ΤΜΒΟΛΗ ΣΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΒΡΑΦΤΠΡΟΘΕΜΗ ΠΡΟΚΛΗΗ ΕΙΜΙΚΟΣΗΣΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΙΦΤΡΟΤ ΕΙΜΟΤ

Transcript

1 ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΘΕΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΣΟΜΕΑ ΓΕΩΥΤΙΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ Κ. ΑΔΑΜΑΚΗ ΤΜΒΟΛΗ ΣΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΒΡΑΦΤΠΡΟΘΕΜΗ ΠΡΟΚΛΗΗ ΕΙΜΙΚΟΣΗΣΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΙΦΤΡΟΤ ΕΙΜΟΤ ΔΙΑΣΡΙΒΗ ΕΙΔΙΚΕΤΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΙΔΙΚΕΤΗ ΓΕΩΥΤΙΚΗ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ 2010

2 Δημοσίευση του Τομέα Γεωφυσικής, Α. Π. Θ. με κωδικό αριθμό 771 ΤΜΒΟΤΛΕΤΣΙΚΗ ΚΑΙ ΕΞΕΣΑΣΙΚΗ ΕΠΙΣΡΟΠΗ Παπαδημητρίου Ελευθερία, Καθηγήτρια Α.Π.Θ. (Επιβλέπουσα διατριβής) Σσακλίδης Γεώργιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Π.Θ. (Μέλος) Καρακώστας Βασίλειος, Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Π.Θ. (Μέλος)

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... 3 Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή Γενικά Αναφορά στην εξέλιξη της προηγούμενης έρευνας... 5 Κεφάλαιο 2 ο : Μεθοδολογία Εισαγωγή Θεωρητικό υπόβαθρο της εφαρμοζόμενης μεθοδολογίας Κατανομές πιθανότητας και τυχαίες μεταβλητές Κατανομή Poisson Διαδικασία Poisson Εκθετική κατανομή Έλεγχος υποθέσεων Συνάρτηση επιβίωσης Εφαρμογή των Μοντέλων Ομογενές Μοντέλο Poisson Μη Ομογενές Μοντέλο Poisson με εκθετική συνάρτηση του ρυθμού σεισμικότητας λ Μη Ομογενές Μοντέλο Poisson-Διαδικασία Weibull Ορισμένα στοιχεία για τις χρονικές σειρές Εφαρμογή των Μοντέλων-Διαδικασία στον Υπολογιστή Κεφάλαιο 3 ο : Εφαρμογή των στατιστικών μοντέλων στις σεισμικές ακολουθίες Εισαγωγή Σεισμική ακολουθία Αλκυονίδων ( , Μw=6.7, , Μw=6.4, , Μw=6.3) Εισαγωγή Δεδομένα παρατήρησης Ομογενής διαδικασία Poisson Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)=e a+bt Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)=α -b bt b Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης - AR(2) Σεισμική ακολουθία Σκύρου ( , Μw=6.4) Εισαγωγή Δεδομένα παρατήρησης Ομογενής διαδικασία Poisson

4 3.3.4 Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)= e a+bt Μη ομογενής διαδικασία Poisson-Εφαρμογή λ(t)= α -b bt b Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο - AR(2) Σεισμική ακολουθία Λευκάδας ( , Μw=6.2) Εισαγωγή Δεδομένα παρατήρησης Ομογενής διαδικασία Poisson Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)= e a+bt Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)= α -b bt b Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο - AR(2) Κεφάλαιο 4 ο : Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

5 Πρόλογος Η παρούσα διατριβή ειδίκευσης εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών πουδών του Σομέα Γεωφυσικής του Σμήματος Γεωλογίας του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη της χρονικής κατανομής των σεισμών σε τρεις σεισμικές ακολουθίες του ελλαδικού χώρου, με σκοπό τη διερεύνηση της βραχυπρόθεσμης πρόκλησης σεισμικότητας μετά από ισχυρούς σεισμούς. Οι σεισμικές ακολουθίες που μελετήθηκαν, με τη σειρά που παρουσιάζονται είναι η σεισμική ακολουθία των Αλκυονίδων το 1981, κατά την οποία έγιναν τρεις ισχυροί σεισμοί (M=6.7, M=6.5 και M=6.3), η ακολουθία της κύρου το 2001 (M=6.3) και η ακολουθία της Λευκάδας το 2003 (M=6.2). Γίνεται προσέγγιση της διαδικασίας γένεσης των σεισμών μέσω μιας στοχαστικής διαδικασίας κι εφαρμόζονται στα δεδομένα τρία στατιστικά μοντέλα: ένα ομογενές μοντέλο Poisson σταθερού ρυθμού γένεσης σεισμών, λ, ένα μη ομογενές μοντέλο Poisson με ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), που εξαρτάται από το χρόνο, και ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης. το πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία αναδρομή στην προηγούμενη σχετική έρευνα που αφορά τη χρονική κατανομή και την εφαρμογή στατιστικών μοντέλων στα δεδομένα σεισμικών ακολουθιών, τόσο στην Ελλάδα όσο και διεθνώς. το δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται το θεωρητικό υπόβαθρο της εφαρμοζόμενης μεθοδολογίας, δίνονται πλήρεις ορισμοί για όλες τις έννοιες και τα μεγέθη που χρησιμοποιούνται και αναφέρονται στην στατιστική επεξεργασία των δεδομένων των σεισμικών ακολουθιών που μελετήθηκαν καθώς επίσης οι μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των παραμέτρων κάθε μοντέλου αλλά και την εξαγωγή αποτελεσμάτων από την εφαρμογή τους. το τρίτο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την επεξεργασία των δεδομένων των τριών σεισμικών ακολουθιών. Αναλύεται ο τρόπος με τον οποίο έγινε η εφαρμογή των τριών στατιστικών μοντέλων, του ομογενούς μοντέλου Poisson, του μη ομογενούς μοντέλου Poisson και του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου δεύτερης τάξης (AR(2)). 3

6 το τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο παραθέτονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή των μοντέλων. το σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω την επιβλέπουσα της παρούσας διατριβής ειδίκευσης κ. Παπαδημητρίου Ελευθερία, Καθηγήτρια εισμολογίας, για τη συνεχή στήριξη και καθοδήγηση αλλά και για την επιμονή που έδειξε, τόσο κατά τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας εργασίας όσο και στο σύνολο των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ευχαριστώ επίσης θερμά τους κυρίους Σσακλίδη Γεώργιο, Αναπληρωτή Καθηγητή του τομέα τατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας του τμήματος Μαθηματικών, και Καρακώστα Βασίλειο, Αναπληρωτή Καθηγητή εισμολογίας, για όλη τη γνώση και την επιστημονική βοήθεια που μου προσέφεραν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Ιδιαιτέρως θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, Κώστα και Ευδοκία, για την αμέριστη συμπαράσταση σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Σέλος οφείλω ένα μεγάλο ευχαριστώ σε όλους τους φίλους που μου συμπαραστάθηκαν σε αυτό το διάστημα Υυσικούς και μη-, και ειδικά τους συναδέλφους Λεπτοκαρόπουλο Κώστα, Αστειόπουλο Σάσο, Αντωνίου Δημήτρη και Δημάκη Ευθύμη, για την από κοινού προσπάθεια και την άριστη συνεργασία στα πλαίσια των μεταπτυχιακών μας σπουδών. «Entities must not be multiplied beyond necessity..» 4 Occam s Razor

7 Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή 1.1 Γενικά κοπός της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη της χρονικής κατανομής των προκαλούμενων σεισμών σε χρονική κλίμακα λίγων ημερών μετά από κάποιο ισχυρό σεισμό. Για το λόγο αυτό εφαρμόζονται συγκεκριμένα στατιστικά μοντέλα στα δεδομένα τριών σεισμικών ακολουθιών οι οποίες έγιναν στον ελληνικό χώρο. Η επιλογή των συγκεκριμένων μοντέλων προέκυψε από τη διερεύνηση εφαρμογής και ερευνητικών αποτελεσμάτων προηγούμενης σχετικής έρευνας, αναφορά στην οποία γίνεται στις αμέσως επόμενες παραγράφους. 1.2 Αναφορά στην εξέλιξη της προηγούμενης έρευνας Αρκετοί ερευνητές εστιάζουν στην εφαρμογή της στατιστικής και των πιθανοτήτων σε σεισμικές ακολουθίες, ώστε να μελετηθεί η χρονική και η χωρική κατανομή της προκαλούμενης σεισμικότητας που ακολουθεί έναν ισχυρό σεισμό. Ένα χρήσιμο εργαλείο στη στατιστική για την ανάλυση δεδομένων είναι μια σημειακή διαδικασία, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μοντέλο για τυχαία γεγονότα στο χρόνο. Έχουν προταθεί αρκετά μοντέλα σημειακών διαδικασιών (Vere Jones, 1992; Ogata, 1999) στα οποία κάθε σημείο αναπαριστά το χρόνο και τον τόπο ενός γεγονότος κι έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες για να εκτιμηθούν οι μεταβολές στο ρυθμό γένεσης των σεισμών που προκαλούνται από ένα ισχυρό σεισμό. Η ειδική περίπτωση της ελάττωσης του ρυθμού σεισμικότητας (seismicity shadows) έχει μελετηθεί επίσης σε προηγούμενες έρευνες (Marsan, 2003; Marsan and Nalbant, 2005). Ένας απλός τρόπος προσέγγισης του φαινομένου είναι η θεώρηση μιας ομογενούς διαδικασίας λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη σεισμικότητα (Toda et al., 1998, 2002), η οποία οδηγεί σε υποεκτίμηση των μεταβολών στο ρυθμό σεισμικότητας (Marsan, 2003; Felzer et al., 2003). ε αυτές τις περιπτώσεις η ομογενής διαδικασία δεν είναι άμεσα εφαρμόσιμη κι ένας τρόπος για να απομακρυνθεί η ανομοιογένεια 5

8 των δεδομένων είναι με την αφαίρεση των μετασεισμών (Matthews και Reasenberg, 1988; Kilb et al., 2000; Gomberg et al., 2001; Wyss and Wiemer, 2000). Από τη άλλη μεριά, οι μετασεισμοί αποτελούν ένα μεγάλο τμήμα μιας σεισμικής ακολουθίας και συμπεριλαμβάνουν σημαντικές πληροφορίες σχετικά με τις μεταβολές του ρυθμού σεισμικότητας. Για το λόγο αυτό πολλοί ερευνητές προσπάθησαν να μελετήσουν τους μετασεισμούς και όχι να τους απομακρύνουν από τη σεισμική ακολουθία. Είναι ευρέως γνωστό ότι μετά από κάποια χρονική περίοδο που ακολουθεί έναν ισχυρό σεισμό, η μετασεισμική δραστηριότητα μειώνεται σταδιακά και αποκαθίσταται η κανονική σεισμικότητα. Πριν από τον επόμενο ισχυρό σεισμό, πριν από τη γένεση προσεισμών, αναμένεται να παρατηρηθεί σχετική σεισμική ησυχία στη γύρω περιοχή (Mogi, 1968). Δεν είναι εύκολο βέβαια να αναγνωριστούν οι σεισμοί μιας χρονικής περιόδου ως προσεισμοί αν δε γίνει ένας ισχυρός σεισμός. υγκεκριμένα, οι προσεισμοί είναι λιγότεροι αριθμητικά από τους μετασεισμούς. Έτσι η σεισμική ησυχία και το σχετικό σεισμικό κενό έχει μελετηθεί από πολλούς σεισμολόγους με σκοπό την πρόγνωση σεισμών (Kanamori, 1981 ανάμεσα σε άλλους), ειδικά για την περίπτωση καταστροφικών σεισμών. Κάποιοι αμφισβήτησαν τη χρησιμότητα της σεισμικής ησυχίας ως πρόδρομο φαινόμενο ισχυρών σεισμών καθώς μπορεί να είναι απλώς το αποτέλεσμα της φθίνουσας διαδικασίας γένεσης των μετασεισμών μετά τον τελευταίο ισχυρό σεισμό (Lomnitz, 1982; Lomnitz and Nava, 1983). Οι τελευταίοι αναφέρουν αποτελέσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή στοχαστικών μοντέλων που βασίζονται σε απλές στατιστικές υποθέσεις όπως είναι ο νόμος Gutenberg-Richter, ο νόμος του Omori και ο νόμος του Bath. Βέβαια, τέτοια μοντέλα αδυνατούν να εξηγήσουν τη διαδικασία γένεσης δευτερογενών μετασεισμών. Επειδή οι μετασεισμοί αποτελούν ένα μεγάλο τμήμα των δεδομένων μιας σεισμικής ακολουθίας, έχουν γίνει αρκετές αναλυτικές μελέτες σχετικά με τις μετασεισμικές ακολουθίες (Utsu, 1969, 1970, 1971, 1972). την περίπτωση που λαμβάνονται υπόψη οι μετασεισμοί, αυτοί μπορούν να δώσουν χρήσιμες πληροφορίες για την κατανόηση των χαρακτηριστικών ενός σεισμικού κύκλου (Matsu ura, 1986; Ogata and Shimazaki, 1984; Okada, 1978). Οι Habermann και Wyss (1984) ανέπτυξαν μια διαδικασία στατιστικού έλεγχου για τον εντοπισμό του 6

9 φαινομένου της σεισμικής ησυχίας στη σεισμική δραστηριότητα, με δεδομένα από τα οποία είχαν απομακρύνει τους μετασεισμούς. Από την άλλη μεριά, ο Ogata (1988) υποστηρίζει ότι χρειάζεται να γίνει διερεύνηση ης σεισμικής ησυχίας μέσω μιας ποσοτικής σύγκρισης ανάμεσα στην κανονική σεισμικότητα και τη μετασεισμική δραστηριότητα. Ο Utsu (1961) θεώρησε ότι η συχνότητα των μετασεισμών για μοναδιαίο χρονικό διάστημα (μιας ημέρας, ενός μήνα κτλ) περιγράφεται ικανοποιητικά από την τροποποιημένη σχέση του Omori (Omori, 1894), n(t)=k/(t+c) p (1) όπου K, c, p οι παράμετροι της σχέσης και t ο χρόνος που μεσολάβησε από το σεισμό. Σο Κ εξαρτάται από το χαμηλότερο όριο του μεγέθους των μετασεισμών των οποίων το πλήθος είναι n(t), ενώ τα p και c είναι ανεξάρτητα από την επιλογή αυτού του κατώτερου ορίου. Ο ίδιος ερευνητής (1969, 1970) αναλύοντας τους σεισμούς της Ιαπωνίας χαρτογράφησε το παρατηρούμενο πλήθος n(t) σε συνάρτηση με το χρόνο σε λογαριθμικούς άξονες και παρατήρησε ότι η γραφική παράσταση τείνει σε μια ευθεία της οποίας η κλίση είναι ίση με μια εκτιμώμενη τιμή της παραμέτρου p. Έτσι παρατηρήθηκε για παράδειγμα ότι η μετασεισμική δραστηριότητα του σεισμού στο Nobi της Ιαπωνίας συνεχίστηκε για τα τελευταία 80 χρόνια με ρυθμό ο οποίος μειώνεται συνεχώς. Προκειμένου να εφαρμοστούν στατιστικά μοντέλα σε συγκεκριμένες σεισμικές ακολουθίες, κάποιοι συγγραφείς (Lomnitz, 1966; Lomnitz and Nava, 1983; Utsu, 1972) θεώρησαν ότι δεν υπήρχε αλληλεπίδραση ανάμεσα στους χρόνους γένεσης των μετασεισμών, οπότε η ακολουθία των σεισμών θα μπορούσε να περιγραφεί από μια μη ομογενή διαδικασία Poisson. Ο Vere-Jones (1975) αναφέρει ότι αυτή η υπόθεση αποτελεί επακόλουθο της ανάλυσης του Jeffreys (1938), στην οποία έγινε στατιστικός έλεγχος χ 2 στις τιμές του ημερήσιου πλήθους των μετασεισμών που ακολούθησαν το σεισμό στο Tango το 1927, προκειμένου να διαπιστωθεί ότι οι τιμές του ημερήσιου πλήθους είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Παρόμοια αποτελέσματα παρουσιάστηκαν από τους Lomnitz και Hax (1966) οι οποίοι ανέλυσαν δεδομένα βασιζόμενοι στην αυτοσυσχέτισή τους. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω οι δευτερογενείς μετασεισμοί δεν εξηγούνται από τέτοιου είδους μοντέλα. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον Ogata 7

10 (1983) οι μετασεισμοί που ακολούθησαν το σεισμό στο Tango είχαν δύο τουλάχιστον δευτερογενείς ακολουθίες. Σο μοντέλο επιδημικού τύπου που μελετήθηκε από τον Ogata (1988) και εφαρμόστηκε ικανοποιητικά στα δεδομένα ομάδων σεισμών στην περιοχή της Ιαπωνίας, βασίζεται στην υπόθεση ότι η σεισμική δραστηριότητα του υποβάθρου δημιουργείται από μια ομογενή διαδικασία Poisson με σταθερό ρυθμό και στο ότι ο ρυθμός γένεσης των μετασεισμών μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τον τροποποιημένο νόμο του Omori. Αναπτύχθηκε μια νέα μέθοδος ανάλυσης υπολοίπων, βασιζόμενη στην αλλαγή της χρονικής κλίμακας με τη χρήση της εκτιμώμενης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής. Οι μετασχηματισμένοι χρόνοι πλέον αποτελούν μια ομογενή διαδικασία Poisson. Βέβαια η κατανομή των μεγεθών δεν είναι ανεξάρτητη του παρελθόντος της διαδικασίας, ειδικά μετά από περίοδο σεισμικής ησυχίας. Με άλλα λόγια το φαινόμενο της σεισμική ησυχίας μπορεί να αξιοποιηθεί για την πρόγνωση ενός ισχυρού σεισμού που πρόκειται να γίνει. Οι Wyss και Wiemer (2000) μελέτησαν τις μεταβολές στη σεισμικότητα που προκλήθηκαν από το σεισμό στο Landers το 1992, αφού πρώτα απομάκρυναν τους μετασεισμούς από τον αρχικό κατάλογο. Βέβαια οι μετασεισμοί αποτελούν μεγάλο μέρος ενός σεισμικού καταλόγου και συμπεριλαμβάνουν πολλές πληροφορίες που αφορούν τις μεταβολές των τάσεων (Dieterich, 1994). την εργασία του Ogata (2003) γίνεται διερεύνηση του φαινομένου της σεισμικής ησυχίας ως πιθανού πρόδρομου φαινομένου ενός ισχυρού σεισμού. Η ακριβής διερεύνηση της σεισμικής ησυχίας απαιτεί την εφαρμογή ενός πολύ καλού στατιστικού μοντέλου κι έτσι εφαρμόστηκε το επιδημικό μοντέλο ETAS. Σο ETAS αποτελεί τη φυσική εξέλιξη της τροποποιημένης σχέσης του Omori για τη μείωση των μετασεισμών και στο οποίο ο ρυθμός γένεσης των σεισμών αποτελεί συνάρτηση των χρόνων γένεσης και των μεγεθών των προηγούμενων σεισμών. την ίδια εργασία διερευνάται ακόμη το αν το μοντέλο μπορεί να παραμείνει ίδιο για όλη τη διάρκεια της περιόδου που μελετάται, ή αν χρειάζεται να υπολογιστούν διαφορετικές τιμές παραμέτρων μετά από κάποιο συγκεκριμένο χρόνο προκειμένου να εφαρμοστεί το μοντέλο στο σύνολο των δεδομένων. Γίνεται ανάλυση των δεδομένων της σεισμικής ακολουθίας του Landers ώστε να εξεταστούν αν υπάρχουν ανωμαλίες στο ρυθμό μείωσης των μετασεισμών 8

11 και να γίνει συσχέτιση αυτών των ανωμαλιών με τις μεταβολές στις τάσεις, όπως περιγράφεται στην εργασία των Dieterich et al. (2000). ε επόμενη εργασία του ο Ogata (2005) αναφέρεται σε ένα μοντέλο σημειακής διαδικασίας (Daley and Vere-Jones, 2003) το οποίο εισάγει για το ρυθμό γένεσης των σεισμών μια συνάρτηση της μορφής λθ(t) η οποία εξαρτάται από το χρόνο t και ορίζει την πιθανότητα γένεσης ενός σεισμού με τέτοιο τρόπο ώστε Prob{N(t,t+Δ)=1 δεδομένου του παρελθόντος}=λθ(t)δ+ο(δ) (2) για ένα μικρό χρονικό διάστημα Δ, όπου N(s, t) είναι το πλήθος των σεισμών που γίνονται κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος (s, t). Ο ρυθμός σεισμικότητας λθ(t) εξαρτάται όχι μόνο από το χρόνο που έχει παρέλθει (όπως συμβαίνει για παράδειγμα με το τροποποιημένο μοντέλο Omori) αλλά και από τους χρόνους γένεσης και τα μεγέθη των προηγούμενων σεισμών. Για να εξαχθούν συμπεράσματα για την καλή ή όχι προσαρμογή του εκτιμώμενου μοντέλου σε κάθε σεισμική ακολουθία γίνεται σύγκριση του αθροιστικού πλήθους των σεισμών με τις θεωρητικές τιμές που προκύπτουν από τα μοντέλα. Επομένως, για μια ακολουθία δεδομένων {t0, t1,, tn} η οποία δημιουργείται με βάση ένα στατιστικό μοντέλο που χαρακτηρίζεται από ρυθμό σεισμικότητας λ(t), ο οποίος εκφράζει το θεωρητικό ρυθμό γένεσης των σεισμών για κάθε μονάδα του χρόνου (για παράδειγμα σε χρονική κλίμακα ημερών), το ολοκλήρωμα t Λ(S, t)= λ(u)du S (3) αποτελεί το θεωρητικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών σε ένα χρονικό διάστημα (s, t). Περισσότερα σχετικά παραδείγματα υπάρχουν στις εργασίες των Ogata και Shimazaki (1984), Matsu ura (1986), Ogata (1988, 1992, 1999) και Utsu et al. (1995). τη συνέχεια, υπολογίζοντας τους μετασχηματισμένους χρόνους τi =Λ(S, ti), μετασχηματίζεται κάθε χρονική στιγμή και το σύνολο των τi που προκύπτει κατανέμεται με ομοιόμορφο και τυχαίο τρόπο στο διάστημα [0, Λ(S, T)]. Επομένως, αν ο ρυθμός σεισμικότητας, λθ(t), που εκτιμάται από τα δεδομένα προσεγγίζει ικανοποιητικά την πραγματική σεισμικότητα, τότε είναι αναμενόμενο να συμπίπτουν η καμπύλη της αθροιστικής συνάρτησης, Λ(S, t), και η καμπύλη του αθροιστικού πλήθους των δεδομένων, N(S, t), για όλο το χρονικό διάστημα στο οποίο 9

12 υπολογίζονται. Επιπλέον όμως θα πρέπει η εκτίμηση της αθροιστικής συνάρτησης, Λ(S, t), για χρόνους μεγαλύτερους από Σ, να είναι κοντά αριθμητικά στο πραγματικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών στην περίοδο μετά το χρόνο Σ που οριοθετεί τη χρονική περίοδο από την οποία λαμβάνονται τα δεδομένα. ε αυτή την περίπτωση το αθροιστικό πλήθος των δεδομένων αποτελεί γραμμική συνάρτηση των μετασχηματισμένων χρόνων, τi. την εργασία των Woessner et al. (2004) το βασικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε είναι η τροποποιημένη σχέση του Omori (Utsu 1961) που αναφέρθηκε παραπάνω, στην οποία το πλήθος των σεισμών κατά τη χρονική στιγμή t, n(t), είναι ισοδύναμο με τη συνάρτηση ρυθμού γένεσης μετασεισμών, λ(t), υποθέτοντας ότι οι μετασεισμοί κατανέμονται σύμφωνα με μια μη ομογενή διαδικασία Poisson. Εφάρμοσαν ένα χωροχρονικό μοντέλο και μελέτησαν πόσο σημαντικές είναι οι μεταβολές που παρατηρήθηκαν στο ρυθμό γένεσης των μετασεισμών. Τπέδειξαν έτσι μια σημαντική μείωση του ρυθμού που ακολούθησε το δεύτερο ισχυρό σεισμό στην Kagoshima το την εργασία των Wyss και Toya (2000) μελετήθηκε η υπόθεση ότι σε μια χρονική κλίμακα δεκαετίας η γένεση των σεισμών γίνεται με ένα σταθερό ρυθμό και η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί από μια ομογενή διαδικασία Poisson. Λόγω του ότι οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την απομάκρυνση των μετασεισμών από τα δεδομένα μιας ακολουθίας είναι δυνατό να επηρεάσουν τα αποτελέσματα της επεξεργασίας, χρησιμοποιήθηκαν τα αρχικά δεδομένα σε αυτή την εργασία. Βέβαια, κάποιες από αυτές τις μεθόδους απομάκρυνσης των μετασεισμών έχουν εισαχθεί με τέτοιο τρόπο ώστε τα αποτελέσματα της επεξεργασίας των δεδομένων να οδηγούν κάθε φορά σε μια ομογενή διαδικασία Poisson (Gardner και Knopoff, 1974; Reasenberg, 1985). Η μελέτη που έγινε αφορούσε δεδομένα σεισμικότητας σε βάθη μεγαλύτερα από 60km προκειμένου να γίνει έλεγχος της υπόθεσης για ένα σταθερό ρυθμό γένεσης σεισμών, αποφεύγοντας περιοχές με μετασεισμικές ακολουθίες σε εξέλιξη. τη μέθοδο που ακολούθησαν εφάρμοσαν στατιστικούς ελέγχους χ 2, χωρίζοντας τα δεδομένα σε ομάδες με σταθερό πλήθος δεδομένων και μέσο ρυθμό σεισμικότητας, λ, μεγαλύτερο από 5. Σο αποτέλεσμα ήταν να απορριφθεί η μηδενική 10

13 υπόθεση για την ομογενή διαδικασία Poisson μόνο στο 11.9% των περιπτώσεων και για επίπεδο σημαντικότητας ίσο με Οι Matthews και Reasenberg (1988) χρησιμοποίησαν τον αλγόριθμο του Reasenberg (1985) προκειμένου να απομακρύνουν τους μετασεισμούς από τα δεδομένα. Εισήγαγαν ένα μέτρο σημαντικότητας της απόκλισης από μια σταθερή διαδικασία γένεσης των σεισμών, καθώς επίσης μια εκτίμηση του λόγου μεταβολής του ρυθμού της διαδικασίας. Θεώρησαν ότι σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα οι σεισμοί ακολουθούν την κατανομή Poisson με ένα ρυθμό σεισμικότητας, λ, και τυπική απόκλιση ίση με λ κι επομένως όταν η απόκλιση του παρατηρούμενου πλήθους των σεισμών είναι μεγαλύτερη από την τυπική απόκλιση τότε είναι στατιστικά σημαντική. Άλλη μέθοδος σχετικά με την εκτίμηση των μεταβολών στο ρυθμό σεισμικότητας προτάθηκε τον Habermann (1983) και εφαρμόστηκε από τους Wyss και Wiemer (2000) στη σεισμική ακολουθία του Landers (1992). Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήθηκε η δοκιμασία Ζ το οποίο αποτελεί ένα συνηθισμένο τρόπο ελέγχου δύο ανεξάρτητων πληθυσμών για το αν έχουν την ίδια μέση τιμή. Όμως, επειδή η κατανομή Poisson των σεισμών προσεγγίζεται από κανονικές κατανομές, απαιτείται μεγάλο πλήθος δεδομένων προκειμένου να εκτιμηθούν οι τιμές τους, που είναι εξαιρετικά δύσκολο στην περίπτωση που μελετάται η σεισμικότητα σε μικρές χρονικές κλίμακες. Ο Marsan (2003) εξέτασε τρεις σεισμικές ακολουθίες στην Καλιφόρνια, (Loma Prieta 1989 (M=7.1), Landers 1992 (M=7.3) και Northridge 1994 (M=6.7)) με στόχο την εκτίμηση των μεταβολών στο ρυθμό γένεσης των μετασεισμών. Παρατήρησε ότι σε μια χρονική περίοδο 100 ημερών μετά τον κύριο σεισμό κάθε ακολουθίας δεν ήταν εύκολο να παρατηρηθεί το φαινόμενο της σεισμικής ησυχίας. Βέβαια, σε μια μακράς διάρκειας χρονική κλίμακα είναι ακόμα δυσκολότερο να εκτιμηθεί σωστά το αν οι μεταβολές στο ρυθμό της διαδικασίας οφείλονται σε έναν προηγούμενο ισχυρό σεισμό ή όχι. τη μεθοδολογία που ακολουθήθηκε για την εργασία εισάγεται αρχικά μια διαδικασία Poisson η οποία χαρακτηρίζεται από ρυθμό σεισμικότητας, λ(t). Ο ρυθμός αυτός μπορεί να είναι είτε σταθερός (ομογενής διαδικασία Poisson) είτε να αποτελεί συνάρτηση του χρόνου. Η δεύτερη περίπτωση αποτελεί μια μη ομογενή 11

14 διαδικασία Poisson, η οποία αποτέλεσε τη βάση πολλών ερευνών σχετικά με την εφαρμογή στατιστικών μοντέλων σε σεισμικές ακολουθίες. Ανάμεσά τους είναι το μοντέλο ETAS από τον Ogata (1988) αλλά και οι εργασίες των Reasenberg και Jones (1989) και του Wiemer (2000) στις οποίες χρησιμοποιήθηκαν μη ομογενή μοντέλα Poisson. την εργασία του Marsan (2003) εξετάζεται επίσης ένα μοντέλο συναρτήσεων δύναμης (Utsu, 1970) το οποίο αποτελεί γενίκευση του μοντέλου των Ogata και Shimazaki (1984) και του Woessner et al. (2004). Σέλος χρησιμοποιείται το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο, η εφαρμογή του οποίου οδήγησε σε συστηματική υπερεκτίμηση των μελλοντικών τιμών του ρυθμού γένεσης των σεισμών κατά τη διάρκεια των μετασεισμικών ακολουθιών. Κατά την επεξεργασία των δεδομένων οι μεταβολές που παρατηρήθηκαν στο ρυθμό σεισμικότητας παρουσίασαν κάποιες διαφορές στη σύγκριση με τις μεταβολές στις τάσεις Coulomb, που αιτιολογήθηκε από το ότι η χρονική κλίμακα ήταν μικρή σε διάρκεια. Οι Marsan και Nalbant (2005) έκαναν μια σύντομη ανασκόπηση των στατιστικών μεθόδων που έχουν χρησιμοποιηθεί αλλά και μια επιπλέον μελέτη σχετικά με τον τρόπο που ο σεισμός του Landers επηρέασε τη μετασεισμική ακολουθία του σεισμού Joshua Tree. Ανέλυσαν τα βήματα της μεθόδου που χρειάζεται να ακολουθηθεί ώστε να προσδιοριστούν οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο που επιλέγεται να εφαρμοστεί στα δεδομένα και τέλος συσχέτισαν τα αποτελέσματα με μεταβολές που παρατηρήθηκαν στις τάσεις Coulomb. Οι Lombardi και Marzocchi (2007) εξέτασαν επιφανειακούς σεισμούς μεγέθους Μ 7 που έγιναν μετά το 1900 σε παγκόσμια κλίμακα. Ξεκινώντας από την εφαρμογή στα δεδομένα του πιο απλού στατιστικού μοντέλου, του ομογενούς μοντέλου Poisson, προχώρησαν στην εφαρμογή μη ομογενών διαδικασιών στις περιπτώσεις που οι εκτιμήσεις που έγιναν με βάση το ομογενές μοντέλο απέκλιναν πολύ από τα πραγματικά δεδομένα. Αυτό που συμπέραναν είναι πως το μοντέλο ETAS, θεωρώντας ότι η σεισμικότητα εξαρτάται από το χρόνο, είναι το καταλληλότερο για να εφαρμοστεί σε ευρεία κλίμακα εκτίμησης του μεγέθους και της χωροχρονικής εξέλιξης των σεισμών μιας ακολουθίας. Παρόμοιες μελέτες με την εφαρμογή στατιστικών μοντέλων σε μετασεισμικές ακολουθίες έγιναν και με δεδομένα από τον ελληνικό χώρο. Οι Λατουσάκης και 12

15 Δρακάτος για παράδειγμα μελέτησαν τη χρονική κατανομή μετασεισμικών ακολουθιών του ελληνικού χώρου (Latoussakis et al. 1991, Latoussakis και Drakatos 1994, Drakatos 2000, Drakatos και Latoussakis 1996, Drakatos et al. 1994a, b). Φρησιμοποιώντας την τροποποιημένη σχέση του Omori -MOF- παρατήρησαν περιόδους σχετικής σεισμικής ησυχίας πριν από ισχυρούς μετασεισμούς των ακολουθιών. Σα αποτελέσματά τους, αν και η εφαρμογή των μοντέλων έγινε σε ακολουθίες διαφορετικών περιοχών, παρουσίασαν σημαντικές ομοιότητες στη χρονική κατανομή των σεισμών κάθε ακολουθίας πριν από ισχυρούς μετασεισμούς, καθώς η σεισμικότητα φαίνεται να επανέρχεται στα προηγούμενα επίπεδα, ή κάποιες φορές και να τα ξεπερνάει, λίγο πριν τη γένεση ενός ισχυρού μετασεισμού. την εργασία των Console et al. (2006) έγινε, σε δεδομένα από τον ελληνικό χώρο, εφαρμογή στατιστικών μοντέλων, τα οποία ήταν είτε ανεξάρτητα από το χρόνο είτε μακράς και βραχείας διάρκειας εξαρτώμενα από το χρόνο. Σα αποτελέσματα της εργασίας υπέδειξαν πως τα μοντέλα που εξαρτώνται από το χρόνο προσαρμόστηκαν καλύτερα στα δεδομένα. Τπάρχουν βέβαια και άλλες εργασίες σχετικά με τη μελέτη της χρονικής κατανομής των σεισμών, με διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης να αναλύονται σε κάθε μία. Οι Hong και Guo (1995) μελέτησαν την εφαρμογή σε δεδομένα σεισμικών ακολουθιών ενός στατιστικού μοντέλου μορφής U το οποίο χαρακτηρίζεται από τρεις διαδοχικές διαφορετικές διαδικασίες, μια φθίνουσα μη ομογενή διαδικασία η οποία μπορεί να περιγραφεί από μια συνάρτηση ρυθμού της μορφής Weibull με αρνητική τιμή για την παράμετρο β, μια ομογενή διαδικασία Poisson με σταθερή τιμή για το ρυθμό σεισμικότητας, λ, και τέλος άλλη μια μη ομογενή διαδικασία Poisson αυτή τη φορά αύξουσα αλλά και πάλι της μορφής Weibull. Σα μοντέλα εφαρμόστηκαν σε δεδομένα της βόρειας Σαιβάν καταλήγοντας στο συμπέρασμα πως παρόλο που το ομογενές μοντέλο είναι εύκολα εφαρμόσιμο δεν μπορεί να δώσει ικανοποιητική προσέγγιση της πραγματικής διαδικασίας γένεσης των σεισμών. Ένα μοντέλο μη ομογενούς διαδικασίας Poisson NHPP- με το ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), να εξαρτάται από το χρόνο σύμφωνα με μια συνάρτηση της μορφής Weibull είναι επίσης γνωστό και ως διαδικασία Weibull. Σο μοντέλο έχει μελετηθεί σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογής του. Ο Ho (1991) για παράδειγμα 13

16 εισήγαγε το μη ομογενές μοντέλο Poisson (NHPP) για τη μελέτη ηφαιστειακών εκρήξεων. Η διαδικασία Weibull αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης και στην παρούσα εργασία. Λόγω της μορφής Weibull που έχει ο ρυθμός σεισμικότητας, λ(t), της διαδικασία Poisson, το μοντέλο αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με την κατανομή Weibull, η οποία επίσης έχει μελετηθεί από ερευνητές για δεδομένα σεισμικών ακολουθιών. Οι Martinez et al. (2005), που μελέτησαν τα χρονικά μεσοδιαστήματα και τις αποστάσεις διαδοχικών σεισμών στη νότια Ιβηρική χερσόνησο με δεδομένα από το 1985 έως το 2000, εφάρμοσαν μοντέλα που ήταν συναρτήσεις δύναμης καθώς επίσης και την κατανομή Weibull, λαμβάνοντας ικανοποιητικά αποτελέσματα. Οι παραπάνω εργασίες προσέφεραν πλούσιο υλικό για την εκπόνηση της παρούσας διατριβής. Θεωρώντας τις σεισμικές ακολουθίες ως στοχαστικές σημειακές διαδικασίες, έγινε επιλογή τριών στατιστικών μοντέλων τα οποία και εφαρμόστηκαν σε τρεις σεισμικές ακολουθίες του ελληνικού χώρου. Πριν παρουσιαστούν τα αποτελέσματα αυτής της επεξεργασίας, χρειάζεται να αναλυθεί το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου. τη συνέχεια παραθέτονται και αναλύονται όλοι οι μαθηματικοί ορισμοί και τα στατιστικά εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν. 14

17 Κεφάλαιο 2 ο : Μεθοδολογία 2.1 Εισαγωγή το κεφάλαιο αυτό περιγράφονται τα στατιστικά μοντέλα και τα βήματα τα οποία ακολουθήθηκαν για την εφαρμογή τους σε τρεις σεισμικές ακολουθίες που έγιναν στον ελληνικό χώρο: το ομογενές μοντέλο Poisson, το μη ομογενές μοντέλο Poisson και το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο P τάξης (AR(P)). Γενικά, με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα μπορούν να διαχωριστούν σε δύο κατηγορίες: Σα προσδιοριστικά ή αιτιοκρατικά (deterministic) μοντέλα, στα οποία οι γνωστές μεταβλητές (π.χ. οι αρχικές συνθήκες) αρκούν για την ακριβή πρόβλεψη των αποτελεσμάτων τους. Σα στοχαστικά (stochastic, probabilistic) μοντέλα, στα οποία οι γνωστές μεταβλητές δεν είναι αρκετές για την ακριβή πρόβλεψη των αποτελεσμάτων. Σα στοχαστικά φαινόμενα επηρεάζονται λοιπόν από τον παράγοντα τύχη, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ότι περιέχει όλες τις άγνωστες μεταβλητές ή παραμέτρους. Για το λόγο αυτό, τα στοχαστικά πειράματα αποκαλούνται και πειράματα τύχης. Ένα στατιστικό μοντέλο αποτελεί μια ομάδα μαθηματικών εξισώσεων, οι οποίες περιγράφουν τη συμπεριφορά του προς μελέτη αντικειμένου, με τη χρήση των τυχαίων μεταβλητών και των σχετικών κατανομών πιθανότητας. Ένα μοντέλο μπορεί να περιγραφεί με μία εξίσωση ή και περισσότερες. τα μαθηματικά, ένα στατιστικό μοντέλο συχνά λαμβάνεται υπόψη ως ένα ζεύγος (Τ, Ρ), όπου Τ είναι η ομάδα των πιθανών παρατηρήσεων, και Ρ είναι η ομάδα των κατανομών πιθανότητας των παρατηρήσεων Τ. Θεωρείται ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο στοιχείο του Ρ το οποίο παράγει τα παρατηρούμενα δεδομένα. Η στατιστική επεξεργασία δίνει τη δυνατότητα να εξαχθούν συμπεράσματα για το ποιο είναι το στοιχείο που ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Ο πιο χαρακτηριστικός τρόπος αντιμετώπισης των στατιστικών μοντέλων ξεκινάει από την επιλογή μιας στατιστικής μονάδας, η οποία παρατηρείται άμεσα, ως προς τα διάφορα γνωρίσματα που μπορούν να επεξεργαστούν στατιστικά, αν παρατηρηθούν 15

18 κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος. τη συνέχεια γίνεται διερεύνηση του δείγματος, ώστε να εστιαστεί το ενδιαφέρον σε συγκεκριμένο τμήμα της υπό μελέτη στατιστικής ομάδας. Παρακάτω αναλύεται το θεωρητικό υπόβαθρο της εφαρμοζόμενης μεθοδολογίας (Murray R. Spiegel, 1977, Μωυσιάδης & Μπόρα-έντα, 1995). Δίνονται πλήρεις ορισμοί για όλες τις έννοιες και τα μεγέθη που χρησιμοποιούνται και αναφέρονται στη στατιστική επεξεργασία των δεδομένων των σεισμικών ακολουθιών που μελετήθηκαν στην παρούσα εργασία καθώς επίσης οι μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των παραμέτρων κάθε μοντέλου αλλά και την εξαγωγή αποτελεσμάτων από την εφαρμογή τους. 2.2 Θεωρητικό υπόβαθρο της εφαρμοζόμενης μεθοδολογίας Κατανομές πιθανότητας και τυχαίες μεταβλητές Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε σημείο ενός δειγματοχώρου αντιστοιχούμε έναν αριθμό. Έχουμε έτσι μια συνάρτηση ορισμένη στο δειγματοχώρο. Η συνάρτηση αυτή καλείται τυχαία μεταβλητή ή στοχαστική συνάρτηση και συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα π.χ. Φ ή Τ. Γενικά μια τυχαία μεταβλητή έχει κάποια φυσική, γεωμετρική ή άλλους είδους σημασία. Αν μια τυχαία μεταβλητή παίρνει πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο πλήθος τιμών, καλείται απαριθμητή ή διακριτή τυχαία μεταβλητή, ενώ αν παίρνει άπειρο μη αριθμήσιμο πλήθος τιμών καλείται συνεχής τυχαία μεταβλητή. Κάθε μεταβλητή μπορεί να πάρει ποικίλες τιμές, οι οποίες ανήκουν σε ένα σύνολο. Οι τιμές αυτές λαμβάνονται από παρατηρήσεις, οι οποίες συμπεριλαμβάνουν σφάλματα. Έτσι στη φυσική πολλές διαδικασίες περιγράφονται ως στοχαστικά φαινόμενα, με τη βοήθεια της θεωρίας των πιθανοτήτων. τη θεωρία των πιθανοτήτων και της στατιστικής, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ορίζει είτε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή (για διακριτές τυχαίες μεταβλητές), είτε την πιθανότητα η τιμή της μεταβλητής να 16

19 βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα τιμών (για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές). Η συνάρτηση της πιθανότητας περιγράφει το εύρος των πιθανών τιμών που μπορεί να πάρει μια τυχαία μεταβλητή και την πιθανότητα η τιμή που τελικά θα πάρει να ανήκει σε αυτό το εύρος. Όταν η τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές που είναι πραγματικοί αριθμοί, η κατανομή της πιθανότητας περιγράφεται ολοκληρωμένα από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative density function), της οποίας η τιμή για κάθε x είναι η πιθανότητα ώστε η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με x. Έτσι, για κάθε πραγματικό αριθμό x, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του Φ ορίζεται ως x F x x = P(X x) (1) ε σχέση με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής γράφεται ως εξής: F x = x f s ds (2) Ανάλογα με το διαχωρισμό των τυχαίων μεταβλητών σε διακριτές και συνεχείς, διακρίνονται οι διακριτές και οι συνεχείς κατανομές πιθανότητας. Διακριτές κατανομές πιθανότητας Έστω Φ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και ας υποθέσουμε ότι οι τιμές που μπορεί να πάρει είναι x 1, x 2,, x k διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά. Έστω ότι η πιθανότητα να πάρει η μεταβλητή τις τιμές αυτές είναι Ρ(Φ= x k ) = f(x k ), k = 1, 2 (3) Ορίζεται μια συνάρτηση πιθανότητας ή κατανομή πιθανότητας Ρ(Φ= x) = f(x) (4) τέτοια ώστε για x = x k η σχέση (4) να δίνει τη σχέση (3), ενώ για άλλες τιμές του x να είναι f(x) = 0. Γενικά η f(x) είναι μια συνάρτηση πιθανότητας, εάν f(x) 0 (5) x f(x) = 1 (6) 17

20 όπου το άθροισμα νοείται ως προς όλες τις δυνατές τιμές του x. Μια γραφική παράσταση της f(x) καλείται γραφική παράσταση της πιθανότητας. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής ή απλά συνάρτηση κατανομής για μια τυχαία μεταβλητή Φ ορίζεται με τη σχέση Ρ(Φ x) = F(x) (7) όπου x είναι ένας οποιασδήποτε πραγματικός αριθμός, δηλ. - x. Η συνάρτηση κατανομής μπορεί να ληφθεί από τη συνάρτηση πιθανότητας, επειδή F(x) = Ρ(Φ x) = u x f(u) (8) Πίνακας I: Κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Κατανομή Συνάρτηση πιθανότητας Διωνυμική κατανομή Κατανομή Poisson Γεωμετρική κατανομή, όπου q=1-p Συνεχείς κατανομές πιθανότητας Αν η Φ είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή, η πιθανότητα να πάρει η Φ μια ορισμένη τιμή είναι γενικά μηδέν. υνεπώς δεν μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση πιθανότητας με τον ίδιο τρόπο, όπως μια διακριτή μεταβλητή. Για να ορίσουμε την κατανομή πιθανότητας για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται η Φ μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών έχει νόημα. Μια συνάρτηση f(x) που ικανοποιεί τις συνθήκες f(x) 0 (9) f(x)dx= 1 (10) 18

21 καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή συνάρτηση πυκνότητας. H πιθανότητα να πάρει η Φ τιμές μεταξύ a και b ορίζεται από τη σχέση b P(a<x<b) = f(x)dx a (11) σχέση Η συνάρτηση κατανομής F(x) για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή ορίζεται με τη F(x) = P(X x) = f(x)dx (12) Η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής είναι η συνάρτηση πυκνότητας df (x) dx = f(x) (13) Πίνακας II: Κατανομές συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Όνομα κατανομής Ομοιόμορφη κατανομή Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Εκθετική κατανομή Κανονική κατανομή Κατανομή Weibull Κατανομή Γάμα 19

22 Αναμενόμενη τιμή (expected value E): τη θεωρία των πιθανοτήτων και της στατιστικής, η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι το ολοκλήρωμα της τυχαίας μεταβλητής σύμφωνα με την πιθανότητα που της αντιστοιχεί. Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές η αναμενόμενη τιμή ισούται με το άθροισμα των σταθμισμένων πιθανών τιμών, ενώ για συνεχείς μεταβλητές ισούται με το ολοκλήρωμα των σταθμισμένων τιμών κατά την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η αναμενόμενη τιμή είναι η μακροσκοπική μέση τιμή της μεταβλητής για πολλές ανεξάρτητες επαναλήψεις του πειράματος. Δε θα πρέπει επομένως να συγχέεται με την έννοια της πιο πιθανής τιμής. Η αναμενόμενη τιμή αποτελεί το όριο της μέσης τιμής που προκύπτει από το δείγμα, καθώς το μέγεθος του δείγματος τείνει στο άπειρο. Είναι πιθανό η αναμενόμενη τιμή να μην αποτελεί μια πραγματική τιμή την οποία μπορεί να πάρει το δείγμα, απλά να προκύπτει από τους υπολογισμούς, όπως ακριβώς συμβαίνει και με το μέσο όρο. Έτσι, αν Φ είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και p(x) η συνάρτηση πιθανότητας (mass function) τότε η αναμενόμενη τιμή είναι: ενώ για μια συνεχή μεταβλητή ν E X = i x i p(x i ) (14) E(X) = xf x dx (15) Η αναμενόμενη τιμή μιας αυθαίρετης συνάρτησης g(x) της μεταβλητής Φ, με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) (probability density function), δίνεται από το γινόμενο των f και g: E g X = g x f x dx (16) Η διαδικασία γένεσης των σεισμών στις σεισμικές ακολουθίες που μελετήθηκαν αποτελεί μια σημειακή διαδικασία Poisson. τη συνέχεια αναλύονται τα βασικά χαρακτηριστικά μιας διαδικασίας Poisson αλλά και ο τρόπος με τον οποίο γίνεται στατιστικός έλεγχος της υπόθεσης για την κατανομή των δεδομένων. 20

23 2.2.2 Κατανομή Poisson Η κατανομή Poisson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων η οποία εκφράζει την πιθανότητα να συμβεί ένας αριθμός γεγονότων σε συγκεκριμένο κλειστό χρονικό διάστημα, αν αυτά τα γεγονότα εμφανίζονται με γνωστό μέσο ρυθμό και ανεξάρτητα από το χρόνο του τελευταίου γεγονότος. Η κατανομή δόθηκε από τον Simeon Denis Poisson ( ) και δημοσιεύθηκε μαζί με τη θεωρία του το 1838 (Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters). Η δουλειά του εστιαζόταν σε συγκεκριμένες τυχαίες μεταβλητές Ν οι οποίες χαρακτηρίζονται από διακριτές εμφανίσεις («αφίξεις») σε ένα χρονικό διάστημα συγκεκριμένης διάρκειας. Αν ο αναμενόμενος αριθμός των παρατηρήσεων σε αυτό το χρονικό διάστημα είναι λ, τότε η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς k παρατηρήσεις (k αρνητικός ακέραιος, διάφορος του 0) είναι ίση με f k λ = λk e λ k! (17) όπου e η βάση του φυσικού λογαρίθμου, k είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ενός γεγονότος (η πιθανότητα των οποίων δίνεται από την παραπάνω συνάρτηση), λ είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός που δηλώνει τον αναμενόμενο αριθμό των παρατηρήσεων σε δοσμένο χρονικό διάστημα. Η παραπάνω συνάρτηση αποτελεί τη συνάρτηση πιθανότητας (probability mass function) της κατανομής Poisson. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative density function) για την κατανομή Poisson έχει αντίστοιχα τη μορφή F k λ = e λ k λi i=0 (18) i! Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται για φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από τη διαδικασία Poisson, η οποία περιγράφεται αμέσως παρακάτω. 21

24 α) β) Σχήμα 2.1: Ενδεικτικά γραφήματα α) της συνάρτησης πιθανότητας και β) της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας της κατανομής Poisson για διαφορετικές τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ Διαδικασία Poisson Μια απαριθμητή διαδικασία {Ν(t), t 0}, όπου Ν(t) φυσικοί αριθμοί, λέγεται διαδικασία Poisson με ρυθμό λ, λ>0 αν: Για t=0 είναι: Ν(0)=0 Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις (ο αριθμός των παρατηρήσεων σε ένα χρονικό διάστημα Δt είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των παρατηρήσεων σε ένα άλλο χρονικό διάστημα που δεν σχετίζεται με το Δt) Σο πλήθος των γεγονότων που συμβαίνουν σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους t, ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ*t. Δηλαδή για χρονικές στιγμές s και s+t (σχ. 2) είναι P N t + s N s = n = e λt (λt)n n!, n 0 (19) 22

25 Σχήμα 2.2: Οι χρονικές στιγμές s, s+t στον άξονα των χρόνων και οι φυσικοί αριθμοί, Ν, που αντιστοιχούν σε αυτές. Η παράμετρος λ ονομάζεται ρυθμός (rate ή intensity function) της διαδικασίας Poisson, δηλαδή είναι το (αναμενόμενο) πλήθος των γεγονότων ανά μονάδα χρόνου. Ισχύει λ t, t + δ = t+δ λ(s)ds t (20) Αυτή η διαδικασία περιγράφεται από το μέσο ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), που ορίζεται για το χρονικό διάστημα [0,Σ]. Οι χρόνοι ti των παρατηρούμενων σεισμών αποτελούν πραγματοποιήσεις της διαδικασίας Poisson με μέσο ρυθμό σεισμικότητας, λ, για το χρονικό διάστημα [0,Σ]. Άγνωστο είναι το λ1=λ(σ0+δ1,σ0+δ2) που μπορεί να εκτιμηθεί μόνο από τα δεδομένα που παρατηρούνται στους χρόνους ti. Οι σεισμοί m στο διάστημα [Σ0+δ1,Σ0+δ2] αποτελούν πραγματοποιήσεις της κατανομής Poisson P m = e λ 1 λ 1 m m! (21) Σα χρονικά μεσοδιαστήματα διαδοχικών σεισμών που ανήκουν σε μια σημειακή διαδικασία Poisson ακολουθούν την εκθετική κατανομή η οποία αναλύεται στη συνέχεια Εκθετική κατανομή Οι εκθετικές κατανομές αποτελούν τάξη συνεχών κατανομών πιθανότητας. Περιγράφουν τους χρόνους ανάμεσα στα γεγονότα μιας διαδικασίας Poisson, δηλαδή μια διαδικασία στην οποία τα γεγονότα συμβαίνουν συνεχώς και 23

26 ανεξάρτητα μεταξύ τους με ένα σταθερό μέσο ρυθμό σεισμικότητας. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας εκθετικής κατανομής έχει τη μορφή f x μ = 1 μ e 1 μ x για x 0 (22) f x μ = 0, για x<0 (23) όπου μ είναι η παράμετρος της κατανομής και είναι ίση με το αντίστροφο του ρυθμού λ της διαδικασίας Poisson. Επομένως, η αναμενόμενη διάρκεια επιβίωσης του συστήματος, δηλαδή ο μέσος χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικά γεγονότα, είναι ίσος με μ. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται από τη σχέση F x μ = 1 e μx, για x 0 (24) F x μ = 0, για x<0 (25) Σχήμα 2.3: Ενδεικτικά γραφήματα α) της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας και β) της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της κατανομής Poisson για διαφορετικές τιμές του ρυθμού λ Έλεγχος υποθέσεων Ένας στατιστικός έλεγχος υποθέσεων αποτελεί μια μέθοδο επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων για τη λήψη αποφάσεων σχετικών με τη στατιστική προσέγγιση των δεδομένων. Γενικά, ένα αποτέλεσμα χαρακτηρίζεται ως στατιστικά 24

27 σημαντικό εφόσον αποδειχτεί ότι δεν μπορεί να έχει συμβεί στην τύχη. Οι αποφάσεις οι οποίες τελικά λαμβάνονται γίνονται με τη χρήση μιας μηδενικής υπόθεσης. Επιγραμματικά, ένας στατιστικός έλεγχος αποτελείται από τα εξής στοιχεία: Μία στατιστική συνάρτηση (π.χ. χ 2, t 2, F), σύμφωνα με την οποία γίνεται ο έλεγχος των δεδομένων. Ση μηδενική υπόθεση Η0, η οποία αποτελεί ένα υποθετικό «σενάριο» που μπορεί να εξηγεί το σύνολο των δεδομένων. Η υπόθεση αυτή εξετάζεται ώστε να καθοριστεί αν τα δεδομένα παρέχουν επαρκή αιτιολόγηση για να ακολουθήσουν μια εναλλακτική υπόθεση. Επομένως γίνεται έλεγχος στο αν η μηδενική υπόθεση εφαρμόζεται στα δεδομένα ή όχι. Ένα επίπεδο σημαντικότητας, το οποίο είναι ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1 και σχετίζεται με την πιθανότητα σφάλματος που γίνεται κατά την απόρριψη ή την αποδοχή της μηδενικής υπόθεσης. Σην κρίσιμη (θεωρητική) τιμή με την οποία συγκρίνεται η τιμή που προκύπτει από τον έλεγχο των πειραματικών δεδομένων. Προκειμένου να αποδειχτεί ότι τα δεδομένα ακολουθούν κατανομή Poisson, θα πρέπει να γίνει έλεγχος στους χρόνους άφιξης των γεγονότων. Αυτοί με τη σειρά τους θα πρέπει να ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Η μέθοδος στατιστικού ελέγχου η οποία εφαρμόστηκε στην παρούσα εργασία είναι ο έλεγχος χ 2. Ο στατιστικός αυτός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιείται είτε ως δείκτης προσαρμογής για την ερμηνεία συχνοτήτων που προέρχονται μόνο από ένα δείγμα είτε ως έλεγχος ανεξαρτησίας για δύο ή περισσότερα δείγματα. ε πρώτο βήμα τα δεδομένα χωρίζονται σε ομάδες. Προκειμένου να υπολογιστεί η τιμή του στατιστικού χ 2, εκτιμώνται πρώτα οι αναμενόμενες συχνότητες (expected frequencies) κάθε ομάδας, οι συχνότητες δηλαδή που θα παρατηρούνταν αν ίσχυε η μηδενική υπόθεση. Η τιμή του στατιστικού χ 2 είναι ουσιαστικά ένα μέτρο της απόκλισης των αναμενόμενων συχνοτήτων από τις πραγματικές (παρατηρούμενες) συχνότητες. υγκεκριμένα, οι αναμενόμενες συχνότητες, E i, για κάθε ομάδα υπολογίζονται από τη σχέση Ε i = n P i (26) 25

28 όπου n το πλήθος των δεδομένων του δείγματος που εξετάζεται και P i οι θεωρητικές πιθανότητες όπως προκύπτουν από την κατανομή που θεωρείται ότι ακολουθούν τα δεδομένα. τη συνέχεια το χ 2 υπολογίζεται ως εξής x 2 = (n i E i ) 2 i (27) Για τον έλεγχο χ 2 πρέπει ακόμη να οριστούν οι βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom). Με βάση τους βαθμούς ελευθερίας προσδιορίζεται η θεωρητική κατανομή χ 2 με την οποία συγκρίνεται η τιμή χ 2 που εκτιμάται από τον έλεγχο. Εάν k είναι το πλήθος των κελιών στα οποία χωρίστηκαν τα δεδομένα τότε οι βαθμοί ελευθερίας είναι k-1 για την περίπτωση που οι αναμενόμενες συχνότητες μπορούν να υπολογιστούν χωρίς να χρειαστεί εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού από το δείγμα. Αφαιρείται 1 από το k επειδή μια οποιαδήποτε από τις αναμενόμενες συχνότητες προσδιορίζεται εάν είναι γνωστές οι υπόλοιπες k-1. την περίπτωση που οι αναμενόμενες συχνότητες μπορούν να υπολογιστούν μόνο με την εκτίμηση m παραμέτρων του πληθυσμού, το πλήθος των βαθμών ελευθερίας είναι ίσο με k-m-1. Με αυτά τα δεδομένα, υπολογίζεται στη συνέχεια (με προσεγγιστικές μεθόδους) η σημαντικότητα (significance) του ελέγχου, που ουσιαστικά είναι η πιθανότητα λάθους όταν επαληθεύεται ή απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Η σημαντικότητα πρέπει να είναι τέτοια ώστε η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης να είναι ασφαλής. Ένα γενικά αποδεκτό όριο σφάλματος για την απόρριψη της Η0 είναι το Ένα σημείο στο οποίο πρέπει να δοθεί προσοχή κατά τον έλεγχο, είναι το ποσοστό των ομάδων με αναμενόμενη συχνότητα μικρότερη του 5. Αν το ποσοστό αυτό ξεπερνά το 20%, τότε ο έλεγχος που έχει εφαρμοστεί δε θεωρείται αξιόπιστος και πρέπει να γίνει σύμπτυξη κατηγοριών της μίας τουλάχιστον μεταβλητής και να επαναληφθεί ο έλεγχος. Η τιμή χ 2 που προκύπτει από τον έλεγχο πρέπει να είναι μικρότερη από τη θεωρητική (κρίσιμη) τιμή χ 2 που δίνεται από πίνακες για συγκεκριμένο πλήθος βαθμών ελευθερίας και για το επίπεδο σημαντικότητας που έχει επιλεγεί. Όμως, αν η τιμή του χ 2 είναι πολύ κοντά στο 0, δηλαδή οι παρατηρούμενες συχνότητες είναι περίπου ίσες με τις αναμενόμενες, χρειάζεται να εξετασθεί αν η συμφωνία είναι E i 26

29 υπερβολική σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05 ή 0.01 συγκρίνοντας και πάλι την τιμή του στατιστικού χ 2 με τις αντίστοιχες κρίσιμες τιμές Συνάρτηση επιβίωσης Εφαρμόζοντας κάθε στατιστικό μοντέλο στα δεδομένα των σεισμικών ακολουθιών, έγινε εκτίμηση της πιθανότητας να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από κάποιο συγκεκριμένο πλήθος σε ένα χρονικό διάστημα μέσω της συνάρτησης επιβίωσης. Η συνάρτηση επιβίωσης δηλώνει την πιθανότητα ένα σύστημα να «επιβιώσει» πέρα από συγκεκριμένο χρόνο. Έστω Φ μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας F(x) για το χρονικό διάστημα [0, ). Η συνάρτηση επιβίωσης τότε είναι R x = P X > x = x f u du = 1 F(x) (28) 2.3 Εφαρμογή των Μοντέλων Προκειμένου να εξετασθεί η μεταβολή του ρυθμού γένεσης των σεισμών σε σχέση με το χρόνο μετά ένα ισχυρό σεισμό, εφαρμόστηκαν τρία στατιστικά μοντέλα στα δεδομένα τριών σεισμικών ακολουθιών του Ελλαδικού χώρου (Αλκυονίδες 1981, κύρος 2001, Λευκάδα 2003). Αρχικά εφαρμόστηκε το ομογενές και το μη ομογενές μοντέλο Poisson, με το τελευταίο να εκφράζεται με δύο διαφορετικές μορφές του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t). τη συνέχεια, και λαμβάνοντας τα δεδομένα κάθε σεισμικής ακολουθίας ως δεδομένα χρονοσειρών, έγινε εφαρμογή του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου P τάξης (AR(P)) Ομογενές Μοντέλο Poisson Ο ρυθμός γένεσης των σεισμών κατά τη διάρκεια εξέλιξης μιας σεισμικής ακολουθίας είναι σημαντικά μεγαλύτερος από ότι ο αντίστοιχος άλλων χρονικών περιόδων. Επιλέγοντας ικανοποιητικό δείγμα δεδομένων σε συγκεκριμένο χώρο και 27

30 χρόνο και εφαρμόζοντας στατιστικά μοντέλα γίνεται μελέτη των μεταβολών που παρουσιάζει ο ρυθμός γένεσης των σεισμών σε σχέση με το χρόνο, όπως είναι οι σχετικές ησυχίες και οι σχετικές αυξήσεις που προηγούνται ή έπονται ισχυρών μετασεισμών. Αρχικά εφαρμόζεται το ομογενές μοντέλο Poisson. ε μια ομογενή διαδικασία Poisson ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, που τη χαρακτηρίζει έχει σταθερή τιμή και δε μεταβάλλεται με το χρόνο για όλο το χρονικό διάστημα στο οποίο συμβαίνει η διαδικασία. Ουσιαστικά, ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, υποδηλώνει το μέσο πλήθος των δεδομένων που αναμένεται σύμφωνα με το μοντέλο στη μονάδα του χρόνου. Έτσι, για ένα χρονικό διάστημα μήκους t, το οποίο είναι τμήμα μιας ομογενούς διαδικασίας Poisson, το (μέσο) αναμενόμενο πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με λt. Έτσι, για το ίδιο χρονικό διάστημα μήκους t στο οποίο το πλήθος των δεδομένων είναι n και οφείλονται σε μια Poisson τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή λt, η συνάρτηση πιθανότητας, που δείχνει ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν n δεδομένα σε αυτό το χρονικό διάστημα, δίνεται από τη σχέση λt (λt)n f λt n = Pr n λt = e n! (29) ενώ για το ρυθμό σεισμικότητας, λ, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι λt (λt)n f λ n = te n! (30) Με τη βοήθεια της μεθόδου της μέγιστης πιθανοφάνειας προκύπτει ο εκτιμώμενος ρυθμός σεισμικότητας, λ. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ρυθμού σεισμικότητας, λ, τόσο η κατανομή Poisson μπορεί να προσεγγιστεί από μια κανονική κατανομή με μέση τιμή ίση με λ και τυπική απόκλιση ίση με λ. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, όταν μια σημειακή διαδικασία αποτελεί διαδικασία Poisson με ρυθμό σεισμικότητας, λ, τότε τα μεγέθη των χρονικών μεσοδιαστημάτων για διαδοχικά γεγονότα ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέση τιμή μ=1/λ. Επομένως, προκειμένου να γίνει έλεγχος της υπό μελέτη διαδικασίας ως προς την ομοιογένειά της, γίνεται τελικά στατιστικός έλεγχος της διαδικασίας με μηδενική υπόθεση ότι τα χρονικά διαστήματα ανάμεσα σε διαδοχικά δεδομένα ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Εφόσον επαληθευτεί η μηδενική υπόθεση, η μέση τιμή μ που έχει προκύψει με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας ως μέσος όρος των χρονικών μεσοδιαστημάτων για διαδοχικά δεδομένα, δείχνει το 28

31 μέσο χρονικό διάστημα που χρειάζεται να περάσει μετά από κάποιο γεγονός της σημειακής διαδικασίας ώστε να παρατηρηθεί νέα «άφιξη». Αυτό σημαίνει πως με μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών οι οποίοι υπακούουν στην εκθετική κατανομή που χαρακτηρίζεται από την παράμετρο μ=1/λ, μπορεί να γίνει εκτίμηση των χρόνων άφιξης των γεγονότων της ομογενούς διαδικασίας Poisson και κατά συνέπεια να προσομοιωθεί η διαδικασία με τη βοήθεια μιας θεωρητικής κατανομής. Έτσι, υπάρχει δυνατότητα να γίνει χρήση των σχέσεων που παρουσιάστηκαν παραπάνω ώστε να εκτιμηθεί η διαδικασία για το χρονικό διάστημα στο οποίο ανήκουν τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου, να συγκριθούν τα θεωρητικά αποτελέσματα με τα πειραματικά και να εξαχθούν συμπεράσματα για το κατά πόσο το θεωρητικό μοντέλο μπορεί να περιγράψει το πραγματικό φαινόμενο. το επόμενο βήμα, γίνεται προσομοίωση της διαδικασίας σε μελλοντικούς χρόνους, εκτός των ορίων στα οποία έγινε η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου (extrapolation). Μια τέτοια μέθοδος βέβαια δεν είναι γενικώς αποδεκτή από τη στατιστική, καθώς είναι αυθαίρετη η παραδοχή ότι η σημειακή διαδικασία που μελετάται διατηρεί τα ίδια χαρακτηριστικά και έξω από τα χρονικά όρια της δειγματοληψίας. Εφαρμόζοντας το ομογενές μοντέλο Poisson στην παρούσα εργασία, φάνηκε πως αυτό μπορεί να προσαρμοστεί αρκετά καλά στα δεδομένα των χρονικών περιόδων που προηγούνται των κύριων σεισμών κάθε σεισμικής ακολουθίας, καθώς πριν από κάθε κύριο σεισμό ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, που υπολογίζεται δεν παρουσιάζει σημαντικές μεταβολές σε σχέση με το χρόνο και μάλιστα για μεγάλα χρονικά διαστήματα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή η τιμή του. Προχωρώντας όμως στη διαδικασία γένεσης των σεισμών μετά το χρόνο γένεσης του κύριου σεισμού, ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, παρουσιάζει έντονες μεταβολές σε σχέση με το χρόνο. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί στην εισαγωγή μιας διαδικασίας η οποία να περιγράφεται από ένα ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), που εκφράζεται μέσω μιας συνάρτησης με ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο. Η μελέτη λοιπόν οδηγείται σε μια μη ομογενή διαδικασία Poisson, κύριο χαρακτηριστικό της οποίας είναι η συνάρτηση που επιλέγεται να περιγράφει το ρυθμό σεισμικότητας, λ(t). 29

32 2.3.2 Μη Ομογενές Μοντέλο Poisson με εκθετική συνάρτηση του ρυθμού σεισμικότητας λ Η μη ομογενής διαδικασία Poisson είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο μοντέλο για σειρές δεδομένων (στοχαστικές σημειακές διαδικασίες) στις οποίες ο ρυθμός εμφάνισης των σημείων μεταβάλλεται με το χρόνο. Η διαδικασία έχει τη χαρακτηριστική ιδιότητα το πλήθος των σημείων σε κάθε ορισμένη ομάδα μη αλληλεπικαλυπτόμενων χρονικών διαστημάτων να είναι αμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, και ο αριθμός των σημείων σε κάθε ένα από αυτά τα χρονικά διαστήματα να ακολουθεί την κατανομή Poisson. Με άλλα λόγια, μία μη ομογενής διαδικασία Poisson μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από διαδοχικές επιμέρους ομογενείς διαδικασίες Poisson, κάθε μια από τις οποίες χαρακτηρίζεται από ένα διαφορετικό ρυθμό σεισμικότητας, λ, με σταθερή τιμή για το εσωτερικό της επιμέρους διαδικασίας. Με τον τρόπο αυτό λαμβάνεται ένα σύνολο τιμών για το ρυθμό σεισμικότητας, λi. Κάθε τιμή του συνόλου αυτού αντιστοιχεί σε ένα χρονικό διάστημα μήκους ti, το οποίο δεν είναι απαραίτητα ίδιο για κάθε μια από τις επιμέρους ομογενείς διαδικασίες. Σα ζεύγη τιμών (λi, ti) που λαμβάνονται με αυτό τον τρόπο ορίζουν μια καμπύλη η οποία τελικά απεικονίζει τη μεταβολή του ρυθμού σεισμικότητας, λ, ως προς το χρόνο t. Από τη μορφή που έχει η καμπύλη γίνεται επιλογή του θεωρητικού μοντέλου που μπορεί να προσαρμοστεί στα πειραματικά δεδομένα. Επόμενο βήμα είναι η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου με τη βοήθεια μιας στατιστικής μεθόδου. την παρούσα εργασία, το θεωρητικό μοντέλο που επιλέγεται να προσαρμοστεί στα πειραματικά δεδομένα περιγράφεται από τη συνάρτηση λ t = e a+bt (31) όπου λ(t) ο μεταβαλλόμενος σε σχέση με το χρόνο t ρυθμός γένεσης των σεισμών, a και b οι δύο παράμετροι της διαδικασίας, οι οποίες εκτιμώνται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα (δηλαδή τα ζεύγη (λi, ti)). Κατά συνέπεια, η θεωρητική καμπύλη η οποία προσαρμόζεται στα δεδομένα έχει εκθετική μορφή, φθίνουσα ως προς το χρόνο (η τιμή της παραμέτρου b που προκύπτει είναι αρνητική). Τπολογίζοντας το ολοκλήρωμα της παραπάνω συνάρτησης ρυθμού λαμβάνεται 30

33 Λ(t) = e a +b t b (32) η οποία δίνει το αναμενόμενο αθροιστικό πλήθος των σεισμών σε κάθε χρονικό διάστημα μήκους t με αφετηρία το χρόνο Σ0=0. Επειδή το μοντέλο αυτό εφαρμόστηκε στα δεδομένα των σεισμικών ακολουθιών για τις χρονικές περιόδους που ακολουθούν τον κύριο σεισμό, ως Σ0 ορίζεται ο χρόνος γένεσης του κύριου σεισμού. Η πιθανότητα να είναι το πλήθος των δεδομένων στο χρονικό διάστημα (0, t) ίσο με n (δηλαδή η συνάρτηση πιθανότητας) είναι Λ(t) (Λ(t))n f Λ(t) n = Pr n Λ(t) = e n! (33) και η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι F x Λ(t) = e Λ(t) x Λ(t)i i=0 (34) i! η οποία δίνει την πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μικρότερο από κάποια τιμή x, δεδομένου του αναμενόμενου πλήθους Λ(t). Για διαφορετικά χρονικά διαστήματα επομένως υπολογίζεται το αναμενόμενο πλήθος των σεισμών σύμφωνα με το θεωρητικό μοντέλο και στη συνέχεια, μέσω της συνάρτησης επιβίωσης R(x) =1- F x Λ(t) (35) υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών στο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα να είναι μεγαλύτερο από x, τιμή που παρουσιάζει ενδιαφέρον για τη μελέτη της ακολουθίας. Εάν το χρονικό διάστημα στο οποίο υπολογίζεται το αναμενόμενο πλήθος των σεισμών οριοθετείται στο (t1, t2), η παραπάνω ολοκλήρωση γίνεται μέσα σε αυτά τα όρια κι έτσι το αναμενόμενο πλήθος των σεισμών δίνεται από την Λ t 1 ; t 2 = e a +b t 2 b e a +b t 1 b (36) Από την επεξεργασία που έγινε στην παρούσα εργασία, παρατηρήθηκε πως η επιλογή της παραπάνω εκθετικής μορφής για την έκφραση του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), δεν μπορεί να προσαρμοστεί αρκετά καλά στα πειραματικά δεδομένα, παρά μόνο σε μικρά χρονικά διαστήματα μετά το χρόνο Σ0. Ο λόγος είναι ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση μηδενίζεται σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα, 31

34 εξαιτίας της εκθετικής της μορφής, ιδιότητα η οποία δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα, καθώς ο ρυθμός γένεσης των σεισμών φθίνει σε σχέση με το χρόνο αλλά όχι τόσο έντονα και χωρίς να φτάνει σε μηδενικές τιμές σε μια βραχυπρόθεσμη κλίμακα. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί σε μια άλλη θεώρηση του στοχαστικού φαινομένου, λαμβάνοντας για το ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), μια συνάρτηση μορφής Weibull, η οποία έχει χαρακτηριστικά που ανταποκρίνονται σε αυτά των πειραματικών δεδομένων Μη Ομογενές Μοντέλο Poisson-Διαδικασία Weibull Μια διαδικασία Weibull αποτελεί μέρος των διαδικασιών που ακολουθούν τους «νόμους δύναμης» (power law), όπως φαίνεται και από τα χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς της μέσα στο πεδίο ορισμού της. Αυτής της μορφής οι συναρτήσεις χαρακτηρίζουν τις κατανομές φαρδιάς ουράς (heavy-tailed κατανομές). Οι κατανομές φαρδιάς ουράς αποτελούν κατανομές πιθανότητας των οποίων οι ουρές δε φθίνουν εκθετικά, επομένως μια τέτοια κατανομή στο «τελείωμά» της δεν τείνει σε μηδενικές τιμές όπως οι εκθετικές. Τπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες τέτοιου είδους κατανομών, οι long-tailed κατανομές και οι υποεκθετικές (subexponential) κατανομές. Πρακτικά, οι περισσότερες κατανομές φαρδιάς ουράς που χρησιμοποιούνται ευρέως σε φυσικά προβλήματα ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία, όπως είναι και η Weibull, όταν χαρακτηρίζεται από μια παράμετρο σχήματος μικρότερη του 1. Για το λόγο αυτό, μία συνάρτηση ρυθμού σεισμικότητας αυτής της μορφής μπορεί να ανταποκριθεί καλύτερα στην περιγραφή του φυσικού φαινομένου που μελετάται στην παρούσα εργασία, καθώς ο ρυθμός γένεσης των σεισμών πρακτικά δεν μηδενίζεται, πόσο μάλλον σε μικρή χρονική κλίμακα μετά από ένα ισχυρό σεισμό. Η διαδικασία Weibull δεν πρέπει να συγχέεται με την κατανομή Weibull. Η κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων για διαδοχικούς σεισμούς της ακολουθίας που μελετάται υπό το πρίσμα της διαδικασίας Weibull αντιστοιχεί στην εκθετική κατανομή, που είναι και βασικό στοιχείο ώστε το σύνολο των δεδομένων να χαρακτηρίζεται ως μη ομογενής διαδικασία Poisson. Έτσι, λόγω του ότι ο ρυθμός σεισμικότητας, λ(t), που χαρακτηρίζει τη διαδικασία είναι της μορφής Weibull, το 32

35 συγκεκριμένο μη ομογενές μοντέλο συναντάται συχνά στη βιβλιογραφία ως διαδικασία Weibull (αντί της ονομασίας Non Homogeneous Poisson Process-NHPP με ρυθμό σεισμικότητας της μορφής Weibull). Μια Weibull διαδικασία χαρακτηρίζεται από την εξαρτώμενη από το χρόνο συνάρτηση της μορφής λ t = ba b t b 1 (37) όπου a και b οι παράμετροι της διαδικασίας. Εάν τα πρώτα n στο πλήθος δεδομένα μιας διαδικασίας Weibull συμβαίνουν σε χρονικές στιγμές 0<t1<t2 <tn τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας οι σχέσεις με τις οποίες γίνεται η εκτίμηση των δύο παραμέτρων της παραπάνω συνάρτησης ρυθμού είναι οι b = n n 1 ln ( t n i=1 ) t i, a = t n n1/b (38) Εφόσον γίνει η εκτίμηση των παραμέτρων a και b από τα δεδομένα του πειράματος, μπορεί να εκτιμηθεί στη συνέχεια η ολοκληρωτέα συνάρτηση που δίνει το αθροιστικό πλήθος των σεισμών σε κάθε χρονικό διάστημα (t1, t2) Λ t 1 ; t 2 = a b t b 2 a b b t 1 (39) κι έτσι να γίνει προσέγγιση της πραγματικής διαδικασίας γένεσης των σεισμών με βάση το συγκεκριμένο θεωρητικό μοντέλο. Όμοια με την προηγούμενη προσέγγιση της μη ομογενούς διαδικασίας, η συνάρτηση πιθανότητας και η συνάρτηση επιβίωσης δίνονται από τις σχέσεις (33) και (35) αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας τη νέα αυτή μορφή για τη συνάρτηση επικινδυνότητας. τη συνέχεια γίνεται εφαρμογή του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου P τάξης, καθώς τα δεδομένα μιας σεισμικής ακολουθίας θεωρούνται τυχαίες μεταβλητές μιας χρονικής σειράς. Παρακάτω περιγράφεται αναλυτικά η έννοια της χρονικής σειράς, καθώς επίσης οι βασικές αρχές της αυτοπαλινδρόμησης και η διαδικασία η οποία ακολουθήθηκε για την εφαρμογή του μοντέλου. 33

36 2.3.4 Ορισμένα στοιχεία για τις χρονικές σειρές Φρονική σειρά είναι μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών Φt, t Є Σ, όπου Σ είναι μια χρονική περίοδος. Αποτελεί επομένως ένα σύνολο παρατηρήσεων που λαμβάνονται ως μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής, σε εν γένει χρονικά διαστήματα. Αν το υποσύνολο Σ είναι συνεχές τότε η χρονοσειρά είναι συνεχής ενώ αν το Σ είναι διακριτό η χρονοσειρά είναι διακριτή. Πιο συγκεκριμένα, για τις διακριτές χρονοσειρές λαμβάνονται παρατηρήσεις σε εν γένει χρονικά διαστήματα. Αν για παράδειγμα λαμβάνονται Ν διαδοχικές τιμές, οι παρατηρήσεις που έγιναν στις χρονικές στιγμές Σ0+s, T0+2s, T0+3s,, T0+Ns δηλώνονται ως Φ1, Φ2, Φ3,, ΦΝ, με το χρόνο Σ0 και το χρονικό διάστημα s να είναι κάποιες φορές σημαντικά αλλά και κάποιες φορές άνευ σημασίας. Γενικά λοιπόν η Φt είναι η παρατήρηση που λαμβάνεται για το φαινόμενο που μελετάται σε χρόνο t. Όπως είναι γνωστό, ένα στατιστικό φαινόμενο το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο σύμφωνα με τους νόμους των πιθανοτήτων ονομάζεται στοχαστική διαδικασία. Μια χρονική σειρά επομένως αποτελεί μια στοχαστική διαδικασία με πεπερασμένο πλήθος παρατηρήσεων. Για παράδειγμα, αν ληφθούν Ν μετρήσεις από μια στοχαστική διαδικασία Poisson, αυτές θα αποτελούν μια διακριτή χρονική σειρά. Οι χρονοσειρές βρίσκουν εφαρμογή σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως είναι η οικονομία, η κλιματολογία, η φυσική, η οικολογία κτλ. τόχος μπορεί να είναι ή αναζήτηση ενός απλού μαθηματικού μοντέλου που να εξηγεί την προηγούμενη συμπεριφορά της σειράς των δεδομένων, ή η χρησιμοποίηση ενός τέτοιου μοντέλου για πρόγνωση της εξέλιξης ενός φαινομένου, πράγμα πολύ σημαντικό για την επιστήμη και την κοινωνία. Προκειμένου να γίνει ανάλυση μιας χρονικής σειράς χρειάζεται καταρχήν να εξασφαλιστεί η σταθερή συμπεριφορά ή με άλλα λόγια η στατικότητα της σειράς, καθώς και το ότι δεν είναι περιοδική η συμπεριφορά της καθώς εξελίσσεται στο χρόνο. τη συνέχεια, χρειάζεται να επιλεγεί το καταλληλότερο μοντέλο το οποίο μπορεί να προσαρμοστεί στα δεδομένα και να περιγράψει το φαινόμενο. Για να γίνει αυτή η προσαρμογή, είναι απαραίτητο να εκτιμηθούν οι άγνωστες παράμετροι 34

37 του μοντέλου κι έτσι στο επόμενο βήμα να μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεωρητικό μοντέλο στην «πρόβλεψη» της εξέλιξης της χρονοσειράς. Η ανάλυση μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος υποθέτει ότι κάθε παρατήρηση στο χρόνο t είναι συνάρτηση της συμπεριφοράς της χρονικής σειράς στις προηγούμενες χρονικές στιγμές, ενώ ο δεύτερος υποθέτει ότι κάθε παρατήρηση είναι συνάρτηση ημιτόνων και συνημιτόνων με διαφορετικές συχνότητες. Οι δύο αυτοί τρόποι είναι γνωστοί ως ανάλυση σε πεδίο χρόνων (time domain) και ανάλυση σε πεδίο συχνοτήτων (frequency domain) αντίστοιχα. Αυτό που ενδιαφέρει στην παρούσα εργασία είναι η ανάλυση των χρονοσειρών σε πεδίο χρόνων Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης p - AR(P) Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης p λέγεται το μοντέλο z t = φ 1 z t 1 + φ 2 z t φ p z t p + a t (40) όπου αt η συνάρτηση λευκού θορύβου, τέτοια ώστε Ε(αt)=0 2 Var(αt)=σ a και φ1, φ2,, φp οι p άγνωστες παράμετροι του μοντέλου. Η παραπάνω σχέση γράφεται και ως (1-φ1Β-φ2Β 2 - -φpβ p )zt=αt (41) όπου Β m zt=zt-m ένας γραμμικός τελεστής οπισθομετατόπισης (backward shift operator). Για την περίπτωση της AR(2) χρονικής σειράς (δεύτερης τάξης) οι συνθήκες στατικότητας συναρτήσει των παραμέτρων του μοντέλου ικανοποιούν τις σχέσεις φ1+φ1<1 φ2-φ1<1 (42) -1<φ2<1 35

38 Υπολογισμός των παραμέτρων ενός μοντέλου AR(p) Θέτοντας στη σχέση του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου zt=y, zt-1=x1, zt-2=x2 zt-p=xp, το μοντέλο γράφεται Τ=φ1Φ1+φ2Φ2+ +φpφp +αt (43) όπου το ρόλο των ανεξάρτητων μεταβλητών παίζουν τα zt-i και το ρόλο της εξαρτημένης μεταβλητής το zt. Οι παράμετροι φ1, φ2 φp γίνονται συντελεστές παλινδρόμησης και ο λευκός θόρυβος αt αποτελεί το σφάλμα. Με τον τρόπο αυτό προκύπτουν μέθοδοι με τις οποίες εκτιμώνται οι παράμετροι των χρονικών σειρών, κυριότερες από τις οποίες είναι η μέθοδος ροπών ή μέθοδος Yule-Walker, η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων με ή χωρίς συνθήκη (η οποία συμπίπτει με τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας) και η βελτιωμένη μέθοδος ροπών. την παρούσα εργασία γίνεται χρήση της μεθόδου Yule-Walker, οι βασικές αρχές της οποίας παρουσιάζονται παρακάτω Μέθοδος ροπών ή Yule-Walker Η μέθοδος των ροπών είναι η απλούστερη από όλες τις μεθόδους εκτίμησης παραμέτρων αν και παρουσιάζει κάποιες αδυναμίες στους εκτιμητές που τελικά δίνει. Εκτιμά τις άγνωστες παραμέτρους εξισώνοντας τις θεωρητικές ροπές με τις δειγματικές και λύνοντας το σύστημα εξισώσεων που προκύπτει. Για μια χρονική σειρά μπορεί να ορισθεί η θεωρητική και η δειγματική αυτοσυσχέτιση. Ως θεωρητική αυτοσυσχέτιση ρk ορίζεται η ποσότητα ρ k = γ k γ 0, k=0, ±1, ±2, (44) όπου γk η θεωρητική αυτοδιακύμανση (autocovariance) υστέρησης k, δηλαδή η συνδιασπορά μεταξύ της παρατήρησης Φt και Φt+k που γίνεται ύστερα από k χρονικά διαστήματα. Αντίστοιχα, όταν οι παραπάνω ποσότητες (αυτοδιακύμανση και αυτοσυσχέτιση) προκύπτουν από το δείγμα, χαρακτηρίζονται δειγματικές. Από τον παραπάνω ορισμό φυσικά προκύπτει ότι ρ0=1 και ρk=ρ-k. Έτσι η γραφική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων και στην 36

39 πράξη λαμβάνεται μόνο το θετικό μισό της συνάρτησης. Η γραφική παράσταση (k, ρk) για k 0 λέγεται διάγραμμα αυτοσυσχέτισης (correlogram). Έστω ότι δίνεται η χρονική σειρά της μορφής (40). Πολλαπλασιάζοντας με zt-k και λαμβάνοντας τις μέσες τιμές προκύπτει η σχέση γk=φ1γk-1+φ2γk-2+ +φpγk-p, για k>0 (45) οπότε διαιρώντας με γ0 γίνεται ρk=φ1ρk-1+φ2ρk-2+ +φpρk-p, για k>0 (46) Από την παραπάνω σχέση και για k=1, 2,..p λαμβάνεται ένα σύστημα k γραμμικών εξισώσεων με k αγνώστους, η λύση του οποίου οδηγεί στην εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων του μοντέλου. Σο σύστημα με τη μορφή πινάκων γράφεται φ 1 φ 2 φ p = 1 ρ 1 ρ p 1 ρ 1 1 ρ p 2 ρ p 1 ρ p ρ 1 ρ 2 ρ p ή φ = Ρ p 1 ρ p (47) και οι παραπάνω εκτιμητές ονομάζονται εκτιμητές Yule-Walker Εύρεση της τάξης p ενός μοντέλου AR(p) Όταν η τάξη p του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου είναι άγνωστη, η διαδικασία που ακολουθείται ξεκινάει από τη θεώρηση ενός μοντέλου AR(k) το οποίο προσαρμόζεται στη χρονική σειρά zt, με k=1, 2,. υμβολίζοντας με φkj την j παράμετρο της AR(k) χρονοσειράς προκύπτει ότι φkk= 1 P k P k 1 ρ k 1 ρ 1 ρ 1 ρ k 1 ρ k (48) όπου Pk ο αντίστοιχος πίνακας (47) που παρουσιάστηκε παραπάνω. Ο συντελεστής φkk ονομάζεται συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης τάξης k και για τον υπολογισμό του, όταν τα ρk είναι άγνωστα, χρησιμοποιούνται τα δειγματικά rk. Ο συντελεστής φkk, θεωρούμενος ως συντελεστής παλινδρόμησης της τελευταίας «μεταβλητής» που 37

40 υπεισέρχεται στο μοντέλο AR(k), περιγράφει τη σημαντικότητα της τελευταίας μεταβλητής. Δηλαδή αν ο συντελεστής φkk είναι σημαντικά διάφορος του μηδενός, τότε το μοντέλο k τάξης είναι προτιμότερο από το μοντέλο τάξης k-1. Αλλιώς η τάξη του μοντέλου είναι ίση με k-1. Επομένως ο υπολογισμός των φkk έχει πρακτική σημασία στην εκτίμηση της τάξης του μοντέλου. Αν λοιπόν η τάξη του μοντέλου που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα είναι p, τότε θα ισχύει φkk 0 για k p (49) ή φkk=0 για k>p (50) 2.4 Εφαρμογή των Μοντέλων-Διαδικασία στον Υπολογιστή την παράγραφο αυτή αναλύονται τα βήματα που ακολουθούνται για την επεξεργασία των δεδομένων και την εφαρμογή των μοντέλων. Όταν στο χρόνο Σ0 γίνεται ένας ισχυρός σεισμός στην περιοχή που μελετάται, διαταράσσεται η διαδικασία γένεσης των σεισμών και αποκτά διαφορετικά χαρακτηριστικά από αυτά που είχε στο προηγούμενο χρονικό διάστημα. Επομένως το σύνολο των δεδομένων χωρίζεται σε δύο τμήματα, τα χαρακτηριστικά των οποίων μελετώνται ξεχωριστά, αναζητώντας πάντα πληροφορίες στο παρελθόν της ακολουθίας οι οποίες μπορούν να βοηθήσουν στην εκτίμηση της μελλοντικής εξέλιξής της. Πριν το χρόνο Τ0 (χρόνος γένεσης ισχυρού σεισμού) ε πρώτο βήμα χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις DAΣΕ και TIME του προγράμματος Microsoft Excel. Η αρχική μορφή των δεδομένων αποτελείται από αριθμητικά στοιχεία που δηλώνουν το έτος, το μήνα, τη μέρα, και τα οποία μέσω της συνάρτησης DATE αντιστοιχίζονται σε ένα σειριακό αριθμό. Σο Excel αποθηκεύει ημερομηνίες ως διαδοχικούς σειριακούς αριθμούς ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε υπολογισμούς. Έτσι, η 1 η Ιανουαρίου 1900 είναι ο σειριακός αριθμός 1. το σειριακό αριθμό που προκύπτει από την παραπάνω συνάρτηση έρχεται να προστεθεί ο δεκαδικός αριθμός της συγκεκριμένης ώρας, όπως αποδίδεται 38

41 από τη συνάρτηση ΣΙΜΕ. Ο δεκαδικός αυτός αριθμός είναι μια τιμή μεταξύ του 0 και του , που αντιπροσωπεύει την ώρα από 00:00:00 έως 23:59:59. Δημιουργείται με αυτό τον τρόπο μια σειρά αριθμών. τη συνέχεια, αφαιρείται ο αριθμός που αντιστοιχεί σε κάθε σεισμό από τον αριθμό που αντιστοιχεί στον κύριο σεισμό και έτσι υπολογίζονται τα χρονικά διαστήματα ανάμεσα σε κάθε σεισμό και τον κύριο σεισμό. Σο σύνολο των δεδομένων που προκύπτει με αυτό τον τρόπο εισάγεται σε περιβάλλον Matlab για να υπολογιστούν τα μεγέθη των χρονικών μεσοδιαστημάτων για διαδοχικούς σεισμούς. Έστω ένα χρονικό διάστημα (Σ0,Σ) μέσα στο οποίο παρατηρείται n πλήθος σεισμών. Για i=1,2 n, κάθε χρονικό μεσοδιάστημα Δti θα είναι Δti=ti-ti-1, όπου ti ο χρόνος άφιξης του i σεισμού. Έχοντας ως χρονική αφετηρία το χρόνο Σ0=0 του κύριου σεισμού, τα χρονικά μεσοδιαστήματα αποτελούν πλέον τα στοιχεία ενός πίνακα nx1, όπου n το πλήθος των δεδομένων. Για παράδειγμα, το πρώτο στοιχείο του πίνακα είναι το χρονικό διάστημα ανάμεσα στο χρόνο Σ0 και τον τελευταίο σεισμό (μεγέθους μεγαλύτερου από το μέγεθος πληρότητας) που έγινε πριν από τον κύριο σεισμό της ακολουθίας, δηλαδή τον πρώτο σεισμό που συναντάται πηγαίνοντας πίσω στο χρόνο. Αντίστοιχα, το δεύτερο στοιχείο του πίνακα είναι το μέγεθος του χρονικού μεσοδιαστήματος του προτελευταίου σεισμού και του τελευταίου σεισμού πριν το χρόνο Σ0 κ.ο.κ. στο σχήμα 2.4 φαίνεται σχηματικά η έννοια των χρονικών μεσοδιαστημάτων. Σχήμα 2.4: Χρονικά μεσοδιαστήματα για τις αφίξεις διαδοχικών σεισμών σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Σο θεωρητικό μοντέλο που εφαρμόζεται στα δεδομένα είναι το ομογενές μοντέλο Poisson. Αυτό σημαίνει πως τα δεδομένα κάθε χρονικής περιόδου που 39

42 χαρακτηρίζεται ως ομογενής διαδικασία περιγράφονται από ένα σταθερό ρυθμό σεισμικότητας, λ, ο οποίος ουσιαστικά δείχνει το μέσο πλήθος των δεδομένων που αναμένονται σύμφωνα με το μοντέλο στη μονάδα του χρόνου. Αντίστοιχα, τα χρονικά μεσοδιαστήματα μιας τέτοιας διαδικασίας κατανέμονται εκθετικά με παράμετρο μ=1/λ, η οποία με τη σειρά της ορίζει τη μέση τιμή του χρονικού διαστήματος που μεσολαβεί ανάμεσα σε διαδοχικά σημεία της διαδικασίας (διαδοχικοί σεισμοί). Προκειμένου λοιπόν να εφαρμοστεί το ομογενές μοντέλο στα δεδομένα της ακολουθίας, χρειάζεται να γίνει στατιστικός έλεγχος χ 2 (test προσαρμογής) για το αν τα μήκη των χρονικών μεσοδιαστημάτων ακολουθούν εκθετική κατανομή, δηλαδή: Η0: τα δεδομένα (χρονικά μεσοδιαστήματα) ακολουθούν εκθετική κατανομή Η1: τα δεδομένα δεν ακολουθούν εκθετική κατανομή Ο έλεγχος γίνεται στα δεδομένα ενός αρκετά μεγάλου χρονικού διαστήματος, καθώς όπως αναφέρθηκε παραπάνω υπάρχει περιορισμός ως προς το ελάχιστο πλήθος των δεδομένων στα οποία εφαρμόζεται ο στατιστικός έλεγχος χ 2. Εφόσον γίνει η επιλογή των δεδομένων, υπολογίζεται με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας η παράμετρος μ που χαρακτηρίζει την εκθετική κατανομή τους με την εντολή m=expfit(x) (51) Έπειτα, με τη βοήθεια του προγράμματος Origin γίνεται διαχωρισμός των δεδομένων σε 3 ομάδες, για κάθε μία από τις οποίες υπολογίζεται σε περιβάλλον Matlab η πιθανότητα εμφάνισης δεδομένων σύμφωνα με την εκθετική κατανομή παραμέτρου μ p i = x 2 1 μ e x μ x 1 dx = e x μ x 2 = e x 2 μ + e x 1 μ (52) x 1 κάνοντας χρήση της πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής f x = 1 μ e x μ (53) 40

43 Η πιθανότητα που αντιστοιχεί στην τελευταία ομάδα υπολογίζεται πάντα αφαιρώντας από τη μονάδα το άθροισμα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες ομάδες p3=1-p1-p2 (54) τη συνέχεια υπολογίζεται η αναμενόμενη συχνότητα των δεδομένων σε κάθε ομάδα e=p*n (55) και τέλος το στατιστικό χ 2 όπως παρουσιάστηκε παραπάνω Φ 2 =sum(((f-e).^2)./e) (56) όπου f η συχνότητα των δεδομένων σε κάθε ομάδα. Η τιμή που προκύπτει συγκρίνεται με τη θεωρητική τιμή που δίνεται από στατιστικούς πίνακες, για το συγκεκριμένο πλήθος των βαθμών ελευθερίας και το επίπεδο σημαντικότητας που έχει επιλεγεί. Σο πλήθος των βαθμών ελευθερίας υπολογίζεται από το πλήθος των ομάδων ως k=ν-1-m, όπου ν το πλήθος των ομάδων στις οποίες χωρίστηκαν τα δεδομένα και m το πλήθος των παραμέτρων που λαμβάνονται υπόψη (εδώ είναι μόνο η παράμετρος μ). την παρούσα εργασία, το πλήθος των βαθμών ελευθερίας είναι ίσο με 1 σε όλες τις περιπτώσεις και το επίπεδο σημαντικότητας ίσο με Εφόσον επαληθευτεί μέσω του ελέγχου χ 2 η μηδενική υπόθεση για τα χρονικά μεσοδιαστήματα, υπολογίζεται με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, που χαρακτηρίζει τα δεδομένα κι επομένως την ομογενή διαδικασία Poisson. Για να εξετασθούν οι μεταβολές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, σε σχέση με το χρόνο (σε αρκετά μεγάλη χρονική κλίμακα για τα δεδομένα της περιόδου πριν τον κύριο σεισμό λόγω της μη συχνής εμφάνισης σεισμών) η διαδικασία επαναλαμβάνεται σε διαδοχικές ομάδες δεδομένων, πηγαίνοντας πάντα πίσω στο χρόνο, σε σχέση με το χρόνο Σ0. Σο αποτέλεσμα είναι να λαμβάνεται ένα σύνολο τιμών του ρυθμού σεισμικότητας, λ, για διαδοχικά χρονικά διαστήματα διαφόρων μεγεθών το οποίο παριστάνεται σε διάγραμμα (λ, t) ώστε να φαίνονται οι μεταβολές του ρυθμού σεισμικότητας, λ. Για την τιμή του ρυθμού σεισμικότητας, λ, που προέκυψε με την παραπάνω διαδικασία γίνεται προσομοίωση της διαδικασίας γένεσης των σεισμών για το χρονικό διάστημα που μελετήθηκε πριν τον κύριο σεισμό, με τη χρήση μιας γεννήτριας τυχαίων αριθμών που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο μ=1/λ. Έτσι παράγονται τυχαία σημεία τα χρονικά 41

44 μεσοδιαστήματα των οποίων ακολουθούν την εκθετική κατανομή. τη συνέχεια αυτά μπορούν να παρασταθούν σε διάγραμμα μαζί με το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών, ώστε να γίνει σύγκριση του θεωρητικού μοντέλου και της πειραματικής διαδικασίας. lambda=1; %arrival rate Tmax=10; % maximum time clear T; T(1)=random('Exponential',1/lambda); i=1; while T(i) < Tmax, T(i+1)=T(i)+random('Exponential',1/lambda); i=i+1; end T(i)=Tmax; stairs(t(1:i), 0:(i-1)); Μετά το χρόνο Τ0 (χρόνος γένεσης ισχυρού σεισμού) Για τα δεδομένα της χρονικής περιόδου μετά τον κύριο σεισμό της κάθε ακολουθίας που μελετάται τα πρώτα βήματα της επεξεργασίας τους είναι ίδια με πριν. Λόγω των έντονων μεταβολών του ρυθμού σεισμικότητας, λ, σε σχέση με το χρόνο, το μοντέλο που εφαρμόζεται στα δεδομένα είναι αυτό της μη ομογενούς διαδικασίας Poisson, με τις δύο διαφορετικές μορφές του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Σα δεδομένα (δηλαδή τα χρονικά μεσοδιαστήματα) χωρίζονται σε διαδοχικές χρονικές περιόδους, όσο το δυνατόν μικρότερες σε διάρκεια, στις οποίες εφαρμόζεται ο στατιστικός έλεγχος χ 2, προκειμένου να επαληθευτεί η μηδενική υπόθεση της εκθετικής κατανομής τους. Βασική δέσμευση αποτελεί το πλήθος των δεδομένων κάθε χρονικού διαστήματος που εξετάζεται, καθώς η αναμενόμενη συχνότητα για κάθε κελί από αυτά στα οποία χωρίζονται τα δεδομένα κάθε διαστήματος (όπως αναφέρθηκε νωρίτερα) πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση με 5. Βέβαια, βασικό κριτήριο με το οποίο γίνεται ο διαχωρισμός της μετασεισμικής ακολουθίας στις 42

45 μικρές διαδοχικές διαδικασίες που ελέγχονται για την ομοιογένειά τους, αποτελεί η μεταβολή του ρυθμού σεισμικότητας, λ. Για το λόγο αυτό, γίνεται προσπάθεια να μην «αναμιγνύονται» αραιά με πυκνά δεδομένα, αναζητώντας πάντα τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται ο ρυθμός σεισμικότητας, λ(t), σε σχέση με το χρόνο. Κάθε διαδικασία που ελέγχεται με το χ 2 τεστ προσαρμογής αποδεικνύεται μέσω της επαλήθευσης της μηδενικής υπόθεσης ότι αποτελεί μια ομογενή διαδικασία Poisson με ρυθμό σεισμικότητας, λi. Σο σύνολο των τιμών λi παριστάνεται σε διάγραμμα συναρτήσει του χρόνου t. Σα δεδομένα επεξεργάζονται στο πρόγραμμα Origin, όπου εντοπίζεται το κέντρο κάθε μιας από τις επιμέρους ομογενείς διαδικασίες Poisson και αντιστοιχίζεται στην τιμή λi που χαρακτηρίζει τη διαδικασία. τη συνέχεια, γίνεται επιλογή στο πρόγραμμα για προσαρμογή στα δεδομένα μιας θεωρητικής καμπύλης, που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η e a+bt. Σα δεδομένα που χρειάζεται το πρόγραμμα για να κάνει την προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης πρέπει να είναι τουλάχιστον τέσσερα, ώστε να υπολογιστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι τιμές των δύο παραμέτρων καθώς επίσης ο συντελεστής συσχέτισης και τα σφάλματα των εκτιμήσεων. Σο ελάχιστο λοιπόν πλήθος των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν καθορίζεται από τη μέθοδο με την οποία γίνεται η προσαρμογή. Σο μέγιστο πλήθος από την άλλη καθορίζεται από το σκοπό της εργασίας. Έτσι, τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο επόμενο κεφάλαιο αφορούν τα λιγότερα δεδομένα που μπορούν να ληφθούν για κάθε περίπτωση, ώστε να μπορεί να γίνει εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης σε μια βραχυπρόθεσμη χρονική κλίμακα, της τάξης των λίγων ημερών μετά τον κύριο σεισμό. Βέβαια, λόγω του ότι οι πρώτες τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λi, αντιστοιχούν σε χρονικά διαστήματα έντονης μετασεισμικής δραστηριότητας αμέσως μετά το χρόνο Σ0, οι εκτιμήσεις των δύο παραμέτρων επηρεάζονται από αυτές κι έτσι όσα δεδομένα και να ληφθούν υπόψη η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων οδηγεί σε σχεδόν ίδιες τιμές. Η εκτίμηση όμως της πιθανότητας το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από έναν αριθμό που θα έχει σημασία για την πρόγνωση μιας ακολουθίας δεν μπορεί να γίνει για μεγάλα χρονικά διαστήματα μετά τον κύριο σεισμό. Παρόλα αυτά, χρησιμοποιώντας τη σχέση που έχει η συνάρτηση επιβίωσης με τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής, υπολογίζεται σε περιβάλλον Matlab η συνάρτηση επιβίωσης R x = 1 poisscdf(x, Λ(t)) (57) 43

46 όπου x το ελάχιστο πλήθος σεισμών που ζητείται και Λ(t) η τιμή του ολοκληρώματος της του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), για το δεδομένο χρονικό διάστημα στο οποίο υπολογίζεται η πιθανότητα. Η Λ(t) ουσιαστικά δείχνει το αναμενόμενο πλήθος των σεισμών μέσα στο χρονικό διάστημα που μελετάται. Η συνάρτηση επιβίωσης για κάθε χρονικό διάστημα που υπολογίζεται μπορεί να απεικονιστεί σε διάγραμμα τύπου stem όπου σε κάθε τιμή του x, δηλαδή για διαφορετικό πλήθος σεισμών κάθε φορά, αντιστοιχίζεται μία ράβδος με ύψος ίσο με την τιμή της πιθανότητας να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από αυτή την τιμή, εφόσον η διαδικασία γένεσης των σεισμών στο χρονικό διάστημα που γίνεται ο υπολογισμός χαρακτηρίζεται ως Poisson. το επόμενο θεωρητικό μοντέλο που εφαρμόζεται στα δεδομένα εισάγεται μια άλλη μορφή του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι τα πειραματικά δεδομένα οδηγούν στην παρατήρηση μιας κατανομής του πλήθους των σεισμών, κι επομένως και του ρυθμού σεισμικότητας, λ, με αρκετά φαρδιά ουρά η οποία δεν μηδενίζεται σε μικρή χρονική κλίμακα όπως συμβαίνει με το προηγούμενο μοντέλο που περιγράφηκε. Έτσι, το θεωρητικό μοντέλο μελετάται πλέον με τη χρήση της μορφής λ t = ba b t b 1. Από τις σχέσεις (38) εκτιμώνται σε περιβάλλον Matlab οι δύο παράμετροι a και b και στη συνέχεια γίνονται διαγράμματα της αθροιστικής συνάρτησης Λ(t) για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Όπως και πριν, υπολογίζεται για διάφορα χρονικά διαστήματα η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα να είναι μεγαλύτερο από κάποια τιμή, μέσω της συνάρτησης επιβίωσης. Για την εφαρμογή του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου P τάξης, είναι απαραίτητο να οριστεί η βασική τυχαία μεταβλητή που περιγράφει τη διαδικασία. Επιλέγεται η μεταβλητή αυτή να αναπαριστά το πλήθος των σεισμών που παρατηρούνται σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα σταθερής διάρκειας. Επειδή η επιλογή μιας χρονικής μονάδας ίσης με το χρονικό διάστημα μιας ημέρας, όπως έγινε στα προηγούμενα μοντέλα, δεν παρέχει αρκετά δεδομένα για τον υπολογισμό των παραμέτρων ενός αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου, προτείνεται ο διαχωρισμός κάθε εικοσιτετραώρου σε δέκα ίσα χρονικά τμήματα, διάρκειας 2.4 ωρών το καθένα. ε κάθε ένα από αυτά υπολογίζεται στο πρόγραμμα Origin το πλήθος των σεισμών 44

47 που σημειώθηκαν, χρησιμοποιώντας την επιλογή για καταμέτρηση της συχνότητας των δεδομένων με σταθερό χρονικό βήμα. Έτσι λαμβάνονται οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής οι οποίες εισάγονται σε πίνακα μιας στήλης. Πρώτο βήμα είναι η εκτίμηση της τάξης του μοντέλου. Για το λόγο αυτό γίνεται χρήση, σε περιβάλλον Matlab, των εντολών [PartialACF,Lags,Bounds]=parcorr(Series,nLags,R) (58) Parcorr(Series,nLags,R) (59) Με την πρώτη εντολή γίνεται εκτίμηση των μερικών αυτοσυσχετίσεων (PartialACF) και των ορίων μέσα στα οποία είναι επιτρεπτές οι τιμές τους (Bounds) ενώ με την επόμενη γίνεται το κορρελόγραμμα των μερικών αυτοσυσχετίσεων. Η εντολή parcorr χρειάζεται τρία ορίσματα: Series: Μία στήλη πίνακα με τα δεδομένα της χρονικής σειράς για τα οποία η εντολή επιστρέφει ή σχεδιάζει τις τιμές των μερικών αυτοσυσχετίσεων. Σο τελευταίο στοιχείο του πίνακα αποτελεί την πιο πρόσφατη (χρονικά) παρατήρηση της στοχαστικής ακολουθίας. nlags: Θετικός ακέραιος αριθμός ο οποίος δείχνει το πλήθος των μερικών αυτοσυσχετίσεων που υπολογίζονται. Εάν στο όρισμα δε δοθεί κάποια συγκεκριμένη τιμή ή γίνει εισαγωγή κενού συνόλου ([ ]) τότε η εντολή οδηγεί στον υπολογισμό Σ μερικών αυτοσυσχετίσεων, όπου Σ= min([20,length(series)-1]) (60) R: Θετικός ακέραιος αριθμός που δίνει το πλήθος των μερικών αυτοσυσχετίσεων πέραν του οποίου θεωρείται από το πρόγραμμα ότι οι θεωρητικές μερικές αυτοσυσχετίσεις έχουν μηδενικές τιμές. Θεωρώντας ότι τα δεδομένα που εισάγονται στο όρισμα Series αποτελούν μια AR(R) διαδικασία, οι εκτιμώμενες μερικές αυτοσυσχετίσεις πέρα από τις πρώτες R είναι προσεγγιστικά ανεξάρτητες γκαουσιανές μεταβλητές με μέση τιμή ίση με μηδέν. ε αυτή την περίπτωση το τυπικό σφάλμα των εκτιμώμενων συντελεστών είναι ίσο με 1 Ν, όπου Ν το πλήθος των παρατηρήσεων στον πίνακα Series. Εάν στο όρισμα R δε δοθεί συγκεκριμένη τιμή ή 45

48 σημειωθεί ένα κενό σύνολο ([ ]) τότε λαμβάνεται η τιμή μηδέν. Η τιμή του R πρέπει να είναι οπωσδήποτε μικρότερη από αυτή του ορίσματος nlags. Σο πλήθος των τιμών που προκύπτουν (PartialACF) από την παραπάνω εντολή είναι ίσο με nlags+1, με το πρώτο στοιχείο να είναι πάντα ίσο με τη μονάδα. Σο αποτέλεσμα στη θέση Lags δίνει ακριβώς αυτό το πλήθος. τη θέση Bounds όπως προαναφέρθηκε δίνονται οι δύο τιμές των διαστημάτων εμπιστοσύνης (ανώτατο και κατώτατο όριο) των τιμών των μερικών αυτοσυσχετίσεων. την παρούσα εφαρμογή των εντολών στα δεδομένα ορίστηκε το πλήθος των μερικών συτοσυσχετίσεων που υπολογίζονται να είναι ίσο με 3, θεωρώντας ένα αρχικό μοντέλο τρίτης τάξης. Εφόσον η τιμή του τελευταίου συντελεστή είναι εκτός των επιτρεπτών ορίων, εκτιμάται η τάξη του μοντέλου να είναι ίση με 2. τη συνέχεια γίνεται χρήση των εντολών [ACF,Lags,Bounds] = autocorr(series,nlags,r) (61) autocorr(series,nlags,r) (62) με τις οποίες γίνεται εκτίμηση των 20 πρώτων συντελεστών της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, ώστε να εκτιμηθεί η στατικότητα της χρονοσειράς και στη συνέχεια να βρεθούν οι παράμετροι του μοντέλου. Σα ορίσματα της εντολής είναι όμοια με προηγουμένως. Σελευταίο βήμα είναι ο υπολογισμός των τιμών των παραμέτρων με τη χρήση των εξισώσεων Yule-Walker, μέσω της εντολής aryule(x,p) (63) Η εντολή χρησιμοποιεί τη μέθοδο Yule-Walker για να προσαρμόσει ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης p στα δεδομένα x και τα αποτελέσματα που λαμβάνονται αποτελούν τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου. Σελευταίο βήμα αποτελεί η απεικόνιση του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου, με τη χρήση του αλγορίθμου function xv = ARm(phiV,n,sdnoise) if nargin==2 sdnoise=1; end ntrans = 100; 46

49 m = length(phiv)-1; phiv = phiv(:); a0 = phiv(1); av = phiv(2:m+1); x0v = sdnoise*randn(m,1); wv = randn(n+ntrans,1) * sdnoise; xv = NaN*ones(n+ntrans,1); xv(1:m) = x0v; for i=m+1:n+ntrans xv(i) = a0 + av' * flipud(xv(i-m:i-1)) + wv(i); end xv = xv(ntrans+1:n+ntrans); στον οποίο λαμβάνονται υπόψη οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου που εκτιμήθηκαν από την παραπάνω διαδικασία, το πλήθος των τιμών της τυχαίας μεταβλητής που θα εκτιμήσει το πρόγραμμα καθώς και η τυπική απόκλισης του λευκού θορύβου (εδώ ίση με 1). Οι τιμές που προκύπτουν απεικονίζονται στη συνέχεια σε κοινό γράφημα με τα δεδομένα της πραγματικής χρονοσειράς, προκειμένου να γίνει σύγκριση των θεωρητικών τιμών και των πραγματικών δεδομένων. 47

50 48

51 Κεφάλαιο 3 ο : Εφαρμογή των στατιστικών μοντέλων στις σεισμικές ακολουθίες 3.1 Εισαγωγή το παρόν κεφάλαιο γίνεται περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την επεξεργασία των δεδομένων τριών σεισμικών ακολουθιών που έγιναν στον ελληνικό χώρο. Όπως ήδη αναφέρθηκε έγινε εφαρμογή τριών στατιστικών μοντέλων, του ομογενούς μοντέλου Poisson, του μη ομογενούς μοντέλου Poisson και του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου P τάξης (AR(P)). τόχος είναι η μελέτη της μεταβολής του ρυθμού γένεσης των σεισμών σε σχέση με το χρόνο. το τέλος του κεφαλαίου παραθέτονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή των μοντέλων. Οι σεισμικές ακολουθίες που μελετήθηκαν, με τη σειρά που παρουσιάζονται, είναι η σεισμική ακολουθία των Αλκυονίδων (1981), της κύρου (2001) και της Λευκάδας (2003). 3.2 Σεισμική ακολουθία Αλκυονίδων ( , Μ w =6.7, , Μ w =6.4, , Μ w =6.3) Εισαγωγή Πρόκειται για σεισμική ακολουθία στον κόλπο των Αλκυονίδων της οποίας ο πρώτος ισχυρός σεισμός της 24 ης Υεβρουαρίου με μέγεθος Μ=6.7, ο δεύτερος της 25 ης Υεβρουαρίου μεγέθους Μ=6.4 και ο τρίτος ισχυρός σεισμός της 4 ης Μαρτίου με μέγεθος Μ=6.3 προκάλεσαν καταστροφές στην Κορινθία, τη Βοιωτία, στην Αττική, στη Υωκίδα και την Εύβοια. Και οι τρεις ισχυροί σεισμοί έγιναν σε κανονικά ρήγματα. Αμέσως μετά τους δύο πρώτους σεισμούς παρατηρήθηκε επιφανειακό ίχνος του σεισμογόνου ρήγματος κατά μήκος των νότιων ακτών του κόλπου μήκους μεγαλύτερου από 15 km και μέσης πτώσης του βορείου τεμάχους του ρήγματος ίση 49

52 με 60 cm. Μετά το σεισμό της 4 ης Μαρτίου παρατηρήθηκε επιφανειακό ίχνος του σεισμογόνου ρήγματος κοντά στις βορειοανατολικές ακτές του κόλπου, μήκους 15 km και μέσης πτώσης κατά 60 cm (Papazachos et al., 1984a). Παρατηρήθηκαν φαινόμενα ρευστοποίησης σε διάφορα μέρη και ασθενές θαλάσσιο κύμα (Παπαζάχος και Παπαζάχου, 2002). Παρόλο που ο Κορινθιακός κόλπος έχει μεγάλη ιστορία επαναλαμβανόμενων σεισμών, λίγοι από τους ιστορικούς σεισμούς έχουν αναμφίβολα συνδεθεί με συγκεκριμένο ρήγμα. Εκτενείς μελέτες της ακολουθίας του 1981 (Jackson et al. 1982, Hubert et al. 1996) καθώς και τεκτονικές μελέτες (Rigo 1994, Armijo et al. 1996) υποδεικνύουν ότι η γενική μορφολογία του Κορινθιακού κόλπου οφείλεται κυρίως σε επαναλαμβανόμενους σεισμούς σε κανονικά ρήγματα βόρειας κλίσης μοιρών κατά μήκος της νότιας ακτής του κόλπου (Bernard et al. 1997). τη συγκεκριμένη ακολουθία οι περισσότεροι μετασεισμοί εμφανίζονται στα ανατολικά του κόλπου και οριοθετούνται από τα ρήγματα στο Αλεποχώρι και το Καπαρέλλι (Hatzfeld et al. 2000). Μόνο λίγοι από τους μετασεισμούς εμφανίζονται στα δυτικά, προς το ρήγμα των Πισίων, και θα μπορούσαν να συσχετιστούν με τους πρώτους ισχυρούς σεισμούς της ακολουθίας. Η σεισμικότητα εντοπίζεται σε βάθος 4-14 km και στα δυτικά δεν αποκλείεται η πιθανότητα να σχετίζεται με τα ρήγματα Αλεποχώρι και Πίσια. την κεντρική περιοχή παρατηρείται ότι η σεισμικότητα κλίνει και προς Βορρά και προς Νότο, υποδεικνύοντας ότι τα δύο ρήγματα μπορεί να ενεργοποιούνται μαζί. Ανατολικά συμβαίνει το ίδιο και η σεισμικότητα μπορεί να σχετίζεται με το ρήγμα των Πλατεών ή το Καπαρέλλι. τα σχήματα 3.1 και 3.2 χαρτογραφούνται τα επίκεντρα των σεισμών της ακολουθίας που μελετήθηκε, τα ρήγματα που εντοπίζονται στην περιοχή της ακολουθίας που μελετάται και οι μηχανισμοί γένεσης των τριών ισχυρών σεισμών, με δεδομένα δύο χρονικών διαστημάτων, πριν και μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας. 50

53 Σχήμα 3.1: Χωρική κατανομή των σεισμών στην περιοχή του Κορινθιακού κόλπου για χρονικό διάστημα 391 ημερών πριν τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας του Χαρτογραφούνται επίσης οι μηχανισμοί γένεσης των τριών ισχυρότερων σεισμών ως ισεμβαδικές προβολές του κάτω ημισφαιρίου, καθώς επίσης τα ρήγματα με τα οποία συνδέονται (Πίσια, Αλεποχώρι και Καπαρέλι). Σχήμα 3.2: Το ίδιο όπως και στο Σχήμα 3.1, αλλά για χρονική περίοδο 31 ημερών μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας του

54 3.2.2 Δεδομένα παρατήρησης Ξεκινώντας τη μελέτη της σεισμικής ακολουθίας, επιλέγονται τα χρονικά όρια του υπό μελέτη καταλόγου. Σο χρονικό διάστημα που προηγείται του πρώτου ισχυρού σεισμού της ακολουθίας πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο ώστε το πλήθος των σεισμών σε αυτό να ανταποκρίνεται στους περιορισμούς του στατιστικού ελέγχου που γίνεται προκειμένου να εφαρμοστεί το κάθε στατιστικό μοντέλο. Σο χρονικό διάστημα που ακολουθεί τον ισχυρό σεισμό της ακολουθίας σχετίζεται με το στόχο της παρούσας εργασίας που είναι η μελέτη της βραχυπρόθεσμης πρόκλησης σεισμικότητας, επομένως ανήκει σε κλίμακα κάποιων ημερών. Με βάση τα προηγούμενα, επιλέγονται τα δεδομένα που ανήκουν στο διάστημα από τον Ιανουάριο του 1979 έως και το Δεκέμβριο του 1983 ( ως ). Σα δεδομένα λαμβάνονται από την περιοχή η οποία οριοθετείται από τις συντεταγμένες και Από το σύνολο αυτών των δεδομένων υπολογίζεται το μέγεθος πληρότητας ίσο με 3.5, όπως προκύπτει και από το σχήμα 3.3. Αποκόπτοντας από τα δεδομένα τους σεισμούς που το μέγεθός τους είναι Μ<Μc, εξασφαλίζεται ένας πλήρης κατάλογος δεδομένων για όλο το χρονικό διαστημα που μελετάται. Κατά το χρονικό αυτό διάστημα καταμετρώνται 901 σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου από 3.5. Ως Σ0 ορίζεται ο χρόνος , 20:53:37 που αποτελεί το χρόνο γένεσης του κύριου σεισμού, μεγέθους Μ=6.7, στο σημείο με συντεταγμένες Η σεισμική ακολουθία παρουσιάζει την εξής ιδιαιτερότητα: μετά από μικρό χρονικό διάστημα από τη γένεση του πρώτου ισχυρού σεισμού σημειώνεται ακόμη ένας σεισμός μεγάλου μεγέθους ( , 02:35:51, Μ=6.4) στο σημείο με συντεταγμένες Σο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί είναι ίσο με μέρες. Οι δύο αυτοί σεισμοί λαμβάνονται υπόψη από κοινού και η μετασεισμική ακολουθία που μελετάται χαρακτηρίζει και τους δύο σεισμούς ως ένα. Περίπου 8 μέρες μετά το χρόνο Σ0 γίνεται ο τρίτος ισχυρός σεισμός της ακολουθίας ( , 21:58:05, Μ=6.3) στο σημείο με συντεταγμένες

55 Σχήμα 3.3: Πλήθος σεισμών σε συνάρτηση με το μέγεθος για τη χρονική περίοδο ως Το μέγεθος πληρότητας, Μc, βρέθηκε ίσο με Ομογενής διαδικασία Poisson Αρχικά γίνεται μια ομαδοποίηση των δεδομένων για να ελεγχθεί η ημερήσια κατανομή τους ως συνάρτηση του χρόνου. το σχήμα 3.4 που ακολουθεί φαίνεται το πλήθος των σεισμών κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος από τον Ιανουάριο του 1979 μέχρι και το Δεκέμβριο του 1983, με παράμετρο το χρόνο (σε κλίμακα ημερών), και με αφετηρία των δεδομένων το χρόνο Ο χρόνος γένεσης κάθε σεισμού μετατρέπεται σε δεκαδικό αριθμό σύμφωνα με την ημερομηνία και ώρα γένεσής του (με ακρίβεια δευτερολέπτου) σε αύξουσα σειρά. Από την ακολουθία αυτή των αριθμών υπολογίζονται οι χρονικές διαφορές μεταξύ διαδοχικών σεισμών και λαμβάνεται έτσι η ακολουθία των χρονικών μεσοδιαστημάτων (time intervals). Προκειμένου να ελεγχθεί αν η διαδικασία γένεσης των σεισμών είναι (ομογενής) διαδικασία Poisson, γίνεται στατιστικός έλεγχος χ 2 (έλεγχος προσαρμογής) για το αν τα μήκη των χρονικών μεσοδιαστημάτων ακολουθούν εκθετική κατανομή, δηλαδή: 53

56 Η0: τα δεδομένα (χρονικά μεσοδιαστήματα) ακολουθούν εκθετική κατανομή Η1: τα δεδομένα δεν ακολουθούν εκθετική κατανομή Σχήμα 3.4: Αθροιστικό πλήθος των σεισμών στην περιοχή του Κορινθιακού για το χρονικό διάστημα από έως , σε συνάρτηση με το χρόνο. Ο πρώτος έλεγχος των δεδομένων πραγματοποιείται για το διάστημα που προηγείται του κύριου σεισμού, δηλαδή για χρόνους πριν από το χρόνο Σ0. το χρονικό διάστημα από , 06:01:26 ως το χρόνο Σ0 που έγινε ο κύριος σεισμός, δηλαδή περίπου 786 μέρες νωρίτερα, έγιναν 116 σεισμοί. Έγιναν δοκιμές για διαχωρισμό του διαστήματος πριν από το χρόνο Σ0, σε χρονικά διαστήματα διαφόρων μεγεθών που να εμφανίζουν διαφορετική πυκνότητα σεισμών (διαδικασίες Poisson με διαφορετικούς ρυθμούς σεισμικότητας). Σελικά, πηγαίνοντας από το χρόνο Σ0 πίσω στο χρόνο, επιλέγονται διαδοχικά χρονικά διαστήματα μεγέθους 251 ημερών και 140 ημερών. Ο έλεγχος χ 2 ενισχύει τη μηδενική υπόθεση για την εκθετική κατανομή των μεγεθών (μηκών) των μεσοδιαστημάτων ανάμεσα σε διαδοχικούς σεισμούς για τα 54

57 δύο διαστήματα (-391, -251) και (-251, Σ0) και τα αποτελέσματα φαίνονται συνοπτικά στον πίνακα Ι, μαζί με τις τιμές των παραμέτρων μ και λ, της εκθετικής και της κατανομής Poisson αντίστοιχα. Ο έλεγχος χ 2 έγινε για 1 βαθμό ελευθερίας και επίπεδο σημαντικότητας 0.975, για τα οποία η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με Η τιμή του χ 2 στο στατιστικό έλεγχο προκύπτει πολύ μικρότερη από την κρίσιμη τιμή για την περίπτωση του διαστήματος των 251 ημερών πριν από το χρόνο Σ0. Παρατηρείται ότι, θεωρώντας τα δύο αυτά σύνολα δεδομένων ως ξεχωριστές ομογενείς διαδικασίες Poisson, οι τιμές των αντίστοιχων ρυθμών σεισμικότητας, λ, που τις χαρακτηρίζουν είναι πολύ κοντά αριθμητικά (λ1=0,1434, λ2=0,15). Επομένως δεν είναι αναγκαίος ο διαχωρισμός του ανωτέρω διαστήματος σε επιμέρους μικρότερα διαστήματα, διότι οι ρυθμοί σεισμικότητας, λ, των επιμέρους διαδικασιών Poisson μπορούν να θεωρηθούν ίσοι. Επιπλέον, στα ιστογράμματα του σχήματος 3.5 παρουσιάζεται η κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων για κάθε χρονική περίοδο που εξετάσθηκε. την περίπτωση που λαμβάνονται τα δεδομένα από το ενιαίο χρονικό διάστημα των 391 ημερών, ξεχωρίζει η εκθετική κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων σε αυτή τη χρονική περίοδο. Πίνακας Ι: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα πριν από τον πρώτο ισχυρό σεισμό, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. Η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με χρονικό διάστημα παρατηρήσεις στατιστικό Χ 2 μ λ (-251,Σ0) (-391,-251) (-391,Σ0)

58 α) β) γ) Σχήμα 3.5: Ιστογράμματα της κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων για τις χρονικές περιόδους: α) (-251,Τ0), β) (-391,-251), γ) (-391, Τ0). Παρατηρείται ότι στην περίπτωση του χρονικού διαστήματος (-391, Τ0) μπορεί να υπολογιστεί μια μέση τιμή της παραμέτρου μ χωρίς να αποκλίνει από αυτήν σημαντικό ποσοστό των δεδομένων. Επαναλαμβάνοντας τον έλεγχο χ 2 για όλο το διάστημα των 391 ημερών πριν από το χρόνο Σ0, ενισχύεται η μηδενική υπόθεση για εκθετική κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων ανάμεσα σε διαδοχικούς σεισμούς (πίνακας Ι). το σχήμα 3.6 έγινε προσομοίωση της διαδικασίας Poisson, για τις τιμές του λ που υπολογίζονται για τα χρονικά διαστήματα των 251 και 391 ημερών πριν από το 56

59 χρόνο Σ0 (36 και 57 σεισμοί αντίστοιχα σε κάθε διάστημα). Η προσομοίωση αυτή έγινε σε περιβάλλον Matlab, ορίζοντας στον αλγόριθμο ως τιμές του λ αυτές που αναφέρονται στον πίνακα Ι. Σο χρονικό διάστημα στο οποίο προσομοιώνεται η διαδικασία, εκτείνεται από μια στιγμή πριν τον κύριο σεισμό έως και τις πρώτες μέρες μετά, δείχνοντας έτσι ποια θα ήταν η αναμενόμενη διαδικασία αν δεν είχε γίνει ο κύριος σεισμός στο χρόνο Σ0 και η γένεση των σεισμών συνεχιζόταν ως ομογενής διαδικασία Poisson. Είναι φανερή η μεγάλη διαφορά μεταξύ της προσομοιωμένης και της παρατηρούμενης διαδικασίας (πράσινη καμπύλη και μπλε καμπύλη στα σχήματα 3.6) για το επίμαχο διάστημα αμέσως μετά το χρόνο Σ0. το σχήμα 3.7 φαίνονται οι συναρτήσεις πιθανότητας για τις τρεις τιμές του λ που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι τρεις καμπύλες είναι πολύ κοντά και αλληλεπικαλύπτονται στο μεγαλύτερο τμήμα τους, αφού και οι τιμές των ρυθμών σεισμικότητας, λ, που υπολογίστηκαν νωρίτερα δεν διαφέρουν σημαντικά. α) β) Σχήμα 3.6: Προσομοίωση ομογενούς διαδικασίας Poisson με σταθερό ρυθμό σεισμικότητας α) λ1= όπως προκύπτει από τα δεδομένα των τελευταίων 251 ημερών πριν από τον πρώτο ισχυρό σεισμό και β) λ= όπως προκύπτει από τα δεδομένα των τελευταίων 391 ημερών, για χρονικό διάστημα μέχρι και τις 31 πρώτες μέρες μετά το χρόνο Τ0. Στα σχήματα φαίνονται και τα πραγματικά δεδομένα (μπλε καμπύλες). 57

60 Σχήμα 3.7: Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τις τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, που υπολογίζονται για τα τρία χρονικά διαστήματα α) (-251,Τ0), β) (-391,-251), γ) (-391, Τ0). Η μελέτη συνεχίζεται για το χρονικό διάστημα μετά το χρόνο Σ0. Μια ομογενής διαδικασία Poisson σταθερού ρυθμού σεισμικότητας, λ, δε θα μπορούσε να προσαρμοστεί σε αυτά τα δεδομένα και να περιγράψει την πραγματική διαδικασία γένεσης των μετασεισμών, καθώς ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, αλλάζει συνεχώς σε σχέση με το χρόνο. Για το λόγο αυτό γίνεται διαφορετική προσέγγιση της διαδικασίας. Ομαδοποιούνται τα δεδομένα και γίνεται ο στατιστικός έλεγχος χ 2 προκειμένου να εντοπιστούν πιθανά επιμέρους χρονικά διαστήματα (διαδοχικά) όπου οι διαδικασίες γένεσης των σεισμών είναι (διαφορετικές μεταξύ τους) ομογενείς διαδικασίες Poisson. 58

61 3.2.4 Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)=e a+bt ε χρονικό διάστημα 31 ημερών μετά το χρόνο Σ0 το πλήθος των σεισμών με μέγεθος μεγαλύτερο από το μέγεθος πληρότητας (Μc=3.5) είναι 481 και η ημερήσια κατανομή των δεδομένων παρουσιάζεται στο σχήμα 3.8. Μια ομογενής διαδικασία Poisson είναι φανερό ότι δεν θα μπορούσε να προσαρμοστεί στα δεδομένα των μετασεισμών, καθώς η διαδικασία χαρακτηρίζεται από έντονες μεταβολές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, ως προς το χρόνο. Για το λόγο αυτό επιλέγεται να χωριστούν τα δεδομένα σε όσο το δυνατόν μικρές ομάδες στις οποίες θα γίνει στατιστικός έλεγχος χ 2 ως προς τη μηδενική υπόθεση για την εκθετική κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων σε κάθε ένα από αυτά. Με αυτό τον τρόπο η διαδικασία γένεσης των μετασεισμών θα αντικατασταθεί από επιμέρους διαδοχικές ομογενείς διαδικασίες Poisson που η κάθε μία θα χαρακτηρίζεται από διαφορετική τιμή του ρυθμού σεισμικότητας, λ. Σο κριτήριο με το οποίο γίνεται ο διαχωρισμός των επιμέρους αυτών διαδικασιών σχετίζεται με το ελάχιστο πλήθος των δεδομένων που μπορεί κάθε φορά να ανταποκριθεί στη διαδικασία του στατιστικού ελέγχου, λαμβάνοντας υπόψη όλους τους περιορισμούς για τους βαθμούς ελευθερίας, το επίπεδο σημαντικότητας και την κρίσιμη τιμή χ 2. Εξάλλου, η επιλογή σταθερής χρονικής διάρκειας των επιμέρους διαδοχικών διαδικασιών μπορεί να οδηγήσει σε ανομοιογένεια των δεδομένων στο εσωτερικό κάθε επιμέρους διαδικασίας ή ακόμη και σε μη επαλήθευση της μηδενικής υπόθεσης μέσω του στατιστικού ελέγχου χ 2. Κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας μετά το χρόνο Σ0 το πλήθος των σεισμών είναι αρκετά μεγάλο ώστε να χωριστεί το πρώτο 24ωρο σε τέσσερα επιμέρους διαδοχικά χρονικά διαστήματα στα οποία θα γίνει στατιστικός έλεγχος χ 2. τη συνέχεια της διαδικασίας ο ρυθμός γένεσης των σεισμών μειώνεται σημαντικά κι έτσι το μήκος καθενός από τα επιμέρους χρονικά διαστήματα που ελέγχονται αυξάνεται σταδιακά. Κατά τη διάρκεια του 9 ου 24ώρου μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας (δηλαδή μετά το χρόνο Σ0) γίνεται και ο 3 ος ισχυρός σεισμός της ακολουθίας. Έτσι ο χωρισμός των ομογενών τμημάτων πρέπει να προσαρμοστεί διαφορετικά, καθώς σημειώνονται πολλοί μετασεισμοί κατά τη διάρκεια αυτής της ημέρας και αυξάνεται ο ρυθμός εμφάνισης των δεδομένων. Έτσι το 9 ο 24ωρο χωρίζεται σε 3 μικρότερα τμήματα. Παρατηρείται ότι το χρονικό διάστημα ανάμεσα 59

62 στους 2 πρώτους σεισμούς του 9 ου 24ώρου είναι μεγάλο σε σχέση με τα υπόλοιπα, κι επομένως επιλέγεται να υπολογιστεί στο προηγούμενο τμήμα (με τους σεισμούς του 7 ου και του 8 ου 24ώρου), καθώς συμβαδίζουν και οι τάξεις μεγέθους. Επομένως ενώ στην ένατη μέρα μετά τον κύριο σεισμό (Σ0) καταγράφονται 98 σεισμοί, ο έλεγχος γίνεται για τους 97. Σχήμα 3.8: Ημερήσια κατανομή των σεισμών στην περιοχή του Κορινθιακού για το χρονικό διάστημα από έως Η χρονική διάρκεια του διαστήματος που χαρακτηρίζεται από μεγάλες τιμές δεδομένων, είναι πολύ μικρή, και δε φαίνεται να μπορεί να χωριστεί ο συνολικός κατάλογος σε τμήματα ίσου μήκους (χρονικά). Φαίνεται έτσι προτιμότερο να μη ληφθεί σταθερό χρονικό διάστημα για τον έλεγχο χ 2. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις για το πώς διαχωρίζονται τα δεδομένα των πρώτων 31 ημερών μετά το χρόνο που ορίστηκε ως Σ0, γίνεται ο στατιστικός έλεγχος χ 2 και τα αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα ΙΙ. το σχήμα 3.9 που ακολουθεί, καταγράφονται όλες οι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, όπως υπολογίστηκαν από τα δεδομένα, σε συνάρτηση με το χρόνο από το χρόνο Σ0. 60

63 Όπως φαίνεται από τα δεδομένα του πίνακα ΙΙ και το σχήμα 3.9, οι πρώτες 31 ημέρες μετά τον κύριο σεισμό χωρίστηκαν σε 16 ομογενή τμήματα, τα οποία ακολουθούν (το κάθε ένα χωριστά) κατανομή Poisson, όπως προέκυψε από την επαλήθευση της μηδενικής υπόθεσης με τη βοήθεια του στατιστικού ελέγχου χ 2. το σχήμα διακρίνεται η εκθετική μείωση του ρυθμού της διαδικασίας σε σχέση με το χρόνο. Λίγο πριν το 9 ο 24ωρο ο ρυθμός σεισμικότητας παρουσιάζει μια μικρή αύξηση, παρά τη φθίνουσα πορεία που δείχνει να ακολουθεί γενικότερα. Για το λόγο αυτό γίνεται ένας πιο προσεχτικός έλεγχος στα δύο τελευταία τμήματα των δεδομένων ακριβώς πριν τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Σο σύνολο των δεδομένων σε αυτή την περίπτωση είναι 53 σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου από 3.5 (που είναι το μέγεθος πληρότητας) που καταγράφονται στη δεδομένη περιοχή. Σα δεδομένα χωρίζονται σε 3 επιμέρους τμήματα στα οποία γίνεται στατιστικός έλεγχος χ 2 για το αν τα χρονικά μεσοδιαστήματα (ανάμεσα στους διαδοχικούς σεισμούς) ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Σα αποτελέσματα του ελέγχου φαίνονται στον πίνακα ΙΙΙ, μαζί με τις τιμές των παραμέτρων μ και λ της εκθετικής κατανομής των μεσοδιαστημάτων και της αντίστοιχης κατανομής Poisson για κάθε επιμέρους ομογενή διαδικασία Poisson. το σχήμα 3.10 καταγράφονται οι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, σε συνάρτηση με το χρόνο από το χρόνο Σ0. Φωρίζοντας τα δεδομένα με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω, έγιναν παρατηρήσεις σχετικά με τη χρονική μεταβολή του ρυθμού γένεσης των σεισμών για τη χρονική περίοδο που μελετάται και διαπιστώθηκε κάποια ανωμαλία στο χρονικό διάστημα που προηγείται του τρίτου ισχυρού σεισμού. Δημιουργείται όμως το ερώτημα για το τι συμβαίνει με τη χωρική κατανομή των σεισμών στα διαδοχικά χρονικά διαστήματα στα οποία χωρίστηκαν τα δεδομένα. Για το λόγο αυτό στα σχήματα 3.11 ως 3.14 παρουσιάζονται χάρτες της περιοχής με τα επίκεντρα των σεισμών σε κάθε ένα από τα παραπάνω 16 χρονικά διαστήματα. Αυτό που παρατηρείται είναι ότι ενώ κατά τα πρώτα χρονικά διαστήματα τα επίκεντρα των σεισμών κατανέμονται γύρω από τα σημεία όπου έγιναν οι δύο πρώτοι ισχυροί σεισμοί της ακολουθίας, ήδη από το τέλος του πρώτου 24ώρου φαίνεται να υπάρχει μια μετατόπιση των επικέντρων προς το σημείο όπου έγινε ο τρίτος ισχυρός σεισμός. Η μετατόπιση αυτή προς τα βορειοανατολικά συνεχίζεται και μετά το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού. 61

64 Πίνακας ΙΙ: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. Η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με χρονικό διάστημα παρατηρήσεις στατιστικό Χ 2 μ λ (0, 0.14) (0.14, 0.3) (0.3, 0.61) (0.61, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 6) (6, 8.045) (8.045, 8.128) (8.128, 8.34) (8.34, 9) (9, 11) (11, 14) (14, 17) (17, 22) (22, 31)

65 Σχήμα 3.9: Οι τιμές του ρυθμού γένεσης, λ, για το χρονικό διάστημα των 31 πρώτων ημερών μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό (Τ0=0). Στην ένατη μέρα έγινε ο 3 ος ισχυρός σεισμός της ακολουθίας, κι έτσι εμφανίζεται απότομη άνοδος του λ. Σε κόκκινο περίγραμμα είναι η περιοχή των δεδομένων στην οποία παρατηρείται μια μικρή αύξηση του ρυθμού σεισμικότητας ακριβώς πριν τη γένεση του τρίτου ισχυρού σεισμού της ακολουθίας. Πίνακας ΙΙΙ: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα του διαστήματος που φαίνεται σε κόκκινο πλαίσιο στο σχ. 3.9, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. Η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με χρονικό διάστημα παρατηρήσεις στατιστικό Χ 2 μ λ (3, 4.55) (4.55, 6.6) (6.6, 8.045)

66 Σχήμα 3.10: Η μεταβολή του ρυθμού σεισμικότητας, λ, στο επιμέρους τμήμα που σημειώνεται στο σχήμα 3.9, στο οποίο παρουσιάζεται αύξηση του ρυθμού σεισμικότητας λίγο πριν τον τρίτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας. Προκειμένου να γίνει προσέγγιση της παραπάνω διαδικασίας με μια μη ομογενή διαδικασία Poisson, επιλέγεται αρχικά να γίνει προσαρμογή κάποιας θεωρητικής καμπύλης στα δεδομένα με τη χρήση γνωστών εξισώσεων του προγράμματος Η/Τ Origin. Για να εφαρμοστούν οι εξισώσεις αυτές και να εκτιμηθούν οι παράμετροί τους με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, πρέπει η διαδικασία γένεσης των σεισμών που μελετήθηκε παραπάνω και αφορά το διάστημα μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό, να χωριστεί σε 2 τμήματα, το ένα για τις πρώτες 8 ημέρες, και το άλλο για το υπόλοιπο χρονικό διάστημα, ώστε να αποφευχθούν οι δύο κορυφές που παρουσιάζει η κατανομή και που δεν μπορούν να περιγραφούν με κάποια από τις εξισώσεις. Λόγω της παρατηρούμενης μείωσης του ρυθμού σεισμικότητας, λ, σε συνάρτηση με το χρόνο, η μορφή της εξίσωσης που επιλέγεται είναι η e a+bt, η οποία για αρνητικές τιμές της παραμέτρου b είναι φθίνουσα ως προς το χρόνο, t. Για τον προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων a και b τα ζεύγη τιμών που λαμβάνονται υπόψη στη διαδικασία προσαρμογής της θεωρητικής καμπύλης ορίζονται ως τα σημεία που έχουν τετμημένη το κέντρο κάθε χρονικού διαστήματος που χαρακτηρίστηκε παραπάνω ως ομογενές, και τεταγμένη την τιμή του λ σε αυτό το χρονικό διάστημα (σχήμα 3.15). 64

67 α) β) γ) δ) Σχήμα 3.11: Χωρική κατανομή των σεισμών στην περιοχή του Κορινθιακού κόλπου για τις χρονικές περιόδους (σε μέρες) α) (Τ0, 0.14), β) (0.14, 0.3), γ) (0.3, 0.61), δ) (0.61, 1). Με κόκκινα αστέρια φαίνονται τα επίκεντρα τριών ισχυρών σεισμών και με πράσινους κύκλους τα επίκεντρα των σεισμών που σημειώνονται σε κάθε μια από τις χρονικές περιόδους. 65

68 α) β) γ) δ) Σχήμα 3.12: Το ίδιο με το σχ για τις χρονικές περιόδους (σε μέρες) α) (1, 2), β) (2, 3), γ) (3, 6), δ) (6, 8.045). 66

69 α) β) γ) δ) Σχήμα 3.13: Το ίδιο με το σχ για τις χρονικές περιόδους (σε μέρες) α) (8.045, 8.128), β) (8.128, 8.34), γ) (8.34, 9), δ) (9, 11). α) β) 67

70 γ) δ) Σχήμα 3.14 Το ίδιο με το σχ για τις χρονικές περιόδους (σε μέρες) α) (11, 14), β) (14, 17), γ) (17, 22), δ) (22, 31). 68

71 α) β) Σχήμα 3.15: Οι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, σε συνάρτηση με το χρόνο (μπλε γραμμή) α) για τις πρώτες 8 μέρες μετά το χρόνο Τ0, β) για τις πρώτες 24 μέρες μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας. Εντοπίζονται τα σημεία που έχουν ως τετμημένη το κέντρο κάθε χρονικού διαστήματος που χαρακτηρίστηκε ως ομογενές, και τεταγμένη την τιμή του λ σε αυτό το χρονικό διάστημα. Στην τεθλασμένη (κόκκινη) γραμμή που ενώνει αυτά τα ζεύγη τιμών θα γίνει η προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης. Ξεκινώντας από τις πρώτες τιμές του λ, δηλαδή για τα δεδομένα των 8 πρώτων ημερών, πρέπει να ελεγχθούν τα δεδομένα που θα ληφθούν υπόψη για την εκτίμηση των παραμέτρων, δεδομένου ότι αυτή τη στιγμή για μια ακολουθία που έχει ήδη γίνει υπάρχουν καταγεγραμμένοι όλοι οι σεισμοί της σχετικής περιοχής. Αν όμως γίνει προσπάθεια να εφαρμοστεί η μέθοδος σε μια ακολουθία η οποία τώρα εξελίσσεται, δημιουργείται το ερώτημα πόσα δεδομένα πρέπει να υπάρχουν για να θεωρηθούν αρκετά ώστε να εφαρμοστεί το μοντέλο και να γίνει εκτίμηση των παραμέτρων του. Για το λόγο αυτό έγινε προσαρμογή της εκθετικής συνάρτησης και εκτίμηση των παραμέτρων της σε διάφορα στάδια, με το πλήθος των ζευγών τιμών που λήφθηκαν υπόψη να είναι τουλάχιστον τέσσερα προκειμένου να εφαρμοστεί η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων και να υπολογιστούν και τα σφάλματα κάθε τιμής παραμέτρου. Αυτό που προκύπτει από τα διαγράμματα και τους πίνακες που ακολουθούν (σχήμα 3.16 και πίνακας IV), είναι ότι οι τιμές των παραμέτρων a και b 69

72 δεν αλλάζουν σημαντικά όσες τιμές και αν ληφθούν υπόψη. Παρόμοια είναι τα συμπεράσματα από την εφαρμογή της ίδιας διαδικασίας στα δεδομένα του διαστήματος μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. α) β) γ) δ) Σχήμα 3.16: Η τιμή του ρυθμού σεισμικότητας, λ, στο κέντρο κάθε χρονικού διαστήματος (τετράγωνα). Προσαρμογή στα δεδομένα (τεθλασμένη γραμμή) της καμπύλης της εκθετικής συνάρτησης e a+bt (συνεχής κόκκινη γραμμή), θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα α) της πρώτης ημέρας, β) των πρώτων 2 ημερών, γ) των πρώτων 6 ημερών και δ) των πρώτων 8 ημερών μετά τον κύριο σεισμό. 70

73 Πίνακας IV: Οι τιμές των παραμέτρων a και b της προσαρμοζόμενης στα δεδομένα εκθετικής συνάρτησηςe a+bt. χρονικό διάστημα a b (Σ0, 1) ± ± (Σ0, 2) ± ± (Σ0, 6) ± ± (Σ0, 8) ± ± Θεωρώντας γνωστή τη διαδικασία για τις πρώτες έξι μέρες μετά το χρόνο Σ0, πριν δηλαδή παρατηρηθεί η μικρή αύξηση του ρυθμού σεισμικότητας, λ, γίνεται εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης, η οποία παρουσιάζεται στο σχήμα 3.17 για τρία διαφορετικά χρονικά διαστήματα στα οποία γίνονται εκτιμήσεις της πιθανότητας εμφάνισης σεισμών πάνω από κάποιο συγκεκριμένο πλήθος. Έτσι υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών για την πρώτη μέρα να είναι μεγαλύτερο από 120, και προκύπτει ίση με Για περισσότερους από 125 σεισμούς στο ίδιο χρονικό διάστημα η πιθανότητα υπολογίζεται ίση με και τα πειραματικά δεδομένα είναι 126.Για τη δεύτερη μέρα η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο του 30 υπολογίζεται ίση με και το πλήθος των σεισμών που παρατηρείται είναι ίσο με 33. Για το τρίτο εικοσιτετράωρο μετά το χρόνο Σ0 η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι πάνω από 15 είναι ενώ το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι 20. Από αυτό το σημείο και μετά η εκθετική συνάρτηση e a+bt δεν προσαρμόζεται καλά στα δεδομένα κι επομένως αυτή η μορφή που έχει επιλεχθεί για το ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), δεν μπορεί να περιγράψει τη διαδικασία από την τρίτη μέρα και μετά. Με ανάλογο τρόπο γίνεται η προσαρμογή της εκθετικής συνάρτησης e a+bt για το χρονικό διάστημα μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας, δίνοντας στο χρόνο t τιμές των χρονικών διαστημάτων με αφετηρία το χρόνο Σ0 και στο ρυθμό σεισμικότητας, λ, τις τιμές που υπολογίστηκαν από τις διαδοχικές ομογενείς 71

74 διαδικασίες Poisson όπως φαίνονται στον παραπάνω πίνακα ΙΙΙ. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων α) β) γ) Σχήμα 3.17: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των πρώτων έξι ημερών μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 1), β) (1, 2), γ) (2, 3). γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων a και b της συνάρτησης e a+bt και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα V. ε όλες τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν, αλλάζοντας κάθε φορά το πλήθος των δεδομένων που λαμβάνονται 72

75 υπόψη για την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, οι τιμές που εκτιμήθηκαν για τις παραμέτρους a και b είναι σχεδόν ίδιες. Και σε αυτή την περίπτωση οι πρώτες μεγάλες τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, έτσι όπως υπολογίστηκαν για τις πρώτες ομογενείς διαδικασίες Poisson, επηρεάζουν συνολικά την προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης. Ανάλογο συμπέρασμα προκύπτει και από τη μορφή των θεωρητικών καμπυλών σε σύγκριση με τα πραγματικά δεδομένα, όπως παρουσιάζονται στο σχήμα Πίνακας V: Οι τιμές των παραμέτρων a και b της προσαρμοζόμενης στα δεδομένα εκθετικής συνάρτησης e a+bt. χρονικό διάστημα a b (8, 11) ± ± (8, 14) ± ± (8, 17) ± ± (8, 22) ± ± (8, 31) ± ± ύμφωνα με τα παραπάνω γίνεται εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης για κάποια χρονικά διαστήματα, θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα για τη χρονική περίοδο των πρώτων έξι ημερών μετά το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού, και λαμβάνοντας τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων a και b από τον πίνακα V (σχήμα 3.19). Τπολογίζεται έτσι η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών κατά τη διάρκεια της ένατης μέρας μετά το χρόνο Σ0 μεγαλύτερο του 95 και βρέθηκε ίση με Σο πραγματικό πλήθος των δεδομένων στο ίδιο χρονικό διάστημα είναι ίσο με

76 α) β) γ) δ) ε) Σχήμα 3.18: Προσαρμογή της εκθετικής συνάρτησης e a+bt, θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα α) 9-11, β) 9-14, γ) 9-17, δ) 9-22 και ε) 9-31 μετά τον τρίτο σεισμό. 74

77 Κατά τη διάρκεια του δέκατου εικοσιτετραώρου από το χρόνο Σ0 το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με 16, ενώ η πιθανότητα που υπολογίζεται για να είναι το εκτιμώμενο πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο του 5 είναι ίση με Και σε αυτή την περίπτωση η επιλεγμένη μορφή του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), δεν μπορεί να περιγράψει ικανοποιητικά την πραγματική διαδικασία για το χρονικό διάστημα από τη δέκατη μέρα της ακολουθίας και μετά, καθώς το αναμενόμενο πλήθος των σεισμών (σύμφωνα με το μοντέλο) είναι πολύ μικρότερο από το πραγματικό. α) β) Σχήμα 3.19: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των πρώτων έξι ημερών μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (8, 9), β) (9, 10) Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)=α -b bt b-1 Η επόμενη περίπτωση που μελετάται είναι μια διαφορετική μορφή του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), ως προς τον τρόπο που αυτός μεταβάλλεται με το χρόνο, θέτοντας ως Σ0=0 το χρόνο γένεσης του πρώτου ισχυρού σεισμού. Η συνάρτηση που επιλέγεται για το ρυθμό σεισμικότητας είναι η λ(t)=α b bt b 1, με την αθροιστική συνάρτηση, Λ(t), 75

78 να είναι της μορφής Λ(t)=a b t b. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (βλ ) η (37) αποτελεί μια συνάρτηση μορφής Weibull η οποία περιγράφει τη μη ομογενή διαδικασία Poisson και αναφέρεται στη βιβλιογραφία και ως διαδικασία Weibull, χωρίς όμως να συγχέεται με την κατανομή Weibull. Η εκτίμηση των δύο παραμέτρων a και b γίνεται σε δύο στάδια, καταρχήν για τις πρώτες οχτώ μέρες μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας και στη συνέχεια για το διάστημα των 23 ημερών μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Σα δεδομένα που χρησιμοποιούνται είναι οι χρόνοι γένεσης των σεισμών κατά τις δύο αυτές χρονικές περιόδους. Η εκτίμηση των δύο παραμέτρων a και b γίνεται με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, σύμφωνα με την οποία οι σχέσεις που δίνουν τις εκτιμώμενες τιμές των a και b είναι οι (38) που αναφέρθηκαν και παραπάνω. Προκειμένου να γίνουν οι εκτιμήσεις χρειάζεται να ληφθεί υπόψη ο χρόνος γένεσης ti κάθε σεισμού που γίνεται μέσα στο χρονικό διάστημα που μελετάται (θεωρώντας ως χρόνο t=0 τη χρονική αφετηρία κάθε περιόδου που μελετάται), καθώς και το πλήθος των σεισμών μέσα στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Έγιναν δοκιμές για αρκετά χρονικά διαστήματα και τα αποτελέσματα των εκτιμήσεων για τις τιμές των δύο παραμέτρων φαίνονται στον πίνακα VΙ. Για κάθε ένα από τα πέντε ζεύγη παραμέτρων που παρουσιάζονται υπολογίζεται η αθροιστική συνάρτηση Λ(t), η οποία δείχνει το εκτιμώμενο πλήθος των σεισμών για κάθε χρονικό διάστημα (t1, t2). το σχήμα 3.20 χαρτογραφούνται τα αποτελέσματα των πέντε συναρτήσεων Λ(t) σε σχέση με το χρόνο, αναπαριστώντας έτσι το εκτιμώμενο αθροιστικό πλήθος των σεισμών για τη χρονική περίοδο (Σ0, 8), σε σύγκριση και με το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων στην αντίστοιχη περίοδο. Αυτό που προκύπτει είναι ότι η διαδικασία προσεγγίζεται από το μοντέλο αρκετά καλά για μικρούς χρόνους t, για λίγες δηλαδή μέρες μετά το χρόνο Σ0. ε μεγαλύτερους χρόνους όμως γίνεται «υπερεκτίμηση» της διαδικασίας, καθώς ο πραγματικός ρυθμός γένεσης των σεισμών μειώνεται σημαντικά. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που λαμβάνονται υπόψη τα δεδομένα των πρώτων έξι ημερών μετά το χρόνο Σ0, η προσέγγιση του φαινομένου με τη θεωρητική καμπύλη της διαδικασίας Weibull οδηγεί σε υποεκτίμηση της διαδικασίας γένεσης των σεισμών κατά τις πρώτες μέρες, προσαρμόζεται όμως καλά στα δεδομένα μέχρι και το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού. Αξίζει να σημειωθεί ότι η θεωρητική καμπύλη που προκύπτει από τα δεδομένα των πρώτων τριών ημερών μπορεί να προσαρμοστεί πολύ καλά στα δεδομένα των πρώτων 76

79 τεσσάρων ημερών μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας. Κάτι τέτοιο μπορεί να ερμηνευτεί ότι υποδεικνύει πως η χρονική εξάρτηση του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), παρουσιάζει ομοιότητες ανάμεσα σε διαφορετικούς ισχυρούς σεισμούς. Αντίστοιχα με τον τρόπο που έγιναν εκτιμήσεις πιθανότητας για διάφορα σύνολα δεδομένων στην προηγούμενη παράγραφο, εκτιμώνται και εδώ οι συναρτήσεις επιβίωσης για διάφορες περιπτώσεις και παρουσιάζονται στα σχήματα 3.21 ως Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα της πρώτης μέρας μετά το χρόνο Σ0, υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών σε αυτό το χρονικό διάστημα να είναι μεγαλύτερο από 120 και προκύπτει ίση με , ενώ για μεγαλύτερο από 125 η πιθανότητα είναι ίση με Σο πραγματικό πλήθος των δεδομένων στο πρώτο εικοσιτετράωρο είναι 126. το δεύτερο εικοσιτετράωρο το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 33 και η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο του 30 προκύπτει ίση με 1. Όπως φαίνεται και από το αντίστοιχο διάγραμμα της συνάρτησης επιβίωσης (σχήμα 3.21) γίνεται «υπερεκτίμηση» της πραγματικής διαδικασίας γένεσης των σεισμών και η θεωρητική καμπύλη δεν προσαρμόζεται καλά στα δεδομένα. Πίνακας VΙ: Οι παράμετροι a και b του ρυθμού σεισμικότητας λ(t)=a b bt b 1, όπως αυτές εκτιμήθηκαν με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. χρονικό διάστημα (ημέρες) εκτιμώμενο a εκτιμώμενο b 1 η η -2 η * η -3 η * η -6 η * η -8 η *

80 Σχήμα 3.20: Το θεωρητικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών για το διάστημα (Τ0, 31), θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα των διαστημάτων (T0, 1), (T0, 2), (T0, 3), (T0, 6) και (T0, 8) στις καμπύλες Fit1, Fit2, Fit3, Fit4, Fit5 αντίστοιχα. Με μπλε γραμμή φαίνεται το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων. Θεωρώντας τη διαδικασία γνωστή μέχρι και τη δεύτερη μέρα μετά το χρόνο Σ0, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών σε αυτό το χρονικό διάστημα να είναι μεγαλύτερο από 155 υπολογίζεται ίση με , ενώ το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι 159. Εκτιμώντας το πλήθος των σεισμών στο χρονικό διάστημα έξω από τα όρια στα οποία έγινε η προσαρμογή του θεωρητικού μοντέλου (extrapolation), υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών κατά την τρίτη μέρα μετά το χρόνο Σ0 να είναι μεγαλύτερο από 20 και προκύπτει ίση με Σο πραγματικό πλήθος των σεισμών είναι 20 κι επομένως το μοντέλο δεν μπορεί να προσαρμοστεί καλά στα δεδομένα (όπως φαίνεται και από το αντίστοιχο διάγραμμα της συνάρτησης επιβίωσης στο σχήμα 3.22). 78

81 α) β) Σχήμα 3.21: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα της πρώτης μέρας μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 1), β) (1, 2). α) β) Σχήμα 3.22: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των δύο πρώτων ημερών μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 2), β) (2, 3). 79

82 Με όμοιο τρόπο γίνεται η εκτίμηση της διαδικασίας θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα έως και την τρίτη μέρα μετά το χρόνο Σ0 (συναρτήσεις επιβίωσης στο σχήμα 3.23). Σο πραγματικό πλήθος των δεδομένων σε αυτό το χρονικό διάστημα είναι 179. Η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 175 εκτιμάται ότι είναι ίση με Κάνοντας υπολογισμούς στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί, εκτιμάται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών για το χρονικό διάστημα της τέταρτης και πέμπτης μέρας να είναι μεγαλύτερο από 23 και προκύπτει ίση με 1 (το πλήθος των πραγματικών δεδομένων είναι 23 σε αυτό το χρονικό διάστημα), κι έτσι η εκτίμηση μέσω του θεωρητικού μοντέλου δεν μπορεί να δώσει κάποιες χρήσιμες πληροφορίες, καθώς θα πρέπει να αναμένονται πολύ περισσότεροι σεισμοί από αυτούς που τελικά παρατηρούνται. α) β) Σχήμα 3.23: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των τριών πρώτων ημερών μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 3), β) (4, 5). 80

83 Η τελευταία δοκιμή που παρουσιάζεται γίνεται με εκτίμηση των παραμέτρων της διαδικασίας Weibull από τα δεδομένα των πρώτων έξι ημερών μετά το χρόνο γένεσης του κύριου σεισμού και στο σχήμα 3.24 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες συναρτήσεις επιβίωσης. ε αυτό το χρονικό διάστημα, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 205 υπολογίζεται ίση με και το πραγματικό πλήθος είναι 207. Για την έβδομη μέρα μετά το χρόνο Σ0, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 12 εκτιμάται ίση με με αντίστοιχο πλήθος πραγματικών δεδομένων ίσο με 13. Σέλος, για το χρονικό διάστημα του όγδοου εικοσιτετραώρου, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 12 υπολογίζεται ίση με και το πραγματικό πλήθος είναι ίσο με 12. Έτσι η εκτίμηση δίνει αρκετά μεγάλη πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από αυτό που τελικά παρατηρείται. Επόμενο βήμα είναι η μελέτη της διαδικασίας γένεσης των σεισμών στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί τον τρίτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας. Τπολογίζονται επομένως οι χρόνοι ti των σεισμών σε αυτό το χρονικό διάστημα με χρονικό σημείο αναφοράς το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού. Τπολογίζονται έτσι, με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, οι τιμές των παραμέτρων a και b για διάφορα «πακέτα» δεδομένων και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα VII. Για κάθε ζεύγος τιμών των δύο παραμέτρων γίνεται εκτίμηση της αθροιστικής συνάρτησης Λ(t) δίνοντας στο χρόνο t τιμές που αντιστοιχούν σε χρονικά διαστήματα μέχρι και 23 μέρες μετά το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού της ακολουθίας, δηλαδή 31 ημέρες μετά το χρόνο Σ0. Έτσι εκτιμάται για κάθε χρόνο t το αθροιστικό πλήθος των σεισμών όπως αυτό προκύπτει από την εφαρμογή της θεωρητικής διαδικασίας Weibull. Σα αποτελέσματα χαρτογραφούνται στο σχήμα 3.25, όπου φαίνεται και η σύγκριση με το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων. υγκρίνοντας το σχήμα 3.25 με το αντίστοιχο που παρουσιάστηκε παραπάνω για το προηγούμενο τμήμα της διαδικασίας που μελετήθηκε (σχ. 20), γίνεται εμφανής η διαφορά στο πως οι καμπύλες του θεωρητικού μοντέλου προσεγγίζουν την πραγματική διαδικασία. το σχήμα 3.25 οι θεωρητικές καμπύλες φαίνεται να πλησιάζουν περισσότερο στα πραγματικά δεδομένα και να μπορούν να περιγράψουν μεγαλύτερο τμήμα της διαδικασίας. Μάλιστα, ενώ στο προηγούμενο τμήμα το γενικό συμπέρασμα ήταν ότι η διαδικασία γένεσης των σεισμών υποεκτιμάται από το θεωρητικό μοντέλο για μικρές 81

84 τιμές του χρόνου t και υπερεκτιμάται για μελλοντικά χρονικά διαστήματα, στη συγκεκριμένη περίπτωση φαίνεται ότι οι θεωρητικές καμπύλες βρίσκονται «κάτω» από τα πραγματικά δεδομένα ακόμα και για μεγάλες τιμές του χρόνου t. τη συνέχεια γίνεται εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης για κάθε περίπτωση που εξετάσθηκε και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα σχήματα 3.26 έως α) β) γ) Σχήμα 3.24: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των έξι πρώτων ημερών μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 6), β) (6, 7), γ) (7, 8). 82

85 Πίνακας VΙΙ: Οι παράμετροι a και b του ρυθμού σεισμικότητας λ(t)=a b bt b 1, όπως αυτές εκτιμήθηκαν με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. χρονικό διάστημα (ημέρες) εκτιμώμενο a εκτιμώμενο b 1 η * η -2 η * η -3 η * η -4 η * η -5 η * η -23 η * Σχήμα 3.25: Το θεωρητικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών για το διάστημα (9, 31), θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα των διαστημάτων (9, 10), (9, 11), (9, 12), (9, 14) και (9, 31) στις καμπύλες Fit1, Fit2, Fit3, Fit4, Fit5 αντίστοιχα. Με μπλε γραμμή φαίνεται το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων. 83

86 Θεωρώντας γνωστή τη διαδικασία της πρώτης μέρας μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας, λαμβάνονται οι τιμές των παραμέτρων a και b όπως παρουσιάζονται στον πίνακα VII και γίνεται εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης (σχήμα 3.26). ε αυτό το διάστημα το πλήθος των πραγματικών δεδομένων είναι ίσο με 97. Η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 95 υπολογίζεται ίση με Για το χρονικό διάστημα της δεύτερης μέρας, υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 30 και προκύπτει ίση με , ενώ το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι 16. Επομένως γίνεται «υπερεκτίμηση» της διαδικασίας γένεσης των σεισμών και το θεωρητικό μοντέλο δεν προσαρμόζεται καλά στα δεδομένα. α) β) Σχήμα 3.26: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα της πρώτης μέρας μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 1), β) (1, 2). Με τα δεδομένα των δύο πρώτων ημερών μετά το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού, εκτιμάται η συνάρτηση επιβίωσης και παρουσιάζεται στο σχήμα Για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να 84

87 είναι μεγαλύτερο από 110 βρέθηκε ίση με , και το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με 113. Προχωρώντας στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί, κάνοντας δηλαδή εκτίμηση της διαδικασίας έξω από τα όρια στα οποία εκτιμήθηκαν οι παράμετροι a και b, υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών κατά την τρίτη μέρα να είναι μεγαλύτερο από 17 και προκύπτει ίση με , ενώ για περισσότερους από 20 σεισμούς η πιθανότητα είναι ίση με Σο πραγματικό πλήθος των σεισμών σε αυτό το χρονικό διάστημα είναι ίσο με 18. Και πάλι το θεωρητικό μοντέλο οδηγεί σε «υπερεκτίμηση» της πραγματικής διαδικασίας. α) β) Σχήμα 3.27: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των δύο πρώτων ημερών μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 2), β) (2, 3). Με περισσότερα δεδομένα γίνεται προσαρμογή του θεωρητικού μοντέλου σε μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Με τις τιμές των παραμέτρων a και b που προκύπτουν από τα δεδομένα των τριών πρώτων ημερών εκτιμάται η συνάρτηση επιβίωσης (σχήμα 3.28). Για αυτό το χρονικό διάστημα η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 130 είναι ίση με και το πραγματικό πλήθος 85

88 των σεισμών είναι ίσο με 131. Για το εικοσιτετράωρο που ακολουθεί η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 8 είναι ίση με και το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι 9. Για αυτό το χρονικό διάστημα λοιπόν το θεωρητικό μοντέλο οδηγεί σε εκτίμηση μεγαλύτερου πλήθους σεισμών από αυτό που σημειώνεται στην πραγματικότητα. Δεν συμβαίνει το ίδιο στα μετέπειτα χρονικά διαστήματα, καθώς για το χρονικό διάστημα της έκτης μέρας το θεωρητικό μοντέλο προσεγγίζει αρκετά καλά την πραγματική διαδικασία. Σο πραγματικό πλήθος των δεδομένων κατά την έκτη μέρα είναι 12 και η πιθανότητα για περισσότερους από 11 σεισμούς είναι Αμέσως μετά, κατά την έβδομη μέρα, το πλήθος των σεισμών είναι ίσο με 13 και η πιθανότητα σύμφωνα με το θεωρητικό μοντέλο να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 12 είναι ίση με , που σημαίνει ότι υποεκτιμάται η πραγματική διαδικασία. Αυτή η παρατήρηση έρχεται σε αντίθεση με ότι σημειώθηκε σε ανάλογες περιπτώσεις παραπάνω και πιθανόν να μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι κατά την έκτη μέρα σημειώνονται δύο μετασεισμοί μεγέθους 4.9 κι έτσι μεταβάλλεται ο τρόπος με τον οποίο φθίνει ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, που χαρακτηρίζει τη διαδικασία σε συνάρτηση με το χρόνο, με αποτέλεσμα το πλήθος των σεισμών που εκτιμάται από το θεωρητικό μοντέλο να είναι πολύ κοντά αριθμητικά με το πραγματικό πλήθος των δεδομένων. Αντίστοιχα είναι τα συμπεράσματα από την εφαρμογή του θεωρητικού μοντέλου στα ίδια χρονικά διαστήματα, αλλά με τις τιμές των παραμέτρων a και b να εκτιμώνται από τα δεδομένα των πέντε πρώτων ημερών. Για αυτό το χρονικό διάστημα η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 145 προκύπτει ίση με και το πραγματικό πλήθος των σεισμών είναι 150. Κατά την έκτη μέρα, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, το πλήθος των σεισμών είναι ίσο με 12 και ανάμεσά τους υπάρχουν δύο σεισμοί αρκετά μεγαλύτερου μεγέθους σε σχέση με τους υπόλοιπους. Η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών, σύμφωνα με το θεωρητικό μοντέλο, να είναι μεγαλύτερο από 10 εκτιμάται ίση με Αυτό σημαίνει πως το θεωρητικό πλήθος των σεισμών είναι λίγο μικρότερο από το πραγματικό, λόγω των δύο σχετικά μεγάλων μετασεισμών κατά τη διάρκεια της έκτης μέρας. το σχήμα 3.29 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες συναρτήσεις επιβίωσης. 86

89 α) β) γ) δ) Σχήμα 3.28: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των τριών πρώτων ημερών μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 3), β) (3, 4), γ) (5, 6), δ) (6, 7). 87

90 α) β) Σχήμα 3.29: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των πέντε πρώτων ημερών μετά τον τρίτο ισχυρό σεισμό. Εκτιμάται η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από συγκεκριμένες τιμές, για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 5), β) (5, 6) Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης - AR(2) Προκειμένου να εφαρμοστεί το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης p (AR(p)), χρειάζεται να ορισθεί κατάλληλα η τυχαία μεταβλητή που θα περιγράψει τη διαδικασία γένεσης των σεισμών. Για το λόγο αυτό, χωρίζονται τα δεδομένα σε διαδοχικά χρονικά διαστήματα μήκους 2.4 ωρών και το πλήθος των σεισμών σε κάθε ένα από αυτά τα χρονικά διαστήματα αποτελεί μία τιμή της τυχαίας μεταβλητής, zt. Ο λόγος για τον οποίο τα δεδομένα χωρίζονται με αυτό τον τρόπο είναι για να υπάρχουν αρκετές τιμές της τυχαίας μεταβλητής ώστε να γίνουν οι υπολογισμοί που απαιτούνται για την εφαρμογή του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου, όπως αυτή περιγράφεται παρακάτω. Φρειάζονται τουλάχιστον δεδομένα για τον υπολογισμό κάθε μιας από τις παραμέτρους του μοντέλου. Αρχικά πρέπει να εκτιμηθούν οι συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης ώστε να εκτιμηθεί η τάξη p του μοντέλου. Γίνεται επομένως η υπόθεση ότι η τάξη του μοντέλου είναι k=3. Αν συμβολιστεί με φkj η j παράμετρος της AR(k) χρονικής σειράς, ο συντελεστής φkk είναι ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης τάξης k, έτσι όπως 88

91 υπολογίζεται από τα πραγματικά δεδομένα. Ο συντελεστής αυτός θεωρούμενος ως συντελεστής παλινδρόμησης της τελευταίας «μεταβλητής» που υπεισέρχεται στο μοντέλο AR(k) περιγράφει τη σημαντικότητα της τελευταίας μεταβλητής. Επομένως, αν ο συντελεστής φ33 είναι σημαντικά διάφορος του μηδενός, το μοντέλο τάξης k=3 είναι προτιμότερο από το μοντέλο τάξης k-1=2. ε αντίθετη περίπτωση η προτιμητέα τάξη του μοντέλου θα είναι 2 ή λιγότερο. Τπολογίζονται επίσης οι συντελεστές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, με τη βοήθεια των οποίων μπορούν να εκτιμηθούν οι άγνωστες παράμετροι του μοντέλου και να βγουν συμπεράσματα για τη στατικότητα της χρονοσειράς. το σχήμα 3.30 που ακολουθεί παρουσιάζονται δύο διαγράμματα, το ένα είναι ένα κορρελόγραμμα των είκοσι πρώτων συντελεστών της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και στο δεύτερο καταγράφονται οι μερικές αυτοσυσχετίσεις για k=3. Οι υπολογισμοί των συντελεστών έγιναν λαμβάνοντας τις πρώτες 55 τιμές της τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή θεωρώντας γνωστή τη διαδικασία για τις πρώτες 5.5 μέρες μετά το χρόνο Σ0. Αυτό που προκύπτει από το κορρελόγραμμα των μερικών αυτοσυσχετίσεων είναι ότι το προτιμότερο μοντέλο είναι δεύτερης τάξης, καθώς μόνο οι πρώτες δύο μερικές αυτοσυσχετίσεις έχουν αποδεκτές, μη μηδενικές, τιμές, με βάση τα όρια που έχουν υπολογιστεί. Η μορφή του κορρελογράμματος των αυτοσυσχετίσεων υποδηλώνει επίσης τη στατικότητα της χρονοσειράς, καθώς οι τιμές των αυτοσυσχετίσεων φθίνουν εκθετικά όσο μεγαλώνει η τάξη τους, κάτι που αποτελεί ένδειξη στατικότητας. τον πίνακα VI συνοψίζονται οι τιμές των συντελεστών της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και των μερικών αυτοσυσχετίσεων, καθώς και τα αριθμητικά όρια που προκύπτουν για τις τιμές αυτές και που φαίνονται με μπλε γραμμή στα σχήματα τη συνέχεια, με τις εξισώσεις Yule - Walker γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου, οπότε οι τιμές που προκύπτουν είναι οι φ1= και φ2= και το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο παίρνει τη μορφή z t = z t z t 2 (1) Οι δύο τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν ικανοποιούν τις συνθήκες φ1+φ2<1, φ2-φ1<1, -1<φ2<1, ενισχύοντας έτσι το συμπέρασμα για τη στατικότητα της χρονοσειράς. 89

92 Sample Autocorrelation Sample Partial Autocorrelations α) β) 1 Sample Autocorrelation Function (ACF) 1 Sample Partial Autocorrelation Function Lag Lag Σχήμα 3.30: Κορρελογράμματα α) των 15 πρώτων συντελεστών αυτοσυσχέτισης, β) των τριών πρώτων μερικών αυτοσυσχετίσεων. Οι εκτιμήσεις έγιναν χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των 5.5 πρώτων ημερών. Στα δύο γραφήματα φαίνονται επίσης (με μπλε γραμμή) τα όρια για τις τιμές των συντελεστών. Πίνακας VI: Οι συντελεστές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (ACF) και οι μερικές αυτοσυσχετίσεις (PACF), και τα αντίστοιχα όρια των τιμών (Bounds). ACF Bounds PACF Bounds Φρησιμοποιώντας τις τιμές των παραμέτρων που εκτιμήθηκαν παραπάνω, γίνεται εκτίμηση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής σύμφωνα με το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο σχήμα το ίδιο γράφημα 90

93 φαίνονται και τα δεδομένα της πραγματικής χρονοσειράς. Αυτό που προκύπτει από τη σύγκριση των θεωρητικών και πραγματικών τιμών είναι ότι το θεωρητικό μοντέλο οδηγεί σε συστηματική υπερεκτίμηση του πλήθους των σεισμών για κάθε ένα από τα χρονικά διαστήματα μήκους 2.4 ωρών. Σχήμα 3.31: Οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής zt όπως υπολογίζονται από το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης (πράσινη γραμμή), και τα δεδομένα της πραγματικής χρονοσειράς (μπλε γραμμή) για το χρονικό διάστημα που ακολουθεί τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας μέχρι και ένα 24ωρο μετά το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού. Λαμβάνοντας δεδομένα από το 8 ο έως και το 12 ο εικοσιτετράωρο μετά το χρόνο Σ0, υπολογίζονται και πάλι οι συντελεστές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και οι μερικές 91

94 αυτοσυσχετίσεις της χρονοσειράς των δεδομένων. Σα αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα VII, καθώς επίσης και στα κορρελογράμματα των σχημάτων 3.32, όπου με μπλε γραμμή οριοθετούνται οι τιμές των αυτοσυσχετίσεων (α) και των μερικών αυτοσυσχετίσεων (β). Με τις εξισώσεις Yule - Walker γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων και για αυτή την περίπτωση, οπότε οι τιμές που προκύπτουν είναι οι φ1= και φ2= και το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο παίρνει τη μορφή z t = z t z t 2 (2) Οι δύο τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν ικανοποιούν τις συνθήκες φ1+φ2<1, φ2-φ1<1, -1<φ2<1, ενισχύοντας έτσι το συμπέρασμα για τη στατικότητα της χρονοσειράς. Πίνακας VIΙ: Οι συντελεστές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (ACF) και οι μερικές αυτοσυσχετίσεις (PACF) καθώς επίσης τα όρια των τιμών τους (Bounds). ACF Bounds PACF Bounds το σχήμα 3.33 που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής όπως προκύπτουν από το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης που παρουσιάστηκε παραπάνω, καθώς και τα δεδομένα της πραγματικής χρονοσειράς. Και σε αυτή την περίπτωση οι τιμές που προκύπτουν από το θεωρητικό μοντέλο είναι μεγαλύτερες από το πλήθος των σεισμών της πραγματικής διαδικασίας. 92

95 Sample Autocorrelation Sample Partial Autocorrelations α) β) 1 Sample Autocorrelation Function (ACF) 1 Sample Partial Autocorrelation Function Lag Lag Σχήμα 3.32: Κορρελογράμματα α) των 15 πρώτων συντελεστών αυτοσυσχέτισης, β) των τριών πρώτων μερικών αυτοσυσχετίσεων. Οι εκτιμήσεις έγιναν χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των 5.5 πρώτων ημερών. Στα δύο γραφήματα φαίνονται επίσης (με μπλε γραμμή) τα όρια για τις τιμές των συντελεστών. Σχήμα 3.33: Το ίδιο με το σχήμα 3.31, για χρονικό διάστημα 23 ημερών μετά το χρόνο γένεσης του τρίτου ισχυρού σεισμού. 93

96 3.3 Σεισμική ακολουθία Σκύρου ( , Μ w =6.4) Εισαγωγή τις 26 Ιουλίου 2001 έγινε ένας ισχυρός σεισμός μεγέθους Μw=6.4 ανάμεσα στη κύρο και την Αλόννησο. Ο σεισμός αυτός συνδέεται με το αριστερόστροφο ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης το οποίο βρίσκεται βορειοδυτικά της κύρου (Karakostas et al., 2003). Πέντε μέρες πριν από τον κύριο σεισμό ξεκίνησε η προσεισμική δραστηριότητα, ενώ έντονη μετασεισμική δραστηριότητα ακολούθησε τόσο στο επίπεδο της κύριας διάρρηξης όσο και στην περιοχή γύρω από το ρήγμα, σημειώνοντας τέσσερις μετασεισμούς μεγέθους Μ 5.0. τα σχήματα 3.34 και 3.35 χαρτογραφούνται τα επίκεντρα των σεισμών της ακολουθίας που μελετήθηκε, το ρήγμα που εντοπίζεται στην περιοχή της κύρου βορειοδυτικά του νησιού και ο μηχανισμός γένεσης του κύριου σεισμού, με δεδομένα δύο χρονικών διαστημάτων, πριν και μετά τον κύριο σεισμό της ακολουθίας. Σχήμα 3.34: Χωρική κατανομή των σεισμών στην περιοχή της Σκύρου για χρονικό διάστημα 600 ημερών πριν τον κύριο σεισμό της ακολουθίας του Φαίνεται ακόμη το αριστερόστροφο ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης βορειοδυτικά του νησιού, καθώς επίσης και ο μηχανισμός γένεσης του κύριου σεισμού. 94

97 Σχήμα 3.35: Το ίδιο με το σχήμα 3.32 για χρονικό διάστημα 36 ημερών μετά τον κύριο της ακολουθίας του Δεδομένα παρατήρησης Ξεκινώντας, ορίζεται το υπό μελέτη σύνολο των δεδομένων να αφορά το διάστημα από τον Ιανουάριο του 1991 έως και το Δεκέμβριο του 2007 ( ως ). Κατά το χρονικό αυτό διάστημα καταμετρώνται 659 σεισμοί μεγέθους M 3.5, το οποίο αποτελεί το μέγεθος πληρότητας του καταλόγου με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα για την περιοχή της κύρου ( , ), όπως φαίνεται στο σχήμα Ως Σ0 (χρόνος γένεσης του κύριου σεισμού, μεγέθους Μ=6.4) ορίζεται στο συγκεκριμένο κατάλογο ο χρόνος , 00:21:39, στο σημείο με συντεταγμένες Αρχικά τα δεδομένα ομαδοποιούνται ελέγχοντας την κατανομή τους ως συνάρτηση του χρόνου. τo σχήμα 3.37 φαίνεται το πλήθος των σεισμών ανά έτος κατά τη διάρκεια του προαναφερθέντος χρονικού διαστήματος ενώ στο σχήμα 3.38 φαίνεται το αθροιστικό πλήθος των σεισμών στην ίδια χρονική κλίμακα. Προσαρμόζοντας ευθείες ελαχίστων τετραγώνων στα δύο τμήματα των δεδομένων, 95

98 πριν και μετά τον κύριο σεισμό ( ), φαίνεται η μεταβολή στην κλίση της ευθείας που προκύπτει με αυτή τη μέθοδο, κάτι που σημαίνει πως άλλαξε ο ετήσιος ρυθμός γένεσης των σεισμών μετά το σεισμό στο χρόνο Σ0, το Παρατηρείται πως στο χρονικό διάστημα πριν το χρόνο Σ0 η συσχέτιση των δεδομένων με τη θεωρητική ευθεία γίνεται σε πολύ καλό ποσοστό και τα σημεία του διαγράμματος δεν αποκλίνουν σημαντικά από την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων (R 2 =0.992). Βέβαια δε συμβαίνει το ίδιο στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί το χρόνο Σ0, όπου σημειώνεται μεταβολή στην κλίση της ευθείας που προσαρμόζεται στα δεδομένα κι επιπλέον τα σημεία του διαγράμματος αποκλίνουν από την ευθεία. Η σταθερή κλίση της ευθείας που περιγράφει τον ετήσιο ρυθμό γένεσης των σεισμών πριν το χρόνο Σ0 οδηγεί στη θεώρηση μιας ομογενούς διαδικασίας Poisson για αυτή τη χρονική περίοδο. Σχήμα 3.36: Πλήθος σεισμών σε συνάρτηση με το μέγεθος για τη χρονική περίοδο ως Το μέγεθος πληρότητας, Μc, βρέθηκε ίσο με

99 Σχήμα 3.37: Πλήθος των σεισμών ανά έτος, για την περιοχή της Σκύρου, από το 1991 έως το Σχήμα 3.38: Αθροιστικός αριθμός σεισμών ανά έτος και προσαρμογή ευθειών με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, στα διαστήματα πριν και μετά τον κύριο σεισμό. 97

100 3.3.3 Ομογενής διαδικασία Poisson Σο σύνολο των δεδομένων χωρίζεται σε δύο τμήματα, ένα πριν από το χρόνο Σ0 και ένα μετά. Ο πρώτος έλεγχος που γίνεται αφορά τα δεδομένα που προηγούνται του κύριου σεισμού και μελετάται η περίπτωση της ομογενούς διαδικασίας Poisson. Σα δεδομένα χωρίζονται σε ομάδες διαδοχικών επιμέρους τμημάτων και γίνεται στατιστικός έλεγχος για το αν η διαδικασία γένεσης των σεισμών σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα αποτελεί ομογενή διαδικασία Poisson. Ένα από τα πρώτα βήματα είναι ο υπολογισμός των τιμών των χρονικών μεσοδιαστημάτων (time intervals) για διαδοχικούς σεισμούς. Προκειμένου να θεωρηθεί η διαδικασία γένεσης των σεισμών ως μια (ομογενής) διαδικασία Poisson, γίνεται στατιστικός έλεγχος χ 2 (έλεγχος προσαρμογής) για το αν τα μήκη των χρονικών μεσοδιαστημάτων ακολουθούν εκθετική κατανομή, που αποτελεί τη μηδενική υπόθεση του προβλήματος (Η0). το χρονικό διάστημα από ως το χρόνο Σ0 που έγινε ο κύριος σεισμός, δηλαδή περίπου 3860 μέρες νωρίτερα, καταγράφονται 114 δεδομένα. Έγιναν δοκιμές για διαχωρισμό του διαστήματος πριν από το χρόνο Σ0 σε χρονικά διαστήματα διαφόρων μεγεθών όπου εμφανίζεται διαφορετική πυκνότητα σεισμών (διαδικασίες Poisson με διαφορετικά λ). Ξεκινώντας από το χρόνο Σ0 και πηγαίνοντας πίσω στο χρόνο, επιλέγονται διαδοχικά χρονικά διαστήματα διάρκειας 569, 879, 592 και 536 ημερών καθώς επίσης και δύο μεγαλύτερα ενιαία διαστήματα 600 και 1169 ημερών. Ο λόγος για τον οποίο επιλέγεται αυτός ο τρόπος ομαδοποίησης και ελέγχου των δεδομένων είναι για να διαπιστωθούν τυχόν μεταβολές στο ρυθμό γένεσης των σεισμών (ως συνάρτηση του χρόνου), οι οποίες θα βοηθήσουν στην εξαγωγή συμπερασμάτων για τη διαδικασία γένεσης των σεισμών πριν από τον κύριο σεισμό και κατά πόσο αυτή μεταβάλλεται αξιοσημείωτα ώστε να δώσει στοιχεία για την πρόγνωση της μετέπειτα ακολουθίας. Ο έλεγχος χ 2 ενισχύει τη μηδενική υπόθεση για την εκθετική κατανομή των μεγεθών (μηκών) των μεσοδιαστημάτων για διαδοχικούς σεισμούς, τόσο για τα πέντε διαδοχικά διαστήματα από το χρόνο Σ0 μέχρι και 3176 μέρες νωρίτερα, όσο και για τα δύο ενιαία χρονικά διαστήματα πριν από το χρόνο Σ0, και τα αποτελέσματα φαίνονται στους πίνακες Ι και ΙΙ μαζί με τις τιμές των παραμέτρων μ και λ, της εκθετικής και της κατανομής Poisson αντίστοιχα. Αυτό που παρατηρείται είναι ότι, 98

101 θεωρώντας τα πέντε διαδοχικά σύνολα δεδομένων ως ξεχωριστές ομογενείς διαδικασίες Poisson, οι τιμές των αντίστοιχων ρυθμών σεισμικότητας, λ, που τις χαρακτηρίζουν είναι πολύ κοντά αριθμητικά. Σο ίδιο συμβαίνει και στην περίπτωση που η διαδικασία χωρίζεται σε δύο μεγαλύτερα ενιαία διαστήματα. Η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με Σχήμα 3.39: Ιστόγραμμα της κατανομής των μεγεθών των μεσοδιαστημάτων για τους σεισμούς που σημειώνονται στο χρονικό διάστημα των ημερών πριν από το χρόνο Τ0 (114 δεδομένα). Πίνακας Ι: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. Η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με χρονικό διάστημα παρατηρήσεις στατιστικό Χ 2 μ λ (-600,Τ0) (-1169, Τ0)

102 Πίνακας ΙΙ: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα των πέντε διαδοχικών διαστημάτων πριν από τον κύριο σεισμό, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. Η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με χρονικό παρατηρήσεις στατιστικό μ λ διάστημα Χ 2 (-3176, -2640) (-2640, -2048) (-2048, -1169) (-1169, -600) (-600, Τ0) τα γραφήματα του σχήματος 3.40 έγινε προσομοίωση της διαδικασίας Poisson, για τις τιμές του λ που υπολογίζονται για τα χρονικά διαστήματα των 600 και 1169 ημερών πριν από το χρόνο Σ0 (19 και 40 είναι το πλήθος των δεδομένων αντίστοιχα σε κάθε διάστημα). Η προσομοίωση έγινε σε περιβάλλον Matlab, ορίζοντας στον αλγόριθμο ως τιμές του λ τα στοιχεία του πίνακα Ι. Σο χρονικό διάστημα στο οποίο προσομοιώνεται η διαδικασία, εκτείνεται έως και τις πρώτες 36 μέρες μετά το χρόνο Σ0, δείχνοντας έτσι ποια θα ήταν η αναμενόμενη διαδικασία αν δεν είχε γίνει ο κύριος σεισμός στο χρόνο Σ0 και η γένεση των σεισμών συνεχιζόταν ως μια ενιαία ομογενής διαδικασία Poisson. τα σχετικά σχήματα που ακολουθούν είναι φανερή η μεγάλη διαφορά μεταξύ της προσομοιωμένης διαδικασίας (πράσινη καμπύλη) και της παρατηρούμενης (μπλε καμπύλη) για το επίμαχο διάστημα αμέσως μετά το χρόνο Σ0. 100

103 α) β) Σχήμα 3.40: Προσομοίωση ομογενούς διαδικασίας Poisson με σταθερό ρυθμό σεισμικότητας α) λ= όπως προκύπτει από τα δεδομένα των τελευταίων 600 ημερών πριν από τον κύριο σεισμό και β) λ= όπως προκύπτει από τα δεδομένα των τελευταίων 1169 ημερών. Στα σχήματα φαίνονται και τα πραγματικά δεδομένα (μπλε καμπύλες). το σχήμα 3.41 φαίνονται οι σχετικές θέσεις των τιμών του ρυθμού σεισμικότητας, λ, των ομογενών διαδικασιών Poisson όπως παρουσιάστηκαν παραπάνω. Οι τιμές είναι πολύ κοντά αριθμητικά. Παρατηρώντας τις πιο πρόσφατες τιμές, αυτές εμφανίζουν μια αύξηση σε σχέση με τις παλιότερες, η οποία όμως είναι πολύ μικρή και στατιστικά ασήμαντη. Ακολουθούν οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας του ρυθμού σεισμικότητας, λ, (σχήμα 3.42) για κάθε ένα από τα χρονικά διαστήματα που μελετήθηκαν, όπου μπορεί να παρατηρηθεί μεγάλο ποσοστό αλληλοεπικάλυψης των καμπυλών, λόγω των πολύ κοντινών τιμών του ρυθμού σεισμικότητας, λ. 101

104 Σχήμα 3.41: Οι σχετικές θέσεις των ρυθμών γένεσης των σεισμών με τη θεώρηση των ομογενών διαδικασιών Poisson για τα χρονικά διαστήματα: (-3176, -2640), (- 2640, -2048), (-2048, -1169), (-1169, -600) και (-600, Τ0). α) β) Σχήμα 3.42: Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τις τιμές των λ που υπολογίζονται για τα χρονικά διαστήματα: α) (-1169, Τ0) και (-600,Τ0), β) (-3176, -2640), (-2640, ), (-2048, -1169), (-1169, -600) και (-600, Τ0). 102

105 3.3.4 Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)= e a+bt υνεχίζοντας τη μελέτη αναφορικά με το ρυθμό γένεσης των σεισμών για το χρονικό διάστημα μετά το χρόνο Σ0, χρειάζεται να γίνει έλεγχος της χρονικής κατανομής των δεδομένων σε μικρότερη χρονική κλίμακα ώστε να ληφθούν υπόψη οι μεταβολές του ρυθμού γένεσης των σεισμών και να εφαρμοστούν στατιστικά μοντέλα που να περιγράφουν μια διαδικασία που μεταβάλλεται στο χρόνο. Αρχικά ομαδοποιούνται τα δεδομένα και γίνεται ο στατιστικός έλεγχος χ 2 προκειμένου να εντοπιστούν πιθανά επιμέρους χρονικά διαστήματα όπου οι διαδικασίες γένεσης των σεισμών είναι (διαφορετικές μεταξύ τους) ομογενείς διαδικασίες Poisson. το σχήμα 3.43 παρουσιάζεται το ιστόγραμμα των μεγεθών των χρονικών μεσοδιαστημάτων για τα δεδομένα των 36 πρώτων ημερών μετά το χρόνο Σ0, τα περισσότερα από τα οποία έχουν τιμή μικρότερη από 1 μέρα. Ο τρόπος με τον οποίο κατανέμονται τα μεγέθη των χρονικών μεσοδιαστημάτων υποδηλώνει ότι αν υπολογιστεί μια μέση τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής τους αρκετά δεδομένα θα αποκλίνουν πολύ από αυτή τη μέση τιμή, κι έτσι δεν προτιμάται η συνολική διαδικασία να περιγραφεί από μια ενιαία ομογενή διαδικασία Poisson σταθερού ρυθμού σεισμικότητας, λ. Σχήμα 3.43: Ιστόγραμμα της κατανομής των μεγεθών των μεσοδιαστημάτων για τους σεισμούς που σημειώνονται στο χρονικό διάστημα των 36 ημερών μετά από το χρόνο Τ0 (το πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με 229). 103

106 Ο στατιστικός έλεγχος που γίνεται για τα δεδομένα που καταγράφονται στις πρώτες 36 ημέρες μετά το χρόνο που ορίστηκε ως Σ0 οδηγεί σε 8 διαδοχικά τμήματα του συνόλου των δεδομένων και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα ΙΙΙ, όπου συνοψίζονται οι τιμές του στατιστικού χ 2 και των παραμέτρων μ και λ της εκθετικής κατανομής των μεσοδιαστημάτων και της ομογενούς διαδικασίας Poisson για κάθε ένα από τα τμήματα. Πίνακας ΙΙΙ: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα μετά τον κύριο σεισμό, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι ίση με χρονικό διάστημα παρατηρήσεις στατιστικό Χ 2 μ λ (Τ0, 0.12) , ,3333 (0.12, 0.36) , ,1667 (0.36, 1) , ,75 (1, 3) , ,5 (3, 5) , ,5 (5, 9) ,1390 7,5 (9, 16) ,2167 4,5714 (16, 36) ,5936 1,65 Σα 8 ομογενή τμήματα των δεδομένων ακολουθούν (το κάθε ένα χωριστά) κατανομή Poisson, όπως προέκυψε από την επαλήθευση της μηδενικής υπόθεσης με τη βοήθεια του στατιστικού ελέγχου χ 2. το σχήμα 3.44 καταγράφονται οι διαδοχικές τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, σε συνάρτηση με το χρόνο και διακρίνεται μια 104

107 εκθετική μείωση του ρυθμού της διαδικασίας σε σχέση με το χρόνο. Προκειμένου να γίνει προσαρμογή, στην παραπάνω διαδικασία, του μη ομογενούς μοντέλου Poisson, χρειάζεται να εισαχθεί αρχικά η μέθοδος με την οποία θα γίνει αυτή η προσαρμογή και στη συνέχεια να γίνει η προσομοίωση της πραγματικής διαδικασίας με το θεωρητικό μοντέλο. Φωρίζοντας τα δεδομένα με τον τρόπο που περιγράφηκε, παρατηρήθηκε μια γενικά φθίνουσα συμπεριφορά του ρυθμού γένεσης των σεισμών σε σχέση με το χρόνο. χετικά με τη χωρική κατανομή των σεισμών στα διαδοχικά χρονικά διαστήματα στα οποία χωρίστηκαν τα δεδομένα, παρατηρώντας τους χάρτες στα σχήματα 3.45 έως και 3.47, όπου τα δεδομένα χωρίστηκαν με βάση όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, φαίνεται ότι γενικά τα επίκεντρα κατανέμονται κατά μήκος του ρήγματος, βορειοδυτικά και νοτιοανατολικά του επικέντρου, χωρίς να παρουσιάζεται συγκεκριμένη μεταβολή σε κάποιο από τα χρονικά διαστήματα. α) β) Σχήμα 3.44: α) Οι τιμές του λ για το χρονικό διάστημα των 36 πρώτων ημερών μετά τον κύριο σεισμό (Τ0=0). β) Εντοπίζονται τα σημεία που έχουν ως τετμημένη το κέντρο κάθε χρονικού διαστήματος που χαρακτηρίστηκε ως ομογενές, και τεταγμένη την τιμή του λ σε αυτό το χρονικό διάστημα. Στην τεθλασμένη γραμμή που ενώνει αυτά τα ζεύγη τιμών θα γίνει η προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης. 105

108 α) β) γ) Σχήμα 3.45: Χάρτες της περιοχής της Σκύρου με τα επίκεντρα των σεισμών που έγιναν σε κάθε ένα από τα οχτώ διαδοχικά χρονικά διαστήματα μετά τον κύριο σεισμό, α) (Τ0, 0.12), β) (0.12, 0.36), γ) (0.36, 1). α) β) γ) 106

109 Σχήμα 3.46: Χάρτες της περιοχής της Σκύρου με τα επίκεντρα των σεισμών που έγιναν σε κάθε ένα από τα οχτώ διαδοχικά χρονικά διαστήματα μετά τον κύριο σεισμό, α) (1, 3), β) (3, 5), γ) (5, 9). 107

110 α) β) Σχήμα 3.47: Χάρτες της περιοχής της Σκύρου με τα επίκεντρα των σεισμών που έγιναν σε κάθε ένα από τα οχτώ διαδοχικά χρονικά διαστήματα μετά τον κύριο σεισμό, α) (9, 16), β) (16, 36). Ένας τρόπος προσαρμογής θεωρητικής καμπύλης στα δεδομένα είναι με τη χρήση γνωστών συναρτήσεων του προγράμματος Origin. Από αυτές τις συναρτήσεις επιλέγεται να προσαρμοστεί η e a+bt, λόγω της φθίνουσας συμπεριφοράς του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), που παρουσιάστηκε παραπάνω. Οι παράμετροι a και b της συνάρτησης εκτιμούνται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ως δεδομένα που λαμβάνονται υπόψη στη διαδικασία προσαρμογής της θεωρητικής καμπύλης ορίζονται τα σημεία που έχουν τετμημένη το κέντρο κάθε χρονικού διαστήματος που χαρακτηρίστηκε παραπάνω ως ομογενές, και τεταγμένη την τιμή του λ σε αυτό το χρονικό διάστημα (σχήμα 3.44β). Η προσαρμογή της εκθετικής συνάρτησης και η εκτίμηση των παραμέτρων της γίνεται σε διάφορα στάδια, επιλέγοντας κάθε φορά διαφορετικό σύνολο δεδομένων με βάση τα οποία γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων a και b. Αυτό που προκύπτει από 108

111 τις τιμές του πίνακα IV και τα διαγράμματα του σχήματος 3.48 που ακολουθούν, είναι ότι οι τιμές των παραμέτρων a και b δεν αλλάζουν σημαντικά όσα και αν είναι τα δεδομένα που λαμβάνονται υπόψη στην εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Πίνακας IV: Οι τιμές των παραμέτρων a και b της προσαρμοζόμενης στα δεδομένα εκθετικής συνάρτησης. χρονικό διάστημα a b 1 η -3 η μέρα ± ± η -5 η μέρα ± ± η -9 η μέρα ± ± η -36 η μέρα ± ± Λαμβάνοντας επομένως τις τιμές που αντιστοιχούν στις δύο παραμέτρους a και b από τα δεδομένα των τριών πρώτων ημερών, εκτιμάται η συνάρτηση επιβίωσης για διάφορα χρονικά διαστήματα. το σχήμα 3.49 παρουσιάζονται οι τιμές της συνάρτησης επιβίωσης για το χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί στην πρώτη μέρα μετά τον κύριο σεισμό και σε αυτό των τριών πρώτων ημερών μετά τον κύριο σεισμό. Όπως μπορεί να φανεί και από τα διαγράμματα του σχήματος, η προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης της εκθετικής συνάρτησης οδηγεί σε υποεκτίμηση της διαδικασίας, καθώς κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας το πλήθος των πραγματικών δεδομένων είναι ίσο με 78 και η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερο από 77 είναι ίση με σύμφωνα με την εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης. Αντίστοιχα για το διάστημα των τριών πρώτων ημερών, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 100 προκύπτει ίση με , και το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με

112 α) β) γ) δ) Σχήμα 3.48: Προσαρμογή της εκθετικής συνάρτησης, θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα α) των πρώτων 3 ημερών, β) των πρώτων 5 ημερών, γ) των πρώτων 9 ημερών και δ) των πρώτων 36 ημερών μετά τον κύριο σεισμό. α) β) Σχήμα 3.49: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των τριών πρώτων ημερών για τα χρονικά διαστήματα : α) (0, 1), β) (0, 3). 110

113 3.3.5 Μη ομογενής διαδικασία Poisson-Εφαρμογή λ(t)= α -b bt b-1 Σο θεωρητικό μοντέλο που επιλέγεται να προσαρμοστεί στα δεδομένα της ακολουθίας της κύρου, είναι ένα μη ομογενές μοντέλο με το ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), να έχει τη μορφή λ(t)=α b bt b 1. Οι δύο παράμετροι, όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, υπολογίζονται με τις σχέσεις (38), χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Σα δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των παραμέτρων είναι οι χρόνοι γένεσης (ti) των μετασεισμών από πέντε διαφορετικά χρονικά διαστήματα, ξεκινώντας κάθε φορά από το χρόνο Σ0. Οι τιμές που προκύπτουν για τις παραμέτρους a και b παρουσιάζονται στον πίνακα V. Για κάθε ζεύγος παραμέτρων εκτιμάται η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση Λ(t)=, η οποία δίνει το εκτιμώμενο πλήθος των σεισμών για ένα χρονικό διάστημα (t1, t2). το σχήμα 3.50 παρουσιάζονται οι πέντε συναρτήσεις Λ(t) σε σχέση με το χρόνο, αναπαριστώντας έτσι το εκτιμώμενο αθροιστικό πλήθος των σεισμών για τη χρονική περίοδο (Σ0, 36), σε σύγκριση και με το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων στην αντίστοιχη περίοδο. Και σε αυτή την περίπτωση φαίνεται ότι η διαδικασία προσεγγίζεται από το μοντέλο αρκετά καλά για τις πρώτες μέρες μετά το χρόνο Σ0. ε μεγαλύτερους χρόνους όμως γίνεται «υπερεκτίμηση» της διαδικασίας, με την έννοια ότι ο πραγματικός ρυθμός γένεσης των σεισμών μειώνεται αρκετά περισσότερο από ότι ο εκτιμώμενος με βάση το θεωρητικό μοντέλο. Πίνακας V: Οι παράμετροι a και b του ρυθμού σεισμικότητας λ(t)=a b bt b 1, όπως αυτές εκτιμήθηκαν με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. χρονικό διάστημα εκτιμώμενο a εκτιμώμενο b 1 η * η -2 η * η -3 η * η -4 η * η -30 η *

114 Σχήμα 3.50: Το θεωρητικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών για το διάστημα (Τ0, 36), θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα των διαστημάτων (T0, 1), (T0, 2), (T0, 3), (T0, 4) και (T0, 30) στις καμπύλες Fit1, Fit2, Fit3, Fit4, Fit5 αντίστοιχα. Με κίτρινη γραμμή φαίνεται το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων. Με τις τιμές που προκύπτουν από τα δεδομένα της πρώτης μέρας μετά τον κύριο σεισμό (των οποίων το πλήθος είναι ίσο με 78), εκτιμάται μέσω της συνάρτησης επιβίωσης η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας να είναι μεγαλύτερο από 77 και προκύπτει ίση με Επιδιώκοντας την προσέγγιση της διαδικασίας γένεσης των σεισμών στην αμέσως επόμενη μέρα, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 30 εκτιμάται ίση με , ενώ το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με 18, κι έτσι η εφαρμογή του μοντέλου με αυτές τις παραμέτρους δεν μπορεί να δώσει μια ρεαλιστική προσέγγιση του φαινομένου. Οι συναρτήσεις επιβίωσης από τα συγκεκριμένα παραδείγματα φαίνονται στο σχήμα Με τα δεδομένα των δύο πρώτων ημερών υπολογίζεται το επόμενο ζεύγος 112

115 παραμέτρων της συνάρτησης λ(t) και γίνεται εκτίμηση των συναρτήσεων επιβίωσης για διάφορα χρονικά διαστήματα. Έτσι, για τις δύο πρώτες μέρες, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 95 είναι ίση με , με το πραγματικό πλήθος ίσο με 96. Όμοια για την τρίτη μέρα μετά τον κύριο σεισμό, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 15 προκύπτει ίση με , με το πραγματικό πλήθος των δεδομένων να είναι ίσο με 11. Οι αντίστοιχες συναρτήσεις επιβίωσης φαίνονται στο σχήμα α) β) Σχήμα 3.51: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα της πρώτης μέρας για τα χρονικά διαστήματα : α) (0, 1), β) (1, 2). Όπως φάνηκε από τα παραπάνω παραδείγματα, η εφαρμογή του θεωρητικού μοντέλου υπήρξε αποτελεσματική για μικρούς χρόνους όχι όμως για μεγαλύτερους, καθώς το εκτιμώμενο πλήθος των σεισμών κάθε φορά προκύπτει αρκετά μεγαλύτερο από το πραγματικό. τη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη περισσότερα δεδομένα για την εκτίμηση των παραμέτρων a και b (από τις τρεις πρώτες μέρες μετά το χρόνο Σ0), φαίνεται ότι γίνεται υποεκτίμηση της διαδικασίας για μικρούς χρόνους t. Για παράδειγμα, για το χρονικό διάστημα των δύο πρώτων ημερών, όπου τα πραγματικά δεδομένα είναι 96 στο πλήθος, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 95 εκτιμάται ίση με Για το διάστημα των τριών ημερών, η πιθανότητα που εκτιμάται ώστε να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από

116 είναι ίση με και το πραγματικό πλήθος των δεδομένων σε αυτές τις τρεις μέρες είναι ίσο με 107. Εκτιμώντας τη συνάρτηση επιβίωσης για την τέταρτη μέρα μετά το χρόνο Σ0, η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών να είναι μεγαλύτερο από 8 προκύπτει ίση με , ενώ τα πραγματικά δεδομένα είναι 9 στο πλήθος. Αυτό σημαίνει πως ο ρυθμός σεισμικότητας λ(t) μειώνεται αρκετά σε σχέση με το προηγούμενο χρονικό διάστημα και η εφαρμογή του μοντέλου για μεγαλύτερους χρόνους οδηγεί στην εκτίμηση περισσοτέρων δεδομένων από αυτά που τελικά παρατηρούνται. Οι τιμές των συναρτήσεων επιβίωσης παρουσιάζονται στο σχήμα α) β) Σχήμα 3.52: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των δύο πρώτων ημερών για τα χρονικά διαστήματα : α) (0, 2), β) (2, 3). Θεωρώντας γνωστή τη διαδικασία από το χρόνο Σ0 έως και τέσσερις μέρες μετά, η πιθανότητα σε αυτό το διάστημα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 115 εκτιμάται ίση με και το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι 116. Αν όμως εκτιμηθεί το πλήθος των σεισμών μόνο για την πρώτη μέρα, η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερο από 70 προκύπτει ίση με κι έτσι γίνεται υποεκτίμηση της διαδικασίας για μικρούς χρόνους, όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Η διαφορά είναι ότι και για το χρονικό διάστημα από την τέταρτη έως και την έβδομη μέρα η εφαρμογή του μοντέλου οδηγεί σε εκτιμώμενο πλήθος σεισμών πολύ μικρότερο από το πραγματικό, κι έτσι η πιθανότητα για περισσότερους από 40 σεισμούς είναι ίση με ενώ το 114

117 πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με 43. Αυτή η παρατήρηση οφείλεται στο γεγονός ότι κατά την πέμπτη μέρα μετά το χρόνο Σ0 σημειώνονται έξι μετασεισμοί μεγέθους πάνω από 4 καθώς κι ένας μετασεισμός μεγέθους 5.4, με αποτέλεσμα να αυξάνεται το ημερήσιο πλήθος των σεισμών παρά τη μέχρι τότε σταδιακή μείωσή του. τη συνέχεια, για την όγδοη μέρα, το εκτιμώμενο πλήθος των σεισμών είναι μεγαλύτερο από το πραγματικό, με πιθανότητα για περισσότερους από 5 σεισμούς ίση με και πραγματικό πλήθος σεισμών ίσο με 1. Από αυτό το σημείο και μετά το θεωρητικό μοντέλο οδηγεί σε «υπερεκτίμηση» της πραγματικής διαδικασίας. το σχήμα 3.54 φαίνονται και οι αντίστοιχες συναρτήσεις επιβίωσης. α) β) γ) Σχήμα 3.53: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των τριών πρώτων ημερών για τα χρονικά διαστήματα : α) (0, 2), β) (0, 3), γ) (3, 4). 115

118 α) β) γ) δ) Σχήμα 3.54: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των τεσσάρων πρώτων ημερών για τα χρονικά διαστήματα : α) (0, 1), β) (0, 4), γ) (4, 7), δ) (7, 8). Οι τελευταίες δοκιμές γίνονται με τα δεδομένα των 30 πρώτων ημερών μετά το χρόνο γένεσης του κύριου σεισμού. Οι παρατηρήσεις δε διαφέρουν από τις προηγούμενες, καθώς και για αυτό το ζευγάρι παραμέτρων το εκτιμώμενο πλήθος για τις πρώτες μέρες είναι αρκετά μικρότερο από το πραγματικό, ενώ σε μεγαλύτερους χρόνους το θεωρητικό μοντέλο προσεγγίζει αρκετά καλά την πραγματική διαδικασία. Για παράδειγμα, στις 30 μέρες το πραγματικό πλήθος των δεδομένων είναι ίσο με 219 και η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερο από 218 προκύπτει ίση με Για τις επόμενες έξι μέρες η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 10 (όσο είναι και το πραγματικό πλήθος) εκτιμάται ίση με , που σημαίνει ότι και με 116

119 αυτό τον τρόπο η μετέπειτα διαδικασία προσεγγίζεται από μια συνάρτηση λ(t) με τιμές αρκετά μεγαλύτερες από τις πραγματικές. το σχήμα 3.55 συνοψίζονται και οι συναρτήσεις επιβίωσης. α) β) γ) δ) Σχήμα 3.55: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα των τριάντα πρώτων ημερών για τα χρονικά διαστήματα : α) (0, 5), β) (20, 30), γ) (0, 30), δ) (30, 36). 117

120 3.3.6 Αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο - AR(2) Σα δεδομένα χωρίζονται σε διαδοχικά χρονικά διαστήματα μήκους 2.4 ωρών και το πλήθος των σεισμών σε κάθε ένα από αυτά τα χρονικά διαστήματα αποτελεί μία τιμή της τυχαίας μεταβλητής zt. Πρώτο βήμα είναι η εκτίμηση των συντελεστών μερικής αυτοσυσχέτισης ώστε να εκτιμηθεί η τάξη p του μοντέλου. Γίνεται η υπόθεση ότι η τάξη του μοντέλου είναι k=3 κι έτσι αν ο συντελεστής φ33 είναι αριθμητικά κοντά στην τιμή μηδέν το μοντέλο τάξης k-1=2 είναι προτιμότερο από το μοντέλο τάξης k=3. τη συνέχεια υπολογίζονται οι συντελεστές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, με τη βοήθεια των οποίων μπορούν να εκτιμηθούν οι άγνωστες παράμετροι του μοντέλου και να βγουν συμπεράσματα για η στατικότητα της χρονοσειράς. το σχήμα 3.56 που ακολουθεί παρουσιάζονται δύο διαγράμματα, το ένα με τις μερικές αυτοσυσχετίσεις για k=3 και το δεύτερο είναι ένα κορρελόγραμμα των είκοσι πρώτων συντελεστών της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Οι υπολογισμοί των συντελεστών έγιναν λαμβάνοντας τις πρώτες 200 τιμές της τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή θεωρώντας γνωστή τη διαδικασία έως και την 20 η μέρα μετά το χρόνο Σ0, και οι τιμές τους φαίνονται στον πίνακα VI. τον ίδιο πίνακα καταγράφονται επίσης τα όρια των τιμών που παρουσιάζονται (της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και των μερικών αυτοσυσχετίσεων). Σελικά αυτή η διαδικασία οδηγεί στην επιλογή ενός μοντέλου δεύτερης τάξης, αφού μόνο οι πρώτες δύο τιμές των μερικών αυτοσυσχετίσεων είναι αποδεκτές. Από τη μορφή του κορρελογράμματος είναι ξεκάθαρη επίσης η στατικότητα της χρονοσειράς, καθώς οι τιμές των συντελεστών αυτοσυσχέτισης φθίνουν εκθετικά όσο μεγαλώνει η τάξη τους. τη συνέχεια, με τις εξισώσεις Yule - Walker γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου, οπότε οι τιμές που προκύπτουν είναι οι φ1= και φ2= και το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο παίρνει τη μορφή z t = z t z t 2 (3) Οι δύο τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν ικανοποιούν τις συνθήκες φ1+φ2<1, φ2-φ1<1, -1<φ2<1, ενισχύοντας έτσι το συμπέρασμα για τη στατικότητα της χρονοσειράς. 118

121 Sample Autocorrelation Sample Partial Autocorrelations το σχήμα 3.57 παρουσιάζονται οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής όπως προκύπτουν από το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης που προέκυψε από την παραπάνω διαδικασία, καθώς επίσης και τα δεδομένα της πραγματικής χρονοσειράς, τα οποία φαίνεται να είναι σε αρκετά χαμηλότερα επίπεδα σε σύγκριση με τις θεωρητικές τιμές. 1 Sample Autocorrelation Function (ACF) 1 Sample Partial Autocorrelation Function Lag Lag Σχήμα 3.56: Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των 20 πρώτων ημερών, γίνεται εκτίμηση α)των 20 πρώτων συντελεστών αυτοσυσχέτισης, β)των 3 πρώτων μερικών αυτοσυσχετίσεων. Στα δύο κορρελογράμματα φαίνονται επίσης (με μπλε γραμμή) τα όρια των συντελεστών. Πίνακας VI: Οι συντελεστές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (ACF) και οι μερικές αυτοσυσχετίσεις (PACF), και τα αντίστοιχα όρια των τιμών τους (Bounds). ACF Bounds PACF Bounds

122 Σχήμα 3.57: Οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής zt όπως υπολογίζονται από το αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο δεύτερης τάξης (πράσινη γραμμή), και τα δεδομένα της πραγματικής χρονοσειράς (μπλε γραμμή) για το χρονικό διάστημα που ακολουθεί τον κύριο σεισμό της ακολουθίας. 120

123 3.4 Σεισμική ακολουθία Λευκάδας ( , Μ w =6.2) Εισαγωγή Σο επίκεντρο του κύριου σεισμού της συγκεκριμένης ακολουθίας που έγινε στις 14 Αυγούστου 2003 εντοπίζεται βορειοδυτικά του νησιού της Λευκάδας. Σο μέγεθος του σεισμού ήταν ίσο με Μw = 6.2 και από μελέτη της χωρικής κατανομής των μετασεισμών (Karakostas et al., 2004) προκύπτει πως η διάρρηξη έγινε σε δεξιόστροφο ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης μήκους περίπου 15 km, πλάτους 9 km και παράταξης ΒΒΑ- ΝΝΔ. Σο ρήγμα αυτό αποτελεί τμήμα του ρήγματος της Λευκάδας το οποίο ανήκει στη δεξιόστροφη ζώνη μετασχηματισμού της Κεφαλονιάς (Skordilis et al., 1985). Σο μήκος της μετασεισμικής ζώνης φτάνει τα 60 km και εκτείνεται βορειοδυτικά της Λευκάδας μέχρι τις ΒΔ ακτές της Κεφαλονιάς (Καρακώστας, 2008). Η επιμήκης ανάπτυξη της κύριας μετασεισμικής ζώνης συμπίπτει με την παράταξη του επίπεδου του ρήγματος (ΒΑ - ΝΔ) και το μήκος της είναι περίπου 15 km, το οποίο συμφωνεί με το αναμενόμενο μήκος της διάρρηξης σε σχέση με το μέγεθος του κύριου σεισμού. Σο επίκεντρο του κύριου σεισμού τοποθετείται στο βόρειο άκρο της συγκεκριμένης ομάδας μετασεισμών και επομένως συμπεραίνεται ότι πρόκειται για μονοκατευθυντική διάρρηξη (Καρακώστας, 2008). Σα εστιακά βάθη των μετασεισμών της κύριας ομάδας βρίσκονται μεταξύ 3-12 km ενώ τα αντίστοιχα βάθη της γειτονικής ζώνης μετασεισμών, νοτιότερα της κύριας, είναι πιο επιφανειακά και βρίσκονται μεταξύ 3-7 km, με βαθμιαία αύξηση αυτών από τα νότια προς τα βόρεια, όπως προκύπτει από τομή παράλληλη στην ανάπτυξη των δύο μετασεισμικών ζωνών (Καρακώστας, 2008). τα σχήματα 3.58 και 3.59 χαρτογραφούνται τα επίκεντρα των σεισμών της ακολουθίας που μελετήθηκε και ο μηχανισμός γένεσης του κύριου σεισμού, με δεδομένα δύο χρονικών διαστημάτων, πριν και μετά τον πρώτο ισχυρό σεισμό της ακολουθίας. 121

124 Σχήμα 3.58: Χάρτης με τα επίκεντρα των σεισμών στην περιοχή της Λευκάδας για χρονικό διάστημα 190 ημερών πριν τον κύριο σεισμό της ακολουθίας του Φαίνεται επίσης και ο μηχανισμός γένεσης του κύριου σεισμού. 122

125 Σχήμα 3.59: Χάρτης με τα επίκεντρα των σεισμών στην περιοχή της Λευκάδας για χρονικό διάστημα 47 ημερών μετά τον κύριο σεισμό της ακολουθίας του Φαίνεται επίσης και ο μηχανισμός γένεσης του κύριου σεισμού Δεδομένα παρατήρησης Όπως περιγράφηκε παραπάνω, προκειμένου να γίνει η επεξεργασία των δεδομένων και η μελέτη των στατιστικών μοντέλων, χρειάζεται να οριστούν τα όρια της περιοχής από την οποία γίνεται η λήψη των δεδομένων, ο χρόνος Σ0 καθώς και τα χρονικά διαστήματα πριν και μετά από την Σ0. Ως χρόνος Σ0 για τη συγκεκριμένη ακολουθία ορίζεται ο χρόνος γένεσης του κύριου σεισμού, ο οποίος έγινε στις , 05:14:55 123

126 στην περιοχή της Λευκάδας με μέγεθος Μw=6.2. Σα όρια της περιοχής η οποία μελετάται είναι και Λαμβάνονται δεδομένα για το χρονικό διάστημα από έως Από το σύνολο αυτών των δεδομένων υπολογίζεται το μέγεθος πληρότητας ίσο με 3.8, όπως προκύπτει και από το σχήμα Σχήμα 3.60: Μέγεθος πληρότητας, Mc=3.8, όπως αυτό προκύπτει από τα δεδομένα στην περιοχή της Λευκάδας, για τη χρονική περίοδο ως Ομογενής διαδικασία Poisson Αρχικά ελέγχεται η διαδικασία γένεσης των σεισμών πριν από το χρόνο Σ0, δηλαδή πριν από τον κύριο σεισμό. Ο έλεγχος γίνεται σε δύο διαδοχικά χρονικά διαστήματα πριν από το χρόνο Σ0, το πρώτο με μήκος 130 ημερών και το οποίο θα συμβολίζεται παρακάτω ως (-130,Σ0), και το δεύτερο με μήκος 69 ημερών, (-199,-130), με σκοπό να διαπιστωθούν τυχόν μεταβολές στο ρυθμό σεισμικότητας λ της διαδικασίας πριν από τον κύριο σεισμό οι οποίες θα μπορούσαν να αποτελέσουν ενδείξεις του επερχόμενου σεισμού. τη συνέχεια επιλέγεται και ένα ενιαίο χρονικό διάστημα μήκους 190 ημερών προκειμένου να γίνει σύγκριση ανάμεσα στις εκτιμώμενες τιμές των ρυθμών 124

127 σεισμικότητας, λ, των μικρότερων χρονικών διαστημάτων με το ρυθμό σεισμικότητας όλης της διαδικασίας. Για τα δεδομένα αυτής της χρονικής περιόδου υπολογίζονται τα μεσοδιαστήματα (time intervals) για διαδοχικούς σεισμούς και η κατανομή τους φαίνεται στα ιστογράμματα του σχήματος Η εκθετική κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων είναι εμφανής στην περίπτωση των χρονικών διαστημάτων των 130 και 190 ημερών, ενώ στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα (σχ. 3.61β) η κατανομή των δεδομένων δεν είναι τόσο ξεκάθαρη. α) β) γ) Σχήμα 3.61: Ιστογράμματα που δείχνουν την κατανομή των χρονικών μεσοδιαστημάτων για τους σεισμούς στα χρονικά διαστήματα α) (-130,Τ0), β) (-199,-130), γ) (-190, Τ0). 125

128 Και για τις τρεις περιπτώσεις γίνεται στατιστικός έλεγχος χ 2 για το αν τα μήκη των χρονικών μεσοδιαστημάτων ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Σα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα Ι. Για το χ 2 test λήφθηκαν δύο βαθμοί ελευθερίας και επίπεδο σημαντικότητας α=0.945, για το οποία η κρίσιμη τιμή χ 2 είναι τον ίδιο πίνακα υπάρχουν οι τιμές της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των μεσοδιαστημάτων όπως αυτή υπολογίστηκε από τα δεδομένα κάθε χρονικής περιόδου, εφόσον ο στατιστικός έλεγχος επαληθεύει τη μηδενική υπόθεση (Η0) και για τις τρεις περιπτώσεις. Κάθε τιμή της παραμέτρου μ δηλώνει το μέσο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών σεισμών της ακολουθίας. την τελευταία στήλη του πίνακα Ι υπάρχουν οι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, που χαρακτηρίζει την κάθε ομογενή διαδικασία Poisson και εκφράζει το μέσο ημερήσιο πλήθος των σεισμών. Οι τρεις τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, δε διαφέρουν σημαντικά κι έτσι η διαδικασία μπορεί να ληφθεί ενιαία για το χρονικό διάστημα πριν τον κύριο σεισμό καθώς και να περιγραφεί από το ομογενές μοντέλο Poisson, με σταθερό ρυθμό σεισμικότητας λ=0.2. Πίνακας Ι: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα πριν τον κύριο σεισμό, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. χρονικό διάστημα στατιστικό X 2 παρατηρήσεις μ λ (-130,Σ0) (-199,-130) (-190,Σ0) το σχήμα 3.62 έχει γίνει προσομοίωση των 3 ομογενών διαδικασιών Poisson που περιγράφηκαν παραπάνω, λαμβάνοντας ως τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, τις 126

129 εκτιμήσεις που υπάρχουν στον πίνακα Ι. Η προσομοίωση γίνεται σε περιβάλλον Matlab, με τη χρήση μιας γεννήτριας τυχαίων αριθμών που υπακούουν στην εκθετική κατανομή με μ=1/λ, αναπαριστώντας τα χρονικά μεσοδιαστήματα ανάμεσα σε διαδοχικούς σεισμούς. τη συνέχεια υπολογίζεται το θεωρητικό πλήθος των γεγονότων που αντιστοιχεί σε κάθε μέρα και χαρτογραφείται το αθροιστικό πλήθος των θεωρητικών γεγονότων σε σχέση με το χρόνο. τα σχήματα φαίνεται επίσης το παρατηρούμενο αθροιστικό πλήθος των σεισμών, προκειμένου να γίνει σύγκριση με την πραγματική διαδικασία γένεσης των σεισμών για κάθε χρονική περίοδο που χαρακτηρίστηκε ομογενής διαδικασία Poisson. Σχήμα 3.62: Προσομοίωση ομογενούς διαδικασίας Poisson με σταθερό ρυθμό σεισμικότητας α) λ1=0.2 όπως προκύπτει από τα δεδομένα των τελευταίων 130 ημερών πριν από τον κύριο σεισμό και λ2= όπως προκύπτει από το διάστημα (-199, -130) και β) λ= όπως προκύπτει από τα δεδομένα των τελευταίων 190 ημερών, για χρονικό διάστημα μέχρι και τις 47 πρώτες μέρες μετά το χρόνο Τ0. Στα σχήματα φαίνονται και τα πραγματικά δεδομένα (μπλε καμπύλες). 127

130 Παρακάτω στο σχήμα 3.63 παρουσιάζονται και οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τους τρεις ρυθμούς σεισμικότητας, λ, όπως υπολογίστηκαν και σχεδιάστηκαν σε περιβάλλον Matlab. Σχήμα 3.63: Οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τις τιμές των λ που υπολογίζονται για τα τρία χρονικά διαστήματα της ομογενούς διαδικασίας Poisson για τα τρία χρονικά διαστήματα (-199, -130), (-130,Τ0) και (-190, Τ0). το επόμενο βήμα γίνεται επεξεργασία των δεδομένων της χρονικής περιόδου μετά το χρόνο Σ0. Μια ομογενής διαδικασία Poisson σταθερού ρυθμού σεισμικότητας, λ, δε θα μπορούσε να προσαρμοστεί σε αυτά τα δεδομένα και να περιγράψει ικανοποιητικά την πραγματική διαδικασία γένεσης των μετασεισμών, καθώς ο ρυθμός σεισμικότητας, λ, αλλάζει συνεχώς σε σχέση με το χρόνο. Για το λόγο αυτό γίνεται διαφορετική προσέγγιση της διαδικασίας μέσω μιας μη ομογενούς διαδικασίας Poisson με το ρυθμό σεισμικότητας, λ, να εξαρτάται πλέον από το χρόνο σύμφωνα με μια συνάρτηση λ(t). 128

131 3.4.4 Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)= e a+bt ε χρονικό διάστημα 47 ημερών μετά τη γένεση του κύριου σεισμού το πλήθος των σεισμών μεγέθους μεγαλύτερο από 3.8 είναι 167. Σα δεδομένα ελέγχονται με το χ 2 test προσαρμογής, χωρίζοντας μικρά (σε μήκος) χρονικά διαστήματα που με την επαλήθευση της μηδενικής υπόθεσης χαρακτηρίζονται ως ομογενείς διαδικασίες Poisson. Και εδώ οι βαθμοί ελευθερίας για το χ 2 test είναι δύο, το επίπεδο σημαντικότητας είναι α=0.975 και η κρίσιμη χ 2,με την οποία συγκρίνονται οι τιμές του στατιστικού χ 2 όπως προκύπτουν από τα δεδομένα, είναι τον πίνακα ΙΙ συνοψίζονται τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου, καθώς επίσης οι τιμές των παραμέτρων μ, της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων, και λ, της κατανομής Poisson των δεδομένων σε κάθε χρονικό διάστημα στο οποίο έγινε ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης. Πίνακας ΙΙ: Τα αποτελέσματα του στατιστικού ελέγχου χ 2 που έγινε για τα δεδομένα μετά τον κύριο σεισμό, η τιμή της παραμέτρου μ της εκθετικής κατανομής των χρονικών μεσοδιαστημάτων και της παραμέτρου λ της κατανομής Poisson. χρονικό διάστημα στατιστικό X 2 παρατηρήσεις μ λ (0, 0.29) (0.29, 1) (1, 3) (3, 5) (5, 10) (10, 47)

132 Όπως φαίνεται από τα αποτελέσματα, οι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, των ομογενών διαδικασιών Poisson μειώνονται σε αρκετά σύντομο χρονικό διάστημα. το σχήμα 3.64α παρουσιάζονται οι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, των έξι χρονικών διαστημάτων στα οποία χωρίστηκε η περίοδος των 47 ημερών μετά το χρόνο Σ0, σε σχέση με τη χρονική διάρκεια κάθε διαστήματος. τη συνέχεια, λαμβάνεται το μέσο κάθε χρονικού διαστήματος και αντιστοιχίζεται σε αυτό η τιμή του ρυθμού σεισμικότητας, λ, που βρέθηκε παραπάνω. Με αυτό τον τρόπο λαμβάνεται ένα σύνολο σημείων τα οποία ενώνονται με μια τεθλασμένη γραμμή η οποία πλέον περιγράφει τη σχέση του ρυθμού σεισμικότητας, λ, με το χρόνο, όπως αυτή προκύπτει από τα πειραματικά δεδομένα (σχήμα 3.64β). α) β) Σχήμα 3.64: α) Οι τιμές του λ για το χρονικό διάστημα των 47 πρώτων ημερών μετά τον κύριο σεισμό (Τ0=0). β) Εντοπίζονται τα σημεία που έχουν ως τετμημένη το κέντρο κάθε χρονικού διαστήματος που χαρακτηρίστηκε ως ομογενές, και τεταγμένη την τιμή του λ σε αυτό το χρονικό διάστημα. Στην τεθλασμένη γραμμή που ενώνει αυτά τα ζεύγη τιμών θα γίνει η προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης. 130

133 τους χάρτες των σχημάτων 3.65 και 3.66 που ακολουθούν, φαίνεται και η χωρική κατανομή των επικέντρων των σεισμών για τα έξι διαφορετικά χρονικά διαστήματα στα οποία χωρίστηκαν τα δεδομένα. Αυτό έγινε προκειμένου να διαπιστωθεί αν οι χρονικές μεταβολές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, στα παραπάνω διαδοχικά χρονικά διαστήματα μπορούν να συνδεθούν με συγκεκριμένες μεταβολές στη χωρική κατανομή των σεισμών. 131

134 α) β) γ) Σχήμα 3.65: Χάρτες της περιοχής της Λευκάδας με τα επίκεντρα των σεισμών για τρεις χρονικές περιόδους α) (Τ0, 0.29), β) (0.29, 1), γ) (1, 3). 132

135 α) β) γ) Σχήμα 3.66: Χάρτες της περιοχής της Λευκάδας με τα επίκεντρα των σεισμών για τρεις χρονικές περιόδους, α) (3, 5), β) (5, 10), γ) (10, 47). 133

136 Σα ζεύγη τιμών χρόνος-ρυθμός σεισμικότητας, λ, που λήφθηκαν με τον τρόπο που περιγράφηκε προηγουμένως εισάγονται στο πρόγραμμα Origin στο οποίο γίνεται η προσαρμογή της εκθετικής συνάρτησης e a+bt με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Προκειμένου να γίνει από το πρόγραμμα η προσαρμογή της θεωρητικής καμπύλης, χρειάζονται τουλάχιστον τέσσερα σημεία, ώστε να υπολογιστούν οι τιμές και τα σφάλματα για κάθε μια από τις παραμέτρους a και b. το σχήμα 3.67 παρουσιάζονται δύο τρόποι προσαρμογής της θεωρητικής καμπύλης. την πρώτη περίπτωση η προσαρμογή γίνεται για τις πρώτες πέντε τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, που σημαίνει ότι αξιοποιούνται τα δεδομένα των πρώτων δέκα ημερών μετά τον κύριο σεισμό. τη δεύτερη περίπτωση η προσαρμογή και για τις έξι τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, όπως παρουσιάστηκαν παραπάνω, δηλαδή για τα δεδομένα των πρώτων 47 ημερών μετά το χρόνο Σ0. Οι τιμές των παραμέτρων, τα σφάλματά τους καθώς και οι τιμές του συντελεστή συσχέτισης φαίνονται στον πίνακα ΙΙΙ. α) β) Σχήμα 3.67: Προσαρμογή στα δεδομένα της καμπύλης της εκθετικής συνάρτησης exp(a+bt), θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα α) των πρώτων 10 ημερών και β) των πρώτων 47 ημερών μετά τον κύριο σεισμό. Από τα στοιχεία του πίνακα ΙΙΙ προκύπτει ότι οι τιμές των παραμέτρων a και b μένουν ίδιες, είτε οι υπολογισμοί γίνουν με τα δεδομένα των πρώτων 10 ημερών είτε 134

137 με τα δεδομένα των πρώτων 47 ημερών. Υαίνεται ότι οι πρώτες τιμές του ρυθμού σεισμικότητας, λ, είναι αυτές που επηρεάζουν περισσότερο τον υπολογισμό των παραμέτρων. Πίνακας ΙΙΙ: Οι παράμετροι a και b του ρυθμού σεισμικότητας λ(t)=e a+bt, όπως αυτές εκτιμήθηκαν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, και ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης. χρονικό διάστημα εκτιμώμενο a εκτιμώμενο b R 2 10 μέρες ± ± μέρες ± ± Δεδομένου ότι η συνάρτηση λ(t) έχει τη μορφή που φαίνεται στην εξίσωση (31) και η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση Λ(t) όπως στην εξίσωση (32), υπολογίζεται η πιθανότητα να υπάρχουν περισσότερα από 35 δεδομένα κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας και προκύπτει ίση με , ενώ για περισσότερα από 40 δεδομένα η πιθανότητα είναι ίση με , ενώ το πραγματικό πλήθος των δεδομένων σε αυτό το διάστημα είναι 41. Ομοίως για το διάστημα των πρώτων 5 ημερών το παρατηρούμενο πλήθος σεισμών είναι 100, ενώ η πιθανότητα, που υπολογίζεται σύμφωνα με το μοντέλο, να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 40 είναι Η προσαρμογή λοιπόν του μοντέλου αυτού στην πραγματική διαδικασία δεν μπορεί να θεωρηθεί επιτυχής. 135

138 α) β) Σχήμα 3.68: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα της πρώτης μέρας για τα χρονικά διαστήματα: α) (0, 1), β) (0, 5) Μη ομογενής διαδικασία Poisson - Εφαρμογή λ(t)= α -b bt b-1 Η επόμενη περίπτωση που μελετάται είναι για μια διαφορετική μορφή του ρυθμού σεισμικότητας, λ(t), ως προς τον τρόπο που αυτός εξαρτάται από το χρόνο, θέτοντας ως Σ0=0 το χρόνο γένεσης του κύριου σεισμού. Η συνάρτηση που επιλέχθηκε για το ρυθμό σεισμικότητας, λ(t), είναι η (37), με την αθροιστική συνάρτηση Λ(t) να είναι της μορφής (39). Σα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την εκτίμηση των δύο παραμέτρων a και b είναι οι χρόνοι γένεσης των σεισμών κατά τη χρονική περίοδο (Σ0, 47), δηλαδή κατά τις πρώτες 47 μέρες μετά τον κύριο σεισμό. Με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, οι σχέσεις που δίνουν τις εκτιμώμενες τιμές των a και b είναι οι (38), για τις οποίες χρειάζεται να ληφθεί ο χρόνος γένεσης ti κάθε σεισμού που γίνεται μέσα στο χρονικό διάστημα που μελετάται, καθώς και το πλήθος των σεισμών μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα. Έγιναν δοκιμές για αρκετά χρονικά διαστήματα και τα αποτελέσματα των εκτιμήσεων φαίνονται στον πίνακα IV. τη συνέχεια, για κάθε ζεύγος παραμέτρων υπολογίστηκε η αθροιστική συνάρτηση Λ(t), η οποία δείχνει το εκτιμώμενο πλήθος των σεισμών για κάθε χρονικό διάστημα (t1, t2). το σχήμα 3.69 χαρτογραφούνται τα αποτελέσματα των πέντε συναρτήσεων Λ(t) σε σχέση με το χρόνο, αναπαριστώντας έτσι το εκτιμώμενο 136

139 αθροιστικό πλήθος των σεισμών για τη χρονική περίοδο (Σ0, 47), σε σύγκριση και με τον πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων στην αντίστοιχη περίοδο. Αυτό που προκύπτει είναι ότι η διαδικασία προσεγγίζεται από το μοντέλο αρκετά καλά για μικρούς χρόνους t, στο μετέπειτα όμως χρονικό διάστημα γίνεται «υπερεκτίμηση» της διαδικασίας, καθώς ο πραγματικός ρυθμός γένεσης των σεισμών μειώνεται σημαντικά σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα. Μόνο στην περίπτωση που λαμβάνονται δεδομένα από ένα σχετικά μεγάλο χρονικό διάστημα (40 μέρες) το μοντέλο φαίνεται να προσεγγίζει καλύτερα την πραγματική διαδικασία σε μελλοντικούς χρόνους, υποεκτιμώντας όμως το πλήθος των σεισμών στο προηγούμενο χρονικό διάστημα. Πίνακας IV: Οι παράμετροι a και b του ρυθμού σεισμικότητας λ(t)=a b bt b 1, όπως αυτές εκτιμήθηκαν με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. χρονικό διάστημα εκτιμώμενο a εκτιμώμενο b 1 η η -2 η η -3 η η -4 η η -40 η *

140 Σχήμα 3.69: Το θεωρητικό αθροιστικό πλήθος των σεισμών για το διάστημα (Τ0, 47), θεωρώντας γνωστά τα δεδομένα των διαστημάτων (T0, 1), (T0, 2), (T0, 3), (T0, 4) και (T0, 40) στις καμπύλες Fit1, Fit2, Fit3, Fit4, Fit5 αντίστοιχα. Με μπλε γραμμή φαίνεται το πραγματικό αθροιστικό πλήθος των δεδομένων. Θεωρώντας γνωστή τη διαδικασία μόνο για την πρώτη μέρα μετά τον κύριο σεισμό, και λαμβάνοντας ως τιμές των παραμέτρων a και b τις αντίστοιχες που φαίνονται στον πίνακα IV, γίνεται εκτίμηση της συνάρτησης επιβίωσης για διαφορετικά χρονικά διαστήματα, οι γραφικές παραστάσεις των οποίων παρουσιάζονται στο σχήμα Τπολογίζεται αρχικά ότι κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας η πιθανότητα να είναι το πλήθος των μετασεισμών μεγαλύτερο από 40, είναι και για μεγαλύτερο από 45 είναι , ενώ το πλήθος των παρατηρούμενων δεδομένων είναι 41. Επομένως, το μοντέλο δίνει μια αρκετά καλή προσέγγιση της πραγματικής διαδικασίας. Θεωρώντας ότι ο ρυθμός σεισμικότητας, λ(t), που εκτιμήθηκε με αυτή τη μέθοδο για την πρώτη μέρα, εξαρτάται από το χρόνο με τον ίδιο τρόπο και στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί, γίνονται ανάλογοι υπολογισμοί πιθανοτήτων, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση επιβίωσης όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Έτσι, για τη δεύτερη μέρα, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 18 είναι και για μεγαλύτερο από 22 η αντίστοιχη 138

141 πιθανότητα είναι , ενώ το πλήθος των παρατηρούμενων σεισμών είναι 19. το τρίτο εικοσιτετράωρο μετά τον κύριο σεισμό παρατηρούνται 14 σεισμοί. Η πιθανότητα που υπολογίζεται σύμφωνα με το μοντέλο για την περίπτωση που το πλήθος των σεισμών είναι μεγαλύτερο από 15 είναι , ενώ το πλήθος των πραγματικών δεδομένων είναι 14. Υαίνεται επομένως ότι η εφαρμογή του μοντέλου με αυτό τον τρόπο οδηγεί σε «υπερεκτίμηση» της διαδικασίας για το διάστημα που ακολουθεί. Ακόμα και για την περίπτωση ενός μεγαλύτερου χρονικού διαστήματος όπως είναι οι πρώτες πέντε μέρες μετά τον κύριο σεισμό, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των δεδομένων μεγαλύτερο από 105 είναι , ενώ το παρατηρούμενο πλήθος των σεισμών σε αυτό το διάστημα είναι 100. τη συνέχεια γίνονται αντίστοιχοι υπολογισμοί παίρνοντας ως τιμές των παραμέτρων a και b τις εκτιμώμενες από τα δεδομένα των δύο πρώτων ημερών (πίνακας IV), με τη βοήθεια της συνάρτησης επιβίωσης (σχήμα 3.71). Για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 60 είναι Σα πραγματικά δεδομένα είναι 60, που σημαίνει ότι γίνεται αρκετά καλή προσέγγιση της πραγματικής διαδικασίας. Βέβαια η εφαρμογή του μοντέλου με αυτό τον τρόπο οδηγεί σε υποεκτίμηση της διαδικασίας που αντιστοιχεί στην πρώτη μέρα μετά το σεισμό, καθώς το πλήθος των πραγματικών δεδομένων είναι 41 ενώ η πιθανότητα σύμφωνα με το μοντέλο για περισσότερους από 40 σεισμούς είναι Προχωρώντας τώρα στην εκτίμηση της διαδικασίας για μελλοντικούς χρόνους, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών μεγαλύτερο από 13, κατά τη διάρκεια της τρίτης μέρας (14 ήταν τα πραγματικά δεδομένα όπως αναφέρθηκε πριν), είναι και για περισσότερους από 15 σεισμούς η πιθανότητα είναι Για το διάστημα από την τρίτη ως την πέμπτη μέρα μετά το χρόνο Σ0 η πιθανότητα να είναι το πλήθος των δεδομένων μεγαλύτερο από 25 είναι , ενώ το πραγματικό πλήθος είναι 26, που σημαίνει ότι γίνεται μια αρκετά καλή προσέγγιση της πραγματικής διαδικασίας μέσω του μοντέλου που επιλέχθηκε. Οι επόμενοι υπολογισμοί γίνονται με βάση τα δεδομένα των τεσσάρων πρώτων ημερών μετά το χρόνο γένεσης του κύριου σεισμού. Από τα 86 δεδομένα που αντιστοιχούν σε αυτό το χρονικό διάστημα εκτιμώνται οι τιμές των παραμέτρων a καιb όπως φαίνονται στον πίνακα IV. Μέσω της συνάρτησης επιβίωσης (σχήμα 3.72) 139

142 υπολογίζεται η πιθανότητα το πλήθος των σεισμών, σε αυτό το διάστημα των τεσσάρων ημερών, να είναι μεγαλύτερο από 85, και λαμβάνεται , που σημαίνει ότι προσεγγίζει σωστά το σύνολο της διαδικασίας σε αυτό το διάστημα. Επεκτείνοντας τους υπολογισμούς για το εικοσιτετράωρο που ακολουθεί και στο οποίο τα πραγματικά δεδομένα είναι 14 στον αριθμό, η πιθανότητα να είναι το πλήθος των σεισμών (σύμφωνα με το μοντέλο) μεγαλύτερο από 12 είναι α) β) γ) δ) Σχήμα 3.70: Συναρτήσεις επιβίωσης, όπως αυτές προκύπτουν από τα δεδομένα της πρώτης μέρας για τα χρονικά διαστήματα: α)(0, 1), β) (1, 2), γ) (2, 3), δ) (0, 5). 140