέχεια εκτελείται η επόμενη εντολή από την προηγούμενη κλήση της διαδικασίας. Ιδιαίτερα θετική ήταν η γνώμη των μαθητών για τη συνεργασία με το άλλο μέλος της ομάδας τους (ΜΟ 3,75 στα 5). Οι παράγοντες που εξετάστηκαν ως προς τη συνεργασία ήταν η βοήθεια στην υπενθύμιση πλευρών του αναδρομικού αλγορίθμου των Πύργων του Ανόι, στον έλεγχο ορθότητας και στη διόρθωση των προγραμμάτων. Οι μαθητές απάντησαν θετικά σε ποσοστά 67,5% για τον πρώτο παράγοντα και απόλυτα θετικά (100%) για τους άλλους δύο. Στο κομμάτι της αξιολόγησης από τους μαθητές, η δραστηριότητα κρίθηκε πολύ χρήσιμη, αρκετά έως πολύ ευχάριστη, αλλά ταυτόχρονα και πολύ δύσκολη (Πίνακας 1). Πίνακας 1: Η αξιολόγηση της δραστηριότητας από τους μαθητές Καθόλου Ελάχιστα Μέτρια Αρκετά Πολύ Πάρα Πολύ Η συνεργασία με/μας βοήθησε 0,0 0,0 0,0 25,0 75,0 0,0 3,75 Η δραστηριότητα ήταν χρήσιμη 0,0 0,0 0,0 37,5 25,0 37,5 4,00 Η δραστηριότητα ήταν ευχάριστη 0,0 0,0 12,5 37,5 37,5 12,5 3,50 Η δραστηριότητα ήταν δύσκολη 0,0 0,0 12,5 0,0 62,0 25,0 4,00 6. Συμπεράσματα Η χρήση των τρισδιάστατων περιβαλλόντων στην οπτικοποίηση προγραμμάτων προσφέρει στους καθηγητές Πληροφορικής μια νέα προσέγγιση στη διδασκαλία θεμελιωδών αλγοριθμικών εννοιών όπως είναι η αναδρομή. Συγκεκριμένα προσφέρει ένα συνδυασμό οπτικοποίησης, πειραματισμού και αλγοριθμικής λογικής. Οι μαθητές εμπλέκονται ενεργά στη διαδικασία, δοκιμάζουν τα προγράμματά τους και λαμβάνουν άμεσα οπτική ανατροφοδότηση από το προγραμματιστικό περιβάλλον καθώς δημιουργούν ολοένα πιο ισχυρά και πιο ενδιαφέροντα animations. Η οπτικοποιημένη αναδρομή επιτρέπει στους μαθητές να αναγνωρίσουν τα λάθη τους και να μάθουν εύκολα από αυτά. Αν μάλιστα εργαστούν σε ένα ομαδοσυνεργατικό περιβάλλον τα οφέλη είναι πολλαπλά και οι μαθητές είναι ικανοί να αντιληφθούν πιο εύκολα αυτή τη σύνθετες αλγοριθμικές έννοιες. Βιβλιογραφία Briggs J., Peat F.D., Ο ταραγμένος καθρέφτης. Μια περιήγηση στη θεωρία του χάους και στην επιστήμη της ολότητας. Κάτοπτρο, Dann W., Cooper S., Pausch R., Using visualization to teach novices Recursion,. Proceedings of the 6th Annual Conference on Innovation and Technology in Computer Science Education, Canterbury, England, Ιουνίου McCracken Dan, Ruminations on Computer Science Curricula, Communications of the ACM, 30, 1: (January 1987). Papert S., Νοητικές θύελλες. Παιδιά, Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές και Δυναμικές Ιδέες. Τα πάντα γύρω από τη Logo. Οδυσσέας, Λαδιάς A. & Mικρόπουλος A., «Αναδρομικότητα και χάος. Παρουσίαση σε περιβάλλον hypercard προσομοιώσεων του φυσικού κόσμου με τεχνικές αναδρομής σε γλώσσα logo». Πρακτικά 1ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «Διδακτική των μαθηματικών και πληροφορική στην εκπαίδευση». ΠΤΔΕ Πανεπιστημίου Iωαννίνων Oκτωβρίου Μικρόπουλος Τ. & Λαδιάς Τ., Η Logo στην εκπαιδευτική διαδικασία, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, 2000 Χαλκιαδάκη Μ., Χαλκιαδάκης Γ., Αναδρομή, μια εκπαιδευτική προσέγγιση, Αστρολάβος, Μάρτιος 1997 ΜΟ 163